Математика 11 класс 11-М-4

§1. Введение

Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.

В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:

свойства

С1. aαaβ=aα+β,a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha+\beta},

С2. aαaβ=aα-β \dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}.

С3. aαbα=(ab)α. a^{\alpha}b^{\alpha} = (ab)^{\alpha}.

С4. aαbα=(ab)α\dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}} = (\dfrac{a}{b})^{\alpha} .

Если a>0a>0, a1a \neq 1, то функция ax a^x отлична от постоянной. Ее называют показательной функцией с основанием a a . Если a>1a>1, то функция axa^x - монотонно возрастающая на RR; если `0<a<1`, то функция axa^x - монотонно убывающая на RR. Область значений показательной функции - множество R+R_{+} всех действительных чисел. Отсюда и из монотонности следует, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, то для любого положительного числа NN существует единственное число xx, такое, что ax=Na^x = N. Это число называется логарифмом числа NN по основанию aa и обозначается logaN\textrm{log}_a{N}. Из определения следует, что

alogaN=N a^{\textrm{log}_a{N}} = N в ОДЗ.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством в ОДЗ (только для N>0N>0, a>0a>0, a1a \neq 1).

В школе показывается, что, если a>0, a1, M>0, N>0, α¯\underline{a>0,\;a\neq1,\;M>0,\;N>0,\;\alpha} - любое действительное число, то верны формулы

Свойства

С5. logaMN=logaM+logaN \textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{M} + \textrm{log}_a{N} .

С6. logaMN=logaM-logaN \textrm{log}_a{\frac{M}{N}} = \textrm{log}_a{M}-\textrm{log}_a{N} .

С7. logaMα=αlogaM \textrm{log}_a{M^{\alpha}} = \alpha \textrm{log}_a{M} .

С8. Если, к тому же, b>0b>0, b1b \neq 1, то logaM=logbMlogba\textrm{log}_a{M} = \dfrac{\textrm{log}_b{M}}{\textrm{log}_b{a}} .

Последняя формула позволяет переходить от логарифма по основанию aa к логарифму по основанию bb. Она называется формулой перехода к новому основанию.

Свойства 5-8 при вышеописанных условиях (M>0M>0, N>0N>0) являются тождествами и читаются как справа налево, так и слева направо.

Заметим, однако, что левые и правые части равенств в С5 и С6 имеют разные области определения: левая часть определена при MN>0MN>0, а правая - при M>0M>0, N>0N>0. Это надо учитывать при решении задач: MN>0MN>0 не только тогда, когда M>0M>0, N>0N>0, но и тогда, когда M<0M<0, N<0N<0. Учтем, что MN=(-M)(-N)MN = (-M)(-N), и для -M>0-M>0, -N>0-N>0 (в силу С5) loga(-M)(-N)=loga(-M)+loga(-N) \textrm{log}_a{(-M)(-N)} = \textrm{log}_a{(-M)} + \textrm{log}_a{(-N)} . Теперь запишем более общую формулу

С5*5^*. Если MN>0MN>0, то logaMN=loga|M|+loga|N|\textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} .

С9. Если M0M \neq 0, N0N \neq 0, то loga|M|+loga|N|=loga|MN|\textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} = \textrm{log}_a{|MN|} .

Аналогично показывается, что

Пример

C6*6^*. Если MN>0 MN > 0, то logaMN=logaM-logaN \textrm{log}_{a} \frac{M}{N} = \textrm{log}_{a} M - \textrm{log}_{a} N.

С10. Если M0 M \neq 0 , N0 N \neq 0 , то loga|M|-loga|N|=loga|MN|\textrm{log}_{a}|M| - \textrm{log}_{a}|N|=\textrm{log}_{a}|\frac{M}{N}|.

С7*7^*. Если M0M \neq 0 , то для любого натурального nn верно, что logaM2n=2nloga|M|\textrm{log}_{a}M^{2n} = 2n \textrm{log}_{a}|M|.

Все свойства читаются в обе стороны (т.е являются тождествами), при выполнении приведенных для каждого из них условий.