Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи , страница 4

  • § 1. Работа силы
    1.1. Работа постоянной силы

    Работой постоянной силы `vecF`, составляющей угол `alpha` с направлением прямолинейного движения, называется скалярная величина, равная произведению модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и на косинус угла между векторами (см. рис. 1):


    `A_F=|vecF|*|Deltavecr|cosalpha`,  (1)

    или в более простых обозначениях (`F=|vecF|`,     `s=|Deltavecr|`)

    `A_F=F*s*cosalpha=F_s*s`,  (1.1*)



    где `F_s=F*cosalpha` - проекция вектора `vecF` на `Deltavecr`. В зависимости от величины угла `alpha` работа силы может быть положительной (если `0<=alpha<pi//2`), отрицательной (если `pi//2<alpha<=pi`)  и равной нулю (если `alpha=pi//2`).

    Заметим, что так определённая работа есть скалярное произведение векторов силы `vecF` и перемещения `Deltavecr`:

    `A_f=vecF*Deltavecr`. (1.1')

    В системе СИ работа измеряется в джоулях: `1` Дж`=1` H`*1` м. По основному свойству скалярного произведения работа может быть представлена в виде суммы произведений проекций на оси координат  векторов силы и перемещения

    `A_f=F_xDeltax+F_yDeltay+F_zDeltaz`. (1.1")

    Реально к телу почти всегда приложена не одна, а несколько сил (см. рис. 1). Формула (1.1) даёт работу одной из них (конкретно силы `vecF`).  Часто приходится вычислять работу каждой силы и работу всех сил (эта величина нам понадобится). По определению работой всех сил, приложенных к телу, называется алгебраическая сумма работ всех этих сил (с учётом знаков каждой):

    `A_"всех сил"=sum_k A_(F_k)`, (1.2)

    т. е. работа определена как аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать).

    Попытка определить работу всех сил как скалярное произведение равнодействующей силы на перемещение в некоторых случаях связано с затруднением: например, невозможно определить равнодействующую пары сил (двух сил равных по величине, но противоположно направленных, приложенных к разным точкам тела).

    1.2. Если сила не постоянна

    Если сила не постоянна или/и движение не является прямолинейным, то

    обобщение понятия работы силы таково (по определению!). Ограничимся рассмотрением материальной  точки  (не протяжённого тела).  Сначала всю траекторию движения  (см. рис. 2)  мысленно разбивают на очень большое число очень маленьких перемещений  `Deltavecr_j` `(j=1,2,3,...,n)`, так что на протяжении отдельного участка сила `vecF`  может считаться постоянной величиной `vecF_j`. Далее на каждом участке  (элементе траектории) `Deltavecr_j` вычисляется элементарная работа (как от постоянной силы) `DeltaA_j=vecF_j*Deltavecr_j=F_(sj)Deltas_j`, а затем суммируются вклады от каждого участка. По определению работой силы при перемещении тела из точки `1` в точку `2` называется скалярная величина, равная алгебраической сумме (с учётом знаков) работ на всех участках движения

    `A_(12)=sum_(j=1)^n vecF_j*Deltavecr_j`. (1.3) 

    Работа аддитивна и в этом смысле.

    1.3. Геометрический смысл работы

    Пусть сила приложена к материальной точке и постоянна, а её проекция на ось

    `Ox` положительна. Пусть, кроме того, точка движется в положительном направлении оси `Ox`. Тогда работа силы при перемещении материальной точки из точки пространства с координатой `x_1` в точку с координатой `x_2` равна 

    `A_(12)=F_x*Deltax=F(x_2-x_1)=S`

    площади заштрихованного прямоугольника на графике зависимости силы от координаты (см. рис. 3).

    Этот наглядный образ во многих случаях облегчает вычисление работы непостоянной силы. Общий принцип такой. Пусть график зависимости проекции силы на ось `Ox` - это кривая на рис. 4 и пусть материальная точка, к которой приложена эта сила, перемещается в положительном направлении оси `Ox` из точки пространства с координатой `x_1`  в точку с координатой `x_2`/ Утверждается, что и в этом случае работа силы равна площади «под кривой» (площади соответствующей  криволинейной  трапеции;  см. рис. 4). 

    Мысленно разбиваем криволинейную трапецию на очень  большое число  очень узких вертикальных  полосок ширины `Deltax_j(j=1,2,3,...,n)` почти прямоугольной формы. Считая, что на протяжении одной полоски сила практически не изменяется, вычисляем сначала элементарную работу  `DeltaA_j=F_j*Deltax_j`. Она совпадает с площадью соответствующей полоски `DeltaA_j=DeltaS_j`. Чтобы найти  работу  силы  на  всём  интервале от `x_1` до `x_2`, нужно просуммировать вклады по всем `Deltax_j` (работа – величина аддитивная!):

    `A_(12)=sum_(j=1)^n F_j*Deltax_j=sum_(j=1)^n DeltaS_j=S`,

    что совпадает с площадью криволинейной трапеции (площадь – тоже величина аддитивная!).

          

    N.B. Наглядный способ нахождения работы силы (как площади) требует осторожности. На рисунках 5 – 6 показаны случаи, когда работа силы (которая может иметь любой знак) равна соответствующей площади с точностью до знака (площадь фигуры положительна). Нужно ещё иметь в виду, что на некоторых участках работа силы может быть положительной, а на других отрицательной. Это важно при вычислении суммы вкладов от каждого участка.

    1.4. Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли

    Вблизи поверхности Земли на любое тело действует сила тяжести `mvecg`, где `m` - масса тела, `g` - ускорение свободного падения. Вычислим работу силу тяжести для трёх случаев движения материальной точки из точки пространства `1` в  точку `2`:  а) вертикально верх;  б) вертикально вниз;  в) сложным обра- зом – сначала  вертикально  вверх до точки `3`,  а затем вертикально вниз до точки `2` (рис. 7).

    В случае:

    a) `A_(12)=-mg*s=-mg(y_2-y_1)=-mg*Deltah`. 

    При этом учтено, что вектор силы тяжести `mvecg` и вектор перемещения направлены в противоположные стороны, угол между ними равен `180^@`, косинус которого равен минус единице (отсюда – знак минус в формуле). `Deltah=h_2-h_1>0`, поэтому работа `A_(12)=-mgDeltah`  силы тяжести при подъёме тела отрицательна;

    б)  `A_(12)=+mg*s=+mg(y_1-y_2)=-mg(y_2-y_1)=-mg*Deltah`.

    При этом учтено, что сила `mvecg` и вектор перемещения направлены в одну сторону, угол между ними равен нулю, косинус которого равен плюс единице. Последнюю формулу мы для единообразия записали в виде `A_(12)=-mgDeltah`, но в ней `Deltah=h_2-h_1<0`, поэтому работа силы тяжести при опускании тела положительна.

    в) `A_(1232)=A_(12)+A_(23)+A_(32)=A_(12)`

    получаем такое же значение работы, как при простом вертикальном подъёме. Учтено, что сумма работ `A_(23)+A_(32)=0`  (см. N.B. выше!), поскольку работа

    `A_(23)=-mg*s_(23)=-mg*(y_3-y_2)`,       

    а    `A_(32)=+mg*s_(32)=+mg*(y_3-y_2)`.

    Отсюда легко понять: как бы сложно ни двигалась материальная точка, если начальная и конечная точки движения одни и те же, то и работа силы тяжести будет одной и той же и будет даваться формулой

    `A_(12)=-mg(h_2-h_1)`.  (1.4)

    Это утверждение можно существенно усилить: не только для движения по вертикали, но и для движения по произвольной траектории работа силы тяжести при перемещении материальной точки из точки пространства `1` в точку `2` (см. рис. 8) даётся формулой (1.4). Для доказательства воспользуемся формулами (1.3) и `(1.1"):

    `A_12=sum_(j=1)^nmvecg*Deltavecr_j=sum_(j=1)^n(mg_xDeltax_j+mg_yDeltay_j+mg_zDeltaz_j)=`

    `=sum_(j=1)^n(-mg)Deltay_j`.

    При этом учтено, что проекции ускорения свободного падения на оси равны `g_x=g_z=0`, `g_y=-g`.  Далее: `A_(12)=-mgsum_(j=1)^n Deltay_j=-mg(y_2-y_1)`.


    1.5. Работа силы упругости

    Рассмотрим  небольшой  шарик   на   пружинке,  который  может  двигаться

    вдоль оси `Ox`. В процессе движения на него действует сила упругости со стороны растягивающейся или сжимающейся пружины `F_"упр"(x)=-k*x`, где `k` - коэффициент жёсткости пружины, `x` - растяжение пружины;  `x=0` - координата шарика для недеформированной пружины (считаем шарик материальной точкой). Вычислим работу силы упругости (именно её, а, например, не внешней силы, подталкивающей или тормозящей шарик) при изменении растяжения от `x_1` до `x_2`. В данном случае сила не постоянна, поэтому нет простой формулы `A_(12)=F_x*Deltax=F(x_2-x_1)`. Наглядный геометрический образ работы позволяет, однако, легко провести её вычисление. Работа силы упругости равна (с точностью до знака!) площади заштрихованной на рис. 9 трапеции:

    `A_(12)=-S=-(a+b)/2 h=(|-kx_1|+|-kx_2|)/2 (x_2-x_1)=`

    `=-(k(x_1+x_2))/2 (x_2-x_1)`,

    или окончательно  

    `A_(12)=-((kx_2^2)/2 -(kx_1^2)/2)`. (1.5)

                                                                                                          

    Как и в случае силы тяжести (см. рассуждения п. 1.4), работа силы упругости зависит только от начального и конечного растяжения пружины, но не зависит от того, какие промежуточные состояния прошёл шарик. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными.

    Разберите самостоятельно случай, когда шарик проскакивает точку с координатой `x_2`, доходит до точки с координатой `x_3>x_2`, после чего возвращается в точку с координатой  `x_2`.  Докажите, что, как и в случае  силы тяжести, работа сил  упругости пружины `A_(1232)=A_(12)` и здесь будет даваться формулой (1.5).

    Не все силы консервативны. Сила трения не консервативна: работа силы трения, действующей на санки, существенно зависит от пути, по какому перемещались санки. Далеко не одно и то же – перевезти груз на санках от одного подъезда до другого или сделать то же самое, но ещё протащить его несколько раз вокруг дома, – работа силы трения в последнем случае будет существенно другой.




  • Примеры к §1


    Пример 1.1

    Шкаф массой `100` кг передвинули по горизонтальному полу на `2` м. Чему равна работа силы тяжести при таком перемещении?

    Решение

    Работа силы тяжести в данном случае равна нулю, т. к. угол между направлением действия силы тяжести и перемещением (горизонтальным направлением) равен `90^@`, косинус которого равен нулю (см. формулу (1.1) и рис. 1).

