В электрической цепи, подключённой к источнику, возникают электрические силы, действующие на носители зарядов и приводящие их в движение. Пусть под действием электрической силы `F` частица, несущая заряд `q`, переместилась вдоль проводника из точки `1` в точку `2`, а сила `F` совершила над заряженной частицей работу `A_(12)`. Отношение работы `A_(12)` электрической силы над зарядом `q` при перемещении его из точки `1` в точку `2` к самому заряду $$ q$$ называют электрическим напряжением между точками `1` и `2`:
`U_(12)=(A_(12))/q`. (3)
Единицей измерения напряжения в СИ является вольт (В).
За один вольт принимается напряжение на концах проводника, при котором работа сил электрического поля по перемещению через этот проводник заряда в один кулон равна одному джоулю.
Эта единица названа в честь итальянского физика А. Вольта, который в 1800 г. изобрёл электрическую батарею и впервые получил с её помощью постоянный ток, устойчиво поддерживавшийся в электрической цепи. Это открытие ознаменовало начало новой эпохи, полностью преобразившей нашу цивилизацию: современная жизнь немыслима без использования электрического тока.
В соотношении (3) индексы `1` и `2` можно опустить, если помнить, что `1` – это точка «старта», `2` – точка «финиша».
Зная напряжение `U` на концах проводника и силу тока `I`, текущего в проводнике в течение времени `t` постоянного тока, вычислим заряд `q=I*t`, который протечёт за указанное время по проводнику. Тогда за это время силы электрического поля в проводнике совершат работу
`A=q*U=I*t*U`. (4)
Это позволяет судить о скорости совершения работы электрическими силами, т. е. о мощности, развиваемой силами электрического поля. Из (4) следует, что в проводнике, напряжение на концах которого равно `U`, а сила тока `I`, силы электрического поля в единицу времени совершают работу
`P=A/t=I*U`. (5)
Напомним, что единицей измерения мощности в СИ служит ватт (Вт).
Очень часто работу и мощность электрических сил называют соответственно работой и мощностью электрического тока, тем самым подчёркивают, что это работа по поддержанию электрического тока в цепи.
По проводнику в течение `T=1` мин течёт постоянный ток силой `I=0,2` А. Напряжение на проводнике `U=1,5` В. Какую работу `A` совершают электрические силы в проводнике за указанное время? Найдите мощность `P` электрического тока в проводнике.
За время `T` через проводник пройдёт заряд `Q=I*T`. Работа сил электрического поля над этим зарядом в соответствии с (4) равна
`A=Q*U=I*T*U=0,2*60*1,5=18` Дж.
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся соотношением (5):
`P=I*U=0,2*1,5=0,3` Вт.
Заметим, что в повседневной жизни, рассчитываясь «за электричество», мы оплачиваем расход электроэнергии – работу электрических сил, а не мощность. И здесь принято работу электрических сил выражать во внесистемных единицах – киловатт-часах:
`1` кВт`*`ч`=1000`Вт`*3600`с`=3,6*10^6`Дж
Работа электрического тока может идти на изменение механической и внутренней энергий проводника. Например, в результате протекания электрического тока через электродвигатель его ротор (подвижная часть, способная вращаться, в отличие от статора) раскручивается. При этом большая часть работы электрических сил идёт на увеличение механической энергии ротора, а также других тел, с которыми ротор связан теми или иными механизмами. Другая часть работы электрического тока (в современных электродвигателях один – два процента) идёт на изменение внутренней энергии обмоток двигателя, что приводит к их нагреванию (обмотка электродвигателя представляет собой катушку, изготовленную обычно из меди, с большим числом витков).
Обсудим тепловое действие электрического тока более подробно. Из опыта известно, что электрический ток нагревает проводник. Объясняется это явление тем, что свободные электроны в металлах, перемещаясь под действием сил электрического поля, взаимодействуют с ионами вещества и передают им свою энергию. В результате увеличивается энергия колебаний ионов в проводнике, его температура растёт, при этом говорят, что в проводнике за некоторое время `t` выделяется количество теплоты `Q_("тепл")`. Если проводник с током неподвижен и величина тока постоянна, то работа электрических сил идёт на изменение внутренней энергии проводника. По закону сохранения энергии это количество равно работе сил электрического поля (4) в проводнике за то же самое время, т. е.
`Q_("тепл")=I*t*U`. (6)
Отсюда мощность `P` тепловыделения, т. е. количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на участке цепи, где напряжение равно `U`, а сила тока равна `I` составляет
`P=(Q_("тепл"))/t=U*I`. (7)
По спирали электроплитки, подключённой к источнику с напряжением `U=120` В, протекает постоянный ток силой `I=5` А в течение `T=1` ч. Какое количество теплоты `Q_("тепл")` отдаёт при этом плитка в окружающую среду?
В окружающую среду будет передано то количество теплоты, которое выделится в спирали нагревательного элемента плитки за указанное время. По формуле (6) находим:
`Q_("тепл") =I*T*U=5*3600*120=2,16*10^6` Дж.
