Алгебра логики является частью активно развивающейся сегодня науки – дискретной математики. Дискретная математика – это тот раз-дел математики, где не используется понятие непрерывности.
1) Состоящий из отдельных частей.
2) Изменяющийся между несколькими стабильными состояниями.
3) Существующий лишь в отдельных точках.
Для того, чтобы лучше понять этот термин, рассмотрим следующий пример. Мы знаем, что график некоторой функции (например, `y=x^2`) является непрерывной линией (параболой), если аргумент функции принимает все значения из множества действительных чисел. А теперь представим, что `x` может принимать только значения из множества целых чисел. В этом случае график будет представлять собой бесконечное количество отдельных точек, располагающихся на координатной плоскости в определённом порядке. В расположении точек будет угадываться парабола, но непрерывной линии мы не увидим. Вместо неё мы увидим дискретную структуру.
В прошлом задании мы говорили о представлении чисел в компьютере, и знаем, что каждое число представляется в виде определённой последовательности значений битов. В каждом бите может храниться ноль или единица. То есть, по сути, представление чисел (в будущем мы увидим, что не только чисел, а вообще любых данных) в компьютере является дискретной структурой. Поэтому, изучение дискретных структур – важная часть информатики. В этом задании мы будем изучать наиболее простую дискретную структуру, которая называется высказыванием.
Высказывание – это повествовательное предложение, в отношении которого можно судить о его истинности либо ложности.
Например, предложение: «Я – твой друг» является высказыванием, а предложение: «Положи это сюда!» высказыванием не является, поскольку не является повествовательным предложением.
Истинность или ложность каждого высказывания зависит от трактовки его содержания. Например, высказывание: «Город Москва – столица России» является истинным, а высказывание: «Город Санкт-Петербург стоит на реке Лене» является ложным.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама по себе не является высказыванием.
Высказывание: «Эта шляпа – красная» является простым, в то время как высказывание: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую» является примером сложного высказывания, которое, по сути, состоит из трёх простых: «две прямые параллельны», «прямая пересекает одну из двух прямых», «прямая пересекает другую прямую». В сложном высказывании простые высказывания соединяются при помощи логических связок. В рассмотренном выше примере логической связкой является союз «если то».
Алгебра логики изучает структуру сложных логических высказываний и способы установления их истинности при помощи алгебраических методов. Причём, конкретное содержание высказываний предметом изучения алгебры логики не является, и, соответственно, интересовать нас в дальнейшем не будет.
В прошлом задании при изучении основ программирования мы столкнулись с понятиями констант и переменных. Константа – это некоторое конкретное значение, а переменная – это объект, который может менять свои значения и которому можно присваивать различные значения. Этими же понятиями пользуется и алгебра логики, чтобы абстрагироваться от конкретных содержаний высказываний. Будем считать, что любое простое высказывание – это есть константа. И введём понятие переменной в алгебре логики.
Переменной в алгебре логики называется объект, имеющий уникальное имя, и значением которого может являться любое простое высказывание.
В отличие от языков программирования в алгебре логики нет ограничений при именовании переменных. Переменные могут иметь абсолютно любые имена, но чаще всего их обозначают заглавными или строчными латинскими буквами (`A, B, C, x, y, z, s`), либо последовательностью, состоящей из заглавной или строчной латинской буквы и целого числа (`A1, A2, A4, A10000000`). Ещё одно отличие от языков программирования заключается в том, что после присвоения переменной высказывания можно говорить об её истинности либо ложности. То есть существует два понятия «значение логической переменной». С одной стороны – это конкретное высказывание, а с другой стороны – это истина, либо ложь.
Логическим выражением называется объект, состоящий из логических переменных и логических операций и имеющий значение истина, либо ложь. Процесс построения логического выражения по сложному высказыванию называется формализацией высказывания.
В процессе формализации нужно сделать следующие действия: выделить из сложного высказывания простые и превратить их в логические переменные. Затем каждая логическая связка превращается в логическую операцию. В описанных действиях остаётся два непонятных момента. Первый – что такое логическая операция, и второй – каким образом логические связки превращаются в логические операции. Будем последовательно отвечать на эти вопросы.
Для того чтобы определить операцию, необходимо указать количество операндов (объектов, над которыми выполняется операция) их тип и результат выполнения операции. Логические операции чаще всего имеют два операнда, как и математические. Однако мы также будем изучать операции, которые имеют всего один операнд. Независимо от количества операнды должны быть логического типа, то есть иметь значение истина, либо ложь. Результатом логической операции также является логическое значение – истина или ложь. Для того чтобы немного сократить запись, условимся в дальнейшем логическое значение «истина» обозначать единичкой `(1)`, а логическое значение – «ложь» – нулём `(0)`.
Очевидно, что если у операции два операнда, и значением каждого является `0` или `1`, то существует всего четыре набора значений операндов `(00, 01, 10, 11)`. Для каждого из наборов необходимо определить значение логической операции. Удобно это представлять в виде таблицы. Таблицы соответствия значений логических операций набору значений операндов называются таблицами истинности.
