Условие 1. В игре участвуют два игрока.

Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает проигрыш соперника. Иногда в математических играх допускают ничью.

Условие 3. В игре участники ходят по очереди и помнят все предыдущие ходы.

Условие 4. Игра характеризуется позицией, которая зависит только от ходов игроков.

Для решения спора Петя и Вася пишут на листочках по натуральному числу. Если сумма написанных чисел - чётная, спор выигрывает Петя, если нечетная - спор выигрывает Вася. Является ли описанная процедура математической игрой?

Здесь уже не выполняется условие 3, которое гласило, что игроки должны ходить по очереди и помнить все предыдущие ходы.

Сделаем небольшую модификацию условий игры, чтобы игра стала математической и посмотрим, какая игра из этого получится. Чтобы условие 3 поочередности выполнялось, сначала должен походить первый игрок, написать своё число на бумажке и показать это число всем, включая второго игрока. Кто из двух игроков будет первым, они между собой должны договориться сами. И тогда уже второй игрок, зная число, которое написал первый, должен написать своё число, затем эти два числа будут сложены и сумма проверена на чётность.

Однако, если второй игрок обладает хоть каким-либо интеллектом, он может подобрать своё число, чтобы сумма была выигрышной для него чётности. Суть «подкидывания монетки» от этого полностью теряется, т. к. данная игра находится под полным контролем второго игрока.

Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что одна из них содержит деньги, другая - товар. Каждый игрок может уважать сделку и положить в сумку то, о чём договорились, либо обмануть партнёра, дав пустую сумку. Является ли эта игра математической?

Во-первых, эта игра не удовлетворяет условию 2: в условии не определено, какой игрок выигрывает в каком случае, а какой автоматически при этом проигрывает. Во-вторых, игроки ходят одновременно, а не по очереди, что нарушает условие 3. Поэтому данная игра не является математической.

Заметим, что условие 2 можно выполнить, считая, что в случае если один игрок обманул другого, обманувший игрок выиграл, а обманутый проиграл, в остальных случаях (оба игрока честные или оба обманщики) зафиксировать ничью. Однако условие 3, как и в предыдущем примере, уже нельзя выполнить без существенного изменения самой игры.

Итак, в математической игре имеются два игрока, которые ходят поочередно. Участник, который начинает игру, обычно называется первым игроком, его соперник – вторым. Имеется конечное или бесконечное множество позиций. В каждой позиции для обоих игроков указаны допустимые ходы – разрешённые переходы в другие позиции. Некоторые позиции объявляются выигрышными для какого-то игрока, что автоматически означает, что эти позиции являются проигрышными для соперника. Очень часто выигрышными объявляются  те  и  только  те  позиции,  из  которых соперник не может сделать ход, т. е. выигрывает тот игрок, которому удаётся своим последним ходом достичь позиции, в которой у соперника нет допустимых ходов.

Есть две кучи по семь камней в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучи. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Как можно определить позиции в данной игре, и какие позиции будут выигрышными?

Позицией в данной игре являются два числа `(x, y):` `x` – количество камней в первой куче, `y` – количество  камней во второй куче. Игрок выигрывает, если противник не может сделать ход, т. е. перед ходом противника камней в обеих кучах не останется. Таким образом, позиция `(0, 0)` является выигрышной для того из игроков, который попал туда своим последним ходом.

Особенно отметим следующее.

Во-первых, в играх могут быть ничьи. Это значит, что некоторые позиции для обоих игроков объявляются ничейными. Игроку целесообразно добиваться ничьей только тогда, когда он не может гарантированно достичь выигрышной позиции.

Во-вторых, оба игрока не обязательно должны преследовать одинаковые цели (например, чтобы противник не смог сделать ход). Так, например, в примере 2 один из игроков стремится к тому, чтобы полученное число не делилось на девять, а второй стремится к обратному.

Поэтому позиция должна ещё характеризоваться номером игрока (либо того, который пришел в эту позицию, либо того, который делает ход из этой позиции в зависимости от ситуации). Так, если в примере 7 добавить номер игрока, который делает ход, то теперь позиция в этой задаче будет выражаться тремя числами `(x,y,n)`, где `n` – номер игрока, который делает ход, имея в начале $$ x$$ камней в первой куче, а $$ y$$ – во второй.

Позиция `(0,0,1)` будет проигрышной для первого игрока (он не может сделать ход) и выигрышной для второго, позиция `(0,0,2)` – наоборот.

Однако в играх, в которых игроки преследуют одинаковые цели и возможные ходы у обоих игроков одинаковы, как например, в примере 5, можно номер игрока из позиции опустить. В этом задании мы будем рассматривать только такие игры.

В точке 0 оси координат находится фишка. За ход игрок обязан подвинуть фишку на единицу влево или вправо. Выиграет тот игрок, после хода которого координата фишки превысит десять.  Как определить позиции в данной игре? Какие позиции следует объявить выигрышными? Какие позиции следует объявить ничейными?

Позицией является целое число `(x):` положение фишки на оси. При этом все позиции с `x > 10` будут проигрышными для первого игрока, т. е., выигрышными для второго. Стартуя из позиции `(10)`, первый игрок может одним ходом передвинуть фишку в позицию `(11)` и выиграть. Если же игра начинается из позиции `(x)`, `[x < 10]`, то ни первый, ни второй игрок не могут гарантированно рассчитывать на победу, так как любой игрок в данной игре может не позволить своему противнику достичь выигрышной позиции, просто двигая каждый раз своим ходом фишку влево. Поэтому, стартуя из позиции `(x)`, `[x < 10]`, игра может закончиться выигрышем одного из игроков, если и только если соперник ошибётся. Но что следует считать исходом игры при старте, например, из начала координат (как в условии примера)? Можно было бы, например, считать, что исход игры при старте из начала координат просто не определён. Но мы потребуем выполнения более жёсткого условия.

Условие 5. При старте из любой допустимой позиции, как бы ни играли соперники, через конечное (возможно, очень большое) число ходов обязательно достигается либо выигрышная, либо ничейная позиция.