Электродвигатель, включённый в электрическую сеть с напряжением `U=24` В, за время `T=1` ч работы совершил механическую работу `A=1680` кДж. Сила тока в обмотке `I=20` А. Найдите мощность `P` электрического тока и коэффициент полезного действия `eta` двигателя. Какое количество теплоты `Q_("тепл")` выделится в обмотке?
Мощность электрического тока найдём по формуле (5):
`P=I*U=20*24=480` Вт.
По определению коэффициент полезного действия (КПД) `eta` двигателя равен отношению полезной механической работы `A` к работе электрических сил `A_("эл")`, умноженному на `100%`. С учётом выражения (4) для работы электрических сил находим КПД электродвигателя:
`eta=A/(A_("эл"))*100%=A/(UIT)*100%=(1680*10^3)/(24*20*3600)*100%~~97%`.
Количество `Q_("тепл")` теплоты, выделившейся в обмотке, найдём по закону сохранения энергии `A_("эл")=A+Q_("тепл")`. Отсюда `Q_("тепл")=A_("эл")-A=UIT-A=24*20*3600-1680*10^3=48*10^3` Дж.
Как отмечалось выше, для поддержания постоянного тока в проводнике, т. е. движения электронов с постоянной скоростью, необходимо непрерывное действие сил электрического поля на носители заряда. Это означает, что электроны в проводниках движутся «с трением», иначе говоря, проводники обладают электрическим сопротивлением.
Если состояние проводника остаётся неизменным (не изменяется его температура и т. д.), то для каждого проводника существует однозначная зависимость между напряжением `U` на концах проводника и силой `I` тока в нём `I=f(U)`. Она называется вольтамперной характеристикой данного проводника.
Для многих проводников эта зависимость особенно проста – линейная: сила тока прямо пропорциональна приложенному напряжению, т. е.
`I=1/RU`, (8)
где `R` – электрическое сопротивление проводника (постоянная при неизменных условиях величина).
Этот закон носит название закона Ома. Немецкий физик Г. Ом в 1827 г. в результате серии экспериментов установил, что для широкого класса проводников сила `I` электрического тока в проводнике пропорциональна напряжению `U` на концах проводника.
Сопротивление `R` проводника зависит от рода вещества проводника, от его размеров и формы, а также от состояния проводника.
Единицей сопротивления в СИ является один Ом (Ом). За один Ом принимается сопротивление такого проводника, в котором при напряжении между его концами один вольт течёт постоянный ток силой один ампер: `1`Ом`=1`В`//1`A.
Вытекающее из закона Ома (8) соотношение
`R=U/I` (9)
можно рассматривать и как определение сопротивления по приведённой формуле.
Г. Ом установил, что для проводников $$ R$$ не зависит от $$ U.$$
В технических приложениях для описания процессов в электрических цепях часто используется понятие вольтамперной характеристики. Для проводников, подчиняющихся закону Ома (8), графиком зависимости силы `I` тока в проводнике от напряжения `U` на нём будет прямая линия, проходящая через начало координат (см. рис. 1). При этом говорят, что проводник имеет линейную вольтамперную характеристику.
В то же время для полупроводников, электронных ламп, диодов, транзисторов зависимость `I=f(U)` носит сложный характер, и такие элементы называют нелинейными (или неомическими). Для таких элементов величина `R`, вычисленная по формуле `R=U/I`, зависит от `U`. В частности, при измерении вольтамперной характеристики лампочки накаливания с вольфрамовой нитью мы обнаружим, что она имеет вид, схематически показанный на рис. 2. Искривление вольтамперной характеристики связано с нагревом нити и увеличением сопротивления нити накала с ростом температуры. В некоторых устройствах, таких как диод, сопротивление зависит от направления тока.
Обсудим вопрос о тепловыделении в проводнике. С учётом закона Ома (8) формула (7) для мощности тепловыделения принимает вид:
`P=U*I=U^2/R=I^2R`. (10)
Другими словами, если через резистор `R` протекает постоянный ток силой `I`, то за `t` секунд в резисторе выделяется количество теплоты, равное
`Q_("тепл")=P*t=U^2/R*t=I^2*R*t`. (11)
Соотношения (10), (11) являются математическим выражением закона, открытого в XIX веке практически одновременно и независимо английским физиком Д. Джоулем и русским физиком Э.Х. Ленцем.
Обратим внимание, что полученный закон является прямым следствием закона сохранения энергии в применении к движению электрических зарядов под действием сил электрического поля.
Причиной электрического сопротивления является взаимодействие электронов с ионами кристаллической решётки. Зависимость сопротивления проводника от его размеров и вещества, из которого изготовлен проводник, на опытах изучил Г. Ом. Он установил, что сопротивление проволоки длиной `l` и площадью поперечного сечения `S` определяется по формуле
`R=rho l/S` (12)
где `rho` – удельное сопротивление вещества, из которого изготовлен проводник. Эту величину определяют экспериментально, результаты измерений удельного сопротивления приводят в физических справочниках (и в справочных разделах задачников по физике).
