Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи

  • §8. Примеры решения задач


    Задача 8.1

    На рис. 8.1 показаны положения фокусов и ход луча после прохождения тонкой линзы. Постройте ход этого луча до линзы.

    Решение

    Существует несколько способов построения хода луча до линзы. Некоторые приведены на рис. 8.2 и рис. 8.3.

    На рис. 8.2 через оптический центр `O` линзы проведём луч, параллельный лучу, изображённому в условии. Пусть он пересекает переднюю фокальную плоскость в точке `S`. Искомый луч должен идти через точки `S` и `A`.

    Другой способ построения приведён на рис. 8.3. Продолжим луч, вышедший из линзы, до точки `S_1` пересечения с задней фокальной плоскостью. Если теперь провести луч через точки `S_1` и оптический центр `O` линзы, то искомый луч должен идти из точки `A` параллельно лучу `OS_1`.

    задача 8.2

    Перед рассеивающей линзой $$ {L}_{1}$$ с известным диаметром $$ D$$ находится точечный источник $$ S$$, не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.4). Постройте изображение $$ {S}_{1}$$ источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение $$ {S}_{1}$$.


    Решение

    Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6. Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение $$ {S}_{1}$$, будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения $$ {S}_{1}$$. Штриховкой (рис. 8.5) отмечена искомая область. Из других мест изображение $$ {S}_{1}$$ увидеть нельзя.

    задача 8.3

    Тонкая линза создаёт изображение $$ {S}_{1}$$ точечного источника $$ S$$ (рис. 8.6). $$ A{A}_{1}$$ - главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая она или рассеивающая эта линза?

    Решение

    Проведём через точки $$ {S}_{1}$$ и $$ S$$ прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая - побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка `O` пересечения оптических осей - оптический центр линзы (рис. 8.7). Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки `S` луч `(1)` параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку $$ {S}_{1}$$ (изображение точки `S`). Т. к. через $$ {S}_{1}$$ проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).

  • §1. Преломление света на тонком клине

    Прежде чем изучать тонкие линзы, давайте решим задачу о прохождении узкого пучка света через тонкий клин. Тонким клином называется стеклянная призма, у которой угол $$ \alpha $$ при вершине мал ($$ \alpha \ll 1$$) . Чтобы изготовить такой клин в заводских условиях, берут стеклянную плоскопараллельную пластинку и на шлифовальном станке часть одной из её граней стачивают под малым углом $$ \alpha $$ (рис. 1.1). Если левую грань клина сошлифовать так, что она уменьшится на толщину плоскопараллельной пластинки $$ ABCD$$, то угол отклонения узкого пучка света, падающего под малым углом `varphi_{1}` на клин, не изменится. Поэтому договорились изображать клин так, как показано на рис. 1.2. Пусть $$ n$$ - показатель преломления материала клина. Найдём угол $$ \delta $$ отклонения луча от исходного направления. Задачу будем решать в предположении, что углы $$ \alpha $$ и `varphi_{1}` малы. На рис. 1.3 эти углы для наглядности сильно увеличены.

    $$\begin{cases} \varphi_1 = n \psi_1, \\ \varphi_2 = n \psi_2. \end{cases} $$ Приближенный закон Снелла (см. §7 задания 4).

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{1}={\varphi }_{1}-{\psi }_{1}=(n-1){\psi }_{1}$$.

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{2}={\varphi }_{2}-{\psi }_{2}=(n-1){\psi }_{2}$$.

    По теореме о внешнем угле треугольника угол отклонения луча, прошедшего сквозь клин, равен $$ \delta ={\delta }_{1}+{\delta }_{2}=(n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})$$. 

    По той же теореме $$ {\alpha }_{1}={\psi }_{1}+{\psi }_{2}$$, а углы $$ \alpha $$ и $$ {\alpha }_{1}$$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. В итоге мы получим:

    $$ \delta = {\delta }_{1}+{\delta }_{2}= (n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})=(n-1){\alpha }_{1}=(n-1)\alpha $$.

    Итак, угол отклонения $$ \delta $$ пучка параллельных лучей, прошедших сквозь тонкий клин, не зависит от угла падения и остаётся постоянной величиной:

    $$ \delta =(n-1)\alpha .\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(1.1)$$

    Иногда у плоскопараллельной пластинки стачивают под малыми углами обе половины одной из граней (см. рис. 1.4). Получившееся устройство называют бипризмой.

    Если на бипризму пустить широкий пучок параллельных лучей света, то после прохождения бипризмы пучки станут сходиться. 

    задача 1.1

    На бипризму, изготовленную из стекла с показателем преломления $$ n=\mathrm{1,5}$$ и имеющую ширину $$ b=3$$см, пустили широкий пучок параллельных лучей света. Углы при вершине бипризмы одинаковы и равны $$ \alpha  =\mathrm{0,05}$$ рад. За бипризмой образовалось два сходящихся пучка параллельных лучей.

    1) Под каким углом $$ \varphi $$ будут сходиться лучи? Если за бипризмой установить экран, то на нём можно наблюдать область, освещённую обоими пучками.

    2) На каком расстоянии $$ {L}_{1}$$ от бипризмы нужно установить экран, чтобы область перекрытия пучков была максимальной?

    3) На каком максимальном расстоянии $$ {L}_{2}$$ от бипризмы пучки лучей ещё будут пересекаться?

    Решение

     1) Изобразим ход лучей за бипризмой (рис. 1.5).

    Верхняя половина бипризмы отклонит падающий пучок лучей вниз на угол

    $$ {\delta }_{1}=(n-1)\alpha =\mathrm{0,025}$$ рад,

    а нижняя – вверх на такой же по величине угол

    $$ {\delta }_{2}=(n-1)\alpha $$.

    Следовательно, пучки будут сходиться под углом

    $$ \varphi =2{\delta }_{1}=2(n-1)\alpha =\mathrm{0,05}$$ рад.

    2) Максимальная область перекрытия пучков находится там, где пересекаются лучи (1) и (2) (см. рис. 1.2).

    В силу малости угла $$ \varphi $$ искомое расстояние

    $${L}_{1}\approx \frac{b}{2\varphi }=\frac{b}{4\alpha (n-1)}=30$$ см.

    3) Из того же рисунка легко видеть, что максимальное расстояние $$ {L}_{2}=2{L}_{1}=60$$ см.


  • §2. Тонкая линза

    Слово «линза» произошло от латинского lens - чечевица.
    В оптике под линзой понимают прозрачное тело, ограниченное выпуклыми или вогнутыми поверхностями и преобразующее форму светового пучка. Одна из поверхностей линзы может быть плоской. Мы будем рассматривать линзы, находящиеся в воздухе, если иное специально не оговорено. Если линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, её называют собирающей или положительной. Если после прохождения линзы пучок параллельных лучей становится расходящимся, линзу называют рассеивающей или отрицательной. Существует огромное разнообразие типов линз. Так, для решения некоторых научных задач используют цилиндрические линзы (рис. 2.1). Но наиболее широкое распространение получили линзы, обе преломляющие поверхности которых представляют собой части сфер с разными радиусами кривизны.

    Такие линзы относительно просты в изготовлении. Собирающие линзы делятся на двояковыпуклые, плосковыпуклые, вогнуто - выпуклые. Рассеивающие - на двояковогнутые, плосковогнутые и выпукловогнутые. На рисунке 2.2 дан вид сбоку на такие линзы. Мы с вами рассмотрим основные свойства так называемых тонких линз. Говорят, что линза тонкая, если её толщина $$ d$$ много меньше диаметра $$ D$$ (рис. 2.3).

                       

    Здесь уместно отметить, что упрощённый подход, который мы будем использовать в

    нашем исследовании, с одной стороны, позволяет ясно понять основные свойства тонких линз, с другой, - не позволяет учесть некоторые эффекты, например искажения (их называют аберрациями), неизбежно возникающие при прохождении света через реальные толстые линзы.

