16 статей
В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.
Система отсчёта, в которой любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.
инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют
в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:
`Delta vec p = vec F * Delta t` (1)Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в данной системе отсчёта:
`vec p = m * vec v`.
`vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:
в ИСО приращение импульса материальной точки равно импульсу силы.
Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:
в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:
`vec a = vec F/m` (2)Если масса тела остаётся неизменной, то `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v`, и соотношение (1) принимает вид `m Delta vec v = vec F Delta t`. С учётом `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности соотношений (1) и (2) в рассматриваемом случае.
В настоящем Задании представлены задачи, для решения которых привлекается второй закон Ньютона (см.(1)), устанавливающий равенство приращений импульса материальной точки и импульса силы.
при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:
`vecF_(12) = - vecF_(21)`.
1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,
2) эти силы равны по величине,
3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.
Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.
Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:
Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.
Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:
привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы;
выбрать инерциальную систему отсчёта;
составить уравнение (3);
перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления;
решить полученную систему.
Рассмотрим характерные примеры.
К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени горизонтальную силу величиной . После прекращения действия силы тело движется до остановки . Определите величину $$ {F}_{\mathrm{тр}}$$ силы трения скольжения, считая её постоянной.
На рис. 1 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона
`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_("тр") + vec F`.
Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона
$$ ∆{p}_{x}=\left(F-{F}_{\mathrm{тр}}\right)∆t$$
и в процессе торможения `(F = 0)`
$$ ∆{p}_{x}=-{F}_{\mathrm{тр}}∆t$$.
Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки:
`sum Delta p_x = sum_(0 <= t <= t_1) (F - F_sf"тр") Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (-F_sf"тр" ) Delta t`.
Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда
.
С учётом равенств , и независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:
.
Далее рассмотрим пример, в котором одна из сил зависит от времени.
На какое максимальное расстояние `L_max` улетит мяч, если в процессе удара футболист действует на мяч постоянной по направлению силой, величина которой изменяется по закону, представленному на рис. 2. Длительность удара , максимальная сила , масса мяча . Здесь и далее ускорение свободного падения . Сопротивление воздуха не учитывайте.
В процессе удара на мяч действуют две силы: - тяжести и сила `vec F`, с которой футболист действует на мяч,
.
Так как `mg < < F_max`, силой тяжести пренебрежём. Из кинематики известно, что максимальная дальность полёта наблюдается при старте под углом `alpha = pi/4`. Процесс удара показан на рис. 3.
По второму закону Ньютона приращение импульса равно импульсу силы `Delta vec p = vec F * Delta t`. Переходя к проекциям приращения импульса и силы на ось `Ox`, получаем
`Delta p_x = F Delta t`.
Просуммируем элементарные приращения импульса мяча за время удара
`sum Delta p_x = mv - 0 = sum_(0 <= t <= tau) F Delta t`.
Импульс силы `sum_(0 <= t <= tau) F(t) Delta t` за время удара численно равен площади под графиком зависимости этой силы от времени (каждое слагаемое `F(t) Delta t` в импульсе силы можно интерпретировать как площадь элементарного прямоугольника со сторонами `F(t)` и `Delta t` на графике зависимости `F(t)`). Тогда импульс силы `F` за время удара равен
`sum_(0 <= t <= tau) F Delta t = (F_max tau)/2`
и в рассматриваемом случае не зависит от того, в какой именно момент времени сила достигает максимального значения (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту!). Далее находим импульс мяча в момент окончания действия силы
`mv = 1/2 F_max * tau`.
Отсюда находим начальную скорость полёта мяча
`v = (F_max * tau)/(2m) = (3,5 * 10^3 * 8 * 10^-3)/(2 * 0,5) = 28 sf"м/с"`
и максимальную дальность (старт под углом `alpha = pi/4`) полёта
`L_max = (v^2)/g = (28^2)/(10) ~~ 78 sf"м"`.
В рассматриваемом модельном примере получен несколько завышенный по сравнению с наблюдениями результат.
На вступительных испытаниях и олимпиадах в вузах России регулярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с «традиционными» силами: силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело действует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.
Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v = 10 sf"м/с"`, упал на землю, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на `delta = 30 %` меньшую, чем при бросании. Найдите время полёта мяча. Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.
Согласно второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы:
`m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`.
Переходя к проекциям сил и приращения скорости на вертикальную ось, получаем
`m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.
Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`, и перепишем последнее соотношение в виде:
`m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * Delta y`.
Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`:
`m * (sum Delta v_y) = - mg * (sum Delta t) - k* (sum Delta y)`.
Переходя к конечным приращениям, получаем
`m (v_y (T) - v_y (0)) = - mg (T - 0) - k (y (T) - y (0))`.
Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое
`y (T) - y (0) = 0`.
Тогда `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha = - mgT`. Отсюда находим продолжительность полёта мяча:
`T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5 sf"с"`.
В следующем примере рассматривается удар, в ходе которого две очень большие силы, «согласованно» действуют во взаимно перпендикулярных направлениях.
Кубик, движущийся поступательно со скоростью `v` (рис. 4) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой.
Коэффициент трения `mu` скольжения кубика по стенке и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.
Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 5.
По второму закону Ньютона
`Delta vec p = (m vec g + vecN_("г") + vecF_("тр") + vecN_("в") ) * Delta t`.
Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем
`Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t`, `Delta p_y = N_sf"в" Delta t`.
Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"в" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим:
`sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t`.
В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"в"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения
`sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.
Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для этого просуммируем приращения
`Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t = - mu N_sf"в" Delta t`
по всему времени `tau` соударения, получим:
`sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha = - sum _(0 <= t<= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.
Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`. Далее, считая `v_x (tau) > 0`, получаем
`bbb"tg" beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.
Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2 ...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vecv_1`, `vecv_2 ...`. Импульсом `vecP_sf"с"` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих систему: `vecP_sf"с" = vec p_1 + vec p_2 + ...`.
Найдём скорость `(Delta vec P_sf"с")/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку действуют суммарной силой `vec F_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vec f_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vec F_2` и внутренняя сила `vec f_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем
`(Delta vec P_("с"))/(Delta t) = (Delta vec p_1)/(Delta t) + (Delta vec p_2)/(Delta t) = (vec F_1 + vec f_(12)) + (vec F_2 + vec f_(21))`.
По третьему закону Ньютона `vec f_(12) + vec f_(21) = vec (0)`, и мы приходим к теореме об изменении импульса системы материальных точек:
`(Delta vec P_("с"))/(Delta t) = vec F_1 + vec F_2`,
т. е. скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы взаимодействующих тел, если нет никаких других внешних сил.
В этом - его более глубокое физическое содержание.
Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 6), с которыми клин действует на опору.
По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vec(R_1) = - vecF_("тр")` и силой нормальной реакции `vec R_2 = - vecN_("г")`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 7).
Силы `vec F_("тр")` и `vecN_("г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок» и определяют скорость изменения импульса этой системы.
Импульс `vecP_("с")` системы направлен по скорости бруска и по величине равен произведению массы бруска на его скорость `vecP_("с") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 8):
`(Delta vec p)/(Delta t) = m vec g + vec N + vecf_("тр")`.
Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N` получаем:
`(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`, `(Delta p_x)/(Delta t) = mg (sin alpha - mu cos alpha)`.
По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»
`(Delta vec(P_sf"с"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vec N_("г") + vecF_("тр")`.
Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное и вертикальное направления (рис. 7), с учётом
получаем
,
,
.
Отсюда находим искомые силы
`R_1 = F_sf"тр" = mg (sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,
`R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha)sin alpha`.
К этим же результатам можно прийти, анализируя движение на «традиционном языке» сил и ускорений с использованием формулы (2).
Из теоремы об изменении импульса системы материальных точек
`(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = sum_i vecF_i`
следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:
если `sum_i vecF_i = vec 0`, то `vecP_("c")` остаётся неизменным по величине и направлению;
если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(sf"c",x) = bbb"const"`;
наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по величине импульса системы `|sum_i vecF_i| Delta t < < |vecP_("c") (t)|`, то из равенства
`Delta vecP_("c") = vecP_("c") (t + Delta t) - vecP_("c") (t) = (sum_i vecF_i) Delta t`
следует, что приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы мало, т. е. на рассматриваемом интервале времени сохраняется импульс системы
`vecP_("c") (t + Delta t) = vecP_("c") (t)`.
Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетающее из пушки ядро очень быстро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5 m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком?
Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний из перечисленных случаев сохранения импульса системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» действуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что импульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `mvecv_0` ядра непосредственно перед «посадкой». Тогда скорость `vecv_0` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vecv_1` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы
`m vecv_0 = 6m vecv_1`,
так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря барону предстоит пройти пешком!
На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой. На какое расстояние `S` переместится соломинка?
Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции
`Delta vecP_("c") = M Delta vecv_1 + m Delta vecv_2 = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,
здесь `vecv_1` - скорость соломинки, `vecv_2` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции равна нулю. Тогда импульс системы «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:
`M vecv_1 + m vecv_2 = vec 0`.
Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей
`vecv_2 = vecv_1 + vec u`,
здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим
`v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x^')`.
С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x^')) = 0`, т. е. в любой момент времени `v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x^')`. Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x^' = u_(x^') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением
`Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x^'`.
Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи:
`S = m/(m + M) L`.
Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис. 9). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к моменту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.
Рассмотрим систему тел «клин + грузы» (рис. 10). На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил (рис. 10): тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры
`Delta vecP_("c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`.
Проекции сил тяжести и нормальной реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная составляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:
`(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`;
здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизонтальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vecv_("г") = vecv_("к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид
`(2m + 3m) v_(x,"к") + m(v_(x,"к") + u_(x^')) = 0`.
Отсюда находим связь проекций скорости
`v_(x,"к") = - m/(6m) u_(x^') = - u_(x^')/6`
и элементарных перемещений:
`Delta x_sf"к" =- (Delta x^')/6`,
где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x^'` - проекция перемещения лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи:
`S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.
Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения. Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.
В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы не известны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.
Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими - уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль - с такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.
Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.
Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.
Переходя к характерным примерам, отметим, что исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСО), т. е. в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, с которой Вы познакомитесь в следующих Заданиях. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб), называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.
Неупругие столкновения
Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).
Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения импульса
`mv = (m + M) u`.
По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.
Из приведённых соотношений находим
`Q = M/(m + M) K`.
Отметим, что в предельных случаях
`Q = K`,
`m < < M`,
`Q = M/m K < < K`,
`m > > M`.
Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.
При равенстве масс `(m = M)` `Q = K/2`.
Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.
Упругие столкновения
На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар того же радиуса массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса
`m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.
Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем
`mv = mv_(1x) + Mv_2`,
здесь учтено, что направление скорости налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.
Полученные соотношения перепишем в виде
`m(v - v_(1x)) = Mv_2`,
`m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.
Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`, `m(v - v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид
`v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,
`v_2 = (2m)/(m + M) v`.
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`, т. е. если масса налетающего шара больше массы покоящегося шара.
Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности. Скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб непосредственно перед соударением известны и показаны на рис. 11. Найдите скорости `vecv_(1)^'` и `vecv_(2)^'` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.
Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось `Ox` направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис. 11).
В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется:
`vecp_1 + vecp_2 = vecp_(1)^' + vecp_(2)^'`,
здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_(1)^'= m_1 vecv_(1)^'`, `vecp_(2)^' = m_2 vecv_(2)^'` - импульсы шайб до и после соударения.
Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) = p_(2y)^'` находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения:
`v_(1y)^' = v_(1y)`, `v_(2y)^' = v_(2y)`,
т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.
Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
`(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.
С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид:
`(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.
Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось `Ox`:
`m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.
Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разделить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линейному уравнению
`v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.
Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения
`v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`, `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`,
а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_(1)^'` и `vecv_(2)^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`,
`bbb"tg" alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`, `bbb"tg" alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.
Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём пример.
Гладкая круглая шайба массой `m_1` движется со скоростью `vec v` вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно `R//2` (рис. 12). Обруч массой `m_2` и радиусом `R` лежит на гладком горизонтальном столе. Через какое время `tau` после первого удара шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.
Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем примере. В ЛСО, ось `Ox` которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скоростей шайбы и центра обруча на ось `Ox` после соударения равны соответственно
`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2)v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2) = ((m_1 - m_2)v_(1x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1)v_(2x))/(m_1 + m_2) = (2m_1 v_(1x))/(m_1 + m_2)`,
здесь `v_(1x) = vcos pi/6` - проекция скорости шайбы на ось `Ox` до соударения, `v_(2x) = 0` - обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с обручем, проекция скорости шайбы на линию центров после соударения
`v_(1xsf"отн") = v_(1x)^' - v_(2x)^' =- v_(1x) =- vcos pi/6`
просто изменила знак, а перпендикулярная линии центров составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, в системе, связанной с обручем, шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения», и минимальное расстояние от шайбы до центра обруча снова будет равно `R//2`. Искомое время
`tau = (R cos^(2) pi/6)/|v_(1xsf"отн")| = cos pi/6 R/v = sqrt3/2 R/v`.
Газообразное состояние вещества и протекающие в газах тепловые процессы могут быть описаны либо с использованием уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева – Клапейрона), газовых законов, либо в рамках молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эти два подхода к изучаемым явлениям не противоречат друг другу, а взаимно дополняют.
Законы Бойля – Мариотта, Шарля и Гей-Люссака, найденные при экспериментальном изучении поведения газов в разных условиях, позволили получить уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева – Клапейрона.
На основе законов молекулярно-кинетической теории газообразного состояния вещества в принципе можно дать описание любого теплового процесса или явления с участием газов. Упомянутые выше газовые законы находят довольно простое объяснение в МКТ.
2.1. Свойства газообразного состояния вещества
В основе молекулярно-кинетической теории строения вещества лежат три утверждения: все вещества состоят из отдельных атомов или молекул, разделённых промежутками; молекулы вещества находятся в состоянии непрерывного беспорядочного теплового движения; между молекулами вещества существует взаимное притяжение и отталкивание.
Из опыта известно, что в газообразном состоянии вещество не имеет собственной формы и постоянного объёма. Газы принимают форму сосуда и полностью заполняют объём, ограниченный непроницаемыми для газа стенками.
Такие свойства газов связаны с тем, что среднее расстояние между молекулами газа намного больше размеров самих молекул. В этом случае силы притяжения между молекулами значительно меньше сил притяжения между молекулами вещества в жидком или твёрдом состояниях. А это означает, что молекулы газа могут двигаться во всех направлениях, почти не притягиваясь друг к другу, и заполнять весь предоставленный им объём.
Стремясь расшириться, газ оказывает давление на стенки сосуда или любого другого тела, с которым он соприкасается. Давление газа, находящегося в состоянии равновесия в сосуде обычных размеров, практически одинаково по всему объёму сосуда. Изменение температуры газа или его объёма приводит к изменению его давления.
2.2. Массы атомов и молекул
В экспериментальной физике разработаны различные методы для определения масс атомов и молекул. Наибольшая точность таких измерений достигнута с использованием специального прибора – масс-спектрометра. Например, для массы одного атома углерода $$ \left({m}_{\mathrm{C}}\right)$$ и одной молекулы воды $$ \left({m}_{{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}}\right)$$ измерения дают значения:
$$ {m}_{\mathrm{C}} = \mathrm{1,995} ·{10}^{-26 } \mathrm{кг}$$ , $$ {m}_{{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}} = \mathrm{2,990} ·{10}^{-26} \mathrm{кг}$$.
За атомную единицу массы ($$ 1$$ а. е. м.) принимается $$ 1/12$$ массы атома изотопа углерода $$ {}_{6}{}^{12}\mathrm{C}$$. Относительной атомной (или молекулярной) массой вещества называют отношение массы атома (или молекулы) к $$ 1$$ а. е. м. Значения относительных атомных масс химических элементов можно найти в таблице периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Например, относительная атомная масса аргона $$ \left(\mathrm{Ar}\right)$$ равна $$ 40$$.
2.3. Количество вещества
Для характеристики количества вещества используют относительное число молекул. В международной системе единиц СИ количество вещества измеряют в молях. $$ 1$$ моль – это количество вещества, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько их содержится в углероде массой $$ \mathrm{0,012} \mathrm{кг}$$.
Моль любого вещества содержит одно и то же число атомов или молекул. Это число обозначается $$ {N}_{\mathrm{A}}$$ и называется постоянной Авогадро. Значение постоянной Авогадро, полученное с использованием современных экспериментальных методов, составляет:
$$ {N}_{\mathrm{A}}=\mathrm{6,022}·{10}^{23}$$ моль$$ {}^{-1}$$.
Количество вещества $$ \nu $$, т. е. число молей, равно отношению числа молекул $$ N$$ в данном теле к постоянной Авогадро $$ {N}_{\mathrm{A}}:\nu ={\displaystyle \frac{N}{{N}_{\mathrm{A}}}}$$.
2.4. Молярная масса
Важной характеристикой конкретного вещества является его молярная масса $$ М$$. Молярной массой называют массу данного вещества, взятого в количестве одного моля. Молярная масса равна произведению массы $$ {m}_{0}$$ одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро:
$$ M={m}_{0}{N}_{\mathrm{A}}$$.
Масса `m` тела, состоящего из $$ N$$ одинаковых молекул, равна $$ m={m}_{0}N$$ . Тогда, используя выражения для $$ m$$ и молярной массы $$ M$$ для количества вещества $$ \nu $$ в теле можно записать:
$$ \nu ={\displaystyle \dfrac{N}{{N}_{\mathrm{A}}}}=\dfrac{m}{M}$$.
Для определения молярных масс можно воспользоваться таблицей периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Например, для кремния $$ 28$$ а. е. м. соответствует молярной массе $$ {M}_{\mathrm{Si}}=\mathrm{0,028} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
Молярная масса газа, молекулы которого состоят из разных атомов, может быть определена по его химической формуле путём сложения относительных атомных масс элементов, входящих в состав молекулы. Например, молярная масса $$ {M}_{\mathrm{аммиак}}$$ аммиака $$ \left({\mathrm{NH}}_{3}\right)$$ равна:
$$ {M}_{\mathrm{аммиак}}={M}_{\mathrm{N}}+3{M}_{\mathrm{H}}=$$
$$ \mathrm{0,014} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}+3·\mathrm{0,001} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}=\mathrm{0,017} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
Здесь $$ {M}_{\mathrm{N}} =\mathrm{0,014} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$ и $$ {M}_{\mathrm{H}}= \mathrm{0,001} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь} -$$ молярные массы углерода и водорода соответственно.
2.5. Размеры атомов и молекул
Оценим размер молекулы (атома). В веществе, находящемся в жидком или твёрдом состоянии, атомы или молекулы расположены «вплотную» друг к другу. Тогда характерный размер молекулы (или атома) можно оценить, определив объём, в котором находится одна молекула.
Пусть имеется сплошное тело массой $$ m$$ и плотностью $$ \rho $$, изготовленное из вещества с молярной массой $$ M$$. Число молекул $$ N$$ данного вещества в этом объёме равно:
$$ N={\displaystyle \frac{m{N}_{\mathrm{A}}}{M}}$$.
Объём тела $$ V$$ равен $$ m/\rho $$. Тогда занимаемый одной молекулой объём $$ {V}_{0}$$ можно определить следующим образом:
$$ {V}_{0}=\frac{V}{N}={\displaystyle \frac{mM}{\rho {N}_{\mathrm{A}}m}}={\displaystyle \frac{M}{\rho {N}_{\mathrm{A}}}}$$.
Линейный размер `r` молекулы оценим из приближённого соотношения $$ {V}_{0}\approx {r}^{3}$$ (для молекулы в форме «шарика» $$ {V}_{0}=4\pi {r}^{3}/3$$):
$$ r\approx \sqrt[3]{{V}_{0}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{M}{\rho {N}_{\mathrm{A}}}}}$$.
Оценим, например, размер атома кальция ($$ \rho =1550 {\mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}}^{3}, M=\mathrm{0,040} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$). Подставляя данные в приведённую выше формулу, находим: $$ r\approx \mathrm{3,5}·{10}^{-10} \mathrm{м}$$ (справочное значение $$ \mathrm{3,84}·{10}^{-10} \mathrm{м}$$). Размеры того же порядка $$ ({10}^{-10} \mathrm{м})$$ имеют атомы и молекулы других веществ.
Пусть в сосуде объёма находится некоторое количество газа, состоящего из нейтральных молекул. Допустим также, что нам известен химический состав данного газа (например, азот или углекислый газ ).
Равновесное состояние любого тела в термодинамике определяется некоторым (небольшим) количеством физических величин, полностью характеризующих это состояние. Эти величины принято называть параметрами состояния, или просто параметрами. Например, для описания состояния газа в сосуде используют давление газа, занимаемый им объём и его температуру.
Состоянием термодинамического равновесия системы (в том числе и газа) называется состояние, характеризуемое тем, что в нём все макроскопические процессы прекращаются, а давление и температура принимают значения, постоянные по всему объёму системы.
Если давление газа в любой точке сосуда принимает одно и то же значение, то в сосуде не происходит движения отдельных частей газа, т. е. имеет место механическое равновесие. Это верно для сосудов обычных размеров, если пренебречь незначительным изменением давления с высотой, возникающим под действием силы тяжести.
Если температура газа во всём объёме одинакова, то не происходит теплопередачи от одной части газа к другой, т. е. наступает тепловое равновесие.
Как показывает опыт, в состоянии теплового равновесия три параметра состояния газа (давление, температура и объём) не являются независимыми друг от друга. Если некоторое количество газа заключено в сосуде определённого объёма при определённой температуре, то газ имеет и вполне определённое давление. При изменении температуры газа или его объёма давление газа также изменяется, принимая новое, вполне определённое значение. Эта связь между тремя параметрами (объёмом , давлением , и температурой ) не зависит от того, каким способом были достигнуты два параметра. Такую связь между параметрами газа в самом общем виде для постоянной массы газа называют уравнением состояния газа. Конкретный вид уравнения состояния получают на основании данных опытов, в которых устанавливаются закономерности поведения газа при изменении какого-либо параметра состояния.
4.1. Квазистатические процессы
Всякое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из её параметров состояния, называется термодинамическим процессом.
Пусть в сосуде с поршнем находится некоторая порция газа. Тогда примером термодинамического процесса может служить процесс, в котором при перемещении поршня происходит изменение объёма $$ V$$ газа в сосуде. При этом каждому значению объёма $$ V$$ в состоянии теплового равновесия будет соответствовать определённое значение давления газа $$ p$$. Следовательно, между объёмом газа и его давлением будет существовать некоторая зависимость $$ p\left(V\right)$$, которую можно представить графически, т. е. построить её график в координатах $$ p,V$$.
Каждое равновесное состояние газа изображается на таком графике соответствующей точкой, а сам график изображает изменение параметров газа, т. е. даёт графическое описание теплового процесса.
Но всякое изменение одного из параметров означает, что система вышла из состояния теплового равновесия и ей уже нельзя приписать в целом ни определённого давления, ни определённой температуры.
