-
Квалификация
Кандидат физико-математических наук, председатель предметной комиссии по математике олимпиады «Физтех», специалист ЗФТШ при МФТИ
-
Место работы
Кафедра высшей математики МФТИ
22 января
§2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
Пример 7
При каких зна...
80 просмотров
22 января
§3. Аналитические методы решения задач с параметрами
Пример 17
Найдите все значения параметра $$ p$$ , при каждом из которых уравнение
$$ 8{\text{sin}}^{3}x=p+9\text{cos}2x$$ не имеет решений.
Решение
Перепишем уравнение в виде
$$ 8{\text{sin}}^{3}x=p+9(1-2{\text{sin}}^{2}x),\hsp...
89 просмотров
22 января
§4. Графические методы решения задач с параметрами
Пример 25
Для каждого значения параметра $$ a$$ решите неравенство $$ |2x+a|\le x+2$$.
Решение
Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными $$ x$$ и $$ a$$ и изобразим на координатно...
104 просмотра
22 января
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
84 просмотра
25 декабря 2019 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
108 просмотров
6 ноября 2019 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
1 комментарий
135 просмотров
6 ноября 2019 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
155 просмотров
6 ноября 2019 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
4 комментария
146 просмотров
24 июня 2019 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. &n...
4 комментария
438 просмотров
24 июня 2019 г.
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число $$ a$$ называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение &nd...
924 просмотра
18 марта 2019 г.
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
426 просмотров
17 января 2019 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
573 просмотра
24 декабря 2018 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
612 просмотров
6 ноября 2018 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
717 просмотров
6 ноября 2018 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
864 просмотра
6 ноября 2018 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
1005 просмотров
6 ноября 2018 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
1 комментарий
802 просмотра
14 августа 2018 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
1090 просмотров
14 августа 2018 г.
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
993 просмотра
16 апреля 2018 г.
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
3984 просмотра
29 марта 2018 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха – это земноводное.
Очеви...
1883 просмотра
28 марта 2018 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
3757 просмотров
28 марта 2018 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` – некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(...
1659 просмотров
25 февраля 2018 г.
§4. Алгебраические уравнения
1. Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
ax2+bx+c=0, a≠0, (13)ax^2+bx+c=0,\: a\neq 0, \:\:\:\:\:\: (13)
с действительными коэффициентами aa, bb...
2622 просмотра
8 февраля 2018 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
3210 просмотров
10 января 2018 г.
4. Симметрические системы
Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...
3411 просмотров
10 января 2018 г.
2. Нелинейные системы уравнений
В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...
2304 просмотра
10 января 2018 г.
1. Системы линейных уравнений
Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\...
1578 просмотров
10 января 2018 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
9252 просмотра
19 ноября 2017 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
6804 просмотра
19 ноября 2017 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=-1` - верно для в...
3614 просмотров
18 ноября 2017 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства наз...
4121 просмотр
14 ноября 2017 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
5578 просмотров
13 октября 2017 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
4248 просмотров
11 октября 2017 г.
&1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
1883 просмотра
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Физика
Физика
Физика
Математика
Математика
Математика
