Статьи

• 
  Работы вне конкурса

  • 9 июля
  • 0 комментариев
  • 530 просмотров

  Математика 11 класс

  ФИО	Вариант	№ Задачи							Сумма
  		1	2	3	4	5	6	7
  Аристархов Денис Андреевич	2	3	5	5	0	3	0	0	16
  Артемкина Ксения Сергеевна	2	0	0	0	0	0	0	0	0
  Гаделия Руслан Георгиевич	2	4	4	0	0	7	0	4	19
  Григорьев Александр Денисович	1	0	0	0	0	0	0	0	0
  Добжанский Игорь Станиславович	3	0	0	0	0	0	0	0	0
  Золотарев Дмитрий Витальевич	3	4	5	6	5	6	3	6	35
  Кирменский Алексей Сергеевич	1	2	5	6	0	1	4	0	18
  Макаренко Мария Вячеславовна	12	3	4	2	0	0	0	0	9
  Новиков Андрей Владимирович	1	0	0	0	0	0	1	0	1
  Образцов Александр Сергеевич	4	0	0	0	0	0	0	0	0
  Подлеснова Валерия Андреевна	3	0	0	0	0	0	0	0	0
  Подлеснова Мария Алексеевна	4	2	5	0	0	0	1	0	8
  Растоги Карен Вириш Кумарович	4	4	0	0	0	1	0	0	5
  Расулов Аслан Фазилевич	1	4	5	1	5	0	3	0	18
  Репин Александр Сергеевич	3	4	5	3	0	1	6	0	19
  Решетняк Данила Владимирович	2	4	0	0	0	0	0	0	4
  Самсыгин Павел Филиппович	4	4	0	0	5	0	0	0	9
  Симакова Инна Владимировна	3	4	5	6	5	0	2	2	24
  Смирнов Иван Михайлович	1	4	0	0	5	0	0	0	9
  Чупрова Полина Владимировна	4	0	0	0	5	1	0	0	6
  Шарафутдинов Айгиз Фаизович	2	1	0	0	0	1	0	0	2
  Щербина Кирилл Сергеевич	3	4	0	0	0	1	0	0	5
  Яушкина Мария Дмитриевна	4	4	5	0	0	5	0	0	14

  Математика 10 класс

  ФИО	Вариант	№ Задачи							Сумма
  		1	2	3	4	5	6	7
  Агабабян Спартак Григорьевич	6	0	0	3	0	0	3	0	6
  Ван Алина Маошэновна	13	0	0	5	0	0	0	0	5
  Зинец Анастасия Николаевна	6	0	5	4	4	5	0	2	20
  Козлов Матвей Дмитриевич	13	0	0	0	0	0	0	0	0
  Косенко Юрий Михайлович	6	3	0	4	0	0	0	0	7
  Лаврова Екатерина Егоровна	6	0	0	0	0	0	0	0	0
  Непианиди Евангелина Фёдоровна	6	0	0	4	0	0	1	0	5
  нет анкеты (г. Воронеж)	6	0	0	0	0	0	0	0	0
  Перов Иван Иванович	13	1	4	0	0	5	0	0	10
  Платинский Степан Андреевич	6	1	0	4	6	2	1	0	14
  Плетминцев Кирилл Витальевич	5	1	0	0	1	5	0	0	7

  
  

  Математика 9 класс

  ФИО	Вариант	№ Задачи							Сумма
  		1	2	3	4	5	6	7
  Бельский Антон Александрович	16	4	0	5	0	2	0	4	15
  Гольдберг Артемий Александрович	7	0	5	5	5	4	0	5	24
  Гришин Данила Алексеевич	8	2	5	0	0	4	1	0	12
  Кузнецов Егор Владимирович	15	0	0	0	0	0	0	0	0
  Кузнецов Семён Евгеньевич	15	0	0	0	0	0	0	0	0
  Мезенцев Михаил Денисович	8	0	0	0	0	0	0	0	0
  Нестеров Даниил Александрович	16	0	0	0	0	0	0	0	0
  Пак Тимур Павлович	7	0	5	5	5	3	1	0	19
  Растоги Радмила Вириш Кумаровна	8	0	0	0	0	4	0	0	4
  Стрельцова Александра Владимировна	8	4	0	5	5	4	0	2	20
  Яковлева Эвелина Витальевна	8	0	0	0	0	0	0	0	0

  
  

  Физика 11 класс

  ФИО	Вариант	№ Задачи							Сумма
  		1	2	3	4	5	6	7
  Аристархов Денис Андреевич	6	2	6	6	10	2	0	0	26
  Воробьева Арина Алексеевна	7	6	0	2	7	2	0	0	17
  Григорьев Александр Денисович	8	0	0	2	0	2	0	0	4
  Зубкова Софья Викторовна	5	5	1	10	0	2	0	0	18
  Работа без анкеты, г.Саранск	6	6	10	10	10	10	0	0	46
  Катаев Сергей Максимович	5	5	0	1	6	4	0	0	16
  Кирменский Алексей Сергеевич	5	5	0	8	0	8	0	0	21
  Миляшин Артем Дмитриевич	7	1	0	0	2	0	0	0	3
  Перец Егор Иванович	5	1	0	0	0	0	0	0	1
  Подлеснова Мария Алексеевна	8	1	1	0	0	1	0	0	3
  Репин Александр Сергеевич	6	5	10	10	10	8	0	0	43
  Решетняк Данила Владимирович	5	3	0	2	0	3	0	0	8
  Симакова Инна Владимировна	8	1	10	10	6	2	0	0	29

  
  

  Физика 10 класс

  ФИО	Вариант	№ Задачи							Сумма
  		1	2	3	4	5	6	7
  Агабабян Спартак Григоревич	1	10	10	3	0	10	0	0	33
  Асриян Александр Ораянович	2	10	0	3	0	10	0	0	23
  Бондарь Клим Дмитриевич	2	3	0	0	0	2	0	0	5
  Ван Алина Маошэновна	4	0	0	0	0	10	0	0	10
  Волков Александр	1	10	9	0	10	10	0	0	39
  Гордеев Исай	2	3	10	1	2	5	0	0	21
  Григорян Арег Аветикович	1	10	0	4	0	0	0	0	14
  Григорян Кристине Константиновна	2	10	10	1	0	0	0	0	21
  Еськин Максим	1	10	10	3	10	10	0	0	43
  Зограбян Давит Самвелович	1	10	6	1	7	10	0	0	34
  Ивина Екатерина Александровна	1	3	10	3	2	10	0	0	28
  Истомин Никита Сергеевич	1	3	6	1	0	5	0	0	15
  Кидисюк Константин Алексеевич	2	3	3	10	0	0	0	0	16
  Киселев Кирилл Дмитриевич	1	0	3	0	0	0	0	0	3
  Козлова Дарья Олеговна	2	3	10	0	0	0	0	0	13
  Косенко Юрий Михайлович	2	3	0	0	0	0	0	0	3
  Куркин Дмитрий Иванович	2	3	3	0	0	0	0	0	6
  Лаврова Екатерина Егоровна	2	0	0	0	0	0	0	0	0
  Масалимов Ержан Тельжанович	1	3	6	0	0	0	0	0	9
  Мелкумян Арег Александрович	1	3	6	3	0	7	0	0	19
  Микшин Иван Вячеславович	3	3	0	0	0	0	0	0	3
  Мурадян Айк	2	10	3	3	0	2	0	0	18
  Работа без анкеты, г.Воронеж	2	5	0	0	0	0	0	0	5
  Повареннова Таисия Александровна	1	0	0	3	0	0	0	0	3
  Райдун Семен Константинович	3	3	0	0	0	2	0	0	5
  Тонеян Арчан	1	3	0	1	0	0	0	0	4

  Физика 9 класс

  ФИО	Вариант	№ Задачи							Сумма
  		1	2	3	4	5	6	7
  Ахметов Адиль Русланович	2	2	0	0	4	1	0	0	7
  Бейсембеков Алишер Жомартович	1	3	4	0	0	0	0	0	7
  Голомедов Александр	1	10	10	10	10	10	0	0	50
  Гришин Данила Алексеевич	2	4	2	0	9	10	0	0	25
  Каратаева Татьяна Юрьевна	3	0	0	0	0	0	0	0	0
  Коростинский Роман Денисович	1	3	0	0	0	10	10	0	23
  Кузнецов Егор Владимирович	4	0	0	0	3	10	0	0	13
  Кузнецов Семен Евгеньевич	4	0	0	0	2	10	0	0	12
  Лыжова Полина Дмитриевна	1	5	1	0	8	3	0	0	17
  Сысоев Артем Владимирович	2	5	4	0	10	6	0	0	25
  Фартыгин Артем Игоревич	2	4	10	6	10	10	0	0	40

• 
  8. Воздухоплавание

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 115 просмотров

  На тело, удерживаемое неподвижно в воздухе, действует выталкивающая сила, равная по закону Архимеда весу вытесненного этим телом воздуха. Если вес тела (в вакууме) больше веса вытесненного телом воздуха, то отпущенное тело падает вниз. Если вес тела меньше веса вытесненного воздуха, то отпущенное тело поднимается вверх. Это и есть условие воздухоплавания.

  Для осуществления воздухоплавания надо использовать газ, который легче воздуха. Это может быть нагретый воздух. Если суммарный вес оболочки воздушного шара, наполняющего его газа и полезного груза меньше веса вытесненного шаром воздуха, то шар будет подниматься.

  Задача 6

  Какой груз может поднять воздушный шар объёмом $V=10\;\mathrm м^3$, наполненный гелием? Плотность гелия $\rho_\mathrm г=0,18\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$,  плотность воздуха $\rho_\mathrm в=1,29\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$.  Масса оболочки шара $m_0=2,1\;\mathrm{кг}$.

  Решение

  Объёмом груза по сравнению с объёмом шара пренебрегаем. Вес вытесненного воздуха $\rho_\mathrm вVg$, вес гелия $\rho_\mathrm гVg$.   Максимальная масса груза найдётся из условия:  $m_0g+\rho_\mathrm гVg+mg=\rho_\mathrm вVg$. Отсюда

  $m=\left(\rho_\mathrm в-\rho_\mathrm г\right)V-m_0=9\;\mathrm{кг}$.

  
  

• 
  7. Плавание тел

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 113 просмотров

  Лодка из железа, спущенная на воду, плывёт, а эта же лодка, полностью погружённая в воду (затопленная), тонет. Из этого примера видно, что одно и тоже тело может плавать, а может и тонуть. Всё зависит от того, как тело приведено в контакт с жидкостью. Поэтому имеет смысл рассмотреть два случая взаимодействия тела с жидкостью.

  1-й случай

  Тело плавает в жидкости,  т. е. находится в покое, частично погрузившись в жидкость. Это может быть любое тело, например, кусок дерева или катер. Важен сам факт плавания. При этом тело соприкасается только с жидкостью и воздухом, плавая предоставленным самому себе, свободно. На начальном этапе рассмотрения вопроса о плавании не будем учитывать вес вытесненного воздуха. На тело действует направленная вниз сила тяжести `F_sf"Т"` и направленная вверх сила Архимеда `F_sf"А"`. Поскольку сила тяжести `F_sf"Т"` равна весу тела (в вакууме), а сила Архимеда `F_sf"А"` – весу (в вакууме) вытесненной жидкости, то можно сказать, что вес тела равен весу вытесненной жидкости. При более строгом рассмотрении вопроса с учётом веса вытесненного воздуха можно показать, что вес тела в воздухе равен весу (тоже в воздухе) вытесненной жидкости.

   Итак, если тело плавает в жидкости, то вес тела в воздухе равен весу в воздухе вытесненной им жидкости.

  При решении задач, когда ситуация реальна, различием в весе в воздухе и вакууме обычно пренебрегают, приравнивая вес любого тела силе тяжести, действующей на тело.

  Задача 5

  Кусок льда объёмом $V=0,1\;\mathrm м^3$ плавает в воде. Найти объём  `V_1`  надводной части льда. Плотность воды  $\rho_1=1\;\mathrm г/\mathrm{см}^3$,  плотность льда $\rho_2=0,9\;\mathrm г/\mathrm{см}^3$.

  Решение

  Вес льдины `rho_2 Vg`,  вес вытесненной воды `rho_1 (V - V_1)g`. По закону Архимеда  `rho_2 Vg = rho_1 (V - V_1)g`.  Отсюда 

  $V_1=\dfrac{\left(\rho_1-\rho_2\right)V}{\rho_1}=\left(1-\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\right)\cdot V=0,01\;\mathrm м^3$.

  2-й случай

  Тело полностью погружено в жидкость и отпущено. Возьмём в руки какое-нибудь тело (кусочек дерева, стальной болт), погрузим его полностью в жидкость (например, воду) и будем удерживать неподвижно. На тело со стороны Земли действует вниз сила тяжести $F_\mathrm Т=\rho_\mathrm ТVg$, а со стороны жидкости - вверх выталкивающая сила по закону Архимеда  $F_\mathrm А=\rho_\mathrm ЖVg$. Здесь `V` - объём тела, $\rho_\mathrm Т$ и $\rho_\mathrm Ж$ - плотность тела и жидкости. Отпустим тело. Если окажется, что $F_\mathrm Т\;>\;F_\mathrm А$,  то тело начнёт двигаться вниз, т. е. тонуть.  Если будет $F_\mathrm Т\ <\ F_\mathrm А$, то тело станет двигаться вверх, т. е. всплывать. После всплытия, когда тело будет плавать, объём погружённой в жидкость части тела окажется таким, что будет обеспечено равенство силы Архимеда (уже меньшей, чем величина $F_\mathrm А$) и силы тяжести $F_\mathrm Т$.  Итак, тело будет плавать, если $\rho_\mathrm ТVg\;<\;\rho_\mathrm ЖVg$, т. е. $\rho_\mathrm Т\;<\;\rho_\mathrm Ж$.  

  Мы получили условие плавания тела: тело, предварительно полностью погружённое в жидкость, плавает в жидкости, если плотность тела меньше плотности жидкости.

  Если плотности тела и жидкости равны, то полностью погружённое в жидкость тело может находиться в равновесии (покое) в любом месте жидкости, т. е. тело плавает внутри жидкости. Реально такая ситуация трудно осуществима, так как добиться строгого равенства плотностей нелегко.

  Условие плавания сформулировано для тела, предварительно полностью погружённого в жидкость. Предварительное полное погружение важно, так как, например, металлическая миска, не полностью погружённая в воду, может плавать, а полностью погружённая утонет.

  Условие плавания сформулировано для однородного тела, т. е. тела, плотность которого одинакова во всех точках тела. Это условие плавания справедливо и для неоднородного тела, например, куска льда с полостью внутри или стеклянной бутылки, заполненной частично водой и закрытой пробкой. В таком случае под плотностью тела надо понимать его среднюю плотность, т. е. отношение массы тела к его объёму.

• 
  6. Закон Архимеда

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 126 просмотров

  На поверхности твёрдого тела, погружённого в жидкость (газ), действуют силы давления. Эти силы увеличиваются с глубиной погружения (см. рис.), и на нижнюю часть тела будет действовать со стороны жидкости большая сила, чем на верхнюю.

  

  Равнодействующая всех сил давления, действующих на поверхность тела со стороны жидкости, называется выталкивающей силой. Другое название этой силы - сила Архимеда. Истинная причина появления выталкивающей силы - это наличие различного гидростатического давления в разных точках жидкости.

  Закон Архимеда

  выталкивающая сила, действующая на тело, погружённое в жидкость, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему направлена.

  Закон открыт величайшим механиком и математиком Древней Греции Архимедом (287 - 212 г.г. до н. э.).

  Приведённая формулировка закона Архимеда справедлива, если вся поверхность тела соприкасается с жидкостью или если тело плавает в жидкости, или если тело частично погружено в жидкость через свободную (не соприкасающуюся со стенками) поверхность жидкости.

  Если же часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда неприменим!

  Иллюстрацией к сказанному служит опыт, когда ровную нижнюю поверхность деревянного кубика натирают парафином и плотно приставляют ко дну сосуда (см. рис.).

  

  Затем осторожно наливают воду. Кубик не всплывает, т. к. со стороны воды на него действует сила, прижимающая его ко дну, а не выталкивающая вверх. Известно, что это представляет опасность для подводной лодки, лёгшей на грунт.

  Закон Архимеда применим и в случае погружения тела в газ.
  Строго говоря, в законе Архимеда вес вытесненной жидкости надо брать в вакууме, а не в воздухе, так как вес жидкости в воздухе меньше веса этой жидкости в вакууме на величину веса воздуха, вытесненного этой жидкостью. Но это различие обычно мало, и им пренебрегают.

  Если тело погружено в жидкость частично, то результирующая выталкивающая сила со стороны жидкости и воздуха равна сумме веса вытесненной жидкости и вытесненного этим телом воздуха. Здесь оба веса берутся в вакууме.

  Задача 4

  Железный предмет, полностью погружённый в воду, весит меньше, чем в воздухе на $F=100\;\mathrm H$.   Определить вес предмета в воздухе. Плотность железа $\rho=7900\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$.

  Решение

  Выталкивающей силой в воздухе можно пренебречь. Пусть вес тела в воздухе `Q`.  Тогда его вес в воде `Q - rho_в Vg`.  Здесь `V` - объём тела, $\rho_\mathrm в=1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$ - плотность воды, $g=9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2$. Разность этих весов равна  `F`. Поэтому `Q - (Q - rho_в Vg) = F`. 

  Отсюда `V = F/(rho_в g)`.  Вес тела в воздухе 

  $Q=\rho gV=\dfrac{F\rho}{\rho_\mathrm в}=\dfrac{100\;\mathrm H\cdot7900\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3}{1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3}=790\;\mathrm H$.

  
  

• 
  5. Атмосферное давление. Опыт Торричелли

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 128 просмотров

  Земля окружена воздушной оболочкой, состоящей из смеси газов. Эта оболочка называется атмосферой. Каждый горизонтальный слой атмосферы сжат весом более верхних слоёв. Поэтому давление в нижних слоях атмосферы больше, чем в верхних. При этом и плотность воздуха в нижних слоях значительно больше, чем в верхних. Это связано с тем, что газы под воздействием давления могут сильно уменьшить свой объём. Жидкости же обладают очень малой сжимаемостью и практически не изменяют своей плотности даже при больших давлениях. Атмосферное давление на уровне моря равно примерно $10^5\;\mathrm{Па}$, т. е. $100000\;\mathrm{Па}$. Это желательно помнить. С увеличением высоты над уровнем моря атмосферное давление уменьшается. На высоте примерно в $5,5\;\mathrm{км}$ оно уменьшается вдвое.

  Значение атмосферного давления впервые определил экспериментально в 1634 г. итальянский учёный Торричелли, создав простейший ртутный барометр. Опыт Торричелли состоит в следующем. Стеклянная трубка длиной около метра, запаянная с одного конца, заполняется полностью ртутью. Затем, закрыв отверстие трубки, её переворачивают и погружают открытым концом в чашу со ртутью (см. рис.).

