Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи , страница 35

  • § 4. Мощность силы и мощность механизмов

    Для того чтобы характеризовать скорость совершения работы, вводится понятие мощности. Точнее, вводится даже несколько близких и связанных друг с другом понятий, ключевое слово в которых «мощность».

    Средняя мощность силы

    есть отношение работы `DeltaA` к промежутку времени `Deltat`, в течение которого она совершена:

    `P_"ср"=(DeltaA)/(Deltat)`. (4.1)

    Как и средняя скорость движения, средняя мощность есть довольно грубая характеристика быстроты совершения работы. За достаточно большой промежуток времени интенсивность совершения работы могла то возрастать, то убывать. Для учёта этого вводится понятие мгновенной мощности силы (или просто мощности) в момент времени `t`, которая определена как предел отношения (4.1) при `Deltat->0` (когда интервал рассматриваемых времён вблизи момента времени  стягивается к нулю):

    `P(t)=lim_(Deltat->0)(DeltaA)/(Deltat)=lim_(Deltat->0)(vecF(t)*Deltavecr)/(Deltat)=`

    `=vecF(t)*lim_(Deltat->0)(Deltavecr)/(Deltat)=vecF(t)*vecv(t)`.

    (4.2)

    Единица мощности в СИ есть ватт:  `1`Вт`=1`Дж/с.

    До сих пор говорилось о мощности силы. В быту мы часто слышим о мощности механизмов – насоса, автомобиля, электровоза. И это ещё не всё. Иногда говорят о потребляемой мощности, в других случаях – о полезной мощности (причём и о средних их значениях, и о мгновенных мощностях). Усугубляет сложности то, что в конкретном механизме не всегда легко указать (показать в виде явной стрелки) силу, которая что-то движет.

    Потребляемой мощностью

    называют количество энергии, которое получает в единицу времени машина для своей работы (автомобиль или аэросани – от сгорания бензина в двигателе, электровоз – от электрической сети):

    `P_"потребл"-DeltaE_"потребл"//Deltat`. (4.3)

    (при `Deltat->0` говорят о мгновенной потребляемой мощности). Не вся потреблённая энергия `DeltaE_"потребл"` тратится именно на то, что нужно (говорят – «на совершение полезной работы»). Часть её (иногда – значительная) расходуется впустую: например, из-за трения в различных частях  сложного механизма автомобиля или аэросаней происходит разогрев деталей машины (к чему никто не стремился). Пусть нам надо, чтобы аэросани перевезли какой-то груз. Для этого (даже без всяких подъёмов) нужно преодолеть силу трения о снег. Энергия, которая будет истрачена на разгон саней и преодоление силы трения о снег (для поддержания конечной скорости), считается истраченной с пользой. Сила тяги двигателя аэросаней совершит полезную работу `DeltaA_"полезн"`.

    Полезной мощностью механизма

    называют отношение

    `P_"полезн"=DeltaA_"полезн"//Deltat`. (4.4)

    Полезная работа всегда меньше потреблённой механизмом энергии: `DeltaA_"полезн"<DeltaE_"потребл"`.  Долю потреблённой энергии, пошедшую на совершение полезной работы, называют коэффициентом полезного действия

    `"КПД"=(DeltaA_"полезн")/(DeltaE_"потребл")*100%=(P_"полезн")/(P_"потребл")*100%`. (4.5)

    Величина КПД всегда меньше ста процентов. У бензиновых двигателей КПД порядка  `25%-30%`, у дизельных – `40%-50%`, у ракетных двигателей на жидком топливе он близок к `50%`. У простых механизмов (блок, рычаг) КПД может быть близок к  `100%`.


  • § 3. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии
    3.1. Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли

    Рассмотрим движение материальной точки под действием силы тяжести (см. рис. 10).  Считаем,  что  никаких  других  сил на неё не действует, т. е. нет сопротивления  воздуха или «тянущей» силы. По общей теореме об изменении кинетической энергии имеем

    `(mv_2^2)/2-(mv_1^2)/2=A_(12)=mg(h_1-h_2)`,

    т. е. для двух произвольных точек траектории выполняется равенство

    `(mv_2^2)/2+mgh_2=(mv_1^2)/2+mgh_1`, (3.1)

    или иначе: в процессе движения сохраняется постоянной величина

    `E=(mv^2)/2+mgh="const"`, (3.1')

    Говорят, что имеет место закон сохранения механической энергии – сумма кинетической энергии `K=mv^2//2` и потенциальной энергии

    `"П"=mgh` (3.2)

    остаётся неизменной:

    `E=K+"П"="const"`. (3.1")

    Заметим, что потенциальную энергию мы могли определить и несколько иначе, добавив к ней произвольную константу `C`; при этом все равенства (3.1) остались бы в силе, например, `(mv_2^2)/2+mgh_2+C=(mv_1^2)/2+mgh_1+C`. Когда мы определяем потенциальную энергию формулой `"П"=mgh`, мы полагаем, что на поверхности Земли (при `h=0`) потенциальная энергия равна нулю. Но поверхность Земли не ровная! Например, мы бросаем камень с обрыва. Где выбрать «нуль» потенциальной энергии – вверху или внизу?

    Ответ

    безразлично, где именно. Главное – в процессе решения задачи не переопределять этот «нуль»,  иначе запутаетесь.


    3.2. Потенциальная энергия упруго деформированной

    пружины (шарика на пружине)

    Рассмотрим маленький шарик на пружинке из п.1.5. Пусть `x=0` - координата шарика для недеформированной пружины.  При перемещении шарика из точки с координатой `x_1` в точку с координатой `x_2` силы упругости со стороны пружины совершат работу (1.5)  `A_(12)=-((kx_2^2)/2-(kx_1^2)/2)`.Если никаких других сил на шарик не действовало, то по теореме об изменении кинетической  энергии имеем `(mv_2^2)/2-(mv_1^2)/2=A_(12)=-((kx_2^2)/2-(kx_1^2)/2)`. Последнее равенство снова можно переписать в форме закона сохранения механической энергии

    `(mv_2^2)/2+(kx_2^2)/2=(mv_1^2)/2+(kx_1^2)/2`. (3.3)

    При этом потенциальную энергию упруго деформированной пружины определяют формулой

    `"П"=(kx^2)/2`. (3.4)

    Как и потенциальная энергия силы тяжести, потенциальная энергия упруго деформированной пружины определена не однозначно: к ней можно добавить произвольную константу, которая не должна переопределяться в ходе решения задачи. Чаще всего константу выбирают так, что в недеформированном состоянии потенциальная энергия пружины равна нулю  (см. формулу (3.4)). В реальных процессах механическая энергия далеко не всегда сохраняется: из-за наличия трения часть механической энергии переходит в тепло (см. Пример 2.6). Величина `Q` перешедшей в тепло энергии может быть вычислена как разность:

    `Q=K_1+"П"_1-(K_2+"П"_2)`. (3.5)


  • Примеры к § 3


    Пример 3.1

    Лёгкий стержень длиной `L` с грузом малых размеров на одном конце может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой конец. Сначала груз находится в низшем положении. Какую минимальную скорость нужно сообщить грузу, чтобы он совершил полный оборот? Сопротивлением воздуха и трением в оси пренебречь.

    Решение

    Задача легко решается по закону сохранения механической энергии. Пусть `v_0` -  искомая минимальная скорость груза, когда он находится в низшей точке. Что значит минимальная скорость? Это такая скорость, которой достаточно, чтобы груз достиг высшей точки (высоты `h=2l`) и имел бы там нулевую кинетическую энергию, т. е. нулевую скорость (остановился бы в высшей точке). Если скорость груза внизу будет хотя бы чуть-чуть больше минимальной, он совершит полный оборот. Итак, в случае минимальной скорости начальная кинетическая энергия по закону сохранения энергии полностью перейдёт в потенциальную:  

    `(mv_(0,min)^2)/2=mg*2L`,

    откуда  

    `v_(0,min)=2sqrt(gL)`.

    Пример 3.2`**`

    Груз малых размеров висит на лёгкой нерастяжимой нити длиной `L`. Какую минимальную скорость `v_0` надо сообщить грузу, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Решение

    Эта задача кажется очень похожей на предыдущую, однако замена лёгкого стержня на лёгкую нерастяжимую нить не так безобидна. Если только представить, что и для нити справедливо решение из предыдущего примера для лёгкого стержня, то мы немедленно придём к абсурдному результату: если в высшей точке скорость груза обратится в нуль, то дальше и очень резко началось бы его … вертикальное падение вниз. Пока был жёсткий стержень, он этому препятствовал, вынуждая груз двигаться по окружности. Нитка не жёсткий стержень, – она мягкая,  и препятствовать вертикальному падению груза вниз из высшей точки она не смогла бы. Но таких движений никто не наблюдал. Чтобы сделать полный оборот, груз в высшей точке должен иметь конечную (не равную нулю) скорость `v`. Какое же требование определяет минимальность скорости `v_0`, о которой спрошено в условии задачи?

    Ответ

    обращение в ноль натяжения нити в верхней точке `T=0`. При этом центростремительное ускорение грузу `a_"ц.с."=v^2//L` будет сообщать только сила тяжести `mg`. Уравнение 2-го закона Ньютона при этом для груза в верхней точки запишется в виде                      

    `m(v^2)/L=mg`. (1)

    (Если бы нить была натянута, то уравнение содержало бы слагаемое с силой натяжения нити `m(v^2)/L=mg+T`; скорость при этом была бы больше, чем по уравнению (1), соответственно, больше была бы и начальная скорость груза `v_0`, т. е. не была бы минимальной.) Уравнение (1) дополним уравнением закона сохранения механической энергии 

    `(mv_0^2)/2=(mv^2)/2+mg*2L`. (2)

    Подстановка `v^2=gL` (по уравнению (1)) в уравнение (2) даёт `(v_0^2)/2=(gL)/2+2gL`, откуда `v_0=sqrt(5gL)`, что больше, чем `2sqrt(gL)` (см. предыдущий пример для стержня).

    Пример 3.3

    Шарик массой `m` висит на пружине жёсткости `k`. В начальный момент пружина не деформирована (шарик придерживают). Затем шарик освобождают, и он начинает опускаться.

    1) На какую максимальную длину растянется пружина?

    *2) Какую максимальную скорость будет иметь шарик в процессе опускания?

    Решение

    Здесь мы имеем дело сразу с двумя потенциальными энергиями – потенциальной энергией `mgh` шарика в поле тяжести вблизи поверхности Земли и энергией деформированной пружины `(kx^2)/2` («потенциальной энергией шарика на пружинке»). В процессе движения выполняется закон сохранения энергии: сумма кинетической энергии и двух потенциальных энергий остаётся в процессе движения неизменной.

    1) В начальном и конечном положениях скорости шарика равны нулю, поэтому равны нулю кинетические энергии шарика в обоих положениях. Шарик опустится вниз, при этом уменьшится его потенциальная энергия в поле тяжести Земли. Одновременно растянется пружина, поэтому увеличится энергия её упругой деформации. Пусть `H` -  искомая максимальная высота, на которую опустится шарик  (длина, на которую растянется пружина). По закону сохранения энергии `mgH=(kH^2)/2` (на сколько одна энергия уменьшится, на столько другая увеличится). Отсюда сразу получаем `H=(2mg)/k`.

    *2) По мере опускания шарика, его скорость сначала возрастает от нулевой до максимальной `v_(max)`, а затем убывает, и при максимальном растяжении пружины скорость шарика снова обращается в нуль. Пока шарик опустился не очень сильно – мала деформация пружины – мала и сила упругости, тормозящая шарик. Пока она меньше силы тяжести, скорость шарика растёт. При некотором удлинении пружины `h` эти две силы сравняются друг с другом; при этом ускорение шарика обратится в нуль:

    `ma=mg-kh=0`. (1)

    Удлинение пружины в этом положении равно

    `h=mg//k`. (1')

    (Заметим, что `h=H//2` из предыдущего пункта.) Этому удлинению и соответствует максимум скорости шарика. При дальнейшем опускании шарика (дальнейшем растяжении пружины) модуль силы упругости станет больше силы тяжести, – и начнётся замедление шарика. Максимальную скорость шарика найдём из закона сохранения энергии:

    `mgh=(mv_(max)^2)/2+(kh^2)/2`. (2)

    Отсчёт высоты в потенциальной энергии в поле тяжести Земли ведём от высоты, на которой `v=v_(max)`, так что в этой точке потенциальная энергия в поле тяжести равна нулю. Однако в этой точке есть кинетическая энергия шарика и энергия упругой деформации пружины (см. правую часть в уравнении (2)). В исходном положении пружина не деформирована, и шарик имеет равную нулю скорость; зато есть потенциальная энергия шарика `mgh`. Подставим в (2) значение `h` (1'):

    `mg  (mg)/k=(mv_(max)^2)/2+(k(mg//k)^2)/2`,  

    отсюда получаем  `(mv_(max)^2)/2=(m^2g^2)/(2k)`, и окончательно `v_(max)=gsqrt(m/k)`..

    Пример 3.4

    На гладком горизонтальном полу лежит доска массой `M=3` кг, а на ней – брусок массой `m=1` кг. Коэффициент трения между бруском и доской `mu=0,6`. В начальный момент брусок и доска покоятся относительно пола. К бруску прикладывают горизон-тальную силу  `F=9` H. Определить количество тепла `Q`, которое выделится за время `t=1` с движения бруска и доски вследствие трения между ними. Найти также КПД силы `F`, тянущей грузы, считая полезной работу, затраченную на разгон бруска (рис. 11).

    Решение

    Предположим, что сила `F` достаточно велика, так что возникнет проскальзывание бруска относительно доски.

    Запишем уравнения движения бруска и доски и решим их:

    mam=F-μmg,     (1)MaM=+μmg        (2)  am=Fm-μg=3 м/с2,aM=μmgM=2 м/с2.\left\{\begin{array}{l}ma_m=F-\mu mg,\;\;\;\;\;(1)\\Ma_M=+\mu mg\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\;\;\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a_m=\frac Fm-\mu g=3\;\mathrm м/\mathrm с^2,\\a_M=\frac{\mu mg}M=2\;\mathrm м/\mathrm с^2.\end{array}\right.

    Ускорение бруска, как видим, оказалось больше ускорения доски, поэтому скольжение между ними, действительно, будет происходить, что оправдывает формулу для силы трения: это будет именно сила трения скольжения, и она будет равна `F_"тр"=muN=mumg`. На самом деле будет две силы трения – одна со стороны доски, тормозящая брусок, `vecF_("тр"m)`; другая, `vecF_("тр"M)` – со стороны бруска, тянущая доску. По 3-му закону Ньютона `vecF_("тр"m)=-vecF_("тр"M)`, что учтено в уравнениях (1-2) разными знаками при `mumg` в двух уравнениях.

    Найдём скорости бруска и доски в момент времени `t=1` с, приращения их кинетических энергий, а также пройдённый за это время бруском путь, и работу силы `F` за время `t=1` с. При нулевых начальных скоростях бруска и доски:

    `v_m(t)=a_mt=3` м/с,  `v_M(t)=a_Mt=2` м/с,   `s_m(t)=(a_mt^2)/2=1,5` м, 

    `DeltaK_m=(mv_m^2)/2=4,5` Дж,   `DeltaK_M=(Mv_M^2)/2=6` Дж, 

    `DeltaK=DeltaK_m+DeltaK_M=10,5` Дж.

    Работа силы `F` за время `t=1` с равна `A_F(t)=F*s_m(t)=13,5` Дж.

    Количество тепла найдём из условия, что работа внешней силы `F` пойдёт на увеличение кинетической энергии и бруска, и доски, а также на выделение тепла `Q` в местах их контакта во время движения бруска по доске: `A_F=DeltaK+Q`, откуда находим `Q = 13,5` Дж `– 10,5` Дж `= 3` Дж.

    Наконец, найдём  `"КПД"=(DeltaK_m)/(A_F)=(4,5)/(13,5)~~0,33` (т.е. `33%`).

    Пример 3.5

    На пути тележки массой `m`, скользящей по гладкому горизонтальному  столу, находится  незакреплённая горка высотой `H` и массой `M` (рис. 12). При какой ми-нимальной скорости `V_min` тележка сможет преодолеть горку? Считать, что тележка движется, не отрываясь от горки. Тележка по горке, а также горка по столу скользят без трения.

    Решение

    Минимальной скорости соответствует случай, когда тележка въедет на вершину горки (поднимется на максимальную высоту `H`), но не проедет дальше, а остановится относительно горки: скорости тележки и горки относительно стола в этот момент сравняются друг с другом (и они продолжат движение относительно стола как единое целое). Обозначим эту скорость буквой  `u`. По закону сохранения импульса

    `mV_min=(m+M)u`, (1)

    а по закону сохранения энергии

    `(mV_min^2)/2=((m+M)^2u)/2+mgH`. (2)

    Решение системы уравнений (1 – 2) даёт

    `V_min=sqrt((1+m/M)2gH)`.

    Пример 3.6`**`

    Пусть в предыдущем примере `V>V_min`. Какую скорость `u` приобретёт горка, когда тележка с неё съедет?

    Решение

    Кажется, что задача решается просто: из двух законов сохранения импульса и энергии. Пусть `v` - скорость тележки в момент, когда она съедет с горки.  Запишем законы сохранения импульса и энергии:

    `mV=Mu+mv`, (1)
    `(mV^2)/2=(Mu^2)/2+(mv^2)/2`. (2)

    (Такие же уравнения мы написали бы и в случае упругого столкновения лоб в лоб двух шаров, когда один из них до столкновения покоился. Задачи о законах сохранения при столкновениях будут рассмотрены в другом Задании.)

    Перепишем систему уравнений (1 – 2) в виде

    `m(V-v)=Mu`, (1')
    `m(V^2-v^2)=Mu^2`. (2')

    Учитывая формулу для разности квадратов `V^2-v^2=(V-v)(V+v)` и деля (2') на (1') получаем

    `u=V+v`. (3)

    Подставляя соотношение (3) в первое из уравнений системы (1'-2') (линейное!), находим

    `m(V-v)=M(V+v)`,

    откуда получаем для окончательной скорости тележки

    `v=(m-M)/(m+M) V` (4)

    и после подстановки в (3) – формулу для скорости горки в момент, когда с неё съедет тележка,

    `u=(2m)/(m+M) V` (5)

    В формулах смущают, как минимум, две особенности. Во-первых, знак скорости тележки зависит от того, каков знак разности масс `m-M`. Этого не может быть, т. к. при условии, что `V>v_min` тележка, переехав горку, должна двигаться в ту же сторону, что и в самом начале (до наезда на горку). Во-вторых, по смыслу, если уж тележка переехала горку, то она должна в конце иметь скорость больше, чем горка, т. е. должно выполняться неравенство

    `v>u`. (6)

    Проверим его выполнимость. Согласно формулам (4 – 5) имеем `(m-M)/(m+M) V>(2m)/(m+M) V`, откуда `-M>m`, но это – абсурд: отрицательное число не может быть больше положительного.

    В чем же мы делаем ошибку? Ответ: производя деление  на , мы молчаливо предполагали, что `V-v!=0` (иначе делили бы на ноль!). Вывод: наше предположение (молчаливое!) не верно. Правильно:  (тележка после того как переедет горку, будет иметь ту же скорость, что и до наезда на горку), а горка остановится: в силу (1)  `u=0` при `v=V`.

    Пример 3.7

    Пуля массой `m=5` г попадает в покоящийся деревянный шар массой `M=2` кг и застревает в его центре. Найдите долю кинетической энергии пули, перешедшей в тепло.

    Решение

    Пусть `v` - скорость пули до того, как она врезалась в шар, `u` -  скорость шара вместе с пулей после того, как в нём застряла пуля. (Скорости шара и пули теперь одинаковы!) По закону сохранения импульса имеем    

    `mv=(M+m)u`, (1)

    откуда находим      

    `u=(mv)/(M+m)`. (1')

                                                                                

    Количество энергии, перешедшей в тепло, найдём по формуле (3.5):

    `Q=K_1-K_2=(mv^2)/2-((M+m)u^2)/2=`

    `=(mv^2)/2-((M+m))/2*((mv)/(M+m))^2=M/(M+m)*(mv^2)/2`

    Отсюда искомая доля кинетической энергии, перешедшей в тепло, 

    `Q//(mv^2)/2=M/(M+m)=(2000)/(2005)~~0,998` (`99,8%` - почти вся энергия пули!).

                               

  • Примеры к § 2
    Пример 2.1

    Автомобиль, движущийся со скоростью `60` км/ч по мокрому асфальту горизонтальной дороги, резко тормозит и до полной остановки едет юзом (колеса не вращаются). Коэффициент трения между покрышками автомобиля и дорогой равен `0,4`. Вычислите тормозной путь автомобиля. Торможение осуществляется одновременно передними и задними колёсами. Автомобиль рассматривать как брусок с равномерно распределённой массой.

    Решение

    Работа силы тяжести и работа нормальной силы реакции со стороны дороги равны нулю, т. к. обе эти силы перпендикулярны вектору перемещения и соответствующие косинусы в выражениях для работ в обоих случаях равны нулю.  Изменение кинетической энергии автомобиля в нашем случае связано лишь с действием силы трения покрышек колёс автомобиля об асфальт:

    `DeltaK=(mv_"конечн"^2)/2-(mv_"начальн"^2)/2=A_"тр"`.

    В нашем случае `v_"конечн"=0` (полная остановка автомобиля),

    `v_"начальн"=v_0=60`км/ч`=60/(3,6)` м/с.

