Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи

  • § 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

    Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

    Пример 9

    Решите уравнение: `x^3 +4x^2 - 2x-3=0`.

    Решение

    Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x-1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x=1`. Выполнив деление, получаем:

     `x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr` 

    x-1=0,x2+5x+3=0,x=1,x=-5±132.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=0,\\x^2+5x+3=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}2.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.

    Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

    Теорема

    Если несократимая дробь `p//q` (`p` - целое, `q` - натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.

    Доказательство

    Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что

    `a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ ... +a_2 (p/q)^2 +`

    `+a_1(p/q)+0=0`.

    Умножим обе части на `q^n`, получаем:

    `a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+`

    `+ a_0 q^n =0`.

    Перенесём  в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

    `p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+...+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=`

    `=-a_0q^n`.                                           (14)

    Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая  часть  также  делится  на  `p`.  Числа `p` и `q` взаимно  просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

    Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

    Замечание

    Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

    Пример 10

    Решите уравнение

    а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`;                                                                               (15)

    б)  `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`.                                                                                (16)

    Решение

    а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` - корень. Тогда  `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители: 

    `539=7^2*11`.

    Поэтому `p` может принимать значения:

     `+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`. 

    Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

    `(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.

    Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

    `(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.

                                 

    Ответ

    `x=-7`; `x=-1`; `x=11`.

    ЗамечаниЯ

    1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

    2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

    б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in{+-1;+-2;+-5;+-10}`; `qin{1;2;3;6}`.Возможные варианты для `x_0`:

    `+-1,+-2,+-5,+-10,+-1/2,+-5/2,+-1/3,+-2/3,+-5/3,+-10/3,+-1/6,``+-5/6`.

    Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

    `(2x-5)(3x^2-10x^2-11x-2)=0`.

    Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` - корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

    `(2x-5)(3x+2)(x^2-4x-1)=0`.

    Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.       

    Ответ

    `x=5/2`; `x=-2/3`; `x=2+-sqrt5`.

    К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни.     Тогда приходится прибегать к другим методам.      

    Пример 11

    Разложите на множители:

    а)  `x^4+4`;

    б)* `x^3-3x^2-3x-1`;

    в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;  

    г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.

    Решение

    а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

    `=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.

    Замечание

    Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

    `a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=`

    `=(a^2-sqrt2ab+b^2)(a^2+sqrt2ab+b^2)`.

     б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=`

    =23x3-x+13==\left(\sqrt[3]2x\right)^3-\left(x+1\right)^3=

    =23x-x-143x2+23xx+1+x+12=\left(\sqrt[3]2x-x-1\right)\left(\sqrt[3]4x^2+\sqrt[3]2x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\right).


    в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

    `x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=`

    `=x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.

    Обозначим   `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках  принимает вид:

    `t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=`

    `=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.      

    В итоге получаем:

    `x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=`

    `=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.

    Замечание

    Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

    г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

    `x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.

    Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

    Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

    `x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`.                     (17)

    Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

    `x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`

    `=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`.                          (18)

    Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

                                   a+c=-4,b+ac+d=-20,ad+bc=13,bd=-2.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\b+ac+d=-20,\\ad+bc=13,\\bd=-2.\end{array}\right.                                          (19)

    Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

    Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

    1) `b=1` и `d=-2`;   

    2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

    1) a+c=-4,ac=-19,-2a+c=13.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ac=-19,\\-2a+c=13.\end{array}\right.

    Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

    2) a+c=-4,ac=-21,-a+2c=13.\left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ac=-21,\\-a+2c=13.\end{array}\right.

    Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

    `x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.

    Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

    Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

    Пример 12

    Решите уравнение:

    а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;    

    б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;

    в)  `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;

    г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;

    д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;

    е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.

    Решение

    а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда t=1,t=-2.\left[\begin{array}{l}t=1,\\t=-2.\end{array}\right.

    Если `t=-2`, то решений нет.

    Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`x=3,x=5.\left[\begin{array}{l}x=3,\\x=5.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=3`; `x=5`.

    б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим

    `(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`

    `+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`

    `ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.

    Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.        

    Ответ

    `x=2`, `x=4`.

    Замечание

    Уравнения вида `(x-a)^4+(x-b)^4=c` с помощью замены `x-((a+b))/2=t` сводятся к биквадратным.

    в) Обозначим `x^2+2x+1=t`. Тогда `1/(t-4)+18/(t+1)=18/tiff` 

    t2+t+18t2-4t=18t2-3t-4tt+1t-40\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2+t+18\left(t^2-4t\right)=18\left(t^2-3t-4\right)\\t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    t2-17t+72=0,tt+1t-40t=8,t=9.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-17t+72=0,\\t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=8,\\t=9.\end{array}\right. 

    Теперь найдём `x:`

    x+12=8,x+12=9x+1=±22,x+1=±3\left[\begin{array}{l}\left(x+1\right)^2=8,\\\left(x+1\right)^2=9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+1=\pm2\sqrt2,\\x+1=\pm3\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x=-1-22,x=-1+22,x=2,x=-4.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1-2\sqrt2,\\x=-1+2\sqrt2,\\x=2,\\x=-4.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=-1+-2sqrt2`;  `x=2`;  `x=-4`.

    г) Перемножим первую скобку с третьей, а вторую с четвёртой (убедитесь сами, что только такая группировка сомножителей помогает свести уравнение к квадратному).

    `((x-2)(x+5))*((x-4)(x+7))=360iff`

    `iff(x^2+3x-10)(x^2+3x-28)=360`.

    Обозначим `x^2+3x-19=t`. Тогда уравнение принимает вид:

    `(t+9)(t-9)=360ifft^2=441ifft=+-21`,

    откуда

    x2+3x-19=21,x2+3x-19=-21x2+3x-40=0,x2+3x+2=0x=5,x=-8,x=-1,x=-2.\left[\begin{array}{l}x^2+3x-19=21,\\x^2+3x-19=-21\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2+3x-40=0,\\x^2+3x+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=5,\\x=-8,\\x=-1,\\x=-2.\end{array}\right.

    Ответ

    `x=-8`; `x=-2`; `x=-1`; `x=5`.

    д) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на `x` (`x=0` не является решением уравнения):

    `4/(4x-8+7/x)+3/(4x-10+7/x)=1`.  Обозначим `4x+7/x-8=t`. Тогда

    4t+3t-2=14t-2+3t=t2-2t,tt-20\dfrac4t+\dfrac3{t-2}=1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4\left(t-2\right)+3t=t^2-2t,\\t\left(t-2\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    t2-9t+8=0,tt-20t=1,t=8.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-9t+8=0,\\t\left(t-2\right)\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1,\\t=8.\end{array}\right.

    Теперь найдём `x:`   4x+7x-8=1,4x+7x-8=84x2-9x+7=0,4x2-16x+7=0.\left[\begin{array}{l}4x+\dfrac7x-8=1,\\4x+\dfrac7x-8=8\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}4x^2-9x+7=0,\\4x^2-16x+7=0.\end{array}\right.

    Уравнение `4x^2-9x+7=0` не имеет решений, а у уравнения `4x^2-16x+7=0` корнями являются числа  `x=7/2` и `x=1/2`.

    Ответ

    `x=1/2`; `x=7/2`.

    е) `x!=0` (убеждаемся подстановкой), поэтому при делении обеих частей уравнения на `x^2` получим уравнение, равносильное исходному:

    `25x^2-150x+94+150*1/x+25*1/x^2=0iff`

    `iff(25x^2+25*1/x^2)-(150x-150*1/x)+94=0iff`

    `iff25(x^2+1/x^2)-150(x-1/x)+94=0`.

    Обозначим `x-1/x=t`. Тогда `t^2=(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2`, откуда `x^2+1/x^2=t^2+2`. Подставляем и решаем уравнение относительно `t:`

    `25(t^2+2)-150t+94=0iff25t^2-150t+144=0iff`

    `iff5t^2-30t+(144)/5=0`.

    Коэффициент при `t` чётный; по формуле четверти дискриминанта:

    `D/4=15^2-5*(144)/5=225-144=81`; `t_1=(15+9)/5=24/5`; `t_2+(15-9)/5=6/5`. 

    Теперь найдём `x:`

    x-1x=245,x-1x=655x2-24x-5=0,5x2-6x-5=0x=-15;x=5;x=3±345.\left[\begin{array}{l}x-\dfrac1x=\dfrac{24}5,\\x-\dfrac1x=\dfrac65\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5x^2-24x-5=0,\\5x^2-6x-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac15;\\x=5;\\x=\dfrac{3\pm\sqrt{34}}5.\end{array}\right.

     

    Ответ

    `5`; `-1/5`; `(3+-sqrt(34))/5`.

    Замечания

    1) Уравнения вида `ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0` называются возвратными. Для их решения делят обе части уравнения на `x^2` и вводят замену  `x+-1/x=t`.

    2) Некоторые другие уравнения четвёртой степени решаются с помощью замены `ax+b/x=t`. (См. пример 11в).


  • § 2. Квадратный трёхчлен. Квадратные уравнения. Теорема Виета

    Квадратным называют уравнение

    ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,                                                                       (3)

    где a0a \neq 0.

    Если разделить обе части уравнения (3) на aa (это можно сделать, так как a0a \neq 0) и обозначить коэффициенты p=b/a p = b/a и q=c/aq = c/a, то получим уравнение

    x2+px+q=0x^2+px+q = 0                                                                            (4)

    называемое приведённым квадратным уравнением.

    Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трёхчленом. Корни уравнения называют также корнями трёхчлена.

    Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ её получения. Преобразуем левую часть (3):

     ax2+bx+c=ax2+bax+ca  =ax2+2·b2a·x+ca=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)\;\;=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}\cdot x+\frac ca\right)=

                   =ax2+2·b2ax+b2a2-b2a2+ca=ax+b2a2-b2-4ac4a2=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}x+\left(\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2+\frac ca\right)=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right).     (5)

    Выражение b2-4acb^2 - 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой DD. С учётом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:

      x+b2a2=D4a2\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{D}{4a^2}                                                                     (6)

    Из (6) при D0D \geq 0 получаем x1=-b2a+D2ax_1 = -\dfrac{b}{2a}+\dfrac {\sqrt D }{2a};   x2=-b2a-D2ax_2 = -\dfrac{b}{2a}-\dfrac {\sqrt D }{2a}.

    Эти формулы можно объединить одной записью

                                                               x1,2=-b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}                                                                         (7)

    Обратим внимание, что при D=0D = 0 выходит, что x1=x2x_1 = x_2. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности `2`.

    Если в уравнении (3) коэффициент bb имеет вид b=2kb = 2k (например, если bb - чётное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на `2` числителя и знаменателя:

    x1,2=-b±b2-4ac2a=-2k±4k2-4ac2a=-k±k2-acax_{1,2} = \dfrac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac {-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}       (7')

    Например, корни уравнения 81x2-42x+5=081x^2 - 42x + 5 = 0 проще найти по формулам (7'), чем (7). Здесь b=-42=2(-21)b = - 42 = 2(-21), поэтому

                    x1,2=21±212-81·581=21±9(72-9·5)81= 21±3481=7±227x_{1,2} = \dfrac {21 \pm \sqrt{21^2-81 \cdot 5}}{81} = \dfrac{21 \pm \sqrt{9(7^2 - 9 \cdot 5)}}{81} = \dfrac {21 \pm 3\sqrt{4}}{81} = \dfrac {7 \pm 2}{27},

                                                                          x1=527,  x2=13x_1 = \dfrac{5}{27},   x_2 = \dfrac 1 3.

    Если дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, то выкладки (5) можно продолжить:

    `a((x+ b/(2a))^2 - D/(4a^2) ) = a((x+ b/(2a) )^2 - ((sqrtD)/(2a))^2)=a(x+b/(2a) - (sqrtD)/(2a))(x+b/(2a) + (sqrtD)/(2a))=`

    `=a(x-(-b+sqrtD)/(2a))(x-(-b-sqrtD)/(2a))=a(x-x_1)(x-x_2)`.

    Таким образом, если квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c имеет корни, то он раскладывается на множители ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2). В случае D=0D = 0  корни совпадают `(x_1 = x_2 = x_0)`, и тогда получаем ax2+bx+c=a(x-x0)2ax^2 + bx + c = a(x-x_0)^2.

    Заметим, что квадратный трёхчлен ax2+bx+cax^2+bx+c  имеет корни, то `x_1 + x_2 = (- b + sqrtD)/(2a) + (- b - sqrtD)/(2a) = - b/a`;

    `x_1 * x_2 = (-b+ sqrtD)/(2a) * (-b-sqrtD)/(2a) = (b^2 - D)/(4a^2) = (b^2 - (b^2 - 4ac))/(4a^2) = c/a`.

    Полученный результат называют теоремой Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена x2+px+qx^2 + px + q теорема Виета выглядит так: если есть корни `x_1` и `x_2`, то `x_1 + x_2 = - p`, `x_1 x_2 =q`.

    Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:

    если числа x1x_1 и x2x_2 удоветворяют условиям x1+x2=px_1+x_2 = p, x1·x2=qx_1 \cdot x_2 = q, то эти числа являются корнями уравнения x2-px+q=0x^2 - px + q = 0

    Доказательство этой теоремы - это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.

    Пример 2.

