Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи , страница 8

  • §2. Решение простейших уравнений, содержащих арифметический квадратный корень
    Пример 1

    Решите уравнения:

    а) `sqrt(x+2)=0`;   

    б)  `sqrtx-3=0`;  

    в) `sqrt(5x+6)=6`.


    Решение

    а) Арифметический корень `sqrtx` определен при `x>=0`, при этом `sqrtx>=0`, значит, при любом `x>=0` выражение `sqrtx+2>=2`, поэтому данное уравнение не имеет решений.

    б) Согласно правилу работы с корнями `sqrtx=3` верно тогда и только тогда, когда выполняются два условия: `3>=0` и `x=3^2`. Откуда получаем ответ `x=9`.

    в) Согласно правилу работы с корнями `sqrt(5x+6)=6` верно, тогда и только тогда, когда выполняются два условия: `6>=0` и `5x+6=6^2`. Из последнего равенства находим `x:` 

    `5x+6=36`, `5x=30`, `x=6`.

    Пример 2

    Решите уравнение `sqrt(22+sqrt(6+sqrt(x-1)))=5`.

    Решение

    Применим правило работы с корнями. Первое условие правила `5>=0` выполняется. Второе ‑ записывается так: `22+sqrt6+sqrt(x-1))=25` или `sqrt(6+sqrt(x-1))=3`. Мы пришли к новому уравнению `sqrt(6+sqrt(x-1))=3`. Опять применяем правило: `3>=0` и `6+sqrt(x-1)=9`. Получаем уравнение `sqrt(x-1)=3`, которое легко решается: `3>=0` и `x-1=9`, т. е. `x=10`.

    Ответ

    `10`.

    Пример 3

    Решите уравнение `sqrt(3x-2)=sqrt(2x+4)`.

    Решение

    Посмотрим на наше уравнение как на равенство `sqrta=b`, где `a=3x-2`, `b=sqrt(2x+4)`. Тогда по правилу работы с корнями, приходим к системе условий: `sqrt(2x+4)>=0` и `3x-2=(sqrt(2x+4))^2`. Первое неравенство верно тогда и только тогда, когда `2x+4>=0`. Тогда по определению корня второе равенство запишется так `3x-2=2x+4`. Решаем полученное уравнение: `x=6`. Число `6` удовлетворяет неравенству `2x+4>=0`, значит, является решением нашего уравнения.

    Кратко решение можно оформить так:

    3x-2=2x+42x+40,3x-2=2x+42\sqrt{3x-2}=\sqrt{2x+4}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x+4}\geq0,\\3x-2=\left(\sqrt{2x+4}\right)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow

    2x+40,3x-2=2x+42x+40,x=6.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+4\geq0,\\3x-2=2x+4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+4\geq0,\\x=6.\end{array}\right..    

    Вывод `x=6`.

    Ответ

    `6`.

    Пример 4

    Решите уравнение `sqrt(4x^2+16x+16)-sqrt(x^2-6x+9)=4`.


    Решение

    Преобразуем левую часть уравнения:

    `sqrt(4x^2+16x+16)-sqrt(x^2-6x+9)=sqrt(4(x^2+4x+4))-sqrt((x-3)^2)=`

    `=sqrt4*sqrt((x+2)^2)-sqrt((x-3)^2)=2|x+2|-|x-3|`.

    После тождественных преобразований получили уравнение

    `2|x+2|-|x-3|=4`.

    1) Пусть `x>=3`, тогда `|x-3|=x-3`, `|x+2|=x+2` и наше уравнение сводится к уравнению

    `2(x+2)-)x-3)=4`; `2x+4-x+3=4`; `x+3=0`; `x=-3`.

    Это число меньше `3`, поэтому при `x>=3` решений нет.

    2) Пусть теперь `-2<x<3`. Тогда `|x-3|=3-x`, `|x+2|=x+2`. Получаем уравнение `2x+4+x-3=4`, `3x=3`, `x=1`. Число `1` удовлетворяет условию `-2<1<3`, `x=1` - решение.

    3) Пусть `x<= -2`. Тогда `|x-3|=3-x`, `|x+2|=-x-2` и приходим к уравнению `-2x-4-3+x=4`, `-x=11`, `x=-11`. Число `-11< -2`.

    Ответ

    `1`; `-11`.

    Пример 5

    Решите уравнение `(6x+7)sqrt(5x+4)=2xsqrt(5x+4)`.

    Решение

    Перепишем наше уравнение в виде:

    `(6x+7-2x)sqrt(5x+4)=0`,  `(4x+7)sqrt(5x+4)=0`.

    Воспользуемся известным правилом: произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из выражений равно нулю, а другое имеет смысл.

    Кратко это правило можно записать так:

    fx·gx=0fx=0,gx имеет смысл,f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\g\left(x\right)\;\mathrm{имеет}\;\mathrm{смысл},\end{array}\right. или gx=0,fx имеет смысл.\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)\;\mathrm{имеет}\;\mathrm{смысл}.\end{array}\right.

    Итак, в нашем случае, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено:

    1)  `4x+7=0` и выражение `sqrt(5x+4)` имеет смысл;   или

    2)  `sqrt(5x+4)=0` выражение `4x+7` имеет смысл.

    В первом случае `x=-7/4` не удовлетворяет неравенству `5x+4>=0`, т. е. решений нет. Во втором случае `x=-4/5`. Так как `4x+7` имеет смысл при всех `x`, то `x=-4/5` ‑ решение уравнения.

    Ответ

    `-4/5`.




  • §1. Определение арифметического квадратного корня

    Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна `25` кв. ед. Требуется определить длину стороны квадрата. Обозначим её через `x` ед., тогда приходим к уравнению `x^2=25`. Этому уравнению удовлетворяют два числа: `5` и `-5`. Они называются квадратными корнями числа `25`. Один корень ‑ положительный, он и дает решение задачи: `x=5`.

    Арифметическим квадратным корнем

    из неотрицательного числа `a` называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен `a`.

    Обозначают арифметический квадратный корень из  `a` так   `sqrta`.

    Например,  `sqrt(64)=8`; `sqrt(1,44)=1,2`; `sqrt0=0`.

    Из определения получаем следующее правило работы с корнями:

    правило работы с корнями

    Равенство `sqrta=b` является верным тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

    1) `b>=0`  и 

    2) `b^2=a`.

    Кратко это правило можно записать так:

                                                                                            $$ \sqrt{a}=b\iff \left\{\begin{array}{l}b\ge 0,\\ a={b}^{2}.\end{array}\right.$$                                                           (1)

    Напомним, что знак `«iff»` читается как «равносильно», «тогда и только тогда, когда» или «необходимо и достаточно».

    При `a<0` выражение `sqrta` не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа – число неотрицательное. При `a>=0` выполняется `(sqrta)^2=a`.

    Отметим важное равенство, которым будем часто пользоваться:

                                          `sqrt(a^2)=|a|`    при всех `a`.                                                        (2)

    Действительно, если `a>=0`, то `sqrt(a^2)=a=|a|`;

    если `a<0`, то `-a>0` и `sqrt(a^2)=sqrt((-a)^2)=-a=|a|`.

    Пример 1

    Найдите значение выражения:

    а) $$ 2\sqrt{\mathrm{12,25}}-\mathrm{0,1}·\sqrt{\mathrm{0,25}}$$;  

    б) $$ \sqrt{(-9{)}^{2}}$$;

    в) $$ \sqrt{-\mathrm{16,2}}$$.

    Решение

    а) По определению арифметического корня $$ \sqrt{\mathrm{12,25}}=\mathrm{3,5}$$, (т. к  $$ \mathrm{3,5}>0$$ и $$ 3,{5}^{2}=\mathrm{12,25}$$), также $$ \sqrt{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,5}$$. Поэтому

    $$ 2·\mathrm{3,5}-\mathrm{0,1}·\mathrm{0,5}=7-\mathrm{0,05}=\mathrm{6,95}$$.

    б) По формуле (2) имеем $$ \sqrt{(-9{)}^{2}}=|-9|=9.$$

    в) Данное выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа является неотрицательным числом.  $$ ▴$$

    Пример 2

    При каких $$ x$$ имеет смысл выражение:

    а) $$ {\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{x-1}}};\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}$$ б) $$ {\displaystyle \frac{2x+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}$$?

    Решение

    а) Выражение $$ \sqrt{x-1}$$ определено, если $$ x-1\ge 0$$, т. е. при $$ x\ge 1$$. Но т. к. корень $$ \sqrt{x-1}$$ стоит в знаменателе, то он не должен быть равен нулю, т. е. данное выражение имеет смысл при всех $$ x>1$$.

    б) Выражение $$ \sqrt{x}$$ определено при всех $$ x\ge 0$$, а выражение $$ \sqrt{x+2}$$ определено при $$ x+2\ge 0$$, $$ x\ge -2$$. Таким образом, при всех $$ x\ge 0$$ определены оба корня. При таких $$ x$$ имеем `sqrtx+sqrt(x+2)>0`, т. е. знаменатель не обращается в нуль. Значит, данное выражение имеет смысл при всех `x>=0`.

    Сравнение выражений, содержащих квадратные корни, основывается на следующем правиле сравнения:

    правило сравнения

    Из двух неотрицательных чисел больше то, квадрат которого больше.

    Пример 3

    Сравните числа `c=2sqrt3` и `d=1/2sqrt(47)`.


    Решение


    Числа `c` и `d` положительные. По правилу сравнения поскольку `c^2=4*3=12`, `d^2=1/4*47=(47)/4`  и `12=48/4>47/4`, то `c>d`.

    Пример 4

    Между какими соседними натуральными числами расположено число `a=1/3sqrt(209)`?

    Решение

    Квадрат данного числа равен

    `a^2=(1/3sqrt(209))^2=1/9*209=23  2/9`.

    Заметим, что `16<23  2/9<25`, поэтому `sqrt(16)<a<sqrt(25)`, т. е. `4<a<5`.

    Вспомним, что в школе нам встречались следующие множества чисел.

    Натуральные числа `N:1,2,3,4,5,6,...` – числа, используемые при счете предметов.

    Целые числа `Z` – натуральные числа, противоположные им числа `(-1, -2, -3, -4, -5, …)` и число `0`.

    Рациональные числа `Q` – положительные обыкновенные дроби, отрицательные обыкновенные дроби и число нуль, т. е. числа представимые в виде `p/q`, где `p` – целое число, а `q` – натуральное. Отметим, что любое рациональное число может быть записано либо в виде конечной десятичной дроби (например, `2/5=0,4`), либо в виде периодической десятичной дроби (например, `7/30=0,2(3)`).

    Но ведь еще существуют непериодические бесконечные десятичные дроби. Их называют иррациональными числами (т. е. неявляющимися рациональными). Пример иррационального числа можно привести, используя арифметический квадратный корень.

    Пример 5

    Докажите, что `sqrt7` является иррациональным числом.


    Решение

    Предположим, что `sqrt7` является   рациональным   числом, т. е. `sqrt7=m/n`, где `n` – натуральное число, `m` – целое число и `m/n` – несократимая дробь (иначе, мы предварительно сократили бы ее). Из определения арифметического корня следует, что `m>0`, т. е. `m` также должно быть натуральным числом. Тогда 

    `(sqrt7)^2=7=m^2/n^2`,  `7n^2=m^2`.

    Левая часть полученного выражения делится на `7`, поэтому `m^3` также делится на `7`. Покажем, что и `m` должно делиться на `7`. Допустим противное: `m7k+p`, где `p` – одно из чисел `1, 2, 3, 4, 5, 6`. Тогда `7n^2=(7k+p)^2`, `7n^2=49k^2+14kp+p^2`.  Здесь число `p^2` может быть одним из чисел `1, 4, 9, 16, 25, 36`, но ни одно из них не делится на `7`; противоречие. Итак, `m=7k` для некоторого натурального `k`. Тогда имеем  `7n^2=49k^2`, `n^2=7k^2`. Откуда аналогичными рассуждениями устанавливаем, что `n` делится на `7`, т. е. дробь `m/n` сократима. Полученное противоречие показывает, что `sqrt7` не является рациональным числом.

    Такими же рассуждениями доказывается, что для всякого натурального `n` число `sqrtn` либо натуральное (например, `sqrt1=1`, `sqrt4=2`, `sqrt9=3`, `…`), либо иррациональное (например, `sqrt2`, `sqrt3`, `sqrt5`, `…`).





  • §3. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

    В школьном учебнике обсуждаются следующие свойства арифмитического корня.

    Теорема 1

    Если a0a\geq 0 и b0b\geq 0, то ab=a·b\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.

    Теорема 2

    Если a0a\geq 0 и b>0b>0, то ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

    Пример 1

    Найдите значение выражения(без калькулятора):


    а) 75192;\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}; \:\:\:\:

    б) 1492-7624572-3842;\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }; \:\:\:\:

    в) 163·44\sqrt{16^3\cdot 4^4}.


    Решение


    а) 75192=75192=2564=58\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}=\sqrt{\dfrac{75}{192}}=\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{5}{8}.

    б) 1492-7624572-3842=(149-76)(149+76)(457-384)(457+384)=\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }=\sqrt{\dfrac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)} }=

    =73·22573·841=225841=225841=1529=\sqrt{\dfrac{73\cdot 225}{73 \cdot 841} }= \sqrt{\dfrac{225}{841}}=\dfrac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\dfrac{15}{29}.

    в) 163·44=(42)3·44=46·44=410=(45)2=45\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{(4^2)^3\cdot 4^4}=\sqrt{4^6\cdot 4^4}=\sqrt{4^{10}}=\sqrt{(4^5)^2}=4^5.

    Можно решать и другим способом.

    163·44=162·16·44=162·16·(42)2=16·4·42=42·4·42=45\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{16^2\cdot 16 \cdot 4^4}=\sqrt{16^2}\cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{(4^2)^2}=16\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^2\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^5

    Обсудим на примерах следующие известные операции с корнями. По теореме 1 число `sqrt(48)` можно преобразовывать следующим образом:

    `sqrt(48)=sqrt(16*3)=sqrt(16)*sqrt3=4sqrt3`.

    В этом случае говорят, что множитель `4` вынесли из-под знака корня.

    Если последнее равенство прочитать справа налево, то говорят, что множитель `4` внесли под знак корня.

    Пример 2

    Вынесите множитель из-под знака корня:

    а) (513-419)2;\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}; \:\:\:\:

    б) --a4b11;-\sqrt{-a^4 b^{11} };\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:

    в) 21(xy)2\sqrt{21(xy)^2}, если xy0xy\leq 0

    Решение

    а) По формуле (2) (513-419)2=|513-419|\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}=|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|.

    Определим знак числа 513-4195\sqrt{13}-4\sqrt{19}. Числа 5135\sqrt{13} и 4194\sqrt{19} положительные, поэтому достаточно сравнить их квадраты (513)2=25·13=325(5\sqrt{13})^2=25\cdot 13 = 325 и (419)2=16·19=304(4\sqrt{19})^2=16\cdot 19=304. Так как `325>304`, то `sqrt(325)>sqrt(304)`, т. е. 513>4195\sqrt{13}>4\sqrt{19}, поэтому |513-419|=513-419|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|=5\sqrt{13}-4\sqrt{19}.

    б) Так как a40a^4\geq 0, то корень определён, если -b110-b^{11}\geq 0, т. е .b110b^{11}\leq 0, b0\: b\leq 0. Тогда

    -a4(-b5)2(-b)=-a2(-b5)-b=a2b5-b-\sqrt{a^4(-b^5)^2(-b)}=-a^2 (-b^5) \sqrt{-b}=a^2b^5\sqrt{-b}.

    в) Имеем 21(xy)2=|xy|21=-xy21\sqrt{21(xy)^2}=|xy|\sqrt{21}=-xy\sqrt{21}.

