§ 3. Законы алгебры логики

Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке. Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.

Определение 5

Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение (`0` или `1`). В дальнейшем для обозначения равносильности логических выражений мы будем использовать знак равенства.<

Законы алгебры логики

это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность. Начнём с самых простых законов:

1) Законы поглощения констант

  x `vv` 0 = x,  x & 1 = x;

 2) Законы поглощения переменных

  x `vv` 1 = 1,  x & 0 = 0;

 3) Законы идемпотентности

  x & x = х,  x `vv` x = х;

 4) Закон двойного отрицания

 $$ \stackrel{=}{\mathrm{x}}$$ = x;

 5) Закон противоречия

  x & $$ \stackrel{-}{\mathrm{x}}$$ = 0;

 6) Закон исключённого третьего

  x `vv` $$ \stackrel{-}{\mathrm{x}}$$ = 1;

Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.

Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.

7) Законы коммутативности 

x & y = y & x,

x `vv` y = y `vv` x;

Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.

8) Законы ассоциативности

  (x & y) & z = x & (y & z),

 (x`vv`y) `vv` z = x `vv` (y `vv` z);

9) Законы дистрибутивности

  x & (y `vv` z) = (x & y) `vv` (x & z),
 x `vv` (y & z) = (x `vv` y) & (x `vv` z);

Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.

Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют особые законы алгебры логики.

особые законы алгебры логики.

10) Законы де Моргана

$$\style{font-family:'Courier New'}{\overline{\mathrm x\&\mathrm y}=\overline{\mathrm x}\vee\overline{\mathrm y},}$$

$$\style{font-family:'Courier New'}{\overline{\mathrm x\vee\mathrm y}=\overline{\mathrm x}\;\&\;\overline{\mathrm y};}$$

11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)

  x `vv` (x & y) = x;

  x & (x `vv` y) = x.

Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при помощи построения таблицы истинности.

`x`

`Y`

`x&y`

 `bar(x&y)`

`barx` `bary`

`barx vv bary`

`0`

`0`

`0`

`1`

`1`

`1`

`1`

`0`

`1`

`0`

`1`

`1`

`0`

`1`

`1`

`0`

`0`

`1`

`0`

`1`

`1`

`1`

`1`

`1`

`0`

`0`

`0`

`0`

Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в левой и правой частях закона, равносильны.

В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной, благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы `1`. Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый закон поглощения, не используя таблицу истинности.

Наше начальное выражение: x `vv` (x & y). Выносим `x` за скобки и получаем следующее выражение:

x &(1 `vv` y). Используем закон поглощения переменной константой `1` и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон поглощения константы и получаем просто x.

В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при упрощении выражений.

12) Закон преобразования импликации

`"x"  ->  "y" = bar("x")  vv  "y"`

Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у операций есть порядок приоритетов.

1) Отрицание

2) Конъюнкция

3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность

4) Импликация