Все статьи » ЗФТШ Физика

Статьи , страница 9

  • §1. Введение
    Колебаниями

    называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся  во времени.

    Если мы говорим, что система колеблется, то под этим подразумевается, что некоторая физическая величина, характеризующая систему, совершает колебания, т. е. изменяется, неоднократно принимая одно и то же значение. При колебаниях математического маятника (рис. 7) колеблющимися физическими величинами будут угол `alpha` отклонения нити от вертикали, координаты маятника `x` и `y`, расстояние вдоль траектории (по дуге окружности)  от т. `A` до т. `O` и т. д. Когда верхушка дерева качается под действием ветра, то колеблются координаты верхушки. При распространении звука в воздухе колеблется давление воздуха в каждой точке воздушной среды. При дыхании человека колеблющейся физической величиной может служить объём грудной клетки. В колебательном контуре совершают колебания заряд конденсатора, напряжение на конденсаторе, ток в контуре и т. д. Напряжение на горящей лампочке в квартире и ток через неё тоже колеблются. Такие физические величины, как давление и температура, характеризующие состояние атмосферы, в течение, скажем, месяца, неоднократно принимают одни и те же значения, т. е. совершают колебания.

    Колебательные процессы встречаются в разнообразных физических явлениях и широко распространены в окружающем нас мире. Несмотря на то, что колебания могут иметь различную физическую природу, они часто подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одинаковыми математическими формулами и уравнениями. Это позволяет с единой точки зрения математически  описать  отличающиеся  по физической природе колебания.

  • §2. Периодические колебания

    Колебания некоторой физической величины `S`  называются периодическими, если все значения этой величины полностью повторяются через одно и то же время `T`, называемое периодом, т. е. `S(t+T)=S(t)` для любого значения времени `t`. Если `T` - период, то `2T`, `3T`, `4T  ...` - тоже периоды. Поэтому в физике под периодом обычно понимают наименьший период, т. е. наименьший положительный отрезок времени, через который физическая величина `S` повторяется. При этом говорят, что за время одного периода совершается одно колебание.

    Частотой периодических колебаний `nu` называется число колебаний в единицу времени.

    Легко показать, что   `nu=1/T`.

    Действительно, если за время `t` совершено `N` колебаний, то частота `nu=N/t`, а период `T=t/N`. Отсюда видно, что `nu=1/T`. В системе СИ единицей измерения частоты служит герц (Гц), `1  "Гц"="c"^(-1)`.

    Пусть периодически колеблющаяся величина `S` изменяется в пределах от `S_0-A` до `S_0+A`, где `A>0`. Тогда говорят, что величина `S` колеблется с амплитудой `A` около значения `S_0`.

  • §3. Гармонические колебания

    Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические  

    колебания, т. е. такие изменения во времени `t` физической величины `S` которые идут по закону:

     `S(t)=Acos(omegat+varphi_0)`,                                                      (14)

    где `A>0`, `omega>0`. Из курса математики известно, что функция вида (14) изменяется в пределах от `-A` до `A` и что наименьший положительный  период у неё `(2pi)/omega`.

    Поэтому гармоническое колебание вида (14) происходит с амплитудой  `A` и периодом `T=(2pi)/omega`.

    Не следует путать циклическую (круговую) частоту `omega` и частоту `nu` колебаний. Между ними простая связь. Так как `omega=(2pi)/T` и `nu=1/T`, то

    `omega=2pinu`.

    В системе СИ размерность как `omega`, так и `nu` равна `"c"^(-1)`. Наименование  Гц обычно применяется только для величины `nu`, а если необходимо указать размерность  `omega`, то пишут просто `"c"^(-1)`.

    Величина `omegat+varphi_0` называется  фазой колебаний. При `t=0` фаза равна `varphi_0`,  и поэтому `varphi_0` называется  начальной фазой.

    Отметим, что при одном и том же `t`:

     `Acos(omegat+varphi_0)=Acos[omegat+(varphi_0+2pin)]`, где `n=0,+-1,+-2,...`. 

    Видно, что начальная фаза для одного и того же колебания есть величина, определённая с точностью  до `2pin`. Поэтому из множества возможных значений начальной фазы выбирают обычно значение начальной фазы наименьшее по модулю или наименьшее положительное. Но делать это не обязательно. Например, если дано колебание`S=Acos(omegat+13/6 pi)`,  то удобнее записать его в виде `S=Acos(omegat+pi/6)` и работать в дальнейшем с последним видом записи этого колебания.  Можно показать, что колебания вида

     `S=alphasin(gammat+alpha_0)`    и     `S=acos(gammat+alpha_0)`,                                   (15)

    где `a` и `gamma` могут быть любого знака, с помощью простых тригонометрических преобразований всегда приводятся к виду (14), причём `A=|a|`, `omega=|gamma|`, а `varphi_0` не равно `alpha_0`, вообще говоря. Таким образом, колебания вида (15) являются гармоническими  с амплитудой  `|a|` и циклической частотой `|gamma|`. Не приводя общего доказательства, проиллюстрируем это на конкретном примере.

    Пример

    Пусть требуется показать, что колебание `S=-16sin(20pit-pi/3)` будет гармоническим и найти амплитуду `A`, циклическую частоту  `omega`, период `T` и начальную фазу `varphi_0`.  Действительно,

    `S=-16sin(20pit-pi/3)=16sin(pi/3-20pit)=`

    `16cos(pi/2-(pi/3-20pit))=16cos(20pit+pi/6)`.

    Видим, что колебание  величины `S` удалось записать в форме (14). При этом  `A=16`, `omega=20pi`, `T=(2pi)/omega=1/10`, `varphi_0+pi/6`.

    Попробуйте самостоятельно убедиться, что

    `x=-18cos(pi/10-5t)=18cos(5t+(9pi)/10)`,

    `S=4sin(8t-pi/3)=4cos(8t- (5pi)/6)`.

    Естественно, что запись гармонических колебаний в форме (15) ничем не хуже записи в форме (14), и переходить в конкретной задаче от записи в одной форме к записи в другой обычно нет необходимости. Нужно только уметь сразу находить амплитуду, циклическую частоту и период, имея перед собой любую форму записи гармонического колебания.

    Иногда полезно знать характер изменения первой и второй производных по времени от величины `S`, которая совершает гармонические колебания (колебания по гармоническому закону). Если `S=Acos(omegat+varphi_0)`, то дифференцирование `S` по времени `t` даёт: 

    `S^'=-Aomegasin(omegat+varphi_0)`,  `S''=-Aomega^2cos(omegat+varphi_0)`.

    Видим,  что `S^'` и `S''` колеблются по гармоническому закону с той же циклической частотой  `omega`, что и величина `S`, и амплитудами `Aomega` и `Aomega^2`.  

    Пример

    Координата `x` тела, совершающего гармонические колебания вдоль оси `x`, изменяется по закону `x=2sin6t`, где `x` - в сантиметрах, время `t` - в секундах. Требуется записать закон изменения скорости и ускорения тела и найти их максимальные значения. Для ответа на поставленный вопрос заметим, что первая производная по времени от величины `x` есть проекция скорости тела на ось `x`, а вторая производная от `x` есть проекция ускорения на ось `x:  x^'=v_x`, `x''=a_x`.  Продифференцировав выражения для `x` по времени, получаем: `x^'=v_x=12cos6t`,  `x''=a_x=-72sin6t`.  Максимальные значения скорости и ускорения `v_(max)=12 "см"//"с"`, `a_(max)=72  "см"//"с"^2`.


  • §4. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

    Пусть некоторая физическая величина `S` совершает гармонические колебания:

     `S(t)=Acos(omegat+varphi_0)`.                                                (16)

     Легко показать, что вторая производная по времени от `S` равна S"S^"`=-Aomega^2cos(omegat+varphi_0)`. С учётом (16) получаем, что S"S^"`=-omega^2S`, т. е.

    S"S^" `+omega^2S=0`.                                                                  (17)

    Итак, можно сделать вывод: если величина `S` изменяется по гармоническому закону (16), то отсюда следует справедливость равенства (17). В математике показывается и обратное: если для величины `S=S(t)` справедливо равенство (17) при всех допустимых значениях `t`, то `S(t)` имеет только вид (16) и никакой другой. Причём `A` и `varphi_0` в (16) есть произвольные постоянные, конкретные значения которых зависят от так называемых начальных условий, т. е. от значений `S` и её производной `S^'` в некоторый момент времени `t` (обычно при `t=0`).

    Равенства, связывающие функцию, её аргумент и производные функции по этому аргументу, называются в математике дифференциальными уравнениями. Поэтому равенство (17) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

    Таким образом, мы получили чрезвычайно важное как для теории, так и для решения задач утверждение:

    Утверждение

    если с помощью законов физики для физической величины `S` удалось записать дифференциальное уравнение вида S"S^"`+omega^2S=0`, то отсюда будет следовать, что `S` изменяется обязательно по гармоническому закону `S(t)=Acos(omegat+varphi_0)` с  циклической  частотой `omega` `(omega=sqrt(omega^2)>0)`. Конкретные значения амплитуды `A` и начальной фазы `varphi+0` зависят от начальных условий.

    Заметим, что в (17) стоит величина  `omega^2`, которая всегда положительна. Поэтому, например, уравнение S"S^"`-6S=0` не будет дифференциальным уравнением гармонических колебаний, т. к. не найдётся такого действительного значения `omega`,  для которого  `omega^2` было бы равно `-6`.

  • 5. Свободные и собственные колебания. Затухание

    Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в системе в результате однократного выведения её из состояния устойчивого равновесия. При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы (в общем случае причины), стремящиеся возвратить систему в положение равновесия (положение, при котором в системе отсутствуют колебания). В случае колебаний груза на пружине возвращающей силой будет сила упругости пружины.

    Если в системе отсутствуют силы трения или любые другие причины, препятствующие свободным колебаниям, то нет потерь энергии, и колебания могут происходить сколь угодно долго с постоянной амплитудой. Такие свободные колебания называют собственными колебаниями, а их частоту – собственной частотой.

    Колебания, которые происходят с постоянным размахом (амплитудой) колеблющейся величины в течение всего времени наблюдения, называют незатухающими. Колебания, идущие с постоянно уменьшающимся размахом, называют затухающими. Ясно, что собственные колебания есть колебания незатухающие.