    Для того чтобы исправить аберрации, при производстве оптических приборов часто используют составные линзы или линзы, поверхность которых имеет специальную форму, например, параболическую.

    Заметим, что хороший объектив микроскопа может содержать более десяти линз (рис. 2.4).

  • §3. Фокусные расстояния плосковыпуклой линзы

    Рассмотрим линзу, представляющую собой кусок стекла, который с одной стороны ограничен плоской поверхностью, а с другой - сферической (рис. 3.1).

    Пусть радиус сферической поверхности равен $$ R$$, а показатель преломления стекла $$ n$$. Главной оптической осью такой линзы назовём прямую $$ CX$$, перпендикулярную плоской поверхности линзы и проходящую через центр кривизны $$ C$$ выпуклой поверхности. Предположим, что слева на плоскую поверхность линзы падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси. Выберем из этого пучка произвольный луч $$A{A}^{\text{'}\text{'}}$$, проходящий на расстоянии $$ h$$ от главной оптической оси. Этот луч, преломившись на сферической поверхности, пересечёт главную оптическую ось на некотором расстоянии $$ F$$ от линзы. Если угол падения $$ {\varphi }_{1}$$ мал, то мы сможем воспользоваться приближённым законом Снелла: $$ n{\varphi }_{1}={\varphi }_{2}$$.

    Угол отклонения 

    $$ \delta ={\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=(n-1){\varphi }_{1}.$$                                                  (3.1)

    Так как углы $$ \delta $$ и $$ {\varphi }_{1}$$ малы, запишем приближённое равенство:

    $$ \delta \approx {\displaystyle \frac{h}{F}};\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\varphi }_{1}\approx {\displaystyle \frac{h}{R}}.$$

    Если полученные выражения подставить в формулу (3.1) и сократить на общий множитель $$ h$$, то мы получим: $$ {\displaystyle \frac{1}{F}}=P={\displaystyle \frac{n-1}{R}}$$, или 

    $$ F ={\displaystyle \frac{R}{n-1}}.$$                                                                     (3.2)

    Внимание! Длина отрезка $$ F$$ не зависит от произвольно выбранной нами высоты $$ h$$, следовательно, все лучи из падающего пучка пересекутся в одной и той же точке, называемой фокусом линзы. Само же расстояние $$ F$$ называют фокусным расстоянием линзы, а физическую величину $$ P$$ - оптической силой линзы. В системе СИ она измеряется в диоптриях и обозначается дптр. По определению 1 дптр - это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м.

    Задача 3.1

    Вычислите оптическую силу линзы с фокусным расстоянием $$ F=16$$ см.

    Решение

    Выразим фокусное расстояние линзы в метрах: $$ 16\text{см}=\mathrm{0,16}\text{м}$$. По определению оптическая сила $$ P=1/\left(\mathrm{0,16}\text{м}\right)=\mathrm{6,25}\text{дптр}$$.

    ОТВЕТ

    $$ P=\mathrm{6,25}$$ дптр.

    Можно показать (подумайте, как), что если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить справа на выпуклую поверхность плосковыпуклой линзы, то все они, дважды преломившись в линзе, пересекутся на главной оптической оси в точке, отстоящей от линзы на таком же расстоянии `F`. То есть у линзы два фокуса. В этой связи договорились один фокус, в котором собираются параллельные лучи света, прошедшие сквозь собирающую линзу, называть задним, а другой фокус - передним. Для рассеивающих линз задний фокус (тот, в котором пересекаются продолжения параллельных лучей, падающих на линзу) находится со стороны источника, а передний - с противоположной стороны.


  • §4. Формула тонкой собирающей линзы

    Рассмотрим двояковыпуклую собирающую линзу. Прямая $$ OX$$, проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей линзы, называется её главной оптической осью (сравните это определение с определением из §3 для плосковыпуклой линзы). Предположим, что точечный источник света $$ {S}_{1}$$ расположен на этой оси. Проведём из точки $$ {S}_{1}$$ два луча. Один - вдоль главной оптической оси, а другой - под углом $$ {\varphi }_{1}$$ к ней, в точку $$ M$$ линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии $$ h$$ (рис. 4.1). Преломившись в линзе, этот луч пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке $$ {S}_{2}$$, которая есть изображение источника $$ {S}_{1}$$.

    Предположим, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда

                             `varphi_~~h/a`,    `varphi_2~~h/b`.                                                         (4.1)

    Легко видеть, что угол отклонения $$ \delta $$ является внешним для треугольника $$ {S}_{1}M{S}_{2}$$. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_1+varphi_2=delta`.                                                                (4.2)

    Фрагмент линзы в окрестности точки `M`, через которую прошёл рассматриваемый луч, можно считать тонким клином. Ранее мы показали, что для тонкого клина угол отклонения есть величина постоянная и не зависит от угла падения. Значит, сместив источник $$ {S}_{1}$$ вдоль главной оптической оси и удалив его на бесконечность, мы добьёмся того, что после прохождения линзы луч пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет

    `delta~~h/F`.                                                                           (4.3)

    Здесь $$ F$$ - фокусное расстояние линзы. Подставим выражения (4.1) и (4.3) в формулу (4.2). После сокращения на множитель $$ h$$ получим:

    `1/a+1/b=1/F`.                                                                         (4.4)

    Мы получили формулу тонкой собирающей линзы. Не забудьте, что она получена в параксиальном приближении (для малых углов $$ {\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\delta $$). Первенство в выводе этой формулы приписывают замечательному французскому естествоиспытателю Рене Декарту.

    Обычно предметы или источники света изображают слева от линзы.

    задача 4.1 

    Найдите фокусное расстояние $$ F$$ линзы, составленной из двух собирающих линз с фокусными расстояниями $$ {F}_{1}$$ и $$ {F}_{2}$$. Линзы прижаты вплотную одна к другой, а их главные оптические оси совпадают.

    Решение

    Линзу, составленную из двух плотно прижатых друг к другу тонких линз, тоже можно считать тонкой собирающей линзой, а это значит, что и для неё справедлива формула (4.4). Поместим точечный источник света $$ {S}_{1}$$ в переднем фокусе первой линзы. Для составной линзы $$ a={F}_{1}$$. Лучи, испущенные $$ {S}_{1}$$, после прохождения первой линзы пойдут параллельно её главной оптической оси. Но рядом находится вторая линза. Пучок параллельных лучей, падающих на вторую линзу, сойдётся в её заднем фокусе (точка $$ {S}_{2}$$) на расстоянии $$ {F}_{2}$$. Для составной линзы расстояние $$ b={F}_{2}$$. Выполнив соответствующие подстановки в (4.4), получим:

    `1/F_1+1/F_2=1/F`.                                                                      (4.5)

    Это соотношение можно выразить через оптические силы линз:

    `P_1+P_2=P`.                                                                         (4.6)

    Мы получили очень важный результат - оптическая сила системы линз, плотно прижатых друг к другу, равна сумме их оптических сил.


  • §5. Формула тонкой рассеивающей линзы

    Рассмотрим двояковогнутую рассеивающую линзу. `OX` - её главная оптическая ось. Предположим, что точечный источник света $$ {S}_{1}$$ расположен на этой оси. Как и в предыдущем параграфе, проведём из точки $$ {S}_{1}$$ два луча. Один - вдоль главной оптической оси, а другой - под углом к ней в точку $$ M$$ линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии $$ h$$ (рис. 5.1). Преломившись в линзе, этот луч будет ещё сильнее удаляться от главной оптической оси. Если его продолжить обратно, за линзу, то он пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке $$ {S}_{2}$$, называемой изображением источника $$ {S}_{1}$$. Поскольку изображение получено в результате мысленного, воображаемого пересечения лучей, то и называют его мнимым.

