Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи

  • §3 Алгебраический метод

    Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков вида:

    `x_1=sqrt(a^2+b^2)`,

    `x_2=sqrt(a^2-b^2)`,

    `x_3=sqrt(ab)`,

    `x_4=(ac)/b`.

    Построение отрезка `x_1=sqrt(a^2+b^2)`

    Проводим прямую `l`, выбираем на ней точку `C` и проводим через точку `C` прямую `l_1` перпендикулярно прямой `l` (основное построение 5). От точки `C` на прямых `l` и `l_1`  откладываем отрезки `CA=a` и `CB=b`. Отрезок `AB=sqrt(a^2+b^2)=x_1` (рис. 15).       

          

    Построение отрезка `x_2=sqrt(a^2-b^2)`, `a>b`  

    Проводим прямую `l`, выбираем на ней точку `C` и  проводим  через  точку `C` прямую `l_1` перпендикулярно прямой `l` (основное построение 5). От точки `C` на прямой `l_1` откладываем отрезок `CB=b`. От точки `B` раствором циркуля равным `a` делаем засечку на другой стороне угла – отрезок `CA=sqrt(a^2-b^2)=x_2` (рис. 16).


    Построение отрезка `x_3=sqrt(ab)`

    Проводим прямую `l`, выбираем точку `K` на ней и от точки `K` последовательно откладываем отрезки `KA=a` и `AB=b`. Делим отрезок `KB=a+b` пополам (основное построение 4), получаем точку `O` - середину отрезка `KB`. Проводим окружность с центром в точке `O` радиуса `(a+b)/2`. Через точку `A` проводим прямую перпендикулярную прямой `l` (основное построение 5) до пересечения в точке `C` с окружностью. Угол `KCB`- прямой, `CA` - высота прямоугольного треугольника к гипотенузе. По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе `CA=sqrt(KA*AB)`  т. е. `CA=sqrt(ab)=x_3` (рис. 17).

    Построение отрезка `x_4=(ac)/b`

    Строим некоторый угол с вершиной `S`. На одной стороне от точки `S` последовательно откладываем отрезок `SB=b` и `BA=a`, на другой стороне откладываем отрезок `SC=c`. Через точки `B` и `C` проводим прямую `l`, а затем через точку `A` проводим ей параллельную прямую `l_1` (основное построение 6) получаем на стороне `SC` точку `D`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми `(SB)/(SC)=(BA)/(CD)`, т. е. `b/c=a/(CD)`, `CD=(ac)/b=x_4` (рис. 18).

    Совершенно очевидна единственность каждого из четырёх описанных построений.

    Таким образом, мы расширили список допустимых построений. Ещё раз напомним, что для того чтобы решить задачу на построение, достаточно свести её к основным построениям и тем, которые сводятся к основным.

    Пример 5

    Даны отрезки `a`, `b` и `c` и число `n`  натуральное. Построить отрезки  

    `y_1=sqrt(a^2+3ab+2b^2)`,  `y_2=sqrt(a^2+b^2+c^2)`,

    `y_3=sqrt(a^2-ab+b^2)`,  `y_4=a^5/b^4`,  `y_5=a*sqrtn`.

    Решение

    Покажем, как построение этих отрезков сводится к комбинации построений отрезков вида `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4`.

    1. `a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)`,  `y_1=sqrt((a+2b)(a+b))`.

    Строим отрезки `z_1=a+2b`, `z_2=a+b`, тогда `y_1=sqrt(z_1*z_2)`.

    2. Строим отрезок `z_1=sqrt(a^2+b^2)`, тогда искомый отрезок `y_2=sqrt(z_1^2+c^2)`.

    3. `y_3=sqrt(a^2-ab+b^2)`. Строим отрезки `z_1=sqrt(a^2+b^2)`, `z_2=sqrt(ab)`. Из очевидного неравенства  `(a-b)^2>=0` следует

     `a^2-2ab+b^2>=0 iff 2ab<=a^2+b^2 => ab<a^2+b^2`,

    значит `a^2-ab+b^2>0`.

    Отрезок  – `y_3=sqrt(z_1^2-z_2^2)`.

    4. `y_4=a^5/b^4`. Мы умеем строить отрезок `x_4=(ac)/b`. При `c=a`  получим отрезок  `z_1=a^2/b`. Строим отрезок `z_2=z_1*a/b=a^3/b^2`. Далее получим отрезок `z_3=z_2*a/b=a^4/b^3` и аналогично строим  отрезок `y_4=z_3*a/b=a^5/b^4`.

    5. `y_5=a*sqrt(n)`. Сначала строим отрезок `z_1=n*a`, а затем `y_5=sqrt(z_1*a)=sqrt(na*a)=asqrtn`.

  • § 2. Задачи на построение

    Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки.  Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями, проводить параллельные линии. Таким образом, линейку можно использовать для проведения произвольной прямой, прямой через данную точку, прямой через две данные точки.

    С помощью циркуля можно провести произвольную окружность, можно провести окружность с данным центром и данного радиуса, также можно на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

    Описанные построения будем называть элементарными.

    Важнейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки описаны в учебнике, это:

    основные построения:

    построение 1: построение треугольника по трём сторонам, т. е. построение треугольника, стороны которого равны трём данным отрезкам   `a`, `b` и  `c`.

    построение 2: построение угла, равного данному, от данной полупрямой в данную полуплоскость;

    построение 3: построение биссектрисы данного угла;

    построение 4: деление отрезка пополам (одновременное построение серединного перпендикуляра данного отрезка);

    построение 5: построение перпендикуляра к данной прямой через данную точку.


    Повторите указанные построения и запомните, как они выполняются.

    Эти пять построений будем называть основными.

    Рассмотрим ещё одно построение, которое также отнесём к основным построениям.

    Построение 6: построение прямой, проходящей через данную точку `A` параллельно данной прямой `a`.

    Выберем  на данной  прямой `a` какие-нибудь  две точки `M` и `N` (рис. 10)  и  проведём  прямую `AN`. Используя построение 2, строим угол `NAB`, равный  углу `ANM` (строим  этот угол от полупрямой так, что точки `B` и `M` лежат в разных полуплоскостях). По построению `/_1=/_2`. Эти углы внутренние накрест лежащие, по теореме прямые `AB` и `MN` параллельны.

    С помощью основных построений 1 – 6 будем решать более сложные задачи.

    Решение задачи на построение с помощью циркуля и линейки – это описание последовательности шагов с использованием основных построений, которая приводит к построению искомой фигуры. Чтобы найти эту последовательность шагов, т. е. составить план построения, обычно поступают так. Предполагают, что задача решена, делают примерный чертёж искомой фигуры, отмечают те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараются определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение. После этого стремятся найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволяет найти (построить) искомую точку (прямую, угол), и составляют план построения.

    Составление плана – самая важная часть задачи, её обычно называют анализом.

    Выполнив анализ, наметив план, описываем само построение. Оно должно содержать лишь основные построения и элементарные действия с линейкой и циркулем – это и гарантирует возможность построения с циркулем и линейкой.

    Но решение ещё не закончено. Требуется провести доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, кроме того, проделать исследование, т. е. выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

    Таким образом, решение задачи на построение состоит из 4 частей: анализ, построение, доказательство, исследование. Анализ опускается в простых задачах или в тех, решение которых уже известно.

    Приведём пример решения задачи на построение.

    Пример 2

    Построить треугольник по данному периметру и двум углам. По данному отрезку `P` и двум углам требуется построить треугольник, периметр которого равен `P`, и его два угла равны двум данным углам.

    Решение

    Анализ. 

    Предположим, что такой треугольник `ABC` построен  (рис. 11), `AB+BC+CA=P`, `/_A=alpha`, `/_B=beta`.

    На прямой `AB` отложим отрезки `A A_1=AC` и `BB_1=BC`, тогда `A_1B_1=P`.                     

    Треугольник `A_1AC` равнобедренный, `/_1=/_2`, а по теореме о внешнем угле треугольника `/_BAC=/_1+/_2`. Таким образом `/_1=/_2=alpha//2`.

    Аналогично `/_3=/_4=beta//2`. В треугольнике `A_1B_1C` известны два угла `1` и `3` и сторона между ними `A_1B_1=P`. Такой треугольник можно построить, тогда точки `A` и `B` найдутся, как точки пересечения серединных перпендикуляров отрезков `A_1C` и `B_1C` с прямой `A_1B_1`.

    Построение. 

    Шаг 1. Делим данные углы `alpha` и `beta` пополам (построение 3).

    Шаг 2. Проводим произвольную прямую и на ней откладываем отрезок `A_1B_1`, равный данному отрезку `P`. От полупрямой `A_1B_1` откладываем угол `1`, равный `alpha//2`, а от полупрямой `B_1A_1` в ту же полуплоскость откладываем угол `3`, равный `beta//2` (построение 2), точку пересечения сторон этих углов обозначим `C`.

    Шаг 3. Строим серединные перпендикуляры отрезков `A_1C` и `B_1C` (построение 4), точки их пересечения с прямой `A_1B_1` обозначим `A` и `B`. Соединяем точки `A` и `B` с точкой  `C`. Треугольник `ABC` - искомый.

    Доказательство. По построению `A_1D=DC`, `AD_|_A_1C`, следовательно, `DeltaA_1AD=DeltaCAD` (по первому признаку) и `A A_1=AC`. Аналогично `KB_|_B_1C`, `B_1K=KC`, поэтому `BB_1=BC` и `AC+AB+BC=A_1A+AB+BB_1=P`.

    Кроме  того, `/_CAB=/_1+/_2=alpha` и `/_ABC=/_3+/_4=beta`.

    Исследование. Построение возможно всегда, если только сумма двух углов меньше `180^@` (сумма двух углов треугольника всегда меньше `180^@`). Решение единственно, т. к. точка `C`, а затем точки `A` и `B` определяются единственным образом.

    Замечание

    В этой задаче была задана сумма сторон треугольника, и мы как бы «развернули» стороны треугольника, пока они не легли на одну прямую – получили отрезок `A_1B_1`, равный данному. Этот приём называют методом спрямления и обычно применяют в задачах, в которых задана сумма (либо разность) сторон треугольника.

    Ещё одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Особенно удобен этот метод, когда требуется построить точку (или точки), удовлетворяющие нескольким условиям. При решении задач часто используются знание перечисленных в параграфе 1 геометрических мест.

    Проиллюстрируем указанный метод на следующем примере.

    Пример 3

    Построить окружность, проходящую через данную точку `A` и касающуюся данной прямой `l` в точке `B`. Прямая и окружность не имеют общих точек.

    Решение

    Анализ. Так как окружность должна касаться прямой `l` в точке `B` (рис. 12), то  её центр `O` должен принадлежать  перпендикуляру `BD`  к прямой `l` (ГМТ 6 из параграфа 1).

    Кроме того, окружность должна проходить через точки `A` и `B`, следовательно, её центр должен быть одинаково удалён от этих точек, т. е. лежать на серединном перпендикуляре  `CE` к отрезку `AB`  (ГМТ 2 из параграфа 1). Поэтому искомый центр, находясь одновременно на прямых  `BD` и `CE`, является точкой их пересечения. 

    Построение – проведение этих прямых  (построения  4 и 5).

    Доказательство. `CE_|_AB`, `AC=CB`, `DeltaCOB=DeltaCOA` (по двум катетам), следовательно, `OA=AB`. Точка `B` лежит на окружности и `OB_|_l`, следовательно, `l` -  касательная в точке `B`.

    Исследование. Задача имеет решение и притом единственное, если прямые `BD` и `CE` пересекаются,  не параллельны, т. е. если точка `A` не лежит на прямой `l`.

    В заключении остановимся на методе симметрии. Задачу иногда удаётся упростить, заменив один из заданных элементов (точку, прямую, окружность) другим, симметрично расположенным относительно некоторой прямой. Классическим примером такой задачи является следующая.

    Пример 4

    Даны две точки `A` и `B`, расположенные по одну сторону от данной прямой. Найти на прямой точку, сумма расстояний от которой до двух заданных точек наименьшая.

    Решение

    Анализ. Рассмотрим точку `A_1`, симметричную данной точке `A` относительно данной прямой (рис. 13), и пусть точка `P` – произвольная точка этой прямой. Так как `AP=A_1P`, то `AP+BP=A_1P+BP`. Сумма `AP=PB` будет наименьшей, когда сумма `A_1P+PB` достигнет наименьшего значения. А последняя сумма, очевидно, будет наименьшей тогда, когда точка `P` будет лежать на прямой `A_1B`.

    Теперь очевидно построение: строим точку, симметричную одной из заданных точек относительно заданной прямой, проводим через неё и другую точку прямую; точка пересечения построенной прямой и данной будет искомой. Доказательство очевидно. Задача всегда имеет единственное решение. В частном случае, когда точки `A` и `B` лежат на общем перпендикуляре к прямой, построение очевидно (рис. 14).

    `AP+PB>AM+BM`, если `P!=M`.

  • § 1. Геометрическое место точек
    Геометрическим местом точек на плоскости

    называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.

    Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказательства двух утверждений (теорем):

    Теоремы

    1) каждая точка указанной фигуры обладает данным свойством;

    2) каждая точка плоскости, обладающая данным свойством, принадлежит указанной фигуре.

    Перечислим некоторые простейшие и наиболее часто встречающиеся ГМТ на плоскости:

    1. Геометрическое место точек `M`, расстояние от которых до данной точки `O` равно `R`, есть  окружность  радиуса  `R`  c  центром  в  точке  `O` (рис. 1).

    2. Геометрическое место точек `M`, равноудалённых от двух данных точек `A` и `B`, есть прямая, перпендикулярная отрезку `AB` и проходящая через его середину – серединный перпендикуляр отрезка `AB` (рис. 2).

    3. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон есть биссектриса этого угла (рис. 3).

     

    4. Геометрическое место точек `M`, равноудалённых от трёх заданных точек, не лежащих на одной прямой, есть точка – центр окружности, проходящей через данные точки (рис. 4).

    5. Геометрическое место точек, из которых отрезок `AB` виден под прямым углом, т. е. точек `M`, для которых угол `/_AMB=90^@`, есть  окружность  с  диаметром `AB` без точек `A` и `B` (рис. 5).

    6. Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой `l` в точке `C`, есть перпендикуляр к  `l` в точке  `C` (рис. 6)

    Пример

    Для примера докажем, что  геометрическим местом точек, из которых отрезок `AB` виден под прямым углом, является окружность с диаметром `AB`, из которой выброшены точки `A` и `B`.

    Доказательство

    1) Покажем, что любая точка `M` окружности с диаметром `AB` (и не совпадающая с точками `A` и `B`)  обладает свойством: `/_AMB=90^@`.

    Если `AB` - диаметр, то его середина – точка `O` есть центр окружности (рис. 7). По определению окружности `AO=OB=OM`. Прочитаем это по-другому: в треугольнике `AMB` медиана `MO` равна половине стороны `AB`. Треугольник `AOM` равнобедренный, углы при основании `AM` обозначим `alpha`. Треугольник `MOB` также равнобедренный, углы  при  основании `MB` обозначим `beta`. Сумма углов треугольника `ABC` равна  `2alpha+2beta=180^@`, откуда  `/_AMB=alpha+beta=90^@`.       

                         

    2) Пусть точка `C` такая, что `/_ACB=90^@` (рис. 8). Треугольник `ABC` - прямоугольный, его медиана `CO` к гипотенузе `AB` равна половине гипотенузы (Пример 5 Задания), т. е.  `OA=OB=OC`. Точки `A`, `B` и `C` одинаково удалены  от точки `O` и поэтому лежат на окружности с центром в точке `O` и радиуса `OA`, т. е. с диаметром `AB`.

    Обратите  внимание,  что  часть  1  доказательства  основана  на  одной теореме, а часть 2 на обратной теореме.

    Пример 1

    Дана окружность с центром в точке `O` и точке `A` на окружности (рис. 9). Найти геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через точку `A` этой окружности.

    Решение

    а) Рассмотрим хорду `AB`. Середина хорды – точка `M` - есть основание перпендикуляра из точки `O` на `AB` (следует из `OA=OB`).  Угол `AMO` - прямой, точка `M` лежит на окружности с диаметром  `AO`.

    б). Возьмём некоторую точку `K` этой окружности, отличную от точки `A`. Угол `OKA` опирается на диаметр, он прямой. Продлим прямую `AK` до пересечения с окружностью (`C` - точка пересечения). Тогда из `OA=OC` и `OK_|_AC` следует `AK=KC`, т. е. точка `K` - середина хорды `AC`.

    Сама точка `O` является серединой диаметра, проходящего через точку `A`.

    Из а) и б) следует, что искомое геометрическое место есть окружность с диаметром `AO`, за исключением точки `A`.

  • Текстовые задачи

    Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр.  Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему уравнений, решая которые, находим все неизвестные.

    В более сложных случаях в задачах могут встречаться ограничения – неравенства, целочисленные переменные и т. д.

    В этом задании мы остановимся главным образом на текстовых задачах с экономическим содержанием (такие задачи предлагаются в профильном уровне ЕГЭ), однако в задачах для самостоятельного решения будет предложено и несколько иных задач.

    Обратите также внимание на два момента:

    необходимо учитывать размерность величин (время может измеряться в часах или минутах, масса – в килограммах или тоннах, денежные суммы — в рублях или тысячах рублей и пр.);

    в ответе нужно записать ту величину, которую просят найти в условии задачи (это совершенно очевидно, однако, к сожалению, многие на экзамене об этом забывают).

    Перейдём теперь к примерам.

    Пример 1

    Предприниматель Корейко купил в Таганроге несколько мешков чеснока и продал их в Ростове-на-Дону, получив на `50000` рублей больше, чем потратил. На все вырученные деньги он снова купил в Таганроге чеснок и затем продал его в Ростове-на-Дону. На этот раз прибыль (т. е. разность между выручкой и затратами) составила `55` тысяч рублей. Сколько денег Корейко потратил на первую покупку, если цены закупки и продажи мешка чеснока не изменились?

