Все статьи

Подкатегории

Новости

315 статей

О Физтехе

1 подкатегорий

16 статей

Факультеты и базовые кафедры

1 подкатегорий

11 статей

Московский политех

2 подкатегорий

22 статей

ЗФТШ Физика

205 статей

ЗФТШ Химия

95 статей

Разное

20 статей

Статьи

  • §10. Насыщенный пар. Кипение. Влажность

     

    Насыщенным  (насыщающим) паром

    называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью: скорость испарения равна скорости конденсации.

    Давление и плотность насыщенного пара для данного вещества зависят от его температуры и увеличиваются при увеличении температуры.


    Условие кипения жидкости – это условие роста пузырьков насыщенного пара в жидкости. Пузырёк может расти, если давление насыщенного пара внутри него будет не меньше внешнего давления. Итак,

    жидкость кипит при той температуре, при которой давление её насыщенных паров равно внешнему давлению.

    Приведём полезный пример.

    Пример

    Известно, что при нормальном атмосферном давлении `P_0~~10^5  "Па"` вода кипит при `100^@"C"`. Это означает, что давление насыщенных паров воды при `100^@"C"`  равно `P_0~~10^5  "Па"`.

    Пары воды в атмосферном воздухе обычно ненасыщенные. Абсолютной влажностью воздуха называется плотность водяных паров `rho`. Относительной влажностью воздуха называется величина

    φ=PPнас\boxed{\varphi=\dfrac P{P_\mathrm{нас}}}.                                                                 (24)

    Здесь `P` – парциальное давление паров воды при данной температуре в смеси воздух – пары воды, `P_"нас"` – парциальное давление насыщенных водяных паров при той же температуре. Опыт показывает, что `P_"нас"` зависит только от температуры и не зависит от плотности и состава воздуха.

    Если пар считать идеальным газом, то `P=rho/muRT`, `P_"нас"=(rho_"нас")/muRT`,

    где `rho` и `rho_"нас"` – плотности ненасыщенного и насыщенного водяного пара, `mu=18  "г"//"моль"`. Деление одного уравнения на другое даёт `P/P_"нас"=rho/rho_"нас"`. Итак,

                          φ=PPнасρρнас\boxed{\varphi=\dfrac P{P_\mathrm{нас}}\approx\dfrac\rho{\rho_\mathrm{нас}}}.                                                                  (25)



    Задача 12

    Воздух имеет температуру `60^@"C"` и абсолютную влажность `50  "г"//"м"^3`. Какой будет абсолютная влажность этого воздуха, если температура понизится до  `10^@"C"`? Известно, что при `10^@"C"` давление насыщенного пара воды `P=1230  "Па"`.

    Решение

    При `10^@"C"` `(T=283  "К")` плотность насыщенных паров воды

    `rho=(muP)/(RT)=9,4*10^(-3)  "кг"//"м"^3=9,4  "г"//"м"^3`.

    Эта величина меньше, чем `50  "г"//"м"^3`. Поэтому часть пара сконденсируется, и абсолютная влажность будет `9,4  "г"//"м"^3`. 

  • §8. Тепловые машины

    Пусть есть тело, называемое рабочим телом, которое может совершать цикл (не обязательно равновесный), периодически вступая в тепловой контакт с двумя телами. Тело с более высокой температурой назовём условно нагревателем, а с более низкой температурой – холодильником. За цикл рабочее тело совершает положительную или отрицательную работу AA. Такое устройство будем называть тепловой машиной. Тепловая машина, которая служит для получения механической работы, называется  тепловым двигателем. Тепловая машина, служащая для передачи количества теплоты от менее нагретого тела (холодильника) к более нагретому (нагревателю), используя работу окружающих тел над рабочим телом, называется тепловым насосом или холодильной установкой (холодильником). Деление на тепловые насосы и холодильные установки условное, связанное с предназначением этих тепловых машин. Тепловой насос используется для поддержания в помещении температуры, которая выше температуры окружающей среды. Холодильная установка используется для поддержания в некотором объёме  (камере)  температуры  более  низкой, чем снаружи. 



    В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой цикл, а в тепловом насосе и холодильной установке – обратный.


    В тепловом двигателе рабочее тело получает за цикл от нагревателя количество теплоты Q+Q^+ (рис. 8) и отдаёт холодильнику положительное количество теплоты Q-Q^- (получает от холодильника отрицательное количество теплоты «-Q--Q^-»). При этом за цикл рабочее тело совершает работу AA.  Коэффициентом полезного действия  (КПД)  теплового двигателя называется КПД соответствующего прямого цикла, т. е. отношение совершаемой за цикл работы AA к полученному за цикл от нагревателя количеству теплоты Q+:Q^+:   

    η=AQ+\eta=\dfrac A{Q^+}.

    По первому закону термодинамики, применённому к рабочему телу теплового двигателя за цикл, Q++(-Q-)=A.Q^++(-Q^-)=A. Поэтому

     η=Q+-Q-Q+=1-Q-Q+\eta=\dfrac{Q^+-Q^-}{Q^+}=1-\dfrac{Q^-}{Q^+}.

    Видим, что КПД теплового двигателя меньше единицы. Причиной этого является то, что для обеспечения периодичности в работе теплового двигателя необходимо часть тепла, взятого у нагревателя, обязательно отдать холодильнику.

    С. Карно (1796 – 1832) установил, что максимальный КПД теплового двигателя, работающего с нагревателем температуры T1T_1 и холодильником температуры T2T_2, независимо от рабочего тела есть 

    η=1-T2T1\eta=1-\dfrac{T_2}{T_1}.                                                                 (21)

    Это достигается, если рабочее тело совершает цикл Карно, т. е. равновесный цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм с температурами T1T_1 и T2T_2. На изотерме с T1T_1 рабочее тело получает тепло от нагревателя, а на изотерме с T2T_2 – отдаёт тепло холодильнику. Цикл Карно для идеального газа изображён на рис. 9:  `1-2` и `3-4` – изотермы, `2-3` и  `4-1` – адиабаты.  Тепловая  машина,  работающая   по прямому или обратному циклу Карно, называется идеальной тепловой машиной.

    задача 9

    Газ, совершающий цикл Карно, отдаёт холодильнику `70%` теплоты, полученной от нагревателя. Температура нагревателя T1=400 КT_1=400\;\mathrm К. Найти температуру холодильника.

    Решение

    Пусть газ получает за цикл от нагревателя количество теплоты Q1Q_1. Тогда холодильник получает от газа количество теплоты 0,7Q10,7Q_1. Применив первый закон термодинамики для всего цикла, получим, что Q1+(-0,7Q1)=AQ_1+(-0,7Q_1)=A. Отсюда работа за цикл A=0,3Q1A=0,3Q_1 . КПД цикла η=AQ1=0,3\eta=\dfrac A{Q_1}=0,3. Поскольку для цикла Карно η=1-T2T1\eta=1-\dfrac{T_2}{T_1}, то температура холодильника

    T2=T1(1-η)=0,7T1=280 КT_2=T_1(1-\eta)=0,7T_1=280\;\mathrm К.


    задача 10

    КПД тепловой машины, работающей по циклу (рис. 10), состоящему из изотермы `1 – 2`, изохоры `2 – 3` и адиабатического процесса `3 – 1`, равен η\eta, а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна T\triangle T. Найти работу, совершённую ν\nu молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе. 

    Решение

    При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все  участки  цикла, используя первый  закон термодинамики, и выявить  участки, где рабочее  тело получает и где  отдаёт  тепло.

    Проведём мысленно ряд изотерм на диаграмме PPVV. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле будет на изотерме `1 – 2`, а минимальная в точке `3`. Обозначим их  через T1T_1 и T3T_3 соответственно.

    Для  участка `1 – 2` изменение внутренней энергии U2-U1=0U_2-U_1=0. По первому закону термодинамики Q12=(U2-U1)+A12Q_{12}=(U_2-U_1)+A_{12}. Так как на участке `1 – 2` газ расширялся, то работа газа A12>0A_{12}>0. Значит, и подведённое к газу тепло на этом участке Q12>0Q_{12}>0 , причём Q12=A12Q_{12}=A_{12} .          

    На участке `2 – 3` работа газа равна нулю. Поэтому Q23=U3-U2Q_{23}=U_3-U_2.  Воспользовавшись записанными выше выражениями для U3U_3 и U2U_2 и тем, что T1-T3=TT_1-T_3=\triangle T, получим Q23=-νcVT<0Q_{23}=-\nu c_V\triangle T<0 . Это означает, что на участке 2 – 3 газ получает отрицательное количество теплоты, т. е. фактически отдаёт тепло.

    На участке `3 – 1` теплообмена нет, т. е. Q31=0Q_{31}=0 и по 1-му закону термодинамики 0=(U1-U3)+A310=(U_1-U_3)+A_{31}. Тогда работа газа

    A31=U3-U1=νcVT3-T1=-νcVTA_{31}=U_3-U_1=\nu c_V\left(T_3-T_1\right)=-\nu c_V\triangle T.

         Итак, за цикл газ совершил работу A12+A31=A12-νcVTA_{12}+A_{31}=A_{12}-\nu c_V\triangle T и получил тепло только на участке `1 – 2`. КПД цикла

    η=A12+A31Q12=A12-νcVTA12\eta=\dfrac{A_{12}+A_{31}}{Q_{12}}=\dfrac{A_{12}-\nu c_V\triangle T}{A_{12}}.

         Так как cV=32Rc_V=\dfrac32R, то работа газа на изотерме

    A12=3νRT2(1-η)A_{12}=\dfrac{3\nu R\triangle T}{2(1-\eta)}.

  • §9. Фазовые превращения

    Состояния, в которых может находиться то или иное вещество, можно разделить на так называемые агрегатные состояния: твёрдое, жидкое, газообразное. У некоторых веществ нет резкой границы между различными агрегатными состояниями. Например, при нагревании стекла (или другого аморфного вещества) происходит постепенное его размягчение, и невозможно установить момент перехода из твёрдого состояния в жидкое.

    Вещество может переходить из одного состояния в другое. Если при этом меняется агрегатное состояние вещества или скачком меняются некоторые характеристики и физические свойства вещества (объём, плотность, теплопроводность, теплоёмкость и др.), то говорят, что произошёл фазовый переход – вещество перешло из одной фазы в другую.

    Фазой

    называется физически однородная часть вещества, отделённая от других частей границей раздела.

    Пусть в сосуде заключена вода, над которой находится смесь воздуха и водяных паров. Эта система является двухфазной, состоящей из жидкой фазы и газообразной. Можно сделать систему и с двумя различными жидкими фазами: капелька ртути в сосуде с водой. Капельки тумана в воздухе образуют с ним двухфазную систему.

    Условия равновесия фаз для многокомпонентных веществ, т. е. веществ, состоящих из однородной смеси нескольких сортов молекул, достаточно сложны. Например, для смеси вода – спирт газообразная и жидкая фазы этой смеси при равновесии имеют различные концентрации своих компонент, зависящие от давления и температуры. Ниже будут рассмотрены фазовые превращения только для однокомпонентных веществ.

    При заданном давлении существует вполне определённая температура, при которой две фазы однокомпонентного вещества находятся в равновесии и могут переходить друг в друга при этой температуре. Пока одна фаза полностью не перейдёт в другую, температура будет оставаться постоянной, несмотря на подвод или отвод тепла. Поясним это на примерах.

    Рассмотрим двухфазную систему вода – пар, находящуюся в замкнутом сосуде. При давлении P0=1 атм105 ПаP_0=1\;атм\approx10^5\;\mathrm{Па} равновесие между паром и водой наступит при `100^@"C"`. Подвод к системе тепла вызывает кипение – переход жидкости в газ при постоянной температуре. Отвод от системы тепла вызывает конденсацию – переход пара в жидкость. При давлении 0,58P00,58P_0 (почти вдвое меньше нормального атмосферного) равновесие между паром и водой наступает при `85^@"C"`. При давлении 2P02P_0 равновесие фаз достигается при температуре `~~120^@"C"` (такие условия в скороварке).

    Другой пример. Фазовое равновесие между льдом и водой при внешнем давлении P0=1 атмP_0=1\;\mathrm{атм} осуществляется, как известно, при `0^@"C"`. Увеличение внешнего давления на одну атмосферу понижает температуру фазового перехода на `0,007^@"C"`. Это значит, что температура плавления льда понизится на эту же незначительную величину.

    Фазовые переходы для однокомпонентного вещества, сопровождающиеся переходом из одного агрегатного состояния в другое, идут с поглощением или выделением тепла. К ним относятся плавление и кристаллизация, испарение и конденсация. Причём, если при переходе из одной фазы в другую тепло выделяется, то при обратном переходе поглощается такое же количество теплоты.

    Чтобы расплавить кристаллическое тело массой mm, надо подвести количество теплоты

    Q=λ·mQ=\lambda\cdot m.                                                                (22)

    Коэффициент пропорциональности λ\lambda называется удельной теплотой  плавления. Вообще говоря, λ\lambda зависит от той температуры, при которой происходит фазовый переход (температура плавления). Во многих реальных ситуациях этой зависимостью можно пренебречь.