    Легко видеть, что угол $$ {\varphi }_{2}$$ является внешним для треугольника $$ {S}_{1}M{S}_{2}$$. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_1+delta=varphi_2`.                                                                           (5.1)

    Фрагмент линзы, в окрестности точки $$ М$$ через которую прошёл рассматриваемый луч, можно рассматривать как тонкий клин. Смещая источник $$ {S}_{1}$$ вдоль главной оптической оси и, удаляя его на бесконечность, мы добьёмся того, что луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет равен 

    `delta~~h/F`,                                                                              (5.2)

    где `F` - фокусное расстояние линзы. Мы по-прежнему считаем, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда 

    `varphi_1~~h/a`,  `varphi_2~~h/b`.                                                                      (5.3)

    Подставим выражения (5.2) и (5.3) для углов в формулу (5.1). После сокращения на общий множитель $$ h$$ получим:

    `1/a+1/F=1/b`.                                                                          (5.4)

    Обычно выражение (5.4) записывают в несколько ином виде:

    `1/a-1/b=-1/F`.                                                                        (5.5)

    Мы получили формулу так называемой тонкой рассеивающей линзы. В качестве расстояний `a`, `b`, `F` берутся их арифметические значения. 

  • §6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

    На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих - к центру отрезка.

    Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1).

    Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) $$ AB$$. Из точки $$ B$$ пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо параллельно главной оптической оси. Существует точка $$ {B}_{1}$$ в которой оба луча пересекутся. $$ {B}_{1}$$ есть изображение точки $$ B$$. Любой другой луч, вышедший из $$ B$$ и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точку $$ {B}_{1}$$. Аналогичным образом построим изображение точки $$ A$$. Итак, мы построили изображение предмета $$ AB$$ в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:

    1) изображение стрелки действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);

    2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелка $$ AB$$, так и её изображение $$ {A}_{1}{B}_{1}$$  перпендикулярны главной оптической оси.

    Отметим два достаточно общих свойства тонкой линзы:

    свойства тонкой линзы
    • - прямую линию линза отображает в прямую;

    если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси.

    Вообще же, углы у протяжённых предметов, расположенных вдоль главной оптической оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат $$ ABCD$$ линза «превратила» в трапецию $$ {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$$.

    Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч - тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два луча, приходит в точку $$ {B}_{1}$$. Иногда такой луч, проходящий через центр линзы, за его «несгибаемость» называют побочной оптической осью.

    Теперь построим изображение предмета $$ AB$$ в рассеивающей линзе. Для этого пустим луч из точки $$ B$$ параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он пойдёт вверх так, как будто был испущен из фокуса и шёл не преломляясь (рис. 6.3).

    Воображаемую часть луча от фокуса до линзы обозначим пунктирной линией. Другой луч пустим через оптический центр `O` линзы. Изображение $$ {B}_{1}$$ точки $$ B$$ будет лежать на пересечении этого луча с воображаемой (пунктирной линией). Изображение точки $$ A$$ лежит на пересечении вертикальной линии, проходящей через $$ {B}_{1}$$, с главной оптической осью.


  • §7. Поперечное увеличение

    Линзы, зеркала или более сложные оптические инструменты обладают некоторыми общими свойствами. При рассмотрении этих свойств удобно называть рассматриваемые инструменты оптическими системами (ОС). Пусть стрелка `AB` расположена перед (ОС) перпендикулярно её главной оптической оси. Пусть, далее, $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ – изображение этой стрелки (рис. 7.1).

    Определение

    Поперечным увеличением оптической системы называется отношение длины изображения предмета $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ к длине $$ AB$$ самого предмета. Здесь важно запомнить, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси системы. Будем обозначать такое увеличение буквой $$ \Gamma $$.

    Выведем формулы для поперечного увеличения тонкой линзы. Пусть расстояние от стрелки $$ AB$$ до линзы равно $$ a$$, а расстояние от линзы до её изображения $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ равно $$ b$$ (рис. 7.2). Из подобия треугольников `ABO` и `A^'B^'O^'` следует, что:

    `Gamma=(A^'B^')/(AB)=b/a`.                                                            (7.1)

    Для $$ \Gamma $$ можно получить и другие выражения. Из подобия треугольников $$ ABC$$ и $$ ODC$$ получим:

    `Gamma=(OD)/(AB)=(OC)/(AC)=F/(a-F)`,                                                  (7.2)

    или

    `Gamma=(A^'B^')/(OK)=(b-F)/F`.                                                      (7.3)

    Для собирающей линзы в таблице 1 приведены качественные характеристики изображения плоского предмета, зависящие от отношения расстояний $$ a$$ и $$ F$$.

    Таблица 1.

    Расстояние от линзы до предмета

    Изображение прямое или перевёрнутое

    Изображение действительное или мнимое

    Изображение увеличенное или уменьшенное

    `a<F`

    прямое

    мнимое

    увеличенное

    `F<a<2F`

    перевёрнутое

    действительное

    увеличенное

    `a>2F`

    перевёрнутое

    действительное

    уменьшенное


    С помощью построений убедитесь в правильности данной таблицы.


  • §8. Примеры решения задач


    Задача 8.1

    На рис. 8.1 показаны положения фокусов и ход луча после прохождения тонкой линзы. Постройте ход этого луча до линзы.

    Решение

    Существует несколько способов построения хода луча до линзы. Некоторые приведены на рис. 8.2 и рис. 8.3.

    На рис. 8.2 через оптический центр `O` линзы проведём луч, параллельный лучу, изображённому в условии. Пусть он пересекает переднюю фокальную плоскость в точке `S`. Искомый луч должен идти через точки `S` и `A`.

    Другой способ построения приведён на рис. 8.3. Продолжим луч, вышедший из линзы, до точки `S_1` пересечения с задней фокальной плоскостью. Если теперь провести луч через точки `S_1` и оптический центр `O` линзы, то искомый луч должен идти из точки `A` параллельно лучу `OS_1`.

    задача 8.2

    Перед рассеивающей линзой $$ {L}_{1}$$ с известным диаметром $$ D$$ находится точечный источник $$ S$$, не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.4). Постройте изображение $$ {S}_{1}$$ источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение $$ {S}_{1}$$.


    Решение

    Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6. Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение $$ {S}_{1}$$, будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения $$ {S}_{1}$$. Штриховкой (рис. 8.5) отмечена искомая область. Из других мест изображение $$ {S}_{1}$$ увидеть нельзя.

    задача 8.3

    Тонкая линза создаёт изображение $$ {S}_{1}$$ точечного источника $$ S$$ (рис. 8.6). $$ A{A}_{1}$$ - главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая она или рассеивающая эта линза?

    Решение

    Проведём через точки $$ {S}_{1}$$ и $$ S$$ прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая - побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка `O` пересечения оптических осей - оптический центр линзы (рис. 8.7). Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки `S` луч `(1)` параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку $$ {S}_{1}$$ (изображение точки `S`). Т. к. через $$ {S}_{1}$$ проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).

  • §6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

    На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих - к центру отрезка.

    Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1).

    Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) $$ AB$$. Из точки $$ B$$ пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо параллельно главной оптической оси. Существует точка $$ {B}_{1}$$ в которой оба луча пересекутся. $$ {B}_{1}$$ есть изображение точки $$ B$$. Любой другой луч, вышедший из $$ B$$ и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точку $$ {B}_{1}$$. Аналогичным образом построим изображение точки $$ A$$. Итак, мы построили изображение предмета $$ AB$$ в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:

    1) изображение стрелки действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);

    2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелка $$ AB$$, так и её изображение $$ {A}_{1}{B}_{1}$$  перпендикулярны главной оптической оси.