    Решение

    Способ 1. Пусть изначально у Корейко было `x` тысяч рублей. В результате первой продажи у него стало `x+50` тысяч рублей, которые он потратил на закупку второй партии товара. В результате продажи этой партии он получил `(x+50)+55=x+105` тысяч рублей. Получаем уравнение

    `(x+105)/(x+50)=(x+50)/x`

    (так как отношение выручки к затратам на закупку равно отношению цены продажи к цене закупки), откуда

    `x^2+105x=x^2+100x+2500`,  `x=500`.

    Способ 2. Во второй раз Корейко потратил на закупку чеснока на `50` тысяч рублей больше и получил прибыль на `5` тысяч рублей больше. Это означает, что на `50` тысяч рублей затрат приходится `5` тысяч рублей прибыли, поэтому прибыль в `10` раз меньше затрат. В первый раз прибыль составила `50` тысяч рублей, поэтому затраты были `500` тысяч рублей.

    При втором способе решения в работе должен быть записан текст, объясняющий все логические переходы.

    Ответ

    `500000` рублей.

    Пример 2

    Свежий инжир содержит `88%` воды, а сушёный – `10%`. Сколько сушёного инжира получится из `75` кг свежего?

    Решение

    Пусть `x` – масса сушёного инжира. При сушке испаряется вода, а масса сухого вещества остаётся неизменной. В свежем инжире `12%` сухого вещества, а в сушёном – `90%`. Приравнивая количество сухого вещества, получаем уравнение `75*0,12=x*0,9`,

    откуда `x=10`.

    Ответ

    `10` кг.

    В задачах «на проценты» нередко встречаются фразы вида «`A` больше  `B` на `alpha` процентов», «`A` дешевле `B` на `alpha` процентов» и т. д. В подобных случаях проценты следует считать от той величины, которая указана последней. Например, «`A`  больше `B` на `alpha` процентов» означает, что `A` равно `B` плюс `alpha` процентов от `B`, 

    `A=B+alpha%*B=B+alpha/(100)*B=B(1+alpha/(100))`.

    Таким образом,

    `A` больше `B` на `alpha% iff A` больше `B` в `(1+alpha/(100))` раз.

    Аналогично,

    `A` меньше `B` на `alpha% iff A=B(1-alpha/100)`.

    Пример 3

    Стиральная машина стоит на `25%` дороже посудомоечной машины и на `20%` дешевле холодильника. На сколько процентов посудомоечная машина дешевле холодильника?

    Решение

    Пусть стиральная машина стоит `x`, посудомоечная машина – `y`, а холодильник – `z`. Тогда

    `x=(1+25/(100))y=1,25y`,  `x=(1-20/(100))z=0,8z`.

    Поэтому

    `1,25y=0,8z`,  `y=0,64z=(1-36/(100))z`.

    Значит, посудомоечная машина на `36%` дешевле холодильника.

    Ответ

    На `36%`.

    Замечание

    Если `y=0,64z`, то `z=1,5625y`, следовательно, холодильник дороже посудомоечной машины на `56,25%`.

    Пример 4

    В начале года `5//6` некоторой суммы денег вложили в банк `A`, а то, что осталось – в банк `B`. Если вклад находится в банке в течение года, то к концу этого периода его сумма увеличивается на определенный процент[1], величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов в обоих банках стала равна `670` у. е.[2], к концу следующего года – `749` у. е. Если бы первоначально `5//6` суммы было вложено в банк `B`, а оставшаяся сумма – в банк `A`, то по истечении одного года сумма возросла бы до `710` у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае. Процентные ставки по вкладам в каждом из банков в течение двух лет не изменялись.

    Решение

    Введём обозначения: `S` — сумма денег, которая была изначально, `a` и `b` — процентные ставки в банках `A` и `B` соответственно. Тогда за год сумма в банке `A` увеличивается в `alpha=1+alpha/(100)` раз, а в банке `B` — в `beta=1+b/(100)` раз. Получаем систему уравнений

    56Sα+16Sβ=670,56Sα2+16Sβ2=749,16Sα+56Sβ=710.\left\{\begin{array}{l}\dfrac56S\alpha+\dfrac16S\beta=670,\\\dfrac56S\alpha^2+\dfrac16S\beta^2=749,\\\dfrac16S\alpha+\dfrac56S\beta=710.\end{array}\right.

    При этом нам нужно найти не `alpha`, `beta` и `S` по отдельности, а сумму вкладов на конец второго года, т. е. величину

    `X=1/6Salpha^2+5/6Sbeta^2`                                                           (1)

    Разделим первое уравнение системы на третье:

    `(5/6Salpha+1/6Sbeta)/(1/6Salpha+5/6Sbeta)=(670)/(710) iff (5alpha+beta)/(alpha+5beta)=67/71`,

    откуда `alpha=11/12 beta`.

    Разделим уравнение (1) на второе уравнение исходной системы:

    `X/(749)=(1/6Salpha^2+5/6Sbeta^2)/(5/6Salpha^2+1/6Sbeta^2)=(alpha^2+5beta^2)/(5alpha^2+beta^2)=((121)/(144)beta^2+5beta^2)/(5*(121)/(144)beta^2+beta^2)=(841)/(749)`.

    Таким образом, `X=841`.

    Ответ

    `841` у. е.

    Пример 5

    Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год `20%` накопленной суммы было снято со счета. Банк увеличил процентную ставку на `5` процентных пунктов (с `a%` до `(a+5)%`). К концу следующего года накопленная сумма в `1,2` раза превысила первоначальный вклад. Какой новый процент годовых[3] в банке?

    Решение

    Пусть `S` – первоначальная сумма вклада; `a` – первоначальный процент годовых. Тогда в конце первого года сумма вклада будет равна `S(1+a/(100))`, а после снятия `20%` суммы останется `0,8S` `(1+a/(100))`.

    К концу второго года сумма вклада будет равна

    `0,8S(1+a/(100))(1+(a+5)/(100))`.

    По условию `1,2S=0,8S(1+a/(100))(1+(a+5)/(100))`, откуда

    `(1+a/100)(1+(a+5)/100)=1,5 iff (100+a)(105+a)=15000 iff`

    `iffa^2+205a-4500=0 iff`a=20,a=-225.\left[\begin{array}{l}a=20,\\a=-225.\end{array}\right.

    Поскольку процентная ставка положительна, то `a=20`, а новая процентная ставка равна `25%`.

    Ответ

    `25%`.

    Пример 6

    Общий процент прибыли за весь товар, проданный в трёх магазинах, составил `31,9%`. Через первый магазин было продано `40%` всего товара, а через второй –  `30%` оставшейся части товара. Прибыль от продаж в первом магазине составила `40%`, а во втором – `30%`. Определите процент прибыли от продажи товара в третьем магазине.

    Решение

    Пусть `S` – изначальная цена всей партии товара, проданного магазинами. Прибыль составила `31,9%`, следовательно, общая выручка магазинов равна `1,319S`.

    В первом магазине было продано `0,4` всего товара, во втором — `0,3` от оставшихся `0,6` товара,  т. е. `0,18`. Значит, через третий магазин было продано `0,42` всего товара. Выручка в первом магазине составила `0,4S*1,4`, во втором магазине – `0,18S*1,3`. Значит, выручка в третьем магазине равна `1,319S-0,56S-0,234S=0,525S`.

    Так как начальная цена товара, реализованного через третий магазин, равна `0,42S`, то получаем уравнение `0,42S(1+alpha/100)=0,525S`, где `alpha` – процент прибыли в третьем магазине. Следовательно, `alpha=25`.

    Ответ

    `25%`

    Пример 7

    В течение года цена пальто снижалась дважды на один и тот же процент. Первоначальная цена была `10800` рублей, а цена после второго снижения стала равна `5292` рубля. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

    Решение

    Пусть каждый раз цена снижалась на `x%`. Это равносильно следующему: цена умножалась на `alpha=1-x/100`. Тогда после первого снижения цена равна `10800alpha`, а после второго – `10800alpha^2`. Получаем уравнение `10800alpha^2=5292`, откуда `alpha^2=49/100`, `alpha=7/10`. Следовательно, `x=30`.

    Ответ

    `30%`.

    В некоторых задачах рассматриваемые величины являются целочисленными (например, количество человек и т. п.), что иногда приводит к другим методам решения. Рассмотрим примеры.

    Пример 8

    Вкладчик разместил в банке  `32` тысячи рублей. Несколько лет он получал то `5%`, то `10%` годовых, а за последний год получил `25%` годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равен `53361` рублю. Сколько лет пролежал вклад?

    Решение

    Пусть вклад пролежал в банке `k` лет под `5%` годовых,   `l`   лет под `10%` годовых и `1` год под `25%` годовых. Тогда  `32000*(1+0,05)^k*(1+0,1)^l*(1+0,25)=53361`.

    Упрощая, получаем

    `32000*(21/20)^k*(11/10)^l*5/4=53361`,

    `32000*21^k*11^l*5=53361*20^k*10^l*4`.

    Здесь записано равенство двух целых чисел, поэтому имеет смысл разложить обе части на простые множители. Получаем

    `2^8*5^3*3^k*7^k*11^l*5=3^2*7^2*11^2*2^(2k)*5^k*2^l*5^l*2^2`,

    `2^8*3^k*5^4*7^k*11^l=2^(2+2k+l)*3^2*5^(k+l)*7^2*11^2`,

    Поскольку разложение на простые множители единственно с точностью до порядка сомножителей, отсюда следует, что

    8=2+2k+l,k=2,4=k+l,k=2,l=2k=l=2.\left\{\begin{array}{l}8=2+2k+l,\\k=2,\\4=k+l,\\k=2,\\l=2\end{array}\right.\Leftrightarrow k=l=2.

    Значит, вклад пролежал в банке `k+l+1=5` лет.

    Ответ

    `5` лет.

    Пример 9

    Фермер, занимающийся производством ягод, посадил кусты крыжовника и смородины. Количество кустов крыжовника превышает количество кустов смородины менее чем на `4`. Если число кустов смородины увеличить на `42`, то оно превысит число кустов крыжовника, но не более чем в `3` раза. Если число кустов смородины увеличить впятеро и прибавить удвоенное число кустов крыжовника, то результат не превысит `126`. Найдите, сколько кустов крыжовника и сколько кустов смородины посадил фермер.

    Решение

    Пусть было посажено `k` кустов крыжовника и `s` кустов смородины. Тогда из условия следует, что

    s<k<s+4,k<s+423k,5s+2k126.\left\{\begin{array}{l}s<k<s+4,\\k<s+42\leq3k,\\5s+2k\leq126.\end{array}\right.

    Из первого неравенства получаем три варианта: `k=s+1`, `k=s+2` или `k=s+3` (так как `k` и `s` — целые числа). Подставляем эти значения во второе и третье неравенства и решаем в каждом из случаев:

    1) `k=s+1`. Тогда

    s+1<s+423s+1,5s+2s+11262s39,7s124s19,5;s1757s.\left\{\begin{array}{l}s+1<s+42\leq3\left(s+1\right),\\5s+2\left(s+1\right)\leq126\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2s\geq39,\\7s\leq124\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}s\geq19,5;\\s\leq17\dfrac57\end{array}\right.\Leftrightarrow s\in\varnothing.                       

    2) `k=s+2`. Тогда

     s+2<s+423s+2,5s+2s+21262s36,7s122s18;s1737s.\left\{\begin{array}{l}s+2<s+42\leq3\left(s+2\right),\\5s+2\left(s+2\right)\leq126\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2s\geq36,\\7s\leq122\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}s\geq18;\\s\leq17\dfrac37\end{array}\right.\Leftrightarrow s\in\varnothing.                       

    3) `k=s+3`. Тогда

    s+3<s+423s+3,5s+2s+31262s33,7s120s16,5;s1717s=17.\left\{\begin{array}{l}s+3<s+42\leq3\left(s+3\right),\\5s+2\left(s+3\right)\leq126\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2s\geq33,\\7s\leq120\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}s\geq16,5;\\s\leq17\dfrac17\end{array}\right.\Leftrightarrow s=17.                      

    Следовательно, `k=20`.

    Ответ

    `20` кустов крыжовника и `17` кустов смородины.

    Пример 10

    В штамповочном цехе машиностроительного завода было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и цех выпускал `6480` деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, при этом увеличив число прессов на три. После реконструкции цех стал выпускать в день  `11200` деталей. Сколько прессов было в цехе первоначально?

    Решение

    Пусть изначально было `k` прессов, а после реконструкции их стало `k+3`. Поскольку прессы штампуют целое число деталей в день, отсюда следует, что `6480vdotsk`, `11200vdots(k+3)`. Раскладываем числа на простые множители:

    `2^4*3^4*5vdotsk`,

    `2^6*5^2*7vdots(k+3)`.

    Заметим, что в разложении на простые множители числа `k` не может содержаться множитель `3`, так как тогда `k+3` также делится на `3`, и второе условие не выполняется. Значит, первое условие можно переписать в виде `2^4*5vdotsk`. Рассмотрим все возможные случаи:

    `k=1 iffk+3=4` – подходит (выполняются оба условия);

    `k=2 iffk+3=5` – подходит;

    `k=4 iffk+3=7` – подходит;

    `k=8 iffk+3=11` – не подходит;

    `k=16 iffk+3=19` – не подходит;

    `k=5 iffk+3=8` – подходит;

    `k=10 iffk+3=13` – не подходит;

    `k=20 iffk+3=23` – не подходит;

    `k=40 iffk+3=43` – не подходит;

    `k=80 iffk+3=83` – не подходит.

    Учтём также, что прессы заменили на более производительные, поэтому

    `(6480)/k<(11200)/(k+3) iff (2^4*3^4*5)/k<(2^6*5^2*7)/(k+3) iff3^4(k+3)<2^2*5*7*kiff`

    `iff 81k+243<140k iff k>243/59`.

    Следовательно, из значений `k=1`, `k=2`, `k=4`, `k=5` подходит только `k=5`.

    Ответ

    `5` прессов.

    Пример 11

    Сотрудники ООО[4] “Рога и копыта” решили купить новый холодильник, при этом каждый внес одинаковую сумму. Однако в последний момент два человека отказались участвовать в покупке, заявив, что они не будут пользоваться холодильником, и забрали свои деньги обратно. Чтобы совершить покупку, каждому из оставшихся сотрудников пришлось добавить в кассу по `400` рублей. Сколько человек работает в ООО  “Рога и копыта”, если известно, что стоимость холодильника находится в пределах от `11000` до `14500` рублей?

    Решение

    Пусть в фирме «Рога и копыта» работает `k` человек и изначально все они планировали собрать по `x` рублей с каждого. Тогда стоимость холодильника равна `kx`. С другой стороны, стоимость холодильника можно выразить как `(x+400)(k-2)`, откуда получаем уравнение

    `xk=(x+400)(k-2)iff400k-800-2x=0iffx=200k-400`.                     

    Значит, стоимость холодильника можно выразить формулой

    `p=k(200k-400)=200k^2-400k`.

    Из условия задачи получаем неравенство:

    `11000<=200k^2-400k<=14500iff`

    k2-2k-550,2k2-4k-1450k-;1-561+56;+,k1-1472;1+1472\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}k^2-2k-55\geq0,\\2k^2-4k-145\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}k\in\left(-\infty;1-\sqrt{56}\right]\cup\left[1+\sqrt{56};+\infty\right),\\k\in\left[1-\sqrt{\dfrac{147}2};1+\sqrt{\dfrac{147}2}\right]\end{array}\right.\Leftrightarrow                      `iffk in[1-sqrt(147/2);1-sqrt(56)]uu[1+sqrt(56);1+sqrt(147/2)]`.     

    Поскольку `k in NN`, получаем `k=9`.

    Ответ

    `9` человек.

    Во многих задачах на вклады и кредиты используются формулы `n` подряд идущих членов арифметической прогрессии. Напомним, как они выводятся.

    Сначала рассмотрим сумму `n` подряд идущих натуральных чисел:

    `sigma_n=1+2+3+cdots+(n-1)+n`.

    Запишем эту сумму в прямом и обратном порядке:

    `sigma_n=1` `+2` `+3` `+...` `+(n-1)` `+n`,
    `sigma_n=n` `+(n-1)` `+(n-2)` `+...` `+2` `+1`

    и сложим равенства. В правой части сумма двух чисел, стоящих в любом столбце, равна `(n+1)`, а всего таких столбцов `n`, следовательно,

    `2sigma_n=(n+1)n`; `sigma_n=(n(n+1))/2`.

    Тогда сумма первых `n` членов арифметической прогрессии равна

    `S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=`

    `=na_1+(d+2d+...+(n-1)d)=na_1+d(1+2+...+(n-1))=na_1+d*(n(n-1))/2.`

    Эту формулу можно также преобразовать к более удобному для запоминания виду:

    `S_n=n(a_1=(d(n-1))/2)=n*(a_1+a_1+d(n-1))/2=n*(a_1+a_n)/2`.

    Таким образом, сумма `n` подряд идущих членов арифметической прогрессии равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на количество членов:


    `S_n=a_1+a_2+...+a_n=n*(a_1+a_n)/2=na_1+(n(n-1))/2d`.


    Для геометрической прогрессии рассмотрим случай, когда её знаменатель `q` отличен от единицы (если `q=1`, то все члены прогрессии равны между собой и сумма первых `n` членов прогрессии равна `nb_1`, где `b_1` — первый член).

    Вычислим сначала

    `tau_n=1+q+q^2+...+q^(n-1)`.                                                      (2)

    Умножив обе части равенства (2) на `q`, получаем

    `qtau_n=q+q^2+...+q^(n-1)+q^n`.                                                         (3)

    Вычтем из (2) равенство (3):

    `tau_n-qtau_n=1-q^n iff tau_n=(1-q^n)/(1-q)`.

    Тогда сумма первых `n` членов геометрической прогрессии равна

    `T_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1+b_1q+b_1q^2+...+b_1q^(n-1)=`

    `=b_1(1+q+q^2+...+q^(n-1))=b_1*(1-q^n)/(1-q)`.

    `T_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1*(1-q^n)/(1-q),`    `q!=1`.

    Пример 12

    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна `(-4)`. Найдите сумму пятых членов прогрессий, если известно, что сумма шестых членов равна `(-724)`.

    Решение

    Пусть `x` и `y` – знаменатели прогрессий. Тогда

    x+y=-4,x5+y5=-724.\left\{\begin{array}{l}x+y=-4,\\x^5+y^5=-724.\end{array}\right.                                                       (1)

    Рассмотрим равенство

    `(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5`.