    Для превращения в пар жидкости массой `m` надо подвести количество теплоты

    Q=r·mQ=r\cdot m                                                                                      (23)

    Коэффициент пропорциональности rr называется удельной теплотой  парообразования. rr зависит от температуры кипения, т. е. от той температуры, при которой осуществляется фазовое равновесие жидкость – пар для заданного давления.

    Значения λ\lambda и rr для разных веществ даются в таблицах обычно для тех температур фазовых переходов, которые соответствуют нормальному атмосферному давлению. При этом в величины λ\lambda и особенно rr входит не только изменение внутренней энергии вещества при переходе одной фазы в другую, но и работа этого вещества над внешними телами при фазовом переходе! Например, удельная теплота парообразования воды при `100^@"C"` и P105 ПаP\approx10^5\;\mathrm{Па} на `9//10` состоит из изменения внутренней энергии вода - пар и на `1//10` (чуть меньше) из работы, которую совершает расширяющийся пар над окружающими телами. 

    задача 11

    В латунном калориметре массой m1=200 гm_1=200\;\mathrm г находится кусок льда массой m2=100 гm_2=100\;\mathrm г при температуре `t_1=-10^@"C"`. Сколько пара, имеющего температуру `t_2=100^@"C"`, необходимо впустить в калориметр, чтобы образовавшаяся вода имела температуру `40^@"C"`?

    Удельные теплоёмкости латуни, льда и воды c1=0,4·103  Дж/(кг·К)c_1=0,4\cdot10^{3\;}\;\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot\mathrm К)

    c2=2,1·103 Дж/(кг·К)c_2=2,1\cdot10^3\;\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot\mathrm К) ,

    c3=4,19·103 Дж/(кг·К)c_3=4,19\cdot10^3\;\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot\mathrm К) соответственно; удельная теплота парообразования воды `r=22,6*10^5  "Дж"//"кг"`;

    удельная теплота плавления льда λ=33,6·104 Дж/кг\lambda=33,6\cdot10^4\;\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}


    Решение

    При конденсации пара массой mm при `100^@"C"` (T2=373 КT_2=373\;\mathrm К) выделяется количество теплоты Q1=rmQ_1=rm. При охлаждении получившейся воды от T2=373 КT_2=373\;\mathrm К до θ=313 К\theta=313\;К `(40^@"C")` выделяется количество теплоты Q2=c3m(T2-θ).Q_2=c_3m(T_2-\theta).

    При нагревании льда от T1=263 КT_1=263\;\mathrm К `(-10^@"C")` до T0=273 КT_0=273\;\mathrm К `(0^@"C")` поглощается количество теплоты Q3=c2m2(T0-T1)Q_3=c_2m_2(T_0-T_1). При плавлении льда поглощается количество теплоты Q4=λm2Q_4=\lambda m_2. При нагревании получившейся воды от T0T_0 до θ\theta поглощается количество теплоты Q5=c3m2(θ-T0)Q_5=c_3m_2(\theta-T_0). Для нагревания калориметра от T1 T_1\; до θ\theta требуется количество теплоты Q6=c1m1(θ-T1)Q_6=c_1m_1(\theta-T_1). По закону сохранения энергии

    Q1+Q2=Q3+Q4+Q5+Q6Q_1+Q_2=Q_3+Q_4+Q_5+Q_6, или

    rm+c3m(T2-θ)=c2m2(T0-T1)+λm2+c3m2(θ-T0)+c1m1(θ-T1)rm+c_3m(T_2-\theta)=c_2m_2(T_0-T_1)+\lambda m_2+c_3m_2(\theta-T_0)+c_1m_1(\theta-T_1).

    Отсюда m=c2m2(T0-T1)+λm2+c3m2(θ-T0)+c1m1(θ-T1)r+c3(T2-θ)m=\dfrac{c_2m_2(T_0-T_1)+\lambda m_2+c_3m_2(\theta-T_0)+c_1m_1(\theta-T_1)}{r+c_3(T_2-\theta)}\approx

    22·10-3 кг=22 г\approx22\cdot10^{-3}\;\mathrm{кг}=22\;\mathrm г.







  • §7. Круговые процессы (циклы)

      

    Круговым процессом (или циклом)

    называется термодинамический процесс с телом, в результате совершения которого тело, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние.


    Если все процессы в  цикле  равновесные, то  цикл  считается равновесными. Его  можноизобразить графически, и получится замкнутая кривая. На рис. 7 показан график зависимости давления `P` от объёма `V` (диаграмма P-VP-V) для некоторого цикла `1–2–3–4–1`, совершаемого газом. На участке `4–1–2` газ расширяется  и совершает положительную работу `A_1`, численно равную  площади  фигуры V1412V2V_1412V_2. На  участке  `2–3–4`  газ сжимается и совершает отрицательную работу A2A_2, модуль которой равен площади фигуры V2234V1V_2234V_1. Полная работа газа за цикл A=A1+A2A=A_1+A_2, т. е. положительна  и равна  площади фигуры `1–2–3–4–1`,  изображающей цикл на диаграмме P-VP-V.

    Прямым циклом

    называется круговой процесс, в котором тело совершает положительную работу за цикл. Прямой равновесный цикл на диаграмме  P-VP-V изображается замкнутой кривой, которая обходится по часовой стрелке. Пример прямого цикла дан на рис. 7.

    Обратным циклом

    называется круговой процесс, в котором тело совершает отрицательную работу за цикл. На диаграмме P-VP-V замкнутая кривая равновесного обратного цикла обходится против часовой стрелки.

     В любом равновесном цикле работа за цикл равна по модулю площади фигуры, ограниченной кривой на диаграмме P-VP-V.

    В  круговом  процессе   тело  возвращается  в  исходное  состояние, т. е.  в  состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: U=0\triangle U=0. Так как по первому закону термодинамики для всего цикла Q=U+AQ=\triangle U+A, то Q=AQ=A. Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученной телом за цикл, равна работе тела за цикл.

    На некоторых участках прямого цикла тело получает от окружающих тел количество теплоты Q+Q^+ (Q+>0)(Q^+>0), а на некоторых отдаёт Q-Q^- т. е. получает отрицательное количество теплоты `«-Q^(-)»` `(Q^(-)>0)`. 

    За цикл тело совершает положительную работу `A`.

    Коэффициентом полезного действия прямого цикла называется величина η=AQ+\eta=\dfrac A{Q^+}

    Поскольку A=Q++(-Q-)A=Q^++(-Q^-), то

    η=Q+-Q-Q+=1-Q-Q+\eta=\dfrac{Q^+-Q^-}{Q^+}=1-\dfrac{Q^-}{Q^+}.                                                 (20)


    Для  обратного  цикла  коэффициент  полезного  действия  не  вводится.

  • Первый закон термодинамики

    Внутренняя энергия тела (термодинамической системы) может меняться при совершении работы и в процессе теплопередачи. Закон сохранения и превращения энергии, распространённый на тепловые явления, называется первым законом термодинамики (первым началом термодинамики) и записывается в виде


    Q=U+AQ=\triangle U+A.                                                                           (15)


    Здесь QQ – количество теплоты, сообщённое системе. QQ считается положительным, если система в процессе теплопередачи получает энергию, и отрицательным, если отдаёт энергию, U\triangle U – изменение внутренней энергии системы, AA – работа, совершаемая системой над окружающими телами. В зависимости от характера процесса QQ, U\triangle U и AA могут быть любого знака и даже нулевыми.


    Покажем, что для любого идеального газа (одноатомного, двухатомного, многоатомного) изменение внутренней энергии U\triangle U в любом процессе можно находить по формуле


    U=νcVT\triangle U=\nu c_V\triangle T.                                                               (16)


    Здесь QQ – изменение температуры в этом процессе, ν\nu – число молей газа, cVc_V – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.


    Доказательство

    Для доказательства проведём с газом процесс при постоянном объёме, изменив температуру от T1T_1 до T2T_2 (T=T2-T1)(\triangle T=T_2-T_1). Тогда количество теплоты Q=νcV·TQ=\nu c_V\cdot\triangle T, согласно определению теплоёмкости, а работа газа A=0A=0, т. к. объём `V="const"`.  По первому закону термодинамики Q=U+AQ=\triangle U+A, и поэтому νcVT=U\nu c_V\triangle T=\triangle U. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то в любом другом процессе, когда температура меняется от T1T_1 до T2T_2, изменение внутренней энергии находится по формуле, полученной в процессе с `V="const"`.


    У идеального газа при T=0T=0 значение внутренней энергии полагается равным нулю. Если считать ещё, что cVc_V не зависит от температуры, т. е. `c_V="const"`, то можно записать, что


    U=νcVTU=\nu c_VT                                                                                 (17)


    Найдём значение молярной теплоёмкости при постоянном объёме у одноатомного идеального газа. Поскольку U=νcVT\triangle U=\nu c_V\triangle T и U=32RνT\triangle U=\dfrac32R\nu\triangle T, то cV=32Rc_V=\dfrac32R. Интересно заметить, что молярная теплоёмкость при постоянном объёме у всех одноатомных  идеальных газов получилась одна и та же:


    cV=32Rc_V=\dfrac32R                                                                              (18)


    Оказывается, что молярные теплоёмкости при постоянном объёме у всех двухатомных идеальных газов равны 52R\dfrac52R, а у трёхатомных и многоатомных  (атомы у которых расположены не на одной прямой) – 3R3R. Удельные же теплоёмкости у всех одноатомных идеальных газов различные и зависят от молярной массы. Аналогично для двухатомных и многоатомных газов. Заметим, что указанные значения молярной теплоёмкости верны, если температура газа не слишком велика, и поэтому колебания атомов в молекуле не учитываются.


    Приведём полезную таблицу с выражениями для молярной теплоёмкости cVc_V и средней кинетической энергии `barE` поступательного и  вращательного движений молекулы у одноатомного, двухатомного и многоатомного идеального газа (в этой таблице kk – постоянная  Больцмана):


    Газ
    одноатомный двухатомный многоатомный
    `barE` `3/2kT` `5/2kT` `3kT`
    `c_V` `3/2R` `5/2R` `3R`


    В заключение выведем уравнение Роберта Майера

    cP=cV+Rc_P=c_V+R,                                                                                       (19)

    связывающее молярные теплоёмкости при постоянном давлении cPc_P и постоянном объёме cVc_V для любого идеального газа.

    Вывод

    Для вывода проведём изобарический процесс с  молями идеального газа, переведя газ из состояния с параметрами PP, V1V_1, T1T_1 в состояние с параметрами PP, V2V_2, T2T_2.  По первому закону термодинамики νcPT=νcVT+PV\nu c_P\triangle T=\nu c_V\triangle T+P\triangle V. Запишем уравнения состояния газа PV1=νRT1PV_1=\nu RT_1  и PV2=νRT2PV_2=\nu RT_2. Вычтя из одного уравнения другое и учтя, что V2-V1=VV_2-V_1=\triangle V и T2-T1=TT_2-T_1=\triangle T, получим PV=νRTP\triangle V=\nu R\triangle T. Таким образом, νcPT=νcVT+νRT\nu c_P\triangle T=\nu c_V\triangle T+\nu R\triangle T. Отсюда cP=cV+Rc_P=c_V+R.


    задача 6

    Теплоизолированный сосуд разделён на две части перегородкой. В одной части находится ν1\nu_1 молей молекулярного кислорода (O2{\mathrm O}_2) при температуре T1T_1, а в другом – ν2\nu_2 молей азота (N2N_2) при температуре T2T_2. Какая температура установится в смеси газов после того, как в перегородке появится отверстие?

    Решение

    Рассмотрим систему из двух газов. Оба газа двухатомные. У них одинаковая молярная теплоёмкость при постоянном объёме cVc_V. Система из двух газов не получает тепла от других тел и работы над телами, не входящими в систему, не совершает. Поэтому внутренняя энергия системы сохраняется:

    ν1cVT1+ν2cVT2=ν1cvT+ν2cVT\nu_1c_VT_1+\nu_2c_VT_2=\nu_1c_vT+\nu_2c_VT

                                        

    Отсюда температура смеси  

    T=ν1T1+ν2T2ν1+ν2T=\dfrac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}.


    задача 7

    Идеальный газ массой m=1 кгm=1\;\mathrm{кг} находится под давлением P=1,5·105 ПаP=1,5\cdot10^5\;\mathrm{Па}. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теплоёмкость газа в этом процессе, если его температура повысилась на T= 2 К\triangle T=\;2\;\mathrm К, а объём увеличился на V=0,002 м3\triangle V=0,002\;\mathrm м^3? Удельная теплоёмкость этого газа при постоянном объёме cудV=700 Дж/(кг·К)c_{\mathrm{уд}V}=700\;\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot\mathrm К). Предполагается, что изменения параметров газа в результате проведения процесса малы.

    Решение

    Удельная  теплоёмкость в данном  процессе

    cуд=QmTc_\mathrm{уд}=\dfrac{\triangle Q}{m\triangle T}

    По первому закону термодинамики Q=mcудVT+PV\triangle Q=mc_{удV}\triangle T+P\triangle V. Итак,

    cуд=cудV+PVmT=850 Дж/(кг·К)c_\mathrm{уд}=c_{\mathrm{уд}V}+\dfrac{P\triangle V}{m\triangle T}=850\;\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot\mathrm К).