    Пример 3

    Внесите множитель под знак корня:

    а) (5-37)2+3;(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3};

    б) (2a-1)1-2a;(2a-1)\sqrt{1-2a};

    в) -3xy-1(xy)3-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}.

    Решение

    а) Число 5-37<05-\sqrt{37}<0, т. к. 52=255^2=25, (37)2=37(\sqrt{37})^2=37 и 25<3725<37. Поэтому 

    (5-37)2+3=-(37-5)2+3=-(37-5)2(2+3)(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}=-(\sqrt{37}-5)\sqrt{\sqrt{2}+3}=-\sqrt{(\sqrt{37}-5)^2(\sqrt{2}+3)}.

    б) Корень 1-2a\sqrt{1-2a} определен, если 1-2a01-2a \geq 0, 2a12a\leq 1, a12a\leq \dfrac{1}{2}. При таких aa выражение 2a-102a-1\leq 0. Поэтому

    (2a-1)1-2a=-(1-2a)1-2a=-(1-2a)2(1-2a)=-(1-2a)3(2a-1)\sqrt{1-2a}=-(1-2a)\sqrt{1-2a}=-\sqrt{(1-2a)^2(1-2a)}=-\sqrt{(1-2a)^3}.

    в) Корень -1(xy)3\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}} определён при xy<0xy<0. Поэтому

    -3xy-1(xy)3=3(-xy)-1(xy)3=9(-xy)2(-1(xy)3)=-9xy-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=3(-xy)\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=\sqrt{9(-xy)^2(-\dfrac{1}{(xy)^3})}=\sqrt{\dfrac{-9}{xy}}.

    Пример 4

    Сравните числа aa и bb:

    а) a=3+11a=\sqrt{3}+\sqrt{11} и b=6+8;b=\sqrt{6}+\sqrt{8};

    б) a=2-3a=2-\sqrt{3} и b=7-43b=\sqrt{7-4\sqrt{3}};

    в) a=25+33-25-33a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}} и b=110b=\sqrt{110}

    Решение

    а) Числа aa и bb положительные. Рассмотрим квадраты этих чисел:

    a2=3+2311+11=14+233a^2=3+2\sqrt{3}\sqrt{11}+11=14+2\sqrt{33},

    b2=6+268+8=14+248b^2=6+2\sqrt{6}\sqrt{8}+8=14+2\sqrt{48}.

    Так как 48>3348>33, то 48>33\sqrt{48}>\sqrt{33},  248>2332\sqrt{48}>2\sqrt{33}, поэтому b2>a2b^2>a^2 и, значит, b>ab>a.

    б) Число a>0a>0, т. к. 22>(3)2=32^2>(\sqrt{3})^2=3. Число 7-43>07-4\sqrt{3}>0, т. к. 72>(43)2=487^2>(4\sqrt{3})^2=48. Отсюда следует, что число bb определено и оно больше нуля. 

    Таким образом, числа aa и bb положительные. Рассмотрим их квадраты: a2=(2-3)2=4-43+3=7-43,a^2=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3},\:\: b2=7-43b^2=7-4\sqrt{3}. Следовательно, a=ba=b.

    в) Запишем число `a` в виде

    a=25+33-25-33a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}}.

    Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

    a=10-63-10-63(5+33)(5-33)=-123-2=63=108a=\dfrac{10-6\sqrt{3}-10-6\sqrt{3}}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\dfrac{-12\sqrt{3}}{-2}=6\sqrt{3}=\sqrt{108}.

    Так как 110>108110>108, то 110>108\sqrt{110}>\sqrt{108} и b>ab>a.

    Покажем на примерах как можно тождественными преобразованиями упрощать выражения, содержащие квадратные корни.

    Пример 5

    Сократите дроби:

    а) a-b7a-7b;\dfrac{a-b}{\sqrt{7a}-\sqrt{7b}};\:\:\:\: 

    б) 3x+3y3x+3y+6xy;\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{3y}}{3x+3y+6\sqrt{xy}};\:\:\:\:

    в) aa-bba-b\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.

    Решение

    а) Выражение имеет смысл при всех `a>=0`, `b>=0`, `a!=b`.

    Заметим, что 

    a-b=(a)2-(b)2a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2, 7a=7·a\sqrt{7a}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{a}, 7b=7·b\sqrt{7b}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{b}.

    учитывая, что `sqrta-sqrtb!=0`, получим

    (a)2-(b)27·a-7·b=(a-b)(a+b)7(a-b)=a+b7\dfrac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{7}\cdot\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{7}}.

    б) Выражение имеет смысл при всех `x>=0`, `y>=0` и одновременно не равных нулю. Имеем

    3x+3y3x+3y+6xy=3x+3y(3x)2+(3y)2+23x·3y=3x+3y(3x+3y)2=\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{3y}}{3x+3y+6\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{3y}}{(\sqrt{3x})^2+(\sqrt{3y})^2+2\sqrt{3x}\cdot\sqrt{3y}}=\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{3y}}{(\sqrt{3x}+\sqrt{3y})^2}=

    =13x+3y=\dfrac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{3y}}.

    в) Выражение имеет смысл при всех `a>=0`, `b>=0`, `a!=b`. Преобразуем числитель дроби:

    aa-bb=(a)2·a-(b)2·b=(a)3-(b)3=a\sqrt{a}-b\sqrt{b}=(\sqrt{a})^2\cdot \sqrt{a}-(\sqrt{b})^2\cdot \sqrt{b}=(\sqrt{a})^3-(\sqrt{b})^3=

    =(a-b)((a)2+(b)2+a·b)=(a-b)(a+b+ab)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+b+\sqrt{ab}).

    Учитывая, что `sqrta-sqrtb!=0`, получим `(asqrta-bsqrtb)/(sqrta-sqrtb)=a+b+sqrt(ab)`.

    Пример 6

    Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

    а) 235-7;\dfrac{2}{3\sqrt{5}-\sqrt{7}};

    б) 1+23-2+5\dfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}+\sqrt{5}}.

    Решение

    Эту задачу надо понимать следующим образом: нужно так преобразовать дробь, чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни.

    При решении этих задач используется формула

    (a-b)(a+b)=a2-b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

    а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 35+73\sqrt{5}+\sqrt{7}. Получим:

    2(35+7)(35-7)(35+7)=65+27(35)2-(7)2=65+2745-7=35+719\dfrac{2(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(3\sqrt{5}-\sqrt{7})(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{(3\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{45-7}=\dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{7}}{19}.

    б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение (3-2)-50(3-\sqrt{2})-\sqrt{5}\neq 0Получим:

    (1+2)((3-2)-5)((3-2)+5)((3-2)-5)=3-2-5+32-2-10(9+2-62)-5=\dfrac{(1+\sqrt{2})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}{((3-\sqrt{2})+\sqrt{5})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}=\dfrac{3-\sqrt{2}-\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2-\sqrt{10}}{(9+2-6\sqrt{2})-5}=

    =1+22-5-106(1-2)=\dfrac{1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10}}{6(1-\sqrt{2})}.

    В полученной дроби умножаем числитель и знаменатель на 1+21+\sqrt{2}, получим:

    (1+2)(1+22-5-10)6(1-2)=\dfrac{(1+\sqrt2)(1+2\sqrt2-\sqrt5-\sqrt{10})}{6(1-2)}=

    =-1+2+22+4-5-10-10-206==-\dfrac{1+\sqrt2+2\sqrt2+4-\sqrt5-\sqrt{10}-\sqrt{10}-\sqrt{20}}6=

    =-5+32-35-2106=-\dfrac{5+3\sqrt{2}-3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{6}.


    Пример 7

    Докажите, что при всех `m>0`, `n>0`, `m!=n`  справедливо тождество

    (mn-mn+nm-mn)·mnn+m=-1(\dfrac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}}+\dfrac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}})\cdot\dfrac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n}+\sqrt{m}}=-1.

    Решение

    Преобразуем выражение, стоящее в скобках:

    mn-mn+nm-mn=m(n)2-m·n+n(m)2-m·n=\dfrac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}}+\dfrac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}}=\dfrac{\sqrt{m}}{(\sqrt{n})^2-\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}}+\dfrac{\sqrt{n}}{(\sqrt{m})^2-\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}}=

    =mn(n-m)+nm(m-n)=mn(n-m)-nm(n-m)==\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}+\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}-\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}=

    =(m)2-(n)2n·m·(n-m))=(m-n)(m+n)n·m·(n-m))=m+n-nm=\dfrac{(\sqrt m)^2-(\sqrt n)^2}{\sqrt n\cdot\sqrt m\cdot(\sqrt n-\sqrt m))}=\dfrac{(\sqrt m-\sqrt n)(\sqrt m+\sqrt n)}{\sqrt n\cdot\sqrt m\cdot(\sqrt n-\sqrt m))}=\dfrac{\sqrt m+\sqrt n}{-\sqrt{nm}}.

    Тождество доказано. 


  • §4. Преобразование двойных радикалов

    Выражения вида a+bc\sqrt{a+b\sqrt{c}} называют сложными или двойными радикалами. В некоторых случаях удается упростить такое выражение, избавившись от внешнего радикала. Например, если подкоренное выражение `a+bsqrtc` является квадратом некоторого двучлена (полным квадратом), то для этого применяется формула (2) параграфа 1.

    Пример 1

    Освободитесь от внешнего радикала в выражении 

    а) `sqrt(7+4sqrt3)`;

    б) `sqrt(3-2sqrt2)`;

    в) при `a>=3`  `sqrt(a+1+4sqrt(a-3))`.

    Решение

    а) Заметим, что `7=4+3=2^2+(sqrt3)^2`, тогда подкоренное выражение является полным квадратом двучлена:

    `7+4sqrt3=2^2+(sqrt3)^2+2*2*sqrt3=(2+sqrt3)^2`.

    Поэтому по формуле (2)

    `sqrt(7+4sqrt3)=sqrt((2+sqrt3)^2)=|2+sqrt3|=2+sqrt3`.

    б) Аналогично  `sqrt(3-2sqrt2)=sqrt(1+2-2sqrt2)=`

    `=sqrt(1+(sqrt2)^2-2sqrt2)=sqrt((1-sqrt2)^2)=|1-sqrt2|=sqrt2-1`.

    в) При `a>=3` имеем `sqrt(a+1+4sqrt(a-3))=sqrt((a-3)+4+4sqrt(a-3))=`

    `=sqrt((sqrt(a-3))^2+2^2+2*2sqrt(a-3))=sqrt((sqrt(a-3)+2)^2)=sqrt(a-3)+2`.

    В примере 2 опишем приём, по которому иногда под корнем удается выделить полный квадрат (с помощью подбора).

    Пример 2

    Освободитесь от внешнего радикала в выражении 124-703\sqrt{124-70\sqrt{3}}.

    Решение

    Допустим, что есть такие целые числа `a` и `b`, что 124-703=a-b3\sqrt{124-70\sqrt{3}}=a-b\sqrt{3}.

    Подберём их. По правилу работы с корнями должны выполняться условия:

    $$\begin{cases} (a-b\sqrt{3})^2=124-70\sqrt{3}; \\ a-b\sqrt{3}\geq 0, \end{cases} $$

    Из первого условия получаем

    a2-2ab3+3b2=124-703;a2+3b2-124=2ab3-703a^2-2ab\sqrt{3}+3b^2=124-70\sqrt{3};\:\:\:\: a^2+3b^2-124=2ab\sqrt{3}-70\sqrt{3}.

    Так как `a` и `b` - целые числа, то выражение a2+3b2-124a^2+3b^2-124 целое и, значит, правая часть (2ab-70)3(2ab-70)\sqrt{3} также должна быть целым числом. Поскольку `2ab-70` целое, то возможен только один вариант `(2ab-70)sqrt3=0`, т. е. `ab=35`. Тогда и `a^2+3b^2-124=0`. Таким образом, получаем, что пара целых чисел `a` и `b` удовлетворяет системе:

    ab=35, a2+3b2-124=0,a-b30.\left\{\begin{array}{l}ab=35,\;a^2+3b^2-124=0,\\a-b\sqrt3\geq0.\end{array}\right.

    Условию `ab=35` удовлетворяют следующие пары чисел: `a=1,  b=35`; `a=5,  b=7`; `a=7,  b=5`; `a=35,  b=1`; `a=-1,  b=-35`;`a=-5,  b=-7`; `a=-7,  b=-5`; `a=-35,  b=-1`. Из этих пар условию  `a^2+3b^2-124=0` удовлетворяют тольке две: `a=7`, `b=5` и `a=-7`, `b=-5`.

    Из чисел  `7-5sqrt3` и `-7+5sqrt3` неравенству `a-bsqrt3>=0`, удовлетворяет только второе. Таким образом, `sqrt(124-70sqrt3)=-7+5sqrt3`.

    В некоторых примерах удаётся избавиться от внешнего радикала, если воспользоваться тождеством

    a±b=a+a2-b2±a-a2-b2\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.

    Это тождество называют формулой двойного радикала. Оно справедливо, если a>0a>0, b>0b>0 и a2-b>0a^2-b>0. Докажем это тождество. При указанных условиях на `a` и `b` все три корня определены, a+a2-b2>a-a2-b2\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}>\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} и, значит, правая часть равенства положительна.

    Тогда проверяем второе условие правил работы с корнями:

    a±b=a+a2-b2+a-a2-b2±2a2-a2+b4,a±b=a±ba\pm\sqrt{b}=\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\pm 2\sqrt{\dfrac{a^2-a^2+b}{4}},\:\:\:\: a\pm\sqrt{b}=a\pm\sqrt{b}.

    Пример 3

    Применяя формулу двойного радикала, освободитесь от внешнего радикала в выражении 56-2880\sqrt{56-\sqrt{2880}}

    Решение

    Имеем 56-2880=56+3136-28802-56-3136-28802=\sqrt{56-\sqrt{2880}}=\sqrt{\dfrac{56+\sqrt{3136-2880}}{2}}-\sqrt{\dfrac{56-\sqrt{3136-2880}}{2}}=

    =56+162-56-162=6-20=6-25=\sqrt{\dfrac{56+16}{2}}-\sqrt{\dfrac{56-16}{2}}=6-\sqrt{20}=6-2\sqrt{5}

  • §5. Построение графиков функций

    В школьном курсе 7-го класса вы уже рассматривали график линейной функции `y=kx+b`, графики функций `y=x^2` и `y=x^3`. В этом году вы познакомились с ещё одной функцией, а именно, с функцией `y=sqrtx`.

    Составим таблицу значений этой функции. Очевидно, что эта функция определена при `x>=0`. 

    `x` `0` `1//16` `1//9` `1//4` `1` `4` `9`
    `y` `0` `1//4` `1//3` `1//2` `1` `2` `3`

    Построим график этой функции (рис. 1).

    Пример 1
    Используя график функции `y=sqrtx`, постройте графики функций:
    а) `y=sqrtx+1`,
    б) `y=sqrt(x-1)`,
    в) `y=-sqrtx`,
    г) `y=sqrt(-x)`.
     
    Решение

    а) У точек графиков функций `y=sqrtx+1` и `y=sqrtx` с одной и той же абсциссой `x>=0` ординаты отличаются на единицу, причем у первой значение ординаты больше. Поэтому график `y=sqrtx+1` получается сдвигом графика `y=sqrtx` вдоль оси  `Oy` на единицу вверх (рис.  2).

     

    б) У точек графиков функций `y=sqrt(x-1)` и `y=sqrtx` с одной и той же ординатой `y>=0` абсциссы отличаются на единицу, причем абсцисса точек первого графика больше. Поэтому график `y=sqrt(x-1)` получается из графика `y=sqrtx` сдвигом на единицу вправо вдоль оси  `Ox` (рис.  3).

    в) У точек графиков функций `y=-sqrtx` и `y=sqrtx` с одной и той же абсциссой `x>=0` ординаты отличаются знаком. Поэтому график функции `y=-sqrtx` получается из графика `y=sqrtx` отражением (симметрией) относительно оси `Ox` (графики симметричны относительно прямой `y=0`) (рис.  4).