    Пример 1.2 

    Лифт массой `1` т начинает подниматься с постоянным ускорением `0,2` `"м"//"с"^2`. 

    1) Чему равна работа силы натяжения троса, с помощью которого поднимают лифт, за первые `4` с движения?

    2) Чему равна работа силы натяжения троса за `4`-ю секунду движения?

    Решение

    В нашем примере сила натяжения троса и перемещение лифта направлены в одном направлении (вверх); угол между этими векторами равен нулю, косинус которого равен единице. Работу силы `F` натяжения троса поэтому ищем по простой формуле («без косинуса») `A=F*s=F*(at^2)/2`.

    Силу найдём из 2-го закона Ньютона `mveca=vecF+mvecg`, или в проекциях на вертикальное направление:  `ma=F-mg`, откуда `F=m(g+a)`.

    Работа за первые `4` секунды движения равна

    $$\begin{array}{l}A(t=4)=m(g+a){\left.\dfrac{at^2}2\right|}_{t=4}=16\;\mathrm{кДж}\\\end{array}$$

    Работу за `4`-ую секунду можно найти как разность `A(t=4)-A(t=3)=`

    $$=m(g+a){\left.\dfrac{at^2}2\right|}_{t=4}{\left.-m(g+a)\dfrac{at^2}2\right|}_{t=3}=16000-9000=7000\;\mathrm{Дж}=7\;\mathrm{кДж}$$


    Пример 1.3`**`

      Доску   массой   `m=5` кг и длиной `L=1` м вытягивают  со льда на асфальт параллельно длине доски. Коэффициент трения между доской и асфальтом `mu=0,5`. Трение доски о лёд пренебрежимо мало. Какую работу совершит сила трения к моменту, когда доска полностью окажется на асфальте? Дорога горизонтальна. Доску вытягивают горизонтально направленной силой; `g=10` `"м"//"с"^2`. Считать, что доска давит на асфальт только той частью, которая находится асфальте.

    Решение

    Пусть доска продвинулась по асфальту на расстояние  Сила трения приложена лишь к той части доски, которая уже находится на асфальте и будет равна 

    `F_"тр"=mu x/L mg`. (1)

    Здесь учтено, что нормальная сила реакции со стороны асфальта на ту часть доски, которая уже оказалась на нём, составляет долю, равную `x//L` от полной силы реакции `N`, причём для горизонтальной дороги и горизонтальной тянущей силы  `N=mg`.

    С работой силы, линейно зависящей от координаты (от удлинения), мы имели дело, когда рассматривали силу, действующую на тело со стороны деформированной пружины. Там модуль силы упругости равнялся `|f(x)|=k|x|`, где `k` - коэффициент жёсткости пружины, `x` - её удлинение. Абсолютное значение работы силы упругости при удлинении пружины `x=L` (из недеформированного состояния  `x=0`) давалось формулой

    `|A|=(kL^2)/2`. (2)

     В нашем случае (1) роль коэффициента жёсткости играет величина

    `k=(mu*mg)/L`. (3)

    Учтём ещё, что работа силы трения в данном случае будет отрицательной,     т. к. сила трения и перемещение доски во все моменты времени направлены в противоположные стороны (угол между ними равен `180^@`), так что `DeltaA_"тр"=F_"тр"*Deltax*cos180^2=-F_"тр"*Deltax`. Поэтому окончательный ответ таков:

    `A_"тр"=-(mu*mg)/2 L`. (*)

    Подстановка чисел даёт   `A_"тр"~~-12,5` Дж.

    Пример 1.4 

    Всегда ли работа силы трения отрицательна?

    Решение

    Нет. Простейший пример – сила трения, действующая на автомобиль, трогающийся с места. Какая сила в этом случае разгоняет автомобиль?  Сила трения покрышек о полотно дороги. Колеса в точке соприкосновения с дорогой стремятся провернуться в сторону, противоположную направлению разгона автомобиля (или даже проворачиваются, пробуксовывают). Поэтому сила трения направлена в ту же сторону, в какую ускоряется автомобиль.


  • Введение

    Думаю, вы уже слышали, что пучок света - это совокупность огромного числа элементарных частиц - фотонов, обладающих двумя, казалось бы, взаимоисключающими свойствами: в некоторых экспериментах они ведут себя как обыкновенные частицы, а в некоторых - как электромагнитные волны. В межзвёздном пространстве эти волны-частицы мчатся с невероятно большой скоростью - `3*10^8` м/с. Впервые числовое значение скорости света вычислил в 1675 году датский астроном Оле Рёмер, догадавшийся связать время задержки выхода одного из спутников Юпитера из его тени, со временем распространения света вдоль диаметра орбиты Земли. Скорость эта столь велика, что искривлением траектории фотонов в гравитационном поле, как правило, пренебрегают. Принято обозначать скорость света в вакууме буквой с. Скорость  света в веществе и их скорость в вакууме связаны простым соотношением:

    `vn=c`,                                                                                         (1)

    где коэффициент `n` называется абсолютным показателем преломления соответствующего вещества. Показатель преломления вакуума равен `1` по определению. Здесь под скоростью света подразумевается скорость движения соответствующих гребней (или узлов) электромагнитных волн. Такая скорость называется фазовой. Подробнее об этом мы поговорим в следующем задании.

    Траектории фотонов мы будем называть световыми лучами. О световом луче имеет смысл говорить лишь тогда, когда он входит в состав светового пучка, содержащего огромное множество подобных лучей. Обычно хорошим приближением луча служит пучок света от лазерной указки.

    Существует широкий круг явлений, которые можно описать с помощью простой, но весьма эффективной теории, опирающейся на небольшое число специфичных для неё постулатов и законы геометрии. Речь пойдёт о геометрической оптике. Сформулируем основные постулаты этой теории.

  • § 1. Постулаты геометрической оптики
    1. В прозрачной однородной среде свет распространяется прямолинейно.

    2. Распространение любого светового пучка в среде не зависит от наличия других пучков света.

    3. Освещённость любой сколь угодно малой части экрана, создаваемая несколькими световыми пучками, равна сумме освещённостей, создаваемых каждым пучком в отдельности.


    Когда узкий пучок параллельных лучей света достигает плоской границы раздела двух сред, он частично возвращается обратно (отражается). Падающий луч `vecS_1` и нормаль (перпендикуляр) `vecN_1`, проведённая к границе раздела сред в точку падения (рис. 1.1), образуют плоскость  `P`, называемую плоскостью падения.  Острый угол `varphi_1`, лежащий между падающим лучом и нормалью, называется углом падения. Отражённый луч `vecS_3` лежит в плоскости падения. Было бы странно, если бы после отражения он отклонился от этой плоскости в ту или иную сторону. Ведь свойства пространства по обе стороны от плоскости `P` абсолютно одинаковы. Острый угол `varphi_3`, лежащий между отражённым лучом и нормалью, называется углом отражения.

    4. Угол отражения равен углу падения:

    `varphi_1=varphi_3`                                                                            (1.1)

    Эти четыре постулата стали обобщением огромного числа опытных фактов.

    Теперь рассмотрим плоскую границу раздела двух прозрачных сред (пусть в них лучи света распространяются с разными скоростями). Луч, проникший из первой среды во вторую, изменит своё направление. О таком луче говорят, что он преломился. Преломлённый луч также лежит в плоскости падения `P`. Острый угол `varphi_2`, лежащий между прошедшим во вторую среду лучом `vecS_2` и нормалью `N`, называется углом преломления. При сравнении двух прозрачных сред та из них, которая имеет больший показатель преломления (см. формулу 1.0), называется оптически более плотным. Следует заметить, что показатель преломления `n`, как правило,  зависит только от частоты электромагнитной волны, распространяющейся в среде, но не зависит от величины угла падения и угла преломления.

    5. Математическая связь между углами падения и преломления, а также показателями преломления соответствующих сред выражается в виде обобщённого закона Снелла (в латинской транскрипции – Снеллиуса):

    `n_1sinvarphi_1=n_2sinvarphi_2`.                                                           (1.2)

    Открытие датируется 1621 годом. Запомнить закон Снелла не просто, а очень просто: справа  стоит  произведение  величин, относящихся к одной  среде, а слева - к другой. Часто при записи закона Снелла вместо двух абсолютных показателей преломления `n_1` и `n_2` используют их отношение `n_2//n_1=n_(21)`, называемое относительным показателем преломления второй среды относительно первой.

  • § 2. Гипотезы Герона, Ферма, Веселаго

    Известный физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии Ричард Фейнман однажды сказал: «По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным».

    Эти слова в полной мере можно отнести к открытию Герона Александрийского, жившего приблизительно в середине I века н. э. Герон предположил, что свет от источника до приёмника распространяется по кратчайшему пути. Данная гипотеза делает излишним постулат № 1 геометрической оптики, ибо в однородной среде кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая.  Несложно показать, что и закон отражения вытекает из постулата Герона.

    Но для света, проходящего через границу двух сред с различными показателями преломления, принцип Герона давал сбой. Только через полтора тысячелетия (в 1650 году) французский математик и физик Пьер Ферма устранил это затруднение. По идее Ферма свет распространяется между двумя точками вдоль такого пути, на преодоление которого требуется наименьшее время. Такой способ рассуждения получил впоследствии название принцип наименьшего времени Ферма. Опираясь на принцип Ферма, получим закон Снелла.

    Пример 2.1

    Зрачок наблюдателя находится на высоте `H` над поверхностью водоёма, а точечный источник света `S` - на глубине `h`. Расстояние от человека до источника (вдоль поверхности воды) равно `L` (рис. 2.1).  Показатель преломления  воды `n_1`, воздуха `n=1`.                                                    

    Используя принцип Ферма, докажите, что свет от источника `S` до зрачка наблюдателя распространяется вдоль пути `SBM`, удовлетворяющего соотношению

    `n_1sinvarphi_1=sinvarphi_0`.

    Решение

    Пусть проекция отрезка `BS` на поверхность воды равна `x`, тогда

    `BS=sqrt(h^2+x^2)`,  `MB=sqrt(H^2+(L-x)^2)`. 

    `t=(SB)/v+(MB)/c=(n_1sqrt(h^2+x^2)+sqrt(H^2+(L-x)^2))//c`.             (2.1)

    Согласно принципу Ферма, время на преодоление пути от `S` до `M` минимально, а это значит, что `(dt)/(dx)=0` или `n_1 x/(sqrt(h^2+x^2))-(L-x)/(sqrt(H^2+(L-x)^2))=0`.

    Из рис. 2.1 видим, что  `x/(sqrt(h^2+x^2))=sinvarphi_1`, а `(L-x)/(sqrt(H^2+(L-x)^2))=sinvarphi_0`, откуда следует: `n_1sinvarphi_1=sinvarphi_2`, что и требовалось доказать.


