Действительные числа, предел последовательности
Действительные числа. Точные верхняя и нижняя грани. Принцип вложенных
отрезков. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах. Частичные
пределы. Критерий Коши.
Предел и непрерывность функции, теоремы о промежуточных значениях
Определение предела функции. Теоремы о пределах. Непрерывность
функции. Теоремы Вейерштрасса и теорема о промежуточных значениях.
Равномерная непрерывность.
Производная, теоремы о дифференцируемых функциях, формула Тейлора
Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления функций
одной переменной. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. O-символика.
Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа и Пеано. Использование формулы Тейлора для решения задач.
Множества в Rⁿ и их свойства. Граница множества
Пространство Rⁿ. Классификация точек. Открытые и замкнутые множества,
их свойства. Критерии замкнутости. Компактность. Критерий
компактности. Последовательности.
Мера Жордана в n-мерном пространстве
Измеримые по Жордану множества и их свойства. Критерий измеримости.
Функции нескольких переменных
Предел и непрерывность функций многих переменных. Определения предела
по Коши и по Гейне. Их эквивалентность. Примеры для функций 2-х
переменных, повторные пределы, предел по направлению. Определение
непрерывности функции в точке. Теорема о непрерывности композиции.
Непрерывные функции на компакте, равномерная непрерывность.
Дифференцируемость
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Дифференцируемость функции в точке. Связь между дифференцируемостью и
непрерывностью. Частные производные. Необходимое условие
дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
Дифференцируемые отображения. Частные производные
высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Кривые в Rⁿ. Длина кривой. Криволинейный интеграл 1-го рода
Кривые в Rⁿ. Понятие спрямляемости кривой. Формула длины кривой через
определенный интеграл.
Интеграл
Определенный интеграл Римана. Критерий интегрируемости Дарбу. Свойства
интеграла. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним
пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Валлиса. Оценки определенных интегралов.
Несобственные интегралы
Несобственный интеграл. Признак сравнения. Критерий Коши. Абсолютная и условная
сходимость. Признак Дирихле.
Числовые ряды
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами: признак сравнения, признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак. Эталоны. Ряды с произвольными членами: абсолютная и условная сходимость. Преобразование Абеля. Признак Дирихле. Перестановки рядов.
Функциональные последовательности и ряды
Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональной последовательности.
Теорема о непрерывности предельной функции. Примеры исследования равномерной сходимости последовательностей.
Равномерная сходимость функционального ряда. Необходимое условие. Признак Вейерштрасса.
Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Примеры исследования равномерной сходимости рядов.
Признак Дирихле. Предельный переход под знаком интеграла и производной. Теоремы о почленном
интегрировании и почленном дифференцировании ряда. Примеры.
Степенные ряды
Действительные степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара. Примеры нахождения радиуса
сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы степенного ряда.
Единственность представления функции степенным рядом. Применение разложения логарифма: формула Стирлинга.
Ряды Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд. Основные разложения.
Примеры нахождения разложений.
