Статьи , страница 6

  • 3. Подобие треугольников

    Две фигуры `F` и `F'` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F'` подобны, то пишется `F ~ F'`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC ~ Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` - в `B_1`, `C` - в `C_1`.

    Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC ~ Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`, `A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.  

    Признаки подобия треугольников

    Два треугольника подобны, если:

    1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

    2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

    3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

    В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

    Лемма

    Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.


    Доказательство

    Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B`  и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

    И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

    Пример 4 (важное свойство трапеции)

    Прямая, проходящая через
    точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`. 

    Решение

    1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. 

    Прямая `MN` параллельна основанию `AD`, следовательно, MOADMO \parallel AD,  треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому
                                                            `(MO)/(AD) = (BO)/(BD)`                                                        `(1)`

    2.  ADBCAD \parallel BC, `Delta AOD ~ Delta COB` по двум углам: `(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`,  то есть `(OD)/(OB) = a/b`. 

    3. Учитывая, что `BD = BO + OD`  находим отношение 

      `(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.               

    Подставляя это в `(1)`, получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

    Пример 5 (полезный метод решения)

    Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и  MNADMN \parallel AD.

    Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

    Решение

    1. Пусть  BFCDBF\|CD  и  MECDME\|CD, тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и  `Delta AME ~ Delta MBF`. 

    Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`. 
    2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` - параллелограммы,  `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x - a`; `AE = 5a - x`. Итак, имеем `(5a - x)/(x - a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`. 

    Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

    Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

    Попытайтесь доказать это самостоятельно.

    Признаки подобия прямоугольных треугольников

    Прямоугольные треугольники подобны, если:
    1. они имеют по равному острому углу;

    2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

    3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

    Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

    Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Утверждения 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

    СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

    Пример 6 (Первая лемма о высотах)

    Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` - его высоты, то  `Delta A_1B_1C ~ Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

    Доказательство

    Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
    а) Треугольник `ABC` остроугольный.


    В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` - прямой,  `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

     В треугольнике `B B_1C  угол `B_1`  - прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`. 

    В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`. 

    Таким образом, `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC` с коэффициентом подобия  `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
    б) Треугольник `ABC` - тупоугольный, угол `C` - острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.

    Рассуждения аналогичны:

    $$\left.\begin{array}{rcl}
    \Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
    \Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
    \end{array}
    \right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$

    коэффициент подобия `ul (cos C)`,  `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

    Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
    в) Треугольник `ABC` - тупоугольный, угол `C` - тупой, высоты `A A_1` и `B B_1`  проведены из вершин острых углов.

    `varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ - /_ C`, `cos varphi = - cos C = |cos C|`.

    $$\left.\begin{array}{rcl}
    \Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
    \Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
    \end{array}
    \right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$

    с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`. 

    Пример 7

    В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1`.

    Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

    Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

    Решение

    По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

    Аналогично `Delta AB_1C_1 ~ Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е.  `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

    Так как `BB_1` - высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`. 

    Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ - /_B`,  т. е. луч `B_1B` - биссектриса угла `A_1B_1C_1`. 

     Аналогично доказывается, что `A A_1` - биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C C_1` - биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

    Пример 8 (Вторая лемма о высотах)

    Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`.

    Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

    Решение

    `Delta AHB_1 ~ Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H`  (заметим, что  этот  угол  равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`,  откуда  `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

    Пример 9

    Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом  `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1`.

    Найти величину угла `C`.

    Решение

    1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим  `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда  `AH = 2y`. По второй лемме о высотах  `AH * HA_1 = BH * HB_1`,   т. е.  `x^2 = 2y^2`,  `x = y sqrt 2`. 
    2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ - C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` - острый,  `/_ C = 45^@`.

    Ответ:

    `/_ C = 45^@`. 

    Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

    Теорема 5

    Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональ¬ные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` -  биссектриса треугольника `ABC`, то  `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

    Доказательство

    Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `AC`.

    Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие  углы  `2`  и `4`. Но `AD` - биссектриса, `/_1 = /_2`,  следовательно  `/_3 = /_4`.
    Отсюда следует, что  треугольник  `KAB`  равнобедренный, `KA = AB`.
    По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми  из  ADKBAD \|KB  следует  `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`.   Подставляя сюда вместо  `KA` равный ему отрезок `AB`,  получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.  Теорема доказана.

    Пример 10

    Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

    Решение

    Пусть `AD` - биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5`.

    По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`.   Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е.  `ul (5x < 3x + 8)`,   `3x < 5x + 8`  и  `ul (8 < 3x + 5x)`.  Получаем ограничения `x<4` и `x > 1`.

    Периметр треугольника  `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`,  поэтому `ul (16 < P < 40`. 

  • 2. Замечательные точки треугольника

    Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.


    Теорема 1

    Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.


    Доказательство

    основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

    Теорема 2

    Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.


    Доказательство

    основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

    Теорема 3

    Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.


    Доказательство

    Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам.

    В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.

    По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что  `C_1B = AC`, следовательно  `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
    Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.  
    Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника  `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
    Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
    В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.

    Теорема 4

    Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
    Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.


    Доказательство

    Пусть  `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC`.

    Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F`  параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса  `BK = KD` `(/_ABC`, EKAD)EK\|AD) и  `DL = LC` `(/_ACB`,  ADFL)AD\| FL). Но `BD = DC = a//2`,  поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, NKMDFL)NK\| MD\| FL), поэтому `BM = 2MF`.

    Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.

    Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны.

    Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.

    Пример 3

    Две стороны треугольника равны соответственно `6` и `8`. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.


    Решение

    1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны.

    Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n`    и    `BO = 2/3 m`.
    2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
    Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3`  и `CN = 1/2 BC = 4`),  получим: $$
    \left\{
    \begin{aligned}
    16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
    9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
    \end{aligned}
    \right.
    $$
    Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
    3. Длина стороны `AB`  находится из прямоугольного треугольника

    `AOB:  x^2 = 4/9m^2 + 4/9n^2 = 4/9(m^2 + n^2) = 20`.

      Итак, `AB = 2 sqrt5`.

       Свойства высот и биссектрис будут далее рассмотрены в §3.

  • 1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

    Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha`.

    Используем обычные обозначения:

    `c` - гипотенуза `AB`;

    `a`  и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески "kathetos - катет" означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

    `a_c` и `b_c` – проекции `BD`  и `AD`  катетов на гипотенузу;

    `h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

    `m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

    `R` – радиус описанной окружности;

    `r` – радиус вписанной окружности.

    Напомним, что если `alpha` - величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC`, то

    `sin alpha = a/c`,  `cos alpha = b/c`   и    tg`alpha = a/b`.

    Утверждение

    Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

    Теорема Пифагора

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

    `c^2 = a^2 + b^2`

    Доказательство теоремы повторите по учебнику.

    Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

    Утверждение 1

    Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

    `a^2 = c * a_c`

    `b^2 = c * b_c` 

    Доказательство


    Если `/_ A = alpha`   (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ - alpha`   и `/_ BCD = alpha`.  Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`,  а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

    Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда  `(BC)^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` Аналогично доказывается второе равенство. 

    Утверждение 2

    Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

    `h^2 = a_c * b_c`

    Доказательство


    Из треугольника `ACD`  (рис. 1) имеем tg`alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` tg`alpha = (BD)/(CD)`.

    Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`,  откуда `CD^2 = AD * BD`,  т.  е.  `h^2 = a_c * b_c`.


    Утверждение 3

    Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

    `a * b = c * h`

    Доказательство


    Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD`  `sin alpha = (CD)/(AC)`.

    Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`,  откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е.  `a * b = c * h`.