    Здесь уместно ввести одно полезное определение, которое нам пригодится и в следующем задании по волновой оптике.

    Рассмотрим однородную среду с показателем преломления `n`, в которой распространяется луч света. Возьмём в нём две точки `A` и `B`. Пусть длина отрезка `AB` равна `l`. Будем называть оптической длиной пути `AB` произведение её длины `l` на показатель преломления `n`. Если среда неоднородна, разобьём траекторию луча на участки, вдоль которых изменение показателя преломления можно не учитывать. Пусть `l_i` и `n_i` - длина и показатель преломления `i`-того участка. Оптическую длину пути определим так:

    `L=suml_i n_i`.                                                                             (2.2)

    Обратите внимание на то, что в формуле (2.1) время пропорционально оптической длине пути между источником `S` и зрачком наблюдателя (коэффициент пропорциональности `1`/c). Значит, принцип Ферма можно переформулировать так:

    оптическая длина пути между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки.

    Позднее учёные заметили, что для света время прохождения пути от источника до приёмника может иметь не только минимум, но и локальный максимум. Пришлось подправлять принцип Ферма. Он стал звучать так:

    луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками вдоль пути, время прохождения (оптическая длина) которого экстремально(а).

    Пример 2.2

    Поместим точечный источник света `S` и приёмник света `P` рядом с центром полусферы, внутренняя поверхность которой зеркальная (рис. 2.2). Пусть источник и приёмник разделены ширмой. Найдём экстремальную оптическую длину луча от источника до зеркала и от него до приёмника.

    Решение

    1) Рассмотрим на поверхности сферы точку `A`. Пусть в этой точке плоское зеркало касается поверхности полусферы. Удалим полусферу (рис. 2.3). В соответствии с принципом Ферма, свет от `S` к `P` будет распространяться по пути `SAP`, причём оптическая длина соответствующего луча будет минимальна.

    2) Если вершины `A` вогнутого сферического зеркала касается воображаемая полусфера меньшего радиуса (рис. 2.4), то свет по-прежнему будет распространяться по пути `SAP`, но, в этом случае оптическая длина луча будет максимальна.

    На этом история принципа Ферма не закончилась. В середине 60-х годов прошлого века советский физик  Виктор Григорьевич  Веселаго  предположил возможность существования сред с отрицательным показателем преломления. Он разработал теорию распространения электромагнитных волн


    в таких средах (см. журнал «Успехи физических наук», том 92, № 517, 1967 г). И вот в 2000 году в научных журналах появилась сообщения о том, что созданы композитные материалы (позднее их стали называть метаматериалами), необычные электродинамические свойства которых легко объяснить, если допустить, что в них коэффициент преломления отрицателен. Например, луч, преломившись на границе с метаматериалом, отклоняется в сторону, противоположную той, в которую он отклонялся бы в случае с `n>0`  (рис. 2.5).

    В очередной раз пришлось подправлять принцип Ферма. Теперь в формулу (2.2) показатель преломления `n_i` нужно подставлять с соответствующим знаком.

    Открытие метаматериалов вызвало в физике настоящий бум. Ими заинтересовались военные (есть идеи, как с помощью сред с отрицательным показателем преломления делать самолёты-невидимки). Большие  вложения  средств  в исследования метаматериалов делают фирмы, занимающиеся телекоммуникацией...

  • § 3. Явление полного отражения света

    Рассмотрим явление прохождения света через плоскую границу раздела двух сред, когда показатель преломления `n_1` первой среды больше соответствующего показателя `n_2` второй среды. Для этого запишем закон Снелла в виде:

    `n_(12)sinvarphi_1=sinvarphi_2`,                                                                    (3.1)

    где `n_(12)` – относительный показатель преломления. Заметим, что `n_(12)>1`.

    Внимание!

    Если увеличивать угол `varphi_1`, то левая часть уравнения (3.1) может оказаться больше `1`. Но, справа стоит синус, значение которого всегда `<=1`. Как разрешается это противоречие?

    Если `n_(12)` не на много превышает единицу (например, равно `1,5`), а угол падения `varphi_1` мал, почти все излучение проходит во вторую среду.

    Увеличение угла `varphi_1` сопровождается увеличением угла `varphi_2`, как того требует формула (3.1), и ростом доли излучения, отражённого от границы раздела сред. При этом, естественно, падает доля излучения, проникающего во вторую среду. Эта тенденция усиливается по мере приближения угла `varphi_2` к `90^@`. Наконец, при некотором угле `varphi_1` угол `varphi_2` достигает `90^@`, и всё падающее на границу раздела сред излучение будет отражаться обратно. Соответствующий угол падения `varphi_1` можно найти из условия 

    `n_(12)sinvarphi_1=1`,              или

    `varphi_1=arcsin  1/(n_(12))=varphi_("п.о.")`.                                                    (3.2)

    В научной литературе этот угол получил специальное название - предельный угол полного отражения. При углах `varphi_1>varphi_("п.о.")` во вторую среду излучение также проникать не будет. Этим и снимается противоречие между физической и математической стороной описанного явления преломления света.

    Примечание

    Раньше в словосочетании «полное отражение» присутствовало ещё слово «внутреннее». Но, поскольку во многих задачах это слово не несёт никакой смысловой нагрузки, в современной научной литературе его стараются избегать.

    Пример 3.1

    Обычно световоды (оптические системы для передачи света) делают в виде тонких стеклянных нитей, центральная часть которых - «сердцевина» - состоит из вещества с малым коэффициентом поглощения и показателем преломления `n_1`. Это вещество, как правило, очень чувствительно к химическим и механическим воздействиям. Снаружи «сердцевина» защищена «рубашкой» - прочным стеклом с показателем преломления `n_2`, стойким к воздействию влаги и химических веществ. Какой из показателей преломления меньше, `n_1` или `n_2`? Поясните почему?

    Ответ

    Чтобы на пути от передатчика к приёмнику свет не вышел из «сердцевины», «рубашку» световода делают из стекла с таким показателем преломления `n_2`, чтобы на границе «сердцевина» - «рубашка» происходило полное отражение. Это возможно при `n_2<n_1`.

     

  • § 4. Плоские зеркала


    Теперь приступим к построению изображений в плоских зеркалах.  Пусть над зеркалом находится точечный источник света `S`. При построении его изображения необходимо использовать, по крайней мере, два произвольных луча, отражающихся от плоскости, совпадающей с плоскостью зеркала.

    Методика построения изображения понятна из рис. 4.1. С практической точки зрения один из лучей (луч. `1`) целесообразно пустить вдоль нормали к плоскости зеркала.

    Если пучок лучей, вышедших из точки `S`, в результате отражения, преломления или искривления в неоднородной среде сходится в точке `S_1`, то точка `S_1` называется действительным  изображением точки `S`. Если же `S_1` получено в результате пересечения продолжений этих лучей в направлении, обратном направлению распространения света, то изображение называется мнимым. Таким образом, `S_1` - мнимое изображение точки `S`.

    Пример 4.1

    Лампочка `"Л"` настольной  лампы находится на расстоянии `L_1=0,6` м от  поверхности  стола и `L_2=1,8` м от потолка. Нить накала лампочки можно считать точечным источником света. На столе лежит осколок плоского зеркала в форме  треугольника со сторонами  `5` см, `6` см и `7` см.

    1)  На каком расстоянии `x` от потолка находится изображение нити накала лампочки?

    2)  Найти  форму  и  размеры «зайчика» полученного на потолке от осколка зеркала (МФТИ, 1996).           

    Решение

    Выполним рисунок, поясняющий смысл задачи. Обратите внимание на следующее обстоятельство: зеркало находится на столе на произвольном расстоянии от лампы (рис. 4.2). Несложно показать, что `L_1=L_3`. Следовательно

    `x=2L_1+L_2=0,6` м `*2+1,8` м `=3` м.

    Для определения формы и размера «зайчика» удобно рассмотреть лучи `S_2` и `S_3`,  «исходящие»  от   мнимого  изображения  `"Л"_1`.     

    Т. к. плоскости зеркала и потолка параллельны, форма зайчика будет подобна зеркалу. Найдём коэффициент подобия. Если длина стороны зеркала `h`, а соответствующая ей длина  стороны  «зайчика» `H`, то  можно  записать  пропорцию: `h//H=L_3//x`, из которой следует: `H=5h`. Таким образом, длины сторон «зайчика» равны `25` см, `30` см и `35` см соответственно.

    Примечание

    Как видно из рис. 4.2, весь свет, отражённый зеркалом, должен лежать в конусе, ограниченном лучами `S_2` и `S_3`, с вершиной в точке `Л_1`. В действительности  мы можем видеть точки падения лучей на отражающую поверхность из любого места над зеркалом. Это происходит благодаря тому, что часть излучения рассеивается во все стороны, в том числе и в направлении глаз наблюдателя. Рассеянный свет возникает главным образом на дефектах поверхности: налипших пылинках, царапинах и других неровностях размером в несколько десятков микрометров (микрон). Чем больше неровностей, тем лучше видна отражающая поверхность. Белая писчая бумага так сильно испещрена неровностями, что практически не даёт зеркального отражения. Говорят, что такая поверхность отражает диффузно. Но зато она хорошо видна из разных мест.

    Пример 4.2

    В архиве Снеллиуса нашли чертёж, на котором были изображены точечный источник света `S` и два зеркала `M_1` и `M_2`,  образующие двугранный угол `70^@` (рис. 4.3). От времени чернила выцвели, и невозможно было разглядеть, сколько изображений источника `S` давала такая система зеркал. Восстановить  все  изображения источника `S`. Сколько  изображений источника `S` можно увидеть в такой системе зеркал?   

    Решение

    Источник света и  его  изображение  расположены симметрично относительно плоскости отражающего зеркала. Если получившееся изображение окажется с отражающей стороны второго зеркала, оно даст ещё одно изображение и т. д. Заметьте, что все  изображения  лежат  на  окружности,  проведённой из точки `O` через источник `S` (рис. 4.4).                   

    1) `S_1` - изображение точечного источника `S` в зеркале `M_1`;

    2) `S_(1,2)` - изображение мнимого источника `S_1` в зеркале `M_2`. Источник `S_(1,2)`  не даст изображений, т. к. он  лежит с обратной  (не отражающей)  стороны  плоскостей, образованных зеркалами `M_2` и `M_1`.        

    3) `S_2` - мнимое изображение точечного источника `S` в зеркале `M_2`;

    4) `S_(2,1)` - изображение  источника  `S_2`  в  зеркале `M_1`;

    5) `S_(2,1,2)` - изображение источника `S_(2,1)` в зеркале `M_2`.