    Свободные колебания реальных систем всегда затухающие. Механические колебания затухают, главным образом, из-за трения и возбуждения в окружающей среде упругих волн. В электрических колебательных системах затухание вызывается тепловыми потерями в проводниках, потерями энергии на излучение электромагнитных волн, тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках, находящихся в электрических и магнитных полях. Чем сильнее препятствующее колебаниям воздействие, тем быстрее затухают колебания и прекращаются вовсе.

    Наличие трения или любого другого сопротивления колебаниям вызывает торможение колебательного процесса, что приводит к увеличению периода, точнее, условного периода. Дело в том, что при затухании те понятия периода и частоты, которые были введены нами ранее, теряют смысл, т. к. затухающие колебания идут с уменьшающимся размахом изменения колеблющейся физической величины, и нет строгой повторяемости значений у колеблющейся величины.

    Для характеристики таких непериодических колебаний вводят понятие условного периода  и условной частоты, называемых часто просто периодом и частотой затухающих колебаний. Условным периодом называют промежуток времени между следующими друг за другом моментами, когда колеблющаяся физическая величина `S` принимает аналогичные значения, например, промежуток времени между двумя максимальными значениями величины `S` или между соответствующими равновесными значениями `S`. Связь между условными частотой и периодом аналогична связи между обычными частотой и периодом.

    Следует отметить, что небольшое затухание слабо меняет период. Например, в колебательном контуре с `L=5` мГн, `C=0,2` мкФ и `R=20` Ом амплитуда тока в контуре при свободных колебаниях уменьшается за период приблизительно в `1,5` раза. Периоды, рассчитанные по известной формуле `T=2pisqrt(LC)` (без учёта затухания) и по более точной формуле, учитывающей затухание, будут отличаться всего на `0,2 %`. Даже при ещё большем сопротивлении, когда амплитуда тока уменьшается в `3-7` раз за период (сильное затухание), погрешность в определении периода по формуле, не учитывающей затухание, составит не более `5 %`.

    К сказанному выше о затухающих колебаниях можно добавить, что при увеличении   затухания   в   системе   условный   период   возрастает  и  при  некоторых  условиях обращается в бесконечность. Это означает, что изменение величины `S` не носит колебательного характера, а представляет собой так называемый апериодический процесс. На рис. 8 приведён пример зависимости `S(t)` для затухающего колебания, а примеры апериодических процессов даны на рис. 9 и 10. Значение `S` при `t=0`, т. е. начало графика `S(t)`, для затухающих колебаний или апериодического процесса зависит от того, в каком положении была система в момент начала наблюдений.

  • §6. Вынужденные колебания и резонанс

    Колебательная система не всегда бывает предоставлена самой себе, совершая при этом свободные (в общем случае затухающие) колебания. На колебательную систему может действовать внешнее периодическое возмущающее воздействие, под влиянием которого в системе возникают так называемые вынужденные колебания.

    Вынужденными колебаниями

    называют колебания системы, вызванные действием на неё внешней периодической силы (внешнего периодического воздействия), называемое вынуждающей силой.

    Если подвешенный на пружине груз двигать рукой вверх-вниз с некоторой частотой, то роль вынуждающей силы выполняет сила,  действующая на груз  со  стороны  руки. В  колебательном  контуре (рис. 11) с включённым в него внешним источником с ЭДС E\mathcal E`(t)`, периодически изменяющейся  во времени,  вынуждающей  силой будет E\mathcal E`(t)` После приложения вынуждающей силы (не обязательно  гармонической)  в  колебательной системе, собственные колебания которой тоже не обязательно гармонические, возникает так называемый переходный режим вынужденных колебаний. Оказывается, что в этом режиме изменяющаяся величина `S(t)` может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:

    `S(t)=S_1(t)+S_2(t)`.

    Первое слагаемое `S_1(t)` соответствует свободным затухающим колебаниям (с частотой, близкой к собственной), а второе слагаемое `S_2(t)` представляет собой периодическое колебание с частотой возмущающей силы. Отсюда становится ясно, какой смысл вкладывается в слова, когда говорят, что в переходном режиме вынужденных колебаний система участвует в двух колебаниях. Отметим ещё, что при очень сильном затухании `S_1(t)` может иметь не колебательный характер, апериодический.

    Через некоторое время свободные затухающие колебания `S_1(t)` практически прекращаются, и система переходит в режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы.

    Интересно, что при некотором значении (или даже значениях) частоты внешнего воздействия, называемой резонансной частотой, наступает резонанс - резкое возрастание амплитуды установившихся вынужденных колебаний.

    Если вынуждающая сила меняется по гармоническому закону, а собственные колебания системы тоже гармонические, то резонанс наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой. Правда, наличие затухания в любой реальной колебательной системе приводит к тому, что резонансная частота, как правило, несколько отличается от собственной частоты и от частоты (условной) свободных затухающих колебаний. Различие между всеми этими частотами тем меньше, чем меньше затухание. Поэтому говорят, что резонанс наступает при частоте внешнего воздействия, близкой к собственной.

    Если же вынужденные колебания происходят под действием периодической с частотой `nu`, но не гармонической силы, а собственные колебания системы гармонические, то резонанс наступает тогда, когда какое-либо значение из набора `nu`, `2nu`, `3nu`, `...` совпадает с частотой собственных колебаний (на практике из-за наличия затухания это совпадение только приближённое). Например, математический маятник (или качели) можно сильно раскачивать, если сильно толкать его (действовать с периодической, но не гармонической силой) не только с частотой, равной собственной, но и с частотой в целое число раз меньше собственной, т. е. толкать один раз за период колебаний, один раз за два периода, один раз за три периода и т. д.

    В наиболее общем случае вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической, но не гармонической силы частоты `nu`, и когда собственные колебания частоты `nu_c` тоже не гармонические, резонанс наступает, если какое-нибудь число из набора `nu`, `2nu`, `3nu`, `4nu`, `...` будет близко к какому-либо числу из набора `nu_c`, `2nu_c`, `3nu_c`, `...`. Резонанс при этом может проявляться как сильно, так и слабо. Все зависит от характера собственных колебаний и характера внешнего периодического воздействия.

  • §7. Примеры колебательных процессов. Методы решения задач
    Пример 1

    На гладком горизонтальном столе груз массой `m` совершает колебания вдоль оси `x` на лёгкой пружине жёсткости `k` (рис. 12), прикреплённой одним концом к грузу, а другим к стене. Показать, что свободные колебания такого пружинного маятника гармонические и найти их период.

    Решение

    Начало координат `(x=0)` поместим в точку, соответствующую равновесному положению груза. За колеблющуюся физическую величину возьмём координату `x` груза.                             

    1-й способ решения. Используется второй закон Ньютона.

    Пусть груз при колебаниях в некоторый момент времени `t` имеет координату `x=x(t)`. Тогда проекция на ось  `x` силы `vecF`, действующей на груз со стороны пружины,

    `F_x=-kx`                                                                           (18)

    при любом знаке `x`, что легко проверить. На рис. 12 показано направление силы  `vecF` при `x>0`. На  груз  ещё  действует  сила тяжести `mvecg` и сила нормального давления `vecN` со стороны стола. По второму закону Ньютона `mveca=vecF+mvecg+vecN`, где `veca` - ускорение груза. 

    Это векторное равенство, записанное в проекциях на ось `x`, имеет вид `ma_x=F_x`. Здесь ax=x"a_x=x^"-  проекция ускорения на ось  `x`. Учитывая (18), имеем mx"=-kxmx^"=-kx.   Отсюда

    x"+kx=0x^"+\dfrac {k}x=0.

    Последнее уравнение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой `omega=sqrt(k/m)`  и периодом `T=(2pi)/omega=2pisqrt(m/k)`.

    2-й способ. Используется закон сохранения энергии.

    В момент, когда груз имеет координату `x` и проекцию на ось `x` скорости `x^'`, кинетическая энергия груза будет `1/2m(x^')^2`, а потенциальная энергия деформированной пружины `1/2kx^2`. Так как полная энергия системы при колебаниях сохраняется, то `(m(x^')^2)/2+(kx^2)/2="const"`. Продифференцируем последнее равенство по времени:  12m·2x'x"+12k·2xx'=0\dfrac{1}2m\cdot 2x^'x^"+\dfrac{1}2k\cdot 2x x^'=0. Откуда x"x^"`+k/mx=0`.

    Как и в первом способе решения, но уже другим путём, мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой `omega=sqrt(k/m)`  и периодом `T=2pisqrt(m/k)`.

    Пример 2

    Показать, что при действии на груз из предыдущего примера постоянной силы `vecF_0`, направленной вдоль оси `x`, колебания остаются гармоническими с прежним периодом, но около нового положения равновесия, смещённого относительно  прежнего   на `x_0=F_0//k` в  сторону  действующей силы  `vecF_0`  `(F_0=|vecF_0|)`.         

    Решение

    Пусть для определённости сила `vecF_0` направлена вправо (рис. 13).  При другом направлении силы все рассуждения аналогичны приведённым ниже. Положение равновесия – это положение системы при отсутствии  колебаний.  Ясно,  что  в  положении равновесия  пружина удлинена  под  действием силы `vecF_0` на величину                            

     `x_0=(F_0)/k`                                           (19)

    по сравнению с ненапряжённым состоянием.

    За начало координат возьмём точку, соответствующую равновесному положению груза.

    Точка `B` соответствует положению груза при ненапряжённой пружине, т. е.    положению равновесия груза в отсутствии силы `vecF_0`.

    Пусть `x=x(t)` - зависящая от времени координата груза при колебаниях. Тогда удлинение пружины `Deltax=x_0+x`, а проекция на ось `x` силы `vecF`,  действующей на груз со стороны пружины,

      `F_x=-k(x+x_0)`.                                                                  (20)

    Приведённые выражения для `Deltax` и `F_x` справедливы при любом значении `x`, а не только при указанном на рис. 13, что можно проверить. По второму закону Ньютона `mveca=vecF_0+vecF+mvecg+vecN`, где `veca` - ускорение груза, `mvecg` - сила тяжести, `vecN` - сила нормального давления, действующая со стороны стола на груз. Запишем это векторное равенство в проекциях на ось `x:`  `ma_x=F_0+F_x`.

