Внутренняя энергия тела зависит от его температуры и внешних условий - объёма и т. д. Если внешние условия остаются неизменными, т. е. объём и другие параметры постоянны, то внутренняя энергия тела зависит только от его температуры.
Изменить внутреннюю энергию тела можно, не только нагревая его в пламени или совершая над ним механическую работу (без изменения положения тела, например, работа силы трения), но и приводя его в контакт с другим телом, имеющим температуру, отличную от температуры данного тела, т. е. посредством теплопередачи.
Количество внутренней энергии, которое тело приобретает или теряет в процессе теплопередачи, и называется «количеством теплоты». Количество теплоты принято обозначать буквой `Q`. Если внутренняя энергия тела в процессе теплопередачи увеличивается, то теплоте приписывают знак плюс, и говорят, что телу сообщили теплоту `Q`. При уменьшении внутренней энергии в процессе теплопередачи теплота считается отрицательной, и говорят, что от тела отняли (или отвели) количество теплоты `Q`.
Количество теплоты можно измерять в тех же единицах, в которых измеряется и механическая энергия. В системе СИ - это `1` джоуль. Существует и другая единица измерения теплоты - калория. Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания `1` г воды на `1^@ "C"`.
Соотношение между этими единицами было установлено Джоулем: `1` кал `= 4,18` Дж. Это означает, что за счёт работы в `4,18` кДж температура `1` килограмма воды повысится на `1` градус.
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на `1^@ "C"`, называется теплоёмкостью тела. Теплоёмкость тела обозначается буквой `C`. Если телу сообщили небольшое количество теплоты `Delta Q`, а температура тела изменилась на `Delta t` градусов, то
| `C = (DeltaQ)/(Deltat)`. | (1.1) |
Опыт показывает, что при обычных температурах `(200-500 sf"К")` теплоёмкость большинства твёрдых и жидких тел почти не зависит от температуры. Для большинства расчётов будем принимать, что теплоёмкость какого-нибудь вещества есть величина постоянная.
Кроме теплоёмкости тела `C` вводят ещё удельную теплоёмкость `c` - теплоёмкость единицы массы вещества. Именно эта величина обычно приводится в справочниках физических величин. Удельная теплоёмкость `c` связана с теплоёмкостью тела `C` и массой `m` тела соотношением:
| `C = c*m`. | (1.2) |
Приведённые формулы позволяют рассчитать, какое количество теплоты `Q` надо передать телу массы `m`, чтобы повысить его температуру от значения `t_1` до значения `t_2`:
| `Q=C*Deltat=C*(t_2 - t_1)=c*m*(t_2 - t_1 )`. | (1.3) |
Если тело окружить оболочкой, плохо проводящей тепло, то температура тела, если оно предоставлено самому себе, будет оставаться в течение длительного времени практически постоянной. Таких идеальных оболочек в природе, конечно, не существует, но можно создать оболочки, которые по своим свойствам приближаются к таковым.
Примерами могут служить обшивка космических кораблей, сосуды Дьюара, применяемые в физике и технике. Сосуд Дьюара представляет собой стеклянный или металлический баллон с двойными зеркальными стенками, между которыми создан высокий вакуум. Стеклянная колба домашнего термоса тоже является сосудом Дьюара.
Теплоизолирующей является оболочка калориметра – прибора, позволяющего измерять количество теплоты. Калориметр представляет собой большой тонкостенный стакан, поставленный на кусочки пробки внутрь другого большого стакана так, чтобы между стенками оставался слой воздуха, и закрытый сверху теплонепроводящей крышкой.
Если в калориметре привести в тепловой контакт два или несколько тел, имеющих различные температуры, и подождать, то через некоторое время внутри калориметра установится тепловое равновесие. В процессе перехода в тепловое равновесие одни тела будут отдавать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"отд")`), другие будут получать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"пол")`). А так как калориметр и содержащиеся в нём тела не обмениваются теплом с окружающим пространством, а только между собой, то можно записать соотношение, называемое также уравнением теплового баланса:
| `Q_(sf"пол") = Q_(sf"отд")` | (1.4) |
В ряде тепловых процессов тепло может поглощаться или выделяться телом без изменения его температуры. Такие тепловые процессы имеют место при изменении агрегатного состояния вещества - плавлении, кристаллизации, испарении, конденсации и кипении. Коротко остановимся на основных характеристиках этих процессов.
Плавление – процесс превращения кристаллического твёрдого тела в жидкость. Процесс плавления происходит при постоянной температуре, тепло при этом поглощается.
