16 статей
В рамках классической механики скорость и ускорение тела преобразуются по определённым правилам при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Пусть имеются две произвольные системы отсчёта `K` и `K^'` (рис. 6). Известны скорость `vecv^'` и ускорение `veca^'` тела (точки `A`) в `K^'` - системе.
Рассмотрим случай, когда `K^'`- система движется поступательно по отношению к `K` - системе, и определим значения скорости `vecv` и ускорения `veca` тела в `K`-системе.
Если за малый промежуток времени `Deltat` тело (точка `A`) переместилось относительно `K^'` - системы на величинy `Deltavecr^'`, а `K^'` - система переместилась относительно `K` - системы на `Deltavecr_0`, то из правила векторного сложения следует, что перемещение `Deltavecr` тела относительно `K` - системы будет равно `Deltavecr=Deltavecr_0+Deltavecr^'`. Разделив обе части этого равенства на $$ ∆t$$ и обозначив через скорость `K^'` - системы относительно `K` - системы, получим:
`vec v =vec v_o +vec v^'` (4)
Рассуждая аналогично,найдем формулу преобразования ускорения :
`vec a =vec a_o + vec a^'` (5)
Из формулы (5) вытекает важное следствие: при ускорения и `vec a^'` равны. Иными словами, если система отсчёта `K^'` движется поступательно без ускорения относительно системы отсчёта `K`, то ускорения тела в обеих системах отсчёта будут одинаковы.
Переход из одной системы отсчёта в другую довольно часто применяется на практике и порой существенно облегчает решение некоторых физических задач, поэтому к данному приёму желательно привыкнуть и научиться умело его использовать.
Часто встречаются задачи, в которых два тела движутся независимо друг от друга в некоторой системе отсчёта, и требуется определить какие-либо величины (перемещение, скорость), характеризующие движение одного тела относительно другого. В таких случаях, как правило, удобно перейти в систему отсчёта, связанную с тем телом, относительно которого рассматривается движение другого тела, и применить полученные выше формулы преобразований. Относительные перемещение и скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же (чаще всего – неподвижной) системе отсчёта. Рассмотрим следующий пример.
Два корабля движутся с постоянными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{1}$$ и $$ {\overrightarrow{v}}_{2}$$ под углом $$ \alpha $$ друг к другу (рис. 7). Найти скорость первого корабля относительно второго.
Перейдём в систему отсчёта, связанную со вторым кораблём, движущимся со скоростью $$ {\overrightarrow{v}}_{2}$$. В этой системе отсчёта относительная скорость `vec v^'` первого корабля согласно (4) будет равна `vec v^'= vec v_1 -vec v_2`. Вектор $$ \overrightarrow{v}\text{'}$$ определим геометрически, используя правило построения векторной разности (рис. 8). Из треугольника `BDE` с помощью теоремы косинусов найдём модуль искомого вектора:
`v^' =sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha)`.
Направление вектора `vec v^'` зададим, например, углом `beta` (рис. 8), который определим из `DeltaBDE` по теореме синусов:
`(v_1)/(sinbeta)=(v^')/(sinalpha)`.
Отсюда
`sinbeta=(v_1)/(v^')sinalpha=(v_1 sinalpha)/(sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha))`.
Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.
1.Равномерное прямолинейное движение тела.
При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta vecr` за одинаковые промежутки времени `Delta t`. Иными словами, скорость `vec v` тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:
`vec v= "const"`. (6)
При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:
`vec r(t)=vec r_0+vec v t`, (7)
где `vec r_0` - радиус-вектор тела в начальный момент времени $$ t=0$$ . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4. Вектор $$ {\overrightarrow{r}}_{0}$$ здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор $$ \overrightarrow{r}$$ тела в любой момент времени в процессе движения.
Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени $$ t $$ координат $$ x$$ и $$ y$$ движущегося тела:
| $$ \left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)={x}_{0}+{v}_{x}\left(t\right),\\ y\left(t\right)={y}_{0}+{v}_{y}\left(t\right)·\end{array}\right.$$ | (8) |
 |
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ - начальные координаты тела в момент времени $$ t=0$$, а $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: $$ \mathrm{tg}\alpha ={v}_{y}/{v}_{x}$$. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость $$ y\left(x\right)$$, легко получить, исключив параметр $$ t$$ из системы уравнений (8):
`y(x)=(v_y)/(v_x)(x-x_0)+y_0`. (9)
Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости $$ xOy$$ описывается уравнениями: $$ x\left(t\right)=6+3t$$, $$ y\left(t\right)=4t$$ (величины измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени $$ v\left(t\right)$$. Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.
Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:
$$ {x}_{0}=6$$ м, $$ {y}_{0}=0$$ , $$ {v}_{x} =3$$ м/c, $$ {v}_{y} =4$$ м/c.
Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):
`y(x) =4/3(x - 6)`, или `y(x) = 4/3 x - 8`.
Модуль $$ v$$ скорости тела определим, зная $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:
`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.
 |
График зависимости $$ v\left(t\right)$$ представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7): `Deltavec r = vec r (t) - vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени `t`, определяется по формуле `Delta S = vt`, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости $$ v\left(t\right)$$ . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.
В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:
`Delta S = vt = 5 "м"/"c"*5 "c" = 25 "м"`.
Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.
Координаты тела при равномерном прямолинейном движении на плоскости $$ xOy $$ за время $$ t=2$$ c изменились от начальных значений $$ {x}_{0}=5$$ м, $$ {y}_{0}=7$$ м до значений $$ x=-3$$ м и $$ y=1$$ м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.
Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:
`v_x=(x-x_0)/t=(-3-5)/2=-4` м/с, `v_y=(y-y_0)/t=(1-7)/2=-3` м/с.
Тогда модуль скорости `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.
Уравнение траектории $$ y\left(x\right)$$ с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:
$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}(x-5)+7$$, или $$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{13}{4}}$$.
Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ в общие уравнения движения (8):
$$ x\left(t\right)=5-4t,y\left(t\right)=7-3t$$.
Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.
Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при $$ t$$ в соответствующих уравнениях $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$, т. е. значениям $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:
`"tg"alpha=-4`, `"tg"beta=-3`.
(Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)
2. Неравномерное движение тела.
Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.
Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью $$ {v}_{1}=10$$ км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью $$ {v}_{2}=8$$ км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью $$ {v}_{3}=4$$ км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.
Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о средней путевой скорости. Разобьём весь путь `Delta S` на три участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:
`v_"cp"= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.
По условию задачи `Delta S_1 =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3 = Delta S //2`. Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:
`Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,
`Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,
`Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.
Подставляя эти значения в выражение для `v_"ср"`, получим:
`v_"cp"=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3))) =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.
Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_"ср"= (v_1 + v_2 + ... + v_n)//n`, где `v_i` - скорость движения на `i`-м участке, `n` - число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_"ср"`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.
Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.
3. Равнопеременное движение.
Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки времени `Delta t` изменяется на одинаковую величину `Deltavecv`. В этом случае ускорение `veca` тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:
`vec a="const"` (10)
(при этом `vec v != "const"`, и траектория движения не обязательно прямолинейная).
При равнопеременном движении скорость $$ \overrightarrow{v}$$ тела изменяется с течением времени по закону
`vec v (t)=vec v_0 +vec at`, (11)
где `vecv_0` - скорость тела в начальный момент времени `t=0`.
В свою очередь, зависимость `vecr(t)` имеет вид:
`vec r(t)=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`, (12)
где `vecr_0` - начальный радиус-вектор тела при `t=0`. Вновь заметим, что величины `vecv_0` и `vecr_0` представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы `vecv` и `vecr`.
При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}\left(t\right)={v}_{0x}+{a}_{x}t,\\ {v}_{y}\left(t\right)={v}_{0y}+{a}_{y}t.\end{array}\right.$$ | (13) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)={x}_{0}+{v}_{0x}t+{\displaystyle \frac{{a}_{x}{t}^{2}}{2}},\\ y\left(t\right)={y}_{0}+{v}_{0y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}},\end{array}\right.$$ | (14) |
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ - начальные абсцисса и ордината тела (при $$ t=0$$), $$ {v}_{0x}$$ и $$ {v}_{0y}$$ - проекции начальной скорости `vecv_0` тела на координатные оси, $$ {a}_{x}$$ и $$ {a}_{y}$$ - проекции вектора ускорения на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
В принципе формулы (11) и (12), или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.