    Подставляя сюда выражения  для `F_x` из (20) и `x_0` из (19) и учитывая, что проекция ускорения на ось `x` есть `a_x=`x"x^" имеем после упрощения x"x^"`+k/mx=0`. Нами получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической  частотой `omega=sqrt(k/m)` и периодом `T=(2pi)/(omega)=2pisqrt(m/k)`, не зависящим от `F_0`. Утверждение, сформулированное в условии примера 2, доказано. 

    Пример 3

    На лёгкой пружине жёсткостью `k` подвешен груз массой `m`. Показать, что вертикальные собственные колебания такого пружинного маятника гармонические, и найти их период.

    Решение

    Направим ось `x` вниз (рис. 14), начало координат поместим в точку, соответствующую равновесному положению груза. В этом положении  пружина  растянута по  сравнению с ненапряжённым состоянием на величину `x_0`, причём 

    `kx_0=mg`.                                       (21) 

    1-й способ. Используется второй закон Ньютона.                

    Если текущая координата `x=x(t)`, то проекция на ось `x` силы `vecF`,  действующей на груз со стороны пружины,

    `F_x=-k(x_0+x)`.                                   (22)

    Равенство (22) справедливо для любого значения координаты `x` колеблющегося груза, что, вообще говоря, нужно проверить, т. к. мы хотим получить дифференциальное уравнение колебаний, справедливое не только для одного значения `x`, а для всех значений.

    Запишем уравнение движения груза (уравнение второго закона Ньютона) в проекциях на ось `x`, учитывая, что проекция на ось `x` ускорения груза есть вторая производная x"x^" от координаты по времени:

    mx"mx^"`F_x+mg`                                                               (23)

     С учётом (22) и (21) уравнение (23) принимает вид:

    `x"x^"`+k/mx=0`.                                                               (24)

    Видно, что это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, период которых:

     `T=2pisqrt(m/k)`.                                                                    (25)

    2-й способ решения. Используется закон сохранения энергии.

    За нулевой уровень потенциальной энергии груза в поле тяжести удобно взять положение равновесия. Полная механическая энергия колебаний системы представляет собой сумму кинетической энергии груза `1/2m(x^')^2`, потенциальной энергии груза в поле тяжести `mg(-x)=-mgx` и потенциальной энергии деформации пружины `1/2k(x_0+x)^2`.  Здесь `x^'` - проекция скорости груза на ось `x`, её квадрат равен, естественно, квадрату модуля скорости.

    Полная механическая энергия при колебаниях должна сохраняться:

     `(m(x^')^2)/2+(k(x_0+x)^2)/2-mgx="const"`.                                           (26)

    Дифференцируем (26) по времени:

    `mx^'`x"x^"`+k(x_0+x)x^'-mgx^'=0`.

    С учётом (21) после простых преобразований получаем x"x^"`+k/mx=0`, что совпадает с (24). Итак, колебания гармонические с периодом, даваемым (25).

    3-й способ. Сведение задачи к известной другой.

    Заметим,  что сила тяжести  `mvecg`  есть  постоянно действующая  на  груз сила,

    аналогичная силе `vecF_0` в примере 2. Поэтому сразу можно сказать, что колебания подвешенного на пружине груза будут гармоническими с периодом

    `T=2pisqrt(m/k)`.                                                                     (27)

    Причём новое положение равновесия висящего груза сместится на величину `x_0` вниз `(kx_0=mg)` по отношению к положению равновесия при отсутствии поля тяжести. Около нового положения равновесия и колеблется подвешенный груз.

    Теперь становится ясным, почему говорят, что период колебаний пружинного маятника определяется формулой (27), и не указывают при этом, скользит ли груз по столу или подвешен на пружине. Это полезно знать.

    Пример 4

    Показать, что в однородном поле тяжести малые собственные колебания в вертикальной плоскости математического маятника длиной `l` являются гармоническими и найти их период.

    Решение

    Пусть у маятника длина нити `l` и масса шарика `m`. За колеблющуюся физическую величину удобно взять угол `alpha` отклонения нити от вертикали (рис. 15). Будем считать `alpha` положительным, если маятник  отклонён  вправо  от положения  равновесия,  и  отрицательным,  если  он  отклонён  влево.

    Выразим кинетическую и потенциальную энергии шарика массой `m` в произвольный момент времени `t` через  угол `alpha=alpha(t)` и производную угла  по времени

    `alpha^'=alpha^'(t)`. Угловая  скорость шарика `alpha^'`, его линейная   скорость  `v=alpha^'l`  и кинетическая энергия

    `K=1/2mv^2=1/2ml^2(alpha^')^2`.

    Если за нулевой уровень потенциальной энергии `("П"=0)` взять уровень, соответствующий нахождению шарика в положении равновесия маятника, то потенциальная энергия шарика в момент отклонения нити на угол `alpha` окажется `"П"=mg(l-lcosalpha)`. Поскольку `1-cosalpha=2sin^2  alpha/2`, то `"П"=2mglsin^2  alpha/2`. Для малых углов можно считать, что значения их синусов приблизительно равны самим углам (в радианах). Поэтому `sin  alpha/2=alpha/2`, и можно принять, что

    `"П"=2mgl(alpha/2)^2=1/2mglalpha^2`.

    Полная энергия системы, `"K"+"П"`равная  при колебаниях сохраняется. Следовательно, `1/2ml^2(alpha^')^2+1/2mglalpha^2="const"`.

    Продифференцируем последнее равенство по времени:

    `1/2ml^2  2alpha^'`α"\alpha^" `+1/2mgl2alpha alpha^'=0`.

    После упрощения имеем: α"\alpha^"`+g/l  alpha=0`.

    Нами получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины `alpha` с циклической частотой `omega=sqrt(g/l)`.

    Итак, малые колебания математического маятника являются гармоническими с периодом `T=(2pi)/omega=2pisqrt(l/g)`.

    Пример 5

    Дан колебательный контур без затухания (сопротивление равно нулю) с постоянными ёмкостью `C` и индуктивностью `L`.  Показать, что свободные электрические колебания в контуре гармонические  и найти их период.  

    Решение

    Если зарядить конденсатор и затем замкнуть ключ, то в  схеме на рис. 16  возникнут   колебания заряда на конденсаторе, колебания тока в цепи, колебания  ЭДС  самоиндукции  в катушке и    т. д.  За колеблющуюся величину удобно взять заряд на одной из обкладок конденсатора.

    1-й способ решения. Используем закон Ома.

    Выберем положительное направление обхода   контура,   например   по   часовой  стрелке, как показано на рис. 16. Это означает, что ток `I` положителен, если его направление совпадает с положительным направлением обхода, и отрицателен, если не совпадает. Аналогичное можно сказать и про знак  ЭДС самоиндукции E\mathcal E, при расчёте которой по формуле E\mathcal E`=-LI^'`  автоматически будет получаться  знак у  ЭДС,  согласованный с направлением обхода.

    Обозначим через `q` заряд той обкладки конденсатора, для которой `q^'=I` (для другой обкладки `q^'=-I`, что не очень удобно). Это легко сделать, если учесть, что `q^'=(Deltaq)/(Deltat)` при `Deltat->0`. Для схемы на рис. 16 `q` следует взять на нижней обкладке.

    По закону Ома для участка  `1-L-2`

    `(varphi_1-varphi_2)+`E\mathcal E`=IR`.                                           (28)

    Поскольку  сопротивление в контуре `R=0`,  `varphi_1-varphi_2=-q/C`,

    E\mathcal E`=-LI^'=-L(q^')^'=-L`q"q^" то равенство (28) после деления на `-L` принимает вид:

    `q"q^"`+1/(LC)q=0`.                                                              (29)

    Итак, получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины `q` с циклической частотой `omega=1/(sqrt(LC))`  и периодом `T=2pisqrt(LC)`.

    Полезно заметить, что при изменении заряда по гармоническому закону `q=q_0cos(omegat+varphi_0)` ток

    `I=q^'=-q_0omegasin(omegat+varphi_0)=q_0omegacos(omegat+varphi_0+pi/2)`,

    ЭДС самоиндукции E\mathcal E`=-LI^'=Lq_0omega^2cos(omegat+varphi_0)` и напряжение на конденсаторе `U=q/C=(q_0)/C cos(omegat+varphi_0)`. Итак, заряд на конденсаторе, ток в катушке, ЭДС  самоиндукции в катушке и напряжение на конденсаторе совершают гармонические колебания с периодом `T=2pisqrt(LC)`, причём `q`, E\mathcal E, `U` колеблются  в фазе, а колебания тока опережают колебания заряда по фазе на `pi/2`.

    2-й способ решения. Используется закон сохранения энергии.

    Выберем положительное направление обхода контура и обозначим через `q` заряд той обкладки конденсатора, для которой `q^'=I`. По закону сохранения энергии

    `(LI^2)/2+(q^2)/(2C)="const"`.                                                   (30)

    Продифференцируем (30) по времени: `LI I^'+1/C q q^'=0`. Учитывая, что `I=q^'`, а `I^'=(q^')^'=`q"q^", получим q"q^"`+1/(LC)q=0`. Последнее уравнение совпало, что и следовало ожидать, с уравнением (29), и дальнейшие рассуждения те же, что и в первом способе решения.

    Пример 6

    Батарею с постоянной ЭДС E0{\mathcal E}_0 подключили к катушке с индуктивностью `L` и конденсатору с ёмкостью `C` через ключ `K`. В начальный момент времени ключ `K` разомкнут и конденсатор заряжен до напряжения 3E03{\mathcal E}_0  (рис. 17). Показать, что колебания тока в таком контуре гармонические и найти их период. Построить график зависимости тока от времени. Омическими сопротивлениями в схеме пренебречь.

    Замечание

    Если решение этого примера окажется непонятным, поскольку требуется значительная математическая культура, то рекомендуется прочитать и осмыслить только вывод в конце решения.

