Многие ортогональные многочлены определяются рекуррентными соотношениями (или конечно-разностными уравнениями) второго порядка. Обсуждается подход к нахождению асимптотик при больших номерах многочленов, которые при этом равномерны (и единообразны). Подход основан на переходе от дискретных уравнений к непрерывным псевдодифференциальным уравнениям и последующему применению к ним квазиклассического приближения с комплексными фазами.

Работа состоит из двух частей. В первой части мы напоминаем стандартную конструкцию комплексного ростка применительно к волновому уравнению с “регулярным” коэффициентом (т.е. мы считаем,
что c не зависит от быстрой переменной). Вторая часть относится к случаю быстроменяющейся скорости; асимптотика состоит из падающей, прошедшей и отраженной волн, причем вблизи поверхности
M эти части решения склеиваются при помощи модельной одномерной задачи рассеяния.

Рассматривается задача на собственные значения и собственные функции двумерного дифференциального оператора с малым параметром h - оператора Дирака с малой поправкой trigonal warping.

Доклад посвящен реализации в системе Mathematica алгоритма построения асимптотического решения системы мелкой воды на сфере с локализованным начальным условием. В качестве примера берется японское цунами 2011 года.

Изучаются квазиклассические асимптотики с комплексными фазами задачи Коши для уравнения Шредингера с потенциалом, представляющим собой сумму гладкой и дельта-функции, локализованной на поверхности коразмерности 1. Решения такого типа локализованы в окрестности некоторой кривой и известны как гауссовы узкие пучки.

Рассмотрен следующий процесс на отдельном классе метрических графов: имеются точки, непрерывно движущиеся по рёбрам графа с единичной скоростью; всякий раз, когда любая такая точка находится в вершине графа, она порождает новые точки, распространяясь по всем рёбрам, связным с данной вершиной. В начальный момент времени в одну из вершин помещается одна точка. В работе рассчитаны нижние границы первого момента времени, в который подвижные точки образуют ε-сети на всех рёбрах графа.

В работе рассматривается периодическая краевая задача для одного пространственно-распределенного уравнения. Исследуется устойчивость устойчивость состояний равновесия краевой задачи. Доказывается наличие семейства ступенчатых решений краевой задачи. Определяются условия их устойчивости.

Строится асимптотика решения задачи Коши для волнового уравнения с учетом временной дисперсии.

Получение асимптотического решения для волнового уравнения в виде локализованной волны с помощью канонического оператора Маслова.

В работе используется метод отражений для получения асимптотики задачи с граничным условием вблизи границы стандартным способом. Для получения локализованной волны применяется интегрирование по малому параметру.

В работе рассматривается динамическая система на ориентированных метрических гамильтоновых графах, которая совпадает с той, что рассмотрена здесь (https://arxiv.org/abs/2101.04184).

Для этой системы доказывается, что число точек имеет асимптотику aT^{\beta - 1} + O(T^{\beta - 2}), где \beta= |E| - |V| + 1, также предъявляется алгоритм, который позволяет найти коэффициент a для рассматриваемых графов. Для подтверждения результатов проводится компьютерный эксперимент на конкретном графе.

В работе предложен подход по созданию моделей пористых биоразлагаемых гироидных каркасов-скаффолдов для регенеративной медицины и определению параметров ядра Абеля для прогнозирования поведения материалов при ползучести и релаксации напряжений в программном пакете Wolfram Mathematica.

Доклад посвящен туннельным асимптотикам, т. е. описывающим экспоненциально малые спектральные свойства оператора Шредингера с квазиклассическим параметром, такие как разности собственных значений или ширины спектральных зон или лакун.