16 статей
Если два неподвижных точечных заряда `q_1` и `q_2` расположены в вакууме на расстоянии `r` друг от друга, то сила, действующая на 2-й заряд со стороны 1-го, равна по модулю силе, действующей со стороны 2-го заряда на 1-й заряд, и противоположно ей направлена; величина силы равна
`|vecF|=1/(4pi epsilon_0)(|q_1||q_2|)/(r^2)`, (1.2.1)
где `1/(4pi epsilon_0)~~9*10^9 ("H"*"м"^2)/("Кл"^2)`, `epsilon_0` – так называемая электрическая постоянная. (Заметьте, что легче запомнить не само её значение `epsilon_0~~0,885*10^(-11) "Ф"/"м"`, а комбинацию `1//4 pi epsilon_0`).
В форме (1.2.1) закон Кулона справедлив для зарядов, взаимодействующих в вакууме. С хорошей точностью он справедлив и для зарядов в воздухе при нормальных условиях: сила взаимодействия зарядов в этом случае будет лишь примерно в `epsilon=1,0006` раз меньше.
Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции: если заряженная частица взаимодействует одновременно с несколькими заряженными частицами, то результирующая сила, действующая на данную частицу, равна векторной сумме сил, действующих на неё со стороны всех других заряженных частиц.
Во сколько раз сила электростатического отталкивания между двумя электронами больше силы их гравитационного притяжения? Масса электрона `m~~0,91*10^(-30)` кг.
Ответ не зависит от расстояния между электронами, т. к. обе силы – и гравитационная `F_"гр"^(ee)=G(m^2)/(r^2)`, и электростатическая `F_"эл"^(ee)=1/(4pi epsilon_0) (e^2)/(r^2)` - одинаковым образом убывают с расстоянием (как `1//r^2`). В итоге
`(F_"эл"^(ee))/(F_"гр"^(ee))=(e^2//4pi epsilon_0r^2)/(Gm^2//r^2)=(e^2)/(4pi epsilon_0Gm^2)=(9*10^9*(1,6*10^(-19))^2)/(6,67*10^(-11)(0,91*10^(-30))^2)~~4,2*10^(42)`.
Аналогичные оценки можно сделать для других пар заряженных элементарных частиц – протона и протона, а также протона и электрона. Эти оценки призваны показать ничтожно малую роль гравитационного взаимодействия между элементарными частицами вещества по сравнению с электростатическим взаимодействием между ними.
Предположим, что модули зарядов протона и электрона отличались бы друг от друга на одну миллионную долю элементарного заряда. Оцените, какая сила отталкивания возникла бы вследствие этого между двумя железными шариками массой в `m=1` г, находящимися на расстоянии `R=1` м друг от друга. Молярную массу железа принять равной `mu=56` г/моль.
В рассматриваемом гипотетическом случае суммарный положительный заряд всех протонов вещества не компенсируется отрицательным зарядом всех электронов. Каждая из масс `m=1` г железа $$ {}_{56}{}^{26}\text{Fe}$$ содержит `nu=m//mu=1//56` моль железа, а значит, в каждом грамме имеется `26*N_A//56` зарядов каждого знака, где `N_A~~6,02*10^(23)` - число Авогадро. Тогда при нарушении равенства `e_+` и `|e_-|` всего на `10^(-6)e` на каждом шарике появился бы избыточный заряд `|q|=10^(-6)e*(26//56)*N_A~~4,5*10^(-2)` Кл. Сила отталкивания между шариками при этом оказалась бы не просто легко наблюдаемой величиной, но очень большой:
`F=1/(4pi epsilon_0) (q^2)/(R^2)=9*10^9*(4,5*10^(-2))^2~~1,8*10^7` H.
Два одинаковых маленьких металлических шарика, имеющих разные заряды одного знака, привели в соприкосновение, а затем разнесли на прежнее расстояние. Увеличится или уменьшится сила взаимодействия шариков?
В этой задаче воспользуемся сразу двумя законами – законом сохранения заряда и законом Кулона. Пусть `q_1` и `q_2` начальные заряды шариков. Для определённости будем считать, что заряды положительные. После приведения шариков в контакт заряды на шариках (в силу их одинаковости) будут равны друг другу и равны `q=(q_1+q_2)//2`. Сила взаимодействия шариков до соприкосновения `f` была пропорциональна произведению зарядов `q_1q_2`; после соприкосновения и разнесения на прежнее расстояние новая сила взаимодействия `F` будет пропорциональна квадрату заряда `q`. Отношение сил
`F/f=([(q_1+q_2)//2]^2)/(q_1q_2)=(q_1^2+2q_1q_2+q_2^2)/(4q_1q_2)`.
Эта величина больше или (в крайнем случае) равна единице в силу следующей цепочки тождественных преобразований:
`(q_1^2+2q_1q_2+q_2^2)/(4q_1q_2)>=1 iff q_1^2+2q_1q_2+q_2^2>=4q_1q_2 iff`
`iff q_1^2-2q_1q_2+q_2^2>=0 iff (q_1-q_2)^2>=0`,
причём равенство имеет место, только если `q_1=q_2`. Итак, сила взаимодействия шаров увеличится.
В XIX веке английский учёный Майкл Фарадей выдвинул гипотезу, что электрическое и магнитное взаимодействия осуществляются посредством особой среды между ними, поля. Любой заряд `q` изменяет свойства пространства вокруг себя – создаёт вокруг себя поле, а уже это поле действует на другие заряды. Развитие науки и техники показало чрезвычайную плодотворность концепции поля. Вся теория электромагнитных явлений со всеми её приложениями существенным образом основывается на концепции поля. По мнению Эйнштейна, идея поля была самым важным открытием со времён Ньютона.
Идея электрического поля большинству людей кажется некоей абстрактной теоретической концепцией, поскольку электрическое поле (в отличие от поля магнитов) в обыденной жизни, в быту невозможно «почувствовать рукой». К вопросу о том, почему это так, мы вернёмся позже. Пока же обратимся к количественному описанию электростатического поля.
 |
Если в поле точечного заряда `q` поместить на расстоянии `r` пробный точечный заряд `q_1`, то на этот заряд будет действовать сила `|vecF_1|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_1|)/(r^2)`. Если в ту же точку поместить другой пробный заряд `q_2`, то на него заряд со стороны заряда `q` будет действовать другая сила `|vecF_2|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_2|)/(r^2)`. Существенно, однако, что отношение силы, действующей на пробный заряд, к его заряду, `(vecF_1)/(q_1)=(vecF_2)/(q_2)`, останется одним и тем же и будет характеристикой не пробных зарядов, но исходного заряда `q` и местоположения `vecr` точки `A`, в которую мы помещали пробные заряды (см. рис. 1). Эта характеристика называется напряжённостью электрического поля точечного заряда `q` в точке `A`. Напряжённость поля есть векторная величина. Её модуль равен
`|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|)/(r^2)`. (1.3.1)
Если заряд `q` положительный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону от заряда вдоль прямой, соединяющей точечный заряд `q` и точку `A`; если же заряд `q` отрицательный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону к заряду вдоль той же прямой.
Удобным способом учёта векторного характера величины `vecE` и знака заряда `q` является следующий. Пусть `vecr` - вектор, проведённый из точки, в которой расположен заряд `q`, в точку `A`, `|vecr|=r` - длина этого вектора (расстояние между точечным зарядом `q` и точкой `A`). Введём формальный единичный вектор вдоль направления `vecr`, `vece=(vecr)/r`, так что `|vece|=(|vecr|)/r=1` (это не `1` метр!). Тогда вектор напряжённости электрического поля точечного заряда `q` в точке, характеризуемой вектором `vecr`, можно представить в виде
`vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece`. (1.3.1')
Формулу (1.3.1.) иногда записывают в виде `|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|*(+1))/(r^2)`; при этом о напряжённости говорят как о силе, действующей со стороны заряда `q` на некий условный единичный положительный точечный заряд `(+1)` (не заряд в `+1` Кл!). Нужно, впрочем, помнить, что сила и напряжённость электрического поля имеют разную размерность. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м): `1`В/м `=1`Н/`1`Кл.
 |
Принцип суперпозиции. Напряжённость есть векторная величина. Это означает, что если имеются два заряда `q_1` и `q_2` каждый из них в некоторой точке создаёт свои напряжённости поля `vecE_1` и `vecE_2`, то результирующая напряжённость (результирующая сила, действующая на единичный положительный заряд, со стороны обоих зарядов) будет равна векторной сумме
`vecE=vecE_1+vecE_2` (1.3.2)
получаемой по правилу параллелограмма (рис. 2) или треугольника.
Аналогично, в случае `N` зарядов:
`vecE=vecE_1+vecE_2+...+vecE_N=sum_(k=1)^N vecE_k`, (1.3.3)
причём векторная сумма вычисляется по правилу многоугольника (либо последовательно несколько раз по правилу параллелограмма).
Введя понятие напряжённости электрического поля, мы каждой точке пространства около заряда `q` (или около системы зарядов) приписываем некоторый вектор `vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2)vece` (в случае системы зарядов нужно ещё вычислить сумму (1.3.3.)), который, в конце концов, позволяет вычислять по формуле `vecF=q^'vecE` силу, действующую на любой другой заряд `q^'`.
Расстояние между точечными зарядами `q_1=+1` нКл и `q_2=-2` нКл равно `d=13` см. Определить напряжённость результирующего электрического поля обоих зарядов в точке, расположенной на расстоянии `r_1=5` см от первого и `r_2=12` см от второго заряда.
Легко заметить, что `r_1^2+r_2^2=d^2`, т. е. треугольник, образованный зарядами и интересующей нас точкой, прямоугольный. Поэтому напряжённости, создаваемые в этой точке отдельными зарядами, перпендикулярны друг другу (рис. 3). Далее, по теореме Пифагора
`E=sqrt(E_1^2+E_2^2)`, где `E_1=1/(4pi epsilon_0) (q_1)/(r_1^2)=3600` В/м и `E_2=1/(4pi epsilon_0) (|q_2|)/(r_2^2)=1250` В/м.
В итоге `E~~3811` В/м.
Электрическое поле равномерно заряженной сферы. Вне равномерно заряженной сферы электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр сферы точечный заряд, равный по величине суммарному заряду сферы (рис. 4, а – б). Нетривиальный факт состоит в том, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю (см. `[2 – 3]`).
Если имеются две концентрические равномерно заряженные сферы, то за пределами обеих сфер поле такое же, какое создавали бы два точечных заряда, равные зарядам сфер и помещённые в их общий центр. В области между сферами внешняя сфера не вносит вклада в напряжённость поля.
Вне равномерно заряженного по объёму шара электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду шара. Последнее легко понять: поле шара можно представить как результирующее поле множества тонких шаровых слоёв («сфер»). О том, каким будет поле внутри шара, см. Пример 8.
Оценить заряд Земли `Q`, если известно, что в среднем вблизи поверхности Земли существует статическое электрическое поле, направленное вниз перпендикулярно поверхности Земли в каждой её точке, напряжённость которого равна `E~~130` В/м. Радиус Земли `R~~6370` км.
Напряжённость электрического поля направлена вниз перпендикулярно поверхности Земли, т. е., к центру Земли. Отсюда можно сделать вывод, что заряд Земли отрицателен. По формуле (1.3.1).
`|Q|=4pi epsilon_0ER^2=(130*(6,37*10^6)^2)/(9*10^9)~~5,9*10^5` Кл, т. е. `~~600` тысяч кулон.
Хотя атмосфера Земли обладает положительным электрическим зарядом, она не вносит вклада в напряжённость электрического поля на поверхности Земли (каждый из её сферических слоёв даёт нулевой вклад в напряжённость поля). Напряжённость поля порядка `130` В/м есть среднее поле вблизи поверхности Земли. При приближении, например, грозовой тучи поле может возрасти в тысячи раз.