Например, при быстром опускании поршня (т. е. при сжатии газа) параметры состояния газа (например, давление, плотность и температура) вблизи поршня изменятся довольно существенно. В то же время вдали от поршня изменение состояния газа произойдёт несколько позже. Поэтому газ в целом имеет разные давления и температуры в различных точках, и такое состояние газа нельзя изобразить графически. Возникает естественный вопрос: каким же образом необходимо изменять параметры системы, чтобы можно было в процессе их изменения характеризовать газ тем же числом параметров и использовать уравнение состояния, справедливое, строго говоря, только для состояния теплового равновесия?
Как показывает опыт, любая система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, переходит по прошествии некоторого времени в состояние теплового равновесия. Процесс перехода к равновесному состоянию называется релаксацией, а время, необходимое для этого, временем релаксации. Это время и определяет скорость изменения параметров системы. Если время перехода из одного равновесного состояния в другое много больше времени релаксации, то все отклонения от равновесного состояния будут успевать исчезать и система будет проходить через ряд равновесных состояний, переходящих одно в другое. Такие процессы называются квазистатическими, потому что при этом в каждый данный момент состояние системы мало отличается от равновесного.
Таким образом, если в рассматриваемом нами примере процесс изменения объёма идёт достаточно медленно, то давление и температура газа во всем объёме успевают сравняться и принимают в каждый момент времени одинаковые по всему объёму значения. Это означает, что в таком процессе газ проходит через последовательность равновесных (почти равновесных) состояний. Так как в равновесном процессе давление $$ p$$, температура $$ T$$ и объём $$ V$$ в каждый момент времени имеют вполне определённые значения, то существуют зависимости между $$ p$$ и $$ T$$, $$ V$$ и $$ T$$, $$ p$$ и $$ V$$. Следовательно, квазистатические процессы можно изображать в виде графиков этих зависимостей, например, $$ p\left(V\right)$$ или $$ V\left(T\right)$$. Неравновесный процесс невозможно изобразить графически.
Ясно, что с помощью уравнения состояния можно изучать только квазистатические процессы. Времена релаксаций, определяющие степень медленности квазистатического процесса, для разных систем и различных тепловых процессов сильно отличаются друг от друга, и для их определения нужно проводить очень трудный и сложный дополнительный анализ. В дальнейшем рассматриваются только квазистатические процессы.
Процессы, протекающие при постоянной массе газа и неизменном значении одного из параметров состояния газа (давление, объём или температура), принято называть изопроцессами. Например, процесс, происходящий при постоянной температуре, называется изотермическим, при постоянном объёме – изохорическим (или изохорным), при постоянном давлении – изобарическим (или изобарным).
4.2. Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта
В XVII веке независимо друг от друга английский физик Бойль и французский физик Мариотт экспериментально установили закон изменения объёма газа при изменении давления: для данной массы любого газа при постоянной температуре его объём обратно пропорционален давлению.
Закон носит название закона Бойля – Мариотта и обычно записывается в виде:
$$ pV=\mathrm{const}$$,
где значение константы определяется температурой, при которой происходит данный процесс.
График этого процесса (изотерма) в координатах $$ p$$ и $$ V$$ изобразится кривой, определяемой уравнением:
$$ p={\displaystyle \frac{\mathrm{const}}{V}}$$.
Эта кривая, как известно из математики, называется гиперболой. На рисунке $$ 1$$ изображены изотермы одной и той массы газа для двух разных температур $$ {T}_{1}$$ и $$ {T}_{2}$$ $$ ({T}_{2}>{T}_{1})$$. Изотерма, соответствующая бóльшей температуре, проходит выше, так как при одинаковых объёмах бóльшей температуре соответствует и бóльшее давление.
 |
4.3. Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака
Поместим газ в сосуд с вертикальными стенками и подвижным поршнем, имеющим массу $$ {m}_{\mathrm{п}}g$$ и площадь сечения $$ S$$ который может перемещаться без трения (рис. $$ 2$$). Пусть на поршень сверху действует атмосферное давление $$ {p}_{0}$$. Рассмотрим равновесное состояние газа, характеризуемое давлением $$ p$$. Величину этого давления найдём из условия механического равновесия для поршня.
 |
На поршень действуют две силы, направленные вертикально вниз (сила тяжести $$ {m}_{\mathrm{п}}$$ и сила давления атмосферы $$ {p}_{0}S$$), и направленная вертикально вверх сила давления со стороны газа под поршнем, значение которой равно $$ pS$$. Условие равновесия поршня $$ -$$ равенство нулю равнодействующей этих сил. Отсюда для давления $$ p$$ газа находим:
$$ p={p}_{0}+{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{п}}g}{S}}$$
Внешнее давление на газ также равно $$ p$$. Как показывает опыт, при квазистатическом (медленном) нагревании газа под поршнем при постоянном внешнем давлении, объём всех без исключения газов увеличивается, а при охлаждении уменьшается.
Исследуя на опыте тепловое расширение газов при постоянном давлении, французский учёный Гей-Люссак открыл, что объём $$ V$$ газа данной массы при изменении температуры $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ изменяется по линейному закону:
$$ V={V}_{0}(1+\alpha t)$$.
Здесь $$ {V}_{0} -$$ объём газа при температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C}$$, $$ \alpha -$$ коэффициент объёмного расширения при постоянном давлении. Оказалось, что для всех газов $$ \alpha $$ принимает одно и то же значение, равное $$ 1/273{}^{\circ }\mathrm{C}$$.
4.4. Изохорический процесс. Закон Шарля
Рассмотрим теперь процесс нагревания газа при постоянном объёме, или, как говорят, процесс изохорического нагревания газа. Поместим для этого газ в герметический сосуд, например, в металлический котёл с плотно завинчивающейся крышкой. Будем нагревать газ в котле, измеряя его температуру и давление. Как показывает опыт, давление газа внутри котла увеличивается с ростом температуры.
Зависимость давления газа от температуры при неизменном объёме была экспериментально установлена французским физиком Шарлем. Согласно закону Шарля, давление $$ p$$ газа данной массы при изменении температуры $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ изменяется по линейному закону:
$$ p={p}_{0}(1+\gamma t)$$.
Здесь $$ {p}_{0} -$$ давление газа при температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C}$$, $$ \gamma -$$ термический коэффициент давления. Оказалось, что для всех газов $$ \gamma $$ принимает одно и то же значение, равное $$ 1/273{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Заметим, что коэффициент $$ \gamma $$ равен коэффициенту $$ \alpha $$ в законе Гей-Люссака.
4.5. Абсолютная шкала температур
Законы Гей-Люссака и Шарля выглядят гораздо проще, если вместо температурной шкалы Цельсия $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ ввести шкалу, предложенную английским физиком Кельвином. Связь между температурой $$ T$$ по шкале Кельвина и температурой $$ t$$ по шкале Цельсия даётся формулой:
$$ T=t+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=t+\frac{1}\gamma =t+273$$.
Шкалу Кельвина называют абсолютной шкалой температур. На новой температурной шкале нулю градусов Цельсия соответствует температура $$ {T}_{0}=273$$ градуса (точнее, $$ \mathrm{273,15}$$). Единица измерения температуры называется кельвином и обозначается буквой $$ \mathrm{К}$$. Изменению температуры на $$ 1$$ градус Цельсия соответствует её изменению на $$ 1$$ кельвин. Комнатной температуре $$ t=20{}^{\circ }\mathrm{C}$$ по шкале Цельсия соответствует температура $$ T=293 \mathrm{К}$$ по шкале Кельвина.
Законы Гей-Люссака и Шарля при этом примут вид:
$$ V={V}_{0}\alpha ·\left({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+t\right)=\alpha {V}_{0}T$$ (закон Гей-Люссака),
$$ p={p}_{0}\gamma \left({\displaystyle \frac{1}{\gamma }}+t\right)=\gamma {p}_{0}T$$ (закон Шарля),
где $$ {V}_{0}$$ и $$ {p}_{0} -$$ объём и давление газа при температуре $$ {T}_{0}$$.
Как видно из уравнения для закона Гей-Люссака, график изобарического процесса (изобара) в координатах $$ V$$ и $$ T$$ представляет собой отрезок, лежащий на прямой линии, проходящей через начало координат. На рисунке 3 показаны две изобары при различных давлениях $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2} ({p}_{2}>{p}_{1})$$. Давление, при котором проходит процесс, можно изменять, используя поршни разной массы. Вторая изобара проходит ниже первой, так как при одной и той же температуре бóльшему давлению соответствует меньший объём.
 |
В координатах $$ p$$ и $$ T$$ графики изобарических процессов представляют собой прямые линии, параллельные оси $$ T$$ (рис. 4).
График изохорического процесса (изохора, закон Шарля) в координатах $$ p$$ и $$ T$$ представляет собой отрезок, лежащий на прямой линии, проходящей через начало координат. На рисунке 5 показаны две изохоры при различных объёмах $$ {V}_{1}$$ и $$ {V}_{2} ({V}_{2}>{V}_{1})$$. Вторая изохора проходит ниже первой, так как при одной и той же температуре бóльшему давлению соответствует меньший объём.
5.1. Уравнение состояния идеального газа
Равенство коэффициента теплового расширения газа при постоянном давлении термическому коэффициенту давления при постоянном объёме является свойством, присущим только идеальным газам. Оно позволяет найти уравнение состояния газов.
Пусть газ совершает тепловой процесс, в котором его сначала нагревают при постоянном объёме, а затем при постоянном давлении. График процесса изохорического нагревания в координатах $$ p,V$$ изобразится прямой `1-2^'`, параллельной оси ординат $$ p$$ (рис. 6).
 |
Процесс изобарического нагревания изобразится на этом графике прямой `2^'-2`, параллельной оси абсцисс $$ V$$.
Обозначим давление, объём и температуру газа в начале теплового процесса (точка $$ 1$$ на графике) как $$ {p}_{1},{V}_{1},{T}_{1}$$ соответственно; в конце процесса изохорического нагревания `p_2^'`, `V_2^'`, `T_2^'` (точка `2^'`) и в конце изобарического процесса $$ - {p}_{2},{V}_{2},{T}_{2}$$ (точка $$ 2$$).
Из закона Шарля следует, что отношение давления к абсолютной температуре есть величина постоянная: $$ p/T=\alpha {p}_{0}(\gamma =\alpha )$$. Поэтому давление и температура газа в точке `2^'` связаны с давлением и температурой газа в точке `1` соотношением `p_2^'//T_2^'=p_1//T_1`, из которого находим температуру `T_2^'` в конце изохорического нагревания:
`T_2^'=(p_2^')/p_1*T_1`.
Аналогично, используя закон Гей-Люссака, можно показать, что температура `T_2^'` и объём газа `V_2^'` в точке `2^'` в процессе изобарического нагревания связаны с температурой $$ {T}_{2}$$ и объёмом газа $$ {V}_{2}$$ в точке $$ 2$$ соотношением `V_2^'//T_2^'=V_2//T_2`. Подставляя в это уравнение температуру `T_2^'` и учитывая равенства `V_2^'=V_1`, `p_2^'=p_2`, получаем:
$$ {\displaystyle \frac{{V}_{1}{p}_{1}}{{p}_{2}{T}_{1}}}={\displaystyle \frac{{V}_{2}}{{T}_{2}}}$$.