    Отметим два достаточно общих свойства тонкой линзы:

    свойства тонкой линзы
    • - прямую линию линза отображает в прямую;

    если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси.

    Вообще же, углы у протяжённых предметов, расположенных вдоль главной оптической оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат $$ ABCD$$ линза «превратила» в трапецию $$ {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$$.

    Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч - тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два луча, приходит в точку $$ {B}_{1}$$. Иногда такой луч, проходящий через центр линзы, за его «несгибаемость» называют побочной оптической осью.

    Теперь построим изображение предмета $$ AB$$ в рассеивающей линзе. Для этого пустим луч из точки $$ B$$ параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он пойдёт вверх так, как будто был испущен из фокуса и шёл не преломляясь (рис. 6.3).

    Воображаемую часть луча от фокуса до линзы обозначим пунктирной линией. Другой луч пустим через оптический центр `O` линзы. Изображение $$ {B}_{1}$$ точки $$ B$$ будет лежать на пересечении этого луча с воображаемой (пунктирной линией). Изображение точки $$ A$$ лежит на пересечении вертикальной линии, проходящей через $$ {B}_{1}$$, с главной оптической осью.


  • §7. Поперечное увеличение

    Линзы, зеркала или более сложные оптические инструменты обладают некоторыми общими свойствами. При рассмотрении этих свойств удобно называть рассматриваемые инструменты оптическими системами (ОС). Пусть стрелка `AB` расположена перед (ОС) перпендикулярно её главной оптической оси. Пусть, далее, $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ – изображение этой стрелки (рис. 7.1).

    Определение

    Поперечным увеличением оптической системы называется отношение длины изображения предмета $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ к длине $$ AB$$ самого предмета. Здесь важно запомнить, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси системы. Будем обозначать такое увеличение буквой $$ \Gamma $$.

    Выведем формулы для поперечного увеличения тонкой линзы. Пусть расстояние от стрелки $$ AB$$ до линзы равно $$ a$$, а расстояние от линзы до её изображения $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ равно $$ b$$ (рис. 7.2). Из подобия треугольников `ABO` и `A^'B^'O^'` следует, что:

    `Gamma=(A^'B^')/(AB)=b/a`.                                                            (7.1)

    Для $$ \Gamma $$ можно получить и другие выражения. Из подобия треугольников $$ ABC$$ и $$ ODC$$ получим:

    `Gamma=(OD)/(AB)=(OC)/(AC)=F/(a-F)`,                                                  (7.2)

    или

    `Gamma=(A^'B^')/(OK)=(b-F)/F`.                                                      (7.3)

    Для собирающей линзы в таблице 1 приведены качественные характеристики изображения плоского предмета, зависящие от отношения расстояний $$ a$$ и $$ F$$.

    Таблица 1.

    Расстояние от линзы до предмета

    Изображение прямое или перевёрнутое

    Изображение действительное или мнимое

    Изображение увеличенное или уменьшенное

    `a<F`

    прямое

    мнимое

    увеличенное

    `F<a<2F`

    перевёрнутое

    действительное

    увеличенное

    `a>2F`

    перевёрнутое

    действительное

    уменьшенное


    С помощью построений убедитесь в правильности данной таблицы.


  • §1. Преломление света на тонком клине

    Прежде чем изучать тонкие линзы, давайте решим задачу о прохождении узкого пучка света через тонкий клин. Тонким клином называется стеклянная призма, у которой угол $$ \alpha $$ при вершине мал ($$ \alpha \ll 1$$) . Чтобы изготовить такой клин в заводских условиях, берут стеклянную плоскопараллельную пластинку и на шлифовальном станке часть одной из её граней стачивают под малым углом $$ \alpha $$ (рис. 1.1). Если левую грань клина сошлифовать так, что она уменьшится на толщину плоскопараллельной пластинки $$ ABCD$$, то угол отклонения узкого пучка света, падающего под малым углом `varphi_{1}` на клин, не изменится. Поэтому договорились изображать клин так, как показано на рис. 1.2. Пусть $$ n$$ - показатель преломления материала клина. Найдём угол $$ \delta $$ отклонения луча от исходного направления. Задачу будем решать в предположении, что углы $$ \alpha $$ и `varphi_{1}` малы. На рис. 1.3 эти углы для наглядности сильно увеличены.

    $$\begin{cases} \varphi_1 = n \psi_1, \\ \varphi_2 = n \psi_2. \end{cases} $$ Приближенный закон Снелла (см. §7 задания 4).

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{1}={\varphi }_{1}-{\psi }_{1}=(n-1){\psi }_{1}$$.

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{2}={\varphi }_{2}-{\psi }_{2}=(n-1){\psi }_{2}$$.

    По теореме о внешнем угле треугольника угол отклонения луча, прошедшего сквозь клин, равен $$ \delta ={\delta }_{1}+{\delta }_{2}=(n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})$$. 

    По той же теореме $$ {\alpha }_{1}={\psi }_{1}+{\psi }_{2}$$, а углы $$ \alpha $$ и $$ {\alpha }_{1}$$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. В итоге мы получим:

    $$ \delta = {\delta }_{1}+{\delta }_{2}= (n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})=(n-1){\alpha }_{1}=(n-1)\alpha $$.

    Итак, угол отклонения $$ \delta $$ пучка параллельных лучей, прошедших сквозь тонкий клин, не зависит от угла падения и остаётся постоянной величиной:

    $$ \delta =(n-1)\alpha .\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(1.1)$$

    Иногда у плоскопараллельной пластинки стачивают под малыми углами обе половины одной из граней (см. рис. 1.4). Получившееся устройство называют бипризмой.

    Если на бипризму пустить широкий пучок параллельных лучей света, то после прохождения бипризмы пучки станут сходиться. 

    задача 1.1

    На бипризму, изготовленную из стекла с показателем преломления $$ n=\mathrm{1,5}$$ и имеющую ширину $$ b=3$$см, пустили широкий пучок параллельных лучей света. Углы при вершине бипризмы одинаковы и равны $$ \alpha  =\mathrm{0,05}$$ рад. За бипризмой образовалось два сходящихся пучка параллельных лучей.

    1) Под каким углом $$ \varphi $$ будут сходиться лучи? Если за бипризмой установить экран, то на нём можно наблюдать область, освещённую обоими пучками.

    2) На каком расстоянии $$ {L}_{1}$$ от бипризмы нужно установить экран, чтобы область перекрытия пучков была максимальной?

    3) На каком максимальном расстоянии $$ {L}_{2}$$ от бипризмы пучки лучей ещё будут пересекаться?

    Решение

     1) Изобразим ход лучей за бипризмой (рис. 1.5).

    Верхняя половина бипризмы отклонит падающий пучок лучей вниз на угол

    $$ {\delta }_{1}=(n-1)\alpha =\mathrm{0,025}$$ рад,

    а нижняя – вверх на такой же по величине угол

    $$ {\delta }_{2}=(n-1)\alpha $$.

    Следовательно, пучки будут сходиться под углом

    $$ \varphi =2{\delta }_{1}=2(n-1)\alpha =\mathrm{0,05}$$ рад.

    2) Максимальная область перекрытия пучков находится там, где пересекаются лучи (1) и (2) (см. рис. 1.2).

    В силу малости угла $$ \varphi $$ искомое расстояние

    $${L}_{1}\approx \frac{b}{2\varphi }=\frac{b}{4\alpha (n-1)}=30$$ см.

    3) Из того же рисунка легко видеть, что максимальное расстояние $$ {L}_{2}=2{L}_{1}=60$$ см.


