-
Квалификация
Кандидат физико-математических наук, председатель предметной комиссии по математике олимпиады «Физтех», специалист ЗФТШ при МФТИ
-
Место работы
Кафедра высшей математики МФТИ
9 марта
§ 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений
Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко исполь...
1 комментарий
83 просмотра
2 июня 2020 г.
§ 2. Задачи на построение
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
5 комментариев
279 просмотров
2 июня 2020 г.
§ 1. Геометрическое место точек
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
3 комментария
295 просмотров
2 июня 2020 г.
2. Нелинейные системы уравнений
В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...
335 просмотров
2 июня 2020 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
332 просмотра
2 июня 2020 г.
3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения
Уравнения вида `P(x,y)=0`, где `P(x,y)` - многочлен с двумя переменными `x` и `y`, называются однородными относительно `x` и `y`, степени `k`, если в каждом из членов сумма степеней `x` и `y`, одинакова и равна `k`. Например, уравнение `x^2-3xy-7y^2=0`...
330 просмотров
2 июня 2020 г.
4. Симметрические системы
Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...
340 просмотров
2 июня 2020 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` - некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(A)=2`....
310 просмотров
2 июня 2020 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
273 просмотра
2 июня 2020 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха - это земноводное.
Очевидно, п...
335 просмотров
2 июня 2020 г.
§4. Графические методы решения задач с параметрами
Пример 25
Для каждого значения параметра $$ a$$ решите неравенство $$ |2x+a|\le x+2$$.
Решение
Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными $$ x$$ и $$ a$$ и изобразим на координатно...
255 просмотров
2 июня 2020 г.
§2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
Пример 7
При каких зна...
275 просмотров
2 июня 2020 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
247 просмотров
19 февраля 2020 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха - это земноводное.
Очевидно, п...
721 просмотр
19 февраля 2020 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
714 просмотров
19 февраля 2020 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` - некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(A)...
728 просмотров
22 января 2020 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
879 просмотров
25 декабря 2019 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
935 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая
Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению ...
618 просмотров
7 декабря 2019 г.
§ 5. Рисунок в геометрической задаче
В заключении остановимся на ещё не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач.
Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения...
543 просмотра
7 декабря 2019 г.
Сводка полезных формул по геометрии
Формулы площади треугольника
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$$ (`a` - основание, `h` - высота к `a`).
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab·\mathrm{sin}C$$ (`a`, `b`- стороны, `C` - угол между ними).
$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ (форм...
565 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Площадь треугольника. Метод площадей
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть `A`, `B` и `C` - углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` - противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` - высоты, про...
477 просмотров
7 декабря 2019 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов
Пусть `ABC` - произвольный треугольник; `a`, `b`, `c` - длины сторон, лежащих напротив вершин `A`, `B`, `C` соответственно. Тогда справедливы следующие соотношения:
теорема косинусов
`c^2=a^2+b^2-2abcosC`
теорема синусов
...
444 просмотра
7 декабря 2019 г.
Введение
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограмма, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мене...
418 просмотров
6 ноября 2019 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
4 комментария
1016 просмотров
6 ноября 2019 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
830 просмотров
6 ноября 2019 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
1 комментарий
880 просмотров
24 июня 2019 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. &n...
4 комментария
1222 просмотра
24 июня 2019 г.
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число $$ a$$ называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение &nd...
1673 просмотра
18 марта 2019 г.
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
1351 просмотр
17 января 2019 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
1339 просмотров
24 декабря 2018 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1312 просмотров
6 ноября 2018 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
1554 просмотра
6 ноября 2018 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
1399 просмотров
6 ноября 2018 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
1 комментарий
1685 просмотров
6 ноября 2018 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
1742 просмотра
14 августа 2018 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
1872 просмотра
14 августа 2018 г.
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
1708 просмотров
16 апреля 2018 г.
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
5007 просмотров
29 марта 2018 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха – это земноводное.
Очеви...
2700 просмотров
28 марта 2018 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
5902 просмотра
28 марта 2018 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` – некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(...
2433 просмотра
25 февраля 2018 г.
§4. Алгебраические уравнения
1. Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
ax2+bx+c=0, a≠0, (13)ax^2+bx+c=0,\: a\neq 0, \:\:\:\:\:\: (13)
с действительными коэффициентами aa, bb...
3423 просмотра
8 февраля 2018 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
4156 просмотров
10 января 2018 г.
4. Симметрические системы
Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...
4273 просмотра
10 января 2018 г.
2. Нелинейные системы уравнений
В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...
3095 просмотров
10 января 2018 г.
1. Системы линейных уравнений
Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\...
2260 просмотров
10 января 2018 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
13326 просмотров
19 ноября 2017 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
8958 просмотров
19 ноября 2017 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=-1` - верно для в...
4521 просмотр
18 ноября 2017 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства наз...
5242 просмотра
14 ноября 2017 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
6624 просмотра
13 октября 2017 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
5244 просмотра
11 октября 2017 г.
&1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
2590 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Математика
Физика
Физика
Физика
Математика
Математика
Математика
