Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи , страница 27

  • §8. Тепловые машины

    Пусть есть тело, называемое рабочим телом, которое может совершать цикл (не обязательно равновесный), периодически вступая в тепловой контакт с двумя телами. Тело с более высокой температурой назовём условно нагревателем, а с более низкой температурой – холодильником. За цикл рабочее тело совершает положительную или отрицательную работу $$ A$$. Такое устройство будем называть тепловой машиной. Тепловая машина, которая служит для получения механической работы, называется  тепловым двигателем. Тепловая машина, служащая для передачи количества теплоты от менее нагретого тела (холодильника) к более нагретому (нагревателю), используя работу окружающих тел над рабочим телом, называется тепловым насосом или холодильной установкой (холодильником). Деление на тепловые насосы и холодильные установки условное, связанное с предназначением этих тепловых машин. Тепловой насос используется для поддержания в помещении температуры, которая выше температуры окружающей среды. Холодильная установка используется для поддержания в некотором объёме  (камере)  температуры  более  низкой, чем снаружи. 




    В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой цикл, а в тепловом насосе и холодильной установке – обратный.


    В тепловом двигателе рабочее тело получает за цикл от нагревателя количество теплоты $$ {Q}^{+}$$ (рис. 8) и отдаёт холодильнику положительное количество теплоты $$ {Q}^{-}$$ (получает от холодильника отрицательное количество теплоты «$$ -{Q}^{-}$$»). При этом за цикл рабочее тело совершает работу $$ A$$. Коэффициентом полезного действия  (КПД)  теплового двигателя называется КПД соответствующего прямого цикла, т. е. отношение совершаемой за цикл работы $$ A$$ к полученному за цикл от нагревателя количеству теплоты $$ {Q}^{+}:$$   


    $$ \eta ={\displaystyle \frac{A}{{Q}^{+}}}$$.


    По первому закону термодинамики, применённому к рабочему телу теплового двигателя за цикл, $$ {Q}^{+}+(-{Q}^{-})=A.$$ Поэтому


     $$ \eta ={\displaystyle \frac{{Q}^{+}-{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}=1-{\displaystyle \frac{{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}$$.


    Видим, что КПД теплового двигателя меньше единицы. Причиной этого является то, что для обеспечения периодичности в работе теплового двигателя необходимо часть тепла, взятого у нагревателя, обязательно отдать холодильнику.


    С. Карно (1796 – 1832) установил, что максимальный КПД теплового двигателя, работающего с нагревателем температуры $$ {T}_{1}$$ и холодильником температуры $$ {T}_{2}$$, независимо от рабочего тела есть 


    $$ \eta =1-{\displaystyle \frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$$.                                                                 (21)


    Это достигается, если рабочее тело совершает цикл Карно, т. е. равновесный цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм с температурами $$ {T}_{1}$$ и $$ {T}_{2}$$. На изотерме с $$ {T}_{1}$$ рабочее тело получает тепло от нагревателя, а на изотерме с $$ {T}_{2}$$ – отдаёт тепло холодильнику. Цикл Карно для идеального газа изображён на рис. 9:  `1-2` и `3-4` – изотермы, `2-3` и  `4-1` – адиабаты.  Тепловая  машина,  работающая   по прямому или обратному циклу Карно, называется идеальной тепловой машиной.


    задача 9

    Газ, совершающий цикл Карно, отдаёт холодильнику `70%` теплоты, полученной от нагревателя. Температура нагревателя $$ {T}_{1}=400 \mathrm{К}$$. Найти температуру холодильника.

    Решение

    Пусть газ получает за цикл от нагревателя количество теплоты $$ {Q}_{1}$$. Тогда холодильник получает от газа количество теплоты $$ \mathrm{0,7}{Q}_{1}$$. Применив первый закон термодинамики для всего цикла, получим, что $$ {Q}_{1}+(-\mathrm{0,7}{Q}_{1})=A$$. Отсюда работа за цикл $$ A=\mathrm{0,3}{Q}_{1}$$ . КПД цикла $$ \eta ={\displaystyle \frac{A}{{Q}_{1}}}=\mathrm{0,3}$$. Поскольку для цикла Карно $$ \eta =1-{\displaystyle \frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$$, то температура холодильника

    $$ {T}_{2}={T}_{1}(1-\eta )=\mathrm{0,7}{T}_{1}=280 \mathrm{К}$$.


    задача 10

    КПД тепловой машины, работающей по циклу (рис. 10), состоящему из изотермы `1 – 2`, изохоры `2 – 3` и адиабатического процесса `3 – 1`, равен $$ \eta $$, а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна $$ ∆T$$. Найти работу, совершённую $$ \nu $$ молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе. 

    Решение

    При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все  участки  цикла, используя первый  закон термодинамики, и выявить  участки, где рабочее  тело получает и где  отдаёт  тепло.

    Проведём мысленно ряд изотерм на диаграмме `p-V`. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле будет на изотерме `1 – 2`, а минимальная в точке `3`. Обозначим их  через $$ {T}_{1}$$ и $$ {T}_{3}$$ соответственно.

    Для  участка `1 – 2` изменение внутренней энергии $$ {U}_{2}-{U}_{1}=0$$. По первому закону термодинамики $$ {Q}_{12}=({U}_{2}-{U}_{1})+{A}_{12}$$. Так как на участке `1 – 2` газ расширялся, то работа газа $$ {A}_{12}>0$$. Значит, и подведённое к газу тепло на этом участке $$ {Q}_{12}>0$$ , причём $$ {Q}_{12}={A}_{12}$$ .          

    На участке `2 – 3` работа газа равна нулю. Поэтому $$ {Q}_{23}={U}_{3}-{U}_{2}$$.  Воспользовавшись записанными выше выражениями для $$ {U}_{3}$$ и $$ {U}_{2}$$ и тем, что $$ {T}_{1}-{T}_{3}=∆T$$, получим Q23=-νcVT<0Q_{23}=-\nu c_V\triangle T<0 . Это означает, что на участке `2 – 3` газ получает отрицательное количество теплоты, т. е. фактически отдаёт тепло.

    На участке `3 – 1` теплообмена нет, т. е. $$ {Q}_{31}=0$$ и по 1-му закону термодинамики $$ 0=({U}_{1}-{U}_{3})+{A}_{31}$$. Тогда работа газа

    $$ {A}_{31}={U}_{3}-{U}_{1}=\nu {c}_{V}\left({T}_{3}-{T}_{1}\right)=-\nu {c}_{V}∆T$$.

    Итак, за цикл газ совершил работу $$ {A}_{12}+{A}_{31}={A}_{12}-\nu {c}_{V}∆T$$ и получил тепло только на участке `1 – 2`. КПД цикла

    $$ \eta ={\displaystyle \frac{{A}_{12}+{A}_{31}}{{Q}_{12}}}={\displaystyle \frac{{A}_{12}-\nu {c}_{V}∆T}{{A}_{12}}}$$.

    Так как $$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$, то работа газа на изотерме

    $$ {A}_{12}={\displaystyle \frac{3\nu R∆T}{2(1-\eta )}}$$.

  • §6. Количество теплоты. Теплоёмкость


    Теплообмен

    Энергия, передаваемая телу окружающей средой (другим телом) без совершения работы, называется количеством теплоты. Такой процесс передачи энергии называется теплообменом.

    Сообщим телу (термодинамической системе) в некотором процессе небольшое количество теплоты Q\triangle Q. Будем считать Q>0\triangle Q>0, если тело получает теплоту, и Q<0\triangle Q<0, если отдаёт теплоту. Температура тела при этом изменяется на величину T\triangle T. При повышении температуры T>0\triangle T>0, при понижении температуры T<0\triangle T<0Теплоёмкостью тела в данном процессе называется величина

      C=QTC=\dfrac{\triangle Q}{\triangle T}                                                                 (12)

    Из определения теплоёмкости не следует, что она должна оставаться постоянной в данном процессе. Теплоёмкость может изменяться в течение процесса.      



    Ясно, что теплоёмкость одного и того же тела может быть положительной, отрицательной, нулевой и даже бесконечной в зависимости от характера процесса. Приведём примеры. Пусть есть газ в цилиндре с поршнем (рис. 6).  Осуществим  с  этим  газом четыре  различных процесса.

    Первый процесс

    Будем подогревать газ, закрепив поршень. В таком процессе, когда объём газа постоянен, Q>0\triangle Q>0 и T>0\triangle T>0. Следовательно, C=Q/T>0C=\triangle Q/\triangle T>0

    Второй процесс

    Передвигаем поршень влево, уменьшая объём газа. Газ будет нагреваться, т. е. T>0\triangle T>0. Дадим возможность газу отдавать тепло через стенки цилиндра окружающей среде так, чтобы температура газа всё же повышалась (поместим цилиндр в более холодную среду).

    Тогда количество теплоты, сообщённое газу, Q<0\triangle Q<0 и теплоёмкость газа в таком процессе отрицательна.

    Третий процесс

    Процесс сжатия газа проведём адиабатически, заключив цилиндр в теплонепроницаемую оболочку и теплоизолировав поверхность поршня от газа. В таком процессе Q=0\triangle Q=0T>0\triangle T>0 и теплоёмкость газа равна нулю.

    Четвёртый процесс

    Будем сообщать газу теплоту, двигая при этом поршень вправо так, чтобы температура оставалась постоянной (изотермический процесс). Тогда  и T=0\triangle T=0 и C=C=\infty.

    Введём понятия удельной и молярной теплоёмкостей.

    Удельная теплоёмкость – теплоёмкость единицы массы тела:

    cуд=QmTc_\mathrm{уд}=\dfrac{\triangle Q}{m\triangle T}.                                                       (13)

    Молярная теплоёмкость – теплоёмкость одного моля тела:

    cμ=QνTc_\mu=\dfrac{\triangle Q}{\nu\triangle T}.                                                  (14)

    Здесь ν\nu – число молей тела, mm – масса тела.

    Очевидно, что знаки удельной и молярной теплоёмкостей совпадают со знаком теплоёмкости тела в данном процессе. Легко показать, что  

    C=mcуд=νсμC=mc_\mathrm{уд}=\nu с_\mucμ=μcудc_\mu=\mu c_\mathrm{уд}.

  • Первый закон термодинамики

    Внутренняя энергия тела (термодинамической системы) может меняться при совершении работы и в процессе теплопередачи. Закон сохранения и превращения энергии, распространённый на тепловые явления, называется первым законом термодинамики (первым началом термодинамики) и записывается в виде

    $$ Q=∆U+A$$.                                                                           (15)

    Здесь $$ Q$$ – количество теплоты, сообщённое системе. $$ Q$$ считается положительным, если система в процессе теплопередачи получает энергию, и отрицательным, если отдаёт энергию, $$ ∆U$$ – изменение внутренней энергии системы, $$ A$$ – работа, совершаемая системой над окружающими телами. В зависимости от характера процесса $$ Q$$, $$ ∆U$$ и $$ A$$ могут быть любого знака и даже нулевыми.

    Покажем, что для любого идеального газа (одноатомного, двухатомного, многоатомного) изменение внутренней энергии $$ ∆U$$ в любом процессе можно находить по формуле

    $$ ∆U=\nu {c}_{V}∆T$$.                                                               (16)

    Здесь $$ Q$$ – изменение температуры в этом процессе, $$ \nu $$ – число молей газа, $$ {c}_{V}$$ – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

    Доказательство

    Для доказательства проведём с газом процесс при постоянном объёме, изменив температуру от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$ $$ (∆T={T}_{2}-{T}_{1})$$. Тогда количество теплоты $$ Q=\nu {c}_{V}·∆T$$, согласно определению теплоёмкости, а работа газа $$ A=0$$, т. к. объём `V="const"`.  По первому закону термодинамики $$ Q=∆U+A$$, и поэтому $$ \nu {c}_{V}∆T=∆U$$. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то в любом другом процессе, когда температура меняется от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$, изменение внутренней энергии находится по формуле, полученной в процессе с `V="const"`.

    У идеального газа при $$ T=0$$ значение внутренней энергии полагается равным нулю. Если считать ещё, что $$ {c}_{V}$$ не зависит от температуры, т. е. `c_V="const"`, то можно записать, что

    $$ U=\nu {c}_{V}T$$                                                                                 (17)

    Найдём значение молярной теплоёмкости при постоянном объёме у одноатомного идеального газа. Поскольку $$ ∆U=\nu {c}_{V}∆T$$ и $$ ∆U={\displaystyle \frac{3}{2}}R\nu ∆T$$, то $$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$. Интересно заметить, что молярная теплоёмкость при постоянном объёме у всех одноатомных  идеальных газов получилась одна и та же:

    $$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$                                                                              (18)

    Оказывается, что молярные теплоёмкости при постоянном объёме у всех двухатомных идеальных газов равны $$ {\displaystyle \frac{5}{2}}R$$, а у трёхатомных и многоатомных  (атомы у которых расположены не на одной прямой) – $$ 3R$$. Удельные же теплоёмкости у всех одноатомных идеальных газов различные и зависят от молярной массы. Аналогично для двухатомных и многоатомных газов. Заметим, что указанные значения молярной теплоёмкости верны, если температура газа не слишком велика, и поэтому колебания атомов в молекуле не учитываются.

    Приведём полезную таблицу с выражениями для молярной теплоёмкости $$ {c}_{V}$$ и средней кинетической энергии `barE` поступательного и  вращательного движений молекулы у одноатомного, двухатомного и многоатомного идеального газа (в этой таблице $$ k$$ – постоянная  Больцмана):


    Газ
    одноатомный двухатомный многоатомный
    `barE` `3/2kT` `5/2kT` `3kT`
    `c_V` `3/2R` `5/2R` `3R`


    В заключение выведем уравнение Роберта Майера

    $$ {c}_{p}={c}_{V}+R$$,                                                                                       (19)

    связывающее молярные теплоёмкости при постоянном давлении $$ {c}_{p}$$ и постоянном объёме $$ {c}_{V}$$ для любого идеального газа.