  • §2. Тонкая линза

    Слово «линза» произошло от латинского lens - чечевица.
    В оптике под линзой понимают прозрачное тело, ограниченное выпуклыми или вогнутыми поверхностями и преобразующее форму светового пучка. Одна из поверхностей линзы может быть плоской. Мы будем рассматривать линзы, находящиеся в воздухе, если иное специально не оговорено. Если линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, её называют собирающей или положительной. Если после прохождения линзы пучок параллельных лучей становится расходящимся, линзу называют рассеивающей или отрицательной. Существует огромное разнообразие типов линз. Так, для решения некоторых научных задач используют цилиндрические линзы (рис. 2.1). Но наиболее широкое распространение получили линзы, обе преломляющие поверхности которых представляют собой части сфер с разными радиусами кривизны.

    Такие линзы относительно просты в изготовлении. Собирающие линзы делятся на двояковыпуклые, плосковыпуклые, вогнуто - выпуклые. Рассеивающие - на двояковогнутые, плосковогнутые и выпукловогнутые. На рисунке 2.2 дан вид сбоку на такие линзы. Мы с вами рассмотрим основные свойства так называемых тонких линз. Говорят, что линза тонкая, если её толщина $$ d$$ много меньше диаметра $$ D$$ (рис. 2.3).

                       

    Здесь уместно отметить, что упрощённый подход, который мы будем использовать в

    нашем исследовании, с одной стороны, позволяет ясно понять основные свойства тонких линз, с другой, - не позволяет учесть некоторые эффекты, например искажения (их называют аберрациями), неизбежно возникающие при прохождении света через реальные толстые линзы.

    Для того чтобы исправить аберрации, при производстве оптических приборов часто используют составные линзы или линзы, поверхность которых имеет специальную форму, например, параболическую.

    Заметим, что хороший объектив микроскопа может содержать более десяти линз (рис. 2.4).

  • §3. Фокусные расстояния плосковыпуклой линзы

    Рассмотрим линзу, представляющую собой кусок стекла, который с одной стороны ограничен плоской поверхностью, а с другой - сферической (рис. 3.1).

    Пусть радиус сферической поверхности равен $$ R$$, а показатель преломления стекла $$ n$$. Главной оптической осью такой линзы назовём прямую $$ CX$$, перпендикулярную плоской поверхности линзы и проходящую через центр кривизны $$ C$$ выпуклой поверхности. Предположим, что слева на плоскую поверхность линзы падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси. Выберем из этого пучка произвольный луч $$A{A}^{\text{'}\text{'}}$$, проходящий на расстоянии $$ h$$ от главной оптической оси. Этот луч, преломившись на сферической поверхности, пересечёт главную оптическую ось на некотором расстоянии $$ F$$ от линзы. Если угол падения $$ {\varphi }_{1}$$ мал, то мы сможем воспользоваться приближённым законом Снелла: $$ n{\varphi }_{1}={\varphi }_{2}$$.

    Угол отклонения 

    $$ \delta ={\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=(n-1){\varphi }_{1}.$$                                                  (3.1)

    Так как углы $$ \delta $$ и $$ {\varphi }_{1}$$ малы, запишем приближённое равенство:

    $$ \delta \approx {\displaystyle \frac{h}{F}};\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\varphi }_{1}\approx {\displaystyle \frac{h}{R}}.$$

    Если полученные выражения подставить в формулу (3.1) и сократить на общий множитель $$ h$$, то мы получим: $$ {\displaystyle \frac{1}{F}}=P={\displaystyle \frac{n-1}{R}}$$, или 

    $$ F ={\displaystyle \frac{R}{n-1}}.$$                                                                     (3.2)

    Внимание! Длина отрезка $$ F$$ не зависит от произвольно выбранной нами высоты $$ h$$, следовательно, все лучи из падающего пучка пересекутся в одной и той же точке, называемой фокусом линзы. Само же расстояние $$ F$$ называют фокусным расстоянием линзы, а физическую величину $$ P$$ - оптической силой линзы. В системе СИ она измеряется в диоптриях и обозначается дптр. По определению 1 дптр - это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м.

    Задача 3.1

    Вычислите оптическую силу линзы с фокусным расстоянием $$ F=16$$ см.

    Решение

    Выразим фокусное расстояние линзы в метрах: $$ 16\text{см}=\mathrm{0,16}\text{м}$$. По определению оптическая сила $$ P=1/\left(\mathrm{0,16}\text{м}\right)=\mathrm{6,25}\text{дптр}$$.

    ОТВЕТ

    $$ P=\mathrm{6,25}$$ дптр.

    Можно показать (подумайте, как), что если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить справа на выпуклую поверхность плосковыпуклой линзы, то все они, дважды преломившись в линзе, пересекутся на главной оптической оси в точке, отстоящей от линзы на таком же расстоянии `F`. То есть у линзы два фокуса. В этой связи договорились один фокус, в котором собираются параллельные лучи света, прошедшие сквозь собирающую линзу, называть задним, а другой фокус - передним. Для рассеивающих линз задний фокус (тот, в котором пересекаются продолжения параллельных лучей, падающих на линзу) находится со стороны источника, а передний - с противоположной стороны.


  • §4. Формула тонкой собирающей линзы

    Рассмотрим двояковыпуклую собирающую линзу. Прямая $$ OX$$, проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей линзы, называется её главной оптической осью (сравните это определение с определением из §3 для плосковыпуклой линзы). Предположим, что точечный источник света $$ {S}_{1}$$ расположен на этой оси. Проведём из точки $$ {S}_{1}$$ два луча. Один - вдоль главной оптической оси, а другой - под углом $$ {\varphi }_{1}$$ к ней, в точку $$ M$$ линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии $$ h$$ (рис. 4.1). Преломившись в линзе, этот луч пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке $$ {S}_{2}$$, которая есть изображение источника $$ {S}_{1}$$.

    Предположим, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда

                             `varphi_~~h/a`,    `varphi_2~~h/b`.                                                         (4.1)

    Легко видеть, что угол отклонения $$ \delta $$ является внешним для треугольника $$ {S}_{1}M{S}_{2}$$. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_1+varphi_2=delta`.                                                                (4.2)

    Фрагмент линзы в окрестности точки `M`, через которую прошёл рассматриваемый луч, можно считать тонким клином. Ранее мы показали, что для тонкого клина угол отклонения есть величина постоянная и не зависит от угла падения. Значит, сместив источник $$ {S}_{1}$$ вдоль главной оптической оси и удалив его на бесконечность, мы добьёмся того, что после прохождения линзы луч пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет

    `delta~~h/F`.                                                                           (4.3)

    Здесь $$ F$$ - фокусное расстояние линзы. Подставим выражения (4.1) и (4.3) в формулу (4.2). После сокращения на множитель $$ h$$ получим:

    `1/a+1/b=1/F`.                                                                         (4.4)

    Мы получили формулу тонкой собирающей линзы. Не забудьте, что она получена в параксиальном приближении (для малых углов $$ {\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\delta $$). Первенство в выводе этой формулы приписывают замечательному французскому естествоиспытателю Рене Декарту.

    Обычно предметы или источники света изображают слева от линзы.

    задача 4.1 

    Найдите фокусное расстояние $$ F$$ линзы, составленной из двух собирающих линз с фокусными расстояниями $$ {F}_{1}$$ и $$ {F}_{2}$$. Линзы прижаты вплотную одна к другой, а их главные оптические оси совпадают.

    Решение

    Линзу, составленную из двух плотно прижатых друг к другу тонких линз, тоже можно считать тонкой собирающей линзой, а это значит, что и для неё справедлива формула (4.4). Поместим точечный источник света $$ {S}_{1}$$ в переднем фокусе первой линзы. Для составной линзы $$ a={F}_{1}$$. Лучи, испущенные $$ {S}_{1}$$, после прохождения первой линзы пойдут параллельно её главной оптической оси. Но рядом находится вторая линза. Пучок параллельных лучей, падающих на вторую линзу, сойдётся в её заднем фокусе (точка $$ {S}_{2}$$) на расстоянии $$ {F}_{2}$$. Для составной линзы расстояние $$ b={F}_{2}$$. Выполнив соответствующие подстановки в (4.4), получим:

    `1/F_1+1/F_2=1/F`.                                                                      (4.5)

    Это соотношение можно выразить через оптические силы линз:

    `P_1+P_2=P`.                                                                         (4.6)

    Мы получили очень важный результат - оптическая сила системы линз, плотно прижатых друг к другу, равна сумме их оптических сил.