В соответствии с формулой (12) единицей удельного сопротивления в СИ служит Ом`*`м.
Удельное сопротивление вещества зависит от температуры. Для металлов с ростом температуры растёт и удельное сопротивление. У электролитов наблюдается обратная зависимость. Эти обстоятельства следует учитывать на практике при расчётах спиралей электронагревательных приборов, нитей лампочек накаливаний и т. д.
Резистор сопротивлением `R=38` Ом изготовлен из медного провода кругового сечения массой `m=11,2` г. Найдите длину `l` провода. Удельное сопротивление меди `rho=1,7*10^(-8)` Ом`*`м, плотность меди `delta=8,9*10^3 "кг"//"м"^3`. Обратите внимание, что в настоящем примере приняты обозначения: `delta` – плотность, `rho` – удельное сопротивление.
Обозначим площадь поперечного сечения проводника `S`. Тогда объём проводника равен `V=S*l`, его масса `m=delta*V=delta*S*l`. По формуле (12) сопротивление проводника равно `R=rhol/S`.
Исключая `S` из двух последних соотношений, приходим к ответу на вопрос задачи:
`l=sqrt((mR)/(rho delta))=sqrt((11,2*10^(-3)*38)/(1,7*10^(-8)*8,9*10^3))~~53` м.
В электрических цепях, с которыми мы встречаемся на практике, проводники могут быть соединены различными способами. Наиболее простые способы соединения известны как последовательное и параллельное соединения резисторов.
Рассмотрим участок $$ AB$$ цепи, в котором резисторы с сопротивлениями `R_1` и `R_2` соединены последовательно (рис. 3). Поставим вопрос: каким сопротивлением `R_("экв")`, подключённым между точками `A` и `B`, можно заменить последовательно соединенные сопротивления `R_1` и `R_2` так, чтобы напряжение на участке `AB` и сила тока, текущего от `A` к `B`, остались неизменными?
Для ответа на поставленный вопрос заметим, что при последовательном соединении сила тока во всех проводниках одинакова – иначе заряды накапливались бы (или исчезали) в каких-то точках цепи. Так что `I=I_1=I_2`.
Далее: работа сил электрического поля над любым зарядом при перемещении его из `A` в `B` будет равна сумме работ электрических сил над этим зарядом, совершаемых силами поля при его перемещении в каждом проводнике.
Отсюда следует, что напряжение на `AB` равно сумме напряжений на резисторах
$$ {U}_{AB}={U}_{1}+{U}_{2}=I·\left({R}_{1}+{R}_{2}\right).$$
В эквивалентной схеме сила $$ I$$ тока и напряжение $$ {U}_{AB}$$ «не заметили» замены `R_1` и `R_2` на `R_("экв")`. В этом случае по закону Ома `U_(AB)=I*R_("экв")`. Из сопоставления двух последних равенств находим
`R_("экв")=R_1+R_2`. (13)
Этот результат легко обобщается на случай `n` последовательно соединённых резисторов `R_1,R_2,...,R_n`. В этом случае (рекомендуем лично выполнить соответствующий вывод):
`R_("экв")=sum_(i=1)^n R_i=R_1+R_2+...+R_n`.
Рассмотрим теперь участок `AB` цепи, в котором резисторы с сопротивлениями `R_1` и `R_2` соединены параллельно (см. рис. 4). Поставим вопрос: каким сопротивлением `R_("экв")`, подключённым между точками `A` и `B`, можно заменить параллельно соединённые `R_1` и `R_2` так, чтобы напряжение на участке `AB` и сила тока, текущего к узлу `A` и вытекающего из узла `B` остались неизменными?
Для ответа на поставленный вопрос заметим, что при параллельном соединении проводников работа сил электрического поля в расчёте на единичный заряд (см. (3)) в проводниках одинакова (иначе нарушался бы закон сохранения энергии). Это означает, что напряжения на параллельно соединённых проводниках одинаковы. Обозначим его `U_(AB)`. Силу тока в каждом проводнике определим по закону Ома: `I_1=(U_(AB))/R_1`, `I_2=(U_(AB))/R_2`.
Далее, в любом узле, т. е. точке, где сходятся более двух проводов, по закону сохранения электрического заряда сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Отсюда следует, что в рассматриваемой задаче (рис. 4) сила `I` тока на входе и на выходе равна сумме сил токов в отдельных ветвях параллельной цепи:
`I=I_1+I_2=(U_(AB))/R_1+(U_(AB))/R_2=U_(AB)(1/R_1+1/R_2)`.
В эквивалентной схеме сила $$ I$$ тока и напряжение $$ {U}_{\mathrm{AB}}$$ связаны с `R_("экв")` законом Ома (8) `I=(U_(AB))/R_"экв"`. Два последних равенства справедливы при любых значениях, входящих в них величин `I` и `U_(AB)` если
`1/(R_("экв"))=1/R_1+1/R_2`. (14)
Этот результат легко обобщается на случай `n` параллельно соединённых резисторов `R_1, R_2, ..., R_n`. В этом случае
`1/(R_("экв"))=1/R_1+1/R_2+...+1/R_n`.