    Утверждение 4

    Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

    `m_c = 1/2 c`

    Доказательство


    Пусть `AM = BM`.

    Проведём MKBCMK\|BC, тогда по теореме Фалеса  `AK = CK`. Кроме того, из того, что `BC _|_ AC`  и  MKBCMK\|BC  следует `MK _|_ AC`.

    В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны.  Эти треугольники равны и `CM = AM`,  т. е.  `CM = 1/2 AB`.


    Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

    Утверждение 5

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

    `R = m_c = 1/2 c` 

    Доказательство


    Это следует из Утверждения 4, действительно, `MA = MB = MC`,  следовательно, окружность с центром в точке  `M` и  радиуса `c/2` проходит через три вершины.

    Утверждение 6

    Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

    `a + b = 2(R + r)`    или    `a + b = c + 2r`

    Доказательство


    Пусть `O` - центр вписанной окружности и `F`, `N`  и `S` - точки касания сторон треугольника `ABC`, тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB`   и   `OF = ON = OS = r`. 

    Далее, `OFCN` - квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC - FC`,  `AN = AC - CN`,  т. е.  `BF = a - r`  и `AN = b - r`.

    Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` - общая, катеты `ON` и `OS`  равны), следовательно,  `AS = AN`,  т.  е.  `AS = b - r`.

    Аналогично доказывается, что  `BS = a - r`, поэтому из `AB = AS + BS`  следует   `c = (b - r) + (a - r)`,  т. е. `a + b = c + 2r`.

    Зная, что  `c = 2R`, окончательно получаем  `a + b = 2(R + r)`.

    ЗАМЕЧАНИЕ

    Равенства, доказанные в Утверждениях 1 и 2, записываются также как:

    `a = sqrt(c * a_c)`
    `b = sqrt(c * b_c)`
    `h = sqrt(a_c * b_c)`

    и, соответственно, формулируются

    Утверждения

    Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

    Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

    Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
       

    Пример 1

    Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.

    Решение

    1. Пусть  `a_c = 9`, `b_c = 16`,  тогда  `c = a_c + b_c = 25`.

    2. По Утверждению 1:  `a = sqrt(c * a_c) = 15`,   `b = sqrt(c * b_c) = 20`.

    3. По Утверждению 6:  находим радиус   `r = 1/2 (a + b - c) = 5`.

    Пример 2

    В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота, расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.


    Решение

    1. Заметим, что `a_c = c/2 - 1`, a `b_c = c/2 + 1`  (рис. 5), откуда  `a^2 = c * a_c = c(c/2 - 1)`  и  `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.

    2. По условию  `b = 2a`,  значит  `b^2 = 4a^2`,  т. е.  `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 - 1)`.
       Находим  `c = (10)/3`,  и  `a = sqrt(c(c/2 - 1)) = 2/3 sqrt5`  и  `b = 2a = 4/3 sqrt5`.





  • 8. Воздухоплавание

    На тело, удерживаемое неподвижно в воздухе, действует выталкивающая сила, равная по закону Архимеда весу вытесненного этим телом воздуха. Если вес тела (в вакууме) больше веса вытесненного телом воздуха, то отпущенное тело падает вниз. Если вес тела меньше веса вытесненного воздуха, то отпущенное тело поднимается вверх. Это и есть условие воздухоплавания.

    Для осуществления воздухоплавания надо использовать газ, который легче воздуха. Это может быть нагретый воздух. Если суммарный вес оболочки воздушного шара, наполняющего его газа и полезного груза меньше веса вытесненного шаром воздуха, то шар будет подниматься.

    Задача 6

    Какой груз может поднять воздушный шар объёмом V=10 м3V=10\;\mathrm м^3, наполненный гелием? Плотность гелия ρг=0,18 кг/м3\rho_\mathrm г=0,18\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3,  плотность воздуха ρв=1,29 кг/м3\rho_\mathrm в=1,29\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3.  Масса оболочки шара m0=2,1 кгm_0=2,1\;\mathrm{кг}.

    Решение

    Объёмом груза по сравнению с объёмом шара пренебрегаем. Вес вытесненного воздуха ρвVg\rho_\mathrm вVg, вес гелия ρгVg\rho_\mathrm гVg.   Максимальная масса груза найдётся из условия:  m0g+ρгVg+mg=ρвVgm_0g+\rho_\mathrm гVg+mg=\rho_\mathrm вVg. Отсюда

    m=ρв-ρгV-m0=9 кгm=\left(\rho_\mathrm в-\rho_\mathrm г\right)V-m_0=9\;\mathrm{кг}.


  • 7. Плавание тел

    Лодка из железа, спущенная на воду, плывёт, а эта же лодка, полностью погружённая в воду (затопленная), тонет. Из этого примера видно, что одно и тоже тело может плавать, а может и тонуть. Всё зависит от того, как тело приведено в контакт с жидкостью. Поэтому имеет смысл рассмотреть два случая взаимодействия тела с жидкостью.

    1-й случай

    Тело плавает в жидкости,  т. е. находится в покое, частично погрузившись в жидкость. Это может быть любое тело, например, кусок дерева или катер. Важен сам факт плавания. При этом тело соприкасается только с жидкостью и воздухом, плавая предоставленным самому себе, свободно. На начальном этапе рассмотрения вопроса о плавании не будем учитывать вес вытесненного воздуха. На тело действует направленная вниз сила тяжести `F_sf"Т"` и направленная вверх сила Архимеда `F_sf"А"`. Поскольку сила тяжести `F_sf"Т"` равна весу тела (в вакууме), а сила Архимеда `F_sf"А"` – весу (в вакууме) вытесненной жидкости, то можно сказать, что вес тела равен весу вытесненной жидкости. При более строгом рассмотрении вопроса с учётом веса вытесненного воздуха можно показать, что вес тела в воздухе равен весу (тоже в воздухе) вытесненной жидкости.

     Итак, если тело плавает в жидкости, то вес тела в воздухе равен весу в воздухе вытесненной им жидкости.

    При решении задач, когда ситуация реальна, различием в весе в воздухе и вакууме обычно пренебрегают, приравнивая вес любого тела силе тяжести, действующей на тело.

    Задача 5

    Кусок льда объёмом V=0,1 м3V=0,1\;\mathrm м^3 плавает в воде. Найти объём  `V_1`  надводной части льда. Плотность воды  ρ1=1 г/см3\rho_1=1\;\mathrm г/\mathrm{см}^3,  плотность льда ρ2=0,9 г/см3\rho_2=0,9\;\mathrm г/\mathrm{см}^3.

    Решение

    Вес льдины `rho_2 Vg`,  вес вытесненной воды `rho_1 (V - V_1)g`. По закону Архимеда  `rho_2 Vg = rho_1 (V - V_1)g`.  Отсюда 

    V1=ρ1-ρ2Vρ1=1-ρ2ρ1·V=0,01 м3V_1=\dfrac{\left(\rho_1-\rho_2\right)V}{\rho_1}=\left(1-\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\right)\cdot V=0,01\;\mathrm м^3.