    задача 8

    В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха. На его нагревание при постоянном давлении затрачено количество теплоты Q=10 кДжQ=10\;\mathrm{кДж}. Найти работу, совершённую при этом газом. Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении cудP=103 Дж/(кг·К)c_{\mathrm{уд}P}=10^3\;\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot\mathrm К)ю Молярная масса воздуха μ=29 г/моль\mu=29\;\mathrm г/\mathrm{моль}.

    Решение

    1 способ. Пусть газ перевели из состояния с параметрами PP, V1V_1, T1T_1 в состояние с параметрами PP, V2V_2, T2T_2. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для обоих состояний и вычтем из одного уравнения другое. Учитывая, что V2-V1=VV_2-V_1=\triangle VT2-T1=TT_2-T_1=\triangle T, имеем PV=mμRTP\triangle V=\dfrac m\mu R\triangle T. Но PV=AP\triangle V=A – работа газа. Поэтому A=mμRTA=\dfrac m\mu R\triangle T. При изобарическом процессе Q=mcудPTQ=mc_{\mathrm{уд}P}\triangle T.  Окончательно,

    A=RQμcудP2,74·103  Дж=2,74 кДжA=\dfrac{RQ}{\mu c_{\mathrm{уд}P}}\approx2,74\cdot10^{3\;}\;\mathrm{Дж}=2,74\;\mathrm{кДж}

    2 способ. Согласно уравнению Р. Майера удельные теплоёмкости при постоянном давлениии cудPc_{\mathrm{уд}P} и при постоянном объёме cудVc_{\mathrm{уд}V} связаны соотношением cудV=cудP-Rμc_{\mathrm{уд}V}=c_{\mathrm{уд}P}-\dfrac R\mu.  По первому закону термодинамики Q=mcудVT+AQ=mc_{\mathrm{уд}V}\triangle T+A. Подставляя в последнее равенство m=QcудTm=\dfrac Q{c_\mathrm{уд}\triangle T} и выражение для  cудVc_{\mathrm{уд}V} находим `A`.


  • §6. Количество теплоты. Теплоёмкость


    Теплообмен

    Энергия, передаваемая телу окружающей средой (другим телом) без совершения работы, называется количеством теплоты. Такой процесс передачи энергии называется теплообменом.

    Сообщим телу (термодинамической системе) в некотором процессе небольшое количество теплоты Q\triangle Q. Будем считать Q>0\triangle Q>0, если тело получает теплоту, и Q<0\triangle Q<0, если отдаёт теплоту. Температура тела при этом изменяется на величину T\triangle T. При повышении температуры T>0\triangle T>0, при понижении температуры T<0\triangle T<0Теплоёмкостью тела в данном процессе называется величина

      C=QTC=\dfrac{\triangle Q}{\triangle T}                                                                 (12)

    Из определения теплоёмкости не следует, что она должна оставаться постоянной в данном процессе. Теплоёмкость может изменяться в течение процесса.      



    Ясно, что теплоёмкость одного и того же тела может быть положительной, отрицательной, нулевой и даже бесконечной в зависимости от характера процесса. Приведём примеры. Пусть есть газ в цилиндре с поршнем (рис. 6).  Осуществим  с  этим  газом четыре  различных процесса.

    Первый процесс

    Будем подогревать газ, закрепив поршень. В таком процессе, когда объём газа постоянен, Q>0\triangle Q>0 и T>0\triangle T>0. Следовательно, C=Q/T>0C=\triangle Q/\triangle T>0

    Второй процесс

    Передвигаем поршень влево, уменьшая объём газа. Газ будет нагреваться, т. е. T>0\triangle T>0. Дадим возможность газу отдавать тепло через стенки цилиндра окружающей среде так, чтобы температура газа всё же повышалась (поместим цилиндр в более холодную среду).

    Тогда количество теплоты, сообщённое газу, Q<0\triangle Q<0 и теплоёмкость газа в таком процессе отрицательна.

    Третий процесс

    Процесс сжатия газа проведём адиабатически, заключив цилиндр в теплонепроницаемую оболочку и теплоизолировав поверхность поршня от газа. В таком процессе Q=0\triangle Q=0T>0\triangle T>0 и теплоёмкость газа равна нулю.

    Четвёртый процесс

    Будем сообщать газу теплоту, двигая при этом поршень вправо так, чтобы температура оставалась постоянной (изотермический процесс). Тогда  и T=0\triangle T=0 и C=C=\infty.

    Введём понятия удельной и молярной теплоёмкостей.

    Удельная теплоёмкость – теплоёмкость единицы массы тела:

    cуд=QmTc_\mathrm{уд}=\dfrac{\triangle Q}{m\triangle T}.                                                       (13)

    Молярная теплоёмкость – теплоёмкость одного моля тела:

    cμ=QνTc_\mu=\dfrac{\triangle Q}{\nu\triangle T}.                                                  (14)

    Здесь ν\nu – число молей тела, mm – масса тела.

    Очевидно, что знаки удельной и молярной теплоёмкостей совпадают со знаком теплоёмкости тела в данном процессе. Легко показать, что  

    C=mcуд=νсμC=mc_\mathrm{уд}=\nu с_\mucμ=μcудc_\mu=\mu c_\mathrm{уд}.

  • §4. Работа в термодинамике

    Работа, совершаемая термодинамической системой (телом) над окружающими телами, равна по модулю и противоположна по знаку работе, совершаемой окружающими телами над системой.

    При совершении работы часто встречается случай, когда объём тела меняется. Пусть тело (обычно – газ) находится под давлением PP и при произвольном изменении формы изменяет свой объём на малую величину V\triangle V. Работа, совершаемая телом над окружающими телами, равна

    `DeltaA=PDeltaV`.                                                                   (11)


    При положительном V\triangle V (увеличение объёма газа) работа положительна, при V<0\triangle V<0 – отрицательна. Вывод этого выражения для работы дан в школьном учебнике для частного случая расширения газа, находящегося в цилиндре под поршнем при постоянном давлении.

    Любой равновесный процесс, в котором давление будет меняться по некоторому закону от объёма, можно разбить на последовательность элементарных процессов с достаточно малым изменением объёма в каждом процессе, вычислить элементарные работы во всех процессах и затем все их сложить. В результате получится работа тела (газа) в процессе с переменным давлением. В координатах PP, VV абсолютная величина этой работы равна площади под кривой, изображающей зависимость PP от VV при переходе из состояния `1` в состояние `2` (рис. 4). Математически работа выражается интегралом:   

    `A=int_(V_1)^(V_2) P(V)dV`.

    В изобарном процессе, когда давление`P="const"`, работа тела над окружающими телами A=PVA=P\triangle V, где V\triangle V изменение объёма тела за весь процесс, т. е. V\triangle V уже не обязательно мало.


    Задача 5

    Газ переходит из состояния с объёмом V1V_1 и давлением P1P_1 в состояние с объёмом V2V_2 и давлением P2P_2 в процессе, при котором его давление PP зависит от объёма VV линейно (рис. 5). Найти работу газа (над окружающими телами).


    Решение

    Работа газа равна заштрихованной на рис. 5 площади трапеции:

    A=12(P1+P2)(V2-V1)A=\dfrac12(P_1+P_2)(V_2-V_1).


  • §3. Внутренняя энергия

    Возьмём макроскопическое тело и перейдём в систему отсчёта, связанную с этим телом. В состав внутренней энергии тела входят кинетическая энергия поступательного движения и вращательного движения молекул, энергия колебательного движения атомов в молекулах, потенциальная энергия взаимодействия молекул друг с другом, энергия электронов в атомах, внутриядерная энергия и др.

    Будем рассматривать явления, в которых молекулы не изменяют своего строения, а температура ещё не так велика, чтобы была необходимость учитывать энергию колебаний атомов в молекуле. При таких явлениях изменение внутренней энергии тела происходит только за счёт изменения кинетической энергии молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. Для общего баланса энергии имеет значение не сама внутренняя энергия, а её изменение. Поэтому под внутренней энергией макроскопического тела можно подразумевать только сумму кинетической энергии теплового движения всех молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.

    Внутренняя энергия есть функция состояния тела, и определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние термодинамического равновесия тела.

    Потенциальная энергия взаимодействия молекул идеального газа принимается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа состоит только из кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул и зависит только от температуры. Внутренняя энергия идеального газа от объёма газа не зависит, поскольку расстояние между молекулами не влияет на внутреннюю энергию.

    Потенциальная энергия взаимодействия молекул реальных газов, жидкостей и твёрдых тел зависит от расстояния между молекулами. В этом случае внутренняя энергия зависит не только от температуры, но и от объёма.

    Найдём выражения для внутренней энергии одноатомного идеального газа. Средняя кинетическая энергия одной молекулы этого газа даётся выражением (2). Поскольку в газе массой `m` и молярной массой `mu` содержится ν=mμ\nu=\dfrac m\mu молей и mμNА\dfrac m\mu N_А молекул, то сумма кинетической энергии всех молекул, содержащихся в массе `m` газа, равна

    mμNА·32kT=32mμRT\dfrac m\mu N_А\cdot\dfrac32kT=\dfrac32\dfrac m\mu RT

    где R=kNАR=kN_А – универсальная газовая постоянная.

    Итак, внутренняя энергия одноатомного идеального газа

    U=32mμRT=32νRTU=\dfrac32\dfrac m\mu RT=\dfrac32\nu RT

    Анализ этой формулы подтверждает высказанное выше утверждение, что внутренняя энергия некоторой массы конкретного идеального газа зависит только от температуры.

  • §1. Основы молекулярно-кинетической теории

    Под идеальным газом понимают газ, состоящий из молекул, удовлетворяющих двум условиям:

    1) размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними;

    2) силы притяжения и отталкивания между молекулами проявляются только на расстояниях между ними, сравнимых с размерами молекул.

    Молекулы идеального газа могут состоять из одного атома, двух и большего число атомов.

    Для простейшей модели одноатомного идеального газа, представляющей собой совокупность маленьких твёрдых шариков, упруго соударяющихся друг с другом и со стенками сосуда, можно вывести, используя законы механики Ньютона,                                                                       

    основное уравнение молекулярно-кинетической  теории идеального газа: 

    `P=2/3n barE`.                                                                  (1)   

    Здесь PP – давление газа, nn – концентрация молекул (число молекул в единице объёма),  `barE` - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы (сумма кинетической энергии поступательного движения всех молекул в сосуде, делённая на число молекул в сосуде). Вывод этого уравнения дан в школьном учебнике.

    Уравнение (1) оказывается справедливым и для многоатомного идеального газа, молекулы которого могут вращаться и обладать, поэтому, кинетической энергией вращения. Полная кинетическая энергия много-атомной молекулы складывается из кинетической энергии поступательного движения E=m0v22\dfrac{E=m_0v^2}2 (m0m_0 - масса молекулы, vv - скорость центра масс молекулы) и кинетической энергии вращения. В случае многоатомного идеального газа в (1) под `barE` подразумевается только средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы: E¯=m0v2¯2\dfrac{\overline E=m_0\overline{v^2}}2  где v2¯\overline{v^2} - среднее значение квадрата скорости молекулы.

    Пусть есть смесь нескольких идеальных газов. Для каждого газа можно записать уравнение Pi=23niE¯iP_i=\dfrac23n_i{\overline E}_i, где nin_i концентрация молекул - ii-го газа, PiP_i - парциальное давление этого газа (давление при мысленном удалении из сосуда молекул других газов). Поскольку давление на стенку сосуда обусловлено ударами о неё молекул, то общее давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов:

    закон Дальтона

    P=iPiP=\sum_iP_i.

    Температуру можно ввести разными способами. Не останавливаясь на них, отметим, что у идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул `barE` связана с температурой TT соотношением:

    E¯=32kT,\overline E=\dfrac32kT,                                                                (2)

    где k=1,38·10-23 k=1,38\cdot10^{-23\;} Дж/К - постоянная Больцмана. При этом мы считаем, что движение молекул описывается законами механики Ньютона. В системе СИ температурас TT измеряется в градусах Кельвина (К). В быту температуру часто измеряют в градусах Цельсия  (C^\circ\mathrm C). Температуры, измеряемые по шкале Кельвина TT и по шкале Цельсия tt связаны численно соотношением: T=t+273T=t+273.

    Итак, температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул: m0v2¯/2=32kTm_0\overline{v^2}/2=\frac32kT.  Величина

    vкв=v2¯=3kTm0v_\mathrm{кв}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m_0}}                                                (3)

    называется средней квадратичной скоростью. Ясно, что vкв=v2¯v_\mathrm{кв}=\overline{v^2}. Она характеризует скорость хаотического движения молекул, называемого ещё тепловым движением. Интересно заметить, что средняя квадратичная скорость молекул идеального газа почти не отличается от средней арифметической скорости молекул vсрv_\mathrm{ср} (среднее значение модуля скорости): vкв1,085vсрv_\mathrm{кв}\approx1,085v_\mathrm{ср}. Поэтому под средней скоростью теплового движения молекул идеального газа можно понимать любую из этих скоростей.