Сейчас мы познакомимся с шестью основными логическими операциями. Каждая из них имеет несколько названий и обозначений.
|
Названия операции |
Возможные обозначения |
|
Отрицание, инверсия. |
`-, ~|, not` |
|
Конъюнкция, логическое умножение, операция И, операция AND. |
`&, ^^, *,` по аналогии с алгебраическим умножением может никак не обозначаться
|
|
Дизъюнкция, нестрогая дизъюнкция, логическое сложение, операция ИЛИ, операция OR. |
`|``, vv, +` |
|
Строгая дизъюнкция, разделительная дизъюнкция, исключающее ИЛИ, сложение по модулю `2`. |
`o+, Delta` |
|
Эквивалентность, эквиваленция, равенство, равнозначность. |
`iff, -=` |
|
Импликация, следование, следствие |
`=>, ->` |
Теперь для того чтобы строго определить эти логические операции, нам нужно для каждой из них выписать таблицу истинности. Все перечисленные операции кроме отрицания имеют два операнда. Знак операции в выражениях пишется между операндами (как в алгебре чисел). Операция отрицания имеет один операнд и в выражениях записывается либо в виде черты над операндом, либо в виде символа «приставка» слева от операнда.
Для того, чтобы не путаться и гарантированно перебрать все возможные комбинации значений операндов, принято записывать их в лексикографическом порядке (условно считается, что «ложь» `<` «истина»).
Таблица истинности для конъюнкции
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb0` |
|
`0` |
`1` |
`bb0` |
|
`1` |
`0` |
`bb0` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для дизъюнкции
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb0` |
|
`0` |
`1` |
`bb1` |
|
`1` |
`0` |
`bb1` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для строгой дизъюнкции
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb0` |
|
`0` |
`1` |
`bb1` |
|
`1` |
`0` |
`bb1` |
|
`1` |
`1` |
`bb0` |
Таблица истинности для эквивалентности
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb1` |
|
`0` |
`1` |
`bb0` |
|
`1` |
`0` |
`bb0` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для импликации
|
Первый операнд |
Второй операнд |
Значение операции |
|
`0` |
`0` |
`bb1` |
|
`0` |
`1` |
`bb1` |
|
`1` |
`0` |
`bb0` |
|
`1` |
`1` |
`bb1` |
Таблица истинности для отрицания
|
Значение операнда |
Значение операции |
|
`0` |
`bb1` |
|
`1` |
`bb0` |
Теперь осталось лишь установить соответствие между логическими операциями и логическими связками в русском языке.
|
Логическая операция |
Логические связки в русском языке |
|
Отрицание |
Неверно что… |
|
Конъюнкция |
и, а, но, а также, при этом, одновременно с этим, хотя |
|
Дизъюнкция |
Или |
|
Строгая дизъюнкция |
или, либо |
|
Эквивалентность |
Тогда и только тогда когда, необходимо и достаточно чтобы |
|
Импликация |
если то, необходимо чтобы, достаточно чтобы |
Обратите внимание, что союз ИЛИ может означать, как строгую, так и нестрогую дизъюнкцию. Его интерпретация зависит от содержания (!!!) высказывания.
Рассмотрим высказывание: «Мы идём в кино в субботу или в воскресение». Здесь два простых высказывания: «Мы идём в кино в субботу» и «Мы идём в кино в воскресение». Между ними стоит союз ИЛИ, который можно интерпретировать двояко. В данном случае очевидно, что мы можем пойти в кино и в субботу, и в воскресение, поэтому дизъюнкция будет нестрогая. Возьмём две логические переменные – `p` и `q` и присвоим им простые высказывания. Тогда исходное высказывание в формализованном виде будет выглядеть, как `bb(pvvq)`.
Рассмотрим высказывание: «Я сейчас на севере Москвы или на юго-западе Москвы». Здесь тоже два простых высказывания, которые связаны союзом ИЛИ. Но в этом случае союз ИЛИ интерпретируется, как строгая дизъюнкция, поскольку нельзя одновременно находиться в двух местах. Таким образом, если снова взять логические переменные `p` и `q`, то получится следующая логическая формула: `bb(p"o+q)`.
Рассмотрим высказывание: «Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны». Здесь два простых высказывания: «Четырёхугольник является квадратом» и «Все стороны четырёхугольника равны». Присвоим их соответственно логическим переменным `p` и `q`. Логическая связка «необходимо, чтобы» - это импликация. Весь вопрос в том, что из чего следует. (Какая запись правильная: `bbp -> bbq` или `bbq ->bbp`?) Импликация ложна только в единственном случае: когда левый операнд имеет значение «истина», а правый – «ложь». Рассмотрим все возможные значения операндов и проанализируем, какая из ситуаций невозможна.
1) `p` и `q` ложны. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом и его стороны не равны. Это возможная ситуация.
2) `p` – ложно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом, но стороны у него равны. Это возможно (ромб).
3) `p` – истинно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом и стороны у него равны. Это возможная ситуация.
4) `p` – истинно, `q` – ложно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом, но стороны у него не равны. Это невозможная ситуация.
Анализ ситуаций показывает, что левым операндом импликации должна быть переменная `p`. Таким образом, в формализованном виде исходное высказывание выглядит как `bb(p -> q)`.
Очень часто вместо «присвоим логическим переменным эти высказывания» говорят «обозначим высказывания следующим образом». В дальнейшем мы тоже будем использовать этот речевой оборот.