    Решите уравнение:

    a) x2+(3+17)x+51=0x^2 + (\sqrt 3 + \sqrt {17})x + \sqrt {51} = 0;  

    б) 2016x2+2017x+1=02016x^2 + 2017x + 1 = 0;

    в) 3x2+(5-23)x+(3-5)=0\sqrt 3 x^2+ (5 - 2\sqrt 3)x + (\sqrt 3 - 5) = 0.

    Решение

    a) По теореме, обатной теореме Виета, x1=-3x_1 = - \sqrt 3  и x2=-17x_2 = - \sqrt {17} - корни данного уравнения.

    Ответ

    x=-3;x=-17x= -\sqrt 3 ; x = -\sqrt {17}.

    б) Заметим, что x1=-1x_1 = -1 является корнем данного уравнения.  Значит, уравнение имеет корни, и по теореме Виета, их произведение x1 · x2 = 12016x_1\;\cdot\;x_2\;=\;\dfrac1{2016}, откуда x2 = -12016x_{2\;}=\;\dfrac{-1}{2016}.

    Ответ

    x=-1;x=-12016x = -1; x =\dfrac{-1}{2016}.

    в) Заметим, что x1=1x_1 = 1 является корнем (это легко видеть, т. к. сумма всех коэффициентов в уравнении равна нулю).  Из условия x1·x2=3-53x_1 \cdot x_2 = \dfrac {\sqrt 3 - 5}{\sqrt 3} получаем, что x2=1-53x_2 = 1 - \dfrac {5}{\sqrt 3}.

    Ответ

    x=1;x=1-53x=1; x=1 - \dfrac {5} {\sqrt 3}.


    Пример 3.

    Найти наибольшее значение выражения 4+7x-3x24 + 7x - 3x^2.


    Решение

    Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.

    4+7x-3x2=-3x2-73x+4=-3x2-2·76x +4936-4936+4=4 + 7x - 3x^2 = -3 \left(x^2 - \dfrac 7 3 x \right) + 4 = -3 \left(x^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{6} x  + \dfrac {49} {36} - \dfrac { 49}{36} \right) + 4 = -3x-762-4936+4=-3x-762+4912  +4=-3x-762+9712 -3 \left(\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 - \dfrac{49}{36}\right) + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{49}{12}   + 4 = -3\left(x - \dfrac{7}{6} \right)^2 + \dfrac{97}{12} .

    -3x-7620-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 \leq 0 при всех xx, поэтому максимальное значение выражения достигается, если -3x-762=0-3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 = 0. Значит, это максимальное значение равно 9712\dfrac {97}{12} (достигается при x=76 x = \dfrac {7}{6} ).

    Ответ

    9712\dfrac{97}{12}.


    Пример 4.

    Пусть x1x_1 и x2x_2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. выразите x12+x22x_{1}^2 + x_{2}^2 через коэффициенты уравнения.

    Решение

    По теореме Виета x1+x2=-ba,x1x2=cax_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a}, x_1x_2 = \dfrac{c}{a}. Преобразуем x12+x22x_1^2 + x_2^2, выделяя полный квадрат:

                x12+x22=x12+x22+2x1·x2-2x1·x2=(x1+x2)2-2x1·x2x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2 ^2 + 2x_1\cdot x_2 - 2x_1\cdot x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2.

    Отсюда: x12+x22=-ba2-2ca=b2-2aca2x_1^2 + x_2^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}.

    Ответ

    b2-2aca2\dfrac{b^2 - 2ac}{a^2}.


  • §3. Многочлены

    Многочленом с одной переменной называется выражение вида

     `P(x) = a_n x^n + a_(n-1)  x^(n-1) +a_(n-2)  x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`.         (8)

    Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом,  `a_0` - свободным членом.

    Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

    Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна 4; степень  многочлена `25 + x^5 - 3x` равна  `5`;  степень  многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом.  Степень нулевого многочлена не определена.

    Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.  

    Число `a`  называется корнем многочлена  `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.

     Приведём основные сведения о многочленах.

    Теорема 1.

    (Деление многочленов с остатком) (без доказательства). Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.

    Пример 5.

    Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`                                

    на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.

    Решение

    Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)`  на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень  делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

     Деление закончится тогда, когда степень делимого  будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).

    Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д. 

    Ответ

    частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток  равен `24x-10`.

    ЗАМЕЧАНИЕ.

    Таким  образом,   `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.     

    Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).

    1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.

    2) Число `alpha`  является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.

    3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена  `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.

    4) Многочлен степени `n`  не может иметь более `n`  корней.


    Доказательство

    1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что

    `F(x) = (x-alpha) G(x) +C`                                                                           (9)

     Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

    Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.

    Тогда  `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.

     Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим            

     `F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`.                                                                (10)

    Первая часть доказана.

    2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда  `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.

    3) `alpha` - корень  `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для  всех  значений  переменной `x`) `x= beta`. Тогда   `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.

    `F(beta) = 0`  (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0`    (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится  на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`,  т. е. `F(x)` делится   на `(x- alpha)(x- beta)`.

    4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.


    Пример 6.

    Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны  `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток  от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.

    Решение

    Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.

    По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.  

    Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:

     `F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.                             

    Степень  остатка  не  превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,

    `F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`.                                                                    (11)

      Подставим в равенство  (11) `x=3` и `x=-5`: 

    `F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда 3a+b=2,-5a+b=-9.\left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\-5a+b=-9.\end{array}\right.

    Решая эту систему, нахоим, что  `a=(11)/8`,  `b=- (17)/8`.    

    Ответ
    Остаток равен `(11)/8 x - (17)/8`.


    Пример 7.

    Докажите, что

     26-1533+26+1533=4\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=4.                                       (12)

    Решение

    Пусть  26-1533+26+1533=x\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}=x. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:  

    26-153+326-1532326+1533+326-153326+15323+26+153=x326-15\sqrt3+3\sqrt[3]{\left(26-15\sqrt3\right)^2}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{\left(26+15\sqrt3\right)^2}+26+15\sqrt3=x^3;

    52+326-153326+153326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26-15\sqrt3}\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    52+3262-1532326-1533+26+1533=x352+3\sqrt[3]{26^2-\left(15\sqrt3\right)^2}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    52+326-1533+26+1533=x352+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\right)=x^3;

    `52+3x=x^3`;

    `x^3-3x-52=0`.                                                                              (13)

    Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)).  Поскольку `x=4` является корнем,  многочлен `x^3 - 3x-52` делится  на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:

    x3-3x-52=0x-4x2+4x+13=0x-4=0,x2+4x+13=0.x^3-3x-52=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2+4x+13\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-4=0,\\x^2+4x+13=0.\end{array}\right.      

    У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13)  имеет ровно один корень `x=4`.

    Пример 8.

    При каких  `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?

    Решение

    1-й способ. Выполним деление с остатком:

    Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

    7a+28=0,b-6a-10=0,a=-4,b=-14.\left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\b-6a-10=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.

    2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.

    Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями  многочлена. То есть, 

    F1=1+a-2+19+b=0,    F2=16+8a-8+38+b=0,18+a+b=0,46+8a+b=0,a=-4,b=-14.\begin{array}{l}\begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0,\;\;\;\;\\F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\46+8a+b=0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4,\\b=-14.\end{array}\right.\\\end{array}

    Ответ

    `a=-4`, `b=-14`.


  • §1. Введение

    Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.

    Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Точно так же определяется понятие решения неравенства, а именно: число aa называется решением неравенства, если при подстановке числа aa вместо переменной в неравенство получается верное неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

    Совокупность всех решений уравнения (неравенства) называют множеством решений уравнения (неравенства). Если уравнение (неравенство) не имеет решений, то говорят, что его множество решений пусто (обозначается значком \varnothing).

    Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Заметим также, что уравнение и неравенство могут быть равносильны друг другу. (Обозначение: (1) \Leftrightarrow (2)).

    Пример 1.

    Среди следующих пар уравнений и неравенств выберите равносильные:

    а) |x|=2|x| = 2 и x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0;  

    б) x-12=24-x\sqrt{x - 12} = 24 - x  и  x-12=(24-x)2x - 12 = (24 - x)^2;

    в) x2xx^2 \leq x и x1x \leq 1;  

    г) x0x \geq 0 и |x|=x|x| = x;  

    д) x2<0x^2 < 0 и x2+3x+3=0x^2 + 3x +3 = 0.

    Решение

    a) По определению модуля |x|=2|x| = 2 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

    Решим уравнение x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0. Сделаем замену x2=tx^2 = t. Тогда получаем t2-t-12=0 t^2 - t -12 = 0, откуда t=4,t=-3.\left[\begin{array}{l}t=4,\\t=-3.\end{array}\right.

    Поэтому x4-x2-12=0x^4 - x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x2=4,x2=-3\left[\begin{array}{l}x^2=4,\\x^2=-3\end{array}\right. x2=4\Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=2,x=-2.\left[\begin{array}{l}x=2,\\x=-2.\end{array}\right.

    Значит, уравнения равносильны.

    б) x-12=(24-x)2x-12=x2-48x+576x - 12 = (24 - x)^2 \Leftrightarrow x - 12 = x^2 - 48x + 576 \Leftrightarrow

     x2-49x+588=0x=21,x=28.\Leftrightarrow\;x^2-49x+588=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=21,\\x=28.\end{array}\right.

    Заметим, что x=28x=28 не является решением первого уравнения (при подстановке x=28x=28 получаем неверное равенство 4=-44 = -4), поэтому уравнения не равносильны.

    в) Чисо x=-1x = -1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Значит, их множества решений не совпадают, и неравенства равносильными не являются.

    г) По определению модуля, уравнению |x|=x|x| = x удовлетворяет любое x0x \geq 0. Отрицательных решений это уравнение не имеет, т. к. при x<0x < 0 левая часть положительна, а правая - отрицательна. Получаем, что данные уравнение и неравенство равносильны.

    д) И уравнение, и неравенство не имеют решений, поэтому они равносильны.

    При решении уравнений можно действовать двумя способами.

    1) Все выполняемые преобразования равносильны. Тогда мы сразу получаем ответ.

    2) Если мы делаем какие-то неравносильные преобразования, то ни одно из них не должно приводить к потере корней. (Действительно, если корень потерялся, то его никак не вернёшь). Значит, нам можно делать только такие неравносильные преобразования, в результате которых мы можем приобрести лишние корни. В таком случае в конце решения необходимо сделать отбор корней: подставляя все найденные значения переменной в исходное уравнение, отбираем те из них, которые являются его корнями. Естественно, этот способ не проходит, если уравнение имеет бесконечно много решений (так как при отборе корней нельзя подставить бесконечное количество значений в уравнение). Тогда приходится делать только равносильные преобразования.

    Некоторые преобразования всегда приводят нас к равносильным уравнениям, например, перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Применяя другие преобразования (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей, возведение обеих частей уравнения в квадрат и пр.), мы иногда получаем равносильные уравнения, а иногда нет. Когда мы решаем неравенства, почти всегда отбор корней сделать невозможно (так как неравенства обычно имеют бесконечно много реше-ний), поэтому необходимо делать только равносильные преобразования.

    Рассмотрим два уравнения

      f1(x)=g1(x)f_1(x) = g_1(x)                                                                      (1)

     f2(x)=g2(x)f_2(x) = g_2(x)                                                                      (2)

    Говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) (пишут (1)\Rightarrow(2)), если каждый из корней уравнения (1) является также и корнем уравнения (2). Иначе говоря, множество решений уравнения (1) содержится в множестве решений уравнения (2).

    Несложно видеть, что если из (1) следует (2), а из (2) следует (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.

    Например, x=2(x-2)(x-3)=0 x = 2 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0;   x2+1=0x=5x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x= 5 (действительно, множество решений первого уравнения пусто, а пустое множество является подмножеством любого множества). Таким образом, если уравнение (неравенство) не имеет корней, то из него следует любое другое уравнение (неравенство).

  • Сводка полезных формул по геометрии


    Формулы площади треугольника

    S=12ahS=\dfrac12ah (`a` - основание, `h` - высота к `a`).

    S=12ab·sinCS=\dfrac12ab\cdot\sin C (`a`, `b`- стороны, `С` - угол между ними).

    S=p(p-a)(p-b)(p-c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (формула Герона, 2p=a+b+c)2p=a+b+c).

    S=prS=pr (`p` - полупериметр,`r` - радиус вписанной окружности).

    S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}, где `R` - радиус описанной окружности).

    S=(p-a)raS=(p-a)r_a, где `p` - полупериметр, `r_a` - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны `а`.

    Формулы площади трапеции

    S=a+b2hS=\dfrac{a+b}2h (`a`, `b` - основания, `h` - высота).

    S=c·mS=c\cdot m (`c` - боковая сторона, `m` - расстояние до нее от середины другой боковой стороны.

    Формулы площади параллелограмма:

    S=ahS=ah (`a` - сторона, `h` - высота к `a`).

    S=ab·sinαS=ab\cdot\sin\alpha (`a`, `b` - стороны, `alpha` - величина угла между ними)

    Формула площади выпуклого четырёхугольника:

    S=12d1d2sinφS=\dfrac12d_1d_2\sin\varphi (`d_1` и `d_2` - диагонали, `varphi` - величина угла между ними).

