Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи , страница 26

  • § 8. Проводники

    Проводниками называют тела, в которых находится достаточно много заряженных частиц, имеющих возможность перемещаться по всему проводнику под действием электрического поля. Эти частицы называются свободными зарядами, так как могут относительно свободно перемещаться по телу проводника. В металлах такими частицами являются электроны, в электролитах – ионы.
    Пусть имеется заряженный проводник, помещённый во внешнее электростатическое поле. Под действием внешнего поля и собственного поля свободных зарядов свободные заряды будут перемещаться по телу проводника, и перераспределяться до тех пор, пока не наступит равновесие и движение зарядов не прекратится.

    электростатической индукцией

    называется явление перераспределения зарядов проводника, вызванное влиянием внешнего электростатического поля.

    Для заряженных проводников во внешнем электростатическом поле в равновесном состоянии справедливы следующие утверждения: 

    утверждения

    1. Электростатическое поле внутри проводника отсутствует. Доказательство от противного: при наличии поля свободные заряды придут в движение, и нарушится равновесие.
    2. Напряжённость поля вблизи поверхности проводника и снаружи проводника перпендикулярна поверхности. Другими словами, силовые линии входят в проводник и выходят из него перпендикулярно поверхности проводника. Доказательство от противного: в противном случае появится составляющая силы вдоль поверхности, действующая на свободные заряды на поверхности проводника, заряды придут в движение и равновесие нарушится.
    3. Плотность объёмного заряда (объёмная плотность заряда), т. е. заряд единицы объёма, внутри проводника равна нулю. Доказательство от противного: пусть сколь угодно малый макроскопический объём внутри проводника заряжен положительно (отрицательно), тогда из него выходят (входят) силовые линии, т. е. вблизи этого объёма есть электрическое поле – противоречие с тем, что поле внутри проводника отсутствует.
    4. Внутренность проводника не заряжена, весь заряд проводника сосредоточен на его поверхности. Это утверждение следует из равенства нулю плотности объёмного заряда.
    5. Разность потенциалов любых двух точек проводника, включая точки поверхности, равна нулю. Это значит, что потенциал всех точек проводника один и тот же. Поэтому говорят о потенциале проводника, не указывая конкретной точки проводника.
    Для доказательства возьмём две произвольные точки проводника и перенесём пробный заряд из одной точки в другую по произвольной траектории, лежащей внутри проводника. Поля внутри проводника нет, на пробный заряд со стороны поля сила не действует, работа сил поля над зарядом равна нулю. Тогда, согласно (5.1), разность потенциалов между этими точками тоже равна нулю.
    6. Сделаем внутри проводника полость, изъяв содержимое. Изъятие нейтрального содержимого полости не вызовет изменения поля во всех точках вне и внутри проводника и в полости. Значит, не изменится распределение зарядов по поверхности проводника, а напряжённость поля внутри проводника и в полости будет равна нулю. Итак, полые проводники ведут себя точно так же, как и сплошные.

    задача 8.1

    Снаружи проводящего шара с зарядом $$ Q>0$$ находится точечный заряд $$q>0$$ на расстоянии $$ R$$ от центра шара. Можно ли найти силу взаимодействия зарядов по формуле $$ F=kQq/{R}^{2}$$ ?

    Решение

    Из-за явления электростатической индукции заряды на поверхности шара перераспределятся, удалившись от $$ q$$. Сила станет меньше, чем рассчитанная по предложенной формуле! Этой формулой можно было бы воспользоваться, если бы заряд на поверхности шара остался равномерно распределённым.

    Задача 8.2

    Две проводящие пластины с зарядами $$ Q$$ и $$ 3Q$$ расположены параллельно и напротив друг друга. Площади пластин одинаковы, их размеры велики по сравнению с расстоянием между ними и можно считать, что заряды распределены по каждой поверхности пластин равномерно. Найти заряды на поверхностях пластин.

    Решение
    Рис.8.1

    Пусть площадь пластин `S`, а заряды на поверхностях пластин  $$ {q}_{1,} {q}_{2,} {q}_{3,} {q}_{4}$$ (рис. 8.1). Внутри проводящих пластин зарядов нет, заряды $$ Q$$ и $$ 3Q$$ распределены по поверхностям пластин:

    $$ {q}_{1}+{q}_{2}=Q$$, $$ {q}_{3}+{q}_{4}=3Q$$.

    Направим ось `x` перпендикулярно пластинам. Для любой точки вне и внутри пластин сумма напряжённостей полей, созданных зарядами $$ {q}_{1,} {q}_{2,} {q}_{3}$$ и $$ {q}_{4}$$ равна напряженности `vecE` результирующего поля:

     $$ \overrightarrow{{E}_{1}}+\overrightarrow{{E}_{2}}+\overrightarrow{{E}_{3}}+\overrightarrow{{E}_{4}}=\overrightarrow{E}$$.

    Для точек $$ A$$ и $$ C$$, в которых напряжённость поля равна нулю, последнее векторное равенство, записанное в проекциях на ось $$ x$$, принимает вид:

    $$ {\displaystyle \frac{{q}_{1}}{2{\varepsilon }_{0}S}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{2}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{3}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{4}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}=0$$,

    $$ {\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{1}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{2}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{3}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle {q}_{4}}}{{\displaystyle 2{\varepsilon }_{0}S}}}=0$$.

    Решая систему из четырёх записанных скалярных уравнений, находим

    $$ {q}_{1}={q}_{4}=2Q$$, $$ {q}_{2}=-Q$$, $$ {q}_{3}=Q$$.

    Полученный ответ справедлив при любом знаке $$ Q$$. На рис. 8.1 показана картина силовых линий и распределение зарядов для случая $$ Q>0$$.

    задача 8.3
    Рис. 8.2

    Проводящий полый шар (рис. 8.2) с радиусами сферических поверхностей $$ R$$ и $$ 2R$$ имеет заряд $$ 2Q$$ ($$ Q>0$$). В центре шара находится точечный заряд $$ Q$$. Найти напряжённость и потенциал в точках $$ A$$ и $$ C$$ на расстояниях $$ R/2$$ и $$ 3R$$ от центра шара. Найти потенциал полого шара.

    Решение
    Рис.8.3

    Все силовые линии, вышедшие из точечного заряда $$ Q$$, заканчиваются на внутренней поверхности полого шара (на рис. 8.3 показана только часть силовых линий). Поэтому заряд на внутренней поверхности равен по модулю и противоположен по знаку заряду $$ Q$$, т. е. равен $$ -Q$$. Так как заряд проводника может располагаться только на его поверхностях и суммарный заряд равен $$ 2Q$$, то заряд внешней поверхности шара составит $$ 3Q$$. Итак, имеем систему зарядов, состоящую из точечного заряда $$ Q$$ и зарядов  $$ -Q$$ и $$ 3Q$$ на сферах радиусами $$ R$$ и $$ 2R$$.

    Для точек $$ A$$ и $$ C$$ по принципу суперпозиции полей проекция напряжённости результирующего поля на ось $$ x$$, проведённую из центра шара через исследуемую точку (для точек $$ A$$ и $$ C$$ оси $$ x$$ различны), равна сумме проекций напряжённостей полей, созданных зарядами $$ Q$$, $$ -Q$$, $$ 3Q$$:

    $$ {E}_{Ax}=k{\displaystyle \frac{Q}{{\left(R/2\right)}^{2}}}+0+0=4k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}>0$$,

    $$ {E}_{Cx}=k{\displaystyle \frac{Q}{{\left(3R\right)}^{2}}}+k{\displaystyle \frac{-Q}{{\left(3R\right)}^{2}}}+k{\displaystyle \frac{3Q}{{\left(3R\right)}^{2}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}>0$$.

    Проекции получились положительные. Это значит, что напряжённости поля в точках $$ A$$ и $$ C$$ направлены от центра шара и равны

    $$ {E}_{A}=4k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}$$, $$ {E}_{C}={\displaystyle \frac{1}{3}}k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}$$.

    Найдём потенциалы. По принципу суперпозиции полей потенциал в т. `A` равен сумме потенциалов в этой точке от полей, созданных зарядами $$ Q$$, $$ -Q$$, $$ 3Q$$:

    $$ {\varphi }_{A}=k{\displaystyle \frac{Q}{R/2}}+k{\displaystyle \frac{-Q}{R}}+k{\displaystyle \frac{3Q}{2R}}={\displaystyle \frac{5}{2}}k{\displaystyle \frac{Q}{R}}$$.

    Аналогично потенциал в т. $$ C$$ :

    $$ {\varphi }_{C}=k{\displaystyle \frac{Q}{3R}}+k{\displaystyle \frac{-Q}{3R}}+k{\displaystyle \frac{3Q}{3R}}=k{\displaystyle \frac{Q}{R}}$$.

    Потенциал шара проще всего найти, определив потенциал наружной
    поверхности шара:

    $$ \varphi =k{\displaystyle \frac{Q}{2R}}+k{\displaystyle \frac{-Q}{2R}}+k{\displaystyle \frac{3Q}{2R}}={\displaystyle \frac{3}{2}}k{\displaystyle \frac{Q}{R}}$$.

  • § 9. Диэлектрики
    Идеальные диэлектрики

    это вещества, не содержащие свободных зарядов.

    В куске незаряженного диэлектрика, помещённого в электростатическое поле, появляются так называемые связанные заряды. В результате напряжённость поля внутри и вне диэлектрика изменяется по модулю и направлению по сравнению с тем, что было в соответствующих точках пространства до внесения диэлектрика. Природа возникновения связанных зарядов связана с явлением поляризации.

    явление поляризации

    ориентация нейтральных молекул по полю из-за того, что молекулы были или стали под действием внешнего поля диполями.

    Связанные заряды, возникшие в поляризованном диэлектрике, создают собственное электростатическое поле, которое накладывается на внешнее, противодействуя ему и пытаясь ослабить. Результирующее поле внутри диэлектрика становится отличным от внешнего.

    Характеристикой однородного изотропного диэлектрика является диэлектрическая проницаемость $$ \varepsilon $$. Если граница такого диэлектрика перпендикулярна внешнему электрическому полю, то напряжённость поля в диэлектрике будет в $$ \varepsilon $$ раз меньше, чем в вакууме.

    Напряжённость поля равномерно распределённого по сфере заряда, точечного заряда и бесконечной равномерно заряженной плоскости, помещённых в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $$ \varepsilon $$, будет в $$ \varepsilon $$ раз меньше, чем в вакууме. Для точечного заряда и сферы (при $$ r>R$$ ) вместо (2.2) и (2.3) справедливы формулы $$ E=k{\displaystyle \frac{\left|Q\right|}{\varepsilon {r}^{2}}}, {E}_{x}=k{\displaystyle \frac{Q}{\varepsilon {r}^{2}}}.$$

    Для плоскости вместо (4.1) справедливо $$ E={\displaystyle \frac{\left|\sigma \right|}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0}}}.$$

    В бесконечном однородном и изотропном диэлектрике вместо формулы (2.1) закона Кулона можно записать 

    $$ F=k{\displaystyle \frac{\left|{q}_{1}\right|\left|{q}_{2}\right|}{\varepsilon {r}^{2}}}$$.

    Задача 9.1
    Рис. 9.1

    Точечный заряд $$ Q$$ находится в центре полого шара с диэлектрической проницаемостью $$ \varepsilon $$ (рис. 9.1). Найти напряжённость электрического поля в точках `1`, `2` и `3` на расстояниях $$ {r}_{1}$$, $$ {r}_{2}$$ и $$ {r}_{3}$$ от точечного заряда.

