Математика 10 класс 10-М-1

Уравнения вида $$\alpha^2\sqrt{x+a}+\beta^2\sqrt{x+b}=\mathbf{const}.$$ Монотонность


Пример 14

Решите уравнение 2x-3+4x+1=4.\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

Решение

Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. Иногда точку пересечения удаётся найти подбором (если авторы, конечно, на это рассчитывали!).

Прежде всего, надо пробовать подставлять такие числа, чтобы корни извлекались нацело. Например, в нашем случае можно подставить `x=2`: 

4-3+8+1=4.\sqrt{4-3}+\sqrt{8+1}=4.

Ответ
`2`.
Пример 15

Решите уравнение 9x+31+x+3=2-x-2.\sqrt{9x+31}+\sqrt{x+3}=2\sqrt{-x-2}.

Решение

Заметим, что слева стоят монотонно возрастающие функции, а справа – монотонно убывающая – поэтому равенство возможно лишь в одной точке. Подставим точку, когда извлекаются все корни: `x=-3`.

Ответ

`-3`.