Все статьи

Подкатегории

Новости

315 статей

О Физтехе

1 подкатегорий

16 статей

Факультеты и базовые кафедры

1 подкатегорий

11 статей

Московский политех

2 подкатегорий

22 статей

ЗФТШ Физика

195 статей

ЗФТШ Химия

95 статей

Разное

20 статей

Статьи

  • § 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

    Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

    Пример 9

    Решите уравнение: `x^3 +4x^2 - 2x-3=0`.

    Решение

    Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x-1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x=1`. Выполнив деление, получаем:

     `x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr` 

    x-1=0,x2+5x+3=0,x=1,x=-5±132.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=0,\\x^2+5x+3=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}2.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.

    Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

    Теорема

    Если несократимая дробь `p//q` (`p` - целое, `q` - натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.

    Доказательство

    Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что

    `a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ ... +a_2 (p/q)^2 +`

    `+a_1(p/q)+0=0`.

    Умножим обе части на `q^n`, получаем:

    `a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+`

    `+ a_0 q^n =0`.

    Перенесём  в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

    `p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+...+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=`

    `=-a_0q^n`.                                           (14)

    Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая  часть  также  делится  на  `p`.  Числа `p` и `q` взаимно  просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

    Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

    Замечание

    Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

    Пример 10

    Решите уравнение

    а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`;                                                                               (15)

    б)  `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`.                                                                                (16)

    Решение

    а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` - корень. Тогда  `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители: 

    `539=7^2*11`.

    Поэтому `p` может принимать значения:

     `+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`. 

    Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

    `(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.

    Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

    `(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.

                                 

    Ответ

    `x=-7`; `x=-1`; `x=11`.

    ЗамечаниЯ

    1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

    2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

    б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in{+-1;+-2;+-5;+-10}`; `qin{1;2;3;6}`.Возможные варианты для `x_0`:

    `+-1,+-2,+-5,+-10,+-1/2,+-5/2,+-1/3,+-2/3,+-5/3,+-10/3,+-1/6,``+-5/6`.

    Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

    `(2x-5)(3x^2-10x^2-11x-2)=0`.

    Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` - корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

    `(2x-5)(3x+2)(x^2-4x-1)=0`.

    Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.       

    Ответ

    `x=5/2`; `x=-2/3`; `x=2+-sqrt5`.

    К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни.     Тогда приходится прибегать к другим методам.      

    Пример 11

    Разложите на множители:

    а)  `x^4+4`;

    б)* `x^3-3x^2-3x-1`;

    в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;  

    г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.

    Решение

    а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

    `=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.

    Замечание

    Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

    `a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=`

    `=(a^2-sqrt2ab+b^2)(a^2+sqrt2ab+b^2)`.

     б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=`

    =23x3-x+13==\left(\sqrt[3]2x\right)^3-\left(x+1\right)^3=

    =23x-x-143x2+23xx+1+x+12=\left(\sqrt[3]2x-x-1\right)\left(\sqrt[3]4x^2+\sqrt[3]2x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\right).


    в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

    `x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=`

    `=x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.

    Обозначим   `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках  принимает вид:

    `t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=`

    `=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.      

    В итоге получаем:

    `x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=`

    `=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.

    Замечание

    Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

    г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

    `x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.

    Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

    Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

    `x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`.                     (17)

    Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

    `x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`

    `=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`.                          (18)

    Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

                                   a+c=-4,b+ac+d=-20,ad+bc=13,bd=-2.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\b+ac+d=-20,\\ad+bc=13,\\bd=-2.\end{array}\right.                                          (19)

    Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

    Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

    1) `b=1` и `d=-2`;   

    2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

    1) a+c=-4,ac=-19,-2a+c=13.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ac=-19,\\-2a+c=13.\end{array}\right.

    Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

    2) a+c=-4,ac=-21,-a+2c=13.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ac=-21,\\-a+2c=13.\end{array}\right.

    Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

    `x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.

    Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

    Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

    Пример 12

    Решите уравнение:

    а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;    

    б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;

    в)  `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;

    г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;

    д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;

    е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.

    Решение

    а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда t=1,t=-2.\left[\begin{array}{l}t=1,\\t=-2.\end{array}\right.

    Если `t=-2`, то решений нет.

    Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`x=3,x=5.\left[\begin{array}{l}x=3,\\x=5.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=3`; `x=5`.

    б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим

    `(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`

    `+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`

    `ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.

    Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.        

    Ответ

    `x=2`, `x=4`.

    Замечание

    Уравнения вида `(x-a)^4+(x-b)^4=c` с помощью замены `x-((a+b))/2=t` сводятся к биквадратным.

    в) Обозначим `x^2+2x+1=t`. Тогда `1/(t-4)+18/(t+1)=18/tiff` 

    t2+t+18t2-4t=18t2-3t-4tt+1t-40\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2+t+18\left(t^2-4t\right)=18\left(t^2-3t-4\right)\\t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    t2-17t+72=0,tt+1t-40t=8,t=9.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-17t+72=0,\\t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=8,\\t=9.\end{array}\right. 

    Теперь найдём `x:`

    x+12=8,x+12=9x+1=±22,x+1=±3\left[\begin{array}{l}\left(x+1\right)^2=8,\\\left(x+1\right)^2=9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+1=\pm2\sqrt2,\\x+1=\pm3\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x=-1-22,x=-1+22,x=2,x=-4.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1-2\sqrt2,\\x=-1+2\sqrt2,\\x=2,\\x=-4.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=-1+-2sqrt2`;  `x=2`;  `x=-4`.

    г) Перемножим первую скобку с третьей, а вторую с четвёртой (убедитесь сами, что только такая группировка сомножителей помогает свести уравнение к квадратному).

    `((x-2)(x+5))*((x-4)(x+7))=360iff`

    `iff(x^2+3x-10)(x^2+3x-28)=360`.

    Обозначим `x^2+3x-19=t`. Тогда уравнение принимает вид:

    `(t+9)(t-9)=360ifft^2=441ifft=+-21`,

    откуда

    x2+3x-19=21,x2+3x-19=-21x2+3x-40=0,x2+3x+2=0x=5,x=-8,x=-1,x=-2.\left[\begin{array}{l}x^2+3x-19=21,\\x^2+3x-19=-21\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2+3x-40=0,\\x^2+3x+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=5,\\x=-8,\\x=-1,\\x=-2.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=-8`; `x=-2`; `x=-1`; `x=5`.

    д) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на `x` (`x=0` не является решением уравнения):

    `4/(4x-8+7/x)+3/(4x-10+7/x)=1`.  Обозначим `4x+7/x-8=t`. Тогда

    4t+3t-2=14t-2+3t=t2-2t,tt-20\dfrac4t+\dfrac3{t-2}=1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4\left(t-2\right)+3t=t^2-2t,\\t\left(t-2\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    t2-9t+8=0,tt-20t=1,t=8.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-9t+8=0,\\t\left(t-2\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1,\\t=8.\end{array}\right.

    Теперь найдём `x:`   4x+7x-8=1,4x+7x-8=84x2-9x+7=0,4x2-16x+7=0.\left[\begin{array}{l}4x+\dfrac7x-8=1,\\4x+\dfrac7x-8=8\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}4x^2-9x+7=0,\\4x^2-16x+7=0.\end{array}\right.

    Уравнение `4x^2-9x+7=0` не имеет решений, а у уравнения `4x^2-16x+7=0` корнями являются числа  `x=7/2` и `x=1/2`.

    Ответ

    `x=1/2`; `x=7/2`.

    е) `x!=0` (убеждаемся подстановкой), поэтому при делении обеих частей уравнения на `x^2` получим уравнение, равносильное исходному:

    `25x^2-150x+94+150*1/x+25*1/x^2=0iff`

    `iff(25x^2+25*1/x^2)-(150x-150*1/x)+94=0iff`

    `iff25(x^2+1/x^2)-150(x-1/x)+94=0`.

    Обозначим `x-1/x=t`. Тогда `t^2=(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2`, откуда `x^2+1/x^2=t^2+2`. Подставляем и решаем уравнение относительно `t:`

    `25(t^2+2)-150t+94=0iff25t^2-150t+144=0iff`

    `iff5t^2-30t+(144)/5=0`.

    Коэффициент при `t` чётный; по формуле четверти дискриминанта:

    `D/4=15^2-5*(144)/5=225-144=81`; `t_1=(15+9)/5=24/5`; `t_2+(15-9)/5=6/5`. 

    Теперь найдём `x:`

    x-1x=245,x-1x=655x2-24x-5=0,5x2-6x-5=0x=-15;x=5;x=3±345.\left[\begin{array}{l}x-\dfrac1x=\dfrac{24}5,\\x-\dfrac1x=\dfrac65\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5x^2-24x-5=0,\\5x^2-6x-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac15;\\x=5;\\x=\dfrac{3\pm\sqrt{34}}5.\end{array}\right.

     

    Ответ

    `5`; `-1/5`; `(3+-sqrt(34))/5`.

    Замечания

    1) Уравнения вида `ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0` называются возвратными. Для их решения делят обе части уравнения на `x^2` и вводят замену  `x+-1/x=t`.

    2) Некоторые другие уравнения четвёртой степени решаются с помощью замены `ax+b/x=t`. (См. пример 11в).


  • § 2. Квадратный трёхчлен. Квадратные уравнения. Теорема Виета

    Квадратным называют уравнение

    ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,                                                                       (3)

    где a0a \neq 0.

    Если разделить обе части уравнения (3) на aa (это можно сделать, так как a0a \neq 0) и обозначить коэффициенты p=b/a p = b/a и q=c/aq = c/a, то получим уравнение

    x2+px+q=0x^2+px+q = 0                                                                            (4)

    называемое приведённым квадратным уравнением.

    Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трёхчленом. Корни уравнения называют также корнями трёхчлена.

    Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ её получения. Преобразуем левую часть (3):

     ax2+bx+c=ax2+bax+ca  =ax2+2·b2a·x+ca=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)\;\;=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}\cdot x+\frac ca\right)=

                   =ax2+2·b2ax+b2a2-b2a2+ca=ax+b2a2-b2-4ac4a2=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}x+\left(\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2+\frac ca\right)=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right).     (5)

    Выражение b2-4acb^2 - 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой DD. С учётом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:

      x+b2a2=D4a2\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{D}{4a^2}                                                                     (6)

    Из (6) при D0D \geq 0 получаем x1=-b2a+D2ax_1 = -\dfrac{b}{2a}+\dfrac {\sqrt D }{2a};   x2=-b2a-D2ax_2 = -\dfrac{b}{2a}-\dfrac {\sqrt D }{2a}.

    Эти формулы можно объединить одной записью

                                                               x1,2=-b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}                                                                         (7)

    Обратим внимание, что при D=0D = 0 выходит, что x1=x2x_1 = x_2. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности `2`.

    Если в уравнении (3) коэффициент bb имеет вид b=2kb = 2k (например, если bb - чётное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на `2` числителя и знаменателя:

    x1,2=-b±b2-4ac2a=-2k±4k2-4ac2a=-k±k2-acax_{1,2} = \dfrac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}       (7')

    Например, корни уравнения 81x2-42x+5=081x^2 - 42x + 5 = 0 проще найти по формулам (7'), чем (7). Здесь b=-42=2(-21)b = - 42 = 2(-21), поэтому

                    x1,2=21±212-81·581=21±9(72-9·5)81= 21±3481=7±227x_{1,2} = \dfrac {21 \pm \sqrt{21^2-81 \cdot 5}}{81} = \dfrac{21 \pm \sqrt{9(7^2 - 9 \cdot 5)}}{81} = \dfrac {21 \pm 3\sqrt{4}}{81} = \dfrac {7 \pm 2}{27},

                                                                          x1=527,  x2=13x_1 = \dfrac{5}{27},   x_2 = \dfrac 1 3.

    Если дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, то выкладки (5) можно продолжить:

    `a((x+ b/(2a))^2 - D/(4a^2) ) = a((x+ b/(2a) )^2 - ((sqrtD)/(2a))^2)=a(x+b/(2a) - (sqrtD)/(2a))(x+b/(2a) + (sqrtD)/(2a))=`

    `=a(x-(-b+sqrtD)/(2a))(x-(-b-sqrtD)/(2a))=a(x-x_1)(x-x_2)`.

    Таким образом, если квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c имеет корни, то он раскладывается на множители ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2). В случае D=0D = 0  корни совпадают `(x_1 = x_2 = x_0)`, и тогда получаем ax2+bx+c=a(x-x0)2ax^2 + bx + c = a(x-x_0)^2.

    Заметим, что квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c  имеет корни, то `x_1 + x_2 = (- b + sqrtD)/(2a) + (- b - sqrtD)/(2a) = - b/a`;

    `x_1 * x_2 = (-b+ sqrtD)/(2a) * (-b-sqrtD)/(2a) = (b^2 - D)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = c/a`.

    Полученный результат называют теоремой Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена x2+px+qx^2 + px + q теорема Виета выглядит так: если есть корни `x_1` и `x_2`, то `x_1 + x_2 = - p`, `x_1 x_2 =q`.

    Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:

    если числа x1x_1 и x2x_2 удоветворяют условиям x1+x2=px_1+x_2 = p, x1·x2=qx_1 \cdot x_2 = q, то эти числа являются корнями уравнения x2-px+q=0x^2 - px + q = 0

    Доказательство этой теоремы - это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.

    Пример 2.

    Решите уравнение:

    a) x2+(3+17)x+51=0x^2 + (\sqrt 3 + \sqrt {17})x + \sqrt {51} = 0;  

    б) 2016x2+2017x+1=02016x^2 + 2017x + 1 = 0;

    в) 3x2+(5-23)x+(3-5)=0\sqrt 3 x^2+ (5 - 2\sqrt 3)x + (\sqrt 3 - 5) = 0.

    Решение

    a) По теореме, обатной теореме Виета, x1=-3x_1 = - \sqrt 3  и x2=-17x_2 = - \sqrt {17} - корни данного уравнения.

    Ответ

    x=-3;x=-17x= -\sqrt 3 ; x = -\sqrt {17}.

    б) Заметим, что x1=-1x_1 = -1 является корнем данного уравнения.  Значит, уравнение имеет корни, и по теореме Виета, их произведение x1 · x2 = 12016x_1\;\cdot\;x_2\;=\;\dfrac1{2016}, откуда x2 = -12016x_{2\;}=\;\dfrac{-1}{2016}.

