Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи

  • 3. Интерференция

    Каким образом предсказать распределение световой энергии в пространстве от нескольких источников? Какой мы увидим картину на экране?

    В электростатике мы изучали принцип суперпозиции - принцип независимости действия полей от различных источников. Он выполняется и в электродинамике, если величины напряжённости электрических полей волн значительно меньше значений, характерных для внутриатомных полей среды `E_i< <E_"ат"`. Тогда поле в некоторой точке такой среды может быть представлено в виде векторной суммы полей от разных источников света `S_1`, `S_2`, `S_3`, `...`.

    `vecE(x,y,z,t)=vecE_1(x,y,z,t)+vecE_2(x,y,z,t)+vecE_3(x,y,z,t)+...`

    Например, для суммы проекций векторов напряжённостей электрических полей сферических волн от двух точечных источников, распространяющихся в однородной среде, можно написать

    `A_1/r_1 cos (omegat-kr_1+varphi_(0_1))+A_2/r_2cos(omegat-kr_2+varphi_(0_2))=`

    `=A_1/r_1(cosomegatcos(varphi_(0_1)-kr_1)-sinomegatsin(varphi_(0_1)-kr_1))+`

    `+A_2/r_2(cosomegatcos(varphi_(0_2)-kr_2)-sinomegatsin(varphi_(0_2)-kr_2))=`

    `=(A_1/r_1 cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 cos(varphi_(0_2)-kr_2))*cosomegat-`

    `-(A_1/r_1 sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 sin(varphi_(0_2)-kr_2))*sinomegat=Acos(omegat+alpha)`,

    где

    `A=sqrt((A_1/r_1 cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 cos(varphi_(0_2)-kr_2))^2+(A_1/r_1 sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 sin(varphi_(0_2)-kr_2))^2)`,

    `alpha="arctg"((A_1/r_1 sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 sin(varphi_(0_2)-kr_2))/(A_1/r_1 cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 cos(varphi_(0_2)-kr_2)))`.

    Разумеется, эти формулы запоминать не нужно. Здесь они приведены лишь для того, чтобы показать, что сумму полей сферических монохроматических волн от нескольких источников в некоторой точке можно представить в виде гармонической функции с некоторой амплитудой `A` и начальной фазой `alpha`.

    Сигнал приборов, регистрирующих свет, пропорционален освещённости – суммарной энергии световой волны, попавшей на поверхность датчика за определённое время `tau`. Освещённость же пропорциональна интенсивности световой волны вблизи датчика. Как мы уже знаем, интенсивность монохроматической волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля.

    `I~A^2~(A_1/r_1cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2cos(varphi_(0_2)-kr_2))^2+`

    `+(A_1/r_1sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2sin(varphi_(0_2)-kr_2))^2=`

    `=(A_1/r_1)^2+(A_2/r_2)^2+2(A_1A_2)/(r_1r_2)(cos(varphi_(0_1)-kr_1)cos(varphi_(0_2)-kr_2)+`

    `+sin(varphi_(0_1)-kr_1)sin(varphi_(0_2)-kr_2))=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi`,

    где `I_1~(A_1/r_1)^2` и `I_2~(A_2/r_2)^2` - интенсивности, которыми характеризуются волны, пришедшие в точку наблюдения от `1` и `2` источников, `Deltavarphi=(varphi_(0_1)-varphi_(0_2))-k(r_1-r_2)` разность фаз между колебаниями электрических полей этих волн.

    Из повседневного опыта (как в ситуации с двумя свечами, описанной во введении) мы отмечаем скорее закономерность `I=I_1+I_2`. Это связано с тем, что свет от естественных источников не является монохроматическим. Даже если использовать светофильтр (цветное стёклышко), чтобы выделить волны определённой частоты `omega`, свет нельзя будет считать монохроматическим, потому что разные атомы источника излучают свет с произвольными начальными фазами `varphi_0`. Очевидно, и разность фаз `Deltavarphi` будет равновероятно принимать все возможные значения. Время излучения атомами световых волн заведомо много меньше, чем время регистрации приборов `tau`. Поэтому за время регистрации среднее значение `cosDeltavarphi` будет пренебрежимо мало (косинусоида симметрична относительно оси `Ox`).

    Если взять когерентные источники, которые посылают в точку наблюдения волны:

    1) одинаковой частоты `omega_1=omega_2=omega`,

    2) разность фаз, которых не зависит от времени `Deltavarphi=varphi_1-varphi_2="const"`;

    то интерференционный член `2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi!=0`. При этом возникнет непривычная картина освещённости. В этом случае мимолётные картины освещённости, которые, сменяя одна другую, усреднялись за счёт большого времени регистрации прибора, «застынут». Мы сможем их увидеть.

    Представим себе два точечных когерентных источника, излучающих в однородной среде изотропно и синфазно `(varphi_(0_1)-varphi_(0_2))`. Разность фаз `Deltavarphi=k(r_2-r_1)` зависит только от разности расстояний от точки наблюдения до источников. Если эта разность такова, что `Deltavarphi=(2n+1)pi` (`n` - любое целое число), интерференционный член будет принимать минимальные значения. В таких точках наблюдения освещённость экрана будет минимальна. В точках же, где `Deltavarphi=2npi` (`n` - любое целое число), интерференционный член будет принимать максимальные значения. В таких точках наблюдения освещённость экрана будет максимальна. Геометрическое место точек, для которых `r_2-r_1="const"` - двуполостный гиперболоид вращения с осью симметрии, проходящей через источники. Если расположить плоскость экрана перпендикулярно оси симметрии, то гиперболоиды, соответствующие условиям минимума (максимума) освещённости, будут пересекать её по окружностям. Интерференционная картина будет состоять из тёмных и светлых колец. Если плоскость экрана расположить перпендикулярно плоскости симметрии, то гиперболоиды, соответствующие условиям минимума (максимума) освещённости, будут пересекать её по незамкнутым линиям, идущими вблизи центра картины почти параллельно. Интерференционная картина в этом случае будет состоять из тёмных и светлых полос.

    Рассмотренный частный случай интерференции очень часто встречается. Полностью когерентных источников в природе не существует, т. к. свет, даже прошедший через светофильтр, состоит из отрезков косинусоид – цугов, испущенных разными атомами в разные моменты времени независимо друг от друга. Частично когерентные источники получают по методу Френеля. Пространственно разделяют световую волну от одного источника на две (или более) меньшей амплитуды с помощью некоторой оптической системы (зеркал, призм, экранов со щелями и т. п.). Можно рассматривать получившиеся волны, как испущенные разными источниками. В примере со свечой (во введении) световая волна отразилась от плоского зеркала. Можно считать, что на поверхность стола падают волны от двух точечных источников: пламени свечи и его отражения в зеркале.

    Частичная когерентность достигается, тем, что эти вторичные волны получаются из одной и той же первичной волны. При векторном сложении напряжённостей электрического поля участков цугов вторичных волн, полученных разделением одного и того же первичного цуга, разность фаз будет зависеть только от положения точки наблюдения и не зависеть от времени (поскольку начальные фазы таких участков будут одинаковыми). Можно это наглядно представить, как если бы взяли бегущую в пространстве последовательность цугов, разделили её на два одинаковых потока, и направили бы их по разным путям к точке наблюдения. Последовательность цугов в одном из потоков запоздала бы с прибытием в точку наблюдения по отношению к другой последовательности. Таким образом, в точке наблюдения будут чередоваться промежутки времени, когда складываются колебания, до разделения потоков принадлежавшие одному и тому же цугу; и промежутки времени, когда складываются колебания, до разделения принадлежавшие разным цугам. В первом случае разность фаз колебаний будет одинакова, т. к. их начальные фазы одинаковы. Это приведёт к интерференционному вкладу в интенсивность

    `I_"ког"=gamma(I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi)`,

    где `gamma` - доля времени сложения когерентных цугов.

    Во втором случае разности фаз будут принимать случайные значения. Это значит, что некогерентная часть интенсивности запишется так:

    `I_"н"=(1-gamma)(I_1+I_2)`.

    Общая освещённость в интерференционной картине будет определяться суммарной интенсивностью.

    `I=I_"ког"+I_"н"=gamma(I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi)+(1-gamma)(I_1+I_2)=`

    `=I_1+I_2+2gammasqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi`.

    Вводят понятие видности интерференционной картины как отношение разности максимальной и минимальной освещенностей к их сумме. Для нашей модели

    `nu=(I_max-I_min)/(I_max+I_min)=(2gammasqrt(I_1I_2))/(I_1+I_2)`.

    В частном случае равных интенсивностей потоков `I_1=I_2` видность картины `nu=gamma`. Если складываются только когерентные цуги, то в этом случае видность равна единице, а если только некогерентные – нулю. Считают, что глазом хорошо видно интерфенционную картину при `nu>0,7`.

    Описанную выше модель световой волны, как набора цугов можно наглядно представить в виде длинного поезда, состоящего из пронумерованных вагонов. Тогда разделение света по методу Френеля на два потока можно представить, как одновременное отправление двух одинаковых поездов с соседних путей одной станции. Поезда следуют немного разными маршрутами, а затем опять выезжают на соседние пути и движутся параллельно друг другу. При этом один из поездов может отставать от другого. Если отставание небольшое, то некоторые пассажиры первого вагона смогут напротив себя снова увидеть пассажиров первого вагона соседнего поезда, некоторые пассажиры второго вагона смогут напротив себя снова увидеть пассажиров второго вагона соседнего поезда и т. д. Это аналогично тому, как часть разделённого первого цуга сложится с частью первого же цуга из соседнего потока; часть разделённого второго цуга сложится с частью второго же цуга из соседнего потока и т. п. Это сложение будет когерентным. Если же запаздывание одного поезда относительно другого значительно, то пассажиры не смогут увидеть напротив себя вагон с номером, в котором путешествуют сами. По аналогии со светом сложатся некогерентные цуги.

    Чтобы иметь возможность наблюдать интерференцию потоков, полученных по методу Френеля, нужно, чтобы потоки отставали друг от друга не больше характерной длины цуга. Длина цуга определяется временем когерентного излучения атомов `tau_"ат"`. Действительно, в каждый момент времени излучение в волне определяется суммой цугов, испущенных большим числом атомов. Постепенно эта сумма меняется, потому что старые атомы перестают светить, а новые начинают. Характерное время, за которое кардинально изменится вся сумма - среднее время когерентного свечения атома. Для отдельного атома это время порядка `10^(-8)` с. Однако столкновения между атомами меняют скачком частоту и начальную фазу излучаемого атомом света. Это приводит к уменьшению характерного времени в тысячи раз. Длина цуга `l_"ког"=nutau_"ат"` при этом составляет порядка долей сантиметров.

    Если считать, что скорости волн в потоках кардинально не отличаются, то разность путей, которые преодолели интерферирующие волны до точки наблюдения, не должна превышать длины цуга. Именно поэтому явление интерференции не часто приходится наблюдать в повседневной жизни, несмотря на изобилие отражающих и преломляющих поверхностей вокруг нас. Для интерференции по методу Френеля свет не только должен, отразившись или преломившись, разделиться на два пучка, но и снова совместиться в пространстве. Важно, чтобы разность путей пучков до совмещения оказалась малой. Это наблюдается, например, при частичном отражении света от передней и задней поверхностей тонких прозрачных плёнок.

    Рассмотрим две плоских монохроматических волны, падающих на плоский экран. Пусть плоскость экрана перпендикулярна к плоскости, в которой лежат волновые вектора `veck_1` и `veck_2` (плоскости падения), которые составляют углы с нормалью к экрану `alpha_1` и `alpha_2`. Предположим, что в некоторую точку `O` экрана волны пришли без запаздывания. В этой точке разность фаз колебаний равна нулю, поэтому наблюдается максимум интерференционной картины. Рассмотрим другую точку экрана `A` на расстоянии `x` от неё (`O` и `A` лежат в одной плоскости падения). Как определить запаздывание одной волны относительно другой в этой точке? Проведём через точку `O` волновые поверхности (поверхности равной фазы) для обеих волн. В любой момент времени фазы колебаний в точках этих волновых поверхностей одинаковы `varphi_0`. Тогда в этот же момент времени фаза колебаний для других волновых поверхностей, смещённых на расстояние `S` вдоль распространения волн, равна `varphi_(1,2)=varphi_0-k_(1,2)S`. Разность фаз колебаний в точках волновых поверхностей, проходящих через `A`, равна

    `Deltavarphi=varphi_2-varphi_1=(varphi_0-k_2S_2)-(varphi_0-k_1S_1)=k(S_1-S_2)`.

    Здесь учтено, что волны распространяются в одной среде, и `lambda_1=lambda_2`. Соответствующие смещения волновых плоскостей: `S_1=x*sinalpha_1` и `S_2=-x*sinalpha_2`. Поэтому

    `Deltavarphi=k(S_1-S_2)=kx(sinalpha_1+sinalpha_2)=2kxsin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2`.

    Условие появления максимума освещённости в точке `A` является `cosDeltavarphi-1` или 

    `(4pi)/gammax_m sin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2=2pim->`

    `-> x_m-(mlambda)/(2sin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2),  m in Z`.

    Расстояние между соседними максимумами определяет ширину полосы интерференционной картины

    `b-x_(m+1)-x_m-lambda/(2sin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2)`.

    Длины электромагнитных волн `lambda` видимого диапазона в десятки-сотни раз меньше диаметра человеческого волоса. Поэтому для того, чтобы разглядеть картину невооружённым глазом, нужно сделать угол схождения интерферирующих пучков  `Omega=alpha_1+alpha_2` малым. В этом случае `alpha_1~~alpha_2< <1`, и формула для расчёта ширины полосы записывается особенно просто.

    `b~~lambda/Omega`.

    Пример 1 (бипризма Френеля)

    Основание прямой прозрачной призмы представляет собой равнобедренный треугольник с малым углом `beta< <1`, прилежащим к основанию. Длина основания равна `D`. На большую боковую грань призмы падает плоская монохроматическая световая волна так, что вектор `veck` перпендикулярен грани. Определить, какое максимальное число интерференционных полос можно наблюдать на плоском экране, расположенном за призмой. Показатель преломления вещества, из которого изготовлена призма, равен `n`.

    Решение

    При изучении геометрической оптики было показано, что призма с малым преломляющим углом `beta` отклоняет параллельный пучок лучей на угол

    `delta=(n-1)beta`.

    Тогда угол схождения лучей

    `Omega=2delta=2(n-1)beta`.

    Ширина интерференционной полосы

    `b=lambda/Omega=lambda/(2(n-1)beta)`.

    Максимальное число полос определяется максимальной шириной перекрытия пучков `d` на экране 

    `N_max=d_max/b=(D//2)/(lambda//(2beta(n-1)))=(D(n-1)beta)/lambda`.

    В задаче рассматривалась идеальная монохроматическая волна. Если вместо неё рассмотреть последовательность цугов, то может оказаться, что не все из `N_max` можно будет наблюдать. Это произойдёт, если запаздывание когерентных цугов для крайних точек перекрытия световых пучков на экране окажется меньше характерной длины цуга.

    `S_1-S_2=x(sinalpha_1+sinalpha_2)=D/2(sindelta+sindelta)~~Ddelta=D(n-1)beta>l_"ког"`.

    Тогда полосы будут видны не по всей ширине перекрытия пучков `D//2`, а некоторой меньшей ширине `D^'//2`, определяемой характерной длиной цуга

    `D^'(n-1)beta=l_"ког"`.

    При этом число полос уменьшится до

    `N_max^'=(D^'(n-1)beta)/lambda=l_"ког"/lambda`.

    Обратите внимание, что в этом примере можно представить, что интерферирующие волны посылаются бесконечно далёкими точечными источниками, находящимися на одинаковом расстоянии от экрана. В этом случае, как вы должны помнить, сечение семейства двуполостных гиперболоидов вращения (определяемых постоянством разности фаз) плоскостью экрана – система полос.

    Реальные источники имеют конечный размер и находятся на конечном расстоянии от экрана. Поэтому они посылают на экран не совсем плоскую волну. Пришедшая от источника волна может быть представлена как сумма сферических волн, пришедших от бесконечно малых областей источника. Часто в задачах можно пренебречь кривизной волновых поверхностей сферических волн, и считать, что от источника приходит пакет плоских волн, распространяющихся по немного разным направлениям. Каждая бесконечно малая область источника светит независимо от других, поэтому её волны являются не когерентными волнам от других областей источника. Получается, что каждая малая область создаёт свою интерференционную картину на экране. Освещённости этих картин складываются, давая общую картину. На рисунке качественно изображены плоские волны, падающие на бипризму (БП) от трёх разных точек протяжённого источника света (средней и двух крайних). Угол `psi` между крайними лучами - угловой размер источника.

    Каждая из этих трёх волн отклоняется бипризмой по-разному. Это приводит к смещению интерференционных картин, создаваемых этими волнами относительно друг друга. На рисунке 4 эти картины представлены графиками `I(x)` для каждого из световых потоков. Типы линий графиков соответствуют типам линий, которыми изображены лучи светового потока.

    Если сдвиг картин небольшой, то при их суммировании сохранится периодичность в распределении освещённости. Если же при сдвиге максимумы одних картин начнут попадать на минимумы других картин, то распределение освещённости по экрану станет почти равномерным. В этом случае говорят об отсутствии пространственной когерентности.

    Так наш мысленный опыт со свечой и зеркалом (описанный во введении) вряд ли приведёт к появлению интерференционной картины из-за слишком большого размера пламени свечи. Чтобы добиться пространственной когерентности в этом опыте, нужно уменьшить размер источника, поставив, например, между свечой и зеркалом экран с узкой щелью.

    Когда интерференцию световых потоков нельзя представить как сложение плоских монохроматических волн, распространяющихся под углом друг к другу, нужно непосредственно подсчитать разность фаз волн, распространяющихся в интерферирующих пучках. Затем приравнять её `2mpi` (условие максимума) или `(2m+1)pi` (условие минимума), где `m` - любое целое число.

    Расчёт этой разности фаз производят, считая, что свет от места разделения на потоки до места наблюдения интерференционной картины распространяется вдоль лучей. Эти лучи не являются прямыми линиями, поскольку свет по мере распространения может отражаться и преломляться, переходя из одной среды в другую. Разобьём всю длину луча `l` на однородные участки длинами `l_1`, `l_2`, `l_3`, `...` . Пусть на этих участках показатели преломления среды `n_1`, `n_2`, `n_3`, `...` соответственно. Эти участки представляют собой отрезки, поэтому на них свет можно представлять, как плоскую монохроматическую волну. Полное изменение фазы волны за счёт распространения вдоль луча

    `-k_1l_1-k_2l_2-k_3l_3-...=-(2pi)/lambda n_1l_1-(2pi)/lambdan_2l_2-(2pi)/lambdan_3l_3-...`,

    где `lambda` - длина световой волны в вакууме. Кроме того, световой поток мог отражаться от оптически более плотных сред. Пусть луч совершил `N` таких отражений. Тогда его фаза получила дополнительное приращение `(2M+1)piN`, где `M` - любое целое число. Для другого интерферирующего пучка рассуждения аналогичны. Обозначим все характеристики этого пучка аналогичными буквами со штрихами. Тогда приращения фаз первого и второго пучка

    `Deltavarphi_1=(2M+1)piN-(2pi)/lambda(n_1l_1+n_2l_2+n_3l_3+...)`,

    `Deltavarphi_2-(2M^'+1)piN^'-(2pi)/lambda(n_1^'l_1^'+n_2^'l_2^'+n_3^'l_3^'+...)`.

    И сдвиг фаз между пучками

    `Deltavarphi=Deltavarphi_2-Deltavarphi_1=`

    `=(2(M^'-M)+(N^'-N))pi+(2pi)/lambda((n_1l_1+n_2l_2+...)-(n_1^'l_1^'+n_2^'l_2^'+...))`.

    Вводят понятие оптической разности хода

    `Delta_"опт"=(n_1l_1+n_2l_2+...)-(n_1^'l_1^'+n_2^'l_2^'+...)`.

    Заметим, что число `2(M^'-M)+(N^'-N)` будет чётным, если числа `N^'` и `N` имеют одинаковую чётность. Сдвиг фазы на чётное число `pi` эквивалентен отсутствию сдвига. Сдвиг фазы на нечётное число `pi` эквивалентен сдвигу на `-pi`. Запишем разность фаз колебаний интерферирующих пучков в более краткой форме

    $$∆\varphi =\left\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{\lambda }{∆}_{\mathrm{опт}},      \\ \frac{2\pi }{\lambda }\left({∆}_{\mathrm{опт}}-\frac{\lambda }{2}\right),  \end{array}\right.\begin{array}{l}\mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:N{ }^{\text{'}}\mathrm{имеют} \:\:\mathrm{одинаковую} \:\:\mathrm{четность}.\\ \\ \mathrm{если} \:N \mathrm\:{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{разную} \:\mathrm{четность}.\end{array}$$

    В такой формулировке становится понятен смысл названия явления «потеря полуволны». Особенно просто в таких терминах записываются условия максимума освещённости

    $$∆\varphi =\left\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{\lambda }{∆}_{\mathrm{опт}}=2m\pi ,\\ \frac{2\pi }{\lambda }\left({∆}_{\mathrm{опт}}-\frac{\lambda }{2}\right)=2m\pi ,\end{array}\right.\to$$

    $$\to \left\{\begin{array}{l}{∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda ,\\ {∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda +\frac{\lambda }{2},\end{array}\right.\begin{array}{l}\mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{одинаковую} \:\mathrm{четность},\\ \mathrm{если} N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{разную} \:\mathrm{четность}.\end{array}$$

    и минимума освещённости

    $$∆\varphi =\left\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{\lambda }{∆}_{\mathrm{опт}}=\left(2m-1\right)\pi ,\\ \frac{2\pi }{\lambda }\left({∆}_{\mathrm{опт}}-\frac{\lambda }{2}\right)=\left(2m-1\right)\pi ,\end{array}\right.\to$$

    $$\to \left\{\begin{array}{l}{∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda -\frac{\lambda }{2},\\ {∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda ,\end{array}\right.\begin{array}{l}\mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{одинаковую} \:\mathrm{четность},\\ \mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{разную} \:\mathrm{четность}.\end{array}$$

    Пример 2 (полосы равного наклона)

    На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной `h` падает монохроматический рассеянный свет длиной волны `lambda`. Определить интерференционную картину, полученную на экране, параллельном пластинке, и расположенном в задней фокальной плоскости собирающей линзы с фокусным расстоянием `F`. Оптическая ось линзы перпендикулярна экрану. Показатель преломления стекла равен `n`.


    Решение

    Падающий рассеянный свет частично отражается от границы «воздух-стекло» в воздух, а частично проходит внутрь стекла. Прошедший внутрь стекла свет затем частично отражается от границы «стекло-воздух» в стекло и частично проходит в воздух. Затем отразившийся свет попадает на другую границу «стекло-воздух». Там он также частично отражается и частично проходит. В рассеянном свете присутствуют волны всех направлений.

    Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, которая падает на границу «стекло-воздух» (второе отражение) под углом `theta` (см. рис. 5). Будем рассматривать два световых потока: `1` - отразившийся от границы «воздух-стекло», `2` - отразившийся от границы «стекло-воздух». Свет разделяется на эти потоки после прохождения волновой поверхности `AB`. Потоки сходятся и интерферируют после прохождения волновой поверхности, содержащей точку `D` (на рисунке 5 не показана).

    Оптическая разность хода этих двух потоков

    `Delta_"опт"=n(AC+CD)-BD+lambda/2=2nh/(costheta)-ADsinalpha+lambda/2=`

    `=2nh/(costheta)-2hn"tg"thetasintheta+lambda/2=2hncostheta+lambda/2`.

    Здесь было учтено, что поток `1` нечётное число раз (один) отразился от оптически более плотной среды (стекло), а поток `2` от оптически более плотной среды не отражался. Кроме того, известно, что линза не даёт дополнительного сдвига фаз (об этом подробнее узнаете в следующем параграфе). Условия максимумов:

    `2hncostheta_m+lambda/2=mlambda`.

    Таким образом, световая энергия падающего на пластинку рассеянного света, распределённая одинаково по всем направлениям, перераспределяется. В отражённом свете углам, удовлетворяющим условию максимумов, будут соответствовать волны большей интенсивности! Максимально возможный порядок интерференции соответствует волнам с `theta_M~~0` и при `2hn> >lambda/2`

    `M~~(2hn)/lambda`.

    Плоская волна, распространяющаяся под углом `alpha_m` к главной оптической оси линзы, сфокусируется в точке экрана, находящейся от фокуса на расстоянии

    `r_m=F*"tg"alpha_m`.

    Таким образом, интерференционная картина будет представлять систему тёмных и светлых кругов. Радиус светлых кругов будет определяться условием максимумов

    `r_m=F*"tg"alpha_m=F*"tg"(arcsin(nsqrt(1-((mlambda-lambda/2)/(2hn))^2)))=F/(sqrt(1/(n^2-((mlambda-lambda/2)/(2h))^2)-1))`.

    При более тщательном анализе задачи можно заметить, что интерферирующих световых потоков не два, а бесконечно много. Действительно, свет, вышедший из стеклянной пластинки, не только преломляется в воздух, но и частично отражается обратно в стекло. Это даёт ему возможность, снова отразившись от дальней границы «стекло-воздух», вернуться к ближней (к линзе) границе «стекло-воздух» и преломиться в воздух, создав третий поток. Из законов геометрической оптики очевидно следует, что оптическая разность хода между `3` и `2` потоком точно такая же, как между `2` и `1`. Частичное отражение аналогично приведёт к появлению четвёртого, пятого, и т. д. световых потоков. Такое явление называют многолучевая интерференция.

    Пусть амплитуда падающей на стеклянную пластинку плоской волны равна `A`, коэффициент отражения по мощности от границы «стекло-воздух» (и от границы «воздух-стекло») равен `R`,  коэффициент  пропускания  по мощности `T=1-R`. Тогда, вспомнив, что интенсивность плоской волны пропорциональна квадрату амплитуды, легко посчитать амплитуды каждого из потоков (см. рис. 6). За один цикл «путешествия» внутри стекла свет два раза отражается от границы «стекло-воздух». Поэтому амплитуда каждой следующей вышедшей из пластинки световой волны отличается от амплитуды предыдущей в `R` раз. Это правило начинает работать, начиная со второй волны, поскольку первая получилась при отражении, а не преломлении. Из равенства разности фаз «соседних» лучей следует, что условие максимумов не нарушается, поскольку при сдвиге косинусоиды на целое число `2pi` интерферирующие волны складываются синфазно.

    Обратите внимание, что в этом примере можно представить, что интерферирующие волны посылаются бесконечно далёкими точечными источниками, находящимися на одном перпендикуляре к плоскости экрана. В этом случае сечение семейства двуполостных гиперболоидов вращения (определяемых постоянством разности фаз) плоскостью экрана - система колец.

    В природе полосы равной толщины наблюдаются невооружённым глазом при отражении рассеянного дневного света от тонких плёнок (например, бензин на поверхности лужи). Мы видим радужные разводы на поверхности плёнки, потому что спектр дневного белого света состоит из волн различной частоты. Такие волны не являются когерентными. Поэтому так, как было рассказано выше, образуются картины перераспределения интенсивности для каждой монохроматической компоненты спектра. Эти монохроматические картины отличаются по размерам. Как следует из формулы для расчёта `r_m`, для длинноволновых («красных») компонент видимого спектра картина будет крупнее, чем для коротковолновых («фиолетовых»). Мы уже знаем, что при суперпозиции некогерентных электромагнитных волн складываются интенсивности волн.

    На рисунке 7 качественно изображены графики зависимостей освещённости точек экрана в интерференционных картинах для фиолетовой, зелёной и красной компонент спектра от расстояния до центра картины. Видно, что по мере увеличения расстояния максимумы одной интерференционной картины начинают накладываться на минимумы другой. Начиная с некоторого расстояния, суммарная освещённость экрана почти не будет изменяться. Характерная интерференционная картина исчезнет, и экран будет засвечен равномерно. В этом случае говорят об отсутствии временной когерентности.

    Итак, немонохроматичность источника света ограничивает размер различимой интерференционной картины. Чтобы увеличить этот размер, нужно излучение пропустить через светофильтр, который пропускает электромагнитные волны в узкой полосе частот. Причем неважно, какой свет пропускать через светофильтр: падающий или отражённый. Так, например, человеческий глаз характеризуется различной чувствительностью к различным цветам. Это своего рода светофильтр, который позволяет нам рассматривать полосы равного наклона сравнительно большого размера без дополнительного светофильтра.

  • 4. Дифракция

    Отклонение от законов геометрической оптики при распространении света (например, огибание препятствий) кажется вполне естественным, если считать свет волной. Ведь волна сама по себе возникает при условии того, что изменения некоторой характеристики среды в одной из областей пространства вызывают изменения этой величины в соседних областях. Поэтому волна не может иметь чётких резких границ, и её амплитуда должна убывать постепенно. Так при волновом подходе в оптике не может быть резкой границы между светом и тенью.

    Для описания распространения света можно было бы найти решения системы уравнений электродинамики (Максвелла) с учётом граничных условий, задаваемых источниками. Однако это сопряжено с математическими сложностями, которых мы стараемся в нашем повествовании избежать. Поэтому мы рассмотрим популярный принцип Гюйгенса-Френеля, который позволяет просто и достаточно точно определить дифракцию в некоторых важных частных случаях.

    Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, чтобы вычислить амплитуду и фазу колебаний от системы монохроматических источников света в некоторой точке наблюдения, необходимо мысленно окружить источники произвольной замкнутой поверхностью так, что значения амплитуд и фаз колебаний можно предсказать из простых соображений. Затем мысленно разбить эту поверхность на бесконечно малые участки и сопоставить каждому из них точечный источник, излучающий сферическую монохроматическую волну. Затем амплитуду и фазу колебаний в точке наблюдения можно определить по принципу суперпозиции, векторно сложив напряжённости электрических полей вторичных сферических волн от этих элементарных источников.

    Чтобы понять разумность такого подхода рассмотрим аналогию. От камня, брошенного в воду, разбегаются круги. Волновое поле за пределами определённого круга определяется колебаниями воды на границах этого круга, ведь только эта область непосредственно граничит с внешней областью. Во втором опыте не будем кидать камень, а вместо этого на границах выделенного нами круга разместим стерженьки, движение которых будет воссоздавать точно такие же колебания воды, как в первом опыте. Каждый из стерженьков можно рассматривать как точечный источник, который испускает волну, которую в дальней зоне можно считать круговой. Интерференция этих вторичных круговых волн должна привести к тому же результату (волновому полю вне круга), что и падение камня в первом опыте. В случае источников света аналогично можно мысленно заменить воображаемую нами замкнутую поверхность материальной, изготовленной из матового стекла. Каждый участок такого "плафона" рассеивает свет по всем направлениям.