Между точками `A` и `B` электрической цепи подключены резисторы `R_1=10` Ом, `R_2=20` Ом, `R_3=30` Ом, как показано на рис. 5. Найдите эквивалентное сопротивление `R_(AB)` этого участка цепи.
Эквивалентное сопротивление `R_(12)` цепочки последовательно соединённых резисторов `R_1` и `R_2` найдём по формуле (13)
`R_(12)=R_1+R_2`.
Заменяя эти резисторы эквивалентным сопротивлением, получаем участок цепи, в котором к точкам `A` и `B` параллельно присоединены резисторы `R_(12)` и `R_3`. Тогда искомое эквивалентное сопротивление найдём из (14)
`1/(R_("экв"))=1/(R_(12))+1/(R_3)`,
`R_("экв")=(R_(12)R_3)/(R_(12)+R_3)=((R_1+R_2)R_3)/(R_1+R_2+R_3)=((10+20)30)/(10+20+30)=15`Ом.
Лестничная цепь состоит из последовательности `N` одинаковых звеньев (рис. 6 а). Последнее звено замкнуто резистором `R`. При какой величине отношения `R/r` сопротивление цепи не зависит от числа звеньев?
Сопротивление цепи не будет зависеть от числа звеньев, если эквивалентное сопротивление последнего звена (рис. 6 б) будет равно `R`. Из решения предыдущей задачи получаем:
`1/R=1/r+1/(r+R)`.
Отсюда находим `R/r=(sqrt5-1)/2~~0,618`.
Для измерения токов и напряжений в электрических цепях используются амперметры и вольтметры, основным элементом которых служит гальванометр – прибор, предназначенный для измерения величин токов. Эти измерения могут быть основаны на одном из действий тока: тепловом, физическом, химическом. Гальванометр, градуированный на величину тока, называется амперметром. По закону Ома (8) напряжение и сила тока связаны прямо пропорциональной зависимостью, поэтому гальванометр можно градуировать и на напряжение. Такой прибор называют вольтметром.
В этом задании мы не будем касаться вопросов, связанных с конкретным устройством электроизмерительных приборов, с их системами и принципами работы. Остановимся лишь на требованиях, предъявляемых к внутренним сопротивлениям амперметров и вольтметров. Важно, чтобы при включении в цепь для измерений эти приборы вносили как можно меньшее искажение в измеряемую величину.
Амперметр включается в цепь последовательно. Если сопротивление амперметра `R_"а"` и его подключают к участку цепи с сопротивлением `R_"ц"` (рис. 7а), то эквивалентное сопротивление участка цепи и амперметра в соответствии с (13) равно `R=R_"ц"+R_"а"=R_"ц"(1+(R_"а")/(R_"ц"))`.
Отсюда следует, что амперметр не будет заметно изменять сопротивление участка цепи, если его собственное (внутреннее) сопротивление будет мало по сравнению с сопротивлением участка цепи.
Чтобы добиться этого, гальванометр снабжают шунтом (синоним – добавочный путь): вход и выход гальванометра соединяются некоторым сопротивлением, обеспечивающим параллельный гальванометру дополнительный путь для тока (рис. 7 б). Поэтому внутреннее сопротивление амперметра меньше, чем у применённого в нём гальванометра. (Читателю рекомендуется лично убедиться в этом с помощью соотношения (14).) Амперметр называется идеальным, если его внутреннее сопротивление можно считать равным нулю.
Вольтметр подключается к электрической цепи параллельно тому участку, напряжение на котором требуется измерить. Присоединив, например, вольтметр с сопротивлением `R_"в"` параллельно лампочке с сопротивлением `R_"л"` (рис. 8 а), получим участок цепи, эквивалентное сопротивление которого вычисляется по формуле (14) `R=R_"л" (R"в")/(R_"л"+R_"в")`.
Отсюда следует, что чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с сопротивлением лампочки, тем меньше эквивалентное сопротивление будет отличаться от сопротивления лампочки. Вывод: чтобы процесс измерения меньше искажал значение измеряемого напряжения, собственное (внутреннее) сопротивление вольтметра должно быть как можно больше. Поэтому в вольтметре последовательно гальванометру включают некоторое сопротивление (рис. 8б). Внутреннее сопротивление такого вольтметра, как правило, во много раз больше сопротивления входящего в него гальванометра. Вольтметр называется идеальным, если его внутреннее сопротивление можно считать бесконечно большим.
Каждый измерительный прибор рассчитан на определённый интервал значений измеряемой величины. И в соответствии с этим проградуирована его шкала. Для расширения пределов измерений в амперметре можно использовать добавочный шунт, а в вольтметре – добавочное сопротивление. Найдём значения этих сопротивлений, увеличивающих максимальную измеряемую величину тока или напряжения в раз.
Если амперметр рассчитан на силу тока `I_m`, а с его помощью необходимо измерять силу тока в `n` раз большую (см. рис. 9), то в этом случае, подключив параллельно амперметру шунт, разделим ток силой `nI_m` на два тока: один из них силой `I_m` будет течь через амперметр, тогда через шунт будет протекать ток силой `I_"ш"=(n-1)I_m`.