    2-й случай

    Тело полностью погружено в жидкость и отпущено. Возьмём в руки какое-нибудь тело (кусочек дерева, стальной болт), погрузим его полностью в жидкость (например, воду) и будем удерживать неподвижно. На тело со стороны Земли действует вниз сила тяжести FТ=ρТVgF_\mathrm Т=\rho_\mathrm ТVg, а со стороны жидкости - вверх выталкивающая сила по закону Архимеда  FА=ρЖVgF_\mathrm А=\rho_\mathrm ЖVg. Здесь `V` - объём тела, ρТ\rho_\mathrm Т и ρЖ\rho_\mathrm Ж - плотность тела и жидкости. Отпустим тело. Если окажется, что FТ > FАF_\mathrm Т\;>\;F_\mathrm А,  то тело начнёт двигаться вниз, т. е. тонуть.  Если будет FТ < FАF_\mathrm Т\ <\ F_\mathrm А, то тело станет двигаться вверх, т. е. всплывать. После всплытия, когда тело будет плавать, объём погружённой в жидкость части тела окажется таким, что будет обеспечено равенство силы Архимеда (уже меньшей, чем величина FАF_\mathrm А) и силы тяжести FТF_\mathrm Т.  Итак, тело будет плавать, если ρТVg < ρЖVg\rho_\mathrm ТVg\;<\;\rho_\mathrm ЖVg, т. е. ρТ < ρЖ\rho_\mathrm Т\;<\;\rho_\mathrm Ж.  

    Мы получили условие плавания тела: тело, предварительно полностью погружённое в жидкость, плавает в жидкости, если плотность тела меньше плотности жидкости.

    Если плотности тела и жидкости равны, то полностью погружённое в жидкость тело может находиться в равновесии (покое) в любом месте жидкости, т. е. тело плавает внутри жидкости. Реально такая ситуация трудно осуществима, так как добиться строгого равенства плотностей нелегко.

    Условие плавания сформулировано для тела, предварительно полностью погружённого в жидкость. Предварительное полное погружение важно, так как, например, металлическая миска, не полностью погружённая в воду, может плавать, а полностью погружённая утонет.

    Условие плавания сформулировано для однородного тела, т. е. тела, плотность которого одинакова во всех точках тела. Это условие плавания справедливо и для неоднородного тела, например, куска льда с полостью внутри или стеклянной бутылки, заполненной частично водой и закрытой пробкой. В таком случае под плотностью тела надо понимать его среднюю плотность, т. е. отношение массы тела к его объёму.

  • 6. Закон Архимеда

    На поверхности твёрдого тела, погружённого в жидкость (газ), действуют силы давления. Эти силы увеличиваются с глубиной погружения, и на нижнюю часть тела будет действовать со стороны жидкости большая сила, чем на верхнюю.

    Равнодействующая всех сил давления, действующих на поверхность тела со стороны жидкости, называется выталкивающей силой. Другое название этой силы - сила Архимеда. Истинная причина появления выталкивающей силы - это наличие различного гидростатического давления в разных точках жидкости.

    Закон Архимеда:

    выталкивающая сила, действующая на тело, погружённое в жидкость, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему направлена.

    Закон открыт величайшим механиком и математиком Древней Греции Архимедом (287 - 212 г.г. до н. э.).

    Приведённая формулировка закона Архимеда справедлива, если вся поверхность тела соприкасается с жидкостью или если тело плавает в жидкости, или если тело частично погружено в жидкость через свободную (не соприкасающуюся со стенками) поверхность жидкости.

    Если же часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда неприменим!

    Иллюстрацией к сказанному служит опыт, когда ровную нижнюю поверхность деревянного кубика натирают парафином и плотно приставляют ко дну сосуда.

    Затем осторожно наливают воду. Кубик не всплывает, т. к. со стороны воды на него действует сила, прижимающая его ко дну, а не выталкивающая вверх. Известно, что это представляет опасность для подводной лодки, лёгшей на грунт.

    Закон Архимеда применим и в случае погружения тела в газ.
    Строго говоря, в законе Архимеда вес вытесненной жидкости надо брать в вакууме, а не в воздухе, так как вес жидкости в воз-духе меньше веса этой жидкости в вакууме на величину веса воздуха, вытесненного этой жидкостью. Но это различие обычно мало, и им пренебрегают.

    Если тело погружено в жидкость частично, то результирующая выталкивающая сила со стороны жидкости и воздуха равна сумме веса вытесненной жидкости и вытесненного этим телом воздуха. Здесь оба веса берутся в вакууме.

    Задача 4

    Железный предмет, полностью погружённый в воду, весит меньше, чем в воздухе на F=100 HF=100\;\mathrm H.   Определить вес предмета в воздухе. Плотность железа ρ=7900 кг/м3\rho=7900\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3.

    Решение

    Выталкивающей силой в воздухе можно пренебречь. Пусть вес тела в воздухе `Q`.  Тогда его вес в воде `Q - rho_в Vg`.  Здесь `V` - объём тела, ρв=1000 кг/м3\rho_\mathrm в=1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3 - плотность воды, g=9,8 м/с2g=9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2. Разность этих весов равна  `F`. Поэтому `Q - (Q - rho_в Vg) = F`. Отсюда `V = F/(rho_в g)`.  Вес тела в воздухе 

    Q=ρgV=Fρρв=100 H·7900 кг/м31000 кг/м3=790 HQ=\rho gV=\dfrac{F\rho}{\rho_\mathrm в}=\dfrac{100\;\mathrm H\cdot7900\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3}{1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3}=790\;\mathrm H.


  • 5. Атмосферное давление. Опыт Торричелли

    Земля окружена воздушной оболочкой, состоящей из смеси газов. Эта оболочка называется атмосферой. Каждый горизонтальный слой атмосферы сжат весом более верхних слоёв. Поэтому давление в нижних слоях атмосферы больше, чем в верхних. При этом и плотность воздуха в нижних слоях значительно больше, чем в верхних. Это связано с тем, что газы под воздействием давления могут сильно уменьшить свой объём. Жидкости же обладают очень малой сжимаемостью и практически не изменяют своей плотности даже при больших давлениях. Атмосферное давление на уровне моря равно примерно 105 Па10^5\;\mathrm{Па}, т. е. 100000 Па100000\;\mathrm{Па}. Это желательно помнить. С увеличением высоты над уровнем моря атмосферное давление уменьшается. На высоте примерно в 5,5 км5,5\;\mathrm{км} оно уменьшается вдвое.

    Значение атмосферного давления впервые определил экспериментально в 1634 г. итальянский учёный Торричелли, создав простейший ртутный барометр. Опыт Торричелли состоит в следующем. Стеклянная трубка длиной около метра, запаянная с одного конца, заполняется полностью ртутью. Затем, закрыв отверстие трубки, её переворачивают и погружают открытым концом в чашу со ртутью.

    Часть ртути из трубки выливается, и в ней остаётся столб ртути высотой `H`. Давление в трубке над ртутью равно нулю (если пренебречь ничтожным давлением паров ртути), так как там - пустота (вакуум):  `P_C = 0`. Давление `p_B` в точке `B` равно давлению `p_A` в точке `A`, поскольку в сообщающихся сосудах - чаше и трубке - точки `A` и `B` находятся на одном уровне. Давление `p_A` равно атмосферному давлению pатмp_\mathrm{атм}.  Поэтому pB=pатмp_B=p_\mathrm{атм}. Разность давлений `p_B - p_C = rho gH`, где `rho` - плотность ртути. Так как pB=pатмp_B=p_\mathrm{атм}  и `p_C = 0`, то pатм =ρgHp_\mathrm{атм}\;=\rho gH. Измерив `H` и зная `rho`, можно определить атмосферное давление в условиях опыта. Торричелли нашёл, что для уровня моря H=760 ммH=760\;\mathrm{мм}.