  

  Часть ртути из трубки выливается, и в ней остаётся столб ртути высотой `H`. Давление в трубке над ртутью равно нулю (если пренебречь ничтожным давлением паров ртути), так как там - пустота (вакуум):  `P_C = 0`. Давление `P_B` в точке `B` равно давлению `P_A` в точке `A`, поскольку в сообщающихся сосудах - чаше и трубке - точки `A` и `B` находятся на одном уровне. Давление `P_A` равно атмосферному давлению $P_\mathrm{атм}$.  Поэтому $P_B=P_\mathrm{атм}$. Разность давлений `P_B - P_C = rho gH`, где `rho` - плотность ртути. Так как $P_B=P_\mathrm{атм}$  и `P_C = 0`, то $P_\mathrm{атм}\;=\rho gH$. Измерив `H` и зная `rho`, можно определить атмосферное давление в условиях опыта. Торричелли нашёл, что для уровня моря $H=760\;\mathrm{мм}$.

  В опыте Торричелли каждому значению `H` соответствует определённое значение $P_\mathrm{атм}$. Следовательно, атмосферное давление можно измерять в миллиметрах ртутного столба. Эта единица давления получила специальное название «Торр»: `1`Торр `= 1` мм. рт.ст. При этом высота столба ртути берётся той, которую он имел бы при `0^@"C"`. Атмосферное давление в `760` Торр называется нормальным атмосферным давлением. Значение этого давления называется нормальной (физической) атмосферой и обозначается $1\;\mathrm{атм}$.  Зная плотность ртути  $\rho=13595\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$, находим по формуле    $P_\mathrm{атм}=\rho gH$:

  $1\;\mathrm{атм}=760\;\mathrm{Торр}\approx101325\;\mathrm{Па}\approx1,013\cdot10^5\;\mathrm{Па}$.                         

  Умножим равенство $P_\mathrm{атм}=\rho gH$ на площадь `S` внутреннего сечения трубки: $P_\mathrm{атм}S=\rho gHS$. Заметим, что последнее равенство можно получить и непосредственно, записав условие равновесия  столба `BC`  ртути (рис. 6). Произведение $P_\mathrm{атм}S$ равно силе давления `F` на столб ртути `BC` снизу, вызванное наличием атмосферного давления, а `rho gHS` есть вес столба `BC` ртути в трубке. Поэтому говорят, что в опыте Торричелли давление, создаваемое весом столба ртути, уравновешивается атмосферным давлением.

  Замена ртути водой в опыте Торричелли требует высоты трубки более `10` м. Действительно, при нормальном атмосферном давлении $1\;\mathrm{атм}$ для значения плотности воды $\rho=1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$ из формулы $P_\mathrm{атм}=\rho gH$ следует, что $H\approx10,3\;\mathrm м$. Это означает, что нормальное атмосферное давление уравновешивается столбом воды высотой `10,3` м.   

  Несколько замечаний для решения задач. Полезно помнить, что плотность воды равна $1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$ и гидростатическое давление в $10^5\;\mathrm{Па}$ создаётся в воде на глубине приблизительно $10\;\mathrm м$. Проверьте это, используя формулу для гидростатического давления.

  Поскольку плотность воздуха намного меньше плотности воды, изменением атмосферного давления, связанным с перепадом высоты в несколько метров, можно в ряде случаев пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением воды, вызванным таким же перепадом высоты.

  Задача 2

  В сосуд налита вода (см. рис.).

  

  Расстояние от поверхности воды до дна $H=0,5\;\mathrm м$. Площадь дна $S=0,1\;\mathrm м^2$. Найти гидростатическое давление `P_1` и полное давление `P_2` вблизи дна. Найти силу давления воды на дно.

  Решение

  Плотность воды $\rho=10^3\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3$. Гидростатическое давление

  $P_1=\rho gH=10^3\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3\cdot9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2\cdot0,5\;\mathrm м\approx5\cdot10^3\;\mathrm{Па}=5000\;\mathrm{Па}$.

  Полное давление складывается из атмосферного $P_\mathrm{атм}=10^5\mathrm{Па}$ и гидростатического:

   $P_2=P_\mathrm{атм}+P_1=100000\;\mathrm{Па}+5000\;\mathrm{Па}=105000\;\mathrm{Па}$.

  Интересно, что полное давление мало отличается от атмосферного, так как толщина слоя воды достаточно мала. Сила давления воды на дно $F=P_2\cdot S=105000\;\mathrm{Па}\cdot0,1\;\mathrm м^2=10500\;H$.

  Задача 3

  На лёгкий поршень площадью `S`, касающийся поверхности воды, поставили гирю массой `m` (см. рис.).

  

  Высота слоя  воды в сосуде с вертикальными стенками  `H`. Определить давление в жидкости вблизи дна. Плотность воды `rho`.

  Решение

  На поршень снизу со стороны воды действует направленная вверх сила `F_1 = P_1 S`, где `P_1` давление вблизи поршня. Сверху на поршень действует гиря и атмосферный воздух с силой `F_2 = mg + P_"атм" S`, где $g=9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2$, $P_\mathrm{атм}=10^5\;\mathrm{Па}$ - атмосферное давление. Поршень находится в равновесии. Поэтому `F_1 = F_2`. Итак,  `P_1 S = mg + P_"атм" S`. Отсюда  `P_1 = P_"атм" + (mg)/S`.

  Этот  результат можно писать и сразу, говоря, что давление под поршнем равно атмосферному `P_"атм"` и добавочному давлению  `mg//S`, создаваемому гирей.

  Разность давлений в воде у дна и вблизи поршня: `P_2 - P_1 = rho gH`.

  Отсюда  `P_2 = P_1 + rho gH`.  

  Окончательно, давление у дна `P_2 = P_"атм" + (mg)/S + rho gH`.

  
  

• 
  4. Сообщающиеся сосуды

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 105 просмотров

  Сообщающимися называются сосуды, которые имеют связывающие их каналы, заполненные жидкостью (см. рис.).

  

  Можно показать, что справедлив закон сообщающихся сосудов.

  Закон сообщающихся сосудов:

  в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково, независимо от формы сосудов, а поверхности жидкости в сообщающихся сосудах (открытых вверху) устанавливаются на одном уровне (см. рис.).

  
  

  
  

• 
  3. Гидростатическое давление

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 135 просмотров

  На Земле на все тела действует сила тяжести. Под действием силы тяжести верхние слои жидкости действуют на нижние. Следовательно, в жидкости существует дополнительное давление, обусловленное силой тяжести, называемое гидростатическим давлением.

  Можно показать, что в жидкости, на глубине `H`,  считая от поверхности жидкости в сосуде, гидростатическое давление вычисляется по формуле `P_sf"г" = rho gH`.

  Здесь `rho` - плотность жидкости. В системе единиц СИ  `g = 9,8  sf"м/с"^2`, а давление `P_sf"г"`, плотность `rho` и высота `H`  измеряются в  Па, `sf"кг/м"^3` и `sf"м"` соответственно.

  Полное давление `P` в жидкости, налитой в сосуд, складывается из давления у поверхности жидкости и гидростатического давления. Давление у поверхности жидкости часто равно атмосферному давлению `P_"атм"`, о котором будет сказано в дальнейшем. В этом случае `P = P_sf"г" + P_sf"атм"`.

  Для ответа на некоторые вопросы полезно знать, что на одном горизонтальном уровне давление в жидкости постоянно, а разность давлений `Delta P`  на двух уровнях жидкости `AB` и `MN`, отстоящих друг от друга по высоте на расстояние `H` (см. рисунок), вычисляется по формуле `Delta P = rho g H`, которая аналогична формуле для гидростатического давления.

  

  Справка

  Греческая  буква  `Delta` (дельта),  стоящая  перед любой величиной, обычно используется  для  обозначения  изменения  этой  величины.

• 
  2. Закон Паскаля

  • 5 июля
  • 1 комментарий
  • 211 просмотров

  Рассмотрим связь между давлениями в различных точках жидкости. Будем рассматривать покоящуюся жидкость в неподвижном сосуде. Дополнительное давление в жидкости, возникающее из-за силы тяжести, учитывать не будем.

  Пусть жидкость заключена в замкнутый сосуд произвольной формы (см. рисунок).

  

  Будем давить на поршень. Покажем, что давление `P_A` в точке `A` равно давлению `P_B` в точке  `B`. Для этого выделим мысленно внутри жидкости тонкий цилиндр, ось которого проходит через точки `A` и `B`, а основания площадью `S` каждое перпендикулярны оси. На части боковой поверхности цилиндра из жидкости со стороны окружающей жидкости действуют силы давления, перпендикулярные оси цилиндра. На основания цилиндра жидкость действует с силами `F_A = P_A S` и `F_B = P_B S`,  направленными вдоль оси `AB`. Поскольку цилиндр находится в покое, то `F_A = F_B`,  т. е. `P_A S = P_B S`. Отсюда `P_A = P_B`. Значит,  давление в точках `A` и `B` одно и то же. Аналогично доказывается равенство давлений в точках `B` и `C` и в точках `C` и `K`. Таким образом, приходим к выводу, что давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Поршень давит на жидкость на её границе в одном месте, но это давление ощущается во всей жидкости. Мы получили

  Закон Паскаля:

  давление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на её границе, передаётся без изменения во все точки жидкости. 

  Этот закон был установлен экспериментально французским физиком и математиком  Блэзом  Паскалем  (1623 - 1662) и носит его имя.

  Всё сказанное в этом параграфе справедливо и для газов. Справедлив для газов и закон Паскаля.

  Отметим, что закон Паскаля выведен и сформулирован здесь при условии отсутствия силы тяжести. Наличие силы тяжести не изменяет сути закона и вносит дополнительную связь между давлениями в различных точках жидкости или газа.

  Закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических машин. Принцип устройства и действия такой машины следующий. Два цилиндрических сосуда разного диаметра с поршнями соединены трубкой и заполнены жидкостью (см. рис.).