1.1 Алгоритмическая конструкция «Цикл»
Зачастую в задаче нужно повторять одни и те же действия много раз. Рассмотрим следующий пример: вывести на экран квадраты чисел от `1` до `100`.
Очевидно, что для решения этой задачи нам придётся `100` раз выполнять команду вывода соответствующего числа на экран. Писать `100` операторов вывода как-то не хочется (слишком трудоёмко), поэтому будем знакомиться с алгоритмической конструкцией, которая называется «цикл».
называется повторение фрагмента алгоритма несколько раз с возвратом в более раннюю точку исполнения алгоритма. Повторяемый при этом фрагмент алгоритма называется телом цикла.
Очевидно, что если возврат в более раннюю точку алгоритма происходит абсолютно всегда, то алгоритм никогда не доходит до своего завершения (выполняется бесконечно долго). Для предотвращения бесконечного повторения нужно поставить точку ветвления: в одной из веток будет возврат, а в другой - выход из цикла и дальнейшее продвижение по алгоритму.
В зависимости от положения точки ветвления выделяются циклы с предусловием (точка ветвления располагается перед телом цикла) и с постусловием (точка ветвления располагается после тела цикла).
1.2. Оператор while
В языке программирования есть несколько операторов цикла, реализующих как конструкцию с предусловием, так и конструкцию с постусловием. Познакомимся с ними.
Первый оператор цикла называется While и реализует алгоритмическую конструкцию с предусловием. В общем виде он записывается следующим образом:
while условие do оператор
Слова while и do являются служебными зарезервированными словами языка. Под условием (аналогично оператору if) понимается выражение, результат вычисления которого имеет тип boolean. Работает этот оператор следующим образом. Сначала вычисляется условие. Если в результате получилось true, то мы заходим в цикл, то есть выполняем тело цикла и возвращаемся вновь к вычислению условия. Если же получилось false, то происходит переход к следующему оператору в программы, и входа в цикл не будет. Фактически оператор while является многократным применением оператора if с пустой веткой else. Аналогично оператору if, тело цикла должно состоять из `1` оператора. Если нужно исполнить несколько, то следует использовать операторные скобки (begin end).
Возможна ситуация, когда цикл будет выполняться бесконечное количество раз (зациклится). Например, while 2*2=4 do… Что написать после do, совершенно не важно, важно, что оно будет выполняться, пока 2*2=4, а это всегда так, и никогда не изменится. Значит, чтобы избегать зацикливания, параметры условия должны быть переменными, например while x*x=4 do … Хотя это тоже не гарантирует отсутствие зацикливания. Поэтому при написании программ нужно всегда внимательно следить за тем, какие условия мы пишем в операторе цикла, чтобы не случилось ситуации зацикливания.
Также обратите внимание, что поскольку условие проверяется до входа в цикл, возможна ситуация, что при первой же проверке получится значение false и, соответственно, в цикл мы вообще не зайдём.
1.3. Примеры задач
Рассмотрим несколько примеров задач на оператор цикла.
Дано целое число, не меньшее `2`. Выведите его наименьший натуральный делитель, отличный от `1`.
Для решения этой задачи нам необходимо перебирать натуральные числа, начиная с двух и проверять каждое из них, не является ли оно делителем исходного числа. Процесс завершается, когда делитель найден. Очевидно, что процесс завершится всегда, поскольку в худшем случае число разделится само на себя. Приведём код программы.
var i,n:integer;
begin
readln(n);
i:=2;
while n mod i <> 0 do
i:=i+1;
end;
writeln (i);
end.
В первый день спортсмен пробежал `x` километров, а затем он каждый день увеличивал пробег на `10%` от предыдущего значения. По данному числу `y` определите номер дня, на который пробег спортсмена составит не менее `y` километров. Программа получает на вход действительные числа `x` и `y`. Программа должна вывести одно натуральное число.
В этой задаче нам нужно реализовать постепенное увеличение пробега. То есть, на каждом шаге цикла мы будем сохранять значение пробега в соответствующий день в одной переменной, а номер этого дня – в другой. Завершение, когда значение первой переменной станет не меньшим чем `y`. Приведём код программы. Все переменные, отвечающие за километры, имеют тип real (из условия).
var x,y:real; i:integer;
begin
readln(x,y);
i:=1;
while x<y do begin
x:=x/100*10+x;
i:=i+1;
end;
writeln(i);
end.
Дано натуральное число `N`. Вычислите его сумму цифр.
Для решения этой задачи на каждом шаге цикла нужно изменять наше число: при помощи операции mod можно выделить последнюю цифру из числа и прибавить её к сумме, а затем её надо выбросить из числа при помощи операции div. Делить нужно, естественно, на `10`. Критерий завершения – когда число станет равным нулю, ибо это будет означать, что мы уже рассмотрели все цифры и поделили на `10` однозначное число (по свойствам операции целочисленного деления известно, что при делении меньшего числа на большее получается ноль). Приведём код программы.
var a,n,s:integer;
begin
readln(n);
s:=0;
while n>0 do begin
a:=n mod 10;
s:=s+a;
n:=n div 10;
end;
writeln(s);
end.
Ввести целое число `n`. Вывести `"YES"`, если оно простое, и `"NO"`, если оно составное.