    В опыте Торричелли каждому значению `H` соответствует определённое значение pатмp_\mathrm{атм}. Следовательно, атмосферное давление можно измерять в миллиметрах ртутного столба. Эта единица давления получила специальное название «Торр»: `1`Торр `= 1` мм. рт.ст. При этом высота столба ртути берётся той, которую он имел бы при `0^@ bb"C"`. Атмосферное давление в `760` Торр называется нормальным атмосферным давлением. Значение этого давления называется нормальной (физической) атмосферой и обозначается 1 атм1\;\mathrm{атм}.  Зная плотность ртути  ρ=13595 кг/м3\rho=13595\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3, находим по формуле    ρатм=ρgH\rho_\mathrm{атм}=\rho gH:

    1 атм=760 Торр101325 Па1,013·105 Па1\;\mathrm{атм}=760\;\mathrm{Торр}\approx101325\;\mathrm{Па}\approx1,013\cdot10^5\;\mathrm{Па}.                         

    Умножим равенство pатм=ρgHp_\mathrm{атм}=\rho gH на площадь `S` внутреннего сечения трубки: pатмS=ρgHSp_\mathrm{атм}S=\rho gHS. Заметим, что последнее равенство можно получить и непосредственно, записав условие равновесия  столба `BC`  ртути (рис. 6). Произведение pатмSp_\mathrm{атм}S равно силе давления `F` на столб ртути `BC` снизу, вызванное наличием атмосферного давления, а `rho gHS` есть вес столба `BC` ртути в трубке. Поэтому говорят, что в опыте Торричелли давление, создаваемое весом столба ртути, уравновешивается атмосферным давлением.

    Замена ртути водой в опыте Торричелли требует высоты трубки более `10` м. Действительно, при нормальном атмосферном давлении 1 атм1\;\mathrm{атм} для значения плотности воды ρ=1000 кг/м3\rho=1000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3 из формулы pатм=ρgHp_\mathrm{атм}=\rho gH следует, что H10,3 мH\approx10,3\;\mathrm м. Это означает, что нормальное атмосферное давление уравновешивается столбом воды высотой `10,3` м.   

    Несколько замечаний для решения задач. Полезно помнить, что плотность воды равна 1000 кг/м31000\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3 и гидростатическое давление в 105 Па10^5\;\mathrm{Па} создаётся в воде на глубине приблизительно 10 м10\;\mathrm м. Проверьте это, используя формулу для гидростатического давления.

    Поскольку плотность воздуха намного меньше плотности воды, изменением атмосферного давления, связанным с перепадом высоты в несколько метров, можно в ряде случаев пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением воды, вызванным таким же перепадом высоты.

    Задача 2

    В сосуд налита вода.

    Расстояние от поверхности воды до дна H=0,5 мH=0,5\;\mathrm м. Площадь дна S=0,1 м2S=0,1\;\mathrm м^2. Найти гидростатическое давление `p_1` и полное давление `P_2` вблизи дна. Найти силу давления воды на дно.

    Решение

    Плотность воды ρ=103 кг/м3\rho=10^3\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3. Гидростатическое давление

    p1=ρgH=103 кг/м3·9,8 м/с2·0,5 м5·103 Па=5000 Паp_1=\rho gH=10^3\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3\cdot9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2\cdot0,5\;\mathrm м\approx5\cdot10^3\;\mathrm{Па}=5000\;\mathrm{Па}.

    Полное давление складывается из атмосферного pA=105Паp_A=10^5\mathrm{Па} и гидростатического:

     p2=pA+p1=100000 Па+5000 Па=105000 Паp_2=p_A+p_1=100000\;\mathrm{Па}+5000\;\mathrm{Па}=105000\;\mathrm{Па}.

    Интересно, что полное давление мало отличается от атмосферного, так как толщина слоя воды достаточно мала. Сила давления воды на дно F=p2·S=105000 Па·0,1 м2=10500 HF=p_2\cdot S=105000\;\mathrm{Па}\cdot0,1\;\mathrm м^2=10500\;H.

    Задача 3

    На лёгкий поршень площадью `S`, касающийся поверхности воды, поставили гирю массой `m`.

    Высота слоя  воды в сосуде с вертикальными стенками  `H`. Определить давление в жидкости вблизи дна. Плотность воды `rho`.

    Решение

    На поршень снизу со стороны воды действует направленная вверх сила `F_1 = p_1 S`, где `p_1` давление вблизи поршня. Сверху на поршень действует гиря и атмосферный воздух с силой `F_2 = mg + p_A S`, где g=9,8 м/с2g=9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2pA=105 Паp_A=10^5\;\mathrm{Па} - атмосферное давление. Поршень находится в равновесии. Поэтому `F_1 = F_2`. Итак,  `p_1 S = mg + p_A S`. Отсюда  `p_1 = p_A + (mg)/S`.

    Этот  результат можно писать и сразу, говоря, что давление под поршнем равно атмосферному `p_A` и добавочному давлению  `mg//S`, создаваемому гирей.

    Разность давлений в воде у дна и вблизи поршня: `p_2 - p_1 = rho gH`.

    Отсюда  `p_2 = p_1 + rho gH`.  

    Окончательно, давление у дна `p_2 = p_A + (mg)/S + rho gH`.


  • 4. Сообщающиеся сосуды

    Сообщающимися называются сосуды, которые имеют связывающие их каналы, заполненные жидкостью.

    Можно показать, что справедлив закон сообщающихся сосудов.

    Закон сообщающихся сосудов:

    в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково, независимо от формы сосудов, а поверхности жидкости в сообщающихся сосудах (открытых вверху) устанавливаются на одном уровне 



  • 3. Гидростатическое давление

    На Земле на все тела действует сила тяжести. Под действием силы тяжести верхние слои жидкости действуют на нижние. Следовательно, в жидкости существует дополнительное давление, обусловленное силой тяжести, называемое гидростатическим давлением.

    Можно показать, что в жидкости, на глубине `H`,  считая от поверхности жидкости в сосуде, гидростатическое давление вычисляется по формуле `P_sf"г" = rho gH`.

    Здесь `rho` - плотность жидкости. В системе единиц СИ  `g = 9,8  sf"м/с"^2`, а давление `p_sf"г"`, плотность `rho` и высота `H`  измеряются в  Па, `sf"кг/м"^3` и `sf"м"` соответственно.

    Полное давление `p` в жидкости, налитой в сосуд, складывается из давления у поверхности жидкости и гидростатического давления. Давление у поверхности жидкости часто равно атмосферному давлению pаp_\mathrm а, о котором будет сказано в дальнейшем. В этом случае `p = p_sf"г" + p_sf"а"`.

    Для ответа на некоторые вопросы полезно знать, что на одном горизонтальном уровне давление в жидкости постоянно, а разность давлений `Delta p`  на двух уровнях жидкости `AB` и `MN`, отстоящих друг от друга по высоте на расстояние `H` (см. рисунок), вычисляется по формуле `Delta p = rho g H`, которая аналогична формуле для гидростатического давления.

    Справка

    Греческая  буква  `Delta` (дельта),  стоящая  перед любой величиной,  обычно  используется  для  обозначения  изменения  этой  величины.

  • 2. Закон Паскаля

    Рассмотрим связь между давлениями в различных точках жидкости. Будем рассматривать покоящуюся жидкость в неподвижном сосуде. Дополнительное давление в жидкости, возникающее из-за силы тяжести, учитывать не будем.

    Пусть жидкость заключена в замкнутый сосуд произвольной формы (см. рисунок).