Какой максимальный заряд можно сообщить металлическому шарику радиусом `r=1` см, чтобы ещё не происходило пробоя воздуха. Пробойное поле сухого воздуха `E_"пр"~~3*10^6` В/м. (Если напряжённость электрического поля больше этого значения, происходит пробой воздуха – воздух начинает проводить электричество (возникает электрический ток) – и заряд стекает с заряженных тел на другие тела.)
По формуле (1.3.1) получаем `q_(max)=4pi epsilon_0E_"пр"r^2~~0,33*10^(-7)`Кл.
Оценить силу взаимодействия двух шариков радиусом `r=1` см, заряженных до максимально возможного заряда (чтобы ещё не происходило пробоя воздуха вблизи шариков) при расстоянии между центрами шариков `d=10` см. Пробойное поле сухого воздуха `E_"пр"~~3*10^6` В/м.
`f=1/(4pi epsilon_0) (q_(max)^2)/(d^2)=1/(4pi epsilon_0) ((4pi epsilon_0E_"пр"r^2)^2)/(d^2)=(4pi epsilon_0E_"пр"^2r^4)/(d^2)~~10^(-3)` H.
Мы получили весьма малую силу (сила тяжести, действующая на льдинку массой `1` г объёмом примерно в `1 "см"^3`, почти в `10` раз больше). Вот почему, хотя электрические силы обычно считаются большими, заметить их не всегда легко. Реально мы видим лишь электрическое притяжение друг к другу очень лёгких тел (например, листочков бумаги к наэлектризованной расчёске).
Пользуясь тем свойством, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю, найти напряжённость поля внутри равномерно по объёму заряженного шара радиусом `R` и зарядом `Q`. (К таким практически равномерно по объёму заряженным шарам можно с хорошей точностью отнести, например, атомные ядра.)
Найдём напряжённость поля в какой-нибудь точке `A` на расстоянии `r<R` от центра шара (рис. 5). Область вне малого шара радиуса $$ r$$ не вносит вклада в напряжённость электрического поля в точке `A`.
Внутренняя область шара радиуса `r` создаёт в точке `A` электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду этого шара радиуса `r`. Этот заряд вычислим по формуле `q=(4pi)/3 r^3 rho`, где `rho` - объёмная плотность заряда, равная `rho=Q//((4pi)/3 R^3)`, поэтому `q=Q (r^3)/(R^3)`. Напряжённость поля, создаваемая точечным зарядом `q` на расстоянии `r`, найдём по формуле (1.3.1). В итоге получаем
`vecE(vecr)=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r*vece = 1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3)vecr`,
т. е. `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r`
при `r<R` - напряжённость поля растёт при удалении от центра шара. Вне шара, при `r>R`, разумеется, `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(r^2)` - напряжённость поля шара такая же, как от точечного заряда `Q`.
Электрический диполь. Так называется система, состоящая из двух точечных зарядов равных по величине, но противоположных по знаку. Пусть заряды `q_1=-q` и `q_2=+q` в некоторой системе координат характеризуются радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2` (см. рис. 6). Дипольным моментом диполя называется векторная величина `vecp=q_1vecr_1+q_2vecr_2=q(vecr_2-vecr_1)=qvecl`, а величина `l=|vecl|=|vecr_2-vecr_1|` называется плечом диполя.
Два точечных заряда диполя `q_1=e` и `q_2=-e`, где `e=1,6*10^(-19)` Кл, расположены на расстоянии `l=10^(-10)` м друг от друга. Определить напряжённость электрического поля на расстоянии $$ R=10l>>l$$ от центра диполя в направлении оси диполя. Ответ выразить через дипольный момент диполя `p=el`.
См. рис. 6.
$$ E=\left|{E}_{1}\right|-\left|{E}_{2}\right|={\displaystyle \frac{e}{4\pi {\epsilon }_{0}{\left(R-l/2\right)}^{2}}}-{\displaystyle \frac{e}{4\pi {\epsilon }_{0}{\left(R+l/2\right)}^{2}}}={\displaystyle \frac{e}{4\pi {\epsilon }_{0}}}{\displaystyle \frac{2·2R{\displaystyle \frac{l}{2}}}{{\left({R}^{2}-{\displaystyle \frac{{l}^{2}}{4}}\right)}^{2}}}\approx $$
`~~e/(4pi epsilon_0) (2Rl)/(R^4) =1/(4pi epsilon_0) (2el)/(R^3)=1/(4pi epsilon_0) (2p)/(R^3)~~2,88*10^8` В/м.
Рассмотрим более сложный пример использования принципа суперпозиции.
По тонкому кольцу радиусом `r` равномерно распределён заряд `q`. Найти напряжённость электрического поля на оси кольца в точке `A`, расположенной на расстоянии `R` от центра (рис. 7).
 |
Напряжённость поля направлена, очевидно, вдоль линии, соединяющей точку `A` и центр кольца, т. е. перпендикулярна плоскости кольца. Рассмотрим малый элемент кольца с зарядом `Deltaq`, который будем рассматривать как точечный. Вклад от него в искомую напряжённость поля есть `DeltaE=k(Deltaq)/(R^2+r^2)cosalpha`, где `k=1//4pi epsilon_0`, `alpha` - угол, под которым из точки `A` виден радиус кольца, `cosalpha=R/(sqrt(R^2+r^2))`. Тогда `DeltaE=k(Deltaq)/((R^2+r^2)^(3//2))R`. Все различные элементы кольца `Deltaq` находятся на одинаковом расстоянии от точки `A`, поэтому вносят одинаковый вклад в результирующую напряжённость электрического поля в этой точке. Сумма вкладов от всех элементов кольца будет равна `E=1/(4pi epsilon_0) (R*q)/((R^2+r^2)^(3//2))`. Заметим, что в предельном случае больших расстояний до точки `A` (или малого радиуса кольца), когда выполняется сильное неравенство $$ R>>r$$ наша формула переходит в формулу `E~~1/(4pi epsilon_0) q/(R^2)` для точечного заряда.
Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости
Вычисление поля в данном случае требует привлечения знаний высшей математики. Без сложных вычислений можно, однако, сделать два следующих утверждения, основываясь лишь на соображениях симметрии, а также на том факте, что густота линий напряжённости пропорциональна величине `vecE` (см. Учебник):
 |
1) Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости перпендикулярно плоскости (рис. 8). Дело в том, что перпендикуляр к плоскости – единственное выделенное направление в задаче. Если бы вектор `vecE` был направлен под некоторым углом `alpha` к плоскости, мы бы ещё спросили себя: «Чем это направление лучше, чем все другие прямые, имеющие тот же угол `alpha` с плоскостью, и направленные вдоль образующих конуса с углом `alpha` при вершине?» Ясно, что ничем не лучше: если плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках, то и любые направления вдоль неё эквивалентны друг другу.
2) Величина электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости одинакова во всех точках пространства. В самом деле, все точки на плоскости, параллельной нашей заряженной плоскости, эквивалентны друг другу (снова вспоминаем, что наша плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках). Это означает, что при движении в плоскости, параллельной нашей равномерно заряженной плоскости, густота линий напряжённости электрического поля не изменяется. Но в силу перпендикулярности вектора `vecE` к плоскости во всех точках, эта густота линий не будет изменяться и при удалении от заряженной плоскости (вне плоскости нет зарядов, на которых могли бы закончиться «силовые» линии). Таким образом, густота линий напряжённости электрического поля будет одинаковой во всех точках пространства, независимо от расстояния до нашей заряженной плоскости. Это эквивалентно тому, что электрическое поле по обе стороны от бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно, т. е. одинаково во всех точках обоих полупространств. Разумеется, по разные стороны от заряженной плоскости напряжённости поля направлены в противоположные стороны. В случае положительно заряженной плоскости вектор `vecE` в обоих полупространствах направлен от плоскости, а в случае отрицательно заряженной - к плоскости.
Величина вектора напряжённости `vecE` может быть вычислена по формуле
`E=|vecE|=sigma/(2epsilon_0)`, (1.3.4)
которую мы приведём без вывода, где `sigma=Deltaq//DeltaS` - поверхностная плотность заряда, `Deltaq` - заряд элемента поверхности площадью `DeltaS`.
Хотя в природе не существует бесконечных равномерно заряженных плоскостей, формула (1.3.4) с успехом используется для расчётов электрических полей заряженных тел в виде больших пластин или просто плоских объектов при небольшом удалении от центральной их части.
Электростатическое поле создаётся двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными с поверхностными плотностями заряда `sigma_1=-1 "нКл"//"м"^2` и `sigma_2=+1 "нКл"//"м"^2`. Определить напряжённость электрического поля между плоскостями и снаружи.
`|sigma_1|=sigma_2-=sigma`, `|E_1|=|E_2|-=E=sigma//2 epsilon_0`. Далее воспользуемся принципом суперпозиции полей. Между плоскостями напряжённости полей отдельных пластин направлены в одну и ту же сторону (рис. 9), по этому результирующая напряжённость `E_("in")=2E=sigma//epsilon_0=113` В/м и направлена от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поля разных плоскостей направлены в противоположные стороны, поэтому результирующая напряжённость поля там `E_(ex)=0`.
Пользуясь принципом суперпозиции, доказать, что напряжённость электрического поля равномерно заряженной полусферической чаши во всех точках плоскости, стягивающей края чаши (как кожа на барабане), перпендикулярна этой плоскости.
Мысленно дополним полусферу ещё одной такой же полусферой так, чтобы получилась целая сфера. Напряжённость поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. С другой стороны, эта напряжённость складывается из двух напряжённостей – исходной полусферы `vecE` и мысленно добавленной `vecE^'`. Таким образом, имеем равенство `vecE+vecE^'=0`, или `vecE=-vecE^'`. Последнее возможно только в том случае, если углы наклона векторов `vecE` и `vecE^'` к плоскости одинаковы, т. е. равны `90^@` (рис. 10).
 |
Пусть точечный заряд `q` находится в однородном электрическом поле с напряжённостью `vecE`. (Обобщение на случай неоднородного поля см. ниже.) Тогда со стороны поля на него действует сила `vecF=qvecE`. Рассмотрим перемещение этого заряда из точки `1`, характеризуемой радиус - вектором `vecr_1`, в точку `2` - с радиус - вектором `vecr_2` по, вообще говоря, криволинейной траектории (рис. 11). Мысленно разобьём всю траекторию на большое число малых перемещений `Deltavecr_i`, так что `Deltavecr=vecr_2-vecr_1=sum_i Deltavecr_i`, где все векторы `Deltavecr_i` считаем сложенными по правилу многоугольника.
Работой силы со стороны электрического поля при перемещении заряда `q` из точки `1` в точку `2` называют величину (сумму работ на отдельных участках)
`A_(12)=sum_i vecF_i Deltavecr_i`, (1.4.1.)
где `vecF_i` - сила, действующая на заряд на малом участке `Deltavecr_i`, `vecF_iDeltavecr_i` - скалярное произведение векторов. В нашем случае (однородного электрического поля) сила на всех участках одна и та же, `vecF=qvecE`, поэтому получаем
`A_(12)=sum_i vecF_i Deltavecr_i= qvecE sum_i Deltavecr_i=qvecE(vecr_2-vecr_1)`. (1.4.2)
Заметим, что работа силы электростатического поля (1.4.2) определяется лишь начальной и конечной точками (двумя радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2`) и не зависит от конкретной траектории, по которой двигался заряд (в ответ вошла лишь разность этих векторов). Силы, обладающие тем свойством, что работа этих сил не зависит от траектории, называют консервативными силами, а соответствующие поля - потенциальными полями. Не все силы обладают этим свойством; пример неконсервативной силы - сила трения. Другой важный пример не потенциального поля (и неконсервативной силы) - изменяющееся со временем электрическое поле.
