Математика для поступающих в магистратуру

Математика для поступающих в магистратуру


На этот день запланировано 68 событий

Начало задания Тест
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало теста Тест 1. Числовые ряды
00:00
Начало теста Тест 2. Числовые ряды
00:00
Начало теста Тест 3. Числовые ряды
00:00
Начало теста Тест 1. Степенные ряды
00:00
Начало теста Тест 2. Степенные ряды
00:00
Начало теста Тест 3. Степенные ряды
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало курса 1116
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало теста Тестовый
00:00
Начало курса 1133
Начало задания Задание 1. Дивергенция
00:00
Начало задания Задание 2. Дивергенция
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало теста Тест 1. Матрицы
00:00
Начало теста Тест 2. Векторы
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало теста Тест 6. Определители
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало курса 1123
Начало олимпиады Тест 1. Коэффициенты Фурье
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
00:00
Начало курса 1124

На этот день запланировано 5 трансляций

00:00
00:00
00:00
00:00
00:00

В этот день начнется 2 курса

Начало курса 1122
Начало курса 1134

На этот день запланирована 1 трансляция

00:00

На этот день запланировано 3 трансляции

00:00
00:00
00:00
1 ноября 2017 - 1 ноября 2057
Введение в математический анализ

Действительные числа, предел последовательности
Действительные числа. Точные верхняя и нижняя грани. Принцип вложенных

отрезков. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах. Частичные
пределы. Критерий Коши.

Предел и непрерывность функции, теоремы о промежуточных значениях
Определение предела функции. Теоремы о пределах. Непрерывность
функции. Теоремы Вейерштрасса и теорема о промежуточных значениях.
Равномерная непрерывность.

Производная, теоремы о дифференцируемых функциях, формула Тейлора
Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления функций
одной переменной. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. O-символика.
Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа и Пеано. Использование формулы Тейлора для решения задач.

Несобственные интегралы
Несобственный интеграл. Признак сравнения для интегралов от
неотрицательных функций. Критерий Коши. Абсолютная и условная
сходимость. Признак Дирихле.

Математика
Начало 1 ноября 2017 г.
Функции нескольких переменных

Множества в Rⁿ и их свойства. Граница множества
Пространство Rⁿ. Классификация точек. Открытые и замкнутые множества,

их свойства. Критерии замкнутости. Компактность. Критерий
компактности. Последовательности.

Мера Жордана в n-мерном пространстве
Измеримые по Жордану множества и их свойства. Критерий измеримости.

Функции нескольких переменных
Предел и непрерывность функций многих переменных. Определения предела
по Коши и по Гейне. Их эквивалентность. Примеры для функций 2-х
переменных, повторные пределы, предел по направлению. Определение
непрерывности функции в точке. Теорема о непрерывности композиции.
Непрерывные функции на компакте, равномерная непрерывность.

Дифференцируемость
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Дифференцируемость функции в точке. Связь между дифференцируемостью и
непрерывностью. Частные производные. Необходимое условие
дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
Дифференцируемые отображения. Частные производные
высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Кривые в R. Длина кривой. Криволинейный интеграл 1-го рода
Кривые в Rⁿ. Понятие спрямляемости кривой. Формула длины кривой через
определенный интеграл.

Математика
Начало 1 ноября 2017 г.
Кратные интегралы и теория поля

Неявная функция. Теорема о неявной функции. Якобиан.

Экстремумы функций многих переменных. Условный и безусловный экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Кратный интеграл Римана. Свойства кратного интеграла Римана. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.

Криволинейные интегралы. Гладкая кривая. Криволинейные интегралы 2 рода. Формула Грина.

Поверхностные интегралы. Простая гладкая поверхность. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл 1 рода. Ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл 2 рода.

Теория поля. Дивергенция поля. Формула Гаусса-Остроградского. Ротор поля. Формула Стокса. Соленоидальные и потенциальные поля.

Ряд Фурье по ортогональной системе. Ортогональная система функций. Лемма Римана об осцилляции. Ряд Фурье.

Математика
Начало 1 декабря 2017 г.
Интегралы и ряды

Интеграл
Определенный интеграл Римана. Критерий интегрируемости Дарбу. Свойства

интеграла. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним
пределом.  Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменных.
Формула Валлиса. Оценки определенных интегралов.

Числовые ряды
Числовые ряды.  Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами:
признак сравнения, признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак. Эталоны.
Ряды с произвольными членами: абсолютная и условная сходимость. Преобразование Абеля. 
Признак Дирихле. Перестановки рядов.