    Формула параллелограмма:

    d12+d22=2(a2+b2)d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2) (`a` и `b` - стороны,`d_1`, `d_2` - диагонали).

    Формула медианы треугольника через 3 стороны:

    mc2=a2+b22-c24m_c^2=\dfrac{a^2+b^2}2-\dfrac{c^2}4

    Формула биссектрисы ADAD треугольника ABC:ABC:

    1) AD=2bcb+ccosA2, b=AC, c=ABAD=\dfrac{2bc}{b+c}\cos\dfrac A2,\;\left(b=AC,\;c=AB\right).

    2) AD=bc-xy, (x=BD, y=DC, xy=cb)AD=\sqrt{bc-xy},\;(x=BD,\;y=DC,\;\dfrac xy=\dfrac cb).

    Формула для равнобокой трапеции:

    d2=c2+abd^2=c^2+ab (`a`, `b` - основания, `c` - боковая сторона, `d` - диагональ).





  • §4. Теоремы косинусов и синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач

    Как обычно, в треугольнике ABCABC стороны, противолежащие углам `A`, `B` и `C`,  обозначим `a`, `b` и `c`. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:

    теорема  косинусов: c2=a2+b2-2abcosC;c^2=a^2+b^2-2ab\cos C;

    теорема синусов:  asinA=bsinB=csinC=2R\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin{\displaystyle B}}=\dfrac c{\sin{\displaystyle C}}=2R.

    Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.

    Пример 12
    Рис. 26

    Доказать,  что  в  параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

    Решение

    Пусть  в  параллелограмме ABCDABCD (рис. 26) длины сторон  равны a u b,a\;u\;b, длины  диагоналей  равны d1d_1 и d2: AC=d2d_2:\;AC=d_2, AB=DC=aAB=DC=a, BD=d1BD=d_1.

    Если φ=BAD,\varphi=\angle BAD, то ADC=180°-φ.\angle ADC=180^\circ-\varphi. Из треугольников ABDABD и ACDACD по   теореме  косинусов   будем  иметь:

    d12=a2+b2-2abcosφ, d22=a2+b2-2abcos(180°-φ).d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\varphi,\;d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\varphi).

     Складывая  почленно эти  равенства  и  учитывая, что cos(180°-φ)=-cosφ,\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi, получим требуемое равенство: d12+d22=2a2+2b2\boxed{d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2}.

    следствие
    Рис. 26

    Из решения данной задачи легко получить выражение медианы mcm_c треугольника через его  стороны a, ba,\;b и  cc. Пусть  в  `ABD:AB=a`, `AD=b`, `BD=c`; `AM` - медиана, `AM=m_c` (рис. 26). Достроим этот треугольник ABDABD до параллелограмма ABCDABCD и воспользуемся результатом задачи 11, получим:

    c2+2mc2=2a2+2b2c^2+\left(2m_c\right)^2=2a^2+2b^2, откуда

     mc=a2+b22-c24\boxed{m_c=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2-\dfrac{c^2}4}}.

    Пример 13
    Рис. 27

    На стороне ADAD ромба ABCDABCD взята точка MM, при этом MD=310AD, BM=MC=11.MD=\dfrac3{10}AD,\;BM=MC=11. Найти площадь треугольника BCM.BCM.

    Решение

    1. Обозначим длину стороны ромба x, BAD=φ x,\;\angle BAD=\varphi\;(рис. 27). По условию MD=310xAM=710x.MD=\dfrac3{10}x\Rightarrow AM=\dfrac7{10}x.  Из треугольников ABMABM и  MCDMCD по теореме  косинусов получаем:

    BM2=x2+710x2-2x710xcosφBM^2=x^2+\left(\dfrac7{10}x\right)^2-2x\dfrac7{10}x\cos\varphi,

    MC2=x2+310x2-2x310xcos(180°-φ)MC^2=x^2+\left(\dfrac3{10}x\right)^2-2x\dfrac3{10}x\cos(180^\circ-\varphi).

    Приравниваем правые части (по условию BM=MCBM=MC), подставляем cos(180°-φ)=-cosφ,\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi, сокращаем на x2,x^2, приводим подобные члены и получаем cosφ=15.\cos\varphi=\dfrac15. Подставляя найденное значение cosφ\cos\varphi и BM=11BM=11 в первое равенство, находим x=10x=10.

    2. В равнобедренном треугольнике bmcbmc основание равно `10`, находим высоту MKMK:

    MK=BM2-BK2=BM2-14BC2=96MK=\sqrt{BM^2-BK^2}=\sqrt{BM^2-\dfrac14BC^2}=\sqrt{96},

    тогда  площадь  треугольника `BMC` равна 12BC·MK=206\dfrac12BC\cdot MK=20\sqrt6.

    Пример 14
    Рис. 28

    В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC)ABC\;(AB=BC) проведена      биссектриса ADAD (рис. 28). Найти радиус описанной около треугольника ABCABC окружности, если  AD=4AD=4 и DC=6.DC=\sqrt6.

    Решение

    1. Углы при основании ACAC в треугольнике ABCABC равны, обозначим BAC=2α,\angle BAC=2\alpha, тогда DAC=α.\angle DAC=\alpha. По теореме синусов из треугольника  ADCADC следует 4sin2α=6sinα\dfrac4{\sin2\alpha}=\dfrac{\sqrt6}{\sin{\displaystyle\alpha}} откуда cosα=23\cos\alpha=\sqrt{\dfrac23}. Находим: cos2α=2cos2α-1=13\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\dfrac13 и sin2α=223\sin2\alpha=\dfrac{2\sqrt2}3.

    2. Вычисляем   сторону ACAC:

    AC=AK+KC=ADcosα+DCcos2α=536AC=AK+KC=AD\cos\alpha+DC\cos2\alpha=\dfrac53\sqrt6.

    3. Как следует из теоремы синусов, радиус RR описанной около треугольника `ABC` окружности может быть найден из равенства: 

    R=AC2sinBR=\dfrac{AC}{2\sin B} т. е. R=AC2sin(180°-4α)=AC4sin2α·cos2α=1583R=\dfrac{AC}{2\sin(180^\circ-4\alpha)}=\dfrac{AC}{4\sin2\alpha\cdot\cos2\alpha}=\dfrac{15}8\sqrt3.

    В решении следующих задач существенно используется знание тригонометрических тождеств, умение решать тригонометрические уравнения. Подобные задачи не рассматривались в заданиях 9 - 10 классов, поскольку большинство учащихся в то время не обладало знаниями по тригонометрии в достаточном объёме.

    В этих задачах в качестве неизвестной выбирается некоторый угол и по данным задачи и известным метрическим соотношениям составляется тригонометрическое уравнение или система уравнений. Их составление  и  решение является основным   этапом всего решения задачи, а искомые  элементы  определяются  через значения тригонометрических функций введённого угла.

    Пример 15
    Рис. 29

    Точки KK и MM расположены соответственно на стороне BCBC и высоте BDBD остроугольного треугольника ABCABC. Треугольник AMKAMK - равносторонний  (рис. 29). Найти его площадь, если AD=3AD=3, DC=112DC=\dfrac{11}2, BK:KC=10:1BK:KC=10:1.   

    Решение

    1. Обозначим сторону правильного треугольника AMKAMK  через x, KAC=φx,\;\angle KAC=\varphi  (рис. 29). Пусть FK||ACFK\vert\vert AC и KNACKN\perp AC. Из подобия треугольников  CKNCKN и CBDCBD  следует NC=111DC=12NC=\dfrac1{11}DC=\dfrac12. Тогда DN=5, AN=8.DN=5,\;AN=8.

     2. Заметим, что FKA=φ\angle FKA=\varphi и MKF=π3-φ\angle MKF=\dfrac{\mathrm\pi}3-\varphi.  Из прямоугольных треугольников  AKNAKN и  MKFMKF следует:

    AN=AKcosφAN=AK\cos\varphi и FK=MKcos(π3-φ)FK=MK\cos(\dfrac{\mathrm\pi}3-\varphi), т. е. 8=xcosφ8=x\cos\varphi и 5=xcos(π3-φ)5=x\cos(\dfrac{\mathrm\pi}3-\varphi). Из тригонометрического  уравнения `5cosvarphi=8cos(pi/3-varphi)`  получаем

    cosφ=43sinφ\cos\varphi=4\sqrt3\sin\varphi и tgφ=143\mathrm{tg}\varphi=\dfrac1{4\sqrt3}.

    3. По формуле cosφ=11+tg2φ\cos\varphi=\dfrac1{\sqrt{1+tg^2\varphi}} находим  cosφ=437\cos\varphi=\dfrac{4\sqrt3}7 и x=8cosφ=143x=\dfrac8{\cos\varphi}=\dfrac{14}{\sqrt3}.  Площадь правильного  треугольника со стороной xx равна x234\dfrac{x^2\sqrt3}4. Находим SAMK=4933S_{AMK}=\dfrac{49\sqrt3}3.

    Обратим внимание, что в этой задаче один треугольник повёрнут относительно другого. В качестве промежуточной переменной и был введён этот угол поворота.

    Пример 16
    Рис. 30

    Окружность проходит через вершины AA и BB  треугольника  ABC,ABC, пресекает стороны BCBC и ACAC в точках MM и NN соответственно (рис. 30). Известно, что `AB=4`, `MN=2`, ACB=arcsin35\angle ACB=\arcsin\frac35. Найти радиус окружности.                                                                                

    Решение

    1. Обозначим ACB=φ\angle ACB=\varphi тогда sinφ=35\sin\varphi=\dfrac35, φ\varphi - острый угол, cosφ=45\cos\varphi=\dfrac45.

    Надо  найти  радиус окружности, поэтому разумно ввести вписанный угол: NMB=α\angle NMB=\alpha. Угол ANBANB - внешний  для треугольника BNC,BNC, поэтому  ANB=α+φ\angle ANB=\alpha+\varphi.

    2. Если RR - радиус окружности, то AB=2Rsin(α+φ)AB=2R\sin(\alpha+\varphi), и MN=2RsinαMN=2R\sin\alpha т. е. получаем систему:

    4=2Rsin(α+φ),2=2Rsinα.\left\{\begin{array}{l}4=2R\sin(\alpha+\varphi),\\2=2R\sin\alpha.\end{array}\right.

    Исключая `R`, придём к уравнению 2sinα=sin(α+φ)2\sin\alpha=\sin(\alpha+\varphi).

    Так как sin(α+φ)=sinα·cosφ+sinφ·cosα=45sinα+35cosα\sin(\alpha+\varphi)=\sin\alpha\cdot\cos\varphi+\sin\varphi\cdot\cos\alpha=\dfrac45\sin\alpha+\dfrac35\cos\alpha

    то уравнение приводится к виду

    10sinα=4sinα+3cosα10\sin\alpha=4\sin\alpha+3\cos\alpha, `6sinalpha=3cosalpha`, `"tg"alpha=1/2`.

    3. Находим: sinα=tgα1+tg2α=15\sin\alpha=\dfrac{tg\alpha}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}=\dfrac1{\sqrt5} тогда R=MN2sinα=5R=\dfrac{MN}{2\sin\alpha}=\sqrt5.

    Важное замечание

    В задаче 15 угловая величина была задана значением arcsin35\arcsin\dfrac35. По определению функции y=arcsinxy=\arcsin x это означало, что заданный угол острый и sinφ=35\sin\varphi=\dfrac35. Мы заменили условие φ=arcsin35\varphi=\arcsin\dfrac35 равносильным ему. Аналогично следует поступать во всех задачах, условия которых содержат значения обратных тригонометрических функций для величин углов. Например, если угол задан в виде α=π-arccos23\alpha=\pi-\arccos\sqrt{\dfrac23},  то это означает, что α\alpha - тупой угол,  cosα=-23 \cos\alpha=-\sqrt{\dfrac23\;}, sinα=13\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt3} и могут быть найдены, если окажется необходимым, значения  cos2α\cos2\alpha, sinα2\sin\dfrac\alpha2 и т. п.

    Некоторые учащиеся, проводя решение задачи в общем виде и подставляя числовые данные лишь в конце (что, заметим, обычно делает решение громоздким), получают, например, ответ для длины стороны в виде α=3sin(2arccos13)\alpha=3\sin(2\arccos\dfrac1{\sqrt3}). Если далее это значение не записано в виде a=22a=2\sqrt2,  то решение не считается доведённым до конца. Т. е. ответ задачи, когда угловая величина задана значением обратной тригонометрической функции, не должен содержать значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций (если только сама искомая величина не является углом).

    В заключение параграфа решим задачу об определении угла треугольника. Обратим внимание, что решение требует отбора в соответствии с условием задачи.

    Пример 17
    Рис. 31

    В треугольнике ABCABC высота BDBDмедиана CMCM и биссектриса  AKAK пересекаются в точке OO. (рис. 31).  Найти угол AA, если   известно, что он больше 60°60^\circ и  AM=3OMAM=\sqrt3OM.                                                                

    Решение

    1. Обозначим 

    AM=xAM=x (тогда `AB=2x`), BAC=2α\angle BAC=2\alpha и AO=yAO=y.