    Решение

    Пусть есть заряд $$ Q$$ в вакууме. С появлением слоя из диэлектрика напряжённость поля, перпендикулярная границам диэлектрика, изменяется только в диэлектрике, причём уменьшается в $$ \varepsilon $$ раз.
    Поэтому

    $$ {E}_{1}=k{\displaystyle \frac{\left|Q\right|}{{r}_{1}^{2}}}$$, $$ {E}_{2}=k{\displaystyle \frac{\left|Q\right|}{\varepsilon {r}_{2}^{2}}}$$, $$ {E}_{3}=k{\displaystyle \frac{\left|Q\right|}{{r}_{3}^{2}}}$$.

  • § 10. Конденсаторы

    Конденсатором называется система, состоящая из двух проводников, расположенных достаточно близко друг от друга. Проводники называют обкладками конденсатора. Если на обкладки конденсатора поместить равные по модулю и противоположные по знаку заряды, то разность потенциалов (напряжение) между обкладками будет пропорциональна заряду обкладок, т. е. отношение заряда к напряжению не будет зависеть от заряда. На основании этого утверждения, которое приводим без доказательства, вводится понятие электроёмкости (ёмкости конденсатора).

    Ёмкостью конденсатора называется отношение заряда $$ Q$$ одной из обкладок к разности потенциалов $$ U$$ между этой обкладкой и соседней:

    $$ C={\displaystyle \frac{Q}{U}}$$. (10.1)

    Если взят заряд на положительно заряженной обкладке, то $$ Q>0, U>0$$ и получится $$ C>0$$. Если заряд взят на отрицательной обкладке, то Q<0, U<0Q<0,\;U<0 и опять будет $$ C>0$$. Итак, из определения ёмкости следует, что ёмкость величина положительная. В системе СИ ёмкость измеряется в фарадах: `1"Ф"=1` Кл/В.

    Требование близости обкладок друг к другу связано с тем, что для независимости $$ C$$ от $$ Q$$ в (10.1) нужно, чтобы поле от зарядов на обкладках было сосредоточено практически полностью между обкладками, т. е. все силовые линии, начинающиеся на одной обкладке, заканчивались только на другой и не уходили на окружающие тела. В этом случае окружающие тела не будут влиять на ёмкость конденсатора.
    Можно вывести, что ёмкость плоского конденсатора

    $$ C={\displaystyle \frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0}S}{d}}$$. (10.2)

    Здесь $$ S$$ - площадь обкладок, $$ d$$ - расстояние между ними, $$ \varepsilon $$ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками.
    При последовательном соединении изначально не заряженных конденсаторов с ёмкостями $$ {C}_{1}, {C}_{2}, ...$$, общий заряд равен заряду каждого конденсатора, общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, общая ёмкость определяется из формулы: $$ {\displaystyle \frac{1}{C}}={\displaystyle \frac{1}{{C}_{1}}}+{\displaystyle \frac{1}{{C}_{2}}}+...$$

    Полезно помнить формулу для частного случая последовательного соединения двух конденсаторов: $$ C={\displaystyle \frac{{C}_{1}{C}_{2}}{{C}_{1}+{C}_{2}}}$$.

    Для последовательно соединённых n одинаковых конденсаторов ёмкостью $$ {C}_{1}$$ каждый $$ C={C}_{1}/n.$$

    Если последовательно соединены предварительно заряженные конденсаторы, то применение перечисленных выше свойств и формул может привести к неправильному результату!
    При параллельном соединении конденсаторов с емкостями $$ {C}_{1,} {C}_{2}, ...$$ общий заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов, общее напряжение равно напряжению на каждом, общая ёмкость равна сумме ёмкостей:

    $$ C={C}_{1}+{C}_{2}+...$$

    Задача 10.1
    Рис. 10.1

    В плоский конденсатор параллельно его обкладкам вставлена пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $$ \varepsilon $$ (рис. 10.1). Площадь обкладок конденсатора и пластины $$ S$$, толщина пластины $$ d$$, расстояние между обкладками $$ 3d$$. Найти ёмкость такого конденсатора.

    Решение

    Пусть расстояние от пластины до левой обкладки конденсатора $$ x$$. Наклеим мысленно на обе стороны пластины тонкую проводящую и незаряженную фольгу. От этого ничего не изменится. Обе фольги можно рассматривать как своеобразные провода, соединяющие три последовательно соединённых конденсатора с расстояниями $$ x$$, $$ d$$ и $$ 2d-x$$. Для общей ёмкости $$ C$$:

    $$ {\displaystyle \frac{1}{C}}={\displaystyle \frac{x}{{\varepsilon }_{0}S}}+{\displaystyle \frac{d}{\varepsilon {\varepsilon }_{0}S}}+{\displaystyle \frac{2d-x}{{\varepsilon }_{0}S}}$$.

    Окончательно $$ C={\displaystyle \frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0}S}{d(2\varepsilon +1)}}.$$ Заметим, что не заданная в условии величина $$ x$$ «исчезла» в процессе решения.

    Задача 10.2*
    Рис. 10.2

    В плоский конденсатор ёмкостью $$ C$$ вставлена параллельно обкладкам плоская проводящая пластина с зарядом $$ Q$$ (рис. 10.2). Конденсатор подсоединён к источнику с ЭДС $$ \mathcal{E}$$. Площади пластины и обкладок конденсатора равны. Толщина пластины равна расстоянию от неё до правой обкладки и составляет четверть от расстояния между обкладками. Найти заряд конденсатора.

    Решение

    Пусть $$ d$$ – расстояние между обкладками, $$ S$$ – их площадь. Пусть $$ q$$ заряд правой обкладки. Тогда заряд левой будет $$ -q$$, т. к. заряд в значительных количествах не может накапливаться на соединительных проводах и в источнике. Направим ось $$ x$$ влево (рис. 10.3).

    Рис. 10.3

    Заметим, что поле внутри пластины отсутствует и разность потенциалов $$ {\varphi }_{N}-{\varphi }_{F}$$ между точками $$ N$$ и $$ F$$ равна нулю. Кроме того, заряды на поверхностях пластины создают вне пластины такое же поле, как и заряд $$ Q$$, если бы его расположить на любой из двух поверхностей пластины. Это легко показать отдельно.

    Разность потенциалов $$ {\varphi }_{M}-{\varphi }_{P}$$ между точками $$ M$$ и $$ P$$ равна $$ \mathcal{E}$$. Поэтому

    $$ ({\varphi }_{M}-{\varphi }_{N})+({\varphi }_{N}-{\varphi }_{F})+({\varphi }_{F}-{\varphi }_{P})=\mathcal{E}$$.

    У нас $$ {\varphi }_{M}-{\varphi }_{N}={E}_{A}{\displaystyle \frac{d}{4}}, {\varphi }_{N}-{\varphi }_{F}=0, {\varphi }_{F}-{\varphi }_{P}={E}_{K}{\displaystyle \frac{d}{2}}$$.

    Здесь - $$ {E}_{A}$$ и $$ {E}_{K}$$ - проекции напряжённости результирующего поля на ось `x`. По принципу суперпозиции полей

    $$ {E}_{A}={\displaystyle \frac{q}{2{\varepsilon }_{0}S}}-{\displaystyle \frac{Q}{2{\varepsilon }_{0}S}}-{\displaystyle \frac{-q}{2{\varepsilon }_{0}S}}={\displaystyle \frac{1}{2{\varepsilon }_{0}S}}\left(2q-Q\right)$$,

    $$ {E}_{K}={\displaystyle \frac{q}{2{\varepsilon }_{0}S}}+{\displaystyle \frac{Q}{2{\varepsilon }_{0}S}}-{\displaystyle \frac{-q}{2{\varepsilon }_{0}S}}={\displaystyle \frac{1}{2{\varepsilon }_{0}S}}\left(2q+Q\right)$$.

    Подставляя выражения для $$ {E}_{A}$$, $$ {E}_{K}$$ и разностей потенциалов в первое
    уравнение, получим после упрощений $$ 6q+Q=8\mathcal{E}{\displaystyle \frac{{\varepsilon }_{0}S}{d}}$$.

    Так как $$ {\displaystyle \frac{{\varepsilon }_{0}S}{d}}=C$$, то $$ q=(8C\mathcal{E}-Q)/6$$.

    Следует заметить, что знак найденного заряда правой обкладки зависит от соотношения заданных в условии задачи величин.

    Задача 10.3
    Рис. 10.4

    На схему (рис. 10.4) подано напряжение `U=24` В. Ёмкости конденсаторов `C_1=1` мкФ, $$ {C}_{2}=2$$ мкФ, $$ {C}_{3}=3$$ мкФ. Найти напряжения на конденсаторах.

    Решение

    В задачах, где есть схемы с конденсаторами, обычно предполагается, что схемы собраны из первоначально незаряженных конденсаторов.

    Ёмкость между точками $$ B$$ и $$ K$$: 

    $$ {C}_{BK}={C}_{2}+{C}_{3}=5$$ мкФ.

    Общая емкость: $$ {C}_{AK}={\displaystyle \frac{{C}_{1}{C}_{BK}}{{C}_{1}+{C}_{BK}}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$ мкФ.

    Общий заряд всей батареи конденсаторов $$ {q}_{AK}={C}_{AK}U=20·{10}^{-6 }\mathrm{Кл}.$$

    Так как заряд $$ {q}_{1}$$ конденсатора $$ {C}_{1}$$ равен заряду батареи, то напряжение на этом конденсаторе $$ {U}_{1}={q}_{1}/{C}_{1}={q}_{AK}/{C}_{1}=20$$ В. Напряжения на конденсаторах $$ {C}_{2}$$ и $$ {C}_{3}$$ равны напряжению между точками $$ B$$ и $$ K$$ и в сумме с $$ {U}_{1}$$ дают $$ U$$.
    Поэтому $$ {U}_{2}={U}_{3}={U}_{BK}=U-{U}_{1}=4$$ В.

    Приведённая в задаче схема негромоздкая, и ответ легко получить в общем виде:

    $$ {U}_{1}={\displaystyle \frac{{C}_{2}+{C}_{3}}{{C}_{1}+{C}_{2}+{C}_{3}}}U=20$$ B,

    $$ U2=U3={\displaystyle \frac{{C}_{1}}{{C}_{1}+{C}_{2}+{C}_{3}}}U=4$$ B.

  • § 11. Энергия электрического поля

    Электрическое поле обладает энергией. Плотность энергии ww (энергия единицы объёма) любого электрического поля в некоторой точке зависит от напряжённости EE поля в этой точке. В однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε\varepsilon:

    w=ε0εE22w=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon E^2}2.

    Энергия электрического поля конденсатора есть энергия конденсатора. Почти вся энергия плоского конденсатора сосредоточена в однородном поле между его обкладками.

    Параметры заряженного конденсатора характеризуются тремя величинами: ёмкостью CC, зарядом qq и напряжением UU. Между ними простая связь: C=q/U.C=q/U. Энергия конденсатора может быть выражена через любые две из трёх величин:

    W=qU2=q22C=CU22W=\dfrac{qU}2=\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{CU^2}2.

    Задача 11.1

    Плоский конденсатор имеет заряд QQ и отсоединён от источника. Пластина с диэлектрической проницаемостью ε\varepsilon заполняет всё пространство между обкладками. Ёмкость конденсатора без диэлектрика равна CC. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить пластину из конденсатора?