  

  Пусть на малый поршень площадью `S_1` действует сила `F_1`. Тогда в жидкости создаётся давление `P = F_1 //S_1`. На большой поршень площадью `S_2` со стороны жидкости действует сила `F_2 = PS_2 = F_1 S_2 //S_1`. С этой же силой большой поршень может действовать на какое-нибудь тело, препятствующее его перемещению. Во сколько раз `S_2` больше `S_1`, во столько раз и развиваемая поршнем сила `F_2` больше приложенной силы `F_1`. Это используется в гидравлическом прессе, гидравлическом тормозе, гидравлическом домкрате.

  задача 1

  Площадь большого поршня гидравлического домкрата $20\;\mathrm{см}^2$, а малого $0,5\;\mathrm{см}^2$. Груз какой максимальной массы можно поднять этим домкратом, если на малый поршень давить с силой не более `200Н`? Силой трения поршней о стенки цилиндров пренебречь.

  Решение

  Пусть  $S_1=0,5\;\mathrm{см}^2$, $S_2=20\;\mathrm{см}^2$, $F_1=200\;\mathrm Н$.  Так как давление во всех точках жидкости одинаково, то

  `F_1 /S_1 =F_2 /S_2`.

  Здесь `F_2` - сила давления жидкости на большой поршень. Отсюда

  $F_2=\dfrac{F_1S_2}{S_1}=200\;\mathrm Н\cdot\dfrac{20\;\mathrm{см}^2}{0,5\;\mathrm{см}^2}=8000\;\mathrm Н$.

  Поднять можно тело с максимальным весом `F_2 = 8000 Н`, что соответствует массе `m = F_2 //g`,  где $g=9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2$.  Итак, $m\approx800\;\mathrm{кг}$.

  
  

• 
  1. Жидкости и газы. Текучесть. Давление

  • 5 июля
  • 0 комментариев
  • 118 просмотров

  Жидкости и газы отличаются от твёрдых тел прежде всего тем, что обладают таким свойством, как текучесть. Текучесть проявляется в способности жидкости и газа принимать форму сосуда. Из-за чего появляется и чем объясняется текучесть, по наличию которой и устанавливают, что данное тело не является твёрдым?

  Многочисленные опытные факты подтверждают наличие в природе веществ (тел), у которых отсутствуют силы, препятствующие сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоёв этих веществ относительно других, т. е. отсутствуют силы трения покоя, действующие вдоль поверхности соприкасающихся слоёв. Если при этом такое вещество принимает форму сосуда и его объём практически не зависит от формы и вида сосуда, то мы имеем дело с жидкостью. Если же это вещество занимает весь предоставленный ему в любом сосуде объём, то это - газ.

  У твёрдого тела сдвинуть один слой (часть) тела относительно другого без приложения значительных усилий невозможно. У жидкости и газа одни слои (части)  могут скользить по другим слоям под действием ничтожно малых сил. Этим и объясняется текучесть.

  Пример

  Если подуть вдоль поверхности воды, то верхние слои воды придут в движение относительно нижних, причём силы трения между слоями будут тем меньше, чем меньше относительная скорость движения слоёв. Другой пример текучести. Даже очень осторожное, медленное и малое наклонение сосуда с жидкостью приводит к перемещению верхних слоёв жидкости относительно нижних и в результате поверхность жидкости становится снова горизонтальной.

  Сила трения покоя между стенкой сосуда и соприкасающейся с ней неподвижной жидкостью тоже равна нулю.

  Мы здесь не будем рассматривать проявление так называемых сил поверхностного натяжения, возникающих из-за того, что поверхностный слой жидкости ведёт себя подобно тонкой упругой оболочке. Силами поверхностного натяжения объясняется существование капель жидкости, возможность каплям удерживаться на наклонной поверхности твёрдого тела, капиллярность и другое.

  Из всего сказанного выше следует, что в неподвижной жидкости (или газе) слои (части) жидкости действуют друг на друга и на стенки сосуда с силами, направленными перпендикулярно к поверхности их соприкосновения. На рисунке показан сосуд с жидкостью.

  

  Выделим мысленно из всей жидкости её части в объёмах `1` и `2`. Жидкость в объёме `1` давит на жидкость в объёме `2` с силой `F_1` направленной перпендикулярно к поверхности `AB` их соприкосновения. С такой же по модулю силой `F_2` давит и жидкость `2` на `1`. Это следует из так называемого третьего закона Ньютона, согласно которому тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Жидкость в сосуде давит на часть `MN` стенки сосуда с силой `F_3`, направленной перпендикулярно стенке. Часть `MN` стенки давит на жидкость с такой же силой  `F_4`.

  Величиной, характеризующей взаимодействие частей жидкости или газа друг с другом и со стенками сосуда, служит давление.

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ

  Давлением называется величина, равная отношению модуля силы `F` давления, действующей по нормали (перпендикулярно) к плоской поверхности, к площади  `S` этой поверхности: `P=F/S`.

  В системе СИ давление измеряется в $\mathrm Н/\mathrm м^2$. Эта единица давления носит название паскаль (Па):          

  $1\;\mathrm{Па}\;=1\;\mathrm Н/\mathrm м^2$

  Уточним, что следует понимать под давлением в жидкости или газе.

  Поместим в жидкость или газ небольшую плоскую пластину. Одну из сторон этой пластины назовём площадкой. Жидкость (газ) давит на площадку с некоторой силой `F`. Если площадь площадки `S`, то давление жидкости на площадку `P = F/S`. Из условия равновесия вырезанной мысленно из жидкости (газа) призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника, находящейся в месте расположения площадки, можно вывести, что давление на площадку в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки. Вывод приводить не будем. Теперь можно дать определение давления в жидкости или газе.

  определение

  Давлением в некоторой точке жидкости называется давление жидкости на небольшую площадку, произвольно ориентированную и помещённую вблизи этой точки. Аналогично и для газа.

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

• 
  тест

  • 22 марта
  • 0 комментариев
  • 310 просмотров

  $\sqrt{19}$

• 
  §5. Преобразование двойных радикалов

  • 15 января
  • 0 комментариев
  • 913 просмотров

  Выражения вида $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$ называют двойными или сложными радикалами. Мы уже рассматривали примеры, в которых можно было избавиться от внешних радикалов. 

  Пример 1

  Освободитесь от внешнего радикала в выражении $\sqrt{23+4\sqrt{15}}$.

  Решение

  $\triangle$ Заметим, что выражение $23+4\sqrt{15}=20+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{5}\cdot\sqrt{3}=(2\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$, тогда $\sqrt{23+4\sqrt{15}}=\sqrt{(2\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=|2\sqrt{5}+\sqrt{3}|=2\sqrt{5}+\sqrt{3}$.

  Пример 2

  Освободитесь от внешнего радикала в выражении $\sqrt{124-70\sqrt{3}}$.

  Решение

  $\triangle$ В этом примере укажем метод, по которому иногда можно избавляться от внешнего радикала. Подберём целые числа $a$ и $b$ такие, чтобы $\sqrt{124-70\sqrt{3}}=a-b\sqrt{3}$. Если такие числа есть, то должны выполняться такие условия:

  $$\begin{cases} (a-b\sqrt{3})^2=124-70\sqrt{3}; \\ a-b\sqrt{3}\geq 0, \end{cases} $$

  Из первого условия получаем

  $a^2-2ab\sqrt{3}+3b^2=124-70\sqrt{3};\:\:\:\: a^2+3b^2-124=2ab\sqrt{3}-70\sqrt{3}$.

  Так как $a$ и $b$ - целые числа, то выражение $a^2+3b^2-124$ является целым числом, значит, рациональным числом. Выражение $(2ab-70)\sqrt{3}$ является рациональным числом, если

  $$\begin{cases}  (a-b\sqrt{3})^2=124-70\sqrt{3}; \\  a-b\sqrt{3}\geq 0, \end{cases} $$. и $2ab-70=0$, т. е. $ab=35$. 

  Уравнению $ab=35$ удовлетворяют следующие пары чисел: $a=1, b=35;\:\: a=5, b=7;\:\: a=7, b=5;\:\: a=35, b=1;\:\: a=-1, b=-35;\:\:$

  $a=-5, b=-7;\:\: a=-7, b=-5;\:\: a=-35, b=-1$.

  Условию $a^2+3b^2-124=0$ удовлетворяют две пары чисел: $a=7, b=5$ и $a=-7, b=-5$. Число $7-5\sqrt{3}$ не удовлетворяет условию $a-b\sqrt{3}\geq 0$, а число $-7+5\sqrt{3}$ удовлетворяет этому условию. Таким образом,  $\sqrt{124-70\sqrt{3}}=-7+5\sqrt{3}$. $\blacktriangle$

  В некоторых примерах удаётся избавиться от внешнего радикала, если воспользоваться тождеством

  $\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$.

  Это тождество называют формулой двойного радикала. Оно справедливо, если $a>0$, $b>0$ и $a^2-b>0$. Тогда все три корня определены, $\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}>\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ и правая часть равенства положительна. 

  Возведем в квадрат обе части равенства. Получим:

  $a\pm\sqrt{b}=\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\pm 2\sqrt{\dfrac{a^2-a^2+b}{4}},\:\:\:\: a\pm\sqrt{b}=a\pm\sqrt{b}$.

  Пример 3

  Освободитесь от внешнего радикала в выражении $\sqrt{56-\sqrt{2880}}$, используя формулу двойного радикала. 

  Решение

  $\triangle$ $\sqrt{56-\sqrt{2880}}=\sqrt{\dfrac{56+\sqrt{3136-2880}}{2}}-\sqrt{\dfrac{56-\sqrt{3136-2880}}{2}}=$

  $=\sqrt{\dfrac{56+16}{2}}-\sqrt{\dfrac{56-16}{2}}=6-\sqrt{20}=6-2\sqrt{5}$. $\blacktriangle$

  
  

• 
  §3. Свойства арифметического квадратного корня

  • 13 января
  • 0 комментариев
  • 641 просмотр

  В школьном учебнике у вас доказываются теоремы.