    Решение

    Выберем положительное направление обхода контура по часовой стрелке. Если  через `q` обозначить заряд нижней обкладки конденсатора, то ток в контуре `I=q^'` и  ЭДС индукции в катушке E\mathcal E`=-LI^'=-L`q"q^".  Заметим, что в состоянии равновесия колебательной системы (при отсутствии колебаний в контуре с замкнутым ключом) заряд нижней обкладки конденсатора равен CE0C{\mathcal E}_0 Используя закон Ома, получим:

    E0+E-qC=0{\mathcal E}_0+\mathcal E-\dfrac qC=0.

    После подстановки в последнее равенство выражения для E\mathcal E и простых преобразований имеем:

    q''+1LCq=E0Lq^''+\dfrac1{LC}q=\frac{{\mathcal E}_0}L.                                               (31)

    Дифференциальное уравнение (31) отличается от уравнения (29) только тем, что в его правой части вместо нуля стоит постоянная величина E0L\frac{{\mathcal E}_0}L. Уравнение (31) можно привести к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, аналогичному (17). Для этого запишем (31) в виде:

    q''+1LCq-CE0=0q^''+\frac1{LC}\left(q-C{\mathcal E}_0\right)=0                                    (32)

    и перейдём к новой переменной `Q` такой, что Q=q-CE0Q=q-C{\mathcal E}_0. Ясно, что `Q^'-q^'` и Q"-q"Q^"-q^". Поэтому (32)  принимает вид:                                  

     Q"Q^"`+1/(LC)Q=0`.   

    Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний для величины `Q` с циклической частотой `omega=1//sqrt(LC)`. Итак, `Q=Q_0cos(omegat+varphi)`, где `Q_0` и `varphi` - некоторые постоянные. Отсюда следует, что ток изменяется по закону `I=-Q_0omegasin(omegat+varphi)`. Значения `Q_0` и `varphi` найдём, воспользовавшись тем, что при `t=0` ток `I=0`, а заряд конденсатора q=3CE0q=3C{\mathcal E}_0, т. е.  Q=q-CE0=2CE0Q=q-C{\mathcal E}_0=2C{\mathcal E}_0.

    Тогда получим Q0=2CE0Q_0=2C{\mathcal E}_0,  `varphi=0`  и окончательно закон изменения тока имеет вид: I=-2CE0ωsinωtI=-2C{\mathcal E}_0\omega\sin\omega t,  где `omega=1//sqrt(LC)`. Таким образом, колебания тока в контуре гармонические с периодом `T=2pisqrt(LC)` и амплитудой 2CE0ω2C{\mathcal E}_0\omega. График зависимости тока от времени дан на рис. 18.

    Вывод

    При наличии в цепи колебательного контура батареи с постоянной ЭДС  период колебаний тока в контуре остаётся таким же, как и в контуре без батареи. Кроме того, можно дополнительно показать, что колебания заряда конденсатора идут около нового равновесного значения заряда, равного CE0C{\mathcal E}_0, а колебания напряжения на конденсаторе происходят тоже около нового равновесного значения напряжения, равного ЭДС батареи. Причём период колебаний заряда и напряжения будет таким же, как и при отсутствии батареи.

    Пример 7

    Последовательно с катушкой индуктивности `L` и конденсатором `C` через ключ `K` подключили батарею с постоянной ЭДС E0{\mathcal E}_0 (рис. 19). В начальный момент времени конденсатор  не  заряжен. Определить максимальную  величину тока в цепи после замыкания ключа `K`. Омическим сопротивлением в цепи пренебречь (МФТИ, 1982).

    Решение

    Можно было бы доказать, что ток в цепи изменяется по гармоническому закону  I=E0CωsinωtI={\mathcal E}_0C\omega\sin\omega t с циклической частотой `omega=1/(sqrt(LC))`. А далее заключить, что максимальное значение тока I0=CE0ω=E0CLI_0=C{\mathcal E}_0\omega={\mathcal E}_0\sqrt{\frac CL}. Решая задачу,  сформулированную в этом примере, таким способом,  мы получим ответ  на большее количество вопросов, чем спрашивается, и, в частности, докажем, что после замыкания ключа колебания тока гармонические и фактически найдём их период, что совершенно не требуется в задаче!  Для ответа на некоторые вопросы в задачах с электрическими схемами иногда достаточно воспользоваться фундаментальными законами сохранения энергии и заряда, законом Ома, тем, что при максимальном значении изменяющегося тока его производная по времени равна нулю (вспомним исследование функций) и  ЭДС  самоиндукции тоже, соответственно, равна нулю, и другими соображениями.

    Вернёмся к нашей задаче. Пусть в момент, когда ток максимален и равен `I_0`, заряд на нижней обкладке конденсатора `q`. Такой же суммарный заряд пройдёт  с момента замыкания ключа и через источник E0{\mathcal E}_0. и источник совершит работу  qE0q{\mathcal E}_0. По закону сохранения энергии работа источника пойдёт на изменение энергии магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля в конденсаторе:

    LI022+q22C=qE0\frac{LI_0^2}2+\dfrac{q^2}{2C}=q{\mathcal E}_0.                                              (33)

    В любой момент для контура, используя закон Ома, можно записать

    E0+Eинд-qC=IR{\mathcal E}_0+{\mathcal E}_\mathrm{инд}-\dfrac qC=IR.                                          (34)

    Поскольку сопротивление контура `R=0` и при максимальном значении тока `I` ЭДС индукции Eинд=0{\mathcal E}_\mathrm{инд}=0, то (34) принимает вид:

    E0-qC=0{\mathcal E}_0-\frac qC=0.                                                                       (35)

    Исключая из (33) и (35) `q`, находим, что максимальное значение тока

    I0=E0CLI_0={\mathcal E}_0\sqrt{\dfrac CL}.


  • 8. Воздухоплавание

    На тело, удерживаемое неподвижно в воздухе, действует выталкивающая сила, равная по закону Архимеда весу вытесненного этим телом воздуха. Если вес тела (в вакууме) больше веса вытесненного телом воздуха, то отпущенное тело падает вниз. Если вес тела меньше веса вытесненного воздуха, то отпущенное тело поднимается вверх. Это и есть условие воздухоплавания.

    Для осуществления воздухоплавания надо использовать газ, который легче воздуха. Это может быть нагретый воздух. Если суммарный вес оболочки воздушного шара, наполняющего его газа и полезного груза меньше веса вытесненного шаром воздуха, то шар будет подниматься.

    Задача 6

    Какой груз может поднять воздушный шар объёмом V=10 м3V=10\;\mathrm м^3, наполненный гелием? Плотность гелия ρг=0,18 кг/м3\rho_\mathrm г=0,18\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3,  плотность воздуха ρв=1,29 кг/м3\rho_\mathrm в=1,29\;\mathrm{кг}/\mathrm м^3.  Масса оболочки шара m0=2,1 кгm_0=2,1\;\mathrm{кг}.

    Решение

    Объёмом груза по сравнению с объёмом шара пренебрегаем. Вес вытесненного воздуха ρвVg\rho_\mathrm вVg, вес гелия ρгVg\rho_\mathrm гVg.   Максимальная масса груза найдётся из условия:  m0g+ρгVg+mg=ρвVgm_0g+\rho_\mathrm гVg+mg=\rho_\mathrm вVg. Отсюда

    m=ρв-ρгV-m0=9 кгm=\left(\rho_\mathrm в-\rho_\mathrm г\right)V-m_0=9\;\mathrm{кг}.


  • Введение

    Часть механики, изучающая условия, при которых тело находится в покое под действием нескольких сил, называется статикой

    В гидростатике рассматриваются силы, возникающие в системе, состоящей из покоящейся жидкости и помещённых в эту жидкость неподвижных тел.

    Силы, появляющиеся в системе из неподвижного газа и помещённых в него покоящихся тел, изучает наука аэростатика.

    В гидростатике и аэростатике используются многие понятия и законы механики и её составной части – статики. Поэтому перед чтением этого задания полезно повторить материал, касающийся понятий массы, плотности, силы, силы тяжести, веса тела, равнодействующей нескольких сил. Напомним кое-что из этого.

    Масса тела `m`, его объём `V` и плотность `rho` тела связаны формулой `m=Vrho`. Сила тяжести, действующая на тело массой `m`, приложена к телу и находится по формуле `F=mg`, где `g~~9,8  "Н"//"кг"=9,8  "м"//"с"^2`  – ускорение свободного падения. Вес тела массой `m` во многих случаях выражается тоже аналогичной формулой `Q=mg`, но вес `Q` приложен к подставке, на которой находится тело.

    Сила, которая оказывает на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил, называется равнодействующей этих сил. Если тело находится в покое, то равнодействующая сила равна нулю. В частности, если на тело действуют две силы и тело находится при этом в покое, то эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

    Несколько слов о контрольных вопросах и задачах, предлагаемых в конце задания. Часть вопросов и задач простые, часть сложные. Не смущайтесь, если некоторые из них Вам не удастся решить. У Вас будет возможность вернуться к этому заданию, когда Вы получите назад свою проверенную работу и официальное решение этого задания.

    Желаем удачи!

  • 5. Количество теплоты. Теплоёмкость

    Внутренняя энергия тела зависит от его температуры и внешних условий - объёма и т. д. Если внешние условия остаются неизменными, т. е. объём и другие параметры постоянны, то внутренняя энергия тела зависит только от его температуры.

    Изменить внутреннюю энергию тела можно, не только нагревая его в пламени или совершая над ним механическую работу (без изменения положения тела, например, работа силы трения), но и приводя его в контакт с другим телом, имеющим температуру, отличную от температуры данного тела, т. е. посредством теплопередачи.

    Количество внутренней энергии, которое тело приобретает или теряет в процессе теплопередачи, и называется «количеством теплоты». Количество теплоты принято обозначать буквой `Q`. Если внутренняя энергия тела в процессе теплопередачи увеличивается, то теплоте приписывают знак плюс, и говорят, что телу сообщили теплоту `Q`. При уменьшении внутренней энергии в процессе теплопередачи теплота считается отрицательной, и говорят, что от тела отняли (или отвели) количество теплоты `Q`.

    Количество теплоты можно измерять в тех же единицах, в которых измеряется и механическая энергия. В системе СИ - это `1` джоуль. Существует и другая единица измерения теплоты - калория. Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания `1` г воды на `1^@ "C"`.