Функциональные последовательности и ряды
Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональной  последовательности.
Теорема о непрерывности предельной функции. Примеры исследования равномерной сходимости последовательностей.  
Равномерная сходимость функционального ряда. Необходимое условие. Признак Вейерштрасса. 
Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Примеры исследования равномерной сходимости рядов.
Признак Дирихле. Предельный переход под знаком интеграла и производной. Теоремы о почленном
интегрировании  и почленном дифференцировании ряда. Примеры.

Степенные ряды
Действительные степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара. Примеры нахождения радиуса
сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы степенного ряда.
Единственность представления функции степенным рядом. Применение  разложения логарифма: формула Стирлинга. 
Ряды Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд. Основные разложения. 
Примеры нахождения разложений.

Математика
Начало 1 ноября 2017 г.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Матрицы. Действия с матрицами: сравнение, сложение, умножение на число, транспонирование.

Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков, разложение по столбцу или строке.

Направленные отрезки.  Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых векторов.

Базис. Существование и единственность разложения вектора по базису. Координатное представление векторов. Действия с векторами в координатном представлении. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. Общая декартова система координат. Зависимость координат от выбора базиса и начала координат. Матрица перехода и ее свойства.

Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное произведение векторов. Координатное представление векторного произведения. Смешанное произведение тройки векторов. Координатное представление смешанного произведения. Двойное векторное произведение.

Способы задания прямой на плоскости. Условие совпадения прямых, задаваемых разными линейными уравнениями. Геометрические свойства линейных неравенств. Способы задания плоскости в пространстве. Способы задания прямой в пространстве. Формулы для расстояний: от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости в пространстве и от точки до прямой в пространстве.

Произведение матриц и его свойства. Обращение квадратных матриц и его свойства. Детерминант квадратной матрицы n-го порядка и его свойства. Миноры, дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителей по столбцу или строке. Формула для элементов обратной матрицы. Теорема Крамера.

Ранг матрицы.  Теорема о ранге матрицы.

Системы линейных уравнений​.​ Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Элементарные операции и их свойства. Метод Гаусса.

Определение линейного пространства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис. Координаты. ​Замена координат. Размерность. Подпространство. Размерность суммы двух подпространств. Линейная оболочка набора элементов. Ее свойства и размерность.

Линейные отображения и преобразования в линейном пространстве. Координатное представление линейных отображений, инъективность и сюръективность. Правило изменения матрицы линейного отображения при замене базисов.

Инвариантные подпространства линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения, их свойства. Отыскание собственных значений и собственных векторов в конечномерном случае. Инвариантность характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Размерность собственного подпространства линейного преобразования.

Билинейные формы и их координатное представление. Правило изменения матрицы билинейн​ой​ формы при замене базиса. Симметричные билинейные формы.

Квадратичные формы. Отыскание базиса, в котором квадратичн​ая форма имеет канонический вид.​​ ​

Теорема инерции для квадратичн​ой формы. Знаковая определенность квадратично​й формы. Критерий Сильвестра.

Евклидово пространство. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортогональное дополнение, ортогональная проекция.

Ортогонализация базиса. Матрица Грама и ее свойства. Координатное представление скалярного произведения в конечномерном случае.

Сопряженные преобразования. Их свойства и координатное представление. Самосопряженные преобразования и их свойства. Существование ортонормированного базиса, образованного из собственных векторов самосопряженного преобразования. 

Ортогональные преобразования и их свойства. Приведение квадратичных форм к диагональному виду при помощи ортогонально​й замены базиса.

Математика
Гармонический анализ

Коэффициенты Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье.

Интегралы, зависящие от параметра. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра.  Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру. Признаки Вейерштрасса и Дирихле. Критерий Коши. Непрерывность интеграла по параметру. Дифференцирование и интегририрование интеграла по параметру.

Преобразование Фурье. Интеграл в смысле главного значения. Прямое и обратное преобразование Фурье. Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Функциональные пространства. Евклидовы и нормированные пространства. Пространства C[a;b]C[a;b], CL1[a;b]CL_1[a;b]CL2[a;b]CL_2[a;b]RL1[a;b]RL_1[a;b] и RL2[a;b]RL_2[a;b]. Полнота нормированного пространства. Полные системы в нормированных пространствах. Суммы Фейера. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Математика
Начало 1 декабря 2017 г.