    Источник `S_(2,1,2)` не может дать изображение, т. к. он, как и источник `S_(1,2)`, лежит с обратной (не отражающей) стороны плоскостей зеркал `M_1` и `M_2`.

    Следовательно, в зеркале можно увидеть `5` изображений источника `S`.

    Вообще любое изображение, оказавшееся в секторе `AOB` (он затемнён), не может более отразиться в зеркалах `M_1` и `M_2`.

  • § 5. Приближение параксиальной оптики

    Поскольку физика по своей сути - наука экспериментальная, в ней почти всегда получаются приближённые результаты. Тому много причин: неточности измерительной аппаратуры, приближённый характер используемых законов, неточность вычислительных приборов и т. д. Учитывая всё это, физики иногда уже сами исходные формулы сознательно записывают в приближённом виде. Это здорово облегчает им жизнь, упрощает вычисления и экономит время. Давайте рассмотрим одно из таких полезных упрощений. Называется оно приближение параксиальной оптики, а суть его заключается в том, что рассматриваются только те лучи, которые на своём пути незначительно отклоняются от исходного направления. В дальнейшем все углы, если это не оговаривается специально, будем выражать в радианах. Полезно запомнить два соотношения: 

    `1^@=0, 01745` рад,   `1` рад `=57,3^@`.

    Если угол `varphi` мал (менее `10^@`), то, как правило, можно считать

    `cosvarphi~~1`,     а      `"tg"varphi~~sinvarphi~~varphi`.

    Закон Снелла в параксиальном приближении выглядит предельно просто:

    `n_1varphi_1=n_2varphi_2`.                                                                           (5.1)

    пример 5.1

    Луч света падает из воздуха на невозмущённую водную поверхность под углом  `varphi=10^@.` Найти угол преломления по точной формуле (1.2) и приближённой (5.1). На сколько процентов приближённый результат отличается от точного? (Для воды `n=4//3`.)

    Решение

    Согласно (1.2) `sinvarphi_2=sinvarphi_1//n`, откуда следует, что по точной формуле (сохраняем `4` значащих цифры) `varphi_"2т"=0,1306` рад, в то время как по приближённой формуле `varphi_"2п"=varphi_1//n=0,1309`. Относительная погрешность приближённых вычислений `|(varphi_"2т"-varphi_"2п")/varphi_"2т"|*100%~~0,2%`, т. е. менее процента!

  • § 6. Сферические зеркала

    Трудно встретить человека, который бы не видел сферических зеркал. В самом деле, кто из нас не любовался сверкающими разноцветными шарами на новогодней ёлке, кто не потешался над своим изображением, искажённым сферической поверхностью.

    Наверное, вы обращали внимание и на то, что чем дальше предмет от зеркала, тем правильнее его пропорции. Законами построения таких «правильных» изображений мы и займёмся.

    Проведём через центр `C` сферы оптическую ось `X`. Поместим на ней точечный источник света `S`. Пусть `SM` - произвольный луч от источника до зеркала, `psi_1` - угол падения, `psi_2` - угол отражения. Если продолжить отражённый луч за зеркало (внутрь шара), то на его пересечении с осью `X` (попутно ось `X` играет роль второго луча) будет лежать изображение `S_1` источника `S`. Найдём аналитическую связь между углами `varphi_1` и `varphi_2` (рис. 6.1).

    Для треугольника `SM_1S_1` угол `delta` - внешний, а по теореме о внешнем угле треугольника

    `delta=varphi_1+varphi_2`.                                                                                (6.1)

    Для треугольника `MS_1C` угол `varphi_2` - внешний. По теореме о внешнем угле треугольника

    `varphi_2=alpha+psi_3`                                                                             (6.2)

    Так как `psi_1=psi_2` (по закону отражения), то `delta=2psi_2`. Углы `psi_2` и `psi_3` равны как вертикальные, следовательно

    `delta=2psi_3`                                                                                       (6.3)

    Подстановка (6.3) в (6.2) даёт:  `varphi_2=alpha+delta/2`,  откуда `delta=2(varphi_2-alpha)`.        

    Подставим последнее выражение в (6.1): `2(varphi_2-alpha)=varphi_1+varphi_2`, или

    `varphi_2-varphi_1=2alpha`.                                                             (6.4)

    Смотрите! Если зафиксировать точку `M` на зеркале, то угол `alpha` тоже окажется фиксированным. Если теперь смещать источник `S` вдоль оси `X`, то углы `varphi_1` и `varphi_2` будут изменяться, но их разность окажется неизменной. В пределе, при удалении `S` влево на бесконечно большое расстояние угол `varphi_1` обратится в ноль, а `varphi_2` станет равным `2alpha`. Заметим, что в приближении параксиальной оптики расстояние `h` от точки `M` до оси `X` много меньше радиуса `R` сферического зеркала. Следовательно, можно записать приближённые равенства:

    `varphi_1~~h/a`,  `varphi_2~~h/b`,  `alpha~~h/R`.        

    Их подстановка в (6.4) даст: `h/b-h/a=2h/R`,

    или, после сокращения на `h`:       `1/b-1/a=2/R`.

    В силу произвольности выбора точки `M` легко сделать вывод, что и широкий пучок параллельных лучей, распространяющихся вдоль оптической оси, соберётся на расстояние `R//2` от центра сферы в точке `"Ф"`, называемой фокусом сферического зеркала. Обозначим это расстояние символом `F`:

    `F=R//2`                                                                                  (6.5)

    `1/b-1/a=1/F`.                                                                             (6.6)

    Величину, обратную фокусному расстоянию, называют оптической силой сферического зеркала. Единица оптической силы называется диоптрией (дптр). Оптическая сила зеркала с `F=1` м равна `1` дптр.

    Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и отстоящая от поверхности сферического зеркала (и центра сферы) на расстояние `R//2`, называется фокальной плоскостью. 

    Используя приближение параксиальной оптики, мы  получили  удобные  формулы для построения изображений точечных источников в  выпуклых сферических зеркалах. Несложно обобщить полученные результаты на случай  вогнутых  сферических  зеркал (см. рис. 6.2). В этом случае

     `varphi_1+varphi_2=2alpha`                                                                         (6.7)

    `1/a+1/b=1/F`.                                                                        (6.8)

    Замечательно то, что подобного рода формулы получаются и для линз.

  • § 7. Преломление света в тонком клине


    Прежде чем приступить к изучению свойств тонкой линзы, давайте рассмотрим отклонение узкого пучка света от первоначального направления при прохождении через тонкий  клин  (рис. 7.1). Пусть  `n` - показатель преломления материала клина, `alpha` - преломляющий угол при вершине клина `alpha< <1`, `varphi_1` - угол падения света на первую грань клина. Найдём угол `delta` отклонения луча от исходного направления.

    Задачу будем решать в параксиальном приближении. Для наглядности угол `alpha` изобразим сильно увеличенным (рис. 7.2).

           

    Запишем приближённый закон Снелла для обеих преломляющих поверхностей клина:  

    `varphi_1=npsi_1`,   `varphi_2=npsi_2`.                                                                     (7.1)

    Для каждой из них найдём угол отклонения:

    `delta_1=varphi_1-psi_1=(n-1)psi_1`,     `delta_2=varphi_2-psi_2=(n-1)psi_2`.                          (7.2)

     По теореме о внешнем угле треугольника искомый угол

    `delta=delta_1+delta_2=(n-1)(psi_1+psi_2)`.                                                              (7.3)

    По той же теореме `psi_1+psi_2=alpha_1`. Теперь  заметим, что  углы `alpha` и `alpha_1` равны, как углы со  взаимно перпендикулярными сторонами. В итоге мы получим:

    `delta=(n-1)alpha_1=(n-1)alpha`.                                                                    (7.4)

    Любопытный результат: в параксиальном приближении  угол отклонения не зависит  от  угла  падения и остаётся постоянной  величиной при  любом  (малом)  угле падения.

  • § 8. Тонкие линзы

    Применим разработанную нами методику для исследования свойств оптических линз. Из произвольной точки `C_1` проведём сферическую поверхность радиуса `r_1`, разделяющую пространство на две половины. Пусть  в  левой  половине пространства показатель преломления равен `n_1`, а в правой - `n_2`, причём для определённости будем считать, что `n_2>n_1`. Проведём через точку `C_1` ось `X` (рис. 8.1). Это - главная оптическая ось системы. Поместим на ней точечный источник света `A_1` и рассмотрим один из лучей, распространяющихся от этого источника вправо до точки `B_1`, лежащей на границе раздела двух сред. Для треугольника `A_1B_1C_1` угол падения `i_1` - внешний, поэтому в соответствии с теоремой о внешнем угле треугольника `i_1=varphi_1+alpha`.

    В точке `B_1` луч света преломится и, изменив направление своего движения, пойдёт так, как будто он был испущен в точке `A_2` и все время распространялся прямолинейно. Для треугольника `A_2B_1C_1` внешним будет угол преломления `i_2`, и поэтому `i_2=varphi_2+alpha`. Подставим найденные выражения для углов `i_1` и `i_2` в приближённый закон Снелла (5.1): `n_1i_1=n_2i_2`. Получится

    `(varphi_1+alpha)n_1=(varphi_2+alpha)n_2`.                                                         (8.1)

    В рамках приближения параксиальной оптики `alpha=y_1//r_1`, поэтому из (8.1) следует:

    `varphi_1n_1-varphi_2n_2=p_1y_1`.                                                                        (8.2)

    Здесь мы ввели величину `p_1=(n_2-n_1)/r_1`, называемую оптической силой преломляющей поверхности. Данное обозначение весьма полезно, т. к. оптическая сила зависит только от свойств этой поверхности и одинакова для всех лучей!

    Теперь предположим, что на пути луча оказалась другая сферическая поверхность с радиусом `r_2`, разделяющим пространство на области с показателями преломления `n_2` и `n_3`. Среду с показателем преломления `n_2`, ограниченную поверхностями `r_1` и `r_2`, назовём линзой.

    Введём одно определение: радиус кривизны оптической поверхности считается положительным, если центр кривизны расположен справа от неё, в противном случае радиус будет отрицательным.

    Пусть `n_2>n_3` и `r_2` - отрицателен. Рассуждая аналогично ранее рассмотренному случаю, мы получим:

    `varphi_2n_2-varphi_3n_3=p_2y_2`,                                                                 (8.3)

    где                                     `p_2=(n_3-n_2)/r_2`.                                                                        (8.4)

    Поскольку в уравнения (8.2) и (8.3) входит общее слагаемое: `varphi_2n_2`, мы можем объединить эти два уравнения в одно, исключив `varphi_2n_2`:

    `varphi_1n_1-varphi_3n_3=(p_1y_1+p_2y_2)`.                                                     (8.5)

    Если расстояние между боковыми поверхностями линзы столь мало, что изменение высоты луча внутри линзы при любом  `varphi_1` можно не учитывать (не забывайте, что угол `varphi_1` мал), то такая линза называется тонкой.