По общей теореме механики изменение кинетической энергии заряда равно сумме работ всех сил:
`(mv_2^2)/2 - (mv_1^2)/2 =A_(12)^("всех сил")`. (1.4.3)
Если заряд двигался только под действием сил электрического поля (не было никаких ниточек, за которые бы мы тянули заряд, не было силы трения и др.), то вместо (1.4.3) (и согласно (1.4.2)) имеем:
`(mv_2^2)/2 - (mv_1^2)/2 =qvecE(vecr_2-vecr_1)`. (1.4.4)
Последнее равенство перепишем ещё в форме
`(mv_2^2)/2 -qvecEvecr_2= (mv_1^2)/2-qvecEvecr_1`, (1.4.4')
которая допускает следующую важную трактовку. Скажем, что заряд `q` в однородном электростатическом поле обладает потенциальной энергией
`Pi(vecr)=-qvecEvecr+Pi_0`, (1.4.5)
где `Pi_0` - произвольная константа. Тогда с учётом того, что `K=(mv^2)/2` - кинетическая энергия заряда, равенство (1.4.4’) – это просто закон сохранения энергии:
`K_2+Pi_2=K_1+Pi_1`, (1.4.6)
т. е. в процессе движения сумма кинетической и потенциальной энергий не изменяется (сохраняет своё значение).
Если приписать точке `A` с радиус-вектором `vecr_0` потенциальную энергию, равную нулю, то это эквивалентно выбору константы `Pi_0=+qvecEvecr_0`. Выбрав в качестве точки `A` начало координат `(vecr_0=0)`, получаем `Pi_0=0` и `Pi(vecr)=-qvecEr`.
Важнейшим понятием в учении об электричестве является потенциал. Перепишем выражение для работы сил электростатического поля в виде
`A_(12)=qvecE(vecr_2-vecr_1)=Pi_1-Pi_2=q(varphi_1-varphi_2)`, (1.4.7)
введя потенциал однородного электростатического поля по формуле
`varphi(vecr)=-vecEvecr+varphi_0`, (1.4.8)
`varphi_0` - произвольная постоянная.
Записав (1.4.8) в виде `varphi(vecr)=-(+1)vecEvecr+varphi_0`, можно чисто формально (в согласии с (1.4.5)) трактовать потенциал как потенциальную энергию единичного положительного заряда `(+1)` в электрическом поле. Важно, однако, помнить, что потенциал и потенциальная энергия имеют разные размерности. В силу равенства (1.4.7) и, соответственно,
`varphi=Pi//q`, (1.4.9)
потенциал измеряется в единицах Дж/Кл = В (вольт).
По формуле (1.4.8) найдём ещё изменение потенциала при переходе от одной точки поля к другой - с радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2`:
`Deltavarphi=varphi_2-varphi_1=varphi(vecr_2)-varphi(vecr_1)=-vecE(vecr_2-vecr_1)=-vecEDeltavecr`. (1.4.10)
Заметим, что если перемещение перпендикулярно электрическому полю, `Deltavecr_|_vecE`, то скалярное произведение `vecEDeltavecr=0`, т. е. `Deltavarphi=0`: перемещаясь в плоскости перпендикулярно вектору напряжённости электрического поля `vecE`, переходим от одной точки к другой с таким же потенциалом. О таких плоскостях (в общем случае – о поверхностях) говорят как об эквипотенциальных поверхностях.
А как будет изменяться потенциал при переходе от одной эквипотенциальной плоскости к другой? Рассмотрим перемещение вдоль электрического поля `Deltavecr``||``vecE`. Направим ось `X` параллельно электрическому полю (не обязательно по полю, м. б., и против поля, так что проекция `E_x` вектора `vecE` на ось `X` может иметь любой знак). Согласно основным свойствам скалярного произведения векторов `(vecavecb=|veca|*|vecb|cosalpha=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)` имеем
`varphi(x)=-E_x+varphi_0`, (1.4.8')
а для приращения потенциала
`Deltavarphi=varphi_2-varphi_1=varphi(x_2)-varphi(x_1)=-E_x(x_2-x_1)=-E_xDeltax`. (1.4.10')
Формуле (1.4.10’) можно придать ещё следующий вид. Пусть ось `X` направлена по полю `(E=E_x>0)` и пусть `d=x_2-x_1`. Введём разность потенциалов (напряжение) по формуле `U=varphi_1-varphi_2`. Тогда согласно (1.4.10’) получаем `U=Ed`.
Определить разность потенциалов между двумя параллельными друг другу равномерно заряженными плоскостями, одна из которых заряжена положительно с поверхностной плотностью `sigma_1=+sigma`, а вторая отрицательно `sigma_2=-sigma`. Расстояние между плоскостями равно `d`. Определить также:
1) чему будет равен потенциал 2-ой плоскости, если потенциал 1-ой принять равным нулю?
2) Каким будет потенциал 1-ой плоскости, если за нуль потенциала принять потенциал 2-ой плоскости?
Направим ось `X` от 1-й плоскости ко 2-й перпендикулярно им обоим и совместим начало координат с 1-й плоскостью. Тогда `U=Ed=sigma/(epsilon_0)d`.
1) Полагая в формуле `varphi(x)=-E_x x+varphi_0`, (1.4.8') `varphi(0)=0`, получаем `varphi_0=0` и `varphi(d)=-U`.
2) В этом случае положим в (1.4.8') `varphi(d)=0`, тогда `varphi_0=U` и `varphi(0)=+U`.
Ускоряющее напряжение в электронно-лучевой трубке кинескопа телевизора `U=30` кВ. До какой скорости разгоняются в ней электроны? Какой процент она составляет от скорости света в вакууме `c=3*10^8` м/с. Начальная скорость электрона равна нулю. Масса электрона `m=0,91*10^(-30)` кг.
Воспользуемся законом сохранения энергии:
`Delta(mv^2//2)=|DeltaPi|=eU`,
откуда получаем `v=sqrt((2eU)/m)~~103000` км/с `~~0,34` с (т. е. составляет `34%` от скорости света).
До сих пор мы рассматривали лишь однородное электростатическое поле. Простейшим примером неоднородного поля является поле точечного заряда. К сожалению, нахождение работы сил даже этого сравнительно простого поля без привлечения высшей математики весьма затруднительно. Поэтому формулу для неё приведём без вывода.
Пусть имеется неподвижный точечный заряд `q` и пусть другой заряд `q_0` перемещается в поле этого заряда. Пусть он переместился из точки `1`, характеризуемой радиус-вектором `vecr_1`, в точку `2` - с радиус-вектором `vecr_2` по, вообще говоря, криволинейной траектории. Можно показать (вывод можно найти в книге `[3]`), что в этом случае работа сил электростатического поля будет равна
`A_(12)=(q_0q)/(4pi epsilon_0r_1) - (q_0q)/(4pi epsilon_0r_2)`, (1.4.11)
где `r_1=|vecr_1|`, `r_2=|vecr_2|`. Далее действуем, как и в случае однородного поля. Если в процессе движения заряда `q_0` никаких других сил, кроме кулоновской силы со стороны заряда `q` не действовало, то по теореме об изменении кинетической энергии имеем:
| `(mv_2^2)/2-(mv_1^2)/2=(q_0q)/(4pi epsilon_0r_1)-(q_0q)/(4pi epsilon_0r_2)`, | |
| или иначе | |
| `(mv_2^2)/2+(q_0q)/(4pi epsilon_0r_2)= (mv_1^2)/2+(q_0q)/(4pi epsilon_0r_1)` | (1.4.12) |
Определяя потенциальную энергию взаимодействия точечных зарядов `q` и `q_0` находящихся на расстоянии `r` друг от друга, формулой
`Pi(r)=(q_0q)/(4pi epsilon_0r)+Pi_0`, (1.4.13)
где `Pi_0` - произвольная постоянная, мы можем придать равенству (1.4.12) вид закона сохранения энергии `K_2+Pi_2=K_1+Pi_1`.
В случае точечных зарядов весьма часто константу `Pi_0` выбирают равной нулю так, чтобы потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов стремилась к нулю при разнесении зарядов на бесконечно большое расстояние друг от друга (когда они перестанут «чувствовать» друг друга). В этом случае
`Pi(r)=(q_0q)/(4pi epsilon_0r)`. (1.4.13')
Пусть в одну и ту же точку поля точечного заряда `q` на расстоянии `r` от него поочерёдно помещаются разные пробные заряды `q_1`, `q_2`, `...`. Энергии этих зарядов будут разными `Pi_1`, `Pi_2`, `...`. Существенно, однако, что отношение этих энергий в величинам пробных зарядов будет одним и тем же
`(Pi_1(r))/(q_1)=(Pi_2(r))/(q_2)=...=q/(4pi epsilon_0r)-=varphi(r)`. (1.4.14)
Последним равенством определяется потенциал `varphi(r)` точечного заряда `q` на расстоянии `r` от него. Заметим, что согласно (1.4.11) потенциал `varphi(r)=q/(4pi epsilon_0r)` равен работе сил электростатического поля заряда `q` при перемещении единичного положительного точечного заряда из точки на расстоянии `r` от заряда `q` на бесконечность. Потенциал, как и потенциальная энергия, определён, вообще говоря, неоднозначно - с точностью до произвольной константы
`varphi(r)=q/(4pi epsilon_0r)+varphi_0`, (1.4.14')
которую весьма часто выбирают равной нулю с тем, чтобы при удалении от заряда на бесконечно большое расстояние потенциал заряда в этих (бесконечно удалённых точках) стремился к нулю.
Согласно формуле (1.4.14') потенциал точечного заряда одинаков во всех точках, равноудалённых от него. Это означает, что эквипотенциальными поверхностями в данном случае будут концентрические сферы. Как и в случае однородного поля, в каждой точке поля напряжённость перпендикулярна эквипотенциальной поверхности.
Если электростатическое поле создаётся несколькими зарядами `q_1,q_2,...`, потенциал в произвольной точке поля равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в той точке:
`varphi=varphi_1+varphi_2+...`, (1.4.15)
что, как и в случае напряжённостей полей, называют принципом суперпозиции. Важно, что напряжённости полей надо складывать векторно, а потенциалы - алгебраически (т. е. все же с учётом знаков).
Если воздушный шарик радиусом `R=10` см потереть о шерсть, о мех или о волосы, то он приобретёт довольно большой отрицательный заряд – порядка `q=0,1` мкКл. Каким будет при этом потенциал шарика?
Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда. Потенциал шара будет равен
`varphi=1/(4pi epsilon_0) q/R=9000` В,
т. е. почти `10` киловольт (!). Возникает естественный вопрос: не слишком много вольт мы здесь получили? Нет ли ошибки в нашей оценке? Нет, мы не ошибаемся. Несмотря на столь внушительный потенциал, шар будет обладать весьма незначительной энергией. Оценить энергию воздушного шарика можно по формуле `W=(1//2)qvarphi`, которую мы приведём без вывода, что даёт `W~~10,5*10^(-3)` Дж, поэтому все эти `9` тысяч вольт реальной опасности не представляют.
В случае движения отдельных элементарных частиц (электронов, протонов) удобной единицей измерения энергии является электрон-вольт (эВ). Так называют энергию, которую приобретает частица с зарядом, равным элементарному электрическому заряду, пройдя разность потенциалов в `1` вольт. Энергия электрона в атоме водорода равна `W=-13,6` эВ. Считая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите, найти радиус этой орбиты.