    Покажем, законы геометрической оптики являются следствием принципа Гюйгенса-Френеля. В качестве замкнутой поверхности вокруг точечного источника света выберем сферу радиусом `R` с центром в источнике. Если среда, в которой распространяется свет, однородна, то вторичные источники на сфере должны иметь одинаковую начальную фазу (ведь свет до любой точки сферы доходит за одинаковое время). Распространение вторичных сферических волн во внешнюю по отношению к области, ограниченной сферой, область качественно изобразим в виде их фронтов через равные промежутки времени (см. рис. 8).

    Волновое поле во внешней области определяется интерференцией вторичных волн. Очевидно, что за время `t` вторичные волны заполнят собой сферический слой толщиной `vt`. Поверхность, проходящая через самые удалённые от источника света точки, будет новым фронтом суммарной волны. Заметим, что каждой из точек фронта будет касаться всего лишь один фронт вторичной волны. Поэтому амплитуда и фаза суммарной волны определяется амплитудой фазой этой вторичной волны. Из геометрии видно, что эти амплитуда и фаза будут соответствовать первичной сферической волне от источника света. Мы показали, что построение Гюйгенса-Френеля даёт возможность восстановить ход сферической волны в однородной среде.

    Энергия в сферической волне распространяется вдоль радиуса. Таким образом, мы показали, закон прямолинейного распространения света в однородной среде является следствием принципа Гюйгенса-Френеля.

    Рассмотрим с помощью принципа Гюйгенса-Френеля возможность появления отражённой и преломлённой волн. Пусть точечный источник расположен настолько далеко, что волновые поверхности сферической волны, испускаемой им, можно считать плоскими.

    На рисунке 9 преломляющая среда изображена закрашенным прямоугольником. Пусть волновые поверхности падающей волны составляют угол `alpha_1` с плоскостью границы раздела сред. Очевидно, такой же угол составляет направление вектора `veck_1` с нормалью (перпендикуляром) к границе. Таким образом, угол падения равен `alpha_1`. Окружим источник света замкнутой поверхностью `S_1`, которая частично совпадает с плоскостью границы раздела сред. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка замкнутой поверхности `S_1` является источником вторичной сферической волны. Поскольку амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от источника до точки наблюдения, преломлённая волна будет формироваться в основном источниками на границе раздела сред. Падающая волна возбуждает вторичные источники на участке `AB` за время `t` прохождения падающей волны от `C` до `A`.

    `t=(CA)/v_1=(AB)/v_1  sinalpha_1`.

    За это время сферическая волна от источника `B` проникнет в первую среду на расстояние

    `B B_1=v_1t=AB*sinalpha_1=AB*sinalpha_1^'=CA->alpha_1=alpha_1^'`,

    а во вторую среду на расстояние

    `B B_2=v_2t=v_2/v_1CA=n_1/n_2CA=AB*sinalpha_2->n_1sinalpha_1=n_2sinalpha_2`.

    Научимся применять принцип Гюйгенса-Френеля для количественного расчёта колебаний в некоторой точке наблюдения `N`. Окружим все источники света замкнутой поверхностью. Выберем её по возможности так, чтобы можно было как можно проще узнать амплитуды и начальные фазы колебаний светового поля для всех её точек, не перекрытых непрозрачными телами (экранами). В точках поверхности, прикрытых экранами, зададим амплитуду равную нулю.

    Мысленно разобьём рассматриваемую замкнутую поверхность на участки настолько малые, что можно считать, амплитуды во всех точках каждого из участков примерно одинаковыми (см. Рис. 10). Заменим каждый из участков сферической волны источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади участка `DeltaS_i`. Тогда вклад в световое поле точки наблюдения `N` от данного участка будет равен

    `DeltaE_i=(DeltaS_iK(beta_i))/r_i cos(omegat-kr_i+alpha_i)`

    где `alpha_i` - начальная фаза вторичной сферической волны от `i`-го участка площадью `DeltaS_i`, перпендикуляр к которому составляет угол `beta_i` с направлением на точку наблюдения `N`. Как мы видели в примере с излучением колеблющегося диполя, амплитуда сферических волн точечных источников может зависеть от направления излучения. Этот факт в теории Гюйгенса-Френеля учитывают с помощью функции `K(beta_i)`. Значение этой функции максимально при `beta=0`. При увеличении угла значение `K(beta)` уменьшается.

    Точное выражение для `K(beta)` было выведено Кирхгофом из уравнений электродинамики, и оно математически сложно для освоения в рамках нашего курса. Если точечный источник света один, то разумно в качестве замкнутой поверхности выбрать одну из волновых поверхностей излучаемой им сферической волны радиусом `r_0` (см. Рис. 11). В этом частном и очень распространённом случае выражение для этой функции может быть записано проще

    `K(beta_i)~~k_i/(4pi)(1+cosbeta_i)a_0`,

    где `k_i` - волновое число, `a_0` - амплитуда колебаний первичной волны в точках сферической волновой поверхности. Это приближение верно, если `r_0`, `r_i> >lambda`.

    Пример 3 (дифракция на круглом отверстии)

    В экране сделано круглое отверстие радиусом `R`. Точечный источник света расположен настолько далеко от экрана, что кривизной волновых поверхностей в пределах отверстия можно пренебречь и считать волной вектор падающей волны перпендикулярным экрану. Определить интенсивность света `I` в точке наблюдения `N`, расположенной на оси симметрии отверстия на расстоянии `z_0> >R` от экрана. Длину волны `lambda` и интенсивность падающего света в плоскости экрана `I_0` считать известными.

    Решение

    В качестве замкнутой поверхности `S` возьмём произвольную замкнутую поверхность, охватывающую источник, частью которой является участок плоскости экрана, включающий отверстие. Всегда можно выбрать настолько большую поверхность, чтобы вторичные источники, не принадлежащие плоскости экрана, оказывали пренебрежимо малое влияние на результат интерференции (амплитуда вторичных волн в точке наблюдения обратно пропорциональна расстоянию).

    Плоский участок `S` в отверстии совпадает с волновой поверхностью падающей волны (см. рис. 12), поэтому начальная фаза всех вторичных источников будет одинакова. Мысленно разобьём эту поверхность, «затягивающую» отверстие, на бесконечно тонкие кольца. Эти кольца - совокупность вторичных источников, расстояние от которых до точки наблюдения одинаково. Это означает, что их амплитуды и фазы в точке наблюдения будут также одинаковы, и могут быть «вынесены за скобку» при суммировании. Тогда вклад от этой совокупности источников в суммарное поле по принципу Гюйгенса-Френеля будет

    `DeltaE_i=sum(k(1+cosbeta_i)a_0)/(4pir_i) cos(omegat-kr_i)deltaS_i~~(ka_0)/(2pir_i) cos(omegat-kr_i)DeltaS_i`,

    где `deltaS_i` - площадь бесконечно малого участка тонкого кольца, `DeltaS_i` - площадь целого тонкого кольца. Здесь было учтено, что `cosbeta~~1` при `z_0> >R`.

    Чтобы узнать амплитуду колебаний поля в точке `N` необходимо просуммировать вклады от всех тонких колец. Введём систему координат такую, что плоскость `Oxy` совпадает с плоскостью экрана. Тогда

    `E=sumDeltaE_i=(ka_0)/(2pi) sum(cos(omegat-kr_i)DeltaS_i)/r_i=`

    `=(ka_0)/(2pi) sum (cos(omegat-ksqrt(x_i^2+z_0^2))2pix_iDeltax_i)/(sqrt(x_i^2+z_0^2))`.

    Площадь кольца была определена из следующих рассуждений. Если тонкое кольцо разрезать по радиусу и распрямить, то получится фигура, мало отличающаяся от прямоугольника. Длины сторон прямоугольника будут равны `Deltax` и `2pix`. Поэтому площадь тонкого кольца можно вычислить как `DeltaS_i=2pix_iDeltax_i`.

    Определим, на какую величину изменится фаза колебаний `varphi_i=omegat-rsqrt(x_i^2+z_0^2)` при переходе от одного тонкого кольца к другому

    `Deltavarphi_i=-Delta(ksqrt(x_i^2+z_0^2))=-k(sqrt(x_i^2+z_0^2))^'Deltax_i=`

    `=-(kx_iDeltax_i)/(sqrt(x_i^2+z_0^2))~~-(2pix_iDeltax_i)/(lambdaz_0)`.

    С учётом этого, сумма вкладов от тонких колец запишется компактнее

    `E=a_0 sum cosvarphi_iDeltavarphi_i`.

    Чтобы удобнее вычислить эту сумму, разбивку на тонкие кольца сделаем так, чтобы при переходе от одного кольца к другому, фаза изменялась на одно и то же значение

    `Deltavarphi_1=Deltavarphi_2=Deltavarphi_3=...=Deltavarphi`.

    Тогда

    `E=a_0Deltavarphi sum cosvarphi_i=DeltaA sum cos (Deltavarphi*i)`.

    Эту сумму посчитаем с помощью метода векторных диаграмм. Суть метода состоит в том, что мы представляем сумму косинусов, как сумму проекции векторов на одну ось. Поскольку сумма проекций в этом случае равна проекции суммы, мы можем сначала геометрически определить длину суммарного вектора и угол, который он будет составлять с осью, а затем отождествить их с амплитудой и фазой суммарных колебаний (см. рис. 13).

    В нашем случае длины всех суммируемых векторов (амплитуды колебаний) одинаковы и равны `DeltaA`. Углы между направлениями соседних векторов (разность фаз между колебаниями от соседних тонких колец) тоже одинаковы и равны `Deltavarphi`. При геометрическом сложении векторов будет получаться фигура, напоминающая часть многоугольника (см. рис. 14). Если радиус отверстия таков, что колебания вторичных волн, приходящих от края отверстия, будут запаздывать по фазе относительно колебаний вторичных волн, приходящих из центра на `pi`, то диаграмма будет представлять собой половину многоугольника. При этом крайние векторы будут антипараллельны, а длина суммарного вектора `|vec(B_2B_1)|=A_1` будет наибольшей. Если радиус отверстия дальше увеличивать, то открытие новых участков волновой поверхности падающей волны не увеличит интенсивность, а уменьшит. В конце концов, при таком размере отверстия, когда запаздывание по фазе крайних волн относительно центральных станет равным `2pi`, многоугольник векторов должен бы был замкнуться. При этом крайние векторы должны стать параллельными, а длина суммарного вектора `|vec(B_2B_1)|=0` стать наименьшей.

    Однако, на самом деле, по мере удаления от центра, амплитуда вторичных волн уменьшается как из-за увеличения расстояния, так и из-за уменьшения `cosbeta_i` (этими факторами мы пренебрегали для малого отверстия). Поэтому многоугольник не замкнётся в точке `B_2`. Конец последнего вектора будет располагаться внутри многоугольника. При дальнейшем увеличении размера отверстия ситуация будет повторяться. При задержке по фазе крайних вторичных волн относительно центральных на нечётное число `pi`, в точке наблюдения будут наблюдаться максимумы интенсивности, а при чётном числе `pi` - минимумы. Надо отметить, что последующие минимумы и максимумы не будут настолько выраженными, как первые, потому что наша диаграмма будет напоминать скручивающуюся спираль. Поэтому амплитуды последующих максимумов меньше, чем предыдущих, а амплитуды последующих минимумов больше, чем предыдущих.

    Участки волновой поверхности падающей волны на круглом отверстии принято разбивать на зоны Френеля, начиная от центра. Фазы вторичных волн, пришедших в точку наблюдения от границ одной зоны, отличаются на `pi`. Можно сказать, что интенсивность в точке наблюдения максимальна, если открыта только первая зона Френеля, и минимальна, если открыты только две первых зоны Френеля.

    Если полностью убрать экран, то спираль диаграммы «свернётся» полностью, и конец последнего вектора окажется в центре начального многоугольника. Очевидно, что амплитуда колебаний в точке наблюдений соответствует интенсивности падающей на экран волны `A_0~sqrt(I_0)`. Если длины векторов `DeltaA` уменьшить так, чтобы они стали бесконечно малыми, то исходный многоугольник превратиться в окружность радиуса `A_0`. Считая, что спираль диаграммы «сворачивается» медленно, можно по теореме косинусов определить длину суммарного вектора (см. рис. 15)

    `A^2=2A_0^2(1-cosvarphi)->I=2I_0(1-cosvarphi)=`

    `=2I_0(1-cos((2pi)/lambda(sqrt(z_0^2+R^2)-z_0)))`.

    Пример 4 (линза)

    Решить предыдущую задачу при условии, если отверстие прикрыто плосковыпуклой тонкой линзой с фокусным расстоянием `F=z_0`.

    Решение

    Из геометрической оптики мы знаем связь фокусного расстояния `F` с радиусами кривизны поверхностей линзы `R_1` и `R_2` и показателем преломления материала `n`, из которого она изготовлена

    `1/F=(n-1)(+-1/R_1+-1/R_2)->1/z_0=(n-1)/rho`,

    где `rho` - радиус кривизны задней поверхности линзы. В отличие от предыдущего примера, линза изменяет фазы световых колебаний в различных точках отверстия, потому что свету приходиться проходить разную толщину материала линзы (модуль волнового вектора в материале и воздухе различный). Чтобы рассчитать распределение фаз непосредственно за линзой (в плоскости `Oxy`), будем считать, что при распространении внутри линзы свет подчиняется законам геометрической оптики. Для тонких линз дифракционным расхождением луча пренебрежём. Тогда мы можем считать, что свет, пройдя через некоторую точку на передней поверхности линзы, пойдёт внутри неё параллельно оси симметрии отверстия. Затем он преломится на границе «линза-воздух». Из-за того, что линза тонкая, смещение луча вдоль оси `Ox` (см. рис. 16) будет пренебрежимо мало.

    Пусть максимальная толщина линзы равна `h`. Тогда, приняв при `z_1=-h` фазу колебаний за ноль, найдём разность фаз лучей `2` и `1` (см. рис. 16) при `z_2=0`

    `varphi_2-varphi_1=(omegat-(h+z(x))(2pi)/lambda n+z(x)(2pi)/lambda)-(omegat-h(2pi)/lambda n)=`

    `=-z(x)(2pi)/lambda (n-1)`,

    где `z(x)` - функция, описывающая кривую поверхность линзы. Эту функцию легко получить из уравнения окружности с учётом `z< <x`

    `(z(x)+rho)^2+x^2=rho^2->z(x)~~-(x^2)/(2rho)`.

    Тогда

    `varphi_2-varphi_1=(x^2 2pi)/(2rholambda)(n-1)=(pix^2)/(lambdaz_0)`.

    Чтобы понять, как изменяется разность фаз при изменении `x`, используем производную

    `Deltavarphi=((pix^2)/(lambdaz_0))^'Deltax=(2pixDeltax)/(lambdaz_0)`.

    Прохождение света через линзу вносит такую же по величине разность фаз, как и распространение от некоторой точки отверстия до точки наблюдения, расположенной на оси симметрии на фокусном расстоянии от экрана, но с обратным знаком! Т. е. для точки фокуса поворот векторов `DeltaA` из-за задержки вторичных волн от периферийных колец на диаграмме полностью компенсируется поворотом этих векторов в обратную сторону из-за того, что периферийному свету приходится проделывать меньше путь в материале линзы. Это означает, что спираль Френеля «распрямляется» в линию. Длина суммарного вектора в этом случае равна длине участка спирали

    `A=A_0varphi=A_0(2pi)/lambda(sqrt(z_0^2+R^2)-z_0)->I=I_0((2pi)/lambda)^2(sqrt(z_0^2+R^2)-z_0)^2`.

    Обратите внимание, что в фокусе амплитуда колебаний не бесконечна, как это предсказывает геометрическая оптика.

    Кроме того, как мы видели, в фокальной плоскости собирающей линзы колебания вторичных волн, излучённые источниками на волновой поверхности «первичной», остаются синфазными. Об этом как раз и говорилось выше, при изучении интерференции, как о свойстве линзы «не изменять фазу лучей, прошедших через неё». Если в некотором опыте собрать почти параллельные лучи на экране с помощью линзы, то картина будет такой же, как если бы мы рассматривали картину без линзы на очень далёком расстоянии.

    Дифракция «в параллельных лучах» очень часто встречается в практике физического эксперимента и в обычной жизни. Ей даже дали отдельное название: дифракция Фраунгофера. Принцип Гюйгенса-Френеля в случае дифракции Фраунгофера применить значительно проще, потому что легче рассчитать разность фаз между вторичными волнами. Это позволяет легко рассчитать интенсивность света не в одной удобной точке (как в примерах на дифракцию Френеля), а во всех точках экрана.

    Пример 5 (дифракция Фраунгофера на щели)

    На длинную щель в экране шириной `b` нормально падает плоская монохроматическая волна длиной `lambda` от удалённого точечного источника света. Определите дифракционную картину на удалённом экране или в фокальной плоскости собирающей линзы.

    Решение

    Рассуждения будут похожи на те, что были проведены для круглого отверстия. Окружим источник света большой замкнутой поверхностью. Будем учитывать только вклад вторичных источников на щели. Мысленно разобьём щель на группы точечных вторичных источников в форме длинных узких полосок, параллельных длинной стороне щели. Из симметрии следует, что фронт суммарной вторичной волны от каждой из этих групп будет представлять собой цилиндр. Поскольку в каждой точке фокальной плоскости линзы фокусируется волна, идущая под определённым углом `theta` к оси, то нужно рассмотреть волновое поле за щелью как совокупность плоских волн, распространяющихся под различными углами к оси `Oz` (это можно сделать согласно теореме Фурье). Рассмотрим группу вторичных источников, генерирующих волну, распространяющуюся под углом `theta` к оси `Oz`. Очевидно, начальная фаза колебаний этих вторичных источников должна зависеть от их координаты `x` вдоль щели по линейному закону (см. рис. 17).

    Действительно, выделим на рисунке полоску шириной `Deltax_i` в точке с координатой `x_i`. Расстояние от этой полоски до волновой поверхности, пересекающей экран в точке с координатой `x_0=0`, равно `x_isintheta`. Тогда сдвиг фаз будет вычисляться по формуле

    `varphi_i=kx_isintheta`.

    Пренебрежём изменением амплитуды вторичных волн от разных источников из-за малости угла `theta` (и, соответственно, небольшого различия в расстоянии до источника).

    `a_0/r_i=a="const"`.

    Тогда по принципу Гюйгенса-Френеля поле суммарной плоской волны, распространяющейся под углом `theta` к оси, равно

    `E=sum DeltaE_i=(ka)/(2pi) sum cos(omegat-kx_isintheta)hDeltax_i`.

    Найдём сумму с помощью векторной диаграммы. Если выбрать ширину тонких полосок одинаковой

    `Deltax_1=Deltax_2=Deltax_2=...=Deltax`

    и пренебрежимо малой, то длина складываемых векторов будет также одинаковой

    `(kah)/(2pi)Deltax_1=(kah)/(2pi)Deltax_2=(kah)/(2pi)Deltax_2=...=(kah)/(2pi)Deltax=DeltaA`

    и угол поворота следующего вектора относительно предыдущего тоже будет одинаков

    `kDeltax_1sintheta=kDeltax_2sintheta=kDeltax_2sintheta=...=kDeltaxsintheta=Deltavarphi`.

    Тогда участок диаграммы, соответствующий вторичным источникам на щели, будет представлять собой дугу окружности радиусом (рис 18)

    `R=(DeltaA)/(Deltavarphi)=((kah)/(2pi)Deltax//kDeltaxsintheta)=(ah)/(2pisintheta)`

    и центральным углом

    `gamma=sumDeltavarphi_i=ksintheta sum Deltax_i=kbsintheta`.

    По теореме косинусов

    `I(theta)~A^2=2R^2(1-cosgamma)=4R^2sin^2  gamma/2=((ah)/gamma)^2*((sin((kbsintheta)/2))/((kbsintheta)/2))^2`.

    В фокальной плоскости линзы на экране данная волна сфокусируется в полоску на расстоянии `x^'=F*"tg"theta` от главной оптической оси. Если пренебречь отличием тангенса от синуса для малого `theta`, то зависимость освещённости точек экрана от координаты будет описываться функцией вида

    `y=((sinx^')/x^')^2`.

    График этой зависимости представлен на рисунке 19.

    Можно отметить, что изображение щели не будет иметь резких границ: освещенность от центра к периферии убывает плавно. Кроме того, изображение по краям в области тени сопровождается множеством более тусклых полосок. Очевидно, что минимумы освещённости будут соответствовать углам, при которых синус становится равным нулю

    `(kbsintheta_m)/2=mpi->sin theta_m=mlambda/b,m in Z,m!=0`.

    Расчёт отлично согласуется с наблюдениями. Угол в направлении на первый минимум `sintheta_1=lambda/b` можно интерпретировать как дифракционное уширение пучка параллельных лучей. Этот угол характерен для любой формы одиночного отверстия, а не только прямоугольной щели, с точностью до коэффициента порядка единицы. Поэтому этот результат важно запомнить.

    `theta_"дифр"~lambda/b`,

    где `b` - характерный размер одиночного препятствия. Например, точное решение для задачи дифракции Фраунгофера для круглого отверстия приводит к результату

    `theta_("дифр"_"кр")=1,22 lambda/D`,

     где `D` - диаметр отверстия.

    Понимание этого факта позволяет оценить границы применимости геометрической оптики. Можно рассуждать так. Распространяясь за препятствием на расстояние `z`, волна «зайдёт» в область тени на расстояние `delta~theta_"дифр" z~lambda/b z`.. Если это расстояние много меньше характерного поперечного размера светового пучка (или тени), то дифракционным уширением можно пренебречь. Поперечный размер обычно определяется размером препятствия `b`. Тогда критерий применимости геометрической оптики можно записать как

    `delta< <b->lambda/b z< <b -> b> >sqrt(lambdaz)`.

    Пример 6 (дифракционная решётка)

    От удалённого точечного источника света на `N> >1` длинных параллельных щелей шириной `b`, проделанных в экране через одинаковое расстояние `d`, нормально падает плоская монохроматическая волна длиной `lambda`. Определите дифракционную картину на удалённом экране или в фокальной плоскости собирающей линзы.

    Решение

    Излучение плоской электромагнитной волны по направлению, составляющему угол `theta` c нормалью к экрану, было изучено в предыдущем примере. Амплитуда напряжённости поля этой волны описывается выражением

    `A_1(theta)=(ah)/lambda*(sin((kbsintheta)/2))/((kbsintheta)/2)`.

    Каждая из `N` щелей генерирует в данном направлении с амплитудой `A_1(theta)`. Сдвиг по фазе между соседними источниками также будет одинаковый

    `Deltavarphi=ksinthetad`.

    По принципу суперпозиции требуется сложить напряжённости волн от всех щелей

    `E_N=Lambda_1(theta)(cos(omegat-Deltavarphi)+cos(omegat-2Deltavarphi)+...+cos(omegat-NDeltavarphi))`.

    Суммирование просто провести с помощью векторной диаграммы. На рисунке 20, для примера построена векторная диаграмма для сложения колебаний от `N=4` щелей.

    В отличие от решения в примере 5, ломаная `B_0B_1B_2B_3B_4` не может быть приближена окружностью, потому что как амплитуду вторичных волн каждой щели, так и разность фаз между соседними волнами мы не можем считать бесконечно малыми. Однако можно считать, что все серединные перпендикуляры к звеньям ломаной пересекаются в точке `O` (докажите!). Рассмотрим прямоугольные треугольники `B_0H_1)` и `B_4H_4O`.

    `c=OB_0=OB_4=A_1/(sin  (Deltavarphi)/2)=A_3/(sin  (ksinthetad)/2)`.

    Центральный угол равен

    `gamma=NDeltavarphi=Nksinthetad`.

    По теореме косинусов

    `I(theta)~A^2-c^2sin^2  gamma/2-(A_1/(sin  (ksinthetad)/2))^2*sin^2  (Nksinthetad)/2=`

    `=((ah)/lambda)^2*((sin((kbsintheta)/2))/((kbsintheta)/2))^2*((sin ((Nksinthetad)/2))/(sin  (ksinthetad)/2))^2`.

    Угол `gamma` может принимать сколь угодно большое значение, но угол треугольника всегда будет равен `gamma` с точностью до целого числа `2pi`. Учитывая периодичность функции косинуса, полученная формула применима для любых значений `gamma`. Если пренебречь отличием тангенса от синуса для малого `theta`, то зависимость освещённости точек экрана за линзой от координаты будет описываться функцией вида

    `gamma=((sinx^')/x^')^2((sin(N d/b x^'))/(sin(d/b x^')))^2`.

    На рисунке 21 приведен график функции для `N=16` и `a/b=2`. Слева на рисунке приведён общий вид графика, а справа масштаб растянут по оси `Oy`, поэтому верхушка графика «обрезана».

    Правый рисунок показывает, что изображение на экране будет состоять из ярких тонких полос, разделённых тёмными промежутками. Эти полосы называют главными максимумами. Яркость главных максимумов убывает от центра экрана к краям. Можно заметить, что расстояние между соседними главными максимумами примерно `pi//2`. Это и не удивительно: главные максимумы возникают, когда волны от всех щелей складываются синфазно. На векторной диаграмме это выглядело бы как, если все вектора были бы параллельны. Для этого необходимо, чтобы угол поворота (разность фаз между волнами от соседних щелей) был кратен `2pi`.

    `Deltavarphi=ksinthetad=2pim->dsintheta=mlambda,m in Z`.

    Главные максимумы можно сделать очень узкими, взяв большое число щелей. Кроме того, положение главного максимума однозначно определяется длиной волны. Поэтому дифракционную решётку удобно использовать для спектрального анализа излучения.

    На левом, растянутом по вертикали, рисунке отчётливо видно, что в промежутках между яркими полосами расположены значительно менее яркие полосы, которые называют второстепенными максимумами.






  • Введение

    При изучении геометрической оптики мы представляли свет, как нечто, передающее энергию от источника света к приёмнику вдоль бесконечно тонких трубок - лучей. Законы геометрической оптики предсказывали ход лучей в пространстве и позволяли грубо решить вопрос о распределении световой энергии в пространстве при образовании тени за непрозрачными предметами и создании изображений источников света.

    Однако есть много световых явлений, которые невозможно описать с помощью геометрической оптики.

    Например, давно замечено, что при рассматривании с помощью микроскопа объектов меньших некоторого размера, их увеличенные изображения сильно искажаются. Для совсем малых объектов изображения практически не возникает. Свет как будто не замечает объекта, огибая его. Это явно противоречит представлениям геометрической оптики о прямолинейности хода лучей в оптически однородной среде (воздухе). Если бы свет распространялся вдоль лучей, то форма изображения объекта не искажалась для любых его размеров. Отклонение законов распространения света за препятствиями от законов геометрической оптики назвали дифракцией света.

    Ещё один важный пример. Если поставить на стол свечу, то освещённость точек столешницы будет плавно изменяться в зависимости от расстояния до свечи. Поставим рядом вторую такую же свечу. Жизненный опыт нам подсказывает, что освещённость точек стола увеличится (примерно в 2 раза), но её пространственное распределение останется плавным. Это вполне согласуется с представлениями геометрической оптики. Действительно, световые мощности от двух свечей, падающие на один и тот же небольшой кусочек стола, складываются. Если считать, что энергия распространяется вдоль лучей, то мощность, приходящаяся на единицу площади, обратно пропорциональна квадрату расстояния до пламени свечи. Таким образом, чтобы получить пространственное распределение освещённости точек столешницы, нам нужно сложить две монотонные функции вида `~r^(-2)`. Разумеется, результатом сложения будет распределение освещённостей с максимумом вблизи свечей и убыванием до нуля в бесконечности.

    Совершенно другой результат может получиться, если вторую свечу заменить отражением первой. Мы можем, например, вблизи свечи расположить вертикальное плоское зеркало. Лучи, отражённые от зеркала, согласно законам геометрической оптики, эквивалентны лучам второй свечи из предыдущего опыта. И можно было бы ожидать такого же, как в предыдущем опыте, распределения освещённости по столешнице. Однако, при подходящих условиях, можно наблюдать на столешнице чередование тёмных и светлых полос, что противоречит законам геометрической оптики. Это происходит потому, что во втором опыте свет, падающий на стол от свечи напрямую, и свет, падающий на стол после отражения от зеркала, не являются независимыми (поскольку в данном случае они излучены одним и тем же источником). Такие световые пучки, сложение которых может привести к чередованию максимумов и минимумов освещённости в пространстве, называются когерентными. Далее мы более подробно узнаем, какие пучки света можно считать когерентными. Явление перераспределения света в пространстве, связанное с наложением когерентных пучков света, назвали интерференцией.

    И еще один пример - дневное свечение неба. Безоблачный небосвод днём выглядит так, как если бы он был твёрдой шероховатой поверхностью, покрашенной голубой краской. Однако достоверно известно, что «небесной тверди» не существует, а объяснить свечение слоя воздуха диффузным отражением невозможно.

    Воздух кажется вполне однородным. И по законам геометрической оптики солнечные лучи должны быть прямыми в оптически однородной среде, поэтому мы должны были бы увидеть только изображение Солнца на чёрном небосводе. Но из-за теплового хаотического движения в разных местах воздушного слоя в различные моменты времени возникают сгущения и разрежения молекул. Это приводит к локальному изменению плотности воздуха в этих местах, а, значит, к локальному изменению показателя преломления. Учёные связали свечение неба с переизлучением падающего солнечного света этими оптическими неоднородностями. Подобное же явление можно наблюдать, например, в очень слабом растворе молока, где в роли оптических неоднородностей выступают взвешенные в воде шарики жира. Если направить луч лазерной указки на кювету с таким раствором, то можно с помощью белого листочка - экрана наблюдать, что значительная часть световой энергии рассеивается по направлениям, перпендикулярным лучу лазера. Явление переизлучения оптическими неоднородностями среды падающего света по всем направлениям назвали рассеянием света. Важно не путать его с дифракцией. При дифракции оптические неоднородности не переизлучают свет, а считаются пассивными экранами, подчиняющимися законам геометрической оптики.

    Нельзя не упомянуть, что геометрическая оптика никак не объясняет различие показателей преломления одного и того же вещества для света различных цветов - дисперсию света. Геометрическая оптика также не сможет нам помочь в описании поглощения света веществом. Хотя это явление действительно имеет место. Достаточно вспомнить, например, что в море на глубинах больше нескольких десятков метров уже царит мрак. Только часть световой энергии отражается от поверхности моря. Значит, остальная энергия рассеивается на неоднородностях (частично выходя через поверхность в воздух) и поглощается в поверхностном слое воды.

