Статьи

• 
  5. Графики функций y=kx+b и y=|x|

  • 3 августа
  • 0 комментариев
  • 61 просмотр

  Построение графиков линейной функции и модуля

   

  Вам уже известно из школьного курса, что графиком функции $y=kx+b$ является прямая. Для построения графика достаточно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую.

  Пример 1

  Постройте график функции: а)  $y=2x+3$;  б) $y=2$.

  Решение

  а) При $x=0$;  $y=3$; при $x=1$;  $y=5$. Проводим прямую через точки $(0; 3)$ и $(1; 5)$. График прямой приведён на рисунке ниже.

   

  б) Для любого значения $x$ значение $y=2$. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 2)$. График этой функции приведён на рисунке ниже.

  

  Построим теперь график функции $y=\left|x\right|$. 

  Из определения модуля числа следует, что $y=\left\{\begin{array}{c}x, \mathrm{если} x>0,\\ 0, \mathrm{если} x=0,\\ -x, \mathrm{если} x<0.\end{array}\right.$

  При $x\ge 0 y=x$, графиком функции при $x\ge 0$ является часть прямой $y=x$. А при $x<0$ графиком функции является часть прямой $y=-x$. График функции $y=\left|x\right|$ приведён на рисунке ниже.

  

  Пример 2

  Постройте график функции $y=\left|x+1\right|-\left|x-2\right|$.

  Решение

  Выражение $x-2$ равно нулю при $x=2$. Если $x>2$, то $x-2>0$, поэтому $\left|x-2\right|=x-2$. А если $x<2$,  то $x-2<0$, тогда $\left|x-2\right|=-(x-2)=-x+2$.  Выражение $x+1$  равно нулю, если $x=-1$. 

  Если $x>-1$, то $x+1>0$, тогда $\left|x+1\right|=x+1$. А если $x<-1$, то $x+1<0$, тогда $\left|x+1\right|=-(x+1)=-x-1$. Пусть $x\ge 2$, тогда $\left|x-2\right|=x-2$, $\left|x+1\right|=x+1$, поэтому $y=x+1-(x-2)=3$.

  Если $-1<x<2$, то $\left|x-2\right|=2-x$, $\left|x+1\right|=x+1$, тогда $y=x+1-2+x=2x-1$.

  Если $x\le -1$, то $\left|x+1\right|=-x-1$, $\left|x-2\right|=2-x$, тогда $y=-x-1-2+x=-3$.  

  Таким образом, $y=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}3,\text{ если} x\ge 2;\end{array}\\ 2x-1, \text{если} -1<x<2;\\ -3, \text{если} x\le 1.\end{array}\right.$ 

  Заметим, что прямая $y=2x-1$ проходит через точки $(-1; -3)$ и $(2; 3)$.  График данной функции приведён на рисунке ниже.

  

  Пример 3

  
  Постройте график функции $y=\left\{\begin{array}{l}\left|x-3\right|, x\ge 0;\\ \left|x+4\right|-1, \text{если} x<0.\end{array}\right.$

  Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой $y=a$ при различных значениях параметра $a$.

  Решение

  Из определения модуля следует, что  $\left|x-3\right|=\left\{\begin{array}{l}3-x, \text{если} x\in \left[0; 3\right];\\ x-3, \text{если} x>3.\end{array}\right.$

  Далее $\left|x+4\right|-1=\left\{\begin{array}{l}-4-x-1,\text{ если} x\le 4;\\ 4+x-1, \text{если} x\in (-4; 0).\end{array}\right.$

  График данной функции приведён на рисунке ниже.

  

  Если $a<-1$, то прямая $y=a$ не пересекает график данной функции.
  Если $a=-1$, то прямая пересекает график функции в точке $(-4; -1)$. 

  Если $a\in (-1; 0)$, то будет две точки пересечения. 

  Если $a=0$, то прямая $y=0$ пересекает график функции в точках $(-5; 0)$, $(-3; 0)$, $(3; 0)$.

  Если $a\in (0; 3)$, то получается $4$ точки пересечения.
  Если $a=3$, то будет $3$ точки пересечения.
  Если $a>3$, то будет $2$ точки пересечения.

   

   
• 
  4. Модуль числа

  • 3 августа
  • 0 комментариев
  • 59 просмотров

  Определение Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.   Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`.  Модуль н...

   

  Определение

  Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.  

  Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`. 

  Модуль нуля равен нулю.
  Запишем определение модуля таким образом: $$\left | x \right |= \left\{\begin{matrix}
  x, если {}      x\geq 0,\\
  -x, если    {}   x<0.
  \end{matrix}\right.$$

  Докажем некоторые свойства модуля.
       

  Свойство 1

  Для любого числа $x$ выполняется условие $\left|x\right|\ge 0$. 

  Действительно, если $x>0$, то $\left|x\right|=x$ и тогда $\left|x\right|>0$. 

  Если  $x<0$, то $\left|x\right|=-x$, но $-x>0$, значит $\left|x\right|>0$. И если  $x=0$, то $\left|x\right|=0$.

  Таким образом, $\left|x\right|\ge 0$ для любого $x$. При этом заметим, что $\left|x\right|>0$, если $x\ne 0$, и $\left|x\right|=0$, если $x=0$.

       

  Пример 1

  При каких значениях $x$ выполняются равенства:

  а) $\left|x\right|=5$ ;  б) $\left|x\right|=-3$;   в) $\left|x-1\right|=2$?

  Решение

  а) Если $x$ положительное, то $x=5$; если $x$ отрицательное, то $-x=5$, т. е. $x=-5$.

  б) По свойству $1$ выполняется условие $\left|x\right|\ge 0$, а у нас условие $\left|x\right|=-3<0$. Следовательно, не существует чисел, для которых выполнялось бы данное условие.
  в) По определению модуля числа следует, что если $x-1\ge 0$, т. е. $x\ge 1$, то $\left|x-1\right|=x-1=2$,  отсюда следует, что $x=3$. Если же $x<1$, то $x-1<0$ и $\left|x-1\right|=-(x-1)$, получаем равенство $-x+1=2$, $-x=1$, $x=-1$. В дальнейшем мы такие уравнения будем решать коротко, а именно, рассуждаем так: если модуль какого-то выражения равен $2$, то либо это выражение равно $2$, либо равно $(-2)$. Если $\left|x-1\right|=2$, то получаем два случая: $x-1=2$, $x=3$ и $x-1=-2$, $x=-1$.       

  Свойство 2

  Для любых чисел $x$ и $y$ выполняется условие

  $\left|xy\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$.

  Доказательство

  Если числа $x$ и  $y$  положительные, то $xy>0$,  $\left|xy\right|=xy$, $\left|x\right|=x$, $\left|y\right|=y$,    получаем верное равенство $xy=xy$. 

  Если числа $x$ и $y$ отрицательные, то $xy>0$,  $\left|xy\right|=xy$,  $\left|x\right|=-x$, $\left|y\right|=-y$, получаем верное равенство $xy=(-x)(-y)$,  $xy=xy$.

  Если $x>0$, а $y<0$, то $xy<0$, $\left|xy\right|=-xy,$ $\left|x\right|=x$, $\left|y\right|=-y$, получаем верное равенство $-xy=-xy$.

  Аналогично доказывается, если $x<0$,  a $y>0$. 

  Если одно из чисел $x$ и $y$ равно нулю, то обе части равенства $\left|xy\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$равны нулю, т. е. равенство верное.
       

  Пример 2

  При каких значениях $x$ верно равенство $\left | -5x-10 \right |=15$? 

  Решение

  $\left | -5x-10 \right |=\left | -5(x+2) \right |=\left | -5 \right |\cdot \left | x+2 \right |=5\left | x+2 \right |$.

  Таким образом, получили равенство $5\left|x+2\right|=15$, $\left|x+2\right|=3$, отсюда следует, что

  $x+2=3$, $x=1$ и $x+2=-3$, $x=-5$.

  Ответ

   $1$; $-5$. 

  Аналогично свойству $2$ можно доказать свойство `|x/y|=|x|/|y|`. Исходя из
  определения модуля числа, можно доказать, что для любого числа $x$ верно равенство $\left|x\right|=\left|-x\right|$.

       

  Пример 3

  Решите уравнение `|-3x-1|-2x=2`.

  Решение

  `|-3x-1|=|-3(x+1/3)|=|-3|*|x+1/3|=3|x+1/3|`. После этих преобразований получили уравнение `3*|x+1/3|-2x=2`. Из определения модуля следует, что `|x+1/3|=x+1/3`,  если `x+1/3>=0`,  т. е.  `x>=-1/3` и `|x+1/3|=-x-1/3`,  если `x<-1/3`.

