Математика 10 класс 10-М-1

Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$

При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться “лишние” корни. Почему? Потому, что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x) и f(x)=-g(x)\sqrt{f(x)}=-g(x), но на разных промежутках числовой оси: f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x) – там, где `g(x)>=0`, и f(x)=-g(x)\sqrt{f(x)}=-g(x) – там, где `g(x)<=0`. «Лишние» корни – это корни второго уравнения, геометрически это пересечение графика функции `y=g(x)` с графиком функции `y=-sqrt{f(x)}`. 

Как быть?

Дело в том, что обе части любого уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение `f(x)=g^2(x)`, при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется автоматически – поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства `f(x)>=0`!

Заметим, что уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение для `g(x)>=0`, но не имеет решений, если `g(x)<0`.

Вспомним, что, если `f(x)>=0`, `g(x)>=0`. то `f(x)=g(x)hArrf^2(x)=g^2(x)`.

Так как уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение лишь при условии `g(x)>=0` (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то 

f(x)=g(x)f(x)=g2(x)g(x)0.\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g^2(x)\\g(x)\geq0.\end{array}\right.                 (УРК1)

Это очень важное условие равносильности.

Во-первых, оно освобождает от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие `f(x)>=0` – неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.

Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия `g(x)>=0`  неотрицательности правой части – это условие “отсекает” посторонние корни – корни уравнения `-sqrt{f(x)}=g(x)`. При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни “плохие”) заранее решать не надо.

Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия `g(x)>=0` не всегда просто сделать.

Замечание

При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!

Пример 16

Решите уравнение `sqrt{2x^2-8x+9}=x-1`.

Решение

2x2-8x+9=x-1x-10,2x2-8x+9=x2-2x+1x=2,x=4.\sqrt{2x^2-8x+9}=x-1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-1\geq0,\\2x^2-8x+9=x^2-2x+1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=4.\end{array}\Rightarrow\right.\end{array}\right.

Ответ

`2`; `4`. В этом примере не оказалось лишних корней.

Пример 17

`sqrt{2x^3+2x^2-3x+3}=x+1`.

Решение

Видно, что важным при решении является условие `x+1>=0`, 
а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.

2x3+2x2-3x+3=x+1x+10,2x3+2x2-3x+3=x2+2x+1x+10,2x3+x2-5x+2=0x+10,(x-1)(x+2)x-12=0x=1,12.\begin{array}{l}\sqrt{2x^3+2x^2-3x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\2x^3+2x^2-3x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow\right.\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\2x^3+x^2-5x+2=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\(x-1)(x+2)\left(x-\dfrac12\right)=0\end{array}\Leftrightarrow x=\left[\begin{array}{l}1,\\\dfrac12.\end{array}\right.\right.\right.\end{array}

Любопытно, что `x=-2` принадлежит ОДЗ корня `(-16+8+6+3>0)`, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие `x+1>=0`.

Ответ

`0,5;  1`.