16 статей
При увеличении `n` члены последовательности `x_n=1//n` становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль - предел последовательности `x_n`. Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситуации может оказаться недостаточно. Мы должны точно сформулировать, что означает слово «предел» на языке чисел. Строгое определение предела было сформулировано довольно поздно - только в середине XIX века. Дело в том, что в отличие от используемых ранее «назывных» определений (типа определения равнобедренного треугольника) здесь описывается процесс изменения величины: пробегая по ряду натуральных чисел `1,2,3,...,n,...`, мы наблюдаем за поведением `x_n`. Такие понятия плохо формализуются.
Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение «`x_n` стремится к `a`». Изобразим члены последовательности на числовой оси и отметим на ней точку `a`. Представим ситуацию образно: будем делать фотографии `a` каждый раз с новым оптическим увеличением. Число `a` будет пределом последовательности `(x_n)`, если `a` - «друг» `x_n`: на любой такой фотографии окажутся все `x_n`, начиная с некоторого номера.
Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности `x_n=1//n`. В качестве «фотографии» `a=0` можно взять симметричный интервал `(-epsilon, epsilon)^1`. [1 `epsilon` - греческая буква «эпсилон».] Оптическому увеличению соответствует уменьшение `epsilon`. Пусть `k=1//epsilon`, тогда `1//n<epsilon` при `n>k` и, следовательно, член `x_n` попадает на «фотографию», т. е. `-epsilon<x_n<epsilon`. Например, при `epsilon1//100` все члены `x_(101), x_(102), ...`, окажутся в интервале `(-1//100, 1//100)`, при `epsilon=1//1000` уже только члены `x_(1001), x_(1002), ...`, окажутся в интервале `(-1//1000, 1//1000)` и т. д.
Число `a` называется пределом последовательности `(x_n)`, если для любого положительного числа `epsilon` найдётся такое действительное число `k`, что при всех `n>k` выполняется неравенство
`|x_n-a|<epsilon`. (2.1)
В этом случае пишут `lim_(n->oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.
Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.
Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа `epsilon` интервал `(a-epsilon, a+epsilon)` называется `epsilon` - окрестностью точки `a`. Неравенство (2.1) равносильно двойному неравенству `-epsilon<x_n-a<epsilon` или
`a-epsilon<x_n<a+epsilon`. (2.2)
Неравенство (2.2) показывает, что все члены последовательности `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в `epsilon` - окрестность точки `a`. В определении предела число `epsilon` может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки `a` содержит все члены `(x_n)` за исключением, быть может, конечного числа (рис. 1а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми `x=a-epsilon` и `x=a+epsilon` может оказаться лишь конечное число точек графика `(x_n)` (рис. 1б).
В определении предела выбор числа `k`, вообще говоря, зависит от `epsilon`. Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут `k=k(epsilon)`. Доказать, что последовательность `(x_n)` имеет предел, фактически означает найти функциональную зависимость `k` от `epsilon`. Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами `A` и `B:A` задаёт точность приближения `epsilon`, в ответ `B` указывает число `k`, с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (2.1) при всех `n>k`; уменьшает точность, `B` - указывает новое `k` и т. д.
Пусть `x_n=c` - постоянная последовательность. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=c`.
Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c|<epsilon`. Но это неравенство равносильно следующему: `|c-c|<epsilon`, или `0<epsilon`, что выполняется для всех номеров `n`. Это означает, что в качестве `k` можно выбрать любое число, например, `k=0`. Тогда для любого `n>k` имеет место неравенство `|x_n-c|<epsilon`. По определению `lim_(n->oo)x_n=c`.
В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.
Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.
Пусть фиксировано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|1/n -0|<epsilon`, или `n>1//epsilon`. Выберем `k=1//epsilon`. Тогда при `n>k` имеем: `|1/n-0|=1/n<1/k=epsilon`. По определению `lim_(n->oo) 1/n=0`.
Наглядное представление о пределе можно получить, считая, что `x_n` - какие-то физические величины, которые мы можем измерять с определённой точностью, допускаемой приборами. Пусть `epsilon` есть точность прибора, тогда неравенство `|x_n-a|<epsilon` означает, что мы не сможем отличить `x_n` от `a`. Таким образом, условие `lim_(n->oo)x_n=a` означает, что при любой точности измерения последовательность `(x_n)`, начиная с некоторого номера, не отличается от постоянной последовательности `a`, `a`, `a`, `...` .
Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?
Нет. Предположим, что два разных числа `a` и `b` являются пределами одной и той же последовательности `x_n)` и пусть, например, `b>a`. Положим `epsilon=(b-a)//3`, тогда `epsilon` - окрестности точек `a` и `b` не пересекаются (сделать чертёж!). Ввиду условия найдутся такие числа `k_1` и `k_2`, что при всяком `n>k_1` член `x_n` лежит в `epsilon` -окрестности точки `a` и при всяком `n>k_2` член `x_n` лежит в окрестности точки `b`. Если теперь взять какое-нибудь `n>max{k_1,k_2}`, то окажется, что `x_n` лежит одновременно в `epsilon` - окрестности точки `a` и в `epsilon` - окрестности точки `b`, а это невозможно, поскольку окрестности не пересекаются.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o` - произвольное. По определению предела найдётся `k` такое, что `|x_n-a|<epsilon` при всех `n>k`. Но если номер `n>k`, то также `n+1>k` и, следовательно, `|x_(n+1)-a|<epsilon`. Это означает, что `lim_(n->oo)x_(n+1)=a`.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a|<epsilon/2` при всех `n>k`?
Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|<alpha` при всех `n>k`.
Сформулируем необходимое условие существования предела.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Покажем, что последовательность `(x_n)` ограничена. Согласно примеру 1.4 для этого достаточно показать, что все её члены лежат на некотором отрезке. Возьмём `epsilon=1`. Тогда по определению предела найдётся число `k` такое, что все члены `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в интервал `(a-1; a+1)`. За пределами этого интервала может оказаться лишь конечное число членов `x_1, x_2, ..., x_N`, где `N` - наибольший из номеров `n<=k`. Добавим к этому набору числа `a-1` и `a+1` и из полученного набора чисел выберем наименьшее (обозначим его через `m`) и наибольшее (обозначим его через `M`) Тогда отрезок `[m;M]` содержит уже все члены данной последовательности: `m<=x_n<=M` для всех `ninN`.
Доказать, что последовательность `x_n=n^2` не имеет предела.
В примере 1.6 было показано, что данная последователь-ность не является ограниченной. По теореме 2.1 заключаем, что последовательность `(x_n)` расходится.
Следующий пример показывает, что ограниченная последователь-ность может и не иметь предела, т. е. обратное утверждение к теореме 2.1 неверно.
Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.
Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a|<1` при всех `n>k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a|<1` и `|x_(N+1)-a|<1`. Но одно из чисел `x_N` и `x_(N+1)` равно `1`, а другое равно `-1`. Поэтому `|-1-a|<1` и `|1-a|<1`, т. е. одновременно `0<a<2` и `-2<a<0`. Полученное противоречие показывает, что последовательность `(x_n)` расходится.
При вычислении пределов на практике редко пользуются опреде-лением. Обычно применяют уже известные стандартные предельные равенства и следующую теорему об арифметических операциях с пределами.
Если последовательности `(x_n)` и `(y_n)` сходятся, то сходятся и последовательности `(x_n+y_n)`, `(x_n*y_n)` и `x_n//y_n` (в последнем случае предполагается `y_n!=0`, `lim_(n->oo)y_n!=0`). При этом
1) `lim_(n->oo)(x_n+y_n)=lim_(n->oo)x_n+lim_(n->oo)y_n`;
2) `lim_(n->oo)(x_n*y_n)=(lim_(n->oo)x_n)*(lim_(n->oo)y_n)`;
3) `lim_(n->oo)(x_n)/(y_n)=(lim_(n->oo)x_n)/(lim_(n->oo)y_n)`.
Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab|<epsilon` при всех `n>k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n|<=C` и `|y_n|<=C` при всех `n`, а также `|a|<=C`, `|b|<=C`. Заметим, что
`|x_ny_n-ab|=|x_ny_n-x_nb+x_nb-ab|=|x_n(y_n-b)+b(x_n-a)|`
и, следовательно, по неравенству `|x+y|<=|x|+|y|` имеем
`|x_ny_n-ab|<=|x_n|*|y_n-b|+|b|*|x_n-a|`.