    Соотношение между этими единицами было установлено Джоулем: `1` кал `= 4,18` Дж. Это означает, что за счёт работы в `4,18` кДж температура `1` килограмма воды повысится на `1` градус.

    Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на `1^@ "C"`, называется теплоёмкостью тела. Теплоёмкость тела обозначается буквой `C`. Если телу сообщили небольшое количество теплоты `Delta Q`, а температура тела изменилась на `Delta t` градусов, то                         

    `C = (DeltaQ)/(Deltat)`.  (1.1)

    Опыт показывает, что при обычных температурах `(200-500 sf"К")` теплоёмкость большинства твёрдых и жидких тел почти не зависит от температуры. Для большинства расчётов будем принимать, что теплоёмкость какого-нибудь вещества есть величина постоянная.

    Кроме теплоёмкости тела `C` вводят ещё удельную теплоёмкость `c` - теплоёмкость единицы массы вещества. Именно эта величина обычно приводится в справочниках физических величин. Удельная теплоёмкость `c` связана с теплоёмкостью тела `C` и массой `m` тела соотношением:

    `C = c*m`. (1.2)

    Приведённые формулы позволяют рассчитать, какое количество теплоты `Q` надо передать телу массы `m`, чтобы повысить его температуру от значения `t_1` до значения `t_2`:

    `Q=C*Deltat=C*(t_2 - t_1)=c*m*(t_2 - t_1 )`. (1.3)

    Если тело окружить оболочкой, плохо проводящей тепло, то температура тела, если оно предоставлено самому себе, будет оставаться в течение длительного времени практически постоянной. Таких идеальных оболочек в природе, конечно, не существует, но можно создать оболочки, которые по своим свойствам приближаются к таковым.

    Примерами могут служить обшивка космических кораблей, сосуды Дьюара, применяемые в физике и технике. Сосуд Дьюара представляет собой стеклянный или металлический баллон с двойными зеркальными стенками, между которыми создан высокий вакуум. Стеклянная колба домашнего термоса тоже является сосудом Дьюара.

    Теплоизолирующей является оболочка калориметра – прибора, позволяющего измерять количество теплоты. Калориметр представляет собой большой тонкостенный стакан, поставленный на кусочки пробки внутрь другого большого стакана так, чтобы между стенками оставался слой воздуха, и закрытый сверху теплонепроводящей крышкой.

    Если в калориметре привести в тепловой контакт два или несколько тел, имеющих различные температуры, и подождать, то через некоторое время внутри калориметра установится тепловое равновесие. В процессе перехода в тепловое равновесие одни тела будут отдавать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"отд")`), другие будут получать тепло (суммарное количество теплоты `Q_(sf"пол")`). А так как калориметр и содержащиеся в нём тела не обмениваются теплом с окружающим пространством, а только между собой, то можно записать соотношение, называемое также уравнением теплового баланса:

    `Q_(sf"пол") = Q_(sf"отд")` (1.4)

    В ряде тепловых процессов тепло может поглощаться или выделяться телом без изменения его температуры. Такие тепловые процессы имеют место при изменении агрегатного состояния вещества - плавлении, кристаллизации, испарении, конденсации и кипении. Коротко остановимся на основных характеристиках этих процессов.

    Плавление – процесс превращения кристаллического твёрдого тела в жидкость. Процесс плавления происходит при постоянной температуре, тепло при этом поглощается.

    Удельная теплота плавления `lambda` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы расплавить `1` кг кристаллического вещества, взятого при температуре плавления. Количество теплоты `Q_(sf"пл")`, которое потребуется для перевода твёрдого тела массы  `m` при температуре плавления в жидкое состояние, равно

    `Q_(sf"пл") = lambda * m`. (1.5)

    Поскольку температура плавления остаётся постоянной, то количество теплоты, сообщаемое телу, идёт на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул, при этом происходит разрушение кристаллической решётки.

    Процесс кристаллизации – это процесс, обратный процессу плавления. При кристаллизации жидкость превращается в твёрдое тело и выделяется количество теплоты, также определяемое формулой (1.5).

    Испарение – это процесс превращения жидкости в пар. Испарение происходит с открытой поверхности жидкости. В процессе испарения жидкость покидают самые быстрые молекулы, т. е. молекулы, способные преодолеть силы притяжения со стороны молекул жидкости. Вследствие этого, если жидкость теплоизолирована, то в процессе испарения она охлаждается.

    Удельная теплота парообразования `L` равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы превратить в пар `1` кг жидкости. Количество теплоты `Q_(sf"исп")`, которое потребуется для перевода в парообразное состояние жидкость массой `m` равно

    `Q_(sf"исп") =L*m`. (1.6)

    Конденсация – процесс, обратный процессу испарения. При конденсации пар переходит в жидкость. При этом выделяется тепло. Количество теплоты, выделяющейся при конденсации пара, определяется по формуле (1.6).

    Кипение – процесс, при котором давление насыщенных паров жидкости равно атмосферному давлению, поэтому испарение происходит не только с поверхности, но и по всему объёму (в жидкости всегда имеются пузырьки воздуха, при кипении давление паров в них достигает атмосферного, и пузырьки поднимаются вверх).

    Возгонка (сублимация) – процесс перехода вещества из твёрдого состояния непосредственно в газообразное. Именно благодаря сублимации мы чувствуем запахи некоторых твердых веществ, например, нафталина и камфары. По этой же причине мокрое белье, вывешенное на мороз, высыхает. Обратный процесс называется десублимацией. Примером десублимации служат «узоры» на окнах, образующиеся из водяного пара, находящегося в воздухе и кристаллизующегося на поверхности стекла.


  • 7. Примеры решения задач
    Задача 1

    В электрический чайник налили холодную воду при температуре  `t_1 = 10^@ "C"`. Через время `tau =10` мин после включения чайника вода закипела. Через какое время она полностью испарится? Потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоёмкость воды `c_(sf"в") = 4200  sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`, удельная теплота парообразования воды `L_(sf"в") =2,26 *10^6  sf"Дж"//sf"кг"`.

    Решение

    Для испарения воды массой `m` при температуре кипения необходимо количество теплоты `Q_1 =mL_(sf"в")`, где `L_(sf"в")` - удельная теплота парообразования воды.

    Пусть воде от нагревателя чайника в единицу времени поступает количество теплоты `q`, а `tau_1` - время, необходимое для испарения всей воды, нагретой до температуры кипения. Тогда справедливо соотношение

    `Q_1 = mL_(sf"в") =q tau_1`.

    Количество теплоты `Q_2`, поступившее от нагревателя за время `tau` и нагревшее воду от начальной температуры  `t_1 = 10^@ "C"` до температуры кипения `t_2 =100^@ "C"`, равно

    `Q_2 = q tau = c_(sf"в")m (t_2 - t_1)`,

    где `c_(sf"в")` - удельная теплоёмкость воды. Отсюда для массы воды получаем

    `m= (q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.

    Подставляя это выражение в соотношение для `Q_1`, имеем

    `q*tau_1 = (L_(sf"в")q tau)/(c_(sf"в") (t_2 - t_1))`.

    Отсюда для времени испарения воды получаем

    $$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{L}_{\mathrm{в}}·\tau }{{c}_{\mathrm{в}}·\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,26}·{10}^{6} \mathrm{Дж}/\mathrm{кг}·600 \mathrm{с} }{\mathrm{4,2}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·90 \mathrm{К}}}\approx 1 \mathrm{час}.$$

    Задача 2

    Найдите расход бензина автомобиля (в литрах) на `L = 100` км пути при скорости `v=90` км/ч. Мощность двигателя автомобиля `P=30` кВт, коэффициент полезного действия `eta =25%`.

    Решение

    Количество теплоты `Q`, которое выделяется при сгорании бензина объёмом `V`, зависит от удельной теплоты сгорания `q` данного вида топлива (для бензина `q=46 sf"МДж"//sf"кг"`)  и массы `m` сгоревшего топлива. С учётом того, что `m=rho V` (для бензина `rho = 700  sf"кг"//sf"м"^3`), получаем

    `Q=qm=q rho V`.

    Часть энергии, выделяемой при сгорании бензина, используется для создания полезной мощности `P`. Если двигатель, развивая постоянную мощность `P`, проработал в течение времени `tau`, то совершённая им работа `A` равна `P tau`. Эффективность преобразования теплоты `Q` сгорания топлива в механическую работу `A` двигателя характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД) двигателя `eta`

    `eta=A/Q * 100% = (P tau)/Q *100% = (P tau)/(q rho V) * 100%`.

    Время работы двигателя `tau = L//v`. Из полученных соотношений для величины расхода бензина находим

    `V = (100%)/(eta) * (P*L)/(q*rho *v) ~~(100%)/(25%) * (30*10^3  sf"Дж"//sf"c" * 10^5 sf"м")/(46 * 10^6 sf"Дж"//sf"кг" * 700 sf"кг"//sf"м"^3 * 25 sf"м"//sf"с") ~~14,9 sf"л"`.

    Следовательно, расход бензина для автомобиля с указанными характеристиками составляет примерно `15` литров на `100` км пути.

    Задача 3

    При выстреле из ружья стальная дробь массой `m=45` г вылетает со скоростью `v=600` м/с. Считая, что `80%` энергии, высвободившейся при сгорании порохового заряда массой `M=9` г, переходит в кинетическую энергию пули и её внутреннюю энергию, определите, на сколько градусов повысилась температура пули. Удельная теплота сгорания пороха `q=3 sf"МДж"//sf"кг"`, удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж" //(sf"кг" * sf"К")`.

    Решение

    При сгорании пороха массой `M` выделяется энергия (теплота) `Q=qM`, где `q` -удельная теплота сгорания пороха. По условию задачи `80%` этой энергии переходит в кинетическую энергию `K` дроби и её внутреннюю энергию. Следовательно, внутренняя энергия дроби изменяется, и пусть `Delta U` - величина этого изменения. Тогда справедливо следующее соотношение

    `0,8 Q=K+Delta U`.

    Перепишем его, учитывая выражения для кинетической энергии дроби `K=mv^2 //2` и изменения внутренней энергии `Delta U = c_(sf"ст") mDelta t`, где `Delta t` - изменение температуры дроби (искомая величина). Получаем

    `0,8 qM=(mv^2)/(2) +c_sf"ст" mDelta t`.

