Математика 11 класс 11-М-4

§4. Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(например, возведение в квадрат), и потеря или приобретение корней в промежуточных выкладках уже не связано с ОДЗ логарифмов. Поэтому при решении простых логарифмических уравнений лучше пользоваться равносильными преобразованиями. В противном случае надо записать ОДЗ уравнения, но не надо находить его (решить все неравенства, связанные с ОДЗ, бывает намного труднее, чем решить само уравнение, а иногда и просто невозможно). После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку. Если корень не принадлежит ОДЗ, то он не может быть решением. Если же корень принадлежит ОДЗ, то надо подставить его в уравнение. 

Основными типами логарифмических уравнений являются следующие уравнения. Для любых a>0a>0, a1a\neq 1

1. $$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x), \\ g(x)>0. \end{cases} \:\: $$ (УР Л1) 

Из двух систем удобно выбирать ту, которая проще.

2. g(logaf(x))=0g(\textrm{log}_a{f(x)})=0.

Пример 6

Решить уравнение log3x+log3(x+1)=1\textrm{log}_3{x} + \textrm{log}_3{(x+1)} = 1.

Решение

$$ \textrm{log}_3{x}+\textrm{log}_3{(x+1)} = 1 \Leftrightarrow \begin{cases} x>0, \\ \textrm{log}_3{x(x+1)} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0, \\ x^2+x=3. \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}. $$

ОТВЕТ

x=13-12 x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}.

Пример 7

Решить уравнение log0.5(log41x)+log4(log2(16x2))=0 \textrm{log}_{0.5}{(\textrm{log}_4{\frac{1}{x}})}+\textrm{log}_4{(\textrm{log}_2{(16x^2)})} = 0.

Решение

log0.5(log41x)+log4(log2(16x2))=0-log2-log2x2+log2(4+2log2x)2=0 \textrm{log}_{0.5}{(\textrm{log}_4{\frac{1}{x}})} + \textrm{log}_4{(\textrm{log}_2{(16x^2)})}=0 \Leftrightarrow -\textrm{log}_2{\left(-\frac{\textrm{log}_2{x}}{2}\right)} + \dfrac{\textrm{log}_2{(4+2\textrm{log}_2{x}})}{2} = 0 \Leftrightarrow

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} \textrm{log}_2{x} < 0, \\ \textrm{log}_2{(4+2\textrm{log}_2{x})} = \textrm{log}_2{(-\dfrac{\textrm{log}_2{x}}{2})^2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \textrm{log}_2{x}<0, \\ 4+2\textrm{log}_2{x}=\frac{1}{4}\textrm{log}^2_{2}{x} \end{cases} \Leftrightarrow  $$

log2x=4-42x=24-42 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{x}=4-4\sqrt{2} \Leftrightarrow x=2^{4-4\sqrt{2}}

ОТВЕТ

x=24-42x=2^{4-4\sqrt{2}}.

Пример 8.

Решите уравнение xlog74+5·2log7x-4=0x^{\textrm{log}_7{4}}+5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}}-4=0.

Решение

xlog74+5·2log7x-4=0(2log2x)log74+5·2log7x-4=022log7x+5·2log7x-4=0x^{\textrm{log}_7{4}}+5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}}-4=0 \Leftrightarrow (2^{\textrm{log}_2{x}})^{\textrm{log}_7{4}}+5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}} - 4 =0 \Leftrightarrow 2^{2\textrm{log}_7{x}} +5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}} -4=0

(2log7x)2+5·2log7x-4=02log7x=-5+412log7x=log2(41-52)\Leftrightarrow (2^{\textrm{log}_7{x}})^2 +5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}} -4=0 \Leftrightarrow 2^{\textrm{log}_7{x}} = \frac{-5+\sqrt{41}}{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_7{x}=\textrm{log}_2{(\frac{\sqrt{41}-5}{2})} \Leftrightarrow

x=7log241-52\Leftrightarrow x = 7^{\textrm{log}_2{\frac{\sqrt{41}-5}{2}}}.

ОТВЕТ

x=7log241-52x=7^{\textrm{log}_2{\frac{\sqrt{41}-5}{2}}}.

Особняком стоят уравнения и неравенства, которые нельзя отнести ни к показательным, ни к логарифмическим. Они содержат функции вида loga(x)f(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} и (a(x))f(x)(a(x))^{f(x)}.