    Подставляя данные из системы (1), получаем

    `-1024=-724+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4`;
    `-300=5xy(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)`;
    `-60=xy((x^3+y^3)+2xy(x+y))`;
    `-60=xy((x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy(x+y))`;
    `-60=xy(x+y)(x^2+xy+y^2)`;
    `-60=-4xy(x^2+xy+y^2)`;
    `15=xy((x+y)^2-xy)`;
    `15=xy(16-xy)`;
    `(xy)^2-16(xy)+15=0`,

    откуда `xy=1` или `xy=15`.

    Случай `xy=15` невозможен (система `x+y=-4`, `xy=15` не имеет решений).

    Если `xy=1`, то система имеет решения (но находить их не нужно).

    Сумма пятых членов прогрессий равна

    `x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=((x+y)^2-2xy)^2-2(xy)^2=(16-2)^2-2=194`.                       

    Ответ

    `194`.

    Пример 13

    Иван  Васильевич  по  случаю  рождения сына открыл 1 апреля 2000 года счёт в банке, на который он ежегодно вносит  `1000` рублей.

    По условиям вклада банк ежегодно начисляет `10%` на сумму, находящуюся на счёте. Через `6` лет у Ивана Васильевича родилась дочь, и 1 апреля 2006 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно вносит по `2100` рублей, а банк начисляет `21%` в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравнялись, если деньги со счетов не снимались?

    Решение

    Пусть каждый год счёт пополняется суммой `S`, а в результате начисления процентов сумма вклада умножается на `alpha`. Тогда через год на вкладе будет `alphaS+S` денег (сумма вклада на конец года с учетом процентов плюс очередной ежегодный взнос `S` Ивана Васильевича). Еще через год получим

    `alpha(alphaS+S)+S=alpha^2+alphaS+S`,

    a ещё через год

    `alpha(alpha^2S+alphaS+S)+S=alpha^3S+alpha^2S+alphaS+S`

    и т. д. Значит, через `n`  лет сумма на вкладе будет равна

    `alpha^nS+alpha^(n-1)S+...+alphaS+S=S*(1-alpha^(n+1))/(1-alpha)`.                                  (4)

    Пусть суммы на счёте сравняются в году `2006+k`. Тогда для первого вклада в формулу (4) надо подставить `S=1000`; `alpha=1,1`; `n=k+6`, т. е. в `2006+k` году сумма на этом вкладе равна

    `1000*(1-1,1^(k+7))/(1-1,1)=10000*(1,1^(k+7)-1)`.

    В случае второго вклада в формулу (4) подставляем `S=2100`; `alpha=1,21`; `n=k` и получаем

    `2100*(1-1,21^(k+1))/(1-1,21)=10000*(1,21^(k+1)-1)`.

    Нас интересует, при каком `k` суммы на вкладах равны; значит, надо решить уравнение

    `10000*(1,1^(k+7)-1)=10000*(1,21^(k+1)-1) iff 1,1^(k+7)=1,21^(k+1) iff`

    `iff 1,1^(k+7)=1,1^(2k+2)iffk+7=2k+2iffk=5`.

    Следовательно, суммы вкладов сравнялись в 2011 году.

    Ответ

    В 2011 году.

    Пример 14

    Сергей взял в банке кредит на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на `2,5%`. Фактически это означает годовую кредитную ставку `30%` годовых с ежемесячным начислением процентов, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно[5] (то есть на одну и ту же величину). Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку?

    Решение

    Пусть сумма кредита равна `S`. По условию каждый месяц сумма кредита уменьшается на одну и ту же величину, а весь кредит выплачивается за 9 месяцев. Значит, сумма долга уменьшается на `S//9` ежемесячно.

    Обозначим `alpha=1,025` (именно во столько раз увеличивается сумма долга в конце каждого месяца). Тогда в конце первого месяца Сергей выплатил банку

    `alphaS-8/9S=(alpha-8/9)S`;

    в конце второго месяца

    `alpha*8/9S-7/9S=(8/9alpha-7/9)S`;

    в конце третьего месяца

    `alpha*7/9S-6/9S=(7/9alpha-6/9)S`

    и т. д. Тогда за все 9 месяцев выплаты банку составили

    `(alpha-8/9)S+(8/9alpha-7/9)S+(7/9alpha-6/9)S+...+(2/9alpha-1/9)S+1/9alphaS=`

    `=alphaS(1+8/9+7/9+...+1/9)-S(8/9+7/9+...+1/9)=`

    `=(alphaS)/9(9+8+7+...+1)-S/9(8+7+...+1)=`

    `=(alphaS)/9*(9*10)/2-S/9*(8*9)/2=5*alphaS-4S=5*1,025S-4S=1,125S`.

    Значит, выплаченная банку сумма составляет `112,5%` первоначальной суммы кредита.

    Ответ

    `112,5%`.

    Пример 15

    `31` декабря  `2008` года Андрей взял в банке `6902000` рублей в кредит под `12,5%` годовых. Условия погашения долга, установленные банком, таковы: 31 декабря каждого последующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на `12,5%`), затем Андрей переводит в банк `x` рублей. Какой должна быть сумма `x`, чтобы Андрей выплатил долг четырьмя равными платежами ( за четыре года).

    Решение

    Пусть `S` - сумма кредита; каждый год 31 декабря эта сумма умножается на `1+(12,5)/100=9/8`. Тогда в конце первого года сумма долга равна `alphaS-x`,

    в конце второго - `alpha(alphaS-x)-x=alpha^2S-alphax-x`,

    в конце третьего  - `alpha(alpha^2S-alphax-x)-x=alpha^3S-alpha^2x-alphax-x`,

    в конце четвёртого  - `alpha(alpha^3S-alpha^2x-alphax-x)-x=alpha^4S-alpha^3x-alpha^2x-alphax-x`.

    По условию за четыре года кредит должен быть погашен полностью, 

    `alpha^4S-alpha^3x-alpha^2x-alphax-x=0`,

    откуда `x=(alpha^4S)/(alpha^3+alpha^2+alpha+1)`. Подставляя значения `alpha` и `S`, получаем

    `x=((98)^4*6902000)/((98)^3+(98)^2+98+1)=(9^4*6902000)/(9^3*8+9^2*8^2+9*8^3+8^4)=`

    `=(9^4*6902000)/(19720)=9^4*350=2296350`.

    Ответ

    `2296350` рублей.

    Замечание

    К сожалению, в задачах такого типа нередко встречаются громоздкие вычисления. Можно было применить к знаменателю дроби формулу суммы геометрической прогрессии и переписать его в виде `(alpha^4-1)/(alpha-1)`, но это не сильно упростило бы решение.

    Пример 16

    31 декабря 2014 года Антон взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого последующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на `a%`), затем Антон переводит очередной транш[6] (сумму в погашение части долга и начисленных процентов). Если Антон будет переводить банку каждый год по `1352000` рублей в соответствии с данной схемой, то он выплатит долг за 4 года, а если по `2152000` рублей, то за 2 года. Под какой процент Антон взял деньги в банке?

    Решение

    Пусть `S` – сумма взятого кредита, а в результате прибавления процентов к сумме долга он умножается на   `alpha(alpha=1+a/(100))`.

    Для того, чтобы формулы выглядели короче, обозначим `x=1352000`, `y=2152000`.

    Рассуждая аналогично предыдущей задаче, получим, что при погашении долга за 4 года 

    `alpha^4S-alpha^3x-alpha^2x-alphax-x=0`,

    а при погашении долга за 2 года

    `alpha^2S-alphay-y=0`.

    Перепишем эти равенства в виде

    `alpha^4S=x(alpha^3+alpha^2+alpha+1)`,

    `alpha^2S=y(alpha+1)`

    и разделим первое на второе:

    `alpha^2=x/y*(alpha^3+alpha^2+alpha+1)/(alpha+1)`.

    Так как

    `alpha^3+alpha^2+alpha+1=alpha^2(alpha+1)+(alpha+1)=(alpha^2+1)(alpha+1)`,

    отсюда следует, что

    `alpha^2=x/y(alpha^2+1)iffalpha^2=x/(y-x)`,

    Подставляем значения `x` и `y`:

    `alpha^2=(1352000)/(2152000-1352000)=(1352)/(800)=(169)/(100)=1,3^2`.

    Следовательно,  `alpha=1,3` и кредит был взят под `30%` годовых.

    Ответ

    `30%`.

    Пример 17

    Два участника создали общество с ограниченной ответственностью, при этом каждый внёс определенную сумму денег в уставный капитал общества[7]. Через некоторое время один из участников внёс дополнительно в уставный капитал `4` млн. рублей, в результате его доля возросла на `6%`. А когда он внёс в уставный капитал ещё `4` млн. рублей, его доля возросла ещё на `2%`. Какую сумму ему нужно внести, чтобы увеличить свою долю ещё на `3%`?

    Решение

    Пусть изначально первый внёс `x` млн руб., а второй – `y` млн руб. Тогда доля первого равна `x/(x+y)`. После того как первый внёс `4` млн руб., его доля стала равна `(x+4)/(x+4+y)`, а после внесения следующих `4` млн руб. – `(x+8)/(x+8+y)`. По условию

    xx+y+0,06=x+4x+4+y,xx+y+0,08=x+8x+8+y.\left\{\begin{array}{l}\frac x{x+y}+0,06=\frac{x+4}{x+4+y},\\\frac x{x+y}+0,08=\frac{x+8}{x+8+y}.\end{array}\right.

    Поскольку `x` и `y` положительны, знаменатели дробей не обращаются в ноль, и система равносильна следующей:

    xx+4+y+0,06x+yx+4+y=x+4x+y,xx+8+y+0,08x+yx+8+y=x+8x+y,\left\{\begin{array}{l}x\left(x+4+y\right)+0,06\left(x+y\right)\left(x+4+y\right)=\left(x+4\right)\left(x+y\right),\\x\left(x+8+y\right)+0,08\left(x+y\right)\left(x+8+y\right)=\left(x+8\right)\left(x+y\right),\end{array}\right.

    а после упрощения выходит

    0,06x+yx+4+y=4y,0,08x+yx+8+y=8y.\left\{\begin{array}{l}0,06\left(x+y\right)\left(x+4+y\right)=4y,\\0,08\left(x+y\right)\left(x+8+y\right)=8y.\end{array}\right.

    Разделив первое уравнение на второе, получим

    `(3(x+4+y))/(4(x+8+y))=1/2 iff 3x+12+3y=2x+16+2y iff x+y=4`.

    Подставляем в первое уравнение:

       `0,06*4*(4+4)=4yiffy=0,48`.

    Следовательно, `x=3,52`. Тогда изначальная доля первого участника равна `(3,52)/4=0,88`. После второго внесения средств она стала равна `(3,52+8)/(4+8)=0,96`. Пусть нужно добавить ещё `z` млн руб., чтобы доля возросла на `3%` (т. е.  стала равной `0,99`). Получаем уравнение

    `(11,52+z)/(12+z)=0,99`,

    откуда `11,52+z=11,88+0,99ziffz=36`,  т. е.  надо добавить ещё `36` млн руб.

    Ответ

    `36` млн руб.

    Пример 18

    Мария хочет взять ипотечный кредит в размере `1,4` млн. рублей. Погашение кредита по условиям банка будет происходить один раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после ежегодного начисления процентов на остаток долга. Ставка по кредиту составляет `10%` годовых. На какое минимальное количество лет Мария может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более `330` тысяч рублей?

    Решение

    Способ 1. Обозначим `1400000=S` сумму кредита, `alpha=1,1` – множитель, на который сумма долга умножается в результате начисления процентов, `x` – сумма ежегодного платежа. Тогда:

    – долг через год составит `alphaS-x`;

    – долг через два года составит `alpha(alphaS-x)-x=alpha^2S-alphax-x`;

    – долг через  `k` лет составит `alpha^kS-alpha^(k-1)x-alpha^(k-2)x-cdots-alphax-x=` 

    `alpha^kS-x(alpha^(k-1)+alpha^(k-2)+cdots+alpha+1)=alpha^kS-x(alpha^k-1)/(alpha-1)`.                (5)

    Наименьшее значение `k`, при котором выражение (5) неположительно, — это и есть количество лет, необходимых для погашения кредита. Иначе говоря, `k` — это наименьшее натуральное решение неравенства `alpha^kS-x*(alpha^k-1)/(alpha-1)<=0`.

    Отсюда

    αkS-xα-1-xα-1*αk-xα-1:S-xα-1αkxS+x-αS.\alpha^k\left(S-\dfrac x{\alpha-1}\right)\leq\dfrac{-x}{\alpha-1}\overset\ast\Leftrightarrow\alpha^k\geq-\dfrac x{\alpha-1}:\left(S-\dfrac x{\alpha-1}\right)\Leftrightarrow\alpha^k\geq\dfrac x{S+x-\alpha S}.                  (6)

    В переходе (`**`) мы использовали, что `S-x/(alpha-1)<0`. Действительно, для того, чтобы кредит был погашен, сумма долга спустя год должна быть меньше первоначальной, откуда `alphaS-x<S iff(alpha-1)S<x iff S<x/(alpha-1)`.

    Очевидно, что чем больше суммы выплат, тем быстрее будет погашен кредит. Поэтому подставляем в (6) `alpha=1,1`; `x=330000`; `S=1400000` и получаем `1,1^k>=(33)/(19)`, откуда `k>=log_(1,1) 33/19`.

    Вычисления на калькуляторе показывают, что `log_(1,1)33/19~~5,79`, поэтому подходит `k=6`.

    Однако при сдаче ЕГЭ калькулятором пользоваться нельзя, поэтому предпочтительным оказывается иной способ решения.

    Способ 2. Очевидно, что чем в большем размере происходят выплаты, тем меньше окажется срок, за который будет погашен кредит, поэтому возьмём максимально допустимую по условию задачи сумму погашения  `x=330  000` руб.

    Тогда через год сумма долга станет равна `S_1=1  400  000*1,1-330  000=1  210  000`;

    через 2 года  `S_2=1  210  000*1,1-330  000=1  001  000`;

    через 3 года  `S_3=11  001  000*1,1-330  000=771  100`;

    через 4 года  `S_4=771  100*1,1-330  000=518  210`;

    через 5 лет    `S_5=518  210*1,1-330  000=240  031`;                                                        

    В конце 6-го года сумма долга станет равна `240  031*1,1=264  034,1` руб., и она будет погашена полностью последним, шестым платежом.

    Ответ

    `6` лет.

    Замечание

    Несмотря на то, что второй способ решения содержит достаточно громоздкие вычисления (особенно если кредит выдаётся на большое количество лет), он позволяет обойтись без нахождения значений сложных величин и содержит только арифметические операции. Главное при решении такой задачи на ЕГЭ  –  не ошибаться.

    Ряд текстовых задач требует применения производной для нахождения наибольшего или наименьшего значения величин. Рассмотрим пару примеров.

    Пример 19

    Алексей  вышел  из дома  на  прогулку со скоростью `v` км/ч. После того, как он прошёл `6` км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на `9` км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью `4` км/ч. Найдите значение `v`, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

    Решение

    Жучка пробегает на `9` км за час больше, чем хозяин. Значит, она догонит его спустя `6/9=2/3` часа. Тогда на путь туда Алексей затрачивает `t_1=6/v+2/3` часа, и при этом он проходит расстояние `v(6/v+2/3)=6+2/3v`. Следовательно, на обратную дорогу уходит время `t_2=(6+2/3v)/4=3/2+v/6`, а суммарное время прогулки составляет `t_1+t_2=13/6+6/v+v/6`. 

    Минимум этого выражения может быть найден при помощи свойства взаимно обратных чисел: если `a>0`, то `a+1/a>=2`, причём равенство достигается только при  `a=1`.

    В нашем случае получаем, что минимум достигается при `v/6=1`, т. е. `v=6` и он равен `13/6+2=25/6` ч.

    Ответ

    `6` км/ч;  `4` ч. `10` мин.

    Пример 20

    Леонид является владельцем двух заводов в разных го­родах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совер­шенное оборудование.

    В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом горо­де, трудятся суммарно `4t^3` часов в неделю, то за эту неделю они произ­водят `t` приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором го­роде, трудятся суммарно `t^3` часов в неделю, они производят `t` приборов.  

    За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабо­чему `1` тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно произво­дилось `20` приборов. Какую наименьшую сумму придётся тратить вла­дельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

    Решение

    Пусть на первом заводе производят `x` приборов, а на втором – `(20-x)` приборов. Тогда всего нужно затратить `f(x)=4x^3+(20-x)^3` часов. Поскольку заработная плата пропорциональна количеству часов, имеет смысл найти минимум `f(x)`. Для этого вычисляем и преобразуем `f^'(x)`:

    `f^'(x)=12x^2-3(20-x)^2=3((2x)^2-(20-x)^2)=3(20+x)(3x-20)`.

    Знак `f^'(x)` определяется множителем `(3x-20)`, следовательно, при `x>20/3` функция возрастает, при `x<20/3` - убывает, а `x=20/3` - точка минимума. Так как `x` должно быть целым числом, рассмотрим ближайшие к `20/3` целые значения  `x`:

    `f(6)=4*6^3+14^3=3608`;

    `f(7)=4*7^3+13^3=3569`.

    Значит, минимальное количество рабочих часов выходит в том случае, когда на первом заводе производят `7` приборов. При этом оплата труда равна `3  569  000` рублей.

    Ответ

    `3  569  000` рублей.

    Пример 21

    В январе 2005 года ставка по депозитам[8] в банке «Фантазия» составила `x%` годовых, тогда как в январе 2006 года – `y%`  годовых, причем известно, что `x+y=30`. В январе 2005 года вкладчик открыл депозитный счёт в банке «Фантазия», положив на него некоторую сумму. В январе 2006 года, по прошествии года со дня открытия счёта, вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение `x`, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2007 года станет максимально возможной.

    Решение

    Пусть `S` – первоначальная сумма вклада. Тогда в январе 2006 года сумма станет равной `S(1+x/100)`, а после частичного снятия – `S(1+x/100)-S/5=S(4/5+x/100)`.

    Ещё через год выйдет

    `S(4/5+x/100)(1+y/100)=S(4/5+x/100)(1+(30-x)/100)=`

    `=S/(10000)(x+80)(130-x)=S/(10000)(-x^2+50x+10400)`.