  • §2. Уравнение состояния идеального газа

    Связь между давлением, концентрацией и температурой для идеального газа можно получить, исключив `barE` из равенств (1) и (2):

    `P=nkT`.                                                                  (4)

    Поскольку n=NVn=\dfrac NV (NN – число молекул в сосуде объёмом VV), то равенство (4) принимает вид:

    PV=NkTPV=NkT.                                                                                    (5)

    Пусть mm – масса газа в сосуде, μ\mu – молярная масса данного газа, тогда ν=mμ\nu=\dfrac m\mu  есть число молей газа в сосуде. Число молекул NN в сосуде, число молей газа ν\nu и постоянная Авогадро NАN_А связаны соотношением N=νNАN=\nu N_А. Подставляя это выражение для NN в (5), получаем: PV=νNAkTPV=\nu N_AkT. Произведение постоянной Авогадро NА=6,02·1023 N_А=6,02\cdot10^{23\;} моль-1{}^{-1} на постоянную Больцмана kk называют универсальной газовой постоянной: R=NA·k8,31R=N_A\cdot k\approx8,31  Дж/(моль·\cdotК)  Таким образом,

    PV=νRTPV=\nu RT.                                                                           (6)

    Это уравнение, связывающее давление PP, объём  VV, температуру TT  (по шкале Кельвина) и число молей идеального газа ν\nu, в записи называется уравнением Менделеева – Клапейрона.

    уравнение Менделеева – Клапейрона

    PV=mμRTPV=\dfrac m\mu RT                                                                (7)

    Из равенства (7) легко получить зависимость между давлением PP, плотностью ρ\rho (ρ=mV)(\rho=\dfrac mV)  и температурой TT идеального газа

    P=ρμRTP=\dfrac\rho\mu RT.                                                                  (8) 

    Каждое из уравнений (5), (6) и (7), связывающих три макроскопических параметра газа PP, VV и TT  и  называется уравнением состояния идеального газа. Здесь, конечно, речь идёт только о газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, которое означает, что все макроскопические параметры не изменяются со временем.

    Несколько слов о равновесных процессах. Если процесс с идеальным газом (или любой термодинамической системой) идёт достаточно медленно, то давление и температура газа во всём объёме газа успевают выровняться и принимают в каждый момент времени одинаковые по всему объёму значения. Это означает, что газ проходит через последовательность равновесных (почти равновесных) состояний. Такой процесс с газом называется равновесным. Другое название равновесного процесса – квазистатический. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью и поэтому неравновесны. Но в ряде случае неравновесностью можно пренебречь. В равновесном процессе в каждый момент времени температура TT,  давление PP и объём VV газа имеют вполне определённые значения, т. е. существует зависимость между PP и TT, VV и TT, PP и TT. Это означает, что равновесный процесс можно изображать в виде графиков этих зависимостей. Неравновесный процесс изобразить графически невозможно.

    Напомним ещё раз, что соотношения (4) – (8) справедливы только для идеальных газов. В смеси нескольких идеальных газов уравнения вида (4) – (8) справедливы для каждого газа в отдельности, причём объём VV и температура TT у всех газов одинаковы, а парциальные давления отдельных газов и общее давление в смеси связаны законом Дальтона.

    Покажем, что для смеси идеальных газов общее давление PP, объём VV, температура TT и суммарное число молей  связаны равенством

    PV=νRTPV=\nu RT                                                                                 (9)

    которое внешне совпадает с равенством (6) для одного газа.

    Запишем уравнение состояния для каждого сорта газа:

    P1V=ν1RTP_1V=\nu_1RT,

    P2V=ν2RTP_2V=\nu_2RT,

    \dots\dots\dots

    Сложив все уравнения и учтя, что ν=ν1+ν2+\nu=\nu_1+\nu_2+\cdots и P=P1+P2+P=P_1+P_2+\cdots
    (по закону Дальтона), получим (9).

    Для смеси идеальных газов можно записать уравнение

    PV=mμсрRTPV=\dfrac m{\mu_\mathrm{ср}}RT                                                          (10)

    аналогичное уравнению (7) для одного газа. Здесь PP – давление в смеси, VV – объём смеси, m=m1+m2+m=m_1+m_2+\cdots – масса смеси, TT – температура смеси,   μср=mν\mu_\mathrm{ср}=\dfrac m\nuсредняя молярная масса смеси, состоящей из ν=ν1+ν2+\nu=\nu_1+\nu_2+\cdots молей.

    Действительно, равенство (9) для смеси идеальных газов можно записать в виде PV=mm/νRTPV=\dfrac m{\displaystyle m/\nu}RT Учитывая, что mν\dfrac m\nu есть μср\mu_\mathrm{ср} получим (10). Например, средняя молярная масса атмосферного воздуха, в котором азот (μN2=28 г/моль)(\mu_{N_2}=28\;\mathrm г/\mathrm{моль})  преобладает над кислородом (μO2=32 г/моль)(\mu_{O_2}=32\;\mathrm г/\mathrm{моль}) равна `29` г/моль

    Поведение реальных газов при достаточно низких температурах и больших плотностях газов уже плохо описывается моделью идеального газа.

    Задача 1

     В  сосуде объёмом `4` л находится `6` г газа под давлением  `80` кПа. Оценить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

    Решение

     В задаче V=4 л=4·10-3 м3V=4\;\mathrm л=4\cdot10^{-3}\;\mathrm м^3m=6 г =6·10-3 кгm=6\;\mathrm г\;=6\cdot10^{-3}\;\mathrm{кг},  P=80 кПа=8·104 ПаP=80\;\mathrm{кПа}=8\cdot10^4\;\mathrm{Па}.  Запишем уравнение состояния газа `PV=NkT`.

    Если через m0m_0 обозначить массу молекулы, то N=mm0N=\dfrac m{m_0}m0vкв22=32kT\dfrac{m_0v_\mathrm{кв}^2}2=\dfrac32kT.  Исключая из записанных уравнений  NN и TT находим среднюю квадратичную скорость

    vкв=3PVm=400 м/сv_\mathrm{кв}=\sqrt{\dfrac{3PV}m}=400\;\mathrm м/\mathrm с.

    задача 2

    Идеальный газ изотермически расширяют, затем изохорически нагревают и изобарически возвращают в исходное состояние. Нарисовать графики этого равновесного процесса в координатах  P,VP,V; V,TV,T; P,TP,T.

    Решение

    Построим график в координатах P,VP,V. В процессе изотермического расширения из состояния `1` в состояние `2` зависимость давления газа PP от объёма VV имеет вид: P=νRTVP=\dfrac{\nu RT}V,  что следует из уравнения состояния идеального газа. Поскольку температура TT постоянна, то P=constVP=\dfrac{\mathrm{const}}V, т. е. изотерма `1–2` является гиперболой (рис. 1). В дальнейшем при изохорическом нагревании `V="const"` и зависимость PP от VV изображается   в  координатах   отрезком  вертикальной  прямой `2-3`. 

    Изобарический процесс изображается отрезком горизонтальной прямой `3–1`. Графики этого процесса в других координатах строятся аналогично и приведены на рис 2 и 3.

    задача 3

     В сосуде находится смесь `10` г углекислого газа и `15` г азота. Найти плотность этой смеси при температуре `27^@"C"` и давлении `150` кПа  Газы считать идеальными.


    Решение

     m1=10 г=10-2 кгm_1=10\;\mathrm г=10^{-2}\;\mathrm{кг} – масса  углекислого газа,  m2=15 г =15·10-3 кгm_2=15\;\mathrm г\;=15\cdot10^{-3}\;\mathrm{кг}  –  масса азота;

    μ1=44гмоль=44·10-3 кгмоль\mu_1=44\dfrac{\mathrm г}{\mathrm{моль}}=44\cdot10^{-3}\;\dfrac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}},

    μ2=28 гмоль=28·10-3кгмоль\mu_2=28\;\dfrac{\mathrm г}{\mathrm{моль}}=28\cdot10^{-3}\dfrac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}} – молярные массы углекислого газа и азота; температура и давление T=300 КT=300\;\mathrm К, P=1,5·105 ПаP=1,5\cdot10^5\;\mathrm{Па}.   

    Запишем уравнение состояния для каждого газа:  P1V=m1μ1RTP_1V=\dfrac{m_1}{\mu_1}RTP2V=m2μ2RTP_2V=\dfrac{m_2}{\mu_2}RT

    Сложив эти уравнения и учтя, что по закону Дальтона  P=P1+P2P=P_1+P_2, получим 

    PV=(m1μ1+m2μ2)RTPV=(\dfrac{m_1}{\mu_1}+\dfrac{m_2}{\mu_2})RT.

    Следует отметить, что последнее уравнение можно было бы записать и сразу, если воспользоваться готовым результатом (9).

    Выразим из полученного уравнения объём смеси VV и подставим его в выражение для плотности смеси ρ=(m1+m2)/V\rho=(m_1+m_2)/V. Окончательно,

    ρ=(m1+m2)P(m1μ1+m2μ2)RT1,97 кг/м32,0 кг/м3\rho=\dfrac{(m_1+m_2)P}{({\displaystyle\frac{m_1}{\mu_1}}+{\displaystyle\frac{m_2}{\mu_2}})RT}\approx1,97\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3\approx2,0\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3.


    задача 4

    При комнатной температуре четырёхокись азота частично диссоциирует на двуокись азота: N2O42NO2{\mathrm N}_2{\mathrm O}_4\rightarrow2{\mathrm{NO}}_2. В откачанный сосуд объёмом V= 250 см3V=\;250\;\mathrm{см}^3 вводится m=0,92 гm=0,92\;г жидкой четырёх окиси азота. Когда температура в сосуде увеличивается до `t=27^@"C"`, жидкость полностью испаряется, а давление становится равным P=129 кПаP=129\;\mathrm{кПа}. Какая часть четырёх окиси азота при этом диссоциирует?

    Решение

    Пусть диссоциирует масса m1m_1. Тогда парциальное давление двуокиси азота P1=m1μ1VRTP_1=\dfrac{m_1}{\mu_1V}RT, где μ1=46·10-3 кг/моль\mu_1=46\cdot10^{-3}\;\mathrm{кг}/\mathrm{моль}.  Парциальное давление четырёх окиси азота P2=m-m1μ2VRTP_2=\dfrac{m-m_1}{\mu_2V}RT, где μ2=92·10-3 кг/моль\mu_2=92\cdot10^{-3}\;\mathrm{кг}/\mathrm{моль}.

    По закону Дальтона P=P1+P2P=P_1+P_2. Подставив в последнее равенство выражения для P1P_1 и P2P_2, получаем:

    m1=μ1(PVRTμ2-m)μ2-μ10,27 гm_1=\dfrac{\mu_1({\displaystyle\frac{PV}{RT}}\mu_2-m)}{\mu_2-\mu_1}\approx0,27\;\mathrm г.

  • § 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

    Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

    Пример 9

    Решите уравнение: `x^3 +4x^2 - 2x-3=0`.

    Решение

    Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x-1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x=1`. Выполнив деление, получаем:

     `x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr` 

    x-1=0,x2+5x+3=0,x=1,x=-5±132.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=0,\\x^2+5x+3=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}2.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.

    Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

    Теорема

    Если несократимая дробь `p//q` (`p` - целое, `q` - натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.

    Доказательство

    Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что

    `a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ ... +a_2 (p/q)^2 +`

    `+a_1(p/q)+0=0`.

    Умножим обе части на `q^n`, получаем:

    `a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+`

    `+ a_0 q^n =0`.

    Перенесём  в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

    `p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+...+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=`

    `=-a_0q^n`.                                           (14)

    Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая  часть  также  делится  на  `p`.  Числа `p` и `q` взаимно  просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

    Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

    Замечание

    Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

    Пример 10

    Решите уравнение

    а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`;                                                                               (15)

    б)  `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`.                                                                                (16)

    Решение

    а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` - корень. Тогда  `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители: 

    `539=7^2*11`.

    Поэтому `p` может принимать значения:

     `+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`. 

    Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

    `(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.

    Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

    `(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.

                                 

    Ответ

    `x=-7`; `x=-1`; `x=11`.

    ЗамечаниЯ

    1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

    2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

    б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in{+-1;+-2;+-5;+-10}`; `qin{1;2;3;6}`.Возможные варианты для `x_0`:

    `+-1,+-2,+-5,+-10,+-1/2,+-5/2,+-1/3,+-2/3,+-5/3,+-10/3,+-1/6,``+-5/6`.

    Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

    `(2x-5)(3x^2-10x^2-11x-2)=0`.

    Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` - корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

    `(2x-5)(3x+2)(x^2-4x-1)=0`.

    Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.       

    Ответ

    `x=5/2`; `x=-2/3`; `x=2+-sqrt5`.

    К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни.     Тогда приходится прибегать к другим методам.      

    Пример 11

    Разложите на множители:

    а)  `x^4+4`;

    б)* `x^3-3x^2-3x-1`;

    в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;  

    г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.

    Решение

    а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

    `=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.

    Замечание

    Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

    `a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=`

    `=(a^2-sqrt2ab+b^2)(a^2+sqrt2ab+b^2)`.