Откуда следует:
$$ {\displaystyle \frac{{p}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}}={\displaystyle \frac{{p}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}}$$. (1)
Начальное и конечное состояния газа (точки $$ 1$$ и $$ 2$$) были выбраны совершенно произвольно. Можно было бы взять в качестве начального и конечного состояний другие точки. Процесс перевода газа из состояния $$ 1$$ в состояние $$ 2$$ также можно было бы совершить по-иному, нагревая, например, газ сначала изобарически, а затем изохорически. Однако в любом случае можно показать, что параметры начального (точка $$ 1$$) и конечного (точка $$ 2$$) состояний газа всегда связаны между собой соотношением (1), или, по-другому, что в состоянии теплового равновесия для данной массы газа справедливо соотношение:
$$ {\displaystyle \frac{pV}{T}}=\mathrm{const}$$. (2)
Неизвестную постоянную удалось вычислить после того, как итальянским физиком Авогадро был экспериментально установлен закон, согласно которому один моль любого газа при нормальных условиях, т. е. при нормальном атмосферном давлении $$ 1$$ атм $$ (101325 \mathrm{Па})$$ и температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C} (\mathrm{273,15} \mathrm{K})$$ занимает объём $$ \mathrm{22,4} \mathrm{л}$$. Подставляя эти данные в найденное соотношение (2), для моля газа получим значение постоянной $$ R$$:
$$ {\displaystyle \frac{pV}{T}}=R=8,31{\displaystyle \frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{моль}·\mathrm{K}}}$$.
Величину $$ R$$ называют универсальной газовой постоянной.
С учётом этого соотношения уравнение состояния для одного моля газа можно записать в виде:
$$ pV=RT$$. (3)
Используя уравнение (3), нетрудно получить уравнение состояния для произвольного количества газа. Так как в состоянии теплового равновесия масса газа распределена равномерно по объёму сосуда, то $$ \nu $$ молей газа при тех же условиях занимают в $$ \nu $$ раз больший объём, чем объём одного моля. Таким образом, уравнение состояния для $$ \nu $$ молей газа может быть записано в виде:
$$ pV=\nu RT={\displaystyle \frac{m}{M}}RT$$. (4)
Здесь $$ m$$ и $$ M -$$ масса и молярная масса газа. Уравнение называют уравнением состояния идеального газа.
Уравнение состояния в форме (2) было впервые записано Клапейроном, а в форме (4) – Менделеевым. Поэтому часто уравнение газового состояния называют уравнением (или законом) Менделеева – Клапейрона.
Следует отметить, что в реальных условиях ни один из газов не подчиняется строго уравнению Менделеева – Клапейрона. Правда, отклонения от закона Менделеева – Клапейрона фактически исчезают для достаточно разреженных газов. Однако при низких температурах и больших плотностях начинаются заметные отклонения от этого закона. Этот факт учитывается при графическом описании тепловых процессов с участием идеального газа. На рисунках 3-5 графики процессов изображаются сплошными линиями, которые нельзя продолжать в область низких температур. Пунктирная линия используется только в качестве вспомогательной.
Отклонения от закона Менделеева – Клапейрона наблюдаются и при достаточно высоких температурах (порядка тысячи или нескольких тысяч градусов) для газов из многоатомных молекул. При этих температурах начинается распад молекул на атомы (диссоциация). При ещё более высоких температурах начинается распад атомов на электроны и ионы, и любой газ перестаёт подчиняться уравнению Менделеева–Клапейрона, даже при сколь угодно малых плотностях.
В термодинамике идеальным называют газ, строго подчиняющийся уравнению Менделеева – Клапейрона (о том, что такое идеальный газ с точки зрения молекулярно-кинетической теории, см. в разделе 9 настоящего задания).
Из уравнения Менделеева – Клапейрона нетрудно получить зависимость между давлением $$ p$$, плотностью $$ \rho $$ и температурой $$ T$$ идеального газа:
`rho=m/V`, `rho=(pM)/(RT)`, `p=rho/MRT`. (5)
При описании природных явлений и процессов в технических устройствах приходится иметь дело не только с одним газом (кислородом, водородом и т. п.), но и со смесью нескольких газов. Воздух, являющийся смесью азота, кислорода, углекислого газа, аргона и других газов, – наиболее часто упоминаемый пример смеси газов.
Допустим, что смесь из $$ N$$ различных газов находится в равновесном состоянии в сосуде объёмом $$ V$$ при абсолютной температуре $$ T$$. От чего зависит общее давление $$ p$$ в сосуде, заполненном смесью газов? Исследованием этого вопроса в начале XIX века занимался английский химик Джон Дальтон.
Пронумеруем газы, входящие в состав смеси, присвоив каждому свой номер $$ i(i=\mathrm{1,2},\dots ,N)$$. Давление $$ {p}_{i}$$, которое производил бы каждый из газов, составляющих смесь, если удалить остальные газы из сосуда, называют парциальным давлением этого газа. Парциальный (от латинского слова pars – часть) – частичный, отдельный. Дальтоном экспериментально установлено, что для достаточно разреженных газов давление `p_"см"` смеси газов, химически не взаимодействующих между собой, равно сумме парциальных давлений компонентов смеси:
$$ {p}_{\mathrm{см}}={p}_{1}+{p}_{2}+\dots +{p}_{\mathrm{N}}$$. (6)
Сейчас этот закон называют законом Дальтона.
В смеси идеальных газов каждый из газов ведёт себя независимо от других газов, занимает весь предоставленный объём (т. е. объём каждой компоненты смеси `V`), и его состояние описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:
$$ {p}_{i}V={\displaystyle \frac{{m}_{i}}{{M}_{i}}}RT={\nu }_{i}RT$$. (7)
Здесь $$ {m}_{i}$$, $$ {M}_{i}$$ и $$ {\nu }_{i} -$$ масса, молярная масса и количество молей $$ i$$-го газа.
Если теперь в равенство 6), выражающее закон Дальтона, подставить значения парциальных давлений из (7), то после несложных преобразований можно получить уравнение, описывающее состояние смеси идеальных газов:
$$ {p}_{\mathrm{см}}V=\left({\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{M}_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{M}_{2}}}+\dots +{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{N}}}{{M}_{\mathrm{N}}}}\right)RT=({\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}})RT$$. (8)
Если ввести понятие молярная масса смеси:
$$ {M}_{\mathrm{см}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{см}}}{{\nu }_{\mathrm{см}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{1}+{m}_{2}+\dots +{m}_{\mathrm{N}}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{1}+{m}_{2}+\dots +{m}_{\mathrm{N}}}{{\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{M}_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{M}_{2}}}+\dots +{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{N}}}{{M}_{\mathrm{N}}}}}}=$$
$$ ={\displaystyle \frac{{\nu }_{1}{M}_{1}+{\nu }_{2}{M}_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}}{M}_{\mathrm{N}}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}}}}={\displaystyle \frac{{p}_{1}{M}_{1}+{p}_{2}{M}_{2}+\dots +{p}_{\mathrm{N}}{M}_{\mathrm{N}}}{{p}_{1}+{p}_{2}+\dots +{p}_{\mathrm{N}}}}$$, (9)
то уравнение Менделеева–Клапейрона для смеси газов будет выглядеть так:
$$ {p}_{\mathrm{см}}V={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{см}}}{{M}_{\mathrm{см}}}}RT={\nu }_{\mathrm{см}}RT$$. (10)
называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью: скорость испарения равна скорости конденсации. Давление и плотность насыщенного пара для данного вещества зависят только от его температуры и увеличиваются при увеличении температуры. Иными словами, давление насыщенных паров – это максимальное возможное давление пара при данной температуре.
Условие кипения жидкости – это условие роста пузырьков насыщенного пара в жидкости. Пузырёк может расти, если давление насыщенного пара внутри него будет не меньше внешнего давления. Итак,
жидкость кипит при той температуре, при которой давление её насыщенных паров равно внешнему давлению.
Приведём полезный пример.
Известно, что при нормальном атмосферном давлении `p_0~~10^5` Па вода кипит при `100^@"C"`. Это означает, что давление насыщенных паров воды при `100^@"C"` равно `p_0~~10^5` Па. А в горах на высоте `5` км атмосферное давление `~~0,5*10^5` Па, что соответствует давлению насыщенных паров при `80^@"C"`, и в результате вода кипит при `80^@"C"`.
Пары воды в атмосферном воздухе обычно ненасыщенные. Абсолютной влажностью воздуха называется плотность водяных паров `rho`. Относительной влажностью воздуха называется величина
`varphi=p/p_"нас"`.
Здесь `p` - парциальное давление паров воды при данной температуре в смеси воздух – пары воды, `p_"нас"` - парциальное давление насыщенных водяных паров при той же температуре. Опыт показывает, что `p_"нас"` зависит только от температуры и не зависит от плотности и состава воздуха.
Если пар считать идеальным газом, то `p=rho/muRT`, `p_"нас"=(rho_"нас")/muRT`, где `rho` и `rho_"нас"` - плотности ненасыщенного и насыщенного водяного пара, `mu=18` г/моль. Деление одного уравнения на другое даёт `p/p_"нас"=rho/rho_"нас"`. Итак,
`varphi=p/p_"нас"~~rho/rho_"нас"`.
Относительная влажность показывает какую долю (процент) составляют пары воды от насыщенных, так сказать степень насыщения паров воды. Например, при относительной влажности воздуха `40%` парциальное давление паров воды `p=0,4p_"нас"`. Считается, что наиболее комфортная относительная влажность воздуха `~~60%.`
Органическое соединение массой $$ m=716 \mathrm{мг}$$, имеющее формулу $$ ({\mathrm{C}}_{3}{\mathrm{H}}_{6}\mathrm{O}{)}_{n}$$, при давлении $$ p={10}^{5} \mathrm{Па}$$ и температуре $$ t=200{}^{\circ }\mathrm{C}$$ занимает в газообразном состоянии объём $$ V=243 {\mathrm{см}}^{3}$$. Найдите $$ n$$.
Для молярной массы $$ M$$ этого соединения имеем:
,
где $$ {M}_{\mathrm{C}}=12 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$, $$ {M}_{\mathrm{H}}=1 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$ и $$ {M}_{\mathrm{O}}=16 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь} -$$ молярные массы углерода $$ \left(\mathrm{C}\right)$$, водорода $$ \left(\mathrm{H}\right)$$ и кислорода $$ \left(\mathrm{O}\right)$$, соответственно.
Подставляя выражение для $$ M$$ в уравнение состояния идеального газа, для $$ n$$ находим:
$$ n={\displaystyle \frac{mRT}{pV(3{M}_{\mathrm{C}}+6{M}_{\mathrm{H}}+{M}_{\mathrm{O}})}}=$$
$$ ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,716}·{10}^{-3} \mathrm{кг}·\mathrm{8,31}\mathrm{Д}\mathrm{ж}/(\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}·\mathrm{K})·473 \mathrm{K}}{{10}^{5} \mathrm{Па}·\mathrm{0,243}·{10}^{-3} {\mathrm{м}}^{3}·58·{10}^{-3} \mathrm{к}\mathrm{г}/\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}}=2$$.
Бутылка, наполненная воздухом, плотно закрыта пробкой площадью сечения `S=2,5 "см"^2`. До какой температуры `t_2` следует нагреть воздух, чтобы пробка вылетела из бутылки, если максимальная сила трения, удерживающая пробку, `F=12 "Н"`? Начальное давление воздуха в бутылке и наружное давление одинаковы и равны `p=100` кПа, начальная температура `t_1=-3^@"C"`.
В момент начала движения пробки разность сил давления, действующих на пробку, равна максимальной силе трения
.
Отсюда находим давление газа
в бутылке в этот момент. При изохорическом нагревании давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре (закон Шарля)
.
Из приведенных соотношений приходим к ответу на вопрос задачи
`t_2=(t_1+273)(F/(pS)+1)-273~~127^@"C"`.
При нагревании идеального газа была получена зависимость давления от температуры, изображённая на рис. 7. Определите, что производилось во время нагревания газа: сжатие или расширение? абсолютная температура.
Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся приёмом, основанном на вспомогательных построениях.
График изохорного процесса в координатах $$ p,T$$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Угловой коэффициент этой прямой обратно пропорционально зависит от объёма.