  а) Если `x>=-1/3`, то получаем уравнение `3(x+1/3)-2x=2`, `x+1=2`, `x=1`.  Число `1>-1/3`, поэтому число `x=1` является решением уравнения.

  б) Если `x<-1/3`, то получаем уравнение `3(-x-1/3)-2x=2`,  `-5x=3`, `x=-3/5<-1/3`.

  Ответ

   `-3/5`;  `1`. 
       

  Пример 4

  Решите уравнение $\left|x-1\right|+\left|x+1\right|=2$. 

  Решение

  Напомним определение модуля числа:  $\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}a, a\ge 0,\\ -a, a<0.\end{array}\right.$

  В данном уравнении под знаком модуля стоят числа $x-1$ и $x+1.$ Если $x$меньше, чем $-1,$ то число $x+1$ отрицательное, тогда $\left|x+1\right|=-x-1.$ А если $x>-1,$ то $\left|x+1\right|=x+1.$ При $x=-1$ имеем $\left|x+1\right|=0.$ Таким образом, $\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}x+1, x\ge -1,\\ -x-1, x<-1.\end{array}\right.$

   Аналогично $\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}x-1, x\ge 1,\\ -x+1, x<1.\end{array}\right.$

  а) Рассмотрим наше уравнение при $x\le -1,$ оно равносильно уравнению $-x+1-x-1=2,$ $-2x=2,$ $x=-1.$ Это число принадлежит множеству $x\le -1.$

  б) Пусть теперь $-1<x\le 1,$ тогда данное уравнение равносильно уравнению $-x+1+x+1=2,$ $0·x=0,$ последнему уравнению  удовлетворяет любое число, но так как мы рассматриваем множество $-1<x\le 1,$ значит, этому уравнению удо-влетворяют все числа из этого множества.
  в) Рассмотрим случай $x>1.$ Уравнение равносильно уравнению $x-1+x+1=2,$ $x=1.$ Число $x=1$  мы получили уже в пункте б).

  Ответ

  Уравнению удовлетворяют все числа, удовлетворяющие условию $-1\le x\le 1.$

  Пример 5

  Решите уравнение: $\left|11x+5\right|=\left|9x+13\right|.$

  Решение

  Если модули чисел равны, то эти числа либо равны, либо отличаются знаком. Если числа равны, то получаем уравнение: 

  $11x+5=9x+13,$  $2x=8,$  $x=4.$

  Если числа отличаются знаком, то получаем уравнение:

  $11x+5=-9x-13,$  $20x=-18,$   $x=-\mathrm{0,9}.$

  Ответ

  $4; -\mathrm{0,9}.$ 

  Уравнения с параметром

  Рассмотрим уравнение $(a-3)(a-2)·x=(a-3)(a+5).$ Такие уравнения носят название «уравнения с параметром». Здесь $x$ - неизвестное , а $a$- параметр. Требуется найти решение $x$ при любых значениях параметра $a.$
  Если $a=3,$ то уравнение принимает вид: $0·x=0,$ этому уравнению удовлетворяет любое число $x,$ т. е. в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
  Если $a=2,$ то уравнение принимает вид: $0·x=-7,$ это уравнение не имеет решений.
  Если $a\ne 3$ и $a\ne 2,$ то обе части уравнения можно разделить на $(a-3)(a-2),$ тогда получаем: `{(a-3)(a+5)}/{(a-3)(a-2)}={a+5}/{a-2}`. Таким образом, если $a\ne 3$ и $a\ne 2,$ то уравнение имеет единственное решение и при этом  `x={a+5}/{a-2}`.

   

   
• 
  3. Уравнения с одной переменной

  • 3 августа
  • 0 комментариев
  • 66 просмотров

  Определение Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 2(3x+5)=4x-1.  Определение Корнем или решением...

   

  Определение

  Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

  Например, уравнением с одной переменной является равенство $2(3x+5)=4x-1.$ 

  Определение

  Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

  Например, число $1$ является решением уравнения $3x+5=9x-1.$ Уравнение $x^2+1=0$ не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение $(x-1)(x+2)=0$ имеет два корня: $x_1=1$ и $x_2=-2.$ 

  Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

  Определение

  Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.

  При решении уравнений используют следующие свойства:

  • если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
  • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

  определение

  Уравнение вида $ax=b,$ где $x -$переменная, $a$ и  $b -$ некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. 

  Если $a\ne 0$, то уравнение имеет единственное решение $x=\frac{b}{a}.$ 

  Если $a=0$ и $b=0,$ то уравнению удовлетворяет любое значение $x,$ а если $a=0,$ а $b\ne 0,$ то уравнение не имеет решений, т. к.  $0·x=b$ не выполняется ни при одном значении переменной.

  Пример 1

  Решите уравнение $\mathrm{2,5}x-(x+1)=(3x-1)-2x+1$

  Решение

  Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие $x,$ в правую часть, получаем: 

  $\mathrm{2,5}x-x-3x+2x=1-1+1.$ $\mathrm{0,5}x=1,$ $x=2.$

  Ответ

  2

  Пример 2

  Решите уравнение:  

  а) $2x^2-3x=0$;  б) $x^3-2x^2-9x+18=0$;  в) $x^2+5x+6=0$.

  Решение

  а) Преобразуем уравнение: $x(2x-3)=0.$ Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем $x_1=0,$ $x_2=\frac{3}{2}.$

  Ответ 

  $0; \frac{3}{2}.$

  б) Разложим на множители левую часть уравнения:

  $x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3).$ 

  Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа

   $x_1=2,$ $x_2=3,$ $x_3=-3.$

  Ответ 

  $2; 3; -3.$

  в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в $8$-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим $5x$ как $2x+3x,$ тогда имеем: 

  $x^2+2x+3x+6=0,$   

  $x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,$  

  отсюда видно, что $x_1=-2,$ $x_2=-3.$  

  Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение $5x=2·\frac{5}{2}x.$  И прибавим и вычтем в левой части уравнения число $\frac{25}{4},$ получаем:

  $x^2+2·\frac{5}{2}·x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+6=0, {\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{25}{4}+6=0,$ ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}=0, {\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=0,$ $\left(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)=0, (x+2)(x+3)=0.$

  Откуда следует, что $x_1=-2$ и $x_2=-3.$

  Ответ

  $-2; -3.$

  Пример 3

  Являются ли данные уравнения равносильными:
  а) $\left|x-1\right|=2$ и $2x-5=1;$ 

  б) $\frac{(x-3)(x+7)}{x-3}=0$ и $(x-3)(x+7)=0.$

  Решение

  а) Если $\left|x-1\right|=2,$ то $x-1=2, x=3,$или $x-1=-2, x=-1.$ Первое уравнение имеет два решения: $-1$ и $3.$ 

  Второе уравнение имеет одно решение $x=3.$ Число $\left(-1\right)$ является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

  б) Число $x=3$ является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при $x=3$ не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.

   

   
• 
  2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

  • 3 августа
  • 0 комментариев
  • 73 просмотра

  Описание метода выделения полного квадрата

   

  Определение

  Выражения вида $2x^2+3x+5,$ носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида $a{x}^2+bx+c,$ где $a, b, c$ – произвольные числа, причём $a\ne 0.$ 

  Рассмотрим квадратный трёхчлен  $x^2-4x+5.$ Запишем его в таком виде: $x^2-2·2·x+5.$ Прибавим к этому выражению $2^2$ и вычтем $2^2,$ получаем: $x^2-2·2·x+2^2-2^2+5.$ Заметим, что $x^2-2·2·x+2^2=(x-2{)}^2,$ поэтому $x^2-4x+5=(x-2{)}^2-4+5=(x-2{)}^2+1.$ Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

  Пример 1

  Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена $9x^2+3x+1.$ 

  Решение

  Заметим, что $9x^2=(3x{)}^2,$ `3x=2*1/2*3x`. Тогда  `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем  

  `((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.  

  Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

  Пример 2

  Разложите на множители квадратный трёхчлен $4x^2-12x+5.$

  Решение

  Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: ${\left(2x\right)}^2-2·2x·3+3^2-3^2+5={\left(2x-3\right)}^2-4=(2x-3{)}^2-2^2.$ Теперь применяем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b),$ получаем: $(2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).$  

  Пример 3

  Разложите на множители квадратный трёхчлен $-9x^2+12x+5.$

  Решение

  $-9x^2+12x+5=-\left(9x^2-12x\right)+5.$Теперь замечаем, что $\left(9x^2\right)={\left(3x\right)}^2,$ $-12x=-2·3x·2.$ 

  Прибавляем к выражению $9x^2-12x$ слагаемое $2^2,$ получаем:

  $-\left({\left(3x\right)}^2-2·3x·2+2^2-2^2\right)+5=-\left({\left(3x-2\right)}^2-4\right)+5={\left(3x-2\right)}^2+4+5=-{\left(3x-2\right)}^2+9=3^2-{\left(3x-2\right)}^2.$

  Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

   $-9x^2+12x+5=\left(3-\left(3x-2\right)\right)\left(3+(3x-2\right))=(5-3x\left)\right(3x+1).$

  Пример 4

  Разложите на множители квадратный трёхчлен $3x^2-14x-5.$

  Решение

  Мы не можем представить выражение $3x^2$ как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

  `3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

  `=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

  `=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

  Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
  Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2-x+3.$  Выделяем полный квадрат:

  `(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.     

  Пример 5

  Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена   $-{16}^2+8x+6.$ 

  Решение

  Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: $-16x^2+8x+6=-\left({\left(4x\right)}^2-2·4x·1+1-1\right)+6=-\left({\left(4x-1\right)}^2-1\right)+6=-{\left(4x-1\right)}^2+7.$ 

  При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно $7,$ а при `x!=1/4` из числа $7$ вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее  $7.$ Таким образом, число $7$ является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.  

  Пример 6

  Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

  Решение

  Заметим, что знаменатель дроби $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2.$ Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. $$\begin{gathered} x^2+2x-15={\left(x\right)}^2+2·x·1+1-1-15={\left(x+1\right)}^2-16={\left(x+1\right)}^2-4^2= \\ =(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3). \end{gathered}$$  

  Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на $(x-3)$  получаем `(x+5)/(x-3)`. 

  Пример 7

  Разложите многочлен $x^4-13x^2+36$ на множители.

  Решение

  Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

  `(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

  Пример 8

  Разложите на множители многочлен $4x^2+4xy-3y^2.$

  Решение

  Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем: $(2x{)}^2+2·2x·y+y^2-y^2-3y^2=(2x+y{)}^2-{\left(2y\right)}^2=(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).$     

  Пример 9

  Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`. 

  Решение

  `8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=`

  `=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=8(x+3/2)(x-1/4)=`

  `=(2x+3)(4x-1)`.

  Преобразуем знаменатель дроби:

  `2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=`

  `=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

  Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.

  
  

  
  

   

   
• 
  1. Тождественные преобразования. Решение уравнений

  • 3 августа
  • 0 комментариев
  • 79 просмотров

  Основные определения и примеры

   

  В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.

  Пример

  Числовыми являются выражения $\mathrm{3,8}-\mathrm{2,1}\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{4}\right)$, $2+5(38:9)$.

  Выражения вида `2x+1`, $3x^2+5$ называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.

  Пример

  $2x^{2}y+xy{z}^3$, $5a^{2}b{\left(x-y\right)}^2$ , $3t^2+v^3+1$ .

  Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

  Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.

  Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.

  Пример

  Соответственными значениями выражений $2x^2+1$ и $3x^2+5x+1$ являются числа $3$ и $9$.

  Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком =, называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть  верными при  одних значениях переменных и неверными при других значениях.

  Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.

  Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.

  Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

  Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения,  вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.

  Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.

  Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.

  Пример

  Выражения $9,$ $25x^2$ $25x^2$ и $34abx{y}^4$ являются одночленами. 

  Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.

  Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.

  Пример

  Стандартным видом одночлена $\mathrm{0,3}bxy(-2)a^2{x}^2{y}^3$ является одночлен $-\mathrm{0,6}{a}^{2}b{x}^3{y}^4,$ число $(-\mathrm{0,6})$ является его коэффициентом, степень одночлена равна $10.$ 

  Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.

  Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.

  Пример

  Одночлены $2a{x}^{2}y$ и $-5a{x}^{2}y$ являются подобными.

  Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.

  Пример

  $2ax+3by-ax+\mathrm{0,5}by=ax+\mathrm{3,5}by.$ 

  Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.

  Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.

  Пример

  Стандартным видом многочлена $2a{x}^5+x{y}^3+3x{y}^3-2a{x}^5+5$ является многочлен $4x{y}^3+5,$ его степень равна $4.$ 

  Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

  Пример

  $\left(x+y\right)\left(2x^2-y\right)=2x^3+2x^{2}y-xy-y^2.$ 

  Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.

  При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.

  Пример 1

  Разложите на множители многочлен $2x^{2}y+y^2-2x^3-yx.$

  Решение

  Группируя члены многочлена (т. е. представляя его в виде суммы двух многочленов) и вынося общий множитель в каждой группе, получаем $2x^{2}y+y^2-2x^3-yx=\left(2x^{2}y-2x^3\right)+\left(y^2-yx\right)=2x^2\left(y-x\right)+y\left(y-x\right).$ Видим, что многочлен является общим множителем для обоих слагаемых. Вынося этот многочлен за скобки, окончательно получаем $2x^{2}y+y^2-2x^3-yx=\left(y-x\right)\left(2x^2+y\right).$

  При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»: 

  Разность квадратов	$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
  Квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  Квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  Сумма кубов	$(a + b) (a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$
  Разность кубов	$(a - b) (a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$
  Куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
  Куб разности	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

  
  

  Пример 2

  Разложите на множители многочлен $x^3+x^2+x-3.$ 

  Решение

  Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:$$\begin{gathered} x^3+x^2+x-3=(x^3-1)+(x^2-1)+(x-1)= \\ =(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)= \\ =(x-1)(x^2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x^2+2x+3). \end{gathered}$$

  Пример 3

  Разложите на множители многочлен $3x^2{y}^4-24x^{5}y.$

  Решение

  Сначала выносим общий множитель $3x^{2}y$ за скобку: $3x^2{y}^4-24x^{5}y=3x^{2}y\left(y^3-8x^3\right).$Затем к многочлену $y^3-8x^3$ применим формулу для разности кубов: $y^3-8x^3=\left(y-2x\right)\left(y^2+2xy+4x^2\right).$В результате получим $3x^2{y}^4-24x^{5}y=3x^{2}y(y-2x)\left(y^2+2xy+4x^2\right).$

  Пример 4

  Разложите на множители многочлен $27x^3+y^3+3y^2+3y+1.$

  Решение

  Заметим, что $y^3+3y^2+3y+1={\left(y+1\right)}^3,$ а $27x^3={\left(3x\right)}^3,$ тогда получаем ${\left(3x\right)}^3+{\left(y+1\right)}^3.$ Применяем формулу 3, получим $(3x{)}^3+(y+1{)}^3=(3x+y+1){\left(9x^2-3x(y+1)+(y+1\right)}^2).$ Таким образом, $27x^3+y^3+3y^2+3y+1=(3x+y+1)(9x^2-3xy-3x+y^2+2y+1).$

  Пример 5

  Разложим на множители многочлен $y^8+y^4+1.$ 

  Решение

  Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение $y^4,$ получаем: $y^8+y^4+1+y^4-y^4=y^8+2y^4+1-y^4={\left(y^4+1\right)}^2-{\left(y^2\right)}^2$А теперь применяем формулу для разности квадратов: ${\left(y^4+1\right)}^2-{\left(y^2\right)}^2=\left(y^4+1+y^2\right)\left(y^4+1-y^2\right)$

   

   
• 
  11-М-1. 2. Иррациональные неравенства

  • 13 июля
  • 0 комментариев
  • 101 просмотр

  Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ. П...

   

  Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

  Пример 3 (МГУ, 1998)

  Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

  Решение

  Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить       только       уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

  $\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.$

  Ответ:

  `[- 3; 1)`.

  Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

  `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`.	(УР К1)
  $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right.$	(УР К2)
  $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x).$	(УР К3)
  $\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array}$	(УР К4)

  
  

  ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

  ОДЗ: `f(x) >= 0`.

   Рассмотрим неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`.  Докажем, что

  $\sqrt{f(x)}\geq g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g(x)$

  (УР К5)

                                                                               

  Доказательство

  1. Если  является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

  2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       

  $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g(x)$

  Тогда:

  а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

  б) если `g(x) >= 0`  и  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

  то `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

  Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

  $\sqrt{f(x)}\geq g(x)\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}g(x)$

  (УР К6)

                                                              

  Теперь рассмотрим неравенство вида  `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  Докажем, что

  $\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right.$

  (УР К7)

                                                                

  Доказательство

  1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`, то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.

  2.  Если `x` является решением системы неравенств   $\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.$   то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.

  Пример 4 (МФТИ, 1998)

  Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.