    г) У точек графиков функций `y=sqrt(-x)` и `y=sqrtx` с одной и той же ординатой `y>=0` абсциссы отличаются знаком. Поэтому график `y=sqrt(-x)` получается из графика `y=sqrtx` отражением (симметрией) относительно оси `Oy` (графики симметричны относительно прямой `x=0`) (рис.  5).

    Приведённые рассуждения обобщаются для произвольной функции `y=f(x)` со сдвигами на произвольное число единиц `a` и `b`:

     

    Преобразование графика `y=f(x)`

    Пример


    `y=f(x)+b`

    Сдвиг вдоль оси  `Oy` на `|b|` единиц

    при `b>0` вверх,

    при `b<0` вниз

    `y=sqrtx+1`

    Рис. 2


    `y=f(x-a)`

    Сдвиг вдоль оси `Ox` на `|a|` единиц

    при `a>0` вправо,

    при `a<0` влево

    `y=sqrt(x-1)`

    Рис. 3

     


    `y=-f(x)`

    Отражение относительно оси  `Ox`

    (симметрия относительно прямой  `y=0`)

    `y=-sqrtx`

    Рис. 4


    `y=f(-x)`

    Отражение относительно оси  `Oy`

    (симметрия относительно прямой  `x=0`)

    `y=sqrt(-x)`

    Рис. 5

     

     

    Пример 2

    Постройте график функции:

    а) `y=sqrt(x^2)`;

    б) `y=-sqrt(-x)`;

    в) `y=sqrt(x+2)-2`;

    г)  `y=1-sqrt(|x-3|)`;

    д) `y=sqrt(x^2-4x+4)-sqrt(x^2+2x+1)`;      

    е)  `y=(-sqrtx)^2`.

    Решение

    а) Воспользуемся формулой (2) и определением модуля:

    $$\sqrt{{x}^{2}}=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,   \:\;\mathrm{если} \;\;x\ge 0,\\ -x, \;\;\mathrm{если} \;\;x<0. \end{array}\right.$$

    График данной функции приведён на рис. 6.

    б) Из определения корня следует, что `-x>=0`, т. е. `x<=0`. Составим таблицу значений функции:


    `x` `0` `-1//16` `-1//4` `-1` `-4` `-9`
    `y` `0` `-1//4` `-1//2` `-1` `-2` `-3`


    График функции изображён на рис. 7.

    Или, используя график `y=sqrtx`, выполним преобразования:

    1)  `y_1=sqrtx->y_2=sqrt(-x)`  - отражение графика `y_1=sqrtx` относительно оси `Oy`;

    2) `y=-y_2=-sqrt(-x)` - отражение графика `y_2=sqrt(-x)` относительно оси `Ox`;

    в) Данная функция определена для `x>=-2`. Требуемый график получается из графика `y_1=sqrtx` с помощью двух преобразований:

    1)  `y_1=sqrtx->y_2=sqrt(x+2)` - сдвиг вдоль оси `Ox` на `2` единицы влево;

    2) `y=y_2-2=sqrt(x+2)-2` - сдвиг вдоль оси `Oy` на `2` единицы вниз.

    График функции изображён на рис. 8.

    г) Данная функция определена для любого  `x`.

    Требуемый график построим из графика функции `y_1=sqrt(|x|)` следующей цепочкой преобразований:

    `y_1=sqrt(|x|)->y_2=sqrt(|x-3|)->y_3=-y_2=-sqrt(|x-3|)->``->y=y_3+1=-sqrt(|x-3|)+1`.

    Для построения графика `y_1=sqrt(|x|)`, распишем

    $$\sqrt{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}    \;\;\mathrm{при}\;\; x\ge 0,\\ \sqrt{-x} \;\;\mathrm{при} \;\;x<0.\end{array}\right.$$

    Далее строим по очереди графики функций из цепочки. График  `y_2=sqrt(|x-3|)` получается  из  графика `y_1=sqrt(|x|)` сдвигом вдоль оси `Ox` на  `3`  единицы  вправо. График `y_3=-y_2=-sqrt(|x-3|)`  получается  из `y_2=sqrt(|x-3|)` зеркальным отражением (симметрией) относительно оси `Ox`. Наконец, график искомой функции получается из графика `y_3=-sqrt(|x-3|)` сдвигом вдоль оси `Oy` на одну единицу вверх. Требуемый график функции изображён на рис. 9.

     

    д) Преобразуем выражение, которым задаётся наша функция.

    `y=sqrt((x-2)^2)-sqrt((x+1)^2)=|x-2|-|x+1|`.

    При  `x>=2`  `y=x-2-x-1=-3`.

    При  `-1<x<2`  `y=-x+2-x-1=-2x+1`.

    При  `x<=-1`  `y=-x+2+x+1=3`.

    График функции изображён на рис. 10.

    е) Данная функция определена при `x>=0`, тогда `(-sqrtx)^2=(sqrtx)^2=x`. График функции приведён на рис. 11.


    Пример 3
    Постройте график функции
     
    $$y=\begin{cases} 3-\sqrt{-x}, \: \text{если} \: x<0; \\ 3-\dfrac{5}{2}x, \: \text{если} \: 0\leq x\leq 2; \\ \sqrt{x-2}-2. \: \text{если} \: x>2. \end{cases} $$
    Решение
    На рис. 7 в предыдущем примере мы строили график функции `y=-sqrt(-x)`. Значения заданной функции при `x<0` получаются из значений функции `y=-sqrt(-x)` прибавлением числа `3`, т. е. график функции `y=3-sqrt(-x)` получается из графика функции `y=-sqrt(-x)`  сдвигом параллельно оси `Oy` на `3` единицы вверх.
    Рассмотрим функцию `y=3-5/2x`. Её графиком является прямая, проходящая через точки `(0;3)` и `(2;-2)`. График заданной функции при `0<x<2` совпадает с графиком прямой `y=3-5/2x`.
    При `x>2` можно сначала построить график функции`y=sqrt(x-2)`, а затем сдвинуть его на `2` единицы вниз параллельно оси `Oy`.
    Составим таблицу значений функции.
    `x` `-9` `-1` `0` `2` `6`
    `y` `0`

    `2`

    `3` `-2` `0`
    График функции приведён на рис. 12.
    Пример 4

    Предварительно упростив, постройте график функции

    `y=((sqrtx-2)/(sqrtx+2)+(sqrtx+2)/(sqrtx-2))1/8sqrt((x-4)^2)`.

    Решение

    Заметим сразу, что `x>=0`. Выражение `sqrtx-2=0`, если `x=4`. При `x=4` заданная функция не определена. 

    Преобразуем выражение, которым задаётся данная функция:

    `y=(x+4-2sqrtx+x+4+2sqrtx)/((sqrtx+2)(sqrtx-2))*1/8|x-4|=(2x+8)/(x-4)*1/8|x-4|`,

    $$y= \begin{cases} \dfrac{1}{4}x+1, \: \text{если} \: x>4, \\  -\dfrac{1}{4}x-1, \: \text{если} \: x\in [0;4). \end{cases} $$

    При `x>4` графиком функции является часть прямой, проходящей через точки `(6;5/2)` и `(8;3)`. 

    При `x in [0;4)` графиком функции является часть прямой, проходящей через точки `(0;-1)` и `(2;-3/2)`.

    График данной функции приведён на рис. 13. Кружочками отмечены точки `(4;2)` и `(4;-2)`, которые не принадлежат графику заданной функции.

  • §2. Решение простейших уравнений, содержащих арифметический квадратный корень
    Пример 1

    Решите уравнения:

    а) `sqrt(x+2)=0`;   

    б)  `sqrtx-3=0`;  

    в) `sqrt(5x+6)=6`.


    Решение

    а) Арифметический корень `sqrtx` определен при `x>=0`, при этом `sqrtx>=0`, значит, при любом `x>=0` выражение `sqrtx+2>=2`, поэтому данное уравнение не имеет решений.

    б) Согласно правилу работы с корнями `sqrtx=3` верно тогда и только тогда, когда выполняются два условия: `3>=0` и `x=3^2`. Откуда получаем ответ `x=9`.

    в) Согласно правилу работы с корнями `sqrt(5x+6)=6` верно, тогда и только тогда, когда выполняются два условия: `6>=0` и `5x+6=6^2`. Из последнего равенства находим `x:` 

    `5x+6=36`, `5x=30`, `x=6`.

    Пример 2

    Решите уравнение `sqrt(22+sqrt(6+sqrt(x-1)))=5`.

    Решение

    Применим правило работы с корнями. Первое условие правила `5>=0` выполняется. Второе ‑ записывается так: `22+sqrt6+sqrt(x-1))=25` или `sqrt(6+sqrt(x-1))=3`. Мы пришли к новому уравнению `sqrt(6+sqrt(x-1))=3`. Опять применяем правило: `3>=0` и `6+sqrt(x-1)=9`. Получаем уравнение `sqrt(x-1)=3`, которое легко решается: `3>=0` и `x-1=9`, т. е. `x=10`.

    Ответ

    `10`.

    Пример 3

    Решите уравнение `sqrt(3x-2)=sqrt(2x+4)`.

    Решение

    Посмотрим на наше уравнение как на равенство `sqrta=b`, где `a=3x-2`, `b=sqrt(2x+4)`. Тогда по правилу работы с корнями, приходим к системе условий: `sqrt(2x+4)>=0` и `3x-2=(sqrt(2x+4))^2`. Первое неравенство верно тогда и только тогда, когда `2x+4>=0`. Тогда по определению корня второе равенство запишется так `3x-2=2x+4`. Решаем полученное уравнение: `x=6`. Число `6` удовлетворяет неравенству `2x+4>=0`, значит, является решением нашего уравнения.

    Кратко решение можно оформить так:

    3x-2=2x+42x+40,3x-2=2x+42\sqrt{3x-2}=\sqrt{2x+4}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x+4}\geq0,\\3x-2=\left(\sqrt{2x+4}\right)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow

    2x+40,3x-2=2x+42x+40,x=6.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+4\geq0,\\3x-2=2x+4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+4\geq0,\\x=6.\end{array}\right..    

    Вывод `x=6`.

    Ответ

    `6`.

    Пример 4

    Решите уравнение `sqrt(4x^2+16x+16)-sqrt(x^2-6x+9)=4`.


    Решение

    Преобразуем левую часть уравнения:

    `sqrt(4x^2+16x+16)-sqrt(x^2-6x+9)=sqrt(4(x^2+4x+4))-sqrt((x-3)^2)=`

    `=sqrt4*sqrt((x+2)^2)-sqrt((x-3)^2)=2|x+2|-|x-3|`.

    После тождественных преобразований получили уравнение

    `2|x+2|-|x-3|=4`.

    1) Пусть `x>=3`, тогда `|x-3|=x-3`, `|x+2|=x+2` и наше уравнение сводится к уравнению

    `2(x+2)-)x-3)=4`; `2x+4-x+3=4`; `x+3=0`; `x=-3`.

    Это число меньше `3`, поэтому при `x>=3` решений нет.

    2) Пусть теперь `-2<x<3`. Тогда `|x-3|=3-x`, `|x+2|=x+2`. Получаем уравнение `2x+4+x-3=4`, `3x=3`, `x=1`. Число `1` удовлетворяет условию `-2<1<3`, `x=1` - решение.

    3) Пусть `x<= -2`. Тогда `|x-3|=3-x`, `|x+2|=-x-2` и приходим к уравнению `-2x-4-3+x=4`, `-x=11`, `x=-11`. Число `-11< -2`.

    Ответ

    `1`; `-11`.

    Пример 5

    Решите уравнение `(6x+7)sqrt(5x+4)=2xsqrt(5x+4)`.

    Решение

    Перепишем наше уравнение в виде:

    `(6x+7-2x)sqrt(5x+4)=0`,  `(4x+7)sqrt(5x+4)=0`.

    Воспользуемся известным правилом: произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из выражений равно нулю, а другое имеет смысл.

    Кратко это правило можно записать так:

    fx·gx=0fx=0,gx имеет смысл,f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\g\left(x\right)\;\mathrm{имеет}\;\mathrm{смысл},\end{array}\right. или gx=0,fx имеет смысл.\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)\;\mathrm{имеет}\;\mathrm{смысл}.\end{array}\right.

    Итак, в нашем случае, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено:

    1)  `4x+7=0` и выражение `sqrt(5x+4)` имеет смысл;   или

    2)  `sqrt(5x+4)=0` выражение `4x+7` имеет смысл.

    В первом случае `x=-7/4` не удовлетворяет неравенству `5x+4>=0`, т. е. решений нет. Во втором случае `x=-4/5`. Так как `4x+7` имеет смысл при всех `x`, то `x=-4/5` ‑ решение уравнения.

    Ответ

    `-4/5`.




  • §2. Логарифмирование и потенцирование

    При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (a>0(a>0,a1)a \neq 1 ) называется переход к уравнению logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}. При этом область существования уравнения сужается, т.к логарифмы существуют только у положительных чисел. Например,

    x3=xx=0,x=-1,x=1. а lgx3=lgxx=1x^3=x\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,\\x=-1,\\x=1.\end{array}\right.\;\mathrm а\;\lg x^3=\lg x\Leftrightarrow x=1

    Уравнения не равносильны, т.к имеют разные множества решений.

    Потенцированием называется переход от уравнения logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} к уравнению f(x)=g(x)f(x)=g(x). При этом область определения расширяется, т. к второе уравнение может существовать при любых f(x)f(x), g(x)g(x), а первое - только при положительных. Поэтому запишем и запомним:

    Свойства

    С11. Если f(x)=g(x)f(x)=g(x) и f(x)>0f(x)>0 или g(x)>0g(x)>0, то logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}=\textrm{log}_a{g(x)}.

    С12. Если logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}, то f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0 и f(x)=g(x)f(x)=g(x).


    При решении логарифмического уравнения достаточно проверить положительность одной из функций, т. к из последующегоих равенства следует положительность и другой. Итак, из С11 и С12 следует условие равносильности

    (УР Л1)

    $$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0, \\ f(x) = g(x). \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) > 0, \\ f(x) = g(x).\end{cases} $$


  • §1. Введение

    Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.

    В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:

    свойства

    С1. aαaβ=aα+β,a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha+\beta},

    С2. aαaβ=aα-β \dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}.

    С3. aαbα=(ab)α. a^{\alpha}b^{\alpha} = (ab)^{\alpha}.

    С4. aαbα=(ab)α\dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}} = (\dfrac{a}{b})^{\alpha} .

    Если a>0a>0, a1a \neq 1, то функция ax a^x отлична от постоянной. Ее называют показательной функцией с основанием a a . Если a>1a>1, то функция axa^x - монотонно возрастающая на RR; если `0<a<1`, то функция axa^x - монотонно убывающая на RR. Область значений показательной функции - множество R+R_{+} всех действительных чисел. Отсюда и из монотонности следует, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, то для любого положительного числа NN существует единственное число xx, такое, что ax=Na^x = N. Это число называется логарифмом числа NN по основанию aa и обозначается logaN\textrm{log}_a{N}. Из определения следует, что

    alogaN=N a^{\textrm{log}_a{N}} = N в ОДЗ.

    Это равенство называется основным логарифмическим тождеством в ОДЗ (только для N>0N>0, a>0a>0, a1a \neq 1).

    В школе показывается, что, если a>0, a1, M>0, N>0, α¯\underline{a>0,\;a\neq1,\;M>0,\;N>0,\;\alpha} - любое действительное число, то верны формулы

    Свойства

    С5. logaMN=logaM+logaN \textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{M} + \textrm{log}_a{N} .

    С6. logaMN=logaM-logaN \textrm{log}_a{\frac{M}{N}} = \textrm{log}_a{M}-\textrm{log}_a{N} .