    Эта сумма максимальна при `x=25` (вершина параболы с ветвями вниз).

    Ответ

    `x=25`.

    Пример 22

    Имеется три сплава. Первый содержит `30%` меди и `70%` олова, второй – `45%` олова, `20%` серебра и `35%` меди, третий – `60%` олова и `40%` серебра. Из них необходимо составить новый сплав, содержащий `25%` серебра. Какое наименьшее и наибольшее процентное содержание олова может быть в этом новом сплаве?

    Решение

    Пусть `m_1`,  `m_2`,  `m_3` - массы первого, второго и третьего сплавов соответственно. Так как содержание серебра в новом сплаве равно `25%`, получаем `(0,2m_2+0,4m_3)/(m_1+m_2+m_3)=1/4`, откуда `m_3=(5m_1+m_2)/3`.  

    Содержание олова в сплаве `alpha` равно

    `alpha=(0,7m_1+0,45m_2+0,6m_3)/(m_1+m_2+m_3)=(5,1m_1+1,95m_2)/(8m_1+4m_2)`.

    Если `m_1=0`, то  `alpha=(1,95)/4=39/80`.

    Если `m_1!=0`, то `alpha=(5,1+1,95m_2/m_1)/(8+4m_2/m_1)`.   

    Пусть `m_2/m_1=t`, где `t>=0`. Тогда

    `alpha(t)=(5,1+1,95t)/(8+4t)=((102+39t)/(160+80t)-39/80)+39/80=`

    `=(102+39t-39(2+t))/(80(2+t))+39/80=24/(80(2+t))+39/80=3/(10(2+t))+39/80`.

    При  `t>=0`  первая  дробь  принимает  значения  из промежутка `(0;3/20]`. Значит, в этом случае `alphain(39/80;51/80]`, следовательно, `alpha_max=3/20+39/80=51/80`, `alpha_min=39/80` (было получено выше при  `m_1=0`).

    Ответ

    `39/80` и `51/80`.

    Пример 23

    Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется `5` часов работы станка А и `7` часов работы станка Б. Для изготовления изделия второго типа требуется `9` часов работы станка А и `3` часа работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более `162` часов в месяц, а станок Б – не более `136` часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию `9000` д. е. [денежных едениц] прибыли, а каждое изделие второго типа – `6000` д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

    Решение

    Пусть произведено `x` изделий первого типа и `y` изделий второго типа. Тогда на это потребовалось `(5x+9y)` часов работы станка А и `(7x+3y)` часов работы станка Б; прибыль при этом равна `(9x+6y)` тыс. д. е. Из условия получаем ограничения

    5x+9y162,7x+3y136.\left\{\begin{array}{l}5x+9y\leq162,\\7x+3y\leq136.\end{array}\right.

    Множество точек, удовлетворяющих этой системе и условиям `x>=0`, `y>=0`, изображено на рис. 1 (это четырёхугольник `ABCO`).

    Прямые вида `9x+6y=c` имеют угловой коэффициент `k=-3/2`; это значение находится между угловыми коэффициентами прямых `AB` и `BC` (`-5/9` и `-7/3` соответственно), поэтому наибольшее значение числа `c` на данном множестве принимается, когда прямая `9x+6y=c` проходит через точку `B`. К сожалению, координаты точки `B` не целые  `(x=123/8,  y=227/24)`.

    Если в качестве `x` и `y` выберем целые части от координат точки `B` (т. е. `x=15`, `y=9`), то получим прибыль `9*15+6*9=189` тыс. д. е.

    Если мы увеличим `x`, то по рисунку видно, что становится существенным ограничение, задаваемое неравенством `7x+3y<=136` (т. к. справа от точки `B` именно прямая `BC` ограничивает сверху наше множество).

    Значит,  `y<=(136-7x)/3`.

    Если `x=16`, то `y<=24/3=8`, т. е. можем взять `y=8`, тогда прибыль равна `9*16+6*8=192` тыс. д. е.

    Посмотрим, возможно ли хоть в какой-нибудь точке области получить прибыль больше, чем в точке `M(16;8)`.  Для этого через точку `M(16;8)` проведём прямую вида `9x+6y=c` (т. к. прямая должна проходить через точку `M`, `c=9*16+6*8=192`,  т. е. её уравнение имеет вид `9x+6y=192`). Пусть она пересекает прямую `AB` в точке `P` (рис. 1). Прибыль, бо́льшая чем в точке `M` может получиться только в точках, расположенных внутри треугольника  `BMP`.

    Координаты точки `P` - это `x=252/17`, `y=166/17` (находим их, решив соответствующую систему уравнений). Таким образом, в треугольник `BMP` попадают только два целых значения `x:x=15` и `x=16`. Значение `x=16` мы уже рассмотрели. Если `x=15`, то наибольшее возможное значение `y` определяется из неравенства `5*15+9y<=162`, откуда `y<=29/3`, т. е. `y=9` (заметим, что точку `x=15`, `y=9`  мы уже рассмотрели ранее, и максимум прибыли в ней не достигается).

    Итак, максимальная прибыль достигается при производстве `16` изделий первого типа и `8` изделий второго типа и она равна `192000` д. е.

    Ответ

    `192000` д. е.; `16` изделий первого типа, `8` изделий второго типа.


    [1] Как правило, эта величина называется «процентной ставкой по вкладам».

    [2] Величина у. е. — так называемые «условные единицы» – заменяет собой наименование валюты, в которой денежные средства хранятся в банке. Такой валютой могут быть и российские рубли, и американские доллары, и евро, и любая иная валюта, в которой оформляется вклад. В данных расчётах подразумевается, что вклады оформлены в одной и той же валюте, в одних и тех же у. е.

    [3] Под процентом годовых подразумевается процентная ставка, на которую за год увеличивается вклад – если в банк был положен вклад в размере `1000` рублей под `12%` годовых, то по истечении календарного года сумма вклада увеличится на сумму начисленных за год (годовых) процентов и составит `1000+1000*12%=1120` рублей.

    [4] Сокращение «ООО» расшифровывается как «Общество с ограниченной ответственностью».

    [5] Это так называемая схема с дифференцированными платежами: каждый последующий платёж выходит меньше предыдущего, поскольку необходимо выплатить некоторую фиксированную часть долга плюс проценты, начисленные на оставшуюся сумму.

    [6] Строго говоря, слово «транш» означает некоторую долю (часть) кредита, передаваемую заёмщику одноразово, в виде одной порции — когда кредит выдаётся не единовременно, а в течение какого-то периода. Это бывает часто довольно удобно для бизнеса, состоящего из различных производственных процессов, поскольку уменьшает сумму начисляемых процентов. Однако траншем часто называют и обратный процесс — долю (часть, порцию) платежа в погашение долга.

    [7] Уставный капитал состоит из вкладов (долей) участников общества. Доли выражаются как в номинальной величине (в рублях), так и в процентах относительно величины уставного капитала.

    [8] Слово «депозит» обозначает денежные средства, переданные на хранение банку и подлежащие возврату в определенный срок при определенных условиях. Банк выплачивает вкладчику, разместившему средства на депозит, проценты за использование его средств согласно процентной ставке, установленной договором между банком и вкладчиком.



  • §7. Обратные и противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия

    Большинство теорем в математике может быть сформулировано так:

    Теорема

    для любого элемента `x` множества `U` из предложения `A(x)` следует предложение `B(x)`.

    `A(x)` называют условием теоремы, а

    `B(x)` – заключением.

    Для теоремы «если сумма цифр натурального числа делится на `3`, то само число делится на `3`» множество `U=NN`;

    `A(n)={`сумма цифр числа `n` делится на `3}`;

    `B(n)={`число `n` делится на `3}`.

    Рассмотрим подробнее теорему «диагонали прямоугольника равны».

    теорема «диагонали прямоугольника равны».

    При такой формулировке может показаться, что её нельзя записать в виде «для любого `x in U`, если `A(x)`, то `B(x)`». На самом деле это не так.

    Пусть `U_1` - множество всех четырёхугольников; `U_2` - множество всех параллелограммов. Поскольку в исходной формулировке насчёт множества  `U` ничего не сказано, мы можем выбрать его не единственным образом. Теорему можно сформулировать так:

    «для любого четырёхугольника, если он является прямоугольником, то у него диагонали равны»  или так:

    «для любого параллелограмма, если он является прямоугольником, то у него диагонали равны».

    Условие и заключение у этих двух теорем совпадают, однако они заданы на разных множествах, поэтому они являются различными теоремами.

    теорема обратной данной

    Если мы поменяем местами условие `A(x)` и заключение `B(x)`, то получим теорему «для любого элемента `x` из множества `U`, если выполнено `B(x)`, то выполнено `A(x)`», называемую теоремой, обратной данной.

    Для теорем, сформулированных в данном параграфе, обратными будут следующие:

    «если натуральное число делится на `3`, то и сумма его цифр делится на `3`»;

    «если у четырёхугольника диагонали равны, то он является прямоугольником»;

    «если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником».

    Из них верными являются только первая и третья теоремы, тогда как вторая неверна.

    Таким образом, теорема, обратная данной теореме, может быть как верной, так и неверной. Можно также заметить, что справедливость обратной теоремы зависит от того, на каком множестве рассматривается прямая теорема.

    Теорема противоположная данной 

    Если же мы в теореме заменим условие и заключение их отрицаниями, то получим теорему, противоположную данной:

    «для любого `x in U`: если `bar(A)(x)`, то `bar(B)(x)`».


    Теорема противоположная обратной

    Теорема, противоположная обратной, выглядит так:

    «для любого `x in U`: если `bar(B)(x)`, то `bar(A)(x)`».

    Несложно заметить, что сама теорема и теорема, противоположная обратной, эквивалентны (на стр. 15 показано что `A->B=bar(B)->bar(A)`). На этом основан хорошо вам известный метод доказательства от противного:

    если нам надо доказать, что для любого `x in U` из `A(x)` следует `B(x)`, то вместо этого можно доказать, что из отрицания `B(x)` следует невыполнение условия `A(x)` (т. е. отрицание `A(x)`).

    С понятием прямой и обратной теоремы тесно связано употребление слов «необходимо», «достаточно» и им подобных.

    Если теорема «для любого `x in U` из `A(x)` следует `B(x)`» верна, то предложение `A(x)` называется достаточным условием для `B(x)`, а предложение `B(x)` – необходимым условием для `A(x)`.

    Если справедлива не только прямая теорема, но и обратная, то `A(x)` является необходимым и достаточным условием для  `B(x)`, а `B(x)` – необходимым и достаточным для  `A(x)`. 

    Рассмотрим несколько примеров.

    Примеры

    1. Для того, чтобы число делилось на `9`, достаточно, но не необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на `27`.

    Действительно, теорема «если сумма цифр числа делится на `27`, то число делится на `9`» верна, а обратная ей («если число делится на `9`, то сумма его цифр делится на `27`») – нет.

    2. Для того, чтобы число делилось на `6`, необходимо (но недостаточно), чтобы число делилось на `2`.

    (Теорема «если число делится на `6`, то оно делится на `2`» верна, а теорема «если число делится на `2`, то оно делится на `6`» – неверна.)

    3. Для того, чтобы параллелограмм являлся ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны (т. к. и прямая, и обратная теоремы верны).


  • §6. Высказывания, зависящие от переменных. Метод математической индукции

    Высказывания, истинность которых зависит от одной или нескольких переменных, будем называть предложениями, зависящими от переменных. Например, предложение «`n` делится на `6`» зависит от переменной `n`, принимающей натуральные значения. При одних значениях переменной `n` оно истинно, а при других – ложно. Неравенство `2x+y>4`  является предложением, зависящим от двух переменных `x` и `y`. При `x=3`, `y=-1` оно истинно, а при `x=-1`, `y=3`  – ложно.

    Предложения, зависящие от переменной, обозначают `A(x)`, `B(n)`, `C(x;y)` и т. д. Для каждого предложения необходимо указывать, на каком множестве переменных оно рассматривается.

    Например, предложение «`n` делится на `6`» рассматривается на множестве натуральных чисел. Когда ясно, о каком множестве идёт речь, для краткости вместо `A(x), x in U` пишут просто `A(x)`.

    Множество `U`, на котором рассматривается предложение `A(x)`, можно разбить на два подмножества: одно из них, содержащее те и только те элементы из `U`, для которых `A(x)` истинно, называется множеством истинности предложения `A(x)`; второе из них содержит те и только те элементы из `U`, для которых `A(x)` ложно. Если первое из этих подмножеств обозначить через `W`, то второе подмножество можно обозначить `bar(W)`, так как оно является дополнением множества `W` до множества `U`.

    Например, для предложения `x-|x|>=0` множеством истинности является `W=[0;+oo)`, а `bar(W)=(-oo;0)`.

    Два предложения `A(x)` и `B(x)`, заданные на одном и том же множестве, называются равносильными, если у них совпадают множества истинности. Например, неравенства `x-5>0` и `x^4(x-5)>0` равносильны, так как у них одинаковые множества решений, то есть одинаковые множества, при которых они истинны.

    На предложения, зависящие от переменных, переносятся логические операции, введённые нами в предыдущем параграфе для высказываний. Например, импликацией `A(x)->B(x)` предложений `A(x)` и `B(x)`, определённых на множестве `U`, называется предложение, определённое на том же множестве `U`и обращающееся в ложное высказывание тогда и только тогда, когда условие `A(x)` истинно, а заключение `B(x)` ложно.

    Пример 6

    Даны два предложения:

    `A(x):x-2>0`, `B(x):x+2>=0`,

    определённые при `x in RR`. В чём заключаются следующие предложения, и каковы множества их истинности:

    а) `A(x)+B(x)`; 

    б)  `A(x)*B(x)`;

    в)  `A(x)->B(x)`;

    г)  `B(x)->A(x)`;

    д)  `A(x)*bar(B)(x)`;

    е) `bar(B(x)) -> bar(A(x))`?

    Решение

    а) Предложение `A(x)+B(x)` означает, что выполнено хотя бы одно из двух неравенств: `x-2>0` или `x+2>=0`, то есть     

    Ax+Bxx-2>0,x+20,x-2A\left(x\right)+B\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-2>0,\\x+2\geq0,\end{array}\right.\Leftrightarrow x\geq-2.

    Промежуток `[-2;+oo)` и есть множество истинности `A(x)+B(x)`.

    б) Предложение `A(x)*B(x)` состоит в том, что справедливы оба неравенства `x-2>0` и `x+2>=0`:

    Ax·Bxx-2>0,x+20,x>2A\left(x\right)\cdot B\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-2>0,\\x+2\geq0,\end{array}\right.\Leftrightarrow x>2

    Множество истинности: `x>2`.

    в) Предложение `A(x)->B(x)` обозначает следующее: «если `x-2>0`, то `x+2>=0`». Оно верно для всех `x in RR`, т. е.  `RR` – множество истинности.

    г) Предложение «если `x+2>=0`, то `x-2>0`» истинно для `x in(-oo;-2)uu(2;+oo)` и ложно для `x in [-2;2]`.

    д) Множество истинности `bar(B)(x)` задаётся неравенством `x+2<0`. Таким образом,

    Ax·B¯xx-2>0,x+2<0,A\left(x\right)\cdot\overline B\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-2>0,\\x+2<0,\end{array}\right.

    а значит, множество истинности пусто.

    е) «Если `x+2<0`, то `x-2<=0`» – верно для всех ` x in RR`.

    В математике часто приходится доказывать истинность предложений `A(n)`, зависящих от натуральной переменной `n`.

    Одним из методов доказательства является принцип математической индукции. Суть его состоит в следующем. Предложение `A(n)` считается истинным для всех натуральных `n`, если

    11^\bigcirc Предложение `A(n)` верно для  `n=1` (база индукции);

    22^\bigcirc Для любого натурального числа `k` из предположения, что `A(k)` верно, следует, что `A(k+1)` верно (шаг индукции).

    Пример 7
    Докажите, что при всех `n in NN` число `11^(n+1)+12^(2n-1)` делится на `133`.
    Решение

    1) Проверяем базу индукции: при `n=1` получаем число `121+12=133`, которое делится на `133`.

    2) Предполагаем, что утверждение верно для некоторого `k in NN`, т. е. верно `A(k)`:

    `11^(k+1)+12^(2k-1) vdots 133`.                                                                               (12)

    Утверждение `A(k+1)` имеет вид:

     `11^(k+2)+12^(2k+1) vdots 133`.                                                                              (13)

    Наша задача такая: доказать `A(k+1)` (т. е. (13)), используя `A(k)` (т. е. (12)). Выполним следующие преобразования:

    `11^(k+2)+12^(2k+1)=11*11^(k+1)+144*12^(2k-1)=`

    `=11*11^(k+1)+11*12^(2k-1)+133*12^(2k-1)=`

    `=11*(11^(k+1)+12^(2k-1))+133*12^(2k-1)`.

    В последнем выражении слагаемое `11*(11^(k+1)+12^(2k-1))` делится на `133` по предположению индукции (12); ясно также, что второе слагаемое делится на `133`; поэтому их сумма также делится на `133`, и наше утверждение доказано.

    Пример 8

    Докажите, что при `x> -1`, `x!=0` для всех натуральных `n`, кроме `n=1`, выполнено неравенство Бернулли

     `(1+x)^n>1+nx`.                                                                      (14)

    Решение

    Здесь мы имеем дело с предложениями `A(n)` при `n in NN`, `ul(n>=2)`, поэтому принцип математической индукции применим в немного другой форме.

    1) Базой индукции служит проверка (14) для  `ul(n=2)`.

    `(1+x)^2>1+2x iff x^2>0`, что верно, т. к. по условию `x!=0`.

    2) Предполагаем, что (14) верно для некоторого натурального `k` `(k>=2)`, т. е. выполнено неравенство

                                    `(1+x)^k>1+kx`.                                                                     (15)

    Наша задача: используя предположение индукции (15), доказать утверждение (14) для `n=k+1`, т. е. доказать, что

    `(1+x)^(k+1)>1+(k+1)x`.                                                              (16)

    Чтобы это сделать, умножим обе части неравенства (15) на `1+x` (по условию `1+x>0`):

    `(1+x)^(k+1)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x`

    (мы отбросили слагаемое `kx^2`, так как оно положительно). Неравенство доказано.