В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось $$ Ox$$, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:
$$ {v}_{x}={v}_{0x}+{a}_{x}t$$, $$ x={x}_{0}+{v}_{0x}t+{\displaystyle \frac{{a}_{x}{t}^{2}}{2}}$$.
Если на промежутке времени от $$ 0$$ до $$ t$$ направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность $$ x-{x}_{0}$$текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём $$ S$$, следовательно,
`S=v_(0x)t+(a_xt^2)/2`.
Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время $$ t$$, выраженное из уравнения $$ {v}_{x}={v}_{0x}+{a}_{x}t$$ . Это время будет
`t=(v_x-v_(0x))/a_x`.
Тогда для пути $$ S$$ после несложных преобразований получим
`S=(v_x^2-v_(0x)^2)/(2a_x)`.
Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени $$ t$$ в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.
За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )
Пусть за время $$ t=2$$ с скорость тела изменилась от $$ {v}_{0}$$ до $$ v$$. Направим координатную ось $$ Ox$$ вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать `v=v_0+at`, `a` - модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`.
За время $$ t$$ тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь
`S=(v^2-v_0^2)/(2a)`.
С учётом выражений для $$ {v}_{0}$$ и $$ a$$ получим `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.
Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор $$ \overrightarrow{a}$$ на ускорение свободного падения $$ \overrightarrow{g}$$, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.
Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени $$ t$$ вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.
Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси $$ Oy$$. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: $$ {y}_{0}=0,{v}_{0y}={v}_{0}$$.
Проекция ускорения тела на ось $$ Oy$$ в отсутствие сопротивления воздуха равна $$ {a}_{y}=-g$$ , т. к. вектор $$ \overrightarrow{g}$$ направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условий имеют вид:
`v_y=v_0-g t`, (15)
`y=v_0t-(g t^2)/2`. (16)
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. В этот момент $$ y=0$$ и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для $$ \tau $$ получаем: $$ \tau =0$$ или `tau=(2v_0)/g`. Значение $$ \tau =0$$ соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.
Согласно (15), при $$ t=\tau $$ имеем: $$ {v}_{y}={v}_{0}-gt$$. Тогда с учётом найденного значения $$ \tau $$ получим $$ {v}_{y}={v}_{0}-2{v}_{0}=-{v}_{0}$$. Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости $$ {v}_{0}$$, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось $$ Oy$$ отрицательна.
Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что $$ y=H,{v}_{y}=0$$. С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:
`0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.
Из первого уравнения определяем время подъёма тела `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя $$ {\tau }_{1}$$ во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
Заметим, что время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени $$ \tau $$ полёта тела: $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Путь $$ S$$, пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, $$ S=2H$$. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.
Зависимость $$ y\left(t\right)$$ в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
Зависимость $$ {v}_{y}\left(t\right)$$ является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при $$ t$$ в формуле (15):
`"tg"alpha=-g`.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Тело бросили с высоты $$ H$$ над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю, дальность $$ l$$ полёта тела, скорость `vecv` тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени $$ t$$ координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.
Начало отсчёта $$ O$$ поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:
`a_x=0`, `a_y=-g`.
Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}={v}_{0},\\ {v}_{y}=-gt·\end{array}\right.$$ | (17) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x={v}_{0}t,\\ y=H-{\displaystyle \frac{g{t}^{2}}{2}}·\end{array}\right.$$ | (18) |
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. Это означает, что $$ y=0$$, $$ x=l$$, и уравнения системы (18) принимают вид:
$$ l={v}_{0}\tau $$, `0=H-(g tau^2)/2`.
Решая их ,находим:
`tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.
В свою очередь, система уравнений (17) даёт: $$ {v}_{x}={v}_{0},{v}_{y}=-g\tau $$. С учётом значения $$ \tau $$ получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:
`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=sqrt(v_0^2+2gH)`.
Направление вектора `vecv` определим с помощью угла $$ \alpha $$ (рис. 16):
`"tg"alpha=v_y//v_x=(-sqrt(2gH))//v_0`.
Уравнение $$ y\left(x\right)$$ траектории движения тела получим, исключив параметр $$ t$$ из системы (18):
`y(x)=-g/(2v_0^2)x^2+H`.
Так как $$ y\left(x\right)$$ представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью $$ {v}_{0}$$ направленной под углом $$ \alpha $$ к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю,дальность $$ l$$ полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй, время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.
Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=g$$ С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha ,\\ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -gt·\end{array}\right.$$ | (19) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t,\\ y=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-{\displaystyle \frac{g{t}^{2}}{2}}·\end{array}\right.$$ | (20) |
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю, тогда: $$ y=0,x=l$$. Уравнения системы (20) дают:
$$ l=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)\tau $$, $$ 0=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)\tau -{\displaystyle \frac{g{\tau }^{2}}{2}}$$.
Откуда находим
$$ \tau ={\displaystyle \frac{2{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ l={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{g}}$$.
(Здесь использовано равенство $$ 2\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\alpha =\mathrm{sin}2\alpha .$$ )
Из полученного выражения для $$ l$$ легко определить угол $$ \alpha $$, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина $$ l$$ как функция от $$ \alpha $$ принимает максимальное значение в том случае, когда $$ \mathrm{sin}2\alpha =1$$. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.
Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора: `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при $$ t=\tau $$ ) имеем: $$ {v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha $$, $$ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g\tau =-{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha $$.
Следовательно, $$ v=\sqrt{{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }={v}_{0}$$, (так как $$ {\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{\mathrm{sin}}^{2}\alpha =1$$).
Направление скорости тела в момент падения составляет угол $$ \alpha $$ с направлением оси $$ Ox$$. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси $$ Ox$$.
Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело достигло максимальной высоты. В этот момент $$ {v}_{y}=0$$, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:
$$ 0={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g{\tau }_{1}$$, $$ H=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right){\tau }_{1}-{\displaystyle \frac{g{\tau }_{1}^{2}}{2}}$$.
Отсюда последовательно находим:
$$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ H={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }{2g}}$$.
Видим,что $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время $$ t$$ :
$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{g}{2{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha }}{x}^{2}+\mathrm{tg}\alpha x$$.
График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.
Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями $$ {v}_{01}=5\mathrm{м}/\mathrm{c},{v}_{02}=8\mathrm{м}/\mathrm{c}$$, направленными под углами к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время `t=1/3` с после броска?
Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Шарики движутся в поле тяжести Земли с постоянным ускорением (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шариков $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)$$ и $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)$$ имеем: $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{01}+{\overrightarrow{v}}_{01}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$, $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{02}+{\overrightarrow{v}}_{02}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$.
Искомое расстояние $$ l$$ равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени `t=1/3` с. Так как шарики были брошены из одной и той же точки, то $$ {\overrightarrow{r}}_{01}={\overrightarrow{r}}_{02}$$ , следовательно:
$$ l=\mid {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)-{\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)\mid =\mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid t$$.
(Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) В свою очередь, по теореме косинусов (см. рис. 20):
`|vecv_(01)-vecv_(02)|=sqrt(v_(01)^2+v_(02)^2-2v_(01)v_(02)cos(alpha_1-alpha_2))`.
Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим $$ \mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid =7$$ м/с.
Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени `t=1/3` с будет равно
$$ l=7{\displaystyle \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}}·{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{c}={\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{м}\approx \mathrm{2,3} \mathrm{м}$$.
Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени $$ \tau $$, с одинаковыми начальными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Прокомментируйте решение для `v_0<g tau/2`.
Направим ось `Oy` вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел:
1) $$ {t}_{0}=0,{y}_{01}=0,{v}_{y01}={v}_{0}$$ ;
2) $$ {t}_{0}=\tau ,{y}_{02}=0,{v}_{y02}={v}_{0}$$.
Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны $$ {a}_{y1}={a}_{y2}=-g$$. Уравнения движения тел в проекциях на ось $$ Oy$$ с учётом начальных условий имеют вид:
`y_1(t)= v_0t-(g t^2)/2`, `y_2(t)=v_0(t-tau)-(g(t-tau)^2)/2`.