    С7. logaMα=αlogaM \textrm{log}_a{M^{\alpha}} = \alpha \textrm{log}_a{M} .

    С8. Если, к тому же, b>0b>0, b1b \neq 1, то logaM=logbMlogba\textrm{log}_a{M} = \dfrac{\textrm{log}_b{M}}{\textrm{log}_b{a}} .

    Последняя формула позволяет переходить от логарифма по основанию aa к логарифму по основанию bb. Она называется формулой перехода к новому основанию.

    Свойства 5-8 при вышеописанных условиях (M>0M>0, N>0N>0) являются тождествами и читаются как справа налево, так и слева направо.

    Заметим, однако, что левые и правые части равенств в С5 и С6 имеют разные области определения: левая часть определена при MN>0MN>0, а правая - при M>0M>0, N>0N>0. Это надо учитывать при решении задач: MN>0MN>0 не только тогда, когда M>0M>0, N>0N>0, но и тогда, когда M<0M<0, N<0N<0. Учтем, что MN=(-M)(-N)MN = (-M)(-N), и для -M>0-M>0, -N>0-N>0 (в силу С5) loga(-M)(-N)=loga(-M)+loga(-N) \textrm{log}_a{(-M)(-N)} = \textrm{log}_a{(-M)} + \textrm{log}_a{(-N)} . Теперь запишем более общую формулу

    С5*5^*. Если MN>0MN>0, то logaMN=loga|M|+loga|N|\textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} .

    С9. Если M0M \neq 0, N0N \neq 0, то loga|M|+loga|N|=loga|MN|\textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} = \textrm{log}_a{|MN|} .

    Аналогично показывается, что

    Пример

    C6*6^*. Если MN>0 MN > 0, то logaMN=logaM-logaN \textrm{log}_{a} \frac{M}{N} = \textrm{log}_{a} M - \textrm{log}_{a} N.

    С10. Если M0 M \neq 0 , N0 N \neq 0 , то loga|M|-loga|N|=loga|MN|\textrm{log}_{a}|M| - \textrm{log}_{a}|N|=\textrm{log}_{a}|\frac{M}{N}|.

    С7*7^*. Если M0M \neq 0 , то для любого натурального nn верно, что logaM2n=2nloga|M|\textrm{log}_{a}M^{2n} = 2n \textrm{log}_{a}|M|.

    Все свойства читаются в обе стороны (т.е являются тождествами), при выполнении приведенных для каждого из них условий.



  • §3. Показательные уравнения

    Из монотонности показательной функции следует, что ax=ayx=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.

    Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b0b \leq 0 не имеет решения, а при b>0b>0 имеет единственный корень x=logabx=\textrm{log}_a{b}.

    Для успешного решения большинства учебных примеров решающим является умение преобразовать исходное уравнение к более простому. Более простыми можно считать два основных уравнения:

    1. af(x)=b(x)f(x)=logab(x)a^{f(x)} = b(x) \Leftrightarrow f(x) = \textrm{log}_a{b(x)},

    2. g(af(x))=0 g(a^{f(x)}) = 0.


    Уравнение 2 заменной переменной af(x)=ta^{f(x)} = t сводится к уравнению g(t)=0g(t)=0, у которого отыскиваются положительные корни, а затем решаются уравнения типа 1. Заметим, что 

    $$ 1^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow 1=g(x), \:\:\: 0^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)=0. \end{cases}$$

    Пример 1.(МГУ, 1970).

    Решить уравнение 43x2-2x+1+2=9·23x2-2x4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}.

    Решение
    43x2-2x+1+2=9·23x2-2x4·223x2-2x-9·23x2-2x+2=04^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}} \Leftrightarrow 4\cdot 2^{2\sqrt{3x^2-2x}}-9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}+2=0 \Leftrightarrow
     
    4(23x2-2x)2-9(23x2-2x)+2=0(23x2-2x-2)(23x2-2x-14)=0\Leftrightarrow 4(2^{\sqrt{3x^2-2x}})^2-9(2^{\sqrt{3x^2-2x}})+2 = 0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{3x^2-2x}}-2)(2^{\sqrt{3x^2-2x}}-\dfrac{1}{4})=0 \Leftrightarrow
    3x2-2x=13x2-2x-1=0x=1,x=-13;3x2-2x=-2.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{3x^2-2x}=1\Leftrightarrow3x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=\dfrac{-1}3;\end{array}\right.\\\sqrt{3x^2-2x}=-2\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.
    ОТВЕТ
    11, -13\dfrac{-1}{3}.
    Пример 2

    Решить уравнение 8x-13·4x3x-2x9x+13·33x=08^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0.

    Решение

    8x-13·4x3x-2x9x+13·33x=08^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow

    23x-13·22x3x-2x32x+13·33x=0\Leftrightarrow 2^{3x}-13\cdot 2^{2x}3^{x}-2^{x}3^{2x}+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow

    23x(1-13·(32)x-(32)2x+13(32)3x)=0 \Leftrightarrow 2^{3x}(1-13\cdot (\dfrac{3}{2})^{x}-(\dfrac{3}{2})^{2x}+13(\dfrac{3}{2})^{3x})=0 .


    (*)


    Пусть (32)x=t>0(\dfrac{3}{2})^x=t>0, тогда уравнение примет вид 1-13t-t2+13t3=01-13t-t^2+13t^3=0.

    1-13t-t2+13t3=0(1-t2)(1-13t)=01-13t-t^2+13t^3=0 \Leftrightarrow (1-t^2)(1-13t)=0 \Leftrightarrow

    t=±1;113x=0;-log3213\Leftrightarrow t=\pm1;\dfrac{1}{13} \Rightarrow x=0;-\textrm{log}_{\dfrac{3}{2}}{13}.

    ОТВЕТ

    0,-log32130, -\textrm{log}_{\dfrac{3}{2}}{13}.

    Пример 3

    Решить уравнение 500·8x=8·51x500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\dfrac{1}{x}}.

    Решение

    500·8x=8·51x532223x=2351x23x-1=51x-3(3x-1)log52=1x-3500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 5^32^22^{3x} = 2^35^{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 2^{3x-1} = 5^{\dfrac{1}{x}-3} \Leftrightarrow(3x-1)\textrm{log}_5{2}=\dfrac{1}{x}-3 \Leftrightarrow

    x=log52-3±(log52+3)6log52x=13,x=-log25.\Leftrightarrow x=\dfrac{{\text{log}}_52-3\pm({\text{log}}_52+3)}{6{\text{log}}_52}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac13,\\x=-\log_25.\end{array}\right.


    ОТВЕТ

    13\dfrac{1}{3}, -log25-\textrm{log}_2{5}.

    Пример 4.(МГУ, 1997)

    Решить уравнение 12x+13x=5\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{3^x}=5.

    Решение

    Это уравнение удаётся решить, используя то, что левая часть уравнения является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что x=-1x=-1.

    ОТВЕТ

    x=-1x=-1.

    Пример 5

    При каких действительных pp уравнение 4x+2x+2+7=p-4-x-2·21-x4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет решение?

    Решение

    4x+4·2x+7+42x+14x-p=042x+4·4x·2x+(7-p)·4x+4·2x+1=04^x+4\cdot 2^x+7+\dfrac{4}{2^x} +\dfrac{1}{4^x} - p = 0 \Leftrightarrow 4^{2x}+4\cdot 4^x\cdot 2^x+(7-p)\cdot 4^x +4\cdot 2^x + 1 = 0.

    Пусть t=2x>0t=2^x>0. Тогда уравнение примет вид

    t4+4t3+(7-p)t2+4t+1=t2(t2+4t+(7-p)+4t+1t2)=0t^4+4t^3+(7-p)t^2+4t+1=t^2(t^2+4t+(7-p)+\dfrac{4}{t}+\dfrac{1}{t^2})=0.

    Это возвратное уравнение. Оно решается заменой переменных y=t+1ty = t+\dfrac{1}{t}, причем

    y=t2+1t=(t-1)2+2tt=2+(t-1)2t2y=\dfrac{t^2+1}{t}= \dfrac{(t-1)^2+2t}{t} = 2+\dfrac{(t-1)^2}{t} \geq 2

    для любого t>0t>0. Уравнение принимает вид

    (t2+2+1t2)+4(t+1t)+(5-p)=y2+4y+(5-p)=0(t^2+2+\dfrac{1}{t^2})+4(t+\dfrac{1}{t})+(5-p) = y^2+4y +(5-p)=0.

    Так как вершина параболы z=y2+4y+(5-p)z=y^2+4y+(5-p) расположена слева от оси zz и ветви направлены вверх, то корень y02y_0 \geq 2 существует тогда и только тогда, когда

    z(2)04+8+5-p0p17z(2)\leq 0 \Leftrightarrow 4+8+5-p \leq 0 \Leftrightarrow p\geq 17.

    ОТВЕТ

    [17;+)[17; +\infty).



  • §4. Логарифмические уравнения

    Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(например, возведение в квадрат), и потеря или приобретение корней в промежуточных выкладках уже не связано с ОДЗ логарифмов. Поэтому при решении простых логарифмических уравнений лучше пользоваться равносильными преобразованиями. В противном случае надо записать ОДЗ уравнения, но не надо находить его (решить все неравенства, связанные с ОДЗ, бывает намного труднее, чем решить само уравнение, а иногда и просто невозможно). После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку. Если корень не принадлежит ОДЗ, то он не может быть решением. Если же корень принадлежит ОДЗ, то надо подставить его в уравнение. 

    Основными типами логарифмических уравнений являются следующие уравнения. Для любых a>0a>0, a1a\neq 1

    (УР Л1) 

    1. $$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x), \\ g(x)>0. \end{cases}$$ 

    Из двух систем удобно выбирать ту, которая проще.

    2. g(logaf(x))=0g(\textrm{log}_a{f(x)})=0.

    Пример 6

    Решить уравнение log3x+log3(x+1)=1\textrm{log}_3{x} + \textrm{log}_3{(x+1)} = 1.

    Решение

    $$ \textrm{log}_3{x}+\textrm{log}_3{(x+1)} = 1 \Leftrightarrow \begin{cases} x>0, \\ \textrm{log}_3{x(x+1)} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0, \\ x^2+x=3. \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}. $$

    ОТВЕТ

    13-12\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}.

    Пример 7

    Решить уравнение log0.5(log41x)+log4(log2(16x2))=0 \textrm{log}_{0.5}{(\textrm{log}_4{\dfrac{1}{x}})}+\textrm{log}_4{(\textrm{log}_2{(16x^2)})} = 0.

    Решение

    log0.5(log41x)+log4(log2(16x2))=0-log2-log2x2+log2(4+2log2x)2=0 \textrm{log}_{0.5}{(\textrm{log}_4{\dfrac{1}{x}})} + \textrm{log}_4{(\textrm{log}_2{(16x^2)})}=0 \Leftrightarrow -\textrm{log}_2{\left(-\dfrac{\textrm{log}_2{x}}{2}\right)} + \dfrac{\textrm{log}_2{(4+2\textrm{log}_2{x}})}{2} = 0 \Leftrightarrow

    log2x<0,4+2log2x=14log22xlog2x=4±42\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\log_2x<0,\\4+2\log_2x=\dfrac14\log_2^2x\Leftrightarrow\log_2x=4\pm4\sqrt2\end{array}\right.\Leftrightarrow

    log2x=4-42x=24-42\Leftrightarrow{\text{log}}_2x=4-4\sqrt2\Leftrightarrow x=2^{4-4\sqrt2}

    ОТВЕТ

    24-422^{4-4\sqrt{2}}.

    Пример 8.

    Решите уравнение xlog74+5·2log7x-4=0x^{\textrm{log}_7{4}}+5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}}-4=0.

    Решение

    xlog74+5·2log7x-4=0(2log2x)log74+5·2log7x-4=022log7x+5·2log7x-4=0x^{\textrm{log}_7{4}}+5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}}-4=0 \Leftrightarrow (2^{\textrm{log}_2{x}})^{\textrm{log}_7{4}}+5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}} - 4 =0 \Leftrightarrow 2^{2\textrm{log}_7{x}} +5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}} -4=0

    (2log7x)2+5·2log7x-4=02log7x=-5+412log7x=log2(41-52)\Leftrightarrow (2^{\textrm{log}_7{x}})^2 +5\cdot 2^{\textrm{log}_7{x}} -4=0 \Leftrightarrow 2^{\textrm{log}_7{x}} = \dfrac{-5+\sqrt{41}}{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_7{x}=\textrm{log}_2{(\dfrac{\sqrt{41}-5}{2})} \Leftrightarrow

    x=7log241-52\Leftrightarrow x = 7^{\textrm{log}_2{\frac{\sqrt{41}-5}{2}}}.

    ОТВЕТ

    7log241-527^{\textrm{log}_2{\frac{\sqrt{41}-5}{2}}}.

    Особняком стоят уравнения и неравенства, которые нельзя отнести ни к показательным, ни к логарифмическим. Они содержат функции вида loga(x)f(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} и (a(x))f(x)(a(x))^{f(x)}.

  • §5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$

    Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?

    По определению, полагают, для любого c>0c>0, c1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0

      

    a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} = c^{b(x) \textrm{log}_c{a(x)} } (01)

    Рассмотрим уравнение a(x)f(x)=a(x)g(x)a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} .

    ОДЗ: a(x)>0a(x)>0.

    aa(xx)=f(x)10f(x)lga(x)^{f(x)} = 10^{f(x) \textrm{lg}{a(x)} } , aa(xx)=g(x)10g(x)lga(x)^{g(x)} = 10^{g(x) \textrm{lg}{a(x)} } , тогда

    10f(x)lga(x)=10g(x)lga(x)f(x)lga(x)=g(x)lga(x)(lga(x))(f(x)-g(x))=010^{f(x) \textrm{lg}{a(x)} } = 10^{g(x) \textrm{lg}{a(x)} } \Leftrightarrow f(x) \textrm{lg}{a(x)} = g(x)\text{lg}{a(x)}\Leftrightarrow(\text{lg}{\:a(x)})(f(x)-g(x))=0\Leftrightarrow

    lgax=0,fx=gxax=1,fx=gx.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}lga\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a\left(x\right)=1,\\f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}\right.

    Следовательно,

    (УР П3)

    axfx=axgxax=1,fx=gx.a\left(x\right)^{f\left(x\right)}=a\left(x\right)^{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a\left(x\right)=1,\\f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}\right. в ОДЗ

    или

    (УР П3*)

    axfx=axgxax=1,ax>0,fx=gx.a\left(x\right)^{f\left(x\right)}=a\left(x\right)^{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a\left(x\right)=1,\\\left\{\begin{array}{l}a\left(x\right)>0,\\f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.

    Замечание

    Мы не решаем уравнение (-2)x=-8(-2)^x=-8, потому что (-2)3(-2)124(-2)^3 \neq (-2)^{\dfrac{12}{4}}, где левая часть существует, а правая часть не определена (в уравнении нет ограничений для xx, и оно может принимать рациональные значения!). Однако, мы решаем уравнение (-2)n=-8(-2)^n=-8, где заранее задано, что число nn - целое (операции возведения в рациональную степень в натуральную степень разные! Вспомним, кстати, что -83(-8)13\sqrt[3]{-8} \neq (-8)^{\dfrac{1}{3}}, т.к левая часть существует, а правая - нет).

    Пример 9

    Решите уравнение xx2=x-2-3xx^{x^2} = x^{-2-3x}.

    Решение

    ОДЗ: x>0x>0.

    В ОДЗ xx2=x-2-3x10x2lgx=10(-2-3x)lgxlgx·(x2+3x+2)=0x^{x^2} = x^{-2-3x} \Leftrightarrow 10^{x^2 \textrm{lg}{x}} = 10^{(-2-3x)\textrm{lg}{x}} \Leftrightarrow \textrm{lg}{x}\cdot (x^2+3x+2) = 0 \Leftrightarrow

    lgx·(x+2)(x+1)=0x=1 \Leftrightarrow \textrm{lg}{x} \cdot (x+2)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x=1.

