-
Описание
многократный призер Всероссийской олимпиады по математике. Преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель»
-
Место работы
кафедра высшей математики МФТИ
-
VK
http://vk.com/molch64
12 февраля
§7. Бином Ньютона
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
546 просмотров
12 февраля
§8. Понятие случайного события. Вероятность
Определение
Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при под...
564 просмотра
12 февраля
§6. Треугольник Паскаля
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2:
Доказательство Свойства 2
Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+...
520 просмотров
12 февраля
§4. Правило суммы
Правило суммы
Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n...
503 просмотра
12 февраля
§5. Формула включений и исключений
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
516 просмотров
12 февраля
§2. Размещения и перестановки
Определение
Всякий выбор упорядоченных kk элементов[3] из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA...
522 просмотра
12 февраля
§3. Сочетания
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение
Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием и...
487 просмотров
12 февраля
§1. Правило произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
597 просмотров
11 января
§3. Деление целых чисел с остатком
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (це...
521 просмотр
11 января
§4. Решение уравнений в целых числах
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
1557 просмотров
11 января
Рекомендуемая литература
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. - М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин Н.А., ...
562 просмотра
11 января
§1. Делимость целых чисел
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
550 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.4. Детальный анализ игры
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
620 просмотров
28 ноября 2018 г.
3.1. Удачный ход
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
602 просмотра
28 ноября 2018 г.
3.2. Анализ с конца
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
582 просмотра
28 ноября 2018 г.
3.3. Дерево игры
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
679 просмотров
28 ноября 2018 г.
Элементы теории математических игр
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
641 просмотр
28 ноября 2018 г.
§ 1. Математические игры
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
582 просмотра
8 марта 2018 г.
Литература
1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров, 1994.
2. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. /под ред. Г.Н .Яковлева – М.: Наука, 1988.
1375 просмотров
8 марта 2018 г.
§8. Понятие случайного события. Вероятность
Определение. Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при подбра...
1655 просмотров
8 марта 2018 г.
§7. Бином Ньютона
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
1830 просмотров
7 марта 2018 г.
§6. Треугольник Паскаля
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2: Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+n!k!(n-k)!=n!((n-k)+(k+1))(k+1)!...
2723 просмотра
7 марта 2018 г.
§5. Формула включений и исключений
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
1776 просмотров
7 марта 2018 г.
§4. Правило суммы
Правило суммы. Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n2n_1...
1244 просмотра
6 марта 2018 г.
§3. Сочетания
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение. Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием из nn...
1306 просмотров
6 марта 2018 г.
§2. Размещения и перестановки
Определение. Всякий выбор упорядоченных kk элементов 3{\:}^3 из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA_n...
1449 просмотров
6 марта 2018 г.
§1. Правило произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
1543 просмотра
27 февраля 2018 г.
§4. Решение уравнений в целых числах
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
24317 просмотров
26 февраля 2018 г.
§3. Деление целых чисел с остатком
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (...
4187 просмотров
26 февраля 2018 г.
Рекомендуемая литература
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. – М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин ...
1371 просмотр
26 февраля 2018 г.
§2 Десятичная запись числа
Всякое натуральное число `N` единственным образом представимо в десятичной записи, которая имеет вид
`N=a_n*10^n+a_(n-1)*10^(n-1)+cdots+a_2*10^2+a_1*10+a_0`,
где `n` – натуральное число или `0`, а `a_n,a_(n-1),cdots,a_2,a_1,a_0`, – ...
10393 просмотра
26 февраля 2018 г.
§1. Делимость целых чисел
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
2717 просмотров
29 января 2018 г.
3.4. Детальный анализ игры
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
1483 просмотра
29 января 2018 г.
3.3. Дерево игры
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
1722 просмотра
29 января 2018 г.
3.2. Анализ с конца
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
3025 просмотров
29 января 2018 г.
3.1. Удачный ход
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
1490 просмотров
29 января 2018 г.
§ 2. Стратегия. Правильная игра
Вернёмся к примеру 5 и зададимся вопросом: кто выиграет?
В общем случае может выиграть любой из игроков – для этого его сопернику достаточно «подыграть». Однако второй игрок может выиграть при любых ходах первого игрока. Для этого ем...
1686 просмотров
29 января 2018 г.
§ 1. Математические игры
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
1518 просмотров
29 января 2018 г.
Элементы теории математических игр
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
1151 просмотр
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Физика
Физика
