Математика 11 класс 11-М-4

§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$

Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допустимое число). Неравенство принимает вид ef(x)lna(x)>eg(x)lna(x)e^{f(x) \textrm{ln}{a(x)} }>e^{g(x) \textrm{ln}{a(x)} }. Используя условие равносильности (УР П1), получим равносильное неравенство в ОДЗ

(e-1)(f(x)lna(x)-g(x)lna(x))=(e-1)(f(x)-g(x))lna(x)>0(e-1)(f(x)\textrm{ln}{a(x)}-g(x)\textrm{ln}{a(x)})=(e-1)(f(x)-g(x))\textrm{ln}{a(x)}>0. а, используя (УР Л3), найдём окончательное равносильное неравенство (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0(a(x)-1)(f(x)-g(x))>0.

Итак, мы вывели еще одно условие равносильности

(УР П5)

a(x)f(x)>a(x)g(x)     (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0 a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)} \Leftrightarrow         (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0

Или полное условие равносильности для неравенства

(УР П5*)

$$ a(x)^{f(x)} > a(x)^{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0 \end{cases}  \:\:\:$$ 


Поэтому

(УР П6)

знак разности a(x)f(x)-a(x)g(x)a(x)^{f(x)}-a(x)^{g(x)} совпадает

со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x))(a(x)-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ.

Преимущество (УР П6) состоит в том, что, если a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - рациональные функции, можно за ОДИН ШАГ перейти от показательного неравенства к классическому варианту метода интервалов.

Пример 18

Решить неравенство (56-x-x2)x3-2x2(56-x-x2)2x2+5x(56-x-x^2)^{x^3-2x^2} \geq (56-x-x^2)^{2x^2+5x}

Решение

ОДЗ: 56-x-x2>0x2+x-56<0x(-8;7) 56-x-x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2+x-56 < 0 \Leftrightarrow x \in (-8;7).

В ОДЗ, в силу (УЗ П6),

(56-x-x2)x3-2x2(56-x-x2)2x2+5x(56-x-x^2)^{x^3-2x^2} \geq (56-x-x^2)^{2x^2+5x} \Leftrightarrow

(55-x-x2)(x3-2x2-2x2-5x)0 \Leftrightarrow (55-x-x^2)(x^3-2x^2-2x^2-5x) \geq 0 \Leftrightarrow

(x--1-2212)(x--1+2212)x(x-5)(x+1)0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{-1-\sqrt{221}}{2})(x-\dfrac{-1+\sqrt{221}}{2})x(x-5)(x+1) \leq 0 \Rightarrow

ОТВЕТ

(-8;-1-2212][-1;0][5;-1+2212](-8;\dfrac{-1-\sqrt{221}}{2}]\bigcup[-1;0]\bigcup[5;\dfrac{-1+\sqrt{221}}{2}].