  • §5. Высказывания. Операции над высказываниями


    Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором  имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

    Например:

    1. Днепр впадает в Каспийское море.

    2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.

    3. Муха – это земноводное.

    Очевидно, первое и третье высказывания ложны, а второе – истинно.

    Встречаются также и неопределённые высказывания – такие высказывания, истинность или ложность которых установить невозможно, например:

    1. В МФТИ поступить легко.

    2. В Москве сегодня плохая погода.

    3. `y<10`.

    Некоторые имеющие смысл предложения вообще не являются высказываниями, например:

    – определения («параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны»);

    – вопросы («сколько времени?»);

    – призывы («не переходите улицу на красный свет!»).

    Если у нас есть несколько высказываний, то при помощи так называемых логических связок или операций («или», «и», «не», «если…, то…») из них можно образовывать новые высказывания. Рассмотрим каждую из них в отдельности.

    I. Отрицание.

    Каждому высказыванию `A` можно сопоставить утверждение «высказывание `A` ложно», которое само является высказыванием, так как оно либо истинно, либо ложно. Это новое высказывание обозначают `bar(A)` и называют отрицанием `A`. В нашей речи отрицанию часто соответствует частица «не», которую мы присоединяем к сказуемому или опускаем, если она уже была в исходном высказывании например: если

    `A={`на сосне растут помидоры`}`, а `B={6`  - это не простое число`}`, то  

    `bar(A)={`на сосне не растут помидоры`}`, а `bar(B)={6`  - это простое число`}`.

    Из двух высказываний `A` и `bar(A)` всегда одно является истинным, а другое – ложным.

    II. Сумма высказываний.

    Из двух данных высказываний `A` и `B` можно составить новое высказывание, называемое суммой высказываний `A` и `B` и обозначаемое `A+B`. Высказывание `A+B`. истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний `A`, `B`; если же оба высказывания `A` и `B` ложны, то `A+B` также ложно. Хорошо известный вам пример суммы высказываний – это нестрогое неравенство. Действительно, неравенство `x<=y` справедливо тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из двух высказываний `x=y` или `x<y`. В нашей речи сумма высказываний обычно образуется с помощью союза «или». Рассмотрим высказывания `A` и `B` из предыдущего пункта. Очевидно, что `A` и `bar(B)` ложны, а `bar(A)` и `B` истинны. Значит, высказывания `A+B`, `bar(A)+B`, `bar(A)+bar(B)` истинны, а высказывание `A+bar(B)` ложно.

    III. Произведением высказываний

    `A` и `B` (обозначается `A*B` или `AB`) называют такое высказывание, которое истинно в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания `A` и `B`. Обычно произведение двух высказываний получают при помощи союза «и».

    Например, высказывание «река Урал впадает в Каспийское море и ель – это хвойное дерево» является истинным, так как каждая из двух составляющих его частей истинна. Высказывание «Пушкин получил Нобелевскую премию и `7` – простое число» ложно, так как ложна его первая часть. Уже встречавшийся вам пример произведения двух высказываний – это двойное неравенство: мы считаем, что `a<b<c` истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства `a<b` и `b<c`.  

    IV. Импликация.

    Высказывание, образованное из данных высказываний `A` и `B` при помощи слов «если…, то…», называют импликацией  высказываний и обозначают `A->B`. Высказывание `A` называют условием, а высказывание `B` - заключением.

    Импликация `A->B` считается ложным высказыванием только тогда, когда высказывание `A` истинно, а высказывание `B` ложно. В других случаях `A->B` истинна. Рассмотрим высказывания:

    – если `36<0`, то `40` делится на `10`;

    – если `9` делится на `7`, то Париж находится в Антарктиде;

    – если `13` – простое число, то неравенство `x^2<7` не имеет решений;

    – если `13` – простое число, то неравенство `x^2< -7` не имеет решений;

    Из них ложным является только третье (в нём условие истинно, а заключение ложно), все остальные высказывания истинны.

    Ещё раз обратим ваше внимание, что если `A` ложно, то импликация `A->B` истинна для любого высказывания `B`.

    Таким образом, из неверного высказывания может следовать как неверное, так и верное высказывание.

    V. Рассмотрим свойства логических операций.

    Два высказывания называются равносильными, если они либо оба истинны, либо оба ложны. Равносильные высказывания обозначают знаком `=` (или знаком `iff` в том случае, когда высказывания представляют собой уравнения или неравенства).

    Для любых высказываний `A`, `B` и `C` выполнены следующие свойства:

    `A+B=B+A`, (2)
    `(A+B)+C=A+(B+C)`,  (3)
    `AB=BA`,  (4)
    `(AB)C=A(BC)`,  (5)
    `A(B+C)=AB+AC`, (6)
    `A+BC=(A+B)(A+C)`, (7)
    `bar(A+B)=bar(A)*bar(B)`, (8)
    `bar(AB)=bar(A)+bar(B)`, (9)
    A¯¯=A\overline{\overline A}=A, (10)
    `A->B=bar(A)+B`. (11)

    Докажем, например, формулу (11). Для двух высказываний `A` и `B` возможны 4 различных случая:

    1) `A` и `B` истинны;

    2)  `A` истинно, а `B` ложно;

    3)  `A` ложно, а `B` истинно;

    4) `A` и `B` ложны.

    Убеждаемся, что в каждом из четырёх случаев левая и правая части (11) равны (в 1, 3, 4 случаях обе части истинны, а в случае 2 обе части ложны).

    С помощью формул (2) – (11) можно проводить преобразования логических выражений точно так же, как в обычной алгебре.

    Например,

    B¯A¯=(11)B¯¯+A¯=(10)B+A¯=(2)A¯+B=(11)AB\overline B\rightarrow\overline A\overset{(11)}=\overline{\overline B}+\overline A\overset{(10)}=B+\overline A\overset{(2)}=\overline A+B\overset{(11)}=A\rightarrow B,

     то есть  `bar(B) -> bar(A) =A->B`.

    Пример 5

    Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг», но ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо её цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

    Решение

    Рассмотрим высказывания:

    `A={`машина синего цвета`}`;

    `B={`машина марки «Бьюик»`}`;

    `C={`машина чёрного цвета`}`;

    `D={`машина марки «Крайслера»`}`;

    `E={`машина марки «Форд Мустанг»`}`.

    Поскольку каждый участник назвал верно либо марку машины, либо её цвет, то из показаний следует истинность высказываний `A+B` (Браун), `C+D` (Джонс) и `bar(A)+E` (Смит). Значит, будет истинным и произведение этих трёх высказываний `P=(A+B)(C+D)(bar(A)+E)`. Раскроем скобки:

    `P=(AC+AD+BC+BD)(bar(A)+E)=`

    `=ACbar(A)+ACE+ADbar(A)+ADE+BCbar(A)+BCE+BDbar(A)+BDE`.

    Сумма восьми слагаемых может быть истинным высказыванием только в том случае, когда хотя бы одно из них истинно. Из определения высказываний `A`, `B`, `C`, `D`, `E` сразу же следует, что все слагаемые, кроме пятого ложны. Значит, истинно пятое слагаемое `BCA`.

    Ответ

    Чёрный «Бьюик».



  • *§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества

    Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m(B)=10`. Если же мы имеем дело с бесконечными множествами, например, множеством треугольников на плоскости или множеством натуральных чисел, то такой способ сравнения множеств не подходит.

    Рассмотрим способ сравнения множеств, который применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Допустим, к вам пришли гости, и вы должны накрыть стол. Для этого совсем не обязательно сначала пересчитать гостей, а потом отсчитать нужное количество тарелок и приборов. Можно просто рассадить гостей и перед каждым поставить тарелку и положить прибор. Такое попарное сочетание элементов разных множеств называется взаимно однозначным соответствием.

    Между множествами `A` и `B` установлено взаимно однозначное соответствие, если:

    а) каждому элементу `a in A` соответствует единственный элемент `b in B`;

    б) каждый элемент `b in B` соответствует некоторому элементу `a in A`;

    в) разным элементам множества `A` соответствуют разные элементы множества `B`.

    Например, соответствия  между  множествами `A` и `B`, изображённые на рис. 3 и рис. 4, не являются взаимно однозначными, так как не выполнено условие  а); на рис. 5 не выполнено условие б), а на рис. 6 – условие в). И только на рис. 7 изображено взаимно однозначное соответствие множеств.



    Множества `A` и `B` называются эквивалентными, или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Данное определение годится для любых множеств, а не только для конечных.

    Рассмотрим несколько примеров.

    1. Множество натуральных чисел и множество чётных положительных чисел эквивалентны, т. к. между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:


    `1` `2` `3` `...` `n` `...`
    \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow
    `2` `4` `6` `...` `2n` `...`


    Так как множество чётных положительных чисел является подмножеством множества натуральных чисел, то данный пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощным своему подмножеству. В случае конечных множеств такая ситуация невозможна: между конечными множествами `A` и `B` можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда `m(A)=m(B)`.

    2. Множество целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел `NN`:


    `0` `1` `-1` `2` `-2` `...` `n` `-n` `...`
    \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow
    `1` `2` `3` `4` `5` `...` `2n` `2n+1` `...`


    Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел `NN`, называется счётным множеством. Иначе говоря, множество счётно, если все элементы этого множества можно занумеровать при помощи натуральных чисел. Таким образом, множество чётных положительных чисел и множество целых чисел счётны.

    3. Множество положительных рациональных чисел счётно. В самом деле, представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби и запишем его в бесконечную таблицу, а затем пронумеруем числа в таблице следующим образом:


    `1` `2` `3` `4` `5` `...`

       

    `1/2` `3/2` `5/2` `7/2` `9/2` `...`  
    `1/3` `2/3` `4/3` `5/3` `7/3` `...`


    Таблица уходит в бесконечность вправо и вниз. Числа в таблице не повторяются (так, если есть число `5//2`, то нет числе `10//4`, `15//6` и т. д.). Обозначим числа таблицы кружочками и пронумеруем их следующим образом:

    Под номером `1` стоит число `1`, под номером `2` – число `2`, под номером `3` – число `1//2`, под номером `4` – число `1//3` и т. д.

    4. Множества `A={1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}` и `B={0,1/2,1/3,...,1/n,...}` счётны и, следовательно, эквивалентны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие следующим образом:

    `A` `1/2` `1/3` `1/4` `...` `1/n` `1/(n+1)` `...`
    \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow
    `N` `1` `2` `3` `...` `n-1` `n` `...`
    \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow \updownarrow
    `B` `0` `1/2` `1/3` `...` `1/(n-1)` `1/n` `...`
    Замечание

    Аналогично доказывается, что любые два счётных множества равномощны.

    5. Любой отрезок `[a,b]`, где `a!=b`, эквивалентен отрезку `[0,1]`. Искомое взаимно однозначное соответствие можно задать линейной функцией вида  `y=ax+beta` `(x in [0;1],  y in [a;b])`.  При этом `alpha` и `beta` подберём так, чтобы выполнялись условия `y(0)=a`, `y(1)=b`  (рис. 8).

               

    Получаем условия `a=alpha*0+beta`, `b=alpha+beta`, откуда `alpha=b-a`, `beta=a`. Значит, функция `y=(b-a)x+a` ставит в соответствие каждому `x in[0;1]` значение `y in [a;b]`. Очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным, т. к. `x` единственным образом выра-жается через `y` по формуле `x=(y-a)/(b-a)`. Можно также задать взаимно однозначное соответствие графически (рис. 9).

    6. Установим взаимно однозначное соответствие между точками интервала `(0;1)` и точками полуинтервала `[0;1)`. Эти два множества отличаются всего лишь одной точкой, однако установить взаимно однозначное соответствие не так просто. Рассмотрим множества `A` и `B` из пункта 4.

    Заметим, что множество `(0;1)\\A` и множество `[0;1)\\B` равны. Обозначим `C=(0;1)\\A=[0;1)\\B`. Тогда  `(0;1)=AuuC`, `[0;1)=BuuC`.

    Таким образом, и интервал, и полуинтервал мы представили в виде объединения счётного множества и одного и того же множества `C`. Так как `A` и `B` равномощны, данные множества также будут равномощны. Установить взаимно однозначное соответствие можно так. Пусть `x in (0;1)`. Если `x in A`, то поставим ему в соответствие `y in B` по закону, описанному в пункте 4; если же `x in C`, то поставим ему в соответствие себя: `y=x inC`. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между `(0;1)` и `[0;1)`. Следовательно, множества `(0;1)` и `[0;1)` эквивалентны, или равномощны.

    В заключение заметим, что не все бесконечные множества являются счётными; например, можно доказать, что множество точек любого отрезка `[a,b]`, где `a<b`, не является счётным.

  • §3. Конечные множества

    Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.

    Пусть `A` – некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если

    `A={x in RR | x^2-1=0}`,  то  `m(A)=2`. 

    Число элементов пустого множества равно нулю: `m(O/)=0`.

    Если конечное множество `A` представимо в виде объединения попарно непересекающихся множеств `A_1,  A_2, ... ,  A_l`,  то

    `m(A)=m(A_1)+m(A_2)+...+m(A_l)`.

    Для любых двух конечных множеств `A` и `B` справедливо равенство

    `m(A uu B)=m(A)+m(B)-m(A nnB)`,                                                      (1)

    называемое формулой включений и исключений.

    В самом деле, пусть множества `A` и `B` не пересекаются, т. е.  `A nn B=O/`, `m(A nn B)=0`.

    Тогда их объединение получается в результате добавления элементов одного множества к элементам другого. Следовательно, `m(A uu B)=m(A)+m(B)`.

    Если же `A nn B!= O/`, то число общих элементов у множества `A` и `B` равно `m(A nn B)`. Объединение множеств `A` и `B` получается путём добавления к элементам множества `A` всех элементов множества `B`, которые не входят в `A`. Число таких элементов равно `m(B)-m(A nn B)`.  Поэтому    

    `m(A uu B)=m(A)+[m(B)-m(A nn B)]=m(A)+m(B)-m(A nn B)`.

    Пример 4

    В классе `30` учеников. Известно, что `18` ребят имеют спортивный разряд по лыжам, а `16` – по плаванию. Десять учеников не имеют разряда ни по плаванию, ни по лыжам. Сколько ребят имеют спортивный разряд и по плаванию, и по лыжам?

    Решение

    Пусть `A` – множество учеников, имеющих разряд по лыжам, а `B` – множество учеников, имеющих разряд по плаванию. Тогда в силу условия задачи `m(A)=18`, `m(B)=16`, `m(A uu B)=30-10=20`.  а  Применив равенство (1), имеем:

    `m(A nn B)=-m(A uu B)+m(A)+m(B)=-20+18+16=14`.

    Таким образом, спортивный разряд и по лыжам, и по плаванию имеют `14` учеников.

  • §2. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение

    Пусть `A` и `B` – произвольные множества. 

    Объединением множеств `A` и `B` называется множество `C`, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств `A` или `B` (обозначение: `C=AuuB`).


    Пересечением множеств `A` и `B` называется множество `C`, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству `A`, и множеству `B` (обозначение: `C=AnnB`).

    Пример 2

    `A={1,3,5,7,9}`,                              `B={1,2,3,4,5}`.

    `A uu B={1,2,3,4,5,7,9}`,              `A nn B={1,3,5}`.

    Пример 3

    `A=[-1,1]`,                                       `B=(0,4)`.

    `AuuB=[-1,4)`,                             `A nnB=(0,1]`.

    Аналогично определяется объединение и пересечение любого числа множеств. Например, объединение `AuuBuuCuuD` есть множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств `A`, `B`, `C` или `D`, а пересечение `AnnBnnC` есть множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих всем трём множествам `A`, `B` и `C`.

    Определения и свойства операций над множествами будем для наглядности иллюстрировать рисунками; условимся изображать множества `A`, `B`, `C`, … в виде кругов. Тогда:

     

    (закрашены соответственно множества `AuuB`, `AnnB`, `AuuBuuCuuD` и `AnnBnnC`). Такие рисунки называют диаграммами Эйлера.

    Если множества `A` и `B` не имеют ни одного общего элемента, то их пересечение есть пустое множество: `AnnB=O/`.

    Свойства операций объединения и пересечения

    `AuuB=BuuA`,

    `(AuuB)uuC=Auu(BuuC)`,

    `AuuA=A`,

    `Auu(BnnC)=(AuuB)nn(AuuC)`,

    `AnnB=BnnA`,

    `(AnnB)nnC=Ann(BnnC)`,

    `AnnA=A`,

    `Ann(BuuC)=(AnnB)uu(AnnC)`.


    Если множества `A` и `B` таковы, что `BsubA`, то `AuuB=A`, `AnnB=B`.

    Докажем, например, равенство `Auu(BnnC)=(AuuB)nn(AuuC)`.  

    Проведём доказательство, пользуясь определением равенства множеств. Заметим, что если мы доказываем, что множества, скажем, `X` и `Y`, равны, то доказательство проводится в два шага. Сначала показываем, что любой элемент множества `X` принадлежит множеству `Y`, т. е. `XsubY` (шаг 1), а затем, что любой элемент  множества `Y` принадлежит множеству `X`, т. е. `YsubX` (шаг 2). Тогда `X=Y`, т. к.  `XsubY` и `XsupY`.

    Доказательство

    Пусть `x in Auu(BnnC)`. Тогда из определения объединения множеств следует, что либо `x inA`, либо `x in BnnC` (либо принадлежит обоим множествам). Если `x in A`, то `x in AuuB` и `x in AuuC`, следовательно, по определению пересечения множеств, `x in (AuuB)nn(AuuC)`. Если `x inBnnC`, то `x inB` и `x inC`. Следовательно,  `x inAuuB`, `x in AuuC`, поэтому `x in (AuuB)nn(AuuC)`. Таким образом доказано, что `Auu(BnnC)sub(AuuB)nn(AuuC)` (шаг 1). Аналогично доказывается, что `Auu(BnnC)sup(AuuB)nn(AuuC)` (шаг 2). Следовательно,  по  определению  равенства  множеств,  `Auu(BnnC)=(AuuB)nn(AuuC)`.