(Заметим, что `y_2=0` при `0<t<=tau`)
$$ {v}_{0}{t}_{x}-{\displaystyle \frac{g{t}_{x}^{2}}{2}}={v}_{0}({t}_{x}-\tau )-{\displaystyle \frac{g({t}_{x}-\tau {)}^{2}}{2}}$$.
Решая это уравнение относительно `t_x`, находим: $$ {t}_{x}={\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}+{\displaystyle \frac{\tau }{2}}$$.
Проанализируем полученное выражение при `v_0<g tau//2`. Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно $$ 2{v}_{0}/g$$. Поэтому, если `v_0<g tau//2`, то $$ \tau >2{v}_{0}/g$$. Это означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.
Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона `varphi=30^@`, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость $$ {v}_{0}$$, направленную под углом `beta=60^@` к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта `O` в точку бросания. В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью `Ox` угол `alpha=beta-varphi=30^@`. Начальные условия: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0 cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`.
Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): $$ {a}_{x}={g}_{x}=-g\mathrm{sin}\phi $$, $$ {a}_{y}={g}_{y}=-g\mathrm{cos}\phi $$. Здесь мы учли, что угол между вектором и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы `varphi=30^@`, кроме того, по условию задачи $$ \phi =\alpha $$
Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий:
$$ x\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{sin}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$, $$ y\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{cos}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$.
Время полёта $$ \tau $$ камня найдём из последнего уравнения, зная, что
$$ y\left(\tau \right)=0$$, $$ \mathrm{cos}\phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$, $$ \mathrm{sin}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$.
А именно $$ \tau ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}$$ . (Значение $$ \tau =0$$ мы отбросили, т. к. оно не связано с вопросом задачи).
Подставляя найденное значение $$ \tau $$ в уравнение для $$ x\left(t\right)$$ определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта):
$$ l=x\left(\tau \right)= {\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}}{g}}$$.
Массивная платформа движется с постоянной скоростью `vecV_0` по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен $$ u=2{V}_{0}$$ причём вектор $$ \overrightarrow{u}$$составляет угол `alpha=60^@` с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)
Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось $$ Ox$$ направим горизонтально в направлении удара, а ось $$ Oy$$ вертикально вверх (рис. 23).
Движение мяча происходит с постоянным ускорением $$ \overrightarrow{a}$$причём $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=-g$$ где $$ g$$ - величина ускорения свободного падения.
Проекции начальной скорости $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ мяча на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ равны:
`v_(0,x)=V_(0,x)+u_x=-V_0+2V_0*cos60^@=-V_0+V_0=0`,
`v_(0,y)=V_(0,y)+u_y=0+2V_0*sin60^@=sqrt3V_0`.
Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара.
Максимальную высоту подъёма `(y_"max")` и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения:
$$ {v}_{y}^{2}-{v}_{0,y}^{2}=2{a}_{y}(y-{y}_{0}), y={y}_{0}+{v}_{0,y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}}$$.
Учитывая, что при `y=y_"max"` проекция вертикальной скорости обращается в ноль $$ ({v}_{y}=0)$$, а в момент приземления мяча $$ (t={T}_{\mathrm{полета}})$$ его координата по оси $$ Oy$$ обращается в ноль $$( y=0)$$, имеем:
$$ {y}_{\mathrm{max}}={\displaystyle \frac{{v}_{0,y}^{2}}{2g}}={\displaystyle \frac{3{V}_{0}^{2}}{2g}}, {T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}}{g}}$$.
За время полёта мяча платформа сместится на расстояние
$$ L={V}_{0}{T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}^{2}}{g}}$$,
которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.
Мы рады приветствовать вас на курсе Информатики. Данный курс рассчитан на три года обучения. Ориентировочно, это девятый, десятый и одиннадцатый классы средней школы. Поэтому в ходе изложения будут использоваться соответствующие знания из курсов математики.
Данный курс состоит из трёх больших частей, которые будут чередоваться по заданиям. Первая часть курса – теоретическая. В ней будут рассматриваться общие знания, которые необходимы любому человеку, собирающемуся связать свою жизнь с техническими специальностями. В частности, будут рассматриваться особенности представления информации различного вида (числовая, текстовая, графическая и т. д.), алгебра логики, математическая теория информации, теория алгоритмов и многое другое.
Вторая часть курса – программистская. В этой части мы будем рассматривать основные концепции языков программирования и учиться писать полноценные программы. Вас ждёт большое множес-тво задач самого разного вида. По завершении курса вы сможете не просто писать программы на одном языке программирования, но уже будете обладать достаточными знаниями, чтобы самостоятельно легко изучать другие языки.
Третья часть курса – технологическая. Здесь будут рассматриваться информационно-коммуникационные технологии. В частности, компьютерные сети, обработка баз данных, работа с электронными таблицами и т. д.
На первом году обучения теоретических заданий не будет, а основная масса будет посвящена программистской части курса. Основная цель первого года обучения – овладеть языком программирования как инструментом для дальнейшего использования. В качестве учебного языка программирования мы выберем язык Pascal. Тому есть несколько причин. Во-первых, этот язык изначально создавался для обучения программированию, и в нём нет большого количества сложных тонкостей, для понимания которых требуются глубокие специальные знания (как, например, в языках C/C++). Во-вторых, концептуально Pascal является каноническим языком процедурной парадигмы программирования, и после него можно очень легко переходить на любые другие языки.
Также нам будет интересно не просто решить конкретную задачу, а овладеть стратегиями для решения больших классов задач. Нужно будет научиться видеть общие моменты в предлагаемых задачах и сформировать определённые шаблоны для быстрого написания программ. Кроме того, особое внимание мы будем уделять красоте и эффективности алгоритмов.
Для выполнения заданий программистской части курса вам будет необходимо установить себе среду программирования, либо воспользоваться online-компилятором. Имейте в виду, что даже для языка Pascal различные среды программирования могут серьёзно различаться (например, free pascal и Pascal ABC.NET). Мы будем обращать внимание на данные различия по ходу изложения материала.
В рамках первого задания мы будем изучать основы языка программирования и особенности выполнения арифметических операций.
– производные углеводородов, в которых один или несколько атомов водорода замещены на гидроксильную группу – `"OH"`. Спирты, содержащие одну -`"OH"` группу, называются алкоголями, две – гликолями, три – глицеринами.
В зависимости от характера углеводородного радикала спирты делятся на алифатические (метанол, изопропанол и т. п.), циклические (циклопентанол и т. п.), ароматические (бензиловый спирт).
Соединения, у которых `"OH"`- группа непосредственно связана с бензольным кольцом, называют фенолами.
В зависимости от того, при каком углеродном атоме находится гидроксильная группа, различают спирты первичные `("RCH"_2-"OH")`, вторичные `("R"_2"CH"-"OH")` и третичные `("R"_3"C"-"OH")`.
Простейшие первичные алифатические спирты:
`"CH"_3-"OH"` метанол
`"CH"_3-"CH"_2-"OH"` этанол
`"CH"_3-"CH"_2-"CH"_2-"OH"` пропанол-1
Вторичные:
Третичный:
По числу гидроксильных групп в молекуле спирты делятся на одноатомные и многоатомные. Общая формула гомологического ряда предельных одноатомных спиртов - `"C"_"n""H"_(2"n"+1)"OH"`.
связана: а) со строением углеродного скелета, например,
б) c положением функциональной группы – `"OH"`:
в) межклассовые изомеры спиртам – простые эфиры:
Названия спиртов образуют, добавляя суффикс -ол к названию углеводорода с самой длинной углеродной цепью, включающей гидроксильную группу. Нумерацию начинают с того конца, к которому ближе расположена гидроксильная группа. Положение группы указывается цифрой после названия спирта. У циклических спиртов нумерацию атомов углерода в цикле начинают с того атома, при котором находится гидроксильная группа, и ведут таким образом, чтобы заместитель получил возможно меньший номер. Если гидроксильных групп в молекуле несколько, в названии спиртов используется суффикс -диол, -триол и т. д. Кроме того, используется заместительная номенклатура, по которой название спирта производится от соответствующего углеводородного радикала, заканчивая его - овый и добавляя слово «спирт». Примеры:
Одноатомные спирты
Спирты до `"C"_(15)` – жидкости, высшие спирты – твёрдые вещества. Низшие спирты смешиваются с водой в любых соотношениях. С ростом молекулярной массы растворимость спиртов в воде падает; высшие спирты, начиная с гексилового, практически нерастворимы. Спирты имеют высокие температуры плавления и кипения за счёт образования межмолекулярных водородных связей:
Возможность образования водородных связей между молекулами спиртов и воды способствует растворению спиртов в воде, причём чем больше гидроксильных групп и короче углеводородный радикал, тем выше растворимость. Высшие спирты по растворимости подобны углеводородам.
1. Гидратация алкенов при нагревании в присутствии кислотных катализаторов:
$$ {\mathrm{CH}}_{2}={\mathrm{CH}}_{2}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\underset{\mathrm{t}°}{\overset{{\mathrm{H}}^{+}}{\to }}{\mathrm{CH}}_{3}-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{OH}$$
Присоединение воды к несимметричным алкенам идёт по правилу Марковникова:
2. Гидролиз алкилгалогенидов под действием водных растворов щелочей:
`"R"-"Br"+"NaOH"->"R"-"OH"+"NaBr"`.
3. Восстановление карбонильных соединений при нагревании над `"Ni"` или `"Pt"`:
`"R"-"CH"="O"+"H"_2->"R"-"CH"_2-"OH"`
`"R"-"CO"-"R"^'+"H"_2->"R"-"CH"("OH")-"R"^'`.
4. Этанол получают при спиртовом брожении сахаров:
$$ {\mathrm{C}}_{6}{\mathrm{H}}_{12}{\mathrm{O}}_{6}\stackrel{\mathrm{ферменты}}{\to }2{\mathrm{C}}_{2}{\mathrm{H}}_{5}\mathrm{OH}+2{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow $$.
5. Метанол получают из синтез-газа (промышленный способ) под давлением `5–10` МПа с использованием оксидных катализаторов `("CuO", "ZnO", "Cr"_2"O"_3)` в интервале температур `250-400^@"C"`:
$$ \mathrm{CO}+2{\mathrm{H}}_{2}\underset{\mathrm{t}°,\mathrm{p}}{\overset{\mathrm{кат}}{\to }}{\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{OH}$$.
Характерные свойства спиртов можно представить в виде схемы:
Реакции с разрывом связи `"O"-"H"`
1. Слабые кислотные свойства. Спирты реагируют со щелочными металлами, но не реагируют со щелочами:
`2"C"_2"H"_5"OH"+2"K"->2"C"_2"H"_5"OK"+"H"_2 uarr` этилат калия
2. Реакция этерификации. Взаимодействие с органическими и минеральными кислотами:
$$ {\mathrm{C}}_{2}{\mathrm{H}}_{5}\mathrm{OH}+{\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{COOH}\stackrel{{\mathrm{H}}^{+}}{\rightleftarrows }{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}+{\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{COOC}}_{2}{\mathrm{H}}_{5} \left(\mathrm{этилацетат}\right)$$
$$ {\mathrm{C}}_{2}{\mathrm{H}}_{5}\mathrm{OH}+{\mathrm{HONO}}_{2}\rightleftarrows {\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}+{\mathrm{C}}_{2}{\mathrm{H}}_{5}-\mathrm{O}-{\mathrm{NO}}_{2} \left(\mathrm{этилнитрат}\right)$$
Реакции с разрывом связи `"C"-"О"`
1. Реакция нуклеофильного замещения `"S"_"N"`. В процессе разрыва связи `"C"-"O"` происходит замещение гидроксильной группы другими нуклеофилами:
$$ {\mathrm{CH}}_{3}-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{OH}+\mathrm{HBr}\rightleftarrows {\mathrm{CH}}_{3}-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{Br}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$
2. Реакции дегидратации протекают при нагревании с водоотнимающими веществами:
$$ \begin{array}{l}{\mathrm{CH}}_{3}-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{OH}\underset{\mathrm{t}°>140°\mathrm{C}}{\overset{{\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{SO}}_{4}}{\to }}{\mathrm{CH}}_{2}={\mathrm{CH}}_{2}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\\ (\mathrm{внутримолекулярная} \mathrm{дегидратация})\end{array}$$
Реакции окисления
Для подбора стехиометрических коэффициентов в окислительно-восстано-вительных реакциях (ОВР) возможны два метода: электронного (программа ОГЭ по химии) и электронно-ионного баланса (см. методическое указание «Углеводороды»). Для определения степени окисления атомов в молекулах органических веществ в методе электронного баланса существует несколько правил:
1. Сумма степеней окисления водорода в органической молекуле всегда `+1`, а кислорода `-2` (за исключением перекисей, где она составляет `-1`).
2. Молекулу необходимо разделить на фрагменты, включающие по одному атому углерода, в каждом из которых сумма степеней окисления всех атомов должна быть равна нулю.
Примеры:
Для спиртов возможно полное и неполное окисление:
1. Горение (полное окисление). Спирты горят на воздухе бледно-голубым пламенем с выделением большого количества теплоты. Горение предельных одноатомных спиртов выражает уравнение в общем виде:
`"C"_n"H"_(2n+1)"OH"+3n//2"O"_2->n"CO"_2+(n+1)"H"_2"O"`
2. Неполное окисление. В присутствии окислителей (например, `"CuO", "K"_2"Cr"_2"O"_7)`первичные спирты окисляются до альдегидов, а вторичные – до кетонов.
а) Рассмотрим окисление этанола до уксусного альдегида под действием `"K"_2"Cr"_2"O"_7` в кислой среде. Окислитель – `"K"_2"Cr"_2"O"_7` (за счёт `"Cr"^(+6)`). Восстановитель – этанол (за счёт углерода при гидроксиле `"C"^(-1)`).
`3"C"_2"H"_5"OH"+"K"_2"Cr"_2"O"_7+4"H"_2"SO"_4->`
`->3"CH"_3"COH"+"Cr"_2("SO"_4)_3+"K"_2"SO"_4+7"H"_2"O"`
$$ \left.\begin{array}{l}2{\mathrm{Cr}}^{+6}+6\left.\mathrm{e}\right.\to 2{\mathrm{Cr}}^{+3}\\ {\mathrm{C}}^{-1}-2\left.\mathrm{e}\right.\to {\mathrm{C}}^{+1}\end{array}\right|\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}$$
Окисление оксидом меди (II):
б) Рассмотрим окисление вторичных спиртов:
$$ \left.\begin{array}{l}{\mathrm{C}}^{0}-2{e}^{-}\to {\mathrm{C}}^{+2}\\ {\mathrm{Mn}}^{+7}+5{e}^{-}\to {\mathrm{Mn}}^{+2}\end{array}\right|\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}$$
Окисление вторичных спиртов оксидом меди (II):
в) Третичные спирты устойчивы к воздействию окислителей.
3. В более жёстких условиях (при нагревании в кислой среде с раствором `"KMnO"_4` или `"K"_2"Cr"_2"O"_7`) окисление первичных спиртов идёт до кислот:
`3"C"_2"H"_5"OH"+2"K"_2"Cr"_2"O"_7+8"H"_2"SO"_4->`
`->3"CH"_3"COOH"+2"Cr"_2("SO"_4)_3+2"K"_2"SO"_4+11"H"_2"O"`
Многоатомные спирты
Многоатомные спирты – это производные углеводородов, молекулы которых содержат несколько гидроксильных групп. Важнейшие из них – этиленгликоль и глицерин:
1. Гидролиз галогеналканов
2. Окисление алкенов холодным водным раствором `"KMnO"_4`(реакция Вагнера):
В щелочной среде окисление алкенов также приводит к образованию двухатомных спиртов:
3. Глицерин образуется при гидролизе жиров (cм. «Жиры», химические свойства).
Для двух- и трёхатомных спиртов характерны реакции одноатомных спиртов. Взаимное влияние гидроксильных групп проявляется в том, что многоатомные спирты – более сильные кислоты, чем одноатомные спирты. Многоатомные спирты могут реагировать по каждому гидроксилу отдельно.
1. Взаимодействие со щелочными металлами:
2. Взаимодействие со щелочами:
3. Взаимодействие с органическими или неорганическими кислотами приводит к образованию сложных эфиров:
4. Замещение гидроксильных групп на галоген:
5. Качественной реакцией на многоатомные спирты является появление ярко-синего окрашивания при действии свежеосаждённого гидроксида меди (II).
Цвет раствора обусловлен образованием комплексного гликолята (реакция 1) или глицерата меди (реакция 2):
называют производные ароматических углеводородов, атомы которых содержат одну или несколько гидроксильных групп, непосредственно соединённых с бензольным кольцом.
Одна из двух неподелённых электронных пар атома кислорода втягивается в `π`-электронную систему бензольного кольца (`+"М"`-эффект группы `"ОН"`). Это приводит к двум эффектам:
а) увеличивается электронная плотность в бензольном кольце, причём максимумы электронной плотности находятся в орто- и пара-положениях по отношению к группе `"ОН"`;
б) электронная плотность на атоме кислорода, напротив, уменьшается, что приводит к ослаблению связи `"О"-"Н"`. Первый эффект проявляется в высокой активности фенола в реакциях электрофильного замещения, а второй – в повышении кислотности фенола по сравнению с предельными спиртами.
Фенол – бесцветное кристаллическое легкоплавкое вещество (Тпл.`=41^@"C"`) с характерным запахом. На воздухе окисляется и становится розовым. Фенол плавится при достаточно низкой температуре `+41^@"C"`. Радикал фенил `"C"_6"H"_5`– по сравнению с алкильными радикалами от метильного до бутильного объёмный, поэтому растворимость фенола гораздо меньше, чем растворимость низших одноатомных спиртов.
Фенол – токсичное вещество, вызывающее ожоги кожи.
1. Щелочной гидролиз галогенбензолов:
`"C"_6"H"_5-"Cl"+2"NaOH"->"C"_6"H"_5-"ONa"+"NaCl"+"H"_2"O"`
с последующим разложением фенолята при помощи сильной кислоты:
`"C"_6"H"_5-"ONa"+"HCl"->"C"_6"H"_5-"OH"+"NaCl"`
2. Каталитическое окисление изопропилбензола (кумола) кислородом воздуха (промышленный способ):
Химические свойства фенолов представим в виде схемы:
Реакции с участием гидроксильной группы
1. Кислотные свойства. Фенол, как и спирты, взаимодействует с активными металлами, образуя соли – феноляты:
`2"C"_6"H"_5"OH"+2"Na"->2"C"_6"H"_5"ONa"+"H"_2 uarr`
Но в отличие от спиртов фенол диссоциирует в водном растворе по кислотному типу и взаимодействует с растворами щелочей (реакция нейтрализации):
`"C"_6"H"_5"OH"+"NaOH"->"C"_6"H"_5"ONa"+"H"_2"O"`.
Однако кислотные свойства фенола выражены слабо, поэтому даже такая слабая кислота, как угольная, вытесняет фенолы из растворов его солей:
`"C"_6"H"_5"ONa"+"H"_2"O"+"CO"_2->"C"_6"H"_5"OH"+"NaHCO"_3`.
2. Взаимодействие с раствором `"FeCl"_3` приводит к характерному фиолетовому окрашиванию. Это качественная реакция на фенольную гидроксильную группу.
3. Образование сложных эфиров (ацилирование фенолов) происходит только с участием ангидридов или галогенангидридов карбоновых кислот:
Реакции с участием бензольного кольца
Реакции электрофильного замещения `("S"_"E")` в бензольном кольце фенола протекают легче, чем у бензола, и в более мягких условиях.
1. Галогенирование. В отличие от бензола фенол реагирует с бромной водой при комнатной температуре и в отсутствие катализаторов с образованием белого осадка `2,4,6`-трибромфенола:
2. Нитрование. Продукты нитрования зависят от концентрации азотной кислоты. Нитрование разбавленной `"HNO"_3` приводит к образованию о- и п- нитрофенолов. Если же нитрование проводят концентрированной `"HNO"_3`, то образуется `2,4,6`-тринитрофенол:
3. Реакция поликонденсации с формальдегидом (см. «Карбонильные соединения», химические свойства). В результате реакции поликонденсации образуется высокомолекулярное соединение – фенолформальдегидная смола и вода.
Окислительно-восстановительные свойства фенола
1. Гидрирование фенола происходит в присутствии катализатора (реакция присоединения):
2. Окисление фенолов происходит легко даже под действием кислорода воздуха. При стоянии на воздухе фенол постепенно окрашивается в розовато-красный цвет. При окислении фенола хромовой смесью основным продуктом является хинон. При окислении гидрохинона также образуется хинон:
Органические соединения, в молекуле которых имеется карбонильная группа 
, называются карбонильными или оксосоединениями. Альдегиды – соединения, в которых карбонильная группа связана с углеводородным радикалом и с атомом водорода, в кетонах карбонил связан с двумя одинаковыми или различными углеводородными группами. Исключение составляет простейший альдегид – метаналь, в формуле которого вместо радикала содержится атом водорода: 
. Общая формула предельных альдегидов и кетонов `"C"_"n""H"_(2"n")"O"`.
 |
Атом углерода в карбонильной группе находится в состоянии `"sp"^2`-гибридизации и образует три `σ`-связи (одна из них `"C"–"O"`). Эти связи располагаются в одной плоскости под углом `120^@` друг к другу, а `π`-связь образована негибридной `р`-орбиталью атома углерода и `р`-орбиталью атома кислорода.
Двойная связь `"C"="O"` карбонильной группы является сочетанием `σ`- и `π`-связей; она сильно поляризована за счёт смещения электронной плотности `π`-связи к более электроотрицательному атому кислорода.
 |
Поэтому карбонильный атом углерода приобретает частичный положительный заряд, а атом кислорода – частичный отрицательный заряд. Изогнутая стрелка показывает поляризацию `π`-связи.
альдегидов связана только с изомерией углеродного скелета, изомерия кетонов со строением углеродного скелета и с положением функциональной группы. Альдегиды и кетоны с одинаковым числом атомов углерода изомерны друг другу. Примеры изомерии углеродного скелета:
и положения функциональной группы:
В названии альдегидов по номенклатуре ИЮПАК появляется характерный суффикс - аль, в названии кетонов - он. Для первых членов гомологического ряда альдегидов и кетонов часто используются тривиальные названия: `"HCOH"` - формальдегид (или муравьиный альдегид), `"CH"_3"CH"="O"` ацетальдегид (или уксусный альдегид), `"CH"_3"CH"_2"CH"="O"` пропионовый альдегид, `"CH"_3"COCH"_3` - ацетон. Кетоны часто называют по рациональной номенклатуре: `"CH"_3"COCH"_3` - диметилкетон, `"CH"_3"COCH"_2"CH"_3` - метилэтилкетон и т. д.
Карбонильные соединения не образуют между собой водородных связей, поскольку в их молекулах нет атомов водорода с частичным положительным зарядом `delta+` на нём. Формальдегид – газ, остальные – жидкости или твёрдые вещества. Формальдегид, ацетальдегид и ацетон хорошо растворимы в воде, что можно объяснить установлением водородных связей между молекулами этих соединений и воды:
Увеличение числа углеродных атомов в углеводородном радикале приводит к снижению растворимости алифатических альдегидов и кетонов.
1. Окисление спиртов (см. «Спирты», химические свойства, мягкое окисление).
2. Гидратация алкинов (см. «Алкины», химические свойства, реакция Кучерова).
3. Простейший кетон – ацетон – получают кумольным методом вместе с фенолом (см. «Фенолы», получение из кумола)
4. Щелочной гидролиз геминальных (содержащих два галогена около одного углеродного атома) дигалогеналканов. Образующиеся неустойчивые диолы претерпевают самопроизвольную дегидратацию с образованием альдегидов, если гидроксильные группы оказались у концевого атома:
`"CH"_3-"CH"_2-"CHCl"_2+2"NaOH"->`
`->"CH"_3-"CH"_2-"CH"("OH")_2+2"NaCl"->`
`->"CH"_3-"CH"_2-"CH"="O"+"H"_2"O"`
и кетонов – в остальных случаях:
5. Каталитическое дегидрирование спиртов (промышленный способ). Процесс осуществляется пропусканием паров спирта над медью, никелем или оксидом цинка. При дегидрировании первичных спиртов получают альдегиды, вторичных – кетоны:
$$ {\mathrm{CH}}_{3}-{\mathrm{CH}}_{2}\mathrm{OH}\underset{\mathrm{t}°}{\overset{\mathrm{Cu}}{\to }}{\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{CH}=\mathrm{O}+{\mathrm{H}}_{2}\uparrow $$.