    Ответ

    x=-1;x=-12016x = -1; x =\dfrac{-1}{2016}.

    в) Заметим, что x1=1x_1 = 1 является корнем (это легко видеть, т. к. сумма всех коэффициентов в уравнении равна нулю).  Из условия x1·x2=3-53x_1 \cdot x_2 = \dfrac {\sqrt 3 - 5}{\sqrt 3} получаем, что x2=1-53x_2 = 1 - \dfrac {5}{\sqrt 3}.

    Ответ

    x=1;x=1-53x=1; x=1 - \dfrac {5} {\sqrt 3}.


    Пример 3.

    Найти наибольшее значение выражения 4+7x-3x24 + 7x - 3x^2.


    Решение

    Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.

    4+7x-3x2=-3x2-73x+4=-3x2-2·76x +4936-4936+4=4 + 7x - 3x^2 = -3 \left(x^2 - \dfrac 7 3 x \right) + 4 = -3 \left(x^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{6} x  + \dfrac {49} {36} - \dfrac { 49}{36} \right) + 4 = -3x-762-4936+4=-3x-762+4912  +4=-3x-762+9712 -3 \left(\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 - \dfrac{49}{36}\right) + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{49}{12}   + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6} \right)^2 + \dfrac{97}{12} .

    -3x-7620-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 \leq 0 при всех xx, поэтому максимальное значение выражения достигается, если -3x-762=0-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 = 0. Значит, это максимальное значение равно 9712\dfrac {97}{12} (достигается при x=76 x = \dfrac {7}{6} ).

    Ответ

    9712\dfrac{97}{12}.


    Пример 4.

    Пусть x1x_1 и x2x_2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. выразите x12+x22x_{1}^2 + x_{2}^2 через коэффициенты уравнения.

    Решение

    По теореме Виета x1+x2=-ba,x1x2=cax_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a}, x_1x_2 = \dfrac{c}{a}. Преобразуем x12+x22x_1^2 + x_2^2, выделяя полный квадрат:

                x12+x22=x12+x22+2x1·x2-2x1·x2=(x1+x2)2-2x1·x2x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2 ^2 + 2x_1\cdot x_2 - 2x_1\cdot x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2.

    Отсюда: x12+x22=-ba2-2ca=b2-2aca2x_1^2 + x_2^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}.

    Ответ

    b2-2aca2\dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}.


  • §3. Многочлены

    Многочленом с одной переменной называется выражение вида

     `P(x) = a_n x^n + a_(n-1)  x^(n-1) +a_(n-2)  x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`.         (8)

    Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом,  `a_0` - свободным членом.

    Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

    Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна 4; степень  многочлена `25 + x^5 - 3x` равна  `5`;  степень  многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом.  Степень нулевого многочлена не определена.

    Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.  

    Число `a`  называется корнем многочлена  `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.

     Приведём основные сведения о многочленах.

    Теорема 1.

    (Деление многочленов с остатком) (без доказательства). Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.

    Пример 5.

    Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`                                

    на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.

    Решение

    Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)`  на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень  делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

     Деление закончится тогда, когда степень делимого  будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).

    Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д. 

    Ответ

    частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток  равен `24x-10`.

    ЗАМЕЧАНИЕ.

    Таким  образом,   `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.     

    Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).

    1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.

    2) Число `alpha`  является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.

    3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена  `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.

    4) Многочлен степени `n`  не может иметь более `n`  корней.


    Доказательство

    1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что

    `F(x) = (x-alpha) G(x) +C`                                                                           (9)

     Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

    Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.

    Тогда  `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.

     Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим            

     `F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`.                                                                (10)

    Первая часть доказана.

    2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда  `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.

    3) `alpha` - корень  `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для  всех  значений  переменной `x`) `x= beta`. Тогда   `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.

    `F(beta) = 0`  (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0`    (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится  на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`,  т. е. `F(x)` делится   на `(x- alpha)(x- beta)`.

    4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.


    Пример 6.

    Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны  `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток  от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.

    Решение

    Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.

    По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.  

    Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:

     `F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.                             

    Степень  остатка  не  превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,

    `F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`.                                                                    (11)

      Подставим в равенство  (11) `x=3` и `x=-5`: 

    `F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда 3a+b=2,-5a+b=-9.\left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\-5a+b=-9.\end{array}\right.

    Решая эту систему, нахоим, что  `a=(11)/8`,  `b=- (17)/8`.    

    Ответ
    Остаток равен `(11)/8 x - (17)/8`.


    Пример 7.

    Докажите, что

     26-1533+26+1533=4\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=4.                                       (12)

    Решение

    Пусть  26-1533+26+1533=x\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=x. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:  

    26-153+326-1532326+1533+326-153326+15323+26+153=x326-15\sqrt3+3\sqrt[3]{\left(26-15\sqrt3\right)^2}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{\left(26+15\sqrt3\right)^2}+26+15\sqrt3=x^3;

    52+326-153326+153326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    52+3262-1532326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26^2-\left(15\sqrt3\right)^2}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    52+326-1533+26+1533=x352+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    `52+3x=x^3`;

    `x^3-3x-52=0`.                                                                              (13)

    Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)).  Поскольку `x=4` является корнем,  многочлен `x^3 - 3x-52` делится  на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:

    x3-3x-52=0x-4x2+4x+13=0x-4=0,x2+4x+13=0.x^3-3x-52=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2+4x+13\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-4=0,\\x^2+4x+13=0.\end{array}\right.      

    У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13)  имеет ровно один корень `x=4`.

    Пример 8.

    При каких  `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?

    Решение

    1-й способ. Выполним деление с остатком:

    Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

    7a+28=0,b-6a-10=0,a=-4,b=-14.\left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\b-6a-10=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.

    2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.

    Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями  многочлена. То есть, 

    F1=1+a-2+19+b=0,    F2=16+8a-8+38+b=0,18+a+b=0,46+8a+b=0,a=-4,b=-14.\begin{array}{l}\begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0,\;\;\;\;\\F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\46+8a+b=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.\\\end{array}

    Ответ

    `a=-4`, `b=-14`.


  • §1. Введение

    Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.

    Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Точно так же определяется понятие решения неравенства, а именно: число aa называется решением неравенства, если при подстановке числа aa вместо переменной в неравенство получается верное неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

    Совокупность всех решений уравнения (неравенства) называют множеством решений уравнения (неравенства). Если уравнение (неравенство) не имеет решений, то говорят, что его множество решений пусто (обозначается значком \varnothing).

    Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Заметим также, что уравнение и неравенство могут быть равносильны друг другу. (Обозначение: (1) \Leftrightarrow (2)).

    Пример 1.

    Среди следующих пар уравнений и неравенств выберите равносильные:

    а) |x|=2|x| = 2 и x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0;  

    б) x-12=24-x\sqrt{x - 12} = 24 - x  и  x-12=(24-x)2x - 12 = (24 - x)^2;

    в) x2xx^2 \leq x и x1x \leq 1;  

    г) x0x \geq 0 и |x|=x|x| = x;  

    д) x2<0x^2 < 0 и x2+3x+3=0x^2 + 3x +3 = 0.

    Решение

    a) По определению модуля |x|=2|x| = 2 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

    Решим уравнение x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0. Сделаем замену x2=tx^2 = t. Тогда получаем t2-t-12=0 t^2 - t -12 = 0, откуда t=4,t=-3.\left[\begin{array}{l}t=4,\\t=-3.\end{array}\right.

    Поэтому x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x2=4,x2=-3\left[\begin{array}{l}x^2=4,\\x^2=-3\end{array}\right. x2=4\Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

    Значит, уравнения равносильны.

    б) x-12=(24-x)2x-12=x2-48x+576x - 12 = (24 - x)^2 \Leftrightarrow x - 12 = x^2 - 48x + 576 \Leftrightarrow

     x2-49x+588=0x=21,x=28.\Leftrightarrow\;x^2-49x+588=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=21,\\x=28.\end{array}\right.

    Заметим, что x=28x=28 не является решением первого уравнения (при подстановке x=28x=28 получаем неверное равенство 4=-44 = -4), поэтому уравнения не равносильны.

    в) Чисо x=-1x = -1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Значит, их множества решений не совпадают, и неравенства равносильными не являются.

    г) По определению модуля, уравнению |x|=x|x| = x удовлетворяет любое x0x \geq 0. Отрицательных решений это уравнение не имеет, т. к. при x<0x < 0 левая часть положительна, а правая - отрицательна. Получаем, что данные уравнение и неравенство равносильны.

    д) И уравнение, и неравенство не имеют решений, поэтому они равносильны.

    При решении уравнений можно действовать двумя способами.

    1) Все выполняемые преобразования равносильны. Тогда мы сразу получаем ответ.

    2) Если мы делаем какие-то неравносильные преобразования, то ни одно из них не должно приводить к потере корней. (Действительно, если корень потерялся, то его никак не вернёшь). Значит, нам можно делать только такие неравносильные преобразования, в результате которых мы можем приобрести лишние корни. В таком случае в конце решения необходимо сделать отбор корней: подставляя все найденные значения переменной в исходное уравнение, отбираем те из них, которые являются его корнями. Естественно, этот способ не проходит, если уравнение имеет бесконечно много решений (так как при отборе корней нельзя подставить бесконечное количество значений в уравнение). Тогда приходится делать только равносильные преобразования.

    Некоторые преобразования всегда приводят нас к равносильным уравнениям, например, перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Применяя другие преобразования (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей, возведение обеих частей уравнения в квадрат и пр.), мы иногда получаем равносильные уравнения, а иногда нет. Когда мы решаем неравенства, почти всегда отбор корней сделать невозможно (так как неравенства обычно имеют бесконечно много реше-ний), поэтому необходимо делать только равносильные преобразования.

    Рассмотрим два уравнения

      f1(x)=g1(x)f_1(x) = g_1(x)                                                                      (1)

     f2(x)=g2(x)f_2(x) = g_2(x)                                                                      (2)

    Говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) (пишут (1)\Rightarrow(2)), если каждый из корней уравнения (1) является также и корнем уравнения (2). Иначе говоря, множество решений уравнения (1) содержится в множестве решений уравнения (2).

    Несложно видеть, что если из (1) следует (2), а из (2) следует (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.

    Например, x=2(x-2)(x-3)=0 x = 2 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0;   x2+1=0x=5x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x= 5 (действительно, множество решений первого уравнения пусто, а пустое множество является подмножеством любого множества). Таким образом, если уравнение (неравенство) не имеет корней, то из него следует любое другое уравнение (неравенство).

  • §7. Примеры решения задач
    задача 1

    Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями v01=5м/c,v02=8м/cv_{01}=5\mathrm м/\mathrm c,v_{02}=8\mathrm м/\mathrm c, направленными под углами α1=80,α2=20\alpha_1=80, \alpha_2=20 к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время `t=1/3` с после броска?

    Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Решение

    Шарики движутся в поле тяжести Земли с постоянным ускорением g\vec g (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

    Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шариков r1(t)\vec r_1(t) и r2(t)\vec r_2(t) имеем: r1(t)=r01+v01t+gt22{\overrightarrow r}_1(t)={\overrightarrow r}_{01}+{\overrightarrow v}_{01}t+\dfrac{\overrightarrow gt^2}2 ,  r2(t)=r02+v02t+gt22{\overrightarrow r}_2(t)={\overrightarrow r}_{02}+{\overrightarrow v}_{02}t+\dfrac{\overrightarrow gt^2}2Искомое расстояние ll равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени `t=1/3` с. Так как шарики были брошены из одной и той же точки, то r01=r02\vec r_{01}=\vec r_{02} , следовательно: 

    l=r1(t)-r2(t)=v01-v02tl={\mid \vec r_1(t)-\vec r_2(t)\mid}={\mid \vec v_{01}-\vec v_{02}\mid}t .

    (Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) В свою очередь, по теореме косинусов (см. рис. 20):

    `|vecv_(01)-vecv_(02)|=sqrt(v_(01)^2+v_(02)^2-2v_(01)v_(02)cos(alpha_1-alpha_2))`.

    Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим v01-v02=7\mid \vec v_{01}-\vec v_{02}\mid =7 м/с.
    Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени `t=1/3` с будет равно

    l=7мс·13c=73м2,3 мl=7\dfrac{\mathrm м}{\mathrm с}\cdot\dfrac13\mathrm c=\dfrac73\mathrm м\approx2,3\;\mathrm м.

    задача*

    Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени τ\tau, с одинаковыми начальными скоростями v0\vec v_0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Прокомментируйте решение для  `v_0<g tau/2`. 

    Решение

    Направим ось `Oy` вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел:
    1) t0=0,y01=0,vy01=v0t_0=0, y_{01}=0, v_{y01}=v_0 ;

    2) t0=τ,y02=0,vy02=v0t_0=\tau , y_{02}=0, v_{y02}=v_0.

    Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны ay1=ay2=-ga_{y1}=a_{y2}=-g. Уравнения движения тел в проекциях на ось OyOy с учётом начальных условий имеют вид:

    `y_1(t)= v_0t-(g t^2)/2`, `y_2(t)=v_0(t-tau)-(g(t-tau)^2)/2`.

    (Заметим, что `y_2=0` при `0<t<=tau`).

    Для наглядности изобразим графики этих функций на одном чертеже (рис. 21). Из чертежа видно, что «встреча» произойдёт в некоторый момент времени txt_x в точке `A`, где пересекаются графики y1(t)y_1(t) и y2(t)y_2(t). Таким образом, условие «встречи»: `y_1(t_x)=y_2(t_x)`, то есть

    v0tx-gtx22=v0(tx-τ)-g(tx-τ)22v_0t_x-\dfrac{gt_x^2}2=v_0(t_x-\tau)-\dfrac{g(t_x-\tau)^2}2.


    Решая это уравнение относительно `t_x`, находим: 
    tx=v0g+τ2t_x=\dfrac{v_0}g+\dfrac\tau2.

    Проанализируем полученное выражение при `v_0<g tau//2`. Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно 2v0/g2v_0/g. Поэтому, если `v_0<g tau//2`, то τ>2v0/g\tau>2v_0/gЭто означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.

    Задача* 3

    Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона `varphi=30^@`, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость v0v_0, направленную под углом `beta=60^@` к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Решение

    Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта `O` в точку бросания. В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью `Ox` угол `alpha=beta-varphi=30^@`. Начальные условия: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0 cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`.

    Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): ax=gx=-gsinφa_x=g_x=-g\sin\varphi, ay=gy=-gcosφa_y=g_y=-g\cos\varphi. Здесь мы учли, что угол между вектором g\vec g и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы `varphi=30^@`, кроме того, по условию задачи φ=α\varphi=\alpha
    Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий:

    x(t)=(v0cosα)t-(gsinφ)t22x(t)=(v_0\cos\alpha)t-(g\sin\varphi)\dfrac{t^2}2y(t)=(v0sinα)t-(gcosφ)t22y(t)=(v_0\sin\alpha)t-(g\cos\varphi)\dfrac{t^2}2.

    Время полёта τ\tau камня найдём из последнего уравнения, зная, что

    y(τ)=0y(\tau)=0cosφ=32\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}2sinα=12\sin\alpha=\dfrac12.

    А именно τ=23v0g\tau=\dfrac2{\sqrt3}\dfrac{v_0}g . (Значение τ=0\tau=0 мы отбросили, т. к. оно не связано с вопросом задачи).
    Подставляя найденное значение τ\tau в уравнение для x(t)x(t) определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта):

    l=x(τ)= 23v02gl=x(\tau)=\;\dfrac23\dfrac{v_0^2}g.

    Задача 4

    Массивная платформа движется с постоянной скоростью `vecV_0` по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен u=2V0u=2V_0 причём вектор u\vec u составляет угол `alpha=60^@` с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)


    Решение

    Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось OxOx направим горизонтально в направлении удара, а ось OyOy вертикально вверх (рис. 23).

    Движение мяча происходит с постоянным ускорением a\vec aпричём ax=0,ay=-ga_x=0, a_y=-g где gg - величина ускорения свободного падения.
    Проекции начальной скорости v0\vec v_0 мяча на оси OxOx и OyOy равны:

    `v_(0x)=V_(0x)+u_x=-V_0+2V_0*cos60^@=-V_0+V_0=0`,

    `v_(0y)=V_(0y)+u_y=0+2V_0*sin60^@=sqrt3V_0`.

    Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара.
    Максимальную высоту подъёма (`y_"max"`) и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения:

    vy2-v0y2=2ay(y-y0),  y=y0+v0yt+ayt22v_y^2-v_{0y}^2=2a_y(y-y_0),\;\;y=y_0+v_{0y}t+\dfrac{a_yt^2}2.

    Учитывая, что при `y=y_"max"` проекция вертикальной скорости обращается в ноль vy=0v_y=0, а в момент приземления мяча t=Tполетаt=T_\mathrm{полета} его координата по оси OyOy обращается в ноль y=0y=0, имеем:

    ymax=v0y22g=3V022g,  Tполета=23V0gy_\max=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=\dfrac{3V_0^2}{2g},\;\;T_\mathrm{полета}=\dfrac{2\sqrt3V_0}g.

    За время полёта мяча платформа сместится на расстояние

    L=V0Tполета=23V02gL=V_0T_\mathrm{полета}=\dfrac{2\sqrt3V_0^2}g,

    которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.

  • §5. Преобразование скорости и ускорения при переходе в другую систему отсчёта

    В рамках классической механики скорость и ускорение тела преобразуются по определённым правилам при переходе от одной системы отсчёта к другой.

    Пусть имеются две произвольные системы отсчёта `K`  и `K^'` (рис. 6). Известны скорость `v^'` и ускорение `a^'`  тела (точки `A`) в `K^'` - системе.

    Рассмотрим случай, когда `K^'`- система движется поступательно по отношению к `K` - системе, и определим значения скорости v и ускорения  a тела в `K`-системе.
    Если за малый промежуток времени `Deltat` тело (точка `A`) переместилось относительно `K^'` - системы на величинy `Deltavecr^'`, а `K^'` - система переместилась относительно `K` - системы на `Deltavecr_0`, то из правила векторного сложения следует, что перемещение `Deltavecr` тела относительно `K` - системы будет равно  `Deltavecr=Deltavecr_0+Deltavecr^'`. Разделив обе части этого равенства на t\triangle t и обозначив через v0\vec v_0 скорость `K^'` - системы относительно `K` - системы, получим:

    `vec v =vec v_o +vec v^'`                                                                (4).

    Рассуждая аналогично,найдем формулу преобразования ускорения :

    `vec a =vec a_o + vec a^'`                                                              (5).

    Из формулы (5) вытекает важное следствие: при a0=0\vec a_0=0 ускорения a\vec a и `vec a^'` равны. Иными словами, если система отсчёта `K^'` движется поступательно без ускорения относительно системы отсчёта `K`, то ускорения тела в обеих системах отсчёта будут одинаковы.

    Переход из одной системы отсчёта в другую довольно часто применяется на практике и порой существенно облегчает решение некоторых физических задач, поэтому к данному приёму желательно привыкнуть и научиться умело его использовать.
    Часто встречаются задачи, в которых два тела движутся независимо друг от друга в некоторой системе отсчёта, и требуется определить какие-либо величины (перемещение, скорость), характеризующие движение одного тела относительно другого. В таких случаях, как правило, удобно перейти в систему отсчёта, связанную с тем телом, относительно которого рассматривается движение другого тела, и применить полученные выше формулы преобразований. Относительные перемещение и скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же (чаще всего – неподвижной) системе отсчёта. Рассмотрим следующий пример.


                                        

    Пример 2

    Два корабля движутся с постоянными скоростями v1\vec v_1 и v2\vec v_2 под углом α\alpha друг к другу (рис. 7). Найти скорость первого корабля относительно второго.

    Решение

    Перейдём в систему отсчёта, связанную со вторым кораблём, движущимся со скоростью v2\vec v_2. В этой системе отсчёта относительная  скорость `vec v^'` первого корабля согласно (4) будет равна `vec v^'= vec v_1 -vec v_2`. Вектор v'\vec v' определим геометрически, используя правило построения векторной разности (рис. 8). Из треугольника `BDE` с помощью теоремы косинусов найдём модуль искомого вектора:

    `v^' =sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha)`.

    Направление вектора `vec v^'` зададим, например, углом `beta` (рис. 8), который определим из `DeltaBDE` по теореме синусов:

    `(v_1)/(sinbeta)=(v^')/(sinalpha)`.

    Отсюда

    `sinbeta=(v_1)/(v^')sinalpha=(v_1 sinalpha)/(sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha))`.

  • §6. Примеры движения тела. Методы решения задач.

    Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.

    1.Равномерное прямолинейное движение тела.

    При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta r`  за одинаковые промежутки времени  `Delta t`. Иными словами, скорость  `vec v` тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:

    `vec v= "const"`.                                                                                 (6)

    При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:

    `vec r(t)=vec r_0+vec v t`,                                                                     (7)

    где  `vec r_0`  -  радиус-вектор тела в начальный момент времени  t=0t = 0 . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4.  Вектор  r0\vec r_0  здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор r\vec r тела в любой момент времени в процессе движения.

    Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени t  координат xx и yy движущегося тела:

    x(t)=x0+vx(t),y(t)=y0+vy(t)·\left\{\begin{array}{lc}x(t)=x_0+v_x(t),\\y(t)=y_0+v_y(t)\cdot\end{array}\right.           (8)

           


    где x0x_0 и y0y_0 - начальные координаты тела в момент времени t=0 t= 0, а vxv_x и vyv_y -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси OxOx и OyOy соответственно. 

    Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: tgα=vy/vx\mathrm{tg}\alpha=v_y/v_x. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость y(x)y(x), легко получить, исключив параметр tt из системы уравнений (8):

    `y(x)=(v_y)/(v_x)(x-x_0)+y_0`.                                                                 (9)

    Пример 3

    Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости xOyxOy описывается уравнениями: x(t)=6+3tx(t) = 6 + 3t, y(t)=4ty(t) = 4t (величины измерены  в  СИ).  Запишите  уравнение  траектории  тела.  Изобразите графически  зависимость  модуля  вектора  скорости  от  времени   v(t)v(t). Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

    Решение

    Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

    x0=6x_0 = 6 м, y0=0y_0 = 0vx =3v_x = 3 м/c, vy =4v_y = 4 м/c.

    Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):

    `y(x) =4/3(x - 6)`, или `y(x) = 4/3 x - 8`.

    Модуль vv скорости тела определим, зная vxv_x и vyv_y:

    `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.

    График зависимости v(t)v(t) представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7):  `Deltavec r = vec r (t) - vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный  телом   в  течение  времени  `t`,   определяется  по формуле `Delta S = vt`,  т. е. численно равен  площади  прямоугольника  под графиком зависимости  v(t)v(t) . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.

    В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:

    `Delta S = vt = 5  "м"/"c"*5  "c" = 25  "м"`.

    Замечание

    Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.

    Пример 4

    Координаты тела при  равномерном прямолинейном движении  на  плоскости   xOy xOy  за  время  t=2ct = 2c  изменились  от начальных значений x0=5мx_0 = 5 м, y0=7мy_0 = 7 м до значений x=-3мx = -3 м и y=1мy = 1 м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

    Решение

    Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

    `v_x=(x-x_0)/t=(-3-5)/2=-4` м/с, `v_y=(y-y_0)/t=(1-7)/2=-3` м/с.

    Тогда модуль скорости  v=(vx2+vy2)=5v=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)}=5 м/с.

    Уравнение траектории y(x)y(x) с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:

    y(x)=34(x-5)+7y(x)=\dfrac34(x-5)+7, или y(x)=34x+134y(x)=\dfrac34x+\dfrac{13}4

    Положение тела в начальный и  конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения vxv_x и vyv_y в общие уравнения движения (8):

    x(t)=5-4t,y(t)=7-3tx(t)=5-4t , y(t)=7-3t

    Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.

    Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при tt в соответствующих уравнениях x(t)x(t) и y(t)y(t), т. е. значениям vxv_x и vyv_y:

    `"tg"alpha=-4`, `"tg"beta=-3`.

    (Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)


    2. Неравномерное движение тела.

    Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.

    Пример 5*

    Любитель  бега  трусцой  пробежал  половину  пути со скоростью v1=10v_1 =10 км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью v2=8v_2 = 8 км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью v3=4v_3 = 4 км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.


    Решение

    Из смысла условия задачи следует, что здесь  речь  идёт  о средней  путевой  скорости.  Разобьём  весь  путь   `Delta S`   на  три   участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:

    `v_"cp"= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.

    По    условию    задачи `Delta S_1  =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3  = Delta S //2`.    Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:

    `Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,

    `Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,

    `Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.

    Подставляя эти значения в выражение для `v_"ср"`, получим:

    `v_"cp"=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3)))  =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.

    Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_"ср"= (v_1 + v_2 + ... + v_n)//n`, где  `v_i` - скорость движения на `i`-м участке, `n` - число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_"ср"`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.

    Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.

    3. Равнопеременное движение.

    Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки   времени   `Delta t`  изменяется  на  одинаковую  величину   `Deltavec v`. В этом случае ускорение a тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:

    `vec a="const"`                                                                                     (10)

    При этом `vec v != "const"`, и траектория движения не обязательно прямолинейная.
    При равнопеременном движении скорость v\vec v тела изменяется с течением времени по закону

    `vec v (t)=vec v_0 +vec at`,                                                               (11)

    где v0v_0 - скорость тела в начальный момент времени t=0t = 0.
    В свою очередь, зависимость r(t) \vec r(t) имеет вид:

    `vec r=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`,                                               (12)

    где r0r_0 - начальный радиус-вектор тела при t=0t = 0 . Вновь заметим, что величины v0v_0 и r0r_0 представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы vv и rr.

    При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:

                                         

    vxt=v0x+axt,vyt=v0y+ayt.\left\{\begin{array}{l}v_x\left(t\right)=v_{0x}+a_xt,\\v_y\left(t\right)=v_{0y}+a_yt.\end{array}\right.      (13)
    xt=x0+v0xt+axt22,yt=y0+v0y+ayt22,\left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=x_0+v_{0x}t+\dfrac{a_xt^2}2,\\y\left(t\right)=y_0+v_{0y}+\dfrac{a_yt^2}2,\end{array}\right. (14)

    где x0x_0 и y0y_0 - начальные абсцисса и ордината тела (при t=0t =0), v0xv_{0x} и v0yv_{0y} - проекции начальной скорости `vecv_0` тела на координатные оси, axa_x и  aya_y - проекции вектора ускорения на оси
    OxOx и OyOy соответственно.
    В принципе формулы (11) и (12), или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.

    В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось OxOx, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:

    vx=v0x+axtv_x=v_{0x}+a_xt,    x=x0+v0xt+axt22x=x_0+v_{0x}t+\dfrac{a_xt^2}2.

    Если на промежутке времени от 00 до tt направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность x-x0x-x_0текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём SS, следовательно,

    `S=v_(0x)t+(a_xt^2)/2`.

    Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время tt,  выраженное из уравнения vx=v0x+axt v_x=v_{0x}+a_xt . Это время будет 

    `t=(v_x-v_(0x))/a_x`.

    Тогда для пути SS после несложных преобразований получим

    `S=(v_x^2-v_(0x)^2)/(2a_x)`.

    Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени tt в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.

    Пример 6

    За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )

    Решение

    Пусть за время t=2t=2 с скорость тела изменилась от v0v_0 до vv. Направим координатную ось OxOx вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать  v-v0+atv-v_0+at, `a` - модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`. 

    За время tt тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь

    `S=(v^2-v_0^2)/(2a)`.

    С учётом выражений для v0v_0 и aa получим  `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.



    
    


    Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор a\vec a на ускорение свободного падения g\vec g, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.


    Пример 7

     Движение тела, брошенного вертикально.
    Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость v0\vec v_0 направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время τ\tau полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту HH подъёма тела над землёй; время τ1\tau_1 подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени tt вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.

    Решение


    Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси OyOy. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта OO поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: y0=0,v0y=v0y_0=0, v_{0y}=v_0.

    Проекция ускорения тела на ось OyOy в отсутствие сопротивления воздуха равна ay=ga_y=g , т. к. вектор g\vec g направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условий имеют вид:

               `v_y=v_0-g t`,                                                                     (15)

    `y=v_0t-(g t^2)/2`.                                                              (16)

    Пусть при t=τt=\tau тело упало на землю. В этот момент y=0y=0 и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для τ\tau получаем: τ=0\tau=0 или `tau=(2v_0)/g`. Значение τ=0\tau=0 соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.