    Можно заметить, что объединение и пересечение множеств обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам суммы и произведения чисел. Например, `AuuB=BuuA` и `a+b=b+a`, `AnnB=BnnA` и `ab=ba`, `(AuuB)nnC=(AnnC)uu(BnnC)` и `(a+b)c=ac+bc` и т. д. Однако, далеко не все операции над множествами аналогичны арифметическим операциям. Например, `AnnA=A` и `AuuA=A` для любого множества `A`, в то время как соответствующие равенства верны не для всех чисел.

    Пусть `A` и `B` – произвольные множества.

    Разностью  множеств `A` и `B` называется множество `C`, состоящее из тех и только тех элементов множества `A`,  которые не содержатся в множестве `B` (см. рис. 1). Обозначение: `C=A\\B`.

    Иногда бывает, что все рассматриваемые в данный момент множества являются подмножествами некоторого множества `E`, называемого универсальным множеством. Например, если мы имеем дело с множествами, элементами которых являются действительные числа, то в качестве универсального множества `E` можно взять множество `RR` всех действительных чисел.

    Разность между множеством `E` и содержащимся в нём подмножеством `A` обычно называют дополнением `A` в `E` и обозначают `bar(A)`, если из контекста ясно, в каком множестве ищется дополнение к `A` (см. рис. 2). Таким образом,

    `A\\B={x in A | x !in B}`,  `bar(A)={x in E | x !in A}`.

    Из определения следует, что для любого множества `A subE`

    `Ann bar(A)=O/`,

    `A uu bar(A)=E`,

    `(bar(A))=A`.

    Закон де моргана

    Для любых двух подмножеств `A` и `B` основного множества `E` справедливы равенства

    1. `bar(A uuB)=bar(A) nn bar(B)`,

    2. `bar(A nnB)=bar(A) uu bar(B)`,

    которые называются законами де Моргана. Второй закон де Моргана проиллюстрирован ниже.

    Докажем второй закон де Моргана (обратите внимание, что сам рисунок не является доказательством, он лишь упрощает проведение доказательства, иллюстрируя то, о чём говорится).

    Докозательство

    Пусть `x in bar(AnnB)`, т. е. `x in E`, но `x !in AnnB`. Следовательно, либо `x !in A`, либо `x !in B` (либо `x` не принадлежит ни `A`, ни `B`). Но если `x !inA`, то `x in bar(A)`, а если `x !in B`, то `x in bar(B)`.  Следовательно, в любом случае `x in bar(A) uu bar(B)`, т. е. `bar(AnnB)sub bar(A) uu bar(B)`. Наоборот, пусть `x in bar(A) uu bar(B)`. Тогда либо `x in bar(A)`, либо `x in bar(B)` (либо `x` принадлежит и `bar(A)`, и `bar(B)`). Если `x in bar(A)`, то `x !in A`, если же `x in bar(B)`, то `x !inB`. Таким образом, в любом случае `x` не принадлежит хотя бы одному из множеств `A` или `B`. Следовательно, `x !in AnnB`, т. е. `x in bar(AnnB)`. Поэтому `bar(AnnB)sup bar(A)uubar(B)`. Второй закон де Моргана доказан.


  • §1. Множество. Подмножество. Равенство множеств. Числовые множества и множества точек

    Понятие множества – одно из первичных и, следовательно, неопределяемых понятий математики; понятие «множество» столь общее, что трудно дать ему какое-нибудь определение, которое не сводилось бы к замене слова «множество» равнозначными выражениями: совокупность, собрание элементов и т. д. В качестве примера можно рассмотреть множество учеников вашего класса, множество корней уравнения, множество  прямых на плоскости,  множество точек данной  прямой  и  т. д.

    Элементы множества – это то, из чего оно состоит. Например, числа `1` и `-1` есть элементы множества корней уравнения `x^2-1=0`, а окружность с центром в начале координат и радиусом `4` есть элемент множества всех окружностей и т. д.

    Обычно множества обозначают большими буквами:  `A`, `B`, `X`, `N`, ..., а их элементы – соответствующими маленькими буквами: `a`, `b`, `x`, `n`, ... .

    В частности, приняты следующие обозначения:

     обозначения

    `NN` – множество натуральных чисел;

    `ZZ`  – множество целых чисел;

    `QQ` – множество рациональных чисел;

    `RR`  – множество действительных чисел (числовая прямая).

    Если `a` есть элемент множества, то пишут `a in A` (читается: элемент `a` принадлежит множеству `A`). Запись a¯Aa\overline\in A (или `a !in A`) означает, что `a` не является элементом множества `A`. Например,  `3 in NN`, `1//3 !in ZZ`.

    Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить, является он элементом данного множества или нет.

    Рассмотрим способы, которыми может быть задано множество. Если множество состоит из конечного числа элементов, то оно может быть задано:

    а) перечислением всех своих элементов, при этом порядок расположения элементов не существенен. Например, множество `A` корней уравнения `x^2-5x+6=0` можно задать так: `A={2,3}` или  `A={3,2}`.

    б) указанием отличительных свойств, которые выделяют элементы множества из элементов уже известного более широкого основного множества; например, `A={x in RR|x^2-5x+6=0}` означает, что множество `A` состоит из тех элементов  множества действительных чисел, для которых справедливо равенство  `x^2-5x+6=0`.

    Очевидно, что перечислить бесконечное число элементов невозможно, поэтому для задания бесконечных множеств используется только второй способ. Например, `B={x in RR|x>=10}` есть множество решений неравенства `x>=10`.

    Может случиться, что ни один элемент не обладает отличительным свойством, определяющим множество `A`. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается `O/`. Например, множество `A` натуральных чисел, меньших, чем `1//2`, есть пустое множество; пишут `A=O/`.

    Если все элементы множества `A` являются и элементами множества `B`, то множество `A` называется подмножеством множества `B` и говорят, что множество `A` содержится в множестве `B`. Записывают это так: `A sub B` или `Bsup A`. Например, множество всех натуральных чисел `NN` есть подмножество всех целых чисел `ZZ:NNsubZZ`.  

    Из определения следует, что само множество также является своим подмножеством, т. е. всегда `A subA`.

    Полагают также, что пустое множество `O/` является подмножеством любого множества `A:O/ sub A` для любого множества `A`. В самом деле, так как пустое множество не содержит ни одного элемента, то в нём нет и элементов, которые бы не принадлежали множеству `A`.

    Если `A subB` и `B sub A`, то множества `A` и `B` называют равными и обозначают: `A=B`. Например, множество `A` всех корней уравнения `x^2-2x+1=0` и множество `B` всех натуральных чисел, меньших, чем `3//2`, равны: и множество `A`, и множество `B` содержат один элемент – натуральное число `1`.

    Пример 1

    Изобразите на координатной плоскости множество `A={(x;y)| |x+y|<1}`.

    Решение

    x+y<1-1<x+y<1y<1-x,y>-1-x.\left|x+y\right|<1\Leftrightarrow-1<x+y<1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y<1-x,\\y>-1-x.\end{array}\right.

    Границы изображены пунктирной линией, так как они не входят в множество .

                   


  • §7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям

    В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.

    Пример 1

    Решить систему уравнений 2x+3y=8,xy=2.\left\{\begin{array}{l}2x+3y=8,\\xy=2.\end{array}\right.

    Решение

    В этой системе уравнение `2x+3y=8` является уравнением первой степени, а уравнение `xy=2` - второй. Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим `x` через `y` и подставим это выражение  для `x` во второе уравнение системы: `x=(8-3y)/2=4-3/2y`, `(4-3/2y)y=2`.

    Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению

    `8y-3y^2=4`; `3y^2-8y+4=0`.

    Находим его корни: `y=(4+-sqrt4)/3=(4+-2)/3`, `y_1=2`, `y_2=2/3`.

    Из условия `x=4-(3y)/2` получим `x_1=1`, `x_2=3`.

    Ответ

    `(1;2)`  и  `(3;2/3)`.

    Пример 2

    Решите систему уравнений: x2+y2=41,xy=20.\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=41,\\xy=20.\end{array}\right.

    Решение

    Умножим обе части второго уравнения на `2` и сложим с первым уравнением системы: `x^2+y^2+2xy=41+20*2`, `(x+y)^2=81`, откуда следует, что `x+y=9` или `x+y=-9`.

    Если `x+y=9`, то `x=9-y`. Подставим это выражение для `x` во второе  уравнение системы:

    `(9-y)y=20`, `y^2-9y+20=0`,

    `y=(9+-sqrt(81-80))/2=(9+-1)/2`, `y_1=5`, `y_2=4`,  `x_1=4`,  `x_2=5`. 

    Из условия `x+y=-9` получим решения `(-4;-5)` и `(-5;-4)`.

    Ответ

    `(+-4;+-5)`, `(+-5;+-4)`.


    Пример 3

    Решите систему уравнений: x-y=1,x-y=5.\left\{\begin{array}{l}\sqrt x-\sqrt y=1,\\x-y=5.\end{array}\right.

    Решение

    Запишем второе уравнение системы в виде `(sqrtx-sqrty)(sqrtx+sqrty)=5`.

    Используя уравнение `sqrtx-sqrty=1`, получаем: `sqrtx+sqrty=5`.

    Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную данной:

    x-y=1,x+y=5.\left\{\begin{array}{l}\sqrt x-\sqrt y=1,\\\sqrt x+\sqrt y=5.\end{array}\right.

    Сложим эти уравнения, получим: `2sqrtx=6`, `sqrtx=3`, `x=9`. 

    Подставляя значение  `x=9` в  первое  уравнение  системы,  получаем `3-sqrty=1`,  откуда следует, что `y=4`.

    Ответ

    `(9;4)`.  

    Пример 4

    Решите систему уравнений: x+yx+y-4=-4,x2+y2xy=-160.\left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)\left(x+y-4\right)=-4,\\\left(x^2+y^2\right)xy=-160.\end{array}\right.

    Решение

    Введём новые переменные `x+y=u` и `xy=v`; так как  

    `x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-2xy=u^2-2v`,

    то данная система приводится к виду uu-4=-4,u2-2vv=-160.\left\{\begin{array}{l}u\left(u-4\right)=-4,\\\left(u^2-2v\right)v=-160.\end{array}\right.

    Решаем уравнение: `u(u-4)=-4`, `u^2-4u+4=0`, `(u-2)^2=0`, `u=2`.

    Подставляем это значение для  в уравнение:

    `(u^2-2v)v=-160`, `(4-2v)v=-160`, `2v^2-4v-160=0`,

    `v^2-2v-80=0`, `v=1+-sqrt(1+80)=1+-9`, `v_1=10`, `v_2=-8`.

    Решаем две системы уравнений: x+y=2,xy=10\left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\xy=10\end{array}\right.    и   x+y=2,xy=-8.\left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\xy=-8.\end{array}\right.

    Обе системы решаем методом подстановки. Для первой системы имеем:

    `x=2-y`, `(2-y)y=10`, `y^2-2y+10=0`.

    Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем:

    `x=2-y`, `(2-y)y=-8`, `y^2-2y-8=0`.

    `y=1+-sqrt(1+8)=1+-3`, `y_1=4`, `y_2=-2`. Тогда `x_1=-2` и `x_2=4`.

    Ответ

    `(-2;4)`  и  `(4;-2)`.


    Пример 5

    Решите систему уравнений: x2+4xy=3,y2+3xy=2.\left\{\begin{array}{l}x^2+4xy=3,\\y^2+3xy=2.\end{array}\right.

    Решение

    Из первого уравнения, умноженного на `2`, вычтем второе уравнение, умноженное на `3`, получим: `2x^2-xy-3y^2=0`.

    Если `y=0`, тогда и `x=0`, но пара чисел `(0;0)` не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части равенства на `y^2`, получим:

    `2(x/y)^2-x/y-3=0`,  `x/y=(1+-5)/4`,  `x=3/2y`  и  `x=-y`.

    Подставляем значение `x=(3y)/2` в первое уравнение системы:  

    `9/4y^2+6y^2=3`;  `11y^2=4`,  `y_1=2/(sqrt(11))`,  `y_2=-2/(sqrt(11))`, `x_1=3/(sqrt(11))`,  `x_2=-3/(sqrt(11))`.

    Подставляем значение `x=-y` в первое уравнение системы:

    `y^2-4y^2=3`,  `-3y^2=3`.

    Решений нет.

    Ответ

    `(3/(sqrt(11));2/(sqrt(11)))`,  `(-3/(sqrt(11));-2/(sqrt(11)))`


    Пример 6

    Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на `9` больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается `4` и в остатке `3`. Найти это двузначное число.

    Решение

    Пусть двузначное число равно `10a+b`, где `a` и `b` – цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: `a^2+b^2=9+2ab`,  а из второго условия получаем:  `10a+b=4(a+b)+3`.

    Решаем систему уравнений: a2+b2=9+2ab,6a-3b=3.\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2=9+2ab,\\6a-3b=3.\end{array}\right.

    Из второго уравнения системы получаем

    `6a-3b=3`,  `2a-b=1`,  `b=2a-1`.                          

    Подставляем это значение для `b` в первое уравнение системы:

    `a^2+(2a-1)^2=9+2a(2a-1)`,  `5a^2-4a+1=9+4a^2-2a`, 

    `a^2-2a-8=0`, `D_1=1+8=9`, `a=1+-3`, `a_1=4`, `a_2=-2<0`,  `b_1=7`.

    Ответ

    `47`.


    Пример 7

    После смешения двух растворов, один из которых содержал `48` г, а другой `20` г безводного йодистого калия, получили `200` г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на `15%` больше концентрации второго.

    Решение

    Обозначим через `x%` – концентрацию второго раствора, а через `(x+15)%` – концентрацию первого раствора.

     

    `48` г

     

    `(x+15)%`

    `20` г

     

    `x%`

    I раствор      II раствор


    В первом растворе `48` г составляет `(x+15)%` от веса всего раствора, поэтому вес раствора равен `(48)/(x+15)*100`. Во втором растворе `20` г составляет `x%` от веса всего раствора, поэтому вес второго раствора составляет `20/x*100`. После смешения двух растворов получили `200` г нового раствора. Для определения  получаем уравнение:

    `48/(x+15)*100+20/x*100=200`, `24/(x+15)+10/x=1`,

    `24x+10x+150=x^2+15x`,  `x^2-19x-150=0`,

    `D=19^2+600=361+600=961=31^2`,

    `x=(19+-31)/2`,  `x_1=25`, `x_2<0`, `25+15=40`.

    Ответ

    Концентрация первого раствора `40%`, концентрация второго раствора `25%`.

    Пример 8

    Два слесаря получили заказ. Сначала `1` ч работал первый слесарь, затем `4` часа они работали вместе. В результате было выполнено `40%` заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на `5` часов больше, чем второму?

    Решение

    Предположим, что второй слесарь мог бы выполнить заказ за `x` часов, тогда для первого бы потребовалось `(x+5)` часов. Примем весь заказ за единицу. Тогда производительность первого слесаря `1/(x+5)`,  а производительность второго равна `1/x`.

    Так как по условию задачи было выполнено `40%` заказа, то это составляет `0,4` заказа. Из условия задачи получаем уравнение:    

    `1/(x+5)+4(1/(x+5)+1/x)=0,4`;  `5/(x+5)+4/x=0,4`;  `5x+4x+20=0,4x(x+5)`;

    `0,4x^2-7x-20=0`;  `4x^2-70x-200=0`; `2x^2-35x-100=0`;

    `D=35^2+800=1225+800=2025=45^2`;

    `x_(1,2)=(35+-45)/4`, `x_1=20`, `x_2=-5/2<0`.  

        

    Ответ

    Первый слесарь мог бы выполнить работу за `25` ч, а второй за `20` ч.

        

  • §6. Решение уравнений с модулями и параметрами

    Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная `x` стоит под знаком модуля. Напомним, что  x=x, если x0,-x, если x<0.\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;\mathrm{если}\;x\geq0,\\-x,\;\mathrm{если}\;x<0.\end{array}\right.

    Пример 1

    Решите уравнение:                

    а) `|x-2|=3`;  

    б) `|x+1|-|2x-3|=1`;

    в) `x^2-|x|=6`;

    г) `6x^2-|x+1|=0`;

    д) `|x^2-3x+8|=|2x^2+x-4|`.

    Решение

    а) Если модуль числа равен `3`, то это число равно либо `3`, либо `(-3)`, т. е.  `x-2=3`, `x=5` или `x-2=-3`, `x=-1`.

    б) Из определения  модуля  следует, что `|x+1|=x+1`, при `x+1>=0`, т. е. при `x>=-1` и `|x+1|=-x-1` при `x<-1`. Выражение `|2x-3|` равно `2x-3`, если `x>=3/2`, и равно `-2x+3`, если `x<3/2`.  

    При `x< -1` данное уравнение равносильно уравнению `-x-1-(-2x+3)=1`, из которого следует, что `x=5`. Но число `5` не удовлетворяет условию `x< -1`, следовательно, при `x< -1`  данное уравнение решений не имеет.

    При `-1<=x<3/2` данное уравнение равносильно уравнению `x+1+(2x-3)=1`, из которого следует, что `x=1`; число `1` удовлетворяет условию `-1<=x<3/2`.

    При `x>=3/2` данное уравнение равносильно уравнению `x+1-(2x-3)=1`, которое имеет решение `x=3`. А так как число `3` удовлетворяет условию `x>=3/2`, то оно является решением уравнения.

    в) При `x>=0` данное уравнение равносильно уравнению `x^2-x-6=0`, корнями которого являются числа `3` и `– 2`. Число `3` удовлетворяет условию `x>=0`, а число – `2` не удовлетворяет этому условию, следовательно, только число `3` является решением исходного уравнения. При `x<0` данное уравнение равносильно уравнению `x^2+x-6=0`, корнями которого являются числа`-3` и `2`. Условию `x<0`  удовлетворяет число `-3` и не удовлетворяет число `2`.

    г) При `x>= -1` данное уравнение равносильно уравнению `6x^2-x-1=0`, находим его корни:  `x+(1+-sqrt(25))/12`, `x_1=1/2`, `x_2=-1/3`.

    Оба корня удовлетворяют условию `x>= -1`, следовательно, они являются решениями данного уравнения. При `x<-1` данное уравнение равносильно уравнению `6x^2+x+1=0`, которое не имеет решений.