    Корни `-1`, `-2` не входят в ОДЗ. Это, несмотря на то, то (-1)1=(-1)1(-1)^1=(-1)^1, (-2)4=(-2)4(-2)^4=(-2)^4.

    ОТВЕТ

    `{1}`.

    Пример 10(МГу)

    При каких значениях параметра aa уравнение

    (x2-3ax+8+x2-3ax+6)x+(x2-3ax+8-x2-3ax+6)x=22x (\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x +(\sqrt{x^2-3ax+8} - \sqrt{x^2-3ax+6})^x = 2\sqrt{2}^x 

    имеет единственное решение?

    Решение

    Сначала упростим левую часть уравнения. Замечаем, что

    (x2-3ax+8-x2-3ax+6)x=2x(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x ( \sqrt{x^2-3ax+8} - \sqrt{x^2-3ax+6} )^x = \dfrac{2^x}{(\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x} .

    Пусть t= (x2-3ax+8+x2-3ax+6)xt = (\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x, тогда уравнение примет вид:

    t+2xt=2·2x2t2-2·2x2·t+2x=(t-2x2)2=0t=2x2t+\dfrac{2^x}{t} = 2\cdot 2^{\dfrac{x}{2}} \Leftrightarrow t^2 - 2\cdot 2^{\frac{x}{2}}\cdot t+ 2^x = (t-2^{\frac{x}{2}})^2 = 0 \Leftrightarrow t = 2^{\frac{x}{2}} \Rightarrow  

     (x2-3ax+8+x2-3ax+6)x=2x2 \Rightarrow (\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})^x=2^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow  В силу (Ур П3),

    xlg(x2-3ax+8+x2-3ax+6)=xlg2 \Leftrightarrow x \textrm{lg}{(\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6})} = x \textrm{lg}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow

    x=0,x2-3ax+8+x2-3ax+6=2.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,\\\sqrt{x^2-3ax+8}+\sqrt{x^2-3ax+6}=\sqrt2.\end{array}\right.   (*)

      

    Мы видим, что при любом значении параметра aa есть решение x=0x=0, поэтому для единственности решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы второе уравнение совокупности не имело решений.

    ОДЗ (*): x2-3ax+60x^2 -3ax +6 \geq 0.

    Если x2-3ax+6>0x^2-3ax+6>0, то x2-3ax+8+x2-3ax+6>2\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6} > \sqrt{2}

    Если x2-3ax+6=0x^2-3ax+6=0, то x2-3ax+8+x2-3ax+6=2\sqrt{x^2-3ax+8} + \sqrt{x^2-3ax+6} = \sqrt{2}.

    Заданное уравнение имеет единственное решение (x=0x=0 является решением данного уравнения при любом aa!), если уравнение x2-3ax+6=0x^2-3ax+6=0 не имеет решений, что имеет место тогда и только тогда, когда 9a2-24<0a(-263;263)9a^2-24<0 \Leftrightarrow a \in (-\dfrac{2\sqrt{6}}{3}; \dfrac{2\sqrt{6}}{3}).

    ОТВЕТ

    (-263;263)(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3}; \dfrac{2\sqrt{6}}{3}).

  • §6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$

    Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.

    По определению, для любого c>0c>0, c1c \neq 1

    loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)}} (02)

    То есть y(x)y(x) - это частное двух логарифмов, и областью определения(ОДЗ) является множество XX, на котором f(x)>0,a(x)>0,a(x)1¯\underline{f(x)>0,\: a(x)>0, \: a(x) \neq 1}.

    Рассмотрим уравнение loga(x)f(x)=loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}.

    ОДЗ: a(x)>0a(x)>0, a(x)1a(x)\neq 1, f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0.

    Воспользуемся определением (02) и получим в ОДЗ

    loga(x)f(x)=loga(x)g(x)lgf(x)lga(x)=lgg(x)lga(x)lgf(x)=lgg(x){\text{log}}_{a(x)}{f(x)}={\text{log}}_{a(x)}{g(x)}\Leftrightarrow\dfrac{\text{lg}{f(x)}}{\text{lg}{\:a(x)}}=\dfrac{\text{lg}{g(x)}}{\text{lg}{\:a(x)}}\Leftrightarrow\text{lg}{f(x)}=\text{lg}{g(x)}\text{⇔}

    f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x).

    (УР Л3)

    loga(x)f(x)=loga(x)g(x)f(x)=g(x){\text{log}}_{a(x)}{f(x)}={\text{log}}_{a(x)}{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x) в ОДЗ.

    Можно написать полное условие равносильности

    (УРЛ3*)

    logaxfx=logaxgxfx=gx,ax>0,ax1,fx>0.fx=gx,ax>0,ax1,gx>0.\log_{a\left(x\right)}f\left(x\right)=\log_{a\left(x\right)}g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right),\\a\left(x\right)>0,\\a\left(x\right)\neq1,\\f\left(x\right)>0.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right),\\a\left(x\right)>0,\\a\left(x\right)\neq1,\\g\left(x\right)>0.\end{array}\right.    

    Пример 11(МФТИ, 1981)

    Решить уравнение 2logx(4+x)=2-logx22\textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 2- \textrm{log}_{\sqrt{x}}{2}.

    Решение

    2logx(4+x)=2-logx2logx(4+x)=1-logx2logx(4+x)=logxx22\textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 2- \textrm{log}_{\sqrt{x}}{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = 1 - \textrm{log}_x{2} \Leftrightarrow \textrm{log}_x{(4+\sqrt{x})} = \textrm{log}_x{\frac{x}{2}}

    $$ \Leftrightarrow \begin{cases} 4+\sqrt{x} = \dfrac{x}{2} ,\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-8=0 , \\ x>0, \\ x\neq 1 . \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{x}=4 \Leftrightarrow x=16$$.

    ОТВЕТ

    x=16x = 16.

    Метод интервалов для логарифмических и показательных неравенств.

    В курсе математического анализа для 10-го класса доказывается теорема:

    Теорема

    Если f(x)f(x) непрерывна на отрезке [a;b][a;b] и не обращается в `0` на открытом промежутке (a;b)(a;b), то f(x)f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка [a;b][a;b].

    Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули f(x)f(x) и определить знаки f(x)f(x) на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в пробных точках.

  • §7. Показательные неравенства

    Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.

    Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)} применим метод интервалов. Его решение зависит от того, a>1a>1 или a<1a<1.

    1) Если a>1a>1, то f(x)>g(x)f(x)>g(x) и (a-1)(f(x)-g(x))>0(a-1)(f(x)-g(x))>0.

    2) Если 0<a<10<a<1, то f(x)<g(x)f(x)<g(x) и опять (a-1)(f(x)-g(x))>0(a-1)(f(x)-g(x))>0.

    Верно и обратное: 

    1. Если (a-1)(f(x)-g(x))>0(a-1)(f(x)-g(x))>0, то при a>1a>1 имеем f(x)>g(x)f(x)>g(x) и af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.

    2. Если 0<a<10<a<1, то f(x)<g(x)f(x)<g(x) и опять af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}

    Таким образом, мы вывели условие равносильности.

    (УР П1)

    af(x)>ag(x)(a-1)(f(x)-g(x))>0a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow(a-1)(f(x)-g(x))>0

    При рассмотрении неравенства af(x)<ag(x)a^{f(x)}<a^{g(x)} в полученном условии меняется знак неравенства в (УР П1), и мы видим, что

    (УР П2)

    знак разности af(x)-ag(x)a^{f(x)} - a^{g(x)} совпадает

    со знаком произведения (a-1)(f(x)-g(x))(a-1)(f(x)-g(x)).   

    Пример 12(МГУ)

    Решить неравенство 3·42-x+3<10·22-x3\cdot 4^{\sqrt{2-x}}+3<10\cdot 2^{\sqrt{2-x}}.

    Решение

    3·222-x-10·22-x+3<0(22-x-3)(22-x-13)<03\cdot 2^{2\sqrt{2-x}}-10\cdot 2^{\sqrt{2-x}} +3<0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{2-x}}-3)(2^{\sqrt{2-x}}-\dfrac{1}{3}) < 0 \Leftrightarrow

    22-x-3<022-x<302-x<log2302-x<log223 \Leftrightarrow 2^{\sqrt{2-x}}-3<0 \Leftrightarrow 2^{\sqrt{2-x}}<3 \Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{2-x} < \textrm{log}_2{3} \Leftrightarrow 0 \leq 2-x < \textrm{log}^2_2{3} \Leftrightarrow

    2-log223<x2 \Leftrightarrow 2-\textrm{log}^2_2{3} < x \leq 2 .

    ОТВЕТ

    (2-log223;2] (2-\textrm{log}^2_2{3};2].

    Пример 13(МГУ, 1999)

    Решить неравенство 3(x+3)2+193x2-2+272x+33^{(x+3)^2}+\dfrac{1}{9} \leq 3^{x^2-2} + 27^{2x+3}.

    Решение

    3(x+3)2+193x2-2+272x+33x2+6x+9+3-23x2-2+36x+93^{(x+3)^2}+\dfrac{1}{9} \leq 3^{x^2-2} + 27^{2x+3} \Leftrightarrow 3^{x^2+6x+9}+3^{-2} \leq 3^{x^2-2}+3^{6x+9} \Leftrightarrow

    3x2(36x+9-3-2)-(36x+9-3-2)0(3x2-30)(36x+9-3-2)0 \Leftrightarrow 3^{x^2}(3^{6x+9}-3^{-2})-(3^{6x+9}-3^{-2})\leq 0 \Leftrightarrow (3^{x^2}-3^0)(3^{6x+9}-3^{-2}) \leq 0 \Leftrightarrow

    \Leftrightarrow В силу (УР П2) x2(6x+9+2)0x=0,x-116.x^2(6x+9+2)\leq0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,\\x\leq-\dfrac{11}6.\end{array}\right.


    ОТВЕТ

    (-;-116]0(-\infty;-\dfrac{11}6\rbrack\cup\left\{0\right\}.

    Пример 14

    Решить неравенство x2+x-2(3x-1)(2x2-16)0\dfrac{x^2+x-2}{(3^x-1)(2^{x^2}-16)} \geq 0.

    Решение

    x2+x-2(3x-1)(2x2-16)0\dfrac{x^2+x-2}{(3^x-1)(2^{x^2}-16)} \geq 0 \Leftrightarrow

    В силу (УР П2)$$\:\: \frac{(x+2)(x-1)}{(x-0)(x^2-4)} \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -2, \\ \dfrac{x-1}{x(x-2)} \geq 0. \end{cases} \Leftrightarrow $$

    x(0;1](2;+) \Leftrightarrow x \in (0;1]\bigcup (2;+\infty).

    ОТВЕТ

    (0;1](2;+)(0;1]\bigcup (2;+\infty).

    Пример 15(МГУ,2000)

    Решить неравенство 2x2·3x<62^{x^2}\cdot 3^x <6.

    Решение

    2x2·3x<62x2·2xlog23<2log262x2+xlog23<2log262^{x^2}\cdot3^x<6\Leftrightarrow2^{x^2}\cdot2^{x{\text{log}}_23}<2^{{\text{log}}_26}\Leftrightarrow2^{x^2+x{\text{log}}_23}<2^{{\text{log}}_26}\Leftrightarrow

    x2+xlog23-log26<0(x-1)(x+log26)<0-log26<x<1 \Leftrightarrow x^2+x\textrm{log}_2{3}-\textrm{log}_2{6}<0 \Leftrightarrow (x-1)(x+\textrm{log}_2{6}) < 0 \Leftrightarrow -\textrm{log}_2{6}<x<1.

    ОТВЕТ

    (-log26;1)(-\textrm{log}_2{6};1).

    Пример 16

    Решить неравенство (3x2-3)(2-x-23)(4x-4x2+2x-2)(x2-5x+6)>0\dfrac{(3^{x^2}-3)(2^{-x} - 2^3)(4^x-4^{x^2+2x-2})}{(x^2-5x+6)} > 0.

    Решение

    (3x2-3)(2-x-23)(4x-4x2+2x-2)(x2-5x+6)>0\dfrac{(3^{x^2}-3)(2^{-x} - 2^3)(4^x-4^{x^2+2x-2})}{(x^2-5x+6)} > 0 \Leftrightarrow В силу (УР П2)

    (x2-1)(-x-3)(x-x2-2x+2)(x-2)(x-3)>0\frac{(x^2-1)(-x-3)(x-x^2-2x+2)}{(x-2)(x-3)}>0\Leftrightarrow

    (x-1)2(x+1)(x+3)(x+2)(x-2)(x-3)>0 \Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^2(x+1)(x+3)(x+2)}{(x-2)(x-3)} >0

    С рисунка снимаем 

    ОТВЕТ

    (-3;-2)(-1;1)(1;2)(3;+)(-3;-2)\bigcup (-1;1) \bigcup (1;2)\bigcup (3; +\infty).

    Пример 17(МГУ, 1973)

    Найти все значения параметра aa, для каждого из которых неравенство 4x-a·2x-a+304^x-a\cdot 2^x -a+3 \leq 0 имеет хотя бы одно решение.

    Решение

    Пусть 2x=t>02^x=t>0, тогда неравенство принимает вид t2-at-a+30t^2-at-a+3 \leq 0. Прежде всего, неравенство имеет решение, если дискриминант неотрицателен, т. е

    D=a2+4a-12=(a+6)(a-2)0a(-;-6)[2;+)D = a^2+4a-12 = (a+6)(a-2) \geq 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty; -6)\bigcup [2;+\infty).

    При этом, t2-at-a+30t[a-D2=t1;a+D2=t2]t^2-at-a+3 \leq 0 \Leftrightarrow t \in [\dfrac{a-\sqrt{D}}{2}=t_1; \dfrac{a+\sqrt{D}}{2}=t_2].

    Теперь задача состоит в том, чтобы найти все aa, при которых неравенство верно хотя бы при одном положительном значении tt. Для этого необходимо и достаточно,чтобы больший хорень был положительным, т. е

    t2=a+a2+4a-122>0t_2 = \dfrac{a+\sqrt{a^2+4a-12}}{2} > 0 \Leftrightarrow

    a>0,a2+4a-120,a2;a0,a2+4a-12-a2>0,;a2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>0,\\a^2+4a-12\geq0,\end{array}\right.\Leftrightarrow a\geq2;\\\left\{\begin{array}{l}a\leq0,\\a^2+4a-12-a^2>0,\end{array}\right.\Leftrightarrow\varnothing;\end{array}\right.\Leftrightarrow a\geq2\Rightarrow

    ОТВЕТ

    [2;+)[2;+\infty).


  • §8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$

    Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допустимое число). Неравенство принимает вид ef(x)lna(x)>eg(x)lna(x)e^{f(x) \textrm{ln}{a(x)} }>e^{g(x) \textrm{ln}{a(x)} }. Используя условие равносильности (УР П1), получим равносильное неравенство в ОДЗ

    (e-1)(f(x)lna(x)-g(x)lna(x))=(e-1)(f(x)-g(x))lna(x)>0(e-1)(f(x)\textrm{ln}{a(x)}-g(x)\textrm{ln}{a(x)})=(e-1)(f(x)-g(x))\textrm{ln}{a(x)}>0. а, используя (УР Л3), найдём окончательное равносильное неравенство (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0(a(x)-1)(f(x)-g(x))>0.

    Итак, мы вывели еще одно условие равносильности

    (УР П5)

    a(x)f(x)>a(x)g(x)     (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0 a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)} \Leftrightarrow         (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0

    Или полное условие равносильности для неравенства

    (УР П5*)

    $$ a(x)^{f(x)} > a(x)^{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0 \end{cases}  \:\:\:$$ 


    Поэтому

    (УР П6)

    знак разности a(x)f(x)-a(x)g(x)a(x)^{f(x)}-a(x)^{g(x)} совпадает

    со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x))(a(x)-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ.

