Статьи , страница 6

  • 4. Задачи о делении отрезка
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 3. Подобие треугольников
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 2. Замечательные точки треугольника
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 8. Воздухоплавание
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 7. Плавание тел
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 6. Закон Архимеда
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 5. Атмосферное давление. Опыт Торричелли
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 4. Сообщающиеся сосуды
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 3. Гидростатическое давление
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 2. Закон Паскаля
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 1. Жидкости и газы. Текучесть. Давление
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 6. Закон Архимеда

    На поверхности твёрдого тела, погружённого в жидкость (газ), действуют силы давления.

  • 5. Графики функций y=kx+b и y=|x|
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 4. Модуль числа
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 3. Уравнения с одной переменной
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 1. Тождественные преобразования. Решение уравнений
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 11-М-1. 2. Иррациональные неравенства

    Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

    Пример 3 (МГУ, 1998)

    Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

    Решение

    Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить       только       уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

    x+3=x+1x+10,x+3=x2+2x+1x=1x[-3;1).\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.

    Ответ:

    `[- 3; 1)`.

    Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

    `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. (УР К1)
    fx=gxgx0,f(x)=g2(x).\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right. (УР К2)
    f(x)=g(x)ОДЗf(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x). (УР К3)
    f(x)=g(x)f(x)=g(x),f(x)0,g(x)0.\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array} (УР К4)


    ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

    ОДЗ: `f(x) >= 0`.

     Рассмотрим неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`.  Докажем, что

    (УР К5)

                                                                                 

    Доказательство

    1. Если  является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

    2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       


    Тогда:

    а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

    б) если `g(x) >= 0`  и  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

    то `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

    Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

    (УР К6)

                                                                

    Теперь рассмотрим неравенство вида  `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  Докажем, что

    f(x)g(x)g(x)0,f(x)g2(x),f(x)0.\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right. (УР К7)

                                                                  

    Доказательство
    1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`, то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.
    2.  Если `x` является решением системы неравенств   g(x)0,f(x)g2(x),f(x)0,\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.   то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.
    Пример 4 (МФТИ, 1998)

    Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.


    Решение

    Первый способ

    Воспользуемся (УР К6): 


    Ответ

    `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.


    Второй способ

    Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:


  • 11-М-1. 1 Равносильность уравнений и неравенств

    В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности.

    Два неравенства    

    `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)` (1)

    или два уравнения

    `f_1 (x) = g_1 (x)`   и   `f_2 (x) = g_2 (x)`       (2)

    называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

    Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0`  (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:  

    `f(x) = 0 hArr g(x) = 0`   (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

    Пример 1

    `sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

    Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

    Пример 2

    При каких значениях параметра  `a` системы

    ax+3y=6a-4,x+y=2a\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right. и   x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2(a2+a+2)=0\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.

    равносильны?


    Решение

    Решим сначала первую, более простую систему  

    ax+3y=6a-4,x+y=2ay=2a-x,ax+3(2a-x)=6a-4x(a-3)=-4\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.

    a3,x=-4a-3,y=2a+4a-3=2a2-6a+4a-3;a=3,0·x=-4.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.

    Подставим  `a = 3` во вторую систему

    a=3:x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-10x+28=0x-52+y2+3=0,a=3:\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-10x+28=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+y^2+3=0\Leftrightarrow\varnothing,\end{array}\Rightarrow\right.

    При `a = 3` системы  равносильны,  т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

    При `a = 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе  входит только в четной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

    x02-6x0+8=0x0=3±1,x02-2a+4x0+2a2+a+2=0x0=2,a2-a=0a=0,1;x0=4,a2-3a+2=0a=2,1.\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\right.

    Итак, таких  `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a`  вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое  `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

    1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

    2. `a=1`: Вторая  система  имеет  вид 

    x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-6x+8=0y=0,x=3±1=4;2.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.

    Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

    3. a=2:ax+3y=6a-4,x+y=2ax=4,y=0a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.

    и x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2a2+a+2=0x2-2y4-6x+8=0,x-42+y2=0x=4,y=0x=4,y=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.\right.

    Следовательно, системы при этом значении  равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.


    Ответ

    `2; 3`.

    При решении неравенств и уравнений  часто используются следующие равносильные переходы.

    1. Если  функции  `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве 

    а) `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.  (УР 1)
    б)  `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.  (УР 2)

                                                                                                                                           

    2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,   (УР 3)

     т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

    3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, (УР 4)

     т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

    4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. (УР 5)

    5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей  приводит к равносильному неравенству, т. е.

    `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.   (УР 6)

                                                                                       

    Если обе  части  неравенства отрицательны, то  умножив обе части на `(­–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим `(`УР `6)`.

    Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

    6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

     

    `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.   (УР 7)

    7. Для любых  `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального  `n`

    `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. (УР 8)


    8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

    fx00fx=0,fx>0<0.f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right. (УР 9)