    Из прямоугольных треугольников AODAOD и ABDABD имеем: AD=ycosαAD=y\cos\alpha и AD=2xcos2αAD=2x\cos2\alpha. Выражаем y=2xcos2αcosαy=\dfrac{2x\cos2\alpha}{\cos\alpha}.

    2. Применяем теорему косинусов к треугольнику AMOAMO, учитывая, что MO2=13x2: x23=x2+y2-2xy·cosαMO^2=\dfrac13x^2:\;\dfrac{x^2}3=x^2+y^2-2xy\cdot\cos\alpha.

     Подставляем выражение для  yy, сокращаем на x2,x^2, приводим уравнение к виду:

    2cos2α+12cos22α-12cos2α·cos2α=02\cos^2\alpha+12\cos^22\alpha-12\cos2\alpha\cdot\cos^2\alpha=0.

    Используем тождество: 2cos2α=1+cos2α,2\cos^2\alpha=1+\cos2\alpha,  получаем уравнение:

    6cos22α-5cos2α+1=06\cos^22\alpha-5\cos2\alpha+1=0.

    Находим: cos2α=13\cos2\alpha=\dfrac13 или cos2α=12\cos2\alpha=\dfrac12.

    3. По условию: 2α=BAC2\alpha=\angle BAC, 2α > π32\alpha\;>\;\dfrac{\mathrm\pi}3, значит cos2α < 12\cos2\alpha\;<\;\dfrac12, поэтому

    cos2α=cosA=13\cos2\alpha=\cos A=\dfrac13, A=arccos13\angle A=\arccos\dfrac13.


  • § 5. Рисунок в геометрической задаче

    В заключении остановимся на ещё  не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач.

    Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения к чему относятся, какие прямые перпендикулярны или параллельны, в каких точках имеет место касание и т. п. Кое-кому из них всё же удаётся верно решить задачу, но в большинстве случаев, особенно в задачах, требующих ряда шагов рассуждений и вычислений, такой рисунок скорее мешает решению, а не способствует успеху.

    Рисунок в геометрической задаче – это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, фиксирующий и удерживающий внимание решающего, он даёт повод к размышлению и может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный путь в поисках решения. (Посмотрите, например, на рис. 27, 28, 29). Именно поэтому к построению рисунка полезно относиться вдумчиво. Сначала, чтобы понять задачу, её условия переводят на геометрический язык: делают от руки небольшой предварительный рисунок и отмечают на нём (если таковые есть) равные углы, пропорциональность отрезков, перпендикулярность и т. п. И лишь обдумав, как надо изменить рисунок, чтобы он соответствовал условиям задачи, делают аккуратный и достаточно большой рисунок, чтобы на нём уместились все введённые обозначения углов, отрезков и данные задачи. В ряде случаев «хороший» рисунок получается не с первой попытки и при его построении уже начинается процесс решения задачи, так как используются определения и известные геометрические факты относительно входящих в условие задачи элементов геометрической конфигурации.

    Когда словами записываются геометрические свойства входящих в задачу элементов, устанавливаются метрические соотношения типа  AB=AK+KB, AK=PQAB=AK+KB,\;AK=PQ и т. п., проводятся некоторые вычисления, то охватить их взглядом, увидеть в целом, сделать нужный вывод бывает совсем непросто, а вот увидеть на рисунке след собственных рассуждений и не терять этого из виду обычно удаётся.

    Мы говорим о работе с рисунком в процессе поиска решения. При окончательном изложении решения задачи каждое заключение должно быть обосновано (чаще всего ссылками на известные теоремы курса, реже – дополнительным доказательством). Сам по себе рисунок, даже самый аккуратный, выполненный циркулем и линейкой, ничего не доказывает, всё, что «увидено» из чертежа, должно иметь логическое обоснование.

    И ещё одно замечание. Если задача не получается, «упирается», не достаёт ещё какого-то одного соотношения, связи элементов – вернитесь к условию задачи и вновь обсудите каждый входящий в него геометрический элемент. Скорее всего, вами использованы не все их свойства, сделаны не все возможные выводы.

    Поясним наши рассуждения о рисунке и работе с ним примерами решения двух задач олимпиад МФТИ.

    Пример 18

    Продолжения медиан AEAE и CFCF треугольника ABCABC (рис. 32) пересекают описанную около него окружность в точках DD и NN соответственно так, что AD:AE=2:1AD:AE=2:1 и CN:CF=4:3.CN:CF=4:3. Найти углы треугольника.

    Рис. 32
    Решение

    Делаем предварительный рисунок (кстати, его удобнее всего рисовать, начиная с окружности), отмечаем, что BE=EC, ED=AEBE=EC,\;ED=AE (это следует из условия AD=2AEAD=2AE). Две хорды BCBC и AD,AD, пересекаясь, делятся пополам. По свойству  пересекающихся хорд AE·DE=BE·CEAE\cdot DE=BE\cdot CE откуда следует, что AE=BE=DE=CEAE=BE=DE=CE. Точка EE одинаково удалена от точек `A`, `B`, `D` и `C` окружности, значит  точка  EEцентр окружности. Отсюда  следует, что BCBC и ADAD - диаметры, и  A\angle A - прямой (опирается на диаметр). Поскольку далее должна рассматриваться медиана AE,AE,  а нами установлено, что AE=DE=BE=CE,AE=DE=BE=CE, то удобно ввести обозначение AE=R.AE=R.

    Рис. 33


    Обсудим следующие условия задачи: FN=13FC.FN=\dfrac13FC. Обозначим FN=x,FN=x, тогда FC=3x.FC=3x. Наконец обратим внимание, что в задаче есть две медианы треугольника, значит надо воспользоваться свойством медиан: пересекаясь, они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Итак, если обозначить через OO точку пересечения медиан, то

    AO=23R, CO=2x, OF=x.AO=\dfrac23R,\;CO=2x,\;OF=x.

    Выполняем хороший большой рисунок с учётом всех установленных фактов. Посмотрим внимательно на рис. 33 и подумаем, может быть, еще что-то можно установить? Да! Хорда CN,CN, пересекая диаметр AD,AD, делится пополам, значит  CNAD.CN\perp AD. Отразим и этот последний факт.

    Теперь решение.

    1. По свойству пересекающихся хорд:

    AO·OD=CO·ONAO\cdot OD=CO\cdot ON, т. е. 23R43R=4x2\dfrac23R\frac43R=4x^2 откуда x2=29R2x^2=\frac29R^2.

    2. Из прямоугольного треугольника COACOA по теореме Пифагора:

    AC=2x2+23R2=23RAC=\sqrt{\left(2x\right)^2+\left(\frac23R\right)^2}=\dfrac2{\sqrt3}R.

    3. Из прямоугольного треугольника ABCABC находим:

    sinB=ACBC=13\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac1{\sqrt3}.

    Ответ

    A=π2\angle A=\dfrac{\mathrm\pi}2, B=arcsin13\angle B=\arcsin\dfrac1{\sqrt3}, C=π2-arcsin13\angle C=\dfrac{\mathrm\pi}2-\arcsin\dfrac1{\sqrt3}.


    Пример 19

    Длина стороны ромба ABCDABCD равна `4`. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABDABD и ACD,ACD, равно `3`. Найти радиусы окружностей.

    Решение

    Строим первый пробный рисунок (рис. 34) и начинаем рассуждать.

    Поскольку в условии задачи задано расстояние между центрами, то необходимо установить их положение. Будем помнить, что четырёхугольник ABCDABCD - ромб, характеризующее его свойство – диагонали, пересекаясь, делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Центр окружности, описанной около треугольника, есть точка пересечения серединных   перпендикуляров  к  его  сторонам. Треугольники ABDABD и ACDACD имеют общую сторону ADADследовательно, оба центра  лежат на серединном перпендикуляре отрезка ADAD

    Кроме того, центр  O1O_1 окружности, описанной около треугольника ABD,ABD, лежит на прямой ACAC (это серединный перпендикуляр отрезка BDBD), а центр  O2O_2 окружности,  описанной около треугольника ACD,ACD, лежит на прямой BDBD (это серединный перпендикуляр отрезка ACAC). Итак, центры окружностей – это точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка ADAD с прямыми ACAC и BD.BD.

    Рис. 34 Рис. 35

    Вот теперь строим новый рисунок, на который наносим также числовые данные задачи. Обратим внимание, что окружности рисовать уже нет необходимости.

    Обозначим AO1=R1AO_1=R_1 и DO2=R2DO_2=R_2 и, поскольку имеем несколько подобных треугольников, вводим ещё угол MAO1=α.\angle MAO_1=\alpha. Записываем вполне очевидные выводы:

    1. AO1M, M=90°,MAO1=α2=R1cosα,O1M=R1sinα.1.\;\left.\begin{array}{l}\triangle AO_1M,\;\angle M=90^\circ,\\\angle MAO_1=\alpha\end{array}\right|\Rightarrow\begin{array}{l}2=R_1\cos\alpha,\\O_1M=R_1\sin\alpha.\end{array} 

    2.DO2M: M=90°,MO2D=α 2=R2sinα,O2M=R2cosα.2.\left.\begin{array}{l}\bigtriangleup DO_2M:\;\angle M=90^\circ,\\\angle MO_2D=\alpha\end{array}\right|\;\Rightarrow\begin{array}{l}2=R_2\sin\alpha,\\O_2M=R_2\cos\alpha.\end{array}

    3.По условию O1O2=3,т. е. O2M-O1M=3 R2cosα-R1sinα=3.3.\left.\begin{array}{l}\mathrm{По}\;\mathrm{условию}\;O_1O_2=3,\\\mathrm т.\;\mathrm е.\;O_2M-O_1M=3\end{array}\right|\;\Rightarrow R_2\cos\alpha-R_1\sin\alpha=3.

    Итак, получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

    R1, R2, α: 2=R1cosα.2=R2sinα,3=R2cosα-R1sinα.\begin{array}{l}R_1,\;R_2,\;\alpha:\;\left\{\begin{array}{l}2=R_1\cos\alpha.\\2=R_2\sin\alpha,\\3=R_2\cos\alpha-R_1\sin\alpha.\end{array}\right.\\\end{array}

    Решать эту систему можно по-разному, например, исключив `R_1` и `R_2`, получить тригонометрическое уравнение

    3=2cosαsinα-2sinαcosα3=2\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-2\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, 2tg2α+3tgα-2=02\mathrm{tg}^2\alpha+3\mathrm{tg}\alpha-2=0, tgα=12\mathrm{tg}\alpha=\dfrac12 (угол `alpha` - острый), тогда

    cosα=11+tg2α=25\cos\alpha=\dfrac1{\sqrt{1+tg^2\alpha}}=\dfrac2{\sqrt5} и R1=5, R2=25R_1=\sqrt5,\;R_2=2\sqrt5

    В этой задаче, оказавшейся совсем не простой для абитуриентов, трудность для многих была заключена в построении рисунка, обнажающего условие задачи и направляющего решение.


  • §3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники
    Рис. 17
    Свойство 1 (свойство касательных)

    Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

    Используя это свойство, легко решить следующую задачу.                                                  

    Пример 8

    На   основании  ACAC равнобедренного  треугольника  ABCABC расположена точка DD так, что AD=a,CD=bAD=a,CD=b. Окружности, вписанные в треугольники ABDABD и DBCDBC, касаются   прямой BDBD в  точках MM и NN соответственно. Найти отрезок MNMN.

    Решение
    Рис. 18 Рис. 18a

    Пусть a>b.a>b. Точки касания окружностей со сторонами треугольника ABCABC обозначим P, Q, EP,\;Q,\;E и FF (рис. 18). Положим BM=z, MN=x, ND=y.BM=z,\;MN=x,\;ND=y. По свойству касательных:

    DE=yDE=y, QD=x+yQD=x+y, AQ=AP=a-(x+y)AQ=AP=a-(x+y), EC=CF=b-yEC=CF=b-y, PB=BM=z, BF=BN=z+xPB=BM=z,\;BF=BN=z+x (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

    AB=z+a-x-yAB=z+a-x-y, BC=z+x+b-yBC=z+x+b-y. По условию AB=BCAB=BC; получим

    z+a-x-y=z+x+b-yz+a-x-y=z+x+b-y, откуда находим x=a-b2x=\dfrac{a-b}2.

    Если a<ba < b, рассуждая  аналогично, получим  x=b-a2x=\dfrac{b-a}2.

    Итак: MN=a-b2.MN=\dfrac{\left|a-b\right|}2.

    определение

    Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

    теорема 7

    В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,  когда  суммы  длин противолежащих сторон равны.                                                           

    доказательство
    Рис. 19

    Пусть четырёхугольник ABCDABCD описан около окружности (рис. 19). 

    По свойству касательных: AM=ANAM=AN, NB=BPNB=BP, PC=CQPC=CQ и QD=DMQD=DM, поэтому

    AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QDAM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD, что означает

    AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD.

    Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCDABCD стороны удовлетворяют условию AB+CD=BC+AD.AB+CD=BC+AD. Положим AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.AD=a,\;AB=b,\;BC=c,\;CD=d.

    По    условию a+c=b+d,a+c=b+d, что  равносильно  c-b=d-a.c-b=d-a.

