Математика 11 класс 11-М-4

§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием

Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.

ОДЗ:  a(x)>0,a1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.

Оказывается, что и в этом случае

Знак функции loga(x)f(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-1)(a(x)-1)(f(x)-1) в ОДЗ        (УР Л8)

И имеет место условие равносильности:

loga(x)f(x)>0(<0)   (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0). в ОДЗ  \fbox{ \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow      (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0).  \text{в ОДЗ} }     (УР Л10)

Можно записать полное условие равносильности. вкключающее ОДЗ:

$$  \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ f(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0). \end{cases}  $$ (УР Л10*)

Для нестрогого неравенства условие равносильности выглядит по-другому:

$$  \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}\geq 0(\leq 0) \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ a(x) \neq 1, \\ f(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-1)\geq 0 (\leq 0) .\end{cases} $$   (УР Л11)

Действительно, по определению,

loga(x)f(x)=lgf(x)lga(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \dfrac{\textrm{lg}{\:f(x)}}{\textrm{lg}{\:a(x)}}. Знаки lgf(x),lga(x)\textrm{lg}{f(x)}, \textrm{lg}{a(x)} совпадают со знаками разностей f(x)-1f(x)-1 и a(x)-1a(x)-1 соответственно. Поэтому знак lgf(x)lga(x)\dfrac{\textrm{lg}{\:f(x)}}{\textrm{lg}{\:a(x)}} совпадает со знаком частного f(x)-1a(x)-1\dfrac{f(x)-1}{a(x)-1} или со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-1)(a(x)-1)(f(x)-1).

Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} > \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}, где a(x).f(x).g(x)a(x). f(x). g(x) - непрерывные функции и a(x)>0,a(x)>0,\:\: a(x)1a(x) \neq 1.

По определению,

loga(x)f(x)-loga(x)g(x)=lgf(x)-lga(x)lga(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}-\textrm{log}_{a(x)}{g(x)}=\dfrac{\textrm{lg}{f(x)} - \textrm{lg}{a(x)} }{\textrm{lg}{a(x)} } .  И в силу (УР Л5) и (УР Л7)

loga(x)f(x)-loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} - \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x))(a(x)-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ.  (УР Л12)

Из полученного условия равносильности следует, что:

loga(x)f(x)>(<)loga(x)g(x)(a(x)-1)(f(x)-g(x))>0(<0)в ОДЗ\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} >(<) \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow (a(x)-1)(f(x)-g(x)) >0(<0) \text{в ОДЗ} \:\: (УР Л13)

Заметим, что из (УР Л12) автоматически следует, что a(x)1a(x) \neq 1, поэтому при решении строгих неравенств условие a(x)1a(x) \neq 1 можно опустить и так записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

$$ \textrm{log}_{a(x)}{f(x)} < \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-g(x))<0. \end{cases} \:\:\: $$      (УР Л13*)

Преимущество и красота приведенных условий в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований. Теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. 

Пример 22(МфТИ, 1980)

Решить неравенство logx2-34x+7>0\textrm{log}_{x^2-3}{4x+7}>0.

Решение

logx2-34x+7>0\textrm{log}_{x^2-3}{4x+7}>0 \Leftrightarrow

В силу (УР Л10),

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x+7>0 \Leftrightarrow x > -\frac{7}{4}, \\ x^2-3>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{3})\bigcup(\sqrt{3};+\infty), \\ (x^2-3-1)(4x+7-1)>0 \Leftrightarrow (x-1)(x+2)(x+\frac{3}{2})>0 . \end{cases} \Leftrightarrow $$

x(-74;-3)(2;+). \Leftrightarrow x \in (-\frac{7}{4}; -\sqrt{3})\bigcup(2;+\infty).

ОТВЕТ

 x(-74;-3)(2;+).  x \in (-\frac{7}{4}; -\sqrt{3})\bigcup(2;+\infty).

Но, как показывает практика, не всегда удобно пользоваться полными условиями равносильности. Это происходит, если входящие в условия равносильнотси неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства, как мы часто и будем делать. 

Пример 23(МФТИ,1994)

Решить неравенство log8(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)(2x+13)23\textrm{log}_8{(\frac{1}{3}-x)}\cdot \log_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3} - x)} > \textrm{log}_2{\dfrac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^2} } } .