Поскольку шунт включён параллельно амперметру, то напряжения на шунте `U_"ш"=(n-1)I_mR_"ш"` и амперметре `U_"А"=I_mR_"А"` равны. Из равенства напряжений
`I_mR_"А"=(n-1)I_mR_"ш"`
находим
`R_"ш"=(R_"А")/(n-1)` (15)
Если вольтметр рассчитан на максимальное напряжение `U_max`, а с его помощью необходимо измерять напряжение, в `n` раз большее, то, подключив последовательно с вольтметром добавочное сопротивление `R_2` (рис. 10), разделим напряжение `n*U_max` на два слагаемых: одно из них – это напряжение $$ {U}_{\mathrm{max}}$$ на вольтметре, второе – напряжение $$ \left(n-1\right){U}_{\mathrm{max}}$$ на добавочном сопротивлении.
Поскольку добавочное сопротивление включено последовательно с вольтметром, то через вольтметр и добавочное сопротивление течёт одинаковый ток, т. е. справедливо равенство
`(U_max)/(R_"в")=((n-1)U_max)/(R_"д")`.
Отсюда
`R_"д"=(n-1)R_"в"`. (16)
Шкала гальванометра имеет `N=100` делений, цена деления $$ \delta =1\mathrm{мкА}.$$. Внутреннее сопротивление гальванометра $$ {R}_{G}=\mathrm{1,0} \mathrm{кОм}.$$. Как из этого прибора сделать вольтметр для измерения напряжений до $$ U=100 \mathrm{В}$$ или амперметр для измерения токов силой до $$ I=1\mathrm{A}$$?
Максимально допустимый ток `I_max` через гальванометр равен цене деления, умноженной на число делений: `I_max=delta*N=1*100=100` мкА. При максимальном токе напряжение на приборе максимально и по закону Ома (8) равно
`U_max=I_max*R_G=10^(-4)*10^3=0,1` В.
Для использования этого гальванометра в качестве амперметра для измерения токов силой до `I=1` А необходимо параллельно с ним включить шунт, сопротивление которого найдём по формуле (15):
$$ {R}_{\mathrm{ш}}={\displaystyle \frac{{R}_{\mathrm{G}}}{n-1}}={\displaystyle \frac{{R}_{\mathrm{G}}}{{\displaystyle \frac{I}{{I}_{\mathrm{max}}}}-1}}={\displaystyle \frac{{10}^{3}}{{\displaystyle \frac{1}{{10}^{-4}}}-1}}\approx \mathrm{0,1} \mathrm{Ом}.$$
В этом случае максимальному отклонению стрелки на шкале гальванометра соответствует ток в цепи силой `I=1` А.
Для использования этого гальванометра в качестве вольтметра для измерения напряжений до `U=100` В необходимо последовательно с ним включить добавочное сопротивление, величину которого найдём из (16):
`R_"д"=(U/U_max -1)R_G=((100)/(0,1)-1)*10^3=999` кОм.
В этом случае максимальному отклонению стрелки на шкале гальванометра соответствует напряжение между точками подключения `U=100` В.
Для измерения сопротивления `R` проводника собрана электрическая цепь, показанная на рис. 11. Вольтметр `V` показывает напряжение `U_V=5` В. Показание амперметра `A` равно `I_A=25` мА. Найдите величину `R` сопротивления проводника. Внутренне сопротивление вольтметра `R_V=1,0` кОм. Внутреннее сопротивление амперметра `R_A=2,0` Ом.
Ток `I_A`, протекающий через амперметр, равен сумме токов `I_V` и `I_R`, протекающих через вольтметр и амперметр соответственно. Напряжения на резисторе `U_R=I_R*R` и вольтметре `U_V=I_V*R_V` одинаковы и равны показанию `U_V` вольтметра. Таким образом, приходим к системе уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}{I}_{A}={I}_{V}+{I}_{R},\\ {U}_{V}={I}_{V}·{R}_{V}={I}_{R}·R,\end{array}\right.$$
решение которой
$$ R={\displaystyle \frac{{U}_{V}}{{I}_{A}-{\displaystyle \frac{{U}_{V}}{{R}_{V}}}}}={\displaystyle \frac{5}{25·{10}^{-3}-{\displaystyle \frac{5}{{10}^{3}}}}}=250 \mathrm{Ом}.$$
определяет величину `R` сопротивления проводника по результатам измерений. Заметим, что для приведённой схемы величина внутреннего сопротивления амперметра оказалась несущественной: `R_A` не входит в ответ.
Жидкости и газы отличаются от твёрдых тел прежде всего тем, что обладают таким свойством, как текучесть. Текучесть проявляется в способности жидкости и газа принимать форму сосуда. Из-за чего появляется и чем объясняется текучесть, по наличию которой и устанавливают, что данное тело не является твёрдым?