  • §5. Формула тонкой рассеивающей линзы

    Рассмотрим двояковогнутую рассеивающую линзу. `OX` - её главная оптическая ось. Предположим, что точечный источник света $$ {S}_{1}$$ расположен на этой оси. Как и в предыдущем параграфе, проведём из точки $$ {S}_{1}$$ два луча. Один - вдоль главной оптической оси, а другой - под углом к ней в точку $$ M$$ линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии $$ h$$ (рис. 5.1). Преломившись в линзе, этот луч будет ещё сильнее удаляться от главной оптической оси. Если его продолжить обратно, за линзу, то он пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке $$ {S}_{2}$$, называемой изображением источника $$ {S}_{1}$$. Поскольку изображение получено в результате мысленного, воображаемого пересечения лучей, то и называют его мнимым.

    Легко видеть, что угол $$ {\varphi }_{2}$$ является внешним для треугольника $$ {S}_{1}M{S}_{2}$$. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_1+delta=varphi_2`.                                                                           (5.1)

    Фрагмент линзы, в окрестности точки $$ М$$ через которую прошёл рассматриваемый луч, можно рассматривать как тонкий клин. Смещая источник $$ {S}_{1}$$ вдоль главной оптической оси и, удаляя его на бесконечность, мы добьёмся того, что луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет равен 

    `delta~~h/F`,                                                                              (5.2)

    где `F` - фокусное расстояние линзы. Мы по-прежнему считаем, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда 

    `varphi_1~~h/a`,  `varphi_2~~h/b`.                                                                      (5.3)

    Подставим выражения (5.2) и (5.3) для углов в формулу (5.1). После сокращения на общий множитель $$ h$$ получим:

    `1/a+1/F=1/b`.                                                                          (5.4)

    Обычно выражение (5.4) записывают в несколько ином виде:

    `1/a-1/b=-1/F`.                                                                        (5.5)

    Мы получили формулу так называемой тонкой рассеивающей линзы. В качестве расстояний `a`, `b`, `F` берутся их арифметические значения. 

  • ЛИТЕРАТУРА
    1. Козел С.М. Физика. 10 – 11 классы: пособие для учащихся и абитуриентов. В 2 ч. Ч.1. / С.М. Козел – М.: Мнемозина, 2010. – 400 с.
    2. Павленко Ю.Г. Начала физики: Учебник / Ю.Г. Павленко. – 2-е изд. – М.: Изд-во «Экзамен», 2005. – 864 с.
    3. Черноуцан А.И. ФИЗИКА для поступающих в вузы. Краткий курс физики / Под ред. А.А. Леоновича. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 224 с.
  • § 1. Работа силы
    1.1. Работа постоянной силы

    Работой постоянной силы `vecF`, составляющей угол `alpha` с направлением прямолинейного движения, называется скалярная величина, равная произведению модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и на косинус угла между векторами (см. рис. 1):


    `A_F=|vecF|*|Deltavecr|cosalpha`,  (1)

    или в более простых обозначениях (`F=|vecF|`,     `s=|Deltavecr|`)

    `A_F=F*s*cosalpha=F_s*s`,  (1.1*)



    где `F_s=F*cosalpha` - проекция вектора `vecF` на `Deltavecr`. В зависимости от величины угла `alpha` работа силы может быть положительной (если `0<=alpha<pi//2`), отрицательной (если `pi//2<alpha<=pi`)  и равной нулю (если `alpha=pi//2`).

    Заметим, что так определённая работа есть скалярное произведение векторов силы `vecF` и перемещения `Deltavecr`:

    `A_f=vecF*Deltavecr`. (1.1')

    В системе СИ работа измеряется в джоулях: `1` Дж`=1` H`*1` м. По основному свойству скалярного произведения работа может быть представлена в виде суммы произведений проекций на оси координат  векторов силы и перемещения

    `A_f=F_xDeltax+F_yDeltay+F_zDeltaz`. (1.1")

    Реально к телу почти всегда приложена не одна, а несколько сил (см. рис. 1). Формула (1.1) даёт работу одной из них (конкретно силы `vecF`).  Часто приходится вычислять работу каждой силы и работу всех сил (эта величина нам понадобится). По определению работой всех сил, приложенных к телу, называется алгебраическая сумма работ всех этих сил (с учётом знаков каждой):

    `A_"всех сил"=sum_k A_(F_k)`, (1.2)

    т. е. работа определена как аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать).

    Попытка определить работу всех сил как скалярное произведение равнодействующей силы на перемещение в некоторых случаях связано с затруднением: например, невозможно определить равнодействующую пары сил (двух сил равных по величине, но противоположно направленных, приложенных к разным точкам тела).

    1.2. Если сила не постоянна

    Если сила не постоянна или/и движение не является прямолинейным, то

    обобщение понятия работы силы таково (по определению!). Ограничимся рассмотрением материальной  точки  (не протяжённого тела).  Сначала всю траекторию движения  (см. рис. 2)  мысленно разбивают на очень большое число очень маленьких перемещений  `Deltavecr_j` `(j=1,2,3,...,n)`, так что на протяжении отдельного участка сила `vecF`  может считаться постоянной величиной `vecF_j`. Далее на каждом участке  (элементе траектории) `Deltavecr_j` вычисляется элементарная работа (как от постоянной силы) `DeltaA_j=vecF_j*Deltavecr_j=F_(sj)Deltas_j`, а затем суммируются вклады от каждого участка. По определению работой силы при перемещении тела из точки `1` в точку `2` называется скалярная величина, равная алгебраической сумме (с учётом знаков) работ на всех участках движения

    `A_(12)=sum_(j=1)^n vecF_j*Deltavecr_j`. (1.3) 

    Работа аддитивна и в этом смысле.

    1.3. Геометрический смысл работы

    Пусть сила приложена к материальной точке и постоянна, а её проекция на ось

    `Ox` положительна. Пусть, кроме того, точка движется в положительном направлении оси `Ox`. Тогда работа силы при перемещении материальной точки из точки пространства с координатой `x_1` в точку с координатой `x_2` равна 

    `A_(12)=F_x*Deltax=F(x_2-x_1)=S`

    площади заштрихованного прямоугольника на графике зависимости силы от координаты (см. рис. 3).

    Этот наглядный образ во многих случаях облегчает вычисление работы непостоянной силы. Общий принцип такой. Пусть график зависимости проекции силы на ось `Ox` - это кривая на рис. 4 и пусть материальная точка, к которой приложена эта сила, перемещается в положительном направлении оси `Ox` из точки пространства с координатой `x_1`  в точку с координатой `x_2`/ Утверждается, что и в этом случае работа силы равна площади «под кривой» (площади соответствующей  криволинейной  трапеции;  см. рис. 4). 

    Мысленно разбиваем криволинейную трапецию на очень  большое число  очень узких вертикальных  полосок ширины `Deltax_j(j=1,2,3,...,n)` почти прямоугольной формы. Считая, что на протяжении одной полоски сила практически не изменяется, вычисляем сначала элементарную работу  `DeltaA_j=F_j*Deltax_j`. Она совпадает с площадью соответствующей полоски `DeltaA_j=DeltaS_j`. Чтобы найти  работу  силы  на  всём  интервале от `x_1` до `x_2`, нужно просуммировать вклады по всем `Deltax_j` (работа – величина аддитивная!):

    `A_(12)=sum_(j=1)^n F_j*Deltax_j=sum_(j=1)^n DeltaS_j=S`,

    что совпадает с площадью криволинейной трапеции (площадь – тоже величина аддитивная!).

