§3. Показательные уравнения

Автор
Колесникова Софья Ильинична 200 статей

Математика 11 класс 11-М-4

§3. Показательные уравнения

Из монотонности показательной функции следует, что $a^x=a^y \Leftrightarrow x=y$ .

Из свойств показательной функции следует, что, если $a>0$ , $a \neq 1$ , то простейшее показательное уравнение $a^x=b$ при $b \leq 0$ не имеет решения, а при $b>0$ имеет единственный корень $x=\textrm{log}_a{b}$ .

Для успешного решения большинства учебных примеров решающим является умение преобразовать исходное уравнение к более простому. Более простыми можно считать два основных уравнения:

1. $a^{f(x)} = b(x) \Leftrightarrow f(x) = \textrm{log}_a{b(x)}$ ,

2. $g(a^{f(x)}) = 0$ .

Уравнение 2 заменной переменной $a^{f(x)} = t$ сводится к уравнению $g(t)=0$ , у которого отыскиваются положительные корни, а затем решаются уравнения типа 1. Заметим, что

$$ 1^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow 1=g(x), \:\:\: 0^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)=0. \end{cases}$$

Пример 1.(МГУ, 1970).

Решить уравнение $4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}$ .

Решение

4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}} \Leftrightarrow 4\cdot 2^{2\sqrt{3x^2-2x}}-9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}+2=0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 4(2^{\sqrt{3x^2-2x}})^2-9(2^{\sqrt{3x^2-2x}})+2 = 0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{3x^2-2x}}-2)(2^{\sqrt{3x^2-2x}}-\dfrac{1}{4})=0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{3x^2-2x}=1\Leftrightarrow3x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-1}3;\end{array}\right.\\\sqrt{3x^2-2x}=-2\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.

ОТВЕТ

1

\dfrac{-1}{3}

Пример 2

Решить уравнение $8^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0$ .

Решение

$8^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2^{3x}-13\cdot 2^{2x}3^{x}-2^{x}3^{2x}+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2^{3x}(1-13\cdot (\dfrac{3}{2})^{x}-(\dfrac{3}{2})^{2x}+13(\dfrac{3}{2})^{3x})=0$ .

(*)

Пусть $(\dfrac{3}{2})^x=t>0$ , тогда уравнение примет вид $1-13t-t^2+13t^3=0$ .

$1-13t-t^2+13t^3=0 \Leftrightarrow (1-t^2)(1-13t)=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t=\pm1;\dfrac{1}{13} \Rightarrow x=0;-\textrm{log}_{\dfrac{3}{2}}{13}$ .

ОТВЕТ

$0, -\textrm{log}_{\dfrac{3}{2}}{13}$ .

Пример 3

Решить уравнение $500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\dfrac{1}{x}}$ .

Решение

$500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 5^32^22^{3x} = 2^35^{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 2^{3x-1} = 5^{\dfrac{1}{x}-3} \Leftrightarrow(3x-1)\textrm{log}_5{2}=\dfrac{1}{x}-3 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{{\text{log}}_52-3\pm({\text{log}}_52+3)}{6{\text{log}}_52}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac13,\\x=-\log_25.\end{array}\right.$

ОТВЕТ

$\dfrac{1}{3}$ , $-\textrm{log}_2{5}$ .

Пример 4.(МГУ, 1997)

Решить уравнение $\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{3^x}=5$ .

Решение

Это уравнение удаётся решить, используя то, что левая часть уравнения является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что $x=-1$ .

ОТВЕТ

$x=-1$ .

Пример 5

При каких действительных $p$ уравнение $4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x}$ имеет решение?

Решение

$4^x+4\cdot 2^x+7+\dfrac{4}{2^x} +\dfrac{1}{4^x} - p = 0 \Leftrightarrow 4^{2x}+4\cdot 4^x\cdot 2^x+(7-p)\cdot 4^x +4\cdot 2^x + 1 = 0$ .

Пусть $t=2^x>0$ . Тогда уравнение примет вид

$t^4+4t^3+(7-p)t^2+4t+1=t^2(t^2+4t+(7-p)+\dfrac{4}{t}+\dfrac{1}{t^2})=0$ .

Это возвратное уравнение. Оно решается заменой переменных $y = t+\dfrac{1}{t}$ , причем

$y=\dfrac{t^2+1}{t}= \dfrac{(t-1)^2+2t}{t} = 2+\dfrac{(t-1)^2}{t} \geq 2$

для любого $t>0$ . Уравнение принимает вид

$(t^2+2+\dfrac{1}{t^2})+4(t+\dfrac{1}{t})+(5-p) = y^2+4y +(5-p)=0$ .

Так как вершина параболы $z=y^2+4y+(5-p)$ расположена слева от оси $z$ и ветви направлены вверх, то корень $y_0 \geq 2$ существует тогда и только тогда, когда

$z(2)\leq 0 \Leftrightarrow 4+8+5-p \leq 0 \Leftrightarrow p\geq 17$ .

ОТВЕТ

$[17; +\infty)$ .

Комментарии