  
  

  Решение

  Первый способ

  Воспользуемся `(`УР К`6)`: 

  
  

  Ответ

  `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

  
  

  Второй способ

  Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:

  
  

   

   
• 
  11-М-1. 1 Равносильность уравнений и неравенств

  • 13 июля
  • 0 комментариев
  • 112 просмотров

  В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности. Два неравенства     `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)` (1) или два уравнения `f_1 (x) = g_1 (x)` ...

   

  В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности.

  Два неравенства    

  `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)`

  (1)

  или два уравнения

  `f_1 (x) = g_1 (x)`   и   `f_2 (x) = g_2 (x)`

  (2)

  называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

  Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0`  (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:  

  `f(x) = 0 hArr g(x) = 0`   (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

  Пример 1

  `sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

  Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

  Пример 2

  При каких значениях параметра  `a` системы

  $\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right.$

  и

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.$

  равносильны?

  
  

  Решение

  Решим сначала первую, более простую систему  

  $\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.$

  $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.$

  Подставим  `a = 3` во вторую систему

  $a=3:\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-10x+28=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+y^2+3=0\Leftrightarrow\varnothing,\end{array}\Rightarrow\right.$

  При `a = 3` системы  равносильны,  т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

  При `a = 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе  входит только в четной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

  $\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\right.$

  Итак, таких  `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a`  вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое  `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

  1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

  2. `a=1`: Вторая  система  имеет  вид 

  $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.$

  Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

  3. $a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.$

  и $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.\right.$

  Следовательно, системы при этом значении  равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.

  
  

  Ответ

  `2; 3`.

  При решении неравенств и уравнений  часто используются следующие равносильные переходы.

  1. Если  функции  `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве 

  а)	`f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.	(УР 1)
  б)	`f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.	(УР 2)

                                                                                                                                         

  2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

  `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,

  (УР 3)

   т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

  3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

  `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`,

  (УР 4)

   т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

  4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

  `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`.

  (УР 5)

  5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей  приводит к равносильному неравенству, т. е.

  `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.

  (УР 6)

                                                                                     

  Если обе  части  неравенства отрицательны, то  умножив обе части на `(­–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим `(`УР `6)`.

  Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

  6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

   

  `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.

  (УР 7)

  7. Для любых  `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального  `n`

  `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`.

  (УР 8)

  
  

  8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

  $f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left($

  (УР 9)

  
  

   

   
• 
  11-М-1. Введение

  • 13 июля
  • 0 комментариев
  • 58 просмотров

  Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них  вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...

   

  Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них  вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

   
• 
  10-м-1. Вступление

  • 12 июля
  • 0 комментариев
  • 76 просмотров

  В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим. Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...

   

  В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.

  Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.

  Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.

   

   
• 
  Московский Политех открыл набор магистров и бакалавров

  • 4 июля
  • 0 комментариев
  • 377 просмотров

  С 20 июня 2017 года Московский Политех начал прием документов на все формы и основы обучения по программам бакалавриата, специалитета и магистратуры. Вся необходимая информация, конкурс на бюджетные места, пофамильные списки подавших документы, личн...

   

  БАКАВРИАТ И СПЕЦИАЛИТЕТ

  Очная и очно-заочная форма

   26 июля 2017 года необходимо подать документы если ты выпускник школы, поступающий по ЕГЭ на бюджетные места очной и очно-заочной форм обучения. Если ты поступаешь на платную основы очной формы обучения, подавай документы с 20 июня 2017 года по 25 августа 2017 года.

  Если ты поступаешь после колледжа по результатам вступительных испытаний Политеха - 20 июня 2017 года по 10 июля 2017 года.

  18 августа 2017 года последний день, чтобы подать документы, если ты выпускник колледжа и поступаешь на платные места очной и очно-заочной форм обучения.

  На творческие направления даты приема такие же: 20 июня 2017 года по 10 июля 2017 года.

   До вечера 1 августа 2017 года необходимо подать оригинал аттестата/ диплом СПО и согласие на зачисление.

  1 августа происходит зачисление абитуриентов в первую волну.

  До вечера 6 августа 2017 года необходимо подать оригинал аттестата/ диплом СПО и согласие на зачисление, чтобы попасть во вторую волну.   

  Заочная форма

  15 сентября 2017 года последний день, чтобы подать документы, если ты выпускник колледжа на бюджетные места.

  27 сентября 2017 года последний день, чтобы подать документы, если ты выпускник школы на бюджетные места.

  13 октября 2017 года, чтобы подать документы, если ты выпускник колледжа и поступаешь на платные места.

  До 31 октября, чтобы подать документы, если ты выпускник школы и поступаешь по ЕГЭ на платные места

  Сроки проведения вступительных испытаний:

  • по очной и очно-заочной форме:
  • на места в рамках КЦП: c 10 июля по 26 июля 2017 года;
  • на места по договорам об оказании платных образовательных услуг: c 10 июля по 25 августа 2017 года;
  • по заочной форме:
  • на места в рамках КЦП: c 10 июля по 27 сентября 2017 года;
  • на места по договорам об оказании платных образовательных услуг: c 10 июля по 31 октября 2017 года;

   

  МАГИСТРАТУРА

  Дата начала приема документов: 20 июня 2017 года.

  • При приеме на общие и выделенные бюджетные места и на общие места по договорам оказания платных образовательных услуг:

  Дата завершения приема документов от лиц, поступающих по программам магистратуры в рамках контрольных цифр: 11 августа 2017 года, 17:00. 

  Дата завершения приема документов от лиц, поступающих по программам магистратуры на места по договорам об оказании платных образовательных услуг: 25 августа 2017 года, 17:00.

  Дата завершения проводимых университетом вступительных испытаний по программам магистратуры: 25 августа 2017 года.

  Дата окончания приема оригиналов документов установленного образца от поступающих на места за счет бюджетных ассигнований: 18 августа 2017 года, 18:00.

  Дата зачисления на обучение по программам магистратуры на места за счет бюджетных ассигнований: 21 августа 2017 года, не позднее 17:00.

  Дата окончания приема оригиналов документов установленного образца или согласия на зачисление от поступающих на места по договорам оказания платных образовательных услуг: 25 августа 2017 года, 18:00.

  Дата завершения зачисления на обучение по программам магистратуры на места по договорам оказания платных образовательных услуг: 30 августа 2017 года, не позднее 18:00.

   

   

   
• 
  Летний лекторий по биостатистике «Moscow Polytech DATA Analysis Summer CAMP» с 19 по 24 июня

  • 4 июля
  • 0 комментариев
  • 325 просмотров

  С 19 по 24 июня в Московском Политехе пройдет летний лекторий по биостатистике «Moscow Polytech DATA Analysis Summer CAMP». Участники научатся работать в программе для анализа и обработки данных R-Studio. ...

   

  Факультет химической технологии и биотехнологии Московского Политеха приглашает студентов, аспирантов и молодых ученых пройти бесплатное обучение основным методам статистического анализа, интерпретации и визуализации результатов в рамках исследовательской работы. Основная цель курса – получение опыта работы с биологическими данными и пакетом R-Studio. Статистическая среда R – мощнейший инструмент для анализа и визуализации данных, имеющий неограниченные возможности. Программа лектория построена таким образом, чтобы соблюсти баланс теоретической информации и практических заданий, включающих в себя анализ реальных данных и решение статистических кейсов.

  DATA Analysis Summer CAMP – это четырёхдневный интенсив, посвященный описанию данных исследований, основным методам и принципам статистического анализа, интерпретации и визуализации получаемых результатов. Участники лектория познакомятся с такими методами статистического анализа, как дисперсионный, регрессионный и кластерный анализ. А также научатся сравнивать группы между собой, рассчитывать коэффициенты корреляции и строить регрессионные уравнения. Изученный материал можно будет применять для решения широкого круга задач, возникающих в рамках исследовательской работы практически любого направления.

  Скачать программу лектория по биостатистике «Moscow Polytech DATA Analysis Summer CAMP.

  Подробнее о лектории здесь. 

  Преподаватели:

  Артем Поромов – к.б.н., доцент кафедры «Экологическая безопасность технических систем» факультета химической технологии и биотехнологии Московского Политеха

  Елена Федосеева – к.б.н., ассистент кафедры общей биологии Медико-биологического факультета РНИМУ им. Н.И. Пирогова

  Леонард Полищук – д.б.н., профессор кафедры общей экологии биологического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

  Лекторий пройдёт по адресу: м. «Электрозаводская», ул. Большая Семеновская, д. 38, аудитория В-508.

  Что взять с собой: паспорт, ноутбук с возможностью выхода в интернет и установленной программой R-Studio | www.r-project.org.