    Вывод

    Для вывода проведём изобарический процесс с  молями идеального газа, переведя газ из состояния с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{1}$$, $$ {T}_{1}$$ в состояние с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{2}$$, $$ {T}_{2}$$.  По первому закону термодинамики $$ \nu {c}_{p}∆T=\nu {c}_{V}∆T+p∆V$$. Запишем уравнения состояния газа $$ p{V}_{1}=\nu R{T}_{1}$$  и $$ p{V}_{2}=\nu R{T}_{2}$$. Вычтя из одного уравнения другое и учтя, что $$ {V}_{2}-{V}_{1}=∆V$$ и $$ {T}_{2}-{T}_{1}=∆T$$, получим $$ p∆V=\nu R∆T$$. Таким образом, $$ \nu {c}_{p}∆T=\nu {c}_{V}∆T+\nu R∆T$$. Отсюда $$ {c}_{p}={c}_{V}+R$$.

    задача 6

    Теплоизолированный сосуд разделён на две части перегородкой. В одной части находится $$ {\nu }_{1}$$ молей молекулярного кислорода ($$ {\mathrm{O}}_{2}$$) при температуре $$ {T}_{1}$$, а в другом – $$ {\nu }_{2}$$ молей азота ($$ {N}_{2}$$) при температуре $$ {T}_{2}$$. Какая температура установится в смеси газов после того, как в перегородке появится отверстие?

    Решение

    Рассмотрим систему из двух газов. Оба газа двухатомные. У них одинаковая молярная теплоёмкость при постоянном объёме $$ {c}_{V}$$. Система из двух газов не получает тепла от других тел и работы над телами, не входящими в систему, не совершает. Поэтому внутренняя энергия системы сохраняется:

    $$ {\nu }_{1}{c}_{V}{T}_{1}+{\nu }_{2}{c}_{V}{T}_{2}={\nu }_{1}{c}_{v}T+{\nu }_{2}{c}_{V}T$$

    Отсюда температура смеси  

    $$ T={\displaystyle \frac{{\nu }_{1}{T}_{1}+{\nu }_{2}{T}_{2}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}}}$$.

    задача 7

    Идеальный газ массой $$ m=1 \mathrm{кг}$$ находится под давлением $$ P=\mathrm{1,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теплоёмкость газа в этом процессе, если его температура повысилась на $$ ∆T= 2 \mathrm{К}$$, а объём увеличился на $$ ∆V=\mathrm{0,002} {\mathrm{м}}^{3}$$? Удельная теплоёмкость этого газа при постоянном объёме $$ {c}_{\mathrm{уд}V}=700 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$. Предполагается, что изменения параметров газа в результате проведения процесса малы.

    Решение

    Удельная  теплоёмкость в данном  процессе

    $$ {c}_{\mathrm{уд}}={\displaystyle \frac{∆Q}{m∆T}}$$

    По первому закону термодинамики $$ ∆Q=m{c}_{удV}∆T+p∆V$$. Итак,

    $$ {c}_{\mathrm{уд}}={c}_{\mathrm{уд}V}+{\displaystyle \frac{p∆V}{m∆T}}=850 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$.


    задача 8

    В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха. На его нагревание при постоянном давлении затрачено количество теплоты $$ Q=10 \mathrm{кДж}$$. Найти работу, совершённую при этом газом. Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении $$ {c}_{\mathrm{уд}P}={10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ю Молярная масса воздуха $$ \mu =29 \mathrm{г}/\mathrm{моль}$$.

    Решение

    1 способ. Пусть газ перевели из состояния с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{1}$$, $$ {T}_{1}$$ в состояние с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{2}$$, $$ {T}_{2}$$. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для обоих состояний и вычтем из одного уравнения другое. Учитывая, что $$ {V}_{2}-{V}_{1}=∆V$$, $$ {T}_{2}-{T}_{1}=∆T$$, имеем $$ p∆V={\displaystyle \frac{m}{\mu }}R∆T$$. Но $$ p∆V=A$$ – работа газа. Поэтому $$ A={\displaystyle \frac{m}{\mu }}R∆T$$. При изобарическом процессе $$ Q=m{c}_{\mathrm{уд}p}∆T$$.  Окончательно,

    $$ A={\displaystyle \frac{RQ}{\mu {c}_{\mathrm{уд}p}}}\approx \mathrm{2,74}·{10}^{3 } \mathrm{Дж}=\mathrm{2,74} \mathrm{кДж}$$

    2 способ. Согласно уравнению Р. Майера удельные теплоёмкости при постоянном давлениии $$ {c}_{\mathrm{уд}p}$$ и при постоянном объёме $$ {c}_{\mathrm{уд}V}$$ связаны соотношением $$ {c}_{\mathrm{уд}V}={c}_{\mathrm{уд}p}-{\displaystyle \frac{R}{\mu }}$$.  По первому закону термодинамики $$ Q=m{c}_{\mathrm{уд}V}∆T+A$$. Подставляя в последнее равенство $$ m={\displaystyle \frac{Q}{{c}_{\mathrm{уд}}∆T}}$$ и выражение для  $$ {c}_{\mathrm{уд}V}$$ находим `A`.

  • §3. Внутренняя энергия

    Возьмём макроскопическое тело и перейдём в систему отсчёта, связанную с этим телом. В состав внутренней энергии тела входят кинетическая энергия поступательного движения и вращательного движения молекул, энергия колебательного движения атомов в молекулах, потенциальная энергия взаимодействия молекул друг с другом, энергия электронов в атомах, внутриядерная энергия и др.

    Будем рассматривать явления, в которых молекулы не изменяют своего строения, а температура ещё не так велика, чтобы была необходимость учитывать энергию колебаний атомов в молекуле. При таких явлениях изменение внутренней энергии тела происходит только за счёт изменения кинетической энергии молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. Для общего баланса энергии имеет значение не сама внутренняя энергия, а её изменение. Поэтому под внутренней энергией макроскопического тела можно подразумевать только сумму кинетической энергии теплового движения всех молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.

    Внутренняя энергия есть функция состояния тела, и определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние термодинамического равновесия тела.

    Потенциальная энергия взаимодействия молекул идеального газа принимается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа состоит только из кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул и зависит только от температуры. Внутренняя энергия идеального газа от объёма газа не зависит, поскольку расстояние между молекулами не влияет на внутреннюю энергию.

    Потенциальная энергия взаимодействия молекул реальных газов, жидкостей и твёрдых тел зависит от расстояния между молекулами. В этом случае внутренняя энергия зависит не только от температуры, но и от объёма.

    Найдём выражения для внутренней энергии одноатомного идеального газа. Средняя кинетическая энергия одной молекулы этого газа даётся выражением (2). Поскольку в газе массой `m` и молярной массой `mu` содержится ν=mμ\nu=\dfrac m\mu молей и mμNА\dfrac m\mu N_А молекул, то сумма кинетической энергии всех молекул, содержащихся в массе `m` газа, равна

    mμNА·32kT=32mμRT\dfrac m\mu N_А\cdot\dfrac32kT=\dfrac32\dfrac m\mu RT

    где R=kNАR=kN_А – универсальная газовая постоянная.

    Итак, внутренняя энергия одноатомного идеального газа

    U=32mμRT=32νRTU=\dfrac32\dfrac m\mu RT=\dfrac32\nu RT

    Анализ этой формулы подтверждает высказанное выше утверждение, что внутренняя энергия некоторой массы конкретного идеального газа зависит только от температуры.

  • §4. Работа в термодинамике

    Работа, совершаемая термодинамической системой (телом) над окружающими телами, равна по модулю и противоположна по знаку работе, совершаемой окружающими телами над системой.


    При совершении работы часто встречается случай, когда объём тела меняется. Пусть тело (обычно – газ) находится под давлением $$ p$$ и при произвольном изменении формы изменяет свой объём на малую величину $$ ∆V$$. Работа, совершаемая телом над окружающими телами, равна


    `DeltaA=pDeltaV`.                                                                   (11)





    При положительном $$ ∆V$$ (увеличение объёма газа) работа положительна, при $$ ∆V<0$$ – отрицательна. Вывод этого выражения для работы дан в школьном учебнике для частного случая расширения газа, находящегося в цилиндре под поршнем при постоянном давлении.


    Любой равновесный процесс, в котором давление будет меняться по некоторому закону от объёма, можно разбить на последовательность элементарных процессов с достаточно малым изменением объёма в каждом процессе, вычислить элементарные работы во всех процессах и затем все их сложить. В результате получится работа тела (газа) в процессе с переменным давлением. В координатах `p`, $$ V$$ абсолютная величина этой работы равна площади под кривой, изображающей зависимость `p`от $$ V$$ при переходе из состояния `1` в состояние `2` (рис. 4). Математически работа выражается интегралом:   


    `A=int_(V_1)^(V_2) p(V)dV`.


    В изобарном процессе, когда давление `p="const"`, работа тела над окружающими телами $$ A=p∆V$$, где $$ ∆V$$ изменение объёма тела за весь процесс, т. е. $$ ∆V$$ уже не обязательно мало.


    Задача 5

    Газ переходит из состояния с объёмом $$ {V}_{1}$$ и давлением $$ {p}_{1}$$ в состояние с объёмом $$ {V}_{2}$$ и давлением $$ {p}_{2}$$ в процессе, при котором его давление $$ P$$ зависит от объёма $$ V$$ линейно (рис. 5). Найти работу газа (над окружающими телами).


    Решение

    Работа газа равна заштрихованной на рис. 5 площади трапеции:

    $$ A={\displaystyle \frac{1}{2}}({p}_{1}+{p}_{2})({V}_{2}-{V}_{1})$$.


  • §1. Основы молекулярно-кинетической теории

    Под идеальным газом понимают газ, состоящий из молекул, удовлетворяющих двум условиям:

    1) размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними;

    2) силы притяжения и отталкивания между молекулами проявляются только на расстояниях между ними, сравнимых с размерами молекул.

    Молекулы идеального газа могут состоять из одного атома, двух и большего число атомов.

    Для простейшей модели одноатомного идеального газа, представляющей собой совокупность маленьких твёрдых шариков, упруго соударяющихся друг с другом и со стенками сосуда, можно вывести, используя законы механики Ньютона,                                                                       

    основное уравнение молекулярно-кинетической  теории идеального газа: 

    `p=2/3n barE`.                                                                              (1)   

    Здесь `p` – давление газа, $$ n$$ – концентрация молекул (число молекул в единице объёма),  `barE` - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы (сумма кинетической энергии поступательного движения всех молекул в сосуде, делённая на число молекул в сосуде). Вывод этого уравнения дан в школьном учебнике.

    Уравнение (1) оказывается справедливым и для многоатомного идеального газа, молекулы которого могут вращаться и обладать, поэтому, кинетической энергией вращения. Полная кинетическая энергия много-атомной молекулы складывается из кинетической энергии поступательного движения $$ {\displaystyle \frac{E={m}_{0}{v}^{2}}{2}}$$ ($$ {m}_{0}$$ - масса молекулы, $$ v$$ - скорость центра масс молекулы) и кинетической энергии вращения. В случае многоатомного идеального газа в (1) под `barE` подразумевается только средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы: $$ {\displaystyle \frac{\overline{E}={m}_{0}\overline{{v}^{2}}}{2}}$$  где $$ \overline{{v}^{2}}$$ - среднее значение квадрата скорости молекулы.

    Пусть есть смесь нескольких идеальных газов. Для каждого газа можно записать уравнение $$ {p}_{i}={\displaystyle \frac{2}{3}}{n}_{i}{\overline{E}}_{i}$$, где $$ {n}_{i}$$ концентрация молекул - $$ i$$-го газа, $$ {p}_{i}$$ - парциальное давление этого газа (давление при мысленном удалении из сосуда молекул других газов). Поскольку давление на стенку сосуда обусловлено ударами о неё молекул, то общее давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов:

    закон Дальтона

    $$ p=\sum _{i}{p}_{i}$$.

    Температуру можно ввести разными способами. Не останавливаясь на них, отметим, что у идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул `barE` связана с температурой $$ T$$ соотношением:

    $$ \overline{E}={\displaystyle \frac{3}{2}}kT,$$                                                                     (2)

    где $$ k=\mathrm{1,38}·{10}^{-23 }$$ Дж/К - постоянная Больцмана. При этом мы считаем, что движение молекул описывается законами механики Ньютона. В системе СИ температурас $$ T$$ измеряется в градусах Кельвина (К). В быту температуру часто измеряют в градусах Цельсия  ($$ {}^{\circ }\mathrm{C}$$). Температуры, измеряемые по шкале Кельвина $$ T$$ и по шкале Цельсия $$ t$$ связаны численно соотношением: $$ T=t+273$$.

    Итак, температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул: $$ {m}_{0}\overline{{v}^{2}}/2=\frac{3}{2}kT$$.  Величина

    $$ {v}_{\mathrm{кв}}=\sqrt{\overline{{v}^{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3kT}{{m}_{0}}}}$$                                                (3)

    называется средней квадратичной скоростью. Ясно, что $$ {v}_{\mathrm{кв}}=\overline{{v}^{2}}$$. Она характеризует скорость хаотического движения молекул, называемого ещё тепловым движением. Интересно заметить, что средняя квадратичная скорость молекул идеального газа почти не отличается от средней арифметической скорости молекул $$ {v}_{\mathrm{ср}}$$ (среднее значение модуля скорости): $$ {v}_{\mathrm{кв}}\approx \mathrm{1,085}{v}_{\mathrm{ср}}$$. Поэтому под средней скоростью теплового движения молекул идеального газа можно понимать любую из этих скоростей.

  • §2. Уравнение состояния идеального газа

    Связь между давлением, концентрацией и температурой для идеального газа можно получить, исключив `barE` из равенств (1) и (2):

    `p=nkT`.                                                                                              (4)

    Поскольку $$ n={\displaystyle \frac{N}{V}}$$ ($$ N$$ – число молекул в сосуде объёмом $$ V$$), то равенство (4) принимает вид:

    $$ pV=NkT$$.                                                                                    (5)

    Пусть $$ m$$ – масса газа в сосуде, $$ \mu $$ – молярная масса данного газа, тогда $$ \nu ={\displaystyle \frac{m}{\mu }}$$  есть число молей газа в сосуде. Число молекул $$ N$$ в сосуде, число молей газа $$ \nu $$ и постоянная Авогадро $$ {N}_{А}$$ связаны соотношением $$ N=\nu {N}_{А}$$. Подставляя это выражение для $$ N$$ в (5), получаем: $$ pV=\nu {N}_{A}kT$$. Произведение постоянной Авогадро $$ {N}_{А}=\mathrm{6,02}·{10}^{23 }$$ моль$$ {}^{-1}$$ на постоянную Больцмана $$ k$$ называют универсальной газовой постоянной: $$ R={N}_{A}·k\approx \mathrm{8,31}$$  Дж/(моль$$ ·$$К)  Таким образом,

    $$ pV=\nu RT$$.                                                                           (6)

    Это уравнение, связывающее давление `p`, объём  $$ V$$, температуру $$ T$$  (по шкале Кельвина) и число молей идеального газа $$ \nu $$, в записи называется уравнением Менделеева – Клапейрона.