    Работа силы трения равна `A_"тр"=-F_"тр"*s`. В данном случае (при езде юзом) угол между силой трения и перемещением равен `180^@`, косинус которого равен `-1`. Модуль силы трения скольжения (автомобиль движется, как санки) `F_"тр"=mu*N`, где  `mu=0,4` - коэффициент трения скольжения, `N` - нормальная сила реакции со стороны дороги. В случае горизонтальной дороги без провалов, куда бы мог «ухнуть» автомобиль, нормальная сила реакции уравновешивает силу тяжести: `vecN+mvecg=0`, т. е. модуль силы  `N=mg`. В результате имеем

    `F_"тр"=mu*mg`   и `-(mv_0^2)/2=-mu*mg*s`,

    откуда после  сокращения  на массу автомобиля находим

    `s=(v_0^2)/(2mug)~~35` м.

    Пример 2.2*

    Как измениться результат предыдущей задачи, если торможение будет осуществляться только задними (или только передними) колёсами?

    Решение

    В этом случае `F_"тр"=mu*N_"задн"=mu*mg//2` (считаем, что нагрузка равномерно распределена на передние и задние колеса). В результате

    `-(mv_0^2)/2=-mu*(mg)/2*s`  и  `s=(v_0^2)/(mug)~~70` м.

    Пример 2.3*

    Пуля, летящая со скоростью `v_0`, пробивает несколько одинаковых досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счёту доске застрянет пуля, если  её скорость после прохождения первой доски равна `v_1=0,83v_0`?

    Решение

    Считаем, что при движении между досками сопротивление движению пули со стороны воздуха значительно меньше силы сопротивления со стороны древесины, и будем им пренебрегать. Кроме того, будем пренебрегать размерами пули; это позволит считать силу сопротивления со стороны древесины `F_c` постоянной: пренебрегаем тем, что пуля в какие-то моменты лишь частично находится в доске, в другие моменты располагается полностью в доске (если размер пули меньше толщины доски). Пусть `l` - толщина одной доски, а `L` - суммарный путь, который пройдёт пуля во всех досках до момента остановки. Запишем теорему о приращении кинетической  энергии в двух случаях: 1) для прохождения пулей только одной первой доски и 2) для движения пули от начала первой доски до момента, когда она остановится (застрянет) в доске (неизвестной нам пока по счёту):

    `(mv_1^2)/2-(mv_0^2)/2=-F_c*l` (1)


    и `0-(mv_0^2)/2=-F_c*L`. (2)

    Или с учётом условия `v_1=0,83v_0:`

    `(mv_0^2)/2(1-0,83^2)=-F_c*l`. (1')
    и `(mv_0^2)/2=F_c*L`. (2')

    Деля   второе   уравнение   на   первое,   получаем  `L/l=1/(1-0,83^2)~~3,2`,  то есть `3l<L<4l:`  пуля пробьёт 3-ю доску, но застрянет в 4-й.

    Пример 2.4*

    Парашютист массой `80` кг падает при открытом парашюте  с установившейся скоростью `18` км/ч. Считая, что падение происходило с высоты `4` км без начальной скорости и что при раскрытии парашюта скорость быстро гасится до допустимого значения `18` км/ч, определите работу силы сопротивления воздуха на всём пути.

    Решение

    Ясно, что прямое вычисление работы силы сопротивления воздуха невозможно, т. к. ничего не сказано о зависимости силы сопротивления от скорости парашютиста (ни до раскрытия парашюта, ни после), не сказано также, на какой высоте произошло раскрытие парашюта. Тем не менее, задача в той постановке, в какой дана, решается до конца.

    В какие формулы может войти искомая работа силы сопротивления?  Например, в формулу для приращения кинетической энергии парашютиста. Приращение кинетической энергии парашютиста `DeltaK` от момента старта до момента приземления равно приращению его кинетической энергии от момента старта до момента, когда скорость станет равной установившейся `v=18`км/ч`=5`м/с. Начиная с этого момента ни скорость, ни кинетическая энергия парашютиста не изменяются. С другой стороны, приращение кинетической энергии равно сумме работ всех сил, приложенных к парашютисту; в нашем случае – силы тяжести и силы сопротивления со стороны воздуха: 

    `DeltaK=(mv^2)/2-0=A_(mg)+A_"сопр"` (1)

    Заметим, как удачно вышло: можно искать приращение кинетической энергии от момента начала падения до момента приземления, а не до момента раскрытия парашюта (в условии задачи ничего не сказано о высоте, на которой раскрывается парашют). Из формулы (1) получаем

    `A_"сопр"=(mv^2)/2-A_(mg)=(mv^2)/2-mgh`.

    Вычисления дают значения:

    `(mv^2)/2=(80*5^2)/2=1000` Дж, `mgh~~80*10*4000=3,2*10^6`Дж`=3,2`МДж.

    В итоге `A_"сопр"~~-3,2` МДж.


    Пример 2.5 (МФТИ, из старых задач)

    Шарик для игры в настольный теннис радиусом `r=15` мм и массой `m=5` г погружён в воду на глубину `h=30` см. Когда шарик отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту `h_1=10` см. Сколько энергии перешло в теплоту вследствие трения шарика о воду?  Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать, что количество  энергии, перешедшей в теплоту, равно работе силы сопротивления воды, взятой с противоположным знаком:

    `Q=-A_"сопр"`. (1)
    Решение

    Вычислить работу силы сопротивления воды прямым методом затруднительно: как и в случае с парашютистом из Примера 2.4, зависимость силы сопротивления от скорости шарика в воде весьма непростая и не известная нам. Зато нам известен экспериментальный факт, что шарик выпрыгнул из воды на высоту `h_1=10` см. Начальная кинетическая энергия шарика `K_1` равна нулю (шарик вначале покоился). В момент достижения шариком высоты `h_1` его скорость, а значит, и кинетическая энергия `K_2` снова равны нулю. Приращение кинетической энергии тоже равно нулю

    `DeltaK=K_2-K_1=0`. (2)

    С другой стороны, приращение кинетической энергии шарика равно сумме работ всех сил, действовавших на шарик. Пока шарик двигался в воде, на него действовали три силы: сила Архимеда, направленная вверх и равная

    `F_A=rho_"воды"V_"шарика"g=rho_"воды"(4pi)/3 r^3g~~0,14` H,

    и две силы, действовавшие вниз, – сила тяжести `mg~~0,049` H и сила сопротивления воды. Пока шарик поднимается (а мы рассматриваем только этот этап движения),  угол между силой тяжести и перемещением равен  `180^@`, косинус которого равен минус единице. При движении в воздухе нужно учесть лишь действие силы тяжести шарика: сила Архимеда в воздухе (с плотностью `1,3  "кг"//"м"^3`)

    `F_"Арх"^("возд")=rho_"возд"(4pi)/3r^3g~~0,00018` H

    примерно в `270` раз меньше силы тяжести.   

    По теореме об изменении кинетической энергии:

    `DeltaK=sum_iA_i=(F_A-mg)h-mgh_1+A_"сопр"`, (3)

    и эта величина должна равняться нулю (см. (2)). Отсюда получаем `(F_A-mg)h-mgh_1-Q=0` и далее находим 

    `Q=(F_A-mg)h-mgh_1~~0,022` Дж.

  • Примеры к §1


    Пример 1.1

    Шкаф массой `100` кг передвинули по горизонтальному полу на `2` м. Чему равна работа силы тяжести при таком перемещении?

    Решение

    Работа силы тяжести в данном случае равна нулю, т. к. угол между направлением действия силы тяжести и перемещением (горизонтальным направлением) равен `90^@`, косинус которого равен нулю (см. формулу (1.1) и рис. 1).

    Пример 1.2 

    Лифт массой `1` т начинает подниматься с постоянным ускорением `0,2` `"м"//"с"^2`. 

    1) Чему равна работа силы натяжения троса, с помощью которого поднимают лифт, за первые `4` с движения?

    2) Чему равна работа силы натяжения троса за `4`-ю секунду движения?

    Решение

    В нашем примере сила натяжения троса и перемещение лифта направлены в одном направлении (вверх); угол между этими векторами равен нулю, косинус которого равен единице. Работу силы `F` натяжения троса поэтому ищем по простой формуле («без косинуса») `A=F*s=F*(at^2)/2`.

    Силу найдём из 2-го закона Ньютона `mveca=vecF+mvecg`, или в проекциях на вертикальное направление:  `ma=F-mg`, откуда `F=m(g+a)`.

    Работа за первые `4` секунды движения равна

    $$\begin{array}{l}A(t=4)=m(g+a){\left.\dfrac{at^2}2\right|}_{t=4}=16\;\mathrm{кДж}\\\end{array}$$

    Работу за `4`-ую секунду можно найти как разность `A(t=4)-A(t=3)=`

    $$=m(g+a){\left.\dfrac{at^2}2\right|}_{t=4}{\left.-m(g+a)\dfrac{at^2}2\right|}_{t=3}=16000-9000=7000\;\mathrm{Дж}=7\;\mathrm{кДж}$$


    Пример 1.3`**`

      Доску   массой   `m=5` кг и длиной `L=1` м вытягивают  со льда на асфальт параллельно длине доски. Коэффициент трения между доской и асфальтом `mu=0,5`. Трение доски о лёд пренебрежимо мало. Какую работу совершит сила трения к моменту, когда доска полностью окажется на асфальте? Дорога горизонтальна. Доску вытягивают горизонтально направленной силой; `g=10` `"м"//"с"^2`. Считать, что доска давит на асфальт только той частью, которая находится асфальте.

    Решение

    Пусть доска продвинулась по асфальту на расстояние  Сила трения приложена лишь к той части доски, которая уже находится на асфальте и будет равна 

    `F_"тр"=mu x/L mg`. (1)

    Здесь учтено, что нормальная сила реакции со стороны асфальта на ту часть доски, которая уже оказалась на нём, составляет долю, равную `x//L` от полной силы реакции `N`, причём для горизонтальной дороги и горизонтальной тянущей силы  `N=mg`.

    С работой силы, линейно зависящей от координаты (от удлинения), мы имели дело, когда рассматривали силу, действующую на тело со стороны деформированной пружины. Там модуль силы упругости равнялся `|f(x)|=k|x|`, где `k` - коэффициент жёсткости пружины, `x` - её удлинение. Абсолютное значение работы силы упругости при удлинении пружины `x=L` (из недеформированного состояния  `x=0`) давалось формулой

    `|A|=(kL^2)/2`. (2)

     В нашем случае (1) роль коэффициента жёсткости играет величина

    `k=(mu*mg)/L`. (3)

    Учтём ещё, что работа силы трения в данном случае будет отрицательной,     т. к. сила трения и перемещение доски во все моменты времени направлены в противоположные стороны (угол между ними равен `180^@`), так что `DeltaA_"тр"=F_"тр"*Deltax*cos180^2=-F_"тр"*Deltax`. Поэтому окончательный ответ таков:

    `A_"тр"=-(mu*mg)/2 L`. (*)

    Подстановка чисел даёт   `A_"тр"~~-12,5` Дж.

    Пример 1.4 

    Всегда ли работа силы трения отрицательна?

    Решение

    Нет. Простейший пример – сила трения, действующая на автомобиль, трогающийся с места. Какая сила в этом случае разгоняет автомобиль?  Сила трения покрышек о полотно дороги. Колеса в точке соприкосновения с дорогой стремятся провернуться в сторону, противоположную направлению разгона автомобиля (или даже проворачиваются, пробуксовывают). Поэтому сила трения направлена в ту же сторону, в какую ускоряется автомобиль.


  • §2. Кинетическая энергия тела. Теорема об изменении кинетической энергии
    2.1. Определение

     Кинетической  энергией  материальной точки (частицы) массой `m`, движущейся со скоростью `barv`, называется неотрицательная скалярная (никуда не направленная) величина

    `K=(mv^2)/2`. (2.1)

    В некоторых случаях более удобна другая форма записи кинетической энергии – через импульс частицы  `vecp=mvecv:   K=((mv)^2)/(2m)`, откуда 

    `K=p^2/(2m)`. (2.2)

                                                                                                                               


    2.2. Теорема об изменении кинетической энергии

    Справедлива очень важная Теорема об изменении кинетической энергии: приращение кинетической энергии материальной точки при перемещении из одной точки пространства в другую равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на материальную точку при этом перемещении:

    `DeltaK=(mv_"конечн"^2)/2-(mv_"начальн"^2)/2=A_"всех сил"=sum_k A_(F_k)`. (2.3)

    Из последней формулы видно, что кинетическая энергия измеряется в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях. Теорема (2.3) есть следствие 2-го закона Ньютона. Докажем это. В самом деле, согласно этому закону для малых интервалов времени `Deltat`  и, соответственно, малых приращений скорости частицы `Deltavecv` имеем:

    `m*Deltavecv=sum_k vecF_k*Deltat`, (2.4)

    где суммирование ведётся по всем действующим на частицу силам. Масса частицы считается постоянной: в противном случае нужно было бы писать не  

     `m*Deltavecv=sum_k vecF_k*Deltat`,   а   `Delta(mvecv)=sum_k vecF_k*Deltat`.

    Умножим обе части уравнения (2.4) скалярно на `vecv`:

    `m*vecv*Deltavecv=sum_k vecF_k*vecv*Deltat`. (2.4')

    Здесь учтено, что в скалярном произведении векторов безразличен порядок сомножителей: `vecv*vecF_k=vecF_k*vecv` и `Deltavecv*vecv=vecv*Deltavecv`. Учтём ещё, что произведение `vecv*Deltat` даёт малое (за малое приращение времени `Deltat`) перемещение материальной точки: `vecv*Deltat=Deltavecr`. При этом отдельные слагаемые в сумме (2.4') можно представить в виде `vecF_k*vecvDeltat=vecF_k*Deltavecr=DeltaA_(F_k)` работ отдельных сил `vecF_k` при малом перемещении частицы `Deltavecr`.

    Левая часть (2.4') представляет собой приращение кинетической энергии `Delta(m v^2)/2=m/2 Deltav^2` (масса частицы, напомним, считается постоянной). В самом деле,

    `Deltav^2=(vecv+Deltavecv)^2-v^2=`

    `=2vecv*Deltavecv+Deltavecv*Deltavecv~=2vecv*Deltavecv`.

    (`**`)

    При этом мы пренебрегли слагаемым `Deltavecv*Deltavecv`. Разумеется, оба слагаемых в сумме `2vecv*Deltavecv+Deltavecv*Deltavecv` малы, но второе значительно меньше первого. Проще всего это понять, если записать эту сумму в виде  `(2vecv+Deltavecv)*Deltavecv`;при этом первое слагаемое в скобке не мало, а второе мало.

    Таким образом, для малых  `Deltat`(малых участков траектории) получаем

    `Delta(mv^2)/2=sum_kDeltaA_(F_k)`.

    Так как это соотношение выполняется последовательно на каждом малом участке траектории, оно будет верно и для всей траектории в форме (2.3).

    2.3. Кинетической энергией системы `N` материальных точек

    (частиц) называют (по определению) сумму кинетических энергий отдельных частиц:

    `K_"системы"=(m_1v_1^2)/2+(m_2v_2^2)/2+...+(m_(N)v_N^2)/2=sum_(i=1)^N (m_iv_i^2)/2`. (2.1`**`)

    Если все частицы системы обладают одинаковой скоростью `vecv` (как это бывает, например, в твёрдом теле при его поступательном (без вращения) движении), то кинетическая энергия системы равна

    `K_"системы"=sum_(i=1)^N (m_iv_i^2)/2=v^2/2 sum_(i=1)^Nm_i=((sum_(i=1)^Nm_i)v^2)/2=(Mv^2)/2`,  где `M=sum_(i=1)^Nm_i`

    есть масса всей системы (например, твёрдого тела).

    Для системы материальных точек также справедлива теорема об изменении кинетической энергии:

    `DeltaK_"системы"=sum_i(m_iv_(i "конечн")^2)/2-sum_i(m_iv_(i "начальн")^2)/2=`

    `=A_"всех сил"=sum_kA_(F_k)`.

    (2,3`**`)

    Заметим, что в формуле (2.3*) стоит сумма работ всех сил, а не только внешних. Последнее легко понять. Представим себе два шарика одинаковой массы  скреплённые лёгкой пружинкой. Пусть на эту систему не действуют никакие внешние силы и пусть в начальный момент пружинка не деформирована, а шарики имели равные по модулю, но противоположно направленные скорости `vecv` и `-vecv` вдоль пружинки. В такой системе возникнут колебания. В начальный момент система обладала кинетической энергией `K_1=2(mv^2)/2=mv^2`. Ясно, что в какой-то момент силы упругости со стороны пружины (это – внутренние силы; пружинка есть часть нашей системы) обратят скорости шариков в нуль. Обратится в нуль при этом и кинетическая энергия системы `K_2=0`. Изменение кинетической энергии системы равно работе сил упругости пружины  `DeltaK=K_2-K_1=-mv^2=A_"внутр"`.

     

  • § 1. Работа силы
    1.1. Работа постоянной силы

    Работой постоянной силы `vecF`, составляющей угол `alpha` с направлением прямолинейного движения, называется скалярная величина, равная произведению модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и на косинус угла между векторами (см. рис. 1):


    `A_F=|vecF|*|Deltavecr|cosalpha`,  (1)

    или в более простых обозначениях (`F=|vecF|`,     `s=|Deltavecr|`)

    `A_F=F*s*cosalpha=F_s*s`,  (1.1*)



    где `F_s=F*cosalpha` - проекция вектора `vecF` на `Deltavecr`. В зависимости от величины угла `alpha` работа силы может быть положительной (если `0<=alpha<pi//2`), отрицательной (если `pi//2<alpha<=pi`)  и равной нулю (если `alpha=pi//2`).

    Заметим, что так определённая работа есть скалярное произведение векторов силы `vecF` и перемещения `Deltavecr`:

    `A_f=vecF*Deltavecr`. (1.1')

    В системе СИ работа измеряется в джоулях: `1` Дж`=1` H`*1` м. По основному свойству скалярного произведения работа может быть представлена в виде суммы произведений проекций на оси координат  векторов силы и перемещения

    `A_f=F_xDeltax+F_yDeltay+F_zDeltaz`. (1.1")

    Реально к телу почти всегда приложена не одна, а несколько сил (см. рис. 1). Формула (1.1) даёт работу одной из них (конкретно силы `vecF`).  Часто приходится вычислять работу каждой силы и работу всех сил (эта величина нам понадобится). По определению работой всех сил, приложенных к телу, называется алгебраическая сумма работ всех этих сил (с учётом знаков каждой):

    `A_"всех сил"=sum_k A_(F_k)`, (1.2)

    т. е. работа определена как аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать).

    Попытка определить работу всех сил как скалярное произведение равнодействующей силы на перемещение в некоторых случаях связано с затруднением: например, невозможно определить равнодействующую пары сил (двух сил равных по величине, но противоположно направленных, приложенных к разным точкам тела).

    1.2. Если сила не постоянна

    Если сила не постоянна или/и движение не является прямолинейным, то

    обобщение понятия работы силы таково (по определению!). Ограничимся рассмотрением материальной  точки  (не протяжённого тела).  Сначала всю траекторию движения  (см. рис. 2)  мысленно разбивают на очень большое число очень маленьких перемещений  `Deltavecr_j` `(j=1,2,3,...,n)`, так что на протяжении отдельного участка сила `vecF`  может считаться постоянной величиной `vecF_j`. Далее на каждом участке  (элементе траектории) `Deltavecr_j` вычисляется элементарная работа (как от постоянной силы) `DeltaA_j=vecF_j*Deltavecr_j=F_(sj)Deltas_j`, а затем суммируются вклады от каждого участка. По определению работой силы при перемещении тела из точки `1` в точку `2` называется скалярная величина, равная алгебраической сумме (с учётом знаков) работ на всех участках движения

    `A_(12)=sum_(j=1)^n vecF_j*Deltavecr_j`. (1.3) 

    Работа аддитивна и в этом смысле.

    1.3. Геометрический смысл работы

    Пусть сила приложена к материальной точке и постоянна, а её проекция на ось

    `Ox` положительна. Пусть, кроме того, точка движется в положительном направлении оси `Ox`. Тогда работа силы при перемещении материальной точки из точки пространства с координатой `x_1` в точку с координатой `x_2` равна 

    `A_(12)=F_x*Deltax=F(x_2-x_1)=S`

    площади заштрихованного прямоугольника на графике зависимости силы от координаты (см. рис. 3).

    Этот наглядный образ во многих случаях облегчает вычисление работы непостоянной силы. Общий принцип такой. Пусть график зависимости проекции силы на ось `Ox` - это кривая на рис. 4 и пусть материальная точка, к которой приложена эта сила, перемещается в положительном направлении оси `Ox` из точки пространства с координатой `x_1`  в точку с координатой `x_2`/ Утверждается, что и в этом случае работа силы равна площади «под кривой» (площади соответствующей  криволинейной  трапеции;  см. рис. 4). 

    Мысленно разбиваем криволинейную трапецию на очень  большое число  очень узких вертикальных  полосок ширины `Deltax_j(j=1,2,3,...,n)` почти прямоугольной формы. Считая, что на протяжении одной полоски сила практически не изменяется, вычисляем сначала элементарную работу  `DeltaA_j=F_j*Deltax_j`. Она совпадает с площадью соответствующей полоски `DeltaA_j=DeltaS_j`. Чтобы найти  работу  силы  на  всём  интервале от `x_1` до `x_2`, нужно просуммировать вклады по всем `Deltax_j` (работа – величина аддитивная!):

    `A_(12)=sum_(j=1)^n F_j*Deltax_j=sum_(j=1)^n DeltaS_j=S`,

    что совпадает с площадью криволинейной трапеции (площадь – тоже величина аддитивная!).

          

    N.B. Наглядный способ нахождения работы силы (как площади) требует осторожности. На рисунках 5 – 6 показаны случаи, когда работа силы (которая может иметь любой знак) равна соответствующей площади с точностью до знака (площадь фигуры положительна). Нужно ещё иметь в виду, что на некоторых участках работа силы может быть положительной, а на других отрицательной. Это важно при вычислении суммы вкладов от каждого участка.