     б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=`

    =23x3-x+13==\left(\sqrt[3]2x\right)^3-\left(x+1\right)^3=

    =23x-x-143x2+23xx+1+x+12=\left(\sqrt[3]2x-x-1\right)\left(\sqrt[3]4x^2+\sqrt[3]2x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\right).


    в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

    `x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=`

    `=x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.

    Обозначим   `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках  принимает вид:

    `t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=`

    `=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.      

    В итоге получаем:

    `x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=`

    `=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.

    Замечание

    Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

    г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

    `x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.

    Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

    Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

    `x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`.                     (17)

    Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

    `x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`

    `=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`.                          (18)

    Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

                                   a+c=-4,b+ac+d=-20,ad+bc=13,bd=-2.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\b+ac+d=-20,\\ad+bc=13,\\bd=-2.\end{array}\right.                                          (19)

    Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

    Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

    1) `b=1` и `d=-2`;   

    2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

    1) a+c=-4,ac=-19,-2a+c=13.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ac=-19,\\-2a+c=13.\end{array}\right.

    Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

    2) a+c=-4,ac=-21,-a+2c=13.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ac=-21,\\-a+2c=13.\end{array}\right.

    Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

    `x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.

    Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

    Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

    Пример 12

    Решите уравнение:

    а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;    

    б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;

    в)  `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;

    г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;

    д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;

    е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.

    Решение

    а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда t=1,t=-2.\left[\begin{array}{l}t=1,\\t=-2.\end{array}\right.

    Если `t=-2`, то решений нет.

    Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`x=3,x=5.\left[\begin{array}{l}x=3,\\x=5.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=3`; `x=5`.

    б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим

    `(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`

    `+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`

    `ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.

    Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.        

    Ответ

    `x=2`, `x=4`.

    Замечание

    Уравнения вида `(x-a)^4+(x-b)^4=c` с помощью замены `x-((a+b))/2=t` сводятся к биквадратным.

    в) Обозначим `x^2+2x+1=t`. Тогда `1/(t-4)+18/(t+1)=18/tiff` 

    t2+t+18t2-4t=18t2-3t-4tt+1t-40\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2+t+18\left(t^2-4t\right)=18\left(t^2-3t-4\right)\\t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    t2-17t+72=0,tt+1t-40t=8,t=9.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-17t+72=0,\\t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=8,\\t=9.\end{array}\right. 

    Теперь найдём `x:`

    x+12=8,x+12=9x+1=±22,x+1=±3\left[\begin{array}{l}\left(x+1\right)^2=8,\\\left(x+1\right)^2=9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+1=\pm2\sqrt2,\\x+1=\pm3\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x=-1-22,x=-1+22,x=2,x=-4.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1-2\sqrt2,\\x=-1+2\sqrt2,\\x=2,\\x=-4.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=-1+-2sqrt2`;  `x=2`;  `x=-4`.

    г) Перемножим первую скобку с третьей, а вторую с четвёртой (убедитесь сами, что только такая группировка сомножителей помогает свести уравнение к квадратному).

    `((x-2)(x+5))*((x-4)(x+7))=360iff`

    `iff(x^2+3x-10)(x^2+3x-28)=360`.

    Обозначим `x^2+3x-19=t`. Тогда уравнение принимает вид:

    `(t+9)(t-9)=360ifft^2=441ifft=+-21`,

    откуда

    x2+3x-19=21,x2+3x-19=-21x2+3x-40=0,x2+3x+2=0x=5,x=-8,x=-1,x=-2.\left[\begin{array}{l}x^2+3x-19=21,\\x^2+3x-19=-21\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2+3x-40=0,\\x^2+3x+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=5,\\x=-8,\\x=-1,\\x=-2.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=-8`; `x=-2`; `x=-1`; `x=5`.

    д) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на `x` (`x=0` не является решением уравнения):

    `4/(4x-8+7/x)+3/(4x-10+7/x)=1`.  Обозначим `4x+7/x-8=t`. Тогда

    4t+3t-2=14t-2+3t=t2-2t,tt-20\dfrac4t+\dfrac3{t-2}=1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4\left(t-2\right)+3t=t^2-2t,\\t\left(t-2\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    t2-9t+8=0,tt-20t=1,t=8.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-9t+8=0,\\t\left(t-2\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1,\\t=8.\end{array}\right.

    Теперь найдём `x:`   4x+7x-8=1,4x+7x-8=84x2-9x+7=0,4x2-16x+7=0.\left[\begin{array}{l}4x+\dfrac7x-8=1,\\4x+\dfrac7x-8=8\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}4x^2-9x+7=0,\\4x^2-16x+7=0.\end{array}\right.

    Уравнение `4x^2-9x+7=0` не имеет решений, а у уравнения `4x^2-16x+7=0` корнями являются числа  `x=7/2` и `x=1/2`.

    Ответ

    `x=1/2`; `x=7/2`.

    е) `x!=0` (убеждаемся подстановкой), поэтому при делении обеих частей уравнения на `x^2` получим уравнение, равносильное исходному:

    `25x^2-150x+94+150*1/x+25*1/x^2=0iff`

    `iff(25x^2+25*1/x^2)-(150x-150*1/x)+94=0iff`

    `iff25(x^2+1/x^2)-150(x-1/x)+94=0`.

    Обозначим `x-1/x=t`. Тогда `t^2=(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2`, откуда `x^2+1/x^2=t^2+2`. Подставляем и решаем уравнение относительно `t:`

    `25(t^2+2)-150t+94=0iff25t^2-150t+144=0iff`

    `iff5t^2-30t+(144)/5=0`.

    Коэффициент при `t` чётный; по формуле четверти дискриминанта:

    `D/4=15^2-5*(144)/5=225-144=81`; `t_1=(15+9)/5=24/5`; `t_2+(15-9)/5=6/5`. 

    Теперь найдём `x:`

    x-1x=245,x-1x=655x2-24x-5=0,5x2-6x-5=0x=-15;x=5;x=3±345.\left[\begin{array}{l}x-\dfrac1x=\dfrac{24}5,\\x-\dfrac1x=\dfrac65\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5x^2-24x-5=0,\\5x^2-6x-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac15;\\x=5;\\x=\dfrac{3\pm\sqrt{34}}5.\end{array}\right.

     

    Ответ

    `5`; `-1/5`; `(3+-sqrt(34))/5`.

    Замечания

    1) Уравнения вида `ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0` называются возвратными. Для их решения делят обе части уравнения на `x^2` и вводят замену  `x+-1/x=t`.

    2) Некоторые другие уравнения четвёртой степени решаются с помощью замены `ax+b/x=t`. (См. пример 11в).


  • § 2. Квадратный трёхчлен. Квадратные уравнения. Теорема Виета

    Квадратным называют уравнение

    ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,                                                                       (3)

    где a0a \neq 0.

    Если разделить обе части уравнения (3) на aa (это можно сделать, так как a0a \neq 0) и обозначить коэффициенты p=b/a p = b/a и q=c/aq = c/a, то получим уравнение

    x2+px+q=0x^2+px+q = 0                                                                            (4)

    называемое приведённым квадратным уравнением.

    Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трёхчленом. Корни уравнения называют также корнями трёхчлена.

    Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ её получения. Преобразуем левую часть (3):

     ax2+bx+c=ax2+bax+ca  =ax2+2·b2a·x+ca=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)\;\;=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}\cdot x+\frac ca\right)=

                   =ax2+2·b2ax+b2a2-b2a2+ca=ax+b2a2-b2-4ac4a2=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}x+\left(\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2+\frac ca\right)=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right).     (5)

    Выражение b2-4acb^2 - 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой DD. С учётом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:

      x+b2a2=D4a2\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{D}{4a^2}                                                                     (6)

    Из (6) при D0D \geq 0 получаем x1=-b2a+D2ax_1 = -\dfrac{b}{2a}+\dfrac {\sqrt D }{2a};   x2=-b2a-D2ax_2 = -\dfrac{b}{2a}-\dfrac {\sqrt D }{2a}.

    Эти формулы можно объединить одной записью

                                                               x1,2=-b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}                                                                         (7)

    Обратим внимание, что при D=0D = 0 выходит, что x1=x2x_1 = x_2. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности `2`.

    Если в уравнении (3) коэффициент bb имеет вид b=2kb = 2k (например, если bb - чётное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на `2` числителя и знаменателя:

    x1,2=-b±b2-4ac2a=-2k±4k2-4ac2a=-k±k2-acax_{1,2} = \dfrac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}       (7')

    Например, корни уравнения 81x2-42x+5=081x^2 - 42x + 5 = 0 проще найти по формулам (7'), чем (7). Здесь b=-42=2(-21)b = - 42 = 2(-21), поэтому

                    x1,2=21±212-81·581=21±9(72-9·5)81= 21±3481=7±227x_{1,2} = \dfrac {21 \pm \sqrt{21^2-81 \cdot 5}}{81} = \dfrac{21 \pm \sqrt{9(7^2 - 9 \cdot 5)}}{81} = \dfrac {21 \pm 3\sqrt{4}}{81} = \dfrac {7 \pm 2}{27},

                                                                          x1=527,  x2=13x_1 = \dfrac{5}{27},   x_2 = \dfrac 1 3.

    Если дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, то выкладки (5) можно продолжить:

    `a((x+ b/(2a))^2 - D/(4a^2) ) = a((x+ b/(2a) )^2 - ((sqrtD)/(2a))^2)=a(x+b/(2a) - (sqrtD)/(2a))(x+b/(2a) + (sqrtD)/(2a))=`

    `=a(x-(-b+sqrtD)/(2a))(x-(-b-sqrtD)/(2a))=a(x-x_1)(x-x_2)`.

    Таким образом, если квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c имеет корни, то он раскладывается на множители ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2). В случае D=0D = 0  корни совпадают `(x_1 = x_2 = x_0)`, и тогда получаем ax2+bx+c=a(x-x0)2ax^2 + bx + c = a(x-x_0)^2.

    Заметим, что квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c  имеет корни, то `x_1 + x_2 = (- b + sqrtD)/(2a) + (- b - sqrtD)/(2a) = - b/a`;

    `x_1 * x_2 = (-b+ sqrtD)/(2a) * (-b-sqrtD)/(2a) = (b^2 - D)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = c/a`.

    Полученный результат называют теоремой Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена x2+px+qx^2 + px + q теорема Виета выглядит так: если есть корни `x_1` и `x_2`, то `x_1 + x_2 = - p`, `x_1 x_2 =q`.

    Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:

    если числа x1x_1 и x2x_2 удоветворяют условиям x1+x2=px_1+x_2 = p, x1·x2=qx_1 \cdot x_2 = q, то эти числа являются корнями уравнения x2-px+q=0x^2 - px + q = 0

    Доказательство этой теоремы - это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.

    Пример 2.

    Решите уравнение:

    a) x2+(3+17)x+51=0x^2 + (\sqrt 3 + \sqrt {17})x + \sqrt {51} = 0;  

    б) 2016x2+2017x+1=02016x^2 + 2017x + 1 = 0;

    в) 3x2+(5-23)x+(3-5)=0\sqrt 3 x^2+ (5 - 2\sqrt 3)x + (\sqrt 3 - 5) = 0.

    Решение

    a) По теореме, обатной теореме Виета, x1=-3x_1 = - \sqrt 3  и x2=-17x_2 = - \sqrt {17} - корни данного уравнения.

    Ответ

    x=-3;x=-17x= -\sqrt 3 ; x = -\sqrt {17}.

    б) Заметим, что x1=-1x_1 = -1 является корнем данного уравнения.  Значит, уравнение имеет корни, и по теореме Виета, их произведение x1 · x2 = 12016x_1\;\cdot\;x_2\;=\;\dfrac1{2016}, откуда x2 = -12016x_{2\;}=\;\dfrac{-1}{2016}.

    Ответ

    x=-1;x=-12016x = -1; x =\dfrac{-1}{2016}.

    в) Заметим, что x1=1x_1 = 1 является корнем (это легко видеть, т. к. сумма всех коэффициентов в уравнении равна нулю).  Из условия x1·x2=3-53x_1 \cdot x_2 = \dfrac {\sqrt 3 - 5}{\sqrt 3} получаем, что x2=1-53x_2 = 1 - \dfrac {5}{\sqrt 3}.

    Ответ

    x=1;x=1-53x=1; x=1 - \dfrac {5} {\sqrt 3}.


    Пример 3.

    Найти наибольшее значение выражения 4+7x-3x24 + 7x - 3x^2.


    Решение

    Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.

    4+7x-3x2=-3x2-73x+4=-3x2-2·76x +4936-4936+4=4 + 7x - 3x^2 = -3 \left(x^2 - \dfrac 7 3 x \right) + 4 = -3 \left(x^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{6} x  + \dfrac {49} {36} - \dfrac { 49}{36} \right) + 4 = -3x-762-4936+4=-3x-762+4912  +4=-3x-762+9712 -3 \left(\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 - \dfrac{49}{36}\right) + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{49}{12}   + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6} \right)^2 + \dfrac{97}{12} .