6. Окисление углеводородов кислородом воздуха в присутствии катализаторов (промышленный метод для получения низших альдегидов и кетонов):
$$ {\mathrm{CH}}_{4}+{\mathrm{O}}_{2}\stackrel{\mathrm{t}°}{\to }\mathrm{HCH}=\mathrm{O}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O} (\mathrm{кат}. \mathrm{Cu} \mathrm{или} \mathrm{Ag})$$
`2"CH"_2="CH"_2+"O"_2->2"CH"_3"CH"="O" ("кат". "PdCl"_2 "и" "CuCl"_2)`
`2"CH"_3-"CH"="CH"_2+"O"_2->2"CH"_3"COCH"_3 ("кат". "PdCl"_2 "и" "CuCl"_2)`.
7. Декарбоксилирование кальциевых или бариевых солей карбоновых кислот приводит к образованию кетонов:
Характерными реакциями для альдегидов являются: нуклеофильное присоединение `"A"_"N"`, реакции окисления, полимеризация и поликонденсация. Кетоны менее активны в реакциях `"A"_"N"`. Это объясняется тем, что у кетонов в молекуле не один, а два углеводородных радикала, присоединённых к карбонильной группе. Электронодонорные группы уменьшают `delta+` на атоме углерода карбонила, снижая реакционную способность кетонов в реакциях нуклеофильного присоединения. Кетоны окисляются с большим трудом, при этом происходит расщепление углеродного скелета; они не реагируют c `"Cu"("OH")_2` и `["Ag"("NH"_3)_2]"OH"`. Кетоны не вступают в реакции полимеризации.
Важнейшие реакции `"A"_"N"`
1. Присоединение циановодорода (нуклеофил - `"CN"^-`)
`"CH"_3-"CH"="O"+"H"-"CN"->"CH"_3-"CH"("CN")-"OH"`.
2. Реакция с гидросульфитом натрия (нуклеофил – ион `"SO"_3"Na"^-`)
`"CH"_3-"CH"="O"+"NaHSO"_3->"CH"_3-"CH(OH)"-"SO"_3"Na"`.
Эта реакция позволяет не только обнаружить карбонильные соединения, но и выделить альдегиды и кетоны, поскольку сульфопроизводное выпадает в осадок в избытке гидросульфита.
3. Взаимодействие со спиртами в присутствии каталитических количеств кислоты:
4. Присоединение реактива Гриньяра. Галогеноводороды при взаимодействии с магнием в растворе абсолютного диэтилового эфира образуют магнийорганическое соединение или реактивы Гриньяра:
`"R"-"X"+"Mg"->"R"-"Mg"-"X"`.
Присоединение реактивов Гриньяра к карбонильным соединениям с последующим гидролизом промежуточных алкоголятов магния приводит к спиртам:
5. Присоединение воды. Гидратация оксосоединений – обратимая реакция. Устойчивость образующихся гидратов определяется величиной `delta+` на атоме углерода группы и её пространственным окружением. Так, формальдегид и трихлорацеталь гидратированы практически нацело, ацетальдегид – наполовину, а ацетон практически не гидратирован:
Окислительно-восстановительные реакции
1. Гидрирование (восстановление) карбонильных соединений (см. «Спирты», получение). В лабораторных условиях для восстановления используют `"LiAlH"_4`.
2. Реакция «серебряного зеркала»:
$$\mathrm{R}-\mathrm{C}\mathrm{H}=\mathrm{O}+2[\mathrm{A}\mathrm{g}{\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3}{}_{2}]\mathrm{O}\mathrm{H}\stackrel{\mathrm{t}°}{\to }{\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{H}}_{4}+2\mathrm{A}\mathrm{g}\downarrow +3{\mathrm{N}\mathrm{H}}_{3}\uparrow +{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$.
Выделяющееся серебро осаждается тонким слоем на стенках пробирки, образуя зеркальный налёт. Это – качественная реакция на альдегиды (формальдегид в этой реакции окисляется до `"CO"_2`). Раньше эту реакцию использовали для изготовления зеркал, ёлочных игрушек.
3. Окисление гидроксидом меди (II) также является качественной реакцией на альдегиды. При нагревании свежеосаждённого `"Cu"("OH")_2` вначале образуется жёлтый осадок `"СuOH"`, который разлагается с образованием оксида меди (I) красного цвета:
4. Окисление альдегидов раствором перманганата калия:
а) в кислой среде:
б) в щелочной среде:
в) в нейтральной среде:
Реакции поликонденсации и полимеризации
1. Реакции полимеризации характерны для низших альдегидов:
$$ {\mathrm{nH}}_{2}\mathrm{CO}\stackrel{\mathrm{кат}}{\to }[-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{O}-{]}_{\mathrm{n}}$$
В результате реакции получается твёрдое вещество – пара-формальдегид. Кетоны не подвергаются полимеризации.
2. Формальдегид вступает в реакцию поликонденсации с фенолом. В результате реакции каждая молекула формальдегида связывает между собой две молекулы фенола и происходит отщепление одной молекулы воды:
Процесс поликонденсации протекает с образованием линейного полимера, в котором молекулы формальдегида присоединяются в орто-положение:
Возможно образование и более сложных «сшитых» полимерных соединений.
- органические соединения, в молекулах которых содержится одна или несколько карбоксильных групп – `"COOH"`.
По числу карбоксильных групп карбоновые кислоты делят на монокарбоновые, или одноосновные, дикарбоновые, или двухосновные и т. д. В зависимости от строения углеводородного радикала, с которым связана карбоксильная группа, карбоновые кислоты бывают
алифатические:
| `"HCOOH"` | `"CH"_3-"CH"_2-"COOH"` | `"CH"_2="CH"-"COOH"` | `"HOOC"-"COOH"` |
| муравьиная | пропионовая | акриловая | щавелевая |
ароматические:
циклические:
Возможны следующие виды изомерии:
1. Изомерия углеродного скелета:
2. Межклассовая изомерия кислот со сложными эфирами:
3. У гетерофункциональных (содержат наряду с карбоксильной другие функциональные группы) кислот имеется изомерия, связанная с положением функциональной группы, например, существует `2` изомера у хлорпропионовой кислоты:
4. Карбоновые кислоты, имеющие атом углерода, связанный с четырьмя различными заместителями, обладают оптической изомерией, например, существуют оптические изомеры у `α`-аминопропионовой кислоты:
В основе названий карбоновых кислот лежат названия соответствующих углеводородов. Наличие карбоксильной группы отражается суффиксом -ов, окончанием -ая и словом «кислота». Углеродную цепь нумеруют начиная с атома углерода карбоксильной группы, например:
$$\stackrel{5}{\mathrm{C}}{\mathrm{H}}_{3}-\stackrel{4}{\mathrm{C}}{\mathrm{H}}_{2}-\stackrel{3}{\mathrm{C}}\mathrm{H}=\stackrel{2}{\mathrm{C}}\mathrm{H}-\stackrel{1}{\mathrm{C}}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}-пентен‐2‐овая \text{ }кислота.$$
Для органических кислот чаще используют тривиальные названия, которые обычно указывают на источник выделения кислот, а не на химическую структуру.
Первые три члена гомологического ряда предельных одноосновных карбоновых кислот (муравьиная, уксусная и пропионовая) – жидкости, хорошо растворимые в воде. Средние представители этого гомологического ряда – вязкие «маслообразные» жидкости, начиная с `"C"_(10)` - твёрдые вещества. Карбоновые кислоты имеют аномально высокие температуры кипения из-за наличия межмолекулярных водородных связей и существуют в виде циклических димеров:
Между двумя молекулами могут образоваться две водородные связи, что и обуславливает сравнительно большую прочность ассоциатов. Образование водородных связей с молекулами воды объясняет растворимость кислот в этом растворителе, причём растворимость понижается с возрастанием молекулярной массы веществ, т. е. с увеличением в его молекуле углеводородного радикала (гидрофобного фрагмента).
