Опубликовал
Витченко О. Н. 5118 статей

11-М-1. 2. Иррациональные неравенства

Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

Пример 3 (МГУ, 1998)

Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

Решение

Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить       только       уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

x+3=x+1⇔x+1≥0,x+3=x2+2x+1⇔x=1⇒x∈[-3;1).\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.

Ответ:

`[- 3; 1)`.

Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

`sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. (УР К1)
fx=gx⇔gx≥0,f(x)=g2(x).\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right. (УР К2)
f(x)=g(x)⇔ОДЗf(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x). (УР К3)
f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x),f(x)≥0,g(x)≥0.\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array} (УР К4)


ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

ОДЗ: `f(x) >= 0`.

 Рассмотрим неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`.  Докажем, что

(УР К5)

                                                                             

Доказательство

1. Если  является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       


Тогда:

а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

б) если `g(x) >= 0`  и  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

то `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

(УР К6)

                                                            

Теперь рассмотрим неравенство вида  `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  Докажем, что

f(x)≤g(x)⇔g(x)≥0,f(x)≤g2(x),f(x)≥0.\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right. (УР К7)

                                                              

Доказательство
1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`, то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.
2.  Если `x` является решением системы неравенств   g(x)≥0,f(x)≤g2(x),f(x)≥0,\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.   то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.
Пример 4 (МФТИ, 1998)

Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.


Решение

Первый способ

Воспользуемся (УР К6): 


Ответ

`(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.


Второй способ

Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ: