Abitu.Net

Решение: На человека всегда действует сила тяжести $(m\vec g)$ . Она приложена ко всем частям организма, но принято её изображать приложенной к центру масс (на рис. 15 это не так). Во время ходьбы человек мышечными усилиями толкает ногу назад, относительно центра масс (туловища). На рисунке эта сила обозначна как $\vec F_\mathrm{м}$ . Нога бы начала такое движение, если бы не было сцепления протектора подошвы и поверхности асфальта (пола). Вдоль поверхности возникает сила трения покоя. Нога толкает этой силой асфальт влево $(\vec F_\mathrm{тр})$ , а асфальт толкает ногу вправо $(\vec F_\mathrm{тр})$ , приводя её в движение относительно асфальта. Человек оказывает на поверхность асфальта действие, называемое весом $(\vec P)$ , а на человека действует противоположная сила реакции опоры $(\vec N)$ .

Пример 2. С каким ускорением будет двигаться тело массой $3\ \text{кг}$ по поверхности стола с коэффициентом трения $0,3$ , если к нему приложить силу $10\ \text{Н}$ под углом $30^\circ$ к горизонту?         

Рис. 16

Решение. Расставим силы. При расстановке сил пользуются, преимущественно, двумя моделями: 1) все силы прикладывают к центру масс тела, который символизирует материальную точку, в качестве которой рассматривается тело; 2) точки приложения сил изображают там, где сила приложена. Во втором случае требуется применять ряд дополнительных правил, которые на первых порах излишне усложняют решение. На данном рисунке 16 применены правила первой модели.

Далее запишем 2-ой закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec g + \vec F_\mathrm{тр} + \vec N + \vec F = m\vec a$ .

Теперь пишем проекции этого уравнения на оси $Ox$ и $Oy$ . Отметим, что оси удобнее всего выбирать из принципа удобства, что чаще всего соответствует направлению одной из осей вдоль ускорения, а второй оси перпендикулярно первой. Еcли движутся несколько тел, то для каждого тела можно выбирать свою удобную пару осей.

$Ox:\quad -F_\mathrm{тр} + F\cos \alpha = ma,$

$Oy:\quad -mg + N + F\sin \alpha = 0.$

Вспомогательное уравнение (формула Кулона – Амонтона):

$$F_\text{тр} =\mu \cdot N$$

Решая скалярную тройку уравнений, получим:

$a = \frac Fm (\mu\cdot \sin \alpha + \cos\alpha) - \mu g$ .

Подставим числовые значения и получим: $a\approx 0,39\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

При достаточной тренировке в решении задач запись в векторном виде становится излишней, и пишем сразу проекции на оси. На начальном этапе обучения пропускать эту запись не следует.         

Рис. 17

Пример 3. По наклонной плоскости с углом наклона при основании $\alpha = 30^\circ$ соскальзывает тело. Найти ускорение тела при коэффициенте трения поверхности и тела, равным $0,2$ .

Решение. На рисунке 17 расставим силы и выберем оси координат из принципа удобства (одна из осей вдоль ускорения).

Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторном виде:

$m\vec g + \vec F_\mathrm{тр} + \vec N = m\vec a$ .

Далее проецируем его на оси координат:

$Ox:\quad -F_\mathrm{тр} + mg\cdot \sin \alpha = ma$ ,

$Oy:\quad -mg\cdot\cos\alpha + N = 0$

Добавим формулу Кулона-Амонтона:

$F_\mathrm{тр} = \mu\cdot N$ .

Решая систему уравнений, получим:

$a = g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$ .

Числовой ответ даёт значение: $a\approx 3,27\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

Рассмотрим способ с другими направлениями осей (рис. 18) (неудобными)

$Ox:\quad -F_\mathrm{тр}\cdot\cos\alpha + N\cdot\sin\alpha = ma\cdot\cos\alpha,$

$Oy:\quad -mg+N\cdot\cos\alpha = -a\cdot\sin\alpha$ .

Добавим формулу Кулона-Амонтона: $F_\mathrm{тр} = \mu\cdot N$ .

Решение этой системы уравнений так же приведёт к тому же ответу (проверьте самостоятельно), но путь достижения цели будет и длиннее, и сложнее.

Пример показывает рациональность предлагаемого принципа удобства.         

Рис. 19

Пример 4. Коэффициент трения между резиной и асфальтом $0,7$ . Какой должна быть ширина дороги, чтобы на ней смог развернуться мотоциклист без уменьшения скорости, если его скорость равна $54\ \text{км}/\text{ч}$ ?

Если мотоциклист планирует развернуться, не уменьшая скорости, то движение его будет равномерным по окружности. Сила, приводящая к изменению направления скорости, будет сообщать центростремительное (нормальное) ускорение (рис. 19) . Этой силой будет сила трения.

Решение. Выберем ось $Ox$ вдоль ускорения (рис. 20) . Запишем 2-й закон Ньютона в проекции на эту ось:         

Рис. 20

$F_\mathrm{тр} =ma_n = m\frac{v^2}{R}$ .

Так как $F_\mathrm{тр} = \mu N$ , а $N = mg$ , то $\mu mg = m\frac{v^2}{R}$ , откуда $R = \frac{v^2}{\mu g}$ , тогда для разворота нужна ширина:

$l = 2R;\quad l = \frac{2v^2}{\mu g};\quad l = 64,3\ \text{м}$

Из ответа видим, что для разворота на реальной дороге необходимо сниизить скорость.

Пример 5. Два тела массами $m_1 = 2\ \text{кг}, \ m_2 = 3\ \text{кг}$ связаны нитью. Первое тело тянут вправо с силой $F = 15\ \text{Н}$ по поверхности с коэффициентом трения $\mu = 0,1$ . Определите силу натяжения нити, связывающей тела. С каким ускорением движутся тела? Оборвётся ли нить, если поместить тела на поверхность с коэффициентом трения $0,3$ , а максимальная сила натяжения нити $10\ \text{Н}$ ?

Решение. Расставим силы, действующие на тела (рис. 21):

Рис. 21

Выберем ось $Ox$ вдоль силы $\vec F$ и ось $Oy$ перпендикулярно ей.

Второй закон Ньютона для двух тел в проекции на ось $Ox$ :

$F - F_\mathrm{тр1} - T + T - F_\mathrm{тр2} = (m_1 + m_2)a$ ,

для первого тела на ось $Oy$ :

$N_1 - m_1g = 0,\ \mathrm{тогда}\ F_\mathrm{тр1} = \mu m_1 g$ ;

для второго тела:

$N_2 - m_2g = 0 \Rightarrow \ F_\mathrm{тр2} = \mu m_2g$ .

Выразим ускорение из проекции $Ox$ , подставляя силы трения:

$a = \frac{F}{m_1 + m_2}-\mu g$ ,

$a = 2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

Теперь запишем второй закон Ньютона для второго тела:

$Ox:\quad T-F_\mathrm{тр2} = m_2 a$ ,

откуда

$T = F_\mathrm{тр2} + m_2 a$ ,

$T = m_2(\mu g + a)$ ,

$T = \frac{m_2}{m_1 + m_2}F = 9\ \text{Н}$ .

Если $\mu = 0,3$ , то $a = 0$ , тела движутся равномерно, а сила натяжения нити останется прежней, $T = 9\ \text{Н} < 10\ \text{Н}$ . Нить не порвётся.

Пример 6. На вершине наклонной плоскости, с углом при основании $30^\circ$ укреплён неподвижный блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить . К нити привязаны два тела: $m_1 = 3\ \text{кг}$ со стороны плоскости и $m_2 = 4\ \text{кг}$ с другой. Коэффициент трения при движении тела по поверхности равен $0,2$ . Какова сила натяжения нити и ускорения тел?

Решение. Силы, действующие на тела, представлены на рисунке 22.

Рис. 22

Запишем 2-ой закон Ньютона для первого тела в проекциях:

$Ox:\quad T_1 - F_\mathrm{тр} - m_1 g\sin \alpha = m_1 a_1$ ,

$O_y:\quad N-m_1g\cos\alpha = 0$ .

С учётом, что $F_\mathrm{тр} = \mu N$ , получим $T_1 - \mu m_1 g\cos\alpha - m_1g\sin\alpha = m_1 a_1$ .

Для второго тела в проекции на $Oz$ :

$m_2g - T_2 = m_2a_2$ .

Решая совместно два уравнения, получим (учитывая, что $a_1 = a_2 = a$ и $T_1 = T_2 = T$ )

$a = \frac{m_2 - m_1\sin\alpha - \mu m_1\cos\alpha}{m_1 + m_2}g$ ,

$a \approx 2,83\ \text{м}/\text{с}^2$ .         

Рис. 23

Из этих же уравнения получим силу натяжения нити:

$T = g\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}(1 + \sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

$T \approx 28,7\ \text{Н}$ .

Пример 7. Какую горизонтальную силу $F$ нужно приложить к тележке массой $M$ , чтобы бруски массой $2m$ и $3m$ (рис. 23) относительно неё не двигались? Трением пренебречь.

Решение. На рисунке 24 изображены силы, действующие на тела.

Рис. 24

Если трения нет и бруски неподвижны относительно тележки, то 2-й закон Ньютона в проекциях для тел примет вид:

1) для тележки:

$Ox:\quad F - P_1 - T_4 = Ma_0$ ,

$Oy:\quad N_1 + N_2 - Mg - P_2 - T_3 = 0$ ;

2) для бруска $3m$ :

$Ox:\quad T_2 = 3ma_2$ ,

$Oy:\quad N_3 - 3mg = 0,\quad N_3 = P_2$ ;

3) для бруска $2m$ :

$Ox:\quad N_4 = 2ma_1$ ,

$Oy:\quad T_1-2mg = 0, \quad N_4 = P_1$ ;

4) $T_1 = T_2 = T_3 = T_4\quad \text{(нить невесома)},$

5) $a_1 = a_2 = a_0\quad \mathrm{(нить}\ \mathrm{нерастяжима)}$

Решая совместно получим:        

Рис. 25

$F = a_0 (M+5m)$ .

Рассматривая уравнения двух брусков совместно, получим:

$3ma_0 = 2mg\ \text{или}\ a_0 = \frac 23 g.$

Тогда $F = \frac 23 g(M+5m)$ .

Пример 8. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $\omega = 20\ \text{рад}/\text{с}$ вокруг вертикальной оси $OO'$ (рис. 25). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы $1$ и $2$ массами $m_1 = 0,2\ \text{кг}$ и $m_2 = 0,1\ \text{кг}$ , радиусы их вращения $R_1 = 0,1\ \text{м}$ , $R_2 = 0,2\ \text{м}$ . Найти силы натяжения н и тей.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на тела, и ускорения тел (рис. 26). Уравнение 2-го закона в проекциях имеет вид:         

Рис. 26

1) $T_1 - T_2 = m_1\omega^2R_1$ .

2) $T_2 = m_2\omega^2R_1$ .

$T_1 = T_2 + m_1\omega^2R_1 = \omega^2(m_1R_1 + m_2R_1).$

$T_1 = 16\ \text{Н}.$

$T_2 = 8\ \text{Н}$ .

Рис. 27 Рис. 28

Пример 9. Два небольших по размерам груза с массами $3m$ и $m$ связаны нитью длиной $l_2$ и прикреплены к оси $OO_1$ нитью длиной $l_1$ , составляющей угол $\beta$ с осью $OO_1$ (см. рис. 27). Грузы находятся на горизонтальной платформе и вращаются вместе с ней вокруг вертикальной оси $OO_1$ . При какой постоянной угловой скорости грузы будут давить на платформу с одной и той же силой? Трение между грузами и платформой пренебрежимо мало.

Решение. На рисунке 28 изображены силы, действующие на грузы .

Для первого груза уравнения 2-го Закона Ньютона в проекции имеют вид:

$Ox:\quad T_1 = m\omega^2(l_2 + l_1\sin\beta)$ ;

$Oy:\quad N_1 = mg$ ,

$N_1 = P_1$ ;

Для второго груза:

$Ox:\quad T_3\sin\beta - T_2 = 3m\omega^2l_1\sin\beta$

$Oy:\quad T_3\cos\beta + N_2 = 3mg$

$N_2 = P_2$

$P_1 = P_2\ \text{(по условию)},$

$T_1 = T_2\ \text{(нить невесома)}.$

Из равенства $P_1 = P_2$ следует $N_1 = N_2$ , поэтому $T_3 = \frac{2mg}{\cos\beta}$ .

Тогда из проекции на $Ox$ следует:

$2mg\text{tg}\beta = m\omega^2(l_2+l_1\sin\beta + 3l_1\sin\beta)$

$\omega = \sqrt{\frac{2g\text{tg}\beta}{l_2 + 4l_1\sin\beta}}$ .         

Рис. 29

Пример 10. Найдите ускорения тел системы, изображённой на рисунке 29. Сила $F$ приложена по направлению нити к одному из тел массы $m$ . Участки нити по обе стороны от лёгкого блока, прикреплённого к телу массы $M$ параллельны.

Решение. Силы, действующие на тела, изображены на рисунке 30.

Рис. 30

Для первого тела:

$Ox: \quad F - T = m a_1$ .

Для второго тела:

$Ox:\quad -T = -ma_2$ .

Для третьего тела:

$Ox:\quad 2T = Ma_3$ .

Т. к. нить нерастяжима, то смещение второго тела к блоку $(l_2)$ равно смещению первого тела от блока $(l_1)$ . Т. к. блок сам смещается с ускорением, то к смещению первого блока добавится смещение $2l_3$ :

$a_1 = a_2 + 2a_3$ .

Из (2) и (3) следует $a_1 = a_3\frac{M}{2m}$ .

Тогда, решая совместно (1), (4) и (2), получим:

$a_3 = \frac{F}{M+2m}$ ,

тогда

$a_2 = \frac{F}{(M+2m)}\cdot\frac{M}{2m}\ и\ a_1 = \left(\frac{F}{M+2m}\right)\left(\frac{M+4m}{2m}\right)$ .

Введение

16 ноября 2017 г.
0 комментариев
3010 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

16 ноября 2017 г.
0 комментариев
7611 просмотров

Просмотр текста ограничен правами статьи

Сила трения

16 ноября 2017 г.
0 комментариев
97093 просмотра

Сила трения – сила механического сопротивления, возникающая в плоскости соприкосновения двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении.

Сила сопротивления, действующая на тело, направлена противоположено относительному перемещению данного тела.

Сила трения возникает по двум причинам: 1) первая и основная причина заключается в том, что в местах соприкосновения молекулы веществ притягиваются друг к другу, и для преодоления их притяжения требуется совершить работу. Соприкасающиеся поверхности касаются друг друга лишь в очень небольших по площади местах. Их суммарная площадь составляет $0,01 \div 0,001$ от общей (кажущейся) площади соприкосновения. При скольжении площадь реального соприкосновения не остается неизменной. Сила трения (скольжения) будет изменяться в процессе движения. Если тело, которое скользит, прижать сильнее к телу, по которому происходит скольжение, то вследствие деформации тел площадь пятен соприкосновения (и сила трения) увеличится пропорционально прижимающей силе.

$$F_\text{тр} \sim F_\text{приж}$$

2) вторая причина возникнове ния силы трения – это наличие шероховатостей (неровностей) поверхностей, и деформация их при движении одного тела по поверхности другого. Глубина проникновения (зацепления) шероховатостей зависит от прижимающей силы, а от этого зависит и величина деформаций. Последние, в свою очередь, определяют величину силы трения: $F_\mathrm{тр} \sim F_\mathrm{приж}$ .

При относительном скольжении обе причины имеют место, потому характер взаимодействия имеет вид простого соотношения:

$\boxed{F_\mathrm{тр} =\mu N}\ -$ сила трения скольжения (формула Кулона - Амонтона), где

$\mu\ -$ коэффициент трения скольжения,

$N\ -$ сила реакции опоры, равная прижимающей силе.

Величина коэффициента трения различна для разных комбинаций трущихся веществ даже при одинаковой их обработке (силы притяжения и упругие свойства зависят от рода вещества).

Если между трущимися поверхностями будет находится смазка, то сила притяжения изменится заметным образом (будут притягиваться другие молекулы, и сила трения скольжения частично заменится силой вязкого трения, которую мы рассмотрим ниже).

Если на тело, лежащее на горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила $\vec F$ , то движение будет вызвано этой силой только в том случае, когда она станет больше некоторого значения $(\mu N)$ . До начала движения внешняя сила скомпенсирована силой трения покоя.

Рис. 13

Сила трения покоя всегда равна внешней силе, параллельной поверхности, и возникает по причине притяжения между молекулами в областях пятен соприкосновения и деформации шероховатостей.

Сила трения покоя различна в разных участках поверхности по которой будет происходить движение. Если тело долго лежит на поверхности, то вследствие вибраций (они всегда присутствуют на поверхности Земли) площадь пятен соприкосновения незначительно увеличится. Поэтому для начала движения придётся преодолеть немного большую силу трения, чем сила трения скольжения. Данное явление называется явлением застоя. С этим явлением мы сталкиваемся, например передвигая мебель в комнате. (На рисунке 13 превосходство трения покоя над трением скольжения сильно преувеличено).

Силой трения покоя мы пользуемся для перемещения на лыжах или просто при ходьбе.

Рассмотренные виды силы трения относятся к сухому трению или внешнему. Но есть еще один вид силы трения – вязкое трение.

При движении тела в жидкости или газе происходят достаточно сложные процессы обмена молекулами между слоями обтекающей жидкости или газа. Эти процессы называют процессами переноса.

При небольших скоростях движения тела относительно газа или жидкости сила сопротивления будет определяться выражением:

$\boxed{F_\mathrm{тр} = 6\pi \eta r v}\ -$ закон Стокса для шара, где

$\eta\ -$ вязкость вещества, в котором движется тело;

$r\ -$ средний поперечный размер (радиус) тела;

$v\ -$ относительная скорость тела;

$6\pi\ -$ коэффициент, соответствующей сферической форме тела.

Вывод о величине скорости (большая она или маленькая) можно сделать, определив безразмерный коэффициент, называемый числом Рейнольдса:

$\boxed{Re = \frac{\rho r v}{\eta}}\ -$ число Рейнольдса, где

$\rho\ -$ плотность вещества, в которой движется тело.

Если $Re < 1700$ , то движение газа (жидкости) вокруг тела ламинарное (слоистое), и скорости можно считать малыми.

Если $Re > 1700$ , то движение газа (жидкости) вокруг тела турбулентное (с завихрениями), и скорости можно считать большими.

В последнем случае на образование вихрей тратится большая часть кинетической энергии тела, а значит, сила трения становится большей, а зависимость перестаёт быть линейной.

$\boxed{F_\mathrm{тр} = kv^2\rho S}\ -$ сила вязкого трения при больших скоростях, где

$S\ -$ площадь поперечного сечения тела,

$k\ -$ постоянная величина, зависящая от поперечных размеров тела.

Часто последнюю формулу можно видеть в виде:

\[F_\text{тр} = \beta v^2.\]

Число Рейнольдса, выбранное равным $1700$ , в действительности определяется конкретной задачей (условиями) и может принимать другие значения того же порядка. Объясняется это тем, что зависимость силы вязкого трения от скорости носит сложный характер: при некотором значении скорости линейная зависимость начинает нарушаться, а при некотором значении скорости эта зависимость становится квадратичной.

Рис. 14

В промежутке от $v_1$ до $v_2$ степень принимает дробные значения (рис. 14) . Число Рейнольдса характеризует состояние динамической системы, при котором движение слоёв остаётся ламинарным, и сильно зависит от внешних условий. К примеру: стальной шар, двигаясь в воде вдали от границ жидкости (в океане, озере) сохраняет ламинарным движение слоёв при $Re = 1700$ , а тот же шар, движущийся в вертикальной трубе немного большего, чем шар, радиуса, заполненной водой, уже при $Re=2$ вызовет появление завихрений воды вокруг шара. (Отметим, что число Рейнольдса не единственное, применяемое для описания подобного движения. Например, применяют ещё числа Фруда и Маха.)

Из-за такой сложной зависимости силы сопротивления от размеров, формы тела и его скорости рассчитать с необходимой точностью силу сопротивления невозможно. Потому приходится создавать макеты летательных аппаратов и измерять силу сопротивления опытным путём, продувая воздух в аэродинамических трубах.

Пример 7. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению скорости на радиус капель: $F = krv$ . Капли радиуса $0,1\ \text{мм}$ , падая с большой высоты, у земли имеют скорость около $1\ \mathrm{м}/\mathrm{с}$ . Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? В десять раз меньше?

Решение: Капля падает с постоянной скоростью, т. к. сила тяжести скомпенсирована силой вязкого трения о воздух: $krv = mg$ или $krv = \rho \frac 43 \pi r^3 g$ , откуда $v = \frac{4\rho\pi g}{3k}r^2$ .

Из полученного результата следует, что скорость капли прямо пропорциональна квадрату радиуса. Если радиус капли уменьшится в два раза, то скорость её падения уменьшится в четыре раза, и составит $v_1 \approx 0,25\ \text{м}/\text{с}$ ; а если радиус окажется в десять раз меньше, то скорость будет в сто раз меньше, т. е. $v_2 \approx 0,01\ \mathrm{м}/\mathrm{с}$ .

Задача любопытна тем, что может объяснить почему облака не падают. Ведь облака – это туман, который не падает из-за наличия восходящих потоков воздуха. На нижней границе облака находятся наиболее крупные капли. Поднимаясь, скорость потока уменьшается, т. к. он совершает работу над встретившимся воздухом и увеличивает свою потенциальную энергию. Раз скорость потока в верхней части облака меньше, то и размер капель там тоже меньше. Капли «висят» над поверхностью земли на постоянной высоте.

Все статьи

Подкатегории

Статьи , страница 631