Ввиду условия существует число `k_1` такое, что `|x_n-a|<epsilon/(2C)` для всех `n>k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b|<epsilon/(2C)` для всех `n>k_2`. Если положить `k=max{k_1,k_2}`, то при `n>k` имеем:
`|x_ny_n-ab|<=|x_n|*|y_n-b|+|b|*|x_n-a|<C epsilon/(2C)+C epsilon/(2C)=epsilon`,
что и требовалось.
Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. `lim_(n->oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.
В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo)cx_n=lim_(n->oo)c*lim_(n->oo)x_n=clim_(n->oo)x_n`.
Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.
Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.
Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.
Найти `lim_(n->oo) ((n+2)^3-n(n-1)^2)/(n^2+11)`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:
`x_n=(8n^2+11n+8)/(n^2+11)=(n^2(8+11/n + 8/n^2))/(n^2(1+11/n^2))=(8+11/n+8/n^2)/(1+11/n^2)`.
Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:
`lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2)=lim_(n->oo)8+11lim_(n->oo)1/n+8lim_(n->oo)1/n^2=8`,
`lim_(n->oo)(1+11/n^2)=lim_(n->oo)1+11lim_(n->oo)1/n^2=1`.
По пункту 3 теоремы 2.2
`lim_(n->oo)x_n=lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2)/(1+11/n^2)=(lim_(n->oo)(8+11/n+8/n^2))/(lim_(n->oo)(1+11/n^2))=8/1=8`.
`8`.
Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.
Пусть `(x_n)`, `(y_n)` и `(z_n)` - такие последовательности, что `x_n<=y_n<=z_n` при всех `n inN` и `lim_(n->oo)x_n=lim_(n->oo)z_n=a`. Тогда `lim_(n->oo)y_n=a`.
Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max{k_1,k_2}`. Тогда при `n>k` одновременно `x_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и `z_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и, следовательно, `a-epsilon<x_n<=y_n<=z_n<a+epsilon`, т. е. `y_n in(a-epsilon;a+epsilon)`, что и требовалось.
Дана последовательность `x_n=1/(sqrt(n^2+1))+1/(sqrt(n^2+2))+...+1/(sqrt(n^2+n))`.
Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=1`.
Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.
Заметим, что `1/(sqrt(n^2+1))` - наибольшая, а `1/(sqrt(n^2+n))` - наименьшая дробь суммы `x_n`. Тогда верна оценка `n*1/(sqrt(n^2+n))<=x_n<=n*1/(sqrt(n^2+1))`.
Поскольку `n^2+n<n^2+2n+1`, тогда
`sqrt(n^2+n)<n+1 iff1/(sqrt(n^2+n))>1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.
Учитывая `n/(sqrt(n^2+1))<n/n=1`, получаем: `n/(n+1)<x_n<1`.
Поскольку `lim_(n->oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.
Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n<=b_n` и `lim_(n->oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a<=b`.
Предположим, что `a>b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a|<epsilon`, а для `n>k_2` выполняется `|b_n-b|<epsilon`. Положим `k=max{k_1,k_2,n_0}`. Тогда для `n>k` имеем `b_n<b+epsilon=(a+b)/2=a-epsilon<a_n`, что противоречит условию.
Предельный переход не обязан сохранять строгие неравенства. Например, `1/n<0` для всех `n inN`, но `lim_(n->oo)1/n=0`.
В теории пределов важную роль играет следующий факт.
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».
Доказать, что если `|q|<1`, то `lim_(n->oo)q^n=0`.
Для `q=0` утверждение очевидно. Пусть `q in (0,1)`, тогда
`x_(n+1)=q*x_n`, (2.3)
следовательно, `x_(n+1)<x_n` при всех `n`, т. е. последовательность `(x_n)` является строго убывающей. В частности, `x_n<x_1` при всех `n`. Кроме того, очевидно `x_n>0` при всех `n`, т. е. последовательность `(x_n)` ограничена. По теореме 2.5 существует `lim_(n->oo)x_n`. Обозначим его через `a`. Тогда, переходя к пределу в равенстве (2.3), получаем `a=q*a`, т. е. `a=0`.
Пусть теперь `q in (-1;0)`, тогда справедливо неравенство
`-|q|^n<=q^n<=|q|^n`.
Поскольку `|q|in(0;1)`, то по доказанному выше `lim_(n->oo)|q|^n=0`, тогда согласно примеру 2.5 и `lim_(n->oo)(-|q|^n)=0`. По теореме о «зажатой» последовательности (теорема 2.3) `lim_(n->oo)q^n=0`.