Энергия электрона складывается из кинетической и потенциальной: `W=(mv^2)/2-(e^2)/(4pi epsilon_0r)`. Запишем ещё 2-й закон Ньютона для движения электрона в поле протона: `(mv^2)/r=(e^2)/(4pi epsilon_0r^2)`, откуда получаем `(mv^2)/2=1/2 (e^2)/(4pi epsilon_0r)` и `W=-1/2 (e^2)/(4pi epsilon_0r)`. Решая это уравнение относительно `r`, после подстановки числовых значений находим `r=0,53*10^(-10)` м.
Два основных объекта нашего дальнейшего изучения это – проводники и диэлектрики в электрическом поле, а также электрические поля в вакууме в их присутствии. Считается, что в проводниках имеется большое число подвижных носителей заряда (способных свободно перемещаться в пределах проводника). В диэлектриках, напротив, считается, что таких подвижных зарядов практически нет (их число пренебрежимо мало).
 |
Явление электростатической индукции. Поместим проводящую пластину во внешнее электрическое поле, перпендикулярное её поверхности, направленное, например, слева направо и равное `E_0` (рис. 12). Тогда «в первое мгновение» на электроны проводника начнёт действовать со стороны этого поля сила, численно равная `F=eE_0` и направленная против поля (электроны заряжены отрицательно). Это вызовет смещение электронов к левой границе и на этой границе появится избыточный отрицательный заряд, а на правой границе образуется недостаток электронов, – появится положительный заряд. Разделённые заряды наведут собственное электрическое поле `-E^'`, направленное навстречу внешнему (что учтено здесь знаком «минус» при `E^'`). В результате на электроны в проводнике начнёт уже действовать сила, равная `F=e(E_0-E^')` - меньшая, чем первоначальная. Однако электроны всё ещё будут продолжать смещаться влево, увеличивая наведённое поле `E^'`. Движение электронов влево будет продолжаться до тех пор, пока поле не вырастет настолько, что сравняется по величине с внешним полем (наведённое поле пропорционально поверхностной плотности зарядов; см. Пример 11). Суммарное поле в результате обратится в нуль: `E=E_0-E^'=0`, а с ним обратится в нуль и действующая на электроны сила, и дальнейшее разделение заряда прекратится. В проводнике (реально - на его поверхностях в слоях толщиной порядка `10^(-10)` м) возникнет некоторое статическое распределение заряда с некоторой статической плотностью поверхностных зарядов.
Основное свойство проводников произвольной формы состоит в том, что если проводник (несущий заряд или не заряженный) поместить в поле сторонних (внешних) неподвижных электрических зарядов, то собственные подвижные («свободные») носители заряда проводника распределятся в нём таким образом и создадут такое собственное поле, что напряжённость результирующего поля (внешнего плюс наведённого) во всех точках внутри проводника окажется в точности равной нулю. Это, в частности, справедливо и в том случае, когда проводник заряжен, но нет сторонних зарядов и нет стороннего электрического поля. (Вне проводника электрическое поле, также являясь суммой внешнего и наведённого полей, не обязано быть равным нулю.)
Строго говоря, то, что было сказано, есть определение идеального проводника. Экспериментальный факт состоит в том, что существуют реальные материалы - металлы, которые ведут себя практически так же, как идеальный проводник. Количество свободных носителей заряда в них огромно - порядка `10^(22)-10^(23) 1//"cм"^3` (для сравнения: число звёзд в Галактике порядка `10^(11)`).
Две проводящие пластины большого размера и равной площади с зарядами `Q_1` и `Q_2` расположены параллельно друг другу. Найти заряды `q_1`, `q_2`, `q_3` и `q_4` на поверхностях пластин (рис. 13). Рассмотреть случаи: а) `Q_1=Q_2=+Q` и б) `Q_1=-Q_2=+Q`.
Заряды пластин `Q_1` и `Q_2`распределятся по своим поверхностям, так что
`q_1+q_2=Q_1` (1)
и `q_3+q_4=Q_2` (2).
Напряжённости поля внутри 1-й и 2-ой пластин равны нулю, поэтому имеем ещё два равенства:
`(q_1//S)/(2epsilon_0)-(q_2//S)/(2epsilon_0)-(q_3//S)/(2epsilon_0)-(q_4//S)/(2epsilon_0)=0` (3)
и `(q_1//S)/(2epsilon_0)+(q_2//S)/(2epsilon_0)+(q_3//S)/(2epsilon_0)-(q_4//S)/(2epsilon_0)=0` (4)
Решая систему уравнений (1 – 4), получаем `q_1=q_4=(Q_1+Q_2)//2` и `q_3=-q_2=(Q_2-Q_1)//2`.
а) `q_1=q_4=+Q` и `q_3=-q_2=0`;
б) `q_1=q_4=0` и `q_3=-q_2=-Q`.
Имеются две изолированные друг от друга концентрические проводящие сферы радиусами `R_1` и`R_2>R_1`. Заряды сфер равны `+Q` и `-Q`. Определить потенциалы сфер.
Напряжённость электрического поля в области `r>R_2` совпадает с полем 2-х точечных зарядов `+Q` и `-Q`, расположенных в центре обеих сфер, а значит, равна нулю. Поэтому работа сил электростатического поля при перемещении единичного точечного заряда от поверхности 2-ой сферы до бесконечности равна нулю, т. е. потенциал 2-ой сферы равен нулю, `varphi_2=0`. Потенциал 1-ой сферы удобно вычислить в её центре. Все заряды 1-ой сферы (суммарный их заряд равен `+Q`) удалены от него на расстояние `R_1`, поэтому создают в этой точке потенциал равный `Q//4pi epsilon_0R_1`. Аналогично все заряды 2-ой сферы (их суммарный заряд равен `-Q`) создают в этой точке потенциал равный `-Q//4pi epsilon_0R_2`. Окончательно потенциал 1-ой сферы равен `varphi_1=Q/(4pi epsilon_0R_1)-Q/(4pi epsilon_0R_2)`.
Точечный заряд `Q` поднесли к заряженному металлическому шару радиуса `r` на расстояние `R>r` от центра шара. Заряд шара равен `q`. Определить потенциал шара.
Потенциал шара одинаков во всех его точках. Удобно вычислить потенциал в центре шара. При поднесении к шару заряда `q` в нём произойдёт перераспределение заряда, причём, – только на его поверхности и так, что суммарный заряд шара останется равным `q`. Все отдельные порции `Deltaq_"шара"` этого заряда `sum Deltaq_"шара"=q` будут находиться на одинаковом расстоянии `r` от центра шара, поэтому суммарный потенциал, создаваемый ими в этой точке, будет равен: `(sum Deltaq_"шара")//4pi epsilon_0r=q//4pi epsilon_0r`. Потенциал, создаваемый точечным зарядом `Q` в центре шара равен `Q//4pi epsilon_0R`. В результате потенциал шара будет равен
`varphi=q//4pi epsilon_0r+Q//4pi epsilon_0R`.
Точечный заряд `Q` поднесли к незаряженному металлическому шару радиуса `r` на расстояние `R>r` от центра шара. Затем шар заземлили. Определить заряд `q^'`, который при этом «натечёт с Земли» на шар. Потенциал земли принять равным нулю.
Весь «натёкший с Земли» заряд распределится на поверхности шара, поэтому отдельные его порции `Deltaq_"шара"` будут находиться на одинаковом расстоянии `r` от центра шара, и суммарный потенциал, создаваемый ими в этой точке, будет равен `(sum Deltaq_"шара")//4pi epsilon_0r=q^'//4 pi epsilon_0r`. Потенциал, создаваемый точечным зарядом `q` в центре шара равен `varphi=Q//4 pi epsilon_0R`. Суммарный потенциал зарядов `Q` и `q^'` равен нулю, т. е. `q^'//4pi epsilon_0r+Q//4 pi epsilon_0R=0`, откуда получаем `q^'=-rQ//R`.
Точечный положительный заряд поднесли к бесконечной проводящей плоскости. Нарисовать качественно картину линий напряжённости электрического поля и эквипотенциальных поверхностей.
См. рис. 14.
Наличие единого (в электростатике!) потенциала во всём проводнике - одно из важнейших его свойств, и именно оно позволяет строго ввести определение электрической ёмкости уединённого проводника по формуле
`C=Q//varphi`, (2.2.1)
где `Q` - заряд на проводнике, `varphi` - его потенциал, и ёмкость конденсатора (пары проводников) – по формуле
`C=Q//(varphi_1-varphi_2)`, (2.2.2)
где `varphi_1` и `varphi_2` - потенциалы отдельных проводников с зарядами `Q` и `-Q`. Не будь этого свойства, было бы непонятно, что именно понимать под `varphi`, `varphi_1` и `varphi_2`. Почему мы, например, не спрашиваем себя, какова ёмкость двух деревяшек? Да потому, что мы не можем говорить о едином потенциале даже одной деревяшки (в разных точках её потенциал будет, вообще говоря, разным).
Электроёмкость измеряется в фарадах: `1` фарад `=1` Ф `=1` Кл/`1`В.
В определение ёмкости конденсатора, т. е. пары проводников, входит один заряд. Дело в том, что наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: `Q_1=-Q_2=Q`.
Хотя в определение электроёмкости входят заряд и потенциал `C=Q//varphi` (или разность потенциалов - для конденсатора `C=Q//(varphi_1-varphi_2)`) фактически ни от заряда, ни от потенциала (разности потенциалов) ёмкость не зависит, а определяется только геометрией проводника (да ещё диэлектрической проницаемостью среды, см. раздел, посвящённый диэлектрикам). Например, ёмкость уединённого проводящего шара радиуса `R` в вакууме равна
`C_"шара"=4pi epsilon_0R` (2.2.3)
(последняя формула получается непосредственно из формулы для потенциала уединённого шара `varphi=Q/(4pi epsilon_0)`), а ёмкость плоского конденсатора (Пример 24)
`C=epsilon_0S//d`. (2.2.4)
Последнее связано с тем, что потенциал уединённого проводника всегда пропорционален его заряду (а в конденсаторе разность потенциалов пропорциональна заряду); ёмкость же есть как раз коэффициент пропорциональности `Q=Cvarphi` (или `Q=C(varphi_1-varphi_2)`).
Нетрудно вычислить (воспользовавшись результатом Примера 18) ёмкость сферического конденсатора
`C=4pi epsilon_0(R_1R_2)/(R_2-R_1)`, (2.2.5)
где `R_1` и `R_2` - радиусы внутренней и внешней сфер.
Определить ёмкость шара размером с Землю. Радиус Земли `R=6370` км. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы его электроёмкость была равна `1` фараду?
По формуле (2.2.3) `C=4pi epsilon_0R~~0,71` мФ. Чтобы ответить на 2-ой вопрос, снова воспользуемся формулой (2.2.3), выразив из неё `R=1//4pi epsilon_0C=9*10^6` км, что почти в `13` раз больше радиуса Солнца.
Оценить, какого размера должны быть пластины плоского воздушного конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми `d=1` мм, чтобы его электроёмкость равнялась `1` фараду?
По формуле (2.2.4) имеем `C=epsilon_0L^2//d`, откуда `L~~10,6` км.
Как изменится электроёмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади `S` каждая и с расстоянием между пластинами `d`, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам металлическую пластину толщиной `delta <d`? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку?
Внутри металлической пластинки напряжённость электрического поля равна нулю, поэтому эта область не вносит вклада в разность потенциалов между обкладками конденсатора. Напряжённость в воздушном промежутке между обкладками конденсатора останется такой же, какой была до внесения пластинки (в целом электрически не заряженная пластинка не изменяет напряжённости поля вне её). Ёмкость конденсатора без пластинки вычислялась бы так:
`C=Q/U=Q/(Ed)=Q/((sigma//epsilon_0)d)=(sigmaS)/((sigma//epsilon_0)d)=(epsilon_0S)/d`.