    уравнение Менделеева – Клапейрона

    $$ pV={\displaystyle \frac{m}{\mu }}RT$$                                                                (7)

    Из равенства (7) легко получить зависимость между давлением $$ p$$, плотностью $$ \rho $$ $$ (\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}})$$  и температурой $$ T$$ идеального газа

    $$ p={\displaystyle \frac{\rho }{\mu }}RT$$.                                                                  (8) 

    Каждое из уравнений (5), (6) и (7), связывающих три макроскопических параметра газа `p`, $$ V$$ и $$ T$$  и  называется уравнением состояния идеального газа. Здесь, конечно, речь идёт только о газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, которое означает, что все макроскопические параметры не изменяются со временем.

    Несколько слов о равновесных процессах. Если процесс с идеальным газом (или любой термодинамической системой) идёт достаточно медленно, то давление и температура газа во всём объёме газа успевают выровняться и принимают в каждый момент времени одинаковые по всему объёму значения. Это означает, что газ проходит через последовательность равновесных (почти равновесных) состояний. Такой процесс с газом называется равновесным. Другое название равновесного процесса – квазистатический. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью и поэтому неравновесны. Но в ряде случае неравновесностью можно пренебречь. В равновесном процессе в каждый момент времени температура $$ T$$,  давление `p` и объём $$ V$$ газа имеют вполне определённые значения, т. е. существует зависимость между `p` и $$ T$$, $$ V$$ и $$ T$$, `p` и $$ T$$. Это означает, что равновесный процесс можно изображать в виде графиков этих зависимостей. Неравновесный процесс изобразить графически невозможно.

    Напомним ещё раз, что соотношения (4) – (8) справедливы только для идеальных газов. В смеси нескольких идеальных газов уравнения вида (4) – (8) справедливы для каждого газа в отдельности, причём объём $$ V$$ и температура $$ T$$ у всех газов одинаковы, а парциальные давления отдельных газов и общее давление в смеси связаны законом Дальтона.

    Покажем, что для смеси идеальных газов общее давление `p`, объём $$ V$$, температура $$ T$$ и суммарное число молей  связаны равенством

    $$ pV=\nu RT$$                                                                                 (9)

    которое внешне совпадает с равенством (6) для одного газа.

    Запишем уравнение состояния для каждого сорта газа:

    $$ {p}_{1}V={\nu }_{1}RT$$,

    $$ {p}_{2}V={\nu }_{2}RT$$,

    $$ \dots \dots \dots $$

    Сложив все уравнения и учтя, что $$ \nu ={\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\cdots $$ и $$ p={p}_{1}+{p}_{2}+\cdots $$
    (по закону Дальтона), получим (9).

    Для смеси идеальных газов можно записать уравнение

    $$ pV={\displaystyle \frac{m}{{\mu }_{\mathrm{ср}}}}RT$$                                                          (10)

    аналогичное уравнению (7) для одного газа. Здесь `p` – давление в смеси, $$ V$$ – объём смеси, $$ m={m}_{1}+{m}_{2}+\cdots $$ – масса смеси, $$ T$$ – температура смеси,   $$ {\mu }_{\mathrm{ср}}={\displaystyle \frac{m}{\nu }}$$средняя молярная масса смеси, состоящей из $$ \nu ={\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\cdots $$ молей.

    Действительно, равенство (9) для смеси идеальных газов можно записать в виде $$ pV={\displaystyle \frac{m}{{\displaystyle m/\nu }}}RT$$ Учитывая, что $$ {\displaystyle \frac{m}{\nu }}$$ есть $$ {\mu }_{\mathrm{ср}}$$ получим (10). Например, средняя молярная масса атмосферного воздуха, в котором азот $$ ({\mu }_{{N}_{2}}=28 \mathrm{г}/\mathrm{моль})$$  преобладает над кислородом $$ ({\mu }_{{O}_{2}}=32 \mathrm{г}/\mathrm{моль})$$ равна `29` г/моль

    Поведение реальных газов при достаточно низких температурах и больших плотностях газов уже плохо описывается моделью идеального газа.

    Задача 1

     В  сосуде объёмом `4` л находится `6` г газа под давлением  `80` кПа. Оценить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

    Решение

     В задаче $$ V=4 \mathrm{л}=4·{10}^{-3} {\mathrm{м}}^{3}$$, $$ m=6 \mathrm{г} =6·{10}^{-3} \mathrm{кг}$$,  $$ p=80 \mathrm{кПа}=8·{10}^{4} \mathrm{Па}$$.  Запишем уравнение состояния газа `pV=NkT`.

    Если через $$ {m}_{0}$$ обозначить массу молекулы, то $$ N={\displaystyle \frac{m}{{m}_{0}}}$$; $$ {\displaystyle \frac{{m}_{0}{v}_{\mathrm{кв}}^{2}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}kT$$.  Исключая из записанных уравнений  $$ N$$ и $$ T$$ находим среднюю квадратичную скорость

    $$ {v}_{\mathrm{кв}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3pV}{m}}}=400 \mathrm{м}/\mathrm{с}$$.

    задача 2

    Идеальный газ изотермически расширяют, затем изохорически нагревают и изобарически возвращают в исходное состояние. Нарисовать графики этого равновесного процесса в координатах  $$ p,V$$; $$ V,T$$; $$p,T$$.

    Решение

    Построим график в координатах $$ p,V$$. В процессе изотермического расширения из состояния `1` в состояние `2` зависимость давления газа $$ p$$ от объёма $$ V$$ имеет вид: $$ p={\displaystyle \frac{\nu RT}{V}}$$,  что следует из уравнения состояния идеального газа. Поскольку температура $$ T$$ постоянна, то $$ p={\displaystyle \frac{\mathrm{const}}{V}}$$, т. е. изотерма `1–2` является гиперболой (рис. 1). В дальнейшем при изохорическом нагревании `V="const"` и зависимость $$ p$$ от $$ V$$ изображается   в  координатах   отрезком  вертикальной  прямой `2-3`. 

    Изобарический процесс изображается отрезком горизонтальной прямой `3–1`. Графики этого процесса в других координатах строятся аналогично и приведены на рис 2 и 3.

    задача 3

     В сосуде находится смесь `10` г углекислого газа и `15` г азота. Найти плотность этой смеси при температуре `27^@"C"` и давлении `150` кПа  Газы считать идеальными.


    Решение

     $$ {m}_{1}=10 \mathrm{г}={10}^{-2} \mathrm{кг}$$ – масса  углекислого газа,  $$ {m}_{2}=15 \mathrm{г} =15·{10}^{-3} \mathrm{кг}$$  –  масса азота;

    $$ {\mu }_{1}=44{\displaystyle \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}}=44·{10}^{-3} {\displaystyle \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}}$$,

    $$ {\mu }_{2}=28 {\displaystyle \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}}=28·{10}^{-3}{\displaystyle \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}}$$ – молярные массы углекислого газа и азота; температура и давление $$ T=300 \mathrm{К}$$, $$ p=\mathrm{1,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$.   

    Запишем уравнение состояния для каждого газа:  $$ {p}_{1}V={\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}}RT$$, $$ {p}_{2}V={\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}}RT$$. 

    Сложив эти уравнения и учтя, что по закону Дальтона  $$ p={p}_{1}+{p}_{2}$$, получим 

    $$ pV=({\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}})RT$$.

    Следует отметить, что последнее уравнение можно было бы записать и сразу, если воспользоваться готовым результатом (9).

    Выразим из полученного уравнения объём смеси $$ V$$ и подставим его в выражение для плотности смеси $$ \rho =({m}_{1}+{m}_{2})/V$$. Окончательно,

    $$ \rho ={\displaystyle \frac{({m}_{1}+{m}_{2})p}{({\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}})RT}}\approx \mathrm{1,97} \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^{3}\approx \mathrm{2,0} \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^{3}$$.


    задача 4

    При комнатной температуре четырёхокись азота частично диссоциирует на двуокись азота: $$ {\mathrm{N}}_{2}{\mathrm{O}}_{4}\to 2{\mathrm{NO}}_{2}$$. В откачанный сосуд объёмом $$ V= 250 {\mathrm{см}}^{3}$$ вводится $$ m=\mathrm{0,92} г$$ жидкой четырёх окиси азота. Когда температура в сосуде увеличивается до `t=27^@"C"`, жидкость полностью испаряется, а давление становится равным $$ p=129 \mathrm{кПа}$$. Какая часть четырёх окиси азота при этом диссоциирует?

    Решение

    Пусть диссоциирует масса $$ {m}_{1}$$. Тогда парциальное давление двуокиси азота $$ {p}_{1}={\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}V}}RT$$, где $$ {\mu }_{1}=46·{10}^{-3} \mathrm{кг}/\mathrm{моль}$$.  Парциальное давление четырёх окиси азота $$ {p}_{2}={\displaystyle \frac{m-{m}_{1}}{{\mu }_{2}V}}RT$$, где $$ {\mu }_{2}=92·{10}^{-3} \mathrm{кг}/\mathrm{моль}$$.

    По закону Дальтона $$ p={p}_{1}+{p}_{2}$$. Подставив в последнее равенство выражения для $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2}$$, получаем:

    $$ {m}_{1}={\displaystyle \frac{{\mu }_{1}({\displaystyle \frac{pV}{RT}}{\mu }_{2}-m)}{{\mu }_{2}-{\mu }_{1}}}\approx \mathrm{0,27} \mathrm{г}$$.

  • §6. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии

    В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия  между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения)  импульсами и энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

    Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль. С такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

    Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии  требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

    Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.

    Неупругие столкновения

    Пример 14

    Два куска пластилина массами `m_1` и `m_2`, летящие со скоростями `vecv_1` и `vecv_2` слипаются. Найдите наибольшее `Q_max` и наименьшее количество `Q_min` теплоты, которое может выделиться в результате абсолютно неупругого соударения.

    Решение

    Рассмотрим абсолютно неупругое соударение («слипание») тел, движущихся в ЛСО скоростями `vecv_1` и `vecv_2` соответственно. В процессе абсолютно неупругого соударения импульс системы сохраняется.

    `m_1vecv_1+m_2vecv_2=(m_1+m_2)vecv`.

    Отсюда находим скорость составного тела

    `vecv=(m_1vecv_1+m_2vecv_2)/(m_1+m_2)`.

    Закон сохранения энергии принимает вид

    `(m_1vecv_1^2)/2+(m_2vecv_2^2)/2=((m_1+m_2)*vecv)/2+Q`.

    Из приведенных соотношений находим убыль кинетической энергии

    `Q=(m_1*m_2*(vecv_2-vecv_1)^2)/(2(m_1+m_2))=1/2 mu(vecv_2-vecv_1)^2`,

    здесь `mu=(m_1m_2)/(m_1+m_2)` - приведенная масса системы тел.

    Итак, при абсолютно неупругом соударении во внутреннюю энергию переходит кинетическая энергия тела приведенной массы, движущегося с относительной скоростью.

    Убыль механической энергии достигает наибольшей величины

    `Q_max=(m_1*m_2*(vecv_2-vecv_1)^2)/(2(m_1+m_2))=1/2 mu(v_1+v_2)^2` 

    при `vecv_1 uarr darr vecv_2`.

    Убыль механической энергии будет наименьшей

    `Q_min=(m_1*m_2*(vecv_2-vecv_1)^2)/(2(m_1+m_2))=1/2 mu(v_2-v_1)^2` 

    при `vecv_1 uarr uarr vecv_2`.

    Упругие столкновения

    Пример 15

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкая шайба массой `M`. На него налетает гладкая шайба массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шайб. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб после соударения. При каком условии налетающая шайба будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

    Решение

    Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шайб в момент соударения. Внешние силы, действующие на  шайбы в  процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шайб в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса   `m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.

    Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем `mv = mv_(1x) + Mv_2`,  здесь учтено, что направление скорости `vecv_1` налетающей шайбы после соударения не известно. По закону сохранения энергии

    `(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.

    Полученные соотношения перепишем в виде

    `m(v - v_(1x)) = Mv_2`,

    `m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.

    Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`,  `m(v - v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид

    `v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,   `v_2 = (2m)/(m + M) v`.

    Налетающая шайба будет двигаться после соударения в прежнем направ­лении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`,  т. е. если масса налетающей шайбы больше массы по­коящейся шайбы.

    Пример 16

    Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями `vecv_1` и `vecv_2`. Найдите скорости `vecv_1^'` и `vecv_2^'` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.

    Решение

    Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при  этом ось `Ox` направлена по линии  центров шайб в момент соударения (рис. 16).

    В  течение  времени  соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия  сохраняется 

    `vecp_1 + vecp_2 = vecp_1^' + vecp_2^'`,      

    здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_1^' = m_1 vecv_1^'`, `vecp_2^' = m_2 vecv_2^'` - импульсы шайб до и после соударения.

    Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внут­ренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) =  p_(2y)^'`  находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения

     `vecv_(1y)^' = v_(1y)`,   `v_(2y)^' = v_(2y)`,

    т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.

    Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

    `(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.

    С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после со­ударения последнее равенство принимает вид

    `(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.

    Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям им­пульсов шайб на ось  `Ox`

    `m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.

    Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упру­гом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохра­нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагае­мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разде­лить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линей­ному уравнению

    `v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.

    Решая систему из двух последних уравнений, находим

    `v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,

    `v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.

    Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения

     `v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`,      `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`, 

    а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_1^'` и `vecv_2^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`:

    `bbb"tg"  alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`,   `bbb"tg"  alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.

    Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц).

  • §7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

    Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

    `m Delta vec v = vec F Delta t`.

    Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

    `m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

    Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

    `Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 - m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`

    и работы равнодействующей

    `Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

    на этом перемещении.

    Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории,  приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

    Теорема

    На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

    `K_2 - K_1 = sum_i A_i`.

    Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии $$ A=-\left({П}_{2}-{П}_{1}\right)$$.

    Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

    Теорема

    $$ \left({П}_{2}+{K}_{2}\right)-\left({П}_{1}+{K}_{1}\right)=$$`sum_i A_(i  sf"непотенц")`,

    т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

    Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

    Это утверждение -  закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

    Пример 17

    На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 >  "tg"  alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < "tg"  alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?

    Решение

    По условию `mu_2 < "tg"  alpha`, `mu_1 > "tg" alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf"тр"2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона

    `F_(sf"тр"1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,

    лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

    приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно $$ {П}_{2}-{П}_{1}=-mgH$$,

    приращение кинетической энергии  `K_2 - K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

    `A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H - h)/(sin alpha) - mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =`

    `=- (mg)/("tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2) h)`.

    По теореме об изменении полной механической энергии

    $$ \left({K}_{2}+{П}_{2}\right)-\left({K}_{1}+{П}_{1}\right)={A}_{12}$$.

    В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/("tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2 )h)`.

    Отсюда `H = (mu_1 - mu_2)/("tg"  alpha - mu_2) h`.

  • §5. Сохранение импульса системы материальных точек

    Из теоремы об изменении  импульса системы  материальных  точек `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = sum_i vecF_i` следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:

    если  `sum_i vecF_i = vec 0`, то `vecP_("c")` остаётся неизменным по величине и на­правлению;

    если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(c,x) = "const"`.  

    Наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по вели­чине импульса системы `|sum_i vecF_i| Delta t < < |vecP_("c") (t)|`, то из равенства

    `Delta vecP_("c") = vecP_("c") (t + Delta t) - vecP_("c") (t) = (sum_i vecF_i) Delta t`

    следует `Delta vecP_("c") ~~ vec 0`, т. е. сохранение импульса на рассматриваемом интер­вале времени `vecP_("c") (t + Delta t) = vecP_("c") (t)`.

    Пример 10

    Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетевшее из пушки ядро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком? 

    Решение

    Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний из перечисленных случаев сохранения импульса системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» действуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что импульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `m vecv_0` ядра  непосредственно перед  «посадкой». Тогда скорость `vecv_0` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vecv_1` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы

    `m vecv_0 = 6m vecv_1`,

    так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления  начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря, барону предстоит пройти пешком!

    Пример 11

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной  `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой.  На какое расстояние `S` переместится  соломинка?

    Решение

    Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции

    `Delta vecP_("c") = M Delta vecv_1 + m Delta vecv_2 = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,

    здесь `vecv_1` - скорость соломинки, `vecv_2` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции  равна нулю. Тогда импульс системы  «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:

    `M vecv_1 + m vecv_2 = vec 0`.

    Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей `vecv_2 = vecv_1 + vec u`, здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим `v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x')`.

    С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x')) = 0`, т. е. в любой момент времени  

    `v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x')`.  

    Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x' = u_(x') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением `Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x'`.

    Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос за­дачи 

    `S = m/(m + M) L`.

    Пример 12

    Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис. 12). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к мо­менту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.

                    

    Решение

    Рассмотрим систему тел «клин + грузы» (рис. 13).

    На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры

    `Delta vecP_("c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`. 

    Проекции  сил  тяжести и нормальной  реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная состав­ляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`,

    здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизон­тальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vecv_("г") = vecv_("к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с  клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + m(v_(x,sf"к") + u_(x')) = 0`.

    Отсюда находим связь проекций скорости

    `v_(x,sf"к") = - m/(6m) u_(x') = - u_(x')/6`

    и  элементарных перемещений:

    `Delta x_sf"к" =- (Delta x')/6`,

    где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x'` - проекция перемеще­ния лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи

    `S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.

    Пример 13

    По клину массой `M`, находящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, скользит шайба массой `m`. Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`.  Определите величину  `a_1` ускорения  клина.

    Решение

    Для определения ускорения клина рассмотрим движение каждого  из  тел. Силы,  приложенные к  телам,  указаны  на рис. 14.

              

    Запишем второй закон Ньютона для клина `M veca_1 = M vec g + vec P + vec R` и для шайбы `m veca_2 = m vec g + vec N`.

    Переходя к проекциям сил и ускорений на оси ЛСО с учётом `vec P =- vec N` получаем    

    `Ma_(1x) = N sin alpha`,  `ma_(2x) =- N sin alpha`,  `ma_(2y) =- mg + N cos alpha`.

    Скорость `vecv_2`  шайбы в ЛСО, скорость `vec u` шайбы относительно клина и скорость `vecv_1` клина связаны законом сложения скоростей  `vecv_2 = vecv_1 + vec u`. Дифференцируя это равенство по времени находим связь соответствующих ускорений `veca_2 = veca_1 + veca_("отн")`. Из треугольника ускорений (рис. 15) следует

    `bbb"tg" alpha = (a_(2y))/(a_(2x) - a_(1x))`.

    Подставляя в последнее равенство выражения для проекций ускорения шайбы

    `a_(2x) =- M/m a_(1x)`   и   `a_(2y) =- g + a_(1x) M/m "ctg"  alpha`,

    после несложных преобразований приходим к ответу на вопрос задачи

     `a_(1x) = 1/2 (m sin 2 alpha)/(M + m sin^2 alpha) g`.

    Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения.

    Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона, и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.


  • §3. Законы Ньютона. Импульс или количество движения материальной точки

    В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

    Система отсчёта, в которой  любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

    1-й закон:

    инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

    2-й закон: 

    в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

    `Delta vec p = vec F * Delta t`.

    Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в  данной системе отсчёта:

    `vec p = m * vec v`.

    `vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки  за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:

    в ИСО приращение импульса материальной точки  равно импульсу силы.

    Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

    в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

    `vec a = vec F/m`.

    Действительно, если масса тела остаётся неизменной, то

    `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v = vec F Delta t`.

    С учётом равенства `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности приведённых формулировок второго закона.

    Далее в Задании представлены задачи, иллюстрирующие применение законов Ньютона и их следствий: теорем об изменении импульса и энергии в механике.

    3-й закон:

    при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

    `vecF_(12) = - vecF_(21)`.

    Третий закон Ньютона - это совокупность утверждений:

    1. силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

    2. эти силы равны по величине,

    3. они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

    Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на  другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

    Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

    `(Delta vec p)/(Delta t) = vec(F)`.

    Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

    Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы;

    выбрать инерциальную систему отсчёта,

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы,

    составить уравнение динамики,

    перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления,

    решить полученную систему.

    Рассмотрим характерные примеры.

    Пример 4

    К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени `t_1 = 10  sf"с"` горизонтальную силу величиной `F = 5  sf"H"`. После прекращения действия силы тело движется до остановки `t_2 = 40  sf"с"`. Определите величину `F_sf"тр"` силы трения скольжения, считая её постоянной.

    Решение

    На рис. 4 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона

    `(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_("тр") + vec F`.

    Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

    `Delta p_x = (F - F_sf"тр" ) Delta t`

    и в процессе торможения `(F = 0)`

    `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`.

    Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки

    `sum Delta p_x = sum_(0 <= t <=t_1) (F - F_sf"тр" )Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (- F_sf"тр") Delta t`.

    Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда

    `p_(x  sf"конечн") - p_(x  sf"начальн") = (F - F_sf"тр") t_1 + (- F_sf"тр") t_2`. 

    С учётом равенств `p_(x  sf"конечн") = 0`, и `p_(x  sf"начальн") = 0` независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:

    `F_sf"тр" = (t_1)/(t_1 + t_2) F = (10)/(10 + 40) * 5 = 1  sf"H"`.

    На ЕГЭ и олимпиадах в вузах РФ регулярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с привычными для школьника силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело действует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.

    Пример 5

    Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v_0 = 10  sf"м/с"`, упал на землю. В момент падения скорость меньше начальной по величине на `delta = 0,3`. Найдите продолжительность `T` полёта мяча. Силу сопротивления считайте пропорциональной скорости `vec F =- k vec v`, `k > 0`.

    Решение

    Согласно  второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы

    `m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`,

    переходя к проекциям сил и приращения скорости  на вертикальную ось, получаем

    `m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.

    Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`,  и перепишем  последнее соотношение в виде,

    `m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * Delta y`.

    Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`

    `m * (sum Delta v_y) =- mg * (sum Delta t) - k * (sum Delta y)`.

    Переходя к конечным приращениям, получаем

    `m (v_y (T) - v_y (0)) =- mg(T - 0) - k(y(T) - y (0))`.

    Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое `y(T) - y(0) = 0`.

    Тогда `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha =- mgT`.

    Отсюда находим продолжительность полёта мяча 

    `T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5  sf"с"`.

    В следующем  примере  рассматривается удар, в ходе которого две  очень большие силы,  «согласованно»  действуют во взаимно перпендикулярных направлениях

    Пример 6

    Кубик, движущийся поступательно со скоростью `v` (рис. 5) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с  шероховатой  вертикальной  стенкой. Коэффициент трения скольжения кубика по стенке `mu` и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика  в  результате  соударения не изменяется по величине.

                              

    Решение

    Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 6. По второму закону Ньютона

    `Delta vec p = (m vec g + vec(N_sf"Г") + vec(F_sf"тр") + vec(N_sf"В")) * Delta t`.

    Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

    `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`,  `Delta p_y = N_sf"В" Delta t`.

    Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

    `sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t`.

    В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"В"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения

    `sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.

    Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для  этого  просуммируем  приращения  `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t =- mu N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

    `sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha =- sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.

    Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

    Далее считая, `v_x (tau) > 0`,  получаем `bbb"tg"  beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

    Далее рассмотрим две характерные задачи динамики равномерного движения по окружности.

    Пример 7

    Массивный шарик, подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Расстояние  от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика.

    Решение

    Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r = L sin alpha` - радиус окружности (рис. 7), по которой движется шарик со скоростью `v`.

    Заметим,  что `H = L cos alpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `m vec g` и сила натяжения `vec F` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение, по величине равное `a = (4 pi^2)/(T^2) r`.

    В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона `m vec a = vec F + m vec g`. При таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена  к центру окружности. Тогда, переходя  в уравнении движения к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `Ox`, `Oy` инерциальной системы отсчёта, а к проекциям сил и ускорения на два направления, а именно: на подвижное направление -направление внутренней нормали к траектории, считая положительным направление к центру  окружности,

    `m * (4 pi^2)/(T^2) r = F sin alpha`,

    и на вертикаль `0 = F cos alpha - mg`.

    Исключив из этих соотношений силу натяжения,  приходим к ответу

    `T = 2 pi sqrt(H/g)`.

    Период обращения конического маятника зависит только от расстояния от точки подвеса до плоскости движения.

    Пример 8

    Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l = 30  sf"см"` ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r = 20  sf"см"`. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через  центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha = 30^@`?   

    Решение

    Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три силы: сила тяжести `m vec g`, сила натяжения `vec T` нити  и сила Архимеда `vec F` (рис. 8).

    Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик `rho_sf"ш"`, плотность воды `rho_sf"в"`, и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём  воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_(A,z)` уравновешивает  силу  тяжести,  действующую на жидкость  в  рассматриваемом объёме, горизонтальная составляющая `F_(A,r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_(A,z) = rho_sf"в" Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине равна `F_(A,r) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса `(r - l sin alpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `m vec a = m vec g + vec T + vec F`, переходя к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось, находим

    `rho _sf"в" Vg - rho_sf"ш" Vg - T cos alpha = 0`,

    проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

    `rho _sf"ш" V omega^2 (r - l sin alpha) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha) - T sin alpha`.

    Исключая `T` из двух последних соотношений, находим искомую угловую скорость

    `omega = sqrt((g  bbb"tg"  alpha)/(r - l sin alpha)) ~~ 10,7 sf"с"^-1`.

  • §4. Импульс системы материальных точек. Теорема об изменении импульса системы материальных точек

    Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2``...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vecv_1`, `vecv_2``...`. Импульсом `vecP_("c")` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих  систему, `vecP_("c") = vecp_1 + vecp_2 + ...`.

    Найдём скорость `(Delta vecP_("c"))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку  действуют суммарной силой `vecF_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vecf_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vecF_2`, и внутренняя сила `vecf_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем

    `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = (Delta vecp_1)/(Delta t) + (Delta vecp_2)/(Delta t) = (vecF_1 + vecf_(12)) + (vecF_2 + vecf_(21))`.

    По третьему закону Ньютона `vecf_(12) + vecf_(21) = vec 0`,  и мы приходим к теореме об  изменении импульса системы  материальных  точек

    `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = vecF_1 + vecF_2`,

    скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

    Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы  взаимодействующих  тел,  если  нет  никаких других внешних сил. В этом - его более глубокое физическое содержание.

    Пример 9

    Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по  поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 9), с которыми клин действует на опору.


    Решение

    По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vecR_1 =- vecF_("тр"` и силой нормальной реакции `vecR_2 =- vecN_("г")`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 10). Силы `vec(F_sf"тр")` и `vec(N_sf"г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок»  и  определяют скорость  изменения импульса этой системы.

              

    Импульс `vecP_("c")` системы направлен по скорости бруска и по величине  равен  произведению массы бруска на его скорость `vecP_("c") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 11):

    `(Delta vecp)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf"тр"`.

    Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N`, получаем

    `(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`,  `(Delta p_x)/(Delta t) = mg(sin alpha - mu cos alpha)`.

    По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»

    `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vecN_("г") + vecF_("тр")`.

    Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное  и вертикальное  направления с учётом 

    Pc,x~=pxcosαP_{c,\widetilde x}=p_x\cos\alpha,  Pc,y~=-pxsinαP_{c,\widetilde y}=-p_x\sin\alpha,

    получаем

    Pc,x~t=pxcosαt=mgsinα-μcosαcosα=Fтр\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde x}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(p_x\cos\alpha\right)}{\triangle t}=mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\cos\alpha=F_\mathrm{тр},

    Pc,y~t=-pxsinαt=-mgsinα-μcosαsinα=-M+mg+Nг\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde y}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(-p_x\sin\alpha\right)}{\triangle t}=-mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\sin\alpha=-\left(M+m\right)g+N_\mathrm г.

    Отсюда находим искомые силы

    `R_1 = F_sf"тр" = mg(sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,

    `R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha) sin alpha`.