Удельная теплота плавления `lambda` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы расплавить `1` кг кристаллического вещества, взятого при температуре плавления. Количество теплоты `Q_(sf"пл")`, которое потребуется для перевода твёрдого тела массы `m` при температуре плавления в жидкое состояние, равно
| `Q_(sf"пл") = lambda * m`. | (1.5) |
Поскольку температура плавления остаётся постоянной, то количество теплоты, сообщаемое телу, идёт на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул, при этом происходит разрушение кристаллической решётки.
Процесс кристаллизации – это процесс, обратный процессу плавления. При кристаллизации жидкость превращается в твёрдое тело и выделяется количество теплоты, также определяемое формулой (1.5).
Испарение – это процесс превращения жидкости в пар. Испарение происходит с открытой поверхности жидкости. В процессе испарения жидкость покидают самые быстрые молекулы, т. е. молекулы, способные преодолеть силы притяжения со стороны молекул жидкости. Вследствие этого, если жидкость теплоизолирована, то в процессе испарения она охлаждается.
Удельная теплота парообразования `L` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы превратить в пар `1` кг жидкости. Количество теплоты `Q_(sf"исп")`, которое потребуется для перевода в парообразное состояние жидкость массой `m` равно
| `Q_(sf"исп") =L*m`. | (1.6) |
Конденсация – процесс, обратный процессу испарения. При конденсации пар переходит в жидкость. При этом выделяется тепло. Количество теплоты, выделяющейся при конденсации пара, определяется по формуле (1.6).
Кипение – процесс, при котором давление насыщенных паров жидкости равно атмосферному давлению, поэтому испарение происходит не только с поверхности, но и по всему объёму (в жидкости всегда имеются пузырьки воздуха, при кипении давление паров в них достигает атмосферного, и пузырьки поднимаются вверх).
Возгонка (сублимация) – процесс перехода вещества из твёрдого состояния непосредственно в газообразное. Именно благодаря сублимации мы чувствуем запахи некоторых твердых веществ, например, нафталина и камфары. По этой же причине мокрое белье, вывешенное на мороз, высыхает. Обратный процесс называется десублимацией. Примером десублимации служат «узоры» на окнах, образующиеся из водяного пара, находящегося в воздухе и кристаллизующегося на поверхности стекла.
В электрический чайник налили холодную воду при температуре `t_1 = 10^@ "C"`. Через время `tau =10` мин после включения чайника вода закипела. Через какое время она полностью испарится? Потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоёмкость воды `c_(sf"в") = 4200 sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`, удельная теплота парообразования воды `L_(sf"в") =2,26 *10^6 sf"Дж"//sf"кг"`.
Для испарения воды массой `m` при температуре кипения необходимо количество теплоты `Q_1 =mL_(sf"в")`, где `L_(sf"в")` - удельная теплота парообразования воды.
Пусть воде от нагревателя чайника в единицу времени поступает количество теплоты `q`, а `tau_1` - время, необходимое для испарения всей воды, нагретой до температуры кипения. Тогда справедливо соотношение
`Q_1 = mL_(sf"в") =q tau_1`.
Количество теплоты `Q_2`, поступившее от нагревателя за время `tau` и нагревшее воду от начальной температуры `t_1 = 10^@ "C"` до температуры кипения `t_2 =100^@ "C"`, равно
`Q_2 = q tau = c_(sf"в")m (t_2 - t_1)`,
где `c_(sf"в")` - удельная теплоёмкость воды. Отсюда для массы воды получаем
`m= (q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.
Подставляя это выражение в соотношение для `Q_1`, имеем
`q*tau_1 = (L_(sf"в")q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.
Отсюда для времени испарения воды получаем
$$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{L}_{\mathrm{в}}·\tau }{{c}_{\mathrm{в}}·\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,26}·{10}^{6} \mathrm{Дж}/\mathrm{кг}·600 \mathrm{с} }{\mathrm{4,2}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·90 \mathrm{К}}}\approx 1 \mathrm{час}.$$
Найдите расход бензина автомобиля (в литрах) на `L = 100` км пути при скорости `v=90` км/ч. Мощность двигателя автомобиля `P=30` кВт, коэффициент полезного действия `eta =25%`.
Количество теплоты `Q`, которое выделяется при сгорании бензина объёмом `V`, зависит от удельной теплоты сгорания `q` данного вида топлива (для бензина `q=46 sf"МДж"//sf"кг"`) и массы `m` сгоревшего топлива. С учётом того, что `m=rho V` (для бензина `rho = 700 sf"кг"//sf"м"^3`), получаем
`Q=qm=q rho V`.