    Пусть d>a.d > a. Отложим на большей стороне  CDCD меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае c>bc > b, то также отложим BN=bBN=b, получим  три   равнобедренных   треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

    Рис. 20

    В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника ANMANM, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку OO. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC`  (лежит на OBOB), `BC` и `CD`  (лежит на OCOC) и `CD` и `AD` (лежит на ODOD),  следовательно, точка OO одинакова удалена  от  всех  четырёх сторон четырёхугольника ABCDABCD и является центром вписанной окружности. Случай d=ad=a, как более простой, рассмотрите самостоятельно. 

    Пример 9

    Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны  aa и bb.

    Решение
    Рис. 21

    Пусть в равнобокой трапеции ABCDABCD `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция  равнобокая (AB=CD)(AB=CD), она описана около окружности, следовательно, AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC Отсюда получаем:  

                                AB=CD=a+b2.AB=CD=\dfrac{a+b}2.

    Проведём BMBM и CNCN перпендикулярно ADAD. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники ABMABM и DCNDCN и AM=NDAM=ND. По построению MBCNMBCN - прямоугольник, MN=BC=bMN=BC=b поэтому AM=12(AD-BC)-12(a-b)AM=\dfrac12(AD-BC)-\dfrac12(a-b).  Из прямоугольного треугольника ABMABM находим высоту трапеции ABCDABCD:

    BM=AB2-AM2=a+b22-a-b22=abBM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a+b}2\right)^2-\left(\dfrac{a-b}2\right)^2}=\sqrt{ab}.

    Очевидно, что высота  трапеции  равна  диаметру  окружности, поэтому

     радиус вписанной окружности равен  r=12ab\boxed{r=\dfrac12\sqrt{ab}}.

    Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции  cosα=a-ba+b\boxed{\cos\alpha=\dfrac{a-b}{a+b}}.

    свойство 2 (угол между касательной и хордой)

    Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).                         


    Доказательство
    Рис. 22

    Рассматриваем  угол  NABNAB между  касательной NANA и хордой ABAB. Если OO - центр окружности, то OAANOA\perp AN, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов  треугольника  равна  `180^@`, следовательно, AOB=2α\angle AOB=2\alpha.  Итак, α=NAB=12AOB.\alpha=\angle NAB=\dfrac12\angle AOB. 

    Обратим внимание, что угол NABNAB равен любому вписанному углу  AKBAKB, опирающемуся на ту же дугу ABAB.                                                                                   

    Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

    Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

    ТЕОРЕМА 8

    Пусть  к  окружности  проведены из одной точки касательная  MAMA и секущая  MBMB, пересекающая окружность в точке  CC (рис. 23). Тогда справедливо  равенство

    MA2=MB·MCMA^2=MB\cdot MC

     т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению  длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.                                                                                       

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

    Угол MACMAC образован хордой и касательной, MAC=ABC\angle MAC=\angle ABC.  Так как в треугольниках MACMAC и MBAMBA угол MM общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:  

    MAMB=MCMA\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MC}{MA}

     Откуда получаем: MA2=MB·MCMA^2=MB\cdot MC.                   

    Рис. 23
    СЛЕДСТВИЕ

    Если из точки MM к окружности проведены две секущие: MBMB, пересекающая окружность в точке CC и MKMK, пересекающая окружность в точке  LL (рис. 23), то справедливо равенство MB·MC=MK·MLMB\cdot MC=MK\cdot ML.

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

    Проведём касательную MAMA. По доказанной теореме MA2=MB·MCMA^2=MB\cdot MC и MA2=MK·MLMA^2=MK\cdot ML, следовательно MB·MC=MK·MLMB\cdot MC=MK\cdot ML.

    ПримеР 10
    Рис. 24

    Окружность  проходит  через  вершины C u DC\;u\;D трапеции ABCD,ABCD, касается боковой стороны ABAB в точке BB и пересекает  большее  основание ADAD в точке KK (рис. 24).  Известно, что  AB=53AB=5\sqrt3, BC=5BC=5 и KD=10KD=10

    Найти радиус окружности.

    Решение

    1. Пусть AK=xAK=x тогда AD=10+xAD=10+xю

    По теореме о касательной и секущей:

    AB2=AK·KDAB^2=AK\cdot KD т. е. 75=x(x+10)75=x(x+10), откуда x=5x=5. Итак AD=15AD=15. 

    2. Заметим  теперь,  что   угол ABDABD между касательной ABAB и  хордой  BDBD равен вписанному углу BCDBCD, а из параллельности прямых ADAD и  BCBC следует  равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия ABDDCB\bigtriangleup ABD\sim\bigtriangleup DCB. Из подобия имеем ABCD=ADBDBDBC\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AD}{BD}\dfrac{BD}{BC}. Из последнего равенства  находим, что BD2=AD·BCBD^2=AD\cdot BC, т. е. BD=AD·BC=53BD=\sqrt{AD\cdot BC}=5\sqrt3а из первого равенства находим CD=AB·BDAB=5CD=\dfrac{AB\cdot BD}{AB}=5.

    3. Так как KB=CDKB=CD (KBCDKBCD - вписанная трапеция, она равнобокая), и KB2+BD2=KD2,KB^2+BD^2=KD^2, то `/_ KBD=90^@`  и  KDKD - диаметр окружности.

    Значит, её радиус равен `5`. 

    теорема 9

    Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

    Из этой теоремы следует:

    a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

    б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

    задача 11
    Рис. 25

    В треугольнике ABCABC биссектрисы ADAD и BFBF пересекаются в точке OO (рис. 25). Известно,  что  точки F, O, DF,\;O,\;D, и `C` лежат  на одной окружности  и  что DF=3.DF=\sqrt3. Найти площадь треугольника  ODFODF.        

    Решение

    Так как 

    BAO=12A\angle BAO=\dfrac12\angle A и ABO=12B\angle ABO=\dfrac12\angle B, то

    DOF=AOB=π-12(A+B)\angle DOF=\angle AOB=\pi-\dfrac12(\angle A+\angle B).

    Четырёхугольник DOFCDOFC  вписан   в   окружность, по   теореме   9:

    DOF=π-C\angle DOF=\pi-\angle C, т. е. π-12(A+B)=π-C\pi-\dfrac12(\angle A+\angle B)=\pi-\angle C, откуда, учитывая, что A+B+C=π\angle A+\angle B+\angle C=\pi, находим С=π3\angle С=\dfrac\pi3.

    Теперь заметим, что OO - точка  точка пересечения биссектрис, COCO - биссектриса угла C,C, следовательно, углы OCDOCD и OCFOCF равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы ODFODF и OFDOFD равны им и равны друг другу. Таким образом,

    ODF=OFD=12C=π6\angle ODF=\angle OFD=\dfrac12\angle C=\dfrac\pi6

    Треугольник DOFDOF равнобедренный с основанием DF=3DF=\sqrt3 и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины OO и площадь  треугольника ODF: S=12h·DF=34ODF:\;S=\dfrac12h\cdot DF=\dfrac{\sqrt3}4.


  • § 1. Подобие треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Свойства медиан, биссектрис и высот

    Две фигуры FF и F'F^'  называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры FF и F'F^'  подобны, то пишется FF'F\sim F^'Напомним, что в записи подобия треугольников ABC~A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием  подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. AA переходит в A1A_1, BB - в B1B_1, CC - в C1C_1. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если ABC~A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

    A=A1, B=B1, C=C1, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1,\;\angle C=\angle C_1,\;\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}.

    признаки подобия треугльников

    Два треугольника подобны:

    • 1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
    • 2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
    • 3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

    Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач: 

    1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

    Рис. 5

    2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам,   т. е. если  MN||ACMN||AC (рис. 5), то

    mn=pq=m+pn+q\dfrac mn=\dfrac pq=\frac{m+p}{n+q}

    3°. Если  прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

    mn=m+pn+q\dfrac mn=\dfrac{m+p}{n+q} или mn=pq\dfrac mn=\dfrac pq,

    то MNMN параллельна ACAC (доказательство было дано в задании для  9 класса).

    Пример 1

    Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках MM и NN. Найти длину отрезка `MN`, если  основания  трапеции равны aa и bb.

    Решение

    Пусть OO точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

    AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

    $$1.\;\left.\begin{array}{l}BC\parallel AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(\mathrm{по}\;\mathrm{двум}\;\mathrm{углам})\end{array}\right|\Rightarrow\dfrac ba=\dfrac pq$$                                        (1)

    $$2.\;\left.\begin{array}{l}MO\parallel AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right|\Rightarrow\dfrac xa=\dfrac p{p+q}$$.                                         (2)

    Из (1) и (2) следует x=app+q=qp/qp/q+1=aba+bx=a\dfrac p{p+q}=q\dfrac{p/q}{p/q+1}=\dfrac{ab}{a+b}, т. е. MO=aba+b.MO=\dfrac{ab}{a+b}.

    Аналогично устанавливаем, что NO=aba+bNO=\dfrac{ab}{a+b}, поэтому MN=2aba+b\boxed{MN=\dfrac{2ab}{a+b}}.

    Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить. 

    Рис. 6

    Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные  элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

    Пример 2
    Рис. 7

    В прямоугольном треугольнике  ABCABC из вершины CC прямого угла проведена высота CDCD (рис. 7). Радиусы  окружностей, вписанных в треугольники ACDACD и BCDBCD равны соответственно r1r_1 и r2r_2 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABCABC.

    Решение

     Обозначим искомый радиус rr, положим AB=cAB=c, AC=bAC=b, BC=aBC=a. Из подобия прямоугольных треугольников ACDACD и ABCABC (у   них   равные углы при вершине AA) имеем rr1=cb\dfrac r{r_1}=\dfrac cb, откуда b=r1rcb=\dfrac{r_1}rc. Прямоугольные треугольники  BCDBCD и  BACBAC также  подобны,  поэтому rr2=ca\dfrac r{r_2}=\dfrac ca, - откуда a=r2rca=\dfrac{r_2}rc. Так как a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 то, возводя в квадрат выражения для  aa и bb и складывая их, получим r1r2c2+r2r2c2=c2\left(\frac{r_1}r\right)^2c^2+\left(\frac{r_2}r\right)^2c^2=c^2 или r12+r22r2=1\dfrac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=1.  Находим  r=r12+r22r=\sqrt{r_1^2+r_2^2}

    Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.


    Пример3
    Рис. 8

    Через точку MM, лежащую внутри треугольника ABCABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны S1S_1, S2S_2  и S3S_3. Найти  площадь треугольника ABCABC.

    Решение

    Легко видеть, что треугольники EKMEKM, MQFMQF и PMNPMN подобны треугольнику ABCABC.

    Пусть SS -площадь треугольника ABCABC, тогда

    S1S=EMAC2; S2S=MFAC2; S3S=PNAC2.\dfrac{S_1}S=\left(\dfrac{EM}{AC}\right)^2;\;\dfrac{S_2}S=\left(\dfrac{MF}{AC}\right)^2;\;\dfrac{S_3}S=\left(\dfrac{PN}{AC}\right)^2.

    Откуда находим

    EM=S1SAC, MF=S2SAC, PN=S3SAC.EM=\sqrt{\dfrac{S_1}S}AC,\;MF=\sqrt{\dfrac{S_2}S}AC,\;PN=\sqrt{\dfrac{S_3}S}AC.

    А так как EM=AP, MF=NCEM=AP,\;MF=NC, то EM+PN+MF=AP+PN+NC=ACEM+PN+MF=AP+PN+NC=AC.

    Таким образом, AC=AC·S1S+S2S+S3SAC=AC\cdot\left(\sqrt{\dfrac{S_1}S}+\sqrt{\dfrac{S_2}S}+\sqrt{\dfrac{S_3}S}\right), откуда следует

    S=S1+S2+S32S=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2.

    Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

    В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них  мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

    о медианах
    Рис. 9

    Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке  и  точкой пересечения каждая медиана делится в отношении `2 : 1`, считая от вершины.

    Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на `6` треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

    (На рис. 9 площадь каждого из `6` треугольников с вершиной `M` и основанием, равным половине стороны, равна 12SABC\dfrac12S_{ABC}. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника. 


    Теорема 3. Пусть BDBD - медиана треугольника 

    ABC (BC=a, AC=b, AB=c, BD=ma)ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a)тогда

    mc2=a2+b22-c24m_c^2=\dfrac{a^2+b^2}2-\dfrac{c^2}4(Доказательство приведено далее в §4 Задания).

    Пример 4
    Рис. 10

    Медианы AA1AA_1 треугольника ABCABC пересекаются в точке OO, AA1=12AA_1=12 и CC1=6CC_1=6 и одна из сторон треугольника равна `12`. (рис. 10). Найти площадь треугольника  ABCABC.

    Решение

    1. По теореме 1 имеем  AO=23AA1=8AO=\dfrac23AA_1=8, CO=23CC1=4CO=\dfrac23CC_1=4

    Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна `12`, сторона ACAC не может равняться `12`, иначе AC=AO+OCAC=AO+OC - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться `12` сторона ABAB, так в этом случае AC1=6AC_1=6 и треугольник AOC1AOC_1  со сторонами `8`, `2`, `6` не существует. Значит,  BC=12BC=12 и AC1=6AC_1=6.

    2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

    p=7, SA1OC=7·1·3·3=37p=7,\;S_{A_1OC}=\sqrt{7\cdot1\cdot3\cdot3}=3\sqrt7.