После внесения пластинки уменьшится ширина области пространства между обкладками конденсатора, занятая полем (от `d` до `d-delta`); в итоге
`C^'=Q/U^'=Q/(E(d-delta))=Q/((sigma//epsilon_0)(d-delta))=(epsilon_0S)/(d-delta)>C`.
Результат не зависит от месторасположения пластинки.
Энергия, запасённая в заряженном конденсаторе, может быть вычислена по одной из формул (см. Учебник):
`W=CU^2//2=QU//2=Q^2//2C`. (2.2.1)
Рассмотрим плоский конденсатор с площадью пластин `S` и расстоянием между ними `d`. Ёмкость такого конденсатора равна `C=(epsilon_0S)/d`. Придадим формуле (2.3.1) несколько иной – «полевой» – вид, а именно:
`W=d/(epsilon_0S) (Q^2)/2=(epsilon_0)/2 (Q/(epsilon_0S))^2Sd=(epsilon_0E^2)/2 V=wV`, (2.2.2)
где `E` - напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора, `V=Sd` - объём области между пластинами конденсатора, занимаемый полем (снаружи конденсатора электрическим полем пренебрегаем). Это наводит на мысль трактовать эту формулу следующим образом: вся энергия сосредоточена именно в поле, причём,
`w=(epsilon_0E^2)/2` (2.3.3)
где `w` - плотность энергии электростатического поля, т. е. количество энергии, приходящееся на единицу объёма пространства, в котором сосредоточено поле.
Формула (2.3.3) справедлива не только в случае плоского конденсатора, но и в общем случае произвольного неоднородного поля.
Рассмотрим систему произвольного числа зарядов, притом такую, что суммарный алгебраический заряд её равен нулю `sum_iq_i=0`. Пусть система состоит из `N` точечных зарядов произвольной величины `q_i(i=1,2,3,...N)` и пусть в некоторой системе координат каждый из зарядов характеризуется своим радиус-вектором `vecr_i`. По определению электрическим дипольным моментом системы называют вектор
`vecp=sum_iq_ivecr_i`. (3.1.1)
Электрические свойства диэлектриков обусловлены реакцией на внешнее поле не свободных электронов, как в металлах (в диэлектриках свободных электронов чрезвычайно мало), а так называемых связанных электронов - связанных с отдельными диполями молекул диэлектрика. Надо сразу сказать, что молекулы (атомы) разных веществ бывают двух сортов. Первые из них уже без всякого внешнего поля имеют дипольные моменты (например, молекулы воды); такие молекулы называют полярными, а вместе с ними и сами диэлектрики называют полярными. У другого сорта диэлектриков дипольный момент молекул в отсутствие внешнего поля равен нулю (например, в симметричных молекулах `"O"_2`, `"N"_2`, `"CO"_2`); такие молекулы называют неполярными; соответственно и диэлектрики, состоящие из таких молекул называют неполярными.
В отсутствие внешнего электрического поля даже вещества с полярными молекулами, как правило, никак себя электрически не проявляют. Это связано с тем, что диполи различных молекул в них направлены совершенно хаотически и, «действуя не согласованно», не создают никакого суммарного макроскопического электрического поля.
При помещении во внешнее электрическое поле (везде далее будем считать это поле однородным) вещества двух указанных сортов ведут себя в чём-то по-разному, но в чём-то и схоже. В полярных диэлектриках в расположении (ориентации) диполей появляется упорядоченность - диполи молекул стремятся выстроиться преимущественно по полю.
 |
В неполярных диэлектриках электронные облака молекул деформируются так, что у них появляются индивидуальные дипольные моменты, которые также стремятся выстроиться преимущественно по полю - говорят, что происходит поляризация диэлектриков. В результате в обоих случаях на границах диэлектрика появляются, как и в металлах, избыточные поверхностные заряды той же полярности, что и в металлах. Наведённое ими электрическое поле `E^'` также направлено на встречу внешнему полю `E_0`, а суммарное поле `E=E_0-E^'` меньше внешнего (рис. 15). В проводниках в статических условиях это поле не просто меньше внешнего, но в точности равно нулю. В диэлектриках оно до нуля не ослабляется, оставаясь конечным и равным `E=E_0//epsilon`. Где `epsilon` - так называемая диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет внешнее электрическое поле.
Простое ослабление внешнего поля в диэлектрике в `epsilon` раз относится лишь к простейшей геометрии опыта, когда внешнее электрическое поле перпендикулярно поверхности диэлектрика. Рассмотрение случаев, когда поле направлено под другими углами к поверхности, выходит за рамки настоящего Задания.
Какие порядки величин `epsilon` встречаются? Для воздуха (и вообще, для газов, т. е. довольно разреженных систем с неполярными молекулами) эта величина лишь ненамного превосходит единицу: `epsilon~~1,00058`. А вот для воды эта величина значительно больше: `epsilon~~81`. Последнее связано с тем, что, во-первых, молекулы воды `"H"_2"O"` суть полярные молекулы (электроны в них смещены от атомов водорода к атому кислороду), а во-вторых, концентрация молекул в воде значительно больше, чем в воздухе.
Заряды `+q,+q,-q` и `-q` расположены последовательно в вершинах квадрата, если обходить его по часовой стрелке. Сторона квадрата равна `l`. Определить дипольный момент системы.
Рассмотрим две пары разноимённо заряженных зарядов (рис. 16). В каждой паре дипольный момент будет равен по модулю величине `ql`, и для разных пар дипольные моменты направлены в одну и ту же сторону, поэтому их сумма равна `2ql`.
Металлический шар радиусом `R` с зарядом `Q` находится в среде с диэлектрической проницаемостью `epsilon`. Определить суммарный заряд `Q^'` связанных зарядов на поверхности шара.
Ослабление в `epsilon` раз поля шара с зарядом `Q` обусловлено тем, что не его поверхности появляется заряд `Q^'`: `1/(epsilon) Q/(4pi epsilon_0r^2)=(Q+Q^')/(4pi epsilon_0r^2)`, откуда `Q^'=-(epsilon-1)/(epsilon)Q`.
Ёмкость конденсатора с диэлектриком всегда больше, чем без него. Причина состоит в том, что диэлектрик ослабляет поле. Рассмотрим сначала плоский конденсатор с воздушным промежутком между пластинами (для воздуха `epsilon~~1`). Поместим на одну из обкладок заряд `Q`, а на другую обкладку заряд `-Q`. Если площадь пластин равна `S`, то между пластинами будет существовать электрическое поле `E_0=sigma//epsilon_0=Q//(Sepsilon_0)`, а между пластинами будет существовать разность потенциалов `U_0=E_0d=Qd//(Sepsilon_0)`. Ёмкость конденсатора есть `C_0=Q//U=epsilon_0S//d`. Не изменяя зарядов на пластинах, заполним теперь промежуток между обкладками конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью `epsilon`. В результате напряжённость электрического поля уменьшится в `epsilon` раз, `E=E_0//epsilon`; как следствие, в `epsilon` раз уменьшится напряжение между пластинами `U=U_0//epsilon` - и в `epsilon` же раз увеличится ёмкость `C=Q//U=epsilon C_0`, т. е.
`C=(epsilon epsilon_0S)/d`. (3.2.1)
В веществах, которые часто используются в конденсаторах, диэлектрические проницаемости таковы: для парафина `epsilon~~2`, а для слюды `epsilon~~7,5`. В современных конденсаторах часто используют диэлектрические слои из титаната бария `("TiBaO"_3)` с добавлением небольшого количества других окислов. Обычно это – керамики, получаемые из тонкодисперсного порошка, размеры частиц которого порядка микрона (`10^(-6)` м). Толщины диэлектрических слоёв в таких конденсаторах порядка `10` мкм, а `epsilon` порядка нескольких тысяч (до `20000`). В другом типе конденсаторов, так называемых электролитических конденсаторах толщины диэлектрических слоёв можно сделать в сотни раз меньше, чем в керамических конденсаторах, правда, изоляционные материалы, используемые в них, имеют меньшую, чем в керамических конденсаторах, диэлектрическую проницаемость `epsilon` - от `8` до `27`.
Оценить, какого размера должны быть пластины плоского конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми `d=10` мкм, с диэлектрической прослойкой на основе титаната бария, чтобы его электроёмкость равнялась: а) `1` Ф, б) `1` мФ, в) `1` мкФ? Диэлектрическая прослойка на основе титаната бария `("TiBaO"_3)` имеет `epsilon=20000`.
По формуле (3.2.1) `C=(epsilon epsilon_0L^2)/d`:
а) `l~~7,5` м,
б) `L~~23` см,
в) `L~~7,5` мм.
В конденсаторе без диэлектрика (когда `epsilon=1`) эти размеры равнялись бы, соответственно,
а) больше `1` км,
б) `~~33` м,
в) больше `1` м.
Как изменится электроёмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади `S` каждая и с расстоянием между пластинами `d`, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам диэлектрическую пластинку толщиной `delta<d` с диэлектрической проницаемостью `epsilon`? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку? Рассмотреть предельный случай `epsilon ->oo` и сравнить его с Примером 24.
Решение аналогично Примеру 24, только теперь внутри пластинки поле не равно нулю, а равно `E^'=E//epsilon`. Поэтому с пластинкой: `C^'=Q/U^'=Q/(E(d-delta)+E/epsilon delta)`;
в итоге `C^'=(epsilon_0S)/(d-(1-1/epsilon)delta)` (`**`), причём результат не зависит от месторасположения пластинки. Без пластинки `C=epsilon_0S//d<C^'`. В предельном случае `epsilon->oo` формула (`**`) для `C^'` переходит в формулу для `C^'` Примера 24.
1. Мякишев Г.Я, Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. ФИЗИКА: учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровень. – 16 изд. – М.: Просвещение, 2007. – 336 с.
2. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. ФИЗИКА: Учеб. Пособие: в 3 кн. Кн. 3. Электродинамика. Оптика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 336 с.
3. Павленко Ю.Г. Начала физики: Учебник. – 2-е изд. – М.: 2005. –864 с.
Электрическое поле обладает энергией. Плотность энергии (энергия единицы объёма) любого электрического поля в некоторой точке зависит от напряжённости поля в этой точке. В однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью :
.
Энергия электрического поля конденсатора есть энергия конденсатора. Почти вся энергия плоского конденсатора сосредоточена в однородном поле между его обкладками.
Параметры заряженного конденсатора характеризуются тремя величинами: ёмкостью , зарядом и напряжением . Между ними простая связь: Энергия конденсатора может быть выражена через любые две из трёх величин:
.
Плоский конденсатор имеет заряд и отсоединён от источника. Пластина с диэлектрической проницаемостью заполняет всё пространство между обкладками. Ёмкость конденсатора без диэлектрика равна . Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить пластину из конденсатора?
Искомая работа внешних сил пойдёт на приращение энергии конденсатора:
.
Заряд конденсатора не изменяется, а ёмкость уменьшается от до . Тогда
Упорядоченное движение электрических зарядов называется электрическим током. Эти заряды называются носителями тока. В металлах носителями тока являются электроны, в электролитах – положительные и отрицательные ионы, в ионизованных газах и плазме – ионы обоих знаков и электроны.
