Математика 11 класс 11-М-4

§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$

Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.

По определению, для любого c>0c>0, c1c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\textrm{log}_c{a(x)}} }                              (02)

То есть y(x)y(x) - это частное двух логарифмов, и областью определения(ОДЗ) является множество XX, на котором f(x)>0,a(x)>0,a(x)1¯\underline{f(x)>0,\: a(x)>0, \: a(x) \neq 1}.

Рассмотрим уравнение loga(x)f(x)=loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}.

ОДЗ: a(x)>0a(x)>0, a(x)1a(x)\neq 1, f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0. Воспользуемся определением и получим в ОДЗ

loga(x)f(x)=loga(x)g(x)lgf(x)lga(x)=lgg(x)lga(x)lgf(x)=lgg(x)f\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \frac{\textrm{lg}{f(x)} }{\textrm{lg}{\: a(x)} } = \frac{\textrm{lg}{g(x)}}{\textrm{lg}{\: a(x)}} \Leftrightarrow \textrm{lg}{f(x)} = \textrm{lg}{g(x)} \Leftrightarrow f(xx)=g=g(xx).

loga(x)f(x)=loga(x)g(x)f(x)=g(x)в ОДЗ.\fbox{\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x) \:\:\: \text{в ОДЗ.} \: }                                         (УР Л3)

Можно написать полное условие равносильности

$$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x), \\ a(x) > 0, \\ a(x) \neq 1, \\ f(x)>0. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x), \\ a(x)>0, \\ a(x) \neq 1 , \\ g(x)>0. \end{cases} $$                    (УРЛ3*)

Пример 11(МФТИ, 1981)

Решить уравнение 2logx(4+x)=2-logx22\textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 2- \textrm{log}_{\sqrt{x}}{2}.

Решение

2logx(4+x)=2-logx2logx(4+x)=1-logx2logx(4+x)=logxx22\textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 2- \textrm{log}_{\sqrt{x}}{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 1 - \textrm{log}_x{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = \textrm{log}_x{\frac{x}{2}}

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} 4+\sqrt{x} = \frac{x}{2} ,\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-8=0 , \\ x>0, \\ x\neq 1 . \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{x}=4 \Leftrightarrow x=16$$.

ОТВЕТ

x=16x = 16.

Метод интервалов для логарифмических и показательных неравенств.

В курсе математического анализа для 10-го класса доказывается теорема:

  Если f(x)f(x) непрерывна на отрезке [a;b][a;b] и не обращается в 0 на открытом промежутке (a;b)(a;b), то f(x)f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка [a;b][a;b].

Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули f(x)f(x) и определить знаки f(x)f(x) на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в пробных точках.