  Теорема 2. Если $a\geq 0$ и $b\geq 0$, то $\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

  Теорема 3. Если $a\geq 0$ и $b\geq 0$, то $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

  Пример 1

  Найдите значение выражения(без калькулятора):

  а) $\sqrt{5\cdot 35\cdot 175}; \:\:\:\:$ б) $\sqrt{5\dfrac{11}{49}}; \:\:\:\:$ в) $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}; \:\:\:\:$ г) $\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }; \:\:\:\:$ д) $\sqrt{16^3\cdot 4^4}$.

  Решение

  $\triangle$ а) $\sqrt{5\cdot 35\cdot 175}= \sqrt{175\cdot 175} = 175$.

  б) $\sqrt{5\dfrac{11}{49} }= \sqrt{\dfrac{256}{49}}=\dfrac{16}{7}. \:\:\:$ в) $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}=\sqrt{\dfrac{75}{192}}=\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{5}{8}$.

  г) $\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }=\sqrt{\dfrac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)} }=\sqrt{\dfrac{73\cdot 225}{73 \cdot 841} }= \sqrt{\dfrac{225}{841}}=\dfrac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\dfrac{15}{29}$

  д) $\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{(4^2)^3\cdot 4^4}=\sqrt{4^6\cdot 4^4}=\sqrt{4^{10}}=\sqrt{(4^5)^2}=4^5$.

  Можно решать и другим способом.

  $\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{16^2\cdot 16 \cdot 4^4}=\sqrt{16^2}\cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{(4^2)^2}=16\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^2\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^5$. $\blacktriangle$

  Рассмотрим $\sqrt{48}$. Преобразуем это выражение:

  $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$.

  В этом случае мы говорим, что множитель $4$ вынесен из-под знака корня.

  Теперь рассмотрим выражение $5\sqrt{7}$, преобразуем его:

  $5\sqrt{7}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{25\cdot 7}= \sqrt{175}$.

  В этом случае мы говорим, что множитель $5$ внесли под знак корня.

  Пример 2

  Вынесите множитель из-под знака корня:

  а) $\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}; \:\:\:\:$ б) $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^3(\sqrt{3}-\sqrt{5})^5};$

  в) $-\sqrt{-a^4 b^{11} };\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ г) $\sqrt{21(xy)^2}$, если $xy\leq 0$. 

  Решение

  $\triangle$ а) Так как $\sqrt{a^2}=|a|$, то $\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}=|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|.$

  Определим знак числа $5\sqrt{13}-4\sqrt{19}$. Числа $5\sqrt{13}$ и $4\sqrt{19}$ положительные. Рассмотрим их квадраты: $(5\sqrt{13})^2=25\cdot 13 = 325$ и $(4\sqrt{19})^2=16\cdot 19=304$. Так как $304<325$, то $\sqrt{304}<\sqrt{325}$, т. е. $5\sqrt{13}>4\sqrt{19}$, поэтому $|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|=5\sqrt{13}-4\sqrt{19}$.

  б) $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^3(\sqrt{3}-\sqrt{5})^5}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^2(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})^4(\sqrt{3}-\sqrt{5})}=$

  $=|\sqrt{7}-\sqrt{11}|(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$.

  Число $\sqrt{7}<\sqrt{11}$, т. к. $(\sqrt{7})^2=7$, $(\sqrt{11})^2=11$ и $7<11$. Поэтому $\sqrt{7}-\sqrt{11}<0$, т. е. $|\sqrt{7}-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-\sqrt{7}$.

  Окончательно получаем:

  $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$.

  в) Так как $a^4\geq 0$, то корень определен, если $-b^{11}\geq 0$, т. е .$b^{11}\leq 0$, $\: b\leq 0$.

  $-\sqrt{a^4(-b^5)^2(-b)}=-a^2 (-b^5) \sqrt{-b}=a^2b^5\sqrt{-b}$.

  г) $\sqrt{21(xy)^2}=|xy|\sqrt{21}=-xy\sqrt{21}$. $\blacktriangle$

  Пример 3

  Внесите множитель под знак корня:

  а) $(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}; \:\:\:\:$ б) $(2a-1)\sqrt{1-2a};\:\:\:\:$ в) $-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}$.

  Решение

  $\triangle$ При решении этих примеров используем формулу $\sqrt{a^2}=|a|$.

  а) Число $5-\sqrt{37}<0$, т. к. $5^2=25$, $(\sqrt{37})^2=37$ и $25<37$. Поэтому 

  $(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}=-(\sqrt{37}-5)\sqrt{\sqrt{2}+3}=-\sqrt{(\sqrt{37}-5)^2(\sqrt{2}+3)}$.

  б) Корень $\sqrt{1-2a}$ определен, если $1-2a \geq 0$, $2a\leq 1$, $a\leq \frac{1}{2}$. При таких $a$ выражение $2a-1\leq 0$. Поэтому

  $(2a-1)\sqrt{1-2a}=-(1-2a)\sqrt{1-2a}=-\sqrt{(1-2a)^2(1-2a)}=-\sqrt{(1-2a)^3}$.

  в) Корень $\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}$ определен, если $xy<0$. Поэтому

  $-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=3(-xy)\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=\sqrt{9(-xy)^2(-\dfrac{1}{(xy)^3})}=\sqrt{\dfrac{-9}{xy}}$. $\blacktriangle$

  Пример 4

  Сравните числа $a$ и $b$:

  а) $a=\sqrt{3}+\sqrt{11}$ и $b=\sqrt{6}+\sqrt{8};\:\:\:\:$ б) $a=2-\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$;

  в) $a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}}$ и $b=\sqrt{110}$

  Решение

  $\triangle$ а) Числа $a$ и $b$ положительные. Рассмотрим квадраты этих чисел. Имеем: $a^2=3+2\sqrt{3}\sqrt{11}+11=14+2\sqrt{33}$, $b^2=6+2\sqrt{6}\sqrt{8}+8=14+2\sqrt{48}$. Так как $48>33$, то $\sqrt{48}>\sqrt{33}$,  $2\sqrt{48}>2\sqrt{33}$, поэтому $b^2>a^2$ и $b>a$.

  б) Число $a>0$, т. к. $2^2>(\sqrt{3})^2=3$. Число $7-4\sqrt{3}>0$, т. к. $7^2>(4\sqrt{3})^2=48$. Отсюда следует, что число $b$ определено и оно больше нуля. 

  Таким образом, числа $a$ и $b$ положительные. Рассмотрим их квадраты: $a^2=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3},\:\:$ $b^2=7-4\sqrt{3}$. Следовательно, $a=b$.

  в) $a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}}$.

  Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

  $a=\dfrac{10-6\sqrt{3}-10-6\sqrt{3}}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\dfrac{-12\sqrt{3}}{-2}=6\sqrt{3}=\sqrt{108}$.

  Так как $110>108$, то $\sqrt{110}>\sqrt{108}$ и $b>a$. $\blacktriangle$

  Пример 5

  а) Укажите два рациональных числа, лежащих между числами $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

  б) Укажите два иррациональных числа, лежащих между числами $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

  Решение

  $\triangle$ а) Из теоремы сравнения корней следует, что $\sqrt{1}<\sqrt{3}<\sqrt{4}$. т. е. $1<\sqrt{3}<2$. Заметим, что число $1.8^2=3.24>3$, а $1.9^2=3.61>3$, таким образом $\sqrt{3}<1.8<2<\sqrt{5}$, т. е. $1.8$ является числом рациональным и располагается между числами $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Число $1.9$ удовлетворяет неравенству $\sqrt{3}<1.9<2<\sqrt{5}$, т. е. $1.9$ также располагается между числами $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

  б) Иррациональные числа являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Рассмотрим дробь $a=1,810110111011110...$ Это бесконечная непериодическая дробь, после цифры $8$ идет цифра $1$, затем ноль, затем $2$ цифры $1$, снова ноль и т. д. Данная дробь больше, чем $1.8$, т. к. после цифры .$8$ идет $1$. Для числа $a$ выполняются неравенства $\sqrt{3}<a<2<\sqrt{5}$. 

  Аналогично строим вторую дробь: $b=1,820220222022220...\:$, $\sqrt{3}<b<2<\sqrt{5}$. $\blacktriangle$

  Пример 6

  Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

  а) $\dfrac{2}{3\sqrt{5}-\sqrt{7}};\:\:\:\:$ б) $\dfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}+\sqrt{5}}$.

  Решение

  $\triangle$ Эту задачу надо понимать так: следует так преобразовать дробь, чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни. 

  При решении этих задач полезно использовать формулу:

  $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. 

  а) Умножим числитель и знаменатель дроби на $3\sqrt{5}+\sqrt{7}$. Получим:

  $\dfrac{2(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(3\sqrt{5}-\sqrt{7})(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{(3\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{45-7}=\dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{7}}{19}$.

  б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $(3-\sqrt{2})-\sqrt{5}\neq 0$. Получим: $\dfrac{(1+\sqrt{2})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}{((3-\sqrt{2})+\sqrt{5})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}=\dfrac{3-\sqrt{2}-\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2-\sqrt{10}}{(9+2-6\sqrt{2})-5}=$

  $=\dfrac{1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10}}{6(1-\sqrt{2})}$.

