Abitu.Net

11-М-1. 1 Равносильность уравнений и неравенств

13 июля 2017 г.
0 комментариев
8764 просмотра

В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.

Два неравенства

`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`

(1)

или два уравнения

`f_1 (x) = g_1 (x)` и `f_2 (x) = g_2 (x)`

(2)

называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0` (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:

`f(x) = 0 hArr g(x) = 0` (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

Пример 1

`sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

Пример 2

При каких значениях параметра `a` системы

\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right.

и

\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.

равносильны?

Решение

Решим сначала первую, более простую систему

$\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.$

Подставим `a = 3` во вторую систему

$a=3:\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-10x+28=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+y^2+3=0\Leftrightarrow\varnothing,\end{array}\Rightarrow\right.$

При `a = 3` системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

При `a = 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе входит только в четной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

$\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\right.$

Итак, таких `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a` вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

2. `a=1`: Вторая система имеет вид

$\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.$

Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

3. $a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.$

и $\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.\right.$

Следовательно, системы при этом значении равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.

Ответ

`2; 3`.

При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы.

1. Если функции `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве

а)	`f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.	(УР 1)
б)	`f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.	(УР 2)

2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

`f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,

(УР 3)

т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

`f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`,

(УР 4)

т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

`f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`.

(УР 5)

5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е.

`f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.

(УР 6)

Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на `(–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим `(`УР `6)`.

Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

`f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.

(УР 7)

7. Для любых `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального `n`

`f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`.

(УР 8)

8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.

(УР 9)

11-М-1. Введение

13 июля 2017 г.
0 комментариев
1944 просмотра

Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

10-м-1. Вступление

12 июля 2017 г.
0 комментариев
767 просмотров

В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.

Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.

Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.

Московский Политех открыл набор магистров и бакалавров

4 июля 2017 г.
0 комментариев
5305 просмотров

БАКАВРИАТ И СПЕЦИАЛИТЕТ

Очная и очно-заочная форма

26 июля 2017 года необходимо подать документы если ты выпускник школы, поступающий по ЕГЭ на бюджетные места очной и очно-заочной форм обучения. Если ты поступаешь на платную основы очной формы обучения, подавай документы с 20 июня 2017 года по 25 августа 2017 года.

Если ты поступаешь после колледжа по результатам вступительных испытаний Политеха - 20 июня 2017 года по 10 июля 2017 года.

18 августа 2017 года последний день, чтобы подать документы, если ты выпускник колледжа и поступаешь на платные места очной и очно-заочной форм обучения.

На творческие направления даты приема такие же: 20 июня 2017 года по 10 июля 2017 года.

До вечера 1 августа 2017 года необходимо подать оригинал аттестата/ диплом СПО и согласие на зачисление.

1 августа происходит зачисление абитуриентов в первую волну.

До вечера 6 августа 2017 года необходимо подать оригинал аттестата/ диплом СПО и согласие на зачисление, чтобы попасть во вторую волну.

Заочная форма

15 сентября 2017 года последний день, чтобы подать документы, если ты выпускник колледжа на бюджетные места.

27 сентября 2017 года последний день, чтобы подать документы, если ты выпускник школы на бюджетные места.

13 октября 2017 года, чтобы подать документы, если ты выпускник колледжа и поступаешь на платные места.

До 31 октября, чтобы подать документы, если ты выпускник школы и поступаешь по ЕГЭ на платные места

Сроки проведения вступительных испытаний:

по очной и очно-заочной форме:

на места в рамках КЦП: c 10 июля по 26 июля 2017 года;
на места по договорам об оказании платных образовательных услуг: c 10 июля по 25 августа 2017 года;

по заочной форме:

на места в рамках КЦП: c 10 июля по 27 сентября 2017 года;
на места по договорам об оказании платных образовательных услуг: c 10 июля по 31 октября 2017 года;

МАГИСТРАТУРА

Дата начала приема документов: 20 июня 2017 года.

При приеме на общие и выделенные бюджетные места и на общие места по договорам оказания платных образовательных услуг:

Дата завершения приема документов от лиц, поступающих по программам магистратуры в рамках контрольных цифр: 11 августа 2017 года, 17:00.

Дата завершения приема документов от лиц, поступающих по программам магистратуры на места по договорам об оказании платных образовательных услуг: 25 августа 2017 года, 17:00.

Дата завершения проводимых университетом вступительных испытаний по программам магистратуры: 25 августа 2017 года.

Дата окончания приема оригиналов документов установленного образца от поступающих на места за счет бюджетных ассигнований: 18 августа 2017 года, 18:00.

Дата зачисления на обучение по программам магистратуры на места за счет бюджетных ассигнований: 21 августа 2017 года, не позднее 17:00.

Дата окончания приема оригиналов документов установленного образца или согласия на зачисление от поступающих на места по договорам оказания платных образовательных услуг: 25 августа 2017 года, 18:00.

Дата завершения зачисления на обучение по программам магистратуры на места по договорам оказания платных образовательных услуг: 30 августа 2017 года, не позднее 18:00.

Летний лекторий по биостатистике «Moscow Polytech DATA Analysis Summer CAMP» с 19 по 24 июня

4 июля 2017 г.
0 комментариев
4651 просмотр

Факультет химической технологии и биотехнологии Московского Политеха приглашает студентов, аспирантов и молодых ученых пройти бесплатное обучение основным методам статистического анализа, интерпретации и визуализации результатов в рамках исследовательской работы. Основная цель курса – получение опыта работы с биологическими данными и пакетом R-Studio. Статистическая среда R – мощнейший инструмент для анализа и визуализации данных, имеющий неограниченные возможности. Программа лектория построена таким образом, чтобы соблюсти баланс теоретической информации и практических заданий, включающих в себя анализ реальных данных и решение статистических кейсов.

DATA Analysis Summer CAMP – это четырёхдневный интенсив, посвященный описанию данных исследований, основным методам и принципам статистического анализа, интерпретации и визуализации получаемых результатов. Участники лектория познакомятся с такими методами статистического анализа, как дисперсионный, регрессионный и кластерный анализ. А также научатся сравнивать группы между собой, рассчитывать коэффициенты корреляции и строить регрессионные уравнения. Изученный материал можно будет применять для решения широкого круга задач, возникающих в рамках исследовательской работы практически любого направления.

Скачать программу лектория по биостатистике «Moscow Polytech DATA Analysis Summer CAMP.

Подробнее о лектории здесь.

Преподаватели:

Артем Поромов – к.б.н., доцент кафедры «Экологическая безопасность технических систем» факультета химической технологии и биотехнологии Московского Политеха

Елена Федосеева – к.б.н., ассистент кафедры общей биологии Медико-биологического факультета РНИМУ им. Н.И. Пирогова

Леонард Полищук – д.б.н., профессор кафедры общей экологии биологического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Лекторий пройдёт по адресу: м. «Электрозаводская», ул. Большая Семеновская, д. 38, аудитория В-508.

Что взять с собой: паспорт, ноутбук с возможностью выхода в интернет и установленной программой R-Studio | www.r-project.org.

Материалы лектория:

В.К. Шитиков, Г.С. Розенберг «Рандомизация и бутстреп: статистический анализ в биологии и экологии с использованием R».

С.Э. Мастицкий, В.К. Шитиков «Статистический анализ и визуализация данных с помощью R».

Пожалуйста, зарегистрируйтесь, чтобы получить электронный сертификат участника!

В случае возникновения каких-либо вопросов пишите: aap1309@gmail.com

9-М-1. Задачи

14 июня 2017 г.
0 комментариев
4925 просмотров