    Решение

    Искомая работа AA внешних сил пойдёт на приращение энергии конденсатора:

    A=W2-W1A=W_2-W_1.

    Заряд конденсатора не изменяется, а ёмкость уменьшается от εC\varepsilon C до CCТогда 

    A=Q22C-Q22εC=Q22Cε-1ε.A=\dfrac{Q^2}{2C}-\dfrac{Q^2}{2\varepsilon C}=\dfrac{Q^2}{2C}\dfrac{\varepsilon-1}\varepsilon.

  • § 12. Электрический ток

    Упорядоченное движение электрических зарядов называется электрическим током. Эти заряды называются носителями тока. В металлах носителями тока являются электроны, в электролитах – положительные и отрицательные ионы, в ионизованных газах и плазме – ионы обоих знаков и электроны.

    Силой тока (током)

    называется отношение заряда $$ ∆Q$$ проходящего через поперечное сечение проводника за время $$ ∆t$$, к $$ ∆t$$:


    $$ I={\displaystyle \frac{∆Q}{∆t}}$$. (12.1)

    Если переносимый заряд $$ ∆Q$$ пропорционален $$ ∆t$$, то сила тока $$ I$$ постоянна и говорят о постоянном токе. В остальных случаях формула (12.1) даёт мгновенное значение тока при $$ ∆t\to 0.$$

    За направление тока принимается направление движения положительных зарядов. Прохождение через поперечное сечение проводника отрицательного заряда эквивалентно в смысле переноса заряда прохождению такого же по модулю положительного заряда, но в противоположном направлении. Под $$ ∆Q$$ в (12.1) понимается алгебраическая сумма зарядов, переносимых носителями обоих знаков.

    Силу тока $$ I$$ удобно иногда считать положительной или отрицательной в зависимости от выбора положительного направления вдоль проводника. Если направление тока совпадает с выбранным направлением вдоль проводника, то  $$ ∆Q>0$$ и $$ I>0$$. В противном случае Q<0\triangle Q<0 и I<0.I<0. Но часто под силой тока понимают её абсолютное значение, указывая дополнительно направление тока.

  • § 13. Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС

    Пусть на свободные заряды участка цепи `1-2` действуют сторонние силы (силы неэлектростатического происхождения). Тогда говорят, что на участке `1-2` действует электродвижущая сила (ЭДС). За направление действия ЭДС будем считать направление действия сторонних сил на положительные заряды.

    Для участка цепи `1-2` можно вывести, используя закон сохранения и превращения энергии, закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС: 

    $$ \left(\varphi 1-\varphi 2\right)\pm \mathcal{E}=\pm IR$$. (13.1)

    Здесь  $$ \left({\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}\right)$$- разность потенциалов (напряжение) между точками `1` и `2`, $$ \mathcal{E}$$ – ЭДС, действующая на участке `1-2`, $$ I$$ – сила тока, $$ R$$ – сопротивление участка `1-2`. В (13.1) величины $$ I$$ и $$ \mathcal{E}$$ взяты положительными, что удобно на практике. При этом справедливо правило знаков: перед $$ \mathcal{E}$$ (или $$ I$$ ) берётся знак `«+»`, если направление действия ЭДС (или направление тока) совпадает с направлением от `1` к `2` и наоборот. Величина $$ IR$$ называется падением напряжения.

    На схемах ЭДС на участках цепи обозначается , наличие у участка цепи сопротивления обозначается. . Причём ЭДС и сопротивление могут быть «размазаны» по участку `1-2` произвольным образом и поэтому порядок расположения этих двух символических обозначений для участка цепи в схеме не играет роли. Направление действия ЭДС совпадает с направлением от `«-»` к `«+»` на символическом обозначении.

    Следует отметить, что равенство (13.1) справедливо не только для постоянных по времени, $$ I$$, $$ \mathcal{E}$$, $$ R$$ но и для их мгновенных значений.

    Задача 13.1
    Рис. 13.1

    На участке цепи `1–2`, имеющем сопротивление $$ R=5$$ Ом, идёт ток $$ I=2$$ А и действует ЭДС $$ \mathcal{E}=12$$ В. Найти на участке `1–2` (рис. 13.1) падение напряжения и напряжение.

    Решение

    Падение напряжения есть $$ IR=10$$ B. По закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, $$ \left({\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}\right)-\mathcal{E}=IR$$. Отсюда напряжение

    $$ {U}_{12}={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}=IR+\mathcal{E}=22$$ B.

  • § 15. Закон Ома для замкнутой цепи
    Рис. 15.1

    Под замкнутой цепью понимается схема, в которой участок цепи ABDABD с ЭДС E\mathcal E и сопротивлением rr подсоединён к участку цепи DKADKA с сопротивлением RR и без ЭДС  (рис. 15.1). Участок ABDABD называется источником тока или просто источником. Сопротивление rr участка ABDABD называется внутренним сопротивлением источника и на схемах обозначение в виде прямоугольника опускается, указывается только сама буква rr. Участок ABDABD замкнутой цепи называют внутренним, участок DKADKA – внешним, а сопротивление RR – внешним сопротивлением. Под действием сторонних сил в источнике в замкнутой цепи возникает ток II, идущий вне источника от `«+»` к `«-»`. Применим закон Ома для участков ABDABD и DKADKAφA-φD+ε=Ir, φD-φA=IR.\varphi_A-\varphi_D+\varepsilon=Ir,\;\varphi_D-\varphi_A=IR.

    Сложив последние два уравнения, получим:

    E=Ir+IR\mathcal E=Ir+IR. (15.1)

    IrIr называется внутренним падением напряжения, IRIR – внешним падением напряжения. Обычно закон Ома для замкнутой цепи записывают в одной из двух форм, которые получаются из (15.1): 

    E=IR+r, I=ER+r\mathcal E=I\left(R+r\right),\;I=\dfrac{\mathcal E}{R+r}.

    R+rR+r называется полным сопротивлением цепи.

  • § 16. Последовательное и параллельное соединение проводников

    При последовательном соединении проводников с сопротивлениями $$ {R}_{1}, {R}_{2}, {R}_{3}, ...$$ ток $$ I  $$равен току в каждом:

    $$ I={I}_{1}={I}_{2}={I}_{3}=...$$

    На рис. 16.1 показано последовательное соединение двух проводников. Общая разность потенциалов (напряжение) всего участка цепи, как легко показать, равна сумме напряжений на отдельных проводниках:

    Рис. 16.1


    $$ U={U}_{1}+{U}_{2}+{U}_{3}+...$$

    Можно вывести, что общее сопротивление при последовательном соединении проводников:

    $$ R={R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{3}+...$$

    В частном случае последовательного соединения $$ n$$ проводников сопротивлением $$ {R}_{1}$$ каждый $$ R=n{R}_{1}$$.


    $$ I={I}_{1}+{I}_{2}+{I}_{3}+...$$. 
    При параллельном соединении проводников ток `I` равен сумме токов во всех проводниках:

    На рис. 16.2 показано параллельное соединение двух проводников. Общее напряжение равно напряжению на каждом проводнике:

    Рис. 16.2

    $$ U={U}_{1}={U}_{2}={U}_{3}=...$$

    Можно показать, что общее сопротивление $$ R$$ при параллельном соединении проводников с сопротивлениями $$ {R}_{1}, {R}_{2}, ...$$ находится из равенства

    $$ {\displaystyle \frac{1}{R}}={\displaystyle \frac{1}{{R}_{1}}}+{\displaystyle \frac{1}{{R}_{2}}}+...$$

    В частном случае параллельного соединения двух проводников $$ R={\displaystyle \frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$$.

    В другом частном случае параллельного соединения $$ n$$ проводников сопротивлением $$ {R}_{1}$$ каждый $$ R={R}_{1}/n$$.

    Задача 16.1

    В схеме на рис. 16.3 $$ {R}_{1}=1$$ Ом, $$ {R}_{2}=2$$ Ом, $$ {R}_{3}=6$$ Ом, $$ {R}_{4}=9$$ Ом, $$ {R}_{5}=5$$ Ом, $$ \mathcal{E}=12$$ В. $$ r=\mathrm{0,5}$$ Ом. Найти ток через резистор $$ {R}_{1}$$.

    Рис. 16.3


    Решение

    Задачи с громоздкими схемами удобно рассчитывать не в общем виде, а численно, т. е. последовательно находить численные значения параметров схемы. Расставим точки `A`, `B`, `D`, `M`, `N`, `P`, `Q` на схеме.

    Сопротивление участка `PQ`   `R_(PQ)=R_1+R_2=3` Ом.

    Сопротивление участка `AB`  $$ {R}_{AB}={\displaystyle \frac{{R}_{3}{R}_{PQ}}{{R}_{3}+{R}_{PQ}}}=2$$ Ом.

    Сопротивление участков `DA`, `DB` и `MN` будут `R_(DA)=R_4//3=3` Oм, `R_(DB)=R_(DA)+R_(AB)=5` Ом, $$ {R}_{MN}={\displaystyle \frac{{R}_{DB}{R}_{5}}{{R}_{DB}+{R}_{5}}}=\mathrm{2,5}$$ Ом.

    Заметим, что оказалось $$ {R}_{DB}={R}_{5}=5$$ Ом. Тогда можно было бы сразу написать $$ {R}_{MN}={\displaystyle \frac{{R}_{5}}{2}}=2,5$$ Ом.

    По закону Ома для замкнутой цепи $$ I={\displaystyle \frac{\mathcal{E}}{{R}_{MN}+r}}=4$$ A.

    Теперь пойдём «обратно», вычисляя параметры схемы и приближаясь к $$ {R}_{1}$$. Напряжение между точками $$ M$$ и `N` $$ {U}_{MN}=I{R}_{MN}=10$$ B.

    Напряжение $$ {U}_{DB}={U}_{MN}=10$$ B.

    Ток на участке `DB` `I_(DB)=U_(DB)//R_(DB)=2` A.

    Напряжение $$ {U}_{AB}={I}_{DB}{R}_{AB}=4$$ B.

    Так как $$ {U}_{AB}={U}_{PQ}$$, то ток через $$ {R}_{1}$$ составит: 

    $$ {I}_{1}={I}_{PQ}={\displaystyle \frac{{U}_{PQ}}{{R}_{PQ}}}={\displaystyle \frac{{U}_{AB}}{{R}_{PQ}}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ A.

  • § 14. Закон Ома для участка цепи без ЭДС


    Пусть на участке `1-2` нет ЭДС (рис. 14.1). Тогда равенство (13.1) принимает вид

    φ1-φ2=±IR\varphi_1-\varphi_2=\pm IR. (14.1)
    Рис. 14.1

    Здесь правило знаков такое же, как в (13.1), т. е. берётся для удобства I>0 I>0  и знак `«+»` перед II ставится при совпадении направлений тока с направлением `1-2`. Если обозначить φ1-φ2=U\left|\varphi_1-\varphi_2\right|=U, то получается привычная формула закона Ома для участка цепи без ЭДС:

    U=IRU=IR\  или  I=URI=\dfrac UR. (14.2)


    Заметим, что для участка цепи без ЭДС напряжение UU равно падению напряжения IRIR.



  • 5. Количество теплоты. Теплоёмкость

    Внутренняя энергия тела зависит от его температуры и внешних условий - объёма и т. д. Если внешние условия остаются неизменными, т. е. объём и другие параметры постоянны, то внутренняя энергия тела зависит только от его температуры.