    д) Если модули двух выражений равны, то эти выражения либо равны, либо отличаются знаком.

    1) `x^2-3x+8=2x^2+x-4`, `x^2+4x-12=0`,

    `D_1=4+12=16=4^2`, `x=-2+-4`, `x_1=2`, `x_2=-6`.

    2)  `x^2-3x+8=-2x^2-x+4`, `3x^2-2x+4=0`, `D_1=1-12<0`, уравнение не имеет решений.

    Ответ

    `-6`; `2`.

    Пусть заданы выражения `f(x,a)` и `g(x,a)`, зависящие от переменных `x` и `a`. Тогда уравнение `f(x,a)=g(x,a)` относительно переменной `x` называется уравнением с параметром `a`. Решить уравнение с параметром – это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.

    Пример 2

    Решите уравнение при всех допустимых значениях параметра `a`:

    а) `ax^2-3=4a^2-2x^2`;    

    б) `(a-3)x^2=a^2-9`;

    в) `(a-1)x^2+2(a+1)x+(a-2)=0`.

    Решение

    а) При любом значении параметра `a` данное уравнение равносильно уравнению  `(a+2)x^2=4a^2+3`.

    Если `a=-2`, то получаем уравнение `0*x^2=19`; это уравнение не имеет решений.

    Если `a!=-2`, то `x^2=(4a^2+3)/(a+2)`. Выражение `4a^2+3>0` для любого `a`; при `a> -2` имеем два решения: `x_1=sqrt((4a^2+3)/(a+2))` и `x_2=-sqrt((4a^2+3)/(a+2))`.

    Если `a+2<0`, то выражение `(4a^2+3)/(a+2)<0`, тогда уравнение не имеет решений.

    Ответ

    `x=+-sqrt((4a^2+3)/(a+2))`, при `a> -2`; при `a<=-2` решений нет.

    б) Если `a=3`, то `x in RR`. Если `a!=3`, то `x^2=a+3`. Если `a+3=0`, т. е. если `a=-3`, то уравнение имеет единственное решение `x=0`. Если `a<-3`, то уравнение не имеет решений. Если `a> -3` и `a!=3`, то уравнение имеет два решения: `x_1=sqrt(a+3)` и `x_2=-sqrt(a+3)`.

    в) При `a=1` данное уравнение принимает вид `4x-1=0`, число `x=1/4` является его решением. При `a!=1` данное уравнение является квадратным, его дискриминант `D_1` равен

    `(a+1)^2-(a-1)(a-2)=5a-1`.

    Если `5a-1<0`, т. е. `a<1/5`, то данное уравнение не имеет решений.

    Если `a=1/5`, то уравнение имеет единственное решение

    `x=-(a+1)/(a-1)=(1/5+1)/(1/5-1)=3/2`.

    Если `a>1/5` и `a!=1`, то данное уравнение имеет два решения:

    `x=(-(a+1)+-sqrt(5a-1))/(a-1)`.

    Ответ

    `x=1/4` при `a=1`;

    `x=3/2` при `a=1/5`;

    `x=(-(a+1)+-sqrt(5a-1))/(a-1)` при `a>1/5` и `a!=1`;

    при `a<1/5`  уравнение не имеет решений.


  • §5. Решение уравнений, приводящихся к квадратным

    Уравнение `ax^4+bx^2+c=0`, где `a`, `b`, `c` – некоторые действительные числа, причём `a!=0`, называется биквадратным уравнением. Заменой `u=x^2` это уравнение сводится к квадратному уравнению `au^2+bu+c=0`.

    Пример 1

    Решите биквадратное уравнение

    а) `2x^4-3x^2+1=0`;    

    б) `5x^4-7x^2-6=0`;   

    в) `7x^4+9x^2+2=0`.

    Решение

    а) Сделаем замену `u=x^2`, получим квадратное уравнение `2u^2-3u+1=0`.

    По формуле корней квадратного уравнения находим

    `u=(3+-sqrt(9-8))/4=(3+-1)/4`, т. е. `u_1=1`, `u_2=1/2`.

    Отсюда следует, что `x^2=1` и `x^2=1/2`, и поэтому данное уравнение имеет четыре решения: `x_1=1`, `x_2=-1`, `x_3=1/(sqrt2)`, `x_4=-1/(sqrt2)`.  

    б) После замены `u=x^2` получаем уравнение `5u^2-7u-6=0`. Находим корни квадратного уравнения:

    `u=(7+-sqrt(49+4*5*6))/10=(7+-13)/10`,  т. е. `u_1=2`, `u_2=-3/5`.

    Уравнение `x^2=2` имеет два корня: `x_1=sqrt2` и `x_2=-sqrt2`. Уравнение `x^2=-3/5` не имеет решений. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет два решения: `sqrt2` и `-sqrt2`.

    в) Уравнение не имеет решений, т. к.  `7x^4+9x^2+2>=2` для любого `x inRR`..

    Пример 2

     Решите уравнение `(2x+1)/(x-1)+(x+1)/(2x+1)=(5x+4)/((x-1)(2x+1))`.

    Решение

    Общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение, равен `(x-1)(2x+1)`. Умножив обе части уравнения на `(x-1)(2x+1)`, получим

    `(2x+1)^2+(x+1)(x-1)=5x+4`, `4x^2+4x+1+x^2-1=5x+4`,

    `5x^2-x-4=0`.

    Найдём корни полученного квадратного уравнения:

    `x=(1+- sqrt(1+80))/10=(1+-9)/10`,  т. е. `x_1=1`, `x_2=-4/5`.

    При `x=1` не определены обе части уравнения, следовательно, это число не является корнем уравнения. При `x=-4/5` общий знаменатель в нуль не обращается, следовательно, это число является решением данного уравнения.

    Пример 3

    Решите уравнение `(x^2+2x+7)/(x^2+2x+3)=4+2x+x^2`.

    Решение

    Введём новую переменную `x^2+2x+3=t`, тогда для нахождения `t` получим уравнение `(t+4)/t=t+1`. Умножим обе части этого уравнения на `t` получим: `t+4=t^2+t`, `t^2=4`, `t_1=2`, `t_2=-2`.   

    Решаем  уравнение: `x^2+2x+3=2`, `x^2+2x+1=0`, оно имеет единственное решение `x=-1`. Уравнение `x^2+2x+3=-2`, т. е. `x^2+2x+5=0`, решений не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет одно решение `x=-1`. При `x=-1` выражение `x^2+2x+3!=0`.   

    Пример 4

    Решите уравнение `(x+2)^2+24/(x^2+4x)=18`.

    Решение

    Левая часть уравнения не определена при `x=0` и `x=-4`.

    Введём новую переменную  `t=(x+2)^2`.

    Так как `x^2+4x=x^2+4x+4-4`, то `x^2+4x=t-4`, и для нахождения `t` получаем уравнение `t+24/(t-4)=18`. Умножив обе части уравнения на `t-4`, получим: `t^2-4t+24=18t-72`, `t^2-22t+96=0`. Корнями этого квадратного уравнения являются числа `6` и `16`. Решаем уравнение `(x+2)^2=16`, и из него следует, что `x+2=+-4`, т. е. `x_1=2` и `x_2=-6`. 

    Теперь решаем уравнение `(x+2)^2=6`, откуда следует, что

    `x_3=-2+sqrt6`  и  `x_4=-2-sqrt6`.

    Пример 5

    Решите уравнение `(3x)/(3x^2-5x+6)-(4x)/(3x^2+x+6)=7/20`.

    Решение

    Заметим, что число `x=0` не является решением данного уравнения.

    Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей, стоящих в левой части уравнения на `x`, тогда получаем: `3/(3x-5+6/x)-4/(3x+1+6/x)=7/20`.

    Обозначим `3x+6/x=y`, тогда  получаем  уравнение  для нахождения `y`:

    `3/(y-5)-4/(y+1)=7/20`, `20(3y+3-4y+20)=7(y^2-4y-5)`,

    `-20y+460=7y^2-28y-35`, `7y^2-8y-495=0`,

    `D_1=16+7*495=3481=59^2`, `y=(4+-59)/7`, `y_1=9`, `y_2=-55/7`.  

    Теперь решаем уравнение `3x+6/x=9`, `3x^2-9x+6=0`, 

    `x^2-3x+2=0`, `x=(3+-1)/2`, `x_1=2`, `x_2=1`.

    Решаем уравнение `3x+6/x=-55/7`, 

    `21x^2+55x+42=0`, `D=55^2-4*21*42=3025-3582<0`.


    Ответ

    `1`; `2`.

  • §4. Теорема Виета. Приведённое квадратное уравнение

    Найдём сумму и произведение корней квадратного уравнения (3). Из формулы (5) получаем:

    `x_1+x_2=-b/a`,

    `x_1*x_2=((-b+sqrtD)(-b-sqrtD))/(4a^2)=(b^2-D)/(4a^2)=(b^2-b^2+4ac)/(4a^2)=c/a`.

    Откуда следует утверждение, которое называют теоремой Виета:

    теорема Виета

    если корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0` существуют, то сумма корней квадратного  уравнения  равна `-b/a`, а  произведение корней равно `c/a`. 

    Например, для квадратного уравнения `2x^2-3x-5=0` корни существуют, т. к. `D=9+4*2*5=49>0`. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна `3/2`, а произведение корней равно `-5/2`.

    Пример 1

    Не решая квадратное уравнение, найдите сумму квадратов корней квадратного уравнения  `ax^2+bx+c=0`, `a!=0`, `b^2-4ac>0`.

    Решение

    Из теоремы Виета следует, что `x_1+x_2=-b/a` и `x_1x_2=c/a`. Преобразуем выражение `x_1^2+x_2^2`.

    Имеем: `x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`.

    Отсюда следует, что `x_1^2+x_2^2=(-b/a)^2-(2c)/a=(b^2-2ac)/(a^2)`.

    Уравнение `x^2+px+q=0` называется приведённым квадратным уравнением. В этом уравнении коэффициент при `x^2` равен `1`. Формула корней для приведённого квадратного уравнения принимает такой вид:

    `x=(-p+-sqrt(p^2-4q))/2` или `x=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)`.

    Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения звучит так:

    если `x_1` и `x_2` – корни квадратного уравнения `x^2+px+q=0`, то справедливы формулы `x_1+x_2=-p`, `x_1*x_2=q`.

    Обратная теорема Виета

    если числа `x_1` и `x_2` таковы, что `x_1+x_2=-p`, а `x_1*x_2=q`, то эти числа `x_1` и `x_2` являются корнями квадратного уравнения `x^2+px+q=0`.

    Для доказательства подставим в уравнение `x^2+px+q=0` вместо `p` выражение `-(x_1+x_2)`, а вместо `q` выражение `x_1x_2`, тогда получаем

    `x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=`

    `=(x-x_1)(x-x_2)`, 

    откуда следует, что числа `x_1` и `x_2` – корни уравнения `x^2+px+q=0`.

    Пример 2

    Составьте приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа `1/2` и `3/7`.

    Решение

    Из обратной теоремы Виета следует, что данные числа являются корнями приведённого квадратного уравнения `x^2-(1/2+3/7)x+1/2*3/7=0`, т. е. уравнения `x^2-13/14x+3/14=0`.

    Заметим, что данные числа являются и корнями квадратного уравнения `14x^2-13x+3=0`, которое получается из предыдущего умножением обеих частей уравнения на `14`.


    Пример 3

    Корни `x_1` и `x_2` квадратного уравнения `x^2+6x+q=0` удовлетворяют условию `x_2=2x_1`. Найдите `q`, `x_1`, `x_2`.

    Решение

    Из теоремы Виета следует, что `x_1+x_2=3x_1=-6`, т. е. `x_1=-2` и `x_2=2x_1=-4`. Тогда `q=x_1x_2=8`.


    Пример 4

    Не решая уравнение `2x^2-3x-9=0`, найдите `(x_2)/(1+x_1)+(x_1)/(1+x_2)`, где `x_1` и `x_2` – его корни.

    Решение

    Преобразуем выражение:

    `x_2/(1+x_1)+x_1/(1+x_2)=((x_1+x_2)+x_2^2+x_1^2)/(1+(x_1+x_2)+x_1x_2)=`

    `=((x_2+x_1)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)/(1+(x_1+x_2)+x_1x_2)`.

    По теореме Виета `x_1+x_2=3/2` и `x_1x_2=-9/2`. Поэтому имеем:

    `(3/2+(3/2)^2-2(-9/2))/(1+3/2-9/2)=(3/2+9/4+9)/(-2)=-51/8`.


    Пример 5

    Пусть `x_1` и `x_2` – корни квадратного уравнения `x^2+13x-17=0`. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа `2-x_1` и `2-x_2`.

    Решение

    По теореме Виета `x_1+x_2=-13` и `x_1x_2=-17`. Сумма чисел `2-x_1` и `2-x_2` равна `4-(x_1+x_2)=4+13=17`, а произведение этих чисел равно

    `(2-x_1)(2-x_2)=4-2(x_1+x_2)+x_1x_2=4-2(-13)-17=13`.

    Используя обратную теорему Виета, получим квадратное уравнение `x^2-17x+13=0`, корнями которого являются заданные числа.

    Заканчивая этот параграф, хочется сказать, что знаменитый французский математик Франсуа Виет родился в 1540 году в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Франции. Свою знаменитую теорему, которую мы знаем под названием теоремы Виета, он доказал в 1591 году, сейчас эта теорема входит в школьные программы. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.

  • §3. Квадратные уравнения

    Уравнения вида

    `ax^2+bx+c=0`,                                                                             (3)

    где `x` - переменная, `a`, `b`, `c` - некоторые действительные числа, причем `a!=0`, называется квадратным уравнением.

    Уравнения `ax^2+bx=0` и `ax^2+c=0` при `a!=0` называются неполными квадратными уравнениями.

    Уравнение `ax^2+bx=0` при `a!=0` преобразуется к виду `x(ax+b)=0`, отсюда следует, что решениями полученного уравнения являются числа `x=0` и `x=-b/a`.

    Уравнение `ax^2+c=0` при `a!=0` равносильно уравнению `x^2+c/a=0`.

    Отсюда следует, что при `c=0` уравнение имеет единственное решение `x=0`. Если `c/a>0`, то уравнение не имеет решений, т. к. `x^2+c/a>=c/a`, т. е. при любых `x` левая часть уравнения не обращается в нуль. Если `c/a<0`, то уравнение приводится к виду

    `(x+sqrt(-c/a))(x-sqrt(-c/a))=0`,

    откуда следует, что оно имеет два решения, а именно, `x_1=sqrt(-c/a)` и `x_2=-sqrt(-c/a)`.

    Пример 1

    Решите уравнение:

    а) `5x^2=0`;    

    б) `6x^2-5x=0`;

    в) `3x^2+2=0`;

    г) `4x^2-9=0`.

    Решение

    а) Уравнение имеет одно решение `x=0`.

    б) Уравнение приводится к виду `x(6x-5)=0`, откуда следует, что оно имеет два решения: `x=0` и `x=5/6`.

    в) Уравнение не имеет решений, т. к. левая часть уравнения при любом значении `x` больше или равна `2`.

    г) Преобразуем уравнение к виду `(2x-3)(2x+3)=0`, откуда следует, что уравнение имеет два решения: `x=3/2` и `x=-3/2`.


    Рассмотрим теперь уравнение (3), где числа `a`, `b` и `c` отличны от нуля. Преобразуем левую часть этого уравнения:

    `ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x+c/a)=`

    `=a(x^2+2 b/(2a) x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a)=`     

    `=a((x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a^2))`.                                                                (4)

    Выражение `b^2-4ac` называют дискриминантом квадратного уравнения (3) и обозначают буквой `D`.

    Если `D>=0`, то выражение (4) можно разбить на множители

    `a(x+b/(2a)+(sqrtD)/(2a))(x+b/(2a)-(sqrtD)/(2a))=0`.

    Введём обозначения

    `x_1=(-b+sqrtD)/(2a)`        и          `x_2=(-b-sqrtD)/(2a)`                                          (5)

    Тогда уравнение (3) приводится к виду

    `a(x-x_1)(x-x_2)=0`.                                                                (6)

    Отсюда следует, что числа `x_1` и `x_2` являются корнями уравнения (3).

    Формулу (5) для нахождения корней уравнения (3) обычно записывают одной формулой

    `x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`.                                                          (7)

    Если `D=0`, то `x_1=x_2`, т. е. корни уравнения совпадают, и уравнение (3) приводится к виду `a(x-x_1)^2=0`

    Если `D<0`, то `(x+b/(2a))^2-D/(4a^2)>=-D/(4a^2)>0` для любого `x`, поэтому в этом случае уравнение (3) не имеет корней.

    Пример 2

    Решите квадратное уравнение:

    а)  `2x^2+3x-5=0`;  

    б) `3x^2+4x+2=0`;

    в) `9x^2-6x+1=0`;

    г) `sqrt2x^2-sqrt3x-sqrt2=0`.

    Решение

    а) Сначала найдём дискриминант данного квадратного уравнения:

    `D=3^2-4*2*(-5)=9+40=49`.

    Так как `D=49>0`, то по формуле (7) находим:

    `x=(-3+-sqrt(49))/4=(-3+-7)/4`.

    Следовательно, данное уравнение имеет корни `x_1=1` и `x_2=-5/2`.

    б) Так как `D=4^2-4*3*2=16-24=-8<0`, то данное уравнение не имеет действительных корней.

    в) Так как `D=6^2-4*9*1=0`, то данное уравнение имеет единственный корень `x=6/18=1/3`.

    г) `D=3-4*sqrt2(-sqrt2)=11`.

    `x_1(sqrt3+sqrt(11))/(2sqrt2)`  и  `x_2=(sqrt3-sqrt(11))/(2sqrt2)`.

    Если в уравнении (3) число `b=2b_1`, то формула (7) принимает вид

    `x=(-2b_1+-sqrt(4b_1^2-4ac))/(2a)=(-b_1+-sqrt(b_1^2-ac))/a`.                                         (8)

    В формуле (8) число `b_1` равно половине коэффициента при `x` в уравнении (3).

    Выражение `b_1^2-ac` обозначают через `D_1`. Следовательно, корни квадратного уравнения  `ax^2+2b_1x+c=0` определяются по формуле

    `x=(-b_1+-sqrt(D_1))/a`,  если  `D_1=b_1^2-ac>=0`.

    Пример 3

    Решите квадратное уравнение:

    а) `3x^2-4x-1=0`;    

    б)`2x^2+2x+5=0`.

    Решение

    а)  `D_1=2^2-3(-1)=7>0`. По формуле (8) имеем:

    `x=(2+-sqrt7)/3`,  т. е. `x_1=(2+sqrt7)/3` и `x_2=(2-sqrt7)/3`.

    б) `D_1=1^2-2*5=-9<0`. Уравнение не имеет решений.


    Пример 4

    Определить, какие из ниже приведённых уравнений являются равносильными:

    а)  `6x^2+x-1=0` и `(x+1/2)(x-1/3)=0`;

    б) `2x-6=0` и `x^2-6x+9=0`;

    в) `x^2+x+1=0` и `x^2-x+1=0`;

    г)  `x+1=0`  и  `2x^2+x-1=0`.

    Решение

    а) Первое уравнение имеет два решения:

    `x=(-1+-sqrt(25))/12=(-1+-5)/12`;  `x_1=1/3`,  `x_2=-1/2`.

    Эти и только эти числа являются корнями второго уравнения, следовательно, данные уравнения равносильны.

    б) Первое уравнение имеет одно решение `x=3`. Второе уравнение приводится к виду `(x-3)^2=0`, т. е. тоже имеет только одно решение `x=3`. Следовательно, данные уравнения равносильны.

    в) Для обоих уравнений дискриминант равен `1-4=-3<0`, следовательно, оба уравнения не имеют решений, а потому они равносильны.

    г) Первое уравнение имеет одно решение `x=-1`,  а второе уравнение имеет два решения `x_1=(-1+3)/4=1/2` и `x_2=(-1-3)/4=-1`. Число `1/2` является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения. Следовательно, данные уравнения не равносильны.

    Выражение `ax^2+bx+c`, где `x` – переменная, `a`, `b`, `c` – числа, причём `a!=0`, называется квадратным трёхчленом. Если квадратное уравнение `ax^2+bx+c=0` имеет различные корни `x_1` и `x_2`, то квадратный трёхчлен раскладывается на множители `a(x-x_1)(x-x_2)`, а если корни совпадают, то квадратный трёхчлен представим в виде `a(x-x_1)^2`. Если же уравнение `ax^2+bx+c=0` не имеет корней, то квадратный трёхчлен не раскладывается на множители.

    Пример 5

    Разложите на множители квадратный трёхчлен

    `21x^2-4x-1`.

    Решение

    Решаем квадратное уравнение `21x^2-4x-1=0`,  `D_1=4+21=25`, `x=(2+-5)/21`, `x_1=1/3`, `x_2=-1/7`.

    Отсюда следует, что `21x^2-4x-1=21(x-1/3)(x+1/7)`.

    Пример 6

    Сократите дробь `(24x^2+x-10)/(56x^2-59x+15)`, если `56x^2-59x+15!=0`.

    Решение

    Разложим на множители числитель дроби, для этого решаем квадратное уравнение

    `24x^2+x-10=0`, `D=1+960=961=31^2`, `x=(-1+-31)/48`, `x_1=30/48=5/8`, `x_2=-2/3`, `24x^2+x-10=24(x-5/8)(x+2/3)`.            

    Теперь решим уравнение `56x^2-59x+15=0`,

    `D=59^2-4*56*15=3481-3360=121=11^2`,

    `x=(59+-11)/(112)`, `x_1=70/(112)=5/8`, `x_2=48/(112)=3/7`,  

    следовательно, `56x^2-59x+15=56(x-5/8)(x-3/7)`.

    Получаем:  

    `(24x^2+x-10)/(56x^2-59x+15)=(24(x-5/8)(x+2/3))/(56(x-5/8)(x-3/7))=(3(x+2/3))/(7(x-3/7))=(3x+2)/(7x-3)`.


      

  • §2. Линейное уравнение


    Уравнение вида

    `ax=b`,                                                                                      (2)

    где `a` и `b` - некоторые заданные действительные числа, называется линейным уравнением.

    Если `a!=0`, то уравнение (2) имеет единственное решение  `x=b/a`. 

    Если `a=0`, а `b!=0`, то уравнение (2) не имеет решений.

    Если `a=0` и `b=0`, то решением этого уравнения является любое действительное число.

    Пример 1

    Решите уравнения:

    а) `2x+5=3x+2`;    

    б) `2(x+3)=x+(x+3)`;

    в) `3(x+1)+5=2x+(x+8)`.

    Решение

    а) Перенесём слагаемое `3x` в левую часть уравнения, а слагаемое `5` в правую, при этом меняем их знаки: `2x-3x=2-5`.

    Это уравнение имеет единственное решение `x=3`, следовательно, исходное уравнение также имеет единственное решение.

    б) Раскрываем скобки и переносим слагаемые, содержащие `x`, из правой части уравнения в левую часть, а слагаемое `6` - в правую часть уравнения, при этом не забываем поменять знаки этих слагаемых, в результате получаем: `2x-2x=3-6`. Данное уравнение равносильно уравнению `0*x=-3`, которое не имеет решений, следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

    в) Преобразуем данное уравнение: `3x+8=3x+8`. Любое действительное число удовлетворяет полученному уравнению, следовательно, и данному уравнению удовлетворяет любое действительное число.

    Пример 2

    Выясните, какие из ниже приведённых уравнений являются равносильными:

    а)  `2x+1=7x-9` и `3(2x+1)=7x+1`;

    б) `3x+5=x+7` и `2x-(x+3)=x-1`.

    Решение

    а) Первое уравнение равносильно уравнению `2x-7x=-1-9`, его решением является число `x=2`. Второе уравнение равносильно уравнению `6x-7x=-3+1`, его решением является единственное число `x=2`. Следовательно, данные уравнения равносильны.

    б) Единственным решением первого уравнения является число `x=1`. Второе уравнение равносильно уравнению `0*x=2`, которое не имеет решений. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.


  • §1. Уравнения и правила их преобразований


    Уравнением с переменной `x` называется равенство двух выражений

    `f(x)=g(x)`.                                                                            (1)

    Например, `x^2+1=x-3`, `x^2-1=0`, `|x|-3=0`, `(2x-3)/(x+3)=x+1`.

    Число `a` называется корнем (или решением) данного уравнения с переменной `x`, если при подстановке числа `a` в обе части этого уравнения получается верное равенство, т. е. если при `x=a` обе части уравнения определены и их значения совпадают.

    Например, уравнение `2x^2=0` имеет единственное решение `x=0`, а уравнение `x^2+3=0` не имеет решений, т. к. `x^2+3>0` при любом значении переменной `x`.

    Уравнение `(x-1)(x+2)=0` имеет только два решения `x=1` и `x=-2`. При любом `x`, отличном от `1` и `-2`, левая часть отлична от нуля, следовательно, других решений, кроме `1` и `-2`, уравнение не имеет.

    Решениями уравнения `(x-1)/(x-1)=1` являются все числа, кроме `x=1`. Число `1` не является решением уравнения, т. к. при `x=1` не определена левая часть уравнения. Это уравнение имеет бесконечно много решений.

    Уравнению  `2x=2x`  удовлетворяют  все  действительные  числа, а уравнению `|x|=x` удовлетворяют все неотрицательные числа.

    Решить данное уравнение – значит найти все его корни (решения) или доказать, что их нет.

    Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений, т. е. если каждое решение первого уравнения является решением второго и, наоборот, каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения, или если оба уравнения не имеют решений.

    Например, уравнения `3x-1=5` или `(x-2)^2=0` являются равносильными, т. к. каждое из них имеет единственное решение `x=2`. Уравнения `(x-1)(x-2)=0` и `(x-1)^2=0` не являются равносильными, т. к. число `2` является решением первого уравнения и не является решением второго.

    Сформулируем несколько правил преобразования уравнений, широко используемых при решении уравнений.

    Правило 1

    Если выражение `y(x)` определено при всех значениях `x`, при которых определены выражения `f(x)` и `g(x)`, то уравнения `f(x)=g(x)` и `f(x)+y(x)=g(x)+y(x)` равносильны. В частности, равносильны уравнения `f(x)=g(x)` и `f(x)-g(x)=0`.

    На основании этого правила любое слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, после этого получается уравнение, равносильное данному.

    Правило 2

    Если выражение `y(x)` определено для всех `x`, для которых определены выражения `f(x)` и `g(x)`, то любое решение уравнения `f(x)=g(x)` является решением уравнения `f(x)*y(x)=g(x)*y(x)`.

    Если, кроме того, `y(x)!=0` для всех `x`, то уравнения `f(x)=g(x)` и `f(x)*y(x)=g(x)*y(x)` равносильны.


    Правило 3

    Каждое решение уравнения `f(x)=g(x)` является решением уравнения `(f(x))^n=(g(x))^n` при любом натуральном `n`.


    Правило 4

    Каждое решение уравнения `f(x)*g(x)=0` является решением, по крайней мере, одного из уравнений `f(x)=0` или `g(x)=0`.

  • Введение

    Решение многих задач сводится к решению уравнений. Уже во втором тысячелетии до новой эры решали линейные и некоторые квадратные уравнения в Древнем Египте. Более сложные задачи решали в Древнем Вавилоне.

    Один из первых дошедших до нас выводов формул для корней квадратного уравнения принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX век) в трактате «Китаб аль-джеб валь-мукабала» получил формулу для корней методом выделения полного квадрата.

    Затем в работах европейских математиков XIII-XVI в. в. даются отдельные методы решения различных квадратных уравнений. Слияние этих методов и общее правило произвел М. Штифель в 1544 году. Близкое к современному решение квадратного уравнения принято у Р. Бомбелли (1579 г.) и С. Стевина (1585 г.). Термин «квадратное уравнение» ввёл Х. Вольф в 1710 году.

  • 6. Перпендикулярность прямых и плоскостей

    Напомним основные определения.

    Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

    Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°90^{\circ}. (Угол между плоскостями – это наименьшая из величин двугранных углов, образованных при их пересечении.)

    Перечислим основные теоремы, которые используются при решении задач.

    Теорема 4. (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

    Теорема 5. (теорема о трёх перпендикулярах). Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.

    Теорема 6. (признак перпендикулярности двух плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

    Пример 9

    В тетраэдре ABCDABCD ребро ABAB перпендикулярно ребру CDCD, а ребро ADAD перпендикулярно ребру BCBC. Докажите, что 

    AB2+CD2=AD2+BC2AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2.

    \square Достроим BAD\triangle BAD до параллелограмма BADFBADF (рис. 20). Из перпендикулярности прямых ABAB и CDCD следует, что  CDF= 90°\angle CDF =  90^{\circ}, т. е. CF2=CD2+DF2CF^2 = CD^2 + DF^2. Аналогично, CF2=CB2+BF2CF^2 = CB^2 + BF^2, следовательно, CD2+DF2=  CB2+BF2CD^2 + DF^2 =  CB^2 + BF^2. Но DF= ABDF = AB, а BF= ADBF = AD, поэтому

    AB2+CD2=AD2+BC2AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2. \blacksquare

    Пример 10

    Рёбра ABAB и CDCD, ADAD и BCBC тетраэдра ABCDABCD перпендикулярны. Докажите, что рёбра ACAC и BDBD также перпендикулярны.

    \square Опустим из точки DD перпендикуляр DODO на плоскость ABCABC (рис. 21). По теореме о трёх перпендикулярах из того, что CDABCD \perp AB следует, что COABCO \perp AB, т. е. точка OO лежит на прямой, содержащей высоту CC1CC_1 треугольника ABCABC. Аналогично, точка OO лежит на прямой, содержащей высоту AA1AA_1, и, значит, OO – ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABCABC.

    Следовательно, BOACBO \perp AC и по теореме о трёх перпендикулярах, BDACBD \perp AC. \blacksquare

    Пример 11

    Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCDSABCD имеют длину 2. Точки MM и NN – середины рёбер ASAS и ABAB соответственно. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку MM перпендикулярно прямой CNCN, и найти площадь этого сечения.

    \square Обозначим секущую плоскость через α\alpha и предположим, что искомое сечение построено. Так как α (CN)\alpha \perp (CN), то прямая CNCN перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α\alpha, в частности линии пересечения плоскостей α\alpha и ABCABC. Кроме того, плоскость α\alpha должна содержать перпендикуляр, опущенный из точки MM на плоскость ABCABC (этот перпендикуляр параллелен высоте SOSO пирамиды). Действительно, если точка M1M_1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки MM на плоскость ABCABC, а точка LL – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1M_1 на прямую CNCN, то по теореме о трёх перпендикулярах (ML)(CN)(ML) \perp (CN). А так как (M1L)(CN)(M_1L) \perp (CN), то (MM1L)(CN)(MM_1L) \perp (CN). Но через точку MM проходит единственная плоскость, перпендикулярная прямой CNCN, поэтому α\alpha и (MM1LMM_1L) – одна и та же плоскость.

    Отсюда вытекает следующее построение (рис. 22). Сначала строим изображение центра основания пирамиды – точку OO пересечения диагоналей ACAC и BDBD основания, затем строим отрезок SOSO – изображение высоты пирамиды. После этого через точку MM проводим прямую, параллельную прямой SOSO, до пересечения с отрезком ACAC в точке M1M_1. Тем самым мы построим изображение перпендикуляра, опущенного из точки MM на плоскость ABCABC. Остается построить изображение перпендикуляра к прямой CNCN, проходящего через точку M1M_1. Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую CNCN в точке LL. Уточним положение точки LL вычислением, обратившись к рис. 23.

    По теореме Пифагора CN2=BC2+BN2=4+1=5CN^2 = BC^2 + BN^2 = 4 + 1 = 5, т. е. CN=5CN = \sqrt{5}.

    Пусть K=(CN)(BD)K = (CN) \cap (BD). Так как KK – точка пересечения медиан треугольника ABCABC, тo CK=23CN=253CK = \dfrac{2}{3} CN = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}. Заметим, что M1M_1 – середина [OA][OA], поскольку MM – середина [ASAS], а (MM1)(SO)(MM_1) \parallel (SO). Следовательно, CM1=34AC=322CM_1 = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}. Теперь из подобия прямоугольных треугольников CLM1CLM_1 и COKCOK получаем, что CL=CM1CK·OC=9510CL = \dfrac{CM_1}{CK} \cdot OC = \dfrac{9\sqrt{5}}{10}, т. е. CLCN=910\dfrac{CL}{CN}=\dfrac{9}{10}. Тем самым положение точки LL определено. Для того, чтобы её построить, достаточно отложить на [CN][CN] от точки NN отрезок NLNL длины 110CN\dfrac{1}{10}CN (задача деления отрезка на равные части известна из планиметрии и решается с помощью теоремы Фалеса). Пусть теперь (M1L)(AB)=Q(M_1L) \cap (AB) = Q, (M1L)(AD)=P(M_1L) \cap (AD) = P. Заметим, что Q[AB]Q \in [AB], а P[AD]P \in [AD]. Действительно, из подобия треугольников LNQLNQ и BNCBNC (рис. 23) следует, что 

    NQ=LN·CNNB=1105·51=12NQ = \dfrac{LN \cdot CN}{NB} = \dfrac{\dfrac{1}{10} \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} }{1} = \dfrac{1}{2}.

    Поэтому NQ<NBNQ < NB, значит, Q[AB]Q \in [AB]. Из подобия треугольников APQAPQ и BNCBNC следует, что

    AP=AQ·NBBC=(AN+NQ)·NBBC=(1+12)·12=34AP = \dfrac{AQ \cdot NB}{BC} = \dfrac{(AN+NQ)\cdot NB}{BC} = \dfrac{(1+\dfrac{1}{2})\cdot 1}{2} = \dfrac{3}{4},

    поэтому P[AD]P \in [AD]. Соединив точки PP и QQ с точкой MM, получаем искомое сечение (рис. 22).

    Действительно, по построению (MM1)(ABC)(MM_1) \perp (ABC), a (CN)(AВС)(CN) \subset (AВС), следовательно (MM1)(CN)(MM_1) \perp (CN). Опять-таки по построению (PQ)(CN)(PQ) \perp (CN), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (MPQ)(CN)(MPQ) \perp (CN)

    Вычислим площадь сечения. Имеем

    SMPQ=12MM1·PQ=12(12SO)·PQS_{MPQ} = \dfrac{1}{2} MM_1 \cdot PQ = \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2} SO) \cdot PQ.

    Длину высоты пирамиды находим из прямоугольного треугольника ASOASO: SO2=SA2-AO2=4-2=2SO^2 = SA^2 - AO^2 = 4-2 = 2, т.е. SO=2SO = \sqrt{2}. Длину отрезка PQPQ находим из прямоугольного треугольника APQAPQ:

    PQ2=AP2+AQ2=916+94=4516PQ^2 = AP^2 + AQ^2 = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{16}, т.е. PQ=354PQ = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.

    Итак, SMPQ=31016S_{MPQ} = \dfrac{3\sqrt{10}}{16}. \blacksquare


    Пример 12

    Доказать, что плоскость α\alpha сечения куба ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1, проходящая через середины PP, QQ, RR рёбер A1B1A_1B_1, B1C1B_1C_1, C1D1C_1D_1, перпендикулярна диагонали BD1BD_1 и проходит через её середину.

    \square Средняя линия PQPQ треугольника A1B1C1A_1B_1C_1 параллельна основанию A1C1A_1C_1, т. е. A1C1αA_1C_1 \parallel \alpha (рис. 24). Аналогично, C1D RLC_1D \parallel RL, т. е.  C1DαC_1D \parallel \alpha. Итак, плоскость α\alpha параллельна пересекающимся прямым A1C1A_1C_1 и C1DC_1D плоскости A1C1DA_1C_1D, поэтому α(A1C1D)\alpha \parallel (A_1C_1D). Отсюда следует, что α BD1\alpha \perp BD_1

    Пусть OO – точка пересечения BD1BD_1 с плоскостью α\alpha. Тогда POBD1PO \perp BD_1, т. е. POPO – высота в равнобедренном треугольнике BPD1BPD_1, и, значит, POPO – его медиана, а OO – середина BD1BD_1. \blacksquare