Дадим обоснование одного способа приближённого извлечения квадратных корней, встречавшегося еще в древних вавилонских текстах.
Последовательность `(x_n)` задана рекуррентно где
`x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n)`, (2.4)
`x_1>0`, `a>0`. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=sqrta`.
Поскольку `x_1>0` и `a>0`, все члены последовательности положительные. Применяя неравенство `(c+d)//2>=sqrt(cd)` для среднего арифметического и среднего геометрического, получаем:
`x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n)>=sqrt(x_na/x_n)=sqrta`,
т. е. `x_n>=sqrta` для всех `n>=2`. Отсюда вытекает, что
`x_(n+1)-x_n=(a-x_n^2)/(2x_n)<=0`,
т. е. последовательность `(x_n)` является нестрого убывающей при `n>=2`. Кроме того, `(x_n)` ограничена: `sqrta<=x_n<=x_2` для всех `n>=2`. По теореме 2.5 существует `lim_(n->oo)x_n=b` и по теореме 2.4 `b>=sqrta>0`. Переходя в равенстве (2.4) к пределу, получаем `b=1/2(b+a/b)`, откуда `b^2=a` и, значит, `b=sqrta`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ain R`, за исключением, быть может, самой точки `a`.
Число `A` называется пределом функции `y=f(x)` в точке `a`, если для любой последовательности `(x_n)` из области её определения такой, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a` выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=A`.
Обозначение: `lim_(n->oo)f(x)=A`, или `f(x)->A` при `x->a`.
В определении предела рассматриваются значения `x_n`, не равные `a`, поэтому в самой точке `a` функция `y=f(x)` может быть не определена; если значение `f(a)` определено, то оно не обязано совпадать с `A`. К тому же, поскольку последовательность `(f(x_n))` имеет не более одного предела, получаем, что если функция `y=f(x)` имеет предел при `x->a`, то этот предел единственный.
На рис. 2 изображена лишь одна последовательность `(x_n)`, которая к тому же является монотонной. Важно понимать, что `lim_(n->oo)f(x_n)=A` для любой последовательности `(x_n)` с условием `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`.
Доказать, что `lim_(n->oo)x=a`.
Очевидно, функция `f(x)=x` определена на любом интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность `(x_n)` такую, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда `f(x_n)=x_n` и, значит, `lim_(n->oo)f(x_n)=a`.
Доказать, что при `a>0lim_(n->a)sqrtx=sqrta`.
Функция `f(x)=sqrtx` определена при `x>=0` и, следовательно, определена на некотором интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность неотрицательных чисел `x_n!=a`, что `lim_(n->oo)x_n=a`. Нам нужно показать, что `lim_(n->oo)sqrtx_n=sqrta`. Фиксируем произвольное `epsilon>0`, тогда найдётся такое число `k`, что при `n>k` выполняется неравенство `|x_n-a|<epsilonsqrta`. Следовательно,
`|sqrtx_n-sqrta|=(|(sqrt(x_n)-sqrta)(sqrt(x_n)+sqrta)|)/(sqrt(x_n)+sqrta)<(|x_n-a|)/(sqrta)<epsilon`,
что и требовалось.
Доказать, что `lim_(x->1)(x^2-1)/(x-1)=2`.
Функция `f(x)=(x^2-1)/(x-1)` определена на любом интервале, содержащем `x=1`, кроме этой точки. Поскольку при `x!=1` имеет место равенство `f(x)=x+1`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `x_n!=1` и `lim_(n->oo)x_n=1` выполняется `lim_(n->oo)f(x_n)=lim_(n->oo)x_n+1=2`.
Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` определены на некотором интервале, содержащем точку `a in R`, за исключением, быть может, самой точки `a`, `lim_(x->a)f(x)=A` и `lim_(x->a)g(x)=B`. Тогда
1) `lim_(x->a)(f(x)+g(x))=A+B`;
2) `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`;
3) если дополнительно `g(x)!=0` при `x!=a`, `B!=0`, то `lim_(x->a)(f(x))/(g(x))=A/B`.
Эти свойства вытекают из арифметических операций над пределами последовательностей (теорема 2.2). Приведём доказательство для свойства 2. Остальные доказываются аналогично.
Пусть некоторая произвольная последовательность `(x_n)` из интервала, на котором определены функции, такова что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда по определению предела функции `lim_(n->oo)f(x_n)=A` и `lim_(n->oo)g(x_n)=B`. По пункту 2 теоремы 2.2 `lim_(n->oo)f(x_n)g(x_n)=AB`. По определению предела функции получаем, что `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `a`. Функция `y=f(x)`называется непрерывной в точке `a`, если `lim_(x->a)f(x)=f(a)`, т. е. если для любой последовательности `(x_n)` из области определения функции такой, что `lim_(n->oo)x_n=a`, выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=f(a)`.
Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка `x_n!=a` здесь не нужна, т. к. при `x_n=a` значения `f(x_n)` равны `f(a)`. Во-вторых, важно понимать, что если функция `y=f(x)` непрерывна в точке `a`, то
1) она определена в точке `a`;
2) существует `lim_(x->a)f(x)=A` и
3) `A=f(a)`.
Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке `a`.
Многочлен является непрерывной на всей числовой прямой функцией.
Пусть `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0` - многочлен степени `n, a in R`. Нам нужно показать, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`. В силу примера 3.1 `lim_(x->a)x=a`,, а в силу примера 2.1 для константы `c` ‑ `lim_(x->a)c=c`. Последовательно применяя пункт 2 теоремы 3.1, получаем, что `lim_(x->a)cx^m=ca^m` при любом натуральном `m`. Осталось `n+1` раз применить пункт 1 теоремы 3.1 и заключить, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`.
Из теоремы 3.1 вытекает, что если функции `y=f(x)`, `y=g(x)` непрерывны в точке `a`, то функции `y=f(x)+-g(x)`, `y=f(x)g(x)`, `y=f(x)//g(x)` `(g(a)!=0)` также непрерывны в `a`.
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Функция `y=|x|` непрерывна на всей числовой прямой.
Функция `y=|x|` на промежутке `(-oo;0)` совпадает с функцией `y=-x`, а на промежутке `(0;+oo)` - с функцией `y=x`, которые непрерывны на этих промежутках. Осталось исследовать на непрерывность данную функцию в точке `x=0`. Поскольку `||x_n|-0|=|x_n-0|`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `lim_(n->oo)x_n=0` верно `lim_(n->oo)|x_n|=0`. По определению `lim_(x->0)|x|=0`, функция `y=|x|` непрерывна в точке `x=0`.
Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены.
Найти `lim_(x->2)(x^3+sqrt((x-3)^2)+11)`.
Поскольку `sqrt((x+3)^2)=|x-3|` и `|x-3|=3-x` при `x<=3`,
то `f(x)=x^3+|x-3|+11=x^3-x+14` при `x<=3`.
Многочлен `P(x)=x^3-x+14` непрерывен на всей числовой прямой, и в частности, в точке `x=2`. Поэтому `lim_(x->2)f(x)=P(2)=2^3-2+14=20`.
Найти `lim_(x->5)(sqrt(x-1)-2)/(x-5)`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `f(x)`. В числителе и знаменателе дроби `f(x)` стоят функции, непрерывные в точке `x=5`. Предел этих функций при `x->5` равен их значению в точке `x=5`, т. е. равен `0`. В этом случае говорят, что имеет место неопределённость `(0/0)`. Для её «раскрытия» приходится прибегнуть к искусственному приёму – умножению числителя и знаменателя дроби `f(x)` на «сопряжённое выражение» `sqrt(x-1)+2`:
`lim_(x->5)f(x)=lim_(x->5)((sqrt(x-1)-2)(sqrt(x-1)+2))/((x-5)(sqrt(x-1)+2))=`
`=lim_(x->5)(x-5)/((x-5)(sqrt(x-1)+2))=`
`=lim_(x->5)1/(sqrt(x-1)+2)=1/(sqrt(5-1)+2)=1/4`.
Предпоследнее равенство получено в силу непрерывности функции `y=1/(sqrt(x-1)+2)` в точке `x=5`.
`1/4`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале `(c;d)`, содержащем точку `ainR`. Функция `y=f(x)` называется дифференцируемой в точке , если существует конечный
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)`.
Этот предел называется производной функции `y=f(x)` в точке `a` и обозначается `f^'(a)`.