    Изменить внутреннюю энергию тела можно, не только нагревая его в пламени или совершая над ним механическую работу (без изменения положения тела, например, работа силы трения), но и приводя его в контакт с другим телом, имеющим температуру, отличную от температуры данного тела, т. е. посредством теплопередачи.

    Количество внутренней энергии, которое тело приобретает или теряет в процессе теплопередачи, и называется «количеством теплоты». Количество теплоты принято обозначать буквой `Q`. Если внутренняя энергия тела в процессе теплопередачи увеличивается, то теплоте приписывают знак плюс, и говорят, что телу сообщили теплоту `Q`. При уменьшении внутренней энергии в процессе теплопередачи теплота считается отрицательной, и говорят, что от тела отняли (или отвели) количество теплоты `Q`.

    Количество теплоты можно измерять в тех же единицах, в которых измеряется и механическая энергия. В системе СИ - это `1` джоуль. Существует и другая единица измерения теплоты - калория. Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания `1` г воды на `1^@ "C"`.

    Соотношение между этими единицами было установлено Джоулем: `1` кал `= 4,18` Дж. Это означает, что за счёт работы в `4,18` кДж температура `1` килограмма воды повысится на `1` градус.

    Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на `1^@ "C"`, называется теплоёмкостью тела. Теплоёмкость тела обозначается буквой `C`. Если телу сообщили небольшое количество теплоты `Delta Q`, а температура тела изменилась на `Delta t` градусов, то                         

    `C = (DeltaQ)/(Deltat)`.  (1.1)

    Опыт показывает, что при обычных температурах `(200-500 sf"К")` теплоёмкость большинства твёрдых и жидких тел почти не зависит от температуры. Для большинства расчётов будем принимать, что теплоёмкость какого-нибудь вещества есть величина постоянная.

    Кроме теплоёмкости тела `C` вводят ещё удельную теплоёмкость `c` - теплоёмкость единицы массы вещества. Именно эта величина обычно приводится в справочниках физических величин. Удельная теплоёмкость `c` связана с теплоёмкостью тела `C` и массой `m` тела соотношением:

    `C = c*m`. (1.2)

    Приведённые формулы позволяют рассчитать, какое количество теплоты `Q` надо передать телу массы `m`, чтобы повысить его температуру от значения `t_1` до значения `t_2`:

    `Q=C*Deltat=C*(t_2 - t_1)=c*m*(t_2 - t_1 )`. (1.3)

    Если тело окружить оболочкой, плохо проводящей тепло, то температура тела, если оно предоставлено самому себе, будет оставаться в течение длительного времени практически постоянной. Таких идеальных оболочек в природе, конечно, не существует, но можно создать оболочки, которые по своим свойствам приближаются к таковым.

    Примерами могут служить обшивка космических кораблей, сосуды Дьюара, применяемые в физике и технике. Сосуд Дьюара представляет собой стеклянный или металлический баллон с двойными зеркальными стенками, между которыми создан высокий вакуум. Стеклянная колба домашнего термоса тоже является сосудом Дьюара.

    Теплоизолирующей является оболочка калориметра – прибора, позволяющего измерять количество теплоты. Калориметр представляет собой большой тонкостенный стакан, поставленный на кусочки пробки внутрь другого большого стакана так, чтобы между стенками оставался слой воздуха, и закрытый сверху теплонепроводящей крышкой.

    Если в калориметре привести в тепловой контакт два или несколько тел, имеющих различные температуры, и подождать, то через некоторое время внутри калориметра установится тепловое равновесие. В процессе перехода в тепловое равновесие одни тела будут отдавать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"отд")`), другие будут получать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"пол")`). А так как калориметр и содержащиеся в нём тела не обмениваются теплом с окружающим пространством, а только между собой, то можно записать соотношение, называемое также уравнением теплового баланса:

    `Q_(sf"пол") = Q_(sf"отд")` (1.4)

    В ряде тепловых процессов тепло может поглощаться или выделяться телом без изменения его температуры. Такие тепловые процессы имеют место при изменении агрегатного состояния вещества - плавлении, кристаллизации, испарении, конденсации и кипении. Коротко остановимся на основных характеристиках этих процессов.

    Плавление – процесс превращения кристаллического твёрдого тела в жидкость. Процесс плавления происходит при постоянной температуре, тепло при этом поглощается.

    Удельная теплота плавления `lambda` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы расплавить `1` кг кристаллического вещества, взятого при температуре плавления. Количество теплоты `Q_(sf"пл")`, которое потребуется для перевода твёрдого тела массы  `m` при температуре плавления в жидкое состояние, равно

    `Q_(sf"пл") = lambda * m`. (1.5)

    Поскольку температура плавления остаётся постоянной, то количество теплоты, сообщаемое телу, идёт на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул, при этом происходит разрушение кристаллической решётки.

    Процесс кристаллизации – это процесс, обратный процессу плавления. При кристаллизации жидкость превращается в твёрдое тело и выделяется количество теплоты, также определяемое формулой (1.5).

    Испарение – это процесс превращения жидкости в пар. Испарение происходит с открытой поверхности жидкости. В процессе испарения жидкость покидают самые быстрые молекулы, т. е. молекулы, способные преодолеть силы притяжения со стороны молекул жидкости. Вследствие этого, если жидкость теплоизолирована, то в процессе испарения она охлаждается.

    Удельная теплота парообразования `L` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы превратить в пар `1` кг жидкости. Количество теплоты `Q_(sf"исп")`, которое потребуется для перевода в парообразное состояние жидкость массой `m` равно

    `Q_(sf"исп") =L*m`. (1.6)

    Конденсация – процесс, обратный процессу испарения. При конденсации пар переходит в жидкость. При этом выделяется тепло. Количество теплоты, выделяющейся при конденсации пара, определяется по формуле (1.6).

    Кипение – процесс, при котором давление насыщенных паров жидкости равно атмосферному давлению, поэтому испарение происходит не только с поверхности, но и по всему объёму (в жидкости всегда имеются пузырьки воздуха, при кипении давление паров в них достигает атмосферного, и пузырьки поднимаются вверх).

    Возгонка (сублимация) – процесс перехода вещества из твёрдого состояния непосредственно в газообразное. Именно благодаря сублимации мы чувствуем запахи некоторых твердых веществ, например, нафталина и камфары. По этой же причине мокрое белье, вывешенное на мороз, высыхает. Обратный процесс называется десублимацией. Примером десублимации служат «узоры» на окнах, образующиеся из водяного пара, находящегося в воздухе и кристаллизующегося на поверхности стекла.


  • 7. Примеры решения задач
    Задача 1

    В электрический чайник налили холодную воду при температуре  `t_1 = 10^@ "C"`. Через время `tau =10` мин после включения чайника вода закипела. Через какое время она полностью испарится? Потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоёмкость воды `c_(sf"в") = 4200  sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`, удельная теплота парообразования воды `L_(sf"в") =2,26 *10^6  sf"Дж"//sf"кг"`.

    Решение

    Для испарения воды массой `m` при температуре кипения необходимо количество теплоты `Q_1 =mL_(sf"в")`, где `L_(sf"в")` - удельная теплота парообразования воды.

    Пусть воде от нагревателя чайника в единицу времени поступает количество теплоты `q`, а `tau_1` - время, необходимое для испарения всей воды, нагретой до температуры кипения. Тогда справедливо соотношение

    `Q_1 = mL_(sf"в") =q tau_1`.

    Количество теплоты `Q_2`, поступившее от нагревателя за время `tau` и нагревшее воду от начальной температуры  `t_1 = 10^@ "C"` до температуры кипения `t_2 =100^@ "C"`, равно

    `Q_2 = q tau = c_(sf"в")m (t_2 - t_1)`,

    где `c_(sf"в")` - удельная теплоёмкость воды. Отсюда для массы воды получаем

    `m= (q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.

    Подставляя это выражение в соотношение для `Q_1`, имеем

    `q*tau_1 = (L_(sf"в")q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.

    Отсюда для времени испарения воды получаем

    $$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{L}_{\mathrm{в}}·\tau }{{c}_{\mathrm{в}}·\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,26}·{10}^{6} \mathrm{Дж}/\mathrm{кг}·600 \mathrm{с} }{\mathrm{4,2}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·90 \mathrm{К}}}\approx 1 \mathrm{час}.$$

    Задача 2

    Найдите расход бензина автомобиля (в литрах) на `L = 100` км пути при скорости `v=90` км/ч. Мощность двигателя автомобиля `P=30` кВт, коэффициент полезного действия `eta =25%`.

    Решение

    Количество теплоты `Q`, которое выделяется при сгорании бензина объёмом `V`, зависит от удельной теплоты сгорания `q` данного вида топлива (для бензина `q=46 sf"МДж"//sf"кг"`)  и массы `m` сгоревшего топлива. С учётом того, что `m=rho V` (для бензина `rho = 700  sf"кг"//sf"м"^3`), получаем

    `Q=qm=q rho V`.

    Часть энергии, выделяемой при сгорании бензина, используется для создания полезной мощности `P`. Если двигатель, развивая постоянную мощность `P`, проработал в течение времени `tau`, то совершённая им работа `A` равна `P tau`. Эффективность преобразования теплоты `Q` сгорания топлива в механическую работу `A` двигателя характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД) двигателя `eta`

    `eta=A/Q * 100% = (P tau)/Q *100% = (P tau)/(q rho V) * 100%`.

    Время работы двигателя `tau = L//v`. Из полученных соотношений для величины расхода бензина находим

    `V = (100%)/(eta) * (P*L)/(q*rho *v) ~~(100%)/(25%) * (30*10^3  sf"Дж"//sf"c" * 10^5 sf"м")/(46 * 10^6 sf"Дж"//sf"кг" * 700 sf"кг"//sf"м"^3 * 25 sf"м"//sf"с") ~~14,9 sf"л"`.

    Следовательно, расход бензина для автомобиля с указанными характеристиками составляет примерно `15` литров на `100` км пути.

    Задача 3

    При выстреле из ружья стальная дробь массой `m=45` г вылетает со скоростью `v=600` м/с. Считая, что `80%` энергии, высвободившейся при сгорании порохового заряда массой `M=9` г, переходит в кинетическую энергию пули и её внутреннюю энергию, определите, на сколько градусов повысилась температура пули. Удельная теплота сгорания пороха `q=3 sf"МДж"//sf"кг"`, удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж" //(sf"кг" * sf"К")`.

    Решение

    При сгорании пороха массой `M` выделяется энергия (теплота) `Q=qM`, где `q` -удельная теплота сгорания пороха. По условию задачи `80%` этой энергии переходит в кинетическую энергию `K` дроби и её внутреннюю энергию. Следовательно, внутренняя энергия дроби изменяется, и пусть `Delta U` - величина этого изменения. Тогда справедливо следующее соотношение

    `0,8 Q=K+Delta U`.

    Перепишем его, учитывая выражения для кинетической энергии дроби `K=mv^2 //2` и изменения внутренней энергии `Delta U = c_(sf"ст") mDelta t`, где `Delta t` - изменение температуры дроби (искомая величина). Получаем

    `0,8 qM=(mv^2)/(2) +c_sf"ст" mDelta t`.

    Отсюда для изменения температуры находим

    `Delta t= (1,6 qM - mv^2)/(2 c_(sf"ст") m) = 600 sf"К"`.

    Задача 4

    Как велика масса стальной детали, нагретой предварительно до `500^@ "C"`, если при опускании её в калориметр, содержащий `18,6` л воды при температуре `13^@ "C"`, последняя нагрелась до `35^@ "C"`. Теплоёмкостью калориметра и потерями теплоты на испарение воды пренебречь. Удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`.

