Математика 11 класс 11-М-4

§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$

Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?

По определению, полагают, для любого c>0c>0, c1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0

  

a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} = c^{b(x) \textrm{log}_c{a(x)} } (01)

Рассмотрим уравнение a(x)f(x)=a(x)g(x)a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} .

ОДЗ: a(x)>0a(x)>0.

aa(xx)=f(x)10f(x)lga(x)^{f(x)} = 10^{f(x) \textrm{lg}{a(x)} } , aa(xx)=g(x)10g(x)lga(x)^{g(x)} = 10^{g(x) \textrm{lg}{a(x)} } , тогда

10f(x)lga(x)=10g(x)lga(x)f(x)lga(x)=g(x)lga(x)(lga(x))(f(x)-g(x))=010^{f(x) \textrm{lg}{a(x)} } = 10^{g(x) \textrm{lg}{a(x)} } \Leftrightarrow f(x) \textrm{lg}{a(x)} = g(x)\text{lg}{a(x)}\Leftrightarrow(\text{lg}{\:a(x)})(f(x)-g(x))=0\Leftrightarrow

lgax=0,fx=gxax=1,fx=gx.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}lga\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a\left(x\right)=1,\\f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}\right.

Следовательно,

(УР П3)

axfx=axgxax=1,fx=gx.a\left(x\right)^{f\left(x\right)}=a\left(x\right)^{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a\left(x\right)=1,\\f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}\right. в ОДЗ

или

(УР П3*)

axfx=axgxax=1,ax>0,fx=gx.a\left(x\right)^{f\left(x\right)}=a\left(x\right)^{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a\left(x\right)=1,\\\left\{\begin{array}{l}a\left(x\right)>0,\\f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.

Замечание

Мы не решаем уравнение (-2)x=-8(-2)^x=-8, потому что (-2)3(-2)124(-2)^3 \neq (-2)^{\dfrac{12}{4}}, где левая часть существует, а правая часть не определена (в уравнении нет ограничений для xx, и оно может принимать рациональные значения!). Однако, мы решаем уравнение (-2)n=-8(-2)^n=-8, где заранее задано, что число nn - целое (операции возведения в рациональную степень в натуральную степень разные! Вспомним, кстати, что -83(-8)13\sqrt[3]{-8} \neq (-8)^{\dfrac{1}{3}}, т.к левая часть существует, а правая - нет).

Пример 9

Решите уравнение xx2=x-2-3xx^{x^2} = x^{-2-3x}.

Решение

ОДЗ: x>0x>0.

В ОДЗ xx2=x-2-3x10x2lgx=10(-2-3x)lgxlgx·(x2+3x+2)=0x^{x^2} = x^{-2-3x} \Leftrightarrow 10^{x^2 \textrm{lg}{x}} = 10^{(-2-3x)\textrm{lg}{x}} \Leftrightarrow \textrm{lg}{x}\cdot (x^2+3x+2) = 0 \Leftrightarrow

lgx·(x+2)(x+1)=0x=1 \Leftrightarrow \textrm{lg}{x} \cdot (x+2)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x=1.

Корни `-1`, `-2` не входят в ОДЗ. Это, несмотря на то, то (-1)1=(-1)1(-1)^1=(-1)^1, (-2)4=(-2)4(-2)^4=(-2)^4.

ОТВЕТ

`{1}`.

Пример 10(МГу)

При каких значениях параметра aa уравнение

(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x+(x2-3ax+8-x2-3ax+6)x=22x (\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x +(\sqrt{x^2-3ax+8} - \sqrt{x^2-3ax+6})^x = 2\sqrt{2}^x 

имеет единственное решение?

Решение

Сначала упростим левую часть уравнения. Замечаем, что

(x2-3ax+8-x2-3ax+6)x=2x(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x ( \sqrt{x^2-3ax+8} - \sqrt{x^2-3ax+6} )^x = \dfrac{2^x}{(\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x} .

Пусть t= (x2-3ax+8+x2-3ax+6)xt = (\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x, тогда уравнение примет вид:

t+2xt=2·2x2t2-2·2x2·t+2x=(t-2x2)2=0t=2x2t+\dfrac{2^x}{t} = 2\cdot 2^{\dfrac{x}{2}} \Leftrightarrow t^2 - 2\cdot 2^{\frac{x}{2}}\cdot t+ 2^x = (t-2^{\frac{x}{2}})^2 = 0 \Leftrightarrow t = 2^{\frac{x}{2}} \Rightarrow  

 (x2-3ax+8+x2-3ax+6)x=2x2 \Rightarrow (\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x=2^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow  В силу (Ур П3),

xlg(x2-3ax+8+x2-3ax+6)=xlg2 \Leftrightarrow x \textrm{lg}{(\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})} = x \textrm{lg}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow

x=0,x2-3ax+8+x2-3ax+6=2.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,\\\sqrt{x^2-3ax+8}+\sqrt{x^2-3ax+6}=\sqrt2.\end{array}\right.   (*)

  

Мы видим, что при любом значении параметра aa есть решение x=0x=0, поэтому для единственности решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы второе уравнение совокупности не имело решений.

ОДЗ (*): x2-3ax+60x^2 -3ax +6 \geq 0.

Если x2-3ax+6>0x^2-3ax+6>0, то x2-3ax+8+x2-3ax+6>2\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6} > \sqrt{2}

Если x2-3ax+6=0x^2-3ax+6=0, то x2-3ax+8+x2-3ax+6=2\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6} = \sqrt{2}.

Заданное уравнение имеет единственное решение (x=0x=0 является решением данного уравнения при любом aa!), если уравнение x2-3ax+6=0x^2-3ax+6=0 не имеет решений, что имеет место тогда и только тогда, когда 9a2-24<0a(-263;263)9a^2-24<0 \Leftrightarrow a \in (-\dfrac{2\sqrt{6}}{3}; \dfrac{2\sqrt{6}}{3}).

ОТВЕТ

(-263;263)(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3}; \dfrac{2\sqrt{6}}{3}).