Проведём две изохоры, одна из которых проходит через точку $$ 1$$, вторая – через $$ 2$$ (рис. 8). Первая изохора соответствует объёму $$ {V}_{1}$$ в состоянии $$ 1$$, вторая – объёму $$ {V}_{2}$$ в состоянии $$ 2$$. Видно, что первая изохора идёт круче второй, следовательно, её угловой коэффициент больше. Это, в свою очередь, означает, что $$ {V}_{1}<{V}_{2}$$ т. е. при переходе из состояния $$ 1$$ в состояние $$ 2$$ газ расширялся.
 |
 |
В вертикально расположенном цилиндре с гладкими стенками сечением $$ S$$ под поршнем массой $$ m$$ находится воздух при температуре $$ {T}_{1}$$. Когда на поршень положили груз массой $$ M$$, расстояние от него до дна цилиндра уменьшилось в $$ n$$ раз. На сколько повысилась температура воздуха в цилиндре? Атмосферное давление $$ {p}_{0}$$.
В первой ситуации на поршень действуют две силы, направленные вертикально вниз (сила тяжести $$ mg$$ и сила давления атмосферы $$ {p}_{0}S$$), и направленная вертикально вверх сила давления со стороны воздуха под поршнем $$ {p}_{1}S$$. Из равенства нулю равнодействующей этих сил (условие механического равновесия поршня) для начального давления $$ {p}_{1}$$ воздуха находим:
$$ {p}_{1}={p}_{0}+{\displaystyle \frac{mg}{S}}$$.
Рассуждая аналогичным образом, для давления $$ {p}_{2}$$ воздуха во второй ситуации (на поршень положили дополнительный груз массой $$ M$$) имеем:
$$ {p}_{2}={p}_{0}+{\displaystyle \frac{(m+M)g}{S}}$$.
Пусть $$ {H}_{1}$$ и расстояния от дна цилиндра до поршня в начале и в конце опыта. Тогда для начального $$ \left({V}_{1}\right)$$ и конечного $$ \left({V}_{2}\right)$$ объёмов воздуха можно записать: .
С учётом полученных соотношений уравнения Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний воздуха принимают вид:
$$ {p}_{1}{V}_{1}=\left({p}_{0}+{\displaystyle \frac{mg}{S}}\right){H}_{1}S=\nu R{T}_{1}, {p}_{2}{V}_{2}=\left({p}_{0}+{\displaystyle \frac{(m+M)g}{S}}\right){H}_{2}S=\nu R{T}_{2}$$,
где число молей воздуха в цилиндре. Учитывая, что объём воздуха уменьшился в $$ n$$ раз $$ ({H}_{2}={H}_{1}/n)$$, для отношения температур воздуха находим:
$$ {\displaystyle \frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}}={\displaystyle \frac{\left({p}_{0}+\frac{mg}{S}\right){H}_{1}S}{\left({p}_{0}+\frac{(m+M)g}{S}\right){H}_{2}S}}={\displaystyle \frac{n\left({p}_{0}+\frac{mg}{S}\right)}{\left({p}_{0}+\frac{(m+M)g}{S}\right)}}$$.
Теперь для изменения температуры $$ \Delta T={T}_{2}-{T}_{1}$$ получаем:
$$ \Delta T={T}_{1}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}-1+{\displaystyle \frac{Mg}{n({p}_{0}S+mg)}}\right)$$.
Заметим, что воздух будет нагреваться, если выражение в скобках больше нуля.
$$ U$$-образная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения с вертикально расположенными коленами заполняется ртутью так, что в каждом из открытых колен остаётся слой воздуха длиной (рис. 9). Затем правое колено закрывается небольшой пробкой. Какой максимальной длины слой ртути можно долить в левое колено, чтобы она не выливалась из трубки? Опыт производится при постоянной температуре, внешнее давление составляет $$ 720$$ мм рт. ст. (МФТИ, $$ 2000$$ г.)
 |
Пусть площадь сечения трубки. Тогда, после того как правое колено закрыли пробкой, между пробкой и ртутью оказался заперт воздух, занимающий объём $$ {V}_{1}=SL$$ при давлении $$ {p}_{1}=720$$ мм рт. ст. Равновесное состояние этого воздуха описывается уравнением Менделеева–Клапейрона , где – число молей воздуха, его температура.
При доливании в левое колено максимально возможного количества ртути оно будет заполнено ртутью полностью, т. е. уровень ртути поднялся на $$ L$$, а в правом колене уровень ртути поднимется на некоторую высоту $$ h$$. Таким образом, полная высота столбика ртути, долитой в трубку, равна $$ L+h$$.
Ртуть в трубке находится в равновесии. Условием равновесия является равенство давлений в точках, расположенных в правом и левом коленах на одном горизонтальном уровне. Выберем уровень, проходящий на расстоянии $$ L$$ от верхнего края трубки. Давление в левом колене $$ {p}_{\mathrm{л}}={p}_{1}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gL$$, где $$ {p}_{1}$$ – атмосферное давление на открытую поверхность ртути.
Давление в правом колене $$ {p}_{\mathrm{п}}={p}_{2}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gh$$, где $$ {p}_{2}$$ – давление воздуха, запертого в правом колене. Тогда условие равновесия ртути в трубке можно записать следующим образом:
$$ {p}_{\mathrm{л}}={p}_{1}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gL={p}_{\mathrm{п}}={p}_{2}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gh$$.
Новое равновесное состояние запертого в правом колене воздуха описывается уравнением:
.
Используя составленные соотношения, получаем квадратное уравнение для определения $$ h$$:
,
решая которое, находим: (второй корень уравнения не удовлетворяет условию задачи). Следовательно, в трубку можно долить слой ртути максимальной высотой .
Горизонтально расположенный сосуд постоянного внутреннего сечения и длины $$ L$$ разделён теплонепроницаемой подвижной перегородкой (рис. 10). В одной части сосуда находится азот, в другой гелий. В первоначальном состоянии температура газов $$ 300 \mathrm{К}$$, а объём, занимаемый гелием, в два раза больше объёма азота. Затем температуру азота повышают до $$ 600 \mathrm{К}$$. На какое расстояние переместится перегородка? Толщина перегородки много меньше $$ L$$. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь.
 |
Найдём начальное положение перегородки $$ {l}_{1}$$ (отсчёт ведётся от левого края сосуда (см. рис. 10):
$$ {\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}={\displaystyle \frac{S{l}_{1}}{S(L-{l}_{1})}}\Rightarrow {l}_{1}={\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}{1+{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}L\Rightarrow {l}_{1}={\displaystyle \frac{1}{3}}L$$,
где $$ {V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}$$ и $$ {V}_{{1}_{\mathrm{He}}}$$ – начальные объёмы азота и гелия, $$ S$$ – площадь поперечного сечения сосуда.
Так как перегородка подвижна и теплонепроницаема, то давление в левой и правой частях сосуда будет одинаково, температура азота поднимется от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$ (по условию), а температура гелия остаётся неизменной $$ {T}_{1}$$.
Запишем уравнения Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний, и найдём конечное отношение объёмов азота и гелия ( $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2}$$ – начальные и конечные давления в сосуде, $$ {\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}$$ и $$ {\nu }_{\mathrm{He}}$$ – количества азота и гелия, $$ {V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}$$ и $$ {V}_{{2}_{\mathrm{He}}}$$ – конечные объёмы азота и гелия).
В начальном состоянии:
$$ \left\{\begin{array}{lc}{p}_{1}{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}& ={\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}R{T}_{1}\\ {p}_{1}{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}& ={\nu }_{\mathrm{He}}R{T}_{1}\end{array}\right.\Rightarrow {\displaystyle \frac{{{\nu }_{\mathrm{N}}}_{2}}{{\nu }_{\mathrm{He}}}}={\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{{\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}}{{\nu }_{\mathrm{He}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$
В конечном состоянии:
$$ \left\{\begin{array}{lc}{p}_{2}{V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}& ={\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}R{T}_{2}\\ {p}_{2}{V}_{{2}_{\mathrm{He}}}& ={\nu }_{\mathrm{He}}R{T}_{1}\end{array}\right.\Rightarrow {\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}={\displaystyle \frac{{\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}}{{\nu }_{\mathrm{He}}}}·{\displaystyle \frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{600 \mathrm{К}}{300 \mathrm{К}}}=1$$.
Конечное положение перегородки:
$$ {l}_{2}={\displaystyle \frac{{V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{2}_{\mathrm{He}}}}{1+{V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{2}_{\mathrm{He}}}}}L\Rightarrow {l}_{2}={\displaystyle \frac{1}{2}}L$$,
Смещение перегородки `Delta l`:
`Delta l = l_2 - l_1 =1/2 L -1/3 L =1/6 L`.
Итак, перегородка сместится на `1/6 L` вправо.
Воздушный шар, наполненный водородом $$ \left({\mathrm{H}}_{2}\right)$$ имеет объём $$ V=100 {\mathrm{м}}^{3}$$. Чему равна подъёмная сила шара у поверхности Земли? Давление и температура водорода и окружающего воздуха одинаковые и составляют соответственно $$ 760$$ мм рт. ст. и $$ 20{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Оболочка шара тонкая и имеет массу $$ 9 \mathrm{кг}$$, молярная масса воздуха $$ {M}_{\mathrm{возд}}=29 \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
Подъёмная сила шара равна разности силы Архимеда (выталкивающей силы), действующей на аэростат со стороны окружающего его воздуха, и силы тяжести, действующей на оболочку шара и водород внутри него: $$ {F}_{\mathrm{под}}={F}_{\mathrm{арх}}-{F}_{\mathrm{тяж}}$$.
Для силы Архимеда имеем:
$$ {F}_{\mathrm{арх}}={\rho }_{\mathrm{возд}}gV,$$ где $$ {\rho }_{\mathrm{возд}}={\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{возд}}}{RT}}$$.
Здесь $$ p -$$ давление воздуха, $$ {M}_{\mathrm{возд}}$$ – его молярная масса, $$ T$$ – температура. Учитывая уравнение состояния водорода, для силы тяжести, действующей на оболочку шара и водород, получаем:
$$ {F}_{\mathrm{тяж}}=(m+{m}_{\mathrm{вод}})g=(m+{\rho }_{\mathrm{вод}}V)g=\left(m+{\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{вод}}V}{RT}}\right)g$$,
где $$ m$$ – масса оболочки, $$ {M}_{\mathrm{вод}}$$ – молярная масса водорода. Теперь для подъёмной силы находим:
$$ {F}_{\mathrm{под}}=\left({\displaystyle \frac{pV({M}_{\mathrm{возд}}-{M}_{\mathrm{вод}})}{RT}}-m\right)g\approx 1020 \mathrm{H}$$.
В баллоне находится смесь газов, содержащая $$ 524 \mathrm{г}$$ ксенона, $$ 16 \mathrm{г}$$ гелия и $$ 71 \mathrm{г}$$ молекулярного хлора $$ \left({\mathrm{Cl}}_{2}\right)$$. Найти молярную массу этой смеси.
По определению молярной массы:
$$ {M}_{\mathrm{смеси}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{смеси}}}{{\nu }_{\mathrm{смеси}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{Xe}}+{m}_{\mathrm{He}}+{m}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}{{\nu }_{\mathrm{Xe}}+{\nu }_{\mathrm{He}}+{\nu }_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{Xe}}+{m}_{\mathrm{He}}+{m}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}{\frac{{m}_{\mathrm{Xe}}}{{M}_{\mathrm{Xe}}}+\frac{{m}_{\mathrm{He}}}{{M}_{\mathrm{He}}}+\frac{{m}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}{{M}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}}}$$
$$ {M}_{\mathrm{смеси}}={\displaystyle \frac{524 \mathrm{г}+16 \mathrm{г}+71 \mathrm{г}}{\frac{524 \mathrm{г}}{131 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}+\frac{16 \mathrm{г}}{4 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}+\frac{71 \mathrm{г}}{71 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}}}\approx 68 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
При изотермическом сжатии `18 "г"` водяного пара при температуре `T=373 "К"` его объём уменьшился в `4` раза, а давление возросло вдвое. Найти начальный объём пара.