  В полученной дроби умножаем числитель и знаменатель на $1+\sqrt{2}$, получаем: $\dfrac{(1+\sqrt{2})(1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10})}{6(1-2)}=-\dfrac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4-\sqrt{5}-\sqrt{10}-\sqrt{10}-\sqrt{20}}{6}=$

  $=-\dfrac{5+3\sqrt{2}-3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{6}$. $\blacktriangle$

  
  

• 
  §3. Показательные уравнения

  • 26 декабря 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 550 просмотров

  Из монотонности показательной функции следует, что $a^x=a^y \Leftrightarrow x=y$.

  Из свойств показательной функции следует, что, если $a>0$, $a \neq 1$, то простейшее показательное уравнение $a^x=b$ при $b \leq 0$ не имеет решения, а при $b>0$ имеет единственный корень $x=\textrm{log}_a{b}$.

  Для успешного решения большинства учебных примеров решающим является умение преобразовать исходное уравнение к более простому. Более простыми можно считать два основных уравнения:

  1. $a^{f(x)} = b(x) \Leftrightarrow f(x) = \textrm{log}_a{b(x)}$,

  2. $g(a^{f(x)}) = 0$.

  Уравнение 2 заменной переменной $a^{f(x)} = t$ сводится к уравнению $g(t)=0$, у которого отыскиваются положительные корни, а затем решаются уравнения типа 1. Заметим, что 

  $$ 1^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow 1=g(x), \:\:\: 0^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)=0. \end{cases}$$

  Пример 1.(МГУ, 1970).

  Решить уравнение $4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}$.

  Решение

  $4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}} \Leftrightarrow 4\cdot 2^{2\sqrt{3x^2-2x}}-9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}+2=0 \Leftrightarrow$

   

  $\Leftrightarrow 4(2^{\sqrt{3x^2-2x}})^2-9(2^{\sqrt{3x^2-2x}})+2 = 0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{3x^2-2x}}-2)(2^{\sqrt{3x^2-2x}}-\frac{1}{4})=0 \Leftrightarrow$

  

  ОТВЕТ

  $x=1$ или $x=-\frac{1}{3}$.

  Пример 2

  Решить уравнение $8^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0$.

  Решение

  $8^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow 2^{3x}-13\cdot 2^{2x}3^{x}-2^{x}3^{2x}+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow 2^{3x}(1-13\cdot (\frac{3}{2})^{x}-(\frac{3}{2})^{2x}+13(\frac{3}{2})^{3x})=0$.

  Пусть $(\frac{3}{2})^x=t>0$, тогда уравнение примет вид $1-13t-t^2+13t^3=0$.

  $1-13t-t^2+13t^3=0 \Leftrightarrow (1-t^2)(1-13t)=0 \Leftrightarrow t=\pm1;\dfrac{1}{13} \Rightarrow x=0;-\textrm{log}_{\frac{3}{2}}{13}$.

  ОТВЕТ

  $0, -\textrm{log}_{\frac{3}{2}}{13}$.

  Пример 3

  Решить уравнение $500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\frac{1}{x}}$.

  Решение

  $500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow 5^32^22^{3x} = 2^35^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow 2^{3x-1} = 5^{\frac{1}{x}-3} \Leftrightarrow (3x-1)\textrm{log}_5{2}=\dfrac{1}{x}-3 \Leftrightarrow$

  $x = \dfrac{\textrm{log}_5{2} -3 \pm (\textrm{log}_5{2}+3)}{6\textrm{log}_5{2}} \Leftrightarrow$

  
  

  

  ОТВЕТ

  $x=\frac{1}{3}$ или $x=-\textrm{log}_2{5}$.

  Пример 4.(МГУ, 1997)

  Решить уравнение $\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}=5$.

  Решение

  Это уравнение удаётся решить, используя то, что левая часть уравнения является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что $x=-1$.

  ОТВЕТ

  $x=-1$.

  Пример 5

  При каких действительных $p$ уравнение $4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x}$ имеет решение?

  Решение

  $4^x+4\cdot 2^x+7+\frac{4}{2^x} +\frac{1}{4^x} - p = 0 \Leftrightarrow 4^{2x}+4\cdot 4^x\cdot 2^x+(7-p)\cdot 4^x +4\cdot 2^x + 1 = 0$. Пусть $t=2^x>0$. Тогда уравнение примет вид

  $t^4+4t^3+(7-p)t^2+4t+1=t^2(t^2+4t+(7-p)+\frac{4}{t}+\frac{1}{t^2})=0$.

  Это возвратное уравнение. Оно решается заменой переменных $y = t+\frac{1}{t}$, причем $y=\frac{t^2+1}{t}= \frac{(t-1)^2-2t}{t} = 2+\frac{(t-1)^2}{t} \geq 2$ для любого $t>0$. Уравнение принимает вид

  $(t^2+2+\frac{1}{t^2})+4(t+\frac{1}{t})+(5-p) = y^2+4y +(5-p)=0$.

  

  Так как вершина параболы $z=y^2+4y+(5-p)$ расположена слева от оси $z$ и ветви направлены вверх, то корень $y_0 \geq 2$ существует тогда и только тогда, когда $z(2)\leq 0 \Leftrightarrow 4+8+5-p \leq 0 \Leftrightarrow p\geq 17$.

  ОТВЕТ

  $p \in [17; +\infty)$.

  
  

  
  

• 
  §1. Введение

  • 26 декабря 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 402 просмотра

  Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.

  
  

  В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ и любых действительных чисел $\alpha$ и $\beta$ справедливы свойства:

  
  

  С1. $a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha+\beta},$	С2. $\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}$.
  С3. $a^{\alpha}b^{\alpha} = (ab)^{\alpha}.$	С4. $\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}} = (\frac{a}{b})^{\alpha}$.

  
  

  Если $a>0$, $a \neq 1$, то функция $a^x$ отлична от постоянной. Ее называют показательной функцией с основанием $a$. Если $a>1$, то функция $a^x$ монотонно возрастающая на $R$; если `0<a<1`, то функция $a^x$ - монотонно убывающая на $R$. Область значений показательной функции - множество $R_{+}$ всех действительных чисел. Отсюда и из монотонности следует, что, если $a>0$, $a \neq 1$, то для любого положительного числа $N$ существует единственное число $x$, такое, что $a^x = N$. Это число называется логарифмом числа $N$ по основанию $a$ и обозначается $\textrm{log}_a{N}$. Из определения следует, что

  
  

  $a^{\textrm{log}_a{N}} = N$ в ОДЗ.

  
  

  Это равенство называется основным логарифмическим тождеством в ОДЗ (только для $N>0$, $a>0$, $a \neq 1$).

  
  

  В школе показывается, что, если $a>0$, $a \neq 1$, $M>0$, $N>0$, $\alpha$ - любое действительное число, то верны формулы

  
  

  С5. $\textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{M} + \textrm{log}_a{N}$.

  С6. $\textrm{log}_a{\frac{M}{N}} = \textrm{log}_a{M}-\textrm{log}_a{N}$.

  
  

  С7. $\textrm{log}_a{M^{\alpha}} = \alpha \textrm{log}_a{M}$.

  
  

  С8. Если, к тому же, $b>0$, $b \neq 1$, то $\textrm{log}_a{M} = \dfrac{\textrm{log}_b{M}}{\textrm{log}_b{a}}$.

  
  

  Последняя формула позволяет переходить от логарифма по основанию $a$ к логарифму по основанию $b$. Она называется формулой перехода к новому основанию.

  
  

  Свойства 5-8 при вышеописанных условиях ($M>0$, $N>0$) являются тождествами и читаются как справа налево, так и слева направо.

  
  

  Заметим, однако, что левые и правые части равенств в С5 и С6 имеют разные области определения: левая часть определена при $MN>0$, а правая - при $M>0$, $N>0$. Это надо учитывать при решении задач: $MN>0$ не только тогда, когда $M>0$, $N>0$, но и тогда, когда $M<0$, $N<0$. Учтем, что $MN = (-M)(-N)$, и для $-M>0$, $-N>0$ (в силу С5) $\textrm{log}_a{(-M)(-N)} = \textrm{log}_a{(-M)} + \textrm{log}_a{(-N)}$. Теперь запишем более общую формулу

  
  

  С$5^*$. Если $MN>0$, то $\textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|}$.

  
  

  С9. Если $M \neq 0$, $N \neq 0$, то $\textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} = \textrm{log}_a{|MN|}$.

  
  

  Аналогично показывается, что

  
  

  C$6^*$. Если $MN > 0$, то $\textrm{log}_{a} \frac{M}{N} = \textrm{log}_{a} M - \textrm{log}_{a} N$.

  
  

  С10. Если $M \neq 0$ , $N \neq 0$, то $\textrm{log}_{a}|M| - \textrm{log}_{a}|N|=\textrm{log}_{a}|\frac{M}{N}|$.

  
  

  С$7^*$. Если $M \neq 0$, то для любого натурального $n$ верно, что $\textrm{log}_{a}M^{2n} = 2n \textrm{log}_{a}|M|$.

  
  

  Все свойства читаются в обе стороны (т.е являются тождествами), при выполнении приведенных для каждого из них условий.

  
  

  
  

• 
  §2. Логарифмирование и потенцирование

  • 26 декабря 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 795 просмотров

  При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения $f(x)=g(x)$ по основанию $a$ $(a>0$,$a \neq 1 )$ называется переход к уравнению $\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}$. При этом область существования уравнения сужается, т.к логарифмы существуют только у положительных чисел. Например,

   

  Уравнения не равносильны, т.к имеют разные множества решений.

  Потенцированием называется переход от уравнения $\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}$ к уравнению $f(x)=g(x)$. При этом область определения расширяется, т.к второе уравнение может существовать при любых $f(x)$, $g(x)$, а первое - только при положительных. Поэтому запишем и запомним:

  С11. Если $f(x)=g(x)$ и $f(x)>0$ или $g(x)>0$, то $\textrm{log}_a{f(x)}=\textrm{log}_a{g(x)}$.