Часть энергии, выделяемой при сгорании бензина, используется для создания полезной мощности `P`. Если двигатель, развивая постоянную мощность `P`, проработал в течение времени `tau`, то совершённая им работа `A` равна `P tau`. Эффективность преобразования теплоты `Q` сгорания топлива в механическую работу `A` двигателя характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД) двигателя `eta`
`eta=A/Q * 100% = (P tau)/Q *100% = (P tau)/(q rho V) * 100%`.
Время работы двигателя `tau = L//v`. Из полученных соотношений для величины расхода бензина находим
`V = (100%)/(eta) * (P*L)/(q*rho *v) ~~(100%)/(25%) * (30*10^3 sf"Дж"//sf"c" * 10^5 sf"м")/(46 * 10^6 sf"Дж"//sf"кг" * 700 sf"кг"//sf"м"^3 * 25 sf"м"//sf"с") ~~14,9 sf"л"`.
Следовательно, расход бензина для автомобиля с указанными характеристиками составляет примерно `15` литров на `100` км пути.
При выстреле из ружья стальная дробь массой `m=45` г вылетает со скоростью `v=600` м/с. Считая, что `80%` энергии, высвободившейся при сгорании порохового заряда массой `M=9` г, переходит в кинетическую энергию пули и её внутреннюю энергию, определите, на сколько градусов повысилась температура пули. Удельная теплота сгорания пороха `q=3 sf"МДж"//sf"кг"`, удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж" //(sf"кг" * sf"К")`.
При сгорании пороха массой `M` выделяется энергия (теплота) `Q=qM`, где `q` -удельная теплота сгорания пороха. По условию задачи `80%` этой энергии переходит в кинетическую энергию `K` дроби и её внутреннюю энергию. Следовательно, внутренняя энергия дроби изменяется, и пусть `Delta U` - величина этого изменения. Тогда справедливо следующее соотношение
`0,8 Q=K+Delta U`.
Перепишем его, учитывая выражения для кинетической энергии дроби `K=mv^2 //2` и изменения внутренней энергии `Delta U = c_(sf"ст") mDelta t`, где `Delta t` - изменение температуры дроби (искомая величина). Получаем
`0,8 qM=(mv^2)/(2) +c_sf"ст" mDelta t`.
Отсюда для изменения температуры находим
`Delta t= (1,6 qM - mv^2)/(2 c_(sf"ст") m) = 600 sf"К"`.
Как велика масса стальной детали, нагретой предварительно до `500^@ "C"`, если при опускании её в калориметр, содержащий `18,6` л воды при температуре `13^@ "C"`, последняя нагрелась до `35^@ "C"`. Теплоёмкостью калориметра и потерями теплоты на испарение воды пренебречь. Удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`.
Во время рассматриваемого теплового процесса стальная деталь массой `M_(sf"ст")` охлаждается от температуры `t_1 =500^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_(sf"ст")`:
`Q_(sf"ст") = c_(sf"ст") M_(sf"ст") (t_1 -t)`.
За это же время вода массой `M_sf"в" =18,6` кг нагревается от температуры `t_2 =13^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, получив при этом количество теплоты `Q_(sf"в")`:
`Q_sf"в" = c_sf"в" M_sf"в" (t-t_2)`.
Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:
$$ {Q}_{\mathrm{отд}}={Q}_{\mathrm{ст}}={c}_{\mathrm{ст}}{M}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)={Q}_{\mathrm{пол}}={Q}_{\mathrm{в}}={c}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)$$.
Здесь учтено, что по условию задачи испарением воды можно пренебречь, т. е. теплота, выделяемая при охлаждении стальной детали, идёт только на нагревание воды.
Из последнего соотношения для массы стальной детали получаем
$$ {M}_{\mathrm{ст}}={\displaystyle \frac{{с}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)}{{c}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)}}={\displaystyle \frac{4200 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\mathrm{18,6} \mathrm{кг}·\left(35°\mathrm{C}-13°\mathrm{C}\right)}{500 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\left(500°\mathrm{C}-35°\mathrm{C}\right)}}\approx \mathrm{7,4} \mathrm{кг}$$.
В калориметр, где в состоянии теплового равновесия находился мокрый снег (смесь льда и воды) массой `m=250` г, долили `M=1` кг воды при температуре `t_1 =20^@ "C"`. После того, как снег растаял, и установилось тепловое равновесие, в калориметре оказалась вода при температуре `t_2 =5^@ "C"`. Сколько воды содержалось в снегу? Потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра пренебречь.