  • §1. Введение

    Настоящее задание посвящено основным законам механики - законам Ньютона и их следствиям: законам изменения и сохранения импульса и энергии материальной точки и систем материальных точек. Повторение этих разделов вызвано двумя причинами: первая обусловлена важностью этих законов в физике; вторая  причина связана с тем, что в течение учебного года учащиеся 11 класса примут участие в олимпиадах разных уровней, а по завершении учебного года будут сдавать ЕГЭ. К контрольным мероприятиям следует готовиться. Задание адресовано тем, кто хочет восстановить и углубить свои знания по механике в рамках курса физики средней школы. Поэтому наряду с простыми задачами рассмотрены и достаточно сложные, техника решения которых порой недостаточно подробно обсуждается в школьном курсе физики.

    Обращаем внимание читателя, что перед работой с Заданием ему следует изучить (повторить) соответствующие разделы школьного учебника и выполнить упражнения, представленные в учебнике.

    Механика - наука, изучающая движение тел и способы описания движения и взаимодействия тел.  Для описания механического движения следует выбрать систему отсчёта, представляющую собой тело отсчёта, с которым неподвижно связывают систему координат, и часы для регистрации положения точки в различные моменты времени.

    В механике Ньютона, т. е. при рассмотрении движений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, показания неподвижных и движущихся часов считаются одинаковыми.

    Выбор систем отсчёта диктуется соображениями удобства и простоты описания движения.

    Для математически точного описания движения используются модели физических тел. Материальная точка - модель тела, применяемая в механике в тех случаях, когда размерами тела можно пренебречь по сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматривается движение тела. В геометрии для описания таких тел используется понятие точки. Положение материальной точки в пространстве определяется положением изображающей её геометрической точки. Единственная механическая (негеометрическая) характеристика материальной точки - её масса.

  • §2. Кинематика

    Рассмотрение задач описания движения традиционно начинается с кинематики. Так называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Начнём с равномерного движения.

    Пример 1

    Корабль `A` и торпеда `B` в некоторый момент времени находятся на расстоянии `l = 1  sf"км"`  друг от друга (см. рис. 1). Скорость корабля  `v_1 = 10  sf"м/с"`, угол `alpha = 60^@`. Скорость торпеды `v_2 = 20  sf"м/с"`. При каком угле  `beta` торпеда попадёт в цель?

    Решение

    По условию цель и торпеда в лабораторной системе отсчёта движутся равномерно, их радиусы векторы зависят от времени по закону

    `vecr_1 (t) = vecr_(01) + vecv_1 t`, 

    `vecr_2 (t) = vecr_(02) + vecv_2 t`

    Перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём (точка `A`) и движущуюся поступательно относительно лаборатории. В этой системе положение торпеды (точки `B`)  в любой момент времени определяется вектором

    `vec rho (t) = vecr_(2)(t) - vecr_(1) (t) = (vecr_(02) - vecr_(01)) + (vecv_2 - vecv_1)t`.

    Отсюда следует, что  в подвижной системе торпеда движется  по прямой, проходящей через её начальное положение, определяемое вектором `vecrho_0 = vecr_(02) - vecr_(01)`, а направляющим вектором прямой является относительная скорость `vec u = vecv_2 - vecv_1`. Такая прямая проходит через начало отсчёта подвижной системы (торпеда попадает в цель) в том случае, когда векторы `vecrho_0` и `vec u` антипараллельны. В рассматриваемой задаче это выполняется при равенстве проекций скоростей `vecv_1` и `vecv_2` на перпендикуляр к `vecrho_0`, т. е. к  `AB`,  `v_1 sin alpha = v_2 sin beta`.

    Отсюда `sin beta = (v_1)/(v_2) sin alpha = (10)/(20) sin 60^@ = (sqrt3)/4 ~~ 0,43`,   `beta ~~25,5^@`.

    Обратимся к равнопеременному движению. Как известно, в этом случае зависимости скорости и перемещения от времени имеют вид

      `vec v (t) = vecv_0 + vec a t`,   `vec r (t) = vecr_0 + vecv_0 t + (vec a t^2)/2`.

    Среди всевозможных случаев равнопеременного движения особое место занимает движение под действием гравитационных сил - свободное падение тел в однородном поле тяжести с постоянным ускорением `vec a = vec g`. Из второго соотношения следует, что при свободном падении вектор перемещения `vec r (t) - vec(r_0)` материальной точки за время от `0` до `t` равен сумме векторов `vecv_0 t` и `(vec g t^2)/2`. Это означает, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, есть суперпозиция равномерного прямолинейного движения со скоростью  `vecv_0` и свободного падения в однородном поле тяжести `vec g` с нулевой начальной скоростью.

    Пример 2

    Пушка расположена у основания склона, образующего с горизонтом угол `alpha = 30^@`. Под каким углом `beta` к склону следует произвести выстрел с начальной скоростью `v_0 = 100  sf"м/с"` так, чтобы дальность полёта снаряда вдоль склона была наибольшей? Найдите эту максимальную дальность `S_max`.

    Здесь и далее в Задании ускорение свободного падения `g = 10  sf"м/с"^2`. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

    Решение

    Перемещение снаряда  за время `T` полёта равно

    `vec r (T) = vecv_0 T + (vec g T^2)/2`,

    (считаем `vecr_0 = vec 0`).  Изобразим эти векторы на рисунке 2.

    Проекции векторов `vecv_0 T` и `(vec g T^2)/2` на направление нормали к склону равны по величине

    `v_0 T sin beta = (gT^2)/2 cos alpha`.

    Отсюда находим продолжительность `T` полёта мяча `T = (2 v_0)/(g) (sin beta)/(cos alpha)`. Дальность `S` полёта равна алгебраической сумме проекций векторов `vecv_0 T` и `(vec g T^2)/2`  на  склон `S = v_0 T cos beta - (gT^2)/2 sin alpha`.

    С учётом выражения для времени полёта последнее соотношение перепишем в виде

    `S = (v_0^2)/(g cos^2 alpha) (sin (alpha + 2 beta) - sin alpha)`.

    Отсюда следует, что наибольшей дальности соответствует такой угол `beta`, при котором множитель в скобках в последнем соотношении принимает наибольшее значение, т. е.

    `sin (alpha + 2 beta) = 1`,  `alpha + 2 beta = pi/2`,  `beta = 1/2 (pi/2 - alpha) = 1/2 (pi/2 - pi/6 ) = pi/6`.

    Отсюда следует, что выстрел следует производить по биссектрисе угла между склоном и вертикалью. В этом случае дальность полёта наибольшая и равна

    `S_max = (v_0^2 (1 - sin alpha))/(g cos^2 alpha) ~~ 670 sf"м"`.

    Пример 3

    Камень брошен со скоростью `v_0 = 20  sf"м/с"` под углом `alpha = 60^@` к горизонту. Найдите радиус `R` кривизны траектории в окрестности точки старта. Через какое время `tau` после старта вектор скорости повернётся на  `varphi = 1^@`?

    Решение

    Известно, что движение точки по окружности с постоянной  по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в  любой момент  времени направлен к центру окружности, а его величина постоянна и определяется, например,  по одной из формул

    `a_n = (v^2)/R = v omega = ((2pi)/(T))^2 R`.

    Естественное обобщение этого результата для движения по произвольной криволинейной траектории состоит в следующем: неравномерное движении по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей, радиус каждой из которых можно вычислять по формуле `R = (v^2)/(a_n)`. Эту величину называют  радиусом кривизны траектории в малой окрестности рассматриваемой точки.

    Для решения задачи воспользуемся соотношениями `R = (v^2)/(a_n)`,  `omega = (a_n)/v`.

    В  малой окрестности точки старта `v = v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vec g` на нормаль к траектории (рис. 3)

    `a_n = g * cos alpha`.

    Из преведённых соотношений находим радиус кривизны траектории в малой окрестности точки старта

    `R = (v_0^2)/(g cos alpha) = (20^2)/(10 * 0,5) = 80  sf"м"`,

    и угловую скорость, с которой в этой окрестности вращается вектор скорости,

    `omega = (g cos alpha)/(v_0)`.

    Тогда время поворота вектора скорости на угол `varphi = pi/(180) ~~ 0,017` рад будет равно 

    `tau = varphi/omega = (varphi * v_0)/(g * cos alpha) = (0,017 * 20)/(10 * 0,5) ~~ 0,07  sf"с"`.





  • §10. Молекулярно-кинетический смысл температуры

    Найдём связь между средней кинетической энергией $$ \overline{E}$$ поступательного движения молекулы газа и его температурой $$ T$$. Учитывая соотношение $$ n=N/V$$  перепишем уравнение (12) в виде:

    $$ pV=2N\overline{E}/3$$.

    Сравнивая полученное уравнение с уравнением Менделеева–Клапейрона:

    `pV=nuRT=NRT//N_"A"`,

    получаем для средней кинетической энергии $$ \overline{E}$$:

    $$ \overline{E}={\displaystyle \frac{{m}_{0}\overline{{v}^{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{R}{{N}_{\mathrm{A}}}}T={\displaystyle \frac{3}{2}}kT$$,

    где $$ k=\mathrm{1,38}·{10}^{-23} \mathrm{Д}\mathrm{ж}\mathrm{/}\mathrm{К}\mathrm{ }\mathrm{-}$$ постоянная Больцмана. С учётом этого соотношения выражение (12) для давления можно записать в виде:

    `p=nkT`.                                                                               (13)

    В состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия поступательного движения любых молекул имеет одно и то же значение, т. е. средняя кинетическая энергия молекул обладает основным свойством температуры – в состоянии теплового равновесия она одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, а также для различных молекул газовой смеси. Величину $$ \overline{E}$$ можно принять поэтому за меру температуры газа. В этом и состоит физический смысл температуры с молекулярно-кинетической точки зрения.

    Скорость хаотического (теплового) движения молекул характеризуется средней квадратичной скоростью:

    $$ {v}_{\mathrm{с}\mathrm{р}\mathrm{.}\mathrm{к}\mathrm{в}}=\sqrt{\overline{{v}^{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3kT}{{m}_{0}}}}$$.                                        (14)

    Дополнительно хочется отметить, что:

    `barE_"полн"~kT`,

    где в $$ {\overline{E}}_{\mathrm{полн}}$$ входит средняя кинетическая энергия поступательного, вращательного, колебательного и других движений молекулы. Более того, в классической термодинамике эта пропорциональность справедлива не только для газообразных, но и для жидких и твёрдых тел и сред.

    Таким образом, ещё раз напоминаем, температура есть мера средней кинетической энергии молекул. В этом и состоит молекулярно-кинетический смысл температуры. В частности при температуре $$ T=0 \mathrm{К}$$ прекращается всякое тепловое движение молекул.

    10.1 Примеры решений
    (МКТ идеального газа)

    Задача 10

    Определить массу водорода $$ \left({\mathrm{H}}_{2}\right)$$ и концентрацию молекул, содержащихся в сосуде вместимостью $$ V=20 \mathrm{л}$$ при давлении $$ p=\mathrm{2,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$ и температуре $$ t=27{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения всех молекул водорода, а также среднюю квадратичную скорость молекул.

    Решение

    Для определения массы водорода воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

    \[m = pVM/(RT) = 4\ \mathrm{г}\]

    Концентрацию $$ n$$ водорода найдём, воспользовавшись одним из уравнений молекулярно-кинетической теории идеального газа:

    \[p = nkT, n = p/(kT) = 6\cdot 10^{25}\ \mathrm{м}^{-3}\].

    Здесь $$ k=\mathrm{1,38}·{10}^{-23} \mathrm{Д}\mathrm{ж}\mathrm{/}\mathrm{К} -$$ постоянная Больцмана.

    Средняя квадратичная скорость молекул водорода:

    $$ {v}_{\mathrm{с}\mathrm{р}\mathrm{.}\mathrm{к}\mathrm{в}}=\sqrt{\overline{{v}^{2}}}=\sqrt{\frac{3kT}{{m}_{0}}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\approx 1934 \mathrm{м}\mathrm{/}\mathrm{с}$$.

    При выводе использованы соотношения $$ R=k{N}_{\mathrm{A}}$$ и $$ M={m}_{0}{N}_{\mathrm{A}}$$, где $$ {N}_{\mathrm{A}} -$$ число Авогадро, $$ {m}_{0} -$$масса одной молекулы водорода.

    При получении значения средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул водорода можно рассуждать следующим образом. Средняя кинетическая энергия `varepsilon` поступательного движения одной молекулы определяется выражением $$ \varepsilon =3kT/2$$. Если в сосуде находится $$ N$$ молекул, то их суммарная энергия $$ \overline{E}$$ равна $$ \overline{E}=N\varepsilon =3NkT/2$$.

    Число молекул в сосуде даётся выражением $$ N=\nu {N}_{\mathrm{A}}=(m/M){N}_{\mathrm{A}}$$. Используя это выражение, для величины $$ \overline{E}$$ имеем:

    $$ \overline{E}={\displaystyle \frac{3}{2}}NkT={\displaystyle \frac{3}{2}}·{\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_{\mathrm{A}}kT={\displaystyle \frac{3}{2}}·{\displaystyle \frac{m}{M}}·RT={\displaystyle \frac{3}{2}}pV=7500 \mathrm{Дж}$$.

    Задача 11*

    Используя молекулярно-кинетическую теорию идеального газа, оцените площадь купола парашюта. Масса парашютиста со снаряжением $$ m=100 \mathrm{кг}$$. Скорость снижения $$ v=5 \mathrm{м}\mathrm{/}\mathrm{с}$$. Условия нормальные $$ (p={10}^{5} \mathrm{Па},T=273 \mathrm{К})$$. Молярная масса воздуха $$ {M}_{\mathrm{В}}=29 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.

    Решение

    Сила сопротивления воздуха, действующая на купол равна:

    $$ F={\displaystyle \frac{∆p}{∆t}}$$,

    где `Delta p` - импульс, переданный молекулами воздуха куполу за время `Delta t`.

    Задачу о столкновении молекулы воздуха с куполом парашюта можно рассматривать как известную задачу из механики об упругом столкновении лёгкого тела с массивным подвижным телом.

    Будем считать купол плоской площадкой, площадью $$ S$$, перемещающийся со скоростью $$ v$$. В таком предположении импульс, переданный куполу одной молекулой, равен $$ 2{m}_{0}v$$. За время `Delta t` на купол набежит количество молекул $$ N$$, содержащихся в объёме `V = Sv Delta t`.

