Математика 11 класс 11-М-4

§3. Показательные уравнения

Из монотонности показательной функции следует, что ax=ayx=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.

Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b0b \leq 0 не имеет решения, а при b>0b>0 имеет единственный корень x=logabx=\textrm{log}_a{b}.

Для успешного решения большинства учебных примеров решающим является умение преобразовать исходное уравнение к более простому. Более простыми можно считать два основных уравнения:

1. af(x)=b(x)f(x)=logab(x)a^{f(x)} = b(x) \Leftrightarrow f(x) = \textrm{log}_a{b(x)},

2. g(af(x))=0 g(a^{f(x)}) = 0.


Уравнение 2 заменной переменной af(x)=ta^{f(x)} = t сводится к уравнению g(t)=0g(t)=0, у которого отыскиваются положительные корни, а затем решаются уравнения типа 1. Заметим, что 

$$ 1^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow 1=g(x), \:\:\: 0^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)=0. \end{cases}$$

Пример 1.(МГУ, 1970).

Решить уравнение 43x2-2x+1+2=9·23x2-2x4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}.

Решение
43x2-2x+1+2=9·23x2-2x4·223x2-2x-9·23x2-2x+2=04^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}} \Leftrightarrow 4\cdot 2^{2\sqrt{3x^2-2x}}-9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}+2=0 \Leftrightarrow
 
4(23x2-2x)2-9(23x2-2x)+2=0(23x2-2x-2)(23x2-2x-14)=0\Leftrightarrow 4(2^{\sqrt{3x^2-2x}})^2-9(2^{\sqrt{3x^2-2x}})+2 = 0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{3x^2-2x}}-2)(2^{\sqrt{3x^2-2x}}-\dfrac{1}{4})=0 \Leftrightarrow
3x2-2x=13x2-2x-1=0x=1,x=-13;3x2-2x=-2.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{3x^2-2x}=1\Leftrightarrow3x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-1}3;\end{array}\right.\\\sqrt{3x^2-2x}=-2\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.
ОТВЕТ
11, -13\dfrac{-1}{3}.
Пример 2

Решить уравнение 8x-13·4x3x-2x9x+13·33x=08^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0.

Решение

8x-13·4x3x-2x9x+13·33x=08^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow

23x-13·22x3x-2x32x+13·33x=0\Leftrightarrow 2^{3x}-13\cdot 2^{2x}3^{x}-2^{x}3^{2x}+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow

23x(1-13·(32)x-(32)2x+13(32)3x)=0 \Leftrightarrow 2^{3x}(1-13\cdot (\dfrac{3}{2})^{x}-(\dfrac{3}{2})^{2x}+13(\dfrac{3}{2})^{3x})=0 .


(*)


Пусть (32)x=t>0(\dfrac{3}{2})^x=t>0, тогда уравнение примет вид 1-13t-t2+13t3=01-13t-t^2+13t^3=0.

1-13t-t2+13t3=0(1-t2)(1-13t)=01-13t-t^2+13t^3=0 \Leftrightarrow (1-t^2)(1-13t)=0 \Leftrightarrow

t=±1;113x=0;-log3213\Leftrightarrow t=\pm1;\dfrac{1}{13} \Rightarrow x=0;-\textrm{log}_{\dfrac{3}{2}}{13}.

ОТВЕТ

0,-log32130, -\textrm{log}_{\dfrac{3}{2}}{13}.

Пример 3

Решить уравнение 500·8x=8·51x500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\dfrac{1}{x}}.

Решение

500·8x=8·51x532223x=2351x23x-1=51x-3(3x-1)log52=1x-3500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 5^32^22^{3x} = 2^35^{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 2^{3x-1} = 5^{\dfrac{1}{x}-3} \Leftrightarrow(3x-1)\textrm{log}_5{2}=\dfrac{1}{x}-3 \Leftrightarrow

x=log52-3±(log52+3)6log52x=13,x=-log25.\Leftrightarrow x=\dfrac{{\text{log}}_52-3\pm({\text{log}}_52+3)}{6{\text{log}}_52}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac13,\\x=-\log_25.\end{array}\right.


ОТВЕТ

13\dfrac{1}{3}, -log25-\textrm{log}_2{5}.

Пример 4.(МГУ, 1997)

Решить уравнение 12x+13x=5\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{3^x}=5.

Решение

Это уравнение удаётся решить, используя то, что левая часть уравнения является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что x=-1x=-1.

ОТВЕТ

x=-1x=-1.

Пример 5

При каких действительных pp уравнение 4x+2x+2+7=p-4-x-2·21-x4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет решение?

Решение

4x+4·2x+7+42x+14x-p=042x+4·4x·2x+(7-p)·4x+4·2x+1=04^x+4\cdot 2^x+7+\dfrac{4}{2^x} +\dfrac{1}{4^x} - p = 0 \Leftrightarrow 4^{2x}+4\cdot 4^x\cdot 2^x+(7-p)\cdot 4^x +4\cdot 2^x + 1 = 0.

Пусть t=2x>0t=2^x>0. Тогда уравнение примет вид

t4+4t3+(7-p)t2+4t+1=t2(t2+4t+(7-p)+4t+1t2)=0t^4+4t^3+(7-p)t^2+4t+1=t^2(t^2+4t+(7-p)+\dfrac{4}{t}+\dfrac{1}{t^2})=0.

Это возвратное уравнение. Оно решается заменой переменных y=t+1ty = t+\dfrac{1}{t}, причем

y=t2+1t=(t-1)2+2tt=2+(t-1)2t2y=\dfrac{t^2+1}{t}= \dfrac{(t-1)^2+2t}{t} = 2+\dfrac{(t-1)^2}{t} \geq 2

для любого t>0t>0. Уравнение принимает вид

(t2+2+1t2)+4(t+1t)+(5-p)=y2+4y+(5-p)=0(t^2+2+\dfrac{1}{t^2})+4(t+\dfrac{1}{t})+(5-p) = y^2+4y +(5-p)=0.

Так как вершина параболы z=y2+4y+(5-p)z=y^2+4y+(5-p) расположена слева от оси zz и ветви направлены вверх, то корень y02y_0 \geq 2 существует тогда и только тогда, когда

z(2)04+8+5-p0p17z(2)\leq 0 \Leftrightarrow 4+8+5-p \leq 0 \Leftrightarrow p\geq 17.

ОТВЕТ

[17;+)[17; +\infty).