PA_Авторы Молчанов Евгений Геннадьевич
-
Описание
многократный призер Всероссийской олимпиады по математике. Преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель»
-
Место работы
кафедра высшей математики МФТИ
-
VK
http://vk.com/molch64
12 февраля
§7. Бином Ньютона
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
311 просмотров
12 февраля
§8. Понятие случайного события. Вероятность
Определение
Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при под...
328 просмотров
12 февраля
§6. Треугольник Паскаля
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2:
Доказательство Свойства 2
Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+...
292 просмотра
12 февраля
§4. Правило суммы
Правило суммы
Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n...
273 просмотра
12 февраля
§5. Формула включений и исключений
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
280 просмотров
12 февраля
§2. Размещения и перестановки
Определение
Всякий выбор упорядоченных kk элементов[3] из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA...
278 просмотров
12 февраля
§3. Сочетания
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение
Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием и...
272 просмотра
12 февраля
§1. Правило произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
335 просмотров
11 января
§3. Деление целых чисел с остатком
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (це...
309 просмотров
11 января
§4. Решение уравнений в целых числах
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
1118 просмотров
11 января
Рекомендуемая литература
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. - М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин Н.А., ...
330 просмотров
11 января
§1. Делимость целых чисел
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
337 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.4. Детальный анализ игры
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
409 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.1. Удачный ход
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
379 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.2. Анализ с конца
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
381 просмотр
28 ноября 2018 г.
3.3. Дерево игры
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
462 просмотра
28 ноября 2018 г.
Элементы теории математических игр
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
422 просмотра
28 ноября 2018 г.
§ 1. Математические игры
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
371 просмотр
8 марта 2018 г.
Литература
1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров, 1994.
2. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. /под ред. Г.Н .Яковлева – М.: Наука, 1988.
1140 просмотров
8 марта 2018 г.
§8. Понятие случайного события. Вероятность
Определение. Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при подбра...
1444 просмотра
8 марта 2018 г.
§7. Бином Ньютона
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
1618 просмотров
7 марта 2018 г.
§6. Треугольник Паскаля
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2: Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+n!k!(n-k)!=n!((n-k)+(k+1))(k+1)!...
2495 просмотров
7 марта 2018 г.
§5. Формула включений и исключений
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
1598 просмотров
7 марта 2018 г.
§4. Правило суммы
Правило суммы. Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n2n_1...
1077 просмотров
6 марта 2018 г.
§3. Сочетания
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение. Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием из nn...
1140 просмотров
6 марта 2018 г.
§2. Размещения и перестановки
Определение. Всякий выбор упорядоченных kk элементов 3{\:}^3 из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA_n...
1248 просмотров
6 марта 2018 г.
§1. Правило произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
1349 просмотров
27 февраля 2018 г.
§4. Решение уравнений в целых числах
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
22783 просмотра
26 февраля 2018 г.
§3. Деление целых чисел с остатком
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (...
3874 просмотра
26 февраля 2018 г.
Рекомендуемая литература
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. – М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин ...
1149 просмотров
26 февраля 2018 г.
§2 Десятичная запись числа
Всякое натуральное число `N` единственным образом представимо в десятичной записи, которая имеет вид
`N=a_n*10^n+a_(n-1)*10^(n-1)+cdots+a_2*10^2+a_1*10+a_0`,
где `n` – натуральное число или `0`, а `a_n,a_(n-1),cdots,a_2,a_1,a_0`, – ...
9515 просмотров
26 февраля 2018 г.
§1. Делимость целых чисел
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
2478 просмотров
29 января 2018 г.
3.4. Детальный анализ игры
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
1331 просмотр
29 января 2018 г.
3.3. Дерево игры
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
1548 просмотров
29 января 2018 г.
3.2. Анализ с конца
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
2769 просмотров
29 января 2018 г.
3.1. Удачный ход
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
1338 просмотров
29 января 2018 г.
§ 2. Стратегия. Правильная игра
Вернёмся к примеру 5 и зададимся вопросом: кто выиграет?
В общем случае может выиграть любой из игроков – для этого его сопернику достаточно «подыграть». Однако второй игрок может выиграть при любых ходах первого игрока. Для этого ем...
1480 просмотров
29 января 2018 г.
§ 1. Математические игры
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
1347 просмотров
29 января 2018 г.
Элементы теории математических игр
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
1011 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Физика
Физика