    Отсюда получаем:

    $$ ∆p=N·2{m}_{0}v=2{m}_{0}vnV=2{m}_{0}vSv∆T=2{m}_{0}nS{v}^{2}∆t$$.

    Полагая $$ {m}_{0}={\displaystyle \frac{{M}_{\mathrm{В}}}{{N}_{\mathrm{A}}}}$$ и используя уравнения МКТ $$ (p=nkT,R=k·{N}_{\mathrm{A}})$$, получаем:

    $$ ∆p=2{\displaystyle \frac{{M}_{\mathrm{В}}}{{N}_{\mathrm{A}}}}·{\displaystyle \frac{p}{kT}}·S{v}^{2}∆t=2{\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{В}}}{RT}}S{v}^{2}∆t$$.

    Отсюда $$ F={\displaystyle \frac{∆p}{∆t}}=2{\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{В}}}{RT}}S{v}^{2}$$.   (Заметим, что $$ {\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{В}}}{RT}}=\rho $$).  

    Так как купол движется равномерно, то сила сопротивления равна силе тяжести парашютиста $$ mg$$. Тогда:

    `S=(mgRT)/(2pM_"B"v^2)=`

    `=(100  "кг"*10  "м"//"с"^2*8,3  "Дж"/("моль"*"К")*273  "К")/(2*10^5  "Па"*0,029  "кг"/"моль"*(5  "м"//"с")^2)~~15,6  "м"^2`.

    Полученный в рамках данной модели результат хорошо согласуется с техническими характеристиками парашютных систем «Талка-3» – $$ 16 {\mathrm{м}}^{2}$$ и «Фламинго» – $$ 15 {\mathrm{м}}^{2}$$.

    Вопросы и задачи, отмеченные знаком *, относятся к задачам повышенной сложности.


  • §8. Примеры решения задач
    Задача 1*

    Органическое соединение массой $$ m=716 \mathrm{мг}$$, имеющее формулу $$ ({\mathrm{C}}_{3}{\mathrm{H}}_{6}\mathrm{O}{)}_{n}$$, при давлении $$ p={10}^{5} \mathrm{Па}$$ и температуре $$ t=200{}^{\circ }\mathrm{C}$$ занимает в газообразном состоянии объём $$ V=243 {\mathrm{см}}^{3}$$. Найдите $$ n$$.

    Решение

    Для молярной массы $$ M$$ этого соединения имеем:

    M=3n·MC+6n·MH+n·MOM = 3n\cdot M_\mathrm C + 6n\cdot M_\mathrm H + n\cdot M_\mathrm O,

    где $$ {M}_{\mathrm{C}}=12 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$, $$ {M}_{\mathrm{H}}=1 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$  и $$ {M}_{\mathrm{O}}=16 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь} -$$ молярные массы углерода $$ \left(\mathrm{C}\right)$$, водорода $$ \left(\mathrm{H}\right)$$ и кислорода $$ \left(\mathrm{O}\right)$$, соответственно.

    Подставляя выражение для $$ M$$ в уравнение состояния идеального газа, для $$ n$$ находим:

    $$ n={\displaystyle \frac{mRT}{pV(3{M}_{\mathrm{C}}+6{M}_{\mathrm{H}}+{M}_{\mathrm{O}})}}=$$

    $$ ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,716}·{10}^{-3} \mathrm{кг}·\mathrm{8,31}\mathrm{Д}\mathrm{ж}/(\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}·\mathrm{K})·473 \mathrm{K}}{{10}^{5} \mathrm{Па}·\mathrm{0,243}·{10}^{-3} {\mathrm{м}}^{3}·58·{10}^{-3} \mathrm{к}\mathrm{г}/\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}}=2$$.


    Задача 2

    Бутылка, наполненная воздухом, плотно закрыта пробкой площадью сечения `S=2,5  "см"^2`. До какой температуры `t_2` следует нагреть воздух, чтобы пробка вылетела из бутылки, если максимальная сила трения, удерживающая пробку, `F=12  "Н"`? Начальное давление воздуха в бутылке и наружное давление одинаковы и равны `p=100` кПа, начальная температура `t_1=-3^@"C"`.

    Решение

    В момент начала движения пробки разность сил давления, действующих на пробку, равна максимальной силе трения

    p~S-pS=F\stackrel{~}{p}S-pS=F.

    Отсюда находим давление газа

    p~=p+FS\stackrel{~}{p}=p+\frac{F}{S}

    в бутылке в этот момент. При изохорическом нагревании давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре (закон Шарля)

    pT1=p~T2\frac{p}{{T}_{1}}=\frac{\stackrel{~}{p}}{{T}_{2}}.

    Из приведенных соотношений приходим к ответу на вопрос задачи

    `t_2=(t_1+273)(F/(pS)+1)-273~~127^@"C"`.

    Задача 3*

    При нагревании идеального газа была получена зависимость давления от температуры, изображённая на рис. 7. Определите, что производилось во время нагревания газа: сжатие или расширение? T -T\ - абсолютная температура.


    Решение

    Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся приёмом, основанном на вспомогательных построениях. 

    График изохорного процесса в координатах $$ p,T$$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Угловой коэффициент этой прямой обратно пропорционально зависит от объёма.

    Проведём две изохоры, одна из которых проходит через точку $$ 1$$, вторая – через $$ 2$$ (рис. 8). Первая изохора соответствует объёму $$ {V}_{1}$$ в состоянии $$ 1$$, вторая – объёму $$ {V}_{2}$$ в состоянии $$ 2$$. Видно, что первая изохора идёт круче второй, следовательно, её угловой коэффициент больше. Это, в свою очередь, означает, что $$ {V}_{1}<{V}_{2}$$ т. е. при переходе из состояния $$ 1$$ в состояние $$ 2$$ газ расширялся.


    Задача 4

    В вертикально расположенном цилиндре с гладкими стенками сечением $$ S$$ под поршнем массой $$ m$$ находится воздух при температуре $$ {T}_{1}$$. Когда на поршень положили груз массой $$ M$$, расстояние от него до дна цилиндра уменьшилось в $$ n$$ раз. На сколько повысилась температура воздуха в цилиндре? Атмосферное давление $$ {p}_{0}$$.

    Решение

    В первой ситуации на поршень действуют две силы, направленные вертикально вниз (сила тяжести $$ mg$$ и сила давления атмосферы $$ {p}_{0}S$$), и направленная вертикально вверх сила давления со стороны воздуха под поршнем $$ {p}_{1}S$$. Из равенства нулю равнодействующей этих сил (условие механического равновесия поршня) для начального давления $$ {p}_{1}$$ воздуха находим:

    $$ {p}_{1}={p}_{0}+{\displaystyle \frac{mg}{S}}$$.

    Рассуждая аналогичным образом, для давления $$ {p}_{2}$$ воздуха во второй ситуации (на поршень положили дополнительный груз массой $$ M$$) имеем:

    $$ {p}_{2}={p}_{0}+{\displaystyle \frac{(m+M)g}{S}}$$.

    Пусть $$ {H}_{1}$$ и H2 -H_2\ - расстояния от дна цилиндра до поршня в начале и в конце опыта. Тогда для начального $$ \left({V}_{1}\right)$$ и конечного $$ \left({V}_{2}\right)$$ объёмов воздуха можно записать: V1=H1S, V2=H2SV_1 = H_1S,\ V_2 = H_2 S.

    С учётом полученных соотношений уравнения Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний воздуха принимают вид:

    $$ {p}_{1}{V}_{1}=\left({p}_{0}+{\displaystyle \frac{mg}{S}}\right){H}_{1}S=\nu R{T}_{1}, {p}_{2}{V}_{2}=\left({p}_{0}+{\displaystyle \frac{(m+M)g}{S}}\right){H}_{2}S=\nu R{T}_{2}$$,

    где ν -\nu\ - число молей воздуха в цилиндре. Учитывая, что объём воздуха уменьшился в $$ n$$ раз $$ ({H}_{2}={H}_{1}/n)$$, для отношения температур воздуха находим:

    $$ {\displaystyle \frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}}={\displaystyle \frac{\left({p}_{0}+\frac{mg}{S}\right){H}_{1}S}{\left({p}_{0}+\frac{(m+M)g}{S}\right){H}_{2}S}}={\displaystyle \frac{n\left({p}_{0}+\frac{mg}{S}\right)}{\left({p}_{0}+\frac{(m+M)g}{S}\right)}}$$.

    Теперь для изменения температуры $$ \Delta T={T}_{2}-{T}_{1}$$  получаем:

    $$ \Delta T={T}_{1}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}-1+{\displaystyle \frac{Mg}{n({p}_{0}S+mg)}}\right)$$.

    Заметим, что воздух будет нагреваться, если выражение в скобках больше нуля.


    Задача 5

    $$ U$$-образная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения с вертикально расположенными коленами заполняется ртутью так, что в каждом из открытых колен остаётся слой воздуха длиной L=320 ммL = 320\ \mathrm{мм} (рис. 9). Затем правое колено закрывается небольшой пробкой. Какой максимальной длины слой ртути можно долить в левое колено, чтобы она не выливалась из трубки? Опыт производится при постоянной температуре, внешнее давление составляет $$ 720$$ мм рт. ст.  (МФТИ, $$ 2000$$ г.)

    Решение

    Пусть S -S\ - площадь сечения трубки. Тогда, после того как правое колено закрыли пробкой, между пробкой и ртутью оказался заперт воздух, занимающий объём $$ {V}_{1}=SL$$ при давлении $$ {p}_{1}=720$$ мм рт. ст. Равновесное состояние этого воздуха описывается уравнением Менделеева–Клапейрона p1V1=p1SL=νRTp_1 V_1 = p_1 SL = \nu RT, где ν\nu – число молей воздуха,  T -T\ - его температура.

    При доливании в левое колено максимально возможного количества ртути оно будет заполнено ртутью полностью, т. е. уровень ртути поднялся на $$ L$$, а в правом колене уровень ртути поднимется на некоторую высоту $$ h$$. Таким образом, полная высота столбика ртути, долитой в трубку, равна $$ L+h$$.

    Ртуть в трубке находится в равновесии. Условием равновесия является равенство давлений в точках, расположенных в правом и левом коленах на одном горизонтальном уровне. Выберем уровень, проходящий на расстоянии $$ L$$ от верхнего края трубки. Давление в левом колене $$ {p}_{\mathrm{л}}={p}_{1}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gL$$, где $$ {p}_{1}$$ – атмосферное давление на открытую поверхность ртути.

    Давление в правом колене $$ {p}_{\mathrm{п}}={p}_{2}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gh$$, где $$ {p}_{2}$$ – давление воздуха, запертого в правом колене. Тогда условие равновесия ртути в трубке можно записать следующим образом:

    $$ {p}_{\mathrm{л}}={p}_{1}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gL={p}_{\mathrm{п}}={p}_{2}+{\rho }_{\mathrm{рт}}gh$$.

    Новое равновесное состояние запертого в правом колене воздуха описывается уравнением:

    p2V2=p2S(L-h)=νRTp_2V_2 = p_2S(L-h) = \nu RT.

    Используя составленные соотношения, получаем квадратное уравнение для определения $$ h$$:

    p2S(L-h)=p1+ρртg(L-h)S(L-h)=p1SLp_2S(L-h) = \left(p_1 + \rho_\mathrm{рт}g(L-h)\right)S(L-h) = p_1SL,

    решая которое, находим: h=80 ммh = 80\ \mathrm{мм} (второй корень уравнения (h=1280 мм)(h = 1280\ \mathrm{мм}) не удовлетворяет условию задачи). Следовательно, в трубку можно долить слой ртути максимальной высотой L+h=400 ммL+h = 400\ \mathrm{мм}.


    Задача 6

    Горизонтально расположенный сосуд постоянного внутреннего сечения и длины $$ L$$ разделён теплонепроницаемой подвижной перегородкой (рис. 10). В одной части сосуда находится азот, в другой гелий. В первоначальном состоянии температура газов $$ 300 \mathrm{К}$$, а объём, занимаемый гелием, в два раза больше объёма азота. Затем температуру азота повышают до $$ 600 \mathrm{К}$$. На какое расстояние переместится перегородка? Толщина перегородки много меньше $$ L$$. Трением между поршнем и стенками сосуда  пренебречь.


    Решение

    Найдём начальное положение перегородки $$ {l}_{1}$$ (отсчёт ведётся от левого края сосуда (см. рис. 10):

    $$ {\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}={\displaystyle \frac{S{l}_{1}}{S(L-{l}_{1})}}\Rightarrow {l}_{1}={\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}{1+{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}L\Rightarrow {l}_{1}={\displaystyle \frac{1}{3}}L$$,

    где $$ {V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}$$ и $$ {V}_{{1}_{\mathrm{He}}}$$ – начальные объёмы азота и гелия, $$ S$$ – площадь поперечного сечения сосуда.

    Так как перегородка подвижна и теплонепроницаема, то давление в левой и правой частях сосуда будет одинаково, температура азота поднимется от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$ (по условию), а температура гелия остаётся неизменной $$ {T}_{1}$$.

    Запишем уравнения Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний, и найдём конечное отношение объёмов азота и гелия ( $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2}$$ – начальные и конечные давления в сосуде, $$ {\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}$$ и $$ {\nu }_{\mathrm{He}}$$ – количества азота и гелия, $$ {V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}$$ и $$ {V}_{{2}_{\mathrm{He}}}$$ – конечные объёмы азота и гелия).

    В начальном состоянии:

    $$ \left\{\begin{array}{lc}{p}_{1}{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}& ={\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}R{T}_{1}\\ {p}_{1}{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}& ={\nu }_{\mathrm{He}}R{T}_{1}\end{array}\right.\Rightarrow {\displaystyle \frac{{{\nu }_{\mathrm{N}}}_{2}}{{\nu }_{\mathrm{He}}}}={\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{{\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}}{{\nu }_{\mathrm{He}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

    В конечном состоянии:

    $$ \left\{\begin{array}{lc}{p}_{2}{V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}& ={\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}R{T}_{2}\\ {p}_{2}{V}_{{2}_{\mathrm{He}}}& ={\nu }_{\mathrm{He}}R{T}_{1}\end{array}\right.\Rightarrow {\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}={\displaystyle \frac{{\nu }_{{\mathrm{N}}_{2}}}{{\nu }_{\mathrm{He}}}}·{\displaystyle \frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{{V}_{{1}_{{\mathrm{N}}_{2}}}}{{V}_{{1}_{\mathrm{He}}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{600 \mathrm{К}}{300 \mathrm{К}}}=1$$.