    По теореме 2 площадь треугольника  ABCABC в `6` раз больше, находим SABC=187S_{ABC}=18\sqrt7.

    о высотах

    Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

    Были доказаны также две леммы о высотах

    1-ая лемма.

    Если AA1AA_1 и BB1BB_1 - высоты треугольника ABCABC, то треугольник A1B1CA_1B_1C подобен треугольнику ABCABC с коэффициентом подобия k=A1B1AB=cosCk=\dfrac{A_1B_1}{AB}=\left|\cos C\right|Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот AA1AA_1 и BB1BB_1 треугольника ABCABC, то образуется треугольник, подобный данному: A1B1C~ABC\triangle A_1B_1C\sim\triangle ABC

    Из прямоугольных треугольников ACA1ACA_1 следует A1C=AC·cosCA_1C=AC\cdot\cos C или A1C=AC·cos(180°-C)=ACcosCA_1C=AC\cdot \cos(180^\circ-C)=AC\left|\cos C\right| (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников BCB1BCB_1 следует B1C=BC·cosCB_1C=BC\cdot \cos C или B1C=BC·cos(180°-C)=BCcosCB_1C=BC\cdot \cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right|. Далее рассуждения очевидны.

    Рис. 11a Рис. 11б


    2-ая лемма.

    Если высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 (или их продолжения) пересекаются в точке HH, то справедливо равенство AH·HA1=BH·HB1AH\cdot HA_1=BH \cdot HB_1 (рис. 12а, б).

    Рис. 12a Рис. 12б
    ПримеР 5*
    Рис. 13

    Высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 пересекаются в точке HH (рис. 13), при этом AH=3HA1AH=3HA_1 и BH=HB1BH=HB_1. Найти косинус угла ACBACB и площадь треугольника ABCABC, если AC=aAC=a.  

    Решение

    Обозначим HA1=x, HB1=yHA_1=x,\;HB_1=y

    1. Точка HH - середина высоты (рис. 13). Если отрезок MHMH проходит через точку HH и параллелен  основаниям,  то `MN` - средняя линия; `MN=a/2`.

    2. $$\left.\triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\right|\Rightarrow\dfrac{HN}{AC}=\dfrac x{4x},\;HN=\dfrac14a.$$ Значит, MH=HN=a4MH=HN=\dfrac a4 и AB1=B1C=a2AB_1=B_1C=\dfrac a2 Треугольник  ABCABC  равнобедренный, AB=BCAB=BC.

    3. B1BC=90°-C\angle B_1BC=90^\circ-\angle C, поэтому BHA1=AHB1=C\underline{\angle BHA_1=\angle AHB_1=\angle C}, а по второй лемме о высотах  AH·HA1=BH·HB1AH\cdot HA_1=BH\cdot HB_1 т. е.  3x2=y2, y=x33x^2=y^2,\;y=x\sqrt3.

         Далее, cosC=cos(AHB1)=y3x\cos C=\cos (\angle AHB_1)=\dfrac y{3x}, находим cosC=13\cos C=\dfrac1{\sqrt3}.

    4. AHB1: AB12=(3x)2-y2\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2, a24=6x2\dfrac{a^2}4=6x^2, x=a26x=\dfrac a{2\sqrt6}, y=a22y=\dfrac a{2\sqrt2}, тогда

    SABC=12AC·BB1=ay=a224S_{ABC}=\dfrac12AC\cdot BB_1=ay=\dfrac{a^2\sqrt2}4.

    о биссектрисах треугольника

    Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим  сторонам, т. е.  если ADAD - биссектриса треугольника  ABCABC (рис. 14), то

    BDDC=ABAC xy=cb\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\;\left(\dfrac xy=\dfrac cb\right)

    Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам ADBADB и ADCADC.

    Теорема 6. Пусть ADAD - биссектриса треугольника ABCABC (рис. 14), тогда AD=AB·AC-DB·DCAD=\sqrt{AB\cdot AC-DB\cdot DC} (в обозначениях рисунка 14а) 

    AD=bc-xy\underline{AD=\sqrt{bc-xy}}.


    Рис. 14 Рис. 14а



    Эту теорему докажем. Опишем около треугольника ABCABC окружность, точку пересечения прямой ADAD и окружности обозначим KK (рис. 14а).

    Обозначим  AD=z, DK=m.ABDAKCAD=z,\;DK=m.\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC (ABD=AKC(\angle ABD=\angle AKC и 1=2)\angle1=\angle2). Из подобия следует ABAK=ADAC\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}, т. е. cz+m=zb\dfrac c{z+m}=\dfrac zb, откуда z2+zm=bcz^2+zm=bc, z2=bc-zmz^2=bc-zm.

    По свойству пересекающихся хорд: AD·DK=BD·CDAD\cdot DK=BD\cdot CD, т. е. z·m=x·yz\cdot m=x\cdot y, тогда z2=bc-xyz^2=bc-xy, z=bc-xyz=\sqrt{bc-xy}.  

    Пример 6

    В треугольнике ABCABC со сторонами AB=5AB=5, AC=3AC=3 биссектриса AD=158AD=\dfrac{15}8. Найти сторону BCBC и радиус вписанной окружности.

    Решение

    По теореме 5 (см. рис. 14) имеем xy=53\dfrac xy=\dfrac53 Обозначим x=5zx=5z, тогда  y=3zy=3z. По теореме 6 выполнено равенство 1582=5·3-5z·3z.\left(\dfrac{15}8\right)^2=5\cdot3-5z\cdot3z. Легко находим z=78z=\dfrac78 значит BC=7.BC=7. Радиус вписанной окружности найдём по формуле S=prS=pr (`S` - площадь треугольника,  `p` -полупериметр). Имеем p=152p=\dfrac{15}2, по формуле Герона S=152·12·102·92=1532,S=\sqrt{\dfrac{15}2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{10}2\cdot\dfrac92}=\dfrac{15\sqrt3}2, поэтому r=Sp=32.r=\dfrac Sp=\dfrac{\sqrt3}2.  ▲


  • §2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая

    Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению таких задач даёт теорема Менелая (далее напомним формулировку и доказательство, в задании 9-го класса это уже было сделано).

    Задача 7

    Точка DD  лежит на стороне BCBC, точка KK - на стороне ABAB треугольника  ABCABC, прямые ADAD и CKCK пересекаются в точке OO (рис. 15). Найти отношение  AO:ODAO:OD, если AK:KB=1:3AK:KB=1:3 и BD:DC=2:3BD:DC=2:3..  

    Рис. 15
    Решение

    Расставим на рисунке данные о делении  сторон.  Чтобы  решение стало  более  понятным,  сделаем  ещё  один  рисунок  (рис. 15а),  на   нём проведём DS||CKDS||CK.    

    Рассматриваем треугольник KBCKBC. Из `DS``||``CK`по утверждению  2°2^\circ

    (второй признак подобия треугольников) следует KS:KB=CD:CBKS:KB=CD:CB, откуда KS=35·3x=95xKS=\dfrac35\cdot3x=\dfrac95x. (Ставим это на рисунке). На этом этапе удобно сделать ещё один рисунок (рис. 15б), либо на рисунке 15а провести прямую `AD` и отметить точку  OO.

    В треугольнике ASDASD по построению SD||KOSD||KO, По утверждению 2°2^\circ имеем  AO:OD=AK:KSAO:OD=AK:KS, откуда следует AO:OD=5:9AO:OD=5:9

    Рис. 15a Рис. 15б


    теорема 7 (менелая) о треугольнике и секущей

    Точки `A_1` и `C_1`, расположенные на сторонах `BC` и `AB` треугольника `ABC`, и точка `B_1`, расположенная на продолжении стороны `AC` за точку `C`, лежат  на  одной  прямой   тогда  и только тогда, когда имеет  место равенство: 

    AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1.                            (`**`)

    Доказательство
    1. Пусть точки B1,A1,C1B_1,A_1,C_1 лежат на одной прямой. 

      Проводим CK||ABCK||AB (рис. 16а):

    $$\begin{array}{l}\left.\triangle A_1CK\sim\triangle A_1BC_1\right|\Rightarrow\dfrac{CK}{C_1B}=\dfrac{A_1C}{BA_1};\\\left.\triangle B_1AC_1\sim\triangle B_1CK\right|\Rightarrow\dfrac{AC_1}{CK}=\dfrac{B_1A}{B_1C}.\end{array}$$                                    

    Почленно перемножив, получим  

    AC1C1B=A1CBA1·B1ACB1\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{A_1C}{BA_1}\cdot\dfrac{B_1A}{CB_1},

    откуда и следует

    AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1 

    (стрелочки на рис. 16а показывают последовательность взятия отрезков, движение начинается в точке `A` и в ней же заканчивается).

    Рис. 16а Рис. 16б

    2. Пусть имеет место равенство (`**`). Через две точки B1B_1 и A1A_1 проводим   прямую,   точку  пересечения    с   отрезком ABAB обозначаем C2C_2 (рис. 16б). Точки  A1,B1A_1, B_1 и C2C_2  лежат на одной прямой, по доказанному имеет место 

    AC1C1B·BA1A1C·CB1B1A=1.\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1.

    Сравнивая с равенством (`**`), устанавливаем, что AC2C2B=AC1C1B\dfrac{AC_2}{C_2B}=\dfrac{AC_1}{C_1B} и показываем, что точки C2C_2 и C1C_1 совпадают, т. к. делят отрезок ABAB на равные отрезки. 

    Применим теорему Менелая к решению примера 7 (см. рис. 15): рассматриваем треугольник BADBAD и секущую CKCK (она определяет три точки: K,O,CK,O,C ). Имеем: BKKA·AOOD·DCCB=1\dfrac{BK}{KA}\cdot\dfrac{AO}{OD}\cdot\dfrac{DC}{CB}=1,

    т. е. 3xx·AOOD·3y5y=1\dfrac{3x}x\cdot\dfrac{AO}{OD}\cdot\dfrac{3y}{5y}=1 откуда AOOD=59\dfrac{AO}{OD}=\dfrac59.

    Дополнение

    Если при тех же условиях задачи 6 требуется определить, какую часть площади треугольника составляет, например, площадь четырёхугольника KODBKODB то полезно сначала решить задачу о «делении отрезка» и найти, например, AO:OD=5:9AO:OD=5:9, а затем использовать тот факт, что площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как длины их оснований:

    SABC=S; SADC=35SS_{ABC}=S;\;S_{ADC}=\dfrac35S (( т. к. DC=35BCDC=\dfrac35BC));

    SOCD=914SADC=91435S=2770SS_{OCD}=\dfrac9{14}S_{ADC}=\dfrac9{14}\left(\dfrac35S\right)=\dfrac{27}{70}S (( т. к. OD=914ADOD=\dfrac9{14}AD));

    SKCB=34SS_{KCB}=\dfrac34S (( т. к. BK=34ABBK=\dfrac34AB)), поэтому

    SKODB=SKCB-SOCD=34S-2770S=51140SS_{KODB}=S_{KCB}-S_{OCD}=\dfrac34S-\dfrac{27}{70}S=\dfrac{51}{140}S.

     

  • Решение планиметрических задач

    Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. «То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете воспользоваться, когда в том возникнет необходимость» (это слова немецкого физика XVII столетия Лихтенберга, который известен своими афоризмами).

    Итак, если хотите научиться решать задачи, приобрести навыки решения – учитесь этому, разбирайте решения в учебнике и нашем Задании, повторяйте эти решения (ведь так учатся всему), а затем пробуйте свои силы. У Вас получится.

    Задание состоит из четырёх параграфов. В параграфе 1 повторяются признаки подобия треугольников, решается несколько характерных задач на эту тему, повторяются свойства медиан, биссектрис и высот треугольника. Во втором параграфе обсуждаются «задачи в делении отрезка» и доказывается теорема Менелая. Третий параграф посвящён свойствам касательных, хорд, секущих, вписанных и описанных четырёхугольников. В параграфе 4 рассматривается применение теорем синусов и косинусов, разобраны задачи, решение которых требует применение тригонометрии. Почти все эти темы разбирались в заданиях по геометрии в 9 и 10 классах ЗФТШ, поэтому более простые утверждения здесь приводятся без доказательства. Тем, кто поступил в ЗФТШ в 11 класс, рекомендуется доказать эти утверждения самостоятельно, а те, кто учится в ЗФТШ не первый год, найдут много новых интересных задач, подробно решённых в 19 примерах.

    Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения; они оценены по трудности в очках, которые указаны в скобках после номера. Знаком * «звёздочка» отмечены более трудные вопросы и задачи.

    За правильный ответ и верное решение задачи ставится полное число очков, за недочёты и ошибки определённое число очков снимается.

    Работу над заданием рекомендуется начать с внимательного чтения его и самостоятельного решения (после ознакомления) всех приведённых в нём задач. Ответы на контрольные вопросы следует давать подробные, со ссылками на соответствующие теоремы учебника или данного задания, с доказательствами своих ответов. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Приведём примеры ответов на контрольные вопросы.

    Вопрос 1

    Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?

