Математика 11 класс 11-М-4

§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$

Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.

По определению, для любого c>0c>0, c1c \neq 1

loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)}} (02)

То есть y(x)y(x) - это частное двух логарифмов, и областью определения(ОДЗ) является множество XX, на котором f(x)>0,a(x)>0,a(x)1¯\underline{f(x)>0,\: a(x)>0, \: a(x) \neq 1}.

Рассмотрим уравнение loga(x)f(x)=loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}.

ОДЗ: a(x)>0a(x)>0, a(x)1a(x)\neq 1, f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0.

Воспользуемся определением (02) и получим в ОДЗ

loga(x)f(x)=loga(x)g(x)lgf(x)lga(x)=lgg(x)lga(x)lgf(x)=lgg(x){\text{log}}_{a(x)}{f(x)}={\text{log}}_{a(x)}{g(x)}\Leftrightarrow\dfrac{\text{lg}{f(x)}}{\text{lg}{\:a(x)}}=\dfrac{\text{lg}{g(x)}}{\text{lg}{\:a(x)}}\Leftrightarrow\text{lg}{f(x)}=\text{lg}{g(x)}\text{⇔}

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x).

(УР Л3)

loga(x)f(x)=loga(x)g(x)f(x)=g(x){\text{log}}_{a(x)}{f(x)}={\text{log}}_{a(x)}{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x) в ОДЗ.

Можно написать полное условие равносильности

(УРЛ3*)

logaxfx=logaxgxfx=gx,ax>0,ax1,fx>0.fx=gx,ax>0,ax1,gx>0.\log_{a\left(x\right)}f\left(x\right)=\log_{a\left(x\right)}g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right),\\a\left(x\right)>0,\\a\left(x\right)\neq1,\\f\left(x\right)>0.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right),\\a\left(x\right)>0,\\a\left(x\right)\neq1,\\g\left(x\right)>0.\end{array}\right.    

Пример 11(МФТИ, 1981)

Решить уравнение 2logx(4+x)=2-logx22\textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 2- \textrm{log}_{\sqrt{x}}{2}.

Решение

2logx(4+x)=2-logx2logx(4+x)=1-logx2logx(4+x)=logxx22\textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 2- \textrm{log}_{\sqrt{x}}{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 1 - \textrm{log}_x{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = \textrm{log}_x{\frac{x}{2}}

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} 4+\sqrt{x} = \dfrac{x}{2} ,\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-8=0 , \\ x>0, \\ x\neq 1 . \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{x}=4 \Leftrightarrow x=16$$.

ОТВЕТ

x=16x = 16.

Метод интервалов для логарифмических и показательных неравенств.

В курсе математического анализа для 10-го класса доказывается теорема:

Теорема

Если f(x)f(x) непрерывна на отрезке [a;b][a;b] и не обращается в `0` на открытом промежутке (a;b)(a;b), то f(x)f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка [a;b][a;b].

Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули f(x)f(x) и определить знаки f(x)f(x) на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в пробных точках.