  С12. Если $\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}$, то $f(x)>0$, $g(x)>0$ и $f(x)=g(x)$.

  При решении логарифмического уравнения достаточно проверить положительность одной из функций, т.к из последующегоих равенства следует положительность и другой. Итак, из С11 и С12 следует условие равносильности

  $$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0, \\ f(x) = g(x). \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) > 0, \\ f(x) = g(x).\end{cases} $$ (УР Л1)

• 
  Начало университетских суббот МФТИ

  • 30 ноября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 1 351 просмотр

  Уважаемые друзья и коллеги!

  С удовольствием сообщаем об открытии ежегодного цикла «Университетских суббот» в МФТИ.

  Приглашаем 02 декабря на лекцию – «Старение как болезнь: можно ли вылечить старость?"

  В природе найдено несколько видов нестареющих животных, а экспериментальные методы позволяют в разы продлить жизнь организмам.

  Новые открытия в области разработки терапий против старения признаны одними из самых значимых событий по версии журнала Science в 2016 году. Такие корпорации, как Facebook и Google уже включились в борьбу за лекарство от старости.

  На этой лекции мы обсудим последние прорывы в исследованиях против старения и дальнейшие перспективы этой области.

  Во второй части  продемонстрируем  захватывающие физические опыты, которые вы сможете не только наблюдать, но и принять участие в их проведении.

  В прологе  к лекции  студенты расскажут о секретах поступления и правилах приема в 2018 году

  Лектор - Коган Валерия, руководитель проекта «Старение» в компании “Gerо”, PhD student,  автор Top-100 most read статьи в журнале Nature Scientific Reports.

  ! Вход на мероприятие по предварительной регистрации на портале «Университетские субботы» по ссылке http://us.dogm.mos.ru/events-list/37/22551

• 
  §3. Разбор случаев

  • 27 ноября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 541 просмотр

  При написании программ с ветвлениями очень часто возникает ситуация, когда ветвей становится слишком много. Поэтому приходится задумываться о том, как ничего не упустить из рассмотрения, как не рассматривать несущественные случаи и как обеспечить выполнение ровно одной ветви при разборе случаев.

  Начнём с ответа на последний вопрос. Для того, чтобы обеспечить выполнение ровно одной ветви алгоритма, необходимо записывать весь разбор случаев в виде одного условного оператора. Конечно же, он будет сложный, с вложенными многоуровневыми проверками. Однако, если в итоге условный оператор, реализующий разбор случаев, один (а не несколько, записанных через точку с запятой), то это гарантирует нам, что в итоге выполнится ровно одна ветвь алгоритма.

  Для того, чтобы не упустить из рассмотрения никаких случаев и не рассматривать несущественные случаи, нужно перебирать их не в случайном порядке, а по какой-либо стратегии. Сейчас мы рассмотрим одну из стратегий разбора случаев, которую условно можно назвать «Естественное возникновение». Её суть заключается в следующем: Изначально, мы решаем задачу так, будто бы никакого деления на случаи нет, а появляется оно лишь тогда, когда выполнить основной сценарий невозможно.

  Рассмотрим  следующий  пример  задачи:

  Пример задачи

  Решить  в  целых  числах линейное уравнение `ax=b`.

  Решение

  На вход программе здесь будут подаваться коэффициенты уравнения, а программа должна будет либо вычислить корень, либо вывести сообщение об особой ситуации (нет корней, бесконечно много корней и т. д.). Будем разбирать случаи согласно нашей стратегии. Сначала посмотрим, как мы в принципе решаем подобное уравнение. Для нахождения значения `x` нужно коэффициент `b` разделить на коэффициент `a`. Очевидно, что это невозможно сделать, если `a=0`. Поэтому первая проверка, которая делит всё множество случаев на две принципиально разные ветки: верно ли, что `a=0`? Если это так, то у нас получается уравнение `0x=b`, существование решений которого зависит от значения `b`. Если `b=0`, то решений бесконечно много, если же это не так, то решений нет вообще. Вернёмся к проверке коэффициента `a`. Если он не равен нулю, то это означает, что уравнение имеет единственное решение. Вопрос теперь в том, целое оно или нет. Поэтому здесь нужно будет проверить, что `b` нацело делится на `a` (остаток от деления должен быть равен нулю). Если это так, то находится единственное решение, если же нет, то целых решений у уравнения нет. Запишем теперь все наши рассуждения в виде программы:

  var a,b:integer;

  begin

   readln(a,b);

   if a=0

    then if b=0

     then writeln('many solutions')

     else writeln('no solution')  

    else if b mod a = 0

     then writeln( b div a)

     else writeln('no solution')

  end.

       Мы видим, что программа получилось достаточно удобно читаемой и содержит только очень простые проверки (без логических связок). Простота проверок является одним из существенных достоинств используемой стратегии разбора случаев. К сожалению, это именно стратегия, а не алгоритм. Поэтому существует много задач, где такое рассуждение не сработает, однако рекомендуется взять данный метод на вооружение.

  Теперь вам будут предложены контрольные вопросы и задачи. За каждый правильный ответ будут ставиться баллы. Максимальное количество баллов за задание указано в скобках после его номера. Если задание стоит более одного балла, то возможно получить частичный балл за частично верное решение. Имейте в виду, что более объёмные и сложные задания стоят дороже. Итоговая оценка будет определяться по сумме набранных баллов. Желаем успеха!      

• 
  §2. Условный оператор

  • 27 ноября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 637 просмотров

  В рассматриваемых ранее задачах на программирование процесс вычисления был линейным, то есть программа не должна была выполнять разные действия в зависимости от того, какие данные ей ввели. Теперь рассмотрим задачи с ветвящимся алгоритмом.

  Пример

  Ввести номер года. Вывести слово YES, если год високосный, и NO, если он – не високосный.

  Решение

  По условию очевидно, что в зависимости от входных данных программа должна будет выполнить один из двух операторов вывода: Writeln('YES') или Writeln('NO'). При этом написать в программе нам придётся оба, а вот выполняться должен будет только один из них. Для того чтобы реализовывать подобные ветвления алгоритма, в языке Pascal существует условный оператор. В общем виде он выглядит следующим образом:

  if логическое выражение

     then оператор

     else оператор

  Слова if, then и else являются служебными зарезервированными словами языка. Работает эта конструкция так: сначала вычисляется логическое выражение, стоящее после if. Если получилось значение true, то выполняется оператор, стоящий после слова then, а если получилось значение false, то выполняется оператор, стоящий после слова else.

  Обратите внимание, что внутри условного оператора нет никаких точек с запятой, поскольку он является единой конструкцией, а точка с запятой – это разделитель между операторами. Для удобства чтения и отладки программ принято условие записывать на одной строке, а ветви then и else начинать с новой строки, однако это не является синтаксическим правилом языка.

  В качестве примера условного оператора рассмотрим решение задачи, поставленной выше. Год считается високосным, если он делится нацело на 400, или если он  делится нацело на 4, но не делится нацело на 100. Проверять делимость мы уже умеем, поэтому осталось только записать это условие в виде программы:

  var y:integer;

  begin

    write('Введите номер года ');

    readln(y);

    if(y mod 400=0)or(y mod 4=0)and(y mod 100<>0)

     then writeln('YES')

     else writeln('NO');

  end. 

  По грамматике языка после слов then и else должен стоять только один оператор языка. То есть запись if x>0 then x:=4; y:=0 else z:=9; является синтаксически неверной. А как быть, если всё-таки нужно выполнить более одного оператора? Для таких случаев в языке Pascal предусмотрен составной оператор, который позволяет превратить группу операторов в один. Выглядит он следующим образом: сначала записывается служебное зарезервированное слово begin, далее – интересующая нас последовательность операторов через точку с запятой, а в конце пишется служебное зарезервированное слово end. В отличие от конца программы, точка после этого слова не ставится. Слова begin и end называют операторными скобками. Запишем правильную версию условного оператора, приведённого выше: if x>0 then begin x:=4; y:=0 end else z:=9;

  Обратите внимание на следующий тонкий момент: если требуется выполнить более одного оператора в ветке then, и при этом мы забудем написать операторные скобки, то это является синтаксической ошибкой, и программа просто не будет работать. Если же забыть написать операторные скобки в ветке else, то программа работать будет, но не так, как предполагалось.

  Рассмотрим пример: if x>0 then y:=9 else z:=8; c:=5;

  В этом примере условный оператор заканчивается после z:=8;  в то время как оператор c:=5; является следующим оператором программы и выполняется независимо от результата сравнения x с нулём. Если же написать операторные скобки, то присваивание в c числа 5 произойдёт только в случае x<=0.

  Ещё один тонкий момент заключается в том, что в ветке else в качестве оператора может стоять и пустой оператор. Рассмотрим следующий пример.

  
  

  Задача

  Вводятся 3 целых числа – a,b,c. Требуется в переменную a записать минимальное из этих чисел, в b – среднее и в c – максимальное.

  Решение

  Алгоритм решения этой задачи такой: сначала сравним значения переменных a и b, если значение a – больше, поменяем их местами. После этого сравним значения переменных a и с, и если значение a – больше, поменяем их местами. После этих двух сравнений в переменной a гарантированно окажется наименьшее из трёх чисел. Осталось сравнить переменные b и c, и в случае, когда в переменной b находится большее значение, поменять их местами.

  Очевидно, что в этом алгоритме у нас три сравнения, следовательно, три последовательных условных оператора. При этом в каждом из них какие-то действия (поменять местами значения двух переменных) нужно выполнять только в ветке then, в ветке else (например, если в первом сравнении в переменной a находится уже более маленькое число, чем в переменной b) никаких действий выполнять не нужно. РАссмортим код программы: В этом случае, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора.

  var a,b,c,x:integer;

  begin

    writeln('введите три целых числа ');

    readln(a,b,c);

    if a>b then begin x:=a; a:=b; b:=x end;

    if a>c then begin x:=a; a:=c; c:=x end;

    if b>c then begin x:=b; b:=c; c:=x end;

    writeln(a,b,c);

    readln

  end.