    Ответ

    Рис. 1

    Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике ABCABC биссектриса `BM` является медианой: AM=MCAM=MC (рис. 1). На продолжении биссектрисы BMBM отложим отрезок MDMD, равный MBMB. Треугольники ABMABM и CDMCDM равны по первому признаку: у них углы при вершине MM  равны как вертикальные и AM=CMAM=CM, BM=MDBM=MD. Из равенства треугольников следует

    CD=ABCD=AB                                   (1)

    и CDM=ABM\angle CDM=\angle ABM. Но ABM=CBM\angle ABM=\angle CBM, поэтому CDM=CBM\angle CDM=\angle CBM, т. е. в треугольнике BCDBCD  углы при основании BDBD равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: BC=CDBC=CD. Отсюда и из (1) заключаем: BC=ABBC=AB. Утверждение доказано.

    Вопрос 2
    Рис. 2

    Могут ли длины сторон треугольника быть меньше `1` мм, а радиус описанной окружности больше `1` км?

    ОТвет

    Да, могут. Приведём пример. Из точки CC, лежащей на окружности  радиуса `2` км, дугой радиуса 1/21/2 мм отмечаем точки AA и BB, лежащие на большей окружности (рис. 2); очевидно, AC=CB=1/2AC=CB=1/2 мм.

    Треугольник ABCABC вписан в окружность радиуса `2` км, а его наибольшая сторона ABAB < AC+BC=1AC+BC=1 мм.

    вопрос 3
    Рис. 3

    Можно ли через точку окружности провести три равные между собой хорды?

    ответ

    Нет, нельзя. Действительно, предположим противное, т. е. предположим, что хорды ABAB, ACAC и ADAD окружности с центром в точке OO равны между собой (рис. 3). Тогда точки BB, CC и DD одинаково удалены от точки `A`, т. е. они лежат на окружности с центром в точке AA. Однако, этого не может быть, так как две окружности с разными центрами не могут иметь более двух общих точек. Значит предположение неверно.

    Вопрос 4
    Рис. 4

    Верно ли, что ABC=A1B1C1\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1, если AB=A1B1AB=A_1B_1, BC=B1C1BC=B_1C_1, C=C1\angle C=\angle C_1?

    Ответ

    Нет, например, на рис. 4 показаны треугольники ABCABC и A1B1C1A_1B_1C_1, для которых, как легко видеть, выполнены все заданные равенства, но ABCA1B1C1\triangle ABC\neq\triangle A_1B_1C_1, так как ACA1C1AC\neq A_1C_1.

    Итак, при утвердительном ответе надо либо привести доказательство того, что данное утверждение верно (как в ответе на вопрос 1), либо привести конкретный пример реализации заданных условий (как в ответе на вопрос 2).

    При отрицательном ответе надо либо привести рассуждения, приводящие к противоречию заданных условий аксиоме, теореме или определению (как в ответе на вопрос 3), либо построить один опровергающий пример (как в ответе на вопрос 4).

    После повторения тем в §1 – 4 в заключительном пятом параграфе обсудим вопросы подходов к решению, важность хорошего рисунка, выбора переменных, а также остановимся на некоторых ошибках, допускаемых учащимися и абитуриентами.

    Это задание вместе с присланным решением будут Вам полезны при подготовке к экзаменам.

  • Введение

    В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.

    Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.

    Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.

  • Вступление

    Дорогие ребята! Поздравляем вас с поступлением в заочную физико-техническую школу МФТИ. Вы получили первое задание по математике, в нем мало сложных задач, советуем вам внимательно изучить разработку, без ошибок ответить на контрольные вопросы и постараться решить предложенные вам задачи. Мало знать, как решить задачу, главное – уметь довести решение до конца и при этом не допустить арифметических ошибок. Не огорчайтесь, если вы не сможете справиться со всеми задачами. Вам вышлют решение задания, вы сможете посмотреть, как следует решать ту или иную задачу. В некоторых задачах мы указываем название учебного заведения (например, МГУ или МФТИ). Это означает, что данная задача предлагалась на вступительных экзаменах.

    Обратите внимание, как оформлены решения в присланных вам заданиях и как записывают решения задач в ваших учебниках и задачниках.

    Грамотный человек должен быть грамотным во всех предметах. Не забывайте о правилах грамматики, особенно о точках и запятых в ваших решениях. Постарайтесь аккуратно оформлять ваши решения.

    Мы очень надеемся, что поможем вам в изучении математики. Рады будем видеть вас в будущем студентами нашего института.

    Желаем вам больших успехов в этом году!

  • §5. Уравнения с параметром

    Рассмотрим уравнение (a-3)(a-2)·x=(a-3)(a+5). Такие уравнения носят название «уравнения с параметром». Здесь x - неизвестное , а a - параметр. Требуется найти решение x при любых значениях параметра a.
    Если a=3, то уравнение принимает вид: 0·x=0, этому уравнению удовлетворяет любое число x, т. е. в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
    Если a=2, то уравнение принимает вид: 0·x=-7, это уравнение не имеет решений.
    Если a3 и a2, то обе части уравнения можно разделить на (a-3)(a-2), тогда получаем: `x={(a-3)(a+5)}/{(a-3)(a-2)}={a+5}/{a-2}`. Таким образом, если a3 и a2, то уравнение имеет единственное решение и при этом  `x={a+5}/{a-2}`.

    Пример 1

    Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `|x+a|=a-4` имеет один корень.

    Решение

    Для того чтобы уравнение имело один корень необходимо чтобы правая часть была равна нулю: `a-4=0`, то есть `a=4`.

    Ответ

    При `a=4` уравнение имеет один корень.

    Пример 2

    Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `(a-2)x=2` не имеет корней.

    Решение

    Если `a=2`, то уравнение принимает вид: `0*x=2`, это уравнение не имеет решений.

    Ответ

    При `a=2` уравнение не имеет корней.

    Пример 3

    Найдите целые значения параметра `a`, при которых корень уравнения `ax=-8` удовлетворяет неравенству `1,5<|x|<4`.

    Решение

    Из уравнения `x=-8/a`, `1,5<|-8/a|<4`, `a=4`, `a=-4`, `a=3`, `a=-3`, `a=5`, `a=-5`.

    Ответ
    `a={-5,-4,-3,3,4,5}`.





  • §6. Линейная функция и её график

    Функция вида y=kx+b, где `k` и `b` - произвольные числа, называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая.

    Рассмотрим частные случаи функции `y=kx+b`, когда `k` и (или) `b` принимают занчения равные нулю:

    1) если `b=0`, то прямая пропорциональность, график проходит через начало координат;

    2) если` k=0`, то `y=b`, графиком является прямая, параллельная оси `Ox`;

    3) если `b=0`, и `k=0`, то `y=0`, то графиком является ось `Ox`.

    Для построения графика достатояно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую. 

    Пример 1

    Постройте график функции: а)  y=2x+3;  б) y=2.

    Решение

    а) При x=0;  y=3; при x=1;  y=5. Проводим прямую через точки (0; 3) и (1; 5).  График прямой приведён на рисунке 1.

    б) Для любого значения x значение y=2. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; 2). График этой функции приведён на рисунке 2.

                     

    График линейной функции `y=kx+b`, где `k` и `b` - произвольные числа, может быть получен из графика функции `y=kx` путём его параллельного переноса вдоль оси `Oy` на `b` единиц вверх, если `b` - положительно, или `|b|` единиц вниз, если `b` - отрицательно.

    В примере 1а) `y=2x+3`, при построении графика можно сначала построить график функции `y=2x`, а затем параллельным переносом вдоль оси `Oy` на `3` единицы вверх перенести график (рис. 3).

    Число `k` называют угловым коэффициентом прямой – графика функции `y=kx+b`. Если `k>0` то угол наклона прямой `y=kx+b` к оси `x` острый; если `k<0` то угол наклона тупой.

    Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

    Построим теперь график функции y=x

    Из определения модуля числа следует, что y=x, если x>0,0, если x=0,-x, если x<0.

    При x0  y=x, графиком функции при x0 является часть прямой y=x. А при x<0 графиком функции является часть прямой y=-x. График функции y=x приведён на рисунке 3а.

    Пример 2

    Постройте график функции y=x+1-x-2.

    Решение

    Выражение x-2 равно нулю при x=2. Если x>2, то x-2>0, поэтому x-2=x-2. А если x<2,  то x-2<0, тогда x-2=-(x-2)=-x+2.  Выражение x+1  равно нулю, если x=-1

    Если x>-1, то x+1>0, тогда x+1=x+1

    А если x<-1, то x+1<0, тогда x+1=-(x+1)=-x-1. Пусть x2, тогда x-2=x-2x+1=x+1, поэтому y=x+1-(x-2)=3.

    Если -1<x<2, то x-2=2-xx+1=x+1, тогда y=x+1-2+x=2x-1.

    Если x-1, то x+1=-x-1x-2=2-x, тогда y=-x-1-2+x=-3.  

    Таким образом, y=3, если x2;2x-1, если -1<x<2;-3, если x-1.y=\left\{\begin{array}{l}3,\;\mathrm{если}\;x\geq2;\\2x-1,\;\mathrm{если}\;-1<x<2;\\-3,\;\mathrm{если}\;x\leq-1.\end{array}\right.

    Заметим, что прямая y=2x-1 проходит через точки (-1; -3) и (2; 3).  График данной функции приведён на рисунке 4.

    Пример 3


    Постройте график функции y=x-3, x0;x+4-1, если x<0.

    Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой y=a при различных значениях параметра a.

    Решение
    Из определения модуля следует, что  x-3=3-x, если x0; 3;x-3, если x>3.

    Далее x+4-1=-4-x-1, если x-4;4+x-1, если x(-4; 0).

    График данной функции приведён на рисунке 5.

    Если a<-1, то прямая y=a не пересекает график данной функции.
    Если a=-1, то прямая пересекает график функции в точке (-4; -1)

    Если a(-1; 0), то будет две точки пересечения. 

    Если a=0, то прямая y=0 пересекает график функции в точках (-5; 0)(-3; 0)(3; 0).

    Если a(0; 3), то получается 4 точки пересечения.
    Если a=3, то будет 3 точки пересечения.
    Если a>3, то будет 2 точки пересечения.

  • §4. Модуль числа
    Определение Модуля Числа

    Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.  

    Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`. 

    Модуль нуля равен нулю.
    Запишем определение модуля таким образом: $$\left | x \right |= \left\{\begin{matrix}
    x, если {}      x\geq 0,\\
    -x, если    {}   x<0.
    \end{matrix}\right.$$

    Докажем некоторые свойства модуля.
         

    Свойство 1

    Для любого числа x выполняется условие x0

    Действительно, если x>0, то x=x и тогда x>0

    Если  x<0, то x=-x, но -x>0, значит x>0. И если  x=0, то x=0.

    Таким образом, x0 для любого x. При этом заметим, что x>0, если x0, и x=0, если x=0.

         

    Пример 1

    При каких значениях x выполняются равенства:

    а) x=5 ;  

    б) x=-3;   

    в) x-1=2?

    Решение

    а) Если x положительное, то x=5; если x отрицательное, то -x=5, т. е. x=-5.

    б) По свойству 1 выполняется условие x0, а у нас условие x=-3<0. Следовательно, не существует чисел, для которых выполнялось бы данное условие.
    в) По определению модуля числа следует, что если x-10, т. е. x1, то x-1=x-1=2,  отсюда следует, что x=3. Если же x<1, то x-1<0 и x-1=-(x-1), получаем равенство -x+1=2, -x=1, x=-1. В дальнейшем мы такие уравнения будем решать коротко, а именно, рассуждаем так: если модуль какого-то выражения равен 2, то либо это выражение равно 2, либо равно (-2). Если x-1=2, то получаем два случая: x-1=2, x=3 и x-1=-2, x=-1.       

    Свойство 2

    Для любых чисел x и y выполняется условие

    xy=x·y.

    Доказательство

    Если числа x и  y  положительные, то xy>0,  xy=xy, x=x, y=y,    получаем верное равенство xy=xy

    Если числа x и y отрицательные, то xy>0,  xy=xy,  x=-xy=-y, получаем верное равенство xy=(-x)(-y),  xy=xy.

    Если x>0, а y<0, то xy<0, xy=-xy, x=x, y=-y, получаем верное равенство -xy=-xy.

    Аналогично доказывается, если x<0,  a y>0

    Если одно из чисел x и y равно нулю, то обе части равенства xy=x·yравны нулю, т. е. равенство верное.
         

    Пример 2

    При каких значениях x верно равенство -5x-10=15\left | -5x-10 \right |=15

    Решение
    -5x-10=-5(x+2)=-5·x+2=5x+2\left | -5x-10 \right |=\left | -5(x+2) \right |=\left | -5 \right |\cdot \left | x+2 \right |=5\left | x+2 \right |.
    Таким образом, получили равенство 5x+2=15, x+2=3, отсюда следует, что

    x+2=3, x=1 и x+2=-3, x=-5.

    Ответ

     1; -5

    Аналогично свойству 2 можно доказать свойство `|x/y|=|x|/|y|`. Исходя из определения модуля числа, можно доказать, что для любого числа x верно равенство x=-x.

         

    Пример 3

    Решите уравнение `|-3x-1|-2x=2`.

    Решение

    `|-3x-1|=|-3(x+1/3)|=|-3|*|x+1/3|=3|x+1/3|`. 