  Материалы лектория: 

  В.К. Шитиков, Г.С. Розенберг «Рандомизация и бутстреп: статистический анализ в биологии и экологии с использованием R».

  С.Э. Мастицкий, В.К. Шитиков «Статистический анализ и визуализация данных с помощью R». 

  Пожалуйста, зарегистрируйтесь, чтобы получить электронный сертификат участника!

  В случае возникновения каких-либо вопросов пишите: aap1309@gmail.com

   

   
• 
  9-М-1. Задачи

  • 14 июня
  • 0 комментариев
  • 376 просмотров

  1(4). Точка `K` лежит на стороне `CD` параллелограмма `ABCD`. Прямая `BK` пересекает диагональ `AC` в точке `M`, а продолжение стороны `AD` в точке `P`. Известно, что `BM = 2` и `KP = 3`. Найти длину отрезка `MK`.  2...

   

  1(4). Точка `K` лежит на стороне `CD` параллелограмма `ABCD`. Прямая `BK` пересекает диагональ `AC` в точке `M`, а продолжение стороны `AD` в точке `P`. Известно, что `BM = 2` и `KP = 3`. Найти длину отрезка `MK`. 

  2(5). В прямоугольном треугольнике `ABC` `(/_ C = 90^@)` медианы `AD` и `CM` перпендикулярны друг другу. Найти гипотенузу `AB`, если третья медиана `BK` равна `3 sqrt5`. 

  3(5). В прямоугольном треугольнике `ABC` гипотенуза `AB` в `5` раз длиннее радиуса вписанной окружности, меньший катет `BC` равен `6`. Найти расстояние между центром вписанной окружности в треугольник `ABC` и центром описанной около него окружности.

  4(10). Треугольник `ABC` равнобедренный, `AB = BC = 11`, `AC = 14`. Найти расстояние от вершины `B` до:
     а) точки `M` пересечения медиан,
     б) точки `O_1` пересечения биссектрис,
     в) точки `O` пересечения серединных перпендикуляров сторон,
     г) точки `H` пересечения высот.

  5(5). Точка `D` лежит на катете `BC` прямоугольного треугольника `ABC` `(/_ C =  90^@)` . Из точки `D` опущен перпендикуляр `DK` на гипотенузу `AB`. Известно, что  `DC = DK`  и  `AK : KB = 8:9`. Периметр треугольника `ABC` равен `80`. Найти длину отрезка `CD`.

  6(5). В треугольнике `ABC` основание `AC = 6`,  боковые стороны равны `5`. Найти периметр высотного треугольника (первая лемма о высотах).

  7(5). В треугольнике `ABC` медиана `CM` пересекает высоту `BD` в точке `O`. Найти длину стороны `AC`, если  `BO = 5`,  `OD = 1` и `CM = 5`. 

  8(6). Точка `M` лежит на стороне `AC`, точка `D` - на стороне `BC` треугольника `ABC`. Отрезки `AD` и `BM` пересекаются в точке `O`, при этом `AO:OD = 6:7` и  `BO:OM = 10:3`. Найти отношение  `AM:MC` и  `BD:DC`. 

  9(7). В трапеции `ABCD`  $(AD\|BC)$ точка `K` лежит на стороне `CD`, прямая `AK` перпендикулярна стороне `CD` и пересекает продолжение стороны `BC` в точке `F`. Известно, что `AB = 10`, `BC = 5`, `CK = 3`, `KF = 4`. Найти `AD`, `CD` и высоту трапеции.

  10(7). Трапеция `AEFP` $(EF\|AP)$ расположена в квадрате `ABCD` со стороной `3` так, что точки `E`, `F` и `P` лежат на сторонах `AB`, `BC` и `CD` соответственно. Диагонали `AF` и `PE` трапеции перпендикулярны друг другу, `BF = 1`. Найти периметр трапеции.

   

   
• 
  9-М-1. Контрольные вопросы

  • 14 июня
  • 0 комментариев
  • 189 просмотров

  1(5). а) Как доказывается равенство h2=ac·bc h^2=a_c\cdot b_c ? Зная ac=3 a_c=3 ,   h=21 h=\sqrt{21} вычислить bc b_c ,   c c ,   a a , b b . б) В прямоугольном треугольнике ABC ABC ( ∠c=90° \angle c=90^{\circ} )...

   

  1(5). а) Как доказывается равенство $h^2=a_c\cdot b_c$? Зная $a_c=3$,  $h=\sqrt{21}$ вычислить $b_c$,  $c$,  $a$, $b$.

  б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle c=90^{\circ}$) проведена высота `CH = h`. В треугольники $ABC$, `ACH`, `BCH` вписаны окружности радиусов `r`, `r_1`, `r_2`. Верно ли, что `r + r_1 + r_2 = h`?

  2(6). а) По данным на рис. 34 найти `x` и  `cos alpha`.

  б) По данным на рис. 35 найти $b_c$, $c$, $a$, если `sin alpha = 8/(17)`.

  в) По данным на рис. 36 при tg`alpha = 2` найти `h`, $a$, $b$, $c$.

  3(6). а) В треугольнике $ABC$ проведены высоты  `A A_1` и `B B_1`. Чему равен угол `C`, если  `AB = 2 sqrt2` и `A_1 B_1 = 2`? (Первая лемма о высотах). 

  б) Высоты `B B_1` и `C C_1` треугольника $ABC$ пересекаются в точке `H`  (рис. 37). При каком значении `k` угол `A` равен `30^@`? (Вторая лемма о высотах).

  в) В треугольнике $ABC$ известны  `/_ A = 40^@` и  `/_ B = 80^@`.  Чему равны углы ортотреугольника?

  4(4). а) В каком отношении биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону?

  б) `BD` и `CK` - биссектриса треугольника $ABC$ (рис. 38),  `AK : BK = 3:4` и   `AD:CD = 1:2`. Чему равны стороны треугольника $ABC$, если его периметр равен `18`?

  5(4). а) В каком отношении делится каждая из медиан треугольника их общей точкой пересечения?

  б) Точка `M` - середина стороны `AD` параллелограмма `ABCD`. Прямая  `BM` пересекает диагональ `AC` в точке `K`. Чему равно отношение `AK:AC`?

  в) Может ли быть `m_a = 6`,  `m_c = 9`,  `BC = a = 8`?

  6(4). Точка `A_1` лежит на стороне `BC` треугольника $ABC$, точка `C_1` - на стороне  `AB`,  `AC_1:C_1B = 5:2`,  `BA_1 : A_1 C = 2:1`.

  а) Прямая  `A_1 C_1` пересекает прямую `AC` в точке `K`. Чему равно отношение  `CK:AC`?

  б) Прямые `A A_1` и `C C_1` пересекаются в точке `O`. Чему равно отношение  `AO:O A_1` и `CO:O C_1`  (см. пример 12 и теорему Менелая).

  7(8). а) Отрезок `MN` параллелен основаниям трапеции `ABCD` и проходит через точку пересечения диагоналей (рис. 39),  `MN = 3/5 AD`. Чему равно отношение длин оснований?

  б) Углы при большем основании трапеции равны `28^@` и `62^@`. Основания трапеции равны `5` и `13`. Чему равен отрезок, соединяющий середины оснований?

  в) Диагонали `d_1` и `d_2` трапеции взаимно перпендикулярны,  `d_1 :d_2 = 3:4`. Средняя линия трапеции равна `5`. Чему равны диагонали? (см. Пример 14).

  8*(4). а) Будут ли четырёхугольники подобны, если `4` угла одного соответственно равны $4$-м углам другого?

  б) `ABCD` - выпуклый четырёхугольник, точки `M` и `N` - середины противолежащих сторон `AB` и `CD`  соответственно. Известно, что  `MN = 1/2 (BC + AD)`. Следует ли из этого, что   $BC \| AD$? 

   

   
• 
  9-М-1. Примеры ответов на контрольные вопросы

  • 13 июня
  • 0 комментариев
  • 139 просмотров

  Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб? Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рис. 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB...

   

  Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?

  Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рис. 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB != BC`. Верным будет следующее утверждение: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

  Вопрос. Можно ли утверждать, что тре¬угольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?

  Ответ. Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике `ABC` биссектриса `BM` является медианой: `AM = MC` (рис. 33). На продолжении биссектрисы `BM` отложим отрезок `MD`, равный `BM`. Треугольники `ABM` и `CDM` равны по первому признаку: у них углы при вершине `M` равны, как вертикальные, и `AM = CM`, `BM = DM`.
  Из равенства треугольников следует
                                                                                `CD = AB`                                                                  `(1)`
  и `/_ CDM = /_ ABM`. Но `/_ABM = /_ CBM`, поэтому `/_ CDM = /_ CBM`, т. е. в треугольнике `BCD` углы при основании `BD` равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: `BC = CD`. Отсюда и из `(1)` заключаем: `BC = AB`.  Утверждение доказано.