Эта задача демонстрирует сразу две важные вещи. Во-первых, как проверять делимость целых чисел, а во-вторых, технику флажков. Флажком называется переменная, которая имеет некоторое начальное значение и меняет его, если происходит определённое событие. Как правило, флажок имеет тип boolean.
В нашей задаче мы будем перебирать числа от `2` до квадратного корня из `n` и проверять, делится ли `n` на каждое из них. Изначально предположим, что `n` - простое, и присвоим флажку значение true, но если `n` поделится на какое-нибудь число, это будет значить, что оно составное, и, соответственно, флажок «упадёт» на значение false. Проверять на делимость нужно, сравнивая остаток от деления с нулём.
var n,i:integer;
f:boolean;
begin
readln(n);
f:=true;
for i:=2 to round(sqrt(n)) do
if n mod i = 0 then f:=false else;
if f=true
then writeln('YES')
else writeln('NO');
end.
1.4 Оператор repeat
Теперь познакомимся с другим оператором цикла, который реализует алгоритмическую конструкцию цикла с постусловием. Рассмотрим его синтаксис.
repeat
Оператор 1;
Оператор 2;
….
Оператор N
until условие
Все операторы, написанные между repeat и until, являются телом цикла. Это выгодно отличает оператор repeat от других циклов - составной оператор здесь не требуется, а операторными скобками можно считать слова repeat и until. Работает этот оператор по следующему алгоритму:
1) выполняется тело цикла;
2) вычисляется значение условия. Если получилось true, то выход из цикла и переход к следующему оператору программы, в противном случае переход к пункту 1.
Отличительная особенность оператора цикла repeat заключается в том, что тело всегда выполняется, по крайней мере, один раз. Это нужно учитывать в задачах при выборе оператора цикла. Аналогично оператору while, цикл repeat может зациклиться, правда в случае, когда условие никогда не принимает значение true, например, repeat…until 2*2=5.
Этот оператор цикла реализует следующую идею: «Повторять некоторую последовательность команд `N` раз, где `N` известно до начала повторения». Познакомимся с синтаксисом этого оператора.
for имя переменной := начальное значение to конечное значение do оператор
В этой конструкции переменная, стоящая после слова for, называется параметром или счётчиком цикла, а оператор, стоящий после слова do, называется телом цикла. Начальное и конечное значения, по сути, являются константами или выражениями одного типа со счётчиком. Алгоритм выполнения цикла for следующий:
1) вычисляются начальное и конечное значения;
2) счётчику цикла присваивается начальное значение;
3) значение счётчика сравнивается с конечным. Если оно больше ко-нечного, то выполнение цикла завершается и начинает выполняться следующий оператор программы, в противном случае переход к пункту 4;
4) выполняется тело цикла;
5) значение счётчика увеличивается на `1`;
6) переход к пункту 3.
В качестве примера рассмотрим решение задачи, поставленной в самом начале. В качестве счётчика будем использовать переменную i.
var i:integer;
begin
for i:=1 to 100 do write(i*i,' ');
end.
Согласитесь, что решение фактически в одну строчку выглядит гораздо приятнее, чем в `100` строк (если не пользоваться оператором цикла).
Необходимо сделать несколько замечаний по поводу цикла for.
1) Типы счётчика начального и конечного значений должны совпадать, при этом в настоящий момент из известных нам типов можно использовать только integer и boolean. Вещественный тип использовать нельзя.
2) Начальное и конечное значения вычисляются один раз до начала цикла (и после не перевычисляются). Рассмотрим пример.
i:=1; for i:=i to i do writeln('HI');
Этот оператор цикла выполнится всего один раз, а не бесконечно много.
3) В теле цикла значение счётчика изменять нельзя. Так прописано в стандарте языка Pascal, и это требование поддерживается в системах семейства Delphi и PascalABC. Однако в системах семейства Borland Pascal значение счётчика изменять можно, что может приводить к непредсказуемым последствиям (поэтому будем считать, что независимо от системы значение счётчика изменять нельзя).
4) После завершения цикла значение счётчика не определено, то есть нельзя считать, что оно равно конечному значению или больше на единицу и пользоваться этим в дальнейшем алгоритме.
5) Тело цикла по грамматике должно состоять только из `1` оператора. Если же там по алгоритму должно быть несколько, нужно использовать составной оператор. В этом смысле оператор for солидарен с операторами if и while.
6) Можно слово to заменить на слово downto. В этом случае значение счётчика после каждого выполнения тела цикла будет уменьшаться на `1`, а выход из цикла произойдёт, когда значение счётчика окажется меньше, чем конечное.
Выполнение любого оператора цикла можно завершить досрочно, если использовать процедуру break. На данном этапе она особенно актуальна, если надо досрочно прервать цикл for. Выполнение этой процедуры передаст управление на оператор, который следует за прерываемым оператором цикла.
Проиллюстрируем её работу следующим примером:
вводится натуральное число `x` `(2 <= x <= 30000)`. Выведите наименьший делитель числа `x`, отличный от `1`.
Мы уже разбирали алгоритм решения этой задачи выше. Продемонстрируем его с использованием цикла for.
var a,i: integer;
begin
readln(a);
for i := 2 to a do
if a mod i = 0 then
begin
writeln(i);
break;
end;
end.