  Как видно из примера, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else, в случае, когда там не надо выполнять никаких действий. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора. При использовании сокращённой формы условного оператора, если при вычислении логического выражения получилось значение false, то управление передаётся на следующий оператор программы.

  Использование сокращённой формы условного оператора порождает проблему неоднозначности интерпретации логики действий программы в случае вложенных условных операторов. Рассмотрим следующий пример:

  if x>0

   then if y>0

     then z:=0

   else c:=7;

  Вопрос состоит в том, какой из двух условных операторов является полным, а какой – сокращённым. К сожалению, ответ на этот вопрос существует только в виде дополнительного семантического правила языка программирования. Принято, что ветка else всегда относится к ближайшему if без else (по принципу правильной скобочной системы). То есть, в нашем случае внутренний условный оператор является полным, а внешний – сокращённым. Если же мы хотим добиться обратной логики действий (чтобы внешний условный оператор был полным), нам необходимо заключить внутренний условный оператор в операторные скобки. Выглядеть это будет следующим образом:

  if x>0

   then begin

    if y>0

     then z:=0

    end

   else c:=7;

      

      

       

      

• 
  §1. Логический тип переменных. Логические выражения

  • 27 ноября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 1 079 просмотров

  В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего два значения - true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать правило совместимости типов. То есть, логическим переменным нельзя присваивать числовые значения, а числовым - логические. Так же можно выводить значения логических переменных на экран, а вот вводить их с клавиатуры нельзя! 

  В языке Pascal определены `6` операций сравнения, результатом которых является логическое значение:

  1) «больше» (>)

  2) «больше или равно» (>=)

  3) «меньше» (<)

  4) «меньше или равно» (<=)

  5) «равно» (=)

  6) «не равно» (<>).

   

       Например, операция `5>2` всегда выдаст значение true, а операция `x<>3` выдаст значение true, если переменная x имеет любое значение, кроме `3`.

       Сравнивать можно не только числа (причём как целые, так и вещественные), но и логические значения. При этом считается, что значение true больше, чем значение false.

       При выполнении сравнений также необходимо соблюдать совместимость типов. То есть, можно сравнивать число с числом или логическое значение с логическим значением, но нельзя сравнивать число с логическим значением. Такое сравнение выдаст ошибку.

       Помимо операций сравнения ещё существуют и логические операции:

  1) and (конъюнкция, логическое умножение, операция «И»)

  2) or (дизъюнкция, логическое сложение, операция «ИЛИ»)

  3) not (отрицание, инверсия)

  4) xor (строгая дизъюнкция, исключающее «ИЛИ», сложение по модулю `2`).

  В скобках указаны возможные названия данных операций в алгебре логики.

  Операнды этих операций должны быть логического типа. Результат вычислений также будет логический. При этом операции and, or, xor имеют по два операнда, а операция not - всего один, который записывается справа от названия операции. Названия логических операций являются служебными зарезервированными словами языка.

  Приведём таблицы результатов логических операций для всех возможных значений операндов (в алгебре логики такие таблицы называются таблицами истинности):

   

  X	not x
  false	true
  True	false

   

   

  X	y	x and y	x or y	x xor y
  false	false	false	False	false
  false	true	false	True	True
  true	false	false	True	True
  true	true	true	True	False

      

  Логический результат даёт также стандартная функция odd(x), которая применяется к целочисленному аргументу х:

  odd(x) = true, если х нечётно;

  odd(x) = false, если х чётно.

  Приоритет операций в сложном выражении (содержащем в себе все виды операций, изученных нами) следующий:

  1) Операция not.

  2) Операции группы умножения and, *, /, div, mod

  3) Операции группы сложения or, xor, +, -

  4) Операции сравнения >, <, >=, <=, =, <>

       Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем операции вне скобок.

       Рассмотрим несколько примеров на построение логических выражений. Пусть нам требуется записать логическое выражение по синтаксису языка программирования, имеющее значение true, в случае выполнения указанного условия.

  Пример 1

  Целое число n делится на 13.

  Решение

  n mod 13 = 0

  Надо проверять, что остаток от деления на 13 является нулём. 

  Пример 2

  Целое число n делится на 13 и 7.

  Решение

  (n mod 13 = 0) and (n mod 7 = 0)

  Здесь надо проверить одновременное выполнение двух условий.

  Пример 3

  Переменная x имеет значение из отрезков [2,5] или [-1,1].

  Решение

  (x>=2) and (x<=5) or (abs(x)<=1)

  Пример 4

  Из чисел x,y,z хотя бы два равны между собой.

  Решение

  (x = y) or (x = z) or (y = z)

  Пример 5

  Числа x,y,z равны между собой.

  Решение

  (x = y) and (x = z)

  Обратите внимание, что согласно таблице приоритетов, операции сравнения имеют самый низкий приоритет. Однако, как правило, в сложных выражениях  нужно сначала выполнить сравнения, а потом группировать  их результаты при помощи логических операций. Поэтому не нужно забывать брать операции сравнения в скобки, чтобы не получить неправильный порядок действий.

• 
  §4. Построение графиков функций

  • 19 ноября 2017 г.
  • 0 комментариев
  • 3 111 просмотров

  График квадратичной функции  `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.

  Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек - корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля - то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю - парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.

  Пример 8

  Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.

  Решение

  Выделим полный квадрат:

  `y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`

  `=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=` 

  `=-2(x-2)^2+3`.

  График функции `y=-2(x-2)^2+3` - парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).

  

  При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.

  Пример 9

  Решите неравенство:

  Решение

  а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2`  (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства - объединение открытых лучей:

  `(-oo;-1)uu(2;+oo)`.

  Ответ

  `x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.

  б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.

  Ответ

  `x=-0,5`.

  в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`

  
  

  Ответ

  `x in RR`.

  Заметим, что эти неравенства могли быть решены также  с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).

  Пример 10

  Парабола `y=2016x^2-1941x-76` - пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).

  Решение

  Так как  `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.

  График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` - это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).

  `f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;

  `f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;

  `f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.

  

  Пример 11

  Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.

  

  Решение

  1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.

  2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.

  3) Ось симметрии параболы - это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.                  

  Ответ

  `a<0`, `b>0`, `c>0`.

  Пример 12

  Найти все значения `l`, при которых неравенство 

  `lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`

  верно для всех значений `x`.

  Решение

  Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.

  Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если  старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).

  Получаем систему неравенств

  $\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\frac D4=\left(l-6\right)^2-3l\left(l-2\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\-2l^2-6l+36<0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

  $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\left(-2l+6\right)\left(l+6\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\l\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow l<-6.$

  Ответ

  `l< -6`.

  
  

  Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.

  Пример 13

  Постройте график функции: 

  а) `y=|x+3|`;

  б) `y=4-|x|`;

  в) `y=|4-2x|-1`;

  г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;

  д) `y=|||x|-3|-1|`.

  Решение

  а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|`  и  `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при  подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число.  Это означает, что если графику функции `y=f(x)`  принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`,  расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.      

  Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).                 

  

  б) Рассмотрим   функции  `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение  функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх  (рис. 14).

  в)  `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.              

  Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).

  

  График функции `y=2|x|` получается   из  него  «растяжением» в два раза  (рис. 15б); график  `y=2|x-2|` получается  из  предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо   (рис. 15в);

  

    график `y=2|x-2|-1` получается из  последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).       

  вывод

  График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.                        

  1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается  относительно   оси   абсцисс.                                                             

  2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).                     

  3) График сдвигается на `|c|` вверх  при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.                                       

  г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём  на  каждой  из  частей  знаки выражений,  стоящих под модулями, не меняются.                     

  

  Возможны 4 случая.

  1) `ul(x<=-4)`.  Тогда  `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому

  `y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.

  Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).

  2)  `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому   

  `y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.                        

  Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми  `x=-4` и `x=-1`).

  3)  `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому

  `y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`. 

  Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).

  4) `ul(x>3)`.  Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому

  `y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.                                        

       Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой  `x=3`). График см. на рис. 16б.

  

  Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения   функции   в  точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:

  `A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.

  Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.                                      

  д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).       

   

  График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а  все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в  верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким  образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике  для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают.  Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак.  График  функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).

         
  График  функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех  точек,  лежащих  ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).

  вывод

  График функции `y=|f(x)|` получается  из  графика  функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие  выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают  в  верхнюю  полуплоскость.                           

  Пример14

  Постройте график функции:

  а) `y=x^2-4x+3`,

  б) `y=|x^2-4x+3|`,

  в) `y=x^2-4|x|+3`,

  г) `y=|x^2-4|x|+3|`.

  Решение

  а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.

  График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).

   

  б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже  оси  абсцисс,  относительно  этой  оси  (рис. 18б).      

  в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`),  поэтому  её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот  график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно  этой оси,  а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).    

  

  вывод

  График функции `y=f(|x|)` получается  из  графика  функции `y=f(x)` следующим образом.  Отбрасываем  все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.

  г) Есть 2 способа построения.                    

  (1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.                   

  (2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).

  

  Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что 1) `c!=0` - т. к. иначе получится линейная функция – и 2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е.  `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем `(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`). 

  Покажем на примере, как этот график может быть построен.

  Пример 15

  Постройте график функции:

  а) `y=6/(2x+3)`;

  б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.

  Решение

  а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb"const"` - это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb"const"` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).

  

  б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.

  Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:

  `y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.

  Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:

  `y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`

  `iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.

  Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).