    Отсюда для изменения температуры находим

    `Delta t= (1,6 qM - mv^2)/(2 c_(sf"ст") m) = 600 sf"К"`.

    Задача 4

    Как велика масса стальной детали, нагретой предварительно до `500^@ "C"`, если при опускании её в калориметр, содержащий `18,6` л воды при температуре `13^@ "C"`, последняя нагрелась до `35^@ "C"`. Теплоёмкостью калориметра и потерями теплоты на испарение воды пренебречь. Удельная теплоёмкость стали `c_(sf"ст") = 500 sf"Дж"//(sf"кг" * sf"К")`.

    Решение

    Во время рассматриваемого теплового процесса стальная деталь массой `M_(sf"ст")` охлаждается от температуры `t_1 =500^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_(sf"ст")`:

    `Q_(sf"ст") = c_(sf"ст") M_(sf"ст") (t_1 -t)`.

    За это же время вода массой `M_sf"в" =18,6` кг нагревается от температуры `t_2 =13^@ "C"` до температуры `t=35^@ "C"`, получив при этом количество теплоты `Q_(sf"в")`:

    `Q_sf"в" = c_sf"в" M_sf"в" (t-t_2)`.

    Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:

    $$ {Q}_{\mathrm{отд}}={Q}_{\mathrm{ст}}={c}_{\mathrm{ст}}{M}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)={Q}_{\mathrm{пол}}={Q}_{\mathrm{в}}={c}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)$$.

    Здесь учтено, что по условию задачи испарением воды можно пренебречь, т. е. теплота, выделяемая при охлаждении стальной детали, идёт только на нагревание воды.

    Из последнего соотношения для массы стальной детали получаем

    $$ {M}_{\mathrm{ст}}={\displaystyle \frac{{с}_{\mathrm{в}}{M}_{\mathrm{в}}\left(t-{t}_{2}\right)}{{c}_{\mathrm{ст}}\left({t}_{1}-t\right)}}={\displaystyle \frac{4200 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\mathrm{18,6} \mathrm{кг}·\left(35°\mathrm{C}-13°\mathrm{C}\right)}{500 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})·\left(500°\mathrm{C}-35°\mathrm{C}\right)}}\approx \mathrm{7,4} \mathrm{кг}$$.

    Задача 5

    В калориметр, где в состоянии теплового равновесия находился мокрый снег (смесь льда и воды) массой `m=250` г, долили `M=1` кг воды при температуре `t_1 =20^@ "C"`. После того, как снег растаял, и установилось тепловое равновесие, в калориметре оказалась вода при температуре `t_2 =5^@ "C"`. Сколько воды содержалось в снегу? Потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра пренебречь.

    Решение

    Конечное агрегатное состояние системы по условию задачи - вода. Мокрый снег (смесь льда и воды при температуре `t_0 =0^@ "C"`) получает теплоту от находящейся в калориметре воды.

    Часть теплоты, подведённой мокрому снегу, идёт на плавление находящегося в снегу льда (пусть масса льда `m_(sf"л")`). Для плавления льда при температуре плавления необходимо количество теплоты `Q_sf"пол,1"`:

    `Q_(sf"пол,1") = m_sf"л" lambda_sf"л"`.

    На нагревание получившейся из мокрого снега воды массой `m=250` г от температуры `t_0 = 0^@ "C"` до температуры `t_2 = 5^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_sf"пол,2"`

    `Q_sf"пол,2" = c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.

    Таким образом, суммарное количество теплоты `Q_sf"пол"`, получаемое мокрым снегом, а затем водой, равно

    `Q_sf"пол"=Q_sf"пол,1" + Q_sf"пол,2"=m_(sf"л") lambda_(sf"л") + c_(sf"в") m (t_2 - t_0)`.

    Вода, первоначально находившаяся в калориметре, охлаждается от температуры `t_1 = 20^@ "C"` до температуры `t_2 =5^@ "C"`, отдавая при этом количество теплоты `Q_sf"отд"`

    `Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)`.

    Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса можно записать следующим образом:

    `Q_sf"отд" = с_sf"в" M (t_1 - t_2)=Q_sf"пол" = m_sf"л" lambda_sf"л" + c_sf"в" m (t_2 - t_0)`.

    Отсюда для массы  льда, находившегося в мокром снегу, получаем

    `m_sf"л" = (Mc_sf"в" (t_1 - t_2) - mc_sf"в" (t_2 - t_0))/(lambda_sf"л") ~~170 sf"г"`.

    Масса же воды, содержавшейся в мокром снегу, равна `78` г.

    Пример 6

    В холодную воду, взятую в количестве `12` кг, впускают `1` кг водяного пара при температуре `t_sf"п" = 100^@ "C"`. Температура воды после конденсации в ней пара поднялась до `t=70^@ "C"`. Какова была первоначальная температура воды? Потерями теплоты пренебречь.

    Решение

    Попав в холодную воду, пар массой `m_sf"п" = 1` кг конденсируется, выделяя количество теплоты `Q_1 = m_sf"п"L_sf"в"`. Здесь `L_sf"в"` - удельная теплота конденсации водяного пара. Получившаяся при конденсации пара вода охлаждается от температуры  `t_sf"п" =100^@ "C"` до `t=70^@ "C"`, отдавая холодной воде количество теплоты `Q_2 = c_sf"в" * m_sf"п" * (t_sf"п" - t)`.

    Для нагревания холодной воды массы `m_sf"в" =12` кг от начальной температуры `t_sf"в"` до температуры `t=70^@ "C"` требуется количество теплоты `Q_3 = c_sf"в" * m_sf"в" * (t-t_sf"в")`.

    Составим уравнение теплового баланса для рассматриваемого теплового процесса:

    `Q_sf"отд" = Q_1 + Q_2 = L_sf"в" m_sf"п" + c_sf"в" m_sf"п" (t_sf"п" - t) = Q_sf"пол" = Q_3 = c_sf"в" m_sf"в" (t-t_sf"в")`.

    Решая полученное уравнение, для начальной температуры воды находим:

    `t_sf"в" = t- (L_sf"в" m_sf"п") / (c_sf"в" m_sf"в")  -   (m_sf"п")/(m_sf"в") * (t_sf"п" - t) = 23^@ "C"`.

    Задача 7*

    В калориметр, содержащий `200` г воды при температуре `8^@"C"`, опускают `100` г льда, температура которого равна `-20^@"C"`. Какая температура установится в калориметре? Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

    Решение

    Конечное состояние не очевидно. Требуется анализ.

    Чтобы нагреть массу `m_"л"=0,1` кг льда от `t_"л"=-20^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, надо было бы затратить количество теплоты

    `Q_1=c_"л"m_"л"(t_0-t_"л")=4200` Дж.

    Чтобы расплавить весь лёд при `0^@"C"` потребовалось бы количество теплоты

    `Q_2=lambda_"л"m_"л"=33600` Дж.

    Если вся вода охладится от `t_"в"=8^@"C"` до `t_0=0^@"C"`, то выделится количество теплоты

    `Q_3=c_"в"m_"в"(t_"в"-t_0)=6720` Дж.

    Сравнивая полученные значения для `Q_1`, `Q_2`, `Q_3`, приходим к выводу, что `Q_3` хватит на нагрев всего льда от `t_"л"` до `t_0` и плавления только части льда массой `m_1`. Уравнение теплового баланса

    `Q_3=Q_1+m_1lambda_"л"`.

    Отсюда

    `m_1=(Q_3-Q_1)/(lambda_"л")=7,5` г.

    Итак, в калориметре будет смесь из `207,5` г воды и `92,5` г льда при `0^@"C"`.




  • 6. Удельная теплота сгорания топлива

    Увеличить внутреннюю энергию тела можно двумя способами: 1) за счёт совершения над ним работы внешними силами, 2) за счёт теплообмена с телом, имеющим более высокую температуру, чем само тело. В некоторых случаях, например, для плавления металлов, необходимо очень большое количество теплоты и высокая температура. Таких условий можно достичь, используя какое-либо топливо (уголь, нефть, природный газ, дерево и т. д.). При его сгорании, т. е. при химической реакции соединения с кислородом, будет выделяться теплота. Это связано с тем, что в процессе химической реакции горения кинетическая энергия получаемых частиц вещества (продуктов сгорания) становится больше, чем кинетическая энергия исходных частиц вещества.

    Энергия, выделяющаяся при сгорании топлива, называется теплотой сгорания. Удельная теплота сгорания топлива – это количество теплоты, которое выделяется при полном сгорании `1` кг топлива. Она обозначается буквой `q`. Количество теплоты, выделившееся при сгорании массы m топлива, равно

    `Q=q*m`.                                                                                   (7)

                                                

  • 8. О точности при получении численного ответа

    Математика имеет дело с абстрактными (идеализированными) объектами. Например, идеально ровные прямые, не имеющие размеров точки, и числа, которые абсолютно точны. В отличие от математики, физика имеет дело с реальными природными объектами, которые измеряются реальными приборами. Все приборы измеряют физические величины с некоторой точностью, которая определяется классом точности прибора или ценой деления его шкалы. Например, у линейки цена деления `1` мм и, соответственно, погрешность, равная половине цены деления прибора, составляет `0,5` мм. Более того, точность измерений зависит от способа измерения, от выбора методики и условий проведения эксперимента, и многих других причин, которые определяют объективную погрешность эксперимента.

    Поэтому, если Вы, измеряя с помощью обычной линейки (цена деления `1` мм), вдруг получили ответ с точностью до тысячных (или даже точнее) долей миллиметра, то Вы наврали. Так как, сами понимаете, что таким прибором заведомо нельзя так точно измерить. Или другой пример. Если Вы пишите ответ `«sqrt2»`, то Вы, как минимум, претендуете на Нобелевскую премию. Потому что, так Вы делаете заявку на измерение с бесконечной точностью, что в принципе невозможно. (Противоречит соотношению неопределённостей Гейзенберга.) Таким образом, при написании ответа или результата эксперимента Вы отвечаете за каждую свою цифру.