    Будем давить на поршень. Покажем, что давление `P_A` в точке `A` равно давлению `P_B` в точке  `B`. Для этого выделим мысленно внутри жидкости тонкий цилиндр, ось которого проходит через точки `A` и `B`, а основания площадью `S` каждое перпендикулярны оси. На части боковой поверхности цилиндра из жидкости со стороны окружающей жидкости действуют силы давления, перпендикулярные оси цилиндра. На основания цилиндра жидкость действует с силами `F_A = P_A S` и `F_B = P_B S`,  направленными вдоль оси `AB`. Поскольку цилиндр находится в покое, то `F_A = F_B`,  т. е. `P_A S = P_B S`. Отсюда `P_A = P_B`. Значит,  давление в точках `A` и `B` одно и то же. Аналогично доказывается равенство давлений в точках `B` и `C` и в точках `C` и `K`. Таким образом, приходим к выводу, что давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Поршень давит на жидкость на её границе в одном месте, но это давление ощущается во всей жидкости. Мы получили

    Закон Паскаля:

    давление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на её границе, передаётся без изменения во все точки жидкости. 

    Этот закон был установлен экспериментально французским физиком и математиком  Блэзом  Паскалем  (1623 - 1662) и носит его имя.

    Всё сказанное в этом параграфе справедливо и для газов. Справедлив для газов и закон Паскаля.

    Отметим, что закон Паскаля выведен и сформулирован здесь при условии отсутствия силы тяжести. Наличие силы тяжести не изменяет сути закона и вносит дополнительную связь между давлениями в различных точках жидкости или газа.

    Закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических машин. Принцип устройства и действия такой машины следующий. Два цилиндрических сосуда разного диаметра с поршнями соединены трубкой и заполнены жидкостью.

    Пусть на малый поршень площадью `S_1` действует сила `F_1`. Тогда в жидкости создаётся давление `P = F_1 //S_1`. На большой поршень площадью `S_2` со стороны жидкости действует сила `F_2 = PS_2 = F_1 S_2 //S_1`. С этой же силой большой поршень может действовать на какое-нибудь тело, препятствующее его перемещению. Во сколько раз `S_2` больше `S_1`, во столько раз и развиваемая поршнем сила `F_2` больше приложенной силы `F_1`. Это используется в гидравлическом прессе, гидравлическом тормозе, гидравлическом домкрате.

    задача 1

    Площадь большого поршня гидравлического домкрата 20 см220\;\mathrm{см}^2, а малого 0,5 см20,5\;\mathrm{см}^2. Груз какой максимальной массы можно поднять этим домкратом, если на малый поршень давить с силой не более `200Н`? Силой трения поршней о стенки цилиндров пренебречь.

    Решение

    Пусть  S1=0,5 см2S_1=0,5\;\mathrm{см}^2S2=20 см2S_2=20\;\mathrm{см}^2F1=200 НF_1=200\;\mathrm Н.  Так как давление во всех точках жидкости одинаково, то

    `F_1 /S_1 =F_2 /S_2`.

    Здесь `F_2` - сила давления жидкости на большой поршень. Отсюда

    F2=F1S2S1=200 Н·20 см20,5 см2=8000 НF_2=\dfrac{F_1S_2}{S_1}=200\;\mathrm Н\cdot\dfrac{20\;\mathrm{см}^2}{0,5\;\mathrm{см}^2}=8000\;\mathrm Н.

    Поднять можно тело с максимальным весом `F_2 = 8000 Н`, что соответствует массе `m = F_2 //g`,  где g=9,8 м/с2g=9,8\;\mathrm м/\mathrm с^2.  Итак, m800 кгm\approx800\;\mathrm{кг}.


  • 1. Жидкости и газы. Текучесть. Давление

    Жидкости и газы отличаются от твёрдых тел прежде всего тем, что обладают таким свойством, как текучесть. Текучесть проявляется в способности жидкости и газа принимать форму сосуда. Из-за чего появляется и чем объясняется текучесть, по наличию которой и устанавливают, что данное тело не является твёрдым?

    Многочисленные опытные факты подтверждают наличие в природе веществ (тел), у которых отсутствуют силы, препятствующие сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоёв этих веществ относительно других, т. е. отсутствуют силы трения покоя, действующие вдоль поверхности соприкасающихся слоёв. Если при этом такое вещество принимает форму сосуда и его объём практически не зависит от формы и вида сосуда, то мы имеем дело с жидкостью. Если же это вещество занимает весь предоставленный ему в любом сосуде объём, то это - газ.

    У твёрдого тела сдвинуть один слой (часть) тела относительно другого без приложения значительных усилий невозможно. У жидкости и газа одни слои (части)  могут скользить по другим слоям под действием ничтожно малых сил. Этим и объясняется текучесть.

    Пример

    Если подуть вдоль поверхности воды, то верхние слои воды придут в движение относительно нижних, причём силы трения между слоями будут тем меньше, чем меньше относительная скорость движения слоёв. Другой пример текучести. Даже очень осторожное, медленное и малое наклонение сосуда с жидкостью приводит к перемещению верхних слоёв жидкости относительно нижних и в результате поверхность жидкости становится снова горизонтальной.

    Сила трения покоя между стенкой сосуда и соприкасающейся с ней неподвижной жидкостью тоже равна нулю.

    Мы здесь не будем рассматривать проявление так называемых сил поверхностного натяжения, возникающих из-за того, что поверхностный слой жидкости ведёт себя подобно тонкой упругой оболочке. Силами поверхностного натяжения объясняется существование капель жидкости, возможность каплям удерживаться на наклонной поверхности твёрдого тела, капиллярность и другое.

    Из всего сказанного выше следует, что в неподвижной жидкости (или газе) слои (части) жидкости действуют друг на друга и на стенки сосуда с силами, направленными перпендикулярно к поверхности их соприкосновения. На рисунке показан сосуд с жидкостью.

    Выделим мысленно из всей жидкости её части в объёмах `1` и `2`. Жидкость в объёме `1` давит на жидкость в объёме `2` с силой `F_1` направленной перпендикулярно к поверхности `AB` их соприкосновения. С такой же по модулю силой `F_2` давит и жидкость `2` на `1`. Это следует из так называемого третьего закона Ньютона, согласно которому тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Жидкость в сосуде давит на часть `MN` стенки сосуда с силой `F_3`, направленной перпендикулярно стенке. Часть `MN` стенки давит на жидкость с такой же силой  `F_4`.

    Величиной, характеризующей взаимодействие частей жидкости или газа друг с другом и со стенками сосуда, служит давление.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Давлением называется величина, равная отношению модуля силы `F` давления, действующей по нормали (перпендикулярно) к плоской поверхности, к площади  `S` этой поверхности: `P=F/S`.

    В системе СИ давление измеряется в Н/м2\mathrm Н/\mathrm м^2. Эта единица давления носит название паскаль (Па):          

    1 Па =1 Н/м21\;\mathrm{Па}\;=1\;\mathrm Н/\mathrm м^2

    Уточним, что следует понимать под давлением в жидкости или газе.

    Поместим в жидкость или газ небольшую плоскую пластину. Одну из сторон этой пластины назовём площадкой. Жидкость (газ) давит на площадку с некоторой силой `F`. Если площадь площадки `S`, то давление жидкости на площадку `P = F/S`. Из условия равновесия вырезанной мысленно из жидкости (газа) призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника, находящейся в месте расположения площадки, можно вывести, что давление на площадку в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки. Вывод приводить не будем. Теперь можно дать определение давления в жидкости или газе.

    определение

    Давлением в некоторой точке жидкости называется давление жидкости на небольшую площадку, произвольно ориентированную и помещённую вблизи этой точки. Аналогично и для газа.






  • 6. Закон Архимеда

    На поверхности твёрдого тела, погружённого в жидкость (газ), действуют силы давления.

  • 5. Графики функций y=kx+b и y=|x|

    Вам уже известно из школьного курса, что графиком функции y=kx+b является прямая. Для построения графика достаточно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую.