   

   
• 
  9-М-1. Домашнее задание

  • 13 июня
  • 0 комментариев
  • 120 просмотров

  Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями. 1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ...

   

  Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.

  1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.

  2. Если в контрольном вопросе сначала требуется сформулировать или доказать некоторую теорему, то ответ на сопутствующий вопрос надо постараться дать на основе этой теоремы.

  3. Если в решении длина какого-либо отрезка выразится иррациональным числом (например, `a = sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.

  4. Если в решении использовались тригонометрические функции и получилось, например, `sin alpha =  (2 sqrt2)/3`,  то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cos`, `sin 2 alpha`, `sin (alpha + 45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам! Например

  `cos alpha = - sqrt(1 - sin^2 alpha) = - 1/3`, 

  если угол `alpha` тупой и `sin alpha = (2 sqrt2)/3`,  а

   `sin (alpha + 45^@) = sin alpha * cos 45^@ + cos alpha * sin 45^@ = (sqrt2)/2 (sin alpha + cos alpha)`.  

  5. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняю-щим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.

  6. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 12 и рис. 15 Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение или проверить его).

  7. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1) … 2) … 3) … и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделять, например, так

   $\boxed{AD=3/2 x, BC=1}$

  Кроме того, вычисления разумно производить в кратких обозначениях (а математика – это здравый смысл), например

  `x/y = u/v`,  `x/v = y/v|=> x = y`   и   `u = v`  

  или `a = sqrt (c(c/2 - 1))`,

  а не `BC = sqrt (AB((AB)/2 - MN))`.

   

   
• 
  9-М-1. 5. Трапеция

  • 13 июня
  • 0 комментариев
  • 115 просмотров

  Утверждение 1 Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой. Доказательство Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24). Докажем, что она ра...

   

  Утверждение 1

  Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.

  Доказательство

  Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24). Докажем, что она разделит пополам обе диагонали и другую боковую сторону. В треугольнике `BAC` $MP \parallel BC$  и `AM = MB`. По теореме Фалеса  `AP = PC`.

  В треугольнике `ABD` точка `M` - середина стороны, $MQ \parallel AD$. По теореме Фалеса `BQ = QD`. Наконец, в треугольнике `BDC` точка `Q` - середина `BD`, $QN \parallel BC$. По теореме Фалеса `CN = ND`. 

  Итак, середины боковых сторон (точки `M` и `N`) и середины диагоналей (точки `P` и `Q`) лежат на одной прямой.

  Утверждение 2

  Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

  Доказательство

  Пусть `AD = a`, `BC = b`. Из Утверждения 1 следует, что `MQ` - средняя линия треугольника  `ABD`, поэтому `MQ = a/2`; `MP` и `QN` - средние линии треугольников `BAC` и `BDC`, поэтому `MP = QN = b/2`. 

  Отсюда следует, что `MN = (a + b)/2`  и  `PQ = (a - b)/2`. 

  Утверждение 3

  Во всякой трапеции середины оснований, точка пересе-чения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

  Доказательство

  Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке `K`. Через точку `K` и точку  `O` пересечения диагоналей проведём прямую `KO` (рис. 25).

  Докажем, что эта прямая делит основания пополам.

  Обозначим `BM = x`, `MC = y`, `AN = u`, `ND = v`. 

  Имеем:

  $\left.\begin{array}{rcl}\Delta BKM \sim \Delta AKN \Rightarrow \frac {BM}{AN} = \frac {KM}{KN};\\\Delta MKC \sim \Delta NKD \Rightarrow \frac {MC}{ND} = \frac {KM}{KN}\end{array}\right\} \Rightarrow \frac {BM}{AN} = \frac {MC}{ND}$,   т. е.   `x/u = y/v`. 

  Далее, `Delta BMO ~ Delta DNO => (BM)/(ND) = (MO)/(NO)`,   `Delta CMO ~ Delta ANO => (MC)/(AN) = (MO)/(NO)`,  поэтому `(BM)/(ND) = (MC)/(AN)`,   т. е. `x/v = y/u`.

  Перемножим полученные равенства, получим `x^2/(uv) = y^2/(uv)`, откуда следует   `x = y`,   но тогда и  `u = v`.  

  Утверждение 4

  В равнобокой трапеции углы при основании равны.

  Доказательство

  Проведём $CF \parallel BA$ (рис. 26). `ABCF` - параллелограмм, `CF = BA`, тогда треугольник `FCD` равнобедренный, `/_ 1 = /_ 2`. Но `/_ 2 = /_ 3`, следовательно,  `/_ 1 = /_ 3`. 

  Утверждение 5

  В равнобокой трапеции высота, опущенная из конца меньшего основания на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.

  Доказательство

  Если `BM_|_ AD` и `CN _|_ AD`, то `Delta BAM = /_ CDN` (рис. 27). `BMCN` - прямоугольник, `MN = b`,  тогда `ND = (a - b)/2`,  а `AN = a - (a - b)/2 = (a + b)/2`. 

  Утверждение 6

  В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середи-ны оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

  Доказательство

  Пусть `K` - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (рис. 28). Как следует из Утверждения 2, середины оснований – точки `M` и `N` - и точка `K` лежат на одной прямой, а как следует из Утверждения 4, углы `A` и `D` равны. Таким образом, треугольник `AKD` - равнобедренный, `KN` - его медиана, она является и высотой. Итак, `MN _|_ AD`.

  Легко видеть, что при симметрии относительно прямой `MN` точки `A` и `B`  переходят в точка `D` и `C` и наоборот. `MN` - ось симметрии трапеции.

  Утверждение 7

  В равнобокой трапеции диагонали равны.

  Доказательство

  Рассмотрим треугольники `ABD` и `DCA` (рис. 29): `AB = DC` (трапеция равнобокая), `AD` - общая сторона, `/_ BAD = /_ ADC` (следует из Утверждения 4). По первому признаку равенства эти треугольники равны и `BD = AC`. 

  Пример 14

  Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна Отрезок, соединяющий середины оснований, равен `4,5` (рис. 30). Найти другую диагональ.

  Решение

  1. Треугольник `AOD` - прямоугольный, `ON` - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, т. е.
                                                                        `ON = 1/2 AD`.

  Аналогично устанавливается, что `OM = 1/2 BC`. По Утверждению 3 точки `M`, `O` и `N` лежат на одной прямой. Таким образом,  `MN = OM + ON = 1/2 (AD + BC)`,  поэтому  `AD + BC = 2MN = 9`.

  2. Проведём через точку `D` прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - точка её пересечения с прямой `BC`, Угол `BDK` прямой, это угол между диагоналями трапеции. Кроме того, `ACKD` по построению параллелограмм, `CK = AD`,  значит, `BK = BC + AD = 9`.  Треугольник `BKD` - прямоугольный, один из катетов (пусть `DK`) равен `6`. По теореме Пифагора находим: `BD = sqrt(BK^2 - DK^2) = 3 sqrt5`.

  Пример 15

  В равнобокой трапеции с периметром `10` и высотой `2`  диагонали, пересекаясь, делятся в отношении `4:1`. Найти основания.

  Решение

  1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей трапеции `ABCD` (рис. 31) и  `AO:OC = 4:1`.  Треугольники `AOD`   и  `COB` подобны,  `AO:OC = AD:BC = 4`,   т.  е.  `AD = 4BC`.  Обозначим  `BC = x`,  тогда  `AD = 4x`.

  2. Пусть `CK _|_ AD`; `CK` - высота трапеции, по условию `CK = 2`,  а как следует из Утверждения 5,
                                                             `KD = 1/2 (AD - BC) = 3/2 x`.    

  Из прямоугольного треугольника `CKD` имеем `CD = sqrt(4 + 9/4 x^2)`.  Выражаем периметр трапеции: `10 = (5x + 2 sqrt(4 + 9/4 x^2) )`.

  Решаем уравнение `2 sqrt(4 + 9/4 x^2) = 10 - 5x`,  оно имеет единственный корень `x = 1`.

  Итак,  `BC = 1`, `AD = 4`. 

   

   
• 
  9-М-1. 4. Задачи о делении отрезка

  • 9 июня
  • 0 комментариев
  • 136 просмотров

  Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:  Теорема 6 Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....