    Преимущество (УР П6) состоит в том, что, если a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - рациональные функции, можно за ОДИН ШАГ перейти от показательного неравенства к классическому варианту метода интервалов.

    Пример 18

    Решить неравенство (56-x-x2)x3-2x2(56-x-x2)2x2+5x(56-x-x^2)^{x^3-2x^2} \geq (56-x-x^2)^{2x^2+5x}

    Решение

    ОДЗ: 56-x-x2>0x2+x-56<0x(-8;7) 56-x-x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2+x-56 < 0 \Leftrightarrow x \in (-8;7).

    В ОДЗ, в силу (УЗ П6),

    (56-x-x2)x3-2x2(56-x-x2)2x2+5x(56-x-x^2)^{x^3-2x^2} \geq (56-x-x^2)^{2x^2+5x} \Leftrightarrow

    (55-x-x2)(x3-2x2-2x2-5x)0 \Leftrightarrow (55-x-x^2)(x^3-2x^2-2x^2-5x) \geq 0 \Leftrightarrow

    (x--1-2212)(x--1+2212)x(x-5)(x+1)0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{-1-\sqrt{221}}{2})(x-\dfrac{-1+\sqrt{221}}{2})x(x-5)(x+1) \leq 0 \Rightarrow

    ОТВЕТ

    (-8;-1-2212][-1;0][5;-1+2212](-8;\dfrac{-1-\sqrt{221}}{2}]\bigcup[-1;0]\bigcup[5;\dfrac{-1+\sqrt{221}}{2}].


  • §9. Логарифмические неравенства

    Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства значения f(x)f(x) в "пробных" точках придется сравнивать с единицей. Если "пробные" точки не очень удобные, то вычисления могут оказаться довольно громоздкими. Поэтому с самого начала учтём это.

    Рассмотрим неравенство logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)} >0(<0) , где aa - заданное положительное число, a1a\neq 1. ОДЗ: f(x)>0f(x)>0. Покажем, что имеет место условие равносильности 

    (УР Л4)

    logaf(x)>0(<0)(a-1)(f(x)-1)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow (a-1)(f(x)-1)>0(<0) в ОДЗ 

    Действительно,

    1. Если a>1a>1, то logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0) тогда и только тогда, когда f(x)>1(<1)f(x)>1(<1), т. е (a-1)(f(x)-1)>0(<0)(a-1)(f(x)-1)>0(<0).

    2. Если 0<a<10<a<1, то logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0) тогда и только тогда, когда f(x)<1(>1)f(x)<1(>1), т. е опять (a-1)(f(x)-1)<0(>0)(a-1)(f(x)-1)<0(>0).

    И наоборот, если (a-1)(f(x)-1)>0(<0)(a-1)(f(x)-1)>0(<0), то 

    1. При a>1a>1 имеем f(x)>1(<1)f(x)>1(<1), а тогда logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0).

    2. При 0<a<10<a<1 имеем f(x)<1(>1)f(x)<1(>1), а тогда logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0).

    Отсюда следует:

    (УР Л5)

    знак logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-1)(a-1)(f(x)-1) в ОДЗ. 

    Можно записать полное условие равносильности, включающее в ОДЗ:          

    (УР Л5*)

    $$ \textrm{log}_a{f(x)} >0(<0) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0. \\ (a-1)(f(x)-1)>0(<0). \end{cases}  $$   

    Рассмотрим неравенство logaf(x)>logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}>\textrm{log}_a{g(x)}, где a>0a>0, a1a \neq 1. ОДЗ: $$ \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)>0. \end{cases} $$.

    Аналогично доказывается, что верно и такое условие равносильности

    (УР Л6)

    logaf(x)>logag(x) (a-1)(f(x)-g(x))>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>\textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow  (a-1)(f(x)-g(x))>0(<0)  В ОДЗ

    А также полное условие равносильности

    (УР Л6*)

    $$  \textrm{log}_a{f(x)}>(<)\textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ (a-1)(f(x)-g(x))>0(<0) . \end{cases} $$ 

    Отсюда следует что

    (УР Л7)

    знак разности logaf(x)-logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}-\textrm{log}_a{g(x)} совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-g(x))(a-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ. 

    При решении простейших логарифмических неравенств, конечно, можно не использовать (УР Л4) и (УР Л6). Однако, (УР Л4) и (УР Л6) дают возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений.

    Пример 19

    Решить неравенство lg(3x2-3x+7)-lg(6+x-x2)(10x-7)(10x-3)0\dfrac{\textrm{lg}{(3x^2-3x+7)} -\textrm{lg}{(6+x-x^2)} }{(10x-7)(10x-3)} \geq 0 .

    Решение

    ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x^2-3x+7>0 \Leftrightarrow x \in R, \\ -x^2+x+6>0 \Leftrightarrow x \in (-2;3). \end{cases} \Leftrightarrow x \in (-2;3) $$

    lg(3x2-3x+7)-lg(-x2+x+6)(10x-7)(10x-3)0\frac{\text{lg}{(3x^2-3x+7)}-\text{lg}{(-x^2+x+6)}}{(10x-7)(10x-3)}\geq0\Leftrightarrow В ОДЗ, в силу (УР Л7),

    3x2-3x+7+x2-x-6(x-710)(x-310)=(2x-1)2(x-710)(x-310) \dfrac{3x^2-3x+7 +x^2-x-6}{(x-\frac{7}{10})(x-\frac{3}{10})} = \dfrac{(2x-1)^2}{(x-\frac{7}{10})(x-\frac{3}{10})} \Leftrightarrow

    x(-;310){12}(710;+)x(-;310){12}(710;3) x \in (-\infty;\frac{3}{10})\bigcup \{ \dfrac{1}{2}\} \bigcup (\dfrac{7}{10};+\infty) \Rightarrow x \in (-\infty;\dfrac{3}{10})\bigcup \{ \dfrac{1}{2}\} \bigcup (\dfrac{7}{10};3) \Rightarrow

    ОТВЕТ

    x(-2;310){12}(710;3)x\in (-2;\dfrac{3}{10})\bigcup\{\dfrac{1}{2}\}\bigcup(\dfrac{7}{10};3).

    В этом примере разность логарифмов не меняет знак при переходе через точку x=12x=\dfrac{1}{2}, а следующие нули находятся близко. "Пробные" точки подставлять затруднительно.

    Пример 20(МГУ,1998)

    Решить неравенство

    log2(x+112+x2+1)·log3(-2x-x2)log3(|x|3+32)·log2(-2x-x2)\textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}}+\dfrac{x}{2}+1)}\cdot \textrm{log}_3{(-2x-x^2)} \geq \textrm{log}_3{(\dfrac{|x|}{3} + \dfrac{3}{2})}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)}.

    Решение

    ОДЗ: $$ \begin{cases} x+5,5 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq -5,5, \\ \sqrt{x+5,5}+\dfrac{x+2}{2} > 0, \\ -2x-x^2>0 \Leftrightarrow x(x+2) < 0 \Leftrightarrow x \in (-2;0) . \end{cases} \Leftrightarrow x\in (-2;0)$$.

    log2(x+112+x2+1)·log3(-2x-x2)log3(|x|2+32)·log2(-2x-x2) \textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}}+\dfrac{x}{2}+1)}\cdot \textrm{log}_3{(-2x-x^2)} \geq \textrm{log}_3{(\dfrac{|x|}{2} + \dfrac{3}{2})}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)} \Leftrightarrow 

    log2(x+112+x2+1)·log2(-2x-x2)log2(|x|2+32)·log2(-2x-x2) \Leftrightarrow \textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}}+\dfrac{x}{2}+1)}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)} \geq \textrm{log}_2{(\dfrac{|x|}{2} + \dfrac{3}{2})}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)} \Leftrightarrow

    log2(-2x-x2)·(log2(x+112+x2+1)-log2(|x|2+32))0\Leftrightarrow \textrm{log}_2{(-2x-x^2)}\cdot (\textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}} + \dfrac{x}{2} + 1)} -\textrm{log}_2{(\dfrac{|x|}{2} +\dfrac{3}{2} )}) \geq 0 \Leftrightarrow

    В ОДЗ, в силу (УР Л5) и (УР Л7),

    (-2x-x2-1)(x+112+x2+1-|x|2-32)0\Leftrightarrow(-2x-x^2-1)(\sqrt{x+\dfrac{11}2}+\dfrac x2+1-\dfrac{\vert x\vert}2-\dfrac32)\geq0\Leftrightarrow 

    (x+1)2(x+112+x-12)0 (x=-x в ОДЗ)\Leftrightarrow(x+1)^2(\sqrt{x+\dfrac{11}2}+x-\dfrac12)\leq0\;(\left|x\right|=-x\;\mathrm в\;\mathrm{ОДЗ})\Leftrightarrow

    (x+1)2(x+112-(12-x))0 \Leftrightarrow (x+1)^2(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}} - (\dfrac{1}{2}-x) ) \leq 0 \Leftrightarrow  Т. к.  (12-x)>0(\dfrac{1}{2}-x)>0 в ОДЗ

    (x+1)2(x+112-(12-x)2)0(x+1)2(-x2+2x+214)0 \Leftrightarrow (x+1)^2(x+\dfrac{11}{2} - (\dfrac{1}{2}-x)^2 ) \leq 0 \Leftrightarrow (x+1)^2(-x^2+2x+\dfrac{21}{4})\leq 0  \Leftrightarrow

    (x+1)2(x-72)(x+32)0x(-;-32][72;+){-1} \Leftrightarrow (x+1)^2(x-\dfrac{7}{2})(x+\dfrac{3}{2}) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\dfrac{3}{2} ] \bigcup [\dfrac{7}{2}; +\infty) \bigcup \{ -1 \} ОДЗ. Учитываем ОДЗ:

    Получаем

    ОТВЕТ 

    (-2;-32]{-1}(-2; -\dfrac{3}{2}] \bigcup \{-1\}.

    Пример 21(МФТИ,1992)

    Решить неравенство 1x·log7(92-2·7-x)>1\dfrac{1}{x}\cdot \textrm{log}_7{(\dfrac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} >1.

    Решение

    ОДЗ: 92-2·7-x>092·7x-2>0x>log749\dfrac{9}{2} - 2\cdot 7^{-x} >0 \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \cdot 7^x -2 >0 \Leftrightarrow x>\textrm{log}_7{\dfrac{4}{9}} .

    Тогда в ОДЗ

    1x·log7(92-2·7-x)>1 1x·log7(92-2·7-x)>xx \dfrac{1}{x}\cdot \textrm{log}_7{(\dfrac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} >1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\cdot \textrm{log}_7{(\dfrac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} > \dfrac{x}{x} \Leftrightarrow 

    log7(92-2·7-x)-xx=log7(92-2·7-x)-log77xx>0   \Leftrightarrow \dfrac{\textrm{log}_7{(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} -x}{x}= \dfrac{\textrm{log}_7{(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} -\textrm{log}_7{7^x}}{x} > 0 \Leftrightarrow   

    В ОДЗ, в силу (УР Л7),

    92-2·7-x-7xx>072x-92·7x+2x<0(7x-4)(7x-12)x<0 \Leftrightarrow \dfrac{\frac{9}{2} - 2\cdot 7^{-x} -7^x}{x} >0 \Leftrightarrow \dfrac{7^{2x}-\frac{9}{2}\cdot 7^x +2 }{x} <0 \Leftrightarrow \dfrac{(7^x-4)(7^x-\frac{1}{2})}{x}<0 \Leftrightarrow

     (7x-7log74)(7x-7log712)x<0 \Leftrightarrow \dfrac{(7^x-7^{\textrm{log}_7{4}})(7^x-7^{\textrm{log}_7{\frac{1}{2}}})}{x}<0

    В силу (УР П2),

    (x-log74)(x-log712)x<0x(-;log712)(0;log74) \dfrac{(x-\textrm{log}_7{4})(x-\textrm{log}_7{\frac{1}{2}})}{x} < 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; \textrm{log}_7{\dfrac{1}{2}})\bigcup(0; \textrm{log}_7{4})

    С учетом ОДЗ,

    x (log749;log712)(0;log74) x \in (\textrm{log}_7{\dfrac{4}{9}}; \textrm{log}_7{\dfrac{1}{2}})\bigcup (0; \textrm{log}_7{4}) .

    ОТВЕТ

    x (log749;log712)(0;log74) x \in (\textrm{log}_7{\dfrac{4}{9}}; \textrm{log}_7{\dfrac{1}{2}})\bigcup (0; \textrm{log}_7{4}) .

     

  • §10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием

    Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.

    ОДЗ:  a(x)>0,a1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.

    Оказывается, что и в этом случае

    (УР Л8)

    Знак функции loga(x)f(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-1)(a(x)-1)(f(x)-1) в ОДЗ        

    и имеет место условие равносильности:

    (УР Л10)

    loga(x)f(x)>0(<0)   (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0) \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow      (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0) в ОДЗ 

    Можно записать полное условие равносильности. вкключающее ОДЗ:

    (УР Л10*)

    $$  \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ f(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0). \end{cases}  $$ 

    Для нестрогого неравенства условие равносильности выглядит по-другому:

    (УР Л11)

    $$  \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}\geq 0(\leq 0) \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ a(x) \neq 1, \\ f(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-1)\geq 0 (\leq 0) .\end{cases} $$

    Действительно, по определению,

    loga(x)f(x)=lgf(x)lga(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \dfrac{\textrm{lg}{\:f(x)}}{\textrm{lg}{\:a(x)}}, `a(x)>0`, `a(x)!=1`, `f(x)>0`. В силу предыдущего условия равносильности (УР Л5), знаки lgf(x),lga(x)\textrm{lg}{f(x)}, \textrm{lg}{a(x)} совпадают со знаками разностей f(x)-1f(x)-1 и a(x)-1a(x)-1 соответственно. Поэтому знак lgf(x)lga(x)\dfrac{\textrm{lg}{\:f(x)}}{\textrm{lg}{\:a(x)}} совпадает со знаком частного f(x)-1a(x)-1\dfrac{f(x)-1}{a(x)-1} или со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-1)(a(x)-1)(f(x)-1).

    Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} > \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции и a(x)>0,a(x)>0,\:\: a(x)1a(x) \neq 1.

    По определению,

    loga(x)f(x)-loga(x)g(x)=lgf(x)-lga(x)lga(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}-\textrm{log}_{a(x)}{g(x)}=\dfrac{\textrm{lg}{f(x)} - \textrm{lg}{a(x)} }{\textrm{lg}{a(x)} } .  И в силу (УР Л5) и (УР Л7)

    (УР Л12)

    знак разности loga(x)f(x)-loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} - \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x))(a(x)-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ.  

    Из полученного условия равносильности следует, что

    (УР Л13)

    loga(x)f(x)>(<)loga(x)g(x)(a(x)-1)(f(x)-g(x))>0(<0)в ОДЗ\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} >(<) \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow (a(x)-1)(f(x)-g(x)) >0(<0) \text{в ОДЗ} \:\:

    Заметим, что из (УР Л12) автоматически следует, что a(x)1a(x) \neq 1, поэтому при решении строгих неравенств условие a(x)1\underline{a(x)\neq1} в ОДЗ можно опустить и так записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

    (УР Л13*)

    $$ \textrm{log}_{a(x)}{f(x)} < \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-g(x))<0. \end{cases}$$   

    Преимущество и красота приведенных условий в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований. Теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

    Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. 

    Пример 22(МфТИ, 1980)

    Решить неравенство logx2-34x+7>0\textrm{log}_{x^2-3}{4x+7}>0.