    1.4. Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли

    Вблизи поверхности Земли на любое тело действует сила тяжести `mvecg`, где `m` - масса тела, `g` - ускорение свободного падения. Вычислим работу силу тяжести для трёх случаев движения материальной точки из точки пространства `1` в  точку `2`:  а) вертикально верх;  б) вертикально вниз;  в) сложным обра- зом – сначала  вертикально  вверх до точки `3`,  а затем вертикально вниз до точки `2` (рис. 7).

    В случае:

    a) `A_(12)=-mg*s=-mg(y_2-y_1)=-mg*Deltah`. 

    При этом учтено, что вектор силы тяжести `mvecg` и вектор перемещения направлены в противоположные стороны, угол между ними равен `180^@`, косинус которого равен минус единице (отсюда – знак минус в формуле). `Deltah=h_2-h_1>0`, поэтому работа `A_(12)=-mgDeltah`  силы тяжести при подъёме тела отрицательна;

    б)  `A_(12)=+mg*s=+mg(y_1-y_2)=-mg(y_2-y_1)=-mg*Deltah`.

    При этом учтено, что сила `mvecg` и вектор перемещения направлены в одну сторону, угол между ними равен нулю, косинус которого равен плюс единице. Последнюю формулу мы для единообразия записали в виде `A_(12)=-mgDeltah`, но в ней `Deltah=h_2-h_1<0`, поэтому работа силы тяжести при опускании тела положительна.

    в) `A_(1232)=A_(12)+A_(23)+A_(32)=A_(12)`

    получаем такое же значение работы, как при простом вертикальном подъёме. Учтено, что сумма работ `A_(23)+A_(32)=0`  (см. N.B. выше!), поскольку работа

    `A_(23)=-mg*s_(23)=-mg*(y_3-y_2)`,       

    а    `A_(32)=+mg*s_(32)=+mg*(y_3-y_2)`.

    Отсюда легко понять: как бы сложно ни двигалась материальная точка, если начальная и конечная точки движения одни и те же, то и работа силы тяжести будет одной и той же и будет даваться формулой

    `A_(12)=-mg(h_2-h_1)`.  (1.4)

    Это утверждение можно существенно усилить: не только для движения по вертикали, но и для движения по произвольной траектории работа силы тяжести при перемещении материальной точки из точки пространства `1` в точку `2` (см. рис. 8) даётся формулой (1.4). Для доказательства воспользуемся формулами (1.3) и `(1.1"):

    `A_12=sum_(j=1)^nmvecg*Deltavecr_j=sum_(j=1)^n(mg_xDeltax_j+mg_yDeltay_j+mg_zDeltaz_j)=`

    `=sum_(j=1)^n(-mg)Deltay_j`.

    При этом учтено, что проекции ускорения свободного падения на оси равны `g_x=g_z=0`, `g_y=-g`.  Далее: `A_(12)=-mgsum_(j=1)^n Deltay_j=-mg(y_2-y_1)`.


    1.5. Работа силы упругости

    Рассмотрим  небольшой  шарик   на   пружинке,  который  может  двигаться

    вдоль оси `Ox`. В процессе движения на него действует сила упругости со стороны растягивающейся или сжимающейся пружины `F_"упр"(x)=-k*x`, где `k` - коэффициент жёсткости пружины, `x` - растяжение пружины;  `x=0` - координата шарика для недеформированной пружины (считаем шарик материальной точкой). Вычислим работу силы упругости (именно её, а, например, не внешней силы, подталкивающей или тормозящей шарик) при изменении растяжения от `x_1` до `x_2`. В данном случае сила не постоянна, поэтому нет простой формулы `A_(12)=F_x*Deltax=F(x_2-x_1)`. Наглядный геометрический образ работы позволяет, однако, легко провести её вычисление. Работа силы упругости равна (с точностью до знака!) площади заштрихованной на рис. 9 трапеции:

    `A_(12)=-S=-(a+b)/2 h=(|-kx_1|+|-kx_2|)/2 (x_2-x_1)=`

    `=-(k(x_1+x_2))/2 (x_2-x_1)`,

    или окончательно  

    `A_(12)=-((kx_2^2)/2 -(kx_1^2)/2)`. (1.5)

                                                                                                          

    Как и в случае силы тяжести (см. рассуждения п. 1.4), работа силы упругости зависит только от начального и конечного растяжения пружины, но не зависит от того, какие промежуточные состояния прошёл шарик. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными.

    Разберите самостоятельно случай, когда шарик проскакивает точку с координатой `x_2`, доходит до точки с координатой `x_3>x_2`, после чего возвращается в точку с координатой  `x_2`.  Докажите, что, как и в случае  силы тяжести, работа сил  упругости пружины `A_(1232)=A_(12)` и здесь будет даваться формулой (1.5).

    Не все силы консервативны. Сила трения не консервативна: работа силы трения, действующей на санки, существенно зависит от пути, по какому перемещались санки. Далеко не одно и то же – перевезти груз на санках от одного подъезда до другого или сделать то же самое, но ещё протащить его несколько раз вокруг дома, – работа силы трения в последнем случае будет существенно другой.




  • §7. Энергия и мощность в электрических цепях

    Напомним, что

    потенциал

    `varphi` - это отношение потенциальной энергии `W` (в электрическом поле) пробного заряда `q` к величине этого заряда:  `varphi=W//q`. Напряжение, или разность потенциалов,

    `U=varphi_1-varphi_2=(W_1-W_2)/q`.

    При перемещении заряда из точки с бо́льшим потенциалом `varphi_1` в точку с меньшим потенциалом `varphi_2` часть его потенциальной энергии переходит в другие виды энергии. Если заряд может свободно перемещаться, то возрастает его кинетическая энергия. Если же заряд участвует в создании тока, то выделяется теплота (в резисторе, кипятильнике и т. д.), совершается работа (в электромоторе, электромагните и т. д.) или запасается энергия в элементах цепи (в конденсаторе, аккумуляторе и т. д.). Практически всегда в результате действия электрического тока возникает более одного эффекта, например, при работе электромотора он ещё и греется из-за наличия сопротивления проводов. Однако для расчёта суммарной энергии `W_e` всех эффектов нет необходимости вникать в их суть, так как по закону сохранения энергии она равна уменьшению потенциальной энергии заряда `q`,  протёкшего через участок цепи, находящийся под напряжением  `U:`

    `W_e=W_1-W_2=Uq`.

    Мощность.

    Пусть теперь `U` - напряжение на некотором элементе цепи, `I` - сила тока через него, тогда за время `Deltat` через элемент пройдёт заряд `Deltaq=IDeltat`, а суммарная энергия всех эффектов составит `DeltaW_e=U*Deltaq=UIDeltat`. Если же поделить эту энергию на длительность промежутка времени `Deltat`, то мы получим общую мощность элемента, потребляемую им от остальной части цепи:

    `P=(DeltaW_e)/(Deltat)=(UIDeltat)/(Deltat)=UI`.                                                (7.1)

    Получаемую энергию элемент преобразует в иные виды в соответствии со своим назначением. В зависимости от типа рассматриваемого элемента формуле (7.1) можно дать несколько интерпретаций.

    1. Если рассматриваемый элемент – резистор, то на нём выделяется теплота, а тепловая мощность `P=UI`. Если известно сопротивление `R` резистора, то достаточно знать напряжение или силу тока (одно из двух), так как они связаны законом Ома, а (7.1) можно записать ещё в двух видах:

     `P=UI=(U^2)/R=I^2R`.                                                                           (7.2)

    Последнее выражение по сути эквивалентно закону Джоуля – Ленца, который был установлен Дж.П. Джоулем (1818-1889) и Э.Х. Ленцем (1804-1865) экспериментально в 1841 году: количество теплоты `Q`, выделяющейся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока `I`, сопротивлению `R`  проводника и времени `t` протекания тока:

     `Q=I^2Rt`. 

    2. Если рассматриваемый элемент – электромотор, то он совершает работу, а механическая мощность `P<=UI`. Если пренебречь потерями из-за наличия сопротивления проводов, то можно считать `P=UI`.

    3. Если рассматриваемый элемент – аккумулятор в режиме зарядки, то возрастает энергия химических связей в его растворе, а мощность зарядки `P<=UI`. Доля потерь энергии при зарядке обычно достаточно велика, поэтому приближение `P=UI` не всегда применимо.

    Пример 19

    В доме жителя города `N` испортилась изоляция на проводах, в результате чего её сопротивление в месте повреждения упало до `R=100` Ом. Сколько денег `X` потеряет за время `tau=24` ч невезучий житель из-за утечки электроэнергии? Напряжение в сети `U=220` B, тариф на электроэнергию в городе `N` составляет  `S=1` руб./(кВт`*`ч).

    Решение

    Внесистемная единица измерения энергии «киловатт-час» равна `3,6` МДж, однако переводить все данные в СИ в этой задаче мы не будем.  По формуле (7.2) найдём мощность потерь:  

    `P=U^2//R=0,484` кВт.

    Потери энергии за указанное время `Q=Ptau=11,6` кВт`*`ч, что в денежном эквиваленте даёт  `X=SQ=11` руб.`60` коп.

    Пример 20

    При работе электромотора от источника напряжением `U=15` B через него течёт ток силой `I=1` A. Найдите КПД (коэффициент полезного действия) `eta` мотора, если сопротивление его обмотки  `R=1,2` Ом.

    Решение

    По определению КПД – это отношение полезной энергии (мощности) к затраченной (полной). В нашем случае полная мощность `P=UI`, мощность потерь `P_(-)=I^2R`, полезная мощность `P_+-P-P_-`. КПД мотора

    `eta=(P_+)/P=1-(IR)/U=92%`.

    Работа источника

    При перемещении заряда из точки с меньшим потенциалом `varphi_1` в точку с большим потенциалом `varphi_2` сторонние силы совершают над зарядом положительную работу  `A=W_2-W_1`. Такая ситуация имеет место, например, внутри источника: в процессе прохождения заряда его потенциал увеличивается на величину ЭДС E\mathcal E. Пусть через источник прошёл заряд `Deltaq`, тогда сторонними силами (источником) была совершена работа

    `A_"ист"=`E\mathcal E`*Deltaq`.                                                              (7.3)

    Если заряд `Deltaq` прошёл за время `Deltat`, то средняя сила тока через источник `I=Deltaq//Deltat`, а его средняя мощность

    `P_"ист"=(A_"ист")/(Deltat)=`E\mathcal E`*(Deltaq)/(Deltat)=`EI\mathcal EI.                                                      (7.4)

    При использовании формул (7.3) и (7.4) нужно помнить, что положительным считается заряд (или ток), протёкший через источник в направлении его действия. Заряд (или ток), протёкший в обратном направлении, считается отрицательным. Величина `A_"ист"<0` означает, что источник поглощает энергию из остальной части цепи, то есть ведёт себя как аккумулятор в режиме зарядки.

    Пример 21

    На аккумуляторе написано: `1,2` В и `0,9` А`*`ч. Что означают эти величины? Полагая аккумулятор полностью заряженным и пренебрегая тепловыми потерями, оцените, на сколько градусов можно с его помощью нагреть воду в стакане. Общая теплоёмкость стакана с водой `C=1000` `"Дж"//^@"C"`.

    Решение

    Первая величина – это  номинальное напряжение (ЭДС) аккумулятора: E=1,2\mathcal E=1,2 B. Вторая величина характеризует длительность работы аккумулятора без подзарядки в зависимости от интенсивности использования. Если аккумулятор создаёт большой ток, то он быстро разряжается, а если маленький, – то  работает дольше. Оказывается, что произведение силы тока `I`  на время `t`, в течение которого аккумулятор может создавать такой ток, можно приблизительно считать константой: `It~~q_0`. Именно эта константа и является второй величиной: `q_0=0,9` A`*`ч`=3240` Кл (внесистемная единица измерения заряда «ампер-час» равна `3600` Кл). Хотя формально `q_0` - это заряд, он никоим образом не локализован в каком-то месте аккумулятора; это просто максимальный заряд, который аккумулятор может пропустить по цепи без подзарядки. Следовательно, максимальная энергия, которую может обеспечить аккумулятор

    W=Eq0=3888W=\mathcal Eq_0=3888Дж`~~4` кДж.

    Искомое изменение температуры  `DeltaT=W//C=4^@"C"`.

    Энергия конденсатора

    Рассчитаем энергию `W`, запасённую конденсатором ёмкостью `C`, который заряжен до напряжения `U`. Если подключить к конденсатору резистор (рис. 7.1), то конденсатор будет через него разряжаться, тем самым играя роль источника, ЭДС которого постепенно уменьшается от `U` до `0`. Начальный заряд на конденсаторе `q=CU`. Пусть к некоторому моменту на конденсаторе остался заряд `q_0`, а через резистор протёк заряд `Q`, тогда в силу закона сохранения заряда `q_0=q-Q`, а напряжение на конденсаторе в этот момент

    `V=(q_0)/C=(q-Q)/C=(CU-Q)/C=U-Q/C`.

    Зависимость `V(Q)` изображена на рис. 7.2. После протекания заряда `q` конденсатор полностью разрядится.

    Рассмотрим небольшой заряд `DeltaQ`, протекание которого очень мало изменяет напряжение на конденсаторе. В течении этого промежутка времени конденсатор работает как источник с постоянной ЭДС `V`. Его работу можно выразить по формуле (7.3): `DeltaA=VDeltaQ`. Величине `DeltaA` можно сопоставить на графике площадь заштрихованного прямоугольника, так как его стороны равны `V` и `DeltaQ`. Рассуждая аналогично для других участков `DeltaQ`, приходим к выводу, что работа, совершённая конденсатором в процессе разрядки, пропорциональна общей площади всех таких прямоугольников, равной площади фигуры под графиком `V(Q)` - прямоугольного треугольника с катетами  `U` и `q`:

    `A=1/2Uq`.

    Эта работа совершается за счёт запасённой в конденсаторе энергии, то есть `W=A`, следовательно, искомая энергия

    `W=1/2Uq=1/2CU^2=(q^2)/(2C)`.                                                       (7.5)

    Преобразование энергии в цепи

    Для полноты картины теперь осталось только объединить полученные в этом параграфе формулы в обобщающем законе преобразования энергии:

    `A_"ист"=Q+W_"внеш"+DeltaW`,                                                               (7.6)

    где `A_"ист"` - суммарная работа всех источников цепи, `Q` - суммарное количество выделившейся теплоты на всех элементах цепи, `W_"внеш"` - энергия, переданная внешним телам посредством иных взаимодействий (всех кроме теплового), `DeltaW=W_"кон"-W_"нач"` - изменение энергии, запасённой в элементах цепи. Все перечисленные величины рассчитываются для некоторого (одного и того же для всех) промежутка времени.

    Пример 22

    Незаряженный конденсатор ёмкостью `C` подключили к неидеальному источнику с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r` (рис. 7.3). Найдите количество теплоты `Q`, которое выделится в источнике к моменту окончания зарядки конденсатора.

    Решение

    К моменту окончания зарядки ток прекратится, поэтому в силу второго правила Кирхгофа напряжение на конденсаторе будет равно E\mathcal E,  а его заряд q=CEq=C\mathcal E. Используя (7.5), находим изменения энергии конденсатора `DeltaW=C`E2\mathcal E^2`/2-0`. Заряд `q`, накопленный на конденсаторе, прошёл через источник, значит, последний совершил работу `A_"ист"=`E q=CE2\mathcal E  q=C\mathcal E^2. Иных взаимодействий в данной задаче не имеется, то есть `W_"внеш"=0`. Поэтому из закона изменения энергии (7.6) находим

    `Q=A_"ист"-DeltaW=C`E2\mathcal E^2`/2`.


  • §6. Правила Кирхгофа

    Описанные до сих пор методы применимы лишь к схемам, которые можно представить в виде последовательных и параллельных соединений однотипных элементов. Однако большинство встречающихся на практике схем оказываются сложнее. Для их решения применяют два правила Кирхгофа.

    Первое правило Кирхгофа

    Сумма сил всех токов, втекающих в произвольный узел, равна сумме сил всех токов, вытекающих из этого узла.

    Напомним, что узел – это точка соединения трёх или более проводов.

    Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, так как сумма втекающих токов характеризует заряд, приходящий в узел за некоторое время, а сумма вытекающих – заряд, выходящий из узла за то же время. Равенство этих сумм между собой связано с тем, что заряд в узле не накапливается (заряд может накапливаться только на пластинах конденсаторов). Забегая вперёд, отметим, что второе правило Кирхгофа можно рассматривать как следствие закона сохранение энергии.

    Перед применением правил Кирхгофа нужно обозначить силы токов в каждой ветви цепи.

    Ветвь – это участок цепи между  двумя узлами, не содержащий узлов внутри себя. Все элементы одной ветви соединены последовательно, поэтому силы токов через них одинаковы.

    Кроме того, нужно обозначить заряды на каждом конденсаторе. Выбор направления  тока и выбор, какую из двух обкладок конденсатора считать заряженной положительно, можно делать совершенно произвольным образом. Если выбранное направление тока не совпадёт с фактическим, то просто его сила окажется отрицательной. Если же выбранные знаки зарядов обкладок конденсаторов не совпадут с фактическими, то заряд конденсатора будет отрицательный.

    Если применить первое правило Кирхгофа ко всем узлам, то ровно одно из уравнений окажется следствием остальных. Чтобы этого избежать, достаточно придерживаться простого алгоритма:  уравнения по первому правилу Кирхгофа следует записать для всех узлов кроме одного (любого).

    Для формулировки второго правила Кирхгофа понадобится пара новых определений.

    Контур – это замкнутый участок цепи. Чтобы указать контур, нужно, начав с некоторой точки цепи, пройти по какой-либо траектории вдоль элементов цепи и вернуться в исходную точку.

    Выбрав контур, необходимо указать направление обхода. Для любого контура их существует ровно два: по часовой стрелке или против. Если контур задан перечислением элементов, то направление обхода определяется их порядком. При выборе контура на схеме удобнее отмечать направление обхода стрелочкой.

    Второе правило Кирхгофа.

    Алгебраическая сумма ЭДС источников в произвольном контуре равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах этого контура. 

    Знак каждого из слагаемых в обеих суммах зависит от направления обхода контура и определяется по соответствующим правилам знаков.

    Правило знаков для источников. Если направление обхода контура совпадает с направлением действия источника, то перед его ЭДС ставится плюс, иначе – минус.

    Правило знаков для резисторов. Если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока `I` через резистор сопротивлением `R`, то напряжение на резисторе записывается как `U=RI`, иначе `U=-RI`. 

    Правило знаков для конденсаторов. Напряжение на конденсаторе ёмкостью `C` записывается как `U=q//C`, где `q` - заряд первой встреченной при обходе обкладки конденсатора, в качестве которого может оказаться как `+q`, так и `-q` в зависимости от изначального выбора знаков зарядов на обкладках.

    Все перечисленные правила знаков для второго правила Кирхгофа проиллюстрированы на рис. 6.1. Обведённые выражения – это слагаемые, соответствующие конкретному элементу при обходе его слева направо.

    Если применить второе правило Кирхгофа ко всем контурам, то ряд уравнений будут зависимыми, а система – переполненной. Если же какой-то из элементов не войдёт ни в один контур, то система будет неразрешимой. Поэтому для записи уравнений по второму  правилу Кирхгофа необходимо выбрать контура так, чтобы каждый элемент входил хотя бы в один из выбранных контуров, а общее число уравнений с учётом записанных по первому правилу Кирхгофа было равно числу неизвестных сил токов, то есть числу ветвей.

    Система уравнений, записанная с использованием обоих правил Кирхгофа, является полной, то есть позволяет найти все силы токов и напряжения.

    Пример 16

    Некоторая страшная схема имеет `u=1024` узла и `v=2009` ветвей. Найдите число `p_2` контуров, к которым придётся применить второе правило Кирхгофа, чтобы найти все силы токов в цепи.

    Решение

    Число `n` уравнений в полной системе равно числу неизвестных сил токов, которое равно числу ветвей: `n=v`. Используя первое правило Кирхгофа, можно записать `p_1=u-1` независимых уравнений. Для записи остальных уравнений потребуется второе правило Кирхгофа, то есть придётся рассмотреть `p_2=n-p_1=v-u+1=986` контуров.

    Пример 17

    Запишите систему уравнений, с помощью  которой можно найти силы всех токов в цепи, схема которой изображена на рис. 6.2. Параметры элементов, отмеченные на рис., известны.

    Решение

    1. Обозначим   направления  и  силы   токов  во  всех  ветвях (рис. 6.3).

    2. Применим первое правило Кирхгофа для всех узлов:

    узел 1:   I1+I2=I7;узел 2:   I4+I7=I6;узел 3:   I5+I6=I8;узел 4:          I3=I1+I5;узел 5:          I8=I2+I3+I4.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{узел}\;1:\;\;\;I_1+I_2=I_7;\\\mathrm{узел}\;2:\;\;\;I_4+I_7=I_6;\\\mathrm{узел}\;3:\;\;\;I_5+I_6=I_8;\\\mathrm{узел}\;4:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_3=I_1+I_5;\\\mathrm{узел}\;5:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_8=I_2+I_3+I_4.\end{array}\right.

    Легко убедиться, что любое из записанных уравнений является следствием четырёх других, например, последнее уравнение можно получить как сумму остальных, поэтому в систему его можно не включать. Таким образом, не следуя первому алгоритму, мы сделали лишнюю работу.