Реакции окисления
1. Окисление альдегидов (см. «Карбонильные соединения», химические свойства, реакции окисления).
2. Окисление первичных спиртов (см. «Спирты», химические свойства, реакции окисления в жёстких условиях: сильные окислители, кислая среда, нагревание).
3. Окисление алкинов (см. «Алкины», химические свойства, окисление подкисленным раствором `"KMnO"_4`).
4. Окисление алкенов (см. «Алкены», химические свойства, жёсткое окисление: нагревание с подкисленным раствором `"KMnO"_4`).
Реакции гидролиза
1. Гидролиз галогензамещённых углеводородов
При гидролизе тригалогенпроизводных углеводородов `("R"-"CCl"_3)`, в молекулах которых атомы галогена находятся при одном и том же углеродном атоме, образуется неустойчивый триол `("R"-"C"("OH")_3)`, который претерпевает самопроизвольную дегидратацию с образованием карбоновой кислоты:
`"CH"_3-"CH"_2-"CCl"_3+3"NaOH"->`
`->"CH"_3-"CH"_2-"COOH"+3"NaCl"+"H"_2"O"`
2. Гидролиз сложных эфиров (см. «Сложные эфиры», химические свойства»)
3. Гидролиз ангидридов кислот (общая формула ангидридов `("RCO")_2"O"`)
4. Гидролиз хлорангидридов карбоновых кислот:
5. Гидролиз амидов (в кислой среде)
6. Гидролиз нитрилов кислот. Использование нитрилов позволяет нарастить углеродную цепь на один атом:
`"CH"_3-"CH"_2-"Br"+"NaCN"->"CH"_3-"CH"_2-"C"-="N"+"NaBr"`.
Образующийся нитрил пропионовой кислоты при нагревании гидролизуется:
`"CH"_3-"CH"_2-"C"-="N"+2"H"_2"O"->"CH"_3-"CH"_2-"COONH"_4`.
Пропионовую кислоту получают при подкислении раствора пропионата аммония:
`"CH"_3-"CH"_2-"COONH"_4+"HCl"->"CH"_3-"CH"_2-"COOH"+"NH"_4"CL"`.
Суммарное уравнение гидролиза в кислой среде выглядит следующим образом:
`"CH"_3-"CH"_2-"C"-="N"+2"H"_2"O"+"HCL"->`
`->"CH"_3-"CH"_2-"COOH"+"NH"_4"Cl"`.
Использование реактивов Гриньяра и `"CO"_2`
`"R"-"MgBr"+"CO"_2->"R"-"COO"-"MgBr"`.
Гидролиз образующегося промежуточного продукта минеральными кислотами даёт целевое вещество – карбоновую кислоту c числом атомов на один больше, чем в исходной молекуле реактива Гриньяра:
`"R"-"COO"-"MgBr"+"H"_2"O"->"R"-"COOH"+"MgOHBr"`
Специфические способы получения
1. Муравьиную кислоту получают нагреванием `"CO"` с порошкообразным `"NaOH"` под давлением и обработкой полученного формиата натрия сильной кислотой:
`"NaOH"+"CO"->"HCOONa"`;
`2"HCOONa"+"H"_2"SO"_4->2"HCOOH"+"Na"_2"SO"_4`.
2. Уксусную кислоту получают окислением бутана (см. «Алканы», химические свойства, окисления бутана кислородом воздуха).
3. Бензойную кислоту получают окислением алкилбензолов (см. «Ароматические углеводороды», жёсткое окисление толуола).
Кислотные свойства карбоновых кислот
Если пропустить электрический ток через растворы уксусной и серной кислот с одинаковой концентрацией, то окажется, что раствор уксусной кислоты проводит электрический ток намного слабее. Это доказывает, что уксусная кислота является слабой кислотой. Карбоновые кислоты являются слабыми электролитами. Причём по мере повышения молекулярной массы степень их диссоциации понижается. Только муравьиная кислота относится к кислотам средней силы.
В водных растворах карбоновые кислоты диссоциируют на ионы:
$$ \mathrm{RCOOH}\rightleftarrows {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{RCOO}}^{-}$$.
Однако равновесие этого процесса сдвинуто влево. Все карбоновые кислоты – слабые электролиты (`"HCOOH"` – средней силы). Природа заместителя `"R"` достаточно сильно влияет на силу кислот. Электронодонорные группы (алкильные группы и др.) повышают электронную плотность на атоме углерода –`"COOH"` группы, уменьшают тем самым частично положительный заряд на нем. Следствием этого является уменьшение поляризации связи `"O"–"H"` (усиление её прочности) и ослабление силы кислоты. Электроноакцепторные группы (фтор, хлор, винил, фенил и др.) наоборот повышают кислотные свойства. Ниже представлен ряд кислот по мере возрастания кислотных свойств:
Подобно минеральным кислотам, карбоновые кислоты реагируют с металлами, основными и амфотерными оксидами, основаниями, солями, вытесняя более слабые кислоты:
`2"R"-"COOH"+"Zn"->("R"-"COO")_2"Zn"+"H"_2`
`2"R"-"COOH"+"BaO"->("R"-"COO")_2"Ba"+"H"_2"O"`
`"R"-"COOH"+"NaOH"->"R"-"COONa"+"H"_2"O"`
`"R"-"COOH"+"NaHCO"_3->"R"-"COONa"+"H"_2"O"+"CO"_2`
Поскольку карбоновые кислоты слабые, их соли в водном растворе легко гидролизуются:
$$ {\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{COOK}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\rightleftarrows {\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{COOH}+\mathrm{KOH}$$.
Сильные неорганические кислоты вытесняют карбоновые кислоты из их солей:
`2"CH"_3"COONa"+"H"_2"SO"_4->2"CH"_3"COOH"+"Na"_2"SO"_4`
Взаимодействие ацетатов с сильной кислотой является качественной реакцией на ацетат-ионы. Признак её – появление запаха уксусной кислоты.
Образование функциональных производных
При замещении группы – `"OH"` в молекулах карбоновых кислот на другие группы образуются функциональные производные кислот. Общим свойством всех функциональных производных является то, что они могут быть получены из карбоновой кислоты и вновь в неё превращены при гидролизе.
1. Галогенангидриды получают действием галогенидов фосфора на кислоты:
`"CH"_3"COOH"+"PCl"_5->"CH"_3"COCl"+"POCl"_3+"HCl"`
2. Амиды кислот можно получить нагреванием соответствующих солей аммония:
$$ {\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{COONH}}_{4}\stackrel{\mathrm{t}°}{\to }{\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{CONH}}_{2}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$
Кроме того, амиды могут быть получены при взаимодействии хлорангидридов или сложных эфиров с аммиаком:
`"CH"_3"COCl"+2"NH"_3->"CH"_3"CONH"_2+"NH"_4"Cl"`
`"CH"_3"COOCH"_3+"NH"_3->"CH"_3"CONH"_2+"CH"_3"OH"`
3. Ангидриды кислот получают действием на кислоты водоотнимающих средств:
4. Cложные эфиры образуются при нагревании кислоты и спирта в присутствии серной кислоты (обратимая реакция этерификации):
5. Нитрилы кислот могут быть получены реакцией галогеналканов с цианидом щелочного металла (см. получение кислот, п. 6 ), а также при нагревании амидов:
$$ {\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{CONH}}_{2}\stackrel{\mathrm{t}°}{\to }{\mathrm{CH}}_{3}\mathrm{CN}+{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}$$
Реакции с участием углеводородного радикала
1. Галогенирование кислот в присутствии красного фосфора даёт `α`-галогензамещённые кислоты:
2. Непредельные карбоновые кислоты способны к реакциям присоединения по двойной связи:
`"CH"_2="CH"-"COOH"+"H"_2`$$ \stackrel{\mathrm{Pt},t°,p}{\to }$$`"CH"_3-"CH"_2-"COOH"`
`"CH"_2="CH"-"COOH"+"H"_2"O"`$$ \stackrel{{\mathrm{H}}^{+}}{\to }$$`"HO"-"CH"_2-"CH"_2-"COOH"`
Последняя реакция протекает против правила Марковникова.