    Пример 1

    Постройте график функции: а)  y=2x+3;  б) y=2.

    Решение

    а) При x=0;  y=3; при x=1;  y=5. Проводим прямую через точки (0; 3) и (1; 5). График прямой приведён на рисунке ниже.

     

    б) Для любого значения x значение y=2. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; 2). График этой функции приведён на рисунке ниже.

    Построим теперь график функции y=x

    Из определения модуля числа следует, что y=x, если x>0,0, если x=0,-x, если x<0.

    При x0  y=x, графиком функции при x0 является часть прямой y=x. А при x<0 графиком функции является часть прямой y=-x. График функции y=x приведён на рисунке ниже.

    Пример 2

    Постройте график функции y=x+1-x-2.

    Решение

    Выражение x-2 равно нулю при x=2. Если x>2, то x-2>0, поэтому x-2=x-2. А если x<2,  то x-2<0, тогда x-2=-(x-2)=-x+2.  Выражение x+1  равно нулю, если x=-1

    Если x>-1, то x+1>0, тогда x+1=x+1. А если x<-1, то x+1<0, тогда x+1=-(x+1)=-x-1. Пусть x2, тогда x-2=x-2x+1=x+1, поэтому y=x+1-(x-2)=3.

    Если -1<x<2, то x-2=2-xx+1=x+1, тогда y=x+1-2+x=2x-1.

    Если x-1, то x+1=-x-1x-2=2-x, тогда y=-x-1-2+x=-3.  

    Таким образом, y=3, если x2;2x-1, если -1<x<2;-3, если x1. 

    Заметим, что прямая y=2x-1 проходит через точки (-1; -3) и (2; 3).  График данной функции приведён на рисунке ниже.

    Пример 3


    Постройте график функции y=x-3, x0;x+4-1, если x<0.

    Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой y=a при различных значениях параметра a.

    Решение
    Из определения модуля следует, что  x-3=3-x, если x0; 3;x-3, если x>3.

    Далее x+4-1=-4-x-1, если x4;4+x-1, если x(-4; 0).

    График данной функции приведён на рисунке ниже.

    Если a<-1, то прямая y=a не пересекает график данной функции.
    Если a=-1, то прямая пересекает график функции в точке (-4; -1)

    Если a(-1; 0), то будет две точки пересечения. 

    Если a=0, то прямая y=0 пересекает график функции в точках (-5; 0)(-3; 0)(3; 0).

    Если a(0; 3), то получается 4 точки пересечения.
    Если a=3, то будет 3 точки пересечения.
    Если a>3, то будет 2 точки пересечения.

  • 4. Модуль числа
    Определение

    Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.  

    Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`. 

    Модуль нуля равен нулю.
    Запишем определение модуля таким образом: $$\left | x \right |= \left\{\begin{matrix}
    x, если {}      x\geq 0,\\
    -x, если    {}   x<0.
    \end{matrix}\right.$$

    Докажем некоторые свойства модуля.
         

    Свойство 1

    Для любого числа x выполняется условие x0

    Действительно, если x>0, то x=x и тогда x>0

    Если  x<0, то x=-x, но -x>0, значит x>0. И если  x=0, то x=0.

    Таким образом, x0 для любого x. При этом заметим, что x>0, если x0, и x=0, если x=0.

         

    Пример 1

    При каких значениях x выполняются равенства:

    а) x=5 ;  б) x=-3;   в) x-1=2?

    Решение

    а) Если x положительное, то x=5; если x отрицательное, то -x=5, т. е. x=-5.

    б) По свойству 1 выполняется условие x0, а у нас условие x=-3<0. Следовательно, не существует чисел, для которых выполнялось бы данное условие.
    в) По определению модуля числа следует, что если x-10, т. е. x1, то x-1=x-1=2,  отсюда следует, что x=3. Если же x<1, то x-1<0 и x-1=-(x-1), получаем равенство -x+1=2, -x=1, x=-1. В дальнейшем мы такие уравнения будем решать коротко, а именно, рассуждаем так: если модуль какого-то выражения равен 2, то либо это выражение равно 2, либо равно (-2). Если x-1=2, то получаем два случая: x-1=2, x=3 и x-1=-2, x=-1.       

    Свойство 2

    Для любых чисел x и y выполняется условие

    xy=x·y.

    Доказательство

    Если числа x и  y  положительные, то xy>0,  xy=xy, x=x, y=y,    получаем верное равенство xy=xy

    Если числа x и y отрицательные, то xy>0,  xy=xy,  x=-xy=-y, получаем верное равенство xy=(-x)(-y),  xy=xy.

    Если x>0, а y<0, то xy<0, xy=-xy, x=x, y=-y, получаем верное равенство -xy=-xy.

    Аналогично доказывается, если x<0,  a y>0

    Если одно из чисел x и y равно нулю, то обе части равенства xy=x·yравны нулю, т. е. равенство верное.
         

    Пример 2

    При каких значениях x верно равенство -5x-10=15\left | -5x-10 \right |=15

    Решение
    -5x-10=-5(x+2)=-5·x+2=5x+2\left | -5x-10 \right |=\left | -5(x+2) \right |=\left | -5 \right |\cdot \left | x+2 \right |=5\left | x+2 \right |.
    Таким образом, получили равенство 5x+2=15, x+2=3, отсюда следует, что

    x+2=3, x=1 и x+2=-3, x=-5.

    Ответ

     1; -5

    Аналогично свойству 2 можно доказать свойство `|x/y|=|x|/|y|`. Исходя из
    определения модуля числа, можно доказать, что для любого числа x верно равенство x=-x.

         

    Пример 3

    Решите уравнение `|-3x-1|-2x=2`.

    Решение

    `|-3x-1|=|-3(x+1/3)|=|-3|*|x+1/3|=3|x+1/3|`. После этих преобразований получили уравнение `3*|x+1/3|-2x=2`. Из определения модуля следует, что `|x+1/3|=x+1/3`,  если `x+1/3>=0`,  т. е.  `x>=-1/3` и `|x+1/3|=-x-1/3`,  если `x<-1/3`.

    а) Если `x>=-1/3`, то получаем уравнение `3(x+1/3)-2x=2`, `x+1=2`, `x=1`.  Число `1>-1/3`, поэтому число `x=1` является решением уравнения.

    б) Если `x<-1/3`, то получаем уравнение `3(-x-1/3)-2x=2`,  `-5x=3`, `x=-3/5<-1/3`.

    Ответ
     `-3/5`;  `1`. 
         
    Пример 4

    Решите уравнение x-1+x+1=2

    Решение

    Напомним определение модуля числа:  a=a, a0,-a, a<0.

    В данном уравнении под знаком модуля стоят числа x-1 и x+1. Если xменьше, чем -1, то число x+1 отрицательное, тогда x+1=-x-1. А если x>-1, то x+1=x+1. При x=-1 имеем x+1=0. Таким образом, x+1=x+1, x-1,-x-1, x<-1.

     Аналогично x-1=x-1, x1,-x+1, x<1.

    а) Рассмотрим наше уравнение при x-1, оно равносильно уравнению -x+1-x-1=2, -2x=2, x=-1. Это число принадлежит множеству x-1.

    б) Пусть теперь -1<x1, тогда данное уравнение равносильно уравнению -x+1+x+1=2, 0·x=0, последнему уравнению  удовлетворяет любое число, но так как мы рассматриваем множество -1<x1, значит, этому уравнению удо-влетворяют все числа из этого множества.
    в) Рассмотрим случай x>1. Уравнение равносильно уравнению x-1+x+1=2, x=1. Число x=1  мы получили уже в пункте б).