    Решение

    Во время рассматриваемого теплового процесса стальная деталь массой `M_(sf"ст")` охлаждается от температуры `t_1 =500^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_(sf"ст")`:

    `Q_(sf"ст") = c_(sf"ст") M_(sf"ст") (t_1 -t)`.

    За это же время вода массой `M_sf"в" =18,6` кг нагревается от температуры `t_2 =13^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, получив при этом количество теплоты `Q_(sf"в")`:

    `Q_sf"в" = c_sf"в" M_sf"в" (t-t_2)`.

    Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:

    $$ {Q}_{\mathrm{отд}}={Q}_{\mathrm{ст}}={c}_{\mathrm{ст}}{M}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)={Q}_{\mathrm{пол}}={Q}_{\mathrm{в}}={c}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)$$.

    Здесь учтено, что по условию задачи испарением воды можно пренебречь, т. е. теплота, выделяемая при охлаждении стальной детали, идёт только на нагревание воды.

    Из последнего соотношения для массы стальной детали получаем

    $$ {M}_{\mathrm{ст}}={\displaystyle \frac{{с}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)}{{c}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)}}={\displaystyle \frac{4200 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\mathrm{18,6} \mathrm{кг}·\left(35°\mathrm{C}-13°\mathrm{C}\right)}{500 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\left(500°\mathrm{C}-35°\mathrm{C}\right)}}\approx \mathrm{7,4} \mathrm{кг}$$.

    Задача 5

    В калориметр, где в состоянии теплового равновесия находился мокрый снег (смесь льда и воды) массой `m=250` г, долили `M=1` кг воды при температуре `t_1 =20^@ "C"`. После того, как снег растаял, и установилось тепловое равновесие, в калориметре оказалась вода при температуре `t_2 =5^@ "C"`. Сколько воды содержалось в снегу? Потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра пренебречь.

    Решение

    Конечное агрегатное состояние системы по условию задачи - вода. Мокрый снег (смесь льда и воды при температуре `t_0 =0^@ "C"`) получает теплоту от находящейся в калориметре воды.

    Часть теплоты, подведённой мокрому снегу, идёт на плавление находящегося в снегу льда (пусть масса льда `m_(sf"л")`). Для плавления льда при температуре плавления необходимо количество теплоты `Q_sf"пол,1"`:

    `Q_(sf"пол,1") = m_sf"л" lambda_sf"л"`.

    На нагревание получившейся из мокрого снега воды массой `m=250` г от температуры `t_0 = 0^@ "C"` до температуры `t_2 = 5^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_sf"пол,2"`

    `Q_sf"пол,2" = c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.

    Таким образом, суммарное количество теплоты `Q_sf"пол"`, получаемое мокрым снегом, а затем водой, равно

    `Q_sf"пол"=Q_sf"пол,1" + Q_sf"пол,2"=m_(sf"л") lambda_(sf"л") + c_(sf"в") m (t_2 - t_0)`.

    Вода, первоначально находившаяся в калориметре, охлаждается от температуры `t_1 = 20^@ "C"` до температуры `t_2 =5^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_sf"отд"`

    `Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)`.

    Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:

    `Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)=Q_sf"пол" = m_sf"л" lambda_sf"л" + c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.

    Отсюда для массы  льда, находившегося в мокром снегу, получаем

    `m_sf"л" = (Mc_sf"в" (t_1 - t_2) - mc_sf"в" (t_2 - t_0))/(lambda_sf"л") ~~170 sf"г"`.

    Масса же воды, содержавшейся в мокром снегу, равна `78` г.

    Пример 6

    В холодную воду, взятую в количестве `12` кг, впускают `1` кг водяного пара при температуре `t_sf"п" = 100^@ "C"`. Температура воды после конденсации в ней пара поднялась до `t=70^@ "C"`. Какова была первоначальная температура воды? Потерями теплоты пренебречь.

    Решение

    Попав в холодную воду, пар массой `m_sf"п" = 1` кг конденсируется, выделяя количество теплоты `Q_1 = m_sf"п"L_sf"в"`. Здесь `L_sf"в"` - удельная теплота конденсации водяного пара. Получившаяся при конденсации пара вода охлаждается от температуры  `t_sf"п" =100^@ "C"` до `t=70^@ "C"`, отдавая холодной воде количество теплоты `Q_2 = c_sf"в" * m_sf"п" * (t_sf"п" - t)`.

    Для нагревания холодной воды массы `m_sf"в" =12` кг от начальной температуры `t_sf"в"` до температуры `t=70^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_3 = c_sf"в" * m_sf"в" * (t-t_sf"в")`.

    Составим уравнение теплового баланса для рассматриваемого теплового процесса:

    `Q_sf"отд" = Q_1 + Q_2 = L_sf"в" m_sf"п" + c_sf"в" m_sf"п" (t_sf"п" - t) = Q_sf"пол" = Q_3 = c_sf"в" m_sf"в" (t-t_sf"в")`.

    Решая полученное уравнение, для начальной температуры воды находим:

    `t_sf"в" = t- (L_sf"в" m_sf"п") / (c_sf"в" m_sf"в")  -   (m_sf"п")/(m_sf"в") * (t_sf"п" - t) = 23^@ "C"`.

    Задача 7*

    В калориметр, содержащий `200` г воды при температуре `8^@"C"`, опускают `100` г льда, температура которого равна `-20^@"C"`. Какая температура установится в калориметре? Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

    Решение

    Конечное состояние не очевидно. Требуется анализ.

    Чтобы нагреть массу `m_"л"=0,1` кг льда от `t_"л"=-20^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, надо было бы затратить количество теплоты

    `Q_1=c_"л"m_"л"(t_0-t_"л")=4200` Дж.

    Чтобы расплавить весь лёд при `0^@"C"` потребовалось бы количество теплоты

    `Q_2=lambda_"л"m_"л"=33600` Дж.

    Если вся вода охладится от `t_"в"=8^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, то выделится количество теплоты

    `Q_3=c_"в"m_"в"(t_"в"-t_0)=6720` Дж.

    Сравнивая полученные значения для `Q_1`, `Q_2`, `Q_3`, приходим к выводу, что `Q_3` хватит на нагрев всего льда от `t_"л"` до `t_0` и плавления только части льда массой `m_1`. Уравнение теплового баланса

    `Q_3=Q_1+m_1lambda_"л"`.

    Отсюда

    `m_1=(Q_3-Q_1)/(lambda_"л")=7,5` г.

    Итак, в калориметре будет смесь из `207,5` г воды и `92,5` г льда при `0^@"C"`.




  • 6. Удельная теплота сгорания топлива

    Увеличить внутреннюю энергию тела можно двумя способами: 1) за счёт совершения над ним работы внешними силами, 2) за счёт теплообмена с телом, имеющим более высокую температуру, чем само тело. В некоторых случаях, например, для плавления металлов, необходимо очень большое количество теплоты и высокая температура. Таких условий можно достичь, используя какое-либо топливо (уголь, нефть, природный газ, дерево и т. д.). При его сгорании, т. е. при химической реакции соединения с кислородом, будет выделяться теплота. Это связано с тем, что в процессе химической реакции горения кинетическая энергия получаемых частиц вещества (продуктов сгорания) становится больше, чем кинетическая энергия исходных частиц вещества.

    Энергия, выделяющаяся при сгорании топлива, называется теплотой сгорания. Удельная теплота сгорания топлива – это количество теплоты, которое выделяется при полном сгорании `1` кг топлива. Она обозначается буквой `q`. Количество теплоты, выделившееся при сгорании массы m топлива, равно

    `Q=q*m`.                                                                                   (7)

                                                

  • 8. О точности при получении численного ответа

    Математика имеет дело с абстрактными (идеализированными) объектами. Например, идеально ровные прямые, не имеющие размеров точки, и числа, которые абсолютно точны. В отличие от математики, физика имеет дело с реальными природными объектами, которые измеряются реальными приборами. Все приборы измеряют физические величины с некоторой точностью, которая определяется классом точности прибора или ценой деления его шкалы. Например, у линейки цена деления `1` мм и, соответственно, погрешность, равная половине цены деления прибора, составляет `0,5` мм. Более того, точность измерений зависит от способа измерения, от выбора методики и условий проведения эксперимента, и многих других причин, которые определяют объективную погрешность эксперимента.

    Поэтому, если Вы, измеряя с помощью обычной линейки (цена деления `1` мм), вдруг получили ответ с точностью до тысячных (или даже точнее) долей миллиметра, то Вы наврали. Так как, сами понимаете, что таким прибором заведомо нельзя так точно измерить. Или другой пример. Если Вы пишите ответ `«sqrt2»`, то Вы, как минимум, претендуете на Нобелевскую премию. Потому что, так Вы делаете заявку на измерение с бесконечной точностью, что в принципе невозможно. (Противоречит соотношению неопределённостей Гейзенберга.) Таким образом, при написании ответа или результата эксперимента Вы отвечаете за каждую свою цифру.

    Возникает вопрос, так всё же с какой точностью нужно писать ответ к задаче? В эксперименте, по умолчанию (если не оговаривается особо), обычно подразумевают точность `10%`. Так называемая «золотая десятина». При решении задач, основным соображением является то, что количество значащих цифр в ответе не должно превышать количество значащих цифр в условии.

    Здесь изложены лишь некоторые соображения, которые определяют точность решения. В целом же, точность эксперимента или расчёта экспериментатор (автор идеи) определяет сам, исходя из здравого смысла и своего опыта. Со временем, Уважаемые Читатели, этот опыт придёт и к Вам.

    Пример

    В эксперименте измерение трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда дало значения `a=0,12` м, `b=1,2*10^(-2)` м, `c=121` мм. Требуется вычислить его объём, ответ дать в кубических миллиметрах.

    Решение

    Поскольку нам необходимо вычислить объём в миллиметрах, приведём все результаты измерений в миллиметрах:

    `a=0,12  "м"=0,12*10^3  "мм"=12*10  "мм"`

    `b=1,2*10^(-2)  "м"=1,2*10^(-2)*10^3  "мм"=12  "мм"`

    `c=121  "мм"`.

    Объём равен произведению сторон

    `V=a*b*c=12*10  "мм"*12  "мм"*121  "мм"=174240  "мм"^3~~1,7*10^5  "мм"^3`.

    Исходные данные содержали минимум `2` значащие цифры, поэтому необходимо и ответ округлить до двух значащих цифр.

    ответ

    Объём параллелепипеда `V=1,7*10^5  "мм"^3`.


  • 8. О точности при получении численного ответа

    Математика имеет дело с абстрактными (идеализированными) объектами. Например, идеально ровные прямые, не имеющие размеров точки, и числа, которые абсолютно точны. В отличие от математики, физика имеет дело с реальными природными объектами, которые измеряются реальными приборами. Все приборы измеряют физические величины с некоторой точностью, которая определяется классом точности прибора или ценой деления его шкалы. Например, у линейки цена деления `1` мм и, соответственно, погрешность, равная половине цены деления прибора, составляет `0,5` мм. Более того, точность измерений зависит от способа измерения, от выбора методики и условий проведения эксперимента, и многих других причин, которые определяют объективную погрешность эксперимента.