    Решение

    В силу (УР Л10), logx2-34x+7>0\textrm{log}_{x^2-3}{4x+7}>0 \Leftrightarrow


    $$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x+7>0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{7}{4}, \\ x^2-3>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{3})\bigcup(\sqrt{3};+\infty), \\ (x^2-3-1)(4x+7-1)>0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)(x+\dfrac{3}{2})>0 . \end{cases} \Leftrightarrow $$

    x(-74;-3)(2;+). \Leftrightarrow x \in (-\dfrac{7}{4}; -\sqrt{3})\bigcup(2;+\infty).

    ОТВЕТ

    (-74;-3)(2;+).(-\dfrac{7}{4}; -\sqrt{3})\bigcup(2;+\infty).

    Но, как показывает практика, не всегда удобно пользоваться полными условиями равносильности. Это происходит, если входящие в условия равносильнотси неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства, как мы часто и будем делать. 

    Пример 23(МФТИ,1994)

    Решить неравенство log8(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)(2x+13)23\textrm{log}_8{(\frac{1}{3}-x)}\cdot \log_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\dfrac{1}{3} - x)} > \textrm{log}_2{\dfrac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^2} } } .

    Решение

    ОДЗ: $$ \begin{cases} \frac{1}{3} - x > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; \frac{1}{3}),\\ 2x+\frac{1}{3} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -\frac{1}{6}, \\ 2x+\frac{1}{3} \neq \pm 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pm 3 -1}{6} \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}. \end{cases} \Leftrightarrow$$

    x(-;-23)(-23;16)(-16;13)\Leftrightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(-\frac{2}{3};\frac{1}{6})\bigcup(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3}) .

    log8(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)(2x+13)23 \textrm{log}_8{(\frac{1}{3}-x)}\cdot \log_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3} - x)} > \textrm{log}_2{\dfrac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^2} } } \Leftrightarrow

    13log2(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)-23log2|2x+13| \Leftrightarrow \frac{1}{3} \textrm{log}_2{(\frac{1}{3}-x )}\cdot \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} > \textrm{log}_2{(\frac{1}{3} -x)} - \frac{2}{3} \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|} \Leftrightarrow

    log2|2x+13|·(log|2x+13|2(13-x)-3log|2x+13|(13-x)+2)>0 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}\cdot (\textrm{log}^2_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} - 3\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} +2) > 0 \Leftrightarrow

    (так как t2-3t+2=(t-1)(t-2)t^2-3t+2 = (t-1)(t-2))

     log2|2x+13|(log|2x+13|(13-x)-1)(log|2x+13|(13-x)-2)>0 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}(\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}-1)(\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}-2)>0 \Leftrightarrow

     log2|2x+13|(log|2x+13|(13-x)-log|2x+13||2x+13|)· \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}( \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} - \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{|2x+\frac{1}{3}|}) \cdot

    ·(log|2x+13|(13-x)  -log|2x+13|(2x+13)2)>0 \cdot (\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}   - \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(2x+\frac{1}{3})^2} ) >0 \Leftrightarrow  

    в ОДЗ, в силу (УР Л12):

    (|2x+13|-1)3(13-x-|2x+13|)(13-x-4x2-43x-19)>0 \Leftrightarrow (|2x+\frac{1}{3}| -1)^3(\frac{1}{3} - x - |2x+\frac{1}{3}| )(\frac{1}{3} - x - 4x^2 - \frac{4}{3} x - \frac{1}{9} ) > 0 \Leftrightarrow

    (так как в ОДЗ 13-x>0\dfrac{1}{3}-x > 0

     (|2x+13|-1)(|13-x|-|2x+13|)(36x2+21x-2)<0 \Leftrightarrow (|2x+\frac{1}{3}| -1)(|\frac{1}{3} - x| - |2x+\frac{1}{3}| )(36x^2+21x-2) < 0 \Leftrightarrow

    (2x+13-1)(2x+13+1)(13-x-2x-13)(13-x+2x+13)(x-112)(x+23)<0 \!\!\! (2x+\frac{1}{3}-1)(2x+\frac{1}{3}+1)(\frac{1}{3}-x-2x-\frac{1}{3})(\frac{1}{3}-x+2x+\frac{1}{3})(x-\frac{1}{12})(x+\frac{2}{3})<0

    x(x-13)(x+23)3(x-112)>0x(-;-23)(0;112)(13;+) \Leftrightarrow x(x-\frac{1}{3})(x+\frac{2}{3})^3(x-\frac{1}{12})>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(0;\frac{1}{12})\bigcup(\frac{1}{3};+\infty).

    Учтём ОДЗ

    и получаем

    ОТВЕТ

    x (-;-23)(0;112)x\in  (-\infty; -\dfrac{2}{3})\bigcup(0;\dfrac{1}{12}).

    Пример 24(МФТИ, 1996)

    Решить неравенство log|3x-3|(25x-9x)<log|3x-3|(5x+3x)+ log|3x+3|(5x-1+3x-1)\textrm{log}_{|3x-3|}{(25^x-9^x)}<\textrm{log}_{|3x-3|}{(5^x+3^x)} +  \textrm{log}_{|3x+3|}{(5^{x-1} + 3^{x-1} )}.

    Решение

     log|3x-3|(5x+3x)5x-3x<log|3x-3|(5x+3x)+ log|3x+3|(5x-1+3x-1)\;{\text{log}}_{\vert3x-3\vert}{(5^x+3^x)\left(5^x-3^x\right)}<{\text{log}}_{\vert3x-3\vert}{(5^x+3^x)}+\;{\text{log}}_{\vert3x+3\vert}{(5^{x-1}+3^{x-1})}\Leftrightarrow

    $$ \Leftrightarrow \begin{cases} |3x-3| \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1, \\ 5^x-3^x>0 \Leftrightarrow (\dfrac{5}{3})^x-1>0 \Leftrightarrow x>0, \\ (|3x-3|-1)(5^x-3^x-5^{x-1}-3^{x-1})<0 \Leftrightarrow (|3x-3|-1)(\dfrac{4}{5} 5^x - \dfrac{4}{3} 3^x) < 0. \end{cases} \Leftrightarrow $$

    В силу (УР М5) и (УР П6), 

    $$ \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,  \\ x\neq 1, \\ (3x-4)(3x-2)( (\dfrac{5}{3})^{x-1} - (\dfrac{5}{3})^0 )< 0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{4}{3})(x-\dfrac{2}{3} )(x-1)<0 . \end{cases} $$

    ОТВЕТ

    x(0;23)(1;43) x \in (0; \dfrac{2}{3})\bigcup (1;\dfrac{4}{3}).  

  • §8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$

    Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допустимое число). Неравенство принимает вид ef(x)lna(x)>eg(x)lna(x)e^{f(x) \textrm{ln}{a(x)} }>e^{g(x) \textrm{ln}{a(x)} }. Используя условие равносильности (УР П1), получим равносильное неравенство в ОДЗ

    (e-1)(f(x)lna(x)-g(x)lna(x))=(e-1)(f(x)-g(x))lna(x)>0(e-1)(f(x)\textrm{ln}{a(x)}-g(x)\textrm{ln}{a(x)})=(e-1)(f(x)-g(x))\textrm{ln}{a(x)}>0. а, используя (УР Л3), найдём окончательное равносильное неравенство (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0(a(x)-1)(f(x)-g(x))>0.

    Итак, мы вывели еще одно условие равносильности

    (УР П5)

    a(x)f(x)>a(x)g(x)     (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0 a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)} \Leftrightarrow         (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0

    Или полное условие равносильности для неравенства

    (УР П5*)

    $$ a(x)^{f(x)} > a(x)^{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0 \end{cases}  \:\:\:$$ 


    Поэтому

    (УР П6)

    знак разности a(x)f(x)-a(x)g(x)a(x)^{f(x)}-a(x)^{g(x)} совпадает

    со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x))(a(x)-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ.

    Преимущество (УР П6) состоит в том, что, если a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - рациональные функции, можно за ОДИН ШАГ перейти от показательного неравенства к классическому варианту метода интервалов.

    Пример 18

    Решить неравенство (56-x-x2)x3-2x2(56-x-x2)2x2+5x(56-x-x^2)^{x^3-2x^2} \geq (56-x-x^2)^{2x^2+5x}

    Решение

    ОДЗ: 56-x-x2>0x2+x-56<0x(-8;7) 56-x-x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2+x-56 < 0 \Leftrightarrow x \in (-8;7).

    В ОДЗ, в силу (УЗ П6),

    (56-x-x2)x3-2x2(56-x-x2)2x2+5x(56-x-x^2)^{x^3-2x^2} \geq (56-x-x^2)^{2x^2+5x} \Leftrightarrow

    (55-x-x2)(x3-2x2-2x2-5x)0 \Leftrightarrow (55-x-x^2)(x^3-2x^2-2x^2-5x) \geq 0 \Leftrightarrow

    (x--1-2212)(x--1+2212)x(x-5)(x+1)0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{-1-\sqrt{221}}{2})(x-\dfrac{-1+\sqrt{221}}{2})x(x-5)(x+1) \leq 0 \Rightarrow

    ОТВЕТ

    (-8;-1-2212][-1;0][5;-1+2212](-8;\dfrac{-1-\sqrt{221}}{2}]\bigcup[-1;0]\bigcup[5;\dfrac{-1+\sqrt{221}}{2}].


  • §9. Логарифмические неравенства

    Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства значения f(x)f(x) в "пробных" точках придется сравнивать с единицей. Если "пробные" точки не очень удобные, то вычисления могут оказаться довольно громоздкими. Поэтому с самого начала учтём это.

    Рассмотрим неравенство logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)} >0(<0) , где aa - заданное положительное число, a1a\neq 1. ОДЗ: f(x)>0f(x)>0. Покажем, что имеет место условие равносильности 

    (УР Л4)

    logaf(x)>0(<0)(a-1)(f(x)-1)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow (a-1)(f(x)-1)>0(<0) в ОДЗ 

    Действительно,

    1. Если a>1a>1, то logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0) тогда и только тогда, когда f(x)>1(<1)f(x)>1(<1), т. е (a-1)(f(x)-1)>0(<0)(a-1)(f(x)-1)>0(<0).

    2. Если 0<a<10<a<1, то logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0) тогда и только тогда, когда f(x)<1(>1)f(x)<1(>1), т. е опять (a-1)(f(x)-1)<0(>0)(a-1)(f(x)-1)<0(>0).

    И наоборот, если (a-1)(f(x)-1)>0(<0)(a-1)(f(x)-1)>0(<0), то 

    1. При a>1a>1 имеем f(x)>1(<1)f(x)>1(<1), а тогда logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0).

    2. При 0<a<10<a<1 имеем f(x)<1(>1)f(x)<1(>1), а тогда logaf(x)>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>0(<0).

    Отсюда следует:

    (УР Л5)

    знак logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-1)(a-1)(f(x)-1) в ОДЗ. 

    Можно записать полное условие равносильности, включающее в ОДЗ:          

    (УР Л5*)

    $$ \textrm{log}_a{f(x)} >0(<0) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0. \\ (a-1)(f(x)-1)>0(<0). \end{cases}  $$   

    Рассмотрим неравенство logaf(x)>logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}>\textrm{log}_a{g(x)}, где a>0a>0, a1a \neq 1. ОДЗ: $$ \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)>0. \end{cases} $$.

    Аналогично доказывается, что верно и такое условие равносильности

    (УР Л6)

    logaf(x)>logag(x) (a-1)(f(x)-g(x))>0(<0)\textrm{log}_a{f(x)}>\textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow  (a-1)(f(x)-g(x))>0(<0)  В ОДЗ

    А также полное условие равносильности

    (УР Л6*)

    $$  \textrm{log}_a{f(x)}>(<)\textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ (a-1)(f(x)-g(x))>0(<0) . \end{cases} $$ 

    Отсюда следует что

    (УР Л7)

    знак разности logaf(x)-logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}-\textrm{log}_a{g(x)} совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-g(x))(a-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ. 

    При решении простейших логарифмических неравенств, конечно, можно не использовать (УР Л4) и (УР Л6). Однако, (УР Л4) и (УР Л6) дают возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений.

    Пример 19

    Решить неравенство lg(3x2-3x+7)-lg(6+x-x2)(10x-7)(10x-3)0\dfrac{\textrm{lg}{(3x^2-3x+7)} -\textrm{lg}{(6+x-x^2)} }{(10x-7)(10x-3)} \geq 0 .

    Решение

    ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x^2-3x+7>0 \Leftrightarrow x \in R, \\ -x^2+x+6>0 \Leftrightarrow x \in (-2;3). \end{cases} \Leftrightarrow x \in (-2;3) $$

    lg(3x2-3x+7)-lg(-x2+x+6)(10x-7)(10x-3)0\frac{\text{lg}{(3x^2-3x+7)}-\text{lg}{(-x^2+x+6)}}{(10x-7)(10x-3)}\geq0\Leftrightarrow В ОДЗ, в силу (УР Л7),

    3x2-3x+7+x2-x-6(x-710)(x-310)=(2x-1)2(x-710)(x-310) \dfrac{3x^2-3x+7 +x^2-x-6}{(x-\frac{7}{10})(x-\frac{3}{10})} = \dfrac{(2x-1)^2}{(x-\frac{7}{10})(x-\frac{3}{10})} \Leftrightarrow

    x(-;310){12}(710;+)x(-;310){12}(710;3) x \in (-\infty;\frac{3}{10})\bigcup \{ \dfrac{1}{2}\} \bigcup (\dfrac{7}{10};+\infty) \Rightarrow x \in (-\infty;\dfrac{3}{10})\bigcup \{ \dfrac{1}{2}\} \bigcup (\dfrac{7}{10};3) \Rightarrow

    ОТВЕТ

    x(-2;310){12}(710;3)x\in (-2;\dfrac{3}{10})\bigcup\{\dfrac{1}{2}\}\bigcup(\dfrac{7}{10};3).

    В этом примере разность логарифмов не меняет знак при переходе через точку x=12x=\dfrac{1}{2}, а следующие нули находятся близко. "Пробные" точки подставлять затруднительно.

    Пример 20(МГУ,1998)

    Решить неравенство

    log2(x+112+x2+1)·log3(-2x-x2)log3(|x|3+32)·log2(-2x-x2)\textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}}+\dfrac{x}{2}+1)}\cdot \textrm{log}_3{(-2x-x^2)} \geq \textrm{log}_3{(\dfrac{|x|}{3} + \dfrac{3}{2})}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)}.