    Ответ

    Уравнению удовлетворяют все числа, удовлетворяющие условию -1x1. 
    Пример 5

    Решите уравнение: 11x+5=9x+13.

    Решение

    Если модули чисел равны, то эти числа либо равны, либо отличаются знаком. Если числа равны, то получаем уравнение: 

    11x+5=9x+13,  2x=8,  x=4.

    Если числа отличаются знаком, то получаем уравнение:

    11x+5=-9x-13,  20x=-18,   x=-0,9.

    Ответ
    4; -0,9. 

    Уравнения с параметром

    Рассмотрим уравнение (a-3)(a-2)·x=(a-3)(a+5). Такие уравнения носят название «уравнения с параметром». Здесь x - неизвестное , а a - параметр. Требуется найти решение x при любых значениях параметра a.
    Если a=3, то уравнение принимает вид: 0·x=0, этому уравнению удовлетворяет любое число x, т. е. в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
    Если a=2, то уравнение принимает вид: 0·x=-7, это уравнение не имеет решений.
    Если a3 и a2, то обе части уравнения можно разделить на (a-3)(a-2), тогда получаем: `{(a-3)(a+5)}/{(a-3)(a-2)}={a+5}/{a-2}`. Таким образом, если a3 и a2, то уравнение имеет единственное решение и при этом  `x={a+5}/{a-2}`.

  • 3. Уравнения с одной переменной
    Определение

    Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

    Например, уравнением с одной переменной является равенство $$ 2(3x+5)=4x-1.$$ 

    Определение

    Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

    Например, число $$ 1$$ является решением уравнения $$ 3x+5=9x-1.$$ Уравнение $$ {x}^{2}+1=0$$ не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение $$ (x-1)(x+2)=0$$ имеет два корня: $$ {x}_{1}=1$$ и $$ {x}_{2}=-2.$$ 

    Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Определение

    Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.

    При решении уравнений используют следующие свойства:

    • если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
    • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
    определение

    Уравнение вида $$ ax=b,$$ где $$ x - $$переменная, $$ a$$ и  $$ b - $$ некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. 

    Если $$ a\ne 0$$, то уравнение имеет единственное решение $$ x=\frac{b}{a}.$$ 

    Если $$ a=0$$ и $$ b=0,$$ то уравнению удовлетворяет любое значение $$ x,$$ а если $$ a=0,$$ а $$ b\ne 0,$$ то уравнение не имеет решений, т. к.  $$ 0·x=b$$ не выполняется ни при одном значении переменной.

    Пример 1

    Решите уравнение $$ \mathrm{2,5}x-(x+1)=(3x-1)-2x+1$$

    Решение

    Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с $$ x$$ в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие $$ x,$$ в правую часть, получаем: 

    $$ \mathrm{2,5}x-x-3x+2x=1-1+1. $$ $$ \mathrm{0,5}x=1,$$ $$ x=2.$$

    Ответ
    2
    Пример 2

    Решите уравнение:  

    а) $$ 2{x}^{2}-3x=0$$;  б) $$ {x}^{3}-2{x}^{2}-9x+18=0$$;  в) $$ {x}^{2}+5x+6=0$$.

    Решение

    а) Преобразуем уравнение: $$ x(2x-3)=0.$$ Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем $$ {x}_{1}=0,$$ $$ {x}_{2}=\frac{3}{2}.$$

    Ответ 
    $$ 0; \frac{3}{2}.$$

    б) Разложим на множители левую часть уравнения:

    $$ {x}^{2}(x-2)-9(x-2)=(x-2)({x}^{2}-9)=(x-2)(x-3)(x+3).$$ 

    Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа

     $$ {x}_{1}=2,$$ $$ {x}_{2}=3,$$ $$ {x}_{3}=-3.$$

    Ответ 

    $$ 2; 3; -3.$$

    в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в $$ 8$$-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим $$ 5x$$ как $$ 2x+3x,$$ тогда имеем: 

    $$ {x}^{2}+2x+3x+6=0,$$   

    $$ x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,$$  

    отсюда видно, что $$ {x}_{1}=-2,$$ $$ {x}_{2}=-3.$$  

    Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение $$ 5x=2·\frac{5}{2}x.$$  И прибавим и вычтем в левой части уравнения число $$ \frac{25}{4},$$ получаем:

    $$ {x}^{2}+2·\frac{5}{2}·x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+6=0,   {\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{2}-\frac{25}{4}+6=0,$$ $$ {\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{2}-\frac{1}{4}=0,  {\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}=0,$$ $$ \left(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)=0,  (x+2)(x+3)=0.$$

    Откуда следует, что $$ {x}_{1}=-2$$ и $$ {x}_{2}=-3.$$

    Ответ

    $$ -2; -3.$$

    Пример 3

    Являются ли данные уравнения равносильными:
    а) $$ \left|x-1\right|=2$$ и $$ 2x-5=1;$$ 

    б) $$ \frac{(x-3)(x+7)}{x-3}=0$$ и $$ (x-3)(x+7)=0.$$

    Решение

    а) Если $$ \left|x-1\right|=2,$$ то $$ x-1=2, x=3, $$или $$ x-1=-2, x=-1.$$ Первое уравнение имеет два решения: $$ -1$$ и $$ 3.$$ 

    Второе уравнение имеет одно решение $$ x=3.$$ Число $$ \left(-1\right)$$ является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

    б) Число $$ x=3$$ является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при $$ x=3$$ не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.

  • 2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
    Определение

    Выражения вида 2x2+3x+5, носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a0. 

    Рассмотрим квадратный трёхчлен  x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5. Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1. Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

    Пример 1

    Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9x2+3x+1. 

    Решение

    Заметим, что 9x2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда  `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем  

    `((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.  

    Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

    Пример 2

    Разложите на множители квадратный трёхчлен 4x2-12x+5.

    Решение

    Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 2x2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22. Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем: (2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).  

    Пример 3

    Разложите на множители квадратный трёхчлен -9x2+12x+5.

    Решение

    -9x2+12x+5=-9x2-12x+5. Теперь замечаем, что 9x2=3x2, -12x=-2·3x·2. 

    Прибавляем к выражению 9x2-12x слагаемое 22, получаем:

    -3x2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=3x-22+4+5=-3x-22+9=32-3x-22.

    Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

     -9x2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).

    Пример 4

    Разложите на множители квадратный трёхчлен 3x2-14x-5.

    Решение

    Мы не можем представить выражение 3x2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

    `3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

    `=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

    `=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

    Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
    Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3.  Выделяем полный квадрат:

    `(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.     

    Пример 5

    Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена   -162+8x+6. 

    Решение

    Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16x2+8x+6=-4x2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6=-4x-12+7. 

    При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее  7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.  

    Пример 6

    Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

    Решение

    Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).  

    Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3)  получаем `(x+5)/(x-3)`. 

    Пример 7

    Разложите многочлен x4-13x2+36 на множители.

    Решение

    Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

    `(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

    Пример 8

    Разложите на множители многочлен 4x2+4xy-3y2.

    Решение

    Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем: (2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2=(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).     

    Пример 9

    Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`. 

    Решение

    `8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=`

    `=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=8(x+3/2)(x-1/4)=`

    `=(2x+3)(4x-1)`.

    Преобразуем знаменатель дроби:

    `2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=`

    `=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

    Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.



  • 1. Тождественные преобразования. Решение уравнений

    В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.

    Пример

    Числовыми являются выражения 3,8-2,157-342+5(38:9).

    Выражения вида `2x+1`, 3x2+53x^2+5 называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.