    Поэтому, если Вы, измеряя с помощью обычной линейки (цена деления `1` мм), вдруг получили ответ с точностью до тысячных (или даже точнее) долей миллиметра, то Вы наврали. Так как, сами понимаете, что таким прибором заведомо нельзя так точно измерить. Или другой пример. Если Вы пишите ответ `«sqrt2»`, то Вы, как минимум, претендуете на Нобелевскую премию. Потому что, так Вы делаете заявку на измерение с бесконечной точностью, что в принципе невозможно. (Противоречит соотношению неопределённостей Гейзенберга.) Таким образом, при написании ответа или результата эксперимента Вы отвечаете за каждую свою цифру.

    Возникает вопрос, так всё же с какой точностью нужно писать ответ к задаче? В эксперименте, по умолчанию (если не оговаривается особо), обычно подразумевают точность `10%`. Так называемая «золотая десятина». При решении задач, основным соображением является то, что количество значащих цифр в ответе не должно превышать количество значащих цифр в условии.

    Здесь изложены лишь некоторые соображения, которые определяют точность решения. В целом же, точность эксперимента или расчёта экспериментатор (автор идеи) определяет сам, исходя из здравого смысла и своего опыта. Со временем, Уважаемые Читатели, этот опыт придёт и к Вам.

    Пример

    В эксперименте измерение трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда дало значения `a=0,12` м, `b=1,2*10^(-2)` м, `c=121` мм. Требуется вычислить его объём, ответ дать в кубических миллиметрах.

    Решение

    Поскольку нам необходимо вычислить объём в миллиметрах, приведём все результаты измерений в миллиметрах:

    `a=0,12  "м"=0,12*10^3  "мм"=12*10  "мм"`

    `b=1,2*10^(-2)  "м"=1,2*10^(-2)*10^3  "мм"=12  "мм"`

    `c=121  "мм"`.

    Объём равен произведению сторон

    `V=a*b*c=12*10  "мм"*12  "мм"*121  "мм"=174240  "мм"^3~~1,7*10^5  "мм"^3`.

    Исходные данные содержали минимум `2` значащие цифры, поэтому необходимо и ответ округлить до двух значащих цифр.

    ответ

    Объём параллелепипеда `V=1,7*10^5  "мм"^3`.


  • 6. Удельная теплота сгорания топлива

    Увеличить внутреннюю энергию тела можно двумя способами: 1) за счёт совершения над ним работы внешними силами, 2) за счёт теплообмена с телом, имеющим более высокую температуру, чем само тело. В некоторых случаях, например, для плавления металлов, необходимо очень большое количество теплоты и высокая температура. Таких условий можно достичь, используя какое-либо топливо (уголь, нефть, природный газ, дерево и т. д.). При его сгорании, т. е. при химической реакции соединения с кислородом, будет выделяться теплота. Это связано с тем, что в процессе химической реакции горения кинетическая энергия получаемых частиц вещества (продуктов сгорания) становится больше, чем кинетическая энергия исходных частиц вещества.

    Энергия, выделяющаяся при сгорании топлива, называется теплотой сгорания. Удельная теплота сгорания топлива – это количество теплоты, которое выделяется при полном сгорании `1` кг топлива. Она обозначается буквой `q`. Количество теплоты, выделившееся при сгорании массы m топлива, равно

    `Q=q*m`.                                                                                   (7)

                                                

  • 5. Количество теплоты. Теплоёмкость

    Внутренняя энергия тела зависит от его температуры и внешних условий - объёма и т. д. Если внешние условия остаются неизменными, т. е. объём и другие параметры постоянны, то внутренняя энергия тела зависит только от его температуры.

    Изменить внутреннюю энергию тела можно, не только нагревая его в пламени или совершая над ним механическую работу (без изменения положения тела, например, работа силы трения), но и приводя его в контакт с другим телом, имеющим температуру, отличную от температуры данного тела, т. е. посредством теплопередачи.

    Количество внутренней энергии, которое тело приобретает или теряет в процессе теплопередачи, и называется «количеством теплоты». Количество теплоты принято обозначать буквой `Q`. Если внутренняя энергия тела в процессе теплопередачи увеличивается, то теплоте приписывают знак плюс, и говорят, что телу сообщили теплоту `Q`. При уменьшении внутренней энергии в процессе теплопередачи теплота считается отрицательной, и говорят, что от тела отняли (или отвели) количество теплоты `Q`.

    Количество теплоты можно измерять в тех же единицах, в которых измеряется и механическая энергия. В системе СИ - это `1` джоуль. Существует и другая единица измерения теплоты - калория. Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания `1` г воды на `1^@ "C"`.

    Соотношение между этими единицами было установлено Джоулем: `1` кал `= 4,18` Дж. Это означает, что за счёт работы в `4,18` кДж температура `1` килограмма воды повысится на `1` градус.

    Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на `1^@ "C"`, называется теплоёмкостью тела. Теплоёмкость тела обозначается буквой `C`. Если телу сообщили небольшое количество теплоты `Delta Q`, а температура тела изменилась на `Delta t` градусов, то                         

    `C = (DeltaQ)/(Deltat)`.  (1.1)

    Опыт показывает, что при обычных температурах `(200-500 sf"К")` теплоёмкость большинства твёрдых и жидких тел почти не зависит от температуры. Для большинства расчётов будем принимать, что теплоёмкость какого-нибудь вещества есть величина постоянная.

    Кроме теплоёмкости тела `C` вводят ещё удельную теплоёмкость `c` - теплоёмкость единицы массы вещества. Именно эта величина обычно приводится в справочниках физических величин. Удельная теплоёмкость `c` связана с теплоёмкостью тела `C` и массой `m` тела соотношением:

    `C = c*m`. (1.2)

    Приведённые формулы позволяют рассчитать, какое количество теплоты `Q` надо передать телу массы `m`, чтобы повысить его температуру от значения `t_1` до значения `t_2`:

    `Q=C*Deltat=C*(t_2 - t_1)=c*m*(t_2 - t_1 )`. (1.3)

    Если тело окружить оболочкой, плохо проводящей тепло, то температура тела, если оно предоставлено самому себе, будет оставаться в течение длительного времени практически постоянной. Таких идеальных оболочек в природе, конечно, не существует, но можно создать оболочки, которые по своим свойствам приближаются к таковым.

    Примерами могут служить обшивка космических кораблей, сосуды Дьюара, применяемые в физике и технике. Сосуд Дьюара представляет собой стеклянный или металлический баллон с двойными зеркальными стенками, между которыми создан высокий вакуум. Стеклянная колба домашнего термоса тоже является сосудом Дьюара.

    Теплоизолирующей является оболочка калориметра – прибора, позволяющего измерять количество теплоты. Калориметр представляет собой большой тонкостенный стакан, поставленный на кусочки пробки внутрь другого большого стакана так, чтобы между стенками оставался слой воздуха, и закрытый сверху теплонепроводящей крышкой.

    Если в калориметре привести в тепловой контакт два или несколько тел, имеющих различные температуры, и подождать, то через некоторое время внутри калориметра установится тепловое равновесие. В процессе перехода в тепловое равновесие одни тела будут отдавать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"отд")`), другие будут получать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"пол")`). А так как калориметр и содержащиеся в нём тела не обмениваются теплом с окружающим пространством, а только между собой, то можно записать соотношение, называемое также уравнением теплового баланса:

    `Q_(sf"пол") = Q_(sf"отд")` (1.4)

    В ряде тепловых процессов тепло может поглощаться или выделяться телом без изменения его температуры. Такие тепловые процессы имеют место при изменении агрегатного состояния вещества - плавлении, кристаллизации, испарении, конденсации и кипении. Коротко остановимся на основных характеристиках этих процессов.

    Плавление – процесс превращения кристаллического твёрдого тела в жидкость. Процесс плавления происходит при постоянной температуре, тепло при этом поглощается.

    Удельная теплота плавления `lambda` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы расплавить `1` кг кристаллического вещества, взятого при температуре плавления. Количество теплоты `Q_(sf"пл")`, которое потребуется для перевода твёрдого тела массы  `m` при температуре плавления в жидкое состояние, равно

    `Q_(sf"пл") = lambda * m`. (1.5)

    Поскольку температура плавления остаётся постоянной, то количество теплоты, сообщаемое телу, идёт на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул, при этом происходит разрушение кристаллической решётки.

    Процесс кристаллизации – это процесс, обратный процессу плавления. При кристаллизации жидкость превращается в твёрдое тело и выделяется количество теплоты, также определяемое формулой (1.5).

    Испарение – это процесс превращения жидкости в пар. Испарение происходит с открытой поверхности жидкости. В процессе испарения жидкость покидают самые быстрые молекулы, т. е. молекулы, способные преодолеть силы притяжения со стороны молекул жидкости. Вследствие этого, если жидкость теплоизолирована, то в процессе испарения она охлаждается.

    Удельная теплота парообразования `L` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы превратить в пар `1` кг жидкости. Количество теплоты `Q_(sf"исп")`, которое потребуется для перевода в парообразное состояние жидкость массой `m` равно

    `Q_(sf"исп") =L*m`. (1.6)

    Конденсация – процесс, обратный процессу испарения. При конденсации пар переходит в жидкость. При этом выделяется тепло. Количество теплоты, выделяющейся при конденсации пара, определяется по формуле (1.6).

    Кипение – процесс, при котором давление насыщенных паров жидкости равно атмосферному давлению, поэтому испарение происходит не только с поверхности, но и по всему объёму (в жидкости всегда имеются пузырьки воздуха, при кипении давление паров в них достигает атмосферного, и пузырьки поднимаются вверх).

    Возгонка (сублимация) – процесс перехода вещества из твёрдого состояния непосредственно в газообразное. Именно благодаря сублимации мы чувствуем запахи некоторых твердых веществ, например, нафталина и камфары. По этой же причине мокрое белье, вывешенное на мороз, высыхает. Обратный процесс называется десублимацией. Примером десублимации служат «узоры» на окнах, образующиеся из водяного пара, находящегося в воздухе и кристаллизующегося на поверхности стекла.


  • 7. Примеры решения задач
    Задача 1

    В электрический чайник налили холодную воду при температуре  `t_1 = 10^@ "C"`. Через время `tau =10` мин после включения чайника вода закипела. Через какое время она полностью испарится? Потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоёмкость воды `c_(sf"в") = 4200  sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`, удельная теплота парообразования воды `L_(sf"в") =2,26 *10^6  sf"Дж"//sf"кг"`.

    Решение

    Для испарения воды массой `m` при температуре кипения необходимо количество теплоты `Q_1 =mL_(sf"в")`, где `L_(sf"в")` - удельная теплота парообразования воды.

    Пусть воде от нагревателя чайника в единицу времени поступает количество теплоты `q`, а `tau_1` - время, необходимое для испарения всей воды, нагретой до температуры кипения. Тогда справедливо соотношение

    `Q_1 = mL_(sf"в") =q tau_1`.

    Количество теплоты `Q_2`, поступившее от нагревателя за время `tau` и нагревшее воду от начальной температуры  `t_1 = 10^@ "C"` до температуры кипения `t_2 =100^@ "C"`, равно

    `Q_2 = q tau = c_(sf"в")m (t_2 - t_1)`,

    где `c_(sf"в")` - удельная теплоёмкость воды. Отсюда для массы воды получаем

    `m= (q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.

    Подставляя это выражение в соотношение для `Q_1`, имеем

    `q*tau_1 = (L_(sf"в")q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.

    Отсюда для времени испарения воды получаем

    $$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{L}_{\mathrm{в}}·\tau }{{c}_{\mathrm{в}}·\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,26}·{10}^{6} \mathrm{Дж}/\mathrm{кг}·600 \mathrm{с} }{\mathrm{4,2}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·90 \mathrm{К}}}\approx 1 \mathrm{час}.$$

    Задача 2

    Найдите расход бензина автомобиля (в литрах) на `L = 100` км пути при скорости `v=90` км/ч. Мощность двигателя автомобиля `P=30` кВт, коэффициент полезного действия `eta =25%`.