   

  Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
   

  Теорема 6

  Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е. если $l_1 \parallel l_2$,  `(AC)/(AB) = (AC_1)/(AB_1) = (C C_1)/(BB_1)`  или `m/x = (m + n)/(x + y) = n/y`. 

  Пример 11

  Точка `N` лежит на стороне `AC` треугольника `ABC` причём `AN:NC = 2:3`. Найти, в каком отношении медиана  `AM` делит отрезок `BN`. 

  Решение

  1. Пусть `O` - точка пересечения медианы `AM` и отрезка `BN`. Требуется найти отношение `BO:ON`.   Обозначим `AN = 2x`, тогда `NC = 3x`. Отметим, что  `BM = MC`  (рис. 18а).
  Проведём прямую `NK` параллельно медиане `AM` (рис. 18б). Параллельные прямые `AM` и `NK` пересекают стороны угла `MCA`, следовательно, `(MK)/(KC) = 2/3`.   Полагаем `ul (MK = 2y)`, тогда  `KC = 3y`,    а т. к.  `BM = MC`,  то `ul (BM = 5y)`. 
  2. Те же прямые пересекают стороны угла `NBC` (см. рис. 18в), поэтому  `(BO)/(ON) = (BM)/(MK) = (5y)/(2y)`,  т. е.  `(BO)/(ON) = 5/2`. 

  Пример 12

  Точки `D` и `F` лежат на сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC`, при этом `AD:DB = 1:2`  и  `BF:FC = 2:3`.  Прямая `DF` пересекает прямую `AC` в точке `K`.  Найти отношение `AK:AC`. 
     

  Решение

  1. Пусть  `AD = x`, `BF = 2y`, `KA = z`. Тогда  `DB = 2x` и `FC = 3y`.

  Проводим прямую  `AE`,  параллельную стороне  `CB`.

  `Delta ADE ~ Delta BDF| => AE:BF = AD:BD => ul(AE = y)`.

  2. `Delta KAE ~ Delta KCF | => (KA)/(KC) = (AE)/(CF)`,   т. е. `z/(a + z) = y/(3y)`.    Находим `a = 2z`. 

  Ответ:

  `AK:AC = 1:2`. 

  Пример 13

  В треугольнике `ABC` точки `D` и `K` лежат соответственно на сторонах `AB` и `AC`, отрезки `BK` и `CD` пересекаются в точке `O` (рис. 20а), при этом  `BO:OK = 3:2` и  `CO:OD = 2:1`. Найти в каком отношении точка `K` делит сторону `AC`,  т. е. `AK:KC`.

  
  

  Решение

  1. Полагаем `OD = x`, `OK = 2y`,  тогда `OC = 2x` и `BO = 3y`. 
  Проводим прямую  $KF \parallel CD$  (рис. 20б).
  Из $KF \parallel OD$ `(/_ ABK)` следует `BD:DF = 3:2`. Обозначаем `DF = 2p`,  тогда `BD = 3p`.

  2.  `Delta FBK ~ Delta DBO`, `FK:DO = FB:DB`, откуда  `FK = (5p)/(3p) * x = 5/3 x`.

  3. `Delta AFK ~ Delta ADC`, `AF:AD = FK:DC`. Обозначаем `AF = z`, имеем  `z/(z + 2p) = (5/3 x)/(3x)`,
  откуда `z = 5/2 p`, т. е.  `AF = 5/2 p`. 

  4. Рассматриваем `/_ BAC`, $FK \parallel DC$, по теореме  `AK:KC = AF:FP`,  т. е.   `AK:KC = 5:4`. 

  Все три рассмотренные задачи могут быть решены с применением теоремы Менелая.

  Теорема Менелая (о треугольнике и секущей)

  Пусть точка `A_1` лежит на стороне `BC`, точка `C_1` - на  стороне `AB`, а точка `B_1` - на продолжении стороны `AC` за точку `C`.

  Если точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой (рис. 21), то выполняется равенство
                                                              `(AC_1)/(C_1 B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.                                                    `(**)`
  Обратно, если выполняется равенство `(**)`, то точки `A_1`, `B_1`  и `C_1` лежат на одной прямой. (Заметим, что можно считать `B_1C_1` секущей треугольника `ABC`,  а можно считать `BC` секущей треугольника `AB_1C_1`).

  
  

  Доказательство

  а) Предположим, что точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. Проведём  $CK \parallel AB$ (рис. 21).  `Delta CKB_1 ~ Delta AC_1B_1`, поэтому  `(CK)/(AC_1) = (CB_1)/(AB_1)`,  откуда `CK = (CB_1)/(AB_1) * AC_1`.
  Далее: `Delta CKA_1 ~ Delta BC_1A_1`,  значит

                                                                       `(CK)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`.
  
  Подставляя сюда выражение для `CK`, получим `(CB_1)/(AB_1) * (AC_1)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`,  т. е.  `(AC_1)/(C_1B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`,  ч. т. д.

  б) Пусть выполнено равенство `(**)` для точек `A_1`, `B_1` и `C_1` (рис. 22), докажем, что эти точки лежат на одной прямой.

  Через две точки `A_1` и  `B_1` проведём прямую, пусть `C_2` - её точка пересечения с прямой  `AB`  (точка пересечения будет лежать на отрезке `AB`).

  Три точки  `A_1`, `B_1` и `C_2` лежат на одной прямой и по доказанному в пункте а) выполняется равенство
                                                                `(AC_2)/(C_2B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.
  Сравнив это равенство с равенством `(**)`, придём к выводу, что `(AC_2)/(C_2B) = (AC_1)/(C_1B)`. Точки  `C_2` и `C_1` лежат на отрезке  `AB`  и делят его в одном отношении, считая от конца  `A`.  Следовательно, точка  `C_2`  совпадает с точкой `C_1`,  т. е. точки `A_1`, `B_1` и `C_1`  лежат на одной прямой.

  Стрелки на рисунке 21 (от точки `A`) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции  `(**)`.

  Например, применим теорему Менелая к задаче из примера 12. Полагаем `BO = m`, `ON = n` (см. рис. 23) и рассматриваем треугольник `CBN` и секущую `AM`.
  Имеем:

  `(CM)/(BM) * (BO)/(ON) * (NA)/(AC) = 1`, т.  е.  `1/1 * m/n * (2x)/(5x) = 1`,  откуда  `m/n = 5/2`.

   

   
• 
  9-M-1. 3. Подобие треугольников

  • 8 июня
  • 0 комментариев
  • 209 просмотров

  Две фигуры `F` и `F'` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз....

   

  Две фигуры `F` и `F'` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F'` подобны, то пишется `F ~ F'`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC ~ Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` - в `B_1`, `C` - в `C_1`.

  Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC ~ Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`, `A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.  

  Признаки подобия треугольников

  Два треугольника подобны, если:

  1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

  2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

  3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

  В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

  Лемма

  Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

  Доказательство

  Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B`  и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

  И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

  Пример 4 (важное свойство трапеции)

  Прямая, проходящая через
  точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`. 

  Решение

  1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $MO \parallel AD$,  треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому
                                                          `(MO)/(AD) = (BO)/(BD)`                                                        `(1)`

  2.  $AD \parallel BC$, `Delta AOD ~ Delta COB` по двум углам (рис. 10б): `(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`,  то есть `(OD)/(OB) = a/b`. 

  3. Учитывая, что `BD = BO + OD`  находим отношение 

    `(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.               

  Подставляя это в `(1)`, получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

  Пример 5 (полезный метод решения)

  Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и  $MN \parallel AD$  (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

  Решение

  1. Пусть  $BF\|CD$  и  $ME\|CD$  (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и  `Delta AME ~ Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`. 
  2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` - параллелограммы,  `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x - a`; `AE = 5a - x`. Итак, имеем `(5a - x)/(x - a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`. 

  Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

  Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

  Попытайтесь доказать это самостоятельно.

  Признаки подобия прямоугольных треугольников

  Прямоугольные треугольники подобны, если:
  1. они имеют по равному острому углу;

  2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

  3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

  Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

  Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Утверждения 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

  СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

  Пример 6 (Первая лемма о высотах)

  Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` - его высоты, то  `Delta A_1B_1C ~ Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

  Доказательство

  Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
  а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).
  В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` - прямой,  `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

   В треугольнике `B B_1C  угол `B_1`  - прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`. 

  В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`. 

  Таким образом, `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC` с коэффициентом подобия  `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
  б) Треугольник `ABC` - тупоугольный, угол `C` - острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла. Рассуждения аналогичны:

  $$\left.\begin{array}{rcl}
  \Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
  \Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
  \end{array}
  \right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$

  коэффициент подобия `ul (cos C)`,  `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

  Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
  в) Треугольник `ABC` - тупоугольный, угол `C` - тупой, высоты `A A_1` и `B B_1`  проведены из вершин острых углов.