    Возникает вопрос, так всё же с какой точностью нужно писать ответ к задаче? В эксперименте, по умолчанию (если не оговаривается особо), обычно подразумевают точность `10%`. Так называемая «золотая десятина». При решении задач, основным соображением является то, что количество значащих цифр в ответе не должно превышать количество значащих цифр в условии.

    Здесь изложены лишь некоторые соображения, которые определяют точность решения. В целом же, точность эксперимента или расчёта экспериментатор (автор идеи) определяет сам, исходя из здравого смысла и своего опыта. Со временем, Уважаемые Читатели, этот опыт придёт и к Вам.

    Пример

    В эксперименте измерение трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда дало значения `a=0,12` м, `b=1,2*10^(-2)` м, `c=121` мм. Требуется вычислить его объём, ответ дать в кубических миллиметрах.

    Решение

    Поскольку нам необходимо вычислить объём в миллиметрах, приведём все результаты измерений в миллиметрах:

    `a=0,12  "м"=0,12*10^3  "мм"=12*10  "мм"`

    `b=1,2*10^(-2)  "м"=1,2*10^(-2)*10^3  "мм"=12  "мм"`

    `c=121  "мм"`.

    Объём равен произведению сторон

    `V=a*b*c=12*10  "мм"*12  "мм"*121  "мм"=174240  "мм"^3~~1,7*10^5  "мм"^3`.

    Исходные данные содержали минимум `2` значащие цифры, поэтому необходимо и ответ округлить до двух значащих цифр.

    ответ

    Объём параллелепипеда `V=1,7*10^5  "мм"^3`.


  • Введение

    Слово «электричество» может вызвать представление о сложной современной технике: компьютерах, телевизорах, электродвигателях и т. д. Но электричество играет в нашей жизни гораздо более серьёзную роль. Действительно, согласно современной теории строения вещества, силы, действующие между атомами и молекулами, в результате чего образуются жидкие и твёрдые тела, – это электрические силы. Они ответственны и за обмен веществ, происходящий в человеческом организме. Даже когда мы что-нибудь тянем или толкаем, это оказывается результатом действия электрических сил между молекулами руки и того предмета, на который мы воздействуем. И вообще, большинство сил (например, силы упругости, силы реакции опоры) сегодня принято считать электрическими силами, действующими между атомами. Сила тяжести, однако, не относится к электрическим силам.

    Электрические явления известны с древних времён, но лишь в последние два столетия они были досконально изучены. По современным представлениям вся совокупность электрических и магнитных явлений есть проявление существования, движения и взаимодействия электрических зарядов. В настоящем Задании мы познакомимся с основными понятиями, определениями и законами, утвердившимися при описании электрических явлений.

  • 1.2. Объяснение явления электризации

    По современным представлениям атом состоит из массивного положительно заряженного ядра, состоящего из протонов и нейтронов, и движущихся вокруг ядра отрицательно заряженных электронов. В нормальном состоянии положительный заряд ядра (его носителями являются находящиеся в ядре протоны) равен по величине (т. е. по модулю) отрицательному заряду электронов, и атом в целом электрически нейтрален. Однако атом может терять или приобретать один или несколько электронов. Тогда его заряд будет положительным или отрицательным, и такой атом называется ионом.

    В твёрдом теле ядра атомов могут колебаться, оставаясь вблизи фиксированных положений, в то время как часть электронов движется свободно. Электризацию трением можно объяснить тем, что в различных веществах ядра удерживают электроны с различной силой. Когда пластмассовая линейка, которую натирают бумажной салфеткой, приобретает отрицательный заряд, это означает, что электроны в бумажной салфетке удерживаются слабее, чем в пластмассе, и часть их переходит с салфетки на линейку. Положительный заряд салфетки равен по величине отрицательному заряду, приобретённому линейкой. Таким образом,  при электризации тел заряды не создаются, а перераспределяются. Этим и объясняется явление электризации: электроны удаляются из тела или заимствуются у атомов другого тела, но не уничтожаются и не создаются вновь. Следует заметить, что при описанном способе электризации трение не играет принципиальной роли: сдавливая тела,  мы просто сближаем их поверхности, которые без этого соприкасались бы в немногих точках вследствие неровностей и выступов.

    Наэлектризовать тело можно и другими способами. Например, приведя незаряженное тело в соприкосновение с заряженным. Возможна электризация через влияние, т. е. без непосредственного контакта. Опыт показывает, что под действием заряженного тела на незаряженном может происходить перераспределение электронов или упорядочение молекул (или атомов), вследствие чего части незаряженного тела оказываются наэлектризованными. Это явление получило название электризации через влияние, или электростатической индукции, а заряды, возникающие вследствие перераспределения (упорядочения), индуцированными.

    Электризация у некоторых веществ может происходить под действием электромагнитных волн: электроны покидают облучаемую поверхность, в результате тело заряжается положительно. Это явление называется фотоэлектрическим эффектом, или кратко фотоэффектом.

    Пример 2

    В результате действия ультрафиолетового электромагнитного излучения на первоначально незаряженное тело его поверхность покинуло `N=4,0*10^(10)` электронов. Найдите заряд `Q` тела? Элементарный заряд `e=1,6*10^(-19)`Кл.

    Решение

    Положительный заряд тела будет обусловлен некомпенсированным электронами зарядом `Q=N*e=4,0*10^(10)*1,6*10^(-19)=6,4*10^(-9)`Кл.


  • 1.1. Статическое электричество. Электрический заряд и его свойства

    Слово электричество происходит от  греческого названия янтаря – ελεκτρον. Янтарь – это окаменевшая смола хвойных деревьев; древние заметили, что если натереть янтарь куском шерстяной ткани, то он будет притягивать  лёгкие  предметы  и  пыль. В конце  XVI  века  английский  учёный У. Гильберт обнаружил, что таким же свойством обладают стекло и ряд других веществ, натёртых шёлком. Теперь мы говорим, что в этих случаях тела, благодаря трению, приобретают электрический заряд, а сами тела называем заряженными.

    Все ли электрические заряды одинаковы или существуют различные их виды? Опыт показывает, что существует два и только два вида зарядов, причём заряды одного вида отталкиваются, а заряды разных видов притягиваются. Мы говорим, что одноимённые заряды отталкиваются, а разноимённые притягиваются.

    Американский учёный Б. Франклин (XVIII век) назвал эти два вида зарядов положительными и отрицательными. Какой заряд как назвать было совершенно безразлично; Франклин предложил считать заряд наэлектризованной стеклянной палочки положительным. В таком случае заряд, появляющийся на янтаре, потёртом о шерсть, будет отрицательным. Этого соглашения придерживаются и по сей день.

    О заряженных телах говорят, что одни тела наэлектризованы сильнее, а другие слабее. Для того чтобы такие утверждения имели смысл, следует установить количественную меру, позволяющую сравнивать степени наэлектризованности тел. Мерой наэлектризованности любого тела является электрический заряд  `Q` этого тела (латинские буквы `q` и `Q` традиционно используются для обозначения заряда). В свою очередь, незаряженные тела называют электронейтральными, или просто нейтральными, их заряд равен нулю.

    В международной системе единиц (сокращенно СИ) единицей измерения заряда служит кулон (Кл) (в честь французского учёного Шарля Кулона, установившего в 1785 г. закон взаимодействия точечных зарядов). Определение этой единицы в СИ даётся через единицу измерения силы тока и будет представлено ниже.

    Развитие науки о природе привело не только к открытию элементарных частиц (протонов, электронов, нейтронов и др.), но и показало, что электрический заряд не может существовать сам по себе, без элементарной частицы – носителя заряда.

    Важными свойствами заряда являются его делимость и независимость от скорости.

    Экспериментально установлена делимость электрического заряда и существование его наименьшей порции. Эту наименьшую величину электрического заряда называют элементарным зарядом `e=1,6*10^(-19)`Кл. Несмотря на значительные экспериментальные усилия, к настоящему времени не обнаружены в свободном состоянии носители с зарядом `|q|<e`, где `e` - элементарный заряд.

    Носителями электрического заряда являются элементарные частицы, например, электроны (заряд каждого `q_e=-e=-1,6*10^(-19)`Кл), протоны (заряд каждого `q_p=e=1,6*10^(-19)`Кл). Экспериментально установлено, что отрицательный заряд электрона равен (с высокой точностью) по абсолютному значению положительному заряду протона. Величина заряда любого тела кратна элементарному заряду.

    Пример 1

    Металлическому шару путём удаления части электронов сообщается заряд `Q=2,0*10^(-6)` Кл. Сколько электронов удалено с шара? На сколько изменится масса шара? Элементарный заряд `e=1,6*10^(-19)`Кл, масса электрона  `m_e=0,9*10^(-30)`кг.

    Решение

    Количество удалённых электронов найдём из равенства

    `N=(-Q)/(-e)=(2,0*10^(-6))/(1,6*10^(-19))=1,25*10^(13)`.

    Масса электронов, удалённых с шара,

    `m=N*m_e=1,25*10^(13)*0,9*10^(-30)=1,125*10^(-17)`кг

    даёт ответ на второй вопрос задачи. Отметим, что убыль массы шара очень мала.

    Независимость элементарного заряда от скорости носителя доказывается фактом электронейтральности атомов, в которых вследствие различия масс электрона и протона лёгкие электроны, видимо, движутся значительно быстрее массивных протонов. Если бы заряд зависел от скорости, нейтральность атомов не могла бы соблюдаться. Так что независимость заряда от скорости принимается в качестве одного из экспериментальных фактов,  на которых строится теория электричества.

    Лишь в XIX веке стало ясно: причина существования электрического заряда кроется в самих атомах. Позднее (в другом Задании) мы обсудим строение атома и развитие представлений о нём более подробно; здесь же кратко остановимся на основных идеях, которые помогут нам лучше понять природу электричества.


  • 1.3. Проводники и изоляторы

    По поведению зарядов в наэлектризованном теле все вещества делятся на проводники и изоляторы (диэлектрики). В диэлектриках сообщённый им заряд остаётся в том месте, куда он был помещён при электризации. В проводниках сообщённый заряд может свободно перемещаться по всему телу. Именно поэтому проводящие тела можно заряжать электризацией через влияние. Почти все природные материалы попадают в одну из этих двух резко различных категорий. Есть, однако, вещества (среди которых следует назвать кремний, германий, углерод), принадлежащие к промежуточной, но тоже резко обособленной категории. Их называют полупроводниками.