Многочисленные опытные факты подтверждают наличие в природе веществ (тел), у которых отсутствуют силы, препятствующие сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоёв этих веществ относительно других, т. е. отсутствуют силы трения покоя, действующие вдоль поверхности соприкасающихся слоёв. Если при этом такое вещество принимает форму сосуда и его объём практически не зависит от формы и вида сосуда, то мы имеем дело с жидкостью. Если же это вещество занимает весь предоставленный ему в любом сосуде объём, то это - газ.
У твёрдого тела сдвинуть один слой (часть) тела относительно другого без приложения значительных усилий невозможно. У жидкости и газа одни слои (части) могут скользить по другим слоям под действием ничтожно малых сил. Этим и объясняется текучесть.
Если подуть вдоль поверхности воды, то верхние слои воды придут в движение относительно нижних, причём силы трения между слоями будут тем меньше, чем меньше относительная скорость движения слоёв. Другой пример текучести. Даже очень осторожное, медленное и малое наклонение сосуда с жидкостью приводит к перемещению верхних слоёв жидкости относительно нижних и в результате поверхность жидкости становится снова горизонтальной.
Сила трения покоя между стенкой сосуда и соприкасающейся с ней неподвижной жидкостью тоже равна нулю.
Мы здесь не будем рассматривать проявление так называемых сил поверхностного натяжения, возникающих из-за того, что поверхностный слой жидкости ведёт себя подобно тонкой упругой оболочке. Силами поверхностного натяжения объясняется существование капель жидкости, возможность каплям удерживаться на наклонной поверхности твёрдого тела, капиллярность и другое.
Из всего сказанного выше следует, что в неподвижной жидкости (или газе) слои (части) жидкости действуют друг на друга и на стенки сосуда с силами, направленными перпендикулярно к поверхности их соприкосновения. На рисунке показан сосуд с жидкостью.
Выделим мысленно из всей жидкости её части в объёмах `1` и `2`. Жидкость в объёме `1` давит на жидкость в объёме `2` с силой `F_1` направленной перпендикулярно к поверхности `AB` их соприкосновения. С такой же по модулю силой `F_2` давит и жидкость `2` на `1`. Это следует из так называемого третьего закона Ньютона, согласно которому тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Жидкость в сосуде давит на часть `MN` стенки сосуда с силой `F_3`, направленной перпендикулярно стенке. Часть `MN` стенки давит на жидкость с такой же силой `F_4`.
Величиной, характеризующей взаимодействие частей жидкости или газа друг с другом и со стенками сосуда, служит давление.
Давлением называется величина, равная отношению модуля силы `F` давления, действующей по нормали (перпендикулярно) к плоской поверхности, к площади `S` этой поверхности: `P=F/S`.
В системе СИ давление измеряется в $$ \mathrm{Н}/{\mathrm{м}}^{2}$$. Эта единица давления носит название паскаль (Па):
Уточним, что следует понимать под давлением в жидкости или газе.
Поместим в жидкость или газ небольшую плоскую пластину. Одну из сторон этой пластины назовём площадкой. Жидкость (газ) давит на площадку с некоторой силой `F`. Если площадь площадки `S`, то давление жидкости на площадку `P = F/S`. Из условия равновесия вырезанной мысленно из жидкости (газа) призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника, находящейся в месте расположения площадки, можно вывести, что давление на площадку в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки. Вывод приводить не будем. Теперь можно дать определение давления в жидкости или газе.
Давлением в некоторой точке жидкости называется давление жидкости на небольшую площадку, произвольно ориентированную и помещённую вблизи этой точки. Аналогично и для газа.
Рассмотрим связь между давлениями в различных точках жидкости. Будем рассматривать покоящуюся жидкость в неподвижном сосуде. Дополнительное давление в жидкости, возникающее из-за силы тяжести, учитывать не будем.
Пусть жидкость заключена в замкнутый сосуд произвольной формы (см. рисунок).
Будем давить на поршень. Покажем, что давление `P_A` в точке `A` равно давлению `P_B` в точке `B`. Для этого выделим мысленно внутри жидкости тонкий цилиндр, ось которого проходит через точки `A` и `B`, а основания площадью `S` каждое перпендикулярны оси. На части боковой поверхности цилиндра из жидкости со стороны окружающей жидкости действуют силы давления, перпендикулярные оси цилиндра. На основания цилиндра жидкость действует с силами `F_A = P_A S` и `F_B = P_B S`, направленными вдоль оси `AB`. Поскольку цилиндр находится в покое, то `F_A = F_B`, т. е. `P_A S = P_B S`. Отсюда `P_A = P_B`. Значит, давление в точках `A` и `B` одно и то же. Аналогично доказывается равенство давлений в точках `B` и `C` и в точках `C` и `K`. Таким образом, приходим к выводу, что давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Поршень давит на жидкость на её границе в одном месте, но это давление ощущается во всей жидкости. Мы получили
давление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на её границе, передаётся без изменения во все точки жидкости.
Этот закон был установлен экспериментально французским физиком и математиком Блэзом Паскалем (1623 - 1662) и носит его имя.