При сжатии часть газа сконденсировалась, и оставшийся пар стал насыщенным. При температуре `T=373 "К"`, т. е. `100^@"C"`, его давление `p~~10^5 "Па"`. Уравнение Менделеева – Клапейрона для начального состояния `p/2V=m/muRT`, где `mu=18` `"г"//"моль"`.
Отсюда `V=(2mRT)/(mup)~~62*10^(-3) "м"^3=62 "л"`.
9.1. Модель идеального газа в молекулярно-кинетической теории
Законы идеальных газов, найденные опытным путём, находят довольно простое объяснение в молекулярно-кинетической теории (МКТ). Она исходит при этом из упрощённых представлений о строении газа. Это обусловлено рядом причин, в частности, неточным знанием сил взаимодействия между молекулами. Однако, как оказывается, даже такая упрощённая модель газа позволяет найти уравнение состояния, правильно описывающее его поведение.
В молекулярно-кинетической теории принимается следующая идеализированная модель газа – идеальный газ. Молекулы газа считаются твёрдыми, абсолютно упругими шариками, причём размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними. Это означает, что собственный суммарный объём молекул значительно меньше объёма сосуда, в котором находится газ. Взаимодействие между молекулами проявляется только при непосредственном столкновении их друг с другом. Между столкновениями молекулы движутся по инерции. Движение молекул подчиняется законам механики Ньютона.
Для нахождения уравнения состояния газа необходимо сделать ещё важное упрощающее предположение, а именно, считать движение любой молекулы газа беспорядочным, хаотичным.
Аккуратный вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа требует принимать во внимание ряд моментов, например, наличие в газе молекул, движущихся с разными по величине скоростями, столкновения молекул между собой, характер столкновения отдельной молекулы со стенкой сосуда (упругий или неупругий). В разделе 7.3 будет рассмотрен упрощённый вариант вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории.
9.2. Давление идеального газа
Давление, которое оказывает газ на стенку сосуда, есть результат ударов молекул газа о стенку. Если бы в сосуде содержалось всего несколько молекул, то их удары следовали бы друг за другом редко и беспорядочно. Поэтому нельзя было бы говорить ни о какой регулярной силе давления, действующей на стенку. Стенка подвергалась бы отдельным практически мгновенным бесконечно малым толчкам. Если же число молекул в сосуде очень велико, то велико и число ударов их о стенку сосуда. Одновременно о стенку сосуда ударяется громадное количество молекул. Очень слабые силы отдельных ударов складываются при этом в значительную по величине и почти постоянную силу, действующую на стенку. Среднее по времени значение этой силы, отнесённое к единичной площадке, и есть давление газа, с которым имеет дело термодинамика.
Пусть в сосуде объёма $$ V$$ находятся $$ N$$ одинаковых молекул идеального газа, а $$ {m}_{0}$$ – масса одной молекулы. В рамках молекулярно-кинетической теории показывается, что давление $$ p$$ газа определяется выражением:
, (11)
где $$ n=N/V$$ – концентрация молекул газа, – среднее значение квадрата скорости молекулы. Выражение (11) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Заметим, что величина есть средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы. Поэтому полученную формулу можно представить в другом виде:
. (12)
Ниже приводится один из способов вывода уравнения (11). Данный раздел при первом прочтении можно пропустить.
9.3* Вывод основного уравнения МКТ идеального газа
Вычислим среднее давление газа на стенку сосуда.
Для простоты будем считать, что удар молекулы о стенку происходит абсолютно упруго, а сама стенка идеально гладкая и молекула после удара отражается от неё под тем же углом, под каким она падала на стенку (см. рис. 11), или, как говорят, зеркально (однако ясно, что никаких гладких стенок не существует: ведь сама стенка состоит из молекул).
 |
Введём систему координат, направив ось $$ OX$$ перпендикулярно стенке, а ось $$ OY$$ – вдоль стенки (см. рис. 11).
Пронумеруем все молекулы от $$ i=1$$ до $$ i=N$$. Пусть $$ {v}_{i,x},({v}_{i,x}>0) -$$ проекция скорости $$ i$$-ой молекулы на ось $$ OX$$ до удара. При абсолютно упругом ударе о стенку проекция скорости на ось $$ OX$$ изменяет знак: $$ {v}_{i,x}^{\text{'}}=-{v}_{i,x}$$. Изменение проекции импульса молекулы на ось $$ OX$$ при столкновении молекулы со стенкой равно:
$$ \mathrm{\Delta }{p}_{i,x}={m}_{0}{v}_{i,x}^{\text{'}}-{m}_{0}{v}_{i,x}=-2{m}_{0}{v}_{i,x}$$,
а передаваемый стенке импульс равен:
$$ \mathrm{\Delta }{p}_{i,x,\mathrm{стен}}=-\mathrm{\Delta }{p}_{i,x}=2{m}_{0}{v}_{i,x}$$.
Так как давление газа не зависит от формы сосуда, возьмём для простоты сосуд в форме куба с ребром $$ l$$. Тогда промежуток времени между двумя последовательными столкновениями молекулы с одной и той же стенкой составит $$ {\tau }_{i}=2l/{v}_{i,x}$$, а за большой интервал времени $$ t$$ она столкнётся со стенкой $$ {N}_{\mathrm{столк},i}=t/{\tau }_{i}$$ раз. Переданный стенке одной молекулой за это время импульс равен:
`2m_0v_(i,x)*N_("столк",i)=2m_0v_(i,x)*(v_(i,x)t)/(2l)=m_0v_(i,x)^2*t/l`.
Так как в сосуде находятся $$ N$$ молекул, то полный переданный стенке импульс всех молекул равен:
$$ \mathrm{\Delta }{p}_{x,\sum }=\sum _{i=1}^{i=N}\Delta {p}_{i,x,\mathrm{стен}}={\displaystyle \frac{{m}_{0}t}{l}}\sum _{i=1}^{i=N}{v}_{i,x}^{2}$$.
Среднюю силу давления на стенку можно получить, разделив полный передаваемый стенке импульс на время $$ t$$:
`F_(x,"ср")=(Deltap_(x,sum))/t=m_0/l sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2`,
а давление $$ p -$$ разделив эту силу на площадь стенки $$ S={l}^{2}$$:
`p=(F_(x,"ср"))/S=m_0/l^3 sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2=m_0/V sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2`.
Здесь учтено, что объём сосуда $$ V={l}^{3}$$. Если ввести среднее значение квадрата проекции скорости одной молекулы:
`bar(v_x^2)=1/N sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2`,
то для давления $$ p$$ получаем:
$$ p={\displaystyle \frac{{m}_{0}N}{V}}\overline{{v}_{x}^{2}}$$.
Входящую в это выражение величину $$ \overline{{v}_{x}^{2}}$$ можно выразить через среднее значение квадрата скорости молекулы. Из соотношения $$ {v}^{2}={v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}+{v}_{z}^{2}$$ для средних значений имеем: $$ \overline{{v}^{2}}=\overline{{v}_{x}^{2}}+\overline{{v}_{y}^{2}}+\overline{{v}_{z}^{2}}$$. Так как движение молекул беспорядочное, то все направления движения равновероятны и средние значения квадратов проекций на любое направление должны быть равны $$ \overline{{v}_{x}^{2}}=\overline{{v}_{y}^{2}}=\overline{{v}_{z}^{2}}$$. Отсюда получаем: $$ \overline{{v}^{2}}=3\overline{{v}_{x}^{2}}$$, что позволяет записать выражение для давления в виде:
$$ p={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{{m}_{0}N}{V}}\overline{{v}^{2}}, \mathrm{или} p={\displaystyle \frac{1}{3}}{m}_{0}n\overline{{v}^{2}}$$,
где $$ n=N/V$$ концентрация молекул газа.
Найдём связь между средней кинетической энергией $$ \overline{E}$$ поступательного движения молекулы газа и его температурой $$ T$$. Учитывая соотношение $$ n=N/V$$ перепишем уравнение (12) в виде:
$$ pV=2N\overline{E}/3$$.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением Менделеева–Клапейрона:
`pV=nuRT=NRT//N_"A"`,
получаем для средней кинетической энергии $$ \overline{E}$$:
$$ \overline{E}={\displaystyle \frac{{m}_{0}\overline{{v}^{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{R}{{N}_{\mathrm{A}}}}T={\displaystyle \frac{3}{2}}kT$$,
где $$ k=\mathrm{1,38}·{10}^{-23} \mathrm{Д}\mathrm{ж}\mathrm{/}\mathrm{К}\mathrm{ }\mathrm{-}$$ постоянная Больцмана. С учётом этого соотношения выражение (12) для давления можно записать в виде:
`p=nkT`. (13)
В состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия поступательного движения любых молекул имеет одно и то же значение, т. е. средняя кинетическая энергия молекул обладает основным свойством температуры – в состоянии теплового равновесия она одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, а также для различных молекул газовой смеси. Величину $$ \overline{E}$$ можно принять поэтому за меру температуры газа. В этом и состоит физический смысл температуры с молекулярно-кинетической точки зрения.
Скорость хаотического (теплового) движения молекул характеризуется средней квадратичной скоростью:
$$ {v}_{\mathrm{с}\mathrm{р}\mathrm{.}\mathrm{к}\mathrm{в}}=\sqrt{\overline{{v}^{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3kT}{{m}_{0}}}}$$. (14)
Дополнительно хочется отметить, что:
`barE_"полн"~kT`,
где в $$ {\overline{E}}_{\mathrm{полн}}$$ входит средняя кинетическая энергия поступательного, вращательного, колебательного и других движений молекулы. Более того, в классической термодинамике эта пропорциональность справедлива не только для газообразных, но и для жидких и твёрдых тел и сред.
Таким образом, ещё раз напоминаем, температура есть мера средней кинетической энергии молекул. В этом и состоит молекулярно-кинетический смысл температуры. В частности при температуре $$ T=0 \mathrm{К}$$ прекращается всякое тепловое движение молекул.
10.1 Примеры решений
(МКТ идеального газа)
Определить массу водорода $$ \left({\mathrm{H}}_{2}\right)$$ и концентрацию молекул, содержащихся в сосуде вместимостью $$ V=20 \mathrm{л}$$ при давлении $$ p=\mathrm{2,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$ и температуре $$ t=27{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения всех молекул водорода, а также среднюю квадратичную скорость молекул.
Для определения массы водорода воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
\[m = pVM/(RT) = 4\ \mathrm{г}\]
Концентрацию $$ n$$ водорода найдём, воспользовавшись одним из уравнений молекулярно-кинетической теории идеального газа:
\[p = nkT, n = p/(kT) = 6\cdot 10^{25}\ \mathrm{м}^{-3}\].
Здесь $$ k=\mathrm{1,38}·{10}^{-23} \mathrm{Д}\mathrm{ж}\mathrm{/}\mathrm{К} -$$ постоянная Больцмана.
Средняя квадратичная скорость молекул водорода:
$$ {v}_{\mathrm{с}\mathrm{р}\mathrm{.}\mathrm{к}\mathrm{в}}=\sqrt{\overline{{v}^{2}}}=\sqrt{\frac{3kT}{{m}_{0}}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\approx 1934 \mathrm{м}\mathrm{/}\mathrm{с}$$.
При выводе использованы соотношения $$ R=k{N}_{\mathrm{A}}$$ и $$ M={m}_{0}{N}_{\mathrm{A}}$$, где $$ {N}_{\mathrm{A}} -$$ число Авогадро, $$ {m}_{0} -$$масса одной молекулы водорода.