Для точек `x,ain(c;d)` введём обозначения: `Deltax=x-a` – приращение аргумента; `Deltaf=f(x)-f(a)` – приращение функции. Тогда дифференцируемость `y=f(x)` в точке `a` означает, что
`f^'(a)=lim_(x->a)(Deltaf)/(Deltax)`.
Функция называется дифференцируемой на множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Найти по определению производные функций:
а) `f(x)=c, cinR`, в произвольной точке;
б) `f(x)=x^n,ninN`, в произвольной точке;
в) `f(x)=sqrtx` в точке `a>0`.
а) Пусть `ainR`. Поскольку приращение постоянной функции `Deltaf=c-c=0`, то производная `f^'(a)=lim_(x->a)0/(x-a)=0`.
б) Приращение данной функции в точке `ainR` можно записать следующим образом: `Deltaf=x^n-a^n=(x-a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1))`. Тогда
`f^'(a)=lim_(x->a)(x^n-a^n)/(x-a)=lim_(x->a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1))=na^(n-1)`.
Итак, `(x^n)^'=nx^(n-1)` для всех `xinR`.
в) Пусть `a>0`. Функция `s(x)=sqrtx` определена на некотором интервале, содержащем `a` (например, `(a//2,2a)`). Запишем отношение приращений
`(Deltaf)/(Deltax)=(sqrtx-sqrta)/(x-a)=(sqrtx-sqrta)/((sqrtx-sqrta)(sqrtx+sqrta))=1/(sqrtx+sqrta)`.
Тогда `f^'(a)=lim_(x->a)1/(sqrtx+sqrta)=1/(2sqrta)`, т. е. `(sqrtx)=1/(2sqrtx)` при `x>0`.
Укажем физический смысл производной. Пусть `s=s(t)` - расстояние, пройденное телом за время `t` (движение одномерное). Тогда частное `(s(t)-s(t_0))/(t-t_0)` выражает среднюю скорость за время от `t_0` до `t`. Если мы хотим узнать скорость тела в момент времени `t_0`, то нужно неограниченно уменьшать промежуток от `t_0` до `t`, т. е. устремлять `t` к `t_0`. Таким образом, `s^'(t_0)=lim_(t->t_0)(s(t)-s(t_0))/(t-t_0)` есть мгновенная скорость в `t_0`. Так что интуитивное представление о производной есть у каждого, кто видел спидометр автомобиля.
Если функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `a`, то она непрерывна в точке `a`.
Следующий пример показывает, что обратное утверждение к теореме 4.1 неверно.
Доказать, что функция `y=|x|` не дифференцируема (не имеет производной) в точке `x=0`.
Рассмотрим две последовательности `(x_n)` и `(bar(x)_n)` такие что `x_n->0`, `bar(x)_n->0` при `n->oo`, все `x_n>0`, а все `barx_n<0`. Тогда соответствующие отношения приращений функции к приращениям аргумента в точке `x=0` имеют вид `((Deltay)/(Deltax))_n=(|x_n|-0)/(x_n-0)=(x_n)/(x_n)=1` и `((Deltay)/(Deltax))_n=(|barx_n|-0)/(barx_n-0)=(-barx_n)/(barx_n)=-1` что означает отсутствие предела `lim_(x->0)(Deltay)/(Deltax)`, т. е. отсутствие `y^'(0)`.
Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` дифференцируемы в точке `a`, тогда в этой точке дифференцируемы функции `y=(f+g)(x)`, `y=c*f(x)` (где `cinR`), `y=(f*g)(x)` и, если `g(a)!=0`, то также `y=(f/g)(x)`,причём
1) `(f+-g)^'(a)=f^'(a)+-g^'(a)` и `(c*f)^'(a)=c*f^'(a)`;
2) `(f*g)^'(a)=f^'(a)g(a)+f(a)g^'(a)`;
3) `(f/g)^'(a)=(f^'(a)g(a)-f(a)g^'(a))/(g^2(a))`.
Из теоремы 4.2 и пунктов а) и б) примера 4.1 вытекает
Любой многочлен `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0` является дифференцируемой на `R` функцией с производной `P^'(x)=a_n nx^(n-1)+a_(n-1)(n-1)x^(n-2)+...+a_1`.
Найти производную функции `y=(x+1)/(3x-6)` при `x!=2`.
