Математика 11 класс 11-М-4

§7. Показательные неравенства

Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.

Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)} применим метод интервалов. Его решение зависит от того, a>1a>1 или a<1a<1.

1) Если a>1a>1, то f(x)>g(x)f(x)>g(x) и (a-1)(f(x)-g(x))>0(a-1)(f(x)-g(x))>0.

2) Если 0<a<10<a<1, то f(x)<g(x)f(x)<g(x) и опять (a-1)(f(x)-g(x))>0(a-1)(f(x)-g(x))>0.

Верно и обратное: 

1. Если (a-1)(f(x)-g(x))>0(a-1)(f(x)-g(x))>0, то при a>1a>1 имеем f(x)>g(x)f(x)>g(x) и af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.

2. Если 0<a<10<a<1, то f(x)<g(x)f(x)<g(x) и опять af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}

Таким образом, мы вывели условие равносильности.

(УР П1)

af(x)>ag(x)(a-1)(f(x)-g(x))>0a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow(a-1)(f(x)-g(x))>0

При рассмотрении неравенства af(x)<ag(x)a^{f(x)}<a^{g(x)} в полученном условии меняется знак неравенства в (УР П1), и мы видим, что

(УР П2)

знак разности af(x)-ag(x)a^{f(x)} - a^{g(x)} совпадает

со знаком произведения (a-1)(f(x)-g(x))(a-1)(f(x)-g(x)).   

Пример 12(МГУ)

Решить неравенство 3·42-x+3<10·22-x3\cdot 4^{\sqrt{2-x}}+3<10\cdot 2^{\sqrt{2-x}}.

Решение

3·222-x-10·22-x+3<0(22-x-3)(22-x-13)<03\cdot 2^{2\sqrt{2-x}}-10\cdot 2^{\sqrt{2-x}} +3<0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{2-x}}-3)(2^{\sqrt{2-x}}-\dfrac{1}{3}) < 0 \Leftrightarrow

22-x-3<022-x<302-x<log2302-x<log223 \Leftrightarrow 2^{\sqrt{2-x}}-3<0 \Leftrightarrow 2^{\sqrt{2-x}}<3 \Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{2-x} < \textrm{log}_2{3} \Leftrightarrow 0 \leq 2-x < \textrm{log}^2_2{3} \Leftrightarrow

2-log223<x2 \Leftrightarrow 2-\textrm{log}^2_2{3} < x \leq 2 .

ОТВЕТ

(2-log223;2] (2-\textrm{log}^2_2{3};2].

Пример 13(МГУ, 1999)

Решить неравенство 3(x+3)2+193x2-2+272x+33^{(x+3)^2}+\dfrac{1}{9} \leq 3^{x^2-2} + 27^{2x+3}.

Решение

3(x+3)2+193x2-2+272x+33x2+6x+9+3-23x2-2+36x+93^{(x+3)^2}+\dfrac{1}{9} \leq 3^{x^2-2} + 27^{2x+3} \Leftrightarrow 3^{x^2+6x+9}+3^{-2} \leq 3^{x^2-2}+3^{6x+9} \Leftrightarrow

3x2(36x+9-3-2)-(36x+9-3-2)0(3x2-30)(36x+9-3-2)0 \Leftrightarrow 3^{x^2}(3^{6x+9}-3^{-2})-(3^{6x+9}-3^{-2})\leq 0 \Leftrightarrow (3^{x^2}-3^0)(3^{6x+9}-3^{-2}) \leq 0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow В силу (УР П2) x2(6x+9+2)0x=0,x-116.x^2(6x+9+2)\leq0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,\\x\leq-\dfrac{11}6.\end{array}\right.


ОТВЕТ

(-;-116]0(-\infty;-\dfrac{11}6\rbrack\cup\left\{0\right\}.

Пример 14

Решить неравенство x2+x-2(3x-1)(2x2-16)0\dfrac{x^2+x-2}{(3^x-1)(2^{x^2}-16)} \geq 0.