    3. Игнорировать второй алгоритм мы не будем, так как тогда пришлось бы выписать уравнения аж для `17` контуров (читателям предлагается найти все их самостоятельно). Применим второе правило Кирхгофа к четырём контурам (направления обходов обозначены на рис. 6.3 дугами со стрелочками):

    контур O1  1-R1-4-R3-5-R2-1:  0=-R1I1-R3I3+R2I2;контур O2  1-E1-2-R4-5-R2-1:  E1=-R4I4+R2I2;контур O3  2-R6-3-E2-5-R4-2:  E2=R6I6+R4I4;контур O4  4-R5-3-E2-5-R3-4:  E2=R5I5+R3I3. \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{контур}\;O_1\;\;\left(1-R_1-4-R_3-5-R_2-1\right):\;\;0=-R_1I_1-R_3I_3+R_2I_2;\\\mathrm{контур}\;O_2\;\;\left(1-{\mathcal E}_1-2-R_4-5-R_2-1\right):\;\;{\mathcal E}_1=-R_4I_4+R_2I_2;\\\mathrm{контур}\;O_3\;\;\left(2-R_6-3-{\mathcal E}_2-5-R_4-2\right):\;\;{\mathcal E}_2=R_6I_6+R_4I_4;\\\mathrm{контур}\;O_4\;\;\left(4-R_5-3-{\mathcal E}_2-5-R_3-4\right):\;\;{\mathcal E}_2=R_5I_5+R_3I_3.\;\end{array}\right.\\\end{array}

    4. В итоге мы получим систему из `8` независимых уравнений. Неизвестных сил токов тоже `8`. Система является линейной и имеет единственное решение.

    Пример 18

    Докажите справедливость формул (5.3) и (5.4) на примере трёх источников постоянного тока.

    Решение

    Пусть три параллельно соединённых источника с ЭДС E1\mathcal E_1, E2\mathcal E_2 и E3\mathcal E_3, и внутренними сопротивлениями `r_1`, `r_2` и `r_3` подключены к резистору сопротивлением `R` (рис. 6.4). Обозначим силы токов в четырёх ветвях через `I_1`, `I_2`, `I_3` и `I`. Запишем правила Кирхгофа (контуры обходим по часовой стрелке, как и отмечено на рис. 6.4 дугами со стрелочками):

    узел1:                                         I=I1+I2+I3;контур 1-E1-r1-2-R-1: E1=r1I1+RI;контур 1-E2-r2-2-R-1: E2=r2I2+RI;контур 1-E3-r3-2-R-1: E3=r3I3+RI.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{узел}1:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=I_1+I_2+I_3;\\\mathrm{контур}\;1-{\mathcal E}_1-r_1-2-R-1:\;{\mathcal E}_1=r_1I_1+RI;\\\mathrm{контур}\;1-{\mathcal E}_2-r_2-2-R-1:\;{\mathcal E}_2=r_2I_2+RI;\\\mathrm{контур}\;1-{\mathcal E}_3-r_3-2-R-1:\;{\mathcal E}_3=r_3I_3+RI.\end{array}\right.

    Выразим `I_1`, `I_2` и `I_3` из последних трёх уравнений:

    I1=E1-RIr1,   I2=E2-RIr2,   I3=E3-RIr3.I_1=\dfrac{{\mathcal E}_1-RI}{r_1},\;\;\;I_2=\dfrac{{\mathcal E}_2-RI}{r_2},\;\;\;I_3=\dfrac{{\mathcal E}_3-RI}{r_3}.

    Подставим полученные выражения в первое уравнение:

    I=E1-RIr1+E2-RIr2+E3-RIr3,I=\dfrac{{\mathcal E}_1-RI}{r_1}+\dfrac{{\mathcal E}_2-RI}{r_2}+\dfrac{{\mathcal E}_3-RI}{r_3},

    откуда найдём

    I=E1r1+E2r2+E3r31+R1r1+1r2+1r3.I=\dfrac{\frac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\frac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\frac{{\mathcal E}_3}{r_3}}{1+R\left(\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}\right)}.

    Если бы вместо трёх источников был подключён один с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r`, то сила тока в цепи была бы`I_"экв"=`E\mathcal E`/(r+R)`. Преобразуем (6.1) так, чтобы можно было сопоставить формулы для  `I` и `I_"экв"`:

    I=E1r1+E2r2+E3r3·11r1+1r2+1r311r1+1r2+1r3+R.I=\dfrac{\left(\frac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\frac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\frac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot{\displaystyle\frac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}}}}{{\displaystyle\frac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}}}+R}.

    Для эквивалентных фрагментов цепи равенство `I_"экв"=I` должно выполняться при любых  `R`, что возможно, лишь если

    E=E1r1+E2r2+E3r3·11r1+1r2+1r3,    r=11r1+1r2+1r3\mathcal E=\left(\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\dfrac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\dfrac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot\dfrac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}},\;\;\;\;r=\dfrac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}}

    Итак, мы доказали справедливость формул (5.3) и (5.4) в случае трёх источников с одинаковой полярностью. Аналогично можно рассмотреть любой из случаев с различной полярностью источников.



    1. §5. Источники постоянного тока

      В качестве источников постоянного тока могут использоваться батарейки, аккумуляторы, солнечные батареи и т. д. Внутри любого источника обязательно существуют сторонние силы – неэлектростатические силы,  действующие на носители заряда, например, механические и магнитные силы в генераторе, химические взаимодействия в батарейке. Важно, что сторонние силы  не являются электростатическими, так как электростатическое поле потенциально, то есть не совершает работу при движении носителей заряда по замкнутой траектории. В результате же работы сторонних сил возрастает потенциальная 



      энергия носителей заряда, которая переходит в другие виды энергии при протекании тока через остальные элементы цепи. Потенциал заряда на выводе «`+`» больше, чем потенциал заряда на выводе «`-`». На рис. 5.1 показано направление тока, возникающего при подключении резистора к источнику: во внешней по отношению к источнику части цепи ток идёт от плюса к минусу, а внутри источника – от минуса к плюсу. Направление «от минуса к плюсу» внутри источника будем называть направлением действия источника.  С направлением действия однозначно связана полярность источника, определяющая, какой из выводов является плюсом, а какой – минусом. 


      Электродвижущая сила (ЭДС)

      E\mathcal E источника – это его параметр, равный отношению работы `A` сторонних сил над зарядом `q`, протёкшим через источник в направлении его действия, к величине этого заряда: E\mathcal E`=A//q`. Сравнив это определение с известным из электростатики определением напряжения между двумя точками, можно заключить, что ЭДС равна напряжению на выводах источника при отсутствии тока через него (в режиме холостого хода).

      Внутреннее сопротивление источника – это общее сопротивление всех его внутренних элементов. При возникновении тока через источник часть его ЭДС будет «тратиться» на преодоление внутреннего сопротивления, поэтому напряжение на выводах будет меньше, чем ЭДС.

      Идеальный источник имеет нулевое внутреннее сопротивление, поэтому напряжение на его выводах равно ЭДС вне зависимости от силы тока через него.


      Реальный источник с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r` (рис. 5.2) эквивалентен последовательно соединённым идеальному источнику с той же ЭДС E\mathcal E и резистору сопротивлением `r` (рис. 5.3).


      Пример 13

      Источник с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r` подключили к резистору сопротивлением `R` (рис. 5.4). Найдите силу тока `I` в цепи. Рассмотрите также случай короткого замыкания источника.

      Решение

      Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R`. По закону Ома I=EI=\mathcal E`/R_"общ"=`E\mathcal E`/(r+R)`. В случае короткого замыкания `R=0`, тогда `I_"КЗ"=`E\mathcal E`/r`.


      Последовательное соединение

      Рассмотрим последовательное соединение источников с ЭДС E1, E2,...,En\mathcal E_1, \mathcal E_2,...,\mathcal E_n и внутренними сопротивлениями `r_1,r_2,...,r_n`.  Каждый источник (пусть он идёт под номером `i<=n`) можно заменить на идеальный источник с ЭДС Ei\mathcal E_i и резистор сопротивлением `r_i`. Все резисторы можно заменить одним резистором сопротивлением

      `r=r_1+r_2+...+r_n`,                                                     (5.1)

      а все источники – одним источником с ЭДС

      E=±E1±E2±...±En,\mathcal E=\pm{\mathcal E}_1\pm{\mathcal E}_2\pm...\pm{\mathcal E}_n,                                               (5.2)

      где знак перед каждой ЭДС зависит от полярности источника: если направление действия `i`-го источника совпадает с направлением действия заменяющего источника, то перед Ei\mathcal E_i ставится плюс, иначе – минус. Полярность заменяющего источника можно изначально выбрать произвольно, так как при её изменении одновременно меняются и направление его действия, и знак ЭДС, что в силу математического правила «минус на минус даёт плюс» не изменяет никакие конечные формулы. Выражение (5.2) может быть получено из свойства сложения напряжений при последовательном соединении. Таким образом, последовательное соединённые источники эквивалентны одному источнику с внутренним сопротивлением `r` (5.1) и ЭДС E\mathcal E (5.2).


      Пример 14

      Загорится ли лампочка, если минимально заметное свечение возникает при протекании через неё тока силой `I_0=30` мА (рис. 5.5)? Параметры элементов: E1=9\mathcal E_1=9 B, E2=4,5\mathcal E_2=4,5 B, E3=1,5\mathcal E_3=1,5 B,  `r_1=20` Ом, `r_2=10` Ом, `r_3=5` Ом, `R=40` Ом, сопротивление лампочки считайте постоянным и равным `R_x=30` Ом. 

      Решение

      Заменим все источники одним с внутренним сопротивлением `r=r_1+r_2+r_3=35` Ом и ЭДС E=E1-E2-E3=3\mathcal E=\mathcal E_1-\mathcal E_2-\mathcal E_3=3 B (рис. 5.6). Обратите внимание на выбор знаков ЭДС (только источник E1\mathcal E_1 ориентирован так же, как и E\mathcal E) и на отсутствие минусов в выражении для `r` (сопротивления всегда суммируются). Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R+R_x=105` Ом, сила тока `I=`E\mathcal E`/R_"общ"~~29` мА. Поскольку `I<I_0`, то лампочка не загорится. 


      Параллельное соединение.

      Параллельно соединённые источники с ЭДС E1,E2,...,En\mathcal E_1,\mathcal E_2,...,\mathcal E_n и внутренними сопротивлениями `r_1,r_2,...,r_n` эквивалентны одному источнику с внутренним сопротивлением

        `r=1/(1/r_1+1/r_2+...+1/r_n)`                                       (5.3)

      и ЭДС

       E=±E1r1±E2r2±...±Enrn·r,\mathcal E=\left(\pm\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}\pm\dfrac{{\mathcal E}_2}{r_2}\pm...\pm\dfrac{{\mathcal E}_n}{r_n}\right)\cdot r,                                  (5.4)

      где знак перед каждой ЭДС определяется по тому же правилу, что и в случае последовательного соединения. Справедливость формул (5.3) и (5.4) будет доказана после изучения правил  Кирхгофа.


      Пример 15

      Загорится ли лампочка (рис. 5.7)? Параметры элементов цепи те же, что и в предыдущем примере.

      Решение

      Заменим все источники одним (5.6) с внутренним сопротивлением

      `r=1/(1/r_1+1/r_2+1/r_3)~~2,86` Ом`~~3` Ом

      и ЭДС 

      E=E1r1-E2r2+E3r3·r0,9 B.\mathcal E=\left(\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}-\dfrac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\dfrac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot r\approx0,9\;\mathrm B.

      Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R+R_x=73` Ом, сила тока

      `I=`E\mathcal E`/R_"общ"~~12` мА.

      Поскольку `I<I_0`, то лампочка не загорится.

      Последние два примера показывают, что включение источников с различными направлениями действия крайне неэффективно (ведь лампочка так и не загорелась). Для сравнения рассмотрим схему с только одним (первым) источником. Тогда общее сопротивление цепи `R_"общ"=r_1+R+R_x=90` Ом, сила тока

      `I=``E1\mathcal E_1`/R_"общ"~~100` мА.

      Поскольку `I~~3,3I_0>I_0`, то лампочка загорится ярко. Таким образом, второй и третий источники лишь «мешали» первому.

      Третий источник мешает даже в схеме на 5.7, хотя там направления действия E1\mathcal E_1 и E3\mathcal E_3 совпадают. Для простоты рассмотрим эту схему без второго источника, тогда оставшиеся два источника эквивалентны одному с внутренним сопротивлением `r` и ЭДС E\mathcal E:

      `r 1/(1/r_1+1/r_3)=4` Ом,   E=E1r1+E3r3·r=3 B.\mathcal E=\left(\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\dfrac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot r=3\;\mathrm B.  

      Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R+R_x=74` Ом, сила тока

      `I=`E\mathcal E`/R_"общ"~~41` мА.

      Поскольку `I~~1,4I_0>I_0`, то лампочка загорится, однако не так ярко, как в предыдущем случае. Причина такого эффекта от дополнительного источника заключается в том, что E1\mathcal E_1`!=`E3\mathcal E_3, из-за чего источник с большей ЭДС «тратит» часть её на создание в источнике с меньшей ЭДС тока, противоположного направлению действия источника с меньшей ЭДС.


      Рекомендация

      Выводом из приведённого анализа различных подключений источников является практическая рекомендация: для достижения максимальной эффективности батарейки следует соединять последовательно, причём с одинаковой полярностью (плюс одной соединяется с минусом другой) Если же их соединить параллельно, то даже при выключенной внешней цепи они достаточно быстро разрядятся одна через другую, так как не найдётся реальных батареек с  точно совпадающими ЭДС.



    2. §4. Последовательное и параллельное соединения

      Для расчёта цепей особое значение имеют два типа соединений элементов: последовательное и параллельное. В ходе их анализа достаточно изобразить на схеме лишь рассматриваемый участок (а не всю цепь), поэтому возможные подключения других элементов цепи мы будем отмечать на схеме многоточиями  .

      Два элемента, имеющих по два вывода у каждого, называются соединёнными последовательно, если есть точка соединения одного вывода первого элемента с одним выводом второго элемента и к этой точке больше ничего не подключено, либо если есть третий элемент, который соединён последовательно с каждым из двух рассматриваемых.

      Два  элемента, имеющих по два вывода у каждого, называются соединёнными параллельно, если есть точка соединения одного вывода первого элемента с одним выводом второго элемента, а также есть точка соединения другого вывода первого элемента с другим выводом второго элемента.

      4.1 Основные свойства и примеры соединений

      Последовательное соединение

      Последовательно соединённые резисторы можно видеть на рис. 4.1 и 4.2, а конденсаторы – на рис. 4.3 и 4.4. Последовательно можно соединить любое количество элементов, причём они могут быть разных типов (рис. 4.5).


       

      Вне зависимости от количества (пусть их будет `n` штук) и типа последовательно соединённых элементов справедливы следующие утверждения:

      1. Общая сила тока через последовательно соединённые элементы равна силе тока через любой из них:

       `I=I_1=I_2=...=I_n`.                                                                           (4.1)

      2. Общее напряжение на последовательно соединённых элементах равно сумме напряжений на каждом из них:

      `U=U_1+U_2+...+U_n`.                                                                       (4.2)

      Параллельное соединение

       Параллельно соединённые резисторы можно видеть на рис. 4.6 и 4.7, а конденсаторы – на рис. 4.8 и 4.9. Параллельно можно соединить любое количество элементов, причём они могут быть разных типов (рис. 4.10).

      Вне зависимости от количества (пусть их будет `n` штук) и типа параллельно соединённых элементов справедливы следующие утверждения:

      1. Общая сила тока через параллельно соединённые элементы равна сумме сил токов через каждый из них:

       `I=I_1+I_2+...+I_n`.                                                                             (4.3)

      2. Общее напряжение на параллельно соединённых элементах равно напряжению на любом из них:

      `U=U_1=U_2=...=U_n`.                                                                        (4.4)

      Замечания

      При использовании формул (4.2) и (4.3) очень важно помнить, что сумма в них подразумевается алгебраическая (с учётом знака). Если полярность некоторого элемента не соответствует полярности последовательного соединения в целом, то в (4.2) перед напряжением на этом элементе следует ставить минус. Если ток через некоторый элемент направлен против тока через параллельное соединение в целом, то в (4.3) перед силой тока через этот элемент следует ставить минус.

      Другие случаи

      Существует множество схем, элементы которых соединены не последовательно, но и не параллельно. Приведём в качестве примера пару таких схем, которые даже получили собственные названия: «треугольник» (рис. 4.11) и «звезда» (рис. 4.12). Одним из методов упрощения схем является преобразование «треугольника» в «звезду».

      Пример 4

      Как (последовательно или параллельно) соединены батарейка, лапочка и ключ в карманном фонарике?

      Решение

      Рассмотрим оба соединения: последовательное (рис. 4.13) и параллельное (рис. 4.14). В первой схеме: когда ключ замкнут, лампочка горит; а когда разомкнут, – не  горит.  Во второй схеме: когда ключ разомкнут, лампочка горит; а когда  замкнут, существенная часть создаваемого батарейкой тока пойдёт через ключ (а не через лампочку). Про лампочку в этом случае мы пока (до следующего параграфа) ничего сказать не можем, однако ясно, что во второй схеме ток через батарейку идёт при любом положении ключа, то есть она разряжается всё время (даже при выключенном фонарике). Следовательно, вторая схема нерациональна и на практике не используется. Таким образом, ответ получен – элементы соединены последовательно.

       .               

      Пример 5

      Как (последовательно или параллельно) соединены несколько лампочек в обычной люстре?

      Решение

      Без сомнения всем случалось наблюдать люстру, в которой горят не все лампочки (остальные перегорели или выкручены). У перегоревшей лампочки разрывается спираль и она больше не пропускает ток. Если бы лампочки были соединены последовательно, то в силу (4.1) сила тока через все лампочки была бы равна нулю, то есть ни одна лампочка не горела бы. Это противоречит экспериментальным наблюдениям, следовательно, лампочки в люстре соединены параллельно.

      Пример 6

      Как (последовательно или параллельно) соединены между собой телевизор и холодильник, включённый в сеть в одной комнате?

      Решение

      Напряжение сети (`220` В) одинаково для каждого бытового электроприбора вне зависимости от того, что включено в соседнюю розетку. Это полностью соответствует свойству (4.4). Кроме того, можно непосредственно проследить путь проводов, и тогда от любого прибора мы придём к счётчику электроэнергии. Таким образом, все приборы в одной квартир соединены параллельно. Утверждать то же самое для приборов в разных квартирах нельзя, так как счётчик у них не общий.

      4.2. Резисторы

      Рассмотрим последовательное (рис. 4.15) и параллельное (рис. 4.16) соединения двух резисторов сопротивлениями `R_1` и `R_2`.  В обоих случаях напряжения `U_1` и `U_2` на каждом из резисторов и силы токов `I_1` и `I_2` через них связаны законом Ома, который мы запишем в двух видах:

      `U_1=R_1I_1`, `U_2=R_2I_2`,                                                    (4.5)

      или

           `I_1=(U_1)/(R_1)`,   `I_2=(U_2)/(R_2)`.                                                     (4.6)

      А вот общее напряжение `U` на обоих резисторах и общая сила тока `I` через них  будут зависеть от способа подключения.

        

      Последовательное соединение

      В случае последовательного соединения `U=U_1+U_2`, `I=I_1=I_2`. Используя эти свойства и соотношения (4.5), выразим общее сопротивление участка цепи, состоящего из двух резисторов:

      `R=U/I=(U_1+U_2)/I=(R_1I_1+R_2I_2)/I=(R_1I+R_2I)/I=R_1+R_2`.

      Это означает, что два последовательно соединённых резистора сопротивлениями `R_1` и `R_2` эквивалентны одному резистору сопротивлением  `R=R_1+R_2`.

      Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: последовательно соединённые резисторы сопротивлениями `R_1,R_2,...R_n`  эквивалентны одному резистору сопротивлением

      `R=R_1+R_2+...+R_n`.                                                         (4.7)

      Параллельное  соединение

      В  случае  параллельного  соединения `U=U_1=U_2`, `I=I_1+I_2`. 

       Используя эти свойства и соотношения (4.6), выразим общее сопротивление участка цепи, состоящего из двух резисторов:

      `R=U/I=U/(I_1+I_2)=U/(U_1/R_1+U_2/R_2)=U/(U/R_1+U/R_2)=1/(1/R_1+1/R_2)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)`.

      Это означает, что два параллельно соединённых резистора сопротивлениями `R_1` и `R_2` эквивалентны одному резистору сопротивлением

      `R=(R_1R_2)/(R_1+R_2)`.                                                          (4.8)

      Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: параллельно соединённые резисторы сопротивлениями `R_1,R_2,...,R_n` эквивалентны одному резистору сопротивлением

      `R=1/(1/R_1+1/R_2+...+1/R_n)`.                                                   (4.9)

      Отметим, что выражение (4.8) получено после алгебраического преобразования, пригодного только для случая двух резисторов, поэтому его формальное обобщение приводит к неправильному (даже по размерности!) результату:

      R=R1R2·...·RnR1+R2+...+Rn.\xcancel{R=\dfrac{R_1R_2\cdot...\cdot R_n}{R_1+R_2+...+R_n}.}

      Пример 7

      Найдите сопротивление  `R` изображённого на рис. 4.17 участка цепи. Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.

      Решение

      Резисторы `R_2` и `R_3` соединены параллельно, поэтому их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(23)=R_2R_3//(R_2+R_3)`. После замены резисторы `R_1` и `R_(23)` оказываются соединены последовательно, значит, их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(123)=R_1+R_(23)`. После второй замены остаётся один резистор, следовательно, искомое сопротивление

      `R=R_(123)=R_1+R_(23)=R_1+(R_2R_3)/(R_2+R_3)`.

        

      Пример 8

      Найдите сопротивление `R` изображённого на рис. 4.18 участка цепи. Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.


      Решение

      Резисторы `R_1` и `R_2` соединены последовательно, поэтому их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(12)=R_1+R_2`. После замены резисторы `R_(12)` и `R_3` оказываются соединены параллельно, значит, их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(123)=R_(12)R_3//(R_(12)+R_3)`. После второй замены остаётся один резистор, следовательно, искомое сопротивление

      `R=R_(123)=(R_(12)R_3)/(R_(12)+R_3)=((R_1+R_2)R_3)/((R_1+R_2)+R_3)`.