называется отношение заряда $$ ∆Q$$ проходящего через поперечное сечение проводника за время $$ ∆t$$, к $$ ∆t$$:
| $$ I={\displaystyle \frac{∆Q}{∆t}}$$. | (12.1) |
Если переносимый заряд $$ ∆Q$$ пропорционален $$ ∆t$$, то сила тока $$ I$$ постоянна и говорят о постоянном токе. В остальных случаях формула (12.1) даёт мгновенное значение тока при $$ ∆t\to 0.$$
За направление тока принимается направление движения положительных зарядов. Прохождение через поперечное сечение проводника отрицательного заряда эквивалентно в смысле переноса заряда прохождению такого же по модулю положительного заряда, но в противоположном направлении. Под $$ ∆Q$$ в (12.1) понимается алгебраическая сумма зарядов, переносимых носителями обоих знаков.
Силу тока $$ I$$ удобно иногда считать положительной или отрицательной в зависимости от выбора положительного направления вдоль проводника. Если направление тока совпадает с выбранным направлением вдоль проводника, то $$ ∆Q>0$$ и $$ I>0$$. В противном случае и Но часто под силой тока понимают её абсолютное значение, указывая дополнительно направление тока.
Пусть на свободные заряды участка цепи `1-2` действуют сторонние силы (силы неэлектростатического происхождения). Тогда говорят, что на участке `1-2` действует электродвижущая сила (ЭДС). За направление действия ЭДС будем считать направление действия сторонних сил на положительные заряды.
Для участка цепи `1-2` можно вывести, используя закон сохранения и превращения энергии, закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:
| $$ \left(\varphi 1-\varphi 2\right)\pm \mathcal{E}=\pm IR$$. | (13.1) |
Здесь $$ \left({\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}\right)$$- разность потенциалов (напряжение) между точками `1` и `2`, $$ \mathcal{E}$$ – ЭДС, действующая на участке `1-2`, $$ I$$ – сила тока, $$ R$$ – сопротивление участка `1-2`. В (13.1) величины $$ I$$ и $$ \mathcal{E}$$ взяты положительными, что удобно на практике. При этом справедливо правило знаков: перед $$ \mathcal{E}$$ (или $$ I$$ ) берётся знак `«+»`, если направление действия ЭДС (или направление тока) совпадает с направлением от `1` к `2` и наоборот. Величина $$ IR$$ называется падением напряжения.
На схемах ЭДС на участках цепи обозначается 
, наличие у участка цепи сопротивления обозначается. 
. Причём ЭДС и сопротивление могут быть «размазаны» по участку `1-2` произвольным образом и поэтому порядок расположения этих двух символических обозначений для участка цепи в схеме не играет роли. Направление действия ЭДС совпадает с направлением от `«-»` к `«+»` на символическом обозначении.
Следует отметить, что равенство (13.1) справедливо не только для постоянных по времени, $$ I$$, $$ \mathcal{E}$$, $$ R$$ но и для их мгновенных значений.
 |
| Рис. 13.1 |
На участке цепи `1–2`, имеющем сопротивление $$ R=5$$ Ом, идёт ток $$ I=2$$ А и действует ЭДС $$ \mathcal{E}=12$$ В. Найти на участке `1–2` (рис. 13.1) падение напряжения и напряжение.
Падение напряжения есть $$ IR=10$$ B. По закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, $$ \left({\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}\right)-\mathcal{E}=IR$$. Отсюда напряжение
$$ {U}_{12}={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}=IR+\mathcal{E}=22$$ B.
 |
| Рис. 15.1 |
Под замкнутой цепью понимается схема, в которой участок цепи с ЭДС и сопротивлением подсоединён к участку цепи с сопротивлением и без ЭДС (рис. 15.1). Участок называется источником тока или просто источником. Сопротивление участка называется внутренним сопротивлением источника и на схемах обозначение в виде прямоугольника опускается, указывается только сама буква . Участок замкнутой цепи называют внутренним, участок – внешним, а сопротивление – внешним сопротивлением. Под действием сторонних сил в источнике в замкнутой цепи возникает ток , идущий вне источника от `«+»` к `«-»`. Применим закон Ома для участков и :
Сложив последние два уравнения, получим:
| . | (15.1) |
называется внутренним падением напряжения, – внешним падением напряжения. Обычно закон Ома для замкнутой цепи записывают в одной из двух форм, которые получаются из (15.1):
.
называется полным сопротивлением цепи.
При последовательном соединении проводников с сопротивлениями $$ {R}_{1}, {R}_{2}, {R}_{3}, ...$$ ток $$ I $$равен току в каждом:
$$ I={I}_{1}={I}_{2}={I}_{3}=...$$
На рис. 16.1 показано последовательное соединение двух проводников. Общая разность потенциалов (напряжение) всего участка цепи, как легко показать, равна сумме напряжений на отдельных проводниках:
 |
| Рис. 16.1 |
$$ U={U}_{1}+{U}_{2}+{U}_{3}+...$$
Можно вывести, что общее сопротивление при последовательном соединении проводников:
$$ R={R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{3}+...$$
В частном случае последовательного соединения $$ n$$ проводников сопротивлением $$ {R}_{1}$$ каждый $$ R=n{R}_{1}$$.
$$ I={I}_{1}+{I}_{2}+{I}_{3}+...$$. При параллельном соединении проводников ток `I` равен сумме токов во всех проводниках:
На рис. 16.2 показано параллельное соединение двух проводников. Общее напряжение равно напряжению на каждом проводнике:
 |
| Рис. 16.2 |
$$ U={U}_{1}={U}_{2}={U}_{3}=...$$
Можно показать, что общее сопротивление $$ R$$ при параллельном соединении проводников с сопротивлениями $$ {R}_{1}, {R}_{2}, ...$$ находится из равенства
$$ {\displaystyle \frac{1}{R}}={\displaystyle \frac{1}{{R}_{1}}}+{\displaystyle \frac{1}{{R}_{2}}}+...$$
В частном случае параллельного соединения двух проводников $$ R={\displaystyle \frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$$.
В другом частном случае параллельного соединения $$ n$$ проводников сопротивлением $$ {R}_{1}$$ каждый $$ R={R}_{1}/n$$.
В схеме на рис. 16.3 $$ {R}_{1}=1$$ Ом, $$ {R}_{2}=2$$ Ом, $$ {R}_{3}=6$$ Ом, $$ {R}_{4}=9$$ Ом, $$ {R}_{5}=5$$ Ом, $$ \mathcal{E}=12$$ В. $$ r=\mathrm{0,5}$$ Ом. Найти ток через резистор $$ {R}_{1}$$.
 |
| Рис. 16.3 |
Задачи с громоздкими схемами удобно рассчитывать не в общем виде, а численно, т. е. последовательно находить численные значения параметров схемы. Расставим точки `A`, `B`, `D`, `M`, `N`, `P`, `Q` на схеме.
Сопротивление участка `PQ` `R_(PQ)=R_1+R_2=3` Ом.
Сопротивление участка `AB` $$ {R}_{AB}={\displaystyle \frac{{R}_{3}{R}_{PQ}}{{R}_{3}+{R}_{PQ}}}=2$$ Ом.
Сопротивление участков `DA`, `DB` и `MN` будут `R_(DA)=R_4//3=3` Oм, `R_(DB)=R_(DA)+R_(AB)=5` Ом, $$ {R}_{MN}={\displaystyle \frac{{R}_{DB}{R}_{5}}{{R}_{DB}+{R}_{5}}}=\mathrm{2,5}$$ Ом.
Заметим, что оказалось $$ {R}_{DB}={R}_{5}=5$$ Ом. Тогда можно было бы сразу написать $$ {R}_{MN}={\displaystyle \frac{{R}_{5}}{2}}=2,5$$ Ом.
По закону Ома для замкнутой цепи $$ I={\displaystyle \frac{\mathcal{E}}{{R}_{MN}+r}}=4$$ A.
Теперь пойдём «обратно», вычисляя параметры схемы и приближаясь к $$ {R}_{1}$$. Напряжение между точками $$ M$$ и `N` $$ {U}_{MN}=I{R}_{MN}=10$$ B.
Напряжение $$ {U}_{DB}={U}_{MN}=10$$ B.
Ток на участке `DB` `I_(DB)=U_(DB)//R_(DB)=2` A.
Напряжение $$ {U}_{AB}={I}_{DB}{R}_{AB}=4$$ B.
Так как $$ {U}_{AB}={U}_{PQ}$$, то ток через $$ {R}_{1}$$ составит:
$$ {I}_{1}={I}_{PQ}={\displaystyle \frac{{U}_{PQ}}{{R}_{PQ}}}={\displaystyle \frac{{U}_{AB}}{{R}_{PQ}}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ A.
Пусть на участке `1-2` нет ЭДС (рис. 14.1). Тогда равенство (13.1) принимает вид
| . | (14.1) |
 |
| Рис. 14.1 |
Здесь правило знаков такое же, как в (13.1), т. е. берётся для удобства и знак `«+»` перед ставится при совпадении направлений тока с направлением `1-2`. Если обозначить , то получается привычная формула закона Ома для участка цепи без ЭДС:
| или . | (14.2) |
Заметим, что для участка цепи без ЭДС напряжение равно падению напряжения .
При последовательном соединении источников общая ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС отдельных источников, общее внутреннее сопротивление равно сумме внутренних сопротивлений отдельных источников. Для определения знака ЭДС каждого источника нужно выбрать положительное направление движения на участке с этим источником. ЭДС источника берётся со знаком `«+»`, если направление действия ЭДС совпадает с выбранным направлением. В противном случае ставится знак `«-»`.
При параллельном соединении источников с одинаковыми ЭДС и возможно различными внутренними сопротивлениями общая ЭДС (ЭДС батареи) равна ЭДС одного источника. Внутреннее сопротивление батареи рассчитывается как при параллельном соединении проводников с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям источников.
При параллельном соединении источников с различными ЭДС выражение для ЭДС батареи усложняется и здесь не приводится.
В схеме на рис. 17.1 $$ {\mathcal{E}}_{1}=12$$ В, $$ {\mathcal{E}}_{2}=3$$ В, $$ {r}_{1}=1$$ Ом, $$ {r}_{2}=2$$ Ом, $$ R=6$$ Ом.
 |
| Рис. 17.1 |
Найти напряжения на зажимах источников, т. е. разность потенциалов $$ {\varphi }_{A}-{\varphi }_{B}$$ и $$ {\varphi }_{B}-{\varphi }_{D}$$.
ЭДС батареи последовательно соединённых источников:
$$ \mathcal{E}={\mathcal{E}}_{1}-{\mathcal{E}}_{2}=9$$ B.
Причём, полярность батареи совпадает с полярностью источника $$ {\mathcal{E}}_{1}$$ т. к. $$ {\mathcal{E}}_{1}>{\mathcal{E}}_{2}$$.
Ток по закону Ома для замкнутой цепи $$ I=\mathcal{E}/(R+{r}_{1}+{r}_{2})=1$$ A. По закону Ома для участков цепи `AB` и `BD`:
$$ {\varphi }_{A}-{\varphi }_{B}+{\mathcal{E}}_{1}=I{r}_{1,}$$, $$ {\varphi }_{B}-{\varphi }_{D}-{\mathcal{E}}_{2}=I{r}_{2}$$.
Отсюда $$ {\varphi }_{A}-{\varphi }_{B}=I{r}_{1}-{\mathcal{E}}_{1}=-11$$ B, $$ {\varphi }_{B}-{\varphi }_{D}=I{r}_{2}+{\mathcal{E}}_{2}=5$$ B.