    С точки зрения атомной теории электроны в изоляторах связаны с атомами очень прочно, в то время как в проводниках многие электроны связаны с атомами очень слабо и могут свободно перемещаться внутри вещества. Такие электроны называют «свободными», или электронами проводимости. Слово «свободными» взято в кавычки, так как свойства электронов в металле значительно отличаются от свойств действительно свободных электронов в вакууме. В металлических телах – проводниках электричества – число свободных электронов огромно. Проиллюстрируем это утверждение на следующем примере.

    Пример 3

    Оцените число `n` свободных электронов в `V=1"м"^3` меди, считая, что в меди в среднем в расчёте на один атом свободным является один электрон. Плотность меди `rho=8,9*10^3 "кг"//"м"^3`, в `M=64` г меди содержится  `N_A=6,02*10^(23)` атомов.

    Решение

    Согласно условию число свободных электронов в любом объёме меди равно числу атомов в нём. Поэтому определим число атомов в объёме `V`.  Для этого следует массу меди `rhoV` разделить на `M` и умножить на `N_A`, т. е.

    `N=(rhoV)/M N_A=(8,9*10^3*1)/(64*10^(-3))*6,02*10^(23)~~8,4*10^(28)`.

    Найденная величина называется концентрацией носителей.


  • 1.4. Закон сохранения электрического заряда

    Сохранение электрического заряда представляет собой важнейшее известное из опыта его свойство: в изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остаётся неизменной. Справедливость этого закона подтверждается не только в процессах электризации, но и в наблюдениях над огромным числом рождений, уничтожений и взаимных превращений элементарных частиц. Закон сохранения электрического  заряда – один  из  самых фундаментальных  законов  природы. Неизвестно ни одного случая его нарушения. Даже в тех случаях, когда происходит рождение новой заряженной частицы, обязательно одновременно рождается другая частица с равным по величине и противоположным по знаку зарядом.

    Электрический заряд элементарной частицы не зависит ни от выбора системы отсчёта, ни от состояния движения частицы, ни от её взаимодействия с другими частицами. Поэтому и заряд макроскопического тела не зависит ни от движения составляющих его частиц, ни от движения тела как целого.

    Пример 4

    Два одинаковых проводящих шарика, несущих заряды `Q_1=-9,0*10^(-9)` Кл и `Q_2=2,0*10^(-9)` Кл, приводят в соприкосновение и удаляют друг от друга. Какими станут заряды `Q_1^'` и `Q_2^'` шариков?

    Решение

    После приведения шариков в соприкосновение заряды, свободно перемещающиеся в проводниках, придут в движение и разделятся поровну между шариками. Действительно у зарядов «нет оснований предпочесть» один из шариков: «с точки зрения зарядов» шарики неотличимы. Тогда `Q_1^'=Q_2^'`. Заряды шариков найдём по закону сохранения электрического заряда:

    `Q_1+Q_2=2Q_1^'`.

    Отсюда `Q_1^'=(Q_1+Q_2)/2=(-9,0*10^(-9)+2,0*10^(-9))/2=-3,5*10^(-9)` Кл.

    Соображения симметрии, использованные при решении задачи, являются важнейшими в физике, к ним мы будем неоднократно обращаться в дальнейшем в различных разделах курса физики.

    Пример 5

    Свободный нейтрон `n` - незаряженная частица – распадается на протон `p`, электрон  `e^-` и электронное антинейтрино $$ {\stackrel{~}{\nu }}_{e}$$. Схему этой реакции записывают в виде $$ n\to p+{e}^{-}+{\stackrel{~}{\nu }}_{e}$$. Найдите заряд `q` антинейтрино.

    Решение

    По условию нейтрон – незаряженная частица. Заряды протона и электрона равны соответственно `e` и `-e`. Из закона сохранения заряда следует, что заряд нейтрона равен сумме зарядов продуктов реакции, т. е. протона, электрона и антинейтрино:

    `0=e+(-e)+q`.

    Отсюда `q=0`.

    Заряд электронного антинейтрино равен нулю.


  • 1.5. Взаимодействие заряженных тел. Электрическое поле

    Заряженные тела воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия двух зарядов зависит от величин этих зарядов и от расстояния межу ними. Долгое время оставалось неясным, посредством чего взаимодействуют заряженные тела, если они не вступают в непосредственный контакт друг с другом. Кулон был убеждён, что промежуточная среда, т. е. «пустота» между зарядами никакого участия во взаимодействии не принимает.

    Такая точка зрения, несомненно, была навеяна впечатляющими успехами ньютоновской теории тяготения, блестяще подтверждавшейся астрономическими наблюдениями. Однако сам Ньютон писал: «Непонятно, каким образом неодушевлённая косная материя, без посредства чего-либо иного, что нематериально, могла бы действовать на другое тело без взаимного прикосновения».

    В 30-е годы XIX века английским естествоиспытателем М. Фарадеем была введена в физику идея поля как материальной среды, посредством которой осуществляется любое взаимодействие пространственно удалённых тел. М. Фарадей считал, что «материя присутствует везде, и нет промежуточного пространства, не занятого ею». Фарадей развил последовательную концепцию электромагнитного поля, основанную на идее конечной скорости распространения взаимодействия. Законченная теория электромагнитного поля в строгой математической форме была через 30 лет развита другим английским физиком, Дж. Максвеллом.

    По современным представлениям электрические заряды наделяют окружающее их пространство особыми физическими свойствами – создают электрическое поле. Основным свойством поля является то, что на находящуюся в этом поле заряженную частицу, действует некоторая сила, т. е. взаимодействие электрических зарядов осуществляется посредством создаваемых ими полей. Поле, создаваемое неподвижными зарядами, не изменяется со временем и называется электростатическим.

    Таким образом, электрическое поле представляет собой особый вид материи (отличный от вещества), которое создаётся электрическими зарядами и которое обнаруживается по действию на электрические заряды. Более подробно взаимодействие электрических зарядов и электрические поля, создаваемые зарядами, будут рассмотрены в десятом классе, а мы перейдём к изучению вопросов, связанных с электрическим током.

  • 2.1. Электрический ток в проводниках. Направление электрического тока. Сила и плотность тока

    Направленное движение электрических зарядов называется электрическим током. Носителями зарядов в зависимости от типа проводника могут быть электроны и ионы. В металлических проводниках – это свободные электроны, или электроны проводимости, в гальванических ваннах, т. е. в растворах электролитов, – положительные и отрицательные ионы. Тела или вещества, в которых можно создать электрический ток, называют проводниками электрического тока. Проводниками являются все металлы, водные растворы солей или кислот, ионизованные газы.

    При движении свободных заряженных частиц происходит перенос заряда. Количественной характеристикой – силой $$ I$$ тока – принято считать скорость переноса заряда через любое поперечное сечение проводника, т. е. количество заряда, перемещённого через «контрольную поверхность», на которой осуществляется подсчёт пересёкшего её заряда, в единицу времени:

     `I=q/t`,                                                     (1)


    где `q` – заряд, прошедший через произвольное фиксированное поперечное сечение проводника за время от `0` до `t`. Если сила тока не изменяется со временем, ток называют постоянным. Единица измерения силы тока в системе СИ называется ампером (А) (в честь А.М. Ампера – французского учёного XIX века) и вводится через магнитное взаимодействие токов.

    Один ампер есть сила такого тока, поддерживаемого в двух бесконечных (очень длинных) прямолинейных параллельных проводниках ничтожно малой площади поперечного сечения, расположенных на расстоянии `1`м в вакууме, при котором в расчёте на `1` метр длины проводника действует сила  `F=2*10^(-7) "Н"`.

    Единица измерения силы тока ампер, наряду с метром, секундой, килограммом, является основной единицей системы СИ. Единица измерения заряда кулон (Кл) является производной и вводится в соответствии с (1): один кулон – это электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока $$ 1\mathrm{A}$$ за $$ 1\mathrm{c}$$, т. е. $$ 1\mathrm{Кл}=1\mathrm{A}·1\mathrm{c}.$$

    За направление электрического тока принимают направление, в котором движутся положительно заряженные носители тока.

    Отношение силы `I` тока к площади `S` поперечного сечения проводника называется плотностью тока:

    `j=I/S`,                                                       (2)


    которая равна силе тока в расчёте на единицу площади поперечного сечения.

    Пример 6

    По проводу течёт постоянный ток. Через произвольное поперечное сечение за время  `t=2` мин протёк заряд `q=1,2` Кл. Найдите силу `I` тока в проводе и его плотность `j`. Площадь поперечного сечения проводника `S=0,5 "мм"^2`.

    Решение

    Силу тока определим по формуле (1):

    $$ I={\displaystyle \frac{q}{t}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{120}}=\mathrm{0,01}\mathrm{A}$$,

     плотность тока найдём по формуле (2):

    `j=I/S=(0,01)/(0,5*10^(-6))=2*10^4"А"//"м"^2`.

    Пример 7

    Согласно модели, предложенной Нильсом Бором, в основном состоянии атома водорода электрон движется вокруг покоящегося протона по круговой орбите радиуса `r=0,53*10^(-10)` м со скоростью `v=2,2*10^6` м/с. Какой величине `I` тока эквивалентно движение электрона по орбите? Каково направление этого тока? Элементарный заряд `e=1,6*10^(-19)` Кл.

    Решение

    В рассматриваемой модели электрон обращается вокруг протона с периодом  `T=(2pir)/v`.    За `t=1` с электрон пересечёт любую контрольную поверхность, на которой происходит подсчёт переносимого заряда, `nu=1/T` раз. Тогда через эту поверхность за `t=1` с пройдёт заряд `q=e*nu`, т. е. сила эквивалентного тока в соответствии с (1) равна

    `I=q/t=enu=ev/(2pir)=1,6*10^(-19) *(2,2*10^6)/(2*3,14*0,53*10^(-10))~~1,06*10^(-3) "А"`.

    Поскольку электрон – отрицательно заряженная частица, то направление рассматриваемого тока противоположно направлению движения электронов.