    -3x-7620-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 \leq 0 при всех xx, поэтому максимальное значение выражения достигается, если -3x-762=0-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 = 0. Значит, это максимальное значение равно 9712\dfrac {97}{12} (достигается при x=76 x = \dfrac {7}{6} ).

    Ответ

    9712\dfrac{97}{12}.


    Пример 4.

    Пусть x1x_1 и x2x_2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. выразите x12+x22x_{1}^2 + x_{2}^2 через коэффициенты уравнения.

    Решение

    По теореме Виета x1+x2=-ba,x1x2=cax_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a}, x_1x_2 = \dfrac{c}{a}. Преобразуем x12+x22x_1^2 + x_2^2, выделяя полный квадрат:

                x12+x22=x12+x22+2x1·x2-2x1·x2=(x1+x2)2-2x1·x2x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2 ^2 + 2x_1\cdot x_2 - 2x_1\cdot x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2.

    Отсюда: x12+x22=-ba2-2ca=b2-2aca2x_1^2 + x_2^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}.

    Ответ

    b2-2aca2\dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}.


  • §3. Многочлены

    Многочленом с одной переменной называется выражение вида

     `P(x) = a_n x^n + a_(n-1)  x^(n-1) +a_(n-2)  x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`.         (8)

    Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом,  `a_0` - свободным членом.

    Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

    Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна 4; степень  многочлена `25 + x^5 - 3x` равна  `5`;  степень  многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом.  Степень нулевого многочлена не определена.

    Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.  

    Число `a`  называется корнем многочлена  `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.

     Приведём основные сведения о многочленах.

    Теорема 1.

    (Деление многочленов с остатком) (без доказательства). Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.

    Пример 5.

    Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`                                

    на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.

    Решение

    Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)`  на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень  делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

     Деление закончится тогда, когда степень делимого  будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).

    Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д. 

    Ответ

    частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток  равен `24x-10`.

    ЗАМЕЧАНИЕ.

    Таким  образом,   `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.     

    Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).

    1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.

    2) Число `alpha`  является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.

    3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена  `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.

    4) Многочлен степени `n`  не может иметь более `n`  корней.


    Доказательство

    1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что

    `F(x) = (x-alpha) G(x) +C`                                                                           (9)

     Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

    Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.

    Тогда  `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.

     Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим            

     `F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`.                                                                (10)

    Первая часть доказана.

    2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда  `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.

    3) `alpha` - корень  `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для  всех  значений  переменной `x`) `x= beta`. Тогда   `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.

    `F(beta) = 0`  (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0`    (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится  на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`,  т. е. `F(x)` делится   на `(x- alpha)(x- beta)`.

    4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.


    Пример 6.

    Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны  `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток  от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.

    Решение

    Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.

    По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.  

    Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:

     `F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.                             

    Степень  остатка  не  превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,

    `F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`.                                                                    (11)

      Подставим в равенство  (11) `x=3` и `x=-5`: 

    `F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда 3a+b=2,-5a+b=-9.\left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\-5a+b=-9.\end{array}\right.

    Решая эту систему, нахоим, что  `a=(11)/8`,  `b=- (17)/8`.    

    Ответ
    Остаток равен `(11)/8 x - (17)/8`.


    Пример 7.

    Докажите, что

     26-1533+26+1533=4\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=4.                                       (12)

    Решение

    Пусть  26-1533+26+1533=x\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=x. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:  

    26-153+326-1532326+1533+326-153326+15323+26+153=x326-15\sqrt3+3\sqrt[3]{\left(26-15\sqrt3\right)^2}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{\left(26+15\sqrt3\right)^2}+26+15\sqrt3=x^3;

    52+326-153326+153326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    52+3262-1532326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26^2-\left(15\sqrt3\right)^2}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    52+326-1533+26+1533=x352+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    `52+3x=x^3`;

    `x^3-3x-52=0`.                                                                              (13)

    Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)).  Поскольку `x=4` является корнем,  многочлен `x^3 - 3x-52` делится  на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:

    x3-3x-52=0x-4x2+4x+13=0x-4=0,x2+4x+13=0.x^3-3x-52=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2+4x+13\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-4=0,\\x^2+4x+13=0.\end{array}\right.      

    У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13)  имеет ровно один корень `x=4`.

    Пример 8.

    При каких  `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?

    Решение

    1-й способ. Выполним деление с остатком:

    Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

    7a+28=0,b-6a-10=0,a=-4,b=-14.\left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\b-6a-10=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.

    2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.

    Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями  многочлена. То есть, 

    F1=1+a-2+19+b=0,    F2=16+8a-8+38+b=0,18+a+b=0,46+8a+b=0,a=-4,b=-14.\begin{array}{l}\begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0,\;\;\;\;\\F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\46+8a+b=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.\\\end{array}

    Ответ

    `a=-4`, `b=-14`.


  • §1. Введение

    Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.

    Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Точно так же определяется понятие решения неравенства, а именно: число aa называется решением неравенства, если при подстановке числа aa вместо переменной в неравенство получается верное неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

    Совокупность всех решений уравнения (неравенства) называют множеством решений уравнения (неравенства). Если уравнение (неравенство) не имеет решений, то говорят, что его множество решений пусто (обозначается значком \varnothing).

    Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Заметим также, что уравнение и неравенство могут быть равносильны друг другу. (Обозначение: (1) \Leftrightarrow (2)).

    Пример 1.

    Среди следующих пар уравнений и неравенств выберите равносильные:

    а) |x|=2|x| = 2 и x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0;  

    б) x-12=24-x\sqrt{x - 12} = 24 - x  и  x-12=(24-x)2x - 12 = (24 - x)^2;

    в) x2xx^2 \leq x и x1x \leq 1;  

    г) x0x \geq 0 и |x|=x|x| = x;  

    д) x2<0x^2 < 0 и x2+3x+3=0x^2 + 3x +3 = 0.

    Решение

    a) По определению модуля |x|=2|x| = 2 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

    Решим уравнение x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0. Сделаем замену x2=tx^2 = t. Тогда получаем t2-t-12=0 t^2 - t -12 = 0, откуда t=4,t=-3.\left[\begin{array}{l}t=4,\\t=-3.\end{array}\right.

    Поэтому x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x2=4,x2=-3\left[\begin{array}{l}x^2=4,\\x^2=-3\end{array}\right. x2=4\Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

    Значит, уравнения равносильны.

    б) x-12=(24-x)2x-12=x2-48x+576x - 12 = (24 - x)^2 \Leftrightarrow x - 12 = x^2 - 48x + 576 \Leftrightarrow

     x2-49x+588=0x=21,x=28.\Leftrightarrow\;x^2-49x+588=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=21,\\x=28.\end{array}\right.

    Заметим, что x=28x=28 не является решением первого уравнения (при подстановке x=28x=28 получаем неверное равенство 4=-44 = -4), поэтому уравнения не равносильны.

    в) Чисо x=-1x = -1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Значит, их множества решений не совпадают, и неравенства равносильными не являются.

    г) По определению модуля, уравнению |x|=x|x| = x удовлетворяет любое x0x \geq 0. Отрицательных решений это уравнение не имеет, т. к. при x<0x < 0 левая часть положительна, а правая - отрицательна. Получаем, что данные уравнение и неравенство равносильны.

    д) И уравнение, и неравенство не имеют решений, поэтому они равносильны.

    При решении уравнений можно действовать двумя способами.

    1) Все выполняемые преобразования равносильны. Тогда мы сразу получаем ответ.

    2) Если мы делаем какие-то неравносильные преобразования, то ни одно из них не должно приводить к потере корней. (Действительно, если корень потерялся, то его никак не вернёшь). Значит, нам можно делать только такие неравносильные преобразования, в результате которых мы можем приобрести лишние корни. В таком случае в конце решения необходимо сделать отбор корней: подставляя все найденные значения переменной в исходное уравнение, отбираем те из них, которые являются его корнями. Естественно, этот способ не проходит, если уравнение имеет бесконечно много решений (так как при отборе корней нельзя подставить бесконечное количество значений в уравнение). Тогда приходится делать только равносильные преобразования.

    Некоторые преобразования всегда приводят нас к равносильным уравнениям, например, перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Применяя другие преобразования (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей, возведение обеих частей уравнения в квадрат и пр.), мы иногда получаем равносильные уравнения, а иногда нет. Когда мы решаем неравенства, почти всегда отбор корней сделать невозможно (так как неравенства обычно имеют бесконечно много реше-ний), поэтому необходимо делать только равносильные преобразования.

    Рассмотрим два уравнения

      f1(x)=g1(x)f_1(x) = g_1(x)                                                                      (1)

     f2(x)=g2(x)f_2(x) = g_2(x)                                                                      (2)

    Говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) (пишут (1)\Rightarrow(2)), если каждый из корней уравнения (1) является также и корнем уравнения (2). Иначе говоря, множество решений уравнения (1) содержится в множестве решений уравнения (2).

    Несложно видеть, что если из (1) следует (2), а из (2) следует (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.

    Например, x=2(x-2)(x-3)=0 x = 2 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0;   x2+1=0x=5x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x= 5 (действительно, множество решений первого уравнения пусто, а пустое множество является подмножеством любого множества). Таким образом, если уравнение (неравенство) не имеет корней, то из него следует любое другое уравнение (неравенство).

  • §7. Примеры решения задач
    задача 1

    Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями v01=5м/c,v02=8м/cv_{01}=5\mathrm м/\mathrm c,v_{02}=8\mathrm м/\mathrm c, направленными под углами α1=80,α2=20\alpha_1=80, \alpha_2=20 к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время `t=1/3` с после броска?

    Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Решение

    Шарики движутся в поле тяжести Земли с постоянным ускорением g\vec g (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

    Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шариков r1(t)\vec r_1(t) и r2(t)\vec r_2(t) имеем: r1(t)=r01+v01t+gt22{\overrightarrow r}_1(t)={\overrightarrow r}_{01}+{\overrightarrow v}_{01}t+\dfrac{\overrightarrow gt^2}2 ,  r2(t)=r02+v02t+gt22{\overrightarrow r}_2(t)={\overrightarrow r}_{02}+{\overrightarrow v}_{02}t+\dfrac{\overrightarrow gt^2}2Искомое расстояние ll равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени `t=1/3` с. Так как шарики были брошены из одной и той же точки, то r01=r02\vec r_{01}=\vec r_{02} , следовательно: 

    l=r1(t)-r2(t)=v01-v02tl={\mid \vec r_1(t)-\vec r_2(t)\mid}={\mid \vec v_{01}-\vec v_{02}\mid}t .

    (Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) В свою очередь, по теореме косинусов (см. рис. 20):

    `|vecv_(01)-vecv_(02)|=sqrt(v_(01)^2+v_(02)^2-2v_(01)v_(02)cos(alpha_1-alpha_2))`.

    Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим v01-v02=7\mid \vec v_{01}-\vec v_{02}\mid =7 м/с.
    Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени `t=1/3` с будет равно

    l=7мс·13c=73м2,3 мl=7\dfrac{\mathrm м}{\mathrm с}\cdot\dfrac13\mathrm c=\dfrac73\mathrm м\approx2,3\;\mathrm м.

    задача*

    Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени τ\tau, с одинаковыми начальными скоростями v0\vec v_0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Прокомментируйте решение для  `v_0<g tau/2`. 

    Решение

    Направим ось `Oy` вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел:
    1) t0=0,y01=0,vy01=v0t_0=0, y_{01}=0, v_{y01}=v_0 ;

    2) t0=τ,y02=0,vy02=v0t_0=\tau , y_{02}=0, v_{y02}=v_0.

    Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны ay1=ay2=-ga_{y1}=a_{y2}=-g. Уравнения движения тел в проекциях на ось OyOy с учётом начальных условий имеют вид:

    `y_1(t)= v_0t-(g t^2)/2`, `y_2(t)=v_0(t-tau)-(g(t-tau)^2)/2`.

    (Заметим, что `y_2=0` при `0<t<=tau`).

    Для наглядности изобразим графики этих функций на одном чертеже (рис. 21). Из чертежа видно, что «встреча» произойдёт в некоторый момент времени txt_x в точке `A`, где пересекаются графики y1(t)y_1(t) и y2(t)y_2(t). Таким образом, условие «встречи»: `y_1(t_x)=y_2(t_x)`, то есть

    v0tx-gtx22=v0(tx-τ)-g(tx-τ)22v_0t_x-\dfrac{gt_x^2}2=v_0(t_x-\tau)-\dfrac{g(t_x-\tau)^2}2.


    Решая это уравнение относительно `t_x`, находим: 
    tx=v0g+τ2t_x=\dfrac{v_0}g+\dfrac\tau2.

    Проанализируем полученное выражение при `v_0<g tau//2`. Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно 2v0/g2v_0/g. Поэтому, если `v_0<g tau//2`, то τ>2v0/g\tau>2v_0/gЭто означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.

    Задача* 3

    Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона `varphi=30^@`, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость v0v_0, направленную под углом `beta=60^@` к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Решение

    Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта `O` в точку бросания. В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью `Ox` угол `alpha=beta-varphi=30^@`. Начальные условия: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0 cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`.

    Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): ax=gx=-gsinφa_x=g_x=-g\sin\varphi, ay=gy=-gcosφa_y=g_y=-g\cos\varphi. Здесь мы учли, что угол между вектором g\vec g и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы `varphi=30^@`, кроме того, по условию задачи φ=α\varphi=\alpha
    Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий:

    x(t)=(v0cosα)t-(gsinφ)t22x(t)=(v_0\cos\alpha)t-(g\sin\varphi)\dfrac{t^2}2y(t)=(v0sinα)t-(gcosφ)t22y(t)=(v_0\sin\alpha)t-(g\cos\varphi)\dfrac{t^2}2.

    Время полёта τ\tau камня найдём из последнего уравнения, зная, что

    y(τ)=0y(\tau)=0cosφ=32\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}2sinα=12\sin\alpha=\dfrac12.

    А именно τ=23v0g\tau=\dfrac2{\sqrt3}\dfrac{v_0}g . (Значение τ=0\tau=0 мы отбросили, т. к. оно не связано с вопросом задачи).
    Подставляя найденное значение τ\tau в уравнение для x(t)x(t) определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта):

    l=x(τ)= 23v02gl=x(\tau)=\;\dfrac23\dfrac{v_0^2}g.

    Задача 4

    Массивная платформа движется с постоянной скоростью `vecV_0` по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен u=2V0u=2V_0 причём вектор u\vec u составляет угол `alpha=60^@` с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)


    Решение

    Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось OxOx направим горизонтально в направлении удара, а ось OyOy вертикально вверх (рис. 23).

    Движение мяча происходит с постоянным ускорением a\vec aпричём ax=0,ay=-ga_x=0, a_y=-g где gg - величина ускорения свободного падения.
    Проекции начальной скорости v0\vec v_0 мяча на оси OxOx и OyOy равны:

    `v_(0x)=V_(0x)+u_x=-V_0+2V_0*cos60^@=-V_0+V_0=0`,

    `v_(0y)=V_(0y)+u_y=0+2V_0*sin60^@=sqrt3V_0`.

    Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара.
    Максимальную высоту подъёма (`y_"max"`) и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения:

    vy2-v0y2=2ay(y-y0),  y=y0+v0yt+ayt22v_y^2-v_{0y}^2=2a_y(y-y_0),\;\;y=y_0+v_{0y}t+\dfrac{a_yt^2}2.

    Учитывая, что при `y=y_"max"` проекция вертикальной скорости обращается в ноль vy=0v_y=0, а в момент приземления мяча t=Tполетаt=T_\mathrm{полета} его координата по оси OyOy обращается в ноль y=0y=0, имеем:

    ymax=v0y22g=3V022g,  Tполета=23V0gy_\max=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=\dfrac{3V_0^2}{2g},\;\;T_\mathrm{полета}=\dfrac{2\sqrt3V_0}g.

    За время полёта мяча платформа сместится на расстояние

    L=V0Tполета=23V02gL=V_0T_\mathrm{полета}=\dfrac{2\sqrt3V_0^2}g,

    которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.

  • §5. Преобразование скорости и ускорения при переходе в другую систему отсчёта

    В рамках классической механики скорость и ускорение тела преобразуются по определённым правилам при переходе от одной системы отсчёта к другой.

    Пусть имеются две произвольные системы отсчёта `K`  и `K^'` (рис. 6). Известны скорость `v^'` и ускорение `a^'`  тела (точки `A`) в `K^'` - системе.

    Рассмотрим случай, когда `K^'`- система движется поступательно по отношению к `K` - системе, и определим значения скорости v и ускорения  a тела в `K`-системе.
    Если за малый промежуток времени `Deltat` тело (точка `A`) переместилось относительно `K^'` - системы на величинy `Deltavecr^'`, а `K^'` - система переместилась относительно `K` - системы на `Deltavecr_0`, то из правила векторного сложения следует, что перемещение `Deltavecr` тела относительно `K` - системы будет равно  `Deltavecr=Deltavecr_0+Deltavecr^'`. Разделив обе части этого равенства на t\triangle t и обозначив через v0\vec v_0 скорость `K^'` - системы относительно `K` - системы, получим:

    `vec v =vec v_o +vec v^'`                                                                (4).

    Рассуждая аналогично,найдем формулу преобразования ускорения :

    `vec a =vec a_o + vec a^'`                                                              (5).

    Из формулы (5) вытекает важное следствие: при a0=0\vec a_0=0 ускорения a\vec a и `vec a^'` равны. Иными словами, если система отсчёта `K^'` движется поступательно без ускорения относительно системы отсчёта `K`, то ускорения тела в обеих системах отсчёта будут одинаковы.

    Переход из одной системы отсчёта в другую довольно часто применяется на практике и порой существенно облегчает решение некоторых физических задач, поэтому к данному приёму желательно привыкнуть и научиться умело его использовать.
    Часто встречаются задачи, в которых два тела движутся независимо друг от друга в некоторой системе отсчёта, и требуется определить какие-либо величины (перемещение, скорость), характеризующие движение одного тела относительно другого. В таких случаях, как правило, удобно перейти в систему отсчёта, связанную с тем телом, относительно которого рассматривается движение другого тела, и применить полученные выше формулы преобразований. Относительные перемещение и скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же (чаще всего – неподвижной) системе отсчёта. Рассмотрим следующий пример.


                                        

    Пример 2

    Два корабля движутся с постоянными скоростями v1\vec v_1 и v2\vec v_2 под углом α\alpha друг к другу (рис. 7). Найти скорость первого корабля относительно второго.

    Решение

    Перейдём в систему отсчёта, связанную со вторым кораблём, движущимся со скоростью v2\vec v_2. В этой системе отсчёта относительная  скорость `vec v^'` первого корабля согласно (4) будет равна `vec v^'= vec v_1 -vec v_2`. Вектор v'\vec v' определим геометрически, используя правило построения векторной разности (рис. 8). Из треугольника `BDE` с помощью теоремы косинусов найдём модуль искомого вектора:

    `v^' =sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha)`.

    Направление вектора `vec v^'` зададим, например, углом `beta` (рис. 8), который определим из `DeltaBDE` по теореме синусов:

    `(v_1)/(sinbeta)=(v^')/(sinalpha)`.

    Отсюда

    `sinbeta=(v_1)/(v^')sinalpha=(v_1 sinalpha)/(sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha))`.

  • §6. Примеры движения тела. Методы решения задач.

    Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.

    1.Равномерное прямолинейное движение тела.

    При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta r`  за одинаковые промежутки времени  `Delta t`. Иными словами, скорость  `vec v` тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:

    `vec v= "const"`.                                                                                 (6)

    При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:

    `vec r(t)=vec r_0+vec v t`,                                                                     (7)

    где  `vec r_0`  -  радиус-вектор тела в начальный момент времени  t=0t = 0 . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4.  Вектор  r0\vec r_0  здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор r\vec r тела в любой момент времени в процессе движения.

    Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени t  координат xx и yy движущегося тела:

    x(t)=x0+vx(t),y(t)=y0+vy(t)·\left\{\begin{array}{lc}x(t)=x_0+v_x(t),\\y(t)=y_0+v_y(t)\cdot\end{array}\right.           (8)

           


    где x0x_0 и y0y_0 - начальные координаты тела в момент времени t=0 t= 0, а vxv_x и vyv_y -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси OxOx и OyOy соответственно. 

    Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: tgα=vy/vx\mathrm{tg}\alpha=v_y/v_x. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость y(x)y(x), легко получить, исключив параметр tt из системы уравнений (8):

    `y(x)=(v_y)/(v_x)(x-x_0)+y_0`.                                                                 (9)

    Пример 3

    Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости xOyxOy описывается уравнениями: x(t)=6+3tx(t) = 6 + 3t, y(t)=4ty(t) = 4t (величины измерены  в  СИ).  Запишите  уравнение  траектории  тела.  Изобразите графически  зависимость  модуля  вектора  скорости  от  времени   v(t)v(t). Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

    Решение

    Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

    x0=6x_0 = 6 м, y0=0y_0 = 0vx =3v_x = 3 м/c, vy =4v_y = 4 м/c.

    Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):

    `y(x) =4/3(x - 6)`, или `y(x) = 4/3 x - 8`.

    Модуль vv скорости тела определим, зная vxv_x и vyv_y:

    `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.

    График зависимости v(t)v(t) представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7):  `Deltavec r = vec r (t) - vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный  телом   в  течение  времени  `t`,   определяется  по формуле `Delta S = vt`,  т. е. численно равен  площади  прямоугольника  под графиком зависимости  v(t)v(t) . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.

    В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:

    `Delta S = vt = 5  "м"/"c"*5  "c" = 25  "м"`.

    Замечание

    Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.

    Пример 4

    Координаты тела при  равномерном прямолинейном движении  на  плоскости   xOy xOy  за  время  t=2ct = 2c  изменились  от начальных значений x0=5мx_0 = 5 м, y0=7мy_0 = 7 м до значений x=-3мx = -3 м и y=1мy = 1 м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

    Решение

    Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

    `v_x=(x-x_0)/t=(-3-5)/2=-4` м/с, `v_y=(y-y_0)/t=(1-7)/2=-3` м/с.

    Тогда модуль скорости  v=(vx2+vy2)=5v=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)}=5 м/с.

    Уравнение траектории y(x)y(x) с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:

    y(x)=34(x-5)+7y(x)=\dfrac34(x-5)+7, или y(x)=34x+134y(x)=\dfrac34x+\dfrac{13}4

    Положение тела в начальный и  конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения vxv_x и vyv_y в общие уравнения движения (8):

    x(t)=5-4t,y(t)=7-3tx(t)=5-4t , y(t)=7-3t

    Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.

    Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при tt в соответствующих уравнениях x(t)x(t) и y(t)y(t), т. е. значениям vxv_x и vyv_y:

    `"tg"alpha=-4`, `"tg"beta=-3`.

    (Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)


    2. Неравномерное движение тела.

    Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.

    Пример 5*

    Любитель  бега  трусцой  пробежал  половину  пути со скоростью v1=10v_1 =10 км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью v2=8v_2 = 8 км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью v3=4v_3 = 4 км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.


    Решение

    Из смысла условия задачи следует, что здесь  речь  идёт  о средней  путевой  скорости.  Разобьём  весь  путь   `Delta S`   на  три   участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:

    `v_"cp"= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.

    По    условию    задачи `Delta S_1  =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3  = Delta S //2`.    Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:

    `Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,

    `Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,

    `Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.

    Подставляя эти значения в выражение для `v_"ср"`, получим:

    `v_"cp"=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3)))  =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.

    Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_"ср"= (v_1 + v_2 + ... + v_n)//n`, где  `v_i` - скорость движения на `i`-м участке, `n` - число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_"ср"`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.

    Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.

    3. Равнопеременное движение.

    Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки   времени   `Delta t`  изменяется  на  одинаковую  величину   `Deltavec v`. В этом случае ускорение a тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:

    `vec a="const"`                                                                                     (10)

    При этом `vec v != "const"`, и траектория движения не обязательно прямолинейная.
    При равнопеременном движении скорость v\vec v тела изменяется с течением времени по закону

    `vec v (t)=vec v_0 +vec at`,                                                               (11)

    где v0v_0 - скорость тела в начальный момент времени t=0t = 0.
    В свою очередь, зависимость r(t) \vec r(t) имеет вид:

    `vec r=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`,                                               (12)

    где r0r_0 - начальный радиус-вектор тела при t=0t = 0 . Вновь заметим, что величины v0v_0 и r0r_0 представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы vv и rr.

    При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:

                                         

    vxt=v0x+axt,vyt=v0y+ayt.\left\{\begin{array}{l}v_x\left(t\right)=v_{0x}+a_xt,\\v_y\left(t\right)=v_{0y}+a_yt.\end{array}\right.      (13)
    xt=x0+v0xt+axt22,yt=y0+v0y+ayt22,\left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=x_0+v_{0x}t+\dfrac{a_xt^2}2,\\y\left(t\right)=y_0+v_{0y}+\dfrac{a_yt^2}2,\end{array}\right. (14)

    где x0x_0 и y0y_0 - начальные абсцисса и ордината тела (при t=0t =0), v0xv_{0x} и v0yv_{0y} - проекции начальной скорости `vecv_0` тела на координатные оси, axa_x и  aya_y - проекции вектора ускорения на оси
    OxOx и OyOy соответственно.
    В принципе формулы (11) и (12), или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.

    В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось OxOx, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:

    vx=v0x+axtv_x=v_{0x}+a_xt,    x=x0+v0xt+axt22x=x_0+v_{0x}t+\dfrac{a_xt^2}2.

    Если на промежутке времени от 00 до tt направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность x-x0x-x_0текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём SS, следовательно,

    `S=v_(0x)t+(a_xt^2)/2`.

    Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время tt,  выраженное из уравнения vx=v0x+axt v_x=v_{0x}+a_xt . Это время будет 

    `t=(v_x-v_(0x))/a_x`.

    Тогда для пути SS после несложных преобразований получим

    `S=(v_x^2-v_(0x)^2)/(2a_x)`.

    Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени tt в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.