    Для тонкой линзы мы можем опустить индексы у высоты луча «`y`». Тогда (8.5) примет вид:

     `varphi_1n_1-varphi_3n_3=(p_1+p_2)y`.                                                                (8.6)

    Из (8.6) следует первый вывод: оптическая сила двух близко расположенных преломляющих поверхностей равна их сумме:    

    `p_"общ"=p_1+p_2`.

    Применительно к тонкой линзе этот вывод можно сформулировать так: оптическая  сила линзы равна сумме оптических сил её  преломляющих поверхностей.

    Если справа и слева от линзы находится воздух (это наиболее типичная ситуация), то `n_1=n_3=1`, и

    `p_"общ"=(n_2-1)/r_1+(1-n_2)/r_2=(n_2-1)(1/r_1-1/r_2)`                                            (8.7)

    формула (8.5) стала ещё проще:

    `varphi_1-varphi_3=varphi_F`.                                                               (8.8)

    В правой части (8.8) стоит выражение `varphi_F=y*p_"общ",`  где

    `p_"общ"=1/F=(n_2-1)/r_1+(1-n_2)/r_2=(n_2-1)(1/r_1-1/r_2)`.                                      (8.9)

     Здесь  `F`  имеет размерность  длины. Её физический  смысл мы скоро выясним.

    Будем считать острый угол между лучом света и положительным направлением оси `X` положительным, если он отсчитывается от оси `X` против часовой стрелки. В противном случае  угол будет отрицательным. В принятых нами обозначениях угол `varphi_3` отрицателен, т. к. он отсчитывается от главной оптической оси по часовой стрелке. Точно также отрицателен и радиус `r_2` (см. определение на стр. 14). Если брать только абсолютные величины углов, то вместо (8.8) следует записать

      `|varphi_1|+|varphi_3|=varphi_F`.                                                          (8.10)

    Для тонкой линзы формула (8.10) позволяет дать простую и красивую физическую интерпретацию. Начнём отодвигать источник света всё дальше и дальше от линзы. Угол `varphi_1` при этом будет уменьшаться, и в пределе обратится в `0`, а угол `varphi_3` станет равным `varphi_F`.

    Вот и проясняется физический смысл величины `F`. Все лучи, проходящие параллельно главной оптической оси системы (независимо от расстояния y до неё), преломившись в линзе, соберутся в одной точке, называемой фокусом, и отдалённой от линзы на расстояние `F`. Величина `F` называется фокусным расстоянием линзы. Стал ясен и физический (геометрический) смысл отношения `y//F=varphi_F`, где `varphi_F` - это угол, под которым из фокуса линзы (он тоже обозначается буквой `F`) видна точка, в которой произошло преломление падающего луча. Если принять `y=R` (где `R` - радиус оправки линзы), то смысл соотношения (8.10) станет ещё проще: сумма углов, под которыми виден край собирающей линзы из точек расположения источника света и его изображения, есть величина постоянная, равная углу, под которым из фокуса виден этот же край (рис. 8.2).

    В задачах углы задают редко. Обычно известно расстояние от линзы до предмета или до его изображения и фокусное расстояние. Учитывая, что `|varphi_1| ~~R/a`, `varphi_F~~R/F`, а `|varphi_3| ~~R/b`, мы из (8.10) после сокращения на `R` получим знаменитое выражение для формулы тонкой линзы:

    `1/a+1/b=1/F`.                                                                            (8.11)

    Стоит отметить, что, хотя  для практических вычислений формула (8.11) значительно удобнее формулы (8.10), в последней записи совершенно исчезает ясное физическое содержание полученного нами закона, которому подчиняются все оптические лучи, проходящие через тонкие собирающие линзы.

    Наконец, важно помнить, что формулы линзы получены нами в приближении параксиальной оптики и поэтому не следует их абсолютизировать.

    Теперь попробуем извлечь пользу из полученных нами формул. Совершенно ясно, что  если источник  приблизить к линзе  настолько, что он окажется к ней ближе, чем её передний фокус, то для сохранения смысла формулы (8.10) будет необходимо перед абсолютным значением величины угла `varphi_3` взять минус. Это означает, что изображение источника стало мнимым и находится с той же стороны от линзы, что и источник. Формулы же (8.10) и (8.11) примут вид       

    `|varphi_1|-|varphi_3|=varphi_F`,                                                                                 (8.12)

    `1/a-1/b=1/F`.                                                                                (8.13)

    Для наших рассуждений мы выбрали собирающую линзу. Но полученные формулы носят общий характер.

    В самом деле, вернёмся к выражению (8.9). В нём величина `(n_2-1)` положительная, а вот радиусы `r_1` и `r_2` могут иметь разные знаки. Всё зависит от того, с какой стороны находится центр кривизны соответствующих поверхностей. Мы уже видели, что для двояковыпуклой линзы `r_1>0`, `r_2<0`. А если линза двояковогнутая, т. е. `(r_1<0,  r_2>0)`, то фокусное расстояние окажется отрицательным, а значит отрицательной (рассеивающей) будет и линза. Иногда знак кривизны преломляющих поверхностей линзы задают иначе. Говорят, что если данная поверхность линзы выпуклая, её радиус кривизны положителен, а если вогнутая - отрицателен. При внимательном анализе оказывается, что оба подхода дают одинаковые результаты.

    Если фокусное расстояние линзы отрицательное, это приводит к перестановке переднего и заднего фокусов линзы. Фактически мы будем наблюдать следующее: параллельный пучок, падающий слева на линзу, после преломления всегда  будет  расходиться, причём исследователю, стоящему справа от  линзы, будет казаться, что источник находится в переднем фокусе линзы (рис. 8.3).

    При желании вы легко можете обобщить наши результаты на случай, когда линза находится не в воздухе, а в среде с показателем преломления `n`, отличным от `1`, или когда слева и справа от линзы находятся среды с различными показателями преломления, или когда центры кривизны обеих поверхностей линзы лежат с одной стороны, или…

  • § 9. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

    Предположим, что у нас есть тонкая собирающая линза Л. Поместим слева от нее на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку `AB` (рис. 9.1).

    Пустим луч `1` из точки `B` на линзу параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, луч пойдёт через задний фокус вправо вниз. Луч `2` пустим из точки `B` через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо параллельно главной оптической оси. Существует точка `B_1`, в которой оба луча пересекутся. `B_1` есть изображение точки `B`. Любой другой луч, например `3`, вышедший из точки `B` и прошедший сквозь оптический центр линзы, должен пройти и через точку `B_1`. Аналогичным образом построим изображение точки `A` и других точек, образующих стрелку `AB`. Итак, имея линзу и предмет `AB`, мы построили его изображение.

    Отметим два достаточно общих свойства линзы:

    свойства линзы

    1) прямую линию она отображает в прямую;

    2) если в пространстве предметов прямая перпендикулярна главной оптической оси, то и её изображение окажется перпендикулярным этой оси. Вообще говоря, углы в пространстве предметов и пространстве изображений различны.

    Это прекрасно иллюстрирует рис. 9.2.

    Квадрат `ABCD` линза «превратила» в трапецию `A_1B_1C_1D_1`. Если справа и слева от линзы находится одна и та же среда, то для построения изображения точки часто оказывается удобным использовать ещё один «замечательный» луч - тот, который идёт через центр линзы. На рис. 9.1 он отмечен как луч `3`. Этот луч, проходя через линзу, не меняет своего направления и так же, как и первые два луча, проходит через точку `B_1`. Иногда такие лучи, проходящие через центр линзы, за их «несгибаемость» называют побочной оптической осью. Но с лучами, проходящими через центр линзы, нужно быть внимательными. Если слева и справа от линзы находятся среды с различными показателями преломления (например, вода и воздух), то таких испытаний побочная ось не выдерживает и… сгибается!

    Для изображений действительных предметов, даваемых тонкими собирающими линзами, полезно запомнить следующую таблицу.

    Расстояние от

    линзы до предмета

    Изображение прямое или перевёрнутое

    Изображение действительное или мнимое

    Изображение увеличенное или уменьшенное

    `a<F`

    прямое

    мнимое

    увеличенное

    `F<a<2F`

    перевёрнутое

    действительное

    увеличенное

    `a>2F`

    перевёрнутое

    действительное

    уменьшенное


    Эта таблица - для положительной линзы. Если вы попытаетесь заполнить такую таблицу для отрицательной линзы, то убедитесь, что она всегда даёт прямое, мнимое, уменьшенное изображение действительного предмета. Отсюда, в частности, следует важный вывод: прямое изображение действительного предмета всегда мнимое.

    Задача 9.1

    Показать с помощью построения (рис. 9.3) направление, вдоль которого пришёл к линзе луч `AB`.

    Решение

    Прежде всего, при решении задач подобного рода ищут фокальные плоскости. Для этого следует провести через оптический центр `O` линзы побочную ось, параллельную одной из половинок луча, преломившегося в линзе. Проведём побочную ось параллельно лучу `LK`. Проверьте самостоятельно, что эта методика  работает и для луча `LM`. Продолжим луч `LM` влево до пересечения в точке `F_"л"` с побочной оптической осью. Эта точка лежит в фокальной плоскости. Другая фокальная плоскость находится справа от линзы на том же расстоянии. Теперь проводим через оптический центр линзы вторую побочную ось параллельно лучу `AB`. В нашем случае она совпадает с оптической осью системы. Интересующий нас луч должен пройти через точку `A` и точку `F_"п"` пересечения построенной оси с фокальной  плоскостью (рис. 9.5). Таким образом, луч `AB` до преломления в линзе распространялся вдоль прямой `NA`.