    Пример

    2x2y+xyz35a2bx-y2 , 3t2+v3+1 .

    Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

    Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.

    Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.

    Пример

    Соответственными значениями выражений 2x2+1 и 3x2+5x+1 являются числа 33 и 99.

    Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком =, называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть  верными при  одних значениях переменных и неверными при других значениях.

    Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.

    Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.

    Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

    Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения,  вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.

    Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.

    Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.

    Пример

    Выражения 9, 25x2 25x2 и 34abxy4 являются одночленами. 

    Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.

    Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.

    Пример

    Стандартным видом одночлена 0,3bxy(-2)a2x2y3 является одночлен -0,6a2bx3y4, число (-0,6) является его коэффициентом, степень одночлена равна 10. 

    Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.

    Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.

    Пример

    Одночлены 2ax2y и -5ax2y являются подобными.

    Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.

    Пример

    2ax+3by-ax+0,5by=ax+3,5by. 

    Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.

    Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.

    Пример

    Стандартным видом многочлена 2ax5+xy3+3xy3-2ax5+5 является многочлен 4xy3+5, его степень равна 4. 

    Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

    Пример

    x+y2x2-y=2x3+2x2y-xy-y2. 

    Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.

    При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.

    Пример 1

    Разложите на множители многочлен 2x2y+y2-2x3-yx.

    Решение

    Группируя члены многочлена (т. е. представляя его в виде суммы двух многочленов) и вынося общий множитель в каждой группе, получаем 2x2y+y2-2x3-yx=2x2y-2x3+y2-yx=2x2y-x+yy-x. Видим, что многочлен является общим множителем для обоих слагаемых. Вынося этот многочлен за скобки, окончательно получаем 2x2y+y2-2x3-yx=y-x2x2+y.

    При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»

    Разность квадратов (a-b)(a+b)=a2-b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
    Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    Квадрат разности  (a-b)2=a2-2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
    Сумма кубов  (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a + b) (a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3
    Разность кубов  (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(a - b) (a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
    Куб суммы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
    Куб разности  (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3


    Пример 2

    Разложите на множители многочлен x3+x2+x-3. 

    Решение

    Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:x3+x2+x-3=(x3-1)+(x2-1)+(x-1)==(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)==(x-1)(x2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x2+2x+3).

    Пример 3

    Разложите на множители многочлен 3x2y4-24x5y.

    Решение

    Сначала выносим общий множитель 3x2y за скобку: 3x2y4-24x5y=3x2yy3-8x3Затем к многочлену y3-8x3 применим формулу для разности кубов: y3-8x3=y-2xy2+2xy+4x2В результате получим 3x2y4-24x5y=3x2y(y-2x)y2+2xy+4x2. 

    Пример 4

    Разложите на множители многочлен 27x3+y3+3y2+3y+1.

    Решение

    Заметим, что y3+3y2+3y+1=y+13, а 27x3=3x3, тогда получаем 3x3+y+13. Применяем формулу 3, получим (3x)3+(y+1)3=(3x+y+1)9x2-3x(y+1)+(y+12). Таким образом, 27x3+y3+3y2+3y+1=(3x+y+1)(9x2-3xy-3x+y2+2y+1). 

    Пример 5

    Разложим на множители многочлен y8+y4+1. 

    Решение

    Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение y4, получаем: y8+y4+1+y4-y4=y8+2y4+1-y4=y4+12-y22. А теперь применяем формулу для разности квадратов: y4+12-y22=y4+1+y2y4+1-y2.

  • 11-М-1. 2. Иррациональные неравенства

    Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

    Пример 3 (МГУ, 1998)

    Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

    Решение

    Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить       только       уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

    x+3=x+1x+10,x+3=x2+2x+1x=1x[-3;1).\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.

    Ответ:

    `[- 3; 1)`.

    Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

    `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. (УР К1)
    fx=gxgx0,f(x)=g2(x).\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right. (УР К2)
    f(x)=g(x)ОДЗf(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x). (УР К3)
    f(x)=g(x)f(x)=g(x),f(x)0,g(x)0.\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array} (УР К4)


    ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

    ОДЗ: `f(x) >= 0`.

     Рассмотрим неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`.  Докажем, что

    (УР К5)

                                                                                 

    Доказательство

    1. Если  является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

    2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       


    Тогда:

    а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

    б) если `g(x) >= 0`  и  `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

    то `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

    Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

    (УР К6)

                                                                

    Теперь рассмотрим неравенство вида  `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  Докажем, что

    f(x)g(x)g(x)0,f(x)g2(x),f(x)0.\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right. (УР К7)

                                                                  

    Доказательство
    1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`, то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.
    2.  Если `x` является решением системы неравенств   g(x)0,f(x)g2(x),f(x)0,\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.   то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.
    Пример 4 (МФТИ, 1998)

    Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.


    Решение

    Первый способ

    Воспользуемся (УР К6): 


    Ответ

    `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.


    Второй способ

    Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:


  • 11-М-1. 1 Равносильность уравнений и неравенств

    В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности.

    Два неравенства    

    `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)` (1)

    или два уравнения

    `f_1 (x) = g_1 (x)`   и   `f_2 (x) = g_2 (x)`       (2)

    называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

    Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0`  (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:  

    `f(x) = 0 hArr g(x) = 0`   (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

    Пример 1

    `sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

    Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

    Пример 2

    При каких значениях параметра  `a` системы

    ax+3y=6a-4,x+y=2a\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right. и   x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2(a2+a+2)=0\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.

    равносильны?


    Решение

    Решим сначала первую, более простую систему  

    ax+3y=6a-4,x+y=2ay=2a-x,ax+3(2a-x)=6a-4x(a-3)=-4\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.

    a3,x=-4a-3,y=2a+4a-3=2a2-6a+4a-3;a=3,0·x=-4.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.

    Подставим  `a = 3` во вторую систему

    a=3:x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-10x+28=0x-52+y2+3=0,a=3:\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-10x+28=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+y^2+3=0\Leftrightarrow\varnothing,\end{array}\Rightarrow\right.

    При `a = 3` системы  равносильны,  т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

    При `a = 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе  входит только в четной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

    x02-6x0+8=0x0=3±1,x02-2a+4x0+2a2+a+2=0x0=2,a2-a=0a=0,1;x0=4,a2-3a+2=0a=2,1.\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\right.

    Итак, таких  `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a`  вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое  `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

    1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

    2. `a=1`: Вторая  система  имеет  вид 

    x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-6x+8=0y=0,x=3±1=4;2.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.

    Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

    3. a=2:ax+3y=6a-4,x+y=2ax=4,y=0a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.

    и x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2a2+a+2=0x2-2y4-6x+8=0,x-42+y2=0x=4,y=0x=4,y=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.\right.

    Следовательно, системы при этом значении  равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.


    Ответ

    `2; 3`.

    При решении неравенств и уравнений  часто используются следующие равносильные переходы.

    1. Если  функции  `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве 

    а) `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.  (УР 1)
    б)  `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.  (УР 2)

                                                                                                                                           

    2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,   (УР 3)

     т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

    3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, (УР 4)

     т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

    4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. (УР 5)

    5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей  приводит к равносильному неравенству, т. е.

    `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.   (УР 6)

                                                                                       

    Если обе  части  неравенства отрицательны, то  умножив обе части на `(­–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим `(`УР `6)`.

    Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

    6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

     

    `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.   (УР 7)

    7. Для любых  `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального  `n`

    `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. (УР 8)


    8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

    fx00fx=0,fx>0<0.f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right. (УР 9) 


  • 11-М-1. Введение

    Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них  вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.