    Решение

    ОДЗ: $$ \begin{cases} x+5,5 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq -5,5, \\ \sqrt{x+5,5}+\dfrac{x+2}{2} > 0, \\ -2x-x^2>0 \Leftrightarrow x(x+2) < 0 \Leftrightarrow x \in (-2;0) . \end{cases} \Leftrightarrow x\in (-2;0)$$.

    log2(x+112+x2+1)·log3(-2x-x2)log3(|x|2+32)·log2(-2x-x2) \textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}}+\dfrac{x}{2}+1)}\cdot \textrm{log}_3{(-2x-x^2)} \geq \textrm{log}_3{(\dfrac{|x|}{2} + \dfrac{3}{2})}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)} \Leftrightarrow 

    log2(x+112+x2+1)·log2(-2x-x2)log2(|x|2+32)·log2(-2x-x2) \Leftrightarrow \textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}}+\dfrac{x}{2}+1)}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)} \geq \textrm{log}_2{(\dfrac{|x|}{2} + \dfrac{3}{2})}\cdot \textrm{log}_2{(-2x-x^2)} \Leftrightarrow

    log2(-2x-x2)·(log2(x+112+x2+1)-log2(|x|2+32))0\Leftrightarrow \textrm{log}_2{(-2x-x^2)}\cdot (\textrm{log}_2{(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}} + \dfrac{x}{2} + 1)} -\textrm{log}_2{(\dfrac{|x|}{2} +\dfrac{3}{2} )}) \geq 0 \Leftrightarrow

    В ОДЗ, в силу (УР Л5) и (УР Л7),

    (-2x-x2-1)(x+112+x2+1-|x|2-32)0\Leftrightarrow(-2x-x^2-1)(\sqrt{x+\dfrac{11}2}+\dfrac x2+1-\dfrac{\vert x\vert}2-\dfrac32)\geq0\Leftrightarrow 

    (x+1)2(x+112+x-12)0 (x=-x в ОДЗ)\Leftrightarrow(x+1)^2(\sqrt{x+\dfrac{11}2}+x-\dfrac12)\leq0\;(\left|x\right|=-x\;\mathrm в\;\mathrm{ОДЗ})\Leftrightarrow

    (x+1)2(x+112-(12-x))0 \Leftrightarrow (x+1)^2(\sqrt{x+\dfrac{11}{2}} - (\dfrac{1}{2}-x) ) \leq 0 \Leftrightarrow  Т. к.  (12-x)>0(\dfrac{1}{2}-x)>0 в ОДЗ

    (x+1)2(x+112-(12-x)2)0(x+1)2(-x2+2x+214)0 \Leftrightarrow (x+1)^2(x+\dfrac{11}{2} - (\dfrac{1}{2}-x)^2 ) \leq 0 \Leftrightarrow (x+1)^2(-x^2+2x+\dfrac{21}{4})\leq 0  \Leftrightarrow

    (x+1)2(x-72)(x+32)0x(-;-32][72;+){-1} \Leftrightarrow (x+1)^2(x-\dfrac{7}{2})(x+\dfrac{3}{2}) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\dfrac{3}{2} ] \bigcup [\dfrac{7}{2}; +\infty) \bigcup \{ -1 \} ОДЗ. Учитываем ОДЗ:

    Получаем

    ОТВЕТ 

    (-2;-32]{-1}(-2; -\dfrac{3}{2}] \bigcup \{-1\}.

    Пример 21(МФТИ,1992)

    Решить неравенство 1x·log7(92-2·7-x)>1\dfrac{1}{x}\cdot \textrm{log}_7{(\dfrac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} >1.

    Решение

    ОДЗ: 92-2·7-x>092·7x-2>0x>log749\dfrac{9}{2} - 2\cdot 7^{-x} >0 \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \cdot 7^x -2 >0 \Leftrightarrow x>\textrm{log}_7{\dfrac{4}{9}} .

    Тогда в ОДЗ

    1x·log7(92-2·7-x)>1 1x·log7(92-2·7-x)>xx \dfrac{1}{x}\cdot \textrm{log}_7{(\dfrac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} >1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\cdot \textrm{log}_7{(\dfrac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} > \dfrac{x}{x} \Leftrightarrow 

    log7(92-2·7-x)-xx=log7(92-2·7-x)-log77xx>0   \Leftrightarrow \dfrac{\textrm{log}_7{(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} -x}{x}= \dfrac{\textrm{log}_7{(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x} )} -\textrm{log}_7{7^x}}{x} > 0 \Leftrightarrow   

    В ОДЗ, в силу (УР Л7),

    92-2·7-x-7xx>072x-92·7x+2x<0(7x-4)(7x-12)x<0 \Leftrightarrow \dfrac{\frac{9}{2} - 2\cdot 7^{-x} -7^x}{x} >0 \Leftrightarrow \dfrac{7^{2x}-\frac{9}{2}\cdot 7^x +2 }{x} <0 \Leftrightarrow \dfrac{(7^x-4)(7^x-\frac{1}{2})}{x}<0 \Leftrightarrow

     (7x-7log74)(7x-7log712)x<0 \Leftrightarrow \dfrac{(7^x-7^{\textrm{log}_7{4}})(7^x-7^{\textrm{log}_7{\frac{1}{2}}})}{x}<0

    В силу (УР П2),

    (x-log74)(x-log712)x<0x(-;log712)(0;log74) \dfrac{(x-\textrm{log}_7{4})(x-\textrm{log}_7{\frac{1}{2}})}{x} < 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; \textrm{log}_7{\dfrac{1}{2}})\bigcup(0; \textrm{log}_7{4})

    С учетом ОДЗ,

    x (log749;log712)(0;log74) x \in (\textrm{log}_7{\dfrac{4}{9}}; \textrm{log}_7{\dfrac{1}{2}})\bigcup (0; \textrm{log}_7{4}) .

    ОТВЕТ

    x (log749;log712)(0;log74) x \in (\textrm{log}_7{\dfrac{4}{9}}; \textrm{log}_7{\dfrac{1}{2}})\bigcup (0; \textrm{log}_7{4}) .

     

  • §10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием

    Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.

    ОДЗ:  a(x)>0,a1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.

    Оказывается, что и в этом случае

    (УР Л8)

    Знак функции loga(x)f(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-1)(a(x)-1)(f(x)-1) в ОДЗ        

    и имеет место условие равносильности:

    (УР Л10)

    loga(x)f(x)>0(<0)   (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0) \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow      (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0) в ОДЗ 

    Можно записать полное условие равносильности. вкключающее ОДЗ:

    (УР Л10*)

    $$  \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0(<0) \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ f(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-1)>0(<0). \end{cases}  $$ 

    Для нестрогого неравенства условие равносильности выглядит по-другому:

    (УР Л11)

    $$  \textrm{log}_{a(x)}{f(x)}\geq 0(\leq 0) \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ a(x) \neq 1, \\ f(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-1)\geq 0 (\leq 0) .\end{cases} $$

    Действительно, по определению,

    loga(x)f(x)=lgf(x)lga(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \dfrac{\textrm{lg}{\:f(x)}}{\textrm{lg}{\:a(x)}}, `a(x)>0`, `a(x)!=1`, `f(x)>0`. В силу предыдущего условия равносильности (УР Л5), знаки lgf(x),lga(x)\textrm{lg}{f(x)}, \textrm{lg}{a(x)} совпадают со знаками разностей f(x)-1f(x)-1 и a(x)-1a(x)-1 соответственно. Поэтому знак lgf(x)lga(x)\dfrac{\textrm{lg}{\:f(x)}}{\textrm{lg}{\:a(x)}} совпадает со знаком частного f(x)-1a(x)-1\dfrac{f(x)-1}{a(x)-1} или со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-1)(a(x)-1)(f(x)-1).

    Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} > \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции и a(x)>0,a(x)>0,\:\: a(x)1a(x) \neq 1.

    По определению,

    loga(x)f(x)-loga(x)g(x)=lgf(x)-lga(x)lga(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}-\textrm{log}_{a(x)}{g(x)}=\dfrac{\textrm{lg}{f(x)} - \textrm{lg}{a(x)} }{\textrm{lg}{a(x)} } .  И в силу (УР Л5) и (УР Л7)

    (УР Л12)

    знак разности loga(x)f(x)-loga(x)g(x)\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} - \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x))(a(x)-1)(f(x)-g(x)) в ОДЗ.  

    Из полученного условия равносильности следует, что

    (УР Л13)

    loga(x)f(x)>(<)loga(x)g(x)(a(x)-1)(f(x)-g(x))>0(<0)в ОДЗ\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} >(<) \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow (a(x)-1)(f(x)-g(x)) >0(<0) \text{в ОДЗ} \:\:

    Заметим, что из (УР Л12) автоматически следует, что a(x)1a(x) \neq 1, поэтому при решении строгих неравенств условие a(x)1\underline{a(x)\neq1} в ОДЗ можно опустить и так записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

    (УР Л13*)

    $$ \textrm{log}_{a(x)}{f(x)} < \textrm{log}_{a(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a(x)>0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ (a(x)-1)(f(x)-g(x))<0. \end{cases}$$   

    Преимущество и красота приведенных условий в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований. Теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

    Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. 

    Пример 22(МфТИ, 1980)

    Решить неравенство logx2-34x+7>0\textrm{log}_{x^2-3}{4x+7}>0.

    Решение

    В силу (УР Л10), logx2-34x+7>0\textrm{log}_{x^2-3}{4x+7}>0 \Leftrightarrow


    $$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x+7>0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{7}{4}, \\ x^2-3>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{3})\bigcup(\sqrt{3};+\infty), \\ (x^2-3-1)(4x+7-1)>0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)(x+\dfrac{3}{2})>0 . \end{cases} \Leftrightarrow $$

    x(-74;-3)(2;+). \Leftrightarrow x \in (-\dfrac{7}{4}; -\sqrt{3})\bigcup(2;+\infty).

    ОТВЕТ

    (-74;-3)(2;+).(-\dfrac{7}{4}; -\sqrt{3})\bigcup(2;+\infty).

    Но, как показывает практика, не всегда удобно пользоваться полными условиями равносильности. Это происходит, если входящие в условия равносильнотси неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства, как мы часто и будем делать. 

    Пример 23(МФТИ,1994)

    Решить неравенство log8(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)(2x+13)23\textrm{log}_8{(\frac{1}{3}-x)}\cdot \log_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\dfrac{1}{3} - x)} > \textrm{log}_2{\dfrac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^2} } } .

    Решение

    ОДЗ: $$ \begin{cases} \frac{1}{3} - x > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; \frac{1}{3}),\\ 2x+\frac{1}{3} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -\frac{1}{6}, \\ 2x+\frac{1}{3} \neq \pm 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pm 3 -1}{6} \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}. \end{cases} \Leftrightarrow$$

    x(-;-23)(-23;16)(-16;13)\Leftrightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(-\frac{2}{3};\frac{1}{6})\bigcup(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3}) .

    log8(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)(2x+13)23 \textrm{log}_8{(\frac{1}{3}-x)}\cdot \log_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3} - x)} > \textrm{log}_2{\dfrac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^2} } } \Leftrightarrow

    13log2(13-x)·log|2x+13|(13-x)>log2(13-x)-23log2|2x+13| \Leftrightarrow \frac{1}{3} \textrm{log}_2{(\frac{1}{3}-x )}\cdot \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} > \textrm{log}_2{(\frac{1}{3} -x)} - \frac{2}{3} \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|} \Leftrightarrow

    log2|2x+13|·(log|2x+13|2(13-x)-3log|2x+13|(13-x)+2)>0 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}\cdot (\textrm{log}^2_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} - 3\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} +2) > 0 \Leftrightarrow

    (так как t2-3t+2=(t-1)(t-2)t^2-3t+2 = (t-1)(t-2))

     log2|2x+13|(log|2x+13|(13-x)-1)(log|2x+13|(13-x)-2)>0 \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}(\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}-1)(\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}-2)>0 \Leftrightarrow

     log2|2x+13|(log|2x+13|(13-x)-log|2x+13||2x+13|)· \Leftrightarrow \textrm{log}_2{|2x+\frac{1}{3}|}( \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)} - \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{|2x+\frac{1}{3}|}) \cdot

    ·(log|2x+13|(13-x)  -log|2x+13|(2x+13)2)>0 \cdot (\textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(\frac{1}{3}-x)}   - \textrm{log}_{|2x+\dfrac{1}{3}|}{(2x+\frac{1}{3})^2} ) >0 \Leftrightarrow  

    в ОДЗ, в силу (УР Л12):

    (|2x+13|-1)3(13-x-|2x+13|)(13-x-4x2-43x-19)>0 \Leftrightarrow (|2x+\frac{1}{3}| -1)^3(\frac{1}{3} - x - |2x+\frac{1}{3}| )(\frac{1}{3} - x - 4x^2 - \frac{4}{3} x - \frac{1}{9} ) > 0 \Leftrightarrow

    (так как в ОДЗ 13-x>0\dfrac{1}{3}-x > 0

     (|2x+13|-1)(|13-x|-|2x+13|)(36x2+21x-2)<0 \Leftrightarrow (|2x+\frac{1}{3}| -1)(|\frac{1}{3} - x| - |2x+\frac{1}{3}| )(36x^2+21x-2) < 0 \Leftrightarrow

    (2x+13-1)(2x+13+1)(13-x-2x-13)(13-x+2x+13)(x-112)(x+23)<0 \!\!\! (2x+\frac{1}{3}-1)(2x+\frac{1}{3}+1)(\frac{1}{3}-x-2x-\frac{1}{3})(\frac{1}{3}-x+2x+\frac{1}{3})(x-\frac{1}{12})(x+\frac{2}{3})<0

    x(x-13)(x+23)3(x-112)>0x(-;-23)(0;112)(13;+) \Leftrightarrow x(x-\frac{1}{3})(x+\frac{2}{3})^3(x-\frac{1}{12})>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3})\bigcup(0;\frac{1}{12})\bigcup(\frac{1}{3};+\infty).

    Учтём ОДЗ

    и получаем

    ОТВЕТ

    x (-;-23)(0;112)x\in  (-\infty; -\dfrac{2}{3})\bigcup(0;\dfrac{1}{12}).

    Пример 24(МФТИ, 1996)

    Решить неравенство log|3x-3|(25x-9x)<log|3x-3|(5x+3x)+ log|3x+3|(5x-1+3x-1)\textrm{log}_{|3x-3|}{(25^x-9^x)}<\textrm{log}_{|3x-3|}{(5^x+3^x)} +  \textrm{log}_{|3x+3|}{(5^{x-1} + 3^{x-1} )}.

    Решение

     log|3x-3|(5x+3x)5x-3x<log|3x-3|(5x+3x)+ log|3x+3|(5x-1+3x-1)\;{\text{log}}_{\vert3x-3\vert}{(5^x+3^x)\left(5^x-3^x\right)}<{\text{log}}_{\vert3x-3\vert}{(5^x+3^x)}+\;{\text{log}}_{\vert3x+3\vert}{(5^{x-1}+3^{x-1})}\Leftrightarrow

    $$ \Leftrightarrow \begin{cases} |3x-3| \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1, \\ 5^x-3^x>0 \Leftrightarrow (\dfrac{5}{3})^x-1>0 \Leftrightarrow x>0, \\ (|3x-3|-1)(5^x-3^x-5^{x-1}-3^{x-1})<0 \Leftrightarrow (|3x-3|-1)(\dfrac{4}{5} 5^x - \dfrac{4}{3} 3^x) < 0. \end{cases} \Leftrightarrow $$

    В силу (УР М5) и (УР П6), 

    $$ \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,  \\ x\neq 1, \\ (3x-4)(3x-2)( (\dfrac{5}{3})^{x-1} - (\dfrac{5}{3})^0 )< 0 \Leftrightarrow (x-\dfrac{4}{3})(x-\dfrac{2}{3} )(x-1)<0 . \end{cases} $$

    ОТВЕТ

    x(0;23)(1;43) x \in (0; \dfrac{2}{3})\bigcup (1;\dfrac{4}{3}).  

  • §2. Логарифмирование и потенцирование

    При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (a>0(a>0,a1)a \neq 1 ) называется переход к уравнению logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}. При этом область существования уравнения сужается, т.к логарифмы существуют только у положительных чисел. Например,

    x3=xx=0,x=-1,x=1. а lgx3=lgxx=1x^3=x\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,\\x=-1,\\x=1.\end{array}\right.\;\mathrm а\;\lg x^3=\lg x\Leftrightarrow x=1

    Уравнения не равносильны, т.к имеют разные множества решений.

    Потенцированием называется переход от уравнения logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} к уравнению f(x)=g(x)f(x)=g(x). При этом область определения расширяется, т. к второе уравнение может существовать при любых f(x)f(x), g(x)g(x), а первое - только при положительных. Поэтому запишем и запомним:

    Свойства

    С11. Если f(x)=g(x)f(x)=g(x) и f(x)>0f(x)>0 или g(x)>0g(x)>0, то logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}=\textrm{log}_a{g(x)}.

    С12. Если logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}, то f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0 и f(x)=g(x)f(x)=g(x).


    При решении логарифмического уравнения достаточно проверить положительность одной из функций, т. к из последующегоих равенства следует положительность и другой. Итак, из С11 и С12 следует условие равносильности

    (УР Л1)

    $$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0, \\ f(x) = g(x). \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) > 0, \\ f(x) = g(x).\end{cases} $$