     
  • § 10. Глаз и очки

    Строение глаза (как оптического прибора) показано на рис. 10.1. Прочная шаровидная

    оболочка глаза, называемая склерой, в передней части более выпукла и совершенно прозрачна. Эта часть называется роговицей `(1)`. За ней находится прозрачная водянистая масса `(2)`, за ней - радужная оболочка `(3)`, в центре которой есть круглое отверстие - зрачок. Диаметр зрачка может изменяться, регулируя тем самым диаметр проникающего в него светового пучка. Описанное устройство напоминает камеру-обскуру. Сразу за радужной оболочкой находится  хрусталик `(4)`, охваченный кольцевой  мышцей `(5)`. Задняя внутренняя стенка склеры выстлана сетчаткой `(6)`, состоящей  из светочувствительных элементов. Именно от них раздражение  по зрительному нерву `(7)` передаётся в мозг. Пространство между хрусталиком и сетчаткой  заполнено стекловидным телом `(8)`. Хрусталик `(4)` - это своеобразная двояковыпуклая линза (её показатель преломления возрастает от периферии к центру), с помощью которой на сетчатке создаётся резкое изображение рассматриваемых предметов. Кольцевая мышца, охватывая хрусталик и изменяя его кривизну, позволяет всё время создавать на сетчатке резкое изображение рассматриваемых предметов, независимо от расстояния до них (этот процесс называется аккомодацией). При нормальном зрении дальняя точка (т. е. наиболее удалённая точка, чётко фокусируемая на сетчатке) лежит в бесконечности и фиксируется без усилий. Ближняя точка располагается на расстоянии от `10` до `22` см от глаза (в зависимости от возраста человека). У разных людей в силу тех или иных причин могут наблюдаться отклонения от указанных границ аккомодации. У близоруких людей дальняя точка лежит на конечном расстоянии (иногда весьма небольшом), а у дальнозорких увеличено расстояние до ближней точки. Чтобы скомпенсировать указанные дефекты зрения, обычно применяют очки. Очки позволяют создать изображение предмета на таком расстоянии, на котором глаз может увидеть его резким. Очевидно, изображение, создаваемое линзами очков, должно быть прямым (какой прок от перевёрнутого изображения?), а прямое изображение всегда мнимое (см. абзац, следующий за таблицей в конце § 8). Для человека с нормальным зрением расстояние в `25` см является оптимальным для рассматривания деталей предмета без чрезмерного утомления глаз. Поэтому это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения.

    Изложенной выше информации вполне достаточно для того, чтобы суметь правильно подобрать очки или контактные линзы.

    Пример 10.1

    Дальнозоркий человек резко видит предметы, расположенные не ближе `1` метра от него. Какие контактные линзы ему следует носить, чтобы, читая книгу, он держал её на расстоянии `L=25` см?

    Примечание: оптическая сила `P=F^(-1)`, где `F` выражено в метрах, измеряется в диоптриях (дптр).


    Решение

    Как  уже  говорилось  ранее, контактная линза  должна  создавать прямое мнимое изображение книги на расстоянии `b=1` м. Саму книгу человек держит на расстоянии `a=0,25` м. Применим формулу линзы: `1/a-1/b=P`. Численная подстановка даёт `P=+3` дптр. Следовательно, человек, о котором говорится в задаче, нуждается в положительных контактных линзах с оптической силой  `P=+3` дптр.

  • § 11. Поперечное и продольное увеличение

    Рассмотрим линейный  предмет `AB`, находящийся перед оптической системой (например, линзой) и его изображение `A_1B_1` (рис. 11.1).




    Определение

    Увеличением оптической системы называется отношение величины изображения предмета к величине самого предмета.


    Здесь полезно выделить два основных случая.


    1) Предмет лежит в плоскости, расположенной перпендикулярно главной оптической оси системы. Возникающее  при этом  увеличение называется поперечным. Будем обозначать его `"Г"`.


    Для тонких линз  все необходимые формулы вы можете получить самостоятельно, поэтому ниже  предлагается  только окончательный результат:


    `"Г"=b/a=(b-F)/F=F/(a-F)`.                                                                   (11.1)


    Все размеры следует брать с соответствующими знаками.


    Иногда наряду с поперечным увеличением `"Г"` используют угловое увеличение `"Г"_varphi`. По определению                    


     `"Г"_varphi=varphi_2/varphi_1`.                                                              (11.2)


    (Углы `varphi_1` и `varphi_2` изображены на рис. 11.2). Несложно доказать, что `"Г"_varphi*"Г"=1`.


    2) Предмет расположен вдоль главной оптической оси и лежит на ней. Возникающее при этом увеличение называется продольным. Получим формулу для продольного увеличения, создаваемого тонкой линзой:


    `1/F=1/a_1+1/b_1`.                                                                         (11.3)

    `1/F=1/a_2+1/b_2`.                                                                         (11.4)


    Объединим (11.3) и (11.4):


    `1/a_1+1/b_1=1/a_2+1/b_2=>(a_2-a_1)/(a_1a_2)=(b_1-b_2)/(b_1b_2)=>(b_1-b_2)/(a_2-a_1)=(b_1)/(a_1)(b_2)/(a_2)`.


    Поскольку `|b_1-b_2|=h_2`,  `|a_2-a_1|=h_1` и `b_1/a_1="Г"_1`, `b_2/a_2="Г"_2`, окончательно запишем, что продольное увеличение


    `"Г"_(12)=h_2/h_1="Г"_1"Г"_2`                                                        (11.5)


    Если  `h_1< <a_1`,  `a_2`  и `h_2< <b_1`,  `b_2`,  то


     `"Г"_(12)~~"Г"^2`.                                                                           (11.6)


    пример 11.1

    Букашка ползёт со скоростью `v_0=0,2` см/с в сторону тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием `F=6` см вдоль прямой, параллельной главной оптической оси линзы и  отстоящей от оси на расстояние `a=3` см (рис. 11.3). Найти скорость перемещения изображения букашки, когда она  находится на расстоянии `F//2` от плоскости  линзы.

    Решение

    Допустим, что за малый промежуток времени `Deltat` букашка проползла расстояние `Deltax=v_0Deltat`. В соответствии с формулой (11.5) изображение  букашки сместится вдоль оси линзы  на расстояние `Deltax_1=Deltax"Г"^2`, где     

    `"Г"=F/(a-F)=6/(3-6)=-2`.

    Знак «минус» означает, что изображение мнимое, т. е. находится с той же  стороны от линзы, что и букашка (рис. 11.4).

     

    Из построения видно, что перемещение изображения букашки                             

    `Deltal=Deltax_1//cosalpha`.

    В прямоугольном треугольнике `F^'FA` катеты `AF` и `FF^'` относятся, как `1:2`. Отсюда находим `cosalpha=2//sqrt5`. Следовательно, скорость перемещения изображения букашки

    `v_1=(Deltal)/(Deltat)=(Deltax_1)/(cosalpha*Deltat)=(Deltax)/(Deltat)("Г"^2)/(cosalpha)=v_0("Г"^2)/(cosalpha)`.

    ответ

    Численный ответ: `v_1~~0,9` см/с.


    Примечание.

    В данной задаче приближения параксиальной оптики не выполняются, поэтому использованные нами формулы также неточны. Полученный ответ нужно рассматривать только, как весьма приближённый, и вычисление `v_1` с большей точностью не правомерно (в решениях этой задачи автор встречал ответ `v_1=0,894` см/с).


    Иногда требуется получить увеличенное мнимое изображение мелких предметов. В этом случае применяют лупу или микроскоп.


    Лупа - это  положительная  линза с небольшим  фокусным  расстоянием `(10 "мм" <F< 100 "мм")`, располагаемая между рассматриваемым предметом и глазом. Обычно лупу располагают  непосредственно  возле  глаза  (как очки),  а  предмет - вблизи фокуса так, чтобы его мнимое изображение находилось на расстоянии наилучшего зрения `a_"н"`.  При этом оказывается, что видимое увеличение предмета


    `N~~b_н/F`.                                                                           (11.7)


    Микроскоп, как и лупа, увеличивает видимые угловые размеры исследуемых объектов. Но поскольку фокусное расстояние системы линз, входящих в микроскоп, ещё меньше, чем у лупы, то его увеличение (см. формулу (11.7)) может достигать нескольких сотен!

  • § 12. Примеры решения задач


    пример 12.1

    С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием `F` на экране Э, расположенном на расстоянии `L=4,9F` от циферблата наручных часов Ц, получено уменьшенное изображение секундной стрелки часов, длина которой `R=1,5` см (рис. 12.1). Главная оптическая ось линзы перпендикулярна экрану и плоскости циферблата часов и проходит через ось вращения секундной стрелки. Чему равна линейная скорость перемещения кончика изображения стрелки на экране? (МФТИ, 1997 г.)     

    Решение

    Запишем уравнение тонкой линзы:                                                  

    `1/a+1/(L-a)=1/F=>a^2-La+LF=0=>`

    `=>a_1=L/2(1+sqrt(1-(4F)/L))=3,5F`;

    `a_2=L/2(1-sqrt(1-(4F)/L))=1,4F`.

    Так как по условию изображение уменьшенное, то `a=3,5F`, следовательно, `b=L-a=1,4F`, увеличение `"Г"=b/a=(1,4)/(3,5)=0,4`. Если линзу расположить на другом расстоянии `a` от часов, то изображение на экране будет размытым.

    Длина изображения стрелки `R^'=R"Г"=1,5` см`*0,4=0,6` см, скорость

    `v=R^'omega=R^'(2pi)/T=0,6(2pi)/60~~0,063` см/с.

    пример 12.2

    На главной оптической оси тонкой положительной линзы диаметром `D` находится точечный источник света. Из линзы выходит расходящийся пучок лучей с максимальным углом отклонения лучей от главной оптической оси `alpha`. Определить максимальный угол отклонения `beta`, если вместо положительной линзы на то же место поставить отрицательную линзу того же диаметра  и с тем же фокусным расстоянием. Расстояние  между  источником и линзой равно `d` (МФТИ, 1982 г.).

    Решение

    Максимальный угол отклонения луча от оптической оси будет наблюдаться при прохождении луча через край линзы (на расстоянии  `D//2`  от её оптического центра). В приближении параксиальной оптики для положительной линзы (формула (8.12)) запишем: `varphi_1-varphi_3=varphi_F`, где (рис. 12.2):

    `varphi_1~~D/(2d)`,                                                                     (12.1)

    а `varphi_3=alpha` по построению, следовательно,

    `varphi_1-alpha=varphi_F`                                                                 (12.2)

           

       

    Для отрицательной линзы `varphi_3^'-varphi_1=varphi_F` (рис. 12.3). Но по построению

    `varphi_3^'=beta=>beta-varphi_1=varphi_F`.                                               (12.3)

    Решая совместно уравнения (12.2) и (12.3), получаем:

    `beta=2varphi_1-alpha`,

    или, с учётом (12.1):                    

    `beta=D/d-alpha`.

    Некоторые учащиеся решили задачу «точно». В этом случае они получили ответ:   

    `beta="arctg"[D//d-"tg"alpha]`.

    Но, строго говоря, это превышение точности того приближения, в котором были получены формулы тонкой линзы.

    пример 12.3

    Тонкая линза создаёт на экране изображение предмета в `20` раз большее, чем предмет. Экран передвинули вдоль оси линзы на `4` м. Чтобы получить резкое изображение, предмет пришлось переместить на `40` см. Каким, при этом, стало увеличение? В какую сторону - к линзе или от линзы - переместили предмет? (МФТИ, 1982 г.)