    Решение

    Количество теплоты `Q`, которое выделяется при сгорании бензина объёмом `V`, зависит от удельной теплоты сгорания `q` данного вида топлива (для бензина `q=46 sf"МДж"//sf"кг"`)  и массы `m` сгоревшего топлива. С учётом того, что `m=rho V` (для бензина `rho = 700  sf"кг"//sf"м"^3`), получаем

    `Q=qm=q rho V`.

    Часть энергии, выделяемой при сгорании бензина, используется для создания полезной мощности `P`. Если двигатель, развивая постоянную мощность `P`, проработал в течение времени `tau`, то совершённая им работа `A` равна `P tau`. Эффективность преобразования теплоты `Q` сгорания топлива в механическую работу `A` двигателя характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД) двигателя `eta`

    `eta=A/Q * 100% = (P tau)/Q *100% = (P tau)/(q rho V) * 100%`.

    Время работы двигателя `tau = L//v`. Из полученных соотношений для величины расхода бензина находим

    `V = (100%)/(eta) * (P*L)/(q*rho *v) ~~(100%)/(25%) * (30*10^3  sf"Дж"//sf"c" * 10^5 sf"м")/(46 * 10^6 sf"Дж"//sf"кг" * 700 sf"кг"//sf"м"^3 * 25 sf"м"//sf"с") ~~14,9 sf"л"`.

    Следовательно, расход бензина для автомобиля с указанными характеристиками составляет примерно `15` литров на `100` км пути.

    Задача 3

    При выстреле из ружья стальная дробь массой `m=45` г вылетает со скоростью `v=600` м/с. Считая, что `80%` энергии, высвободившейся при сгорании порохового заряда массой `M=9` г, переходит в кинетическую энергию пули и её внутреннюю энергию, определите, на сколько градусов повысилась температура пули. Удельная теплота сгорания пороха `q=3 sf"МДж"//sf"кг"`, удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж" //(sf"кг" * sf"К")`.

    Решение

    При сгорании пороха массой `M` выделяется энергия (теплота) `Q=qM`, где `q` -удельная теплота сгорания пороха. По условию задачи `80%` этой энергии переходит в кинетическую энергию `K` дроби и её внутреннюю энергию. Следовательно, внутренняя энергия дроби изменяется, и пусть `Delta U` - величина этого изменения. Тогда справедливо следующее соотношение

    `0,8 Q=K+Delta U`.

    Перепишем его, учитывая выражения для кинетической энергии дроби `K=mv^2 //2` и изменения внутренней энергии `Delta U = c_(sf"ст") mDelta t`, где `Delta t` - изменение температуры дроби (искомая величина). Получаем

    `0,8 qM=(mv^2)/(2) +c_sf"ст" mDelta t`.

    Отсюда для изменения температуры находим

    `Delta t= (1,6 qM - mv^2)/(2 c_(sf"ст") m) = 600 sf"К"`.

    Задача 4

    Как велика масса стальной детали, нагретой предварительно до `500^@ "C"`, если при опускании её в калориметр, содержащий `18,6` л воды при температуре `13^@ "C"`, последняя нагрелась до `35^@ "C"`. Теплоёмкостью калориметра и потерями теплоты на испарение воды пренебречь. Удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`.

    Решение

    Во время рассматриваемого теплового процесса стальная деталь массой `M_(sf"ст")` охлаждается от температуры `t_1 =500^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_(sf"ст")`:

    `Q_(sf"ст") = c_(sf"ст") M_(sf"ст") (t_1 -t)`.

    За это же время вода массой `M_sf"в" =18,6` кг нагревается от температуры `t_2 =13^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, получив при этом количество теплоты `Q_(sf"в")`:

    `Q_sf"в" = c_sf"в" M_sf"в" (t-t_2)`.

    Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:

    $$ {Q}_{\mathrm{отд}}={Q}_{\mathrm{ст}}={c}_{\mathrm{ст}}{M}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)={Q}_{\mathrm{пол}}={Q}_{\mathrm{в}}={c}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)$$.

    Здесь учтено, что по условию задачи испарением воды можно пренебречь, т. е. теплота, выделяемая при охлаждении стальной детали, идёт только на нагревание воды.

    Из последнего соотношения для массы стальной детали получаем

    $$ {M}_{\mathrm{ст}}={\displaystyle \frac{{с}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)}{{c}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)}}={\displaystyle \frac{4200 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\mathrm{18,6} \mathrm{кг}·\left(35°\mathrm{C}-13°\mathrm{C}\right)}{500 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\left(500°\mathrm{C}-35°\mathrm{C}\right)}}\approx \mathrm{7,4} \mathrm{кг}$$.

    Задача 5

    В калориметр, где в состоянии теплового равновесия находился мокрый снег (смесь льда и воды) массой `m=250` г, долили `M=1` кг воды при температуре `t_1 =20^@ "C"`. После того, как снег растаял, и установилось тепловое равновесие, в калориметре оказалась вода при температуре `t_2 =5^@ "C"`. Сколько воды содержалось в снегу? Потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра пренебречь.

    Решение

    Конечное агрегатное состояние системы по условию задачи - вода. Мокрый снег (смесь льда и воды при температуре `t_0 =0^@ "C"`) получает теплоту от находящейся в калориметре воды.

    Часть теплоты, подведённой мокрому снегу, идёт на плавление находящегося в снегу льда (пусть масса льда `m_(sf"л")`). Для плавления льда при температуре плавления необходимо количество теплоты `Q_sf"пол,1"`:

    `Q_(sf"пол,1") = m_sf"л" lambda_sf"л"`.

    На нагревание получившейся из мокрого снега воды массой `m=250` г от температуры `t_0 = 0^@ "C"` до температуры `t_2 = 5^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_sf"пол,2"`

    `Q_sf"пол,2" = c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.

    Таким образом, суммарное количество теплоты `Q_sf"пол"`, получаемое мокрым снегом, а затем водой, равно

    `Q_sf"пол"=Q_sf"пол,1" + Q_sf"пол,2"=m_(sf"л") lambda_(sf"л") + c_(sf"в") m (t_2 - t_0)`.

    Вода, первоначально находившаяся в калориметре, охлаждается от температуры `t_1 = 20^@ "C"` до температуры `t_2 =5^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_sf"отд"`

    `Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)`.

    Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:

    `Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)=Q_sf"пол" = m_sf"л" lambda_sf"л" + c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.

    Отсюда для массы  льда, находившегося в мокром снегу, получаем

    `m_sf"л" = (Mc_sf"в" (t_1 - t_2) - mc_sf"в" (t_2 - t_0))/(lambda_sf"л") ~~170 sf"г"`.

    Масса же воды, содержавшейся в мокром снегу, равна `78` г.

    Пример 6

    В холодную воду, взятую в количестве `12` кг, впускают `1` кг водяного пара при температуре `t_sf"п" = 100^@ "C"`. Температура воды после конденсации в ней пара поднялась до `t=70^@ "C"`. Какова была первоначальная температура воды? Потерями теплоты пренебречь.

    Решение

    Попав в холодную воду, пар массой `m_sf"п" = 1` кг конденсируется, выделяя количество теплоты `Q_1 = m_sf"п"L_sf"в"`. Здесь `L_sf"в"` - удельная теплота конденсации водяного пара. Получившаяся при конденсации пара вода охлаждается от температуры  `t_sf"п" =100^@ "C"` до `t=70^@ "C"`, отдавая холодной воде количество теплоты `Q_2 = c_sf"в" * m_sf"п" * (t_sf"п" - t)`.

    Для нагревания холодной воды массы `m_sf"в" =12` кг от начальной температуры `t_sf"в"` до температуры `t=70^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_3 = c_sf"в" * m_sf"в" * (t-t_sf"в")`.

    Составим уравнение теплового баланса для рассматриваемого теплового процесса:

    `Q_sf"отд" = Q_1 + Q_2 = L_sf"в" m_sf"п" + c_sf"в" m_sf"п" (t_sf"п" - t) = Q_sf"пол" = Q_3 = c_sf"в" m_sf"в" (t-t_sf"в")`.

    Решая полученное уравнение, для начальной температуры воды находим:

    `t_sf"в" = t- (L_sf"в" m_sf"п") / (c_sf"в" m_sf"в")  -   (m_sf"п")/(m_sf"в") * (t_sf"п" - t) = 23^@ "C"`.

    Задача 7*

    В калориметр, содержащий `200` г воды при температуре `8^@"C"`, опускают `100` г льда, температура которого равна `-20^@"C"`. Какая температура установится в калориметре? Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

    Решение

    Конечное состояние не очевидно. Требуется анализ.

    Чтобы нагреть массу `m_"л"=0,1` кг льда от `t_"л"=-20^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, надо было бы затратить количество теплоты

    `Q_1=c_"л"m_"л"(t_0-t_"л")=4200` Дж.

    Чтобы расплавить весь лёд при `0^@"C"` потребовалось бы количество теплоты

    `Q_2=lambda_"л"m_"л"=33600` Дж.

    Если вся вода охладится от `t_"в"=8^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, то выделится количество теплоты

    `Q_3=c_"в"m_"в"(t_"в"-t_0)=6720` Дж.

    Сравнивая полученные значения для `Q_1`, `Q_2`, `Q_3`, приходим к выводу, что `Q_3` хватит на нагрев всего льда от `t_"л"` до `t_0` и плавления только части льда массой `m_1`. Уравнение теплового баланса

    `Q_3=Q_1+m_1lambda_"л"`.

    Отсюда

    `m_1=(Q_3-Q_1)/(lambda_"л")=7,5` г.

    Итак, в калориметре будет смесь из `207,5` г воды и `92,5` г льда при `0^@"C"`.




  • §9. Фазовые превращения

    Состояния, в которых может находиться то или иное вещество, можно разделить на так называемые агрегатные состояния: твёрдое, жидкое, газообразное. У некоторых веществ нет резкой границы между различными агрегатными состояниями. Например, при нагревании стекла (или другого аморфного вещества) происходит постепенное его размягчение, и невозможно установить момент перехода из твёрдого состояния в жидкое.

    Вещество может переходить из одного состояния в другое. Если при этом меняется агрегатное состояние вещества или скачком меняются некоторые характеристики и физические свойства вещества (объём, плотность, теплопроводность, теплоёмкость и др.), то говорят, что произошёл фазовый переход – вещество перешло из одной фазы в другую.

    Фазой

    называется физически однородная часть вещества, отделённая от других частей границей раздела.

    Пусть в сосуде заключена вода, над которой находится смесь воздуха и водяных паров. Эта система является двухфазной, состоящей из жидкой фазы и газообразной. Можно сделать систему и с двумя различными жидкими фазами: капелька ртути в сосуде с водой. Капельки тумана в воздухе образуют с ним двухфазную систему.

    Условия равновесия фаз для многокомпонентных веществ, т. е. веществ, состоящих из однородной смеси нескольких сортов молекул, достаточно сложны. Например, для смеси вода – спирт газообразная и жидкая фазы этой смеси при равновесии имеют различные концентрации своих компонент, зависящие от давления и температуры. Ниже будут рассмотрены фазовые превращения только для однокомпонентных веществ.