    Согласно (15), при t=τt=\tau имеем: vy=v0-gtv_y=v_0-gt Тогда с учётом найденного значения τ\tau получим vy=v0-2v0=-v0v_y=v_0-2v_0=-v_0 Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости v0v_0, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось OyOy отрицательна.

    Пусть при t=τ1t=\tau_1 тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что y=H,vy=0y=H, v_y=0 С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:

    `0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.

    Из первого уравнения определяем время подъёма тела  `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя τ1\tau_1 во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
    Заметим, что время τ1\tau_1 подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени τ\tau полёта тела: τ=2τ1\tau=2\tau_1
    Путь SS , пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, S=2HS=2H Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.

    Зависимость y(t)y(t) в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
    Зависимость vy(t)v_y(t) является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при tt в формуле (15):

    `"tg"alpha=-g`.


    Пример 8

    Движение тела, брошенного горизонтально.

    Тело бросили с высоты HH над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость v0\vec v_0, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время τ\tau полёта тела до его падения на землю, дальность ll полёта тела, скорость vecvvecv тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени tt координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.

    Решение

    Начало отсчёта OO поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

    `a_x=0`, `a_y=-g`.

    Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:

    vx=v0,vy=-gt·\left\{\begin{array}{lc}v_x=v_0,\\v_y=-gt\cdot\end{array}\right.                       (17)
                              

    x=v0t,y=H-gt22·\left\{\begin{array}{lc}x=v_0t,\\y=H-\dfrac{gt^2}2\cdot\end{array}\right.                           (18)
            

    Пусть при t=τt=\tau тело упало на землю. Это означает, что y=0y=0, x=lx=l, и уравнения системы (18) принимают вид:

    l=v0τl=v_0\tau, `0=H-(g tau^2)/2`.

    Решая их ,находим:

    `tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.

    В свою очередь, система уравнений (17) даёт: vx=v0,vy=-gτv_x=v_0, v_y=-g\tau. С учётом значения τ\tau получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:

    v=(vx2+vy2)=(vx2+2gH)v=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)=\sqrt(v_x^2+2gH)}. Направление вектора `vecv` определим с помощью угла α\alpha (рис. 16):

    `"tg"alpha=v_y//v_x=(-sqrt(2gH))//v_0`.

    Уравнение y(x)y(x) траектории движения тела получим, исключив параметр tt из системы (18):

    `y(x)=-g/(2v_0^2)x^2+H`.

    Так как y(x)y(x) представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

    Пример 9

    Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

    Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью v0v_0 направленной под углом α\alpha к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время τ\tau полёта тела до его падения на землю,дальность ll полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту HH подъёма тела над землёй, время τ1\tau_1 подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.


    Решение

    Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта OO поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха ax=0,ay=ga_x=0, a_y=g С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:

    vx=v0cosα,vy=v0sinα-gt·\left\{\begin{array}{lc}v_x=v_0\cos\alpha,\\v_y=v_0\sin\alpha-gt\cdot\end{array}\right.                   (19)
    x=(v0cosα)t,y=(v0sinα)t-gt22·\left\{\begin{array}{lc}x=(v_0\cos\alpha)t,\\y=(v_0\sin\alpha)t-\dfrac{gt^2}2\cdot\end{array}\right.                       (20)

    Пусть при t=τt=\tau тело упало на землю, тогда: y=0,x=ly=0, x=l. Уравнения системы (20) дают:

    l=(v0cosα)τl=(v_0\cos\alpha)\tau,    0=(v0sinα)τ-gτ220=(v_0\sin\alpha)\tau-\dfrac{g\tau^2}2

    Откуда находим

    τ=2v0sinαg\tau=\dfrac{2v_0\sin\alpha}g,    l=v02sin2αgl=\dfrac{v_0^2\text{sin}2\alpha}g

    (Здесь использовано равенство 2sinαcosα=sin2α.2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha. )
    Из полученного выражения для ll легко определить угол α\alpha, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина ll как функция от α\alpha принимает максимальное значение в том случае, когда sin2α=1\sin2\alpha=1. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.

    Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора:  v=(vx2+vy2)v=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)}. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при t=τt=\tau ) имеем: vx=v0cosαv_x=v_0\cos\alpha, vy=v0sinα-gτ=-v0sinαv_y=v_0\sin\alpha-g\tau=-v_0\sin\alpha.

    Следовательно, v=v02cos2α+v02sin2α=v0v=\sqrt{v_0^2\cos^2\alpha+v_0^2\sin^2\alpha}=v_0, (так как cos2α+sin2α=1\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1).

    Направление скорости тела в момент падения составляет угол α\alpha с направлением оси OxOx. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси OxOx.

    Пусть при t=τ1t=\tau_1 тело достигло максимальной высоты. В этот момент vy=0v_y=0, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:

    0=v0sinα-gτ10=v_0\sin\alpha-g\tau_1H=(v0sinα)τ1-gτ122H=(v_0\sin\alpha)\tau_1-\dfrac{g\tau_1^2}2.

    Отсюда последовательно находим:

    τ1=v0sinαg\tau_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}g, H=v02sin2α2gH=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.

    Видим,что τ=2τ1\tau=2\tau_1.

    Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время tt :

    y(x)=g2v02cos2αx2+tgαxy(x)=\dfrac g{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+\mathrm{tg}\alpha x

    График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.






     

  • §4. Способы описания движения

    В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.


    1. Векторный способ.

    В этом способе положение материальной точки `A`  задаётся  с  помощью  так называемого  радиус-вектора  `vecr`,  который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени  r = r (t)\vec r = \vec r (t)

    Геометрическое место концов радиус-вектора  r(t) \vec r(t)  называют траекторией точки `A`.

    В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.

    Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения 1 с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение 2 с радиус-вектором  `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно:  `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.

    Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.

    Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_"cp"` тела за время `Delta t`:

    `vecv_"cp"=(Deltavecr)/(Delta t)`                                                                   (1)

    Вектор `vecv_"cp"` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1/Delta t`.

    Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`.  Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
    Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r/Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.

    Величина, к которой стремится отношение  `Deltavec r/Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`: 

    `vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.

    Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.

    В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).

    Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.

    Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:

     `vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`                                              (2)

    При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!

    Таким образом, зная зависимость `vec r(t)`, можно найти скорость `vec v` и ускорение a\vec a тела в каждый момент времени. В этой связи возникает и обратная задача о нахождении скорости `vec v (t)` и радиус-вектора `vec t (t)` по известной зависимости от времени ускорения `vec a`. Для однозначного решения этой задачи необходимо знать начальные условия, т. е. скорость `vec v_0` и радиус-вектор `vec r_0` тела в начальный момент времени t=0t=0.

    Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`"м"//"с"`) и метр на секунду в квадрате ( `"м"//"с"^2`).


    2. Координатный способ. 

    В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора r\vec rтела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: x=x(t)x=x( t) и y=y(t)y=y(t) . Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости v\vec v можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости vxv_x и xy x_y изменения координат тела (рис. 4). В самом деле vxv_x  и vyv_y будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.

    Аналогично с помощью проецирования вектора a\vec a определяются ускорения axa_x и aya_y тела по направлениям координатных осей.

    Таким образом, зная зависимости x(t)x(t) и y(t)y(t) ,можно найти не только положение тела, но и проекции его скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов v\vec v и a\vec aв любой момент времени. Например, модуль вектора скорости будет равен v=(vx2+vy2)v={\sqrt(v_x^2+v_y^2)}, а его направление может быть задано углом между этим вектором и любой осью координат. Так, угол α\alpha между вектором v\vec v и осью Ox определяется отношением `"tg"alpha=v_y//v_x`. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора a\vec a.
    Обратная задача – нахождение скорости и зависимостей x(t)x(t) и y(t)y(t) по заданному ускорению – будет иметь однозначное решение, если кроме ускорения заданы ещё и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент времени t=0t=0.

    3. Естественный (или траекторный) способ.

    Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рисунке 5.

    Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость l(t)l(t).

    Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
    По определению, путь `Delta S` - это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.

    Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
    |Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.

    Средней путевой скоростью `v_"cp"` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t` в течение которого этот путь был пройден:  

    `v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)`                                                                        (3)

    Определённая ранее средняя скорость `v_"cp"` (см. формулу (1)) и средняя путевая   скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.

    Пример 1

    Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_"cp"` и средняя путевая скорость `v_"cp"` троллейбуса?

    Решение

    Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_"ср"=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_"ср"|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:

    `v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)=(72 "км")/(8 "ч")=9 "км"//"ч"`.

  • §3. Изменение физической величины

    Изучая физику, часто приходится использовать понятие изменения физической величины. При этом следует иметь в виду, что изменение какой-либо физической величины можно характеризовать либо её приращением, либо убылью. Приращением называется разность конечного и начального значений этой величины, в то время как убыль, напротив, представляет собой разность начального и конечного её значений.
    Иными словами, убыль и приращение отличаются знаком. Мы чаще будем пользоваться понятием приращения и обозначать его в соответствии со сложившейся традицией с помощью греческой буквы «дельта»: `Delta`.
    Таким образом, если этот символ стоит перед обозначением какой-либо векторной или скалярной величины, то такое выражение означает приращение соответствующей величины.
    Так, выражение  `Deltavec A` означает приращение вектора A\vec A , а выражение `Delta x` - приращение скалярной величины xx. Вместе с тем во избежание недоразумений следует проявлять известную осторожность при использовании символа `Delta`. Например, убедитесь самостоятельно, что, вообще говоря,  `|DeltavecA|!=Delta|vecA|`, хотя в некоторых частных случаях возможно равенство.

  • §2. Физические модели

    Реальные движения тел порой так сложны, что при их изучении необходимо постараться пренебречь несущественными для рассмотрения деталями. С этой целью в физике прибегают к моделированию, т. е. к составлению упрощённой схемы (модели) явления, позволяющей понять его основную суть, не отвлекаясь на второстепенные обстоятельства. Среди общепринятых физических моделей важную роль в механике играют модель материальной точки и модель абсолютно твёрдого тела.

    Материальная точка – это тело, геометрическими размерами которого в условиях задачи можно пренебречь и считать, что вся масса тела сосредоточена в геометрической точке.

    Абсолютно твёрдое тело (просто твёрдое тело) – это система, состоящая из совокупности материальных точек, расстояния между которыми в условиях задачи можно считать неизменными.

    Модель материальной точки применима прежде всего в случаях, когда размеры тела много меньше других характерных размеров в условиях конкретной задачи. Например, можно пренебречь размерами искусственного спутника по сравнению с расстоянием до Земли и рассматривать спутник как материальную точку. Это – верно! Но вместе с тем не стоит ограничиваться лишь подобными случаями.

    Дело в том, что сложное движение реального тела можно «разложить» на два простых вида движения: поступательное и вращательное (см. Задание №1). Если при сложном движении заменить тело материальной точкой, то мы исключим из рассмотрения вращение тела, т. к. говорить о вращении точки вокруг самой себя бессмысленно (точка не имеет геометрических размеров). Следовательно, заменив тело материальной точкой при сложном движении, мы допустим ошибку. Однако часто в случаях, когда тело движется поступательно, не вращаясь, его можно считать материальной точкой независимо от размеров, формы и пройденного им пути.

    Модель абсолютно твёрдого тела можно применять, когда в условиях рассматриваемой задачи деформации реального тела пренебрежимо малы. Так, например, в задании, посвящённом вопросам статики (Задание №4), мы будем изучать условия равновесия твёрдого тела и при решении задач часто применять указанную модель. Вместе с тем, данная модель неуместна, если суть задачи состоит, например, в изучении деформаций тела в результате тех или иных воздействий в процессе его движения или в состоянии покоя.

    Таким образом, мы будем изучать механическое движение не самих реальных тел, а упомянутых выше моделей. Из них основной и наиболее употребимой для нас станет модель материальной точки. В то же время там, где это необходимо, мы будем ради наглядности изображать на рисунках тела не в виде точек, а в виде объектов, геометрические размеры которых не равны нулю.

  • §1. Система отсчёта

    В предыдущем задании по физике механическое движение было определено как всякое изменение положения тел или их частей в пространстве относительно друг друга с течением времени. Следовательно, чтобы узнать, движется ли конкретное тело и как оно движется, необходимо указать, относительно каких тел (объектов) рассматривается это движение. Тела, относительно которых рассматривается изучаемое движение, называются телами отсчёта, а само движение при этом является относительным.

    В то же время выбор одного лишь тела отсчёта не даёт возможности полностью описать изучаемое движение, поэтому с телом отсчёта связывают так называемую систему координат, а отсчёт времени ведут с помощью часов, наличие которых предполагается изначально. Выбор той или иной системы координат для решения конкретной задачи осуществляется по соображениям удобства. Наиболее привычной и распространённой для нас является декартова прямоугольная система координат, с которой мы и будем работать в дальнейшем. Тело отсчёта и связанная с ним система координат в совокупности с часами для отсчёта времени образуют систему отсчёта.

  • Сводка полезных формул по геометрии


    Формулы площади треугольника

    S=12ahS=\dfrac12ah (`a` - основание, `h` - высота к `a`).

    S=12ab·sinCS=\dfrac12ab\cdot\sin C (`a`, `b`- стороны, `С` - угол между ними).

    S=p(p-a)(p-b)(p-c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (формула Герона, 2p=a+b+c)2p=a+b+c).

    S=prS=pr (`p` - полупериметр,`r` - радиус вписанной окружности).

    S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}, где `R` - радиус описанной окружности).

    S=(p-a)raS=(p-a)r_a, где `p` - полупериметр, `r_a` - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны `а`.

    Формулы площади трапеции

    S=a+b2hS=\dfrac{a+b}2h (`a`, `b` - основания, `h` - высота).

    S=c·mS=c\cdot m (`c` - боковая сторона, `m` - расстояние до нее от середины другой боковой стороны.

    Формулы площади параллелограмма:

    S=ahS=ah (`a` - сторона, `h` - высота к `a`).

    S=ab·sinαS=ab\cdot\sin\alpha (`a`, `b` - стороны, `alpha` - величина угла между ними)

    Формула площади выпуклого четырёхугольника:

    S=12d1d2sinφS=\dfrac12d_1d_2\sin\varphi (`d_1` и `d_2` - диагонали, `varphi` - величина угла между ними).