В данном классе формулировка всех задач начинается со слов: «Вводится последовательность чего-нибудь…». Для простоты будем считать, что чисел - с ними мы умеем работать, но в общем случае это необязательно так. Далее нам нужно оценить какое-то свойство данной последовательности. Например, сколько в ней нулей, является ли она возрастающей (каждое следующее число больше предыдущего) и т. д. Причём, для оценки данного свойства, сохранение всей последовательности в памяти не требуется.
Общий алгоритм решения задач этого класса таков: мы считываем очередной элемент последовательности, обрабатываем его так, как поставлено в задаче, и после про него забываем. Для реализации данного алгоритма нам придётся поместить оператор ввода внутрь цикла.
Рассмотрим стандартные шаблоны решения задач данного класса:
Количество элементов в последовательности известно заранее (`N`).
readln(N);
for j:=1 to N do begin
read(a);
{Содержательна обработка}
end;
Обращаем внимание, что внутрь оператора цикла обязательно помещается оператор read, а не readln. Дело в том, что, как правило, числа будут вводиться в строчку и оператор ввода будет на каждом шаге забирать из буфера по `1` числу. Оператор readln при этом ещё удаляет из буфера всё лишнее до конца строки, поэтому числа прочитаны не будут. Количество элементов последовательности, как правило, задаётся отдельным числом в первой строке, поэтому его логичнее читать оператором readln.
Рассмотрим примеры задач данного класса.
Вводится натуральное число `N`, а затем `N` натуральных чисел, сумму которых необходимо вычислить.
var i,N,a,s:integer;
begin
readln(N);
s:=0;
for i:=1 to N do begin
read(a);
s:=s+a;
end;
writeln(s)
end.
Вводится натуральное число `N`, а затем `N` целых чисел. Выведите `"YES"`, если среди введенных чисел есть хотя бы один ноль, или `"NO"` в противном случае.
var n,i,k,a,s:integer;
begin
s:=0;
readln(n);
for i:=1 to n do begin
read(a);
if a=0 then k:=k+1;
end;
if k<>0
then writeln('YES')
else writeln('NO')
end.
Теперь рассмотрим второй тип задач из класса «Обработка последовательностей», когда количество элементов неизвестно заранее, но известен признак конца.
Признак конца - это служебный элемент, который в саму последовательность не входит. При обработке числовых последовательностей чаще всего признаком конца является ноль (но может быть и любое другое число). Наиболее распространённая ошибка - обработать признак конца как содержательный элемент (например, при расчёте среднего арифметического элементов последовательности). Поэтому порядок действий должен быть таким:
1) Считывание
2) Проверка на признак конца
3) Содержательная обработка
За 3 пунктом алгоритм замыкается в цикл. Выход из цикла - на втором пункте, в случае положительного ответа. Соответственно, шаблон алгоритма должен отражать данную логику действий.
read(a);
while a<>0 do begin
{содержательная обработка};
read(a)
end;
В теле цикла оператор ввода ставится последним, чтобы следующим действием за вводом было вычисление условия цикла (то есть, проверка на признак конца).
Программа получает на вход последовательность целых неотрицательных чисел. Ноль - признак конца. Вывести количество членов последовательности (не считая завершающего числа `0`).
var a,k:integer;
begin
read(a);
k:=0;
while a<>0 do begin
k:=k+1;
read(a);
end;
writeln(k);
end.
Вводится последовательность целых чисел. Ноль - признак конца. Вывести, сколько элементов данной последовательности больше (строго) предыдущего элемента.
При решении этой задачи нам нужно будет сохранять в отдельную переменную значение предыдущего числа перед вводом нового. Приведём код программы.
var a,pr,k:integer;
begin
read(a);
pr:=a;
k:=0;
while a<>0 do begin
if (a > pr) then k:=k+1;
pr:=a;
read(a);
end;
writeln(k);
end.
Вводится последовательность натуральных чисел. Ноль - признак конца. Вывести значение максимального элемента.
Это очень важная эталонная задача, которую обязательно надо уметь решать. Для поиска максимума применяется следующая стратегия. Нужно каждый элемент сравнить с текущим значением максимума и, если элемент оказался больше, то обновить текущее значение максимума. Рассмотрим код программы.
var a,m:integer;
begin
read(a);
m:=a;
while a<>0 do begin
if (a > m) then m:=a;
read(a);
end;
writeln(m);
end.
При решении этой задачи ещё остался вопрос корректной инициализации. В общем случае есть два способа.
Первый вариант - в качестве начального значения максимума брать «минус бесконечность» (для минимума - плюс бесконечность). Под «минус бесконечностью» в данном случае понимается некое число, которое гарантированно меньше чем любой элемент, который может нам встретиться. Инициализация бесконечностью допустима, если мы заранее знаем диапазон элементов последовательности. Это её недостаток, зато она пишется в один оператор присваивания.
Второй вариант - в качестве начального значения брать первый подходящий элемент последовательности. В случае глобального максимума берётся просто первый элемент последовательности. Сложнее в ситуации, когда первый элемент может оказаться неподходящим.