    Пример 6

    За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )

    Решение

    Пусть за время t=2t=2 с скорость тела изменилась от v0v_0 до vv. Направим координатную ось OxOx вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать  v-v0+atv-v_0+at, `a` - модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`. 

    За время tt тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь

    `S=(v^2-v_0^2)/(2a)`.

    С учётом выражений для v0v_0 и aa получим  `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.



    
    


    Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор a\vec a на ускорение свободного падения g\vec g, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.


    Пример 7

     Движение тела, брошенного вертикально.
    Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость v0\vec v_0 направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время τ\tau полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту HH подъёма тела над землёй; время τ1\tau_1 подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени tt вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.

    Решение


    Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси OyOy. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта OO поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: y0=0,v0y=v0y_0=0, v_{0y}=v_0.

    Проекция ускорения тела на ось OyOy в отсутствие сопротивления воздуха равна ay=ga_y=g , т. к. вектор g\vec g направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условий имеют вид:

               `v_y=v_0-g t`,                                                                     (15)

    `y=v_0t-(g t^2)/2`.                                                              (16)

    Пусть при t=τt=\tau тело упало на землю. В этот момент y=0y=0 и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для τ\tau получаем: τ=0\tau=0 или `tau=(2v_0)/g`. Значение τ=0\tau=0 соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.

    Согласно (15), при t=τt=\tau имеем: vy=v0-gtv_y=v_0-gt Тогда с учётом найденного значения τ\tau получим vy=v0-2v0=-v0v_y=v_0-2v_0=-v_0 Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости v0v_0, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось OyOy отрицательна.

    Пусть при t=τ1t=\tau_1 тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что y=H,vy=0y=H, v_y=0 С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:

    `0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.

    Из первого уравнения определяем время подъёма тела  `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя τ1\tau_1 во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
    Заметим, что время τ1\tau_1 подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени τ\tau полёта тела: τ=2τ1\tau=2\tau_1
    Путь SS , пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, S=2HS=2H Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.

    Зависимость y(t)y(t) в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
    Зависимость vy(t)v_y(t) является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при tt в формуле (15):

    `"tg"alpha=-g`.


    Пример 8

    Движение тела, брошенного горизонтально.

    Тело бросили с высоты HH над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость v0\vec v_0, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время τ\tau полёта тела до его падения на землю, дальность ll полёта тела, скорость vecvvecv тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени tt координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.

    Решение

    Начало отсчёта OO поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

    `a_x=0`, `a_y=-g`.

    Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:

    vx=v0,vy=-gt·\left\{\begin{array}{lc}v_x=v_0,\\v_y=-gt\cdot\end{array}\right.                       (17)
                              

    x=v0t,y=H-gt22·\left\{\begin{array}{lc}x=v_0t,\\y=H-\dfrac{gt^2}2\cdot\end{array}\right.                           (18)
            

    Пусть при t=τt=\tau тело упало на землю. Это означает, что y=0y=0, x=lx=l, и уравнения системы (18) принимают вид:

    l=v0τl=v_0\tau, `0=H-(g tau^2)/2`.

    Решая их ,находим:

    `tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.

    В свою очередь, система уравнений (17) даёт: vx=v0,vy=-gτv_x=v_0, v_y=-g\tau. С учётом значения τ\tau получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:

    v=(vx2+vy2)=(vx2+2gH)v=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)=\sqrt(v_x^2+2gH)}. Направление вектора `vecv` определим с помощью угла α\alpha (рис. 16):

    `"tg"alpha=v_y//v_x=(-sqrt(2gH))//v_0`.

    Уравнение y(x)y(x) траектории движения тела получим, исключив параметр tt из системы (18):

    `y(x)=-g/(2v_0^2)x^2+H`.

    Так как y(x)y(x) представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

    Пример 9

    Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

    Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью v0v_0 направленной под углом α\alpha к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время τ\tau полёта тела до его падения на землю,дальность ll полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту HH подъёма тела над землёй, время τ1\tau_1 подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.


    Решение

    Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта OO поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха ax=0,ay=ga_x=0, a_y=g С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:

    vx=v0cosα,vy=v0sinα-gt·\left\{\begin{array}{lc}v_x=v_0\cos\alpha,\\v_y=v_0\sin\alpha-gt\cdot\end{array}\right.                   (19)
    x=(v0cosα)t,y=(v0sinα)t-gt22·\left\{\begin{array}{lc}x=(v_0\cos\alpha)t,\\y=(v_0\sin\alpha)t-\dfrac{gt^2}2\cdot\end{array}\right.                       (20)

    Пусть при t=τt=\tau тело упало на землю, тогда: y=0,x=ly=0, x=l. Уравнения системы (20) дают:

    l=(v0cosα)τl=(v_0\cos\alpha)\tau,    0=(v0sinα)τ-gτ220=(v_0\sin\alpha)\tau-\dfrac{g\tau^2}2

    Откуда находим

    τ=2v0sinαg\tau=\dfrac{2v_0\sin\alpha}g,    l=v02sin2αgl=\dfrac{v_0^2\text{sin}2\alpha}g

    (Здесь использовано равенство 2sinαcosα=sin2α.2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha. )
    Из полученного выражения для ll легко определить угол α\alpha, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина ll как функция от α\alpha принимает максимальное значение в том случае, когда sin2α=1\sin2\alpha=1. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.

    Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора:  v=(vx2+vy2)v=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)}. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при t=τt=\tau ) имеем: vx=v0cosαv_x=v_0\cos\alpha, vy=v0sinα-gτ=-v0sinαv_y=v_0\sin\alpha-g\tau=-v_0\sin\alpha.

    Следовательно, v=v02cos2α+v02sin2α=v0v=\sqrt{v_0^2\cos^2\alpha+v_0^2\sin^2\alpha}=v_0, (так как cos2α+sin2α=1\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1).

    Направление скорости тела в момент падения составляет угол α\alpha с направлением оси OxOx. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси OxOx.

    Пусть при t=τ1t=\tau_1 тело достигло максимальной высоты. В этот момент vy=0v_y=0, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:

    0=v0sinα-gτ10=v_0\sin\alpha-g\tau_1H=(v0sinα)τ1-gτ122H=(v_0\sin\alpha)\tau_1-\dfrac{g\tau_1^2}2.

    Отсюда последовательно находим:

    τ1=v0sinαg\tau_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}g, H=v02sin2α2gH=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.

    Видим,что τ=2τ1\tau=2\tau_1.

    Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время tt :

    y(x)=g2v02cos2αx2+tgαxy(x)=\dfrac g{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+\mathrm{tg}\alpha x

    График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.






     

  • §4. Способы описания движения

    В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.


    1. Векторный способ.

    В этом способе положение материальной точки `A`  задаётся  с  помощью  так называемого  радиус-вектора  `vecr`,  который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени  r = r (t)\vec r = \vec r (t)

    Геометрическое место концов радиус-вектора  r(t) \vec r(t)  называют траекторией точки `A`.

    В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.

    Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения 1 с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение 2 с радиус-вектором  `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно:  `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.

    Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.

    Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_"cp"` тела за время `Delta t`:

    `vecv_"cp"=(Deltavecr)/(Delta t)`                                                                   (1)

    Вектор `vecv_"cp"` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1/Delta t`.

    Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`.  Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
    Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r/Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.

    Величина, к которой стремится отношение  `Deltavec r/Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`: 

    `vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.

    Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.

    В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).

    Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.

    Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:

     `vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`                                              (2)

    При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!

    Таким образом, зная зависимость `vec r(t)`, можно найти скорость `vec v` и ускорение a\vec a тела в каждый момент времени. В этой связи возникает и обратная задача о нахождении скорости `vec v (t)` и радиус-вектора `vec t (t)` по известной зависимости от времени ускорения `vec a`. Для однозначного решения этой задачи необходимо знать начальные условия, т. е. скорость `vec v_0` и радиус-вектор `vec r_0` тела в начальный момент времени t=0t=0.

    Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`"м"//"с"`) и метр на секунду в квадрате ( `"м"//"с"^2`).


    2. Координатный способ. 

    В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора r\vec rтела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: x=x(t)x=x( t) и y=y(t)y=y(t) . Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости v\vec v можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости vxv_x и xy x_y изменения координат тела (рис. 4). В самом деле vxv_x  и vyv_y будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.

    Аналогично с помощью проецирования вектора a\vec a определяются ускорения axa_x и aya_y тела по направлениям координатных осей.

    Таким образом, зная зависимости x(t)x(t) и y(t)y(t) ,можно найти не только положение тела, но и проекции его скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов v\vec v и a\vec aв любой момент времени. Например, модуль вектора скорости будет равен v=(vx2+vy2)v={\sqrt(v_x^2+v_y^2)}, а его направление может быть задано углом между этим вектором и любой осью координат. Так, угол α\alpha между вектором v\vec v и осью Ox определяется отношением `"tg"alpha=v_y//v_x`. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора a\vec a.
    Обратная задача – нахождение скорости и зависимостей x(t)x(t) и y(t)y(t) по заданному ускорению – будет иметь однозначное решение, если кроме ускорения заданы ещё и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент времени t=0t=0.

    3. Естественный (или траекторный) способ.

    Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рисунке 5.

    Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость l(t)l(t).

    Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
    По определению, путь `Delta S` - это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.

    Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
    |Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.

    Средней путевой скоростью `v_"cp"` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t` в течение которого этот путь был пройден:  

    `v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)`                                                                        (3)

    Определённая ранее средняя скорость `v_"cp"` (см. формулу (1)) и средняя путевая   скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.

    Пример 1

    Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_"cp"` и средняя путевая скорость `v_"cp"` троллейбуса?

    Решение

    Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_"ср"=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_"ср"|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:

    `v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)=(72 "км")/(8 "ч")=9 "км"//"ч"`.

  • §3. Изменение физической величины

    Изучая физику, часто приходится использовать понятие изменения физической величины. При этом следует иметь в виду, что изменение какой-либо физической величины можно характеризовать либо её приращением, либо убылью. Приращением называется разность конечного и начального значений этой величины, в то время как убыль, напротив, представляет собой разность начального и конечного её значений.
    Иными словами, убыль и приращение отличаются знаком. Мы чаще будем пользоваться понятием приращения и обозначать его в соответствии со сложившейся традицией с помощью греческой буквы «дельта»: `Delta`.
    Таким образом, если этот символ стоит перед обозначением какой-либо векторной или скалярной величины, то такое выражение означает приращение соответствующей величины.
    Так, выражение  `Deltavec A` означает приращение вектора A\vec A , а выражение `Delta x` - приращение скалярной величины xx. Вместе с тем во избежание недоразумений следует проявлять известную осторожность при использовании символа `Delta`. Например, убедитесь самостоятельно, что, вообще говоря,  `|DeltavecA|!=Delta|vecA|`, хотя в некоторых частных случаях возможно равенство.

  • §2. Физические модели

    Реальные движения тел порой так сложны, что при их изучении необходимо постараться пренебречь несущественными для рассмотрения деталями. С этой целью в физике прибегают к моделированию, т. е. к составлению упрощённой схемы (модели) явления, позволяющей понять его основную суть, не отвлекаясь на второстепенные обстоятельства. Среди общепринятых физических моделей важную роль в механике играют модель материальной точки и модель абсолютно твёрдого тела.

    Материальная точка – это тело, геометрическими размерами которого в условиях задачи можно пренебречь и считать, что вся масса тела сосредоточена в геометрической точке.

    Абсолютно твёрдое тело (просто твёрдое тело) – это система, состоящая из совокупности материальных точек, расстояния между которыми в условиях задачи можно считать неизменными.

    Модель материальной точки применима прежде всего в случаях, когда размеры тела много меньше других характерных размеров в условиях конкретной задачи. Например, можно пренебречь размерами искусственного спутника по сравнению с расстоянием до Земли и рассматривать спутник как материальную точку. Это – верно! Но вместе с тем не стоит ограничиваться лишь подобными случаями.

    Дело в том, что сложное движение реального тела можно «разложить» на два простых вида движения: поступательное и вращательное (см. Задание №1). Если при сложном движении заменить тело материальной точкой, то мы исключим из рассмотрения вращение тела, т. к. говорить о вращении точки вокруг самой себя бессмысленно (точка не имеет геометрических размеров). Следовательно, заменив тело материальной точкой при сложном движении, мы допустим ошибку. Однако часто в случаях, когда тело движется поступательно, не вращаясь, его можно считать материальной точкой независимо от размеров, формы и пройденного им пути.

    Модель абсолютно твёрдого тела можно применять, когда в условиях рассматриваемой задачи деформации реального тела пренебрежимо малы. Так, например, в задании, посвящённом вопросам статики (Задание №4), мы будем изучать условия равновесия твёрдого тела и при решении задач часто применять указанную модель. Вместе с тем, данная модель неуместна, если суть задачи состоит, например, в изучении деформаций тела в результате тех или иных воздействий в процессе его движения или в состоянии покоя.

    Таким образом, мы будем изучать механическое движение не самих реальных тел, а упомянутых выше моделей. Из них основной и наиболее употребимой для нас станет модель материальной точки. В то же время там, где это необходимо, мы будем ради наглядности изображать на рисунках тела не в виде точек, а в виде объектов, геометрические размеры которых не равны нулю.