Математика 11 класс 11-М-4

§2. Логарифмирование и потенцирование

При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (a>0(a>0,a1)a \neq 1 ) называется переход к уравнению logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}. При этом область существования уравнения сужается, т.к логарифмы существуют только у положительных чисел. Например,

 

Уравнения не равносильны, т.к имеют разные множества решений.

Потенцированием называется переход от уравнения logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} к уравнению f(x)=g(x)f(x)=g(x). При этом область определения расширяется, т.к второе уравнение может существовать при любых f(x)f(x), g(x)g(x), а первое - только при положительных. Поэтому запишем и запомним:

С11. Если f(x)=g(x)f(x)=g(x) и f(x)>0f(x)>0 или g(x)>0g(x)>0, то logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}=\textrm{log}_a{g(x)}.

С12. Если logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}, то f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0 и f(x)=g(x)f(x)=g(x).

При решении логарифмического уравнения достаточно проверить положительность одной из функций, т.к из последующегоих равенства следует положительность и другой. Итак, из С11 и С12 следует условие равносильности

$$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0, \\ f(x) = g(x). \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) > 0, \\ f(x) = g(x).\end{cases} $$ (УР Л1)