Найти максимальный чётный элемент последовательности в предположении, что он существует.
var a,m:integer;
begin
read(a);
while (a<>0)and(a mod 2 <> 0) do read(a);
m:=a;
while a<>0 do begin
if (a mod 2 = 0)and(a>m) then m:=a;
read(a);
end;
writeln(m);
end.
В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего два значения - true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать правило совместимости типов. То есть, логическим переменным нельзя присваивать числовые значения, а числовым - логические. Так же можно выводить значения логических переменных на экран, а вот вводить их с клавиатуры нельзя!
В языке Pascal определены `6` операций сравнения, результатом которых является логическое значение:
1) «больше» (>)
2) «больше или равно» (>=)
3) «меньше» (<)
4) «меньше или равно» (<=)
5) «равно» (=)
6) «не равно» (<>).
Например, операция `5>2` всегда выдаст значение true, а операция `x<>3` выдаст значение true, если переменная `x` имеет любое значение, кроме `3`.
Сравнивать можно не только числа (причём как целые, так и вещественные), но и логические значения. При этом считается, что значение true больше, чем значение false.
При выполнении сравнений также необходимо соблюдать совместимость типов. То есть, можно сравнивать число с числом или логическое значение с логическим значением, но нельзя сравнивать число с логическим значением. Такое сравнение выдаст ошибку.
Помимо операций сравнения ещё существуют и логические операции:
1) and (конъюнкция, логическое умножение, операция «И»)
2) or (дизъюнкция, логическое сложение, операция «ИЛИ»)
3) not (отрицание, инверсия)
4) xor (строгая дизъюнкция, исключающее «ИЛИ», сложение по модулю `2`).
В скобках указаны возможные названия данных операций в алгебре логики.
Операнды этих операций должны быть логического типа. Результат вычислений также будет логический. При этом операции and, or, xor имеют по два операнда, а операция not - всего один, который записывается справа от названия операции. Названия логических операций являются служебными зарезервированными словами языка.
Приведём таблицы результатов логических операций для всех возможных значений операндов (в алгебре логики такие таблицы называются таблицами истинности):
|
X |
not x |
|
false |
true |
|
True |
false |
|
X |
y |
x and y |
x or y |
x xor y |
|
false |
false |
false |
False |
false |
|
false |
true |
false |
True |
True |
|
true |
false |
false |
True |
True |
|
true |
true |
true |
True |
False |
Логический результат даёт также стандартная функция odd(x), которая применяется к целочисленному аргументу х:
odd(x) = true, если `x` нечётно;
odd(x) = false, если `x` чётно.
Приоритет операций в сложном выражении (содержащем в себе все виды операций, изученных нами) следующий:
1) Операция not.
2) Операции группы умножения and, *, /, div, mod
3) Операции группы сложения or, xor, +, -
4) Операции сравнения >, <, >=, <=, =, <>
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем операции вне скобок.
Рассмотрим несколько примеров на построение логических выражений. Пусть нам требуется записать логическое выражение по синтаксису языка программирования, имеющее значение true, в случае выполнения указанного условия.
Целое число `n` делится на `13`.
n mod 13 = 0
Надо проверять, что остаток от деления на `13` является нулём.
Целое число `n` делится на `13` и `7`.
(n mod 13 = 0) and (n mod 7 = 0)
Здесь надо проверить одновременное выполнение двух условий.
Переменная `x` имеет значение из отрезков `[2,5]` или `[-1,1]`.
(x>=2) and (x<=5) or (abs(x)<=1)
Из чисел `x`, `y`, `z` хотя бы два равны между собой.
(x = y) or (x = z) or (y = z)
Числа `x`, `y`, `z` равны между собой.
(x = y) and (x = z)
Обратите внимание, что согласно таблице приоритетов, операции сравнения имеют самый низкий приоритет. Однако, как правило, в сложных выражениях нужно сначала выполнить сравнения, а потом группировать их результаты при помощи логических операций. Поэтому не нужно забывать брать операции сравнения в скобки, чтобы не получить неправильный порядок действий.
В рассматриваемых ранее задачах на программирование процесс вычисления был линейным, то есть программа не должна была выполнять разные действия в зависимости от того, какие данные ей ввели. Теперь рассмотрим задачи с ветвящимся алгоритмом.
Ввести номер года. Вывести слово YES, если год високосный, и NO, если он - не високосный.
По условию очевидно, что в зависимости от входных данных программа должна будет выполнить один из двух операторов вывода: Writeln('YES') или Writeln('NO'). При этом написать в программе нам придётся оба, а вот выполняться должен будет только один из них. Для того чтобы реализовывать подобные ветвления алгоритма, в языке Pascal существует условный оператор. В общем виде он выглядит следующим образом:
if логическое выражение
then оператор
else оператор
Слова if, then и else являются служебными зарезервированными словами языка. Работает эта конструкция так: сначала вычисляется логическое выражение, стоящее после if. Если получилось значение true, то выполняется оператор, стоящий после слова then, а если получилось значение false, то выполняется оператор, стоящий после слова else.
Обратите внимание, что внутри условного оператора нет никаких точек с запятой, поскольку он является единой конструкцией, а точка с запятой - это разделитель между операторами. Для удобства чтения и отладки программ принято условие записывать на одной строке, а ветви then и else начинать с новой строки, однако это не является синтаксическим правилом языка.