Всё сказанное в этом параграфе справедливо и для газов. Справедлив для газов и закон Паскаля.
Отметим, что закон Паскаля выведен и сформулирован здесь при условии отсутствия силы тяжести. Наличие силы тяжести не изменяет сути закона и вносит дополнительную связь между давлениями в различных точках жидкости или газа.
Закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических машин. Принцип устройства и действия такой машины следующий. Два цилиндрических сосуда разного диаметра с поршнями соединены трубкой и заполнены жидкостью (см. рис.).
Пусть на малый поршень площадью `S_1` действует сила `F_1`. Тогда в жидкости создаётся давление `P = F_1 //S_1`. На большой поршень площадью `S_2` со стороны жидкости действует сила `F_2 = PS_2 = F_1 S_2 //S_1`. С этой же силой большой поршень может действовать на какое-нибудь тело, препятствующее его перемещению. Во сколько раз `S_2` больше `S_1`, во столько раз и развиваемая поршнем сила `F_2` больше приложенной силы `F_1`. Это используется в гидравлическом прессе, гидравлическом тормозе, гидравлическом домкрате.
Площадь большого поршня гидравлического домкрата , а малого . Груз какой максимальной массы можно поднять этим домкратом, если на малый поршень давить с силой не более `200Н`? Силой трения поршней о стенки цилиндров пренебречь.
Пусть , , . Так как давление во всех точках жидкости одинаково, то
`F_1 /S_1 =F_2 /S_2`.
Здесь `F_2` - сила давления жидкости на большой поршень. Отсюда
.
Поднять можно тело с максимальным весом `F_2 = 8000 Н`, что соответствует массе `m = F_2 //g`, где . Итак, .
На Земле на все тела действует сила тяжести. Под действием силы тяжести верхние слои жидкости действуют на нижние. Следовательно, в жидкости существует дополнительное давление, обусловленное силой тяжести, называемое гидростатическим давлением.
Можно показать, что в жидкости, на глубине `H`, считая от поверхности жидкости в сосуде, гидростатическое давление вычисляется по формуле `P_sf"г" = rho gH`.
Здесь `rho` - плотность жидкости. В системе единиц СИ `g = 9,8 sf"м/с"^2`, а давление `P_sf"г"`, плотность `rho` и высота `H` измеряются в Па, `sf"кг/м"^3` и `sf"м"` соответственно.
Полное давление `P` в жидкости, налитой в сосуд, складывается из давления у поверхности жидкости и гидростатического давления. Давление у поверхности жидкости часто равно атмосферному давлению `P_"атм"`, о котором будет сказано в дальнейшем. В этом случае `P = P_sf"г" + P_sf"атм"`.
Для ответа на некоторые вопросы полезно знать, что на одном горизонтальном уровне давление в жидкости постоянно, а разность давлений `Delta P` на двух уровнях жидкости `AB` и `MN`, отстоящих друг от друга по высоте на расстояние `H` (см. рисунок), вычисляется по формуле `Delta P = rho g H`, которая аналогична формуле для гидростатического давления.
Греческая буква `Delta` (дельта), стоящая перед любой величиной, обычно используется для обозначения изменения этой величины.
Сообщающимися называются сосуды, которые имеют связывающие их каналы, заполненные жидкостью (см. рис.).
Можно показать, что справедлив закон сообщающихся сосудов.
в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково, независимо от формы сосудов, а поверхности жидкости в сообщающихся сосудах (открытых вверху) устанавливаются на одном уровне (см. рис.).
Земля окружена воздушной оболочкой, состоящей из смеси газов. Эта оболочка называется атмосферой. Каждый горизонтальный слой атмосферы сжат весом более верхних слоёв. Поэтому давление в нижних слоях атмосферы больше, чем в верхних. При этом и плотность воздуха в нижних слоях значительно больше, чем в верхних. Это связано с тем, что газы под воздействием давления могут сильно уменьшить свой объём. Жидкости же обладают очень малой сжимаемостью и практически не изменяют своей плотности даже при больших давлениях. Атмосферное давление на уровне моря равно примерно , т. е. . Это желательно помнить. С увеличением высоты над уровнем моря атмосферное давление уменьшается. На высоте примерно в оно уменьшается вдвое.
Значение атмосферного давления впервые определил экспериментально в 1634 г. итальянский учёный Торричелли, создав простейший ртутный барометр. Опыт Торричелли состоит в следующем. Стеклянная трубка длиной около метра, запаянная с одного конца, заполняется полностью ртутью. Затем, закрыв отверстие трубки, её переворачивают и погружают открытым концом в чашу со ртутью (см. рис.).