      Пример 9

      Найдите отношение напряжений `U_1` и `U_2` на резисторах `R_1` и `R_2`, а также отношение сил токов `I_3` и `I_4` через резисторы `R_3` и `R_4` (4.19). Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.

      Решение

      1. В силу свойств последовательного соединения силы токов через резисторы `R_1` и `R_2` одинаковы: `I_1=I_2`. По закону Ома `U_1=R_1I_1` и `U_2=R_2I_2`.

      Отсюда искомое отношение `U_1//U_2=R_1//R_2`.

      2. В силу свойств параллельного соединения напряжения на резисторах `R_3` и `R_4` одинаковы: `U_3=U_4`. По закону Ома  `I_3=U_3//R_3` и `I_4=U_4//R_4`. Отсюда искомое отношение  `I_3//I_4=R_4//R_3`.

      Обратите внимание, что каждый из ответов не зависит от остальной части схемы. Таким образом, напряжения на последовательно соединённых резисторах пропорциональны их сопротивлениям, а силы тока через параллельно соединённые резисторы обратно пропорциональны их сопротивлениям.

      Пример 10

      Найдите силу тока `I` через источник постоянного тока, напряжение на котором постоянно и равно `U` (4.19). Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.

      Решение

      Резисторы `R_3` и `R_4` соединены параллельно, поэтому их можно заменить на один резистор сопротивлением `R_(34)=R_3R_4//(R_3+R_4)`. После замены резисторы `R_1`, `R_2` и `R_(34)` оказываются соединены последовательно (4.20), значит, их можно заменить одним резистором сопротивлением

      `R=R_1+R_2+R_(34)=R_1+R_2+(R_3R_4)/(R_3+R_4)`.

      В результате в схеме остаются только источник и один резистор (4.21). Их можно рассматривать как соединённые и последовательно, и параллельно. В силу первого сила тока через резистор равна искомой, а в силу второго напряжение на резисторе равно `U`. Тогда по закону Ома

      `I=U/R=U/(R_1+R_2+(R_3R_4)/(R_3+R_4))`.

      4.3. Конденсаторы

      Прежде чем перейти к расчётам цепей с конденсаторами, вспомним их основные свойства, которые были подробно изучены в рамках электростатики.

      Конденсатор – это система из двух изолированных друг от друга проводников (называемых обкладками), к которым подведены контакты.

      В обычном режиме работы конденсатора заряды обкладок противоположны (равны по модулю и имеют разные знаки). Это условие может быть нарушено, если на одной из обкладок изначально был ненулевой заряд, что можно осуществить только при «изготовлении» конденсатора (но не за счёт каких-либо подключений его к цепи, так как заряд притёкший по проводу на одну обкладку, заставляет такой же по величине заряд покинуть другую обкладку по второму проводу конденсатора). Далее всюду будем предполагать обычный режим, если иное не оговорено особо.

      Заряд на конденсаторе – это заряд одной  из обкладок, выбор которой является такой же условностью, как и выбор положительного направления тока в определении силы тока.

      Следует чётко отличать приведённое выше понятие заряда на конденсаторе, применяемое при расчётах цепей, от полного заряда конденсатора как тела (суммы зарядов всех его частиц), который в обычном режиме равен нулю. Наличие зарядов на обкладках приводит к появлению между ними разности потенциалов, которая называется напряжением на конденсаторе.

      Ёмкость конденсатора `C` - это величина, равная отношению заряда `q` на конденсаторе к напряжению `U` на нём: `C=q//U`.  Ёмкость измеряется в фарадах (Ф), причём Ф`=`Кл/В. 

      Рассмотрим последовательное  (рис. 4.22) и параллельное (рис.4.23) соединения двух конденсаторов ёмкостями `C_1` и `C_2`. В обоих случаях напряжения `U_1` и `U_2` на каждом из конденсаторов и заряды `q_1` и `q_2` на них можно связать через ёмкости:

      `U_1=(q_1)/(C_1)`,     `U_2=(q_2)/(C_2)`,                                           (4.10)

      или                                                                           

            `q_1=C_1U_1`,     `q_2=C_2U_2`.                                                  (4.11)

      А вот общее напряжение `U` на обоих конденсаторах и общий заряд `q` на конденсаторах в целом (заряд, протёкший через точку `A` в процессе зарядки) будут зависеть от способа подключения.   

        

      Последовательное соединение

      В случае последовательного соединения `U=U_1+U_2`, а заряд `q`, протёкший через точку `A`, окажется на каждом из конденсаторов, то есть `q=q_1=q_2`. Используя эти свойства и соотношения (4.10), выразим общую ёмкость участка цепи, состоящего из двух конденсаторов:

      `C=q/U=q/(U_1+U_2)=q/(q_1/C_1+q_2/C_2)=q/(q/C_1+q/C_2)=1/(1/C_1+1/C_2)=(C_1C_2)/(C_1+C_2)`.

      Это означает, что два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями `C_1` и `C_2`, заряженных соответственно до напряжений `U_1` и `U_2`,  эквивалентны одному конденсатору ёмкостью

      `C=(C_1C_2)/(C_1+C_2)`,                                                          (4.12)

      заряженному до напряжения  `U=U_1+U_2` и несущему заряд  `q=CU`.

      Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: последовательно соединённые конденсаторы ёмкостями `C_1,C_2,...C_n`, заряженные соответственно до напряжений `U_1,U_2,...,U_n`, эквивалентны одному конденсатору ёмкостью `C`, заряженному до напряжения `U` (соответствующего заряду  `q=CU`):

                  `C=1/(1/C_1+1/C_2+...+1/C_n)`,         `U=U_1+U_2+...+U_n`.                                (4.13)

      Отметим, что выражение (4.12) получено после алгебраического преобразования, пригодного для случая двух конденсаторов, поэтому его формальное обобщение приводит к неправильному (даже по размеренности!) результату:

      C=C1C2·...·CnC1+C2+...+Cn.\xcancel{C=\dfrac{C_1C_2\cdot...\cdot C_n}{C_1+C_2+...+C_n}}.

      Параллельное соединение

      В случае параллельного соединения `U=U_1=U_2`, а заряд `q`, протёкший через точку `A`, разделится между конденсаторами, то есть `q=q_1+q_2`. Используя эти свойства и соотношения (4.11), выразим общую ёмкость участка цепи, состоящего из двух конденсаторов:

      `C=q/U=(q_1+q_2)/U=(C_1U_1+C_2U_2)/U=(C_1U+C_2U)/U=C_1+C_2`.

      Это означает, что два параллельно соединённых конденсатора ёмкостями `C_1` и `C_2`, несущие соответственно заряды `q_1` и `q_2`, эквивалентны одному конденсатору ёмкостью `C=C_1+C_2`, несущему заряд `q=q_1+q_2` и заряженному до напряжения `U=q//C`. 

      Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: параллельно соединённые конденсаторы ёмкостями `C_1,C_2,...,C_n`, несущие соответственно заряды `q_1,q_2,...,q_n`, эквивалентны одному конденсатору ёмкостью `C`, несущему заряд  `q` (соответствующий напряжению  `U=q//C`):

      `C=C_1+C_2+...+C_n`,      `q=q_1+q_2+...+q_n`.                                          (4.14)

      Замечание

      Суммы напряжений в (4.13) и зарядов в (4.14) подразумеваются алгебраические (с учётом полярности заряженных конденсаторов). А вот в выражениях для общей ёмкости минусов никогда не бывает. Формулы (4.13) и (4.14) справедливы при любых напряжениях на конденсаторах (даже не только для обычного режима), в частности, когда некоторые конденсаторы заряжены, а некоторые – нет. Из понятия эквивалентности следует, что если к системе конденсаторов подключить вольтметр, то он покажет напряжение на эквивалентном конденсаторе, а если систему конденсаторов замкнуть проводом, то по нему протечёт заряд эквивалентного конденсатора.

      Пример 11

      Три конденсатора ёмкостями `C_1=20` мкФ, `C_2=40` мкФ и `C_3=40` мкФ соединили последовательно с ключом (рис. 4.24). Конденсатор `C_1` изначально был не заряжен, а напряжения на конденсаторах `C_2` и `C_3` были соответственно `U_2=2` B и `U_3=3` B. Найдите заряд  `q`, который протечёт через ключ после замыкания цепи.

      Решение

      Искомая величина – это заряд эквивалентного конденсатора. В соответствии с (4.13) сначала найдём его ёмкость

      `C=1/(1/C_1+1/C_2+1/C_3)=10` мкФ,

      а потом выразим напряжение `U=0+-U_2+-U_3`. 

      Знаки `+-` означают, что нам неизвестно, в какой полярности конденсаторы соединены друг с другом. В зависимости от выбора знаков мы получим четыре значения для `U:` `5`B,  `1`B, `-1`B, `-5`B. Поскольку в итоге нам нужно найти `|q|=C|U|`, то последние два значения `U` дадут тот же результат, что и первые два, поэтому их можно отбросить. Из оставшихся двух выбрать какое-то одно невозможно (не хватает данных). Поэтому задача имеет два ответа:  `q_1=50` мкКл и `q_2=10` мкКл.

      Пример 12

      Цепь собрана из бесконечного числа звеньев, состоящих из двух конденсаторов ёмкостями `C_1` и `C_2` (рис. 4.25). Многоточия на этой схеме обозначают остальные звенья цепи, а не произвольные элементы. Чему эквивалентен участок цепи между точками  `A` и `B`?

      Решение

      Любая схема, состоящая только из конденсаторов и имеющая два вывода, эквивалентна одному конденсатору. Нужно лишь найти его ёмкость `C_0`. Заменим исходную цепь на эквивалентный ей конденсатор `C_0` и добавим к схеме ещё одно звено (рис. 4.26). Пользуясь свойствами последовательного и параллельного соединений, рассчитаем ёмкость `C_0^'` участка цепи между точками `A^'` и `B^'`. Конденсаторы `C_2` и`C_0` соединены параллельно, поэтому их можно заменить на один конденсатор ёмкостью `C_(20)=C_2+C_0`. Конденсаторы `C_1` и `C_(20)` соединены последовательно, значит, их общая ёмкость

      `C_0^'=(C_1C_(20))/(C_1+C_(20))=(C_1(C_2+C_0))/(C_1+(C_2+C_0))`.                            (4.15)

      Теперь сравним исходную и полученную цепи. Добавление одного звена не меняет факта бесконечности цепи. Поскольку все звенья одинаковы, то цепь с дополнительным звеном эквивалентна исходной, а их ёмкости равны: `C_0^'=C_0`, откуда после подстановки (4.15) получаем `C_0^2+C_2C_0-C_1C_2=0`. Решая полученное квадратное уравнение относительно `C_0` и отбрасывая отрицательный корень, не имеющий физического смысла, находим

      `C_0=1/2(sqrt(C_2^2+4C_1C_2)-C_2)`.

      Рассмотренная задача является типичным примером целого класса задач – на бесконечные цепочки. В качестве элементов цепочки могут быть также  резисторы, источники и т. д. Кроме того, звенья цепи могут быть не одинаковы, например, сопротивление резисторов в каждом следующем звене в два раза больше, чем в предыдущем. Вообще, звенья могут состоять из разнотипных элементов, например, в схеме на 4.25 заменим мысленно все конденсаторы ёмкостью `C_1` на резисторы. В этом случае цепь будет эквивалентна не одному элементу, а участку из нескольких разнотипных элементов.


      В любом случае все подобные задачи решаются по стандартному алгоритму:

      1) заменяем исходную бесконечную цепочку не эквивалентный ей элемент `X` и добавляем к нему ещё одно звено исходной цепочки;

      2) рассчитываем параметры цепи с дополнительным звеном, полагая известными параметры элемента `X`; 

      3) сравниваем полученную цепь с исходной и определяем соотношение их параметров; 4) поставляем в это соотношение выражение из пункта №2 и решаем уравнение.


    3. §3. Элементы электрических цепей

      В табл. 3.1 приведены схематические обозначения, названия и описания наиболее распространённых элементов электрических цепей.

      При анализе схем в следующих параграфах очень часто будет использоваться следующее определение: два фрагмента цепи называются эквивалентными, если при замене одного на другой в любой цепи распределение токов и напряжений в остальной части цепи не изменяется.

      Не следует смешивать понятие цепь и схема.

      Цепь – это набор соединённых между собой элементов.

      Схема – это условное изображение цепи.

      Например, фраза «подключим вольтметр к схеме» является явно неправильной, так как означает, что мы рисуем на бумаге схему цепи и подсоединяем вольтметр к этому рисунку. Правильно: «подключим вольтметр к цепи» или «изобразим вольтметр на схеме».

      Не следует также смешивать понятия проводник, провод, резистор и сопротивление.

      Сопротивление является физической величиной (с единицей измерения Ом), а не телом или элементом цепи.

      Проводником можно назвать любое тело, которое проводит электрический ток. Противоположностью проводнику является изолятор – тело, которое не проводит электрический ток. 

      Идеальный проводник имеет минимальное теоретически возможное сопротивление, которое равно нулю.

      Провод – это длинный проводник, который используется для соединения других элементов между собой.

      Реальный провод имеет ненулевое сопротивление (см., например, задачи предыдущего параграфа). Но если сопротивление других элементов заметно больше, то мы можем пренебречь сопротивлением проводов и считать их идеальными проводниками. Если же сопротивление элементов сравнимо или даже меньше сопротивлений проводов, то сопротивления проводов следует учитывать, изображая их на схеме как резисторы.

      Резистор – это проводник или элемент цепи, подчиняющийся закону Ома, то есть он отличается от произвольного проводника тем, что его сопротивление является константой и явно учитывается.

      Для произвольного проводника закон Ома справедлив не всегда. Например, закон Ома нельзя применять к лампочке, так как спираль (являющаяся проводником) при увеличении напряжения разогревается всё сильнее, а из-за роста температуры возрастает её сопротивление, то есть получается, что оно зависит от напряжения, что противоречит закону Ома. Элементы, подобные лампочке, называются нелинейными, так как вопреки закону Ома сила тока в них не прямо пропорциональна напряжению, а зависит от него более сложным образом.

    4. §2. Электрическое сопротивление среды и закон Ома

      При движении в веществе носители заряда взаимодействуют («сталкиваются») с частицами среды и из-за этого теряют скорость. Такое сопротивление среды можно описать в виде некоторой усреднённой силы `F_"сопр"`, действующей со стороны среды на движущийся в ней носитель заряда. Эта сила направлена противоположно средней скорости `vecv` носителя заряда и возрастает с увеличением `v` (аналогично силе сопротивления воздуха при полёте тела).

      Для многих сред справедлива линейная зависимость `vecF_"сопр"` от `vecv`, что в случае движения вдоль одной оси можно записать в скалярной форме:

                                                                 `F_"сопр"=-alphav`,                                                                (2.1)

      где `alpha` - некоторая константа, определяемая свойствами вещества. Для проводников, изготовленных именно из таких материалов, справедлив закон Ома.

      Рассмотрим цилиндрический проводник длинной `l` и площадью поперечного сечения `S`, изготовленный из вещества, для которого справедливо (2.1), и помещённый во внешнее постоянное однородное электрическое поле напряжённостью `E` (единица измерения – В/м), направленной вдоль оси проводника (рис. 2.1).

      Пусть `q` и `v` - абсолютные значения заряда и скорости носителей заряда, `n` - их концентрация (единица измерения – `1//"м"^3`), тогда за время `Deltat` через поперечное сечение проводника пройдут все носители заряда, расположенные в объёме `DeltaV=S*vDeltat` и несущие суммарный заряд `Deltaq=q*nDeltaV`. По определению (1.1) сила тока

                                        `I=(Deltaq)/(Deltat)=(qnSvDeltat)/(Deltat)=qnSv`.                                    (2.2)

      В конечном итоге мы хотим найти силу постоянного тока в проводнике, что в соответствии с (2.2) равносильно условию `v="const"`. Для его выполнения необходимо компенсировать силу сопротивления среды (2.1) силой `F_e=qE`, действующей со стороны внешнего электрического поля: `F_"сопр"+F_e=0`. После подстановки выражений для `F_"сопр"` и `F_e` находим `v=(q//alpha)E`. Таким образом, установившаяся скорость носителей заряда прямо пропорциональна напряжённости внешнего поля:

                                                                                   `v=muE`,                                                                 (2.3)

      а коэффициент `mu=q//alpha` называется подвижностью носителей заряда.

      По известной из электростатики формуле для разности потенциалов в однородном электрическом поле напряжение между торцами проводника  `U=El`, откуда можно выразить

                                                                                 `E=U/l`.                                                                     (2.4)

      Подставив (2.3) и (2.4) в (2.2), получим

                                                                                  `I=qnSmu U/l`.                                                       (2.5)

      Полученная линейная зависимость `I` от `U` позволяет сформулировать закон Ома:

      закон Ома

      сила тока через проводник, для материала которого выполняется условие (2.1), прямо пропорциональна напряжению на концах проводника.

      Закон Ома справедлив для очень широкого класса веществ, в частности, для всех металлов и сплавов (если их температура поддерживается постоянной).

      Конечно, рассуждения, основанные на предположении (2.1), не соответствуют исторической последовательности открытия данного закона. Немецкий физик Георг Симон Ом (1787 – 1854) сформулировал свой закон в 1826 году, тогда как электрон (носитель заряда в большинстве веществ) был открыт лишь в 1897 году. Г.С. Ом чисто экспериментально обнаружил, что отношение `U//I` остаётся постоянным в широком диапазоне прикладываемых напряжений, хотя зависит, например, от геометрических размеров и температуры образца.

      Линейную зависимость (2.5) можно записать в виде `I=GU`, где коэффициент пропорциональности `G=qnmuS//l` называется проводимостью. На практике, однако, вместо проводимости чаще используют обратную к ней величину `R=1//G` называемую сопротивлением, и записывают (2.5) в виде

                                                                                       `I=U/R`,                                                         (2.6)

      где сопротивление

                                                                              `R=1/(qnmu)*l/S`.                                                 (2.7)

      Выражение (2.6) с учётом `R="const"` является одной из форм записи закона Ома. Закон Ома может также иметь вид `U=RI` или `R=U//I`. Из последней формулы видно, что размерность `R` - это В/А. Для этого отношения существует собственное обозначение – Ом, то есть сопротивление измеряется в омах, а  Ом`=`В/А.

      Из (2.7) видно, что `R` не зависит от `I` или `U`, а определяется размерами проводника `(l,S)` и  свойствами его  материала `(q,n,mu)`  Последние  можно объединить в одну константу, записав (2.7) как

                                                                            `R=rho*l/S`,                                                               (2.8)

      где `rho=1//(qnmu)` - удельное сопротивление вещества проводника. Именно `rho` (а не `q`, `n` и `mu` по отдельности) проще всего найти в справочниках, так как оно легко измеряется экспериментально и широко используется при расчётах в электротехнике.

      Из (2.8) можно получить `rho=RS//l`, откуда видно, что величина `rho` измеряется в Ом`*`м. В технике для `rho` используется также размерность `"Ом"*"мм"^2//"м"`, которая отражает тот факт, что проводники обычно длинные (м), но тонкие (мм). В табл. 2.1. приведены для ознакомления значения `rho`  четырёх чистых металлов (обладающих наименьшими `rho`) и одного сплава, часто используемого в случаях, когда нужен проводник с достаточно большим удельным сопротивлением. Электропроводку в доме «редко» делают из серебра или золота, поэтому самые распространённые на практике провода – медные и алюминиевые. Золото же используется для изготовления качественных контактов, но не из-за малого удельного сопротивления, а по той причине, что золото не окисляется (не ржавеет) и срок службы контактов заметно возрастает.

      Таблица 2.1

      Удельное сопротивление некоторых веществ

      Вещество

      Химический состав

      `rho`, `"Ом"*"мм"^2//"м"` `rho`, `"Ом"*"м"`

      1

      серебро

      `"Ag"`

      `0,015`

      `1,5*10^(-8)` 

      2

      медь

      `"Cu"`

      `0,016`

      `1,6*10^(-8)`

      3

      золото

      `"Au"`

      `0,021`

      `2,1*10^(-8)`

      4

      алюминий

      `"Al"`

      `0,025`

      `2,5*10^(-8)`

      5

      нихром

      `70%"Ni"`, `20%"Cr"`, `8%"Fe"`, `2%"Mn"`

      `1,1`

      `1,1*10^(-6)`

       

      Пример 1

      Найдите подвижность `mu` электронов в золоте. Концентрация электронов, принимающих участие в создании тока,  `n~~6*10^(28)  "м"^(-3)`.

      Решение

      Из выражения для `rho`, приведённого сразу после (2.8), выразим подвижность `mu=1//(qnrho)`.  Подставив  табличные  значения  модуля  заряда `q` электрона и удельного сопротивления  `rho` золота, получим  `mu~~5*10^(-3)  "м"^2//("В"*"с")`.

      Пример 2

      Из алюминия изготовили проволоку диаметром `d=1` мм и длиной `l=10` м. Определите сопротивление `R`  проволоки.

      Решение

      Площадь поперечного сечения проволоки `S=pid^2//4`, значение удельного сопротивленияалюминия `rho` находим по табл. 2.1 или в справочнике. Воспользовавшись (2.8), получим

      `R=rho*l/S=(4rhol)/(pid^2)=0,32` Ом.

      Пример 3

      Электрическую газонокосилку для футбольного поля подключили к розетке напряжением `U=220` В с помощью медного провода длиной `l=200` м. Площадь поперечного сечения каждой из двух жил провода `S=1,5  "мм"^2`. В газонокосилке произошло короткое замыкание. Найдите силу `I` тока, потребляемого от сети.