На основании примера 4.1 и теоремы 4.2 получаем:
`y^'((x+1)^'(3x-6)-(x+1)(3x-6)^')/((3x-6)^2)=`
`=(3x-6-(x+1)*3)/(9(x-2)^2)=(-1)/((x-2)^2)`.
Вообще говоря, любая дробно-рациональная функция дифференцируема во всех точках, за исключением нулей знаменателя.
Пусть на множестве `X` задана функция `y=f(x)` и на множестве её значений задана функция `z=g(y)`. Тогда говорят, что на множестве `X` определена сложная функция (или композиция) `z=g(f(x))` функций `z=g(y)` и `y=f(x)`. Например, рассмотрим на луче `X=(-oo;-1]` функцию `y=x^2-1`. На множестве её значений `[0;+oo)` определена функция `z=g(y)=sqrty`. Тогда на `X` можно определить сложную функцию `z=g(f(x))=sqrt(x^2-1)`.
Пусть на множестве `X` определена сложная функция `z=g(f(x))`. Если функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `x_0`, а функция `z=g(y)` дифференцируема в точке `y_0=f(x_0)`, то сложная функция `z=g(f(x))` дифференцируема в точке `x_0` и `(g(f(x_0)))^'=g(y_0)f^'(x_0)`.
Найти производную функции `z(x)=sqrt(x^2-1)` в точке `x in(-oo;-1)`.
Данная функция является композицией двух функций `g(y)=sqrty` и `y=f(x)=x^2-1`. Поскольку `g^'(y)=1/(2sqrty)` (см. пример 4.1), а `y^'=f^'(x)=2x`, то по теореме 4.3 получаем
`z^'(x)=g^'(f(x))*f^'(x)=(1)/(2sqrt(f(x)))*f^'(x)=`
`=(2x)/(2sqrt(x^2-1))=x/(sqrt(x^2-1))`.
Пусть функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `a`. Касательной к графику `f` в точке `A(a;f(a))` называется прямая, проходящая через точку `A`, угловой коэффициент которой равен `f^'(a)`. Уравнение касательной в точке `A` имеет вид
`y=f(a)+f^'(a)(x-a)`.
Функция `f(x)=sqrt(1-x^2)` дифференцируема в каждой точке интервала `(-1;1)` с `f^'(x)=-x/(sqrt(1-x^2))`. Следовательно, уравнение касательной к графику этой функции в `A(a;f(a))` имеет вид `y=sqrt(1-a^2)-(a(x-a))/(sqrt(1-a^2))`, т. е. `y=(1-ax)/(sqrt(1-a^2)`. График `f` представляет собой полуокружность, а касательная к этой кривой была определена в геометрии. Докажем, что оба определения дают одну и ту же прямую.
 |
Рассмотрим случай `ain(0;1)`. Касательная, определенная при помощи производной, проходит через точку `A(a;f(a))` и угловой коэффициент её равен `f^'(a)=-a/(sqrt(1-a^2))`. Так как этот угловой коэффициент отрицателен, то угол `varphi`, образованный касательной с положительным направлением оси `Ox`, тупой: `"tg"varphi=f^'(a)`. Тогда тангенс острого угла `alpha` (см. рис. 3), образованного касательной с отрицательным направлением оси `Ox`, равен `a/(sqrt(1-a^2))`. Котангенс же острого угла `beta`, образованного прямой `OA` с положительным направлением оси `Ox`, равен `a/(f(a))=a/(sqrt(1-a^2))`. Итак, `"tg"alpha="ctg"beta`, оба угла `alpha` и `beta` острые, поэтому `beta=90^@-alpha`. А это значит, что касательная, определенная при помощи производной, перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку `A`, т. е. совпадает с касательной в смысле геометрического определения. Случай `ain(-1;0)` рассматривается аналогично. Этот случай (а также случай `a=0`) рекомендуем рассмотреть самостоятельно.
Часто требуется провести касательную к графику функции через произвольную точку плоскости. Такая задача может иметь два и более решений, а может и вообще не иметь решений.
Провести касательную к параболе `y=1+2x-x^2` через произвольную точку плоскости `(x_0;y_0)`. Исследовать решение.
Так как `(1+2x-x^2)^'=2-2x`, то уравнение касательной к параболе в точке `(a;1+2a-a^2)` имеет вид:
`y=(1+2a-a^2)+(2-2a)(x-a)`.