Часть ртути из трубки выливается, и в ней остаётся столб ртути высотой `H`. Давление в трубке над ртутью равно нулю (если пренебречь ничтожным давлением паров ртути), так как там - пустота (вакуум): `P_C = 0`. Давление `P_B` в точке `B` равно давлению `P_A` в точке `A`, поскольку в сообщающихся сосудах - чаше и трубке - точки `A` и `B` находятся на одном уровне. Давление `P_A` равно атмосферному давлению $$ {P}_{\mathrm{атм}}$$. Поэтому $$ {P}_{B}={P}_{\mathrm{атм}}$$. Разность давлений `P_B - P_C = rho gH`, где `rho` - плотность ртути. Так как $$ {P}_{B}={P}_{\mathrm{атм}}$$ и `P_C = 0`, то $$ {P}_{\mathrm{атм}} =\rho gH$$. Измерив `H` и зная `rho`, можно определить атмосферное давление в условиях опыта. Торричелли нашёл, что для уровня моря .
В опыте Торричелли каждому значению `H` соответствует определённое значение $$ {P}_{\mathrm{атм}}$$. Следовательно, атмосферное давление можно измерять в миллиметрах ртутного столба. Эта единица давления получила специальное название «Торр»: `1`Торр `= 1` мм. рт.ст. При этом высота столба ртути берётся той, которую он имел бы при `0^@"C"`. Атмосферное давление в `760` Торр называется нормальным атмосферным давлением. Значение этого давления называется нормальной (физической) атмосферой и обозначается . Зная плотность ртути , находим по формуле $$ {P}_{\mathrm{атм}}=\rho gH$$:
.
Умножим равенство $$ {P}_{\mathrm{атм}}=\rho gH$$ на площадь `S` внутреннего сечения трубки: $$ {P}_{\mathrm{атм}}S=\rho gHS$$. Заметим, что последнее равенство можно получить и непосредственно, записав условие равновесия столба `BC` ртути (рис. 6). Произведение $$ {P}_{\mathrm{атм}}S$$ равно силе давления `F` на столб ртути `BC` снизу, вызванное наличием атмосферного давления, а `rho gHS` есть вес столба `BC` ртути в трубке. Поэтому говорят, что в опыте Торричелли давление, создаваемое весом столба ртути, уравновешивается атмосферным давлением.
Замена ртути водой в опыте Торричелли требует высоты трубки более `10` м. Действительно, при нормальном атмосферном давлении для значения плотности воды из формулы $$ {P}_{\mathrm{атм}}=\rho gH$$ следует, что . Это означает, что нормальное атмосферное давление уравновешивается столбом воды высотой `10,3` м.
Несколько замечаний для решения задач. Полезно помнить, что плотность воды равна и гидростатическое давление в создаётся в воде на глубине приблизительно . Проверьте это, используя формулу для гидростатического давления.
Поскольку плотность воздуха намного меньше плотности воды, изменением атмосферного давления, связанным с перепадом высоты в несколько метров, можно в ряде случаев пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением воды, вызванным таким же перепадом высоты.
В сосуд налита вода (см. рис.).
Расстояние от поверхности воды до дна . Площадь дна . Найти гидростатическое давление `P_1` и полное давление `P_2` вблизи дна. Найти силу давления воды на дно.
Плотность воды . Гидростатическое давление
$$ {P}_{1}=\rho gH={10}^{3} \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^{3}·\mathrm{9,8} \mathrm{м}/{\mathrm{с}}^{2}·\mathrm{0,5} \mathrm{м}\approx 5·{10}^{3} \mathrm{Па}=5000 \mathrm{Па}$$.
Полное давление складывается из атмосферного $$ {P}_{\mathrm{атм}}={10}^{5}\mathrm{Па}$$ и гидростатического:
$$ {P}_{2}={P}_{\mathrm{атм}}+{P}_{1}=100000 \mathrm{Па}+5000 \mathrm{Па}=105000 \mathrm{Па}$$.
Интересно, что полное давление мало отличается от атмосферного, так как толщина слоя воды достаточно мала. Сила давления воды на дно $$ F={P}_{2}·S=105000 \mathrm{Па}·\mathrm{0,1} {\mathrm{м}}^{2}=10500 H$$.
На лёгкий поршень площадью `S`, касающийся поверхности воды, поставили гирю массой `m` (см. рис.).
Высота слоя воды в сосуде с вертикальными стенками `H`. Определить давление в жидкости вблизи дна. Плотность воды `rho`.
На поршень снизу со стороны воды действует направленная вверх сила `F_1 = P_1 S`, где `P_1` давление вблизи поршня. Сверху на поршень действует гиря и атмосферный воздух с силой `F_2 = mg + P_"атм" S`, где , $$ {P}_{\mathrm{атм}}={10}^{5} \mathrm{Па}$$ - атмосферное давление. Поршень находится в равновесии. Поэтому `F_1 = F_2`. Итак, `P_1 S = mg + P_"атм" S`. Отсюда `P_1 = P_"атм" + (mg)/S`.
Этот результат можно писать и сразу, говоря, что давление под поршнем равно атмосферному `P_"атм"` и добавочному давлению `mg//S`, создаваемому гирей.
Разность давлений в воде у дна и вблизи поршня: `P_2 - P_1 = rho gH`.
Отсюда `P_2 = P_1 + rho gH`.
Окончательно, давление у дна `P_2 = P_"атм" + (mg)/S + rho gH`.