Найти ток через резистор с сопротивлением $$ R$$ в схеме на рис. 17.2.
 |
 |
| Рис. 17.2 | Рис. 17.3 |
Между точками `A` и `B` имеем параллельное соединение источников. На рис. 17.3 показана эквивалентная схема, для которой $$ {\mathcal{E}}_{1}=\mathcal{E}$$, $$ {r}_{1}=r·2r/\left(r+2r\right)=2r/3$$. Общая ЭДС и внутреннее сопротивление последовательно соединённых источников с ЭДС $$ 3\mathcal{E}$$ и $$ {\mathcal{E}}_{1}$$:
$$ {\mathcal{E}}_{0}=3\mathcal{E}-{\mathcal{E}}_{1}=3\mathcal{E}-\mathcal{E}=2\mathcal{E}$$,
$$ {r}_{0}=3r+{r}_{1}=3r+2r/3=11r/3$$.
Ток $$ I={\displaystyle \frac{{\mathcal{E}}_{0}}{R+{r}_{0}}}={\displaystyle \frac{6\mathcal{E}}{3R+11r}}$$.
Соединения резисторов и источников в сложных цепях не всегда можно свести к совокупности последовательного и параллельного их соединений. Для расчётов сложных цепей удобно применять правила Кирхгофа.
Узлом электрической цепи будем называть точку, где сходятся не менее трёх проводников. Токи, подходящие к узлу, будем считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Узел – это не обкладки конденсатора, где может происходить существенное накопление заряда. Отсюда следует первое правило Кирхгофа:
алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
Участок цепи между двумя узлами называется ветвью. Возьмём в сложной цепи произвольный замкнутый контур, состоящий из отдельных ветвей. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке или против. ЭДС в каждой ветви контура будем считать положительной, если направление её действия совпадает с выбранным направлением обхода контура, а в противном случае – отрицательной. Падение напряжения (произведение тока на сопротивление) в любой ветви контура будем считать положительным, если направление тока в этой ветви совпадает с направлением обхода контура, в противном случае – отрицательным. Записав для каждой ветви контура уравнение закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, и сложив все уравнения, получим второе правило Кирхгофа:
в произвольном замкнутом контуре любой электрической цепи сумма падений напряжений во всех ветвях контура равна алгебраической сумме ЭДС во всех ветвях контура.
Оба правила Кирхгофа справедливы не только для постоянных во времени значений всех величин, входящих в соответствующие уравнения, но и для их мгновенных значений.
При составлении уравнений по правилам Кирхгофа нужно придерживаться следующих рекомендаций. Если в цепи содержится узлов, то по первому правилу Кирхгофа можно составить только независимых уравнений. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо следить, чтобы в каждом новом контуре была хотя бы одна ранее не использованная ветвь. Отступление от этих рекомендаций приводит к появлению уравнений, являющихся следствием системы ранее составленных уравнений. В процессе решения такой «переполненной» системы может возникнуть тождество , что приводит в замешательство решающего из-за «исчезновения» неизвестных системы.
 |
| Рис. 18.1 |
В схеме на рис. 18.1 B, B, Ом, Ом. Найти силу и направление тока во всех участках цепи. Считать, что внутренние сопротивления источников вошли в , и .
Зададим направления токов произвольно, например так, как показано на рис. 18.1.
Для нахождения трёх неизвестных токов надо составить три независимых уравнения. В схеме узла. По первому правилу Кирхгофа составляем уравнение. Для узла `C`:
.
Недостающие два уравнения составляем по второму правилу Кирхгофа для контуров `ABCA` и `ABCDA`:
, .
Решение системы полученных трёх уравнений в общем виде трудоёмко и даёт громоздкие выражения для токов. Систему удобно решать, подставив в неё значения ЭДС и сопротивлений:
, , .
Решая систему последний трёх уравнений, находим:
A, A, A.
Отрицательные значения токов и говорят о том, что истинные направления этих токов противоположны указанным на рис. 18.1.
Для любого участка цепи, даже содержащего ЭДС, справедлив закон Джоуля – Ленца:
количество теплоты, выделяемое на участке цепи с сопротивлением $$ R$$ при прохождении постоянного тока $$ I$$ в течение времени $$ t$$, есть $$ W={I}^{2}Rt$$.
Отсюда мощность выделяемого тепла `P=W//t=I^2R`.
Пусть на участке `1-2` идёт постоянный ток $$ I$$, перенося за время $$ t$$ от т. `1` к т. `2` заряд $$ q=It$$.
Работой тока на участке `1-2` называется работа сил электростатического поля по перемещению $$ q$$ из т. `1` в т. `2:` $$ {A}_{\mathrm{Т}}=q({\varphi }_{1}-{\varphi }_{2})$$.
Обозначим разность потенциалов (напряжение) $$ {\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}=U$$. Тогда $$ {A}_{T}=qU=UIt$$. В зависимости от знака $$ U$$ получается и знак $$ {A}_{\mathrm{T}}$$.
Мощность тока:
$$ {P}_{\mathrm{T}}={A}_{\mathrm{T}}/t=UI$$.
Работой источника с ЭДС $$ \mathcal{E}$$ при прохождении через него заряда $$ q$$ называется работа сторонних сил над зарядом `q:`
.
Если заряд переносится постоянным током $$ I$$, то $$ {A}_{\mathrm{ист}}=\pm \mathcal{E}It$$.
Когда заряд (ток) через источник идёт в направлении действия сторонних сил, то работа источника положительна (он отдаёт энергию). Аккумулятор в таком режиме разряжается. При обратном направлении тока работа источника отрицательна (он поглощает энергию). В этом режиме аккумулятор заряжается, запасая энергию. Мощность источника:
$$ {P}_{\mathrm{ист}}={A}_{\mathrm{ист}}/t=\pm \mathcal{E}I$$.
Для участка цепи `1-2`, содержащего ЭДС (источник), работа тока $$ {A}_{\mathrm{Т}}$$, работа источника $$ {А}_{\mathrm{ист}}$$ и выделяемое количество теплоты $$ W$$ связаны равнением закона сохранения энергии: $$ {A}_{\mathrm{T}}+{A}_{\mathrm{ист}}=W$$.
Для участка цепи без ЭДС $$ {A}_{\mathrm{ист}}=0$$, $$ {А}_{\mathrm{Т}}=W$$ и количество теплоты равно работе тока. В этом случае количество теплоты можно выразить, используя закон Ома $$ I=U/R$$, через любые две из трёх величин: $$ I$$, $$ U$$ и $$ R$$:
$$ W={A}_{\mathrm{T}}={I}^{2}Rt=UIt={\displaystyle \frac{{U}^{2}}{R}}t$$.
Аналогичное соотношение и для мощностей:
$$ {P}_{\mathrm{T}}={I}^{2}R=UI={\displaystyle \frac{{U}^{2}}{R}}$$.
Найти количество теплоты, выделяющееся на внутреннем сопротивлении каждого аккумулятора и на резисторе $$ R$$ за время $$ t=10$$ c в схеме на рис. 17.1. Какие работы совершают аккумуляторы за это время?
$$ {\mathcal{E}}_{1}=12$$ B, $$ {\mathcal{E}}_{2}=3$$ B, $$ {r}_{1}=1$$ Ом, $$ {r}_{2}=2$$ Ом, $$ R=6$$ Ом.
 |
| Рис. 17,1 |
Ток: $$ I=\left({\mathcal{E}}_{1}-{\mathcal{E}}_{2}\right)/(R+{r}_{1}+{r}_{2})=1$$ A.
Количество теплоты на аккумуляторах и на резисторе:
$$ {W}_{1}={I}^{2}{r}_{1}t=10$$ Дж,
$$ {W}_{2}={I}^{2}{r}_{2}t=20$$ Дж,
$$ W={I}^{2}Rt=60$$ Дж.
Направление действия ЭДС первого аккумулятора совпадает с направлением тока, он разряжается, его работа положительна: $$ {A}_{1}={\mathcal{E}}_{1}It=120$$ Дж.
ЭДС второго аккумулятора направлена против тока, он заряжается, поглощая энергию, его работа отрицательна: $$ A2=-{\mathcal{E}}_{2}It=-30$$ Дж.
Заметим, что `A_1+A_2=W_1+W_2+W`, что согласуется с законом сохранения энергии.
 |
| Рис. 19.1 |
Конденсатор ёмкости $$ C$$, заряженный до напряжения $$ \mathcal{E}$$, подключается к батарее с ЭДС $$ 3\mathcal{E}$$ (рис. 19.1). Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа?
После замыкания ключа ток в цепи скачком достигает некоторого значения и затем спадает до нуля, пока конденсатор не зарядится до напряжения $$ 3\mathcal{E}$$. Энергия конденсатора увеличится на
$$ ∆{W}_{C}=C{\left(3\mathcal{E}\right)}^{2}/2-c{\mathcal{E}}^{2}/2=4C{\mathcal{E}}^{2}$$.
Через батарею пройдёт заряд $$ Q$$, равный изменению заряда не верхней обкладке конденсатора: $$ ∆q=3C\mathcal{E}-C\mathcal{E}=2C\mathcal{E}$$.
Работа батареи: $$ A=∆q3\mathcal{E}=6C{\mathcal{E}}^{2}$$. По закону сохранения энергии:
$$ A=∆{W}_{C}+W$$.
В цепи выделится теплоты: $$ W=A-∆{W}_{C}=2C{\mathcal{E}}^{2}$$.
Под идеальным газом понимают газ, состоящий из молекул, удовлетворяющих двум условиям:
1) размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними;
2) силы притяжения и отталкивания между молекулами проявляются только на расстояниях между ними, сравнимых с размерами молекул.
Молекулы идеального газа могут состоять из одного атома, двух и большего число атомов.
Для простейшей модели одноатомного идеального газа, представляющей собой совокупность маленьких твёрдых шариков, упруго соударяющихся друг с другом и со стенками сосуда, можно вывести, используя законы механики Ньютона,
основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:
`p=2/3n barE`. (1)
Здесь `p` – давление газа, $$ n$$ – концентрация молекул (число молекул в единице объёма), `barE` - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы (сумма кинетической энергии поступательного движения всех молекул в сосуде, делённая на число молекул в сосуде). Вывод этого уравнения дан в школьном учебнике.
Уравнение (1) оказывается справедливым и для многоатомного идеального газа, молекулы которого могут вращаться и обладать, поэтому, кинетической энергией вращения. Полная кинетическая энергия много-атомной молекулы складывается из кинетической энергии поступательного движения $$ {\displaystyle \frac{E={m}_{0}{v}^{2}}{2}}$$ ($$ {m}_{0}$$ - масса молекулы, $$ v$$ - скорость центра масс молекулы) и кинетической энергии вращения. В случае многоатомного идеального газа в (1) под `barE` подразумевается только средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы: $$ {\displaystyle \frac{\overline{E}={m}_{0}\overline{{v}^{2}}}{2}}$$ где $$ \overline{{v}^{2}}$$ - среднее значение квадрата скорости молекулы.
Пусть есть смесь нескольких идеальных газов. Для каждого газа можно записать уравнение $$ {p}_{i}={\displaystyle \frac{2}{3}}{n}_{i}{\overline{E}}_{i}$$, где $$ {n}_{i}$$ концентрация молекул - $$ i$$-го газа, $$ {p}_{i}$$ - парциальное давление этого газа (давление при мысленном удалении из сосуда молекул других газов). Поскольку давление на стенку сосуда обусловлено ударами о неё молекул, то общее давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов:
$$ p=\sum _{i}{p}_{i}$$.
Температуру можно ввести разными способами. Не останавливаясь на них, отметим, что у идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул `barE` связана с температурой $$ T$$ соотношением:
$$ \overline{E}={\displaystyle \frac{3}{2}}kT,$$ (2)
где $$ k=\mathrm{1,38}·{10}^{-23 }$$ Дж/К - постоянная Больцмана. При этом мы считаем, что движение молекул описывается законами механики Ньютона. В системе СИ температурас $$ T$$ измеряется в градусах Кельвина (К). В быту температуру часто измеряют в градусах Цельсия ($$ {}^{\circ }\mathrm{C}$$). Температуры, измеряемые по шкале Кельвина $$ T$$ и по шкале Цельсия $$ t$$ связаны численно соотношением: $$ T=t+273$$.
Итак, температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул: $$ {m}_{0}\overline{{v}^{2}}/2=\frac{3}{2}kT$$. Величина
$$ {v}_{\mathrm{кв}}=\sqrt{\overline{{v}^{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3kT}{{m}_{0}}}}$$ (3)
называется средней квадратичной скоростью. Ясно, что $$ {v}_{\mathrm{кв}}=\overline{{v}^{2}}$$. Она характеризует скорость хаотического движения молекул, называемого ещё тепловым движением. Интересно заметить, что средняя квадратичная скорость молекул идеального газа почти не отличается от средней арифметической скорости молекул $$ {v}_{\mathrm{ср}}$$ (среднее значение модуля скорости): $$ {v}_{\mathrm{кв}}\approx \mathrm{1,085}{v}_{\mathrm{ср}}$$. Поэтому под средней скоростью теплового движения молекул идеального газа можно понимать любую из этих скоростей.
Связь между давлением, концентрацией и температурой для идеального газа можно получить, исключив `barE` из равенств (1) и (2):
`p=nkT`. (4)
Поскольку $$ n={\displaystyle \frac{N}{V}}$$ ($$ N$$ – число молекул в сосуде объёмом $$ V$$), то равенство (4) принимает вид:
$$ pV=NkT$$. (5)
Пусть $$ m$$ – масса газа в сосуде, $$ \mu $$ – молярная масса данного газа, тогда $$ \nu ={\displaystyle \frac{m}{\mu }}$$ есть число молей газа в сосуде. Число молекул $$ N$$ в сосуде, число молей газа $$ \nu $$ и постоянная Авогадро $$ {N}_{А}$$ связаны соотношением $$ N=\nu {N}_{А}$$. Подставляя это выражение для $$ N$$ в (5), получаем: $$ pV=\nu {N}_{A}kT$$. Произведение постоянной Авогадро $$ {N}_{А}=\mathrm{6,02}·{10}^{23 }$$ моль$$ {}^{-1}$$ на постоянную Больцмана $$ k$$ называют универсальной газовой постоянной: $$ R={N}_{A}·k\approx \mathrm{8,31}$$ Дж/(моль$$ ·$$К) Таким образом,
$$ pV=\nu RT$$. (6)
Это уравнение, связывающее давление `p`, объём $$ V$$, температуру $$ T$$ (по шкале Кельвина) и число молей идеального газа $$ \nu $$, в записи называется уравнением Менделеева – Клапейрона.
$$ pV={\displaystyle \frac{m}{\mu }}RT$$ (7)
Из равенства (7) легко получить зависимость между давлением $$ p$$, плотностью $$ \rho $$ $$ (\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}})$$ и температурой $$ T$$ идеального газа
$$ p={\displaystyle \frac{\rho }{\mu }}RT$$. (8)
Каждое из уравнений (5), (6) и (7), связывающих три макроскопических параметра газа `p`, $$ V$$ и $$ T$$ и называется уравнением состояния идеального газа. Здесь, конечно, речь идёт только о газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, которое означает, что все макроскопические параметры не изменяются со временем.
Несколько слов о равновесных процессах. Если процесс с идеальным газом (или любой термодинамической системой) идёт достаточно медленно, то давление и температура газа во всём объёме газа успевают выровняться и принимают в каждый момент времени одинаковые по всему объёму значения. Это означает, что газ проходит через последовательность равновесных (почти равновесных) состояний. Такой процесс с газом называется равновесным. Другое название равновесного процесса – квазистатический. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью и поэтому неравновесны. Но в ряде случае неравновесностью можно пренебречь. В равновесном процессе в каждый момент времени температура $$ T$$, давление `p` и объём $$ V$$ газа имеют вполне определённые значения, т. е. существует зависимость между `p` и $$ T$$, $$ V$$ и $$ T$$, `p` и $$ T$$. Это означает, что равновесный процесс можно изображать в виде графиков этих зависимостей. Неравновесный процесс изобразить графически невозможно.
Напомним ещё раз, что соотношения (4) – (8) справедливы только для идеальных газов. В смеси нескольких идеальных газов уравнения вида (4) – (8) справедливы для каждого газа в отдельности, причём объём $$ V$$ и температура $$ T$$ у всех газов одинаковы, а парциальные давления отдельных газов и общее давление в смеси связаны законом Дальтона.
Покажем, что для смеси идеальных газов общее давление `p`, объём $$ V$$, температура $$ T$$ и суммарное число молей связаны равенством
$$ pV=\nu RT$$ (9)
которое внешне совпадает с равенством (6) для одного газа.
Запишем уравнение состояния для каждого сорта газа:
$$ {p}_{1}V={\nu }_{1}RT$$,
$$ {p}_{2}V={\nu }_{2}RT$$,
$$ \dots \dots \dots $$
Сложив все уравнения и учтя, что $$ \nu ={\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\cdots $$ и $$ p={p}_{1}+{p}_{2}+\cdots $$
(по закону Дальтона), получим (9).
Для смеси идеальных газов можно записать уравнение
$$ pV={\displaystyle \frac{m}{{\mu }_{\mathrm{ср}}}}RT$$ (10)
аналогичное уравнению (7) для одного газа. Здесь `p` – давление в смеси, $$ V$$ – объём смеси, $$ m={m}_{1}+{m}_{2}+\cdots $$ – масса смеси, $$ T$$ – температура смеси, $$ {\mu }_{\mathrm{ср}}={\displaystyle \frac{m}{\nu }}$$средняя молярная масса смеси, состоящей из $$ \nu ={\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\cdots $$ молей.
Действительно, равенство (9) для смеси идеальных газов можно записать в виде $$ pV={\displaystyle \frac{m}{{\displaystyle m/\nu }}}RT$$ Учитывая, что $$ {\displaystyle \frac{m}{\nu }}$$ есть $$ {\mu }_{\mathrm{ср}}$$ получим (10). Например, средняя молярная масса атмосферного воздуха, в котором азот $$ ({\mu }_{{N}_{2}}=28 \mathrm{г}/\mathrm{моль})$$ преобладает над кислородом $$ ({\mu }_{{O}_{2}}=32 \mathrm{г}/\mathrm{моль})$$ равна `29` г/моль
Поведение реальных газов при достаточно низких температурах и больших плотностях газов уже плохо описывается моделью идеального газа.
В сосуде объёмом `4` л находится `6` г газа под давлением `80` кПа. Оценить среднюю квадратичную скорость молекул газа.
В задаче $$ V=4 \mathrm{л}=4·{10}^{-3} {\mathrm{м}}^{3}$$, $$ m=6 \mathrm{г} =6·{10}^{-3} \mathrm{кг}$$, $$ p=80 \mathrm{кПа}=8·{10}^{4} \mathrm{Па}$$. Запишем уравнение состояния газа `pV=NkT`.
Если через $$ {m}_{0}$$ обозначить массу молекулы, то $$ N={\displaystyle \frac{m}{{m}_{0}}}$$; $$ {\displaystyle \frac{{m}_{0}{v}_{\mathrm{кв}}^{2}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}kT$$. Исключая из записанных уравнений $$ N$$ и $$ T$$ находим среднюю квадратичную скорость
$$ {v}_{\mathrm{кв}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3pV}{m}}}=400 \mathrm{м}/\mathrm{с}$$.
Идеальный газ изотермически расширяют, затем изохорически нагревают и изобарически возвращают в исходное состояние. Нарисовать графики этого равновесного процесса в координатах $$ p,V$$; $$ V,T$$; $$p,T$$.
Построим график в координатах $$ p,V$$. В процессе изотермического расширения из состояния `1` в состояние `2` зависимость давления газа $$ p$$ от объёма $$ V$$ имеет вид: $$ p={\displaystyle \frac{\nu RT}{V}}$$, что следует из уравнения состояния идеального газа. Поскольку температура $$ T$$ постоянна, то $$ p={\displaystyle \frac{\mathrm{const}}{V}}$$, т. е. изотерма `1–2` является гиперболой (рис. 1). В дальнейшем при изохорическом нагревании `V="const"` и зависимость $$ p$$ от $$ V$$ изображается в координатах отрезком вертикальной прямой `2-3`.
Изобарический процесс изображается отрезком горизонтальной прямой `3–1`. Графики этого процесса в других координатах строятся аналогично и приведены на рис 2 и 3.
В сосуде находится смесь `10` г углекислого газа и `15` г азота. Найти плотность этой смеси при температуре `27^@"C"` и давлении `150` кПа Газы считать идеальными.
$$ {m}_{1}=10 \mathrm{г}={10}^{-2} \mathrm{кг}$$ – масса углекислого газа, $$ {m}_{2}=15 \mathrm{г} =15·{10}^{-3} \mathrm{кг}$$ – масса азота;
$$ {\mu }_{1}=44{\displaystyle \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}}=44·{10}^{-3} {\displaystyle \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}}$$,
$$ {\mu }_{2}=28 {\displaystyle \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}}=28·{10}^{-3}{\displaystyle \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}}$$ – молярные массы углекислого газа и азота; температура и давление $$ T=300 \mathrm{К}$$, $$ p=\mathrm{1,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$.
Запишем уравнение состояния для каждого газа: $$ {p}_{1}V={\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}}RT$$, $$ {p}_{2}V={\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}}RT$$.
Сложив эти уравнения и учтя, что по закону Дальтона $$ p={p}_{1}+{p}_{2}$$, получим
$$ pV=({\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}})RT$$.
Следует отметить, что последнее уравнение можно было бы записать и сразу, если воспользоваться готовым результатом (9).
Выразим из полученного уравнения объём смеси $$ V$$ и подставим его в выражение для плотности смеси $$ \rho =({m}_{1}+{m}_{2})/V$$. Окончательно,
$$ \rho ={\displaystyle \frac{({m}_{1}+{m}_{2})p}{({\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}})RT}}\approx \mathrm{1,97} \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^{3}\approx \mathrm{2,0} \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^{3}$$.
При комнатной температуре четырёхокись азота частично диссоциирует на двуокись азота: $$ {\mathrm{N}}_{2}{\mathrm{O}}_{4}\to 2{\mathrm{NO}}_{2}$$. В откачанный сосуд объёмом $$ V= 250 {\mathrm{см}}^{3}$$ вводится $$ m=\mathrm{0,92} г$$ жидкой четырёх окиси азота. Когда температура в сосуде увеличивается до `t=27^@"C"`, жидкость полностью испаряется, а давление становится равным $$ p=129 \mathrm{кПа}$$. Какая часть четырёх окиси азота при этом диссоциирует?
Пусть диссоциирует масса $$ {m}_{1}$$. Тогда парциальное давление двуокиси азота $$ {p}_{1}={\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}V}}RT$$, где $$ {\mu }_{1}=46·{10}^{-3} \mathrm{кг}/\mathrm{моль}$$. Парциальное давление четырёх окиси азота $$ {p}_{2}={\displaystyle \frac{m-{m}_{1}}{{\mu }_{2}V}}RT$$, где $$ {\mu }_{2}=92·{10}^{-3} \mathrm{кг}/\mathrm{моль}$$.
По закону Дальтона $$ p={p}_{1}+{p}_{2}$$. Подставив в последнее равенство выражения для $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2}$$, получаем:
$$ {m}_{1}={\displaystyle \frac{{\mu }_{1}({\displaystyle \frac{pV}{RT}}{\mu }_{2}-m)}{{\mu }_{2}-{\mu }_{1}}}\approx \mathrm{0,27} \mathrm{г}$$.