      Решение

      Короткое замыкание – это такое соединение двух контактов, при котором можно пренебречь сопротивлением соединяющего их элемента цепи по сравнению с сопротивлениями других элементов цепи. Поэтому в данном случае току придётся преодолевать только сопротивление провода на пути от розетки до газонокосилки и обратно, что можно рассматривать как прохождение тока через проводник длиной `2l`. По формуле (2.8) сопротивление такого проводника `R=rho*2l//S~~4,3` Ом, где удельное сопротивление `rho` меди может быть найдено по табл. 2.1  или в справочнике. По закону Ома (2.6) искомая сила тока  `I=U/R=(US)/(2rhol)~~52` А.

      Полученное  значение  достаточно   велико.   Например,  мощный  чайник  (на `1` кВт) потребляет около `5` А, а в бытовом счётчике электроэнергии обычно ставятся предохранители на `10` - `25` А. При рассмотренном коротком замыкании такой предохранитель выполнил бы своё предназначение и разорвал цепь. А если бы предохранителя не было, то сгорел бы другой, более ценный, элемент.


    5. §1. Электрический ток и сила тока

      В рамках электростатики были изучены взаимодействия неподвижных зарядов. Теперь мы переходим к рассмотрению движущихся зарядов. 

      Электрический ток

      это упорядоченное движение электрических зарядов.


      Носители заряда

      это заряженные частицы, которые перемещаются и тем самым переносят заряд. В металлах носителями заряда являются электроны, в растворах – электроны и ионы, в полупроводниках – электроны и дырки, в вакууме – любые заряженные частицы.

      Сила тока I

      это величина, равная отношению суммарного заряда `Deltaq`, протёкшего за некоторое время `Deltat` через поперечное сечение проводника, к этому промежутку времени `Deltat:`

       `I=(Deltaq)/(Deltat)`.                                                               (1.1)


      Напомним, что в международной системе единиц СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), время – в секундах (с), а сила тока – в амперах (А).

      Если в создании тока принимают участие частицы обоих знаков и они пересекают поперечное сечение `AB` проводника в обоих направлениях (рис. 1.1), то величина `Deltaq` может быть представлена в виде:

      `Deltaq=Deltaq_"вправо"-Deltaq_"влево"`,                                (1.2)

      где     

                             `Deltaq_"вправо"=|Deltaq_"вправо"^+|-|Deltaq_"вправо"^-|`,                                 (1.3)

       `Deltaq_"влево"=|Deltaq_"влево"^+|-|Deltaq_"влево"^-|`.                             (1.4)


      Индексы «`+`» и «`-`» отмечают знак зарядов, индекс «вправо» обозначает заряды, протёкшие через поперечное сечение проводника в том направлении, которое выбрано в качестве положительного для силы тока, а индекс «влево» – в обратном направлении.

      Обратите внимание, что выбор положительного направления для силы тока является произвольным, так как, выбирая какое-то направление, мы никоим образом не утверждаем, что ток будет течь именно в этом направлении, мы лишь договариваемся считать силу тока, текущего в этом направлении, положительной, а силу тока, текущего в обратном направлении, – отрицательной. Фактическим же направлением тока называется направление движения положительных зарядов (точнее, то направление, при выборе которого в качестве положительного сила тока, найденная из (1.1) с учётом (1.2), (1.3) и (1.4), оказывается положительной).

      Ток в металлах (наиболее распространённых на практике проводниках) создаётся только электронами, заряд которых `e=-1,6*10^(-19)` Кл. Положительно заряженные частицы (ядра атомов) при этом не движутся. Поэтому получается, что направление тока противоположно направлению движения электронов в цепи. Некоторая нелогичность ситуации объясняется исторически: понятие знака заряда (а значит, и направления тока) было введено задолго до экспериментального определения типа носителей заряда в металлах. Когда же выяснилось, что их знак изначально не угадали, то менять определение направления тока в силу сложившейся традиции уже не стали, тем более, что такой выбор – всего лишь вопрос обозначений, а не физической сути явлений.      

      Постоянный ток

      это такой ток, сила которого не зависит от времени. 

      В 11-х классе вы также будете изучать переменный ток – ток, сила которого зависит от времени.

    6. §7. Энергия и мощность в электрических цепях

      Напомним, что

      потенциал

      `varphi` - это отношение потенциальной энергии `W` (в электрическом поле) пробного заряда `q` к величине этого заряда:  `varphi=W//q`. Напряжение, или разность потенциалов,

      `U=varphi_1-varphi_2=(W_1-W_2)/q`.

      При перемещении заряда из точки с бо́льшим потенциалом `varphi_1` в точку с меньшим потенциалом `varphi_2` часть его потенциальной энергии переходит в другие виды энергии. Если заряд может свободно перемещаться, то возрастает его кинетическая энергия. Если же заряд участвует в создании тока, то выделяется теплота (в резисторе, кипятильнике и т. д.), совершается работа (в электромоторе, электромагните и т. д.) или запасается энергия в элементах цепи (в конденсаторе, аккумуляторе и т. д.). Практически всегда в результате действия электрического тока возникает более одного эффекта, например, при работе электромотора он ещё и греется из-за наличия сопротивления проводов. Однако для расчёта суммарной энергии `W_e` всех эффектов нет необходимости вникать в их суть, так как по закону сохранения энергии она равна уменьшению потенциальной энергии заряда `q`,  протёкшего через участок цепи, находящийся под напряжением  `U:`

      `W_e=W_1-W_2=Uq`.

      Мощность.

      Пусть теперь `U` - напряжение на некотором элементе цепи, `I` - сила тока через него, тогда за время `Deltat` через элемент пройдёт заряд `Deltaq=IDeltat`, а суммарная энергия всех эффектов составит `DeltaW_e=U*Deltaq=UIDeltat`. Если же поделить эту энергию на длительность промежутка времени `Deltat`, то мы получим общую мощность элемента, потребляемую им от остальной части цепи:

      `P=(DeltaW_e)/(Deltat)=(UIDeltat)/(Deltat)=UI`.                                                (7.1)

      Получаемую энергию элемент преобразует в иные виды в соответствии со своим назначением. В зависимости от типа рассматриваемого элемента формуле (7.1) можно дать несколько интерпретаций.

      1. Если рассматриваемый элемент – резистор, то на нём выделяется теплота, а тепловая мощность `P=UI`. Если известно сопротивление `R` резистора, то достаточно знать напряжение или силу тока (одно из двух), так как они связаны законом Ома, а (7.1) можно записать ещё в двух видах:

       `P=UI=(U^2)/R=I^2R`.                                                                           (7.2)

      Последнее выражение по сути эквивалентно закону Джоуля – Ленца, который был установлен Дж.П. Джоулем (1818-1889) и Э.Х. Ленцем (1804-1865) экспериментально в 1841 году: количество теплоты `Q`, выделяющейся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока `I`, сопротивлению `R`  проводника и времени `t` протекания тока:

       `Q=I^2Rt`. 

      2. Если рассматриваемый элемент – электромотор, то он совершает работу, а механическая мощность `P<=UI`. Если пренебречь потерями из-за наличия сопротивления проводов, то можно считать `P=UI`.

      3. Если рассматриваемый элемент – аккумулятор в режиме зарядки, то возрастает энергия химических связей в его растворе, а мощность зарядки `P<=UI`. Доля потерь энергии при зарядке обычно достаточно велика, поэтому приближение `P=UI` не всегда применимо.

      Пример 19

      В доме жителя города `N` испортилась изоляция на проводах, в результате чего её сопротивление в месте повреждения упало до `R=100` Ом. Сколько денег `X` потеряет за время `tau=24` ч невезучий житель из-за утечки электроэнергии? Напряжение в сети `U=220` B, тариф на электроэнергию в городе `N` составляет  `S=1` руб./(кВт`*`ч).

      Решение

      Внесистемная единица измерения энергии «киловатт-час» равна `3,6` МДж, однако переводить все данные в СИ в этой задаче мы не будем.  По формуле (7.2) найдём мощность потерь:  

      `P=U^2//R=0,484` кВт.

      Потери энергии за указанное время `Q=Ptau=11,6` кВт`*`ч, что в денежном эквиваленте даёт  `X=SQ=11` руб.`60` коп.

      Пример 20

      При работе электромотора от источника напряжением `U=15` B через него течёт ток силой `I=1` A. Найдите КПД (коэффициент полезного действия) `eta` мотора, если сопротивление его обмотки  `R=1,2` Ом.

      Решение

      По определению КПД – это отношение полезной энергии (мощности) к затраченной (полной). В нашем случае полная мощность `P=UI`, мощность потерь `P_(-)=I^2R`, полезная мощность `P_+-P-P_-`. КПД мотора

      `eta=(P_+)/P=1-(IR)/U=92%`.

      Работа источника

      При перемещении заряда из точки с меньшим потенциалом `varphi_1` в точку с большим потенциалом `varphi_2` сторонние силы совершают над зарядом положительную работу  `A=W_2-W_1`. Такая ситуация имеет место, например, внутри источника: в процессе прохождения заряда его потенциал увеличивается на величину ЭДС E\mathcal E. Пусть через источник прошёл заряд `Deltaq`, тогда сторонними силами (источником) была совершена работа

      `A_"ист"=`E\mathcal E`*Deltaq`.                                                              (7.3)

      Если заряд `Deltaq` прошёл за время `Deltat`, то средняя сила тока через источник `I=Deltaq//Deltat`, а его средняя мощность

      `P_"ист"=(A_"ист")/(Deltat)=`E\mathcal E`*(Deltaq)/(Deltat)=`EI\mathcal EI.                                                      (7.4)

      При использовании формул (7.3) и (7.4) нужно помнить, что положительным считается заряд (или ток), протёкший через источник в направлении его действия. Заряд (или ток), протёкший в обратном направлении, считается отрицательным. Величина `A_"ист"<0` означает, что источник поглощает энергию из остальной части цепи, то есть ведёт себя как аккумулятор в режиме зарядки.

      Пример 21

      На аккумуляторе написано: `1,2` В и `0,9` А`*`ч. Что означают эти величины? Полагая аккумулятор полностью заряженным и пренебрегая тепловыми потерями, оцените, на сколько градусов можно с его помощью нагреть воду в стакане. Общая теплоёмкость стакана с водой `C=1000` `"Дж"//^@"C"`.

      Решение

      Первая величина – это  номинальное напряжение (ЭДС) аккумулятора: E=1,2\mathcal E=1,2 B. Вторая величина характеризует длительность работы аккумулятора без подзарядки в зависимости от интенсивности использования. Если аккумулятор создаёт большой ток, то он быстро разряжается, а если маленький, – то  работает дольше. Оказывается, что произведение силы тока `I`  на время `t`, в течение которого аккумулятор может создавать такой ток, можно приблизительно считать константой: `It~~q_0`. Именно эта константа и является второй величиной: `q_0=0,9` A`*`ч`=3240` Кл (внесистемная единица измерения заряда «ампер-час» равна `3600` Кл). Хотя формально `q_0` - это заряд, он никоим образом не локализован в каком-то месте аккумулятора; это просто максимальный заряд, который аккумулятор может пропустить по цепи без подзарядки. Следовательно, максимальная энергия, которую может обеспечить аккумулятор

      W=Eq0=3888W=\mathcal Eq_0=3888Дж`~~4` кДж.

      Искомое изменение температуры  `DeltaT=W//C=4^@"C"`.

      Энергия конденсатора

      Рассчитаем энергию `W`, запасённую конденсатором ёмкостью `C`, который заряжен до напряжения `U`. Если подключить к конденсатору резистор (рис. 7.1), то конденсатор будет через него разряжаться, тем самым играя роль источника, ЭДС которого постепенно уменьшается от `U` до `0`. Начальный заряд на конденсаторе `q=CU`. Пусть к некоторому моменту на конденсаторе остался заряд `q_0`, а через резистор протёк заряд `Q`, тогда в силу закона сохранения заряда `q_0=q-Q`, а напряжение на конденсаторе в этот момент

      `V=(q_0)/C=(q-Q)/C=(CU-Q)/C=U-Q/C`.

      Зависимость `V(Q)` изображена на рис. 7.2. После протекания заряда `q` конденсатор полностью разрядится.

      Рассмотрим небольшой заряд `DeltaQ`, протекание которого очень мало изменяет напряжение на конденсаторе. В течении этого промежутка времени конденсатор работает как источник с постоянной ЭДС `V`. Его работу можно выразить по формуле (7.3): `DeltaA=VDeltaQ`. Величине `DeltaA` можно сопоставить на графике площадь заштрихованного прямоугольника, так как его стороны равны `V` и `DeltaQ`. Рассуждая аналогично для других участков `DeltaQ`, приходим к выводу, что работа, совершённая конденсатором в процессе разрядки, пропорциональна общей площади всех таких прямоугольников, равной площади фигуры под графиком `V(Q)` - прямоугольного треугольника с катетами  `U` и `q`:

      `A=1/2Uq`.

      Эта работа совершается за счёт запасённой в конденсаторе энергии, то есть `W=A`, следовательно, искомая энергия

      `W=1/2Uq=1/2CU^2=(q^2)/(2C)`.                                                       (7.5)

      Преобразование энергии в цепи

      Для полноты картины теперь осталось только объединить полученные в этом параграфе формулы в обобщающем законе преобразования энергии:

      `A_"ист"=Q+W_"внеш"+DeltaW`,                                                               (7.6)

      где `A_"ист"` - суммарная работа всех источников цепи, `Q` - суммарное количество выделившейся теплоты на всех элементах цепи, `W_"внеш"` - энергия, переданная внешним телам посредством иных взаимодействий (всех кроме теплового), `DeltaW=W_"кон"-W_"нач"` - изменение энергии, запасённой в элементах цепи. Все перечисленные величины рассчитываются для некоторого (одного и того же для всех) промежутка времени.

      Пример 22

      Незаряженный конденсатор ёмкостью `C` подключили к неидеальному источнику с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r` (рис. 7.3). Найдите количество теплоты `Q`, которое выделится в источнике к моменту окончания зарядки конденсатора.

      Решение

      К моменту окончания зарядки ток прекратится, поэтому в силу второго правила Кирхгофа напряжение на конденсаторе будет равно E\mathcal E,  а его заряд q=CEq=C\mathcal E. Используя (7.5), находим изменения энергии конденсатора `DeltaW=C`E2\mathcal E^2`/2-0`. Заряд `q`, накопленный на конденсаторе, прошёл через источник, значит, последний совершил работу `A_"ист"=`E q=CE2\mathcal E  q=C\mathcal E^2. Иных взаимодействий в данной задаче не имеется, то есть `W_"внеш"=0`. Поэтому из закона изменения энергии (7.6) находим

      `Q=A_"ист"-DeltaW=C`E2\mathcal E^2`/2`.


    7. §5. Источники постоянного тока

      В качестве источников постоянного тока могут использоваться батарейки, аккумуляторы, солнечные батареи и т. д. Внутри любого источника обязательно существуют сторонние силы – неэлектростатические силы,  действующие на носители заряда, например, механические и магнитные силы в генераторе, химические взаимодействия в батарейке. Важно, что сторонние силы  не являются электростатическими, так как электростатическое поле потенциально, то есть не совершает работу при движении носителей заряда по замкнутой траектории. В результате же работы сторонних сил возрастает потенциальная 



      энергия носителей заряда, которая переходит в другие виды энергии при протекании тока через остальные элементы цепи. Потенциал заряда на выводе «`+`» больше, чем потенциал заряда на выводе «`-`». На рис. 5.1 показано направление тока, возникающего при подключении резистора к источнику: во внешней по отношению к источнику части цепи ток идёт от плюса к минусу, а внутри источника – от минуса к плюсу. Направление «от минуса к плюсу» внутри источника будем называть направлением действия источника.  С направлением действия однозначно связана полярность источника, определяющая, какой из выводов является плюсом, а какой – минусом. 


      Электродвижущая сила (ЭДС)

      E\mathcal E источника – это его параметр, равный отношению работы `A` сторонних сил над зарядом `q`, протёкшим через источник в направлении его действия, к величине этого заряда: E\mathcal E`=A//q`. Сравнив это определение с известным из электростатики определением напряжения между двумя точками, можно заключить, что ЭДС равна напряжению на выводах источника при отсутствии тока через него (в режиме холостого хода).

      Внутреннее сопротивление источника – это общее сопротивление всех его внутренних элементов. При возникновении тока через источник часть его ЭДС будет «тратиться» на преодоление внутреннего сопротивления, поэтому напряжение на выводах будет меньше, чем ЭДС.

      Идеальный источник имеет нулевое внутреннее сопротивление, поэтому напряжение на его выводах равно ЭДС вне зависимости от силы тока через него.


      Реальный источник с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r` (рис. 5.2) эквивалентен последовательно соединённым идеальному источнику с той же ЭДС E\mathcal E и резистору сопротивлением `r` (рис. 5.3).


      Пример 13

      Источник с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r` подключили к резистору сопротивлением `R` (рис. 5.4). Найдите силу тока `I` в цепи. Рассмотрите также случай короткого замыкания источника.

      Решение

      Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R`. По закону Ома I=EI=\mathcal E`/R_"общ"=`E\mathcal E`/(r+R)`. В случае короткого замыкания `R=0`, тогда `I_"КЗ"=`E\mathcal E`/r`.


      Последовательное соединение

      Рассмотрим последовательное соединение источников с ЭДС E1, E2,...,En\mathcal E_1, \mathcal E_2,...,\mathcal E_n и внутренними сопротивлениями `r_1,r_2,...,r_n`.  Каждый источник (пусть он идёт под номером `i<=n`) можно заменить на идеальный источник с ЭДС Ei\mathcal E_i и резистор сопротивлением `r_i`. Все резисторы можно заменить одним резистором сопротивлением

      `r=r_1+r_2+...+r_n`,                                                     (5.1)

      а все источники – одним источником с ЭДС

      E=±E1±E2±...±En,\mathcal E=\pm{\mathcal E}_1\pm{\mathcal E}_2\pm...\pm{\mathcal E}_n,                                               (5.2)

      где знак перед каждой ЭДС зависит от полярности источника: если направление действия `i`-го источника совпадает с направлением действия заменяющего источника, то перед Ei\mathcal E_i ставится плюс, иначе – минус. Полярность заменяющего источника можно изначально выбрать произвольно, так как при её изменении одновременно меняются и направление его действия, и знак ЭДС, что в силу математического правила «минус на минус даёт плюс» не изменяет никакие конечные формулы. Выражение (5.2) может быть получено из свойства сложения напряжений при последовательном соединении. Таким образом, последовательное соединённые источники эквивалентны одному источнику с внутренним сопротивлением `r` (5.1) и ЭДС E\mathcal E (5.2).


      Пример 14

      Загорится ли лампочка, если минимально заметное свечение возникает при протекании через неё тока силой `I_0=30` мА (рис. 5.5)? Параметры элементов: E1=9\mathcal E_1=9 B, E2=4,5\mathcal E_2=4,5 B, E3=1,5\mathcal E_3=1,5 B,  `r_1=20` Ом, `r_2=10` Ом, `r_3=5` Ом, `R=40` Ом, сопротивление лампочки считайте постоянным и равным `R_x=30` Ом. 

      Решение

      Заменим все источники одним с внутренним сопротивлением `r=r_1+r_2+r_3=35` Ом и ЭДС E=E1-E2-E3=3\mathcal E=\mathcal E_1-\mathcal E_2-\mathcal E_3=3 B (рис. 5.6). Обратите внимание на выбор знаков ЭДС (только источник E1\mathcal E_1 ориентирован так же, как и E\mathcal E) и на отсутствие минусов в выражении для `r` (сопротивления всегда суммируются). Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R+R_x=105` Ом, сила тока `I=`E\mathcal E`/R_"общ"~~29` мА. Поскольку `I<I_0`, то лампочка не загорится. 


      Параллельное соединение.

      Параллельно соединённые источники с ЭДС E1,E2,...,En\mathcal E_1,\mathcal E_2,...,\mathcal E_n и внутренними сопротивлениями `r_1,r_2,...,r_n` эквивалентны одному источнику с внутренним сопротивлением

        `r=1/(1/r_1+1/r_2+...+1/r_n)`                                       (5.3)

      и ЭДС

       E=±E1r1±E2r2±...±Enrn·r,\mathcal E=\left(\pm\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}\pm\dfrac{{\mathcal E}_2}{r_2}\pm...\pm\dfrac{{\mathcal E}_n}{r_n}\right)\cdot r,                                  (5.4)

      где знак перед каждой ЭДС определяется по тому же правилу, что и в случае последовательного соединения. Справедливость формул (5.3) и (5.4) будет доказана после изучения правил  Кирхгофа.


      Пример 15

      Загорится ли лампочка (рис. 5.7)? Параметры элементов цепи те же, что и в предыдущем примере.

      Решение

      Заменим все источники одним (5.6) с внутренним сопротивлением

      `r=1/(1/r_1+1/r_2+1/r_3)~~2,86` Ом`~~3` Ом

      и ЭДС 

      E=E1r1-E2r2+E3r3·r0,9 B.\mathcal E=\left(\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}-\dfrac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\dfrac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot r\approx0,9\;\mathrm B.

      Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R+R_x=73` Ом, сила тока

      `I=`E\mathcal E`/R_"общ"~~12` мА.

      Поскольку `I<I_0`, то лампочка не загорится.

      Последние два примера показывают, что включение источников с различными направлениями действия крайне неэффективно (ведь лампочка так и не загорелась). Для сравнения рассмотрим схему с только одним (первым) источником. Тогда общее сопротивление цепи `R_"общ"=r_1+R+R_x=90` Ом, сила тока

      `I=``E1\mathcal E_1`/R_"общ"~~100` мА.

      Поскольку `I~~3,3I_0>I_0`, то лампочка загорится ярко. Таким образом, второй и третий источники лишь «мешали» первому.

      Третий источник мешает даже в схеме на 5.7, хотя там направления действия E1\mathcal E_1 и E3\mathcal E_3 совпадают. Для простоты рассмотрим эту схему без второго источника, тогда оставшиеся два источника эквивалентны одному с внутренним сопротивлением `r` и ЭДС E\mathcal E:

      `r 1/(1/r_1+1/r_3)=4` Ом,   E=E1r1+E3r3·r=3 B.\mathcal E=\left(\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\dfrac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot r=3\;\mathrm B.  

