Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за `2,5` часа. Если он увеличит скорость на `20` км/ч, то за `2` часа он проедет путь на `15` км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите  расстояние от города до посёлка.

Обозначим через `S` расстояние между городом и посёлком и через `v` скорость автомобиля. Тогда для нахождения `S` получаем систему из двух уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}v=S,\\ \left(v+20\right)2=S+15.\end{array}\right.$$

Из первого уравнения `v=S/(2,5)=2/5S`, подставляем это значение `v` во второе уравнение:    

`(2/5S+20)2=S+15`,  `1/5S=25`,  `S=125`.

`125` км. 

Сумма цифр двузначного числа равна `15`. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на `27` больше исходного. Найдите эти числа.

Пусть данное число `bar(ab)`, т. е. число десятков равно `a`, а число еди­ниц равно `b`. Из первого условия задачи имеем: `a+b=15`. Если из числа `bar(ba)` вычесть число `bar(ab)`, то получится  `27`, отсюда получаем второе уравнение: `10b+a-(10a+b)=27`.

Решаем систему уравнений

          $$ \left\{\begin{array}{l}a+b=15,\\ -9a+9b=27,\end{array}\right.$$    $$ \left\{\begin{array}{l}a+b=15,\\ a-b=-3.\end{array}\right.$$                      

Сложим уравнения последней системы, получаем:  `2a=12`,  `a=6`, тогда  `b=9`. Заданное число `69`, второе число `96`.

`69` и `96`. ▲

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля `5%` и `40%`. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы полу­чилось `140` т стали с содержанием никеля `30%`?

Обозначим через `x` массу стали с `5%` содержанием никеля и через   `y`  массу  стали  с  `40%`   содержанием  никеля.  Тогда `x+y=140`.   В `x` тоннах стали содержится `0,05x` никеля, а в  `y`  тоннах стали содержится `0,04y` никеля. Масса  никеля  равна `0,05x+0,4y` и  составляет `30%`  от `140` т,  т. е.  `3/10 140  "т"=42  "т"`. Получили второе уравнение

`0,05x+0,4y=42`.

Умножим обе части уравнения на `20`, получим: `x+8y=840`.

Для нахождения `x` и `y` получили систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=140,\\ x+8y=840.\end{array}\right.$$

Вычтем из второго уравнения первое уравнение, получим:  `7y=700`,  `y=100`  тогда `x=140-y=40`.

`40` т, `100` т. 

Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за `2` ч `24` мин. Если оператор будет работать `2` ч, а ученик `1` ч, то будет выполнено `2/3` всей работы. Сколько времени потребуется оператору и ученику в отдельности на обработку задачи?

Обозначим всю работу за `1`, производительность оператора за `x` и производительность ученика за  `y`. Учитываем, что    

`2` ч `24` мин`=2  2/5` ч `=12/5` ч.  

Из первого условия задачи следует, что `(x+y)12/5=1`. Из второго условия задачи следует, что   `2x+y=2/3`. Получили систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)\frac{12}{5}=1,\\ 2x+y=\frac{2}{3}.\end{array}\right.$$

Решаем эту систему методом подстановки:

`y=2/3-2x`;  `(x+2/3-2x)12/5=1`;  `(2/3-x)12/5=1`;  `12/5x=8/5-1`;

`12/5x=3/5`;  `x=1/4`;  `y=2/3-1/2=1/6`.

Для оператора понадобится `4` часа `(1:1/4=4)`, а ученику `– 6` часов `(1:1/6=6)`.