  `varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ - /_ C`, `cos varphi = - cos C = |cos C|`.

  $$\left.\begin{array}{rcl}
  \Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
  \Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
  \end{array}
  \right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$

  с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`. 

  Пример 7

  В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13). Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

  Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

  Решение

  По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

  Аналогично `Delta AB_1C_1 ~ Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е.  `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

  Так как `BB_1` - высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`. 

  Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ - /_B`,  т. е. луч `B_1B` - биссектриса угла `A_1B_1C_1`. 

   Аналогично доказывается, что `A A_1` - биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C C_1` - биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

  Пример 8 (Вторая лемма о высотах)

  Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

  Решение

  `Delta AHB_1 ~ Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H`  (заметим, что  этот  угол  равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`,  откуда  `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

  Пример 9

  Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом  `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

  Решение

  1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим  `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда  `AH = 2y`. По второй лемме о высотах  `AH * HA_1 = BH * HB_1`,   т. е.  `x^2 = 2y^2`,  `x = y sqrt 2`. 
  2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ - C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` - острый,  `/_ C = 45^@`.

  Ответ:

  `/_ C = 45^@`. 

  Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

  Теорема 5

  Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональ¬ные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` -  биссектриса треугольника `ABC`, то  `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

  Доказательство

  Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).
  Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие  углы  `2`  и `4`. Но `AD` - биссектриса, `/_1 = /_2`,  следовательно  `/_3 = /_4`.
  Отсюда следует, что  треугольник  `KAB`  равнобедренный, `KA = AB`.
  По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми  из  $AD \|KB$  следует  `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`.   Подставляя сюда вместо  `KA` равный ему отрезок `AB`,  получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.  Теорема доказана.

  Пример 10

  Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

  Решение

  Пусть `AD` - биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17). По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`.   Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е.  `ul (5x < 3x + 8)`,   `3x < 5x + 8`  и  `ul (8 < 3x + 5x)`.  Получаем ограничения `x<4` и `x > 1`.

  Периметр треугольника  `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`,  поэтому `ul (16 < P < 40`. 

   

   
• 
  9-M-1. 2. Замечательные точки треугольника

  • 7 июня
  • 0 комментариев
  • 169 просмотров

  Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем. Теорема 1 Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности. Доказательство основано на том факте, что биссектриса угла е...

   

  Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.

  
  Теорема 1

  Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.

  
  

  Доказательство

  основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

  Теорема 2

  Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.

  
  

  Доказательство

  основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

  Теорема 3

  Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

  
  

  Доказательство

  Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 6). В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.

  По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что  `C_1B = AC`, следовательно  `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
  Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.  
  Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника  `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
  Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае (см. рис. 6) точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
  В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.

  Теорема 4

  Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
  Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.

  
  

  Доказательство

  Пусть  `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` (рис. 7а). Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F`  параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса  `BK = KD` `(/_ABC`, $EK\|AD)$ и  `DL = LC` `(/_ACB`,  $AD\| FL)$. Но `BD = DC = a//2`,  поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, $NK\| MD\| FL)$, поэтому `BM = 2MF`.

  Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.

  Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны, иллюстрация на рисунке 7б.
  Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.

  Пример 3

  Две стороны треугольника равны соответственно `6` и `8`. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.

  
  

  Решение

  1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны (рис. 8). Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n`    и    `BO = 2/3 m`.
  2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
  Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3`  и `CN = 1/2 BC = 4`),  получим: $$
  \left\{
  \begin{aligned}
  16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
  9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
  \end{aligned}
  \right.
  $$
  Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
  3. Длина стороны `AB`  находится из прямоугольного треугольника

  `AOB:  x^2 = 4/9m^2 + 4/9n^2 = 4/9(m^2 + n^2) = 20`.

    Итак, `AB = 2 sqrt5`.

     Свойства высот и биссектрис будут далее рассмотрены в §3.

   

   
• 
  9-М-1. 1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения

  • 7 июня
  • 0 комментариев
  • 316 просмотров

  Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha`  (рис. 1).  Используем обычные обозначения: `c` - гипотенуза `AB`; `a`  и `b` – катеты `BC`&nb...

   

  Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha`  (рис. 1). 

  Используем обычные обозначения:

  `c` - гипотенуза `AB`;

  `a`  и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески "kathetos - катет" означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

  `a_c` и `b_c` – проекции `BD`  и `AD`  катетов на гипотенузу;

  `h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

  `m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

  `R` – радиус описанной окружности;

  `r` – радиус вписанной окружности.

  Напомним, что если `alpha` - величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

  `sin alpha = a/c`,  `cos alpha = b/c`   и    tg`alpha = a/b`.

  Утверждение

  Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

  Теорема Пифагора

  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

  `c^2 = a^2 + b^2`

  Доказательство теоремы повторите по учебнику.

  Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

  Утверждение 1

  Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

  `a^2 = c * a_c`

  `b^2 = c * b_c` 

  Доказательство

  
  

  Если `/_ A = alpha`   (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ - alpha`   и `/_ BCD = alpha`.  Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`,  а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

  Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда  `(BC)^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c`.  Аналогично доказывается второе равенство. 

  Утверждение 2

  Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

  `h^2 = a_c * b_c`

  Доказательство

  
  

  Из треугольника `ACD`  (рис. 1) имеем tg`alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` tg`alpha = (BD)/(CD)`.

  Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`,  откуда `CD^2 = AD * BD`,  т.  е.  `h^2 = a_c * b_c`.

  
  

  Утверждение 3

  Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

  `a * b = c * h`

  Доказательство

  
  

  Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD`  `sin alpha = (CD)/(AC)`.

  Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`,  откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е.  `a * b = c * h`.

  
  

  Утверждение 4

  Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

  `m_c = 1/2 c`

  Доказательство

  
  

  Пусть `AM = BM`. Проведём $MK\|BC$  (рис. 2), тогда по теореме Фалеса  `AK = CK`. Кроме того, из того, что `BC _|_ AC`  и  $MK\|BC$  следует `MK _|_ AC`.

  В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны.  Эти треугольники равны и `CM = AM`,  т. е.  `CM = 1/2 AB`.

  
  

  Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

  Утверждение 5

  Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

  `R = m_c = 1/2 c` 

  Доказательство

  
  

  Это следует из Утверждения 4, действительно, `MA = MB = MC`,  следовательно, окружность с центром в точке  `M` и  радиуса `c/2` проходит через три вершины.

  Утверждение 6

  Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

  `a + b = 2(R + r)`    или    `a + b = c + 2r`

  Доказательство

  
  

  Пусть `O` - центр вписанной окружности и `F`, `N`  и `S` - точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB`   и   `OF = ON = OS = r`. 

  Далее, `OFCN` - квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC - FC`,  `AN = AC - CN`,  т. е.  `BF = a - r`  и `AN = b - r`.

  Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` - общая, катеты `ON` и `OS`  равны), следовательно,  `AS = AN`,  т.  е.  `AS = b - r`.

  Аналогично доказывается, что  `BS = a - r`, поэтому из `AB = AS + BS`  следует   `c = (b - r) + (a - r)`,  т. е. `a + b = c + 2r`.

  Зная, что  `c = 2R`, окончательно получаем  `a + b = 2(R + r)`.

  ЗАМЕЧАНИЕ

  Равенства, доказанные в Утверждениях 1 и 2, записываются также как:

  `a = sqrt(c * a_c)`

  `b = sqrt(c * b_c)`

  `h = sqrt(a_c * b_c)`

  и, соответственно, формулируются

  Утверждения

  Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

  Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

  Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
     

  Пример 1

  Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.

  Решение

  1. Пусть  `a_c = 9`, `b_c = 16`   (рис. 4),  тогда  `c = a_c + b_c = 25`.

  2. По Утверждению 1:  `a = sqrt(c * a_c) = 15`,   `b = sqrt(c * b_c) = 20`.

  3. По Утверждению 6:  находим радиус   `r = 1/2 (a + b - c) = 5`.

  Пример 2

  В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота (рис. 5), расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.

  Решение

  1. Заметим, что `a_c = c/2 - 1`, a `b_c = c/2 + 1`  (рис. 5), откуда  `a^2 = c * a_c = c(c/2 - 1)`  и  `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.
  
  2. По условию  `b = 2a`,  значит  `b^2 = 4a^2`,  т. е.  `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 - 1)`.
     Находим  `c = (10)/3`,  и  `a = sqrt(c(c/2 - 1)) = 2/3 sqrt5`  и  `b = 2a = 4/3 sqrt5`.