          

    N.B. Наглядный способ нахождения работы силы (как площади) требует осторожности. На рисунках 5 – 6 показаны случаи, когда работа силы (которая может иметь любой знак) равна соответствующей площади с точностью до знака (площадь фигуры положительна). Нужно ещё иметь в виду, что на некоторых участках работа силы может быть положительной, а на других отрицательной. Это важно при вычислении суммы вкладов от каждого участка.

    1.4. Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли

    Вблизи поверхности Земли на любое тело действует сила тяжести `mvecg`, где `m` - масса тела, `g` - ускорение свободного падения. Вычислим работу силу тяжести для трёх случаев движения материальной точки из точки пространства `1` в  точку `2`:  а) вертикально верх;  б) вертикально вниз;  в) сложным обра- зом – сначала  вертикально  вверх до точки `3`,  а затем вертикально вниз до точки `2` (рис. 7).

    В случае:

    a) `A_(12)=-mg*s=-mg(y_2-y_1)=-mg*Deltah`. 

    При этом учтено, что вектор силы тяжести `mvecg` и вектор перемещения направлены в противоположные стороны, угол между ними равен `180^@`, косинус которого равен минус единице (отсюда – знак минус в формуле). `Deltah=h_2-h_1>0`, поэтому работа `A_(12)=-mgDeltah`  силы тяжести при подъёме тела отрицательна;

    б)  `A_(12)=+mg*s=+mg(y_1-y_2)=-mg(y_2-y_1)=-mg*Deltah`.

    При этом учтено, что сила `mvecg` и вектор перемещения направлены в одну сторону, угол между ними равен нулю, косинус которого равен плюс единице. Последнюю формулу мы для единообразия записали в виде `A_(12)=-mgDeltah`, но в ней `Deltah=h_2-h_1<0`, поэтому работа силы тяжести при опускании тела положительна.

    в) `A_(1232)=A_(12)+A_(23)+A_(32)=A_(12)`

    получаем такое же значение работы, как при простом вертикальном подъёме. Учтено, что сумма работ `A_(23)+A_(32)=0`  (см. N.B. выше!), поскольку работа

    `A_(23)=-mg*s_(23)=-mg*(y_3-y_2)`,       

    а    `A_(32)=+mg*s_(32)=+mg*(y_3-y_2)`.

    Отсюда легко понять: как бы сложно ни двигалась материальная точка, если начальная и конечная точки движения одни и те же, то и работа силы тяжести будет одной и той же и будет даваться формулой

    `A_(12)=-mg(h_2-h_1)`.  (1.4)

    Это утверждение можно существенно усилить: не только для движения по вертикали, но и для движения по произвольной траектории работа силы тяжести при перемещении материальной точки из точки пространства `1` в точку `2` (см. рис. 8) даётся формулой (1.4). Для доказательства воспользуемся формулами (1.3) и `(1.1"):

    `A_12=sum_(j=1)^nmvecg*Deltavecr_j=sum_(j=1)^n(mg_xDeltax_j+mg_yDeltay_j+mg_zDeltaz_j)=`

    `=sum_(j=1)^n(-mg)Deltay_j`.

    При этом учтено, что проекции ускорения свободного падения на оси равны `g_x=g_z=0`, `g_y=-g`.  Далее: `A_(12)=-mgsum_(j=1)^n Deltay_j=-mg(y_2-y_1)`.


    1.5. Работа силы упругости

    Рассмотрим  небольшой  шарик   на   пружинке,  который  может  двигаться

    вдоль оси `Ox`. В процессе движения на него действует сила упругости со стороны растягивающейся или сжимающейся пружины `F_"упр"(x)=-k*x`, где `k` - коэффициент жёсткости пружины, `x` - растяжение пружины;  `x=0` - координата шарика для недеформированной пружины (считаем шарик материальной точкой). Вычислим работу силы упругости (именно её, а, например, не внешней силы, подталкивающей или тормозящей шарик) при изменении растяжения от `x_1` до `x_2`. В данном случае сила не постоянна, поэтому нет простой формулы `A_(12)=F_x*Deltax=F(x_2-x_1)`. Наглядный геометрический образ работы позволяет, однако, легко провести её вычисление. Работа силы упругости равна (с точностью до знака!) площади заштрихованной на рис. 9 трапеции:

    `A_(12)=-S=-(a+b)/2 h=(|-kx_1|+|-kx_2|)/2 (x_2-x_1)=`

    `=-(k(x_1+x_2))/2 (x_2-x_1)`,

    или окончательно  

    `A_(12)=-((kx_2^2)/2 -(kx_1^2)/2)`. (1.5)

                                                                                                          

    Как и в случае силы тяжести (см. рассуждения п. 1.4), работа силы упругости зависит только от начального и конечного растяжения пружины, но не зависит от того, какие промежуточные состояния прошёл шарик. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными.

    Разберите самостоятельно случай, когда шарик проскакивает точку с координатой `x_2`, доходит до точки с координатой `x_3>x_2`, после чего возвращается в точку с координатой  `x_2`.  Докажите, что, как и в случае  силы тяжести, работа сил  упругости пружины `A_(1232)=A_(12)` и здесь будет даваться формулой (1.5).

    Не все силы консервативны. Сила трения не консервативна: работа силы трения, действующей на санки, существенно зависит от пути, по какому перемещались санки. Далеко не одно и то же – перевезти груз на санках от одного подъезда до другого или сделать то же самое, но ещё протащить его несколько раз вокруг дома, – работа силы трения в последнем случае будет существенно другой.




  • Примеры к §1


    Пример 1.1

    Шкаф массой `100` кг передвинули по горизонтальному полу на `2` м. Чему равна работа силы тяжести при таком перемещении?

    Решение

    Работа силы тяжести в данном случае равна нулю, т. к. угол между направлением действия силы тяжести и перемещением (горизонтальным направлением) равен `90^@`, косинус которого равен нулю (см. формулу (1.1) и рис. 1).

    Пример 1.2 

    Лифт массой `1` т начинает подниматься с постоянным ускорением `0,2` `"м"//"с"^2`. 

    1) Чему равна работа силы натяжения троса, с помощью которого поднимают лифт, за первые `4` с движения?

    2) Чему равна работа силы натяжения троса за `4`-ю секунду движения?

    Решение

    В нашем примере сила натяжения троса и перемещение лифта направлены в одном направлении (вверх); угол между этими векторами равен нулю, косинус которого равен единице. Работу силы `F` натяжения троса поэтому ищем по простой формуле («без косинуса») `A=F*s=F*(at^2)/2`.

    Силу найдём из 2-го закона Ньютона `mveca=vecF+mvecg`, или в проекциях на вертикальное направление:  `ma=F-mg`, откуда `F=m(g+a)`.

    Работа за первые `4` секунды движения равна

    $$\begin{array}{l}A(t=4)=m(g+a){\left.\dfrac{at^2}2\right|}_{t=4}=16\;\mathrm{кДж}\\\end{array}$$

    Работу за `4`-ую секунду можно найти как разность `A(t=4)-A(t=3)=`

    $$=m(g+a){\left.\dfrac{at^2}2\right|}_{t=4}{\left.-m(g+a)\dfrac{at^2}2\right|}_{t=3}=16000-9000=7000\;\mathrm{Дж}=7\;\mathrm{кДж}$$


    Пример 1.3`**`

      Доску   массой   `m=5` кг и длиной `L=1` м вытягивают  со льда на асфальт параллельно длине доски. Коэффициент трения между доской и асфальтом `mu=0,5`. Трение доски о лёд пренебрежимо мало. Какую работу совершит сила трения к моменту, когда доска полностью окажется на асфальте? Дорога горизонтальна. Доску вытягивают горизонтально направленной силой; `g=10` `"м"//"с"^2`. Считать, что доска давит на асфальт только той частью, которая находится асфальте.