    Решение

    Продольное увеличение  `"Г"_(12)=|(b_1-b_2)/(a_1-a_2)|`,   где

    `|b_1-b_2|=4` м,   `|a_1-a_2|=0,4` м  `=>   "Г"_(12)=10`.     

    По условию `"Г"_1=20`. Согласно формуле (11.5),

    `"Г"_(12)="Г"_1"Г"_2=>"Г"_2="Г"_(12)/"Г"_1=>"Г"_2=10/20=0,5`.

    Таким стало поперечное увеличение.

    По определению `"Г"=b/a`. Так как `"Г"` уменьшилось, расстояние от предмета до линзы должно быть увеличено. Следовательно, предмет переместили от линзы.

    пример 12.4.

    В комнате на столе лежит плоское зеркало, на котором находится тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием `F=40` см. По потолку ползёт муха со скоростью `v=2` см/с. Расстояние от потолка до зеркала `h=220` см  (рис. 12.4).

    1) На каком расстоянии от  зеркала  находится изображение мухи в данной оптической системе?

    2) Чему равна скорость изображения мухи в тот момент, когда она пересекает главную оптическую ось линзы? (МФТИ, 1998 г.)

    Решение

    Луч света после прохождения линзы отражается от зеркала и проходит  сквозь линзу ещё раз. Таким образом,  оптическая  сила  системы «линза + зеркало» в два раза больше оптической силы одной линзы:

    `P_"сист"=2//F`.

    Расстояние от центра зеркала (и линзы) до изображения мухи найдём с помощью формулы линзы:              

    `1/b+1/h=2/F=>b=(hF)/(2h-F)`;  `b=22` см.                   

    Скорость изображения мухи найдём из соотношения подобия (рис. 12.5):

    `(vDeltat)/h=(v^'Deltat)/b=>v^'b/h`;  `v^'=0,2` см/с.

          

              

    пример 12.5

    Тонкая плосковогнутая линза с фокусным расстоянием `F=15` см приклеена плоской стороной к стенке аквариума, заполненного водой `(n=4//3)`. На линзу под углом `alpha` к главной оптической оси падает параллельный пучок света. Известно, что луч, прошедший сквозь линзу на расстоянии `h` от её оптического центра, не изменяет своего направления. Найти `h`, если `"tg"alpha=0,08` (МФТИ, 1993 г.).

    Решение

    Если бы за линзой не было аквариума осью (рис. 12.6), то

              `beta-alpha=varphi_F`.                                                        (12.4)

    Наличие аквариума приводит к тому, что

    `beta=nbeta^'`,                                                              (12.5)

    где `beta^'` - угол между лучом в воде и главной оптической осью (рис. 12.7). По условию `beta^'=alpha`. Решая (12.4) и (12.5), получим: `varphi_F=(n-1)alpha`.

    С  другой  стороны, `varphi_F=h//F`, `h=F(n-1)alpha`. Численная  подстановка  даёт: `h=0,4` см.

    Указание: не переписывайте условия контрольных вопросов и задач! Сразу записывайте их решения.

    пример 12.6

    Договорились, за увеличение лупы (собирающей линзы) принимать отношение тангенса угла, под которым видно изображение предмета, помещённого в фокус лупы, к тангенсу угла, под которым виден предмет, находящийся на расстоянии наилучшего зрения `(D=25  "см")`.

    Чему равно фокусное расстояние лупы, на которой написано  `xx5`?


    Решение

    По определению `"Г"_varphi=h/F:h/D=D/F`, откуда: `F=(25  "см")/5=5` см.

  • § 1. Постулаты геометрической оптики
    1. В прозрачной однородной среде свет распространяется прямолинейно.

    2. Распространение любого светового пучка в среде не зависит от наличия других пучков света.

    3. Освещённость любой сколь угодно малой части экрана, создаваемая несколькими световыми пучками, равна сумме освещённостей, создаваемых каждым пучком в отдельности.


    Когда узкий пучок параллельных лучей света достигает плоской границы раздела двух сред, он частично возвращается обратно (отражается). Падающий луч `vecS_1` и нормаль (перпендикуляр) `vecN_1`, проведённая к границе раздела сред в точку падения (рис. 1.1), образуют плоскость  `P`, называемую плоскостью падения.  Острый угол `varphi_1`, лежащий между падающим лучом и нормалью, называется углом падения. Отражённый луч `vecS_3` лежит в плоскости падения. Было бы странно, если бы после отражения он отклонился от этой плоскости в ту или иную сторону. Ведь свойства пространства по обе стороны от плоскости `P` абсолютно одинаковы. Острый угол `varphi_3`, лежащий между отражённым лучом и нормалью, называется углом отражения.

    4. Угол отражения равен углу падения:

    `varphi_1=varphi_3`                                                                            (1.1)

    Эти четыре постулата стали обобщением огромного числа опытных фактов.

    Теперь рассмотрим плоскую границу раздела двух прозрачных сред (пусть в них лучи света распространяются с разными скоростями). Луч, проникший из первой среды во вторую, изменит своё направление. О таком луче говорят, что он преломился. Преломлённый луч также лежит в плоскости падения `P`. Острый угол `varphi_2`, лежащий между прошедшим во вторую среду лучом `vecS_2` и нормалью `N`, называется углом преломления. При сравнении двух прозрачных сред та из них, которая имеет больший показатель преломления (см. формулу 1.0), называется оптически более плотным. Следует заметить, что показатель преломления `n`, как правило,  зависит только от частоты электромагнитной волны, распространяющейся в среде, но не зависит от величины угла падения и угла преломления.

    5. Математическая связь между углами падения и преломления, а также показателями преломления соответствующих сред выражается в виде обобщённого закона Снелла (в латинской транскрипции – Снеллиуса):

    `n_1sinvarphi_1=n_2sinvarphi_2`.                                                           (1.2)

    Открытие датируется 1621 годом. Запомнить закон Снелла не просто, а очень просто: справа  стоит  произведение  величин, относящихся к одной  среде, а слева - к другой. Часто при записи закона Снелла вместо двух абсолютных показателей преломления `n_1` и `n_2` используют их отношение `n_2//n_1=n_(21)`, называемое относительным показателем преломления второй среды относительно первой.

  • § 2. Гипотезы Герона, Ферма, Веселаго

    Известный физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии Ричард Фейнман однажды сказал: «По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным».

    Эти слова в полной мере можно отнести к открытию Герона Александрийского, жившего приблизительно в середине I века н. э. Герон предположил, что свет от источника до приёмника распространяется по кратчайшему пути. Данная гипотеза делает излишним постулат № 1 геометрической оптики, ибо в однородной среде кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая.  Несложно показать, что и закон отражения вытекает из постулата Герона.

    Но для света, проходящего через границу двух сред с различными показателями преломления, принцип Герона давал сбой. Только через полтора тысячелетия (в 1650 году) французский математик и физик Пьер Ферма устранил это затруднение. По идее Ферма свет распространяется между двумя точками вдоль такого пути, на преодоление которого требуется наименьшее время. Такой способ рассуждения получил впоследствии название принцип наименьшего времени Ферма. Опираясь на принцип Ферма, получим закон Снелла.

    Пример 2.1

    Зрачок наблюдателя находится на высоте `H` над поверхностью водоёма, а точечный источник света `S` - на глубине `h`. Расстояние от человека до источника (вдоль поверхности воды) равно `L` (рис. 2.1).  Показатель преломления  воды `n_1`, воздуха `n=1`.                                                    

    Используя принцип Ферма, докажите, что свет от источника `S` до зрачка наблюдателя распространяется вдоль пути `SBM`, удовлетворяющего соотношению

    `n_1sinvarphi_1=sinvarphi_0`.

    Решение

    Пусть проекция отрезка `BS` на поверхность воды равна `x`, тогда

    `BS=sqrt(h^2+x^2)`,  `MB=sqrt(H^2+(L-x)^2)`. 

    `t=(SB)/v+(MB)/c=(n_1sqrt(h^2+x^2)+sqrt(H^2+(L-x)^2))//c`.             (2.1)

    Согласно принципу Ферма, время на преодоление пути от `S` до `M` минимально, а это значит, что `(dt)/(dx)=0` или `n_1 x/(sqrt(h^2+x^2))-(L-x)/(sqrt(H^2+(L-x)^2))=0`.

    Из рис. 2.1 видим, что  `x/(sqrt(h^2+x^2))=sinvarphi_1`, а `(L-x)/(sqrt(H^2+(L-x)^2))=sinvarphi_0`, откуда следует: `n_1sinvarphi_1=sinvarphi_2`, что и требовалось доказать.


    Здесь уместно ввести одно полезное определение, которое нам пригодится и в следующем задании по волновой оптике.

    Рассмотрим однородную среду с показателем преломления `n`, в которой распространяется луч света. Возьмём в нём две точки `A` и `B`. Пусть длина отрезка `AB` равна `l`. Будем называть оптической длиной пути `AB` произведение её длины `l` на показатель преломления `n`. Если среда неоднородна, разобьём траекторию луча на участки, вдоль которых изменение показателя преломления можно не учитывать. Пусть `l_i` и `n_i` - длина и показатель преломления `i`-того участка. Оптическую длину пути определим так:

    `L=suml_i n_i`.                                                                             (2.2)

    Обратите внимание на то, что в формуле (2.1) время пропорционально оптической длине пути между источником `S` и зрачком наблюдателя (коэффициент пропорциональности `1`/c). Значит, принцип Ферма можно переформулировать так:

    оптическая длина пути между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки.

    Позднее учёные заметили, что для света время прохождения пути от источника до приёмника может иметь не только минимум, но и локальный максимум. Пришлось подправлять принцип Ферма. Он стал звучать так:

    луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками вдоль пути, время прохождения (оптическая длина) которого экстремально(а).

    Пример 2.2

    Поместим точечный источник света `S` и приёмник света `P` рядом с центром полусферы, внутренняя поверхность которой зеркальная (рис. 2.2). Пусть источник и приёмник разделены ширмой. Найдём экстремальную оптическую длину луча от источника до зеркала и от него до приёмника.

    Решение

    1) Рассмотрим на поверхности сферы точку `A`. Пусть в этой точке плоское зеркало касается поверхности полусферы. Удалим полусферу (рис. 2.3). В соответствии с принципом Ферма, свет от `S` к `P` будет распространяться по пути `SAP`, причём оптическая длина соответствующего луча будет минимальна.

    2) Если вершины `A` вогнутого сферического зеркала касается воображаемая полусфера меньшего радиуса (рис. 2.4), то свет по-прежнему будет распространяться по пути `SAP`, но, в этом случае оптическая длина луча будет максимальна.