    Формула параллелограмма:

    d12+d22=2(a2+b2)d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2) (`a` и `b` - стороны,`d_1`, `d_2` - диагонали).

    Формула медианы треугольника через 3 стороны:

    mc2=a2+b22-c24m_c^2=\dfrac{a^2+b^2}2-\dfrac{c^2}4

    Формула биссектрисы ADAD треугольника ABC:ABC:

    1) AD=2bcb+ccosA2, b=AC, c=ABAD=\dfrac{2bc}{b+c}\cos\dfrac A2,\;\left(b=AC,\;c=AB\right).

    2) AD=bc-xy, (x=BD, y=DC, xy=cb)AD=\sqrt{bc-xy},\;(x=BD,\;y=DC,\;\dfrac xy=\dfrac cb).

    Формула для равнобокой трапеции:

    d2=c2+abd^2=c^2+ab (`a`, `b` - основания, `c` - боковая сторона, `d` - диагональ).





  • §4. Теоремы косинусов и синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач

    Как обычно, в треугольнике ABCABC стороны, противолежащие углам `A`, `B` и `C`,  обозначим `a`, `b` и `c`. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:

    теорема  косинусов: c2=a2+b2-2abcosC;c^2=a^2+b^2-2ab\cos C;

    теорема синусов:  asinA=bsinB=csinC=2R\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin{\displaystyle B}}=\dfrac c{\sin{\displaystyle C}}=2R.

    Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.

    Пример 12
    Рис. 26

    Доказать,  что  в  параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

    Решение

    Пусть  в  параллелограмме ABCDABCD (рис. 26) длины сторон  равны a u b,a\;u\;b, длины  диагоналей  равны d1d_1 и d2: AC=d2d_2:\;AC=d_2, AB=DC=aAB=DC=a, BD=d1BD=d_1.

    Если φ=BAD,\varphi=\angle BAD, то ADC=180°-φ.\angle ADC=180^\circ-\varphi. Из треугольников ABDABD и ACDACD по   теореме  косинусов   будем  иметь:

    d12=a2+b2-2abcosφ, d22=a2+b2-2abcos(180°-φ).d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\varphi,\;d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\varphi).

     Складывая  почленно эти  равенства  и  учитывая, что cos(180°-φ)=-cosφ,\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi, получим требуемое равенство: d12+d22=2a2+2b2\boxed{d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2}.

    следствие
    Рис. 26

    Из решения данной задачи легко получить выражение медианы mcm_c треугольника через его  стороны a, ba,\;b и  cc. Пусть  в  `ABD:AB=a`, `AD=b`, `BD=c`; `AM` - медиана, `AM=m_c` (рис. 26). Достроим этот треугольник ABDABD до параллелограмма ABCDABCD и воспользуемся результатом задачи 11, получим:

    c2+2mc2=2a2+2b2c^2+\left(2m_c\right)^2=2a^2+2b^2, откуда

     mc=a2+b22-c24\boxed{m_c=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2-\dfrac{c^2}4}}.

    Пример 13
    Рис. 27

    На стороне ADAD ромба ABCDABCD взята точка MM, при этом MD=310AD, BM=MC=11.MD=\dfrac3{10}AD,\;BM=MC=11. Найти площадь треугольника BCM.BCM.

    Решение

    1. Обозначим длину стороны ромба x, BAD=φ x,\;\angle BAD=\varphi\;(рис. 27). По условию MD=310xAM=710x.MD=\dfrac3{10}x\Rightarrow AM=\dfrac7{10}x.  Из треугольников ABMABM и  MCDMCD по теореме  косинусов получаем:

    BM2=x2+710x2-2x710xcosφBM^2=x^2+\left(\dfrac7{10}x\right)^2-2x\dfrac7{10}x\cos\varphi,

    MC2=x2+310x2-2x310xcos(180°-φ)MC^2=x^2+\left(\dfrac3{10}x\right)^2-2x\dfrac3{10}x\cos(180^\circ-\varphi).

    Приравниваем правые части (по условию BM=MCBM=MC), подставляем cos(180°-φ)=-cosφ,\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi, сокращаем на x2,x^2, приводим подобные члены и получаем cosφ=15.\cos\varphi=\dfrac15. Подставляя найденное значение cosφ\cos\varphi и BM=11BM=11 в первое равенство, находим x=10x=10.

    2. В равнобедренном треугольнике bmcbmc основание равно `10`, находим высоту MKMK:

    MK=BM2-BK2=BM2-14BC2=96MK=\sqrt{BM^2-BK^2}=\sqrt{BM^2-\dfrac14BC^2}=\sqrt{96},

    тогда  площадь  треугольника `BMC` равна 12BC·MK=206\dfrac12BC\cdot MK=20\sqrt6.

    Пример 14
    Рис. 28

    В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC)ABC\;(AB=BC) проведена      биссектриса ADAD (рис. 28). Найти радиус описанной около треугольника ABCABC окружности, если  AD=4AD=4 и DC=6.DC=\sqrt6.

    Решение

    1. Углы при основании ACAC в треугольнике ABCABC равны, обозначим BAC=2α,\angle BAC=2\alpha, тогда DAC=α.\angle DAC=\alpha. По теореме синусов из треугольника  ADCADC следует 4sin2α=6sinα\dfrac4{\sin2\alpha}=\dfrac{\sqrt6}{\sin{\displaystyle\alpha}} откуда cosα=23\cos\alpha=\sqrt{\dfrac23}. Находим: cos2α=2cos2α-1=13\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\dfrac13 и sin2α=223\sin2\alpha=\dfrac{2\sqrt2}3.

    2. Вычисляем   сторону ACAC:

    AC=AK+KC=ADcosα+DCcos2α=536AC=AK+KC=AD\cos\alpha+DC\cos2\alpha=\dfrac53\sqrt6.

    3. Как следует из теоремы синусов, радиус RR описанной около треугольника `ABC` окружности может быть найден из равенства: 

    R=AC2sinBR=\dfrac{AC}{2\sin B} т. е. R=AC2sin(180°-4α)=AC4sin2α·cos2α=1583R=\dfrac{AC}{2\sin(180^\circ-4\alpha)}=\dfrac{AC}{4\sin2\alpha\cdot\cos2\alpha}=\dfrac{15}8\sqrt3.

    В решении следующих задач существенно используется знание тригонометрических тождеств, умение решать тригонометрические уравнения. Подобные задачи не рассматривались в заданиях 9 - 10 классов, поскольку большинство учащихся в то время не обладало знаниями по тригонометрии в достаточном объёме.

    В этих задачах в качестве неизвестной выбирается некоторый угол и по данным задачи и известным метрическим соотношениям составляется тригонометрическое уравнение или система уравнений. Их составление  и  решение является основным   этапом всего решения задачи, а искомые  элементы  определяются  через значения тригонометрических функций введённого угла.

    Пример 15
    Рис. 29

    Точки KK и MM расположены соответственно на стороне BCBC и высоте BDBD остроугольного треугольника ABCABC. Треугольник AMKAMK - равносторонний  (рис. 29). Найти его площадь, если AD=3AD=3, DC=112DC=\dfrac{11}2, BK:KC=10:1BK:KC=10:1.   

    Решение

    1. Обозначим сторону правильного треугольника AMKAMK  через x, KAC=φx,\;\angle KAC=\varphi  (рис. 29). Пусть FK||ACFK\vert\vert AC и KNACKN\perp AC. Из подобия треугольников  CKNCKN и CBDCBD  следует NC=111DC=12NC=\dfrac1{11}DC=\dfrac12. Тогда DN=5, AN=8.DN=5,\;AN=8.

     2. Заметим, что FKA=φ\angle FKA=\varphi и MKF=π3-φ\angle MKF=\dfrac{\mathrm\pi}3-\varphi.  Из прямоугольных треугольников  AKNAKN и  MKFMKF следует:

    AN=AKcosφAN=AK\cos\varphi и FK=MKcos(π3-φ)FK=MK\cos(\dfrac{\mathrm\pi}3-\varphi), т. е. 8=xcosφ8=x\cos\varphi и 5=xcos(π3-φ)5=x\cos(\dfrac{\mathrm\pi}3-\varphi). Из тригонометрического  уравнения `5cosvarphi=8cos(pi/3-varphi)`  получаем

    cosφ=43sinφ\cos\varphi=4\sqrt3\sin\varphi и tgφ=143\mathrm{tg}\varphi=\dfrac1{4\sqrt3}.

    3. По формуле cosφ=11+tg2φ\cos\varphi=\dfrac1{\sqrt{1+tg^2\varphi}} находим  cosφ=437\cos\varphi=\dfrac{4\sqrt3}7 и x=8cosφ=143x=\dfrac8{\cos\varphi}=\dfrac{14}{\sqrt3}.  Площадь правильного  треугольника со стороной xx равна x234\dfrac{x^2\sqrt3}4. Находим SAMK=4933S_{AMK}=\dfrac{49\sqrt3}3.

    Обратим внимание, что в этой задаче один треугольник повёрнут относительно другого. В качестве промежуточной переменной и был введён этот угол поворота.

    Пример 16
    Рис. 30

    Окружность проходит через вершины AA и BB  треугольника  ABC,ABC, пресекает стороны BCBC и ACAC в точках MM и NN соответственно (рис. 30). Известно, что `AB=4`, `MN=2`, ACB=arcsin35\angle ACB=\arcsin\frac35. Найти радиус окружности.                                                                                

    Решение

    1. Обозначим ACB=φ\angle ACB=\varphi тогда sinφ=35\sin\varphi=\dfrac35, φ\varphi - острый угол, cosφ=45\cos\varphi=\dfrac45.

    Надо  найти  радиус окружности, поэтому разумно ввести вписанный угол: NMB=α\angle NMB=\alpha. Угол ANBANB - внешний  для треугольника BNC,BNC, поэтому  ANB=α+φ\angle ANB=\alpha+\varphi.

    2. Если RR - радиус окружности, то AB=2Rsin(α+φ)AB=2R\sin(\alpha+\varphi), и MN=2RsinαMN=2R\sin\alpha т. е. получаем систему:

    4=2Rsin(α+φ),2=2Rsinα.\left\{\begin{array}{l}4=2R\sin(\alpha+\varphi),\\2=2R\sin\alpha.\end{array}\right.

    Исключая `R`, придём к уравнению 2sinα=sin(α+φ)2\sin\alpha=\sin(\alpha+\varphi).

    Так как sin(α+φ)=sinα·cosφ+sinφ·cosα=45sinα+35cosα\sin(\alpha+\varphi)=\sin\alpha\cdot\cos\varphi+\sin\varphi\cdot\cos\alpha=\dfrac45\sin\alpha+\dfrac35\cos\alpha

    то уравнение приводится к виду

    10sinα=4sinα+3cosα10\sin\alpha=4\sin\alpha+3\cos\alpha, `6sinalpha=3cosalpha`, `"tg"alpha=1/2`.

    3. Находим: sinα=tgα1+tg2α=15\sin\alpha=\dfrac{tg\alpha}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}=\dfrac1{\sqrt5} тогда R=MN2sinα=5R=\dfrac{MN}{2\sin\alpha}=\sqrt5.

    Важное замечание

    В задаче 15 угловая величина была задана значением arcsin35\arcsin\dfrac35. По определению функции y=arcsinxy=\arcsin x это означало, что заданный угол острый и sinφ=35\sin\varphi=\dfrac35. Мы заменили условие φ=arcsin35\varphi=\arcsin\dfrac35 равносильным ему. Аналогично следует поступать во всех задачах, условия которых содержат значения обратных тригонометрических функций для величин углов. Например, если угол задан в виде α=π-arccos23\alpha=\pi-\arccos\sqrt{\dfrac23},  то это означает, что α\alpha - тупой угол,  cosα=-23 \cos\alpha=-\sqrt{\dfrac23\;}, sinα=13\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt3} и могут быть найдены, если окажется необходимым, значения  cos2α\cos2\alpha, sinα2\sin\dfrac\alpha2 и т. п.

    Некоторые учащиеся, проводя решение задачи в общем виде и подставляя числовые данные лишь в конце (что, заметим, обычно делает решение громоздким), получают, например, ответ для длины стороны в виде α=3sin(2arccos13)\alpha=3\sin(2\arccos\dfrac1{\sqrt3}). Если далее это значение не записано в виде a=22a=2\sqrt2,  то решение не считается доведённым до конца. Т. е. ответ задачи, когда угловая величина задана значением обратной тригонометрической функции, не должен содержать значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций (если только сама искомая величина не является углом).

    В заключение параграфа решим задачу об определении угла треугольника. Обратим внимание, что решение требует отбора в соответствии с условием задачи.

    Пример 17
    Рис. 31

    В треугольнике ABCABC высота BDBDмедиана CMCM и биссектриса  AKAK пересекаются в точке OO. (рис. 31).  Найти угол AA, если   известно, что он больше 60°60^\circ и  AM=3OMAM=\sqrt3OM.                                                                

    Решение

    1. Обозначим 

    AM=xAM=x (тогда `AB=2x`), BAC=2α\angle BAC=2\alpha и AO=yAO=y.

    Из прямоугольных треугольников AODAOD и ABDABD имеем: AD=ycosαAD=y\cos\alpha и AD=2xcos2αAD=2x\cos2\alpha. Выражаем y=2xcos2αcosαy=\dfrac{2x\cos2\alpha}{\cos\alpha}.

    2. Применяем теорему косинусов к треугольнику AMOAMO, учитывая, что MO2=13x2: x23=x2+y2-2xy·cosαMO^2=\dfrac13x^2:\;\dfrac{x^2}3=x^2+y^2-2xy\cdot\cos\alpha.

     Подставляем выражение для  yy, сокращаем на x2,x^2, приводим уравнение к виду:

    2cos2α+12cos22α-12cos2α·cos2α=02\cos^2\alpha+12\cos^22\alpha-12\cos2\alpha\cdot\cos^2\alpha=0.

    Используем тождество: 2cos2α=1+cos2α,2\cos^2\alpha=1+\cos2\alpha,  получаем уравнение:

    6cos22α-5cos2α+1=06\cos^22\alpha-5\cos2\alpha+1=0.