Решение

ОДЗ: $$ \begin{cases} \frac{1}{3} - x > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; \frac{1}{3}),\\ 2x+\frac{1}{3} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -\frac{1}{6}, \\ 2x+\frac{1}{3} \neq \pm 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pm 3 -1}{6} \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}. \end{cases} \!\!\! \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(-\frac{2}{3};\frac{1}{6})\bigcup(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3}) $$.

log8(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)(2x+13)23 \textrm{log}_8{(\frac{1}{3}-x)}\cdot \log_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3} - x)} > \textrm{log}_2{\dfrac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^2} } } \Leftrightarrow

13log2(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)-23log2|2x+13| \Leftrightarrow \frac{1}{3} \textrm{log}_2{(\frac{1}{3}-x )}\cdot \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} > \textrm{log}_2{(\frac{1}{3} -x)} - \frac{2}{3} \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|} \Leftrightarrow

log2|2x+13|·(log|2x+13|2(13-x)-3log|2x+13|(13-x)+2)>0 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}\cdot (\textrm{log}^2_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} - 3\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} +2) > 0 \Leftrightarrow

Разложим выражение в скобках на множители, как t2-3t+2=(t-1)(t-2)t^2-3t+2 = (t-1)(t-2).

 log2|2x+13|(log|2x+13|(13-x)-1)(log|2x+13|(13-x)-2)>0 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}(\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}-1)(\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}-2)>0 \Leftrightarrow

 log2|2x+13|(log|2x+13|(13-x)-log|2x+13||2x+13|)· \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}( \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} - \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{|2x+\frac{1}{3}|}) \cdot

·(log|2x+13|(13-x)  -log|2x+13|(2x+13)2)>0 \cdot (\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}   - \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(2x+\frac{1}{3})^2} ) >0 \Leftrightarrow  

В ОДЗ, в силу (УР Л12):

(|2x+13|-1)3(13-x-|2x+13|)(13-x-4x2-43x-19)>0 \Leftrightarrow (|2x+\frac{1}{3}| -1)^3(\frac{1}{3} - x - |2x+\frac{1}{3}| )(\frac{1}{3} - x - 4x^2 - \frac{4}{3} x - \frac{1}{9} ) > 0 \Leftrightarrow

Пользуясь тем, что в ОДЗ 13-x>0\frac{1}{3}-x > 0, запишем 13-x=|13-x|\frac{1}{3}-x=|\frac{1}{3}-x|.

 (|2x+13|-1)(|13-x|-|2x+13|)(36x2+21x-2)<0 \Leftrightarrow (|2x+\frac{1}{3}| -1)(|\frac{1}{3} - x| - |2x+\frac{1}{3}| )(36x^2+21x-2) < 0 \Leftrightarrow

(2x+13-1)(2x+13+1)(13-x-2x-13)(13-x+2x+13)(x-112)(x+23)<0 \!\!\! (2x+\frac{1}{3}-1)(2x+\frac{1}{3}+1)(\frac{1}{3}-x-2x-\frac{1}{3})(\frac{1}{3}-x+2x+\frac{1}{3})(x-\frac{1}{12})(x+\frac{2}{3})<0

x(x-13)(x+23)3(x-112)>0x(-;-23)(0;112)(13;+) \Leftrightarrow x(x-\frac{1}{3})(x+\frac{2}{3})^3(x-\frac{1}{12})>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(0;\frac{1}{12})\bigcup(\frac{1}{3};+\infty).

Учитывая ОДЗ, получим ответ.

ОТВЕТ

x (-;-23)(0;112)x\in  (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(0;\frac{1}{12}).

Пример 24(МФТИ, 1996)

Решить неравенство log|3x-3|(25x-9x)<log|3x-3|(5x+3x)+ log|3x+3|(5x-1+3x-1)\textrm{log}_{|3x-3|}{(25^x-9^x)}<\textrm{log}_{|3x-3|}{(5^x+3^x)} +  \textrm{log}_{|3x+3|}{(5^{x-1} + 3^{x-1} )}.

Решение

 log|3x-3|(25x-9x)<log|3x-3|(5x+3x)+ log|3x+3|(5x-1+3x-1) \textrm{log}_{|3x-3|}{(25^x-9^x)}<\textrm{log}_{|3x-3|}{(5^x+3^x)} +  \textrm{log}_{|3x+3|}{(5^{x-1} + 3^{x-1} )} \Leftrightarrow

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} |3x-3| \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1, \\ 5^x-3^x>0 \Leftrightarrow (\frac{5}{3})^x-1>0 \Leftrightarrow x>0, \\ (|3x-3|-1)(5^x-3^x-5^{x-1}-3^{x-1})<0 \Leftrightarrow (|3x-3|-1)(\frac{4}{5} 5^x - \frac{4}{3} 3^x) < 0. \end{cases} \Leftrightarrow $$

В силу (УР М5) и (УР П6), 

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,  \\ x\neq 1, \\ (3x-4)(3x-2)( (\frac{5}{3})^{x-1} - (\frac{5}{3})^0 )< 0 \Leftrightarrow (x-\frac{4}{3})(x-\frac{2}{3} )(x-1)<0 . \end{cases} $$

ОТВЕТ

x(0;23)(1;43) x \in (0; \frac{2}{3})\bigcup (1;\frac{4}{3}).