    Для описания этих и многих других явлений необходимо было создать новую модель света.

  • 1. Электромагнитные волны

    Явление электромагнитной индукции заключается в том, что переменное электрическое поле в некоторой области создаёт в соседних областях магнитное поле, а переменное магнитное поле создаёт электрическое. Если созданные поля окажутся переменными (например, созданные ускоренно движущимися заряженными частицами), то они в свою очередь индуцируют в соседних областях электромагнитное поле, если оно окажется переменным, то оно опять создаст в соседних областях поле и т. д. Таким образом, электромагнитные колебания могут распространяться в пространстве с течением времени. Такой процесс называется волной. В данном случае его можно назвать электромагнитной волной. К сожалению, математическая программа средней школы не позволяет показать, как из основных уравнений электродинамики получается волновое уравнение, решением которого является электромагнитная волна. Зависимость напряжённости поля `E` в волне от координаты и времени для однородной непроводящей среды с диэлектрической проницаемостью `epsilon` и магнитной проницаемостью `mu` может быть представлена в виде суммы произвольных функций `f` и `g`, зависящих от аргументов, указанных в скобках:

    `E=f(x-vt)+g(x+vt)`,  где

    `v=1/(sqrt(epsilon_0mu_0epsilonmu))=c/(sqrt(epsilonmu))=c/n`,

    `(epsilon_0=8,85*10^(-12)"Ф"/"м",  mu_0=4pi*10^(-7)"Гн"/"м",  c=3*10^8"м"/"c")`,

    может быть интерпретирована как скорость электромагнитных волн, бегущих в положительном и отрицательном направлениях оси `Ox`. Действительно, все точки графика функции `f` за время `t` сместятся в положительном направлении оси `Ox` на расстояние `vt`. А все точки графика функции `g` за время `t` сместятся на расстояние `vt` в отрицательном направлении оси `Ox`. Получается, как будто пространственные распределения напряжённости поля смещаются со скоростями `v` в противоположных направлениях. Число `n=sqrt(epsilonmu)` показывает, во сколько раз скорость волны в среде меньше, чем в вакууме `(epsilon=mu=1)`. По аналогии с геометрической оптикой это число можно назвать показателем преломления среды.

    Была высказана смелая гипотеза, что свет - это электромагнитная волна. В пользу этой гипотезы говорил тот факт, что результаты прямых измерений скорости света в вакууме показали поразительное совпадение со значением электродинамической постоянной `c=3*10^8"м"/"c"`.

    Атомы среды состоят из ядер, вокруг которых движутся электроны. Поле электромагнитной волны взаимодействует с ними, и в результате взаимодействия само преобразуется. Поскольку для движения электронов в атомах характерны «собственные» частоты, результат взаимодействия волны с атомом будет иметь резонансный характер. Поэтому для анализа процессов излучения, распространения и поглощения света полезно применить понятие «монохроматическая волна» - волна, зависимость напряжённости поля от координат и времени в которой, описывается гармонической функцией (синусом или косинусом) определённой частоты. По теореме Фурье произвольная функция может быть представлена в виде суммы бесконечного числа гармонических функций с различными частотами. Такое разложение называют спектром функции, а его составляющие гармониками спектра. Многие приборы могут физически разделять спектр падающего света на гармоники. Например, человеческий глаз создаёт цветовые ощущения. Гармоники различных частот вызывают ощущения различного цвета. Отсюда, кстати, и возникло название «монохроматическая», т. е. «одноцветная» волна. Ещё один пример. Стеклянная призма выделяет из белого света гармоники, отклоняя соответствующие им монохроматические волны на разные углы.

    Запишем плоскую монохроматическую волну в виде функции `x` и `t`:

    `E=E_0cos(omegat-kx+varphi_0)=E_0cos(k(x-omega/k t)+varphi_0/k)`,

    где `k`, `omega`, `E_0`, `varphi_0` - некоторые числа. Очевидно, что она является решением волнового уравнения. График этой функции – косинусоида, смещающаяся в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `v=omega//k`. Расстояние между соседними максимумами косинусоиды называется длина волны `lambda`. При изменении `x` на `lambda` аргумент косинуса должен измениться на `2pi`.

    `klambda=2pi`.

    Будем наблюдать за изменениями напряжённости поля в некоторой фиксированной точке с течением времени. Очевидно, это также будет косинусоида. По прошествии периода `T` аргумент косинуса должен измениться на `2pi`.

    `omegaT=2pi`.

    Этими двумя соотношениями `k` - волновое число, `omega` - циклическая частота связываются с длиной волны `lambda` и периодом колебаний `T`, и частотой `nu=1//T`.

    В плоской монохроматической волне `E_0` - амплитуда напряжённости поля постоянна. Аргумент косинуса называется фазой. Поверхности равной фазы - волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные оси `Ox` (при определённых `x` и `t` фаза - определённое число). Из-за этого волну называют «плоской». Поверхности равной фазы перемещаются со скоростью `v=omega//k`. Поэтому эту скорость называют фазовой.

    Уравнение волны, направленной под произвольным углом к осям системы координат можно записать как

    `E=E_0cos(omegat=k_x x-k_y y-k_z z+varphi_0)=`

    `=E_0cos(omegat-(veck,vecr)+varphi_0)`,

    если ввести волновой вектор `|veck|=k`, направленный перпендикулярно волновым поверхностям.

    Из сказанного выше следует, что длина волны и частота связаны в вакууме `(n=1)` соотношением `lambdanu=c`. Поэтому классификацию электромагнитных волн можно проводить как по частоте, так и по длине волны. В современной физике устоялась шкала электромагнитных излучений, в которой радиоволны различных частот (длин волн) сгруппированы по схожести источников, приёмников и особенностям взаимодействия с веществом.

    Из уравнений электродинамики следует (вывод выходит за рамки программы), что в плоской монохроматической электромагнитной волне, распространяющейся в однородной непроводящей среде, как вектор магнитной индукции `vecB`, так и вектор напряжённости электрического поля `vecE` перпендикулярны направлению распространения волны. Кроме того, эти вектора перпендикулярны друг другу (см. рис. 1). В любой момент времени, если расположить винт с правой резьбой («буравчик») перпендикулярно этим векторам, и начать вращать его так, как если бы мы собирались повернуть вектор `vecE` к `vecB` по кратчайшему пути, то винт («буравчик») будет двигаться в сторону распространения волны. При этом колебания величин `|vecE|=E(x,t)` и `|vecB|=B(x,t) происходят в одной фазе и

    `E(x,t)=v*B(x,t)`.

    Плоскость, в которой колеблется вектор `vecE`, называют плоскостью колебаний, а плоскость, в которой колеблется вектор `vecB`, называют плоскостью поляризации. Если эти плоскости сохраняют свою ориентацию при распространении волны, волну называют линейно поляризованной. Если плоскости колебаний и поляризации с течением времени поворачиваются «по» или «против» часовой стрелки, то говорят о циркулярно (по кругу) поляризованной волне.

    Свет от природных источников является совокупностью излучений множества атомов. Обычно они излучают независимо друг от друга. Поэтому ориентация плоскостей колебаний и поляризации такой электромагнитной волны, в точке приёма меняется хаотически с течением времени. Такую волну называют естественным светом. Есть несколько способов получить из естественного света линейно поляризованный свет: отражение от поверхности диэлектрика под определённым углом, использование дихроичных пластинок и двулучепреломляющих кристаллов.

    Устройства, выделяющие из естественного света линейно поляризованный, называются поляризаторами. Поляризаторы пропускают электромагнитные волны, плоскость колебаний которых ориентирована как разрешённое направление поляризатора. Согласно закону Малюса, амплитуда напряжённости электрического поля волны, прошедшей через поляризатор

    `E_0^'=E_0*cosalpha`,

    где `E_0` - амплитуда напряжённости электрического поля волны, падающей на поляризатор, `alpha` - угол между разрешённым направлением поляризатора и плоскостью колебаний падающей волны. Можно направить электромагнитную волну нормально на поляризатор и, вращая его, измерять амплитуду поля прошедшей волны, исследуя степень поляризации света `P`:

    `P=(I_max-I_min)/(I_max+I_min)`,

    где `I_max` и `I_min` - max и min интенсивности, прошедшего через поляризатор света. Таким образом, поляризаторы могут быть использованы для анализа поляризации электромагнитного излучения. В этом случае их называют анализаторы.

    Практически все физические приборы (в т. ч. и глаз) реагируют на электрическое поле волны, но регистрируют не амплитуду поля `E_0`, а среднюю мощность, приходящуюся на единицу поверхности светочувствительного датчика (освещённость). Свяжем эту величину с амплитудой плоской монохроматической волны. Для этого введём понятие интенсивности. Интенсивность волны `I` - физическая величина, равная средней мощности, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

    Выделим в окрестности некоторой точки участок волновой поверхности (перпендикулярна направлению распространения) площадью `S`. За время `Deltat`ч ерез этот участок волна перенесёт энергию, заключавшуюся в объёме цилиндра высотой `vDeltat` и площадью основания `S`. Если обозначить объёмную плотность электрического и магнитного полей как `omega_e` и `omega_m` соответственно, то

    `I=((omega_e+omega_m)SvDeltat)/(SDeltat)=(:omega_e+omega_m:)v=(:(epsilon epsilon_0E^2)/2+B^2/(2mu mu_0):)*1/(sqrt(epsilon_0 mu_0epsilonmu))=`

    `=(epsilon_0epsilon(:E^2:))/(sqrt(epsilon_0mu_0epsilonmu))=sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))(:E^2:)=sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))*E_0^2/2~E_0^2`.

    Угловые скобки здесь указывают на усреднение величины по большому, по сравнению с периодом колебаний поля, времени (обычно это условие очень хорошо выполняется для всех регистрирующих приборов, так время реакции глаза, например, `0,04` с). В выводе была использована связь напряжённостей электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне `E=v*B` и тот факт, что

    `(:cos^2omegat:)=(:(1+cos2omegat)/2:)=1/2+(:cos2omegat:)/2=1/2`.

    Учитывая, что интенсивность пропорциональна амплитуде напряжённости электрического поля плоской волны, можно записать закон Малюса в виде

    `I^'=Icos^2alpha`,

    где `I` - интенсивность падающей на поляризатор волны, `I^'` - интенсивность прошедшей через поляризатор волны. Если направить на поляризатор естественный свет, то угол `alpha` будет равновероятно принимать все возможные значения. Мы уже знаем, что в этом случае средний квадрат косинуса равен `0,5`. Поэтому интенсивность естественного света, прошедшего через поляроид (и ставшего линейно поляризованным), уменьшается в 2 раза.

    Плоскую монохроматическую волну можно наглядно представить как движущиеся со скоростью `v` в направлении `Ox` графики зависимостей `E(x)` и `B(x)`, изображённые на плоскостях `Oxy` и `Oxz`. Графики зависимостей `E(x)` и `B(x)` - косинусоиды с периодом `lambda` и одинаковыми начальными фазами. Амплитуды связаны соотношением `E_0=v*B_0`.

    Необходимо осознавать, что рассмотренная нами плоская монохроматическая волна - всего лишь модель реальной электромагнитной (световой) волны, аналогичная параллельному пучку лучей в геометрической оптике. Реально, конечно же, не бывает бесконечных во времени и пространстве процессов. Обычно источник волны излучает конечное время. Поэтому волна состоит из отрезков косинусоид - цугов, испущенных разными атомами в разные моменты времени (даже если цуги накладываются один на другой, то, как мы узнаем далее, сумма косинусоид - тоже косинусоида). Кроме того, интенсивность волны уменьшается по мере удаления от источника. Для учёта последнего замечания можно попробовать «усовершенствовать» плоскую монохроматическую волну, заставив её амплитуду уменьшаться по мере удаления от некоторой точки - источника волны.

    `E=E_0(r)cos(omegat-kr+varphi_0)`.

    Закон изменения амплитуды от расстояния `E_0(r)` следует из закона сохранения энергии. Рассмотрим точечный источник света в оптически однородной среде. Тогда из-за того, что фазовая скорость во всех точках пространства одинакова, волновой поверхностью излучённой волны окажется сфера с центром в источнике. Пренебрежём поглощением среды. Тогда количество световой энергии, поступающей в некоторую область среды за определённое время, должно быть в точности равно количеству энергии, покидающей эту область за то же самое время. Выделим область, ограниченную сферами радиусом `r_1` и `r_2` с центром в источнике волн и конусом с вершиной в источнике волн. Из симметрии ясно, что энергия будет переноситься только через «сферические» границы области. Площади этих участков сферы пропорциональны квадрату радиуса, поэтому энергетический баланс для области

    `I_1*Omega_1^2*Deltat-I_2*Omega_2^2*Deltat=0->`

    `->I_1r_1^2-I_2r_2^2=Ir^2="const"`,

    где `I_1` и `I_2` - интенсивности волны в точках первой и второй сфер соответственно, `Omega` - коэффициент пропорциональности между площадью участка сферы, ограниченного пересечением с центральным конусом и квадратом радиуса (телесный угол), `Deltat` - некоторый промежуток времени.

    Угол при вершине конуса мы можем взять сколь угодно малым. Тогда сферический участок волновой поверхности можно, с какой угодно точностью считать плоским. Интенсивность плоской волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля

    `Ir^2="const"->E_0^2r^2="const"^'->E_0(r)=("const"^'')/r`.

    Итак, уравнение сферической монохроматической волны можно записать так

    `E=(A(theta,delta))/rcos(omegat-kr+varphi_0)`,

    где `A(theta,delta)` - некоторая функция угловых координат `theta` и `delta` сферической системы отсчёта, которая должна быть такой, чтобы `E` удовлетворяло волновому уравнению. Можно проверить, что в частном случае

    `A(theta,delta)=a="const"`

    сферическая волна

    `E=a/r cos(omegat-kr+varphi_0)`

    является решением волнового уравнения. Ещё одним важным частным случаем сферической волны является излучение точечного диполя, момент которого изменяется по гармоническому закону

    `vecp=vecp_0*cosomegat`.

    Решение уравнений электродинамики в данном случае также выходит за рамки программы, поэтому приведём лишь результат. Амплитуда сферической волны будет зависеть от угла `theta`, который составляет направление распространения с осью диполя

    `E=(k_eomega^2p_0sintheta)/(epsilonnu^2r)*cos(omegat-kr+varphi_0)`,

    `B=E/nu=1/nu*(k_eomega^2p_0sintheta)/(epsilonnu^2r)*cos(omegat-kr+varphi_0)`.

    Используем уже полученное нами выражение для интенсивности и получим интенсивность света, распространяющегося в определённом направлении

    `I=sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))*(E_0^2)/2=1/2sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))*((k_"в"omega^2p_0sin theta)/(epsilonv^2r))=`

    `=(p_o^2omega^4)/(32pi^2v3/2r^2)sin^2theta`.

    Эта интенсивность пропорциональна квадрату синуса между направлением распространения и осью диполя. Чтобы представить наглядно эту зависимость, изображают диаграмму направленности: от точки, изображающей колеблющийся точечный диполь, по разным направлениям откладывают отрезки, длина которых пропорциональна интенсивности волны по данному направлению. Получившаяся линия напоминает цифру `«8»` (см. рис. 2). Из диаграммы направленности точечного диполя видно, что максимум интенсивности излучается перпендикулярно оси диполя, а в направлении оси диполя излучение отсутствует.

    Полученный результат важен для теории рассеяния света. Если размеры оптических неоднородностей в среде много меньше длины падающей на них волны, то можно считать, что напряжённость электрического поля во всех точках неоднородности одинакова и меняется синфазно (одновременно). Под действием электрического поля падающей волны вещество неоднородности поляризуется. Поляризация однородна (одинакова во всех частях неоднородности) и изменяется по гармоническому закону с частотой поля. Эти изменения можно представить в виде осциллирующего диполя. На расстояниях, значительно больших, чем размер неоднородности, диполь можно считать точечным. Его излучение было рассчитано выше.

    Интенсивность излучения пропорциональна четвёртой степени частоты падающего света. Это объясняет голубой цвет небосвода. Согласно шкале электромагнитных излучений, наибольшей частотой характеризуется фиолетовый свет, а наименьшей – красный. Интенсивность переизлучения волн фиолетового края спектра намного больше, чем переизлучение красного края спектра. Смесь переизлученных неоднородностями атмосферы волн разной частоты в определённой выше пропорции воспринимается глазом как голубой свет. Цвет неба и Солнца на закате красноватый из-за того, что «закатные» солнечные лучи проходят значительный путь в плотных слоях атмосферы, в связи с чем их спектр обедняется короткими волнами (фиолетовый край), которые рассеиваются в стороны.

  • 2. Отражение и преломление

    Из геометрической оптики мы знаем, что при прохождении света через границу диэлектриков он частично отражается, а частично преломляется. Опишем эти процессы с волновой точки зрения. Характеристики электромагнитного поля `E` и `B` по разные стороны от границы диэлектриков связаны т. н. граничными условиями:

     `epsilon_1E_(n_1)=epsilon_2E_(n_2)` ,       `E_(tau_1)=E_(tau_2)`,

    `B_(n_1)=B_(n_2)`,      `B_(tau_1)/mu_1=B_(tau_2)/mu_2`,

    где `E_(n_1)`, `E_(n_2)`, и `B_(n_1)`, `B_(n_2)` - проекции силовых характеристик поля в точках, расположенных в непосредственной близости к границе в диэлектриках `1` и `2` соответственно, на нормаль к границе раздела диэлектриков, `E_(tau_1)`, `E_(tau_2)` и `B_(tau_1)`, `B_(tau_2)` - проекции на плоскость границы раздела.

    Эти соотношения напрямую следуют из свойств электрического поля. Например, условие `E_(tau_1)=E_(tau_2)` следует из того, что электрическое поле потенциально. Действительно, работа электрических сил по замкнутому пути равна нулю. Представим себе замкнутый прямоугольный контур, пересекающий границу диэлектриков так, что две стороны этого контура длиной `L` параллельны границе и идут по обе её стороны, а оставшиеся две очень короткие. Работа поля при перемещении некоторого заряда по контуру

    `A=qE_(tau_1)L-qE_(tau_2)L=0->E_(tau_1)=E_(tau_2)`.

    Остальные граничные условия следуют из квадратичного характера зависимости значений `E` и `B` от расстояния до точечного источника (закон Кулона, закон Био-Савара-Лапласа) и отсутствия магнитного заряда в природе (силовые линии замкнуты).

    Введём декартову систему координат так, что плоскость `Oxy` совпадает с границей раздела диэлектриков. Пусть на границу из среды `1` падает плоская монохроматическая волна.

    `E_"пад"=E_1cos(omega_1t-k_(1_x)x-k_(1_y)y-k_(1_z)z+varphi_(0_1))`.

    Из симметрии следует, что отражённая и преломлённая волны будут также монохроматическими

    `E_"отр"=E_1^'cos(omega_1^'t-k_(1_x)^'x-k_(1_y)^'y-k_(1_z)^'z+varphi_(0_1)^')`,

    `E_"пр"=E_2cos(omega_2t-k_(2_x)x-k_(2_y)y-k_(2_z)z+varphi_(0_2))`.

    По принципу суперпозиции в первом диэлектрике поле является суммой полей падающей и отражённой волн. Тогда граничное условие при `z=0`

    `E_("пад"_tau)+E_("отр"_tau)=E_("пр"_tau)->E_("пад"_x)+E_("пад"_y)+E_("отр"_x)+E_("отр"_y)=E_("пр"_x)+E_("пр"_y)`,

    `(E_(1_x)+E_(1_y))cos(omega_1t-k_(1_x)x-k_(1_y)y+varphi_(0_1))+(E_(1_x)^'+E_(1_y)^')cos(omega_1^'t-k_(1_x)^'x-k_(1_y)^'y+varphi_(0_1)^')=`

    `=(E_(2_x)+E_(2_y))cos(omega_2t-k_(2_x)x-k_(2_y)y+varphi_(0_2))`.

    Множители косинусов не зависят ни от координат, ни от времени. Допустим, что в некоторой точке границы в некоторый момент времени граничное условие, записанное выше, было удовлетворено. Тогда если циклические частоты колебаний падающей, отражённой и преломлённой волн не будут равными, в следующие моменты времени граничное условие будет нарушено. Значит, в стационарном случае необходимо выполнение равенства

    `omega_1=omega_1^'=omega_2=omega`.

    Частоты всех трёх волн одинаковы! При этом длины волн в разных диэлектриках `lambda_(1,2)=2piv_(1,2)//omega` будут различны.

    Теперь зафиксируем момент времени, в который выполнилось граничное условие, и будем мысленно смещаться параллельно оси `Ox` из точки, где в этот момент выполнилось граничное условие. Если значение `k_x` у всех трёх волн не будут совпадать, равенство нарушится. Аналогично при мысленном смещении параллельно оси `Oy`, мы придём к необходимости равенства значений `k_y`

    `k_(1_x)=k_(1_x)^'=k_(2_x)=k_x`

    `->k_(1_tau)=k_(1_tau)^'=k_(2_tau)=k_tau`.

    `k_(1_y)=k_(1_y)^'=k_(2_y)=k_y`

    Из этих равенств можно сделать три важных вывода.

    Во-первых, волновые векторы падающей, отражённой и преломлённой волн `veck_1`, `veck_1^'` и `veck_2` лежат в одной плоскости, перпендикулярной граничной. Эту плоскость мы называли плоскостью падения. Во-вторых, должен быть справедлив закон отражения. Действительно, `k_(1_tau)=k_(1_tau)^'->k_1sinalpha_1=k_1^'sinalpha_1^'->alpha_1=alpha_1^'` т. к. `k_1=k_1^'=omega/v_1`.

    В-третьих, должен быть справедлив закон преломления (Снеллиуса). Действительно, `k_(1_tau)=k_(2_tau)->k_1sinalpha_1=k_2sinalpha_2->omega/v_1 sinalpha_1=omega/v_2 sinalpha_2->n_1sinalpha_1=n_2sinalpha_2`.

    В этих равенствах углы отсчитываются от нормали к границе. Итак, волновой подход позволяет полностью обосновать все факты, изученные нами в геометрической оптике.

    Оценим долю энергии, отражённой от границы. Коэффициент отражения логично определить как отношение интенсивностей отражённой и падающей волн

    `R=(I_"отр")/(I_"пад")=sqrt((epsilon_0epsilon_1)/(mu_0mu_1))*((E_1^')^2)/2//sqrt((epsilon_0epsilon_1)/(mu_0mu_1))*((E_1)^2)/2=((E_1^')/(E_1))^2`.

    Отношение амплитуд напряжённостей электрического поля зависит от угла `beta` между плоскостью колебаний падающей волны и плоскостью падения. При любом значении этого угла по принципу суперпозиции падающую волну можно представить как сумму двух волн, плоскости колебаний которых параллельны и перпендикулярны плоскости падения

    `vecE_"пад"=vecE_("пад""||")+vecE_("пад"_|_)`.

    При этом амплитуды этих волн составят

    `E_(1"||")=E_1*cosbeta`,

    `E_(1_|_)=E_1*sinbeta`.

    Можно рассмотреть отражение каждой из волн

    `E_(1"||")^'=E_(1"||")sqrt(R_"||")=E_1*cosbetasqrt(R_"||")`
    `->`
    `E_(1_|_)^'=E_(1_|_)sqrt(R_(_|_))=E_1*sinbetasqrt(R_(_|_))`


    `->(E_1^')^2=(E_(1"||")^')^2+(E_(1_|_)^')^2=E_1^2(R_"||"cos^2beta+R_(_|_)sin^2beta)`

    `R=R_"||"cos^2beta+R_(_|_)sin^2beta`.

    Если на границу падает естественный свет, то все возможные `beta` равновероятны и

    `R_"ест"=R_"||"(:cos^2beta:)+R_(_|_)(:sin^2beta:)=(R_"||"+R_(_|_))/2`.

    Выберем декартову систему так, чтобы плоскость падения совпадала с плоскостью `Oxz`. Изобразим на рисунке вектора, характеризующие падающую, отражённую и преломлённую волны, для случая, когда плоскость падения совпадает с плоскостью колебаний и для случая, когда плоскость падения перпендикулярна плоскости колебаний.

    На рисунках 3 подписаны только те силовые векторы, которые лежат в плоскости рисунка. Перпендикулярные им силовые векторы обозначены кружками. Направление этих векторов определяется правилом «буравчика» (см. выше).

    Определим `R_"||"`. Напишем граничные условия для касательных и нормальных компонент напряжённости электрического поля:

    `E_(1_"||")cosalpha_1-E_(1_"||")^'cosalpha_1=E_(2_"||")cosalpha_2`
    `->`
    `epsilon_1E_(1_"||")sinalpha_1+epsilon_1E_(1_"||")^'sinalpha_1=epsilon_2E_(2_"||")sinalpha_2`

    `->(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||"))=("tg"alpha_2-epsilon_1/epsilon_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+epsilon_1/epsilon_2 "tg"alpha_1)`.

    С учётом закона Снеллиуса

    `epsilon_1/epsilon_2=epsilon_1/epsilon_2*(mu_1mu_2)/(mu_2mu_1)=(n_1/n_2)^2mu_2/mu_1=(sin^2alpha_2)/(sin^2alpha_1*mu_2/mu_1`

    получим

    `(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||"))=(mu_1/mu_2 sin2alpha_1-sin2alpha_2)/(mu_1/mu_2 sin2alpha_1+sin2alpha_2)->`

    `->R_("||")=((E_(1_"||")^')/(E_(1_"||")))^2=((mu_1/mu_2 sin2alpha_2-sin2alpha_1)/(mu_1/mu_2 sin2alpha_2+sin2alpha_1))^2`.

    Для электромагнитных волн видимого диапазона прозрачны только немагнитные вещества. Поэтому в оптике `mu_1~~mu_2~~1` и формулу для коэффициента отражения можно упростить:

    `(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||"))=(sin2alpha_1-sin2alpha_2)/(sin2alpha_2+sin2alpha_1)=("tg"(alpha_1-alpha_2))/("tg"(alpha_1+alpha_2))->`

    `->R_"||"=(("tg"(alpha_1-alpha_2))/("tg"(alpha_1+alpha_2)))^2`.

    Заметим, что при отражении от оптически более плотных веществ `alpha_1>alpha_2` и `(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||")>0`. Это означает, что при таком отражении вектор `vecE` «перевернётся». При этом фаза колебаний напряжённости электрического поля меняется на нечётное число `pi`. Это явление называют «потерей полуволны».

    Теперь аналогично определим `R_(_|_)`. Напишем граничные условия для касательных и нормальных компонент вектора магнитной индукции:

    `(B_(1_(_|_)))/mu_1 cosalpha_1-(B_(1_(_|_))^')/mu_1 cosalpha_1=(B_(2_(_|_)))/mu_2 cosalpha_2`
    `->`
    `B_(1_(_|_))sinalpha_1+B_(1_(_|_))^'sinalpha_1-B_(2_(_|_))sinalpha_2`

    `->(B_(1_(_|_))^')/(B_(1_(_|_)))=("tg"alpha_2-mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)`.

    В плоской монохроматической волне `E=vB` поэтому 

    `(E_(1_(_|_))^')/(E_(1_(_|_)))=v_1/v_1 (B_(1_(_|_))^')/(B_(1_(_|_)))=("tg"alpha_2-mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)->`

    `->R_(_|_)=((E_(1_(_|_))^')/(E_(1_(_|_))))^2=(("tg"alpha_2-mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+mu_1/mu_2 "tg"alpha_1))^2`.

    Для электромагнитных волн видимого диапазона прозрачны только немагнитные вещества. Поэтому в оптике `mu_1~~mu_2~~1` и формулу для коэффициента отражения можно упростить:

    `(E_(1_(_|_))^')/(E_(1_(_|_)))=("tg"alpha_2-"tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+"tg"alpha_1)=-(sin(alpha_1-alpha_2))/(sin(alpha_1+alpha_2))->R_(_|_)=((sin(alpha_1-alpha_2))/(sin(alpha_1+alpha_2)))^2`.

    Как видно из формулы, и для такой поляризации отражающихся волн также присутствует эффект «потери полуволны». Это означает, что фаза колебаний электрического поля получает приращение на нечётное число `pi` при отражении волны любой поляризации от оптически более плотной среды.

  • 4. Дифракция

    Отклонение от законов геометрической оптики при распространении света (например, огибание препятствий) кажется вполне естественным, если считать свет волной. Ведь волна сама по себе возникает при условии того, что изменения некоторой характеристики среды в одной из областей пространства вызывают изменения этой величины в соседних областях. Поэтому волна не может иметь чётких резких границ, и её амплитуда должна убывать постепенно. Так при волновом подходе в оптике не может быть резкой границы между светом и тенью.

    Для описания распространения света можно было бы найти решения системы уравнений электродинамики (Максвелла) с учётом граничных условий, задаваемых источниками. Однако это сопряжено с математическими сложностями, которых мы стараемся в нашем повествовании избежать. Поэтому мы рассмотрим популярный принцип Гюйгенса-Френеля, который позволяет просто и достаточно точно определить дифракцию в некоторых важных частных случаях.

    Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, чтобы вычислить амплитуду и фазу колебаний от системы монохроматических источников света в некоторой точке наблюдения, необходимо мысленно окружить источники произвольной замкнутой поверхностью так, что значения амплитуд и фаз колебаний можно предсказать из простых соображений. Затем мысленно разбить эту поверхность на бесконечно малые участки и сопоставить каждому из них точечный источник, излучающий сферическую монохроматическую волну. Затем амплитуду и фазу колебаний в точке наблюдения можно определить по принципу суперпозиции, векторно сложив напряжённости электрических полей вторичных сферических волн от этих элементарных источников.

    Чтобы понять разумность такого подхода рассмотрим аналогию. От камня, брошенного в воду, разбегаются круги. Волновое поле за пределами определённого круга определяется колебаниями воды на границах этого круга, ведь только эта область непосредственно граничит с внешней областью. Во втором опыте не будем кидать камень, а вместо этого на границах выделенного нами круга разместим стерженьки, движение которых будет воссоздавать точно такие же колебания воды, как в первом опыте. Каждый из стерженьков можно рассматривать как точечный источник, который испускает волну, которую в дальней зоне можно считать круговой. Интерференция этих вторичных круговых волн должна привести к тому же результату (волновому полю вне круга), что и падение камня в первом опыте. В случае источников света аналогично можно мысленно заменить воображаемую нами замкнутую поверхность материальной, изготовленной из матового стекла. Каждый участок такого "плафона" рассеивает свет по всем направлениям.

    Покажем, законы геометрической оптики являются следствием принципа Гюйгенса-Френеля. В качестве замкнутой поверхности вокруг точечного источника света выберем сферу радиусом `R` с центром в источнике. Если среда, в которой распространяется свет, однородна, то вторичные источники на сфере должны иметь одинаковую начальную фазу (ведь свет до любой точки сферы доходит за одинаковое время). Распространение вторичных сферических волн во внешнюю по отношению к области, ограниченной сферой, область качественно изобразим в виде их фронтов через равные промежутки времени (см. рис. 8).

    Волновое поле во внешней области определяется интерференцией вторичных волн. Очевидно, что за время `t` вторичные волны заполнят собой сферический слой толщиной `vt`. Поверхность, проходящая через самые удалённые от источника света точки, будет новым фронтом суммарной волны. Заметим, что каждой из точек фронта будет касаться всего лишь один фронт вторичной волны. Поэтому амплитуда и фаза суммарной волны определяется амплитудой фазой этой вторичной волны. Из геометрии видно, что эти амплитуда и фаза будут соответствовать первичной сферической волне от источника света. Мы показали, что построение Гюйгенса-Френеля даёт возможность восстановить ход сферической волны в однородной среде.

    Энергия в сферической волне распространяется вдоль радиуса. Таким образом, мы показали, закон прямолинейного распространения света в однородной среде является следствием принципа Гюйгенса-Френеля.

    Рассмотрим с помощью принципа Гюйгенса-Френеля возможность появления отражённой и преломлённой волн. Пусть точечный источник расположен настолько далеко, что волновые поверхности сферической волны, испускаемой им, можно считать плоскими.

    На рисунке 9 преломляющая среда изображена закрашенным прямоугольником. Пусть волновые поверхности падающей волны составляют угол `alpha_1` с плоскостью границы раздела сред. Очевидно, такой же угол составляет направление вектора `veck_1` с нормалью (перпендикуляром) к границе. Таким образом, угол падения равен `alpha_1`. Окружим источник света замкнутой поверхностью `S_1`, которая частично совпадает с плоскостью границы раздела сред. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка замкнутой поверхности `S_1` является источником вторичной сферической волны. Поскольку амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от источника до точки наблюдения, преломлённая волна будет формироваться в основном источниками на границе раздела сред. Падающая волна возбуждает вторичные источники на участке `AB` за время `t` прохождения падающей волны от `C` до `A`.

    `t=(CA)/v_1=(AB)/v_1  sinalpha_1`.

    За это время сферическая волна от источника `B` проникнет в первую среду на расстояние

    `B B_1=v_1t=AB*sinalpha_1=AB*sinalpha_1^'=CA->alpha_1=alpha_1^'`,

    а во вторую среду на расстояние

    `B B_2=v_2t=v_2/v_1CA=n_1/n_2CA=AB*sinalpha_2->n_1sinalpha_1=n_2sinalpha_2`.

    Научимся применять принцип Гюйгенса-Френеля для количественного расчёта колебаний в некоторой точке наблюдения `N`. Окружим все источники света замкнутой поверхностью. Выберем её по возможности так, чтобы можно было как можно проще узнать амплитуды и начальные фазы колебаний светового поля для всех её точек, не перекрытых непрозрачными телами (экранами). В точках поверхности, прикрытых экранами, зададим амплитуду равную нулю.

    Мысленно разобьём рассматриваемую замкнутую поверхность на участки настолько малые, что можно считать, амплитуды во всех точках каждого из участков примерно одинаковыми (см. Рис. 10). Заменим каждый из участков сферической волны источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади участка `DeltaS_i`. Тогда вклад в световое поле точки наблюдения `N` от данного участка будет равен

    `DeltaE_i=(DeltaS_iK(beta_i))/r_i cos(omegat-kr_i+alpha_i)`

    где `alpha_i` - начальная фаза вторичной сферической волны от `i`-го участка площадью `DeltaS_i`, перпендикуляр к которому составляет угол `beta_i` с направлением на точку наблюдения `N`. Как мы видели в примере с излучением колеблющегося диполя, амплитуда сферических волн точечных источников может зависеть от направления излучения. Этот факт в теории Гюйгенса-Френеля учитывают с помощью функции `K(beta_i)`. Значение этой функции максимально при `beta=0`. При увеличении угла значение `K(beta)` уменьшается.

    Точное выражение для `K(beta)` было выведено Кирхгофом из уравнений электродинамики, и оно математически сложно для освоения в рамках нашего курса. Если точечный источник света один, то разумно в качестве замкнутой поверхности выбрать одну из волновых поверхностей излучаемой им сферической волны радиусом `r_0` (см. Рис. 11). В этом частном и очень распространённом случае выражение для этой функции может быть записано проще

    `K(beta_i)~~k_i/(4pi)(1+cosbeta_i)a_0`,

    где `k_i` - волновое число, `a_0` - амплитуда колебаний первичной волны в точках сферической волновой поверхности. Это приближение верно, если `r_0`, `r_i> >lambda`.

    Пример 3 (дифракция на круглом отверстии)

    В экране сделано круглое отверстие радиусом `R`. Точечный источник света расположен настолько далеко от экрана, что кривизной волновых поверхностей в пределах отверстия можно пренебречь и считать волной вектор падающей волны перпендикулярным экрану. Определить интенсивность света `I` в точке наблюдения `N`, расположенной на оси симметрии отверстия на расстоянии `z_0> >R` от экрана. Длину волны `lambda` и интенсивность падающего света в плоскости экрана `I_0` считать известными.

    Решение

    В качестве замкнутой поверхности `S` возьмём произвольную замкнутую поверхность, охватывающую источник, частью которой является участок плоскости экрана, включающий отверстие. Всегда можно выбрать настолько большую поверхность, чтобы вторичные источники, не принадлежащие плоскости экрана, оказывали пренебрежимо малое влияние на результат интерференции (амплитуда вторичных волн в точке наблюдения обратно пропорциональна расстоянию).

    Плоский участок `S` в отверстии совпадает с волновой поверхностью падающей волны (см. рис. 12), поэтому начальная фаза всех вторичных источников будет одинакова. Мысленно разобьём эту поверхность, «затягивающую» отверстие, на бесконечно тонкие кольца. Эти кольца - совокупность вторичных источников, расстояние от которых до точки наблюдения одинаково. Это означает, что их амплитуды и фазы в точке наблюдения будут также одинаковы, и могут быть «вынесены за скобку» при суммировании. Тогда вклад от этой совокупности источников в суммарное поле по принципу Гюйгенса-Френеля будет

    `DeltaE_i=sum(k(1+cosbeta_i)a_0)/(4pir_i) cos(omegat-kr_i)deltaS_i~~(ka_0)/(2pir_i) cos(omegat-kr_i)DeltaS_i`,

    где `deltaS_i` - площадь бесконечно малого участка тонкого кольца, `DeltaS_i` - площадь целого тонкого кольца. Здесь было учтено, что `cosbeta~~1` при `z_0> >R`.

    Чтобы узнать амплитуду колебаний поля в точке `N` необходимо просуммировать вклады от всех тонких колец. Введём систему координат такую, что плоскость `Oxy` совпадает с плоскостью экрана. Тогда

    `E=sumDeltaE_i=(ka_0)/(2pi) sum(cos(omegat-kr_i)DeltaS_i)/r_i=`

    `=(ka_0)/(2pi) sum (cos(omegat-ksqrt(x_i^2+z_0^2))2pix_iDeltax_i)/(sqrt(x_i^2+z_0^2))`.

    Площадь кольца была определена из следующих рассуждений. Если тонкое кольцо разрезать по радиусу и распрямить, то получится фигура, мало отличающаяся от прямоугольника. Длины сторон прямоугольника будут равны `Deltax` и `2pix`. Поэтому площадь тонкого кольца можно вычислить как `DeltaS_i=2pix_iDeltax_i`.

    Определим, на какую величину изменится фаза колебаний `varphi_i=omegat-rsqrt(x_i^2+z_0^2)` при переходе от одного тонкого кольца к другому

    `Deltavarphi_i=-Delta(ksqrt(x_i^2+z_0^2))=-k(sqrt(x_i^2+z_0^2))^'Deltax_i=`

    `=-(kx_iDeltax_i)/(sqrt(x_i^2+z_0^2))~~-(2pix_iDeltax_i)/(lambdaz_0)`.

    С учётом этого, сумма вкладов от тонких колец запишется компактнее

    `E=a_0 sum cosvarphi_iDeltavarphi_i`.

    Чтобы удобнее вычислить эту сумму, разбивку на тонкие кольца сделаем так, чтобы при переходе от одного кольца к другому, фаза изменялась на одно и то же значение

    `Deltavarphi_1=Deltavarphi_2=Deltavarphi_3=...=Deltavarphi`.

    Тогда

    `E=a_0Deltavarphi sum cosvarphi_i=DeltaA sum cos (Deltavarphi*i)`.

    Эту сумму посчитаем с помощью метода векторных диаграмм. Суть метода состоит в том, что мы представляем сумму косинусов, как сумму проекции векторов на одну ось. Поскольку сумма проекций в этом случае равна проекции суммы, мы можем сначала геометрически определить длину суммарного вектора и угол, который он будет составлять с осью, а затем отождествить их с амплитудой и фазой суммарных колебаний (см. рис. 13).

    В нашем случае длины всех суммируемых векторов (амплитуды колебаний) одинаковы и равны `DeltaA`. Углы между направлениями соседних векторов (разность фаз между колебаниями от соседних тонких колец) тоже одинаковы и равны `Deltavarphi`. При геометрическом сложении векторов будет получаться фигура, напоминающая часть многоугольника (см. рис. 14). Если радиус отверстия таков, что колебания вторичных волн, приходящих от края отверстия, будут запаздывать по фазе относительно колебаний вторичных волн, приходящих из центра на `pi`, то диаграмма будет представлять собой половину многоугольника. При этом крайние векторы будут антипараллельны, а длина суммарного вектора `|vec(B_2B_1)|=A_1` будет наибольшей. Если радиус отверстия дальше увеличивать, то открытие новых участков волновой поверхности падающей волны не увеличит интенсивность, а уменьшит. В конце концов, при таком размере отверстия, когда запаздывание по фазе крайних волн относительно центральных станет равным `2pi`, многоугольник векторов должен бы был замкнуться. При этом крайние векторы должны стать параллельными, а длина суммарного вектора `|vec(B_2B_1)|=0` стать наименьшей.

    Однако, на самом деле, по мере удаления от центра, амплитуда вторичных волн уменьшается как из-за увеличения расстояния, так и из-за уменьшения `cosbeta_i` (этими факторами мы пренебрегали для малого отверстия). Поэтому многоугольник не замкнётся в точке `B_2`. Конец последнего вектора будет располагаться внутри многоугольника. При дальнейшем увеличении размера отверстия ситуация будет повторяться. При задержке по фазе крайних вторичных волн относительно центральных на нечётное число `pi`, в точке наблюдения будут наблюдаться максимумы интенсивности, а при чётном числе `pi` - минимумы. Надо отметить, что последующие минимумы и максимумы не будут настолько выраженными, как первые, потому что наша диаграмма будет напоминать скручивающуюся спираль. Поэтому амплитуды последующих максимумов меньше, чем предыдущих, а амплитуды последующих минимумов больше, чем предыдущих.

    Участки волновой поверхности падающей волны на круглом отверстии принято разбивать на зоны Френеля, начиная от центра. Фазы вторичных волн, пришедших в точку наблюдения от границ одной зоны, отличаются на `pi`. Можно сказать, что интенсивность в точке наблюдения максимальна, если открыта только первая зона Френеля, и минимальна, если открыты только две первых зоны Френеля.

    Если полностью убрать экран, то спираль диаграммы «свернётся» полностью, и конец последнего вектора окажется в центре начального многоугольника. Очевидно, что амплитуда колебаний в точке наблюдений соответствует интенсивности падающей на экран волны `A_0~sqrt(I_0)`. Если длины векторов `DeltaA` уменьшить так, чтобы они стали бесконечно малыми, то исходный многоугольник превратиться в окружность радиуса `A_0`. Считая, что спираль диаграммы «сворачивается» медленно, можно по теореме косинусов определить длину суммарного вектора (см. рис. 15)

    `A^2=2A_0^2(1-cosvarphi)->I=2I_0(1-cosvarphi)=`

    `=2I_0(1-cos((2pi)/lambda(sqrt(z_0^2+R^2)-z_0)))`.

    Пример 4 (линза)

    Решить предыдущую задачу при условии, если отверстие прикрыто плосковыпуклой тонкой линзой с фокусным расстоянием `F=z_0`.

    Решение

    Из геометрической оптики мы знаем связь фокусного расстояния `F` с радиусами кривизны поверхностей линзы `R_1` и `R_2` и показателем преломления материала `n`, из которого она изготовлена

    `1/F=(n-1)(+-1/R_1+-1/R_2)->1/z_0=(n-1)/rho`,

    где `rho` - радиус кривизны задней поверхности линзы. В отличие от предыдущего примера, линза изменяет фазы световых колебаний в различных точках отверстия, потому что свету приходиться проходить разную толщину материала линзы (модуль волнового вектора в материале и воздухе различный). Чтобы рассчитать распределение фаз непосредственно за линзой (в плоскости `Oxy`), будем считать, что при распространении внутри линзы свет подчиняется законам геометрической оптики. Для тонких линз дифракционным расхождением луча пренебрежём. Тогда мы можем считать, что свет, пройдя через некоторую точку на передней поверхности линзы, пойдёт внутри неё параллельно оси симметрии отверстия. Затем он преломится на границе «линза-воздух». Из-за того, что линза тонкая, смещение луча вдоль оси `Ox` (см. рис. 16) будет пренебрежимо мало.

    Пусть максимальная толщина линзы равна `h`. Тогда, приняв при `z_1=-h` фазу колебаний за ноль, найдём разность фаз лучей `2` и `1` (см. рис. 16) при `z_2=0`

    `varphi_2-varphi_1=(omegat-(h+z(x))(2pi)/lambda n+z(x)(2pi)/lambda)-(omegat-h(2pi)/lambda n)=`

    `=-z(x)(2pi)/lambda (n-1)`,

    где `z(x)` - функция, описывающая кривую поверхность линзы. Эту функцию легко получить из уравнения окружности с учётом `z< <x`

    `(z(x)+rho)^2+x^2=rho^2->z(x)~~-(x^2)/(2rho)`.

    Тогда

    `varphi_2-varphi_1=(x^2 2pi)/(2rholambda)(n-1)=(pix^2)/(lambdaz_0)`.

    Чтобы понять, как изменяется разность фаз при изменении `x`, используем производную

    `Deltavarphi=((pix^2)/(lambdaz_0))^'Deltax=(2pixDeltax)/(lambdaz_0)`.

    Прохождение света через линзу вносит такую же по величине разность фаз, как и распространение от некоторой точки отверстия до точки наблюдения, расположенной на оси симметрии на фокусном расстоянии от экрана, но с обратным знаком! Т. е. для точки фокуса поворот векторов `DeltaA` из-за задержки вторичных волн от периферийных колец на диаграмме полностью компенсируется поворотом этих векторов в обратную сторону из-за того, что периферийному свету приходится проделывать меньше путь в материале линзы. Это означает, что спираль Френеля «распрямляется» в линию. Длина суммарного вектора в этом случае равна длине участка спирали

    `A=A_0varphi=A_0(2pi)/lambda(sqrt(z_0^2+R^2)-z_0)->I=I_0((2pi)/lambda)^2(sqrt(z_0^2+R^2)-z_0)^2`.

    Обратите внимание, что в фокусе амплитуда колебаний не бесконечна, как это предсказывает геометрическая оптика.

    Кроме того, как мы видели, в фокальной плоскости собирающей линзы колебания вторичных волн, излучённые источниками на волновой поверхности «первичной», остаются синфазными. Об этом как раз и говорилось выше, при изучении интерференции, как о свойстве линзы «не изменять фазу лучей, прошедших через неё». Если в некотором опыте собрать почти параллельные лучи на экране с помощью линзы, то картина будет такой же, как если бы мы рассматривали картину без линзы на очень далёком расстоянии.

    Дифракция «в параллельных лучах» очень часто встречается в практике физического эксперимента и в обычной жизни. Ей даже дали отдельное название: дифракция Фраунгофера. Принцип Гюйгенса-Френеля в случае дифракции Фраунгофера применить значительно проще, потому что легче рассчитать разность фаз между вторичными волнами. Это позволяет легко рассчитать интенсивность света не в одной удобной точке (как в примерах на дифракцию Френеля), а во всех точках экрана.

    Пример 5 (дифракция Фраунгофера на щели)

    На длинную щель в экране шириной `b` нормально падает плоская монохроматическая волна длиной `lambda` от удалённого точечного источника света. Определите дифракционную картину на удалённом экране или в фокальной плоскости собирающей линзы.

    Решение

    Рассуждения будут похожи на те, что были проведены для круглого отверстия. Окружим источник света большой замкнутой поверхностью. Будем учитывать только вклад вторичных источников на щели. Мысленно разобьём щель на группы точечных вторичных источников в форме длинных узких полосок, параллельных длинной стороне щели. Из симметрии следует, что фронт суммарной вторичной волны от каждой из этих групп будет представлять собой цилиндр. Поскольку в каждой точке фокальной плоскости линзы фокусируется волна, идущая под определённым углом `theta` к оси, то нужно рассмотреть волновое поле за щелью как совокупность плоских волн, распространяющихся под различными углами к оси `Oz` (это можно сделать согласно теореме Фурье). Рассмотрим группу вторичных источников, генерирующих волну, распространяющуюся под углом `theta` к оси `Oz`. Очевидно, начальная фаза колебаний этих вторичных источников должна зависеть от их координаты `x` вдоль щели по линейному закону (см. рис. 17).

    Действительно, выделим на рисунке полоску шириной `Deltax_i` в точке с координатой `x_i`. Расстояние от этой полоски до волновой поверхности, пересекающей экран в точке с координатой `x_0=0`, равно `x_isintheta`. Тогда сдвиг фаз будет вычисляться по формуле

    `varphi_i=kx_isintheta`.

    Пренебрежём изменением амплитуды вторичных волн от разных источников из-за малости угла `theta` (и, соответственно, небольшого различия в расстоянии до источника).

    `a_0/r_i=a="const"`.

    Тогда по принципу Гюйгенса-Френеля поле суммарной плоской волны, распространяющейся под углом `theta` к оси, равно

    `E=sum DeltaE_i=(ka)/(2pi) sum cos(omegat-kx_isintheta)hDeltax_i`.

    Найдём сумму с помощью векторной диаграммы. Если выбрать ширину тонких полосок одинаковой

    `Deltax_1=Deltax_2=Deltax_2=...=Deltax`

    и пренебрежимо малой, то длина складываемых векторов будет также одинаковой

    `(kah)/(2pi)Deltax_1=(kah)/(2pi)Deltax_2=(kah)/(2pi)Deltax_2=...=(kah)/(2pi)Deltax=DeltaA`

    и угол поворота следующего вектора относительно предыдущего тоже будет одинаков

    `kDeltax_1sintheta=kDeltax_2sintheta=kDeltax_2sintheta=...=kDeltaxsintheta=Deltavarphi`.

    Тогда участок диаграммы, соответствующий вторичным источникам на щели, будет представлять собой дугу окружности радиусом (рис 18)

    `R=(DeltaA)/(Deltavarphi)=((kah)/(2pi)Deltax//kDeltaxsintheta)=(ah)/(2pisintheta)`

    и центральным углом

    `gamma=sumDeltavarphi_i=ksintheta sum Deltax_i=kbsintheta`.

    По теореме косинусов

    `I(theta)~A^2=2R^2(1-cosgamma)=4R^2sin^2  gamma/2=((ah)/gamma)^2*((sin((kbsintheta)/2))/((kbsintheta)/2))^2`.

    В фокальной плоскости линзы на экране данная волна сфокусируется в полоску на расстоянии `x^'=F*"tg"theta` от главной оптической оси. Если пренебречь отличием тангенса от синуса для малого `theta`, то зависимость освещённости точек экрана от координаты будет описываться функцией вида

    `y=((sinx^')/x^')^2`.

    График этой зависимости представлен на рисунке 19.

    Можно отметить, что изображение щели не будет иметь резких границ: освещенность от центра к периферии убывает плавно. Кроме того, изображение по краям в области тени сопровождается множеством более тусклых полосок. Очевидно, что минимумы освещённости будут соответствовать углам, при которых синус становится равным нулю

    `(kbsintheta_m)/2=mpi->sin theta_m=mlambda/b,m in Z,m!=0`.

    Расчёт отлично согласуется с наблюдениями. Угол в направлении на первый минимум `sintheta_1=lambda/b` можно интерпретировать как дифракционное уширение пучка параллельных лучей. Этот угол характерен для любой формы одиночного отверстия, а не только прямоугольной щели, с точностью до коэффициента порядка единицы. Поэтому этот результат важно запомнить.

    `theta_"дифр"~lambda/b`,

    где `b` - характерный размер одиночного препятствия. Например, точное решение для задачи дифракции Фраунгофера для круглого отверстия приводит к результату

    `theta_("дифр"_"кр")=1,22 lambda/D`,

     где `D` - диаметр отверстия.

    Понимание этого факта позволяет оценить границы применимости геометрической оптики. Можно рассуждать так. Распространяясь за препятствием на расстояние `z`, волна «зайдёт» в область тени на расстояние `delta~theta_"дифр" z~lambda/b z`.. Если это расстояние много меньше характерного поперечного размера светового пучка (или тени), то дифракционным уширением можно пренебречь. Поперечный размер обычно определяется размером препятствия `b`. Тогда критерий применимости геометрической оптики можно записать как

    `delta< <b->lambda/b z< <b -> b> >sqrt(lambdaz)`.

    Пример 6 (дифракционная решётка)

    От удалённого точечного источника света на `N> >1` длинных параллельных щелей шириной `b`, проделанных в экране через одинаковое расстояние `d`, нормально падает плоская монохроматическая волна длиной `lambda`. Определите дифракционную картину на удалённом экране или в фокальной плоскости собирающей линзы.

    Решение

    Излучение плоской электромагнитной волны по направлению, составляющему угол `theta` c нормалью к экрану, было изучено в предыдущем примере. Амплитуда напряжённости поля этой волны описывается выражением

    `A_1(theta)=(ah)/lambda*(sin((kbsintheta)/2))/((kbsintheta)/2)`.

    Каждая из `N` щелей генерирует в данном направлении с амплитудой `A_1(theta)`. Сдвиг по фазе между соседними источниками также будет одинаковый

    `Deltavarphi=ksinthetad`.

    По принципу суперпозиции требуется сложить напряжённости волн от всех щелей

    `E_N=Lambda_1(theta)(cos(omegat-Deltavarphi)+cos(omegat-2Deltavarphi)+...+cos(omegat-NDeltavarphi))`.

    Суммирование просто провести с помощью векторной диаграммы. На рисунке 20, для примера построена векторная диаграмма для сложения колебаний от `N=4` щелей.

    В отличие от решения в примере 5, ломаная `B_0B_1B_2B_3B_4` не может быть приближена окружностью, потому что как амплитуду вторичных волн каждой щели, так и разность фаз между соседними волнами мы не можем считать бесконечно малыми. Однако можно считать, что все серединные перпендикуляры к звеньям ломаной пересекаются в точке `O` (докажите!). Рассмотрим прямоугольные треугольники `B_0H_1)` и `B_4H_4O`.

    `c=OB_0=OB_4=A_1/(sin  (Deltavarphi)/2)=A_3/(sin  (ksinthetad)/2)`.

    Центральный угол равен

    `gamma=NDeltavarphi=Nksinthetad`.

    По теореме косинусов

    `I(theta)~A^2-c^2sin^2  gamma/2-(A_1/(sin  (ksinthetad)/2))^2*sin^2  (Nksinthetad)/2=`

    `=((ah)/lambda)^2*((sin((kbsintheta)/2))/((kbsintheta)/2))^2*((sin ((Nksinthetad)/2))/(sin  (ksinthetad)/2))^2`.

    Угол `gamma` может принимать сколь угодно большое значение, но угол треугольника всегда будет равен `gamma` с точностью до целого числа `2pi`. Учитывая периодичность функции косинуса, полученная формула применима для любых значений `gamma`. Если пренебречь отличием тангенса от синуса для малого `theta`, то зависимость освещённости точек экрана за линзой от координаты будет описываться функцией вида

    `gamma=((sinx^')/x^')^2((sin(N d/b x^'))/(sin(d/b x^')))^2`.

    На рисунке 21 приведен график функции для `N=16` и `a/b=2`. Слева на рисунке приведён общий вид графика, а справа масштаб растянут по оси `Oy`, поэтому верхушка графика «обрезана».

    Правый рисунок показывает, что изображение на экране будет состоять из ярких тонких полос, разделённых тёмными промежутками. Эти полосы называют главными максимумами. Яркость главных максимумов убывает от центра экрана к краям. Можно заметить, что расстояние между соседними главными максимумами примерно `pi//2`. Это и не удивительно: главные максимумы возникают, когда волны от всех щелей складываются синфазно. На векторной диаграмме это выглядело бы как, если все вектора были бы параллельны. Для этого необходимо, чтобы угол поворота (разность фаз между волнами от соседних щелей) был кратен `2pi`.

    `Deltavarphi=ksinthetad=2pim->dsintheta=mlambda,m in Z`.

    Главные максимумы можно сделать очень узкими, взяв большое число щелей. Кроме того, положение главного максимума однозначно определяется длиной волны. Поэтому дифракционную решётку удобно использовать для спектрального анализа излучения.

    На левом, растянутом по вертикали, рисунке отчётливо видно, что в промежутках между яркими полосами расположены значительно менее яркие полосы, которые называют второстепенными максимумами.






  • 3. Интерференция

    Каким образом предсказать распределение световой энергии в пространстве от нескольких источников? Какой мы увидим картину на экране?

    В электростатике мы изучали принцип суперпозиции - принцип независимости действия полей от различных источников. Он выполняется и в электродинамике, если величины напряжённости электрических полей волн значительно меньше значений, характерных для внутриатомных полей среды `E_i< <E_"ат"`. Тогда поле в некоторой точке такой среды может быть представлено в виде векторной суммы полей от разных источников света `S_1`, `S_2`, `S_3`, `...`.

    `vecE(x,y,z,t)=vecE_1(x,y,z,t)+vecE_2(x,y,z,t)+vecE_3(x,y,z,t)+...`

    Например, для суммы проекций векторов напряжённостей электрических полей сферических волн от двух точечных источников, распространяющихся в однородной среде, можно написать

    `A_1/r_1 cos (omegat-kr_1+varphi_(0_1))+A_2/r_2cos(omegat-kr_2+varphi_(0_2))=`

    `=A_1/r_1(cosomegatcos(varphi_(0_1)-kr_1)-sinomegatsin(varphi_(0_1)-kr_1))+`

    `+A_2/r_2(cosomegatcos(varphi_(0_2)-kr_2)-sinomegatsin(varphi_(0_2)-kr_2))=`

    `=(A_1/r_1 cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 cos(varphi_(0_2)-kr_2))*cosomegat-`

    `-(A_1/r_1 sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 sin(varphi_(0_2)-kr_2))*sinomegat=Acos(omegat+alpha)`,

    где

    `A=sqrt((A_1/r_1 cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 cos(varphi_(0_2)-kr_2))^2+(A_1/r_1 sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 sin(varphi_(0_2)-kr_2))^2)`,

    `alpha="arctg"((A_1/r_1 sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 sin(varphi_(0_2)-kr_2))/(A_1/r_1 cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2 cos(varphi_(0_2)-kr_2)))`.

    Разумеется, эти формулы запоминать не нужно. Здесь они приведены лишь для того, чтобы показать, что сумму полей сферических монохроматических волн от нескольких источников в некоторой точке можно представить в виде гармонической функции с некоторой амплитудой `A` и начальной фазой `alpha`.

    Сигнал приборов, регистрирующих свет, пропорционален освещённости – суммарной энергии световой волны, попавшей на поверхность датчика за определённое время `tau`. Освещённость же пропорциональна интенсивности световой волны вблизи датчика. Как мы уже знаем, интенсивность монохроматической волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля.

    `I~A^2~(A_1/r_1cos(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2cos(varphi_(0_2)-kr_2))^2+`

    `+(A_1/r_1sin(varphi_(0_1)-kr_1)+A_2/r_2sin(varphi_(0_2)-kr_2))^2=`

    `=(A_1/r_1)^2+(A_2/r_2)^2+2(A_1A_2)/(r_1r_2)(cos(varphi_(0_1)-kr_1)cos(varphi_(0_2)-kr_2)+`

    `+sin(varphi_(0_1)-kr_1)sin(varphi_(0_2)-kr_2))=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi`,

    где `I_1~(A_1/r_1)^2` и `I_2~(A_2/r_2)^2` - интенсивности, которыми характеризуются волны, пришедшие в точку наблюдения от `1` и `2` источников, `Deltavarphi=(varphi_(0_1)-varphi_(0_2))-k(r_1-r_2)` разность фаз между колебаниями электрических полей этих волн.

    Из повседневного опыта (как в ситуации с двумя свечами, описанной во введении) мы отмечаем скорее закономерность `I=I_1+I_2`. Это связано с тем, что свет от естественных источников не является монохроматическим. Даже если использовать светофильтр (цветное стёклышко), чтобы выделить волны определённой частоты `omega`, свет нельзя будет считать монохроматическим, потому что разные атомы источника излучают свет с произвольными начальными фазами `varphi_0`. Очевидно, и разность фаз `Deltavarphi` будет равновероятно принимать все возможные значения. Время излучения атомами световых волн заведомо много меньше, чем время регистрации приборов `tau`. Поэтому за время регистрации среднее значение `cosDeltavarphi` будет пренебрежимо мало (косинусоида симметрична относительно оси `Ox`).

    Если взять когерентные источники, которые посылают в точку наблюдения волны:

    1) одинаковой частоты `omega_1=omega_2=omega`,

    2) разность фаз, которых не зависит от времени `Deltavarphi=varphi_1-varphi_2="const"`;

    то интерференционный член `2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi!=0`. При этом возникнет непривычная картина освещённости. В этом случае мимолётные картины освещённости, которые, сменяя одна другую, усреднялись за счёт большого времени регистрации прибора, «застынут». Мы сможем их увидеть.

    Представим себе два точечных когерентных источника, излучающих в однородной среде изотропно и синфазно `(varphi_(0_1)-varphi_(0_2))`. Разность фаз `Deltavarphi=k(r_2-r_1)` зависит только от разности расстояний от точки наблюдения до источников. Если эта разность такова, что `Deltavarphi=(2n+1)pi` (`n` - любое целое число), интерференционный член будет принимать минимальные значения. В таких точках наблюдения освещённость экрана будет минимальна. В точках же, где `Deltavarphi=2npi` (`n` - любое целое число), интерференционный член будет принимать максимальные значения. В таких точках наблюдения освещённость экрана будет максимальна. Геометрическое место точек, для которых `r_2-r_1="const"` - двуполостный гиперболоид вращения с осью симметрии, проходящей через источники. Если расположить плоскость экрана перпендикулярно оси симметрии, то гиперболоиды, соответствующие условиям минимума (максимума) освещённости, будут пересекать её по окружностям. Интерференционная картина будет состоять из тёмных и светлых колец. Если плоскость экрана расположить перпендикулярно плоскости симметрии, то гиперболоиды, соответствующие условиям минимума (максимума) освещённости, будут пересекать её по незамкнутым линиям, идущими вблизи центра картины почти параллельно. Интерференционная картина в этом случае будет состоять из тёмных и светлых полос.

    Рассмотренный частный случай интерференции очень часто встречается. Полностью когерентных источников в природе не существует, т. к. свет, даже прошедший через светофильтр, состоит из отрезков косинусоид – цугов, испущенных разными атомами в разные моменты времени независимо друг от друга. Частично когерентные источники получают по методу Френеля. Пространственно разделяют световую волну от одного источника на две (или более) меньшей амплитуды с помощью некоторой оптической системы (зеркал, призм, экранов со щелями и т. п.). Можно рассматривать получившиеся волны, как испущенные разными источниками. В примере со свечой (во введении) световая волна отразилась от плоского зеркала. Можно считать, что на поверхность стола падают волны от двух точечных источников: пламени свечи и его отражения в зеркале.

    Частичная когерентность достигается, тем, что эти вторичные волны получаются из одной и той же первичной волны. При векторном сложении напряжённостей электрического поля участков цугов вторичных волн, полученных разделением одного и того же первичного цуга, разность фаз будет зависеть только от положения точки наблюдения и не зависеть от времени (поскольку начальные фазы таких участков будут одинаковыми). Можно это наглядно представить, как если бы взяли бегущую в пространстве последовательность цугов, разделили её на два одинаковых потока, и направили бы их по разным путям к точке наблюдения. Последовательность цугов в одном из потоков запоздала бы с прибытием в точку наблюдения по отношению к другой последовательности. Таким образом, в точке наблюдения будут чередоваться промежутки времени, когда складываются колебания, до разделения потоков принадлежавшие одному и тому же цугу; и промежутки времени, когда складываются колебания, до разделения принадлежавшие разным цугам. В первом случае разность фаз колебаний будет одинакова, т. к. их начальные фазы одинаковы. Это приведёт к интерференционному вкладу в интенсивность

    `I_"ког"=gamma(I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi)`,

    где `gamma` - доля времени сложения когерентных цугов.

    Во втором случае разности фаз будут принимать случайные значения. Это значит, что некогерентная часть интенсивности запишется так:

    `I_"н"=(1-gamma)(I_1+I_2)`.

    Общая освещённость в интерференционной картине будет определяться суммарной интенсивностью.

    `I=I_"ког"+I_"н"=gamma(I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi)+(1-gamma)(I_1+I_2)=`

    `=I_1+I_2+2gammasqrt(I_1I_2)*cosDeltavarphi`.

    Вводят понятие видности интерференционной картины как отношение разности максимальной и минимальной освещенностей к их сумме. Для нашей модели

    `V=(I_max-I_min)/(I_max+I_min)=(2gammasqrt(I_1I_2))/(I_1+I_2)`.

    В частном случае равных интенсивностей потоков `I_1=I_2` видность картины `V=gamma`. Если складываются только когерентные цуги, то в этом случае видность равна единице, а если только некогерентные – нулю. Считают, что глазом хорошо видно интерфенционную картину при `V>0,7`.

    Описанную выше модель световой волны, как набора цугов можно наглядно представить в виде длинного поезда, состоящего из пронумерованных вагонов. Тогда разделение света по методу Френеля на два потока можно представить, как одновременное отправление двух одинаковых поездов с соседних путей одной станции. Поезда следуют немного разными маршрутами, а затем опять выезжают на соседние пути и движутся параллельно друг другу. При этом один из поездов может отставать от другого. Если отставание небольшое, то некоторые пассажиры первого вагона смогут напротив себя снова увидеть пассажиров первого вагона соседнего поезда, некоторые пассажиры второго вагона смогут напротив себя снова увидеть пассажиров второго вагона соседнего поезда и т. д. Это аналогично тому, как часть разделённого первого цуга сложится с частью первого же цуга из соседнего потока; часть разделённого второго цуга сложится с частью второго же цуга из соседнего потока и т. п. Это сложение будет когерентным. Если же запаздывание одного поезда относительно другого значительно, то пассажиры не смогут увидеть напротив себя вагон с номером, в котором путешествуют сами. По аналогии со светом сложатся некогерентные цуги.

    Чтобы иметь возможность наблюдать интерференцию потоков, полученных по методу Френеля, нужно, чтобы потоки отставали друг от друга не больше характерной длины цуга. Длина цуга определяется временем когерентного излучения атомов `tau_"ат"`. Действительно, в каждый момент времени излучение в волне определяется суммой цугов, испущенных большим числом атомов. Постепенно эта сумма меняется, потому что старые атомы перестают светить, а новые начинают. Характерное время, за которое кардинально изменится вся сумма - среднее время когерентного свечения атома. Для отдельного атома это время порядка `10^(-8)` с. Однако столкновения между атомами меняют скачком частоту и начальную фазу излучаемого атомом света. Это приводит к уменьшению характерного времени в тысячи раз. Длина цуга `l_"ког"=nutau_"ат"` при этом составляет порядка долей сантиметров.

    Если считать, что скорости волн в потоках кардинально не отличаются, то разность путей, которые преодолели интерферирующие волны до точки наблюдения, не должна превышать длины цуга. Именно поэтому явление интерференции не часто приходится наблюдать в повседневной жизни, несмотря на изобилие отражающих и преломляющих поверхностей вокруг нас. Для интерференции по методу Френеля свет не только должен, отразившись или преломившись, разделиться на два пучка, но и снова совместиться в пространстве. Важно, чтобы разность путей пучков до совмещения оказалась малой. Это наблюдается, например, при частичном отражении света от передней и задней поверхностей тонких прозрачных плёнок.

    Рассмотрим две плоских монохроматических волны, падающих на плоский экран. Пусть плоскость экрана перпендикулярна к плоскости, в которой лежат волновые вектора `veck_1` и `veck_2` (плоскости падения), которые составляют углы с нормалью к экрану `alpha_1` и `alpha_2`. Предположим, что в некоторую точку `O` экрана волны пришли без запаздывания. В этой точке разность фаз колебаний равна нулю, поэтому наблюдается максимум интерференционной картины. Рассмотрим другую точку экрана `A` на расстоянии `x` от неё (`O` и `A` лежат в одной плоскости падения). Как определить запаздывание одной волны относительно другой в этой точке? Проведём через точку `O` волновые поверхности (поверхности равной фазы) для обеих волн. В любой момент времени фазы колебаний в точках этих волновых поверхностей одинаковы `varphi_0`. Тогда в этот же момент времени фаза колебаний для других волновых поверхностей, смещённых на расстояние `S` вдоль распространения волн, равна `varphi_(1,2)=varphi_0-k_(1,2)S`. Разность фаз колебаний в точках волновых поверхностей, проходящих через `A`, равна

    `Deltavarphi=varphi_2-varphi_1=(varphi_0-k_2S_2)-(varphi_0-k_1S_1)=k(S_1-S_2)`.

    Здесь учтено, что волны распространяются в одной среде, и `lambda_1=lambda_2`. Соответствующие смещения волновых плоскостей: `S_1=x*sinalpha_1` и `S_2=-x*sinalpha_2`. Поэтому

    `Deltavarphi=k(S_1-S_2)=kx(sinalpha_1+sinalpha_2)=2kxsin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2`.

    Условие появления максимума освещённости в точке `A` является `cosDeltavarphi-1` или 

    `(4pi)/gammax_m sin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2=2pim->`

    `-> x_m-(mlambda)/(2sin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2),  m in Z`.

    Расстояние между соседними максимумами определяет ширину полосы интерференционной картины

    `b-x_(m+1)-x_m-lambda/(2sin  (alpha_1+alpha_2)/2*cos  (alpha_1-alpha_2)/2)`.

    Длины электромагнитных волн `lambda` видимого диапазона в десятки-сотни раз меньше диаметра человеческого волоса. Поэтому для того, чтобы разглядеть картину невооружённым глазом, нужно сделать угол схождения интерферирующих пучков  `Omega=alpha_1+alpha_2` малым. В этом случае `alpha_1~~alpha_2< <1`, и формула для расчёта ширины полосы записывается особенно просто.

    `b~~lambda/Omega`.

    Пример 1 (бипризма Френеля)

    Основание прямой прозрачной призмы представляет собой равнобедренный треугольник с малым углом `beta< <1`, прилежащим к основанию. Длина основания равна `D`. На большую боковую грань призмы падает плоская монохроматическая световая волна так, что вектор `veck` перпендикулярен грани. Определить, какое максимальное число интерференционных полос можно наблюдать на плоском экране, расположенном за призмой. Показатель преломления вещества, из которого изготовлена призма, равен `n`.

    Решение

    При изучении геометрической оптики было показано, что призма с малым преломляющим углом `beta` отклоняет параллельный пучок лучей на угол

    `delta=(n-1)beta`.

    Тогда угол схождения лучей

    `Omega=2delta=2(n-1)beta`.

    Ширина интерференционной полосы

    `b=lambda/Omega=lambda/(2(n-1)beta)`.

    Максимальное число полос определяется максимальной шириной перекрытия пучков `d` на экране 

    `N_max=d_max/b=(D//2)/(lambda//(2beta(n-1)))=(D(n-1)beta)/lambda`.

    В задаче рассматривалась идеальная монохроматическая волна. Если вместо неё рассмотреть последовательность цугов, то может оказаться, что не все из `N_max` можно будет наблюдать. Это произойдёт, если запаздывание когерентных цугов для крайних точек перекрытия световых пучков на экране окажется меньше характерной длины цуга.

    `S_1-S_2=x(sinalpha_1+sinalpha_2)=D/2(sindelta+sindelta)~~Ddelta=D(n-1)beta>l_"ког"`.

    Тогда полосы будут видны не по всей ширине перекрытия пучков `D//2`, а некоторой меньшей ширине `D^'//2`, определяемой характерной длиной цуга

    `D^'(n-1)beta=l_"ког"`.

    При этом число полос уменьшится до

    `N_max^'=(D^'(n-1)beta)/lambda=l_"ког"/lambda`.

    Обратите внимание, что в этом примере можно представить, что интерферирующие волны посылаются бесконечно далёкими точечными источниками, находящимися на одинаковом расстоянии от экрана. В этом случае, как вы должны помнить, сечение семейства двуполостных гиперболоидов вращения (определяемых постоянством разности фаз) плоскостью экрана – система полос.

    Реальные источники имеют конечный размер и находятся на конечном расстоянии от экрана. Поэтому они посылают на экран не совсем плоскую волну. Пришедшая от источника волна может быть представлена как сумма сферических волн, пришедших от бесконечно малых областей источника. Часто в задачах можно пренебречь кривизной волновых поверхностей сферических волн, и считать, что от источника приходит пакет плоских волн, распространяющихся по немного разным направлениям. Каждая бесконечно малая область источника светит независимо от других, поэтому её волны являются не когерентными волнам от других областей источника. Получается, что каждая малая область создаёт свою интерференционную картину на экране. Освещённости этих картин складываются, давая общую картину. На рисунке качественно изображены плоские волны, падающие на бипризму (БП) от трёх разных точек протяжённого источника света (средней и двух крайних). Угол `psi` между крайними лучами - угловой размер источника.

    Каждая из этих трёх волн отклоняется бипризмой по-разному. Это приводит к смещению интерференционных картин, создаваемых этими волнами относительно друг друга. На рисунке 4 эти картины представлены графиками `I(x)` для каждого из световых потоков. Типы линий графиков соответствуют типам линий, которыми изображены лучи светового потока.

    Если сдвиг картин небольшой, то при их суммировании сохранится периодичность в распределении освещённости. Если же при сдвиге максимумы одних картин начнут попадать на минимумы других картин, то распределение освещённости по экрану станет почти равномерным. В этом случае говорят об отсутствии пространственной когерентности.

    Так наш мысленный опыт со свечой и зеркалом (описанный во введении) вряд ли приведёт к появлению интерференционной картины из-за слишком большого размера пламени свечи. Чтобы добиться пространственной когерентности в этом опыте, нужно уменьшить размер источника, поставив, например, между свечой и зеркалом экран с узкой щелью.

    Когда интерференцию световых потоков нельзя представить как сложение плоских монохроматических волн, распространяющихся под углом друг к другу, нужно непосредственно подсчитать разность фаз волн, распространяющихся в интерферирующих пучках. Затем приравнять её `2mpi` (условие максимума) или `(2m+1)pi` (условие минимума), где `m` - любое целое число.

    Расчёт этой разности фаз производят, считая, что свет от места разделения на потоки до места наблюдения интерференционной картины распространяется вдоль лучей. Эти лучи не являются прямыми линиями, поскольку свет по мере распространения может отражаться и преломляться, переходя из одной среды в другую. Разобьём всю длину луча `l` на однородные участки длинами `l_1`, `l_2`, `l_3`, `...` . Пусть на этих участках показатели преломления среды `n_1`, `n_2`, `n_3`, `...` соответственно. Эти участки представляют собой отрезки, поэтому на них свет можно представлять, как плоскую монохроматическую волну. Полное изменение фазы волны за счёт распространения вдоль луча

    `-k_1l_1-k_2l_2-k_3l_3-...=-(2pi)/lambda n_1l_1-(2pi)/lambdan_2l_2-(2pi)/lambdan_3l_3-...`,

    где `lambda` - длина световой волны в вакууме. Кроме того, световой поток мог отражаться от оптически более плотных сред. Пусть луч совершил `N` таких отражений. Тогда его фаза получила дополнительное приращение `(2M+1)piN`, где `M` - любое целое число. Для другого интерферирующего пучка рассуждения аналогичны. Обозначим все характеристики этого пучка аналогичными буквами со штрихами. Тогда приращения фаз первого и второго пучка

    `Deltavarphi_1=(2M+1)piN-(2pi)/lambda(n_1l_1+n_2l_2+n_3l_3+...)`,

    `Deltavarphi_2-(2M^'+1)piN^'-(2pi)/lambda(n_1^'l_1^'+n_2^'l_2^'+n_3^'l_3^'+...)`.

    И сдвиг фаз между пучками

    `Deltavarphi=Deltavarphi_2-Deltavarphi_1=`

    `=(2(M^'-M)+(N^'-N))pi+(2pi)/lambda((n_1l_1+n_2l_2+...)-(n_1^'l_1^'+n_2^'l_2^'+...))`.

    Вводят понятие оптической разности хода

    `Delta_"опт"=(n_1l_1+n_2l_2+...)-(n_1^'l_1^'+n_2^'l_2^'+...)`.

    Заметим, что число `2(M^'-M)+(N^'-N)` будет чётным, если числа `N^'` и `N` имеют одинаковую чётность. Сдвиг фазы на чётное число `pi` эквивалентен отсутствию сдвига. Сдвиг фазы на нечётное число `pi` эквивалентен сдвигу на `-pi`. Запишем разность фаз колебаний интерферирующих пучков в более краткой форме

    $$∆\varphi =\left\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{\lambda }{∆}_{\mathrm{опт}},      \\ \frac{2\pi }{\lambda }\left({∆}_{\mathrm{опт}}-\frac{\lambda }{2}\right),  \end{array}\right.\begin{array}{l}\mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:N{ }^{\text{'}}\mathrm{имеют} \:\:\mathrm{одинаковую} \:\:\mathrm{четность}.\\ \\ \mathrm{если} \:N \mathrm\:{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{разную} \:\mathrm{четность}.\end{array}$$

    В такой формулировке становится понятен смысл названия явления «потеря полуволны». Особенно просто в таких терминах записываются условия максимума освещённости

    $$∆\varphi =\left\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{\lambda }{∆}_{\mathrm{опт}}=2m\pi ,\\ \frac{2\pi }{\lambda }\left({∆}_{\mathrm{опт}}-\frac{\lambda }{2}\right)=2m\pi ,\end{array}\right.\to$$

    $$\to \left\{\begin{array}{l}{∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda ,\\ {∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda +\frac{\lambda }{2},\end{array}\right.\begin{array}{l}\mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{одинаковую} \:\mathrm{четность},\\ \mathrm{если} N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{разную} \:\mathrm{четность}.\end{array}$$

    и минимума освещённости

    $$∆\varphi =\left\{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{\lambda }{∆}_{\mathrm{опт}}=\left(2m-1\right)\pi ,\\ \frac{2\pi }{\lambda }\left({∆}_{\mathrm{опт}}-\frac{\lambda }{2}\right)=\left(2m-1\right)\pi ,\end{array}\right.\to$$

    $$\to \left\{\begin{array}{l}{∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda -\frac{\lambda }{2},\\ {∆}_{\mathrm{опт}}=m\lambda ,\end{array}\right.\begin{array}{l}\mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{одинаковую} \:\mathrm{четность},\\ \mathrm{если} \:N \:\mathrm{и} \:{N}^{\text{'}} \:\mathrm{имеют} \:\mathrm{разную} \:\mathrm{четность}.\end{array}$$

    Пример 2 (полосы равного наклона)

    На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной `h` падает монохроматический рассеянный свет длиной волны `lambda`. Определить интерференционную картину, полученную на экране, параллельном пластинке, и расположенном в задней фокальной плоскости собирающей линзы с фокусным расстоянием `F`. Оптическая ось линзы перпендикулярна экрану. Показатель преломления стекла равен `n`.


    Решение

    Падающий рассеянный свет частично отражается от границы «воздух-стекло» в воздух, а частично проходит внутрь стекла. Прошедший внутрь стекла свет затем частично отражается от границы «стекло-воздух» в стекло и частично проходит в воздух. Затем отразившийся свет попадает на другую границу «стекло-воздух». Там он также частично отражается и частично проходит. В рассеянном свете присутствуют волны всех направлений.

    Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, которая падает на границу «стекло-воздух» (второе отражение) под углом `theta` (см. рис. 5). Будем рассматривать два световых потока: `1` - отразившийся от границы «воздух-стекло», `2` - отразившийся от границы «стекло-воздух». Свет разделяется на эти потоки после прохождения волновой поверхности `AB`. Потоки сходятся и интерферируют после прохождения волновой поверхности, содержащей точку `D` (на рисунке 5 не показана).

    Оптическая разность хода этих двух потоков

    `Delta_"опт"=n(AC+CD)-BD+lambda/2=2nh/(costheta)-ADsinalpha+lambda/2=`

    `=2nh/(costheta)-2hn"tg"thetasintheta+lambda/2=2hncostheta+lambda/2`.

    Здесь было учтено, что поток `1` нечётное число раз (один) отразился от оптически более плотной среды (стекло), а поток `2` от оптически более плотной среды не отражался. Кроме того, известно, что линза не даёт дополнительного сдвига фаз (об этом подробнее узнаете в следующем параграфе). Условия максимумов:

    `2hncostheta_m+lambda/2=mlambda`.

    Таким образом, световая энергия падающего на пластинку рассеянного света, распределённая одинаково по всем направлениям, перераспределяется. В отражённом свете углам, удовлетворяющим условию максимумов, будут соответствовать волны большей интенсивности! Максимально возможный порядок интерференции соответствует волнам с `theta_M~~0` и при `2hn> >lambda/2`

    `M~~(2hn)/lambda`.

    Плоская волна, распространяющаяся под углом `alpha_m` к главной оптической оси линзы, сфокусируется в точке экрана, находящейся от фокуса на расстоянии

    `r_m=F*"tg"alpha_m`.

    Таким образом, интерференционная картина будет представлять систему тёмных и светлых кругов. Радиус светлых кругов будет определяться условием максимумов

    `r_m=F*"tg"alpha_m=F*"tg"(arcsin(nsqrt(1-((mlambda-lambda/2)/(2hn))^2)))=F/(sqrt(1/(n^2-((mlambda-lambda/2)/(2h))^2)-1))`.

    При более тщательном анализе задачи можно заметить, что интерферирующих световых потоков не два, а бесконечно много. Действительно, свет, вышедший из стеклянной пластинки, не только преломляется в воздух, но и частично отражается обратно в стекло. Это даёт ему возможность, снова отразившись от дальней границы «стекло-воздух», вернуться к ближней (к линзе) границе «стекло-воздух» и преломиться в воздух, создав третий поток. Из законов геометрической оптики очевидно следует, что оптическая разность хода между `3` и `2` потоком точно такая же, как между `2` и `1`. Частичное отражение аналогично приведёт к появлению четвёртого, пятого, и т. д. световых потоков. Такое явление называют многолучевая интерференция.

    Пусть амплитуда падающей на стеклянную пластинку плоской волны равна `A`, коэффициент отражения по мощности от границы «стекло-воздух» (и от границы «воздух-стекло») равен `R`,  коэффициент  пропускания  по мощности `T=1-R`. Тогда, вспомнив, что интенсивность плоской волны пропорциональна квадрату амплитуды, легко посчитать амплитуды каждого из потоков (см. рис. 6). За один цикл «путешествия» внутри стекла свет два раза отражается от границы «стекло-воздух». Поэтому амплитуда каждой следующей вышедшей из пластинки световой волны отличается от амплитуды предыдущей в `R` раз. Это правило начинает работать, начиная со второй волны, поскольку первая получилась при отражении, а не преломлении. Из равенства разности фаз «соседних» лучей следует, что условие максимумов не нарушается, поскольку при сдвиге косинусоиды на целое число `2pi` интерферирующие волны складываются синфазно.

    Обратите внимание, что в этом примере можно представить, что интерферирующие волны посылаются бесконечно далёкими точечными источниками, находящимися на одном перпендикуляре к плоскости экрана. В этом случае сечение семейства двуполостных гиперболоидов вращения (определяемых постоянством разности фаз) плоскостью экрана - система колец.

    В природе полосы равной толщины наблюдаются невооружённым глазом при отражении рассеянного дневного света от тонких плёнок (например, бензин на поверхности лужи). Мы видим радужные разводы на поверхности плёнки, потому что спектр дневного белого света состоит из волн различной частоты. Такие волны не являются когерентными. Поэтому так, как было рассказано выше, образуются картины перераспределения интенсивности для каждой монохроматической компоненты спектра. Эти монохроматические картины отличаются по размерам. Как следует из формулы для расчёта `r_m`, для длинноволновых («красных») компонент видимого спектра картина будет крупнее, чем для коротковолновых («фиолетовых»). Мы уже знаем, что при суперпозиции некогерентных электромагнитных волн складываются интенсивности волн.

    На рисунке 7 качественно изображены графики зависимостей освещённости точек экрана в интерференционных картинах для фиолетовой, зелёной и красной компонент спектра от расстояния до центра картины. Видно, что по мере увеличения расстояния максимумы одной интерференционной картины начинают накладываться на минимумы другой. Начиная с некоторого расстояния, суммарная освещённость экрана почти не будет изменяться. Характерная интерференционная картина исчезнет, и экран будет засвечен равномерно. В этом случае говорят об отсутствии временной когерентности.

    Итак, немонохроматичность источника света ограничивает размер различимой интерференционной картины. Чтобы увеличить этот размер, нужно излучение пропустить через светофильтр, который пропускает электромагнитные волны в узкой полосе частот. Причем неважно, какой свет пропускать через светофильтр: падающий или отражённый. Так, например, человеческий глаз характеризуется различной чувствительностью к различным цветам. Это своего рода светофильтр, который позволяет нам рассматривать полосы равного наклона сравнительно большого размера без дополнительного светофильтра.

  • 2. Отражение и преломление

    Из геометрической оптики мы знаем, что при прохождении света через границу диэлектриков он частично отражается, а частично преломляется. Опишем эти процессы с волновой точки зрения. Характеристики электромагнитного поля `E` и `B` по разные стороны от границы диэлектриков связаны т. н. граничными условиями:

     `epsilon_1E_(n_1)=epsilon_2E_(n_2)` ,       `E_(tau_1)=E_(tau_2)`,

    `B_(n_1)=B_(n_2)`,      `B_(tau_1)/mu_1=B_(tau_2)/mu_2`,

    где `E_(n_1)`, `E_(n_2)`, и `B_(n_1)`, `B_(n_2)` - проекции силовых характеристик поля в точках, расположенных в непосредственной близости к границе в диэлектриках `1` и `2` соответственно, на нормаль к границе раздела диэлектриков, `E_(tau_1)`, `E_(tau_2)` и `B_(tau_1)`, `B_(tau_2)` - проекции на плоскость границы раздела.

    Эти соотношения напрямую следуют из свойств электрического поля. Например, условие `E_(tau_1)=E_(tau_2)` следует из того, что электрическое поле потенциально. Действительно, работа электрических сил по замкнутому пути равна нулю. Представим себе замкнутый прямоугольный контур, пересекающий границу диэлектриков так, что две стороны этого контура длиной `L` параллельны границе и идут по обе её стороны, а оставшиеся две очень короткие. Работа поля при перемещении некоторого заряда по контуру

    `A=qE_(tau_1)L-qE_(tau_2)L=0->E_(tau_1)=E_(tau_2)`.

    Остальные граничные условия следуют из квадратичного характера зависимости значений `E` и `B` от расстояния до точечного источника (закон Кулона, закон Био-Савара-Лапласа) и отсутствия магнитного заряда в природе (силовые линии замкнуты).

    Введём декартову систему координат так, что плоскость `Oxy` совпадает с границей раздела диэлектриков. Пусть на границу из среды `1` падает плоская монохроматическая волна.

    `E_"пад"=E_1cos(omega_1t-k_(1_x)x-k_(1_y)y-k_(1_z)z+varphi_(0_1))`.

    Из симметрии следует, что отражённая и преломлённая волны будут также монохроматическими

    `E_"отр"=E_1^'cos(omega_1^'t-k_(1_x)^'x-k_(1_y)^'y-k_(1_z)^'z+varphi_(0_1)^')`,

    `E_"пр"=E_2cos(omega_2t-k_(2_x)x-k_(2_y)y-k_(2_z)z+varphi_(0_2))`.

    По принципу суперпозиции в первом диэлектрике поле является суммой полей падающей и отражённой волн. Тогда граничное условие при `z=0`

    `E_("пад"_tau)+E_("отр"_tau)=E_("пр"_tau)->E_("пад"_x)+E_("пад"_y)+E_("отр"_x)+E_("отр"_y)=E_("пр"_x)+E_("пр"_y)`,

    `(E_(1_x)+E_(1_y))cos(omega_1t-k_(1_x)x-k_(1_y)y+varphi_(0_1))+(E_(1_x)^'+E_(1_y)^')cos(omega_1^'t-k_(1_x)^'x-k_(1_y)^'y+varphi_(0_1)^')=`

    `=(E_(2_x)+E_(2_y))cos(omega_2t-k_(2_x)x-k_(2_y)y+varphi_(0_2))`.

    Множители косинусов не зависят ни от координат, ни от времени. Допустим, что в некоторой точке границы в некоторый момент времени граничное условие, записанное выше, было удовлетворено. Тогда если циклические частоты колебаний падающей, отражённой и преломлённой волн не будут равными, в следующие моменты времени граничное условие будет нарушено. Значит, в стационарном случае необходимо выполнение равенства

    `omega_1=omega_1^'=omega_2=omega`.

    Частоты всех трёх волн одинаковы! При этом длины волн в разных диэлектриках `lambda_(1,2)=2piv_(1,2)//omega` будут различны.

    Теперь зафиксируем момент времени, в который выполнилось граничное условие, и будем мысленно смещаться параллельно оси `Ox` из точки, где в этот момент выполнилось граничное условие. Если значение `k_x` у всех трёх волн не будут совпадать, равенство нарушится. Аналогично при мысленном смещении параллельно оси `Oy`, мы придём к необходимости равенства значений `k_y`

    `k_(1_x)=k_(1_x)^'=k_(2_x)=k_x`

    `->k_(1_tau)=k_(1_tau)^'=k_(2_tau)=k_tau`.

    `k_(1_y)=k_(1_y)^'=k_(2_y)=k_y`

    Из этих равенств можно сделать три важных вывода.

    Во-первых, волновые векторы падающей, отражённой и преломлённой волн `veck_1`, `veck_1^'` и `veck_2` лежат в одной плоскости, перпендикулярной граничной. Эту плоскость мы называли плоскостью падения. Во-вторых, должен быть справедлив закон отражения. Действительно, `k_(1_tau)=k_(1_tau)^'->k_1sinalpha_1=k_1^'sinalpha_1^'->alpha_1=alpha_1^'` т. к. `k_1=k_1^'=omega/v_1`.

    В-третьих, должен быть справедлив закон преломления (Снеллиуса). Действительно, `k_(1_tau)=k_(2_tau)->k_1sinalpha_1=k_2sinalpha_2->omega/v_1 sinalpha_1=omega/v_2 sinalpha_2->n_1sinalpha_1=n_2sinalpha_2`.

    В этих равенствах углы отсчитываются от нормали к границе. Итак, волновой подход позволяет полностью обосновать все факты, изученные нами в геометрической оптике.

    Оценим долю энергии, отражённой от границы. Коэффициент отражения логично определить как отношение интенсивностей отражённой и падающей волн

    `R=(I_"отр")/(I_"пад")=sqrt((epsilon_0epsilon_1)/(mu_0mu_1))*((E_1^')^2)/2//sqrt((epsilon_0epsilon_1)/(mu_0mu_1))*((E_1)^2)/2=((E_1^')/(E_1))^2`.

    Отношение амплитуд напряжённостей электрического поля зависит от угла `beta` между плоскостью колебаний падающей волны и плоскостью падения. При любом значении этого угла по принципу суперпозиции падающую волну можно представить как сумму двух волн, плоскости колебаний которых параллельны и перпендикулярны плоскости падения

    `vecE_"пад"=vecE_("пад""||")+vecE_("пад"_|_)`.

    При этом амплитуды этих волн составят

    `E_(1"||")=E_1*cosbeta`,

    `E_(1_|_)=E_1*sinbeta`.

    Можно рассмотреть отражение каждой из волн

    `E_(1"||")^'=E_(1"||")sqrt(R_"||")=E_1*cosbetasqrt(R_"||")`
    `->`
    `E_(1_|_)^'=E_(1_|_)sqrt(R_(_|_))=E_1*sinbetasqrt(R_(_|_))`


    `->(E_1^')^2=(E_(1"||")^')^2+(E_(1_|_)^')^2=E_1^2(R_"||"cos^2beta+R_(_|_)sin^2beta)`

    `R=R_"||"cos^2beta+R_(_|_)sin^2beta`.

    Если на границу падает естественный свет, то все возможные `beta` равновероятны и

    `R_"ест"=R_"||"(:cos^2beta:)+R_(_|_)(:sin^2beta:)=(R_"||"+R_(_|_))/2`.

    Выберем декартову систему так, чтобы плоскость падения совпадала с плоскостью `Oxz`. Изобразим на рисунке вектора, характеризующие падающую, отражённую и преломлённую волны, для случая, когда плоскость падения совпадает с плоскостью колебаний и для случая, когда плоскость падения перпендикулярна плоскости колебаний.

    На рисунках 3 подписаны только те силовые векторы, которые лежат в плоскости рисунка. Перпендикулярные им силовые векторы обозначены кружками. Направление этих векторов определяется правилом «буравчика» (см. выше).

    Определим `R_"||"`. Напишем граничные условия для касательных и нормальных компонент напряжённости электрического поля:

    `E_(1_"||")cosalpha_1-E_(1_"||")^'cosalpha_1=E_(2_"||")cosalpha_2`
    `->`
    `epsilon_1E_(1_"||")sinalpha_1+epsilon_1E_(1_"||")^'sinalpha_1=epsilon_2E_(2_"||")sinalpha_2`

    `->(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||"))=("tg"alpha_2-epsilon_1/epsilon_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+epsilon_1/epsilon_2 "tg"alpha_1)`.

    С учётом закона Снеллиуса

    `epsilon_1/epsilon_2=epsilon_1/epsilon_2*(mu_1mu_2)/(mu_2mu_1)=(n_1/n_2)^2mu_2/mu_1=(sin^2alpha_2)/(sin^2alpha_1*mu_2/mu_1`

    получим

    `(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||"))=(mu_1/mu_2 sin2alpha_1-sin2alpha_2)/(mu_1/mu_2 sin2alpha_1+sin2alpha_2)->`

    `->R_("||")=((E_(1_"||")^')/(E_(1_"||")))^2=((mu_1/mu_2 sin2alpha_2-sin2alpha_1)/(mu_1/mu_2 sin2alpha_2+sin2alpha_1))^2`.

    Для электромагнитных волн видимого диапазона прозрачны только немагнитные вещества. Поэтому в оптике `mu_1~~mu_2~~1` и формулу для коэффициента отражения можно упростить:

    `(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||"))=(sin2alpha_1-sin2alpha_2)/(sin2alpha_2+sin2alpha_1)=("tg"(alpha_1-alpha_2))/("tg"(alpha_1+alpha_2))->`

    `->R_"||"=(("tg"(alpha_1-alpha_2))/("tg"(alpha_1+alpha_2)))^2`.

    Заметим, что при отражении от оптически более плотных веществ `alpha_1>alpha_2` и `(E_(1_"||")^')/(E_(1_"||")>0`. Это означает, что при таком отражении вектор `vecE` «перевернётся». При этом фаза колебаний напряжённости электрического поля меняется на нечётное число `pi`. Это явление называют «потерей полуволны».

    Теперь аналогично определим `R_(_|_)`. Напишем граничные условия для касательных и нормальных компонент вектора магнитной индукции:

    `(B_(1_(_|_)))/mu_1 cosalpha_1-(B_(1_(_|_))^')/mu_1 cosalpha_1=(B_(2_(_|_)))/mu_2 cosalpha_2`
    `->`
    `B_(1_(_|_))sinalpha_1+B_(1_(_|_))^'sinalpha_1-B_(2_(_|_))sinalpha_2`

    `->(B_(1_(_|_))^')/(B_(1_(_|_)))=("tg"alpha_2-mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)`.

    В плоской монохроматической волне `E=vB` поэтому 

    `(E_(1_(_|_))^')/(E_(1_(_|_)))=v_1/v_1 (B_(1_(_|_))^')/(B_(1_(_|_)))=("tg"alpha_2-mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)->`

    `->R_(_|_)=((E_(1_(_|_))^')/(E_(1_(_|_))))^2=(("tg"alpha_2-mu_1/mu_2 "tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+mu_1/mu_2 "tg"alpha_1))^2`.

    Для электромагнитных волн видимого диапазона прозрачны только немагнитные вещества. Поэтому в оптике `mu_1~~mu_2~~1` и формулу для коэффициента отражения можно упростить:

    `(E_(1_(_|_))^')/(E_(1_(_|_)))=("tg"alpha_2-"tg"alpha_1)/("tg"alpha_2+"tg"alpha_1)=-(sin(alpha_1-alpha_2))/(sin(alpha_1+alpha_2))->R_(_|_)=((sin(alpha_1-alpha_2))/(sin(alpha_1+alpha_2)))^2`.

    Как видно из формулы, и для такой поляризации отражающихся волн также присутствует эффект «потери полуволны». Это означает, что фаза колебаний электрического поля получает приращение на нечётное число `pi` при отражении волны любой поляризации от оптически более плотной среды.

  • 1. Электромагнитные волны

    Явление электромагнитной индукции заключается в том, что переменное электрическое поле в некоторой области создаёт в соседних областях магнитное поле, а переменное магнитное поле создаёт электрическое. Если созданные поля окажутся переменными (например, созданные ускоренно движущимися заряженными частицами), то они в свою очередь индуцируют в соседних областях электромагнитное поле, если оно окажется переменным, то оно опять создаст в соседних областях поле и т. д. Таким образом, электромагнитные колебания могут распространяться в пространстве с течением времени. Такой процесс называется волной. В данном случае его можно назвать электромагнитной волной. К сожалению, математическая программа средней школы не позволяет показать, как из основных уравнений электродинамики получается волновое уравнение, решением которого является электромагнитная волна. Зависимость напряжённости поля `E` в волне от координаты и времени для однородной непроводящей среды с диэлектрической проницаемостью `epsilon` и магнитной проницаемостью `mu` может быть представлена в виде суммы произвольных функций `f` и `g`, зависящих от аргументов, указанных в скобках:

    `E=f(x-vt)+g(x+vt)`,  где

    `v=1/(sqrt(epsilon_0mu_0epsilonmu))=c/(sqrt(epsilonmu))=c/n`,

    `(epsilon_0=8,85*10^(-12)"Ф"/"м",  mu_0=4pi*10^(-7)"Гн"/"м",  c=3*10^8"м"/"c")`,

    может быть интерпретирована как скорость электромагнитных волн, бегущих в положительном и отрицательном направлениях оси `Ox`. Действительно, все точки графика функции `f` за время `t` сместятся в положительном направлении оси `Ox` на расстояние `vt`. А все точки графика функции `g` за время `t` сместятся на расстояние `vt` в отрицательном направлении оси `Ox`. Получается, как будто пространственные распределения напряжённости поля смещаются со скоростями `v` в противоположных направлениях. Число `n=sqrt(epsilonmu)` показывает, во сколько раз скорость волны в среде меньше, чем в вакууме `(epsilon=mu=1)`. По аналогии с геометрической оптикой это число можно назвать показателем преломления среды.

    Была высказана смелая гипотеза, что свет - это электромагнитная волна. В пользу этой гипотезы говорил тот факт, что результаты прямых измерений скорости света в вакууме показали поразительное совпадение со значением электродинамической постоянной `c=3*10^8"м"/"c"`.

    Атомы среды состоят из ядер, вокруг которых движутся электроны. Поле электромагнитной волны взаимодействует с ними, и в результате взаимодействия само преобразуется. Поскольку для движения электронов в атомах характерны «собственные» частоты, результат взаимодействия волны с атомом будет иметь резонансный характер. Поэтому для анализа процессов излучения, распространения и поглощения света полезно применить понятие «монохроматическая волна» - волна, зависимость напряжённости поля от координат и времени в которой, описывается гармонической функцией (синусом или косинусом) определённой частоты. По теореме Фурье произвольная функция может быть представлена в виде суммы бесконечного числа гармонических функций с различными частотами. Такое разложение называют спектром функции, а его составляющие гармониками спектра. Многие приборы могут физически разделять спектр падающего света на гармоники. Например, человеческий глаз создаёт цветовые ощущения. Гармоники различных частот вызывают ощущения различного цвета. Отсюда, кстати, и возникло название «монохроматическая», т. е. «одноцветная» волна. Ещё один пример. Стеклянная призма выделяет из белого света гармоники, отклоняя соответствующие им монохроматические волны на разные углы.

    Запишем плоскую монохроматическую волну в виде функции `x` и `t`:

    `E=E_0cos(omegat-kx+varphi_0)=E_0cos(k(x-omega/k t)+varphi_0/k)`,

    где `k`, `omega`, `E_0`, `varphi_0` - некоторые числа. Очевидно, что она является решением волнового уравнения. График этой функции – косинусоида, смещающаяся в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `v=omega//k`. Расстояние между соседними максимумами косинусоиды называется длина волны `lambda`. При изменении `x` на `lambda` аргумент косинуса должен измениться на `2pi`.

    `klambda=2pi`.

    Будем наблюдать за изменениями напряжённости поля в некоторой фиксированной точке с течением времени. Очевидно, это также будет косинусоида. По прошествии периода `T` аргумент косинуса должен измениться на `2pi`.

    `omegaT=2pi`.

    Этими двумя соотношениями `k` - волновое число, `omega` - циклическая частота связываются с длиной волны `lambda` и периодом колебаний `T`, и частотой `nu=1//T`.

    В плоской монохроматической волне `E_0` - амплитуда напряжённости поля постоянна. Аргумент косинуса называется фазой. Поверхности равной фазы - волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные оси `Ox` (при определённых `x` и `t` фаза - определённое число). Из-за этого волну называют «плоской». Поверхности равной фазы перемещаются со скоростью `v=omega//k`. Поэтому эту скорость называют фазовой.

    Уравнение волны, направленной под произвольным углом к осям системы координат можно записать как

    `E=E_0cos(omegat=k_x x-k_y y-k_z z+varphi_0)=`

    `=E_0cos(omegat-(veck,vecr)+varphi_0)`,

    если ввести волновой вектор `|veck|=k`, направленный перпендикулярно волновым поверхностям.

    Из сказанного выше следует, что длина волны и частота связаны в вакууме `(n=1)` соотношением `lambdanu=c`. Поэтому классификацию электромагнитных волн можно проводить как по частоте, так и по длине волны. В современной физике устоялась шкала электромагнитных излучений, в которой радиоволны различных частот (длин волн) сгруппированы по схожести источников, приёмников и особенностям взаимодействия с веществом.

    Из уравнений электродинамики следует (вывод выходит за рамки программы), что в плоской монохроматической электромагнитной волне, распространяющейся в однородной непроводящей среде, как вектор магнитной индукции `vecB`, так и вектор напряжённости электрического поля `vecE` перпендикулярны направлению распространения волны. Кроме того, эти вектора перпендикулярны друг другу (см. рис. 1). В любой момент времени, если расположить винт с правой резьбой («буравчик») перпендикулярно этим векторам, и начать вращать его так, как если бы мы собирались повернуть вектор `vecE` к `vecB` по кратчайшему пути, то винт («буравчик») будет двигаться в сторону распространения волны. При этом колебания величин `|vecE|=E(x,t)` и `|vecB|=B(x,t) происходят в одной фазе и

    `E(x,t)=v*B(x,t)`.

    Плоскость, в которой колеблется вектор `vecE`, называют плоскостью колебаний, а плоскость, в которой колеблется вектор `vecB`, называют плоскостью поляризации. Если эти плоскости сохраняют свою ориентацию при распространении волны, волну называют линейно поляризованной. Если плоскости колебаний и поляризации с течением времени поворачиваются «по» или «против» часовой стрелки, то говорят о циркулярно (по кругу) поляризованной волне.

    Свет от природных источников является совокупностью излучений множества атомов. Обычно они излучают независимо друг от друга. Поэтому ориентация плоскостей колебаний и поляризации такой электромагнитной волны, в точке приёма меняется хаотически с течением времени. Такую волну называют естественным светом. Есть несколько способов получить из естественного света линейно поляризованный свет: отражение от поверхности диэлектрика под определённым углом, использование дихроичных пластинок и двулучепреломляющих кристаллов.

    Устройства, выделяющие из естественного света линейно поляризованный, называются поляризаторами. Поляризаторы пропускают электромагнитные волны, плоскость колебаний которых ориентирована как разрешённое направление поляризатора. Согласно закону Малюса, амплитуда напряжённости электрического поля волны, прошедшей через поляризатор

    `E_0^'=E_0*cosalpha`,

    где `E_0` - амплитуда напряжённости электрического поля волны, падающей на поляризатор, `alpha` - угол между разрешённым направлением поляризатора и плоскостью колебаний падающей волны. Можно направить электромагнитную волну нормально на поляризатор и, вращая его, измерять амплитуду поля прошедшей волны, исследуя степень поляризации света `P`:

    `P=(I_max-I_min)/(I_max+I_min)`,

    где `I_max` и `I_min` - max и min интенсивности, прошедшего через поляризатор света. Таким образом, поляризаторы могут быть использованы для анализа поляризации электромагнитного излучения. В этом случае их называют анализаторы.

    Практически все физические приборы (в т. ч. и глаз) реагируют на электрическое поле волны, но регистрируют не амплитуду поля `E_0`, а среднюю мощность, приходящуюся на единицу поверхности светочувствительного датчика (освещённость). Свяжем эту величину с амплитудой плоской монохроматической волны. Для этого введём понятие интенсивности. Интенсивность волны `I` - физическая величина, равная средней мощности, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

    Выделим в окрестности некоторой точки участок волновой поверхности (перпендикулярна направлению распространения) площадью `S`. За время `Deltat`ч ерез этот участок волна перенесёт энергию, заключавшуюся в объёме цилиндра высотой `vDeltat` и площадью основания `S`. Если обозначить объёмную плотность электрического и магнитного полей как `w_e` и `w_m` соответственно, то

    `I=((w_e+w_m)SvDeltat)/(SDeltat)=(:w_e+w_m:)v=(:(epsilon epsilon_0E^2)/2+B^2/(2mu mu_0):)*1/(sqrt(epsilon_0 mu_0epsilonmu))=`

    `=(epsilon_0epsilon(:E^2:))/(sqrt(epsilon_0mu_0epsilonmu))=sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))(:E^2:)=sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))*E_0^2/2~E_0^2`.

    Угловые скобки здесь указывают на усреднение величины по большому, по сравнению с периодом колебаний поля, времени (обычно это условие очень хорошо выполняется для всех регистрирующих приборов, так время реакции глаза, например, `0,04` с). В выводе была использована связь напряжённостей электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне `E=v*B` и тот факт, что

    `(:cos^2omegat:)=(:(1+cos2omegat)/2:)=1/2+(:cos2omegat:)/2=1/2`.

    Учитывая, что интенсивность пропорциональна амплитуде напряжённости электрического поля плоской волны, можно записать закон Малюса в виде

    `I^'=Icos^2alpha`,

    где `I` - интенсивность падающей на поляризатор волны, `I^'` - интенсивность прошедшей через поляризатор волны. Если направить на поляризатор естественный свет, то угол `alpha` будет равновероятно принимать все возможные значения. Мы уже знаем, что в этом случае средний квадрат косинуса равен `0,5`. Поэтому интенсивность естественного света, прошедшего через поляроид (и ставшего линейно поляризованным), уменьшается в 2 раза.

    Плоскую монохроматическую волну можно наглядно представить как движущиеся со скоростью `v` в направлении `Ox` графики зависимостей `E(x)` и `B(x)`, изображённые на плоскостях `Oxy` и `Oxz`. Графики зависимостей `E(x)` и `B(x)` - косинусоиды с периодом `lambda` и одинаковыми начальными фазами. Амплитуды связаны соотношением `E_0=v*B_0`.

    Необходимо осознавать, что рассмотренная нами плоская монохроматическая волна - всего лишь модель реальной электромагнитной (световой) волны, аналогичная параллельному пучку лучей в геометрической оптике. Реально, конечно же, не бывает бесконечных во времени и пространстве процессов. Обычно источник волны излучает конечное время. Поэтому волна состоит из отрезков косинусоид - цугов, испущенных разными атомами в разные моменты времени (даже если цуги накладываются один на другой, то, как мы узнаем далее, сумма косинусоид - тоже косинусоида). Кроме того, интенсивность волны уменьшается по мере удаления от источника. Для учёта последнего замечания можно попробовать «усовершенствовать» плоскую монохроматическую волну, заставив её амплитуду уменьшаться по мере удаления от некоторой точки - источника волны.

    `E=E_0(r)cos(omegat-kr+varphi_0)`.

    Закон изменения амплитуды от расстояния `E_0(r)` следует из закона сохранения энергии. Рассмотрим точечный источник света в оптически однородной среде. Тогда из-за того, что фазовая скорость во всех точках пространства одинакова, волновой поверхностью излучённой волны окажется сфера с центром в источнике. Пренебрежём поглощением среды. Тогда количество световой энергии, поступающей в некоторую область среды за определённое время, должно быть в точности равно количеству энергии, покидающей эту область за то же самое время. Выделим область, ограниченную сферами радиусом `r_1` и `r_2` с центром в источнике волн и конусом с вершиной в источнике волн. Из симметрии ясно, что энергия будет переноситься только через «сферические» границы области. Площади этих участков сферы пропорциональны квадрату радиуса, поэтому энергетический баланс для области

    `I_1*Omega_1^2*Deltat-I_2*Omega_2^2*Deltat=0->`

    `->I_1r_1^2-I_2r_2^2=Ir^2="const"`,

    где `I_1` и `I_2` - интенсивности волны в точках первой и второй сфер соответственно, `Omega` - коэффициент пропорциональности между площадью участка сферы, ограниченного пересечением с центральным конусом и квадратом радиуса (телесный угол), `Deltat` - некоторый промежуток времени.

    Угол при вершине конуса мы можем взять сколь угодно малым. Тогда сферический участок волновой поверхности можно, с какой угодно точностью считать плоским. Интенсивность плоской волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля

    `Ir^2="const"->E_0^2r^2="const"^'->E_0(r)=("const"^"''")/r`.

    Итак, уравнение сферической монохроматической волны можно записать так

    `E=(A(theta,delta))/rcos(omegat-kr+varphi_0)`,

    где `A(theta,delta)` - некоторая функция угловых координат `theta` и `delta` сферической системы отсчёта, которая должна быть такой, чтобы `E` удовлетворяло волновому уравнению. Можно проверить, что в частном случае

    `A(theta,delta)=a="const"`

    сферическая волна

    `E=a/r cos(omegat-kr+varphi_0)`

    является решением волнового уравнения. Ещё одним важным частным случаем сферической волны является излучение точечного диполя, момент которого изменяется по гармоническому закону

    `vecp=vecp_0*cosomegat`.

    Решение уравнений электродинамики в данном случае также выходит за рамки программы, поэтому приведём лишь результат. Амплитуда сферической волны будет зависеть от угла `theta`, который составляет направление распространения с осью диполя

    `E=(k_eomega^2p_0sintheta)/(epsilonv^2r)*cos(omegat-kr+varphi_0)`,

    `B=E/v=1/v*(k_eomega^2p_0sintheta)/(epsilonv^2r)*cos(omegat-kr+varphi_0)`.

    Используем уже полученное нами выражение для интенсивности и получим интенсивность света, распространяющегося в определённом направлении

    `I=sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))*(E_0^2)/2=1/2sqrt((epsilon_0epsilon)/(mu_0mu))*((k_e omega^2p_0sin theta)/(epsilonv^2r))=`

    `=(p_o^2omega^4)/(32pi^2v3/2r^2)sin^2theta`.

    Эта интенсивность пропорциональна квадрату синуса между направлением распространения и осью диполя. Чтобы представить наглядно эту зависимость, изображают диаграмму направленности: от точки, изображающей колеблющийся точечный диполь, по разным направлениям откладывают отрезки, длина которых пропорциональна интенсивности волны по данному направлению. Получившаяся линия напоминает цифру `«8»` (см. рис. 2). Из диаграммы направленности точечного диполя видно, что максимум интенсивности излучается перпендикулярно оси диполя, а в направлении оси диполя излучение отсутствует.

    Полученный результат важен для теории рассеяния света. Если размеры оптических неоднородностей в среде много меньше длины падающей на них волны, то можно считать, что напряжённость электрического поля во всех точках неоднородности одинакова и меняется синфазно (одновременно). Под действием электрического поля падающей волны вещество неоднородности поляризуется. Поляризация однородна (одинакова во всех частях неоднородности) и изменяется по гармоническому закону с частотой поля. Эти изменения можно представить в виде осциллирующего диполя. На расстояниях, значительно больших, чем размер неоднородности, диполь можно считать точечным. Его излучение было рассчитано выше.

    Интенсивность излучения пропорциональна четвёртой степени частоты падающего света. Это объясняет голубой цвет небосвода. Согласно шкале электромагнитных излучений, наибольшей частотой характеризуется фиолетовый свет, а наименьшей – красный. Интенсивность переизлучения волн фиолетового края спектра намного больше, чем переизлучение красного края спектра. Смесь переизлученных неоднородностями атмосферы волн разной частоты в определённой выше пропорции воспринимается глазом как голубой свет. Цвет неба и Солнца на закате красноватый из-за того, что «закатные» солнечные лучи проходят значительный путь в плотных слоях атмосферы, в связи с чем их спектр обедняется короткими волнами (фиолетовый край), которые рассеиваются в стороны.

  • Введение

    При изучении геометрической оптики мы представляли свет, как нечто, передающее энергию от источника света к приёмнику вдоль бесконечно тонких трубок - лучей. Законы геометрической оптики предсказывали ход лучей в пространстве и позволяли грубо решить вопрос о распределении световой энергии в пространстве при образовании тени за непрозрачными предметами и создании изображений источников света.

    Однако есть много световых явлений, которые невозможно описать с помощью геометрической оптики.

    Например, давно замечено, что при рассматривании с помощью микроскопа объектов меньших некоторого размера, их увеличенные изображения сильно искажаются. Для совсем малых объектов изображения практически не возникает. Свет как будто не замечает объекта, огибая его. Это явно противоречит представлениям геометрической оптики о прямолинейности хода лучей в оптически однородной среде (воздухе). Если бы свет распространялся вдоль лучей, то форма изображения объекта не искажалась для любых его размеров. Отклонение законов распространения света за препятствиями от законов геометрической оптики назвали дифракцией света.

    Ещё один важный пример. Если поставить на стол свечу, то освещённость точек столешницы будет плавно изменяться в зависимости от расстояния до свечи. Поставим рядом вторую такую же свечу. Жизненный опыт нам подсказывает, что освещённость точек стола увеличится (примерно в 2 раза), но её пространственное распределение останется плавным. Это вполне согласуется с представлениями геометрической оптики. Действительно, световые мощности от двух свечей, падающие на один и тот же небольшой кусочек стола, складываются. Если считать, что энергия распространяется вдоль лучей, то мощность, приходящаяся на единицу площади, обратно пропорциональна квадрату расстояния до пламени свечи. Таким образом, чтобы получить пространственное распределение освещённости точек столешницы, нам нужно сложить две монотонные функции вида `~r^(-2)`. Разумеется, результатом сложения будет распределение освещённостей с максимумом вблизи свечей и убыванием до нуля в бесконечности.

    Совершенно другой результат может получиться, если вторую свечу заменить отражением первой. Мы можем, например, вблизи свечи расположить вертикальное плоское зеркало. Лучи, отражённые от зеркала, согласно законам геометрической оптики, эквивалентны лучам второй свечи из предыдущего опыта. И можно было бы ожидать такого же, как в предыдущем опыте, распределения освещённости по столешнице. Однако, при подходящих условиях, можно наблюдать на столешнице чередование тёмных и светлых полос, что противоречит законам геометрической оптики. Это происходит потому, что во втором опыте свет, падающий на стол от свечи напрямую, и свет, падающий на стол после отражения от зеркала, не являются независимыми (поскольку в данном случае они излучены одним и тем же источником). Такие световые пучки, сложение которых может привести к чередованию максимумов и минимумов освещённости в пространстве, называются когерентными. Далее мы более подробно узнаем, какие пучки света можно считать когерентными. Явление перераспределения света в пространстве, связанное с наложением когерентных пучков света, назвали интерференцией.

    И еще один пример - дневное свечение неба. Безоблачный небосвод днём выглядит так, как если бы он был твёрдой шероховатой поверхностью, покрашенной голубой краской. Однако достоверно известно, что «небесной тверди» не существует, а объяснить свечение слоя воздуха диффузным отражением невозможно.

    Воздух кажется вполне однородным. И по законам геометрической оптики солнечные лучи должны быть прямыми в оптически однородной среде, поэтому мы должны были бы увидеть только изображение Солнца на чёрном небосводе. Но из-за теплового хаотического движения в разных местах воздушного слоя в различные моменты времени возникают сгущения и разрежения молекул. Это приводит к локальному изменению плотности воздуха в этих местах, а, значит, к локальному изменению показателя преломления. Учёные связали свечение неба с переизлучением падающего солнечного света этими оптическими неоднородностями. Подобное же явление можно наблюдать, например, в очень слабом растворе молока, где в роли оптических неоднородностей выступают взвешенные в воде шарики жира. Если направить луч лазерной указки на кювету с таким раствором, то можно с помощью белого листочка - экрана наблюдать, что значительная часть световой энергии рассеивается по направлениям, перпендикулярным лучу лазера. Явление переизлучения оптическими неоднородностями среды падающего света по всем направлениям назвали рассеянием света. Важно не путать его с дифракцией. При дифракции оптические неоднородности не переизлучают свет, а считаются пассивными экранами, подчиняющимися законам геометрической оптики.

    Нельзя не упомянуть, что геометрическая оптика никак не объясняет различие показателей преломления одного и того же вещества для света различных цветов - дисперсию света. Геометрическая оптика также не сможет нам помочь в описании поглощения света веществом. Хотя это явление действительно имеет место. Достаточно вспомнить, например, что в море на глубинах больше нескольких десятков метров уже царит мрак. Только часть световой энергии отражается от поверхности моря. Значит, остальная энергия рассеивается на неоднородностях (частично выходя через поверхность в воздух) и поглощается в поверхностном слое воды.

    Для описания этих и многих других явлений необходимо было создать новую модель света.

  • 1.1. Линейная и угловая скорости

    Важным частным случаем движения материальной точки по заданной траектории является движение по окружности. Рассмотрим движение  материальной  точки  `M`  по  окружности  радиуса `R`  с центром в точке `O`.

    В произвольный момент времени `t` положение точки на окружности однозначно определяется углом `varphi(t)`, который радиус-вектор `vecr(t)` точки `M` образует с направлением     начала     отсчёта    углов (рис. 1). Таким  направлением  будем считать направление `OA`. Другим способом задания положения точки на окружности является задание длины `S(t)` дуги `AM`. Оба способа задания  положения точки на окружности эквивалентны, так как угловая `varphi(t)` и дуговая `S(t)` координаты связаны определением радианной меры угла:

    `varphi(t)=(S(t))/R`.

    Рассмотрим перемещение `Deltavecr=vecvDeltat` точки `M` при движении по окружности за малый промежуток времени `Deltat`. Это перемещение стягивается дугой длиной `DeltaS~~|Deltavecr|=|vecv|Deltat`, а радиус-вектор точки `M` поворачивается при этом на угол `Deltavarphi`. На такой же угол поворачивается и вектор скорости, так как скорость  `vecv` перпендикулярна `vecr` - радиус-вектору точки, т. к. направлена по касательной к окружности.

    Линейной скоростью `v(t)` точки называют отношение длины `DeltaS` дуги   ко времени `Deltat` перемещения (при `Deltat -> 0`):

     `v(t)=(DeltaS)/(Deltat)`.                                                                          (1)

    Линейная скорость точки есть модуль (величина) вектора скорости. В системе СИ линейную скорость измеряют в м/с (метр в секунду).

    Угловой скоростью `omega(t)` радиус-вектора точки называют отношение угла `Deltavarphi` поворота радиус-вектора ко времени `Deltat`, за которое этот поворот был совершён (при `Deltat -> 0`),

    `omega(t)=(Deltavarphi)/(Deltat)`.                                                                         (2)

    С такой же угловой скоростью вращается и вектор скорости точки, так как линейная скорость `vecv_|_vecr` - радиус-вектору точки. В системе СИ угловую скорость измеряют в рад/с (радиан в секунду).


    Следует отметить, что в учебных пособиях угловую скорость радиуса-вектора точки часто называют просто угловой скоростью, а в качестве единицы измерения угловой скорости указывают `1//"c"` (обратную секунду, `"с"^(-1)`); последнее обусловлено тем, что радиан – величина безразмерная.

    Замечая, что `Deltavarphi(t)=(DeltaS(t))/R`, приходим с учётом (1) и (2) к соотношению, связывающему линейную `v(t)` и угловую `omega(t)` скорости при произвольном движении материальной точки по окружности радиуса `R`:

     `v(t)=omega(t)*R`.                                                                    (3)


  • 1.2. Равномерное движение по окружности. Период и частота обращения

    Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью называют равномерным движением по окружности. Из (3) следует, что при таком движении угловая скорость `omega` тоже постоянна. В этом случае её называют также циклической частотой.

    Для описания равномерного движения по окружности наряду с циклической частотой `omega` удобно использовать период обращения  `T`, определяемый как время, в течение которого совершается один полный оборот, и частоту `nu` обращения `nu=1/T`, которая численно равна числу оборотов радиус-вектора точки за единицу времени. В связи с этим говорят, что частота  измеряется в оборотах в секунду.

    Из определения (2) угловой скорости следует, что при равномерном движении по окружности величины `omega`, `T` и `nu` связаны соотношениями

    `omega=(2pi)/T=2pinu`.                                                                   (4)

    Размерности `omega` и `nu` одинаковы (`1//"с"`), так как эти величины различаются лишь числовым множителем `2pi`.

    Рассмотрим два примера, иллюстрирующих применение введённых величин.

    Пример 1

    Считая, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите радиуса `R=150` млн км, найдите линейную скорость `v` Земли в её годичном движении вокруг Солнца.

    Решение

    Будем считать, что Земля совершает один полный оборот вокруг Солнца за `365` суток. Тогда период обращения Земли `T=3,15*10^7` с. Далее из (3) и (4) находим

    `v=(2pi)/T R=(2*3,14)/(3,15*10^7)*150*10^9~~30*10^3` м/с.

    Пример 2

    Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса `R`. Вагончик `M` перемещается по рельсам, подталкиваемый стержнем `AB`, который вращается с постоянной угловой скоростью `omega_1` вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку `A`,которая лежит внутри кольца почти у самых рельсов (рис. 2). Как зависит от времени линейная скорость `v(t)` вагончика? Считайте `0<=varphi_1<pi//2`.   

    Решение

    Будем считать, что угол `varphi_1` отсчитывается от направления, задаваемого радиусом `AO` (точка `O` - центр окружности, по которой движется вагончик). Стержень вращается с постоянной угловой скоростью `omega_1`, следовательно, угол `varphi_1` растёт со временем по линейному закону `varphi_1=omega_1t`. Найдём зависимость от времени `t` угла `varphi` поворота радиус-вектора вагончика. Для этого заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный, тогда `/_OAM=varphi_1`. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, отсюда  `varphi=2varphi_1=2omega_1t`. Заметим, что угол `varphi(t)` растёт со временем по линейному закону и что  угловая скорость `omega` вагончика при движении по рельсам постоянна и вдвое больше угловой скорости `omega_1`, с которой вращается стержень, т. е. `omega=2omega_1`. Следовательно, вагончик движется по окружности равномерно, его линейная скорость от времени не зависит и равна  

    `v=omega*R=2*omega_1*R`.

  • 1.3. Ускорение при равномерном движении по окружности

    По определению ускорение `veca` материальной точки есть векторная величина, равная  отношению приращения вектора скорости ко време-ни, за которое произошло это приращение:

    `veca(t)=(vecv(t+Deltat)-vecv(t))/(Deltat)=(Deltavecv)/(Deltat)`    (при `Deltat->0`).                     (5)

    Найдём величину и направление ускорения `veca` точки при равномерном движении по окружности. Допустим, что при этом движении радиус-вектор  точки  за  время  от  `t` до `t+Deltat` совершил  поворот  на  угол `Deltavarphi` (рис. 3). Из равнобедренного треугольника, иллюстрирующего соотношение `Deltavecv=vecv(t+Deltat)-vecv(t)`, найдём величину приращения вектора скорости, обусловленного только изменением направления (вращением) вектора скорости: 

    `|Deltavecv|=2*v*sin  (Deltavarphi)/2=v*Deltavarphi`.

    Здесь учтено, что при малых аргументах, т. е. при `|x|< <1`, выполняется приближённое равенство `sinx~~x`, где `x` выражен в радианной мере. Тогда из соотношения (5) находим  величину `a` вектора  ускорения точки при равномерном  движении по окружности:

    `a=|veca(t)|=(|Deltavecv|)/(Deltat)=(v*Deltavarphi)/(Deltat)=v*omega`.

    С учётом (3) и (4) последнее соотношение можно также представить в виде 

    `a=omega*v=(v^2)/R=omega^2R=4*pi^2*v^2*R=(4pi^2)/T^2*R`.                                 (6)

    Установим направление вектора `veca`. Из (5) следует, что ускорение `veca` и приращение `Deltavecv` скорости – сонаправленные векторы. При `Deltat->0` угол `Deltavarphi->0` и `alpha=(pi/2-(Deltavarphi)/2)->pi/2` (рис. 3), следовательно, в любой момент времени векторы `vecv` и `veca` взаимно перпендикулярны, при этом вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности и с радиус-вектором `vecr(t)` точки связан соотношением  (рис. 4):                                                                                               

    `veca(t)=-omega^2*vecr(t)`.                                                           (7)

    Так как вектор ускорения  направлен к центру  окружности, то такое ускорение называют центростремительным  (радиальным, нормальным, т. е. направленным по внутренней нормали к траектории). Подчеркнём, что величина центростремительного  ускорения (как видно из вывода) связана с угловой скоростью вращения  вектора скорости.     

    Сформулируем вывод.

    Вывод

    движение точки по окружности с постоянной по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в любой момент  времени направлен к центру окружности, а  его величина постоянна и определяется из (6).

    Пример 3

    Найдите скорость `vecv` и ускорение `veca` точек земной поверхности на широте `varphi=60^@`, обусловленные участием в суточном вращении Земли. Радиус Земли `R=6400` км.

    Решение

    Выберем указанную на  рисунке 5 систему отсчёта. Начало отсчёта поместим в центр Земли, плоскость `xy` совпадает с плоскостью экватора, ось `z` совпадает с осью вращения планеты. В выбранной системе отсчёта любая точка земной поверхности на широте `varphi` движется равномерно по окружности  радиуса `r=Rcosvarphi` (на рисунке 5 показана пунктиром) с  периодом  в  одни  сутки, т. е. `T=86400` с. Скорость любой точки на-правлена по касательной к такой окружности, а ускорение к её центру. Величины   векторов  скорости   ускорения найдём из (3) и (6):     

    `v=(2pir)/T=(2piRcosvarphi)/T~~230` м/с,

    `a=omega^2r=((2pi)/T)^2 Rcosvarphi~~0,017  "м"//"c"^2`.

  • 1.4. Ускорение при неравномерном движении по окружности

    При неравномерном движении по окружности изменяется со временем не только направление вектора `vecv` скорости, но и его модуль `v`. В этом случае приращение `Deltavecv` вектора скорости (рис. 6) может быть представлено в виде суммы двух взаимно перпендикулярных составляющих `Deltavecv=Deltavecv_tau+Deltavecv_n`, где `Deltavecv_tau` - составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости `vecv` и обусловленная приращением величины вектора  скорости на

    `Deltavecv_tau=Deltav=|Deltavecv|costheta`;          

    вторая составляющая `Deltavecv_n` - нормальная (нами уже изучена), обусловлена (как и прежде) поворотом вектора скорости. Тогда, естественно, и ускорение можно представить в виде суммы  касательной  (тангенциальной) и нормальной составляющих:  

    `veca=(Deltavecv)/(Deltat)=(Deltavecv_tau)/(Deltat)+(Deltavecv_n)/(Deltat)=veca_tau+veca_n`.                                                (8)

    Для проекций вектора ускорения на  касательное и нормальное направления справедливы соотношения: 

    `a_tau=(Deltav)/(Deltat)`,  `Deltat->0`,

    `a_n=omega*v=(v^2)/R`.                                                                (9)

    Отметим, что касательная составляющая `a_tau` ускорения определяется скоростью изменения модуля вектора скорости, в свою очередь, нормальная (радиальная) составляющая `a_n` связана с угловой скоростью вращения вектора скорости. По теореме Пифагора    

    `a=|veca|=sqrt(a_tau^2+a_n^2)`.                                                               (10)

    Отметим, что движение по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей. Тогда соотношения (9), (10) справедливы и при неравномерном движении материальной точки по произвольной криволинейной траектории, при этом величину `R` в формуле (9) для `a_n` называют радиусом кривизны траектории в рассматриваемой точке. Иначе говоря, это радиус элементарной дужки окружности, с которой в первом приближении совпадает траектория материальной точки в малой окрестности того места, где эта точка  в данный момент находится.

    В заключение отметим, что при неравномерном движении по окружности угловая скорость `omega` зависит от времени. Скорость изменения `omega` со временем называют угловым ускорением `varepsilon`,  которое вводится по формуле:

    `varepsilon=(Deltaomega)/(Deltat)`  (при `Deltat->0`).                                                        (11)

    Если угловое ускорение постоянно, то зависимость угла поворота радиус-вектора от времени (по аналогии с кинематикой равнопеременного движения по прямой) принимает вид:

    `varphi(t)=varphi_0+omega_0*t+(varepsilon*t^2)/2`.

    Из (9) и (11) следует, что тангенциальная составляющая `a_tau` ускорения материальной точки и угловое ускорение `varepsilon` связаны соотношением

    `a_tau=(Deltav)/(Deltat)=R*(Deltaomega)/(Deltat)=R*varepsilon`.                                         (12)

    Пример 4

    Материальная точка движется по окружности радиуса `R` с постоянным угловым ускорением `varepsilon`. Найдите зависимости от  времени величин скорости `v` и ускорения `a`.  В начальный момент времени точка покоилась.

    Решение

    Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость будет увеличиваться со временем по линейному закону

    `omega(t)=omega(0)+varepsilon*t=varepsilon*t`.                                                        (13)

    Из (3) с учётом (13) находим

    `v(t)=R*omega(t)=R*varepsilon*t`.

    Далее из соотношений (9), (12) и (13) находим проекции вектора ускорения на направления: тангенциальное `a_tau=R*varepsilon`, нормальное `a_n=omega^2R=(varepsilon*t)^2R`  и величину (модуль) ускорения 

    `a=sqrt(a_tau^2+a_n^2)=varepsilon*R*sqrt(1+varepsilon^2t^4)`.     

    Пример 5

    Камень  брошен со скоростью `v_0` под углом `alpha` к горизонту. В малой окрестности точки старта найдите радиус `R` кривизны траектории и угловую скорость `omega` вращения вектора скорости.

    Решение

    Для решения задачи воспользуемся соотношениями

              `R=(v^2)/(a_n)`,   `omega=(a_n)/v`  (см. (9)).

    В  малой окрестности точки старта (рис. 7) `v=v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vecg` на нормаль к траектории `a_n=g*cosalpha.`         

    Из  приведённых  соотношений находим

    `R=(v_0^2)/(gcosalpha)`,  `omega=(gcosalpha)/(v_0`.



  • §2. Динамика движения по окружности

    В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона:

    `mveca=vecF_1+vecF_2+...  .`                                                                      (14)

    Рассмотрим подробнее равномерное движение тела по окружности, лежащей в плоскости `XOY` координатной системы.  Из (7) и (14) следует, что при таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена  к центру окружности. Тогда, переходя  в (14) к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `OX`, `OY`  инерциальной системы отсчёта, а на подвижное направление – направление внутренней нормали, считая положительным направление к центру  окружности. Это приводит к соотношению:

    `ma_n=m(v^2)/R=F_(1n)+F_(2n)+...  .`                                                        (15)

    В рассматриваемом случае движение происходит в плоскости `XOY`. Тогда  `a_z=0`, и из (14) находим, что сумма проекций сил на направление `OZ`, перпендикулярное плоскости окружности, равна нулю:

    `0=F_(1z)+F_(2z)+...  .`                                                                     (16)

    Таким образом, для решения задач динамики равномерного движения материальной точки по окружности необходимо:

    1) в инерциальной системе отсчёта привести «моментальную фотографию» движущегося тела и указать приложенные к нему силы и сообщаемое этими силами ускорение,

    2) составить уравнения (14) – (16)  и решить полученную систему.

    Отметим, что из (15) следует – произведение массы тела на нормальное (радиальное, центростремительное) ускорение равно сумме нормальных проекций всех действующих на тело сил. Эту сумму, стоящую в правой части (15), часто неудачно называют центростремительной силой. Из (14) видно, что никакой центростремительной силы в природе не существует. В инерциальной системе отсчёта движение по окружности всегда происходит под действием сил, обусловленных известными взаимодействиями. Такими силами являются силы тяжести, трения, реакции опоры и т. д.

    Пример 6

    Некоторые планеты (Венера, Земля, Нептун) движутся вокруг Солнца по орбитам «близким» к круговым.

    Докажите, что для таких планет квадраты периодов обращения относятся как кубы радиусов орбит.

    Вычислите массу `M` Солнца, считая радиус земной орбиты равным  $$R=150$$ млн км.

    Решение

    Будем считать, что планета обращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса  `r` под действием силы притяжения к Солнцу. Тогда по  второму закону Ньютона (рис. 8)

    $$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}\left(r\right)$$.

    Переходя к проекциям силы притяжения и ускорения на нормальное направление, получаем

     $$m{\left(\frac{2·\pi }{T}\right)}^{2}r=G\frac{mM}{{r}^{2}}$$.

    Отсюда  следует

    $$\frac{{T}^{2}}{{r}^{3}}=\frac{4{\pi }^{2}}{GM}$$,

    здесь `T` период обращения планеты, радиус орбиты, масса Солнца. Это отношение одинаково для всех планет,

    $$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}$$,

    т.е. «квадраты периодов обращения относятся как кубы радиусов орбит». Это соотношение является частным случаем третьего закона Кеплера, открытого им в доньютоновские времена (1608 г) в результате обработки полувековых астрономических наблюдений, выполненных датским астрономом Тихо Браге.

    Для вычисления массы Солнца считаем, что Земля обращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса $$r=1,5·{10}^{11}$$ м с периодом $$T=3,15·{10}^{7}$$ с, тогда

    $$M=\frac{4{\pi }^{2}}{G}·\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{4·3,{14}^{2}}{6,67·{10}^{-11}}·\frac{{\left(1,5·{10}^{11}\right)}^{3}}{{\left(3,15·{10}^{7}\right)}^{2}}\approx 2,0·{10}^{30}$$кг


    Пример 7

    Автомобиль движется в горизонтальной плоскости с постоянной по модулю скоростью по закруглению дороги – дуге окружности радиуса `R=200` м. Коэффициент трения скольжения шин по дороге `mu=0,1`. При  какой  скорости `v` автомобиля  его  не  будет «заносить»?  Ускорение  свободного  падения `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Инерциальная система отсчёта и силы, действующие на автомобиль, показаны на рис. 9. Такими силами являются: сила трения `vecF_"тр"`, сила сопротивления `vecF_"c"`, сила тяжести `mvecg` и сила нормальной реакции `vecN`. По второму  закону Ньютона

     `mveca=mvecg+vecN+vecF_"c"+vecF_"тр"`.              

    Так как автомобиль движется по окружности равномерно, `vecF_("тр",tau)=-vecF_"c"`. Перейдём к проекциям сил и ускорения на нормальное направление              

              `m(v^2)/R=F_("тр", n)`                                                                           (17)

    и на вертикаль          

    `0=N-mg`.                                                                         (18)

    Величина силы трения ограничена  `F_"тр"<=muN`. Тогда  из (17), (18) следует, что при движении по окружности в горизонтальной плоскости `m(v^2)/R<=mumg`. Отсюда  находим  верхнюю  оценку  (при `F_"c"=0`) скорости такого движения:

    `v<=sqrt(mugR)=sqrt(0,1*10*200)~~14` м/с.

    Пример 8

    Автомобиль, трогаясь с места,  равномерно  набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу в `1//12` окружности радиуса `R=100` м. С какой наибольшей по величине `v` скоростью автомобиль может выехать на прямолинейный участок дороги, если коэффициент трения скольжения шин по дорожному покрытию `mu=0,3`? Ускорение свободного падения `g=10  "м"//"C"^2`. Силу сопротивления считайте пренебрежимо малой.

    Решение

    На автомобиль в процессе разгона действуют силы: тяжести `mvecg`, нормальной реакции `vecN` и трения `vecF_"тр"`, которая сонаправлена с ускорением `veca`. Проанализируем изменение вектора ускорения со временем. Для этого удобно обратиться к  тангенциальной `a_tau` и нормальной `a_n` составляющим ускорения. По условию `a_tau` постоянна, следовательно, величина скорости автомобиля в конце разгона и тангенциальная составляющая `a_tau` связаны соотношением

    `v=sqrt(2a_tau s)=sqrt(2a_tau*(2piR)/12)`,   отсюда    `a_tau=(3v^2)/(piR)`.  

    Центростремительная составляющая ускорения определяется формулой `a_n=(v^2)/R` и достигает наибольшего значения в конце участка разгона, где скорость наибольшая. По теореме Пифагора

     `a_max=sqrt(a_tau^2+a_n^2)=sqrt(((v^2)/R)^2+((3v^2)/(piR))^2)=(v^2)/Rsqrt(1+(3/pi)^2)`.    

    Из второго закона Ньютона следует `N=mg`, а сила трения может сообщить наибольшее по величине ускорение

    `a_max=(F_("тр", max))/m=(muN)/m=mug`.

    Тогда наибольшая скорость в конце участка разгона равна

    $$ v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mu gR}{\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{3}{\pi }}\right)}^{2}}}}} \approx 15$$ м/с.

    Пример 9

    Массивный  шарик,  подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной  плоскости (рис. 10). Расстояние  от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика. Ускорение свободного падения `g`. 

    Решение

    Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r=Lsinalpha` - радиус  окружности, по  которой движется шарик со скоростью `v`. Заметим, что `H=Lcosalpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `mvecg` и сила натяжения `vecF` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение,  по  величине  равное  `a=(4pi^2)/(T^2)r`.  По второму закону Ньютона `mveca=vecF+mvecg`, переходя к проекциям сил и ускорения на нормальное направление и  на вертикаль,  получаем:

    `m*(4pi^2)/(T^2) r=Fsinalpha`,                                                                 (19)

                          `0=Fcosalpha-mg`.                                                                (20)

    С учётом (20) преобразуем (19) к виду:  

     `m(4pi^2)/(T^2)Lsinalpha=mg*tgalpha`,  отсюда  `T=2pisqrt(H/g)`. 

    Пример 10

    Кольцо, изготовленное из однородного резинового жгута длиной `L`, массой `M` и жёсткостью `k`, вращается  в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью `omega`. Найдите радиус `R` вращающегося кольца.   

    Решение

    Рассмотрим элементарный участок вращающегося кольца длиной `Deltal`. Его масса `Deltam=M/(2piR)Deltal`. На выделенный участок действуют силы `vecT_1` и `vecT_2` (рис. 11),   направленные по  касательным к  кольцу и одинаковые по  модулю `T_1=T_2=T`. По второму закону  Ньютона

    `Deltam*veca=vecT_1+vecT_2`.

    Рассматриваемый элементарный участок под действием приложенных сил равномерно  движется  по окружности, следовательно, его ускорение  в  любой  момент  времени  направлено  к  центру окружности и по величине равно `omega^2R`. Переходя в математической записи  второго  закона  Ньютона к проекциям сил и ускорения на  нормальное направление, получаем `(MDeltal)/(2piR)omega^2R=2Tsin(alpha//2)`.  Величина `T` упругой силы (силы натяжения) связана с удлинением `(2piR-L)` кольца законом Гука `T=k(2piR-L)`. При малых углах `sin(alpha//2)~~alpha//2=Deltal//(2R)`. С учётом этих соотношений уравнение  движения принимает вид

    `(MDeltal)/(2piR)omega^2R=2k(2piR-L)(DeltaL)/(2R)`.

    Отсюда `R=(2pikL)/(4pi^2k-omega^2M)`. Из последней формулы следует, что при `omega=2pisqrt(k/M)` кольцо должно неограниченно растягиваться, однако этого не случится, так как закон Гука нарушится уже при небольших удлинениях, а с ростом `omega` кольцо разорвётся.

    Пример 11

    Определите вес `P` тела массой `m` на географической широте `varphi`. Ускорение свободного падения `g`. Землю считайте однородным шаром радиуса `R`.

    Решение

    Напомним, что вес `vecP`  тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли, на него действуют сила тяжести `mvecg`, направленная к  центру  Земли, и сила  реакции  `vecN` (рис. 12).  По третьему закону Ньютона `vecP=-vecN`. Поэтому для  определения веса тела найдём силу реакции `vecN`. В инерциальной системе  отсчёта тело равномерно движется по окружности радиуса `r=R*cosvarphi` с периодом одни сутки, т. е. `T=86400` с, и циклической частотой  `omega=(2pi)/T=7,3*10^(-5)"c"^(-1)`.

    Ускорение тела по величине равно `a_n=omega^2*r=omega^2*R*cosvarphi` и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции Земли тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол `alpha!=varphi`, иначе сумма сил, приложенных к телу, а следовательно, и ускорение были бы равны нулю. По второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`.

    Перейдём к проекциям сил и ускорения на нормальное направление

    `momega^2Rcosvarphi=mgcosvarphi-Ncosalpha`

    и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой лежит окружность, `0=-mgsinvarphi+Nsinalpha`. Исключая `alpha` из двух последних соотношений, находим вес тела:

    `P=N=sqrt((mg)^2-m^2omega^2R(2g-omega^2R)cos^2varphi)`.

    Пример 12

    Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l=30` см ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r=20` см. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через  центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha=30^@`? Ускорение свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три  силы: сила `mvecg` тяжести,  сила  `vecT` натяжения нити и сила `vecF_"A"` Архимеда (рис. 13). Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик, `rho_"ш"`, плотность воды `rho_"в"` и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём  воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_("A", z)` уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объёме, горизонтальная составляющая `F_("A",r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_("A",z)=rho_"в"Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине  равна `F_("A",r)=rho_"в"Vomega^2(r-lsinalpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса  `(r-lsinalpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `mveca=mvecg=vecT+vecF`.

    Переходя к проекциям сил  и  ускорения на вертикальную ось, находим:

    `rho_"в"Vg-rho_"ш"Vg-Tcosalpha=0`,

    проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

    `rho_"ш"Vomega^2(r-lsinalpha)=rho_"в"Vomega^2(r-lsinalpha)-Tsinalpha`.

    Исключая `T` из двух последних соотношений, определяем искомую угловую скорость

    `omega=sqrt((g"tg"alpha)/(r-lsinalpha))~~10,7  "c"^(-1)`.

    Пример 13

    Определите радиус `R` горбатого мостика, имеющего вид дуги окружности, если известно, что при скорости  `v=90` км/ч вес автомобиля в верхней точке мостика вдвое меньше веса на горизонтальной дороге. Ускорение свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    При движении по горизонтальной дороге вес тела равен силе тяжести.

    Обратимся к движению автомобиля по мостику. Инерциальная система отсчёта и силы, действующие на автомобиль и на мостик, показаны на рис. 14.

    Для автомобиля в верхней точке мостика по второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`. Перейдём в этом уравнении к проекциям сил и  ускорения на нормальное направление: `mv^2//R=mg-N`. По условию `P=mg//2`,  а по третьему  закону Ньютона `vecN=-vecP`, тогда `N=mg//2`.  Из полученных соотношений находим:  `mv^2//R=mg//2`,  отсюда  

    `R=(2*v^2)/g=(2*25^2)/10=125` м.

    Рассмотрим два примера, в которых тела движутся по окружности неравномерно, при этом тангенциальное ускорение тоже изменяется. В этом случае наряду с законом Ньютона полезно привлекать закон изменения (или сохранения) механической энергии.

    Пример 14

    По длинной проволочной винтовой линии радиуса `R` с шагом `H`, ось которой вертикальна, скользит бусинка. Коэффициент трения скольжения бусинки по проволоке равен `mu(mu<H//(2piR)`). Найдите установившуюся  скорость  скольжения  бусинки. Ускорение свободного падения `g`.

    Решение

    На бусинку действуют силы: тяжести `mvecg`, нормальной реакции `vecN` и трения `F_"тр"=muN`, при этом `vecN=vecN_1+vecN_2`, здесь `N_1` - горизонтальная составляющая, а `N_2` лежит в одной плоскости с `mvecg` и `vecF_"тр"` (рис. 15).                

    Из второго закона Ньютона следует, что с ростом величины скорости составляющая `N_1`, сообщающая бусинке центростремительное ускорение, а с ней и сила трения будут расти по величине, так что естественно ожидать выхода движения на установившийся режим скольжения с некоторой скоростью `v`. Для определения этой скорости перейдём в инерциальную систему отсчёта (ИСО), движущуюся по вертикали вниз со скоростью `vsinalpha`, `alpha` - угол наклона вектора скорости к горизонту, `"tg"alpha=H//(2piR)`. В выбранной ИСО бусинка равномерно движется по окружности радиуса `R` со скоростью  при этом ускорение бусинки направлено по нормали к оси винтовой линии и по величине равно `(vcosalpha)^2//R`. Из второго закона Ньютона

    `mveca=mvecg+vecN_1+vecN_2+vecF_"тр"`.

    Переходя к проекциям  сил  и  ускорения  на  нормальное  направление, находим `m((vcosalpha)^2)/R=N_1`. В вертикальной плоскости `vec0=mvecg+vecN_2+vecF_"тр"`, переходя к проекциям сил на взаимно ортогональные направления, находим  `F_"тр"mgsinalpha`, `N_2=mgcosalpha`.   

    Из этих соотношений с учётом `F_"тр"=musqrt(N_1^2+N_2^2)` получаем:

    `v=(gR//mu)^(1//2)[("tg"^2alpha-mu^2)("tg"^2alpha+1)]^(1//4)`.

    Пример 15

    Гладкий жёлоб состоит из горизонтальной части `AB` и дуги окружности `BD` радиуса `R=5` м (рис. 16). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью `v_0=10  "м"//"с"`. Определите модуль `a` ускорения шайбы в точке `C` и угол `beta`, который вектор `veca` ускорения шайбы в этот момент составляет с нормалью к траектории в точке `C`. Радиус `OC` образует с вертикалью  угол  `alpha=60^@`. Ускорение свободного падения `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Для нахождения ускорения `a` шайбы в точке `C` найдём тангенциальную `a_tau` и  нормальную `a_n` составляющие ускорения в этой точке. На  тело,  движущееся  в  вертикальной  плоскости по дуге `BD` (рис. 17), в любой  точке действуют силы тяжести `mvecg` и реакции опоры `vecN`.  По второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`. Перейдём в этом уравнении к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление (на направление вектора скорости)

    `ma_tau=-mgsinalpha`.

    Отсюда     `a_tau=-gsinalpha=-10*(sqrt3)/2~~-8,7  "м"//"c"^2`.

    Для определения `a_n=(v^2)/R` найдём величину `v` скорости шайбы в точке `C`. Обратимся к энергетическим соображениям. При движении по горизонтальной части жёлоба скорость тела не изменяется вследствие отсутствия трения, а на вертикальной части жёлоба (как и на горизонтальной) сила нормальной реакции не совершает работу, т. к. эта сила  перпендикулярна скорости. Следовательно, механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) сохраняется. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части жёлоба будем считать равной нулю. Тогда по закону  сохранения  механической  энергии                            

    `m(v_0^2)/2=m (v^2)/2+mgR(1-cosalpha)`,

    отсюда           

    `a_n=v^2/R=(v_0^2)/R-2g(1-cosalpha)=(10^2)/5-2*10*(1-1/2)=10  "м"//"c"^2.`

    Величину `a` ускорения шайбы в точке `C` найдём по теореме Пифагора:  

    `a=sqrt(a_tau^2+a_n^2)~~13,2  "м"//"c"^2`.

    В точке `C` вектор ускорения `veca` образует с нормалью угол `beta` такой, что `"tg"beta=(|a_tau|)/(a_n)~~0,87`, отсюда `beta~~41^@`.

    Пример 16

    На горизонтальной поверхности лежит полушар массой `M=100` г. Из его верхней точки без трения  с  нулевой начальной  скоростью скользит шайба массой `m=25` г. Из-за трения между полушаром и горизонтальной поверхностью движение полушара начинается при `alpha=10^@`. Найдите коэффициент `mu` трения скольжения  полушара по поверхности. Ускорение  свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.  

    Решение

    Рассмотрим силы, действующие на каждое из тел. На шайбу действуют сила тяжести `mvecg` и сила нормальной реакции `vecN_1` (рис. 18). Из второго закона Ньютона

    `mveca=mvecg+vecN_1`.

    Переходя к проекциям сил и ускорения на нормальное направление, в момент начала движения полушара получаем `mv^2/R=mgcosalpha-N_1`.

    По закону сохранения энергии `(mv^2)/2=mgR(1-cosalpha)`.

    Из этих соотношений находим величину действующей на шайбу в этот момент силы нормальной реакции:  `N_1=mg(3cosalpha-2)`.

    На  полушар  действуют  силы:  тяжести `Mvecg`, нормальной реакции `vecN_2`, трения `vecF_"тр"` и вес `vecP` шайбы (рис. 19).

    По третьему закону Ньютона `vecP=-vecN_1`. В момент начала движения полушара из второго закона Ньютона   

    `Mveca_1=Mvecg+vecP+vecN_2+vecF_"тр"`.  

    Переходя к проекциям сил и ускорения `veca_1=vec0`  полушара  на  вертикальное направление, с учётом равенства `P=N_1` получаем:

    `N_2=Mg+Pcosalpha=Mg+mg(3cosalpha-2)cosalpha)`.

    Переход к проекциям сил и ускорения полушара на горизонтальное направление позволяет определить величину силы трения:

    `F_"тр"=P sinalpha=mg(3cosalpha-2)sinalpha`.

    С ростом `alpha` сила `F_"тр"` увеличивается, сила `N_2` уменьшается. В момент начала движения полушара величина силы трения связана с величиной силы нормальной реакции соотношением `F_"тр"=mu*N_2`. Отсюда

    `mu=(F_"тр")/(N_2)=(m(3cosalpha-2)sinalpha)/(M+m(3cosalpha-2)cosalpha)~~0,033`.

      


  • 1.1. Линейная и угловая скорости

    Важным частным случаем движения материальной точки по заданной траектории является движение по окружности. Рассмотрим движение  материальной  точки  `M`  по  окружности  радиуса `R`  с центром в точке `O`.

    В произвольный момент времени `t` положение точки на окружности однозначно определяется углом `varphi(t)`, который радиус-вектор `vecr(t)` точки `M` образует с направлением     начала     отсчёта    углов (рис. 1). Таким  направлением  будем считать направление `OA`. Другим способом задания положения точки на окружности является задание длины `S(t)` дуги `AM`. Оба способа задания  положения точки на окружности эквивалентны, так как угловая `varphi(t)` и дуговая `S(t)` координаты связаны определением радианной меры угла:

    `varphi(t)=(S(t))/R`.

    Рассмотрим перемещение `Deltavecr=vecvDeltat` точки `M` при движении по окружности за малый промежуток времени `Deltat`. Это перемещение стягивается дугой длиной `DeltaS~~|Deltavecr|=|vecv|Deltat`, а радиус-вектор точки `M` поворачивается при этом на угол `Deltavarphi`. На такой же угол поворачивается и вектор скорости, так как скорость  `vecv` перпендикулярна `vecr` - радиус-вектору точки, т. к. направлена по касательной к окружности.

    Линейной скоростью `v(t)` точки называют отношение длины `DeltaS` дуги   ко времени `Deltat` перемещения (при `Deltat -> 0`):

     `v(t)=(DeltaS)/(Deltat)`.                                                                          (1)

    Линейная скорость точки есть модуль (величина) вектора скорости. В системе СИ линейную скорость измеряют в м/с (метр в секунду).

    Угловой скоростью `omega(t)` радиус-вектора точки называют отношение угла `Deltavarphi` поворота радиус-вектора ко времени `Deltat`, за которое этот поворот был совершён (при `Deltat -> 0`),

    `omega(t)=(Deltavarphi)/(Deltat)`.                                                                         (2)

    С такой же угловой скоростью вращается и вектор скорости точки, так как линейная скорость `vecv_|_vecr` - радиус-вектору точки. В системе СИ угловую скорость измеряют в рад/с (радиан в секунду).


    Следует отметить, что в учебных пособиях угловую скорость радиуса-вектора точки часто называют просто угловой скоростью, а в качестве единицы измерения угловой скорости указывают `1//"c"` (обратную секунду, `"с"^(-1)`); последнее обусловлено тем, что радиан – величина безразмерная.

    Замечая, что `Deltavarphi(t)=(DeltaS(t))/R`, приходим с учётом (1) и (2) к соотношению, связывающему линейную `v(t)` и угловую `omega(t)` скорости при произвольном движении материальной точки по окружности радиуса `R`:

     `v(t)=omega(t)*R`.                                                                    (3)


  • 1.2. Равномерное движение по окружности. Период и частота обращения

    Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью называют равномерным движением по окружности. Из (3) следует, что при таком движении угловая скорость `omega` тоже постоянна. В этом случае её называют также циклической частотой.

    Для описания равномерного движения по окружности наряду с циклической частотой `omega` удобно использовать период обращения  `T`, определяемый как время, в течение которого совершается один полный оборот, и частоту `nu` обращения `nu=1/T`, которая численно равна числу оборотов радиус-вектора точки за единицу времени. В связи с этим говорят, что частота  измеряется в оборотах в секунду.

    Из определения (2) угловой скорости следует, что при равномерном движении по окружности величины `omega`, `T` и `nu` связаны соотношениями

    `omega=(2pi)/T=2pinu`.                                                                   (4)

    Размерности `omega` и `nu` одинаковы (`1//"с"`), так как эти величины различаются лишь числовым множителем `2pi`.

    Рассмотрим два примера, иллюстрирующих применение введённых величин.

    Пример 1

    Считая, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите радиуса `R=150` млн км, найдите линейную скорость `v` Земли в её годичном движении вокруг Солнца.

    Решение

    Будем считать, что Земля совершает один полный оборот вокруг Солнца за `365` суток. Тогда период обращения Земли `T=3,15*10^7` с. Далее из (3) и (4) находим

    `v=(2pi)/T R=(2*3,14)/(3,15*10^7)*150*10^9~~30*10^3` м/с.

    Пример 2

    Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса `R`. Вагончик `M` перемещается по рельсам, подталкиваемый стержнем `AB`, который вращается с постоянной угловой скоростью `omega_1` вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку `A`,которая лежит внутри кольца почти у самых рельсов (рис. 2). Как зависит от времени линейная скорость `v(t)` вагончика? Считайте `0<=varphi_1<pi//2`.   

    Решение

    Будем считать, что угол `varphi_1` отсчитывается от направления, задаваемого радиусом `AO` (точка `O` - центр окружности, по которой движется вагончик). Стержень вращается с постоянной угловой скоростью `omega_1`, следовательно, угол `varphi_1` растёт со временем по линейному закону `varphi_1=omega_1t`. Найдём зависимость от времени `t` угла `varphi` поворота радиус-вектора вагончика. Для этого заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный, тогда `/_OAM=varphi_1`. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, отсюда  `varphi=2varphi_1=2omega_1t`. Заметим, что угол `varphi(t)` растёт со временем по линейному закону и что  угловая скорость `omega` вагончика при движении по рельсам постоянна и вдвое больше угловой скорости `omega_1`, с которой вращается стержень, т. е. `omega=2omega_1`. Следовательно, вагончик движется по окружности равномерно, его линейная скорость от времени не зависит и равна  

    `v=omega*R=2*omega_1*R`.

  • 1.3. Ускорение при равномерном движении по окружности

    По определению ускорение `veca` материальной точки есть векторная величина, равная  отношению приращения вектора скорости ко време-ни, за которое произошло это приращение:

    `veca(t)=(vecv(t+Deltat)-vecv(t))/(Deltat)=(Deltavecv)/(Deltat)`    (при `Deltat->0`).                     (5)

    Найдём величину и направление ускорения `veca` точки при равномерном движении по окружности. Допустим, что при этом движении радиус-вектор  точки  за  время  от  `t` до `t+Deltat` совершил  поворот  на  угол `Deltavarphi` (рис. 3). Из равнобедренного треугольника, иллюстрирующего соотношение `Deltavecv=vecv(t+Deltat)-vecv(t)`, найдём величину приращения вектора скорости, обусловленного только изменением направления (вращением) вектора скорости: 

    `|Deltavecv|=2*v*sin  (Deltavarphi)/2=v*Deltavarphi`.

    Здесь учтено, что при малых аргументах, т. е. при `|x|< <1`, выполняется приближённое равенство `sinx~~x`, где `x` выражен в радианной мере. Тогда из соотношения (5) находим  величину `a` вектора  ускорения точки при равномерном  движении по окружности:

    `a=|veca(t)|=(|Deltavecv|)/(Deltat)=(v*Deltavarphi)/(Deltat)=v*omega`.

    С учётом (3) и (4) последнее соотношение можно также представить в виде 

    `a=omega*v=(v^2)/R=omega^2R=4*pi^2*v^2*R=(4pi^2)/T^2*R`.                                 (6)

    Установим направление вектора `veca`. Из (5) следует, что ускорение `veca` и приращение `Deltavecv` скорости – сонаправленные векторы. При `Deltat->0` угол `Deltavarphi->0` и `alpha=(pi/2-(Deltavarphi)/2)->pi/2` (рис. 3), следовательно, в любой момент времени векторы `vecv` и `veca` взаимно перпендикулярны, при этом вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности и с радиус-вектором `vecr(t)` точки связан соотношением  (рис. 4):                                                                                               

    `veca(t)=-omega^2*vecr(t)`.                                                           (7)

    Так как вектор ускорения  направлен к центру  окружности, то такое ускорение называют центростремительным  (радиальным, нормальным, т. е. направленным по внутренней нормали к траектории). Подчеркнём, что величина центростремительного  ускорения (как видно из вывода) связана с угловой скоростью вращения  вектора скорости.     

    Сформулируем вывод.

    Вывод

    движение точки по окружности с постоянной по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в любой момент  времени направлен к центру окружности, а  его величина постоянна и определяется из (6).

    Пример 3

    Найдите скорость `vecv` и ускорение `veca` точек земной поверхности на широте `varphi=60^@`, обусловленные участием в суточном вращении Земли. Радиус Земли `R=6400` км.

    Решение

    Выберем указанную на  рисунке 5 систему отсчёта. Начало отсчёта поместим в центр Земли, плоскость `xy` совпадает с плоскостью экватора, ось `z` совпадает с осью вращения планеты. В выбранной системе отсчёта любая точка земной поверхности на широте `varphi` движется равномерно по окружности  радиуса `r=Rcosvarphi` (на рисунке 5 показана пунктиром) с  периодом  в  одни  сутки, т. е. `T=86400` с. Скорость любой точки на-правлена по касательной к такой окружности, а ускорение к её центру. Величины   векторов  скорости   ускорения найдём из (3) и (6):     

    `v=(2pir)/T=(2piRcosvarphi)/T~~230` м/с,

    `a=omega^2r=((2pi)/T)^2 Rcosvarphi~~0,017  "м"//"c"^2`.

  • 1.4. Ускорение при неравномерном движении по окружности

    При неравномерном движении по окружности изменяется со временем не только направление вектора `vecv` скорости, но и его модуль `v`. В этом случае приращение `Deltavecv` вектора скорости (рис. 6) может быть представлено в виде суммы двух взаимно перпендикулярных составляющих `Deltavecv=Deltavecv_tau+Deltavecv_n`, где `Deltavecv_tau` - составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости `vecv` и обусловленная приращением величины вектора  скорости на

    `Deltavecv_tau=Deltav=|Deltavecv|costheta`;          

    вторая составляющая `Deltavecv_n` - нормальная (нами уже изучена), обусловлена (как и прежде) поворотом вектора скорости. Тогда, естественно, и ускорение можно представить в виде суммы  касательной  (тангенциальной) и нормальной составляющих:  

    `veca=(Deltavecv)/(Deltat)=(Deltavecv_tau)/(Deltat)+(Deltavecv_n)/(Deltat)=veca_tau+veca_n`.                                                (8)

    Для проекций вектора ускорения на  касательное и нормальное направления справедливы соотношения: 

    `a_tau=(Deltav)/(Deltat)`,  `Deltat->0`,

    `a_n=omega*v=(v^2)/R`.                                                                (9)

    Отметим, что касательная составляющая `a_tau` ускорения определяется скоростью изменения модуля вектора скорости, в свою очередь, нормальная (радиальная) составляющая `a_n` связана с угловой скоростью вращения вектора скорости. По теореме Пифагора    

    `a=|veca|=sqrt(a_tau^2+a_n^2)`.                                                               (10)

    Отметим, что движение по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей. Тогда соотношения (9), (10) справедливы и при неравномерном движении материальной точки по произвольной криволинейной траектории, при этом величину `R` в формуле (9) для `a_n` называют радиусом кривизны траектории в рассматриваемой точке. Иначе говоря, это радиус элементарной дужки окружности, с которой в первом приближении совпадает траектория материальной точки в малой окрестности того места, где эта точка  в данный момент находится.

    В заключение отметим, что при неравномерном движении по окружности угловая скорость `omega` зависит от времени. Скорость изменения `omega` со временем называют угловым ускорением `varepsilon`,  которое вводится по формуле:

    `varepsilon=(Deltaomega)/(Deltat)`  (при `Deltat->0`).                                                        (11)

    Если угловое ускорение постоянно, то зависимость угла поворота радиус-вектора от времени (по аналогии с кинематикой равнопеременного движения по прямой) принимает вид:

    `varphi(t)=varphi_0+omega_0*t+(varepsilon*t^2)/2`.

    Из (9) и (11) следует, что тангенциальная составляющая `a_tau` ускорения материальной точки и угловое ускорение `varepsilon` связаны соотношением

    `a_tau=(Deltav)/(Deltat)=R*(Deltaomega)/(Deltat)=R*varepsilon`.                                         (12)

    Пример 4

    Материальная точка движется по окружности радиуса `R` с постоянным угловым ускорением `varepsilon`. Найдите зависимости от  времени величин скорости `v` и ускорения `a`.  В начальный момент времени точка покоилась.

    Решение

    Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость будет увеличиваться со временем по линейному закону

    `omega(t)=omega(0)+varepsilon*t=varepsilon*t`.                                                        (13)

    Из (3) с учётом (13) находим

    `v(t)=R*omega(t)=R*varepsilon*t`.

    Далее из соотношений (9), (12) и (13) находим проекции вектора ускорения на направления: тангенциальное `a_tau=R*varepsilon`, нормальное `a_n=omega^2R=(varepsilon*t)^2R`  и величину (модуль) ускорения 

    `a=sqrt(a_tau^2+a_n^2)=varepsilon*R*sqrt(1+varepsilon^2t^4)`.     

    Пример 5

    Камень  брошен со скоростью `v_0` под углом `alpha` к горизонту. В малой окрестности точки старта найдите радиус `R` кривизны траектории и угловую скорость `omega` вращения вектора скорости.

    Решение

    Для решения задачи воспользуемся соотношениями

              `R=(v^2)/(a_n)`,   `omega=(a_n)/v`  (см. (9)).

    В  малой окрестности точки старта (рис. 7) `v=v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vecg` на нормаль к траектории `a_n=g*cosalpha.`         

    Из  приведённых  соотношений находим

    `R=(v_0^2)/(gcosalpha)`,  `omega=(gcosalpha)/(v_0`.



  • §2. Динамика движения по окружности

    В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона:

    `mveca=vecF_1+vecF_2+...  .`                                                                      (14)

    Рассмотрим подробнее равномерное движение тела по окружности, лежащей в плоскости `XOY` координатной системы.  Из (7) и (14) следует, что при таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена  к центру окружности. Тогда, переходя  в (14) к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `OX`, `OY`  инерциальной системы отсчёта, а на подвижное направление – направление внутренней нормали, считая положительным направление к центру  окружности. Это приводит к соотношению:

    `ma_n=m(v^2)/R=F_(1n)+F_(2n)+...  .`                                                        (15)

    В рассматриваемом случае движение происходит в плоскости `XOY`. Тогда  `a_z=0`, и из (14) находим, что сумма проекций сил на направление `OZ`, перпендикулярное плоскости окружности, равна нулю:

    `0=F_(1z)+F_(2z)+...  .`                                                                     (16)

    Таким образом, для решения задач динамики равномерного движения материальной точки по окружности необходимо:

    1) в инерциальной системе отсчёта привести «моментальную фотографию» движущегося тела и указать приложенные к нему силы и сообщаемое этими силами ускорение,

    2) составить уравнения (14) – (16)  и решить полученную систему.

    Отметим, что из (15) следует – произведение массы тела на нормальное (радиальное, центростремительное) ускорение равно сумме нормальных проекций всех действующих на тело сил. Эту сумму, стоящую в правой части (15), часто неудачно называют центростремительной силой. Из (14) видно, что никакой центростремительной силы в природе не существует. В инерциальной системе отсчёта движение по окружности всегда происходит под действием сил, обусловленных известными взаимодействиями. Такими силами являются силы тяжести, трения, реакции опоры и т. д.

    Пример 6

    Некоторые планеты (Венера, Земля, Нептун) движутся вокруг Солнца по орбитам «близким» к круговым.

    Докажите, что для таких планет квадраты периодов обращения относятся как кубы радиусов орбит.

    Вычислите массу `M` Солнца, считая радиус земной орбиты равным  $$R=150$$ млн км.

    Решение

    Будем считать, что планета обращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса  `r` под действием силы притяжения к Солнцу. Тогда по  второму закону Ньютона (рис. 8)

    $$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}\left(r\right)$$.

    Переходя к проекциям силы притяжения и ускорения на нормальное направление, получаем

     $$m{\left(\frac{2·\pi }{T}\right)}^{2}r=G\frac{mM}{{r}^{2}}$$.

    Отсюда  следует

    $$\frac{{T}^{2}}{{r}^{3}}=\frac{4{\pi }^{2}}{GM}$$,

    здесь `T` период обращения планеты, радиус орбиты, масса Солнца. Это отношение одинаково для всех планет,

    $$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}$$,

    т.е. «квадраты периодов обращения относятся как кубы радиусов орбит». Это соотношение является частным случаем третьего закона Кеплера, открытого им в доньютоновские времена (1608 г) в результате обработки полувековых астрономических наблюдений, выполненных датским астрономом Тихо Браге.

    Для вычисления массы Солнца считаем, что Земля обращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса $$r=1,5·{10}^{11}$$ м с периодом $$T=3,15·{10}^{7}$$ с, тогда

    $$M=\frac{4{\pi }^{2}}{G}·\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{4·3,{14}^{2}}{6,67·{10}^{-11}}·\frac{{\left(1,5·{10}^{11}\right)}^{3}}{{\left(3,15·{10}^{7}\right)}^{2}}\approx 2,0·{10}^{30}$$кг


    Пример 7

    Автомобиль движется в горизонтальной плоскости с постоянной по модулю скоростью по закруглению дороги – дуге окружности радиуса `R=200` м. Коэффициент трения скольжения шин по дороге `mu=0,1`. При  какой  скорости `v` автомобиля  его  не  будет «заносить»?  Ускорение  свободного  падения `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Инерциальная система отсчёта и силы, действующие на автомобиль, показаны на рис. 9. Такими силами являются: сила трения `vecF_"тр"`, сила сопротивления `vecF_"c"`, сила тяжести `mvecg` и сила нормальной реакции `vecN`. По второму  закону Ньютона

     `mveca=mvecg+vecN+vecF_"c"+vecF_"тр"`.              

    Так как автомобиль движется по окружности равномерно, `vecF_("тр",tau)=-vecF_"c"`. Перейдём к проекциям сил и ускорения на нормальное направление              

              `m(v^2)/R=F_("тр", n)`                                                                           (17)

    и на вертикаль          

    `0=N-mg`.                                                                         (18)

    Величина силы трения ограничена  `F_"тр"<=muN`. Тогда  из (17), (18) следует, что при движении по окружности в горизонтальной плоскости `m(v^2)/R<=mumg`. Отсюда  находим  верхнюю  оценку  (при `F_"c"=0`) скорости такого движения:

    `v<=sqrt(mugR)=sqrt(0,1*10*200)~~14` м/с.

    Пример 8

    Автомобиль, трогаясь с места,  равномерно  набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу в `1//12` окружности радиуса `R=100` м. С какой наибольшей по величине `v` скоростью автомобиль может выехать на прямолинейный участок дороги, если коэффициент трения скольжения шин по дорожному покрытию `mu=0,3`? Ускорение свободного падения `g=10  "м"//"C"^2`. Силу сопротивления считайте пренебрежимо малой.

    Решение

    На автомобиль в процессе разгона действуют силы: тяжести `mvecg`, нормальной реакции `vecN` и трения `vecF_"тр"`, которая сонаправлена с ускорением `veca`. Проанализируем изменение вектора ускорения со временем. Для этого удобно обратиться к  тангенциальной `a_tau` и нормальной `a_n` составляющим ускорения. По условию `a_tau` постоянна, следовательно, величина скорости автомобиля в конце разгона и тангенциальная составляющая `a_tau` связаны соотношением

    `v=sqrt(2a_tau s)=sqrt(2a_tau*(2piR)/12)`,   отсюда    `a_tau=(3v^2)/(piR)`.  

    Центростремительная составляющая ускорения определяется формулой `a_n=(v^2)/R` и достигает наибольшего значения в конце участка разгона, где скорость наибольшая. По теореме Пифагора

     `a_max=sqrt(a_tau^2+a_n^2)=sqrt(((v^2)/R)^2+((3v^2)/(piR))^2)=(v^2)/Rsqrt(1+(3/pi)^2)`.    

    Из второго закона Ньютона следует `N=mg`, а сила трения может сообщить наибольшее по величине ускорение

    `a_max=(F_("тр", max))/m=(muN)/m=mug`.

    Тогда наибольшая скорость в конце участка разгона равна

    $$ v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mu gR}{\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{3}{\pi }}\right)}^{2}}}}} \approx 15$$ м/с.

    Пример 9

    Массивный  шарик,  подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной  плоскости (рис. 10). Расстояние  от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика. Ускорение свободного падения `g`. 

    Решение

    Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r=Lsinalpha` - радиус  окружности, по  которой движется шарик со скоростью `v`. Заметим, что `H=Lcosalpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `mvecg` и сила натяжения `vecF` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение,  по  величине  равное  `a=(4pi^2)/(T^2)r`.  По второму закону Ньютона `mveca=vecF+mvecg`, переходя к проекциям сил и ускорения на нормальное направление и  на вертикаль,  получаем:

    `m*(4pi^2)/(T^2) r=Fsinalpha`,                                                                 (19)

                          `0=Fcosalpha-mg`.                                                                (20)

    С учётом (20) преобразуем (19) к виду:  

     `m(4pi^2)/(T^2)Lsinalpha=mg*tgalpha`,  отсюда  `T=2pisqrt(H/g)`. 

    Пример 10

    Кольцо, изготовленное из однородного резинового жгута длиной `L`, массой `M` и жёсткостью `k`, вращается  в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью `omega`. Найдите радиус `R` вращающегося кольца.   

    Решение

    Рассмотрим элементарный участок вращающегося кольца длиной `Deltal`. Его масса `Deltam=M/(2piR)Deltal`. На выделенный участок действуют силы `vecT_1` и `vecT_2` (рис. 11),   направленные по  касательным к  кольцу и одинаковые по  модулю `T_1=T_2=T`. По второму закону  Ньютона

    `Deltam*veca=vecT_1+vecT_2`.

    Рассматриваемый элементарный участок под действием приложенных сил равномерно  движется  по окружности, следовательно, его ускорение  в  любой  момент  времени  направлено  к  центру окружности и по величине равно `omega^2R`. Переходя в математической записи  второго  закона  Ньютона к проекциям сил и ускорения на  нормальное направление, получаем `(MDeltal)/(2piR)omega^2R=2Tsin(alpha//2)`.  Величина `T` упругой силы (силы натяжения) связана с удлинением `(2piR-L)` кольца законом Гука `T=k(2piR-L)`. При малых углах `sin(alpha//2)~~alpha//2=Deltal//(2R)`. С учётом этих соотношений уравнение  движения принимает вид

    `(MDeltal)/(2piR)omega^2R=2k(2piR-L)(DeltaL)/(2R)`.

    Отсюда `R=(2pikL)/(4pi^2k-omega^2M)`. Из последней формулы следует, что при `omega=2pisqrt(k/M)` кольцо должно неограниченно растягиваться, однако этого не случится, так как закон Гука нарушится уже при небольших удлинениях, а с ростом `omega` кольцо разорвётся.

    Пример 11

    Определите вес `P` тела массой `m` на географической широте `varphi`. Ускорение свободного падения `g`. Землю считайте однородным шаром радиуса `R`.

    Решение

    Напомним, что вес `vecP`  тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли, на него действуют сила тяжести `mvecg`, направленная к  центру  Земли, и сила  реакции  `vecN` (рис. 12).  По третьему закону Ньютона `vecP=-vecN`. Поэтому для  определения веса тела найдём силу реакции `vecN`. В инерциальной системе  отсчёта тело равномерно движется по окружности радиуса `r=R*cosvarphi` с периодом одни сутки, т. е. `T=86400` с, и циклической частотой  `omega=(2pi)/T=7,3*10^(-5)"c"^(-1)`.

    Ускорение тела по величине равно `a_n=omega^2*r=omega^2*R*cosvarphi` и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции Земли тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол `alpha!=varphi`, иначе сумма сил, приложенных к телу, а следовательно, и ускорение были бы равны нулю. По второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`.

    Перейдём к проекциям сил и ускорения на нормальное направление

    `momega^2Rcosvarphi=mgcosvarphi-Ncosalpha`

    и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой лежит окружность, `0=-mgsinvarphi+Nsinalpha`. Исключая `alpha` из двух последних соотношений, находим вес тела:

    `P=N=sqrt((mg)^2-m^2omega^2R(2g-omega^2R)cos^2varphi)`.

    Пример 12

    Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l=30` см ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r=20` см. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через  центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha=30^@`? Ускорение свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три  силы: сила `mvecg` тяжести,  сила  `vecT` натяжения нити и сила `vecF_"A"` Архимеда (рис. 13). Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик, `rho_"ш"`, плотность воды `rho_"в"` и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём  воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_("A", z)` уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объёме, горизонтальная составляющая `F_("A",r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_("A",z)=rho_"в"Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине  равна `F_("A",r)=rho_"в"Vomega^2(r-lsinalpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса  `(r-lsinalpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `mveca=mvecg=vecT+vecF`.

    Переходя к проекциям сил  и  ускорения на вертикальную ось, находим:

    `rho_"в"Vg-rho_"ш"Vg-Tcosalpha=0`,

    проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

    `rho_"ш"Vomega^2(r-lsinalpha)=rho_"в"Vomega^2(r-lsinalpha)-Tsinalpha`.

    Исключая `T` из двух последних соотношений, определяем искомую угловую скорость

    `omega=sqrt((g"tg"alpha)/(r-lsinalpha))~~10,7  "c"^(-1)`.

    Пример 13

    Определите радиус `R` горбатого мостика, имеющего вид дуги окружности, если известно, что при скорости  `v=90` км/ч вес автомобиля в верхней точке мостика вдвое меньше веса на горизонтальной дороге. Ускорение свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    При движении по горизонтальной дороге вес тела равен силе тяжести.

    Обратимся к движению автомобиля по мостику. Инерциальная система отсчёта и силы, действующие на автомобиль и на мостик, показаны на рис. 14.

    Для автомобиля в верхней точке мостика по второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`. Перейдём в этом уравнении к проекциям сил и  ускорения на нормальное направление: `mv^2//R=mg-N`. По условию `P=mg//2`,  а по третьему  закону Ньютона `vecN=-vecP`, тогда `N=mg//2`.  Из полученных соотношений находим:  `mv^2//R=mg//2`,  отсюда  

    `R=(2*v^2)/g=(2*25^2)/10=125` м.

    Рассмотрим два примера, в которых тела движутся по окружности неравномерно, при этом тангенциальное ускорение тоже изменяется. В этом случае наряду с законом Ньютона полезно привлекать закон изменения (или сохранения) механической энергии.

    Пример 14

    По длинной проволочной винтовой линии радиуса `R` с шагом `H`, ось которой вертикальна, скользит бусинка. Коэффициент трения скольжения бусинки по проволоке равен `mu(mu<H//(2piR)`). Найдите установившуюся  скорость  скольжения  бусинки. Ускорение свободного падения `g`.

    Решение

    На бусинку действуют силы: тяжести `mvecg`, нормальной реакции `vecN` и трения `F_"тр"=muN`, при этом `vecN=vecN_1+vecN_2`, здесь `N_1` - горизонтальная составляющая, а `N_2` лежит в одной плоскости с `mvecg` и `vecF_"тр"` (рис. 15).                

    Из второго закона Ньютона следует, что с ростом величины скорости составляющая `N_1`, сообщающая бусинке центростремительное ускорение, а с ней и сила трения будут расти по величине, так что естественно ожидать выхода движения на установившийся режим скольжения с некоторой скоростью `v`. Для определения этой скорости перейдём в инерциальную систему отсчёта (ИСО), движущуюся по вертикали вниз со скоростью `vsinalpha`, `alpha` - угол наклона вектора скорости к горизонту, `"tg"alpha=H//(2piR)`. В выбранной ИСО бусинка равномерно движется по окружности радиуса `R` со скоростью  при этом ускорение бусинки направлено по нормали к оси винтовой линии и по величине равно `(vcosalpha)^2//R`. Из второго закона Ньютона

    `mveca=mvecg+vecN_1+vecN_2+vecF_"тр"`.

    Переходя к проекциям  сил  и  ускорения  на  нормальное  направление, находим `m((vcosalpha)^2)/R=N_1`. В вертикальной плоскости `vec0=mvecg+vecN_2+vecF_"тр"`, переходя к проекциям сил на взаимно ортогональные направления, находим  `F_"тр"mgsinalpha`, `N_2=mgcosalpha`.   

    Из этих соотношений с учётом `F_"тр"=musqrt(N_1^2+N_2^2)` получаем:

    `v=(gR//mu)^(1//2)[("tg"^2alpha-mu^2)("tg"^2alpha+1)]^(1//4)`.

    Пример 15

    Гладкий жёлоб состоит из горизонтальной части `AB` и дуги окружности `BD` радиуса `R=5` м (рис. 16). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью `v_0=10  "м"//"с"`. Определите модуль `a` ускорения шайбы в точке `C` и угол `beta`, который вектор `veca` ускорения шайбы в этот момент составляет с нормалью к траектории в точке `C`. Радиус `OC` образует с вертикалью  угол  `alpha=60^@`. Ускорение свободного падения `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Для нахождения ускорения `a` шайбы в точке `C` найдём тангенциальную `a_tau` и  нормальную `a_n` составляющие ускорения в этой точке. На  тело,  движущееся  в  вертикальной  плоскости по дуге `BD` (рис. 17), в любой  точке действуют силы тяжести `mvecg` и реакции опоры `vecN`.  По второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`. Перейдём в этом уравнении к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление (на направление вектора скорости)

    `ma_tau=-mgsinalpha`.

    Отсюда     `a_tau=-gsinalpha=-10*(sqrt3)/2~~-8,7  "м"//"c"^2`.

    Для определения `a_n=(v^2)/R` найдём величину `v` скорости шайбы в точке `C`. Обратимся к энергетическим соображениям. При движении по горизонтальной части жёлоба скорость тела не изменяется вследствие отсутствия трения, а на вертикальной части жёлоба (как и на горизонтальной) сила нормальной реакции не совершает работу, т. к. эта сила  перпендикулярна скорости. Следовательно, механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) сохраняется. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части жёлоба будем считать равной нулю. Тогда по закону  сохранения  механической  энергии                            

    `m(v_0^2)/2=m (v^2)/2+mgR(1-cosalpha)`,

    отсюда           

    `a_n=v^2/R=(v_0^2)/R-2g(1-cosalpha)=(10^2)/5-2*10*(1-1/2)=10  "м"//"c"^2.`

    Величину `a` ускорения шайбы в точке `C` найдём по теореме Пифагора:  

    `a=sqrt(a_tau^2+a_n^2)~~13,2  "м"//"c"^2`.

    В точке `C` вектор ускорения `veca` образует с нормалью угол `beta` такой, что `"tg"beta=(|a_tau|)/(a_n)~~0,87`, отсюда `beta~~41^@`.

    Пример 16

    На горизонтальной поверхности лежит полушар массой `M=100` г. Из его верхней точки без трения  с  нулевой начальной  скоростью скользит шайба массой `m=25` г. Из-за трения между полушаром и горизонтальной поверхностью движение полушара начинается при `alpha=10^@`. Найдите коэффициент `mu` трения скольжения  полушара по поверхности. Ускорение  свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.  

    Решение

    Рассмотрим силы, действующие на каждое из тел. На шайбу действуют сила тяжести `mvecg` и сила нормальной реакции `vecN_1` (рис. 18). Из второго закона Ньютона

    `mveca=mvecg+vecN_1`.

    Переходя к проекциям сил и ускорения на нормальное направление, в момент начала движения полушара получаем `mv^2/R=mgcosalpha-N_1`.

    По закону сохранения энергии `(mv^2)/2=mgR(1-cosalpha)`.

    Из этих соотношений находим величину действующей на шайбу в этот момент силы нормальной реакции:  `N_1=mg(3cosalpha-2)`.

    На  полушар  действуют  силы:  тяжести `Mvecg`, нормальной реакции `vecN_2`, трения `vecF_"тр"` и вес `vecP` шайбы (рис. 19).

    По третьему закону Ньютона `vecP=-vecN_1`. В момент начала движения полушара из второго закона Ньютона   

    `Mveca_1=Mvecg+vecP+vecN_2+vecF_"тр"`.  

    Переходя к проекциям сил и ускорения `veca_1=vec0`  полушара  на  вертикальное направление, с учётом равенства `P=N_1` получаем:

    `N_2=Mg+Pcosalpha=Mg+mg(3cosalpha-2)cosalpha)`.

    Переход к проекциям сил и ускорения полушара на горизонтальное направление позволяет определить величину силы трения:

    `F_"тр"=P sinalpha=mg(3cosalpha-2)sinalpha`.

    С ростом `alpha` сила `F_"тр"` увеличивается, сила `N_2` уменьшается. В момент начала движения полушара величина силы трения связана с величиной силы нормальной реакции соотношением `F_"тр"=mu*N_2`. Отсюда

    `mu=(F_"тр")/(N_2)=(m(3cosalpha-2)sinalpha)/(M+m(3cosalpha-2)cosalpha)~~0,033`.