PA_Авторы Молчанов Евгений Геннадьевич
-
Описание
многократный призер Всероссийской олимпиады по математике. Преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель»
-
Место работы
кафедра высшей математики МФТИ
-
VK
http://vk.com/molch64
12 февраля
§7. Бином Ньютона
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
148 просмотров
12 февраля
§8. Понятие случайного события. Вероятность
Определение
Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при под...
164 просмотра
12 февраля
§6. Треугольник Паскаля
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2:
Доказательство Свойства 2
Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+...
144 просмотра
12 февраля
§4. Правило суммы
Правило суммы
Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n...
132 просмотра
12 февраля
§5. Формула включений и исключений
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
142 просмотра
12 февраля
§2. Размещения и перестановки
Определение
Всякий выбор упорядоченных kk элементов[3] из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA...
140 просмотров
12 февраля
§3. Сочетания
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение
Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием и...
125 просмотров
12 февраля
§1. Правило произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
162 просмотра
11 января
§3. Деление целых чисел с остатком
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (це...
165 просмотров
11 января
§4. Решение уравнений в целых числах
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
822 просмотра
11 января
Рекомендуемая литература
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. - М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин Н.А., ...
183 просмотра
11 января
§1. Делимость целых чисел
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
195 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.4. Детальный анализ игры
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
264 просмотра
28 ноября 2018 г.
3.1. Удачный ход
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
240 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.2. Анализ с конца
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
237 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.3. Дерево игры
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
316 просмотров
28 ноября 2018 г.
Элементы теории математических игр
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
279 просмотров
28 ноября 2018 г.
§ 1. Математические игры
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
230 просмотров
8 марта 2018 г.
Литература
1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров, 1994.
2. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. /под ред. Г.Н .Яковлева – М.: Наука, 1988.
963 просмотра
8 марта 2018 г.
§8. Понятие случайного события. Вероятность
Определение. Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при подбра...
1295 просмотров
8 марта 2018 г.
§7. Бином Ньютона
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
1473 просмотра
7 марта 2018 г.
§6. Треугольник Паскаля
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2: Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+n!k!(n-k)!=n!((n-k)+(k+1))(k+1)!...
2330 просмотров
7 марта 2018 г.
§5. Формула включений и исключений
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
1458 просмотров
7 марта 2018 г.
§4. Правило суммы
Правило суммы. Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n2n_1...
949 просмотров
6 марта 2018 г.
§3. Сочетания
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение. Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием из nn...
996 просмотров
6 марта 2018 г.
§2. Размещения и перестановки
Определение. Всякий выбор упорядоченных kk элементов 3{\:}^3 из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA_n...
1107 просмотров
6 марта 2018 г.
§1. Правило произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
1209 просмотров
27 февраля 2018 г.
§4. Решение уравнений в целых числах
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
21332 просмотра
26 февраля 2018 г.
§3. Деление целых чисел с остатком
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (...
3564 просмотра
26 февраля 2018 г.
Рекомендуемая литература
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. – М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин ...
1011 просмотров
26 февраля 2018 г.
§2 Десятичная запись числа
Всякое натуральное число `N` единственным образом представимо в десятичной записи, которая имеет вид
`N=a_n*10^n+a_(n-1)*10^(n-1)+cdots+a_2*10^2+a_1*10+a_0`,
где `n` – натуральное число или `0`, а `a_n,a_(n-1),cdots,a_2,a_1,a_0`, – ...
9126 просмотров
26 февраля 2018 г.
§1. Делимость целых чисел
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
2268 просмотров
29 января 2018 г.
3.4. Детальный анализ игры
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
1206 просмотров
29 января 2018 г.
3.3. Дерево игры
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
1424 просмотра
29 января 2018 г.
3.2. Анализ с конца
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
2577 просмотров
29 января 2018 г.
3.1. Удачный ход
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
1227 просмотров
29 января 2018 г.
§ 2. Стратегия. Правильная игра
Вернёмся к примеру 5 и зададимся вопросом: кто выиграет?
В общем случае может выиграть любой из игроков – для этого его сопернику достаточно «подыграть». Однако второй игрок может выиграть при любых ходах первого игрока. Для этого ем...
1359 просмотров
29 января 2018 г.
§ 1. Математические игры
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
1224 просмотра
29 января 2018 г.
Элементы теории математических игр
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
914 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Физика
Физика