Эта касательная должна проходить через точку `(x_0;y_0)`, откуда `y_0=(1+2a-a^2)+(2-2a)(x_0-a)` и после преобразований получаем уравнение для нахождения абсциссы точки касания `a`:
`a^2-2x_0a+(1+2x_0-y_0)=0`. (*)
Если `D/4=x_0^2-2x_0-1+y_0<0`, т. е. `y_0<1+2x_0-x_0^2`, то уравнение (*) не имеет решений.
Если `D/4>0`, т. е. `y_0>1+2x_0-x_0^2`, то уравнение (*) имеет два решения `a=x_0+-sqrt(x_0^2-2x_0-1+y_0)`. Подставляя найденные `a` получим уравнения двух касательных, проходящих через точку `(x_0;y_0)`. Например, при `x_0=0`, `y_0=2` имеем `a+-1` и соответственно уравнения двух касательных: `y=2` (горизонтальная касательная, касающаяся параболы в её вершине `(1;2)`) и `y=4x+2` (наклонная касательная, касающаяся параболы в точке `(-1;-2)`, см. рис. 4). Наконец, если `D/4=0` т. е. `y_0=1+2x_0-x_0^2`, то уравнение имеет одно решение `a=x_0`. Геометрический смысл решения очень прост.
Если `y_0<1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит «ниже» параболы, то через эту точку касательную провести нельзя.
Если `y_0>1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит «выше» параболы, то через эту точку можно провести две касательные к параболе. Наконец, если `y_0=1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит на параболе, то через нее можно провести единственную касательную, касающуюся параболы в точке `(x_0;y_0)`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x)<f(a)`.
Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума функции `f`.
Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^'(a)=0`.
Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна.
Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие.
Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой.
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`.
1) Функция `y=f(x)` возрастает на `I`, если для любых `x,yinI`, `x<y`, выполняется `f(x)<f(y)`.
2) Функция `y=f(x)` убывает на `I`, если для любых `x,yinI`, `x<y`, выполняется `f(x)>f(y)`.
Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна на промежутке `I`.
Условия монотонности. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда
1) если `f^'(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`;
2) если `f^'(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`.
Условия экстремума. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда
1) если `f^'(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^'(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`;
2) если `f^'(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^'(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`.
Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения.
Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^'=3(x^2-1)`. Так как `y^'<0` при `x in(-1,1)`; `y^'>0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и `[1,+oo)` (на каждом из двух лучей в отдельности, но не на их объединении!), убывает на отрезке `[-1,1]`. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^'=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет.
Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной – задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) `[1;3]`.
а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`.
б) Так как на луче `[1,+oo)` функция возрастает, то `y(1)<=y(x)<=y(3)` для всех `x in[1;3]`, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`.
Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^'(x)=3x^2+12`, `f_2^'(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^'(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^'(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^'(x)=f_1^'(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^'(x)=f_2^'(x)<0` на `(-1;2)` и `y^'(x)=f_2^'(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице:
| `x` | `x=-4` | `(-4;-1)` | `x=-1` | `(-1;2)` | `x=2` | `(2;3)` | `x=3` |
| `y^'` |
|
`+` |
не сущ. |
`-` |
`0` |
`+` |
|
| `y` | `-100` |
возр. |
`-1` макс. |
убыв. |
`-28` мин. |
возр. |
`-21` |
`y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
С помощью генератора случайных чисел в каждом классе и предмете были выбраны участники, набравшие максимальный балл.
| Физика 11 класс | Дремин Арсений Алексеевич |
| Математика 11 класс | Волков Алексей Дмитриевич |
| Физика 10 класс | Питомцев Александр Олегович |
| Математика 10 класс | Баранов Даниил Юрьевич |
| Физика 9 класс | Болотецкий Михаил Александрович |
| Математика 9 класс | Епихина Татьяна Евгеньевна |
| Физика 8 класс | Елизарова Юлия Максимовна |
| Математика 8 класс | Дубинин Артем Сергеевич |
| Физика 7 класс | Суставова Ольга Сергеевна |
| Математика 7 класс | Щербакова Елена Николаевна |
| Математика 6 класс | Климченко Валентина Ильинична |
| Математика 5 класс | Рылев Артемий Андреевич |
Организаторы олимпиады свяжутся с победителями конкурсов посредством личных сообщений портала abitu.net.