    На этом история принципа Ферма не закончилась. В середине 60-х годов прошлого века советский физик  Виктор Григорьевич  Веселаго  предположил возможность существования сред с отрицательным показателем преломления. Он разработал теорию распространения электромагнитных волн


    в таких средах (см. журнал «Успехи физических наук», том 92, № 517, 1967 г). И вот в 2000 году в научных журналах появилась сообщения о том, что созданы композитные материалы (позднее их стали называть метаматериалами), необычные электродинамические свойства которых легко объяснить, если допустить, что в них коэффициент преломления отрицателен. Например, луч, преломившись на границе с метаматериалом, отклоняется в сторону, противоположную той, в которую он отклонялся бы в случае с `n>0`  (рис. 2.5).

    В очередной раз пришлось подправлять принцип Ферма. Теперь в формулу (2.2) показатель преломления `n_i` нужно подставлять с соответствующим знаком.

    Открытие метаматериалов вызвало в физике настоящий бум. Ими заинтересовались военные (есть идеи, как с помощью сред с отрицательным показателем преломления делать самолёты-невидимки). Большие  вложения  средств  в исследования метаматериалов делают фирмы, занимающиеся телекоммуникацией...

  • § 3. Явление полного отражения света

    Рассмотрим явление прохождения света через плоскую границу раздела двух сред, когда показатель преломления `n_1` первой среды больше соответствующего показателя `n_2` второй среды. Для этого запишем закон Снелла в виде:

    `n_(12)sinvarphi_1=sinvarphi_2`,                                                                    (3.1)

    где `n_(12)` – относительный показатель преломления. Заметим, что `n_(12)>1`.

    Внимание!

    Если увеличивать угол `varphi_1`, то левая часть уравнения (3.1) может оказаться больше `1`. Но, справа стоит синус, значение которого всегда `<=1`. Как разрешается это противоречие?

    Если `n_(12)` не на много превышает единицу (например, равно `1,5`), а угол падения `varphi_1` мал, почти все излучение проходит во вторую среду.

    Увеличение угла `varphi_1` сопровождается увеличением угла `varphi_2`, как того требует формула (3.1), и ростом доли излучения, отражённого от границы раздела сред. При этом, естественно, падает доля излучения, проникающего во вторую среду. Эта тенденция усиливается по мере приближения угла `varphi_2` к `90^@`. Наконец, при некотором угле `varphi_1` угол `varphi_2` достигает `90^@`, и всё падающее на границу раздела сред излучение будет отражаться обратно. Соответствующий угол падения `varphi_1` можно найти из условия 

    `n_(12)sinvarphi_1=1`,              или

    `varphi_1=arcsin  1/(n_(12))=varphi_("п.о.")`.                                                    (3.2)

    В научной литературе этот угол получил специальное название - предельный угол полного отражения. При углах `varphi_1>varphi_("п.о.")` во вторую среду излучение также проникать не будет. Этим и снимается противоречие между физической и математической стороной описанного явления преломления света.

    Примечание

    Раньше в словосочетании «полное отражение» присутствовало ещё слово «внутреннее». Но, поскольку во многих задачах это слово не несёт никакой смысловой нагрузки, в современной научной литературе его стараются избегать.

    Пример 3.1

    Обычно световоды (оптические системы для передачи света) делают в виде тонких стеклянных нитей, центральная часть которых - «сердцевина» - состоит из вещества с малым коэффициентом поглощения и показателем преломления `n_1`. Это вещество, как правило, очень чувствительно к химическим и механическим воздействиям. Снаружи «сердцевина» защищена «рубашкой» - прочным стеклом с показателем преломления `n_2`, стойким к воздействию влаги и химических веществ. Какой из показателей преломления меньше, `n_1` или `n_2`? Поясните почему?

    Ответ

    Чтобы на пути от передатчика к приёмнику свет не вышел из «сердцевины», «рубашку» световода делают из стекла с таким показателем преломления `n_2`, чтобы на границе «сердцевина» - «рубашка» происходило полное отражение. Это возможно при `n_2<n_1`.

     

  • § 4. Плоские зеркала


    Теперь приступим к построению изображений в плоских зеркалах.  Пусть над зеркалом находится точечный источник света `S`. При построении его изображения необходимо использовать, по крайней мере, два произвольных луча, отражающихся от плоскости, совпадающей с плоскостью зеркала.

    Методика построения изображения понятна из рис. 4.1. С практической точки зрения один из лучей (луч. `1`) целесообразно пустить вдоль нормали к плоскости зеркала.

    Если пучок лучей, вышедших из точки `S`, в результате отражения, преломления или искривления в неоднородной среде сходится в точке `S_1`, то точка `S_1` называется действительным  изображением точки `S`. Если же `S_1` получено в результате пересечения продолжений этих лучей в направлении, обратном направлению распространения света, то изображение называется мнимым. Таким образом, `S_1` - мнимое изображение точки `S`.

    Пример 4.1

    Лампочка `"Л"` настольной  лампы находится на расстоянии `L_1=0,6` м от  поверхности  стола и `L_2=1,8` м от потолка. Нить накала лампочки можно считать точечным источником света. На столе лежит осколок плоского зеркала в форме  треугольника со сторонами  `5` см, `6` см и `7` см.

    1)  На каком расстоянии `x` от потолка находится изображение нити накала лампочки?

    2)  Найти  форму  и  размеры «зайчика» полученного на потолке от осколка зеркала (МФТИ, 1996).           

    Решение

    Выполним рисунок, поясняющий смысл задачи. Обратите внимание на следующее обстоятельство: зеркало находится на столе на произвольном расстоянии от лампы (рис. 4.2). Несложно показать, что `L_1=L_3`. Следовательно

    `x=2L_1+L_2=0,6` м `*2+1,8` м `=3` м.

    Для определения формы и размера «зайчика» удобно рассмотреть лучи `S_2` и `S_3`,  «исходящие»  от   мнимого  изображения  `"Л"_1`.     

    Т. к. плоскости зеркала и потолка параллельны, форма зайчика будет подобна зеркалу. Найдём коэффициент подобия. Если длина стороны зеркала `h`, а соответствующая ей длина  стороны  «зайчика» `H`, то  можно  записать  пропорцию: `h//H=L_3//x`, из которой следует: `H=5h`. Таким образом, длины сторон «зайчика» равны `25` см, `30` см и `35` см соответственно.

    Примечание

    Как видно из рис. 4.2, весь свет, отражённый зеркалом, должен лежать в конусе, ограниченном лучами `S_2` и `S_3`, с вершиной в точке `Л_1`. В действительности  мы можем видеть точки падения лучей на отражающую поверхность из любого места над зеркалом. Это происходит благодаря тому, что часть излучения рассеивается во все стороны, в том числе и в направлении глаз наблюдателя. Рассеянный свет возникает главным образом на дефектах поверхности: налипших пылинках, царапинах и других неровностях размером в несколько десятков микрометров (микрон). Чем больше неровностей, тем лучше видна отражающая поверхность. Белая писчая бумага так сильно испещрена неровностями, что практически не даёт зеркального отражения. Говорят, что такая поверхность отражает диффузно. Но зато она хорошо видна из разных мест.

    Пример 4.2

    В архиве Снеллиуса нашли чертёж, на котором были изображены точечный источник света `S` и два зеркала `M_1` и `M_2`,  образующие двугранный угол `70^@` (рис. 4.3). От времени чернила выцвели, и невозможно было разглядеть, сколько изображений источника `S` давала такая система зеркал. Восстановить  все  изображения источника `S`. Сколько  изображений источника `S` можно увидеть в такой системе зеркал?   

    Решение

    Источник света и  его  изображение  расположены симметрично относительно плоскости отражающего зеркала. Если получившееся изображение окажется с отражающей стороны второго зеркала, оно даст ещё одно изображение и т. д. Заметьте, что все  изображения  лежат  на  окружности,  проведённой из точки `O` через источник `S` (рис. 4.4).                   

    1) `S_1` - изображение точечного источника `S` в зеркале `M_1`;

    2) `S_(1,2)` - изображение мнимого источника `S_1` в зеркале `M_2`. Источник `S_(1,2)`  не даст изображений, т. к. он  лежит с обратной  (не отражающей)  стороны  плоскостей, образованных зеркалами `M_2` и `M_1`.        

    3) `S_2` - мнимое изображение точечного источника `S` в зеркале `M_2`;

    4) `S_(2,1)` - изображение  источника  `S_2`  в  зеркале `M_1`;

    5) `S_(2,1,2)` - изображение источника `S_(2,1)` в зеркале `M_2`.

    Источник `S_(2,1,2)` не может дать изображение, т. к. он, как и источник `S_(1,2)`, лежит с обратной (не отражающей) стороны плоскостей зеркал `M_1` и `M_2`.

    Следовательно, в зеркале можно увидеть `5` изображений источника `S`.

    Вообще любое изображение, оказавшееся в секторе `AOB` (он затемнён), не может более отразиться в зеркалах `M_1` и `M_2`.

  • § 5. Приближение параксиальной оптики

    Поскольку физика по своей сути - наука экспериментальная, в ней почти всегда получаются приближённые результаты. Тому много причин: неточности измерительной аппаратуры, приближённый характер используемых законов, неточность вычислительных приборов и т. д. Учитывая всё это, физики иногда уже сами исходные формулы сознательно записывают в приближённом виде. Это здорово облегчает им жизнь, упрощает вычисления и экономит время. Давайте рассмотрим одно из таких полезных упрощений. Называется оно приближение параксиальной оптики, а суть его заключается в том, что рассматриваются только те лучи, которые на своём пути незначительно отклоняются от исходного направления. В дальнейшем все углы, если это не оговаривается специально, будем выражать в радианах. Полезно запомнить два соотношения: 

    `1^@=0, 01745` рад,   `1` рад `=57,3^@`.

    Если угол `varphi` мал (менее `10^@`), то, как правило, можно считать

    `cosvarphi~~1`,     а      `"tg"varphi~~sinvarphi~~varphi`.

    Закон Снелла в параксиальном приближении выглядит предельно просто:

    `n_1varphi_1=n_2varphi_2`.                                                                           (5.1)

    пример 5.1

    Луч света падает из воздуха на невозмущённую водную поверхность под углом  `varphi=10^@.` Найти угол преломления по точной формуле (1.2) и приближённой (5.1). На сколько процентов приближённый результат отличается от точного? (Для воды `n=4//3`.)

    Решение

    Согласно (1.2) `sinvarphi_2=sinvarphi_1//n`, откуда следует, что по точной формуле (сохраняем `4` значащих цифры) `varphi_"2т"=0,1306` рад, в то время как по приближённой формуле `varphi_"2п"=varphi_1//n=0,1309`. Относительная погрешность приближённых вычислений `|(varphi_"2т"-varphi_"2п")/varphi_"2т"|*100%~~0,2%`, т. е. менее процента!