В качестве примера условного оператора рассмотрим решение задачи, поставленной выше. Год считается високосным, если он делится нацело на `400`, или если он делится нацело на `4`, но не делится нацело на `100`. Проверять делимость мы уже умеем, поэтому осталось только записать это условие в виде программы:
var y:integer;
begin
write('Введите номер года ');
readln(y);
if(y mod 400=0)or(y mod 4=0)and(y mod 100<>0)
then writeln('YES')
else writeln('NO');
end.
По грамматике языка после слов then и else должен стоять только один оператор языка. То есть запись if x>0 then x:=4; y:=0 else z:=9; является синтаксически неверной. А как быть, если всё-таки нужно выполнить более одного оператора? Для таких случаев в языке Pascal предусмотрен составной оператор, который позволяет превратить группу операторов в один. Выглядит он следующим образом: сначала записывается служебное зарезервированное слово begin, далее - интересующая нас последовательность операторов через точку с запятой, а в конце пишется служебное зарезервированное слово end. В отличие от конца программы, точка после этого слова не ставится. Слова begin и end называют операторными скобками. Запишем правильную версию условного оператора, приведённого выше: if x>0 then begin x:=4; y:=0 end else z:=9;
Обратите внимание на следующий тонкий момент: если требуется выполнить более одного оператора в ветке then, и при этом мы забудем написать операторные скобки, то это является синтаксической ошибкой, и программа просто не будет работать. Если же забыть написать операторные скобки в ветке else, то программа работать будет, но не так, как предполагалось.
Рассмотрим пример:
if x>0 then y:=9 else z:=8; c:=5;
В этом примере условный оператор заканчивается после z:=8; в то время как оператор c:=5; является следующим оператором программы и выполняется независимо от результата сравнения `x` с нулём. Если же написать операторные скобки, то присваивание в `c` числа `5` произойдёт только в случае x<=0.
Ещё один тонкий момент заключается в том, что в ветке else в качестве оператора может стоять и пустой оператор. Рассмотрим следующий пример.
Вводятся `3` целых числа – `a`, `b`, `c`. Требуется в переменную `a` записать минимальное из этих чисел, в `b` – среднее и в `c` – максимальное.
Алгоритм решения этой задачи такой: сначала сравним значения переменных `a` и `b`, если значение `a` - больше, поменяем их местами. После этого сравним значения переменных `a` и `с`, и если значение `a` - больше, поменяем их местами. После этих двух сравнений в переменной `a` гарантированно окажется наименьшее из трёх чисел. Осталось сравнить переменные `b` и `c`, и в случае, когда в переменной `b` находится большее значение, поменять их местами.
Очевидно, что в этом алгоритме у нас три сравнения, следовательно, три последовательных условных оператора. При этом в каждом из них какие-то действия (поменять местами значения двух переменных) нужно выполнять только в ветке then, в ветке else (например, если в первом сравнении в переменной a находится уже более маленькое число, чем в переменной `b`) никаких действий выполнять не нужно. Рассмортим код программы: В этом случае, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора.
var a,b,c,x:integer;
begin
writeln('введите три целых числа ');
readln(a,b,c);
if a>b then begin x:=a; a:=b; b:=x end;
if a>c then begin x:=a; a:=c; c:=x end;
if b>c then begin x:=b; b:=c; c:=x end;
writeln(a,b,c);
readln
end.
Как видно из примера, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else, в случае, когда там не надо выполнять никаких действий. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора. При использовании сокращённой формы условного оператора, если при вычислении логического выражения получилось значение false, то управление передаётся на следующий оператор программы.
Использование сокращённой формы условного оператора порождает проблему неоднозначности интерпретации логики действий программы в случае вложенных условных операторов. Рассмотрим следующий пример:
if x>0
then if y>0
then z:=0
else c:=7;
Вопрос состоит в том, какой из двух условных операторов является полным, а какой - сокращённым. К сожалению, ответ на этот вопрос существует только в виде дополнительного семантического правила языка программирования. Принято, что ветка else всегда относится к ближайшему if без else (по принципу правильной скобочной системы). То есть, в нашем случае внутренний условный оператор является полным, а внешний - сокращённым. Если же мы хотим добиться обратной логики действий (чтобы внешний условный оператор был полным), нам необходимо заключить внутренний условный оператор в операторные скобки. Выглядеть это будет следующим образом:
if x>0
then begin
if y>0
then z:=0
end
else c:=7;
При написании программ с ветвлениями очень часто возникает ситуация, когда ветвей становится слишком много. Поэтому приходится задумываться о том, как ничего не упустить из рассмотрения, как не рассматривать несущественные случаи и как обеспечить выполнение ровно одной ветви при разборе случаев.
Начнём с ответа на последний вопрос. Для того, чтобы обеспечить выполнение ровно одной ветви алгоритма, необходимо записывать весь разбор случаев в виде одного условного оператора. Конечно же, он будет сложный, с вложенными многоуровневыми проверками. Однако, если в итоге условный оператор, реализующий разбор случаев, один (а не несколько, записанных через точку с запятой), то это гарантирует нам, что в итоге выполнится ровно одна ветвь алгоритма.
