Математика 10 класс 10-М-1

12. Задачи с параметром


Пример 21

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0`  имеет ровно два различных решения.

Решение

Первый способ – решение «в лоб».

Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0`  имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0`    `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если

`1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен: 

D4=9+a-6=3+a=0a=-3,t=3x=3,x=-3.\left\{\begin{array}{l}\dfrac D4=9+a-6=3+a=0\Leftrightarrow a=-3,\\t=3\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3,\\x=-3.\end{array}\right.\end{array}\right.

`2`. Или дискриминант  положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит): 

D4=3+a>0,y1y2=6-a<0.  a>6.\left\{\begin{array}{l}\dfrac D4=3+a>0,\\y_1y_2=6-a<0.\end{array}\;\Leftrightarrow\;a>6.\right.

Ответ
 `{-3}uu(6;+oo)`.
Второй способ – решение с решение с помощью графика.
Перепишем уравнение по-другому, отправив свободный член направо:
`t^2-6t-a+6=0hArrt^2-6t=a-6hArrt(t-6)=a-6`.

Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.

Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. 9.
Видно, что положительное решение единственно, если или
`a-6=y_sf"верш" =y(3)=-9rArra=-3`, или `a-6>0`.
Рис. 9
Ответ
 `{-3}uu(6;+oo)`.

С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.

Пример 22

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение

`x^2+f^2(a)x-g(a)=0` 

имеет единственное положительное решение.

Решение

Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 10.

Рис. 10

Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е.

`g(a)>0`.

Пример 23

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение

`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`

имеет два отрицательных решения.

Решение

Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.

`y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.

Пример 24

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство

`x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`  

имеет единственное положительное решение.

Решение

Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 11. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)`  равно значению левой части в вершине, т. е.

`g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.

Рис. 11