      Общее сопротивление цепи `R_"общ"=r+R+R_x=74` Ом, сила тока

      `I=`E\mathcal E`/R_"общ"~~41` мА.

      Поскольку `I~~1,4I_0>I_0`, то лампочка загорится, однако не так ярко, как в предыдущем случае. Причина такого эффекта от дополнительного источника заключается в том, что E1\mathcal E_1`!=`E3\mathcal E_3, из-за чего источник с большей ЭДС «тратит» часть её на создание в источнике с меньшей ЭДС тока, противоположного направлению действия источника с меньшей ЭДС.


      Рекомендация

      Выводом из приведённого анализа различных подключений источников является практическая рекомендация: для достижения максимальной эффективности батарейки следует соединять последовательно, причём с одинаковой полярностью (плюс одной соединяется с минусом другой) Если же их соединить параллельно, то даже при выключенной внешней цепи они достаточно быстро разрядятся одна через другую, так как не найдётся реальных батареек с  точно совпадающими ЭДС.



    8. §6. Правила Кирхгофа

      Описанные до сих пор методы применимы лишь к схемам, которые можно представить в виде последовательных и параллельных соединений однотипных элементов. Однако большинство встречающихся на практике схем оказываются сложнее. Для их решения применяют два правила Кирхгофа.

      Первое правило Кирхгофа

      Сумма сил всех токов, втекающих в произвольный узел, равна сумме сил всех токов, вытекающих из этого узла.

      Напомним, что узел – это точка соединения трёх или более проводов.

      Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, так как сумма втекающих токов характеризует заряд, приходящий в узел за некоторое время, а сумма вытекающих – заряд, выходящий из узла за то же время. Равенство этих сумм между собой связано с тем, что заряд в узле не накапливается (заряд может накапливаться только на пластинах конденсаторов). Забегая вперёд, отметим, что второе правило Кирхгофа можно рассматривать как следствие закона сохранение энергии.

      Перед применением правил Кирхгофа нужно обозначить силы токов в каждой ветви цепи.

      Ветвь – это участок цепи между  двумя узлами, не содержащий узлов внутри себя. Все элементы одной ветви соединены последовательно, поэтому силы токов через них одинаковы.

      Кроме того, нужно обозначить заряды на каждом конденсаторе. Выбор направления  тока и выбор, какую из двух обкладок конденсатора считать заряженной положительно, можно делать совершенно произвольным образом. Если выбранное направление тока не совпадёт с фактическим, то просто его сила окажется отрицательной. Если же выбранные знаки зарядов обкладок конденсаторов не совпадут с фактическими, то заряд конденсатора будет отрицательный.

      Если применить первое правило Кирхгофа ко всем узлам, то ровно одно из уравнений окажется следствием остальных. Чтобы этого избежать, достаточно придерживаться простого алгоритма:  уравнения по первому правилу Кирхгофа следует записать для всех узлов кроме одного (любого).

      Для формулировки второго правила Кирхгофа понадобится пара новых определений.

      Контур – это замкнутый участок цепи. Чтобы указать контур, нужно, начав с некоторой точки цепи, пройти по какой-либо траектории вдоль элементов цепи и вернуться в исходную точку.

      Выбрав контур, необходимо указать направление обхода. Для любого контура их существует ровно два: по часовой стрелке или против. Если контур задан перечислением элементов, то направление обхода определяется их порядком. При выборе контура на схеме удобнее отмечать направление обхода стрелочкой.

      Второе правило Кирхгофа.

      Алгебраическая сумма ЭДС источников в произвольном контуре равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах этого контура. 

      Знак каждого из слагаемых в обеих суммах зависит от направления обхода контура и определяется по соответствующим правилам знаков.

      Правило знаков для источников. Если направление обхода контура совпадает с направлением действия источника, то перед его ЭДС ставится плюс, иначе – минус.

      Правило знаков для резисторов. Если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока `I` через резистор сопротивлением `R`, то напряжение на резисторе записывается как `U=RI`, иначе `U=-RI`. 

      Правило знаков для конденсаторов. Напряжение на конденсаторе ёмкостью `C` записывается как `U=q//C`, где `q` - заряд первой встреченной при обходе обкладки конденсатора, в качестве которого может оказаться как `+q`, так и `-q` в зависимости от изначального выбора знаков зарядов на обкладках.

      Все перечисленные правила знаков для второго правила Кирхгофа проиллюстрированы на рис. 6.1. Обведённые выражения – это слагаемые, соответствующие конкретному элементу при обходе его слева направо.

      Если применить второе правило Кирхгофа ко всем контурам, то ряд уравнений будут зависимыми, а система – переполненной. Если же какой-то из элементов не войдёт ни в один контур, то система будет неразрешимой. Поэтому для записи уравнений по второму  правилу Кирхгофа необходимо выбрать контура так, чтобы каждый элемент входил хотя бы в один из выбранных контуров, а общее число уравнений с учётом записанных по первому правилу Кирхгофа было равно числу неизвестных сил токов, то есть числу ветвей.

      Система уравнений, записанная с использованием обоих правил Кирхгофа, является полной, то есть позволяет найти все силы токов и напряжения.

      Пример 16

      Некоторая страшная схема имеет `u=1024` узла и `v=2009` ветвей. Найдите число `p_2` контуров, к которым придётся применить второе правило Кирхгофа, чтобы найти все силы токов в цепи.

      Решение

      Число `n` уравнений в полной системе равно числу неизвестных сил токов, которое равно числу ветвей: `n=v`. Используя первое правило Кирхгофа, можно записать `p_1=u-1` независимых уравнений. Для записи остальных уравнений потребуется второе правило Кирхгофа, то есть придётся рассмотреть `p_2=n-p_1=v-u+1=986` контуров.

      Пример 17

      Запишите систему уравнений, с помощью  которой можно найти силы всех токов в цепи, схема которой изображена на рис. 6.2. Параметры элементов, отмеченные на рис., известны.

      Решение

      1. Обозначим   направления  и  силы   токов  во  всех  ветвях (рис. 6.3).

      2. Применим первое правило Кирхгофа для всех узлов:

      узел 1:   I1+I2=I7;узел 2:   I4+I7=I6;узел 3:   I5+I6=I8;узел 4:          I3=I1+I5;узел 5:          I8=I2+I3+I4.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{узел}\;1:\;\;\;I_1+I_2=I_7;\\\mathrm{узел}\;2:\;\;\;I_4+I_7=I_6;\\\mathrm{узел}\;3:\;\;\;I_5+I_6=I_8;\\\mathrm{узел}\;4:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_3=I_1+I_5;\\\mathrm{узел}\;5:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_8=I_2+I_3+I_4.\end{array}\right.

      Легко убедиться, что любое из записанных уравнений является следствием четырёх других, например, последнее уравнение можно получить как сумму остальных, поэтому в систему его можно не включать. Таким образом, не следуя первому алгоритму, мы сделали лишнюю работу.

      3. Игнорировать второй алгоритм мы не будем, так как тогда пришлось бы выписать уравнения аж для `17` контуров (читателям предлагается найти все их самостоятельно). Применим второе правило Кирхгофа к четырём контурам (направления обходов обозначены на рис. 6.3 дугами со стрелочками):

      контур O1  1-R1-4-R3-5-R2-1:  0=-R1I1-R3I3+R2I2;контур O2  1-E1-2-R4-5-R2-1:  E1=-R4I4+R2I2;контур O3  2-R6-3-E2-5-R4-2:  E2=R6I6+R4I4;контур O4  4-R5-3-E2-5-R3-4:  E2=R5I5+R3I3. \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{контур}\;O_1\;\;\left(1-R_1-4-R_3-5-R_2-1\right):\;\;0=-R_1I_1-R_3I_3+R_2I_2;\\\mathrm{контур}\;O_2\;\;\left(1-{\mathcal E}_1-2-R_4-5-R_2-1\right):\;\;{\mathcal E}_1=-R_4I_4+R_2I_2;\\\mathrm{контур}\;O_3\;\;\left(2-R_6-3-{\mathcal E}_2-5-R_4-2\right):\;\;{\mathcal E}_2=R_6I_6+R_4I_4;\\\mathrm{контур}\;O_4\;\;\left(4-R_5-3-{\mathcal E}_2-5-R_3-4\right):\;\;{\mathcal E}_2=R_5I_5+R_3I_3.\;\end{array}\right.\\\end{array}

      4. В итоге мы получим систему из `8` независимых уравнений. Неизвестных сил токов тоже `8`. Система является линейной и имеет единственное решение.

      Пример 18

      Докажите справедливость формул (5.3) и (5.4) на примере трёх источников постоянного тока.

      Решение

      Пусть три параллельно соединённых источника с ЭДС E1\mathcal E_1, E2\mathcal E_2 и E3\mathcal E_3, и внутренними сопротивлениями `r_1`, `r_2` и `r_3` подключены к резистору сопротивлением `R` (рис. 6.4). Обозначим силы токов в четырёх ветвях через `I_1`, `I_2`, `I_3` и `I`. Запишем правила Кирхгофа (контуры обходим по часовой стрелке, как и отмечено на рис. 6.4 дугами со стрелочками):

      узел1:                                         I=I1+I2+I3;контур 1-E1-r1-2-R-1: E1=r1I1+RI;контур 1-E2-r2-2-R-1: E2=r2I2+RI;контур 1-E3-r3-2-R-1: E3=r3I3+RI.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{узел}1:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=I_1+I_2+I_3;\\\mathrm{контур}\;1-{\mathcal E}_1-r_1-2-R-1:\;{\mathcal E}_1=r_1I_1+RI;\\\mathrm{контур}\;1-{\mathcal E}_2-r_2-2-R-1:\;{\mathcal E}_2=r_2I_2+RI;\\\mathrm{контур}\;1-{\mathcal E}_3-r_3-2-R-1:\;{\mathcal E}_3=r_3I_3+RI.\end{array}\right.

      Выразим `I_1`, `I_2` и `I_3` из последних трёх уравнений:

      I1=E1-RIr1,   I2=E2-RIr2,   I3=E3-RIr3.I_1=\dfrac{{\mathcal E}_1-RI}{r_1},\;\;\;I_2=\dfrac{{\mathcal E}_2-RI}{r_2},\;\;\;I_3=\dfrac{{\mathcal E}_3-RI}{r_3}.

      Подставим полученные выражения в первое уравнение:

      I=E1-RIr1+E2-RIr2+E3-RIr3,I=\dfrac{{\mathcal E}_1-RI}{r_1}+\dfrac{{\mathcal E}_2-RI}{r_2}+\dfrac{{\mathcal E}_3-RI}{r_3},

      откуда найдём

      I=E1r1+E2r2+E3r31+R1r1+1r2+1r3.I=\dfrac{\frac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\frac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\frac{{\mathcal E}_3}{r_3}}{1+R\left(\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}\right)}.

      Если бы вместо трёх источников был подключён один с ЭДС E\mathcal E и внутренним сопротивлением `r`, то сила тока в цепи была бы`I_"экв"=`E\mathcal E`/(r+R)`. Преобразуем (6.1) так, чтобы можно было сопоставить формулы для  `I` и `I_"экв"`:

      I=E1r1+E2r2+E3r3·11r1+1r2+1r311r1+1r2+1r3+R.I=\dfrac{\left(\frac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\frac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\frac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot{\displaystyle\frac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}}}}{{\displaystyle\frac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}}}+R}.

      Для эквивалентных фрагментов цепи равенство `I_"экв"=I` должно выполняться при любых  `R`, что возможно, лишь если

      E=E1r1+E2r2+E3r3·11r1+1r2+1r3,    r=11r1+1r2+1r3\mathcal E=\left(\dfrac{{\mathcal E}_1}{r_1}+\dfrac{{\mathcal E}_2}{r_2}+\dfrac{{\mathcal E}_3}{r_3}\right)\cdot\dfrac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}},\;\;\;\;r=\dfrac1{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}+\frac1{r_3}}

      Итак, мы доказали справедливость формул (5.3) и (5.4) в случае трёх источников с одинаковой полярностью. Аналогично можно рассмотреть любой из случаев с различной полярностью источников.



      1. §4. Последовательное и параллельное соединения

        Для расчёта цепей особое значение имеют два типа соединений элементов: последовательное и параллельное. В ходе их анализа достаточно изобразить на схеме лишь рассматриваемый участок (а не всю цепь), поэтому возможные подключения других элементов цепи мы будем отмечать на схеме многоточиями  .

        Два элемента, имеющих по два вывода у каждого, называются соединёнными последовательно, если есть точка соединения одного вывода первого элемента с одним выводом второго элемента и к этой точке больше ничего не подключено, либо если есть третий элемент, который соединён последовательно с каждым из двух рассматриваемых.

        Два  элемента, имеющих по два вывода у каждого, называются соединёнными параллельно, если есть точка соединения одного вывода первого элемента с одним выводом второго элемента, а также есть точка соединения другого вывода первого элемента с другим выводом второго элемента.

        4.1 Основные свойства и примеры соединений

        Последовательное соединение

        Последовательно соединённые резисторы можно видеть на рис. 4.1 и 4.2, а конденсаторы – на рис. 4.3 и 4.4. Последовательно можно соединить любое количество элементов, причём они могут быть разных типов (рис. 4.5).


         

        Вне зависимости от количества (пусть их будет `n` штук) и типа последовательно соединённых элементов справедливы следующие утверждения:

        1. Общая сила тока через последовательно соединённые элементы равна силе тока через любой из них:

         `I=I_1=I_2=...=I_n`.                                                                           (4.1)

        2. Общее напряжение на последовательно соединённых элементах равно сумме напряжений на каждом из них:

        `U=U_1+U_2+...+U_n`.                                                                       (4.2)

        Параллельное соединение

         Параллельно соединённые резисторы можно видеть на рис. 4.6 и 4.7, а конденсаторы – на рис. 4.8 и 4.9. Параллельно можно соединить любое количество элементов, причём они могут быть разных типов (рис. 4.10).

        Вне зависимости от количества (пусть их будет `n` штук) и типа параллельно соединённых элементов справедливы следующие утверждения:

        1. Общая сила тока через параллельно соединённые элементы равна сумме сил токов через каждый из них:

         `I=I_1+I_2+...+I_n`.                                                                             (4.3)

        2. Общее напряжение на параллельно соединённых элементах равно напряжению на любом из них:

        `U=U_1=U_2=...=U_n`.                                                                        (4.4)

        Замечания

        При использовании формул (4.2) и (4.3) очень важно помнить, что сумма в них подразумевается алгебраическая (с учётом знака). Если полярность некоторого элемента не соответствует полярности последовательного соединения в целом, то в (4.2) перед напряжением на этом элементе следует ставить минус. Если ток через некоторый элемент направлен против тока через параллельное соединение в целом, то в (4.3) перед силой тока через этот элемент следует ставить минус.

        Другие случаи

        Существует множество схем, элементы которых соединены не последовательно, но и не параллельно. Приведём в качестве примера пару таких схем, которые даже получили собственные названия: «треугольник» (рис. 4.11) и «звезда» (рис. 4.12). Одним из методов упрощения схем является преобразование «треугольника» в «звезду».

        Пример 4

        Как (последовательно или параллельно) соединены батарейка, лапочка и ключ в карманном фонарике?

        Решение

        Рассмотрим оба соединения: последовательное (рис. 4.13) и параллельное (рис. 4.14). В первой схеме: когда ключ замкнут, лампочка горит; а когда разомкнут, – не  горит.  Во второй схеме: когда ключ разомкнут, лампочка горит; а когда  замкнут, существенная часть создаваемого батарейкой тока пойдёт через ключ (а не через лампочку). Про лампочку в этом случае мы пока (до следующего параграфа) ничего сказать не можем, однако ясно, что во второй схеме ток через батарейку идёт при любом положении ключа, то есть она разряжается всё время (даже при выключенном фонарике). Следовательно, вторая схема нерациональна и на практике не используется. Таким образом, ответ получен – элементы соединены последовательно.

         .               

        Пример 5

        Как (последовательно или параллельно) соединены несколько лампочек в обычной люстре?

        Решение

        Без сомнения всем случалось наблюдать люстру, в которой горят не все лампочки (остальные перегорели или выкручены). У перегоревшей лампочки разрывается спираль и она больше не пропускает ток. Если бы лампочки были соединены последовательно, то в силу (4.1) сила тока через все лампочки была бы равна нулю, то есть ни одна лампочка не горела бы. Это противоречит экспериментальным наблюдениям, следовательно, лампочки в люстре соединены параллельно.

        Пример 6

        Как (последовательно или параллельно) соединены между собой телевизор и холодильник, включённый в сеть в одной комнате?

        Решение

        Напряжение сети (`220` В) одинаково для каждого бытового электроприбора вне зависимости от того, что включено в соседнюю розетку. Это полностью соответствует свойству (4.4). Кроме того, можно непосредственно проследить путь проводов, и тогда от любого прибора мы придём к счётчику электроэнергии. Таким образом, все приборы в одной квартир соединены параллельно. Утверждать то же самое для приборов в разных квартирах нельзя, так как счётчик у них не общий.

        4.2. Резисторы

        Рассмотрим последовательное (рис. 4.15) и параллельное (рис. 4.16) соединения двух резисторов сопротивлениями `R_1` и `R_2`.  В обоих случаях напряжения `U_1` и `U_2` на каждом из резисторов и силы токов `I_1` и `I_2` через них связаны законом Ома, который мы запишем в двух видах:

        `U_1=R_1I_1`, `U_2=R_2I_2`,                                                    (4.5)

        или

             `I_1=(U_1)/(R_1)`,   `I_2=(U_2)/(R_2)`.                                                     (4.6)

        А вот общее напряжение `U` на обоих резисторах и общая сила тока `I` через них  будут зависеть от способа подключения.

          

        Последовательное соединение

        В случае последовательного соединения `U=U_1+U_2`, `I=I_1=I_2`. Используя эти свойства и соотношения (4.5), выразим общее сопротивление участка цепи, состоящего из двух резисторов:

        `R=U/I=(U_1+U_2)/I=(R_1I_1+R_2I_2)/I=(R_1I+R_2I)/I=R_1+R_2`.

        Это означает, что два последовательно соединённых резистора сопротивлениями `R_1` и `R_2` эквивалентны одному резистору сопротивлением  `R=R_1+R_2`.

        Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: последовательно соединённые резисторы сопротивлениями `R_1,R_2,...R_n`  эквивалентны одному резистору сопротивлением

        `R=R_1+R_2+...+R_n`.                                                         (4.7)

        Параллельное  соединение

        В  случае  параллельного  соединения `U=U_1=U_2`, `I=I_1+I_2`. 

         Используя эти свойства и соотношения (4.6), выразим общее сопротивление участка цепи, состоящего из двух резисторов:

        `R=U/I=U/(I_1+I_2)=U/(U_1/R_1+U_2/R_2)=U/(U/R_1+U/R_2)=1/(1/R_1+1/R_2)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)`.

        Это означает, что два параллельно соединённых резистора сопротивлениями `R_1` и `R_2` эквивалентны одному резистору сопротивлением

        `R=(R_1R_2)/(R_1+R_2)`.                                                          (4.8)

        Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: параллельно соединённые резисторы сопротивлениями `R_1,R_2,...,R_n` эквивалентны одному резистору сопротивлением

        `R=1/(1/R_1+1/R_2+...+1/R_n)`.                                                   (4.9)

        Отметим, что выражение (4.8) получено после алгебраического преобразования, пригодного только для случая двух резисторов, поэтому его формальное обобщение приводит к неправильному (даже по размерности!) результату:

        R=R1R2·...·RnR1+R2+...+Rn.\xcancel{R=\dfrac{R_1R_2\cdot...\cdot R_n}{R_1+R_2+...+R_n}.}

        Пример 7

        Найдите сопротивление  `R` изображённого на рис. 4.17 участка цепи. Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.

        Решение

        Резисторы `R_2` и `R_3` соединены параллельно, поэтому их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(23)=R_2R_3//(R_2+R_3)`. После замены резисторы `R_1` и `R_(23)` оказываются соединены последовательно, значит, их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(123)=R_1+R_(23)`. После второй замены остаётся один резистор, следовательно, искомое сопротивление

        `R=R_(123)=R_1+R_(23)=R_1+(R_2R_3)/(R_2+R_3)`.

          

        Пример 8

        Найдите сопротивление `R` изображённого на рис. 4.18 участка цепи. Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.


        Решение

        Резисторы `R_1` и `R_2` соединены последовательно, поэтому их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(12)=R_1+R_2`. После замены резисторы `R_(12)` и `R_3` оказываются соединены параллельно, значит, их можно заменить одним резистором сопротивлением `R_(123)=R_(12)R_3//(R_(12)+R_3)`. После второй замены остаётся один резистор, следовательно, искомое сопротивление

        `R=R_(123)=(R_(12)R_3)/(R_(12)+R_3)=((R_1+R_2)R_3)/((R_1+R_2)+R_3)`.


        Пример 9

        Найдите отношение напряжений `U_1` и `U_2` на резисторах `R_1` и `R_2`, а также отношение сил токов `I_3` и `I_4` через резисторы `R_3` и `R_4` (4.19). Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.

        Решение

        1. В силу свойств последовательного соединения силы токов через резисторы `R_1` и `R_2` одинаковы: `I_1=I_2`. По закону Ома `U_1=R_1I_1` и `U_2=R_2I_2`.

        Отсюда искомое отношение `U_1//U_2=R_1//R_2`.

        2. В силу свойств параллельного соединения напряжения на резисторах `R_3` и `R_4` одинаковы: `U_3=U_4`. По закону Ома  `I_3=U_3//R_3` и `I_4=U_4//R_4`. Отсюда искомое отношение  `I_3//I_4=R_4//R_3`.