Для того, чтобы не упустить из рассмотрения никаких случаев и не рассматривать несущественные случаи, нужно перебирать их не в случайном порядке, а по какой-либо стратегии. Сейчас мы рассмотрим одну из стратегий разбора случаев, которую условно можно назвать «Естественное возникновение». Её суть заключается в следующем: Изначально, мы решаем задачу так, будто бы никакого деления на случаи нет, а появляется оно лишь тогда, когда выполнить основной сценарий невозможно.
Рассмотрим следующий пример задачи:
Решить в целых числах линейное уравнение `ax=b`.
На вход программе здесь будут подаваться коэффициенты уравнения, а программа должна будет либо вычислить корень, либо вывести сообщение об особой ситуации (нет корней, бесконечно много корней и т. д.). Будем разбирать случаи согласно нашей стратегии. Сначала посмотрим, как мы в принципе решаем подобное уравнение. Для нахождения значения `x` нужно коэффициент `b` разделить на коэффициент `a`. Очевидно, что это невозможно сделать, если `a=0`. Поэтому первая проверка, которая делит всё множество случаев на две принципиально разные ветки: верно ли, что `a=0`? Если это так, то у нас получается уравнение `0x=b`, существование решений которого зависит от значения `b`. Если `b=0`, то решений бесконечно много, если же это не так, то решений нет вообще. Вернёмся к проверке коэффициента `a`. Если он не равен нулю, то это означает, что уравнение имеет единственное решение. Вопрос теперь в том, целое оно или нет. Поэтому здесь нужно будет проверить, что `b` нацело делится на `a` (остаток от деления должен быть равен нулю). Если это так, то находится единственное решение, если же нет, то целых решений у уравнения нет. Запишем теперь все наши рассуждения в виде программы:
var a,b:integer;
begin
readln(a,b);
if a=0
then if b=0
then writeln('many solutions')
else writeln('no solution')
else if b mod a = 0
then writeln( b div a)
else writeln('no solution')
end.
Мы видим, что программа получилось достаточно удобно читаемой и содержит только очень простые проверки (без логических связок). Простота проверок является одним из существенных достоинств используемой стратегии разбора случаев. К сожалению, это именно стратегия, а не алгоритм. Поэтому существует много задач, где такое рассуждение не сработает, однако рекомендуется взять данный метод на вооружение.
Теперь вам будут предложены контрольные вопросы и задачи. За каждый правильный ответ будут ставиться баллы. Максимальное количество баллов за задание указано в скобках после его номера. Если задание стоит более одного балла, то возможно получить частичный балл за частично верное решение. Имейте в виду, что более объёмные и сложные задания стоят дороже. Итоговая оценка будет определяться по сумме набранных баллов. Желаем успеха!
Мы рады приветствовать вас на курсе Информатики. Данный курс рассчитан на три года обучения. Ориентировочно, это девятый, десятый и одиннадцатый классы средней школы. Поэтому в ходе изложения будут использоваться соответствующие знания из курсов математики.
Данный курс состоит из трёх больших частей, которые будут чередоваться по заданиям. Первая часть курса – теоретическая. В ней будут рассматриваться общие знания, которые необходимы любому человеку, собирающемуся связать свою жизнь с техническими специальностями. В частности, будут рассматриваться особенности представления информации различного вида (числовая, текстовая, графическая и т. д.), алгебра логики, математическая теория информации, теория алгоритмов и многое другое.
Вторая часть курса – программистская. В этой части мы будем рассматривать основные концепции языков программирования и учиться писать полноценные программы. Вас ждёт большое множес-тво задач самого разного вида. По завершении курса вы сможете не просто писать программы на одном языке программирования, но уже будете обладать достаточными знаниями, чтобы самостоятельно легко изучать другие языки.
Третья часть курса – технологическая. Здесь будут рассматриваться информационно-коммуникационные технологии. В частности, компьютерные сети, обработка баз данных, работа с электронными таблицами и т. д.
На первом году обучения теоретических заданий не будет, а основная масса будет посвящена программистской части курса. Основная цель первого года обучения – овладеть языком программирования как инструментом для дальнейшего использования. В качестве учебного языка программирования мы выберем язык Pascal. Тому есть несколько причин. Во-первых, этот язык изначально создавался для обучения программированию, и в нём нет большого количества сложных тонкостей, для понимания которых требуются глубокие специальные знания (как, например, в языках C/C++). Во-вторых, концептуально Pascal является каноническим языком процедурной парадигмы программирования, и после него можно очень легко переходить на любые другие языки.
Также нам будет интересно не просто решить конкретную задачу, а овладеть стратегиями для решения больших классов задач. Нужно будет научиться видеть общие моменты в предлагаемых задачах и сформировать определённые шаблоны для быстрого написания программ. Кроме того, особое внимание мы будем уделять красоте и эффективности алгоритмов.
Для выполнения заданий программистской части курса вам будет необходимо установить себе среду программирования, либо воспользоваться online-компилятором. Имейте в виду, что даже для языка Pascal различные среды программирования могут серьёзно различаться (например, free pascal и Pascal ABC.NET). Мы будем обращать внимание на данные различия по ходу изложения материала.
В рамках первого задания мы будем изучать основы языка программирования и особенности выполнения арифметических операций.