    Решение

    Пусть доска продвинулась по асфальту на расстояние  Сила трения приложена лишь к той части доски, которая уже находится на асфальте и будет равна 

    `F_"тр"=mu x/L mg`. (1)

    Здесь учтено, что нормальная сила реакции со стороны асфальта на ту часть доски, которая уже оказалась на нём, составляет долю, равную `x//L` от полной силы реакции `N`, причём для горизонтальной дороги и горизонтальной тянущей силы  `N=mg`.

    С работой силы, линейно зависящей от координаты (от удлинения), мы имели дело, когда рассматривали силу, действующую на тело со стороны деформированной пружины. Там модуль силы упругости равнялся `|f(x)|=k|x|`, где `k` - коэффициент жёсткости пружины, `x` - её удлинение. Абсолютное значение работы силы упругости при удлинении пружины `x=L` (из недеформированного состояния  `x=0`) давалось формулой

    `|A|=(kL^2)/2`. (2)

     В нашем случае (1) роль коэффициента жёсткости играет величина

    `k=(mu*mg)/L`. (3)

    Учтём ещё, что работа силы трения в данном случае будет отрицательной,     т. к. сила трения и перемещение доски во все моменты времени направлены в противоположные стороны (угол между ними равен `180^@`), так что `DeltaA_"тр"=F_"тр"*Deltax*cos180^2=-F_"тр"*Deltax`. Поэтому окончательный ответ таков:

    `A_"тр"=-(mu*mg)/2 L`. (*)

    Подстановка чисел даёт   `A_"тр"~~-12,5` Дж.

    Пример 1.4 

    Всегда ли работа силы трения отрицательна?

    Решение

    Нет. Простейший пример – сила трения, действующая на автомобиль, трогающийся с места. Какая сила в этом случае разгоняет автомобиль?  Сила трения покрышек о полотно дороги. Колеса в точке соприкосновения с дорогой стремятся провернуться в сторону, противоположную направлению разгона автомобиля (или даже проворачиваются, пробуксовывают). Поэтому сила трения направлена в ту же сторону, в какую ускоряется автомобиль.


  • §2. Кинетическая энергия тела. Теорема об изменении кинетической энергии
    2.1. Определение

     Кинетической  энергией  материальной точки (частицы) массой `m`, движущейся со скоростью `barv`, называется неотрицательная скалярная (никуда не направленная) величина

    `K=(mv^2)/2`. (2.1)

    В некоторых случаях более удобна другая форма записи кинетической энергии – через импульс частицы  `vecp=mvecv:   K=((mv)^2)/(2m)`, откуда 

    `K=p^2/(2m)`. (2.2)

                                                                                                                               

    2.2. Теорема об изменении кинетической энергии

    Справедлива очень важная Теорема об изменении кинетической энергии: приращение кинетической энергии материальной точки при перемещении из одной точки пространства в другую равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на материальную точку при этом перемещении:

    `DeltaK=(mv_"конечн"^2)/2-(mv_"начальн"^2)/2=A_"всех сил"=sum_k A_(F_k)`. (2.3)

    Из последней формулы видно, что кинетическая энергия измеряется в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях. Теорема (2.3) есть следствие 2-го закона Ньютона. Докажем это. В самом деле, согласно этому закону для малых интервалов времени `Deltat`  и, соответственно, малых приращений скорости частицы `Deltavecv` имеем:

    `m*Deltavecv=sum_k vecF_k*Deltat`, (2.4)

    где суммирование ведётся по всем действующим на частицу силам. Масса частицы считается постоянной: в противном случае нужно было бы писать не  

     `m*Deltavecv=sum_k vecF_k*Deltat`,   а   `Delta(mvecv)=sum_k vecF_k*Deltat`.

    Умножим обе части уравнения (2.4) скалярно на `vecv`:

    `m*vecv*Deltavecv=sum_k vecF_k*vecv*Deltat`. (2.4')

    Здесь учтено, что в скалярном произведении векторов безразличен порядок сомножителей: `vecv*vecF_k=vecF_k*vecv` и `Deltavecv*vecv=vecv*Deltavecv`. Учтём ещё, что произведение `vecv*Deltat` даёт малое (за малое приращение времени `Deltat`) перемещение материальной точки: `vecv*Deltat=Deltavecr`. При этом отдельные слагаемые в сумме (2.4') можно представить в виде `vecF_k*vecvDeltat=vecF_k*Deltavecr=DeltaA_(F_k)` работ отдельных сил `vecF_k` при малом перемещении частицы `Deltavecr`.

    Левая часть (2.4') представляет собой приращение кинетической энергии `Delta(m v^2)/2=m/2 Deltav^2` (масса частицы, напомним, считается постоянной). В самом деле,

    `Deltav^2=(vecv+Deltavecv)^2-v^2=`

    `=2vecv*Deltavecv+Deltavecv*Deltavecv~=2vecv*Deltavecv`.

    (`**`)

    При этом мы пренебрегли слагаемым `Deltavecv*Deltavecv`. Разумеется, оба слагаемых в сумме `2vecv*Deltavecv+Deltavecv*Deltavecv` малы, но второе значительно меньше первого. Проще всего это понять, если записать эту сумму в виде  `(2vecv+Deltavecv)*Deltavecv`;при этом первое слагаемое в скобке не мало, а второе мало.

    Таким образом, для малых  `Deltat`(малых участков траектории) получаем

    `Delta(mv^2)/2=sum_kDeltaA_(F_k)`.

    Так как это соотношение выполняется последовательно на каждом малом участке траектории, оно будет верно и для всей траектории в форме (2.3).

    2.3. Кинетической энергией системы `N` материальных точек

    (частиц) называют (по определению) сумму кинетических энергий отдельных частиц:

    `K_"системы"=(m_1v_1^2)/2+(m_2v_2^2)/2+...+(m_(N)v_N^2)/2=sum_(i=1)^N (m_iv_i^2)/2`.                 (2.1`**`)

    Если все частицы системы обладают одинаковой скоростью `vecv` (как это бывает, например, в твёрдом теле при его поступательном (без вращения) движении), то кинетическая энергия системы равна

    `K_"системы"=sum_(i=1)^N (m_iv_i^2)/2=v^2/2 sum_(i=1)^Nm_i=((sum_(i=1)^Nm_i)v^2)/2=(Mv^2)/2`,  где `M=sum_(i=1)^Nm_i`

    есть масса всей системы (например, твёрдого тела).

    Для системы материальных точек также справедлива теорема об изменении кинетической энергии:

    `DeltaK_"системы"=sum_i(m_iv_(i "конечн")^2)/2-sum_i(m_iv_(i "начальн")^2)/2=`

    `=A_"всех сил"=sum_kA_(F_k)`.                                                    (2,3`**`)

    Заметим, что в формуле (2.3*) стоит сумма работ всех сил, а не только внешних. Последнее легко понять. Представим себе два шарика одинаковой массы  скреплённые лёгкой пружинкой. Пусть на эту систему не действуют никакие внешние силы и пусть в начальный момент пружинка не деформирована, а шарики имели равные по модулю, но противоположно направленные скорости `vecv` и `-vecv` вдоль пружинки. В такой системе возникнут колебания. В начальный момент система обладала кинетической энергией `K_1=2(mv^2)/2=mv^2`. Ясно, что в какой-то момент силы упругости со стороны пружины (это – внутренние силы; пружинка есть часть нашей системы) обратят скорости шариков в нуль. Обратится в нуль при этом и кинетическая энергия системы `K_2=0`. Изменение кинетической энергии системы равно работе сил упругости пружины  `DeltaK=K_2-K_1=-mv^2=A_"внутр"`.