        Обратите внимание, что каждый из ответов не зависит от остальной части схемы. Таким образом, напряжения на последовательно соединённых резисторах пропорциональны их сопротивлениям, а силы тока через параллельно соединённые резисторы обратно пропорциональны их сопротивлениям.

        Пример 10

        Найдите силу тока `I` через источник постоянного тока, напряжение на котором постоянно и равно `U` (4.19). Значения отмеченных на рисунке параметров элементов известны.

        Решение

        Резисторы `R_3` и `R_4` соединены параллельно, поэтому их можно заменить на один резистор сопротивлением `R_(34)=R_3R_4//(R_3+R_4)`. После замены резисторы `R_1`, `R_2` и `R_(34)` оказываются соединены последовательно (4.20), значит, их можно заменить одним резистором сопротивлением

        `R=R_1+R_2+R_(34)=R_1+R_2+(R_3R_4)/(R_3+R_4)`.

        В результате в схеме остаются только источник и один резистор (4.21). Их можно рассматривать как соединённые и последовательно, и параллельно. В силу первого сила тока через резистор равна искомой, а в силу второго напряжение на резисторе равно `U`. Тогда по закону Ома

        `I=U/R=U/(R_1+R_2+(R_3R_4)/(R_3+R_4))`.

        4.3. Конденсаторы

        Прежде чем перейти к расчётам цепей с конденсаторами, вспомним их основные свойства, которые были подробно изучены в рамках электростатики.

        Конденсатор – это система из двух изолированных друг от друга проводников (называемых обкладками), к которым подведены контакты.

        В обычном режиме работы конденсатора заряды обкладок противоположны (равны по модулю и имеют разные знаки). Это условие может быть нарушено, если на одной из обкладок изначально был ненулевой заряд, что можно осуществить только при «изготовлении» конденсатора (но не за счёт каких-либо подключений его к цепи, так как заряд притёкший по проводу на одну обкладку, заставляет такой же по величине заряд покинуть другую обкладку по второму проводу конденсатора). Далее всюду будем предполагать обычный режим, если иное не оговорено особо.

        Заряд на конденсаторе – это заряд одной  из обкладок, выбор которой является такой же условностью, как и выбор положительного направления тока в определении силы тока.

        Следует чётко отличать приведённое выше понятие заряда на конденсаторе, применяемое при расчётах цепей, от полного заряда конденсатора как тела (суммы зарядов всех его частиц), который в обычном режиме равен нулю. Наличие зарядов на обкладках приводит к появлению между ними разности потенциалов, которая называется напряжением на конденсаторе.

        Ёмкость конденсатора `C` - это величина, равная отношению заряда `q` на конденсаторе к напряжению `U` на нём: `C=q//U`.  Ёмкость измеряется в фарадах (Ф), причём Ф`=`Кл/В. 

        Рассмотрим последовательное  (рис. 4.22) и параллельное (рис.4.23) соединения двух конденсаторов ёмкостями `C_1` и `C_2`. В обоих случаях напряжения `U_1` и `U_2` на каждом из конденсаторов и заряды `q_1` и `q_2` на них можно связать через ёмкости:

        `U_1=(q_1)/(C_1)`,     `U_2=(q_2)/(C_2)`,                                           (4.10)

        или                                                                           

              `q_1=C_1U_1`,     `q_2=C_2U_2`.                                                  (4.11)

        А вот общее напряжение `U` на обоих конденсаторах и общий заряд `q` на конденсаторах в целом (заряд, протёкший через точку `A` в процессе зарядки) будут зависеть от способа подключения.   

          

        Последовательное соединение

        В случае последовательного соединения `U=U_1+U_2`, а заряд `q`, протёкший через точку `A`, окажется на каждом из конденсаторов, то есть `q=q_1=q_2`. Используя эти свойства и соотношения (4.10), выразим общую ёмкость участка цепи, состоящего из двух конденсаторов:

        `C=q/U=q/(U_1+U_2)=q/(q_1/C_1+q_2/C_2)=q/(q/C_1+q/C_2)=1/(1/C_1+1/C_2)=(C_1C_2)/(C_1+C_2)`.

        Это означает, что два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями `C_1` и `C_2`, заряженных соответственно до напряжений `U_1` и `U_2`,  эквивалентны одному конденсатору ёмкостью

        `C=(C_1C_2)/(C_1+C_2)`,                                                          (4.12)

        заряженному до напряжения  `U=U_1+U_2` и несущему заряд  `q=CU`.

        Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: последовательно соединённые конденсаторы ёмкостями `C_1,C_2,...C_n`, заряженные соответственно до напряжений `U_1,U_2,...,U_n`, эквивалентны одному конденсатору ёмкостью `C`, заряженному до напряжения `U` (соответствующего заряду  `q=CU`):

                    `C=1/(1/C_1+1/C_2+...+1/C_n)`,         `U=U_1+U_2+...+U_n`.                                (4.13)

        Отметим, что выражение (4.12) получено после алгебраического преобразования, пригодного для случая двух конденсаторов, поэтому его формальное обобщение приводит к неправильному (даже по размеренности!) результату:

        C=C1C2·...·CnC1+C2+...+Cn.\xcancel{C=\dfrac{C_1C_2\cdot...\cdot C_n}{C_1+C_2+...+C_n}}.

        Параллельное соединение

        В случае параллельного соединения `U=U_1=U_2`, а заряд `q`, протёкший через точку `A`, разделится между конденсаторами, то есть `q=q_1+q_2`. Используя эти свойства и соотношения (4.11), выразим общую ёмкость участка цепи, состоящего из двух конденсаторов:

        `C=q/U=(q_1+q_2)/U=(C_1U_1+C_2U_2)/U=(C_1U+C_2U)/U=C_1+C_2`.

        Это означает, что два параллельно соединённых конденсатора ёмкостями `C_1` и `C_2`, несущие соответственно заряды `q_1` и `q_2`, эквивалентны одному конденсатору ёмкостью `C=C_1+C_2`, несущему заряд `q=q_1+q_2` и заряженному до напряжения `U=q//C`. 

        Аналогичным образом можно доказать более общее утверждение: параллельно соединённые конденсаторы ёмкостями `C_1,C_2,...,C_n`, несущие соответственно заряды `q_1,q_2,...,q_n`, эквивалентны одному конденсатору ёмкостью `C`, несущему заряд  `q` (соответствующий напряжению  `U=q//C`):

        `C=C_1+C_2+...+C_n`,      `q=q_1+q_2+...+q_n`.                                          (4.14)

        Замечание

        Суммы напряжений в (4.13) и зарядов в (4.14) подразумеваются алгебраические (с учётом полярности заряженных конденсаторов). А вот в выражениях для общей ёмкости минусов никогда не бывает. Формулы (4.13) и (4.14) справедливы при любых напряжениях на конденсаторах (даже не только для обычного режима), в частности, когда некоторые конденсаторы заряжены, а некоторые – нет. Из понятия эквивалентности следует, что если к системе конденсаторов подключить вольтметр, то он покажет напряжение на эквивалентном конденсаторе, а если систему конденсаторов замкнуть проводом, то по нему протечёт заряд эквивалентного конденсатора.

        Пример 11

        Три конденсатора ёмкостями `C_1=20` мкФ, `C_2=40` мкФ и `C_3=40` мкФ соединили последовательно с ключом (рис. 4.24). Конденсатор `C_1` изначально был не заряжен, а напряжения на конденсаторах `C_2` и `C_3` были соответственно `U_2=2` B и `U_3=3` B. Найдите заряд  `q`, который протечёт через ключ после замыкания цепи.

        Решение

        Искомая величина – это заряд эквивалентного конденсатора. В соответствии с (4.13) сначала найдём его ёмкость

        `C=1/(1/C_1+1/C_2+1/C_3)=10` мкФ,

        а потом выразим напряжение `U=0+-U_2+-U_3`. 

        Знаки `+-` означают, что нам неизвестно, в какой полярности конденсаторы соединены друг с другом. В зависимости от выбора знаков мы получим четыре значения для `U:` `5`B,  `1`B, `-1`B, `-5`B. Поскольку в итоге нам нужно найти `|q|=C|U|`, то последние два значения `U` дадут тот же результат, что и первые два, поэтому их можно отбросить. Из оставшихся двух выбрать какое-то одно невозможно (не хватает данных). Поэтому задача имеет два ответа:  `q_1=50` мкКл и `q_2=10` мкКл.

        Пример 12

        Цепь собрана из бесконечного числа звеньев, состоящих из двух конденсаторов ёмкостями `C_1` и `C_2` (рис. 4.25). Многоточия на этой схеме обозначают остальные звенья цепи, а не произвольные элементы. Чему эквивалентен участок цепи между точками  `A` и `B`?

        Решение

        Любая схема, состоящая только из конденсаторов и имеющая два вывода, эквивалентна одному конденсатору. Нужно лишь найти его ёмкость `C_0`. Заменим исходную цепь на эквивалентный ей конденсатор `C_0` и добавим к схеме ещё одно звено (рис. 4.26). Пользуясь свойствами последовательного и параллельного соединений, рассчитаем ёмкость `C_0^'` участка цепи между точками `A^'` и `B^'`. Конденсаторы `C_2` и`C_0` соединены параллельно, поэтому их можно заменить на один конденсатор ёмкостью `C_(20)=C_2+C_0`. Конденсаторы `C_1` и `C_(20)` соединены последовательно, значит, их общая ёмкость

        `C_0^'=(C_1C_(20))/(C_1+C_(20))=(C_1(C_2+C_0))/(C_1+(C_2+C_0))`.                            (4.15)

        Теперь сравним исходную и полученную цепи. Добавление одного звена не меняет факта бесконечности цепи. Поскольку все звенья одинаковы, то цепь с дополнительным звеном эквивалентна исходной, а их ёмкости равны: `C_0^'=C_0`, откуда после подстановки (4.15) получаем `C_0^2+C_2C_0-C_1C_2=0`. Решая полученное квадратное уравнение относительно `C_0` и отбрасывая отрицательный корень, не имеющий физического смысла, находим

        `C_0=1/2(sqrt(C_2^2+4C_1C_2)-C_2)`.

        Рассмотренная задача является типичным примером целого класса задач – на бесконечные цепочки. В качестве элементов цепочки могут быть также  резисторы, источники и т. д. Кроме того, звенья цепи могут быть не одинаковы, например, сопротивление резисторов в каждом следующем звене в два раза больше, чем в предыдущем. Вообще, звенья могут состоять из разнотипных элементов, например, в схеме на 4.25 заменим мысленно все конденсаторы ёмкостью `C_1` на резисторы. В этом случае цепь будет эквивалентна не одному элементу, а участку из нескольких разнотипных элементов.


        В любом случае все подобные задачи решаются по стандартному алгоритму:

        1) заменяем исходную бесконечную цепочку не эквивалентный ей элемент `X` и добавляем к нему ещё одно звено исходной цепочки;

        2) рассчитываем параметры цепи с дополнительным звеном, полагая известными параметры элемента `X`; 

        3) сравниваем полученную цепь с исходной и определяем соотношение их параметров; 4) поставляем в это соотношение выражение из пункта №2 и решаем уравнение.


      2. §2. Электрическое сопротивление среды и закон Ома

        При движении в веществе носители заряда взаимодействуют («сталкиваются») с частицами среды и из-за этого теряют скорость. Такое сопротивление среды можно описать в виде некоторой усреднённой силы `F_"сопр"`, действующей со стороны среды на движущийся в ней носитель заряда. Эта сила направлена противоположно средней скорости `vecv` носителя заряда и возрастает с увеличением `v` (аналогично силе сопротивления воздуха при полёте тела).

        Для многих сред справедлива линейная зависимость `vecF_"сопр"` от `vecv`, что в случае движения вдоль одной оси можно записать в скалярной форме:

                                                                   `F_"сопр"=-alphav`,                                                                (2.1)

        где `alpha` - некоторая константа, определяемая свойствами вещества. Для проводников, изготовленных именно из таких материалов, справедлив закон Ома.

        Рассмотрим цилиндрический проводник длинной `l` и площадью поперечного сечения `S`, изготовленный из вещества, для которого справедливо (2.1), и помещённый во внешнее постоянное однородное электрическое поле напряжённостью `E` (единица измерения – В/м), направленной вдоль оси проводника (рис. 2.1).

        Пусть `q` и `v` - абсолютные значения заряда и скорости носителей заряда, `n` - их концентрация (единица измерения – `1//"м"^3`), тогда за время `Deltat` через поперечное сечение проводника пройдут все носители заряда, расположенные в объёме `DeltaV=S*vDeltat` и несущие суммарный заряд `Deltaq=q*nDeltaV`. По определению (1.1) сила тока

                                          `I=(Deltaq)/(Deltat)=(qnSvDeltat)/(Deltat)=qnSv`.                                    (2.2)

        В конечном итоге мы хотим найти силу постоянного тока в проводнике, что в соответствии с (2.2) равносильно условию `v="const"`. Для его выполнения необходимо компенсировать силу сопротивления среды (2.1) силой `F_e=qE`, действующей со стороны внешнего электрического поля: `F_"сопр"+F_e=0`. После подстановки выражений для `F_"сопр"` и `F_e` находим `v=(q//alpha)E`. Таким образом, установившаяся скорость носителей заряда прямо пропорциональна напряжённости внешнего поля:

                                                                                     `v=muE`,                                                                 (2.3)

        а коэффициент `mu=q//alpha` называется подвижностью носителей заряда.

        По известной из электростатики формуле для разности потенциалов в однородном электрическом поле напряжение между торцами проводника  `U=El`, откуда можно выразить

                                                                                   `E=U/l`.                                                                     (2.4)

        Подставив (2.3) и (2.4) в (2.2), получим

                                                                                    `I=qnSmu U/l`.                                                       (2.5)

        Полученная линейная зависимость `I` от `U` позволяет сформулировать закон Ома:

        закон Ома

        сила тока через проводник, для материала которого выполняется условие (2.1), прямо пропорциональна напряжению на концах проводника.

        Закон Ома справедлив для очень широкого класса веществ, в частности, для всех металлов и сплавов (если их температура поддерживается постоянной).

        Конечно, рассуждения, основанные на предположении (2.1), не соответствуют исторической последовательности открытия данного закона. Немецкий физик Георг Симон Ом (1787 – 1854) сформулировал свой закон в 1826 году, тогда как электрон (носитель заряда в большинстве веществ) был открыт лишь в 1897 году. Г.С. Ом чисто экспериментально обнаружил, что отношение `U//I` остаётся постоянным в широком диапазоне прикладываемых напряжений, хотя зависит, например, от геометрических размеров и температуры образца.

        Линейную зависимость (2.5) можно записать в виде `I=GU`, где коэффициент пропорциональности `G=qnmuS//l` называется проводимостью. На практике, однако, вместо проводимости чаще используют обратную к ней величину `R=1//G` называемую сопротивлением, и записывают (2.5) в виде

                                                                                         `I=U/R`,                                                         (2.6)

        где сопротивление

                                                                                `R=1/(qnmu)*l/S`.                                                 (2.7)

        Выражение (2.6) с учётом `R="const"` является одной из форм записи закона Ома. Закон Ома может также иметь вид `U=RI` или `R=U//I`. Из последней формулы видно, что размерность `R` - это В/А. Для этого отношения существует собственное обозначение – Ом, то есть сопротивление измеряется в омах, а  Ом`=`В/А.

        Из (2.7) видно, что `R` не зависит от `I` или `U`, а определяется размерами проводника `(l,S)` и  свойствами его  материала `(q,n,mu)`  Последние  можно объединить в одну константу, записав (2.7) как

                                                                              `R=rho*l/S`,                                                               (2.8)

        где `rho=1//(qnmu)` - удельное сопротивление вещества проводника. Именно `rho` (а не `q`, `n` и `mu` по отдельности) проще всего найти в справочниках, так как оно легко измеряется экспериментально и широко используется при расчётах в электротехнике.

        Из (2.8) можно получить `rho=RS//l`, откуда видно, что величина `rho` измеряется в Ом`*`м. В технике для `rho` используется также размерность `"Ом"*"мм"^2//"м"`, которая отражает тот факт, что проводники обычно длинные (м), но тонкие (мм). В табл. 2.1. приведены для ознакомления значения `rho`  четырёх чистых металлов (обладающих наименьшими `rho`) и одного сплава, часто используемого в случаях, когда нужен проводник с достаточно большим удельным сопротивлением. Электропроводку в доме «редко» делают из серебра или золота, поэтому самые распространённые на практике провода – медные и алюминиевые. Золото же используется для изготовления качественных контактов, но не из-за малого удельного сопротивления, а по той причине, что золото не окисляется (не ржавеет) и срок службы контактов заметно возрастает.

        Таблица 2.1

        Удельное сопротивление некоторых веществ

        Вещество

        Химический состав

        `rho`, `"Ом"*"мм"^2//"м"` `rho`, `"Ом"*"м"`

        1

        серебро

        `"Ag"`

        `0,015`

        `1,5*10^(-8)` 

        2

        медь

        `"Cu"`

        `0,016`

        `1,6*10^(-8)`

        3

        золото

        `"Au"`

        `0,021`

        `2,1*10^(-8)`

        4

        алюминий

        `"Al"`

        `0,025`

        `2,5*10^(-8)`

        5

        нихром

        `70%"Ni"`, `20%"Cr"`, `8%"Fe"`, `2%"Mn"`

        `1,1`

        `1,1*10^(-6)`

         

        Пример 1

        Найдите подвижность `mu` электронов в золоте. Концентрация электронов, принимающих участие в создании тока,  `n~~6*10^(28)  "м"^(-3)`.

        Решение

        Из выражения для `rho`, приведённого сразу после (2.8), выразим подвижность `mu=1//(qnrho)`.  Подставив  табличные  значения  модуля  заряда `q` электрона и удельного сопротивления  `rho` золота, получим  `mu~~5*10^(-3)  "м"^2//("В"*"с")`.

        Пример 2

        Из алюминия изготовили проволоку диаметром `d=1` мм и длиной `l=10` м. Определите сопротивление `R`  проволоки.

        Решение

        Площадь поперечного сечения проволоки `S=pid^2//4`, значение удельного сопротивленияалюминия `rho` находим по табл. 2.1 или в справочнике. Воспользовавшись (2.8), получим

        `R=rho*l/S=(4rhol)/(pid^2)=0,32` Ом.

        Пример 3

        Электрическую газонокосилку для футбольного поля подключили к розетке напряжением `U=220` В с помощью медного провода длиной `l=200` м. Площадь поперечного сечения каждой из двух жил провода `S=1,5  "мм"^2`. В газонокосилке произошло короткое замыкание. Найдите силу `I` тока, потребляемого от сети.

        Решение

        Короткое замыкание – это такое соединение двух контактов, при котором можно пренебречь сопротивлением соединяющего их элемента цепи по сравнению с сопротивлениями других элементов цепи. Поэтому в данном случае току придётся преодолевать только сопротивление провода на пути от розетки до газонокосилки и обратно, что можно рассматривать как прохождение тока через проводник длиной `2l`. По формуле (2.8) сопротивление такого проводника `R=rho*2l//S~~4,3` Ом, где удельное сопротивление `rho` меди может быть найдено по табл. 2.1  или в справочнике. По закону Ома (2.6) искомая сила тока  `I=U/R=(US)/(2rhol)~~52` А.

        Полученное  значение  достаточно   велико.   Например,  мощный  чайник  (на `1` кВт) потребляет около `5` А, а в бытовом счётчике электроэнергии обычно ставятся предохранители на `10` - `25` А. При рассмотренном коротком замыкании такой предохранитель выполнил бы своё предназначение и разорвал цепь. А если бы предохранителя не было, то сгорел бы другой, более ценный, элемент.


      3. §3. Элементы электрических цепей

        В табл. 3.1 приведены схематические обозначения, названия и описания наиболее распространённых элементов электрических цепей.

        При анализе схем в следующих параграфах очень часто будет использоваться следующее определение: два фрагмента цепи называются эквивалентными, если при замене одного на другой в любой цепи распределение токов и напряжений в остальной части цепи не изменяется.

        Не следует смешивать понятие цепь и схема.

        Цепь – это набор соединённых между собой элементов.

        Схема – это условное изображение цепи.

        Например, фраза «подключим вольтметр к схеме» является явно неправильной, так как означает, что мы рисуем на бумаге схему цепи и подсоединяем вольтметр к этому рисунку. Правильно: «подключим вольтметр к цепи» или «изобразим вольтметр на схеме».

        Не следует также смешивать понятия проводник, провод, резистор и сопротивление.

        Сопротивление является физической величиной (с единицей измерения Ом), а не телом или элементом цепи.

        Проводником можно назвать любое тело, которое проводит электрический ток. Противоположностью проводнику является изолятор – тело, которое не проводит электрический ток. 

        Идеальный проводник имеет минимальное теоретически возможное сопротивление, которое равно нулю.

        Провод – это длинный проводник, который используется для соединения других элементов между собой.

        Реальный провод имеет ненулевое сопротивление (см., например, задачи предыдущего параграфа). Но если сопротивление других элементов заметно больше, то мы можем пренебречь сопротивлением проводов и считать их идеальными проводниками. Если же сопротивление элементов сравнимо или даже меньше сопротивлений проводов, то сопротивления проводов следует учитывать, изображая их на схеме как резисторы.

        Резистор – это проводник или элемент цепи, подчиняющийся закону Ома, то есть он отличается от произвольного проводника тем, что его сопротивление является константой и явно учитывается.

        Для произвольного проводника закон Ома справедлив не всегда. Например, закон Ома нельзя применять к лампочке, так как спираль (являющаяся проводником) при увеличении напряжения разогревается всё сильнее, а из-за роста температуры возрастает её сопротивление, то есть получается, что оно зависит от напряжения, что противоречит закону Ома. Элементы, подобные лампочке, называются нелинейными, так как вопреки закону Ома сила тока в них не прямо пропорциональна напряжению, а зависит от него более сложным образом.