Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения не имеет. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Выиграет второй игрок. Для этого мысленно разрежем шахматную доску пополам линией, параллельной одной из сторон доски. Второй игрок должен ставить слона на место, симметричное полю, на которое текущим ходом поставил свою ладью первый игрок относительно проведённой оси. Докажем от противного, что второй игрок всегда сможет сделать ход.

Пусть это неверно и второй игрок не сможет сделать хода. Разберём два случая.

Случай 1. На поле предполагаемого хода уже стоит слон. Но этот слон не мог быть поставлен ранее вторым игроком, так как он ставит слонов только симметрично ходам первого игрока. Если первый игрок ранее поставил  слона на это поле, то второй игрок был обязан своим ходом поставить слона на поле, симметричное полю противника. Однако по условию на это поле слона поставил первый игрок текущим ходом. Получаем противоречие.

Случай 2. Данное поле находится под боем какого-то слона. Заметим, что этот слон не был поставлен первым игроком на предыдущем ходу, так как два симметричных относительно оси слона не бьют друг друга. Тогда, в соответствии со стратегией второго игрока, слон, расположенный симметрично данному, также должен уже стоять на доске. Однако этот слон будет бить слона, поставленного первым игроком предыдущим ходом. Противоречие.

Таким образом, было доказано, что у второго игрока всегда есть допустимый ход, а так как игра должна когда-нибудь закончиться (на шахматной доске всего 64 клетки), то первый игрок когда-то не сможет сделать своего хода и проиграет.

В кучке лежат: а) `30` камней; б) `32` камня. За ход можно взять от одного до пяти камней из кучи. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

В данном случае работает стратегия дополнения до шести. Пусть своим ходом первый игрок берёт `x in{1,2,3,4,5}` камней. Тогда в пункте а) второй игрок отвечает ходом `(6-x)`, и поскольку после каждого его хода количество камней будет делиться на шесть,  то в итоге второй игрок выиграет.

В пункте б) выигрывает первый игрок. Первым ходом он должен взять два камня и свести задачу к пункту а), в котором он уже будет выступать как второй игрок.

Два игрока перемещают ладью из левого нижнего угла `("a"1)` шахматной доски в правый верхний `("h"8)`. За ход можно сместить ладью на любое количество клеток вверх или вправо. Кто выиграет при правильной игре?

Выиграет второй игрок. Для этого ему нужно во время ходов возвращать ладью на диагональ, проведенную из левого нижнего угла в верхний правый угол. Подумайте, почему первый игрок проиграет при любых своих ходах.