3. Ненасыщенные карбоновые кислоты склонны к реакции полимеризации:
Окислительно-восстановительные реакции
Насыщенные карбоновые кислоты устойчивы к действию окислителей. Исключение составляет муравьиная кислота, которая вступает в реакцию «серебряного зеркала», реагирует с гидроксидом меди (II), хлором и другими окислителями:
`"HCOOH"+2["Ag"("NH"_3)_2]"OH"->2"Ag"+"NH"_4"HCO"_3+3"NH"_3+"H"_2"O"`
`"HCOOH"+2"Cu"("OH")_2->"Cu"_2"O"+"CO"_2+3"H"_2"O"`
`"HCOOH"+"Cl"_2->"CO"_2+2"HCl"`
В атмосфере кислорода карбоновые кислоты сгорают до углекислого газа и воды. Реакция в общем виде для предельных одноосновных кислот выглядит таким образом:
`"C"_n"H"_(2n+1)"COOH"+(3n+1)//2"O"_2->(n+1)"CO"_2+(n+1)"H"_2"O"`
Восстановление карбоновых кислот до соответствующих спиртов идёт существенно труднее, чем альдегидов. Такие реакции возможны только под действием сильных восстановителей, например, используя алюмогидрид лития `("LiAlH"_4)` в безводном эфире.
Превращение карбоновых кислот в алканы происходит в процессе электролиза:
$$ 2{\mathrm{CH}}_{3}{\mathrm{CH}}_{2}\mathrm{COOK}+2{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}\stackrel{\mathrm{электролиз}}{\to }$$
$$\stackrel{электролиз}{\to }{\mathrm{C}\mathrm{H}}_{3}{\mathrm{C}\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{C}\mathrm{H}}_{2}{\mathrm{C}\mathrm{H}}_{3}+2{\mathrm{C}\mathrm{O}}_{2}\uparrow +{\mathrm{H}}_{2}\uparrow +2\mathrm{K}\mathrm{O}\mathrm{H}$$
Реакции декарбоксилирования
При сплавлении солей карбоновых кислот со щелочами происходит разрыв связи `"C"-"C"` в углеродном скелете кислоты и отщепление карбоксильной группы:
$$ {\mathrm{C}}_{4}{\mathrm{H}}_{9}-\mathrm{COOK}+\mathrm{KOH}\stackrel{\mathrm{t}°}{\to }{\mathrm{C}}_{4}{\mathrm{H}}_{10}+{\mathrm{K}}_{2}{\mathrm{CO}}_{3}$$
Прокаливание кальциевых или бариевых солей карбоновых кислот приводит к образованию кетона и карбоната металла (см. способы получения кетонов).
Двухосновные карбоновые кислоты при нагревании легко отщепляют молекулу `"CO"_2`:
$$ \mathrm{HOOC}-{\mathrm{CH}}_{2}-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{COOH}\stackrel{\mathrm{t}°}{\to }{\mathrm{CH}}_{3}-{\mathrm{CH}}_{2}-\mathrm{COOH}+{\mathrm{CO}}_{2}\uparrow $$.
Среди функциональных производных карбоновых кислот особое место занимают
- производные карбоновых кислот, в молекулах которых атом водорода в карбоксильной группе замещён на углеводородный радикал. Общая формула сложных эфиров: 
где `R` и `R^'`- углеводородные радикалы.
Названия сложных эфиров происходят от названий кислоты и углеводородного радикала, заместившего водород. В качестве корня используют название кислоты с суффиксом -ат, в виде приставки приводят название радикала:
Для сложных эфиров характерна структурная изомерия
а) изомерия кислотных и спиртовых радикалов: пропилацетат изомерен изопропилацетату,
б) изомерия положения сложноэфирной группы в молекуле: пропилацетат изомерен этилпропионату и т. д.
Межклассовая изомерия сложных эфиров уже упоминалась в разделе «Карбоновые кислоты».
Сложные эфиры представляют собой в основном летучие бесцветные жидкости, нерастворимые в воде и обладающие сравнительно невысокими температурами кипения. Объясняется это тем, что между молекулами сложных эфиров отсутствуют водородные связи. Сложные эфиры низших карбоновых кислот и низших спиртов имеют ароматные фруктовые запахи.
1. Реакцией этерификации (см. Химические свойства спиртов и карбоновых кислот).
2. Взаимодействием функциональных производных карбоновых кислот (ангидридов, амидов, галогенангидридов) со спиртами:
1. Гидролиз под действием воды – реакция обратная реакции этерификации:
Для того, чтобы гидролиз протекал необратимо, его проводят в присутствии щелочи:
`"CH"_3"COOC"_2"H"_5+"NaOH"->"CH"_3"COONa"+"C"_2"H"_5"OH"`
2. Сложные эфиры реагируют с аммиаком, образуя амиды (см. «Карбоновые кислоты», химические свойства, получение амидов).
3. Взаимодействие со спиртами (реакция переэтерификации):
4. Сложные эфиры легко сгорают, образуя оксид углерода (IV) и воду:
`"CH"_3"CH"_2"COOCH"_3+5"O"_2->4"CO"_2+4"H"_2"O"`
Сложные эфиры широко распространены в природе. Приятный запах многих цветов и плодов в значительный степени обусловлен присутствием в них тех или иных сложных эфиров. Например, этиловый эфир масляной кислоты имеет запах ананасов, изоамиловый эфир уксусный кислоты – запах груши.
– сложные эфиры трёхатомного спирта глицерина и высших карбоновых кислот:
где `R′, R′′, R′′′` – углеводородные радикалы.
Карбоновые кислоты, входящие в состав жиров, называют жирными. Они содержат в молекуле от `10` атомов углерода и более, иногда в составе жиров встречаются и более простые кислоты (масляная, капроновая). Молекулы жиров содержат остатки как предельных, так и непредельных кислот, имеющих чётное число углеродных атомов и неразветвленное строение. В основном, в состав жиров входят три кислоты – предельные пальмитиновая: `"CH"_3-("CH"_2)_(14)-"COOH"`, стеариновая `"CH"_3-("CH"_2)_(16)-"COOH"` и непредельная олеиновая: `"CH"_3-("CH"_2)_7-"CH"="CH"-("CH"_2)_7-"COOH"`.
 |
Строение простейших видов жиров было установлено благодаря трудам французских химиков Шевреля и Бертло. При нагревании жиров с водой в присутствии щёлочи они получили глицерин и карбоновые кислоты – стеариновую, олеиновую. На основании этих опытов был сделан вывод, что жиры образованы глицерином и высшими жирными кислотами. Позднее установлено, что в природных жирах присутствуют остатки не одной, а нескольких кислот. Позже доказано, что в жирах присутствуют остатки только линейных изомеров высших жирных кислот.
Жиры, образованные предельными кислотами, – твёрдые вещества при комнатной температуре. Как правило, это жиры животного происхождения. Жиры, в составе которых есть непредельные кислоты,– жидкие, они называются маслами. Температура плавления жира зависит от его состава – чем больше в его составе предельных кислот, тем выше его температура плавления. Все жиры нерастворимы в воде и хорошо растворимы в органических растворителях.
Синтез жиров из глицерина и карбоновых кислот отвечает следующему уравнению:
1. Гидролиз (омыление) жиров происходит под действием воды (обратимо) или щелочей (необратимо):
При щелочном гидролизе образуются соли высших жирных кислот, называемые мылами.
2. Гидрогенизация жиров – присоединение водорода к остаткам непредельных кислот, входящих в состав жиров. При этом жиры из жидких превращаются в твёрдые:
3. Бромирование жиров. Так, для сложного эфира глицерина и олеиновой кислоты реакция обесцвечивания бромной воды записывается следующим образом:
4. При длительном хранении под действием влаги, кислорода воздуха, света и тепла жиры приобретают неприятный запах и вкус. Этот процесс называется «прогорканием» и обусловлен появлением в жирах продуктов их превращения: свободных жирных кислот, гидроксикислот, альдегидов и кетонов.