    Конечное положение перегородки:

    $$ {l}_{2}={\displaystyle \frac{{V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{2}_{\mathrm{He}}}}{1+{V}_{{2}_{{\mathrm{N}}_{2}}}/{V}_{{2}_{\mathrm{He}}}}}L\Rightarrow {l}_{2}={\displaystyle \frac{1}{2}}L$$,

    Смещение перегородки `Delta l`:

    `Delta l = l_2 - l_1 =1/2 L -1/3 L =1/6 L`. 

    Итак, перегородка сместится на `1/6 L`  вправо.


    Задача 7

    Воздушный шар, наполненный водородом $$ \left({\mathrm{H}}_{2}\right)$$ имеет объём $$ V=100 {\mathrm{м}}^{3}$$. Чему равна подъёмная сила шара у поверхности Земли? Давление и температура водорода и окружающего воздуха одинаковые и составляют соответственно $$ 760$$ мм рт. ст. и $$ 20{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Оболочка шара тонкая и имеет массу $$ 9 \mathrm{кг}$$, молярная масса воздуха $$ {M}_{\mathrm{возд}}=29 \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.

    Решение

    Подъёмная сила шара равна разности силы Архимеда (выталкивающей силы), действующей на аэростат со стороны окружающего его воздуха, и силы тяжести, действующей на оболочку шара и водород внутри него: $$ {F}_{\mathrm{под}}={F}_{\mathrm{арх}}-{F}_{\mathrm{тяж}}$$.

    Для силы Архимеда имеем:

    $$ {F}_{\mathrm{арх}}={\rho }_{\mathrm{возд}}gV,$$  где  $$ {\rho }_{\mathrm{возд}}={\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{возд}}}{RT}}$$.

    Здесь $$ p -$$ давление воздуха, $$ {M}_{\mathrm{возд}}$$ – его молярная масса, $$ T$$ – температура. Учитывая уравнение состояния водорода, для силы тяжести, действующей на оболочку шара и водород, получаем:

    $$ {F}_{\mathrm{тяж}}=(m+{m}_{\mathrm{вод}})g=(m+{\rho }_{\mathrm{вод}}V)g=\left(m+{\displaystyle \frac{p{M}_{\mathrm{вод}}V}{RT}}\right)g$$,

    где $$ m$$ – масса оболочки, $$ {M}_{\mathrm{вод}}$$ – молярная масса водорода. Теперь для подъёмной силы находим:

    $$ {F}_{\mathrm{под}}=\left({\displaystyle \frac{pV({M}_{\mathrm{возд}}-{M}_{\mathrm{вод}})}{RT}}-m\right)g\approx 1020 \mathrm{H}$$.


    Задача 8 

    В баллоне находится смесь газов, содержащая $$ 524 \mathrm{г}$$ ксенона, $$ 16 \mathrm{г}$$ гелия и $$ 71 \mathrm{г}$$ молекулярного хлора $$ \left({\mathrm{Cl}}_{2}\right)$$. Найти молярную массу этой смеси.

    Решение

    По определению молярной массы:

    $$ {M}_{\mathrm{смеси}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{смеси}}}{{\nu }_{\mathrm{смеси}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{Xe}}+{m}_{\mathrm{He}}+{m}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}{{\nu }_{\mathrm{Xe}}+{\nu }_{\mathrm{He}}+{\nu }_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{Xe}}+{m}_{\mathrm{He}}+{m}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}{\frac{{m}_{\mathrm{Xe}}}{{M}_{\mathrm{Xe}}}+\frac{{m}_{\mathrm{He}}}{{M}_{\mathrm{He}}}+\frac{{m}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}{{M}_{{\mathrm{Cl}}_{2}}}}}$$

    $$ {M}_{\mathrm{смеси}}={\displaystyle \frac{524 \mathrm{г}+16 \mathrm{г}+71 \mathrm{г}}{\frac{524 \mathrm{г}}{131 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}+\frac{16 \mathrm{г}}{4 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}+\frac{71 \mathrm{г}}{71 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}}}}\approx 68 \mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.

    Задача 9

    При изотермическом сжатии `18  "г"` водяного пара при температуре `T=373  "К"` его объём уменьшился в `4` раза, а давление возросло вдвое. Найти начальный объём пара.

    Решение

    При сжатии часть газа сконденсировалась, и оставшийся пар стал насыщенным. При температуре `T=373  "К"`, т. е. `100^@"C"`, его давление `p~~10^5  "Па"`. Уравнение Менделеева – Клапейрона для начального состояния `p/2V=m/muRT`, где `mu=18` `"г"//"моль"`.

    Отсюда `V=(2mRT)/(mup)~~62*10^(-3)  "м"^3=62  "л"`.

  • §9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

    9.1. Модель идеального газа в молекулярно-кинетической теории

    Законы идеальных газов, найденные опытным путём, находят довольно простое объяснение в молекулярно-кинетической теории (МКТ). Она исходит при этом из упрощённых представлений о строении газа. Это обусловлено рядом причин, в частности, неточным знанием сил взаимодействия между молекулами. Однако, как оказывается, даже такая упрощённая модель газа позволяет найти уравнение состояния, правильно описывающее его поведение.

    В молекулярно-кинетической теории принимается следующая идеализированная модель газа идеальный газ. Молекулы газа считаются твёрдыми, абсолютно упругими шариками, причём размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними. Это означает, что собственный суммарный объём молекул значительно меньше объёма сосуда, в котором находится газ. Взаимодействие между молекулами проявляется только при непосредственном столкновении их друг с другом. Между столкновениями молекулы движутся по инерции. Движение молекул подчиняется законам механики Ньютона.

    Для нахождения уравнения состояния газа необходимо сделать ещё важное упрощающее предположение, а именно, считать движение любой молекулы газа беспорядочным, хаотичным.

    Аккуратный вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа требует принимать во внимание ряд моментов, например, наличие в газе молекул, движущихся с разными по величине скоростями, столкновения молекул между собой, характер столкновения отдельной молекулы со стенкой сосуда (упругий или неупругий).  В разделе 7.3 будет рассмотрен упрощённый вариант вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории.

    9.2. Давление идеального газа

    Давление, которое оказывает газ на стенку сосуда, есть результат ударов молекул газа о стенку. Если бы в сосуде содержалось всего несколько молекул, то их удары следовали бы друг за другом редко и беспорядочно. Поэтому нельзя было бы говорить ни о какой регулярной силе давления, действующей на стенку. Стенка подвергалась бы отдельным практически мгновенным бесконечно малым толчкам. Если же число молекул в сосуде очень велико, то велико и число ударов их о стенку сосуда. Одновременно о стенку сосуда ударяется громадное количество молекул. Очень слабые силы отдельных ударов складываются при этом в значительную по величине и почти постоянную силу, действующую на стенку. Среднее по времени значение этой силы, отнесённое к единичной площадке, и есть давление газа, с которым имеет дело термодинамика.

    Пусть в сосуде объёма $$ V$$ находятся $$ N$$ одинаковых молекул идеального газа, а $$ {m}_{0}$$ – масса одной молекулы. В рамках молекулярно-кинетической теории показывается, что давление $$ p$$  газа определяется выражением:

    p=m0nv2¯/3p = m_0n\bar{v^2}/3,                                                                 (11)

    где $$ n=N/V$$ – концентрация молекул газа, v2¯\bar{v^2} – среднее значение квадрата скорости молекулы. Выражение (11) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.

    Заметим, что величина m0v2¯/2m_0\bar{v^2}/2 есть средняя кинетическая энергия E¯\bar{E} поступательного движения молекулы. Поэтому полученную формулу можно представить в другом виде:

    p=2nE¯/3p = 2n\bar E / 3.                                                                        (12)

    Ниже приводится один из способов вывода уравнения (11). Данный раздел при первом прочтении можно пропустить. 

    9.3* Вывод основного уравнения МКТ идеального газа

    Вычислим среднее давление газа на стенку сосуда. 

    Для простоты будем считать, что удар молекулы о стенку происходит абсолютно упруго, а сама стенка идеально гладкая и молекула после удара отражается от неё под тем же углом, под каким она падала на стенку (см. рис. 11), или, как говорят, зеркально (однако ясно, что никаких гладких стенок не существует: ведь сама стенка состоит из молекул).


    Введём систему координат, направив ось $$ OX$$ перпендикулярно стенке, а ось $$ OY$$ – вдоль стенки (см. рис. 11).

    Пронумеруем все молекулы от $$ i=1$$ до $$ i=N$$. Пусть $$ {v}_{i,x},({v}_{i,x}>0) -$$ проекция скорости $$ i$$-ой молекулы на ось $$ OX$$ до удара. При абсолютно упругом ударе о стенку проекция скорости на ось $$ OX$$ изменяет знак: $$ {v}_{i,x}^{\text{'}}=-{v}_{i,x}$$. Изменение проекции импульса молекулы на ось $$ OX$$ при столкновении молекулы со стенкой равно:

    $$ \mathrm{\Delta }{p}_{i,x}={m}_{0}{v}_{i,x}^{\text{'}}-{m}_{0}{v}_{i,x}=-2{m}_{0}{v}_{i,x}$$, 

    а передаваемый стенке импульс равен:

    $$ \mathrm{\Delta }{p}_{i,x,\mathrm{стен}}=-\mathrm{\Delta }{p}_{i,x}=2{m}_{0}{v}_{i,x}$$.

    Так как давление газа не зависит от формы сосуда, возьмём для простоты сосуд в форме куба с ребром $$ l$$. Тогда промежуток времени между двумя последовательными столкновениями молекулы с одной и той же стенкой составит $$ {\tau }_{i}=2l/{v}_{i,x}$$, а за большой интервал времени $$ t$$ она столкнётся со стенкой $$ {N}_{\mathrm{столк},i}=t/{\tau }_{i}$$ раз. Переданный стенке одной молекулой за это время импульс равен:

    `2m_0v_(i,x)*N_("столк",i)=2m_0v_(i,x)*(v_(i,x)t)/(2l)=m_0v_(i,x)^2*t/l`.

    Так как в сосуде находятся $$ N$$ молекул, то полный переданный стенке импульс всех молекул равен:

    $$ \mathrm{\Delta }{p}_{x,\sum }=\sum _{i=1}^{i=N}\Delta {p}_{i,x,\mathrm{стен}}={\displaystyle \frac{{m}_{0}t}{l}}\sum _{i=1}^{i=N}{v}_{i,x}^{2}$$.

    Среднюю силу давления на стенку можно получить, разделив полный передаваемый стенке импульс на время $$ t$$:

    `F_(x,"ср")=(Deltap_(x,sum))/t=m_0/l sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2`,

    а давление $$ p -$$ разделив эту силу на площадь стенки $$ S={l}^{2}$$:

    `p=(F_(x,"ср"))/S=m_0/l^3 sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2=m_0/V sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2`.

    Здесь учтено, что объём сосуда $$ V={l}^{3}$$. Если ввести среднее значение квадрата проекции скорости одной молекулы:

    `bar(v_x^2)=1/N sum_(i=1)^(i=N) v_(i,x)^2`,

    то для давления $$ p$$ получаем:

    $$ p={\displaystyle \frac{{m}_{0}N}{V}}\overline{{v}_{x}^{2}}$$.

    Входящую в это выражение величину $$ \overline{{v}_{x}^{2}}$$ можно выразить через среднее значение квадрата скорости молекулы. Из соотношения $$ {v}^{2}={v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}+{v}_{z}^{2}$$ для средних значений имеем: $$ \overline{{v}^{2}}=\overline{{v}_{x}^{2}}+\overline{{v}_{y}^{2}}+\overline{{v}_{z}^{2}}$$. Так как движение молекул беспорядочное, то все направления движения равновероятны и средние значения квадратов проекций на любое направление должны быть равны $$ \overline{{v}_{x}^{2}}=\overline{{v}_{y}^{2}}=\overline{{v}_{z}^{2}}$$. Отсюда получаем: $$ \overline{{v}^{2}}=3\overline{{v}_{x}^{2}}$$, что позволяет записать выражение для давления в виде:

    $$ p={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{{m}_{0}N}{V}}\overline{{v}^{2}}, \mathrm{или} p={\displaystyle \frac{1}{3}}{m}_{0}n\overline{{v}^{2}}$$,

    где $$ n=N/V$$ концентрация молекул газа.

  • §6. Закон Дальтона

    При описании природных явлений и процессов в технических устройствах приходится иметь дело не только с одним газом (кислородом, водородом и т. п.), но и со смесью нескольких газов. Воздух, являющийся смесью азота, кислорода, углекислого газа, аргона и других газов, – наиболее часто упоминаемый пример смеси газов.

    Допустим, что смесь из $$ N$$ различных газов находится в равновесном состоянии в сосуде объёмом $$ V$$ при абсолютной температуре $$ T$$. От чего зависит общее давление $$ p$$ в сосуде, заполненном смесью газов? Исследованием этого вопроса в начале XIX века занимался английский химик Джон Дальтон.

    Пронумеруем газы, входящие в состав смеси, присвоив каждому свой номер $$ i(i=\mathrm{1,2},\dots ,N)$$. Давление $$ {p}_{i}$$, которое производил бы каждый из газов, составляющих смесь, если удалить остальные газы из сосуда, называют парциальным давлением этого газа. Парциальный (от латинского слова pars – часть) – частичный, отдельный. Дальтоном экспериментально установлено, что для достаточно разреженных газов давление `p_"см"` смеси газов, химически не взаимодействующих между собой, равно сумме парциальных давлений компонентов смеси:

    $$ {p}_{\mathrm{см}}={p}_{1}+{p}_{2}+\dots +{p}_{\mathrm{N}}$$.                                                        (6)

    Сейчас этот закон называют законом Дальтона.

    В смеси идеальных газов каждый из газов ведёт себя независимо от других газов, занимает весь предоставленный объём (т. е. объём каждой компоненты смеси `V`), и его состояние описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

    $$ {p}_{i}V={\displaystyle \frac{{m}_{i}}{{M}_{i}}}RT={\nu }_{i}RT$$.                                                              (7)

    Здесь $$ {m}_{i}$$, $$ {M}_{i}$$ и $$ {\nu }_{i} -$$ масса, молярная масса и количество молей $$ i$$-го газа.