При получении значения средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул водорода можно рассуждать следующим образом. Средняя кинетическая энергия `varepsilon` поступательного движения одной молекулы определяется выражением $$ \varepsilon =3kT/2$$. Если в сосуде находится $$ N$$ молекул, то их суммарная энергия $$ \overline{E}$$ равна $$ \overline{E}=N\varepsilon =3NkT/2$$.
Число молекул в сосуде даётся выражением $$ N=\nu {N}_{\mathrm{A}}=(m/M){N}_{\mathrm{A}}$$. Используя это выражение, для величины $$ \overline{E}$$ имеем:
$$ \overline{E}={\displaystyle \frac{3}{2}}NkT={\displaystyle \frac{3}{2}}·{\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_{\mathrm{A}}kT={\displaystyle \frac{3}{2}}·{\displaystyle \frac{m}{M}}·RT={\displaystyle \frac{3}{2}}pV=7500 \mathrm{Дж}$$.
Используя молекулярно-кинетическую теорию идеального газа, оцените площадь купола парашюта. Масса парашютиста со снаряжением $$ m=100 \mathrm{кг}$$. Скорость снижения $$ v=5 \mathrm{м}\mathrm{/}\mathrm{с}$$. Условия нормальные $$ (p={10}^{5} \mathrm{Па},T=273 \mathrm{К})$$. Молярная масса воздуха $$ {M}_{\mathrm{В}}=29 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
Сила сопротивления воздуха, действующая на купол равна:
$$ F={\displaystyle \frac{∆p}{∆t}}$$,
где `Delta p` - импульс, переданный молекулами воздуха куполу за время `Delta t`.
Задачу о столкновении молекулы воздуха с куполом парашюта можно рассматривать как известную задачу из механики об упругом столкновении лёгкого тела с массивным подвижным телом.
Будем считать купол плоской площадкой, площадью $$ S$$, перемещающийся со скоростью $$ v$$. В таком предположении импульс, переданный куполу одной молекулой, равен $$ 2{m}_{0}v$$. За время `Delta t` на купол набежит количество молекул $$ N$$, содержащихся в объёме `V = Sv Delta t`.
Отсюда получаем:
$$ ∆p=N·2{m}_{0}v=2{m}_{0}vnV=2{m}_{0}vSv∆T=2{m}_{0}nS{v}^{2}∆t$$.
Полагая $$ {m}_{0}={\displaystyle \frac{{M}_{\mathrm{В}}}{{N}_{\mathrm{A}}}}$$ и используя уравнения МКТ $$ (p=nkT,R=k·{N}_{\mathrm{A}})$$, получаем:
$$ ∆p=2{\displaystyle \frac{{M}_{\mathrm{В}}}{{N}_{\mathrm{A}}}}·{\displaystyle \frac{p}{kT}}·S{v}^{2}∆t=2{\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{В}}}{RT}}S{v}^{2}∆t$$.
Отсюда $$ F={\displaystyle \frac{∆p}{∆t}}=2{\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{В}}}{RT}}S{v}^{2}$$. (Заметим, что $$ {\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{В}}}{RT}}=\rho $$).
Так как купол движется равномерно, то сила сопротивления равна силе тяжести парашютиста $$ mg$$. Тогда:
`S=(mgRT)/(2pM_"B"v^2)=`
`=(100 "кг"*10 "м"//"с"^2*8,3 "Дж"/("моль"*"К")*273 "К")/(2*10^5 "Па"*0,029 "кг"/"моль"*(5 "м"//"с")^2)~~15,6 "м"^2`.
Полученный в рамках данной модели результат хорошо согласуется с техническими характеристиками парашютных систем «Талка-3» – $$ 16 {\mathrm{м}}^{2}$$ и «Фламинго» – $$ 15 {\mathrm{м}}^{2}$$.
Вопросы и задачи, отмеченные знаком *, относятся к задачам повышенной сложности.
Александр Михайлович Бутлеров - профессор Казанского университета, академик, создатель теории химического строения органических соединений. На основе этой теории предсказал и впервые синтезировал ряд новых соединений. Понятие «химическое строение» в теории является ключевым. А. М. Бутлеров определял «химичес-кое строение» как последовательность соединения атомов в молекуле.
Другим значимым аспектом теории А. М. Бутлерова стало утверждение, что химическое строение веществ можно установить опытным путём химическими методами и отразить в формуле.
отражены в следующем:
1. Атомы в молекулах соединены друг с другом в определённой последовательности согласно их валентности.
2. Свойства веществ зависят от вида и количества атомов, входящих в состав молекулы, а также от химического строения. Химическое строение определяет взаимное влияние атомов в молекуле.
3. Химическое строение молекулы может быть установлено в результате изучения свойств вещества.
Структуры органических соединений отображаются химическими формулами, в которых показан порядок соединения атомов в молекулах. Такие формулы называют формулами химического строения или структурными формулами.
Структурные формулы отображают только последовательность соединения атомов, но не расположение их в пространстве.
Каждая структурная формула отображает строение одной и той же молекулы пропана, т. к. последовательность соединения атомов в данном случае не изменяется.
Структурные формулы веществ обычно изображают в сокращённом виде `"CH"_3-"CH"_2-"CH"_3`. В сокращённых формулах чёрточки показывают связь атомов углерода друг с другом, но не показывают связи между атомами углерода и водорода. Начиная с бутана возможен различный порядок соединения атомов при одном и том же составе молекулы, т. е. в бутане атомы углерода могут располагаться в виде линейной и разветвлённой цепей.
`"C"-"C"-"C"-"C"` 
В первом случае каждый атом углерода соединён с одним (если он концевой) или с двумя (если он находится внутри цепи) соседними атомами углерода; во втором случае – появляется атом углерода, соединённый с тремя соседними атомами углерода. Различному порядку связывания атомов при одном и том же качественном и количественном составе молекулы должны соответствовать разные вещества.
Бутан линейного строения и изобутан различаются температурами кипения.
| `"CH"_3-"CH"_2-"CH"_2-"CH"_3` |  |
| бутан (т. кип. `-0,5^@"C"`) | изобутан (т. кип. `-11,7^@"C"`) |
называют вещества, которые имеют одинаковый состав молекулы, но различное химическое строение.
С увеличением числа атомов углерода в молекуле число возможных изомеров резко возрастает. Различия в химическом строении являются причиной проявления изомерами различных физико-химических свойств.
Теория А. М. Бутлерова завоевала признание. Значение теории химического строения А. М. Бутлерова можно сравнить с Периодическим законом и Периодической системой химических элементов Д. И. Менделеева.
Для изображения электронного строения молекул используются электронные формулы (структуры Льюиса, октетные формулы). При написании электронной формулы должно выполняться правило октета, согласно которому атом, участвуя в образовании химической связи (отдавая или принимая электроны), стремится приобрести электронную конфигурацию инертного газа - октет (восемь) валентных электронов. Исключение составляет атом водорода, для которого устойчивой является конфигурация гелия, т. е. два валентных электрона.
Общую пару электронов иногда обозначают чёрточкой, которая и символизирует внутримолекулярную химическую связь:
Атом состоит из положительно заряженного ядра и находящихся в его поле отрицательно заряженных электронов. Число электронов в атоме химического элемента равно положительному заряду ядра атома и порядковому номеру элемента в ПСХЭ.
Электроны в атомах могут располагаться на разных энергетических уровнях. Число энергетических уровней равно номеру периода, в котором находится элемент. Число электронов на внешнем (валентном) уровне атомов малых периодов равно номеру группы, в которой находится элемент.
Движущиеся электроны можно представить в виде электронного облака. Ближе к ядру оно относительно плотное. Область, в которой нахождение электрона наиболее вероятно, называют орбиталью.
Орбитали отличаются своей формой и размерами. Их обозначают латинскими буквами `s`, `p`, `d`, `f`. Каждая орбиталь характеризуется определённой энергией, и на ней не может быть более двух электронов. Орбитали `s`-типа имеет форму шара. Орбитали `p`-типа имеют форму объёмной восьмёрки (гантель); все три `p`-орбитали взаимно перпендикулярны и энергетически эквивалентны.
Атом углерода - основа органических соединений. Углерод - элемент `"IV"` группы ПСХЭ Д. И. Менделеева. У атома углерода имеется два `s`-электрона на первом энергетическом уровне и четыре электрона на втором (внешнем) энергетическом уровне. На валентном энергетическом уровне имеются два спаренных и два неспаренных электрона. Химическая связь между атомами осуществляется путём спаривания неспаренных электронов и образования общих электронных пар называется ковалентной связью.
Атом углерода в органических соединениях находится в возбуждённом состоянии и его валентность равна четырём. Каждый неспаренный электрон атома углерода спаривается с неспаренным электроном атома водорода. Таким образом, атом углерода образует четыре ковалентные связи.
Теория гибридизации атомных орбиталей была разработана американским учёным Л. Полингом.
 |
Предполагается, что при образовании химических связей орбитали всех валентных электронов атома углерода выравниваются и становятся одинаковыми. При этом все они принимают форму несимметричных, вытянутых в направлении к вершинам тетраэдра, объёмных восьмёрок, которые не имеют ничего общего как с `s`-, так и с `p`-орбиталями. Таким образом,
гибридизация представляет собой процесс выравнивания атомных орбиталей по форме и энергии.
Для атома углерода возможны три типа гибридизация (валентных состояния).
`sp^3`- Гибридизация - процесс смешения одной `s`- и трёх `p`-орбиталей. Все четыре гибридные орбитали ориентированы строго в пространстве под углом `109^@28^'` по осям тетраэдра. Состояние углеродного атома с `sp_3`-гибридными орбиталями характерно для предельных углеводородов - алканов.
Если химическая связь между атомами осуществляется одной парой электронов, то её называют простой (одинарной) или `sigma` (сигма) - связью. Ковалентная связь, которая образуется при перекрывании орбиталей вдоль линии, связывающей центры атомов, называется `sigma` (сигма) - связью. На рисунке представлены различные типы перекрывания атомных орбиталей (`s-s`, `s-p`, `p-p`-перекрывание) при образовании `sigma`-связи:
Чем больше область перекрывания (более тёмная часть на рисунке), тем большая электронная плотность сосредоточена в пространстве между ядрами и тем сильнее они «стягиваются». Поэтому `sigma`-связь отличается большей прочностью.
`sp^2`-Гибридизация - смешение одной `s`- и двух `p`-орбиталей. Образующиеся три гибридные орбитали расположены в одной плоскости под углом `120^@` друг к другу. Такое состояние характерно для непредельных углеводородов ряда этилена - алкенов.
Таким образом, каждый атом углерода имеет по три гибридных электронных облака и по одному негибридному `p`-облаку. Гибридные электронные облака взаимно перекрываются и образуют между атомами углерода `sigma`-связь.
Двойная связь состоит из одной `sigma` и одной `pi` связей. `pi`-Связь образована перекрыванием двух негибридных `p`-орбиталей (по одной от каждого атома углерода), оси которых параллельны друг другу и расположены перпендикулярно плоскости `sigma`-связей.
