Статьи , страница 577

• 
  2. Проекция вектора на заданное направление

  • 4 сентября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 6549 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  1. Определение вектора. Операции над векторами

  • 4 сентября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 6413 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  Введение

  • 4 сентября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 1798 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  Примеры ответов на контрольные вопросы

  • 31 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 2288 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  Домашнее задание

  • 31 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 1911 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  5. Трапеция

  • 31 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 3621 просмотр

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  4. Задачи о делении отрезка

  • 31 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 4877 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  3. Подобие треугольников

  • 31 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 8623 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  2. Замечательные точки треугольника

  • 31 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 10364 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

  • 31 августа 2017 г.
  • 1 комментарий
  • 18908 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  8. Воздухоплавание

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 1892 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  7. Плавание тел

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 2557 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  6. Закон Архимеда

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 3724 просмотра

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  5. Атмосферное давление. Опыт Торричелли

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 5214 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  4. Сообщающиеся сосуды

  • 30 августа 2017 г.
  • 7 комментариев
  • 2557 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  3. Гидростатическое давление

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 3491 просмотр

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  2. Закон Паскаля

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 4727 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  1. Жидкости и газы. Текучесть. Давление

  • 30 августа 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 6088 просмотров

  Просмотр текста ограничен правами статьи
• 
  6. Закон Архимеда

  • 22 августа 2017 г.
  • 3 комментария
  • 3252 просмотра

  На поверхности твёрдого тела, погружённого в жидкость (газ), действуют силы давления.

• 
  11-М-1. 2. Иррациональные неравенства

  • 13 июля 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 7696 просмотров

  Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

  Пример 3 (МГУ, 1998)

  Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

  Решение

  Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить       только       уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

  $\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.$

  Ответ:

  `[- 3; 1)`.

  Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

  `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`.	(УР К1)
  $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right.$	(УР К2)
  $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x).$	(УР К3)
  $\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array}$	(УР К4)

  
  

  ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

  ОДЗ: `f(x) >= 0`.

   Рассмотрим неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`.  Докажем, что

  (УР К5)

                                                                               

  Доказательство

  1. Если  является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

  2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       

  
  

  Тогда:

  а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

  б) если `g(x) >= 0`  и  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

  то `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

  Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

  (УР К6)

                                                              

  Теперь рассмотрим неравенство вида  `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  Докажем, что

  $\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right.$

  (УР К7)

                                                                

  Доказательство

  1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`, то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.

  2.  Если `x` является решением системы неравенств   $\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.$   то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.

  Пример 4 (МФТИ, 1998)

  Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.

  
  

  Решение

  Первый способ

  Воспользуемся (УР К6): 

  
  

  Ответ

  `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

  
  

  Второй способ

  Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ: