Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи , страница 2

  • §1. Магнитное поле

    Опыты с проводниками, по которым течёт ток, навели исследователей на мысль, что кроме электрического поля существует ещё и так называемое магнитное поле. Магнитное поле можно обнаружить по его действию на проводники с током и движущиеся заряды. Напомним, что электрическое поле обнаруживается по его действию на покоящиеся и движущиеся заряды. Характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B\vec{B} (вектор индукции магнитного поля). Вектор B\vec{B} можно ввести по силовому действию на проводники с током или движущиеся заряды одним из трёх способов:

    1) по действию магнитного поля на движущийся заряд;
    2) по действию магнитного поля на прямолинейный участок проводника с током;
    3) по действию магнитного поля на рамку с током.

    По этой причине вектор B\vec{B} есть силовая характеристика поля. Введём понятие вектора B\vec{B} через действие поля на рамку с током.

    Пусть есть достаточно маленькая плоская рамка произвольной формы, по которой пропускается ток (рис. 1). Опыт показывает, что на такую рамку, помещённую вблизи некоторой точки магнитного поля, действует момент сил, зависящий от ориентации рамки в магнитном поле.

    За направление вектора B\vec{B} в том месте (точке), где расположена рамка, принимается направление нормали (перпендикуляра) к плоскости рамки при таком положении рамки, когда момент сил, действующих на рамку, равен нулю. Из двух нормалей, которые можно провести к плоскости рамки, выбирается та, которая связана с направлением тока в рамке правилом буравчика (правого винта). Для рамки на рис. 1 направление тока связано правилом буравчика с нормалью, направленной от читателя за плоскость рисунка. Опыт подтверждает, что определённое таким образом направление вектора B\vec{B} не зависит от формы рамки.

    Введём теперь модуль вектора магнитной индукции. Если плоскость рамки параллельна вектору B , то на рамку действует максимальный момент сил MmaxM_{max}, пропорциональный току II в рамке и её площади SS независимо от формы рамки:

    Mmax=BIS.(1)M_{max} = BIS. \:\:\:\:\: (1)

    Коэффициент пропорциональности BB называется модулем вектора магнитной индукции в той точке поля, вблизи которой расположена рамка.

    Независимость введённого вектора B\vec{B} от формы рамки показывает, что B\vec{B} есть характеристика магнитного поля и приведённое выше определение для вектора магнитной индукции корректно.

    Из формулы (1) видно, что BB в системе СИ измеряется в Н·мА·м2=НА·м\dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{А} \cdot \text{м}^2} = \dfrac{\text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}. Единица магнитной индукции в системе СИ получила специальное название – тесла (обозначается Тл). Итак, 1Тл=1 НА·м1\text{Тл} = 1 \dfrac{\text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}. Выразим единицу магнитной индукции через основные единицы системы СИ. Поскольку Н=кг·мс2\text{Н} = \dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}, то Тл= кг A·с2\text{Тл} = \dfrac{\text{кг} }{ \text{A} \cdot \text{с}^2}.

    Иногда говорят о направлении магнитного поля, подразумевая под этим направление вектора магнитной индукции.

    Графически магнитные поля изображают с помощью линий магнитной индукции (магнитных силовых линий). Это воображаемые линии в пространстве, касательные к которым во всех точках совпадают с направлением вектора B\vec{B} в этих точках. За направление силовых линий берут направление вектора B\vec{B} . Ясно, что силовые линии магнитного поля (как и электрического) не могут пересекаться, так как в противном случае в точке пересечения направление вектора магнитной индукции будет носить неоднозначный характер, что не соответствует действительности. Опыт показывает, что силовые линии магнитного поля замкнутые, то есть нет магнитных зарядов, на которых силовые линии начинаются или заканчиваются. На рис. 2 для кругового витка с током показана картина силовых линий магнитного поля в плоскости PP, перпендикулярной плоскости витка и проходящей через его диаметр. Стрелки на силовых линиях указывают их направление.

    Для обозначения на рисунке магнитного поля, направленного за плоскость рисунка, используется крестик в кружке: \Large{\otimes}.

    Поле, направленное из-за плоскости рисунка (на читателя), обозначают точкой в кружке: \Large{\odot}.

    Как же получить, создать магнитное поле? Оказывается, что не только постоянные магниты, но и токи в проводниках или даже движущиеся заряды создают магнитное поле. Это и есть источники магнитного поля. А как быть, если присутствует одновременно несколько источников поля?

    Из опыта следует, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: для каждой точки пространства вектор магнитной индукции B\vec{B} результирующего магнитного поля, создаваемого несколькими источниками поля, равен сумме векторов магнитной индукции полей, создаваемых каждым источником в отдельности:

    B=Bii=B1+B2+B3+\overrightarrow{B}=\underset{i}{\sum \overrightarrow{{B}_{i}}}=\overrightarrow{{B}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{2}}+\overrightarrow{{B}_{3}}+\dots

    Магнитное поле называется однородным, если векторы B\vec{B} во всех его точках одинаковы. В других случаях поле называется неоднородным.

    Несколько слов о магнитных полюсах. Пусть у постоянного магнита (намагниченного тела) силовые линии магнитного поля выходят из некоторой части поверхности магнита, располагаясь достаточно густо в месте выхода. Это место называется северным полюсом магнита. То место у магнита, где сгустившиеся силовые линии магнитного поля входят в магнит, называется южным полюсом магнита. Силовые линии магнитного поля выходят из северного полюса магнита, идут вне магнита, входят в южный полюс магнита и идут внутри магнита к его северному полюсу. Северный полюс обозначается буквой NN, южный – буквой SS.

    Названия полюсов имеют исторические корни: северным полюсом назван тот конец магнитной стрелки (у компаса), который показывал на географический север.

    Во внешнем магнитном поле постоянный магнит в виде стержня с полюсами на концах (магнитная стрелка) старается расположиться вдоль поля так, чтобы собственное поле внутри магнита совпадало по направлению с внешним полем.

    Из всего сказанного можно сделать вывод, что северный магнитный полюс Земли находится вблизи южного географического полюса Земли, а южный магнитный полюс Земли находится в районе северного географического. И это действительно так!


  • §2. Закон Био – Савара – Лапласа

    В 1820 году французские учёные Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим выводам:

    – магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводу с током;
    – магнитная индукция зависит от конфигурации (формы и размеров) провода с током;
    – во всех случаях модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого тонким проводом с током, пропорционален силе тока.

    Био и Савар пытались получить общий закон, позволяющий вычислить магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим в проводнике любой формы. Но сделать им это не удалось, и они обратились к известному французскому математику, физику и астроному П. Лапласу. Лаплас учёл векторный характер магнитного поля и высказал важную гипотезу о том, что индукция $$ \overrightarrow{B}$$ в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций $$ \Delta {\overrightarrow{B}}_{i}$$ магнитных полей, создаваемых каждым достаточно малым участком проводника (элементом тока): 

    Этим Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, то есть принцип независимого действия магнитных полей, создаваемых несколькими источниками полей.

    Обобщив результаты экспериментов Био и Савара, Лаплас пришёл к выводу, что модуль вектора магнитной индукции $$ \Delta B$$ поля, создаваемого элементом тока в исследуемой точке $$ C$$ (рис. 3), пропорционален силе тока $$ I$$, длине элемента тока $$ \Delta l$$, синусу угла $$ \alpha $$ между направлением тока и направлением на исследуемую точку $$ С$$ и обратно пропорционален квадрату расстояния $$ r$$ до точки $$ C$$.

    Направлен же вектор $$ \overrightarrow{\Delta B}$$ перпендикулярно плоскости, проходящей через элемент тока и исследуемую точку, причём направление тока в элементе тока и направление поля в исследуемой точке $$C$$ связаны правилом буравчика: при движении острия буравчика в направлении тока вращение рукоятки буравчика показывает направление поля в точке $$ C$$. Остриё буравчика помещается, естественно, вблизи элемента тока. На рис. 3 поле в точке $$ C$$ направлено за плоскость чертежа и обозначено поэтому крестиком.

    Приведём для справки, но не для запоминания, полученную Лапласом формулу, выражающую закон Био – Савара – Лапласа:

    $$ \left|\overrightarrow{\Delta B}\right|=k{\displaystyle \frac{I\Delta l}{{r}^{2}}}\text{sin}\alpha .$$

    Здесь коэффициент пропорциональности $$ k$$ зависит от выбора системы единиц. В системе СИ $$ k={10}^{-7}$$ ед. СИ. 

    Следует заметить, что правило буравчика при установлении связи между направлением тока и поля можно применять и в обратном порядке, то есть вращать буравчик так, чтобы его остриё, помещённое в исследуемую точку, двигалось по направлению вектора индукции магнитного поля, а конец рукоятки двигался в направлении тока. Проверьте это для случая, изображённого на рис. 3. Такой подход особенно удобен для витка с током при нахождении направления магнитного поля внутри витка (рис. 4).

    То, что в законе Био – Савара – Лапласа модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, пропорционален силе тока и длине элемента тока, легко запомнить, так как это следует непосредственно из принципа суперпозиции магнитных полей. Действительно, увеличим ток в элементе тока в два раза. Тогда модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого в некоторой точке этим элементом, увеличится тоже в два раза, не изменив направления, поскольку элемент тока с током $$ 2I$$ можно представить как два плотно прижатых друг к другу элемента тока с токами $$ I$$ в каждом и применить принцип суперпозиции для полей, создаваемых этими двумя элементами. Аналогичные рассуждения будут и при увеличении тока в любое число раз. Это доказывает, что модуль вектора магнитной индукции пропорционален току. Похожие рассуждения можно провести и в отношении длины элемента тока.

    Следует отметить одно полезное следствие из закона Био – Савара – Лапласа. Поле, создаваемое элементом тока в произвольной точке $$A$$ (рис. 3) на оси элемента, равно нулю, т. к. для этой точки $$ \text{sin}\hspace{0.17em}\alpha =0$$. Это легко запомнить, если учесть, что при попытке найти направление поля в точке $$A$$ с помощью правила буравчика мы столкнёмся с неопределённостью направления поля, что указывает на то, что поле в этой точке не имеет направления, то есть отсутствует. Попробуйте применить правило буравчика в этом случае.

    Пример

    Рассмотрим поле сколь угодно длинного прямолинейного провода с током. Пользуясь законом Био – Савара – Лапласа, нетрудно догадаться, что силовые линии магнитного поля будут представлять собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси провода. Центры окружностей будут на оси провода. Величина индукции поля должна убывать с увеличением расстояния до провода. Направление силовых линий определяется по правилу буравчика, остриё которого в данном случае удобно направить по току. На рис. 5 ток в проводе направлен перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа и обозначен крестиком.

    В качестве самостоятельного упражнения полезно объяснить с помощью закона Био – Савара – Лапласа и правила буравчика ход магнитных силовых линий на всех рисунках школьного учебника.

    задача 1

    По бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводу $$ AKD$$ течёт ток (рис. 6). В некоторой точке $$C$$ индукция магнитного поля, создаваемого этим током, равна $$ B$$. Как изменится магнитная индукция в точке $$ C$$, если провод с этим током займёт положение $$ AK{D}_{1}$$?

    Решение

    Каждый из полубесконечных участков $$ AK$$ и $$ KD$$ создаёт в точке $$ C$$ поле с индукцией $$ {\displaystyle \frac{1}{2}}B$$, направленное туда же, что и поле от всего проводника $$ AD$$ (перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа). Поле от полубесконечного участка $$ K{D}_{1}$$ в точке $$ C$$ равно нулю, т. к. точка $$ C$$ находится на продолжении участка $$ K{D}_{1}$$. Следовательно, поле в точке $$ C$$ от участка $$ AK{D}_{1}$$ такое же, как и поле от участка $$ AK$$, то есть после изгиба провода вектор магнитной индукции поля в точке $$ C$$ своего направления не изменит, но его модуль уменьшится в два раза и станет равен $$ {\displaystyle \frac{1}{2}}B$$.

    задача 2

    На железный стержень намотана катушка и подключена к источнику тока (рис. 7). Определите расположение полюсов у такого магнита.

    Решение

    Ток по виткам катушки идёт по часовой стрелке, если смотреть вдоль стержня справа. По правилу буравчика поле внутри катушки направлено влево. Северный полюс электромагнита расположен слева, а южный – справа.


  • §3. Закон Ампера

    Закон Ампера: на прямолинейный отрезок проводника с током II и длиной ll, помещённый в однородное магнитное поле с индукцией BB, действует сила Ампера, модуль которой равен

    F=BIlsinα,(2)F = BIl \:\textrm{sin}\: \alpha ,\:\:\:\:\: (2)

    где α\alpha – угол между вектором B\vec{B} и отрезком проводника. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: расположим левую руку так, чтобы силовые линии входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца показывали направление тока; тогда отогнутый на 90°90^{\circ} большой палец укажет направление силы, которое должно быть строго перпендикулярным как проводнику, так и вектору B\vec{B}.

    Заметим, что в формуле (2) Bsinα=BB\: \textrm{sin} \: \alpha = B_{\perp} есть модуль перпендикулярной к проводнику составляющей BB_{\perp} вектора индукции B\vec{B} (вектор B\vec{B} удобно разложить по двум взаимно перпендикулярным направлениям: вдоль проводника и перпендикулярно проводнику). Поэтому (2) можно переписать в виде:

    F=BIl.(3)F = B_{\perp} Il. \:\:\:\:\: (3)

    Видно, что составляющая вектора индукции вдоль проводника не влияет на величину силы.

    Если магнитное поле неоднородное, то формулу (2) можно применять к отрезкам достаточно малой длины.

    задача 3

    В однородном магнитном поле с индукцией B=0,02B = 0,02Тл расположено проволочное полукольцо длиной L=3L = 3см, по которому течёт ток I=0,1I = 0,1A. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости полукольца (рис. 8). Найдите силу, действующую на полукольцо со стороны магнитного поля.

    Решение

    Проведём ось yy через концы полукольца, а ось xx - перпендикулярно оси yy через центр кривизны полукольца (рис. 9). Выделим мысленно небольшой участок ABAB полукольца длиной Δli\Delta l_i (рис. 9). На него действует сила Fi= BIΔliF_i =  BI \Delta l_i. Проекция этой силы на ось xx равна Fix=  BIΔlicosαiF_{ix} =  BI \Delta l_i \textrm{cos}\: \alpha_i. Так как Δlicosαi=Δyi \Delta l_i \textrm{cos}\: \alpha_i = \Delta y_i – есть проекция участка ABAB на ось yy, то Fix=BIΔyiF_{ix} = BI \Delta y_i.

    Сила F\vec{F}, действующая на всё полукольцо, равна сумме всех сил, действующих на отдельные его элементы, а проекция этой силы на ось xx равна

    Так как сумма проекций всех участков полукольца на ось yy равна Δyi=2R \sum \Delta y_i = 2R, то Fx=2BIRF_x = 2BIR, где R=LπR=\dfrac{L}{\pi} - радиус полукольца.

    Проекция F\vec{F} на ось yy, равная сумме проекций сил на ось yy для всех элементов полукольца, равна нулю. Поэтому сила F\vec{F}, действующая на полукольцо, равна по модулю FxF_x:

    F= 2BIR=2BILπ3,8·10-5F = 2BIR = \dfrac{2BIL}{\pi} \approx 3,8 \cdot 10^{-5} Н.


  • §4. Сила Лоренца

    На движущийся в магнитном поле со скоростью vv заряд qq действует сила Лоренца, абсолютная величина которой

    Fл=|q|vBsinα,(4)F_{\text{л}} = |q| v B\: \textrm{sin}\: \alpha, \:\:\:\:\: (4)

    где α\alpha – угол между векторами скорости v\vec{v} и магнитной индукции B\vec{B}. Сила Лоренца действует на заряд в направлении, перпендикулярном векторам v\vec{v} и B\vec{B}. Здесь тоже применимо правило левой руки, если считать, что движение положительного заряда эквивалентно току, идущему в прямолинейном участке проводника в направлении вектора скорости положительного заряда, а движение отрицательного заряда эквивалентно току, идущему в направлении, противоположном направлению вектора скорости отрицательного заряда.

    Поскольку Bsinα=BB\: \textrm{sin}\: \alpha = B_{\perp} есть модуль перпендикулярной к направлению скорости составляющей вектора индукции B\vec{B}, то Fл=|q|vBF_{\text{л}} = |q| v B_{\perp}.

    Выражение для силы Лоренца (4) можно вывести из формулы (2) и наоборот, поскольку сила Ампера есть сумма всех сил Лоренца, действующих на движущиеся заряды, участвующие в создании тока.

    Если кроме магнитного поля есть ещё и электрическое поле, то на движущийся заряд со стороны электрического поля действует сила

    F=qE,\vec{F} = q \vec{E},

    где E\vec{E} – вектор напряжённости электрического поля в той точке, в которой находится заряд в данный момент. Векторная сумма сил, действующих на заряд со стороны электрического и магнитного полей, есть сила, с которой электромагнитное поле действует на заряд. Эта суммарная сила часто называется силой Лоренца, а её составляющая, определяемая формулой (4), называется магнитной частью (составляющей) силы Лоренца. Мы же в дальнейшем, как и в ныне действующем школьном учебнике, под силой Лоренца будем подразумевать силу, даваемую формулой (4).

    Задача 4

    В однородном магнитном поле с магнитной индукцией BB частице массой mm с зарядом $$q \: (q > 0)$$ сообщают скорость vv, направленную перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить траекторию движения частицы.

    Решение

    Действующая на частицу сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы в любой момент движения и поэтому не совершает работу над частицей. Значит, кинетическая энергия частицы не изменяется. Следовательно, не изменяется модуль её скорости. Модуль силы Лоренца F\vec{F} остаётся тоже постоянным, поскольку постоянны модули скорости и магнитной индукции.

    Под действием силы, постоянной по модулю и направленной перпендикулярно скорости, частица имеет постоянное по модулю направленное перпендикулярно скорости ускорение  aa (рис. 10).

    Это значит, что частица движется по дуге окружности радиуса RR, причём a=v2Ra = \dfrac{v^2}{R}. По второму закону Ньютона F=maF = ma, то есть qvB=mv2RqvB = m\dfrac{v^2}{R}. Отсюда радиус дуги окружности, по которой движется частица, R=mvqBR = \dfrac{mv}{qB}.

    задача 5

    Электрон со скоростью v=109v = 10^9 cм/c влетает в область однородного магнитного поля с индукцией B=10-3B = 10^{-3}Тл (рис. 11). Направление скорости перпендикулярно линиям индукции поля. Определите максимальную глубину hh проникновения электрона в область магнитного поля. Угол падения α =30°\alpha = 30^{\circ}. Отношение заряда электрона к его массе

    γ=1,76·1011\gamma = 1,76 \cdot 10^{11}Кл/кг.

    Решение

    Электрон будет двигаться в магнитном поле с постоянной скоростью vv по дуге окружности радиуса RR (рис. 12), который найдётся из условия равенства центростремительной силы и силы Лоренца:

    mv2R=evB.\dfrac{mv^2}{R} = evB.

    Здесь ee – заряд электрона, mm – его масса. Глубина проникновения

    h=R-Rsinα=vγB(1-sinα)28h = R - R \textrm{sin}\: \alpha = \dfrac{v}{\gamma B} (1 - \textrm{sin}\: \alpha) \approx 28мм.

    задача 6

    В однородном магнитном поле с магнитной индукцией BB частице массой mm с зарядом $$q \: (q > 0)$$ сообщают скорость vv, составляющую острый угол α\alpha с направлением поля. Определить траекторию движения частицы.

    Решение

    Направим ось yy прямоугольной системы координат xyzxyz вдоль поля.

    Пусть скорость vv была сообщена частице в точке A1A_1 (рис. 13). При движении частицы сила Лоренца, перпендикулярная вектору скорости, не совершает работы, поэтому кинетическая энергия частицы и модуль её скорости остаются неизменными.

    Поскольку сила Лоренца должна быть перпендикулярна вектору магнитной индукции, то её проекция на ось yy равна нулю. По этой причине проекция скорости частицы на ось yy остаётся постоянной и равной vcosαv\: \textrm{cos}\: \alpha. Так как эта проекция и модуль скорости не меняются при движении частицы, то угол между скоростью и вектором B\vec{B} остаётся неизменным и равным α\alpha. Теперь ясно, что модуль силы Лоренца остаётся постоянным и равным F=qvB sinαF = qvB \:  \textrm{sin}\: \alpha

    Рассмотрим, как движется проекция частицы на плоскость xzxz, то есть точка AA. Модуль проекции скорости частицы на эту плоскость постоянен и равен vsinαv\: \textrm{sin} \alpha. Поскольку сила Лоренца FF параллельна плоскости xzxz и направлена перпендикулярно скорости движения точки AA по этой плоскости, то в плоскости xzxz движение в точке AA выглядит как движение частицы со скоростью vsinαv\: \textrm{sin} \alpha под действием центростремительной силы FF с ускорением 1R(vsinα)2\dfrac{1}{R} (v\: \textrm{sin} \alpha)^2 по окружности радиуса RR. По второму закону Ньютона qvBsinα=m(vsinα)2.RqvB \: \textrm{sin} \alpha = m\dfrac{(v\: \textrm{sin} \alpha)^2.}{R}.  Отсюда

    R=mvsinαqB.R= \dfrac{mv\: \textrm{sin}\: \alpha}{qB}.

    Из всего сказанного выше видно, что наша частица участвует как бы в двух движениях: равномерном движении по окружности радиуса RR со скоростью vsinαv\: \textrm{sin} \alpha в плоскости xzxz, перпендикулярной силовым линиям поля, и в движении вдоль поля с постоянной скоростью vcosαv\: \textrm{cos} \alpha.  Траектория результирующего движения представляет собой винтовую линию с шагом HH. Точки A1.A2,A3,...A_1. A_2, A_3, ... винтовой линии, лежащие на одной и той же силовой линии поля, отстоят друг от друга на величину шага HH.

    Найдём HH. Один виток A1C1A2A_1C_1A_2 частица проходит за время T=2πRvsinαT = \dfrac{2\pi R}{v\: \textrm{sin} \alpha}, перемещаясь вдоль поля из точки A1A_1 в точку A2A_2 на расстояние H=TvcosαH = Tv \textrm{cos} \alpha. Учтя найденные ранее выражения для TT и RR, получаем H=2πmvcosαqBH = \dfrac{2\pi mv \:\textrm{cos}\: \alpha}{qB}. Итак, частица движется по винтовой линии с радиусом R=mvsinαqBR= \dfrac{mv\: \textrm{sin}\: \alpha}{qB} и шагом H=2πmvcosαqBH = \dfrac{2\pi mv\: \textrm{cos}\: \alpha}{qB} как бы навиваясь на магнитные силовые линии.


  • §2. Закон Био – Савара – Лапласа

    В 1820 году французские учёные Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим выводам:

    – магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводу с током;
    – магнитная индукция зависит от конфигурации (формы и размеров) провода с током;
    – во всех случаях модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого тонким проводом с током, пропорционален силе тока.

    Био и Савар пытались получить общий закон, позволяющий вычислить магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим в проводнике любой формы. Но сделать им это не удалось, и они обратились к известному французскому математику, физику и астроному П. Лапласу. Лаплас учёл векторный характер магнитного поля и высказал важную гипотезу о том, что индукция $$ \overrightarrow{B}$$ в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций $$ \Delta {\overrightarrow{B}}_{i}$$ магнитных полей, создаваемых каждым достаточно малым участком проводника (элементом тока): 

    Этим Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, то есть принцип независимого действия магнитных полей, создаваемых несколькими источниками полей.

    Обобщив результаты экспериментов Био и Савара, Лаплас пришёл к выводу, что модуль вектора магнитной индукции $$ \Delta B$$ поля, создаваемого элементом тока в исследуемой точке $$ C$$ (рис. 3), пропорционален силе тока $$ I$$, длине элемента тока $$ \Delta l$$, синусу угла $$ \alpha $$ между направлением тока и направлением на исследуемую точку $$ С$$ и обратно пропорционален квадрату расстояния $$ r$$ до точки $$ C$$.

    Направлен же вектор $$ \overrightarrow{\Delta B}$$ перпендикулярно плоскости, проходящей через элемент тока и исследуемую точку, причём направление тока в элементе тока и направление поля в исследуемой точке $$C$$ связаны правилом буравчика: при движении острия буравчика в направлении тока вращение рукоятки буравчика показывает направление поля в точке $$ C$$. Остриё буравчика помещается, естественно, вблизи элемента тока. На рис. 3 поле в точке $$ C$$ направлено за плоскость чертежа и обозначено поэтому крестиком.

    Приведём для справки, но не для запоминания, полученную Лапласом формулу, выражающую закон Био – Савара – Лапласа:

    $$ \left|\overrightarrow{\Delta B}\right|=k{\displaystyle \frac{I\Delta l}{{r}^{2}}}\text{sin}\alpha .$$

    Здесь коэффициент пропорциональности $$ k$$ зависит от выбора системы единиц. В системе СИ $$ k={10}^{-7}$$ ед. СИ. 

    Следует заметить, что правило буравчика при установлении связи между направлением тока и поля можно применять и в обратном порядке, то есть вращать буравчик так, чтобы его остриё, помещённое в исследуемую точку, двигалось по направлению вектора индукции магнитного поля, а конец рукоятки двигался в направлении тока. Проверьте это для случая, изображённого на рис. 3. Такой подход особенно удобен для витка с током при нахождении направления магнитного поля внутри витка (рис. 4).

    То, что в законе Био – Савара – Лапласа модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, пропорционален силе тока и длине элемента тока, легко запомнить, так как это следует непосредственно из принципа суперпозиции магнитных полей. Действительно, увеличим ток в элементе тока в два раза. Тогда модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого в некоторой точке этим элементом, увеличится тоже в два раза, не изменив направления, поскольку элемент тока с током $$ 2I$$ можно представить как два плотно прижатых друг к другу элемента тока с токами $$ I$$ в каждом и применить принцип суперпозиции для полей, создаваемых этими двумя элементами. Аналогичные рассуждения будут и при увеличении тока в любое число раз. Это доказывает, что модуль вектора магнитной индукции пропорционален току. Похожие рассуждения можно провести и в отношении длины элемента тока.

    Следует отметить одно полезное следствие из закона Био – Савара – Лапласа. Поле, создаваемое элементом тока в произвольной точке $$A$$ (рис. 3) на оси элемента, равно нулю, т. к. для этой точки $$ \text{sin}\hspace{0.17em}\alpha =0$$. Это легко запомнить, если учесть, что при попытке найти направление поля в точке $$A$$ с помощью правила буравчика мы столкнёмся с неопределённостью направления поля, что указывает на то, что поле в этой точке не имеет направления, то есть отсутствует. Попробуйте применить правило буравчика в этом случае.

    Пример

    Рассмотрим поле сколь угодно длинного прямолинейного провода с током. Пользуясь законом Био – Савара – Лапласа, нетрудно догадаться, что силовые линии магнитного поля будут представлять собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси провода. Центры окружностей будут на оси провода. Величина индукции поля должна убывать с увеличением расстояния до провода. Направление силовых линий определяется по правилу буравчика, остриё которого в данном случае удобно направить по току. На рис. 5 ток в проводе направлен перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа и обозначен крестиком.

    В качестве самостоятельного упражнения полезно объяснить с помощью закона Био – Савара – Лапласа и правила буравчика ход магнитных силовых линий на всех рисунках школьного учебника.

    задача 1

    По бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводу $$ AKD$$ течёт ток (рис. 6). В некоторой точке $$C$$ индукция магнитного поля, создаваемого этим током, равна $$ B$$. Как изменится магнитная индукция в точке $$ C$$, если провод с этим током займёт положение $$ AK{D}_{1}$$?

    Решение

    Каждый из полубесконечных участков $$ AK$$ и $$ KD$$ создаёт в точке $$ C$$ поле с индукцией $$ {\displaystyle \frac{1}{2}}B$$, направленное туда же, что и поле от всего проводника $$ AD$$ (перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа). Поле от полубесконечного участка $$ K{D}_{1}$$ в точке $$ C$$ равно нулю, т. к. точка $$ C$$ находится на продолжении участка $$ K{D}_{1}$$. Следовательно, поле в точке $$ C$$ от участка $$ AK{D}_{1}$$ такое же, как и поле от участка $$ AK$$, то есть после изгиба провода вектор магнитной индукции поля в точке $$ C$$ своего направления не изменит, но его модуль уменьшится в два раза и станет равен $$ {\displaystyle \frac{1}{2}}B$$.

    задача 2

    На железный стержень намотана катушка и подключена к источнику тока (рис. 7). Определите расположение полюсов у такого магнита.

    Решение

    Ток по виткам катушки идёт по часовой стрелке, если смотреть вдоль стержня справа. По правилу буравчика поле внутри катушки направлено влево. Северный полюс электромагнита расположен слева, а южный – справа.


  • §3. Закон Ампера

    Закон Ампера: на прямолинейный отрезок проводника с током II и длиной ll, помещённый в однородное магнитное поле с индукцией BB, действует сила Ампера, модуль которой равен

    F=BIlsinα,(2)F = BIl \:\textrm{sin}\: \alpha ,\:\:\:\:\: (2)

    где α\alpha – угол между вектором B\vec{B} и отрезком проводника. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: расположим левую руку так, чтобы силовые линии входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца показывали направление тока; тогда отогнутый на 90°90^{\circ} большой палец укажет направление силы, которое должно быть строго перпендикулярным как проводнику, так и вектору B\vec{B}.

    Заметим, что в формуле (2) Bsinα=BB\: \textrm{sin} \: \alpha = B_{\perp} есть модуль перпендикулярной к проводнику составляющей BB_{\perp} вектора индукции B\vec{B} (вектор B\vec{B} удобно разложить по двум взаимно перпендикулярным направлениям: вдоль проводника и перпендикулярно проводнику). Поэтому (2) можно переписать в виде:

    F=BIl.(3)F = B_{\perp} Il. \:\:\:\:\: (3)

    Видно, что составляющая вектора индукции вдоль проводника не влияет на величину силы.

    Если магнитное поле неоднородное, то формулу (2) можно применять к отрезкам достаточно малой длины.

    задача 3

    В однородном магнитном поле с индукцией B=0,02B = 0,02Тл расположено проволочное полукольцо длиной L=3L = 3см, по которому течёт ток I=0,1I = 0,1A. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости полукольца (рис. 8). Найдите силу, действующую на полукольцо со стороны магнитного поля.

    Решение

    Проведём ось yy через концы полукольца, а ось xx - перпендикулярно оси yy через центр кривизны полукольца (рис. 9). Выделим мысленно небольшой участок ABAB полукольца длиной Δli\Delta l_i (рис. 9). На него действует сила Fi= BIΔliF_i =  BI \Delta l_i. Проекция этой силы на ось xx равна Fix=  BIΔlicosαiF_{ix} =  BI \Delta l_i \textrm{cos}\: \alpha_i. Так как Δlicosαi=Δyi \Delta l_i \textrm{cos}\: \alpha_i = \Delta y_i – есть проекция участка ABAB на ось yy, то Fix=BIΔyiF_{ix} = BI \Delta y_i.

    Сила F\vec{F}, действующая на всё полукольцо, равна сумме всех сил, действующих на отдельные его элементы, а проекция этой силы на ось xx равна

    Так как сумма проекций всех участков полукольца на ось yy равна Δyi=2R \sum \Delta y_i = 2R, то Fx=2BIRF_x = 2BIR, где R=LπR=\dfrac{L}{\pi} - радиус полукольца.

    Проекция F\vec{F} на ось yy, равная сумме проекций сил на ось yy для всех элементов полукольца, равна нулю. Поэтому сила F\vec{F}, действующая на полукольцо, равна по модулю FxF_x:

    F= 2BIR=2BILπ3,8·10-5F = 2BIR = \dfrac{2BIL}{\pi} \approx 3,8 \cdot 10^{-5} Н.


  • §4. Сила Лоренца

    На движущийся в магнитном поле со скоростью vv заряд qq действует сила Лоренца, абсолютная величина которой

    Fл=|q|vBsinα,(4)F_{\text{л}} = |q| v B\: \textrm{sin}\: \alpha, \:\:\:\:\: (4)

    где α\alpha – угол между векторами скорости v\vec{v} и магнитной индукции B\vec{B}. Сила Лоренца действует на заряд в направлении, перпендикулярном векторам v\vec{v} и B\vec{B}. Здесь тоже применимо правило левой руки, если считать, что движение положительного заряда эквивалентно току, идущему в прямолинейном участке проводника в направлении вектора скорости положительного заряда, а движение отрицательного заряда эквивалентно току, идущему в направлении, противоположном направлению вектора скорости отрицательного заряда.

    Поскольку Bsinα=BB\: \textrm{sin}\: \alpha = B_{\perp} есть модуль перпендикулярной к направлению скорости составляющей вектора индукции B\vec{B}, то Fл=|q|vBF_{\text{л}} = |q| v B_{\perp}.

    Выражение для силы Лоренца (4) можно вывести из формулы (2) и наоборот, поскольку сила Ампера есть сумма всех сил Лоренца, действующих на движущиеся заряды, участвующие в создании тока.

    Если кроме магнитного поля есть ещё и электрическое поле, то на движущийся заряд со стороны электрического поля действует сила

    F=qE,\vec{F} = q \vec{E},

    где E\vec{E} – вектор напряжённости электрического поля в той точке, в которой находится заряд в данный момент. Векторная сумма сил, действующих на заряд со стороны электрического и магнитного полей, есть сила, с которой электромагнитное поле действует на заряд. Эта суммарная сила часто называется силой Лоренца, а её составляющая, определяемая формулой (4), называется магнитной частью (составляющей) силы Лоренца. Мы же в дальнейшем, как и в ныне действующем школьном учебнике, под силой Лоренца будем подразумевать силу, даваемую формулой (4).

    Задача 4

    В однородном магнитном поле с магнитной индукцией BB частице массой mm с зарядом $$q \: (q > 0)$$ сообщают скорость vv, направленную перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить траекторию движения частицы.

    Решение

    Действующая на частицу сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы в любой момент движения и поэтому не совершает работу над частицей. Значит, кинетическая энергия частицы не изменяется. Следовательно, не изменяется модуль её скорости. Модуль силы Лоренца F\vec{F} остаётся тоже постоянным, поскольку постоянны модули скорости и магнитной индукции.

    Под действием силы, постоянной по модулю и направленной перпендикулярно скорости, частица имеет постоянное по модулю направленное перпендикулярно скорости ускорение  aa (рис. 10).

    Это значит, что частица движется по дуге окружности радиуса RR, причём a=v2Ra = \dfrac{v^2}{R}. По второму закону Ньютона F=maF = ma, то есть qvB=mv2RqvB = m\dfrac{v^2}{R}. Отсюда радиус дуги окружности, по которой движется частица, R=mvqBR = \dfrac{mv}{qB}.

    задача 5

    Электрон со скоростью v=109v = 10^9 cм/c влетает в область однородного магнитного поля с индукцией B=10-3B = 10^{-3}Тл (рис. 11). Направление скорости перпендикулярно линиям индукции поля. Определите максимальную глубину hh проникновения электрона в область магнитного поля. Угол падения α =30°\alpha = 30^{\circ}. Отношение заряда электрона к его массе

    γ=1,76·1011\gamma = 1,76 \cdot 10^{11}Кл/кг.

    Решение

    Электрон будет двигаться в магнитном поле с постоянной скоростью vv по дуге окружности радиуса RR (рис. 12), который найдётся из условия равенства центростремительной силы и силы Лоренца:

    mv2R=evB.\dfrac{mv^2}{R} = evB.

    Здесь ee – заряд электрона, mm – его масса. Глубина проникновения

    h=R-Rsinα=vγB(1-sinα)28h = R - R \textrm{sin}\: \alpha = \dfrac{v}{\gamma B} (1 - \textrm{sin}\: \alpha) \approx 28мм.

    задача 6

    В однородном магнитном поле с магнитной индукцией BB частице массой mm с зарядом $$q \: (q > 0)$$ сообщают скорость vv, составляющую острый угол α\alpha с направлением поля. Определить траекторию движения частицы.

    Решение

    Направим ось yy прямоугольной системы координат xyzxyz вдоль поля.

    Пусть скорость vv была сообщена частице в точке A1A_1 (рис. 13). При движении частицы сила Лоренца, перпендикулярная вектору скорости, не совершает работы, поэтому кинетическая энергия частицы и модуль её скорости остаются неизменными.

    Поскольку сила Лоренца должна быть перпендикулярна вектору магнитной индукции, то её проекция на ось yy равна нулю. По этой причине проекция скорости частицы на ось yy остаётся постоянной и равной vcosαv\: \textrm{cos}\: \alpha. Так как эта проекция и модуль скорости не меняются при движении частицы, то угол между скоростью и вектором B\vec{B} остаётся неизменным и равным α\alpha. Теперь ясно, что модуль силы Лоренца остаётся постоянным и равным F=qvB sinαF = qvB \:  \textrm{sin}\: \alpha

    Рассмотрим, как движется проекция частицы на плоскость xzxz, то есть точка AA. Модуль проекции скорости частицы на эту плоскость постоянен и равен vsinαv\: \textrm{sin} \alpha. Поскольку сила Лоренца FF параллельна плоскости xzxz и направлена перпендикулярно скорости движения точки AA по этой плоскости, то в плоскости xzxz движение в точке AA выглядит как движение частицы со скоростью vsinαv\: \textrm{sin} \alpha под действием центростремительной силы FF с ускорением 1R(vsinα)2\dfrac{1}{R} (v\: \textrm{sin} \alpha)^2 по окружности радиуса RR. По второму закону Ньютона qvBsinα=m(vsinα)2.RqvB \: \textrm{sin} \alpha = m\dfrac{(v\: \textrm{sin} \alpha)^2.}{R}.  Отсюда

    R=mvsinαqB.R= \dfrac{mv\: \textrm{sin}\: \alpha}{qB}.

    Из всего сказанного выше видно, что наша частица участвует как бы в двух движениях: равномерном движении по окружности радиуса RR со скоростью vsinαv\: \textrm{sin} \alpha в плоскости xzxz, перпендикулярной силовым линиям поля, и в движении вдоль поля с постоянной скоростью vcosαv\: \textrm{cos} \alpha.  Траектория результирующего движения представляет собой винтовую линию с шагом HH. Точки A1.A2,A3,...A_1. A_2, A_3, ... винтовой линии, лежащие на одной и той же силовой линии поля, отстоят друг от друга на величину шага HH.

    Найдём HH. Один виток A1C1A2A_1C_1A_2 частица проходит за время T=2πRvsinαT = \dfrac{2\pi R}{v\: \textrm{sin} \alpha}, перемещаясь вдоль поля из точки A1A_1 в точку A2A_2 на расстояние H=TvcosαH = Tv \textrm{cos} \alpha. Учтя найденные ранее выражения для TT и RR, получаем H=2πmvcosαqBH = \dfrac{2\pi mv \:\textrm{cos}\: \alpha}{qB}. Итак, частица движется по винтовой линии с радиусом R=mvsinαqBR= \dfrac{mv\: \textrm{sin}\: \alpha}{qB} и шагом H=2πmvcosαqBH = \dfrac{2\pi mv\: \textrm{cos}\: \alpha}{qB} как бы навиваясь на магнитные силовые линии.


  • §1. Магнитное поле

    Опыты с проводниками, по которым течёт ток, навели исследователей на мысль, что кроме электрического поля существует ещё и так называемое магнитное поле. Магнитное поле можно обнаружить по его действию на проводники с током и движущиеся заряды. Напомним, что электрическое поле обнаруживается по его действию на покоящиеся и движущиеся заряды. Характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B\vec{B} (вектор индукции магнитного поля). Вектор B\vec{B} можно ввести по силовому действию на проводники с током или движущиеся заряды одним из трёх способов:

    1) по действию магнитного поля на движущийся заряд;
    2) по действию магнитного поля на прямолинейный участок проводника с током;
    3) по действию магнитного поля на рамку с током.

    По этой причине вектор B\vec{B} есть силовая характеристика поля. Введём понятие вектора B\vec{B} через действие поля на рамку с током.

    Пусть есть достаточно маленькая плоская рамка произвольной формы, по которой пропускается ток (рис. 1). Опыт показывает, что на такую рамку, помещённую вблизи некоторой точки магнитного поля, действует момент сил, зависящий от ориентации рамки в магнитном поле.

    За направление вектора B\vec{B} в том месте (точке), где расположена рамка, принимается направление нормали (перпендикуляра) к плоскости рамки при таком положении рамки, когда момент сил, действующих на рамку, равен нулю. Из двух нормалей, которые можно провести к плоскости рамки, выбирается та, которая связана с направлением тока в рамке правилом буравчика (правого винта). Для рамки на рис. 1 направление тока связано правилом буравчика с нормалью, направленной от читателя за плоскость рисунка. Опыт подтверждает, что определённое таким образом направление вектора B\vec{B} не зависит от формы рамки.

    Введём теперь модуль вектора магнитной индукции. Если плоскость рамки параллельна вектору B , то на рамку действует максимальный момент сил MmaxM_{max}, пропорциональный току II в рамке и её площади SS независимо от формы рамки:

    Mmax=BIS.(1)M_{max} = BIS. \:\:\:\:\: (1)

    Коэффициент пропорциональности BB называется модулем вектора магнитной индукции в той точке поля, вблизи которой расположена рамка.

    Независимость введённого вектора B\vec{B} от формы рамки показывает, что B\vec{B} есть характеристика магнитного поля и приведённое выше определение для вектора магнитной индукции корректно.

    Из формулы (1) видно, что BB в системе СИ измеряется в Н·мА·м2=НА·м\dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{А} \cdot \text{м}^2} = \dfrac{\text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}. Единица магнитной индукции в системе СИ получила специальное название – тесла (обозначается Тл). Итак, 1Тл=1 НА·м1\text{Тл} = 1 \dfrac{\text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}. Выразим единицу магнитной индукции через основные единицы системы СИ. Поскольку Н=кг·мс2\text{Н} = \dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}, то Тл= кг A·с2\text{Тл} = \dfrac{\text{кг} }{ \text{A} \cdot \text{с}^2}.

    Иногда говорят о направлении магнитного поля, подразумевая под этим направление вектора магнитной индукции.

    Графически магнитные поля изображают с помощью линий магнитной индукции (магнитных силовых линий). Это воображаемые линии в пространстве, касательные к которым во всех точках совпадают с направлением вектора B\vec{B} в этих точках. За направление силовых линий берут направление вектора B\vec{B} . Ясно, что силовые линии магнитного поля (как и электрического) не могут пересекаться, так как в противном случае в точке пересечения направление вектора магнитной индукции будет носить неоднозначный характер, что не соответствует действительности. Опыт показывает, что силовые линии магнитного поля замкнутые, то есть нет магнитных зарядов, на которых силовые линии начинаются или заканчиваются. На рис. 2 для кругового витка с током показана картина силовых линий магнитного поля в плоскости PP, перпендикулярной плоскости витка и проходящей через его диаметр. Стрелки на силовых линиях указывают их направление.

    Для обозначения на рисунке магнитного поля, направленного за плоскость рисунка, используется крестик в кружке: \Large{\otimes}.

    Поле, направленное из-за плоскости рисунка (на читателя), обозначают точкой в кружке: \Large{\odot}.

    Как же получить, создать магнитное поле? Оказывается, что не только постоянные магниты, но и токи в проводниках или даже движущиеся заряды создают магнитное поле. Это и есть источники магнитного поля. А как быть, если присутствует одновременно несколько источников поля?

    Из опыта следует, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: для каждой точки пространства вектор магнитной индукции B\vec{B} результирующего магнитного поля, создаваемого несколькими источниками поля, равен сумме векторов магнитной индукции полей, создаваемых каждым источником в отдельности:

    B=Bii=B1+B2+B3+\overrightarrow{B}=\underset{i}{\sum \overrightarrow{{B}_{i}}}=\overrightarrow{{B}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{2}}+\overrightarrow{{B}_{3}}+\dots

    Магнитное поле называется однородным, если векторы B\vec{B} во всех его точках одинаковы. В других случаях поле называется неоднородным.

    Несколько слов о магнитных полюсах. Пусть у постоянного магнита (намагниченного тела) силовые линии магнитного поля выходят из некоторой части поверхности магнита, располагаясь достаточно густо в месте выхода. Это место называется северным полюсом магнита. То место у магнита, где сгустившиеся силовые линии магнитного поля входят в магнит, называется южным полюсом магнита. Силовые линии магнитного поля выходят из северного полюса магнита, идут вне магнита, входят в южный полюс магнита и идут внутри магнита к его северному полюсу. Северный полюс обозначается буквой NN, южный – буквой SS.

    Названия полюсов имеют исторические корни: северным полюсом назван тот конец магнитной стрелки (у компаса), который показывал на географический север.

    Во внешнем магнитном поле постоянный магнит в виде стержня с полюсами на концах (магнитная стрелка) старается расположиться вдоль поля так, чтобы собственное поле внутри магнита совпадало по направлению с внешним полем.

    Из всего сказанного можно сделать вывод, что северный магнитный полюс Земли находится вблизи южного географического полюса Земли, а южный магнитный полюс Земли находится в районе северного географического. И это действительно так!


  • §8. Примеры решения задач


    Задача 8.1

    На рис. 8.1 показаны положения фокусов и ход луча после прохождения тонкой линзы. Постройте ход этого луча до линзы.

    Решение

    Существует несколько способов построения хода луча до линзы. Некоторые приведены на рис. 8.2 и рис. 8.3.

    На рис. 8.2 через оптический центр `O` линзы проведём луч, параллельный лучу, изображённому в условии. Пусть он пересекает переднюю фокальную плоскость в точке `S`. Искомый луч должен идти через точки `S` и `A`.

    Другой способ построения приведён на рис. 8.3. Продолжим луч, вышедший из линзы, до точки `S_1` пересечения с задней фокальной плоскостью. Если теперь провести луч через точки `S_1` и оптический центр `O` линзы, то искомый луч должен идти из точки `A` параллельно лучу `OS_1`.

    задача 8.2

    Перед рассеивающей линзой $$ {L}_{1}$$ с известным диаметром $$ D$$ находится точечный источник $$ S$$, не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.4). Постройте изображение $$ {S}_{1}$$ источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение $$ {S}_{1}$$.


    Решение

    Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6. Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение $$ {S}_{1}$$, будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения $$ {S}_{1}$$. Штриховкой (рис. 8.5) отмечена искомая область. Из других мест изображение $$ {S}_{1}$$ увидеть нельзя.

    задача 8.3

    Тонкая линза создаёт изображение $$ {S}_{1}$$ точечного источника $$ S$$ (рис. 8.6). $$ A{A}_{1}$$ - главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая она или рассеивающая эта линза?

    Решение

    Проведём через точки $$ {S}_{1}$$ и $$ S$$ прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая - побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка `O` пересечения оптических осей - оптический центр линзы (рис. 8.7). Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки `S` луч `(1)` параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку $$ {S}_{1}$$ (изображение точки `S`). Т. к. через $$ {S}_{1}$$ проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).

  • §1. Преломление света на тонком клине

    Прежде чем изучать тонкие линзы, давайте решим задачу о прохождении узкого пучка света через тонкий клин. Тонким клином называется стеклянная призма, у которой угол $$ \alpha $$ при вершине мал ($$ \alpha \ll 1$$) . Чтобы изготовить такой клин в заводских условиях, берут стеклянную плоскопараллельную пластинку и на шлифовальном станке часть одной из её граней стачивают под малым углом $$ \alpha $$ (рис. 1.1). Если левую грань клина сошлифовать так, что она уменьшится на толщину плоскопараллельной пластинки $$ ABCD$$, то угол отклонения узкого пучка света, падающего под малым углом `varphi_{1}` на клин, не изменится. Поэтому договорились изображать клин так, как показано на рис. 1.2. Пусть $$ n$$ - показатель преломления материала клина. Найдём угол $$ \delta $$ отклонения луча от исходного направления. Задачу будем решать в предположении, что углы $$ \alpha $$ и `varphi_{1}` малы. На рис. 1.3 эти углы для наглядности сильно увеличены.

    $$\begin{cases} \varphi_1 = n \psi_1, \\ \varphi_2 = n \psi_2. \end{cases} $$ Приближенный закон Снелла (см. §7 задания 4).

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{1}={\varphi }_{1}-{\psi }_{1}=(n-1){\psi }_{1}$$.

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{2}={\varphi }_{2}-{\psi }_{2}=(n-1){\psi }_{2}$$.

    По теореме о внешнем угле треугольника угол отклонения луча, прошедшего сквозь клин, равен $$ \delta ={\delta }_{1}+{\delta }_{2}=(n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})$$. 

    По той же теореме $$ {\alpha }_{1}={\psi }_{1}+{\psi }_{2}$$, а углы $$ \alpha $$ и $$ {\alpha }_{1}$$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. В итоге мы получим:

    $$ \delta = {\delta }_{1}+{\delta }_{2}= (n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})=(n-1){\alpha }_{1}=(n-1)\alpha $$.

    Итак, угол отклонения $$ \delta $$ пучка параллельных лучей, прошедших сквозь тонкий клин, не зависит от угла падения и остаётся постоянной величиной:

    $$ \delta =(n-1)\alpha .\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(1.1)$$

    Иногда у плоскопараллельной пластинки стачивают под малыми углами обе половины одной из граней (см. рис. 1.4). Получившееся устройство называют бипризмой.

    Если на бипризму пустить широкий пучок параллельных лучей света, то после прохождения бипризмы пучки станут сходиться. 

    задача 1.1

    На бипризму, изготовленную из стекла с показателем преломления $$ n=\mathrm{1,5}$$ и имеющую ширину $$ b=3$$см, пустили широкий пучок параллельных лучей света. Углы при вершине бипризмы одинаковы и равны $$ \alpha  =\mathrm{0,05}$$ рад. За бипризмой образовалось два сходящихся пучка параллельных лучей.

    1) Под каким углом $$ \varphi $$ будут сходиться лучи? Если за бипризмой установить экран, то на нём можно наблюдать область, освещённую обоими пучками.

    2) На каком расстоянии $$ {L}_{1}$$ от бипризмы нужно установить экран, чтобы область перекрытия пучков была максимальной?

    3) На каком максимальном расстоянии $$ {L}_{2}$$ от бипризмы пучки лучей ещё будут пересекаться?

    Решение

     1) Изобразим ход лучей за бипризмой (рис. 1.5).

    Верхняя половина бипризмы отклонит падающий пучок лучей вниз на угол

    $$ {\delta }_{1}=(n-1)\alpha =\mathrm{0,025}$$ рад,

    а нижняя – вверх на такой же по величине угол

    $$ {\delta }_{2}=(n-1)\alpha $$.

    Следовательно, пучки будут сходиться под углом

    $$ \varphi =2{\delta }_{1}=2(n-1)\alpha =\mathrm{0,05}$$ рад.

    2) Максимальная область перекрытия пучков находится там, где пересекаются лучи (1) и (2) (см. рис. 1.2).

    В силу малости угла $$ \varphi $$ искомое расстояние

    $${L}_{1}\approx \frac{b}{2\varphi }=\frac{b}{4\alpha (n-1)}=30$$ см.

    3) Из того же рисунка легко видеть, что максимальное расстояние $$ {L}_{2}=2{L}_{1}=60$$ см.


  • §2. Тонкая линза

    Слово «линза» произошло от латинского lens - чечевица.
    В оптике под линзой понимают прозрачное тело, ограниченное выпуклыми или вогнутыми поверхностями и преобразующее форму светового пучка. Одна из поверхностей линзы может быть плоской. Мы будем рассматривать линзы, находящиеся в воздухе, если иное специально не оговорено. Если линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, её называют собирающей или положительной. Если после прохождения линзы пучок параллельных лучей становится расходящимся, линзу называют рассеивающей или отрицательной. Существует огромное разнообразие типов линз. Так, для решения некоторых научных задач используют цилиндрические линзы (рис. 2.1). Но наиболее широкое распространение получили линзы, обе преломляющие поверхности которых представляют собой части сфер с разными радиусами кривизны.

    Такие линзы относительно просты в изготовлении. Собирающие линзы делятся на двояковыпуклые, плосковыпуклые, вогнуто - выпуклые. Рассеивающие - на двояковогнутые, плосковогнутые и выпукловогнутые. На рисунке 2.2 дан вид сбоку на такие линзы. Мы с вами рассмотрим основные свойства так называемых тонких линз. Говорят, что линза тонкая, если её толщина $$ d$$ много меньше диаметра $$ D$$ (рис. 2.3).

                       

    Здесь уместно отметить, что упрощённый подход, который мы будем использовать в

    нашем исследовании, с одной стороны, позволяет ясно понять основные свойства тонких линз, с другой, - не позволяет учесть некоторые эффекты, например искажения (их называют аберрациями), неизбежно возникающие при прохождении света через реальные толстые линзы.

    Для того чтобы исправить аберрации, при производстве оптических приборов часто используют составные линзы или линзы, поверхность которых имеет специальную форму, например, параболическую.

    Заметим, что хороший объектив микроскопа может содержать более десяти линз (рис. 2.4).

  • §3. Фокусные расстояния плосковыпуклой линзы

    Рассмотрим линзу, представляющую собой кусок стекла, который с одной стороны ограничен плоской поверхностью, а с другой - сферической (рис. 3.1).

    Пусть радиус сферической поверхности равен $$ R$$, а показатель преломления стекла $$ n$$. Главной оптической осью такой линзы назовём прямую $$ CX$$, перпендикулярную плоской поверхности линзы и проходящую через центр кривизны $$ C$$ выпуклой поверхности. Предположим, что слева на плоскую поверхность линзы падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси. Выберем из этого пучка произвольный луч $$A{A}^{\text{'}\text{'}}$$, проходящий на расстоянии $$ h$$ от главной оптической оси. Этот луч, преломившись на сферической поверхности, пересечёт главную оптическую ось на некотором расстоянии $$ F$$ от линзы. Если угол падения $$ {\varphi }_{1}$$ мал, то мы сможем воспользоваться приближённым законом Снелла: $$ n{\varphi }_{1}={\varphi }_{2}$$.

    Угол отклонения 

    $$ \delta ={\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=(n-1){\varphi }_{1}.$$                                                  (3.1)

    Так как углы $$ \delta $$ и $$ {\varphi }_{1}$$ малы, запишем приближённое равенство:

    $$ \delta \approx {\displaystyle \frac{h}{F}};\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\varphi }_{1}\approx {\displaystyle \frac{h}{R}}.$$

    Если полученные выражения подставить в формулу (3.1) и сократить на общий множитель $$ h$$, то мы получим: $$ {\displaystyle \frac{1}{F}}=P={\displaystyle \frac{n-1}{R}}$$, или 

    $$ F ={\displaystyle \frac{R}{n-1}}.$$                                                                     (3.2)

    Внимание! Длина отрезка $$ F$$ не зависит от произвольно выбранной нами высоты $$ h$$, следовательно, все лучи из падающего пучка пересекутся в одной и той же точке, называемой фокусом линзы. Само же расстояние $$ F$$ называют фокусным расстоянием линзы, а физическую величину $$ P$$ - оптической силой линзы. В системе СИ она измеряется в диоптриях и обозначается дптр. По определению 1 дптр - это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м.

    Задача 3.1

    Вычислите оптическую силу линзы с фокусным расстоянием $$ F=16$$ см.

    Решение

    Выразим фокусное расстояние линзы в метрах: $$ 16\text{см}=\mathrm{0,16}\text{м}$$. По определению оптическая сила $$ P=1/\left(\mathrm{0,16}\text{м}\right)=\mathrm{6,25}\text{дптр}$$.

    ОТВЕТ

    $$ P=\mathrm{6,25}$$ дптр.

    Можно показать (подумайте, как), что если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить справа на выпуклую поверхность плосковыпуклой линзы, то все они, дважды преломившись в линзе, пересекутся на главной оптической оси в точке, отстоящей от линзы на таком же расстоянии `F`. То есть у линзы два фокуса. В этой связи договорились один фокус, в котором собираются параллельные лучи света, прошедшие сквозь собирающую линзу, называть задним, а другой фокус - передним. Для рассеивающих линз задний фокус (тот, в котором пересекаются продолжения параллельных лучей, падающих на линзу) находится со стороны источника, а передний - с противоположной стороны.


  • §4. Формула тонкой собирающей линзы

    Рассмотрим двояковыпуклую собирающую линзу. Прямая $$ OX$$, проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей линзы, называется её главной оптической осью (сравните это определение с определением из §3 для плосковыпуклой линзы). Предположим, что точечный источник света $$ {S}_{1}$$ расположен на этой оси. Проведём из точки $$ {S}_{1}$$ два луча. Один - вдоль главной оптической оси, а другой - под углом $$ {\varphi }_{1}$$ к ней, в точку $$ M$$ линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии $$ h$$ (рис. 4.1). Преломившись в линзе, этот луч пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке $$ {S}_{2}$$, которая есть изображение источника $$ {S}_{1}$$.

    Предположим, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда

                             `varphi_~~h/a`,    `varphi_2~~h/b`.                                                         (4.1)

    Легко видеть, что угол отклонения $$ \delta $$ является внешним для треугольника $$ {S}_{1}M{S}_{2}$$. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_1+varphi_2=delta`.                                                                (4.2)

    Фрагмент линзы в окрестности точки `M`, через которую прошёл рассматриваемый луч, можно считать тонким клином. Ранее мы показали, что для тонкого клина угол отклонения есть величина постоянная и не зависит от угла падения. Значит, сместив источник $$ {S}_{1}$$ вдоль главной оптической оси и удалив его на бесконечность, мы добьёмся того, что после прохождения линзы луч пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет

    `delta~~h/F`.                                                                           (4.3)

    Здесь $$ F$$ - фокусное расстояние линзы. Подставим выражения (4.1) и (4.3) в формулу (4.2). После сокращения на множитель $$ h$$ получим:

    `1/a+1/b=1/F`.                                                                         (4.4)

    Мы получили формулу тонкой собирающей линзы. Не забудьте, что она получена в параксиальном приближении (для малых углов $$ {\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\delta $$). Первенство в выводе этой формулы приписывают замечательному французскому естествоиспытателю Рене Декарту.

    Обычно предметы или источники света изображают слева от линзы.

    задача 4.1 

    Найдите фокусное расстояние $$ F$$ линзы, составленной из двух собирающих линз с фокусными расстояниями $$ {F}_{1}$$ и $$ {F}_{2}$$. Линзы прижаты вплотную одна к другой, а их главные оптические оси совпадают.

    Решение

    Линзу, составленную из двух плотно прижатых друг к другу тонких линз, тоже можно считать тонкой собирающей линзой, а это значит, что и для неё справедлива формула (4.4). Поместим точечный источник света $$ {S}_{1}$$ в переднем фокусе первой линзы. Для составной линзы $$ a={F}_{1}$$. Лучи, испущенные $$ {S}_{1}$$, после прохождения первой линзы пойдут параллельно её главной оптической оси. Но рядом находится вторая линза. Пучок параллельных лучей, падающих на вторую линзу, сойдётся в её заднем фокусе (точка $$ {S}_{2}$$) на расстоянии $$ {F}_{2}$$. Для составной линзы расстояние $$ b={F}_{2}$$. Выполнив соответствующие подстановки в (4.4), получим:

    `1/F_1+1/F_2=1/F`.                                                                      (4.5)

    Это соотношение можно выразить через оптические силы линз:

    `P_1+P_2=P`.                                                                         (4.6)

    Мы получили очень важный результат - оптическая сила системы линз, плотно прижатых друг к другу, равна сумме их оптических сил.


  • §5. Формула тонкой рассеивающей линзы

    Рассмотрим двояковогнутую рассеивающую линзу. `OX` - её главная оптическая ось. Предположим, что точечный источник света $$ {S}_{1}$$ расположен на этой оси. Как и в предыдущем параграфе, проведём из точки $$ {S}_{1}$$ два луча. Один - вдоль главной оптической оси, а другой - под углом к ней в точку $$ M$$ линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии $$ h$$ (рис. 5.1). Преломившись в линзе, этот луч будет ещё сильнее удаляться от главной оптической оси. Если его продолжить обратно, за линзу, то он пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке $$ {S}_{2}$$, называемой изображением источника $$ {S}_{1}$$. Поскольку изображение получено в результате мысленного, воображаемого пересечения лучей, то и называют его мнимым.

    Легко видеть, что угол $$ {\varphi }_{2}$$ является внешним для треугольника $$ {S}_{1}M{S}_{2}$$. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_1+delta=varphi_2`.                                                                           (5.1)

    Фрагмент линзы, в окрестности точки $$ М$$ через которую прошёл рассматриваемый луч, можно рассматривать как тонкий клин. Смещая источник $$ {S}_{1}$$ вдоль главной оптической оси и, удаляя его на бесконечность, мы добьёмся того, что луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет равен 

    `delta~~h/F`,                                                                              (5.2)

    где `F` - фокусное расстояние линзы. Мы по-прежнему считаем, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда 

    `varphi_1~~h/a`,  `varphi_2~~h/b`.                                                                      (5.3)

    Подставим выражения (5.2) и (5.3) для углов в формулу (5.1). После сокращения на общий множитель $$ h$$ получим:

    `1/a+1/F=1/b`.                                                                          (5.4)

    Обычно выражение (5.4) записывают в несколько ином виде:

    `1/a-1/b=-1/F`.                                                                        (5.5)

    Мы получили формулу так называемой тонкой рассеивающей линзы. В качестве расстояний `a`, `b`, `F` берутся их арифметические значения. 

  • §6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

    На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих - к центру отрезка.

    Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1).

    Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) $$ AB$$. Из точки $$ B$$ пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо параллельно главной оптической оси. Существует точка $$ {B}_{1}$$ в которой оба луча пересекутся. $$ {B}_{1}$$ есть изображение точки $$ B$$. Любой другой луч, вышедший из $$ B$$ и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точку $$ {B}_{1}$$. Аналогичным образом построим изображение точки $$ A$$. Итак, мы построили изображение предмета $$ AB$$ в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:

    1) изображение стрелки действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);

    2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелка $$ AB$$, так и её изображение $$ {A}_{1}{B}_{1}$$  перпендикулярны главной оптической оси.

    Отметим два достаточно общих свойства тонкой линзы:

    свойства тонкой линзы
    • - прямую линию линза отображает в прямую;

    если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси.

    Вообще же, углы у протяжённых предметов, расположенных вдоль главной оптической оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат $$ ABCD$$ линза «превратила» в трапецию $$ {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$$.

    Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч - тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два луча, приходит в точку $$ {B}_{1}$$. Иногда такой луч, проходящий через центр линзы, за его «несгибаемость» называют побочной оптической осью.

    Теперь построим изображение предмета $$ AB$$ в рассеивающей линзе. Для этого пустим луч из точки $$ B$$ параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он пойдёт вверх так, как будто был испущен из фокуса и шёл не преломляясь (рис. 6.3).

    Воображаемую часть луча от фокуса до линзы обозначим пунктирной линией. Другой луч пустим через оптический центр `O` линзы. Изображение $$ {B}_{1}$$ точки $$ B$$ будет лежать на пересечении этого луча с воображаемой (пунктирной линией). Изображение точки $$ A$$ лежит на пересечении вертикальной линии, проходящей через $$ {B}_{1}$$, с главной оптической осью.


  • §7. Поперечное увеличение

    Линзы, зеркала или более сложные оптические инструменты обладают некоторыми общими свойствами. При рассмотрении этих свойств удобно называть рассматриваемые инструменты оптическими системами (ОС). Пусть стрелка `AB` расположена перед (ОС) перпендикулярно её главной оптической оси. Пусть, далее, $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ – изображение этой стрелки (рис. 7.1).

    Определение

    Поперечным увеличением оптической системы называется отношение длины изображения предмета $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ к длине $$ AB$$ самого предмета. Здесь важно запомнить, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси системы. Будем обозначать такое увеличение буквой $$ \Gamma $$.

    Выведем формулы для поперечного увеличения тонкой линзы. Пусть расстояние от стрелки $$ AB$$ до линзы равно $$ a$$, а расстояние от линзы до её изображения $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ равно $$ b$$ (рис. 7.2). Из подобия треугольников `ABO` и `A^'B^'O^'` следует, что:

    `Gamma=(A^'B^')/(AB)=b/a`.                                                            (7.1)

    Для $$ \Gamma $$ можно получить и другие выражения. Из подобия треугольников $$ ABC$$ и $$ ODC$$ получим:

    `Gamma=(OD)/(AB)=(OC)/(AC)=F/(a-F)`,                                                  (7.2)

    или

    `Gamma=(A^'B^')/(OK)=(b-F)/F`.                                                      (7.3)

    Для собирающей линзы в таблице 1 приведены качественные характеристики изображения плоского предмета, зависящие от отношения расстояний $$ a$$ и $$ F$$.

    Таблица 1.

    Расстояние от линзы до предмета

    Изображение прямое или перевёрнутое

    Изображение действительное или мнимое

    Изображение увеличенное или уменьшенное

    `a<F`

    прямое

    мнимое

    увеличенное

    `F<a<2F`

    перевёрнутое

    действительное

    увеличенное

    `a>2F`

    перевёрнутое

    действительное

    уменьшенное


    С помощью построений убедитесь в правильности данной таблицы.


  • §8. Примеры решения задач


    Задача 8.1

    На рис. 8.1 показаны положения фокусов и ход луча после прохождения тонкой линзы. Постройте ход этого луча до линзы.

    Решение

    Существует несколько способов построения хода луча до линзы. Некоторые приведены на рис. 8.2 и рис. 8.3.

    На рис. 8.2 через оптический центр `O` линзы проведём луч, параллельный лучу, изображённому в условии. Пусть он пересекает переднюю фокальную плоскость в точке `S`. Искомый луч должен идти через точки `S` и `A`.

    Другой способ построения приведён на рис. 8.3. Продолжим луч, вышедший из линзы, до точки `S_1` пересечения с задней фокальной плоскостью. Если теперь провести луч через точки `S_1` и оптический центр `O` линзы, то искомый луч должен идти из точки `A` параллельно лучу `OS_1`.

    задача 8.2

    Перед рассеивающей линзой $$ {L}_{1}$$ с известным диаметром $$ D$$ находится точечный источник $$ S$$, не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.4). Постройте изображение $$ {S}_{1}$$ источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение $$ {S}_{1}$$.


    Решение

    Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6. Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение $$ {S}_{1}$$, будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения $$ {S}_{1}$$. Штриховкой (рис. 8.5) отмечена искомая область. Из других мест изображение $$ {S}_{1}$$ увидеть нельзя.

    задача 8.3

    Тонкая линза создаёт изображение $$ {S}_{1}$$ точечного источника $$ S$$ (рис. 8.6). $$ A{A}_{1}$$ - главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая она или рассеивающая эта линза?

    Решение

    Проведём через точки $$ {S}_{1}$$ и $$ S$$ прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая - побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка `O` пересечения оптических осей - оптический центр линзы (рис. 8.7). Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки `S` луч `(1)` параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку $$ {S}_{1}$$ (изображение точки `S`). Т. к. через $$ {S}_{1}$$ проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).

  • §6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

    На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих - к центру отрезка.

    Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1).

    Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) $$ AB$$. Из точки $$ B$$ пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо параллельно главной оптической оси. Существует точка $$ {B}_{1}$$ в которой оба луча пересекутся. $$ {B}_{1}$$ есть изображение точки $$ B$$. Любой другой луч, вышедший из $$ B$$ и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точку $$ {B}_{1}$$. Аналогичным образом построим изображение точки $$ A$$. Итак, мы построили изображение предмета $$ AB$$ в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:

    1) изображение стрелки действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);

    2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелка $$ AB$$, так и её изображение $$ {A}_{1}{B}_{1}$$  перпендикулярны главной оптической оси.

    Отметим два достаточно общих свойства тонкой линзы:

    свойства тонкой линзы
    • - прямую линию линза отображает в прямую;

    если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси.

    Вообще же, углы у протяжённых предметов, расположенных вдоль главной оптической оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат $$ ABCD$$ линза «превратила» в трапецию $$ {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$$.

    Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч - тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два луча, приходит в точку $$ {B}_{1}$$. Иногда такой луч, проходящий через центр линзы, за его «несгибаемость» называют побочной оптической осью.

    Теперь построим изображение предмета $$ AB$$ в рассеивающей линзе. Для этого пустим луч из точки $$ B$$ параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он пойдёт вверх так, как будто был испущен из фокуса и шёл не преломляясь (рис. 6.3).

    Воображаемую часть луча от фокуса до линзы обозначим пунктирной линией. Другой луч пустим через оптический центр `O` линзы. Изображение $$ {B}_{1}$$ точки $$ B$$ будет лежать на пересечении этого луча с воображаемой (пунктирной линией). Изображение точки $$ A$$ лежит на пересечении вертикальной линии, проходящей через $$ {B}_{1}$$, с главной оптической осью.


  • §7. Поперечное увеличение

    Линзы, зеркала или более сложные оптические инструменты обладают некоторыми общими свойствами. При рассмотрении этих свойств удобно называть рассматриваемые инструменты оптическими системами (ОС). Пусть стрелка `AB` расположена перед (ОС) перпендикулярно её главной оптической оси. Пусть, далее, $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ – изображение этой стрелки (рис. 7.1).

    Определение

    Поперечным увеличением оптической системы называется отношение длины изображения предмета $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ к длине $$ AB$$ самого предмета. Здесь важно запомнить, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси системы. Будем обозначать такое увеличение буквой $$ \Gamma $$.

    Выведем формулы для поперечного увеличения тонкой линзы. Пусть расстояние от стрелки $$ AB$$ до линзы равно $$ a$$, а расстояние от линзы до её изображения $$ {A}_{1}{B}_{1}$$ равно $$ b$$ (рис. 7.2). Из подобия треугольников `ABO` и `A^'B^'O^'` следует, что:

    `Gamma=(A^'B^')/(AB)=b/a`.                                                            (7.1)

    Для $$ \Gamma $$ можно получить и другие выражения. Из подобия треугольников $$ ABC$$ и $$ ODC$$ получим:

    `Gamma=(OD)/(AB)=(OC)/(AC)=F/(a-F)`,                                                  (7.2)

    или

    `Gamma=(A^'B^')/(OK)=(b-F)/F`.                                                      (7.3)

    Для собирающей линзы в таблице 1 приведены качественные характеристики изображения плоского предмета, зависящие от отношения расстояний $$ a$$ и $$ F$$.

    Таблица 1.

    Расстояние от линзы до предмета

    Изображение прямое или перевёрнутое

    Изображение действительное или мнимое

    Изображение увеличенное или уменьшенное

    `a<F`

    прямое

    мнимое

    увеличенное

    `F<a<2F`

    перевёрнутое

    действительное

    увеличенное

    `a>2F`

    перевёрнутое

    действительное

    уменьшенное


    С помощью построений убедитесь в правильности данной таблицы.


  • §1. Преломление света на тонком клине

    Прежде чем изучать тонкие линзы, давайте решим задачу о прохождении узкого пучка света через тонкий клин. Тонким клином называется стеклянная призма, у которой угол $$ \alpha $$ при вершине мал ($$ \alpha \ll 1$$) . Чтобы изготовить такой клин в заводских условиях, берут стеклянную плоскопараллельную пластинку и на шлифовальном станке часть одной из её граней стачивают под малым углом $$ \alpha $$ (рис. 1.1). Если левую грань клина сошлифовать так, что она уменьшится на толщину плоскопараллельной пластинки $$ ABCD$$, то угол отклонения узкого пучка света, падающего под малым углом `varphi_{1}` на клин, не изменится. Поэтому договорились изображать клин так, как показано на рис. 1.2. Пусть $$ n$$ - показатель преломления материала клина. Найдём угол $$ \delta $$ отклонения луча от исходного направления. Задачу будем решать в предположении, что углы $$ \alpha $$ и `varphi_{1}` малы. На рис. 1.3 эти углы для наглядности сильно увеличены.

    $$\begin{cases} \varphi_1 = n \psi_1, \\ \varphi_2 = n \psi_2. \end{cases} $$ Приближенный закон Снелла (см. §7 задания 4).

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{1}={\varphi }_{1}-{\psi }_{1}=(n-1){\psi }_{1}$$.

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{2}={\varphi }_{2}-{\psi }_{2}=(n-1){\psi }_{2}$$.

    По теореме о внешнем угле треугольника угол отклонения луча, прошедшего сквозь клин, равен $$ \delta ={\delta }_{1}+{\delta }_{2}=(n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})$$. 

    По той же теореме $$ {\alpha }_{1}={\psi }_{1}+{\psi }_{2}$$, а углы $$ \alpha $$ и $$ {\alpha }_{1}$$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. В итоге мы получим:

    $$ \delta = {\delta }_{1}+{\delta }_{2}= (n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})=(n-1){\alpha }_{1}=(n-1)\alpha $$.

    Итак, угол отклонения $$ \delta $$ пучка параллельных лучей, прошедших сквозь тонкий клин, не зависит от угла падения и остаётся постоянной величиной:

    $$ \delta =(n-1)\alpha .\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(1.1)$$

    Иногда у плоскопараллельной пластинки стачивают под малыми углами обе половины одной из граней (см. рис. 1.4). Получившееся устройство называют бипризмой.

    Если на бипризму пустить широкий пучок параллельных лучей света, то после прохождения бипризмы пучки станут сходиться. 

    задача 1.1

    На бипризму, изготовленную из стекла с показателем преломления $$ n=\mathrm{1,5}$$ и имеющую ширину $$ b=3$$см, пустили широкий пучок параллельных лучей света. Углы при вершине бипризмы одинаковы и равны $$ \alpha  =\mathrm{0,05}$$ рад. За бипризмой образовалось два сходящихся пучка параллельных лучей.

    1) Под каким углом $$ \varphi $$ будут сходиться лучи? Если за бипризмой установить экран, то на нём можно наблюдать область, освещённую обоими пучками.

    2) На каком расстоянии $$ {L}_{1}$$ от бипризмы нужно установить экран, чтобы область перекрытия пучков была максимальной?

    3) На каком максимальном расстоянии $$ {L}_{2}$$ от бипризмы пучки лучей ещё будут пересекаться?

    Решение

     1) Изобразим ход лучей за бипризмой (рис. 1.5).

    Верхняя половина бипризмы отклонит падающий пучок лучей вниз на угол

    $$ {\delta }_{1}=(n-1)\alpha =\mathrm{0,025}$$ рад,

    а нижняя – вверх на такой же по величине угол

    $$ {\delta }_{2}=(n-1)\alpha $$.

    Следовательно, пучки будут сходиться под углом

    $$ \varphi =2{\delta }_{1}=2(n-1)\alpha =\mathrm{0,05}$$ рад.

    2) Максимальная область перекрытия пучков находится там, где пересекаются лучи (1) и (2) (см. рис. 1.2).

    В силу малости угла $$ \varphi $$ искомое расстояние

    $${L}_{1}\approx \frac{b}{2\varphi }=\frac{b}{4\alpha (n-1)}=30$$ см.

    3) Из того же рисунка легко видеть, что максимальное расстояние $$ {L}_{2}=2{L}_{1}=60$$ см.