    Если теперь в равенство 6), выражающее закон Дальтона, подставить значения парциальных давлений из (7), то после несложных преобразований можно получить уравнение, описывающее состояние смеси идеальных газов:

    $$ {p}_{\mathrm{см}}V=\left({\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{M}_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{M}_{2}}}+\dots +{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{N}}}{{M}_{\mathrm{N}}}}\right)RT=({\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}})RT$$.                               (8)

    Если ввести понятие молярная масса смеси:

    $$ {M}_{\mathrm{см}}={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{см}}}{{\nu }_{\mathrm{см}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{1}+{m}_{2}+\dots +{m}_{\mathrm{N}}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}}}}={\displaystyle \frac{{m}_{1}+{m}_{2}+\dots +{m}_{\mathrm{N}}}{{\displaystyle \frac{{m}_{1}}{{M}_{1}}}+{\displaystyle \frac{{m}_{2}}{{M}_{2}}}+\dots +{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{N}}}{{M}_{\mathrm{N}}}}}}=$$ 

    $$ ={\displaystyle \frac{{\nu }_{1}{M}_{1}+{\nu }_{2}{M}_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}}{M}_{\mathrm{N}}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}+\dots +{\nu }_{\mathrm{N}}}}={\displaystyle \frac{{p}_{1}{M}_{1}+{p}_{2}{M}_{2}+\dots +{p}_{\mathrm{N}}{M}_{\mathrm{N}}}{{p}_{1}+{p}_{2}+\dots +{p}_{\mathrm{N}}}}$$,                            (9)

    то уравнение Менделеева–Клапейрона для смеси газов будет выглядеть так:

    $$ {p}_{\mathrm{см}}V={\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{см}}}{{M}_{\mathrm{см}}}}RT={\nu }_{\mathrm{см}}RT$$.                                                                          (10)

  • §7. Насыщенный пар. Кипение. Влажность


    Насыщенным паром

    называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью: скорость испарения равна скорости конденсации. Давление и плотность насыщенного пара для данного вещества зависят только от его температуры и увеличиваются при увеличении температуры. Иными словами, давление насыщенных паров – это максимальное возможное давление пара при данной температуре.

    Условие кипения жидкости – это условие роста пузырьков насыщенного пара в жидкости. Пузырёк может расти, если давление насыщенного пара внутри него будет не меньше внешнего давления. Итак, 

    жидкость кипит при той температуре, при которой давление её насыщенных паров равно внешнему давлению. 

    Приведём полезный пример.

    Известно, что при нормальном атмосферном давлении `p_0~~10^5` Па вода кипит при `100^@"C"`. Это означает, что давление насыщенных паров воды при `100^@"C"` равно `p_0~~10^5` Па. А в горах на высоте `5` км атмосферное давление `~~0,5*10^5` Па, что соответствует давлению насыщенных паров при `80^@"C"`, и в результате вода кипит при `80^@"C"`.

    Пары воды в атмосферном воздухе обычно ненасыщенные. Абсолютной влажностью воздуха называется плотность водяных паров `rho`. Относительной влажностью воздуха называется величина 

    `varphi=p/p_"нас"`.

    Здесь `p` - парциальное давление паров воды при данной температуре в смеси воздух – пары воды, `p_"нас"` - парциальное давление насыщенных водяных паров при той же температуре. Опыт показывает, что `p_"нас"` зависит только от температуры и не зависит от плотности и состава воздуха.

    Если пар считать идеальным газом, то `p=rho/muRT`, `p_"нас"=(rho_"нас")/muRT`, где `rho` и `rho_"нас"` - плотности ненасыщенного и насыщенного водяного пара, `mu=18` г/моль. Деление одного уравнения на другое даёт `p/p_"нас"=rho/rho_"нас"`. Итак,

    `varphi=p/p_"нас"~~rho/rho_"нас"`.

    Относительная влажность показывает какую долю (процент) составляют пары воды от насыщенных, так сказать степень насыщения паров воды. Например, при относительной влажности воздуха `40%` парциальное давление паров воды `p=0,4p_"нас"`. Считается, что наиболее комфортная относительная влажность воздуха `~~60%.`


  • §4. Термодинамические процессы

    4.1. Квазистатические процессы


    Всякое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из её параметров состояния, называется термодинамическим процессом.

    Пусть в сосуде с поршнем находится некоторая порция газа. Тогда примером термодинамического процесса может служить процесс, в котором при перемещении поршня происходит изменение объёма $$ V$$ газа в сосуде. При этом каждому значению объёма $$ V$$ в состоянии теплового равновесия будет соответствовать определённое значение давления газа $$ p$$. Следовательно, между объёмом газа и его давлением будет существовать некоторая зависимость $$ p\left(V\right)$$, которую можно представить графически, т. е. построить её график в координатах $$ p,V$$.

    Каждое равновесное состояние газа изображается на таком графике соответствующей точкой, а сам график изображает изменение параметров газа, т. е. даёт графическое описание теплового процесса.

    Но всякое изменение одного из параметров означает, что система вышла из состояния теплового равновесия и ей уже нельзя приписать в целом ни определённого давления, ни определённой температуры.

    Например, при быстром опускании поршня (т. е. при сжатии газа) параметры состояния газа (например, давление, плотность и температура) вблизи поршня изменятся довольно существенно. В то же время вдали от поршня изменение состояния газа произойдёт несколько позже. Поэтому газ в целом имеет разные давления и температуры в различных точках, и такое состояние газа нельзя изобразить графически. Возникает естественный вопрос: каким же образом необходимо изменять параметры системы, чтобы можно было в процессе их изменения характеризовать газ тем же числом параметров и использовать уравнение состояния, справедливое, строго говоря, только для состояния теплового равновесия?

    Как показывает опыт, любая система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, переходит по прошествии некоторого времени в состояние теплового равновесия. Процесс перехода к равновесному состоянию называется релаксацией, а время, необходимое для этого, временем релаксации. Это время и определяет скорость изменения параметров системы. Если время перехода из одного равновесного состояния в другое много больше времени релаксации, то все отклонения от равновесного состояния будут успевать исчезать и система будет проходить через ряд равновесных состояний, переходящих одно в другое. Такие процессы называются квазистатическими, потому что при этом в каждый данный момент состояние системы мало отличается от равновесного.

    Таким образом, если в рассматриваемом нами примере процесс изменения объёма идёт достаточно медленно, то давление и температура газа во всем объёме успевают сравняться и принимают в каждый момент времени одинаковые по всему объёму значения. Это означает, что в таком процессе газ проходит через последовательность равновесных (почти равновесных) состояний. Так как в равновесном процессе давление $$ p$$, температура $$ T$$ и объём $$ V$$ в каждый момент времени имеют вполне определённые значения, то существуют зависимости между $$ p$$ и $$ T$$, $$ V$$ и $$ T$$, $$ p$$ и $$ V$$. Следовательно, квазистатические процессы можно изображать в виде графиков этих зависимостей, например, $$ p\left(V\right)$$ или $$ V\left(T\right)$$. Неравновесный процесс невозможно изобразить графически.

    Ясно, что с помощью уравнения состояния можно изучать только квазистатические процессы. Времена релаксаций, определяющие степень медленности квазистатического процесса, для разных систем и различных тепловых процессов сильно отличаются друг от друга, и для их определения нужно проводить очень трудный и сложный дополнительный анализ. В дальнейшем рассматриваются только квазистатические процессы.

    Процессы, протекающие при постоянной массе газа и неизменном значении одного из параметров состояния газа (давление, объём или температура), принято называть изопроцессами. Например, процесс, происходящий при постоянной температуре, называется изотермическим, при постоянном объёме – изохорическим (или изохорным), при постоянном давлении – изобарическим (или изобарным).


    4.2. Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта


    В XVII веке независимо друг от друга английский физик Бойль и французский физик Мариотт экспериментально установили закон изменения объёма газа при изменении давления: для данной массы любого газа при постоянной температуре его объём обратно пропорционален давлению.

    Закон носит название закона Бойля – Мариотта и обычно записывается в виде:

    $$ pV=\mathrm{const}$$,

    где значение константы определяется температурой, при которой происходит данный процесс.

    График этого процесса (изотерма) в координатах $$ p$$ и $$ V$$ изобразится кривой, определяемой уравнением: 

    $$ p={\displaystyle \frac{\mathrm{const}}{V}}$$.

    Эта кривая, как известно из математики, называется гиперболой. На рисунке $$ 1$$ изображены изотермы одной и той массы газа для двух разных температур $$ {T}_{1}$$ и  $$ {T}_{2}$$ $$ ({T}_{2}>{T}_{1})$$. Изотерма, соответствующая бóльшей температуре, проходит выше, так как при одинаковых объёмах бóльшей температуре соответствует и бóльшее давление. 



    4.3. Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака


    Поместим газ в сосуд с вертикальными стенками и подвижным поршнем, имеющим массу $$ {m}_{\mathrm{п}}g$$ и площадь сечения $$ S$$ который может перемещаться без трения (рис. $$ 2$$). Пусть на поршень сверху действует атмосферное давление $$ {p}_{0}$$. Рассмотрим равновесное состояние газа, характеризуемое давлением $$ p$$. Величину этого давления найдём из условия механического равновесия для поршня.




    На поршень действуют две силы, направленные вертикально вниз (сила тяжести $$ {m}_{\mathrm{п}}$$ и сила давления атмосферы $$ {p}_{0}S$$), и направленная вертикально вверх сила давления со стороны газа под поршнем, значение которой равно $$ pS$$. Условие равновесия поршня $$ -$$ равенство нулю равнодействующей этих сил. Отсюда для давления $$ p$$  газа находим:

    $$ p={p}_{0}+{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{п}}g}{S}}$$

    Внешнее давление на газ также равно $$ p$$. Как показывает опыт, при квазистатическом (медленном) нагревании газа под поршнем при постоянном внешнем давлении, объём всех без исключения газов увеличивается, а при охлаждении уменьшается.

    Исследуя на опыте тепловое расширение газов при постоянном давлении, французский учёный Гей-Люссак открыл, что объём $$ V$$ газа данной массы при изменении температуры  $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ изменяется по линейному закону:

    $$ V={V}_{0}(1+\alpha t)$$.

    Здесь $$ {V}_{0} -$$ объём газа при температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C}$$, $$ \alpha  -$$ коэффициент объёмного расширения при постоянном давлении. Оказалось, что для всех газов $$ \alpha $$ принимает одно и то же значение, равное $$ 1/273{}^{\circ }\mathrm{C}$$.



    4.4. Изохорический процесс. Закон Шарля

    Рассмотрим теперь процесс нагревания газа при постоянном объёме, или, как говорят, процесс изохорического нагревания газа. Поместим для этого газ в герметический сосуд, например, в металлический котёл с плотно завинчивающейся крышкой. Будем нагревать газ в котле, измеряя его температуру и давление. Как показывает опыт, давление газа внутри котла увеличивается с ростом температуры.

    Зависимость давления газа от температуры при неизменном объёме была экспериментально установлена французским физиком Шарлем. Согласно закону Шарля, давление $$ p$$ газа данной массы при изменении температуры $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ изменяется по линейному закону:

    $$ p={p}_{0}(1+\gamma t)$$.

    Здесь $$ {p}_{0} -$$ давление газа при температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C}$$, $$ \gamma  -$$ термический коэффициент давления. Оказалось, что для всех газов $$ \gamma $$ принимает одно и то же значение, равное $$ 1/273{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Заметим, что коэффициент $$ \gamma $$  равен коэффициенту $$ \alpha $$  в законе Гей-Люссака.

    4.5. Абсолютная шкала температур

    Законы Гей-Люссака и Шарля выглядят гораздо проще, если вместо температурной шкалы Цельсия $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ ввести шкалу, предложенную английским физиком Кельвином. Связь между температурой $$ T$$ по шкале Кельвина и температурой $$ t$$ по шкале Цельсия даётся формулой:

    $$ T=t+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=t+\frac{1}\gamma =t+273$$.

    Шкалу Кельвина называют абсолютной шкалой температур. На новой температурной шкале нулю градусов Цельсия соответствует температура $$ {T}_{0}=273$$ градуса (точнее, $$ \mathrm{273,15}$$). Единица измерения температуры называется кельвином и обозначается буквой $$ \mathrm{К}$$. Изменению температуры на $$ 1$$ градус Цельсия соответствует её изменению на $$ 1$$ кельвин. Комнатной температуре $$ t=20{}^{\circ }\mathrm{C}$$ по шкале Цельсия соответствует температура $$ T=293 \mathrm{К}$$  по шкале Кельвина.

    Законы Гей-Люссака и Шарля при этом примут вид:


    $$ V={V}_{0}\alpha ·\left({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+t\right)=\alpha {V}_{0}T$$   (закон Гей-Люссака),


    $$ p={p}_{0}\gamma \left({\displaystyle \frac{1}{\gamma }}+t\right)=\gamma {p}_{0}T$$   (закон Шарля),


    где  $$ {V}_{0}$$ и $$ {p}_{0} -$$ объём и давление газа при температуре $$ {T}_{0}$$.

    Как видно из уравнения для закона Гей-Люссака, график изобарического процесса (изобара) в координатах $$ V$$ и $$ T$$ представляет собой отрезок, лежащий на прямой линии, проходящей через начало координат. На рисунке 3 показаны две изобары при различных давлениях  $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2} ({p}_{2}>{p}_{1})$$. Давление, при котором проходит процесс, можно изменять, используя поршни разной массы. Вторая изобара проходит ниже первой, так как при одной и той же температуре бóльшему давлению соответствует меньший объём.



    В координатах $$ p$$ и $$ T$$ графики изобарических процессов представляют собой прямые линии, параллельные оси $$ T$$ (рис. 4).

    График изохорического процесса (изохора, закон Шарля) в координатах $$ p$$ и $$ T$$ представляет собой отрезок, лежащий на прямой линии, проходящей через начало координат. На рисунке 5 показаны две изохоры при различных объёмах $$ {V}_{1}$$ и $$ {V}_{2} ({V}_{2}>{V}_{1})$$. Вторая изохора проходит ниже первой, так как при одной и той же температуре бóльшему давлению соответствует меньший объём.