Конечное агрегатное состояние системы по условию задачи - вода. Мокрый снег (смесь льда и воды при температуре `t_0 =0^@ "C"`) получает теплоту от находящейся в калориметре воды.
Часть теплоты, подведённой мокрому снегу, идёт на плавление находящегося в снегу льда (пусть масса льда `m_(sf"л")`). Для плавления льда при температуре плавления необходимо количество теплоты `Q_sf"пол,1"`:
`Q_(sf"пол,1") = m_sf"л" lambda_sf"л"`.
На нагревание получившейся из мокрого снега воды массой `m=250` г от температуры `t_0 = 0^@ "C"` до температуры `t_2 = 5^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_sf"пол,2"`
`Q_sf"пол,2" = c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.
Таким образом, суммарное количество теплоты `Q_sf"пол"`, получаемое мокрым снегом, а затем водой, равно
`Q_sf"пол"=Q_sf"пол,1" + Q_sf"пол,2"=m_(sf"л") lambda_(sf"л") + c_(sf"в") m (t_2 - t_0)`.
Вода, первоначально находившаяся в калориметре, охлаждается от температуры `t_1 = 20^@ "C"` до температуры `t_2 =5^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_sf"отд"`
`Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)`.
Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:
`Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)=Q_sf"пол" = m_sf"л" lambda_sf"л" + c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.
Отсюда для массы льда, находившегося в мокром снегу, получаем
`m_sf"л" = (Mc_sf"в" (t_1 - t_2) - mc_sf"в" (t_2 - t_0))/(lambda_sf"л") ~~170 sf"г"`.
Масса же воды, содержавшейся в мокром снегу, равна `78` г.
В холодную воду, взятую в количестве `12` кг, впускают `1` кг водяного пара при температуре `t_sf"п" = 100^@ "C"`. Температура воды после конденсации в ней пара поднялась до `t=70^@ "C"`. Какова была первоначальная температура воды? Потерями теплоты пренебречь.
Попав в холодную воду, пар массой `m_sf"п" = 1` кг конденсируется, выделяя количество теплоты `Q_1 = m_sf"п"L_sf"в"`. Здесь `L_sf"в"` - удельная теплота конденсации водяного пара. Получившаяся при конденсации пара вода охлаждается от температуры `t_sf"п" =100^@ "C"` до `t=70^@ "C"`, отдавая холодной воде количество теплоты `Q_2 = c_sf"в" * m_sf"п" * (t_sf"п" - t)`.
Для нагревания холодной воды массы `m_sf"в" =12` кг от начальной температуры `t_sf"в"` до температуры `t=70^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_3 = c_sf"в" * m_sf"в" * (t-t_sf"в")`.
Составим уравнение теплового баланса для рассматриваемого теплового процесса:
`Q_sf"отд" = Q_1 + Q_2 = L_sf"в" m_sf"п" + c_sf"в" m_sf"п" (t_sf"п" - t) = Q_sf"пол" = Q_3 = c_sf"в" m_sf"в" (t-t_sf"в")`.
Решая полученное уравнение, для начальной температуры воды находим:
`t_sf"в" = t- (L_sf"в" m_sf"п") / (c_sf"в" m_sf"в") - (m_sf"п")/(m_sf"в") * (t_sf"п" - t) = 23^@ "C"`.
В калориметр, содержащий `200` г воды при температуре `8^@"C"`, опускают `100` г льда, температура которого равна `-20^@"C"`. Какая температура установится в калориметре? Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.
Конечное состояние не очевидно. Требуется анализ.
Чтобы нагреть массу `m_"л"=0,1` кг льда от `t_"л"=-20^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, надо было бы затратить количество теплоты
`Q_1=c_"л"m_"л"(t_0-t_"л")=4200` Дж.
Чтобы расплавить весь лёд при `0^@"C"` потребовалось бы количество теплоты
`Q_2=lambda_"л"m_"л"=33600` Дж.
Если вся вода охладится от `t_"в"=8^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, то выделится количество теплоты
`Q_3=c_"в"m_"в"(t_"в"-t_0)=6720` Дж.
Сравнивая полученные значения для `Q_1`, `Q_2`, `Q_3`, приходим к выводу, что `Q_3` хватит на нагрев всего льда от `t_"л"` до `t_0` и плавления только части льда массой `m_1`. Уравнение теплового баланса
`Q_3=Q_1+m_1lambda_"л"`.
Отсюда
`m_1=(Q_3-Q_1)/(lambda_"л")=7,5` г.
Итак, в калориметре будет смесь из `207,5` г воды и `92,5` г льда при `0^@"C"`.