    Находим: cos2α=13\cos2\alpha=\dfrac13 или cos2α=12\cos2\alpha=\dfrac12.

    3. По условию: 2α=BAC2\alpha=\angle BAC, 2α > π32\alpha\;>\;\dfrac{\mathrm\pi}3, значит cos2α < 12\cos2\alpha\;<\;\dfrac12, поэтому

    cos2α=cosA=13\cos2\alpha=\cos A=\dfrac13, A=arccos13\angle A=\arccos\dfrac13.


  • § 5. Рисунок в геометрической задаче

    В заключении остановимся на ещё  не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач.

    Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения к чему относятся, какие прямые перпендикулярны или параллельны, в каких точках имеет место касание и т. п. Кое-кому из них всё же удаётся верно решить задачу, но в большинстве случаев, особенно в задачах, требующих ряда шагов рассуждений и вычислений, такой рисунок скорее мешает решению, а не способствует успеху.

    Рисунок в геометрической задаче – это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, фиксирующий и удерживающий внимание решающего, он даёт повод к размышлению и может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный путь в поисках решения. (Посмотрите, например, на рис. 27, 28, 29). Именно поэтому к построению рисунка полезно относиться вдумчиво. Сначала, чтобы понять задачу, её условия переводят на геометрический язык: делают от руки небольшой предварительный рисунок и отмечают на нём (если таковые есть) равные углы, пропорциональность отрезков, перпендикулярность и т. п. И лишь обдумав, как надо изменить рисунок, чтобы он соответствовал условиям задачи, делают аккуратный и достаточно большой рисунок, чтобы на нём уместились все введённые обозначения углов, отрезков и данные задачи. В ряде случаев «хороший» рисунок получается не с первой попытки и при его построении уже начинается процесс решения задачи, так как используются определения и известные геометрические факты относительно входящих в условие задачи элементов геометрической конфигурации.

    Когда словами записываются геометрические свойства входящих в задачу элементов, устанавливаются метрические соотношения типа  AB=AK+KB, AK=PQAB=AK+KB,\;AK=PQ и т. п., проводятся некоторые вычисления, то охватить их взглядом, увидеть в целом, сделать нужный вывод бывает совсем непросто, а вот увидеть на рисунке след собственных рассуждений и не терять этого из виду обычно удаётся.

    Мы говорим о работе с рисунком в процессе поиска решения. При окончательном изложении решения задачи каждое заключение должно быть обосновано (чаще всего ссылками на известные теоремы курса, реже – дополнительным доказательством). Сам по себе рисунок, даже самый аккуратный, выполненный циркулем и линейкой, ничего не доказывает, всё, что «увидено» из чертежа, должно иметь логическое обоснование.

    И ещё одно замечание. Если задача не получается, «упирается», не достаёт ещё какого-то одного соотношения, связи элементов – вернитесь к условию задачи и вновь обсудите каждый входящий в него геометрический элемент. Скорее всего, вами использованы не все их свойства, сделаны не все возможные выводы.

    Поясним наши рассуждения о рисунке и работе с ним примерами решения двух задач олимпиад МФТИ.

    Пример 18

    Продолжения медиан AEAE и CFCF треугольника ABCABC (рис. 32) пересекают описанную около него окружность в точках DD и NN соответственно так, что AD:AE=2:1AD:AE=2:1 и CN:CF=4:3.CN:CF=4:3. Найти углы треугольника.

    Рис. 32
    Решение

    Делаем предварительный рисунок (кстати, его удобнее всего рисовать, начиная с окружности), отмечаем, что BE=EC, ED=AEBE=EC,\;ED=AE (это следует из условия AD=2AEAD=2AE). Две хорды BCBC и AD,AD, пересекаясь, делятся пополам. По свойству  пересекающихся хорд AE·DE=BE·CEAE\cdot DE=BE\cdot CE откуда следует, что AE=BE=DE=CEAE=BE=DE=CE. Точка EE одинаково удалена от точек `A`, `B`, `D` и `C` окружности, значит  точка  EEцентр окружности. Отсюда  следует, что BCBC и ADAD - диаметры, и  A\angle A - прямой (опирается на диаметр). Поскольку далее должна рассматриваться медиана AE,AE,  а нами установлено, что AE=DE=BE=CE,AE=DE=BE=CE, то удобно ввести обозначение AE=R.AE=R.

    Рис. 33


    Обсудим следующие условия задачи: FN=13FC.FN=\dfrac13FC. Обозначим FN=x,FN=x, тогда FC=3x.FC=3x. Наконец обратим внимание, что в задаче есть две медианы треугольника, значит надо воспользоваться свойством медиан: пересекаясь, они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Итак, если обозначить через OO точку пересечения медиан, то

    AO=23R, CO=2x, OF=x.AO=\dfrac23R,\;CO=2x,\;OF=x.

    Выполняем хороший большой рисунок с учётом всех установленных фактов. Посмотрим внимательно на рис. 33 и подумаем, может быть, еще что-то можно установить? Да! Хорда CN,CN, пересекая диаметр AD,AD, делится пополам, значит  CNAD.CN\perp AD. Отразим и этот последний факт.

    Теперь решение.

    1. По свойству пересекающихся хорд:

    AO·OD=CO·ONAO\cdot OD=CO\cdot ON, т. е. 23R43R=4x2\dfrac23R\frac43R=4x^2 откуда x2=29R2x^2=\frac29R^2.

    2. Из прямоугольного треугольника COACOA по теореме Пифагора:

    AC=2x2+23R2=23RAC=\sqrt{\left(2x\right)^2+\left(\frac23R\right)^2}=\dfrac2{\sqrt3}R.

    3. Из прямоугольного треугольника ABCABC находим:

    sinB=ACBC=13\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac1{\sqrt3}.

    Ответ

    A=π2\angle A=\dfrac{\mathrm\pi}2, B=arcsin13\angle B=\arcsin\dfrac1{\sqrt3}, C=π2-arcsin13\angle C=\dfrac{\mathrm\pi}2-\arcsin\dfrac1{\sqrt3}.


    Пример 19

    Длина стороны ромба ABCDABCD равна `4`. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABDABD и ACD,ACD, равно `3`. Найти радиусы окружностей.

    Решение

    Строим первый пробный рисунок (рис. 34) и начинаем рассуждать.

    Поскольку в условии задачи задано расстояние между центрами, то необходимо установить их положение. Будем помнить, что четырёхугольник ABCDABCD - ромб, характеризующее его свойство – диагонали, пересекаясь, делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Центр окружности, описанной около треугольника, есть точка пересечения серединных   перпендикуляров  к  его  сторонам. Треугольники ABDABD и ACDACD имеют общую сторону ADADследовательно, оба центра  лежат на серединном перпендикуляре отрезка ADAD

    Кроме того, центр  O1O_1 окружности, описанной около треугольника ABD,ABD, лежит на прямой ACAC (это серединный перпендикуляр отрезка BDBD), а центр  O2O_2 окружности,  описанной около треугольника ACD,ACD, лежит на прямой BDBD (это серединный перпендикуляр отрезка ACAC). Итак, центры окружностей – это точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка ADAD с прямыми ACAC и BD.BD.

    Рис. 34 Рис. 35

    Вот теперь строим новый рисунок, на который наносим также числовые данные задачи. Обратим внимание, что окружности рисовать уже нет необходимости.

    Обозначим AO1=R1AO_1=R_1 и DO2=R2DO_2=R_2 и, поскольку имеем несколько подобных треугольников, вводим ещё угол MAO1=α.\angle MAO_1=\alpha. Записываем вполне очевидные выводы:

    1. AO1M, M=90°,MAO1=α2=R1cosα,O1M=R1sinα.1.\;\left.\begin{array}{l}\triangle AO_1M,\;\angle M=90^\circ,\\\angle MAO_1=\alpha\end{array}\right|\Rightarrow\begin{array}{l}2=R_1\cos\alpha,\\O_1M=R_1\sin\alpha.\end{array} 

    2.DO2M: M=90°,MO2D=α 2=R2sinα,O2M=R2cosα.2.\left.\begin{array}{l}\bigtriangleup DO_2M:\;\angle M=90^\circ,\\\angle MO_2D=\alpha\end{array}\right|\;\Rightarrow\begin{array}{l}2=R_2\sin\alpha,\\O_2M=R_2\cos\alpha.\end{array}

    3.По условию O1O2=3,т. е. O2M-O1M=3 R2cosα-R1sinα=3.3.\left.\begin{array}{l}\mathrm{По}\;\mathrm{условию}\;O_1O_2=3,\\\mathrm т.\;\mathrm е.\;O_2M-O_1M=3\end{array}\right|\;\Rightarrow R_2\cos\alpha-R_1\sin\alpha=3.

    Итак, получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

    R1, R2, α: 2=R1cosα.2=R2sinα,3=R2cosα-R1sinα.\begin{array}{l}R_1,\;R_2,\;\alpha:\;\left\{\begin{array}{l}2=R_1\cos\alpha.\\2=R_2\sin\alpha,\\3=R_2\cos\alpha-R_1\sin\alpha.\end{array}\right.\\\end{array}

    Решать эту систему можно по-разному, например, исключив `R_1` и `R_2`, получить тригонометрическое уравнение

    3=2cosαsinα-2sinαcosα3=2\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-2\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, 2tg2α+3tgα-2=02\mathrm{tg}^2\alpha+3\mathrm{tg}\alpha-2=0, tgα=12\mathrm{tg}\alpha=\dfrac12 (угол `alpha` - острый), тогда

    cosα=11+tg2α=25\cos\alpha=\dfrac1{\sqrt{1+tg^2\alpha}}=\dfrac2{\sqrt5} и R1=5, R2=25R_1=\sqrt5,\;R_2=2\sqrt5

    В этой задаче, оказавшейся совсем не простой для абитуриентов, трудность для многих была заключена в построении рисунка, обнажающего условие задачи и направляющего решение.


  • §3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники
    Рис. 17
    Свойство 1 (свойство касательных)

    Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

    Используя это свойство, легко решить следующую задачу.                                                  

    Пример 8

    На   основании  ACAC равнобедренного  треугольника  ABCABC расположена точка DD так, что AD=a,CD=bAD=a,CD=b. Окружности, вписанные в треугольники ABDABD и DBCDBC, касаются   прямой BDBD в  точках MM и NN соответственно. Найти отрезок MNMN.

    Решение
    Рис. 18 Рис. 18a

    Пусть a>b.a>b. Точки касания окружностей со сторонами треугольника ABCABC обозначим P, Q, EP,\;Q,\;E и FF (рис. 18). Положим BM=z, MN=x, ND=y.BM=z,\;MN=x,\;ND=y. По свойству касательных:

    DE=yDE=y, QD=x+yQD=x+y, AQ=AP=a-(x+y)AQ=AP=a-(x+y), EC=CF=b-yEC=CF=b-y, PB=BM=z, BF=BN=z+xPB=BM=z,\;BF=BN=z+x (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

    AB=z+a-x-yAB=z+a-x-y, BC=z+x+b-yBC=z+x+b-y. По условию AB=BCAB=BC; получим

    z+a-x-y=z+x+b-yz+a-x-y=z+x+b-y, откуда находим x=a-b2x=\dfrac{a-b}2.

    Если a<ba < b, рассуждая  аналогично, получим  x=b-a2x=\dfrac{b-a}2.

    Итак: MN=a-b2.MN=\dfrac{\left|a-b\right|}2.

    определение

    Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

    теорема 7

    В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,  когда  суммы  длин противолежащих сторон равны.                                                           

    доказательство
    Рис. 19

    Пусть четырёхугольник ABCDABCD описан около окружности (рис. 19). 

    По свойству касательных: AM=ANAM=AN, NB=BPNB=BP, PC=CQPC=CQ и QD=DMQD=DM, поэтому

    AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QDAM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD, что означает

    AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD.

    Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCDABCD стороны удовлетворяют условию AB+CD=BC+AD.AB+CD=BC+AD. Положим AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.AD=a,\;AB=b,\;BC=c,\;CD=d.

    По    условию a+c=b+d,a+c=b+d, что  равносильно  c-b=d-a.c-b=d-a.

    Пусть d>a.d > a. Отложим на большей стороне  CDCD меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае c>bc > b, то также отложим BN=bBN=b, получим  три   равнобедренных   треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

    Рис. 20

    В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника ANMANM, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку OO. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC`  (лежит на OBOB), `BC` и `CD`  (лежит на OCOC) и `CD` и `AD` (лежит на ODOD),  следовательно, точка OO одинакова удалена  от  всех  четырёх сторон четырёхугольника ABCDABCD и является центром вписанной окружности. Случай d=ad=a, как более простой, рассмотрите самостоятельно. 

    Пример 9

    Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны  aa и bb.

    Решение
    Рис. 21

    Пусть в равнобокой трапеции ABCDABCD `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция  равнобокая (AB=CD)(AB=CD), она описана около окружности, следовательно, AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC Отсюда получаем:  

                                AB=CD=a+b2.AB=CD=\dfrac{a+b}2.

    Проведём BMBM и CNCN перпендикулярно ADAD. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники ABMABM и DCNDCN и AM=NDAM=ND. По построению MBCNMBCN - прямоугольник, MN=BC=bMN=BC=b поэтому AM=12(AD-BC)-12(a-b)AM=\dfrac12(AD-BC)-\dfrac12(a-b).  Из прямоугольного треугольника ABMABM находим высоту трапеции ABCDABCD:

    BM=AB2-AM2=a+b22-a-b22=abBM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a+b}2\right)^2-\left(\dfrac{a-b}2\right)^2}=\sqrt{ab}.

    Очевидно, что высота  трапеции  равна  диаметру  окружности, поэтому

     радиус вписанной окружности равен  r=12ab\boxed{r=\dfrac12\sqrt{ab}}.

    Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции  cosα=a-ba+b\boxed{\cos\alpha=\dfrac{a-b}{a+b}}.

    свойство 2 (угол между касательной и хордой)

    Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).                         


    Доказательство
    Рис. 22

    Рассматриваем  угол  NABNAB между  касательной NANA и хордой ABAB. Если OO - центр окружности, то OAANOA\perp AN, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов  треугольника  равна  `180^@`, следовательно, AOB=2α\angle AOB=2\alpha.  Итак, α=NAB=12AOB.\alpha=\angle NAB=\dfrac12\angle AOB. 