    При заданном давлении существует вполне определённая температура, при которой две фазы однокомпонентного вещества находятся в равновесии и могут переходить друг в друга при этой температуре. Пока одна фаза полностью не перейдёт в другую, температура будет оставаться постоянной, несмотря на подвод или отвод тепла. Поясним это на примерах.

    Рассмотрим двухфазную систему вода – пар, находящуюся в замкнутом сосуде. При давлении $$ {p}_{0}=1 атм\approx {10}^{5} \mathrm{Па}$$ равновесие между паром и водой наступит при `100^@"C"`. Подвод к системе тепла вызывает кипение – переход жидкости в газ при постоянной температуре. Отвод от системы тепла вызывает конденсацию – переход пара в жидкость. При давлении $$ \mathrm{0,58}{p}_{0}$$ (почти вдвое меньше нормального атмосферного) равновесие между паром и водой наступает при `85^@"C"`. При давлении $$ 2{p}_{0}$$ равновесие фаз достигается при температуре `~~120^@"C"` (такие условия в скороварке).

    Другой пример. Фазовое равновесие между льдом и водой при внешнем давлении $$ {p}_{0}=1 \mathrm{атм}$$ осуществляется, как известно, при `0^@"C"`. Увеличение внешнего давления на одну атмосферу понижает температуру фазового перехода на `0,007^@"C"`. Это значит, что температура плавления льда понизится на эту же незначительную величину.

    Фазовые переходы для однокомпонентного вещества, сопровождающиеся переходом из одного агрегатного состояния в другое, идут с поглощением или выделением тепла. К ним относятся плавление и кристаллизация, испарение и конденсация. Причём, если при переходе из одной фазы в другую тепло выделяется, то при обратном переходе поглощается такое же количество теплоты.

    Чтобы расплавить кристаллическое тело массой $$ m$$, надо подвести количество теплоты

    $$ Q=\lambda ·m$$.                                                                (22)

    Коэффициент пропорциональности $$ \lambda $$ называется удельной теплотой  плавления. Вообще говоря, $$ \lambda $$ зависит от той температуры, при которой происходит фазовый переход (температура плавления). Во многих реальных ситуациях этой зависимостью можно пренебречь.

    Для превращения в пар жидкости массой `m` надо подвести количество теплоты

    $$ Q=r·m$$                                                                                      (23)

    Коэффициент пропорциональности $$ r$$ называется удельной теплотой  парообразования. $$ r$$ зависит от температуры кипения, т. е. от той температуры, при которой осуществляется фазовое равновесие жидкость – пар для заданного давления.

    Значения $$ \lambda $$ и $$ r$$ для разных веществ даются в таблицах обычно для тех температур фазовых переходов, которые соответствуют нормальному атмосферному давлению. При этом в величины $$ \lambda $$ и особенно $$ r$$ входит не только изменение внутренней энергии вещества при переходе одной фазы в другую, но и работа этого вещества над внешними телами при фазовом переходе! Например, удельная теплота парообразования воды при `100^@"C"` и $$ p\approx {10}^{5} \mathrm{Па}$$ на `9//10` состоит из изменения внутренней энергии вода - пар и на `1//10` (чуть меньше) из работы, которую совершает расширяющийся пар над окружающими телами. 

    задача 11

    В латунном калориметре массой $$ {m}_{1}=200 \mathrm{г}$$ находится кусок льда массой $$ {m}_{2}=100 \mathrm{г}$$ при температуре `t_1=-10^@"C"`. Сколько пара, имеющего температуру `t_2=100^@"C"`, необходимо впустить в калориметр, чтобы образовавшаяся вода имела температуру `40^@"C"`?

    Удельные теплоёмкости латуни, льда и воды $$ {c}_{1}=\mathrm{0,4}·{10}^{3 } \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$, 

    $$ {c}_{2}=\mathrm{2,1}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ ,

    $$ {c}_{3}=\mathrm{4,19}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ соответственно; удельная теплота парообразования воды `r=22,6*10^5  "Дж"//"кг"`;

    удельная теплота плавления льда $$ \lambda =\mathrm{33,6}·{10}^{4} \mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$$


    Решение

    При конденсации пара массой $$ m$$ при `100^@"C"` ($$ {T}_{2}=373 \mathrm{К}$$) выделяется количество теплоты $$ {Q}_{1}=rm$$. При охлаждении получившейся воды от $$ {T}_{2}=373 \mathrm{К}$$ до $$ \theta =313 К$$ `(40^@"C")` выделяется количество теплоты $$ {Q}_{2}={c}_{3}m({T}_{2}-\theta ).$$

    При нагревании льда от $$ {T}_{1}=263 \mathrm{К}$$ `(-10^@"C")` до $$ {T}_{0}=273 \mathrm{К}$$ `(0^@"C")` поглощается количество теплоты $$ {Q}_{3}={c}_{2}{m}_{2}({T}_{0}-{T}_{1})$$. При плавлении льда поглощается количество теплоты $$ {Q}_{4}=\lambda {m}_{2}$$. При нагревании получившейся воды от $$ {T}_{0}$$ до $$ \theta $$ поглощается количество теплоты $$ {Q}_{5}={c}_{3}{m}_{2}(\theta -{T}_{0})$$. Для нагревания калориметра от $$ {T}_{1} $$ до $$ \theta $$ требуется количество теплоты $$ {Q}_{6}={c}_{1}{m}_{1}(\theta -{T}_{1})$$. По закону сохранения энергии

    $$ {Q}_{1}+{Q}_{2}={Q}_{3}+{Q}_{4}+{Q}_{5}+{Q}_{6}$$, или

    $$ rm+{c}_{3}m({T}_{2}-\theta )={c}_{2}{m}_{2}({T}_{0}-{T}_{1})+\lambda {m}_{2}+{c}_{3}{m}_{2}(\theta -{T}_{0})+{c}_{1}{m}_{1}(\theta -{T}_{1})$$.

    Отсюда $$ m={\displaystyle \frac{{c}_{2}{m}_{2}({T}_{0}-{T}_{1})+\lambda {m}_{2}+{c}_{3}{m}_{2}(\theta -{T}_{0})+{c}_{1}{m}_{1}(\theta -{T}_{1})}{r+{c}_{3}({T}_{2}-\theta )}}\approx $$

    $$ \approx 22·{10}^{-3} \mathrm{кг}=22 \mathrm{г}$$.

  • §10. Насыщенный пар. Кипение. Влажность

     

    Насыщенным  (насыщающим) паром

    называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью: скорость испарения равна скорости конденсации.

    Давление и плотность насыщенного пара для данного вещества зависят от его температуры и увеличиваются при увеличении температуры.


    Условие кипения жидкости – это условие роста пузырьков насыщенного пара в жидкости. Пузырёк может расти, если давление насыщенного пара внутри него будет не меньше внешнего давления. Итак,

    жидкость кипит при той температуре, при которой давление её насыщенных паров равно внешнему давлению.

    Приведём полезный пример.

    Пример

    Известно, что при нормальном атмосферном давлении `p_0~~10^5  "Па"` вода кипит при `100^@"C"`. Это означает, что давление насыщенных паров воды при `100^@"C"`  равно `p_0~~10^5  "Па"`.

    Пары воды в атмосферном воздухе обычно ненасыщенные. Абсолютной влажностью воздуха называется плотность водяных паров `rho`. Относительной влажностью воздуха называется величина

    `varphi=p/p_"нас"`.                                                                 (24)

    Здесь `p` – парциальное давление паров воды при данной температуре в смеси воздух – пары воды, `p_"нас"` – парциальное давление насыщенных водяных паров при той же температуре. Опыт показывает, что `p_"нас"` зависит только от температуры и не зависит от плотности и состава воздуха.

    Если пар считать идеальным газом, то `p=rho/muRT`, `p_"нас"=(rho_"нас")/muRT`,

    где `rho` и `rho_"нас"` – плотности ненасыщенного и насыщенного водяного пара, `mu=18  "г"//"моль"`. Деление одного уравнения на другое даёт `p/p_"нас"=rho/rho_"нас"`. Итак,

                        `varphi=p/p_"нас"~~rho/rho_"нас"`.                                                                        (25)

    Задача 12

    Воздух имеет температуру `60^@"C"` и абсолютную влажность `50  "г"//"м"^3`. Какой будет абсолютная влажность этого воздуха, если температура понизится до  `10^@"C"`? Известно, что при `10^@"C"` давление насыщенного пара воды `p=1230  "Па"`.

    Решение

    При `10^@"C"` `(T=283  "К")` плотность насыщенных паров воды

    `rho=(mup)/(RT)=9,4*10^(-3)  "кг"//"м"^3=9,4  "г"//"м"^3`.

    Эта величина меньше, чем `50  "г"//"м"^3`. Поэтому часть пара сконденсируется, и абсолютная влажность будет `9,4  "г"//"м"^3`. 

  • §7. Круговые процессы (циклы)

      


    Круговым процессом (или циклом)

    называется термодинамический процесс с телом, в результате совершения которого тело, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние.





    Если все процессы в  цикле  равновесные, то  цикл  считается равновесными. Его  можноизобразить графически, и получится замкнутая кривая. На рис. 7 показан график зависимости давления `p` от объёма `V` (диаграмма $$ p-V$$) для некоторого цикла `1–2–3–4–1`, совершаемого газом. На участке `4–1–2` газ расширяется  и совершает положительную работу `A_1`, численно равную  площади  фигуры $$ {V}_{1}412{V}_{2}$$. На  участке  `2–3–4`  газ сжимается и совершает отрицательную работу $$ {A}_{2}$$, модуль которой равен площади фигуры $$ {V}_{2}234{V}_{1}$$. Полная работа газа за цикл $$ A={A}_{1}+{A}_{2}$$, т. е. положительна  и равна  площади фигуры `1–2–3–4–1`,  изображающей цикл на диаграмме $$ p-V$$.


    Прямым циклом

    называется круговой процесс, в котором тело совершает положительную работу за цикл. Прямой равновесный цикл на диаграмме  $$ p-V$$ изображается замкнутой кривой, которая обходится по часовой стрелке. Пример прямого цикла дан на рис. 7.

    Обратным циклом

    называется круговой процесс, в котором тело совершает отрицательную работу за цикл. На диаграмме $$ p-V$$ замкнутая кривая равновесного обратного цикла обходится против часовой стрелки.


     В любом равновесном цикле работа за цикл равна по модулю площади фигуры, ограниченной кривой на диаграмме $$ p-V$$.


    В  круговом  процессе   тело  возвращается  в  исходное  состояние, т. е.  в  состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: $$ ∆U=0$$. Так как по первому закону термодинамики для всего цикла $$ Q=∆U+A$$, то $$ Q=A$$. Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученной телом за цикл, равна работе тела за цикл.


    На некоторых участках прямого цикла тело получает от окружающих тел количество теплоты $$ {Q}^{+}$$ $$ ({Q}^{+}>0)$$, а на некоторых отдаёт $$ {Q}^{-}$$ т. е. получает отрицательное количество теплоты `«-Q^(-)»` `(Q^(-)>0)`. 


    За цикл тело совершает положительную работу `A`.

    Коэффициентом полезного действия прямого цикла называется величина $$ \eta ={\displaystyle \frac{A}{{Q}^{+}}}$$. 

    Поскольку $$ A={Q}^{+}+(-{Q}^{-})$$, то

    $$ \eta ={\displaystyle \frac{{Q}^{+}-{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}=1-{\displaystyle \frac{{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}$$.                                                 (20)



    Для  обратного  цикла  коэффициент  полезного  действия  не  вводится.