Решение

x2+x-2(3x-1)(2x2-16)0\dfrac{x^2+x-2}{(3^x-1)(2^{x^2}-16)} \geq 0 \Leftrightarrow

В силу (УР П2)$$\:\: \frac{(x+2)(x-1)}{(x-0)(x^2-4)} \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -2, \\ \dfrac{x-1}{x(x-2)} \geq 0. \end{cases} \Leftrightarrow $$

x(0;1](2;+) \Leftrightarrow x \in (0;1]\bigcup (2;+\infty).

ОТВЕТ

(0;1](2;+)(0;1]\bigcup (2;+\infty).

Пример 15(МГУ,2000)

Решить неравенство 2x2·3x<62^{x^2}\cdot 3^x <6.

Решение

2x2·3x<62x2·2xlog23<2log262x2+xlog23<2log262^{x^2}\cdot3^x<6\Leftrightarrow2^{x^2}\cdot2^{x{\text{log}}_23}<2^{{\text{log}}_26}\Leftrightarrow2^{x^2+x{\text{log}}_23}<2^{{\text{log}}_26}\Leftrightarrow

x2+xlog23-log26<0(x-1)(x+log26)<0-log26<x<1 \Leftrightarrow x^2+x\textrm{log}_2{3}-\textrm{log}_2{6}<0 \Leftrightarrow (x-1)(x+\textrm{log}_2{6}) < 0 \Leftrightarrow -\textrm{log}_2{6}<x<1.

ОТВЕТ

(-log26;1)(-\textrm{log}_2{6};1).

Пример 16

Решить неравенство (3x2-3)(2-x-23)(4x-4x2+2x-2)(x2-5x+6)>0\dfrac{(3^{x^2}-3)(2^{-x} - 2^3)(4^x-4^{x^2+2x-2})}{(x^2-5x+6)} > 0.

Решение

(3x2-3)(2-x-23)(4x-4x2+2x-2)(x2-5x+6)>0\dfrac{(3^{x^2}-3)(2^{-x} - 2^3)(4^x-4^{x^2+2x-2})}{(x^2-5x+6)} > 0 \Leftrightarrow В силу (УР П2)

(x2-1)(-x-3)(x-x2-2x+2)(x-2)(x-3)>0\frac{(x^2-1)(-x-3)(x-x^2-2x+2)}{(x-2)(x-3)}>0\Leftrightarrow

(x-1)2(x+1)(x+3)(x+2)(x-2)(x-3)>0 \Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^2(x+1)(x+3)(x+2)}{(x-2)(x-3)} >0

С рисунка снимаем 

ОТВЕТ

(-3;-2)(-1;1)(1;2)(3;+)(-3;-2)\bigcup (-1;1) \bigcup (1;2)\bigcup (3; +\infty).

Пример 17(МГУ, 1973)

Найти все значения параметра aa, для каждого из которых неравенство 4x-a·2x-a+304^x-a\cdot 2^x -a+3 \leq 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение

Пусть 2x=t>02^x=t>0, тогда неравенство принимает вид t2-at-a+30t^2-at-a+3 \leq 0. Прежде всего, неравенство имеет решение, если дискриминант неотрицателен, т. е

D=a2+4a-12=(a+6)(a-2)0a(-;-6)[2;+)D = a^2+4a-12 = (a+6)(a-2) \geq 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty; -6)\bigcup [2;+\infty).

При этом, t2-at-a+30t[a-D2=t1;a+D2=t2]t^2-at-a+3 \leq 0 \Leftrightarrow t \in [\dfrac{a-\sqrt{D}}{2}=t_1; \dfrac{a+\sqrt{D}}{2}=t_2].

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все aa, при которых неравенство верно хотя бы при одном положительном значении tt. Для этого необходимо и достаточно,чтобы больший хорень был положительным, т. е

t2=a+a2+4a-122>0t_2 = \dfrac{a+\sqrt{a^2+4a-12}}{2} > 0 \Leftrightarrow

a>0,a2+4a-120,a2;a0,a2+4a-12-a2>0,;a2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>0,\\a^2+4a-12\geq0,\end{array}\right.\Leftrightarrow a\geq2;\\\left\{\begin{array}{l}a\leq0,\\a^2+4a-12-a^2>0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\varnothing;\end{array}\right.\Leftrightarrow a\geq2\Rightarrow

ОТВЕТ

[2;+)[2;+\infty).