    Обратим внимание, что угол NABNAB равен любому вписанному углу  AKBAKB, опирающемуся на ту же дугу ABAB.                                                                                   

    Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

    Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

    ТЕОРЕМА 8

    Пусть  к  окружности  проведены из одной точки касательная  MAMA и секущая  MBMB, пересекающая окружность в точке  CC (рис. 23). Тогда справедливо  равенство

    MA2=MB·MCMA^2=MB\cdot MC

     т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению  длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.                                                                                       

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

    Угол MACMAC образован хордой и касательной, MAC=ABC\angle MAC=\angle ABC.  Так как в треугольниках MACMAC и MBAMBA угол MM общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:  

    MAMB=MCMA\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MC}{MA}

     Откуда получаем: MA2=MB·MCMA^2=MB\cdot MC.                   

    Рис. 23
    СЛЕДСТВИЕ

    Если из точки MM к окружности проведены две секущие: MBMB, пересекающая окружность в точке CC и MKMK, пересекающая окружность в точке  LL (рис. 23), то справедливо равенство MB·MC=MK·MLMB\cdot MC=MK\cdot ML.

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

    Проведём касательную MAMA. По доказанной теореме MA2=MB·MCMA^2=MB\cdot MC и MA2=MK·MLMA^2=MK\cdot ML, следовательно MB·MC=MK·MLMB\cdot MC=MK\cdot ML.

    ПримеР 10
    Рис. 24

    Окружность  проходит  через  вершины C u DC\;u\;D трапеции ABCD,ABCD, касается боковой стороны ABAB в точке BB и пересекает  большее  основание ADAD в точке KK (рис. 24).  Известно, что  AB=53AB=5\sqrt3, BC=5BC=5 и KD=10KD=10

    Найти радиус окружности.

    Решение

    1. Пусть AK=xAK=x тогда AD=10+xAD=10+xю

    По теореме о касательной и секущей:

    AB2=AK·KDAB^2=AK\cdot KD т. е. 75=x(x+10)75=x(x+10), откуда x=5x=5. Итак AD=15AD=15. 

    2. Заметим  теперь,  что   угол ABDABD между касательной ABAB и  хордой  BDBD равен вписанному углу BCDBCD, а из параллельности прямых ADAD и  BCBC следует  равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия ABDDCB\bigtriangleup ABD\sim\bigtriangleup DCB. Из подобия имеем ABCD=ADBDBDBC\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AD}{BD}\dfrac{BD}{BC}. Из последнего равенства  находим, что BD2=AD·BCBD^2=AD\cdot BC, т. е. BD=AD·BC=53BD=\sqrt{AD\cdot BC}=5\sqrt3а из первого равенства находим CD=AB·BDAB=5CD=\dfrac{AB\cdot BD}{AB}=5.

    3. Так как KB=CDKB=CD (KBCDKBCD - вписанная трапеция, она равнобокая), и KB2+BD2=KD2,KB^2+BD^2=KD^2, то `/_ KBD=90^@`  и  KDKD - диаметр окружности.

    Значит, её радиус равен `5`. 

    теорема 9

    Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

    Из этой теоремы следует:

    a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

    б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

    задача 11
    Рис. 25

    В треугольнике ABCABC биссектрисы ADAD и BFBF пересекаются в точке OO (рис. 25). Известно,  что  точки F, O, DF,\;O,\;D, и `C` лежат  на одной окружности  и  что DF=3.DF=\sqrt3. Найти площадь треугольника  ODFODF.        

    Решение

    Так как 

    BAO=12A\angle BAO=\dfrac12\angle A и ABO=12B\angle ABO=\dfrac12\angle B, то

    DOF=AOB=π-12(A+B)\angle DOF=\angle AOB=\pi-\dfrac12(\angle A+\angle B).

    Четырёхугольник DOFCDOFC  вписан   в   окружность, по   теореме   9:

    DOF=π-C\angle DOF=\pi-\angle C, т. е. π-12(A+B)=π-C\pi-\dfrac12(\angle A+\angle B)=\pi-\angle C, откуда, учитывая, что A+B+C=π\angle A+\angle B+\angle C=\pi, находим С=π3\angle С=\dfrac\pi3.

    Теперь заметим, что OO - точка  точка пересечения биссектрис, COCO - биссектриса угла C,C, следовательно, углы OCDOCD и OCFOCF равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы ODFODF и OFDOFD равны им и равны друг другу. Таким образом,

    ODF=OFD=12C=π6\angle ODF=\angle OFD=\dfrac12\angle C=\dfrac\pi6

    Треугольник DOFDOF равнобедренный с основанием DF=3DF=\sqrt3 и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины OO и площадь  треугольника ODF: S=12h·DF=34ODF:\;S=\dfrac12h\cdot DF=\dfrac{\sqrt3}4.


  • § 1. Подобие треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Свойства медиан, биссектрис и высот

    Две фигуры FF и F'F^'  называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры FF и F'F^'  подобны, то пишется FF'F\sim F^'Напомним, что в записи подобия треугольников ABC~A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием  подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. AA переходит в A1A_1, BB - в B1B_1, CC - в C1C_1. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если ABC~A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

    A=A1, B=B1, C=C1, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1,\;\angle C=\angle C_1,\;\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}.

    признаки подобия треугльников

    Два треугольника подобны:

    • 1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
    • 2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
    • 3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

    Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач: 

    1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

    Рис. 5

    2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам,   т. е. если  MN||ACMN||AC (рис. 5), то

    mn=pq=m+pn+q\dfrac mn=\dfrac pq=\frac{m+p}{n+q}

    3°. Если  прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

    mn=m+pn+q\dfrac mn=\dfrac{m+p}{n+q} или mn=pq\dfrac mn=\dfrac pq,

    то MNMN параллельна ACAC (доказательство было дано в задании для  9 класса).

    Пример 1

    Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках MM и NN. Найти длину отрезка `MN`, если  основания  трапеции равны aa и bb.

    Решение

    Пусть OO точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

    AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

    $$1.\;\left.\begin{array}{l}BC\parallel AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(\mathrm{по}\;\mathrm{двум}\;\mathrm{углам})\end{array}\right|\Rightarrow\dfrac ba=\dfrac pq$$                                        (1)

    $$2.\;\left.\begin{array}{l}MO\parallel AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right|\Rightarrow\dfrac xa=\dfrac p{p+q}$$.                                         (2)

    Из (1) и (2) следует x=app+q=qp/qp/q+1=aba+bx=a\dfrac p{p+q}=q\dfrac{p/q}{p/q+1}=\dfrac{ab}{a+b}, т. е. MO=aba+b.MO=\dfrac{ab}{a+b}.

    Аналогично устанавливаем, что NO=aba+bNO=\dfrac{ab}{a+b}, поэтому MN=2aba+b\boxed{MN=\dfrac{2ab}{a+b}}.

    Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить. 

    Рис. 6

    Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные  элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

    Пример 2
    Рис. 7

    В прямоугольном треугольнике  ABCABC из вершины CC прямого угла проведена высота CDCD (рис. 7). Радиусы  окружностей, вписанных в треугольники ACDACD и BCDBCD равны соответственно r1r_1 и r2r_2 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABCABC.

    Решение

     Обозначим искомый радиус rr, положим AB=cAB=c, AC=bAC=b, BC=aBC=a. Из подобия прямоугольных треугольников ACDACD и ABCABC (у   них   равные углы при вершине AA) имеем rr1=cb\dfrac r{r_1}=\dfrac cb, откуда b=r1rcb=\dfrac{r_1}rc. Прямоугольные треугольники  BCDBCD и  BACBAC также  подобны,  поэтому rr2=ca\dfrac r{r_2}=\dfrac ca, - откуда a=r2rca=\dfrac{r_2}rc. Так как a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 то, возводя в квадрат выражения для  aa и bb и складывая их, получим r1r2c2+r2r2c2=c2\left(\frac{r_1}r\right)^2c^2+\left(\frac{r_2}r\right)^2c^2=c^2 или r12+r22r2=1\dfrac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=1.  Находим  r=r12+r22r=\sqrt{r_1^2+r_2^2}

    Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.


    Пример3
    Рис. 8

    Через точку MM, лежащую внутри треугольника ABCABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны S1S_1, S2S_2  и S3S_3. Найти  площадь треугольника ABCABC.

    Решение

    Легко видеть, что треугольники EKMEKM, MQFMQF и PMNPMN подобны треугольнику ABCABC.

    Пусть SS -площадь треугольника ABCABC, тогда

    S1S=EMAC2; S2S=MFAC2; S3S=PNAC2.\dfrac{S_1}S=\left(\dfrac{EM}{AC}\right)^2;\;\dfrac{S_2}S=\left(\dfrac{MF}{AC}\right)^2;\;\dfrac{S_3}S=\left(\dfrac{PN}{AC}\right)^2.

    Откуда находим

    EM=S1SAC, MF=S2SAC, PN=S3SAC.EM=\sqrt{\dfrac{S_1}S}AC,\;MF=\sqrt{\dfrac{S_2}S}AC,\;PN=\sqrt{\dfrac{S_3}S}AC.

    А так как EM=AP, MF=NCEM=AP,\;MF=NC, то EM+PN+MF=AP+PN+NC=ACEM+PN+MF=AP+PN+NC=AC.

    Таким образом, AC=AC·S1S+S2S+S3SAC=AC\cdot\left(\sqrt{\dfrac{S_1}S}+\sqrt{\dfrac{S_2}S}+\sqrt{\dfrac{S_3}S}\right), откуда следует

    S=S1+S2+S32S=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2.

    Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

    В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них  мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

    о медианах
    Рис. 9

    Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке  и  точкой пересечения каждая медиана делится в отношении `2 : 1`, считая от вершины.

    Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на `6` треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

    (На рис. 9 площадь каждого из `6` треугольников с вершиной `M` и основанием, равным половине стороны, равна 12SABC\dfrac12S_{ABC}. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника. 


    Теорема 3. Пусть BDBD - медиана треугольника 

    ABC (BC=a, AC=b, AB=c, BD=ma)ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a)тогда

    mc2=a2+b22-c24m_c^2=\dfrac{a^2+b^2}2-\dfrac{c^2}4(Доказательство приведено далее в §4 Задания).

    Пример 4
    Рис. 10

    Медианы AA1AA_1 треугольника ABCABC пересекаются в точке OO, AA1=12AA_1=12 и CC1=6CC_1=6 и одна из сторон треугольника равна `12`. (рис. 10). Найти площадь треугольника  ABCABC.

    Решение

    1. По теореме 1 имеем  AO=23AA1=8AO=\dfrac23AA_1=8, CO=23CC1=4CO=\dfrac23CC_1=4

    Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна `12`, сторона ACAC не может равняться `12`, иначе AC=AO+OCAC=AO+OC - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться `12` сторона ABAB, так в этом случае AC1=6AC_1=6 и треугольник AOC1AOC_1  со сторонами `8`, `2`, `6` не существует. Значит,  BC=12BC=12 и AC1=6AC_1=6.

    2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

    p=7, SA1OC=7·1·3·3=37p=7,\;S_{A_1OC}=\sqrt{7\cdot1\cdot3\cdot3}=3\sqrt7.

    По теореме 2 площадь треугольника  ABCABC в `6` раз больше, находим SABC=187S_{ABC}=18\sqrt7.

    о высотах

    Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

    Были доказаны также две леммы о высотах

    1-ая лемма.

    Если AA1AA_1 и BB1BB_1 - высоты треугольника ABCABC, то треугольник A1B1CA_1B_1C подобен треугольнику ABCABC с коэффициентом подобия k=A1B1AB=cosCk=\dfrac{A_1B_1}{AB}=\left|\cos C\right|Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот AA1AA_1 и BB1BB_1 треугольника ABCABC, то образуется треугольник, подобный данному: A1B1C~ABC\triangle A_1B_1C\sim\triangle ABC

    Из прямоугольных треугольников ACA1ACA_1 следует A1C=AC·cosCA_1C=AC\cdot\cos C или A1C=AC·cos(180°-C)=ACcosCA_1C=AC\cdot \cos(180^\circ-C)=AC\left|\cos C\right| (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников BCB1BCB_1 следует B1C=BC·cosCB_1C=BC\cdot \cos C или B1C=BC·cos(180°-C)=BCcosCB_1C=BC\cdot \cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right|. Далее рассуждения очевидны.

    Рис. 11a Рис. 11б


    2-ая лемма.

    Если высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 (или их продолжения) пересекаются в точке HH, то справедливо равенство AH·HA1=BH·HB1AH\cdot HA_1=BH \cdot HB_1 (рис. 12а, б).

    Рис. 12a Рис. 12б
    ПримеР 5*
    Рис. 13

    Высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 пересекаются в точке HH (рис. 13), при этом AH=3HA1AH=3HA_1 и BH=HB1BH=HB_1. Найти косинус угла ACBACB и площадь треугольника ABCABC, если AC=aAC=a.  

    Решение

    Обозначим HA1=x, HB1=yHA_1=x,\;HB_1=y

    1. Точка HH - середина высоты (рис. 13). Если отрезок MHMH проходит через точку HH и параллелен  основаниям,  то `MN` - средняя линия; `MN=a/2`.

    2. $$\left.\triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\right|\Rightarrow\dfrac{HN}{AC}=\dfrac x{4x},\;HN=\dfrac14a.$$ Значит, MH=HN=a4MH=HN=\dfrac a4 и AB1=B1C=a2AB_1=B_1C=\dfrac a2 Треугольник  ABCABC  равнобедренный, AB=BCAB=BC.

    3. B1BC=90°-C\angle B_1BC=90^\circ-\angle C, поэтому BHA1=AHB1=C\underline{\angle BHA_1=\angle AHB_1=\angle C}, а по второй лемме о высотах  AH·HA1=BH·HB1AH\cdot HA_1=BH\cdot HB_1 т. е.  3x2=y2, y=x33x^2=y^2,\;y=x\sqrt3.

         Далее, cosC=cos(AHB1)=y3x\cos C=\cos (\angle AHB_1)=\dfrac y{3x}, находим cosC=13\cos C=\dfrac1{\sqrt3}.