    После этих преобразований получили уравнение `3*|x+1/3|-2x=2`. 

    Из определения модуля следует, что `|x+1/3|=x+1/3`,  если `x+1/3>=0`,  т. е.  `x>=-1/3` и `|x+1/3|=-x-1/3`,  если `x<-1/3`.

    а) Если `x>=-1/3`, то получаем уравнение `3(x+1/3)-2x=2`, `x+1=2`, `x=1`.  Число `1> -1/3`, поэтому число `x=1` является решением уравнения.

    б) Если `x<-1/3`, то получаем уравнение `3(-x-1/3)-2x=2`,  `-5x=3`, `x=-3/5<-1/3`.

    Ответ
     `-3/5`;  `1`. 
         
    Пример 4

    Решите уравнение x-1+x+1=2

    Решение

    Напомним определение модуля числа:  a=a, a0,-a, a<0.

    В данном уравнении под знаком модуля стоят числа x-1 и x+1. 

    Если x меньше, чем -1, то число x+1 отрицательное, тогда x+1=-x-1. 

    А если x>-1, то x+1=x+1. При x=-1 имеем x+1=0. Таким образом, x+1=x+1, x-1,-x-1, x<-1.

     Аналогично x-1=x-1, x1,-x+1, x<1.

    а) Рассмотрим наше уравнение при x-1, оно равносильно уравнению -x+1-x-1=2, -2x=2, x=-1. Это число принадлежит множеству x-1.

    б) Пусть теперь -1<x1, тогда данное уравнение равносильно уравнению -x+1+x+1=2, 0·x=0, последнему уравнению  удовлетворяет любое число, но так как мы рассматриваем множество -1<x1, значит, этому уравнению удо-влетворяют все числа из этого множества.
    в) Рассмотрим случай x>1. Уравнение равносильно уравнению x-1+x+1=2, x=1. Число x=1  мы получили уже в пункте б).

    Ответ

    Уравнению удовлетворяют все числа, удовлетворяющие условию -1x1. 
    Пример 5

    Решите уравнение: 11x+5=9x+13.

    Решение

    Если модули чисел равны, то эти числа либо равны, либо отличаются знаком. Если числа равны, то получаем уравнение: 

    11x+5=9x+13,  2x=8,  x=4.

    Если числа отличаются знаком, то получаем уравнение:

    11x+5=-9x-13,  20x=-18,   x=-0,9.

    Ответ
    4; -0,9. 
    Пример 6

    Решите уравнение: 5-x+6+1=6\left|5-\left|x+6\right|\right|+1=6.

    Решение

    Перенесём `1` в правую часть, получим 5-x+6=5\left|5-\left|x+6\right|\right|=5. Теперь по определению модуля  рассмотрим два случая: `5-|x+6|=5` и `5-|x+6|=-5`.

    Решим каждое из них.  `-|x+6|=5-5`, `|x+6|=0`, если модуль равен нулю, то выражение под модулем равно нулю `|x+6|=0`, `x=-6`.

    Решим второе уравнение: `-|x+6|=-10`, `|x+6|=10`, опять получим два случая: `x+6=10` и `x+6=-10`. Решим их: `x=4` и `x=-16`. 

    Ответ
    `-6`; `4`; `-16`.
  • §3. Уравнения с одной переменной
    Определение

    Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

    Например, уравнением с одной переменной является равенство 2(3x+5)=4x-1. 

    Определение

    Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

    Например, число 1 является решением уравнения 3x+5=9x-1. Уравнение x2+1=0 не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (x-1)(x+2)=0 имеет два корня: x1=1 и x2=-2. 

    Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Определение

    Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.

    При решении уравнений используют следующие свойства

    Свойства

    1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

    2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.


    определение

    Уравнение вида ax=b, где x - переменная, a и  b -  некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. 

    Если a0, то уравнение имеет единственное решение x=ba. 

    Если a=0 и b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение x, а если a=0, а b0, то уравнение не имеет решений, т. к.  0·x=b не выполняется ни при одном значении переменной.

    Пример 1

    Решите уравнение 2,5x-(x+1)=(3x-1)-2x+1.

    Решение

    Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с x в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие x, в правую часть, получаем: 

    2,5x-x-3x+2x=1-1+1. 

     0,5x=1, x=2.

    Ответ
    `2`.
    Пример 2

    Решите уравнение:  

    а) 2x2-3x=0

    б) x3-2x2-9x+18=0

    в) x2+5x+6=0.

    Решение

    а) Преобразуем уравнение: x(2x-3)=0. Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем x1=0, x2=32.

    Ответ 
    0; 32.

    б) Разложим на множители левую часть уравнения:

    x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x+3). 

    Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа x1=2, x2=3, x3=-3.

    Ответ 

    2; 3; -3.

    в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в 8-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим 5x как 2x+3x, тогда имеем: 

    x2+2x+3x+6=0,   

    x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,  

    отсюда видно, что x1=-2, x2=-3.  

    Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение 5x=2·52x.  И прибавим и вычтем в левой части уравнения число 254, получаем:

    x2+2·52·x+254-254+6=0,   x+522-254+6=0, x+522-14=0,  x+522-122=0, x+52-12x+52+12=0,  (x+2)(x+3)=0.

    Откуда следует, что x1=-2 и x2=-3.

    Ответ

    -2; -3.

    Пример 3

    Являются ли данные уравнения равносильными:
    а) x-1=2 и 2x-5=1; 

    б) (x-3)(x+7)x-3=0 и (x-3)(x+7)=0.

    Решение

    а) Если x-1=2, то x-1=2, x=3, или x-1=-2, x=-1. Первое уравнение имеет два решения: -1 и 3. 

    Второе уравнение имеет одно решение x=3. Число -1 является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

    б) Число x=3 является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при x=3 не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.

  • §2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
    Определение

    Выражения вида 2x2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a0. 

    Рассмотрим квадратный трёхчлен  x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому

    x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1. 

    Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

    Пример 1

    Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9x2+3x+1. 

    Решение

    Заметим, что 9x2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда  

    `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. 

    Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем  

    `((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.  

    Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

    Пример 2

    Разложите на множители квадратный трёхчлен 4x2-12x+5.

    Решение

    Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 

    2x2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22. 

    Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем: 

    (2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).  

    Пример 3

    Разложите на множители квадратный трёхчлен -9x2+12x+5.

    Решение

    -9x2+12x+5=-9x2-12x+5. Теперь замечаем, что 9x2=3x2, -12x=-2·3x·2. 

    Прибавляем к выражению 9x2-12x слагаемое 22, получаем:

    -3x2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.

    Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

     -9x2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).

    Пример 4

    Разложите на множители квадратный трёхчлен 3x2-14x-5.

    Решение

    Мы не можем представить выражение 3x2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

    `3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

    `=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

    `=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

    Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
    Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3.  Выделяем полный квадрат:

    `(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.     

    Пример 5

    Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена   -16x2+8x+6. 

    Решение

    Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16x2+8x+6=-4x2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7. 

    При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее  7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.  

    Пример 6

    Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

    Решение

    Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

    x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).  

    Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`. 

    Пример 7

    Разложите многочлен x4-13x2+36 на множители.

    Решение

    Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

    `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`

    `=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

    `=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`

    `=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

    Пример 8

    Разложите на множители многочлен 4x2+4xy-3y2.

    Решение

    Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем: 

    (2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).     

    Пример 9

    Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`. 

    Решение

    `8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`

    `=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`

    `=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`

    `=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.

    Преобразуем знаменатель дроби:

    `2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`

    `=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`

    `=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

    Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.



  • §1. Тождественные преобразования. Решение уравнений

    В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.

    Пример

    Числовыми являются выражения 3,8-2,157-342+5(38:9).

    Выражения вида `2x+1`, 3x2+53x^2+5 называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.

    Пример

    2x2y+xyz35a2bx-y2 , 3t2+v3+1 .

    Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

    Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.

    Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.

    Пример

    Соответственными значениями выражений 2x2+1 и 3x2+5x+1 при `x=1` являются числа 33 и 99.

    Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком «`=`», называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть  верными при  одних значениях переменных и неверными при других значениях.

    Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.

    Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.

    Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

    Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения,  вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.

    Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.

    Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.

    Пример

    Выражения 9, 25x2 и 34abxy4 являются одночленами. 

    Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.

    Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.

    Пример

    Стандартным видом одночлена 0,3bxy(-2)a2x2y3 является одночлен -0,6a2bx3y4, число (-0,6) является его коэффициентом, степень одночлена равна 10. 

    Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.

    Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.

    Пример

    Одночлены 2ax2y и -5ax2y являются подобными.

    Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.

    Пример

    2ax+3by-ax+0,5by=ax+3,5by. 

    Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.

    Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.

    Пример

    Стандартным видом многочлена 2ax5+xy3+3xy3-2ax5+5 является многочлен 4xy3+5, его степень равна 4. 

    Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

    Пример

    x+y2x2-y=2x3+2x2y-xy-y2. 

    Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.

    При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.

    Пример 1

    Разложите на множители многочлен 2x2y+y2-2x3-yx.

    Решение

    Группируя члены многочлена (т. е. представляя его в виде суммы двух многочленов) и вынося общий множитель в каждой группе, получаем 2x2y+y2-2x3-yx=2x2y-2x3+y2-yx=2x2y-x+yy-x. Видим, что многочлен `y-x` является общим множителем для обоих слагаемых. Вынося этот многочлен за скобки, окончательно получаем 2x2y+y2-2x3-yx=y-x2x2+y.

    При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»

    1. Разность квадратов a2-b2=(a-b)(a+b) a^2 - b^2=(a - b)(a + b)
    2. Разность кубов  a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a^3 - b^3=(a - b) (a^2 + ab + b^2)
    3. Сумма кубов   a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a^3 + b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)
    4. Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    5. Квадрат разности (a-b)2=a2-2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
    6. Куб суммы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
    Куб разности  (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3


    Пример 2

    Разложите на множители многочлен x3+x2+x-3. 

    Решение

    Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:x3+x2+x-3=(x3-1)+(x2-1)+(x-1)==(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)==(x-1)(x2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x2+2x+3).

    Пример 3

    Разложите на множители многочлен 3x2y4-24x5y.

    Решение

    Сначала выносим общий множитель 3x2y за скобку: 

    3x2y4-24x5y=3x2yy3-8x3

    Затем к многочлену y3-8x3 применим формулу для разности кубов:

     y3-8x3=y-2xy2+2xy+4x2

    В результате получим 3x2y4-24x5y=3x2y(y-2x)y2+2xy+4x2. 

    Пример 4

    Разложите на множители многочлен 27x3+y3+3y2+3y+1.

    Решение

    Заметим, что y3+3y2+3y+1=y+13, а 27x3=3x3, тогда получаем 

    3x3+y+13. 

    Применяем формулу 3, получим 

    (3x)3+(y+1)3=(3x+y+1)9x2-3x(y+1)+(y+12). 

    Таким образом,

     27x3+y3+3y2+3y+1=(3x+y+1)(9x2-3xy-3x+y2+2y+1). 

    Пример 5

    Разложим на множители многочлен y8+y4+1. 

    Решение

    Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение y4, получаем: 

    y8+y4+1+y4-y4=y8+2y4+1-y4=y4+12-y22.

    А теперь применяем формулу для разности квадратов: 

    y4+12-y22=y4+1+y2y4+1-y2.

  • §5. Однородные уравнения и системы

    Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.

    Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2`   является однородной степени `4`, т. к.

    `f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2)`.

    Уравнение `f(x, y) =0`, где `f(x, y)` - однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную `t= y/x`.

    Система с двумя переменными fx,y=a,gx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a,\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - однородные функции одной и той же степени, называется однородной.

    Если  `ab!= 0`, умножим первое уравнение на `b`, второе - на `a`  и вычтем одно из другого - получим равносильную систему

    bfx,y-agx,y=0,gx,y=b.\left\{\begin{array}{l}bf\left(x,y\right)-ag\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=b.\end{array}\right.

    Первое уравнение заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

    Если  `a=0` `(b=0)`, то уравнение `f(x,y)=0` `(g(x,y)=0)` заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

    Пример 20 (МГУ, 2001, химфак) 

    Решите систему 

    x2-xy+y2=21,y2-2xy+15=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy+15=0.\end{array}\right.

    Решение

    x2-xy+y2=21,y2-2xy=-155x2-xy+y2+7y2-2xy=0,y2-2xy=-15\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5\left(x^2-xy+y^2\right)+7\left(y^2-2xy\right)=0,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x0, y0;5x2-19xy+12y2=05xy2-19xy+12=0y2-2xy=-15\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\neq0,\;y\neq0;\\5x^2-19xy+12y^2=0\Leftrightarrow5\left(\dfrac xy\right)^2-19\left(\dfrac xy\right)+12=0\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow

    xy=19±1110,x=3y,y2=3;x=±33,y=±3;x=45y,y2=25x=±4,y=±5.\Leftrightarrow\dfrac xy=\dfrac{19\pm11}{10},\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=3y,\\y^2=3;\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm3\sqrt3,\\y=\pm\sqrt3;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac45y,\\y^2=25\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm4,\\y=\pm5.\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow


    Ответ

    `(3sqrt3; sqrt3), (-3sqrt3; -sqrt3), (4;5), (-4;-5)`.