Особый интерес представляют диеновые углеводороды, в которых содержатся две двойные связи, разделённые одной одинарной связью. Такие алкадиены называются сопряжёнными. Все четыре атомы углерода, стоящие рядом в сопряжённой системе, находятся в состоянии `sp^2`-гибридизации:
$$ \underset{s{p}^{2}}{\stackrel{1}{\mathrm{C}}{\mathrm{H}}_{2}}=\underset{s{p}^{2}}{\stackrel{2}{\mathrm{C}}\mathrm{H}}-\underset{s{p}^{2}}{\stackrel{3}{\mathrm{C}}\mathrm{H}}=\underset{s{p}^{2}}{\stackrel{4}{\mathrm{C}}\mathrm{H}}-\underset{s{p}^{3}}{{\mathrm{CH}}_{3}}$$
Все атомы углерода и водорода находятся в одной плоскости, а `p`-орбитали атомов углерода располагаются перпендикулярно этой плоскости. Боковое перекрывание `p`-орбиталей при образовании `pi`-связей происходит не только в положениях `1,2` и `3,4`, но и частично в положении `2,3`. Таким образом, `pi`-связи в сопряжённых диенах являются делокализованными и образуют единую `pi`-систему. Делокализацию `pi`-связей в сопряжённых диенах изображают структурной формулой:
$$ {\mathrm{CH}}_{2}=\mathrm{CH}=\mathrm{CH}={\mathrm{CH}}_{2}$$
Связь `"C"_2-"C"_3` носит кратный характер. Это подтверждается экспериментальным определением длин связей. Показано, что в бутадиене-`1,3` длина связи `"C"_2-"C"_3` `(0,146 "нм")` несколько короче `sigma`-связей в алканах `(0,154 "нм")`, но длиннее двойной связи `(0,133 "нм")` в алкенах. А длина двойных связей в положениях `1` и `3` в бутадиене-`1,3` благодаря делокализации оказались несколько больше `(0,137 "нм")`, чем в алкенах. Особенности образования `sigma`- и `pi`-связей и являются причиной своеобразия химических свойств сопряжённых диеновых углеводородов.
 |
Другим соединением, в котором атом углерода находится в `sp^2`-гибридном состоянии, является бензол и его гомологи (ароматические соединения). Экспериментально установлено, что молекула бензола является плоской и все атомы углерода равнозначны, так же как и атомы водорода. Этот результат соответствует структурной формуле, предложенной Ф.А.Кекуле.
Было показано, что молекула бензола является правильным шестиугольником с одинаковыми расстояниями между ядрами атомов углерода `(0,140 "нм")`, что противоречит формуле Ф.А. Кекуле. Равенство межъядерных расстояний говорит о том, что в бензоле нет одинарных и двойных связей, т. к. в этом случае одни расстояния между центрами атомов углерода были бы примерно равны `0,154 "нм"`, а другие – `0,134 "нм"`.
Все атомы углерода в молекуле бензола находятся в состоянии `sp^2`-гибридизации. При этом гибридные электронные орбитали каждого атомы углерода образуют в плоскости кольца две `sigma`-связи с соседними атомами углерода и одну `sigma`-связь с атомом водорода, следовательно, углы между этими тремя связями равны `120^@`.
Каждая орбиталь взаимодействует путём бокового перекрывания с орбиталями обоих соседних с ним атомов углерода. Поэтому в молекуле образуется не три отдельные `pi`-связи, а единая `pi`-электронная система из шести `p`-электронов, общая для всех атомов углерода. Такое равномерное распределение электронной плотности приводит к усреднению длин связей между атомами углерода.
`sp`-Гибридизация – смешение одной `s`- и одной `p`-орбитали. Две гибридные орбитали расположены на одной оси (прямой) под углом `180^@` друг к другу. Остальные две негибридные орбитали расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Состояние атома углерода с `sp`-гибридными орбиталями характерно для непредельных углеводородов с тройной связью – алкинов.
В случае, если происходит перекрывание четырёх негибридных атомных орбиталей (по две от каждого атома углерода), то возникает тройная связь. Тройная связь состоит из одной `sigma`- и двух `pi`-связей. `pi`-Связь менее прочная, чем `sigma`-связь, а её электроны легче смещаются в сторону одного из углеродных атомов.
определяется степенью смещения электронной плотности между атомами в молекуле. Поэтому ковалентная связь может быть неполярной (связь между атомами одного и того же химического элемента, например, `"H"-"H"`, `"C"-"C"`) и полярной (между атомами разных химических элементов (`"C"-"Cl"`, `"C"="O"` и др.) Образование полярных молекул связано с различной электроотрицательностью атомов, входящих в состав молекулы. Например, полярными являются молекулы хлороводорода и хлорметана. Большая электроотрицательность атома хлора приводит к смещению общей электронной пары к атому хлора, возникновению на нем частично отрицательного заряда (дельта минус), а на атомах углерода и водорода появляется недостаток электронной плотности и возникает частично положительный заряд (дельта плюс).
$$ \stackrel{\delta +}{\mathrm{H}}\rightarrow\stackrel{\delta -}{\mathrm{Cl}}$$ $$ \mathrm{C}{\stackrel{\delta +}{\mathrm{H}}}_{3}\rightarrow\stackrel{\delta -}{\mathrm{Cl}}$$
способность атома притягивать валентные электроны, участвующие в образовании связи: чем выше электроотрицательность, тем сильнее притяжение между ядром и валентными электронами. Атом углерода обладает различной электроотрицательностью. Это зависит от того, в каком валентном состоянии он находится. Поэтому электроотрицательность атома углерода изменяется в следующем ряду `"C"(sp)>"C"(sp^2)>"C"(sp^3)`. Ниже представлена таблица значений относительной электроотцательности атомов по Полингу.
способность изменять свою полярность под влиянием внешнего воздействия. При этом происходит смещение внешнего воздействия. Если полярность связи можно рассматривать как статическое явление, вызванное постоянным фактором различной электоорицательности связанных атомов, то поляризуемость – явление динамическое. При этом `pi`-связи поляризуются гораздо легче, чем `sigma`-связи.
определяется расстоянием между ядрами атомов и выражается в нанометрах `(1 "нм"=10^(-9) "м")`. Длина ковалентной связи зависит от её характера: чем больше кратность связи, тем она короче.
определяется энергией связи. Чем выше энергия связи, тем прочнее связь и тем труднее её разрушить.
Это означает, что образование ковалентной связи происходит не в любых направлениях пространства, а только в определённых. Углы, которые образуют между собой ковалентные связи, зависят от валентного состояния атома углерода.
связь, осуществляемая за счёт образования общих электронных пар, принадлежащих обоим атомам.
Существуют два механизма образования ковалентной связи: обменный и донорно-акцепторный.
При обменном механизме каждый из атомов отдаёт в общее пользование по одному неспаренному электрону. Таким образом построено большинство органических соединений (см. электронные формулы метана, этана, этена, ацетилена).
Ковалентная связь может быть образована также парой электронов, предоставляемой одним атомом, называемым донором электронов, и вакантной орбиталью другого атома, называемого акцептором электронов. Такой механизм образования ковалентной связи носит название донорно-акцепторным. Поясним механизм донорно-акцепторного взаимодействия на примере образовании хлорида метиламмония с помощью электронных формул (точками обозначены валентные электроны, а пустым квадратиком свободная `s`-орбиталь водорода):
В ионе метиламмония все связи, образованные по двум различным механизмам, равноценны.
Существуют и межмолекулярные взаимодействия, например, водородная связь. Она возникает при взаимодействии атома водорода, соединённого с электроноакцепторными атомами `("N"`, `"O"`, `"F")` и не поделённой электронной парой другого атома или другой молекулы. Графически водородная связь изображается пунктиром.
Водородную связь образуют только такие атомы водорода, которые соединены с более электроотрицательным атомом, чем сам водород. При этом на атоме водорода создаётся частичный положительный заряд `delta^+`, а на более электроотрицательном атоме частично отрицательный заряд `delta^-`.
Например, для уксусной кислоты возникновение водородной связи может привести к объединению молекул в пары с образованием циклической димерной структуры, и молекулярная масса уксусной кислоты, измеренная по плотности пара, оказывается удвоенной:
Межмолекулярные водородные связи влияют на многие физические свойства спиртов, кислот, производных аммиака. Они являются причиной образования вторичной структуры биологических полимеров - белков, нуклеиновых кислот.
Водородные связи чрезвычайно широко распространены в природе. Они обуславливают строение многих биологически важных молекул (белки, нуклеиновые кислоты). Относительная прочность водородных связей имеет свой биологический смысл: они являются достаточно прочными, чтобы выдерживать удары окружающих молекул, но способны разрываться при незначительных изменениях энергии сталкивающихся молекул.
Все органические соединения в зависимости от природы углеродного скелета можно разделить на ациклические и циклические.
называют также алифатическими. Они могут быть насыщенными (алканы и их производные) и ненасыщенными (алкены, алкадиены, алкины и их производные). Ациклические скелеты бывают неразветвленными (например, в н-гексане) и разветвленными (например, в `2,4`-диметилгексане):
 |
 |
|
| н-гексан | 2,4-диметилгексан |
Среди циклических соединений обычно выделяют карбоциклические, молекулы которых содержат кольца из углеродных атомов, и гетероциклические, кольца которых содержат кроме углерода атомы других элементов (кислорода, серы, азота и др.).
Карбоциклические соединения подразделяются на алициклические (предельные и непредельные) и ароматические.
Примеры алициклических соединений:
 |
 |
 |
||
| циклобутан | циклогексан | циклогексен |
ароматических соединений:
 |
 |
|
||
| бензол | анилин | нафталин |
гетероциклических соединений:
 |
 |
 |
||
| фуран | пиридин | этиленоксид |
Рассмотренную классификацию органических соединений можно представить в виде краткой схемы:
В самих углеродных скелетах полезно классифицировать отдельные атомы углерода по числу химически связанных с ними атомов углерода. Если данный атом углерода связан с одним атомом углерода, то его называют первичным, с двумя - вторичным, тремя -третичным и четырьмя - четвертичным. Ниже показаны различные атомы углерода в разветвленном насыщенном углеводороде (алкане).
Обозначения: первичный (п), вторичный (в), третичный (т), четвертичный (ч) атомы углерода.
В состав многих органических соединений кроме углерода и водорода входят и другие элементы, причём в виде функциональных групп – групп атомов, определяющих химические свойства данного класса соединений. Некоторые наиболее характерные функциональные группы и соответствующие им классы соединений приведены в таблице:
|
Функциональная группа |
Название группы |
Классы соединений |
Примеры |
|
`-"F"`, `-"Cl"`, `-"Br"`, `-"I"` |
Галогены |
Галоген- производные |
`"CH"_3"Cl"` - хлорметан |
|
`-"OH"` |
Гидроксил |
Спирты |
`"C"_2"H"_5"OH"` - этиловый спирт |
|
Фенолы |
фенол |
||
|
|
Карбонил |
Альдегиды |
|
|
Кетоны |
ацетон |
||
|
|
Карбоксил |
Карбоновые кислоты |
уксусная кислота |
 |
Аминогруппа |
Амины |
`"C"_2"H"_5"NH"_2`- этиламин |
|
`"CH"_3"NHCH"_3`- диметиламин |
|||
|
`-"NO"_2` |
Нитрогруппа |
Нитро- соединения |
`"CH"_3"NO"_2`- нитрометан |
Остановимся более подробно на некоторых из перечисленных классов органических соединений.
можно представить как продукты замещения атомов водорода в молекуле углеводорода гидроксильными группами `–"OH"`. Количество гидроксильных групп в молекуле определяет принадлежность спиртов к одноатомным, двухатомным, трехатомным и многоатомным.
Общая формула гомологического ряда предельных одноатомных спиртов - `"C"_n"H"_(2n+1)"OH"`.
называются продукты замещения в углеводородах атома водорода на 
группу, а кетоны содержат карбонильную группу 
, связанную с двумя углеводородными радикалами `"R"`.
Общая формула альдегидов и кетонов `"C"_n"H"_(2n)"O"`.
вещества с общей формулой
Здесь `"R"` - атом `"H"` или углеводородный радикал: `"CH"_3`, `"C"_2"H"_5`, `"C"_3"H"_7` и т. п. Функциональная группа карбоновых кислот - карбоксильная группа:
Карбоновые кислоты с одной группой `"COOH"` в молекуле - одноосновные, с двумя группами `"COOH"` - двухосновные и т. д. В зависимости от природы радикала `"R"` различают предельные, непредельные и ароматические карбоновые кислоты.
уксусный альдегид