    4. AHB1: AB12=(3x)2-y2\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2, a24=6x2\dfrac{a^2}4=6x^2, x=a26x=\dfrac a{2\sqrt6}, y=a22y=\dfrac a{2\sqrt2}, тогда

    SABC=12AC·BB1=ay=a224S_{ABC}=\dfrac12AC\cdot BB_1=ay=\dfrac{a^2\sqrt2}4.

    о биссектрисах треугольника

    Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим  сторонам, т. е.  если ADAD - биссектриса треугольника  ABCABC (рис. 14), то

    BDDC=ABAC xy=cb\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\;\left(\dfrac xy=\dfrac cb\right)

    Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам ADBADB и ADCADC.

    Теорема 6. Пусть ADAD - биссектриса треугольника ABCABC (рис. 14), тогда AD=AB·AC-DB·DCAD=\sqrt{AB\cdot AC-DB\cdot DC} (в обозначениях рисунка 14а) 

    AD=bc-xy\underline{AD=\sqrt{bc-xy}}.


    Рис. 14 Рис. 14а



    Эту теорему докажем. Опишем около треугольника ABCABC окружность, точку пересечения прямой ADAD и окружности обозначим KK (рис. 14а).

    Обозначим  AD=z, DK=m.ABDAKCAD=z,\;DK=m.\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC (ABD=AKC(\angle ABD=\angle AKC и 1=2)\angle1=\angle2). Из подобия следует ABAK=ADAC\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}, т. е. cz+m=zb\dfrac c{z+m}=\dfrac zb, откуда z2+zm=bcz^2+zm=bc, z2=bc-zmz^2=bc-zm.

    По свойству пересекающихся хорд: AD·DK=BD·CDAD\cdot DK=BD\cdot CD, т. е. z·m=x·yz\cdot m=x\cdot y, тогда z2=bc-xyz^2=bc-xy, z=bc-xyz=\sqrt{bc-xy}.  

    Пример 6

    В треугольнике ABCABC со сторонами AB=5AB=5, AC=3AC=3 биссектриса AD=158AD=\dfrac{15}8. Найти сторону BCBC и радиус вписанной окружности.

    Решение

    По теореме 5 (см. рис. 14) имеем xy=53\dfrac xy=\dfrac53 Обозначим x=5zx=5z, тогда  y=3zy=3z. По теореме 6 выполнено равенство 1582=5·3-5z·3z.\left(\dfrac{15}8\right)^2=5\cdot3-5z\cdot3z. Легко находим z=78z=\dfrac78 значит BC=7.BC=7. Радиус вписанной окружности найдём по формуле S=prS=pr (`S` - площадь треугольника,  `p` -полупериметр). Имеем p=152p=\dfrac{15}2, по формуле Герона S=152·12·102·92=1532,S=\sqrt{\dfrac{15}2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{10}2\cdot\dfrac92}=\dfrac{15\sqrt3}2, поэтому r=Sp=32.r=\dfrac Sp=\dfrac{\sqrt3}2.  ▲


  • §2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая

    Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению таких задач даёт теорема Менелая (далее напомним формулировку и доказательство, в задании 9-го класса это уже было сделано).

    Задача 7

    Точка DD  лежит на стороне BCBC, точка KK - на стороне ABAB треугольника  ABCABC, прямые ADAD и CKCK пересекаются в точке OO (рис. 15). Найти отношение  AO:ODAO:OD, если AK:KB=1:3AK:KB=1:3 и BD:DC=2:3BD:DC=2:3..  

    Рис. 15
    Решение

    Расставим на рисунке данные о делении  сторон.  Чтобы  решение стало  более  понятным,  сделаем  ещё  один  рисунок  (рис. 15а),  на   нём проведём DS||CKDS||CK.    

    Рассматриваем треугольник KBCKBC. Из `DS``||``CK`по утверждению  2°2^\circ

    (второй признак подобия треугольников) следует KS:KB=CD:CBKS:KB=CD:CB, откуда KS=35·3x=95xKS=\dfrac35\cdot3x=\dfrac95x. (Ставим это на рисунке). На этом этапе удобно сделать ещё один рисунок (рис. 15б), либо на рисунке 15а провести прямую `AD` и отметить точку  OO.

    В треугольнике ASDASD по построению SD||KOSD||KO, По утверждению 2°2^\circ имеем  AO:OD=AK:KSAO:OD=AK:KS, откуда следует AO:OD=5:9AO:OD=5:9

    Рис. 15a Рис. 15б


    теорема 7 (менелая) о треугольнике и секущей

    Точки `A_1` и `C_1`, расположенные на сторонах `BC` и `AB` треугольника `ABC`, и точка `B_1`, расположенная на продолжении стороны `AC` за точку `C`, лежат  на  одной  прямой   тогда  и только тогда, когда имеет  место равенство: 

    AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1.                            (`**`)

    Доказательство
    1. Пусть точки B1,A1,C1B_1,A_1,C_1 лежат на одной прямой. 

      Проводим CK||ABCK||AB (рис. 16а):

    $$\begin{array}{l}\left.\triangle A_1CK\sim\triangle A_1BC_1\right|\Rightarrow\dfrac{CK}{C_1B}=\dfrac{A_1C}{BA_1};\\\left.\triangle B_1AC_1\sim\triangle B_1CK\right|\Rightarrow\dfrac{AC_1}{CK}=\dfrac{B_1A}{B_1C}.\end{array}$$                                    

    Почленно перемножив, получим  

    AC1C1B=A1CBA1·B1ACB1\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{A_1C}{BA_1}\cdot\dfrac{B_1A}{CB_1},

    откуда и следует

    AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1 

    (стрелочки на рис. 16а показывают последовательность взятия отрезков, движение начинается в точке `A` и в ней же заканчивается).

    Рис. 16а Рис. 16б

    2. Пусть имеет место равенство (`**`). Через две точки B1B_1 и A1A_1 проводим   прямую,   точку  пересечения    с   отрезком ABAB обозначаем C2C_2 (рис. 16б). Точки  A1,B1A_1, B_1 и C2C_2  лежат на одной прямой, по доказанному имеет место 

    AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1.\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1.

    Сравнивая с равенством (`**`), устанавливаем, что AC2C2B=AC1C1B\dfrac{AC_2}{C_2B}=\dfrac{AC_1}{C_1B} и показываем, что точки C2C_2 и C1C_1 совпадают, т. к. делят отрезок ABAB на равные отрезки. 

    Применим теорему Менелая к решению примера 7 (см. рис. 15): рассматриваем треугольник BADBAD и секущую CKCK (она определяет три точки: K,O,CK,O,C ). Имеем: BKKA·AOOD·DCCB=1\dfrac{BK}{KA}\cdot\dfrac{AO}{OD}\cdot\dfrac{DC}{CB}=1,

    т. е. 3xx·AOOD·3y5y=1\dfrac{3x}x\cdot\dfrac{AO}{OD}\cdot\dfrac{3y}{5y}=1 откуда AOOD=59\dfrac{AO}{OD}=\dfrac59.

    Дополнение

    Если при тех же условиях задачи 6 требуется определить, какую часть площади треугольника составляет, например, площадь четырёхугольника KODBKODB то полезно сначала решить задачу о «делении отрезка» и найти, например, AO:OD=5:9AO:OD=5:9, а затем использовать тот факт, что площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как длины их оснований:

    SABC=S; SADC=35SS_{ABC}=S;\;S_{ADC}=\dfrac35S (( т. к. DC=35BCDC=\dfrac35BC));

    SOCD=914SADC=91435S=2770SS_{OCD}=\dfrac9{14}S_{ADC}=\dfrac9{14}\left(\dfrac35S\right)=\dfrac{27}{70}S (( т. к. OD=914ADOD=\dfrac9{14}AD));

    SKCB=34SS_{KCB}=\dfrac34S (( т. к. BK=34ABBK=\dfrac34AB)), поэтому

    SKODB=SKCB-SOCD=34S-2770S=51140SS_{KODB}=S_{KCB}-S_{OCD}=\dfrac34S-\dfrac{27}{70}S=\dfrac{51}{140}S.

     

  • Решение планиметрических задач

    Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. «То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете воспользоваться, когда в том возникнет необходимость» (это слова немецкого физика XVII столетия Лихтенберга, который известен своими афоризмами).

    Итак, если хотите научиться решать задачи, приобрести навыки решения – учитесь этому, разбирайте решения в учебнике и нашем Задании, повторяйте эти решения (ведь так учатся всему), а затем пробуйте свои силы. У Вас получится.

    Задание состоит из четырёх параграфов. В параграфе 1 повторяются признаки подобия треугольников, решается несколько характерных задач на эту тему, повторяются свойства медиан, биссектрис и высот треугольника. Во втором параграфе обсуждаются «задачи в делении отрезка» и доказывается теорема Менелая. Третий параграф посвящён свойствам касательных, хорд, секущих, вписанных и описанных четырёхугольников. В параграфе 4 рассматривается применение теорем синусов и косинусов, разобраны задачи, решение которых требует применение тригонометрии. Почти все эти темы разбирались в заданиях по геометрии в 9 и 10 классах ЗФТШ, поэтому более простые утверждения здесь приводятся без доказательства. Тем, кто поступил в ЗФТШ в 11 класс, рекомендуется доказать эти утверждения самостоятельно, а те, кто учится в ЗФТШ не первый год, найдут много новых интересных задач, подробно решённых в 19 примерах.

    Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения; они оценены по трудности в очках, которые указаны в скобках после номера. Знаком * «звёздочка» отмечены более трудные вопросы и задачи.

    За правильный ответ и верное решение задачи ставится полное число очков, за недочёты и ошибки определённое число очков снимается.

    Работу над заданием рекомендуется начать с внимательного чтения его и самостоятельного решения (после ознакомления) всех приведённых в нём задач. Ответы на контрольные вопросы следует давать подробные, со ссылками на соответствующие теоремы учебника или данного задания, с доказательствами своих ответов. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Приведём примеры ответов на контрольные вопросы.

    Вопрос 1

    Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?

    Ответ

    Рис. 1

    Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике ABCABC биссектриса `BM` является медианой: AM=MCAM=MC (рис. 1). На продолжении биссектрисы BMBM отложим отрезок MDMD, равный MBMB. Треугольники ABMABM и CDMCDM равны по первому признаку: у них углы при вершине MM  равны как вертикальные и AM=CMAM=CM, BM=MDBM=MD. Из равенства треугольников следует

    CD=ABCD=AB                                   (1)

    и CDM=ABM\angle CDM=\angle ABM. Но ABM=CBM\angle ABM=\angle CBM, поэтому CDM=CBM\angle CDM=\angle CBM, т. е. в треугольнике BCDBCD  углы при основании BDBD равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: BC=CDBC=CD. Отсюда и из (1) заключаем: BC=ABBC=AB. Утверждение доказано.

    Вопрос 2
    Рис. 2

    Могут ли длины сторон треугольника быть меньше `1` мм, а радиус описанной окружности больше `1` км?

    ОТвет

    Да, могут. Приведём пример. Из точки CC, лежащей на окружности  радиуса `2` км, дугой радиуса 1/21/2 мм отмечаем точки AA и BB, лежащие на большей окружности (рис. 2); очевидно, AC=CB=1/2AC=CB=1/2 мм.

    Треугольник ABCABC вписан в окружность радиуса `2` км, а его наибольшая сторона ABAB < AC+BC=1AC+BC=1 мм.

    вопрос 3
    Рис. 3

    Можно ли через точку окружности провести три равные между собой хорды?

    ответ

    Нет, нельзя. Действительно, предположим противное, т. е. предположим, что хорды ABAB, ACAC и ADAD окружности с центром в точке OO равны между собой (рис. 3). Тогда точки BB, CC и DD одинаково удалены от точки `A`, т. е. они лежат на окружности с центром в точке AA. Однако, этого не может быть, так как две окружности с разными центрами не могут иметь более двух общих точек. Значит предположение неверно.

    Вопрос 4
    Рис. 4

    Верно ли, что ABC=A1B1C1\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1, если AB=A1B1AB=A_1B_1, BC=B1C1BC=B_1C_1, C=C1\angle C=\angle C_1?

    Ответ

    Нет, например, на рис. 4 показаны треугольники ABCABC и A1B1C1A_1B_1C_1, для которых, как легко видеть, выполнены все заданные равенства, но ABCA1B1C1\triangle ABC\neq\triangle A_1B_1C_1, так как ACA1C1AC\neq A_1C_1.

    Итак, при утвердительном ответе надо либо привести доказательство того, что данное утверждение верно (как в ответе на вопрос 1), либо привести конкретный пример реализации заданных условий (как в ответе на вопрос 2).

    При отрицательном ответе надо либо привести рассуждения, приводящие к противоречию заданных условий аксиоме, теореме или определению (как в ответе на вопрос 3), либо построить один опровергающий пример (как в ответе на вопрос 4).

    После повторения тем в §1 – 4 в заключительном пятом параграфе обсудим вопросы подходов к решению, важность хорошего рисунка, выбора переменных, а также остановимся на некоторых ошибках, допускаемых учащимися и абитуриентами.

    Это задание вместе с присланным решением будут Вам полезны при подготовке к экзаменам.

  • Введение

    В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.

    Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.

    Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.

  • Вступление

    Дорогие ребята! Поздравляем вас с поступлением в заочную физико-техническую школу МФТИ. Вы получили первое задание по математике, в нем мало сложных задач, советуем вам внимательно изучить разработку, без ошибок ответить на контрольные вопросы и постараться решить предложенные вам задачи. Мало знать, как решить задачу, главное – уметь довести решение до конца и при этом не допустить арифметических ошибок. Не огорчайтесь, если вы не сможете справиться со всеми задачами. Вам вышлют решение задания, вы сможете посмотреть, как следует решать ту или иную задачу. В некоторых задачах мы указываем название учебного заведения (например, МГУ или МФТИ). Это означает, что данная задача предлагалась на вступительных экзаменах.

    Обратите внимание, как оформлены решения в присланных вам заданиях и как записывают решения задач в ваших учебниках и задачниках.

    Грамотный человек должен быть грамотным во всех предметах. Не забывайте о правилах грамматики, особенно о точках и запятых в ваших решениях. Постарайтесь аккуратно оформлять ваши решения.

    Мы очень надеемся, что поможем вам в изучении математики. Рады будем видеть вас в будущем студентами нашего института.

    Желаем вам больших успехов в этом году!