-
Квалификация
Кандидат физико-математических наук, председатель предметной комиссии по математике олимпиады «Физтех», специалист ЗФТШ при МФТИ
-
Место работы
Кафедра высшей математики МФТИ
2 июня 2020 г.
§ 2. Задачи на построение
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
5 комментариев
214 просмотров
2 июня 2020 г.
§ 1. Геометрическое место точек
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
3 комментария
214 просмотров
2 июня 2020 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха - это земноводное.
Очевидно, п...
257 просмотров
2 июня 2020 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
208 просмотров
2 июня 2020 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` - некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(A)=2`....
207 просмотров
2 июня 2020 г.
4. Симметрические системы
Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...
268 просмотров
2 июня 2020 г.
3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения
Уравнения вида `P(x,y)=0`, где `P(x,y)` - многочлен с двумя переменными `x` и `y`, называются однородными относительно `x` и `y`, степени `k`, если в каждом из членов сумма степеней `x` и `y`, одинакова и равна `k`. Например, уравнение `x^2-3xy-7y^2=0`...
267 просмотров
2 июня 2020 г.
2. Нелинейные системы уравнений
В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...
268 просмотров
2 июня 2020 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
273 просмотра
2 июня 2020 г.
§4. Графические методы решения задач с параметрами
Пример 25
Для каждого значения параметра $$ a$$ решите неравенство $$ |2x+a|\le x+2$$.
Решение
Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными $$ x$$ и $$ a$$ и изобразим на координатно...
193 просмотра
2 июня 2020 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
199 просмотров
2 июня 2020 г.
§2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
Пример 7
При каких зна...
203 просмотра
19 февраля 2020 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха - это земноводное.
Очевидно, п...
667 просмотров
19 февраля 2020 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
656 просмотров
19 февраля 2020 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` - некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(A)...
676 просмотров
22 января 2020 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
823 просмотра
25 декабря 2019 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
857 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая
Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению ...
555 просмотров
7 декабря 2019 г.
§ 5. Рисунок в геометрической задаче
В заключении остановимся на ещё не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач.
Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения...
497 просмотров
7 декабря 2019 г.
Сводка полезных формул по геометрии
Формулы площади треугольника
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$$ (`a` - основание, `h` - высота к `a`).
$$ S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab·\mathrm{sin}C$$ (`a`, `b`- стороны, `C` - угол между ними).
$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ (форм...
510 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Площадь треугольника. Метод площадей
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть `A`, `B` и `C` - углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` - противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` - высоты, про...
398 просмотров
7 декабря 2019 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов
Пусть `ABC` - произвольный треугольник; `a`, `b`, `c` - длины сторон, лежащих напротив вершин `A`, `B`, `C` соответственно. Тогда справедливы следующие соотношения:
теорема косинусов
`c^2=a^2+b^2-2abcosC`
теорема синусов
...
379 просмотров
7 декабря 2019 г.
Введение
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограмма, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мене...
361 просмотр
6 ноября 2019 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
4 комментария
950 просмотров
6 ноября 2019 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
775 просмотров
6 ноября 2019 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
1 комментарий
765 просмотров
24 июня 2019 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. &n...
4 комментария
1165 просмотров
24 июня 2019 г.
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число $$ a$$ называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение &nd...
1603 просмотра
18 марта 2019 г.
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
1287 просмотров
17 января 2019 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
1284 просмотра
24 декабря 2018 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1260 просмотров
6 ноября 2018 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
1499 просмотров
6 ноября 2018 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
1347 просмотров
6 ноября 2018 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
1 комментарий
1621 просмотр
6 ноября 2018 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
1682 просмотра
14 августа 2018 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
1811 просмотров
14 августа 2018 г.
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
1645 просмотров
16 апреля 2018 г.
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
4944 просмотра
29 марта 2018 г.
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха – это земноводное.
Очеви...
2602 просмотра
28 марта 2018 г.
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
5761 просмотр
28 марта 2018 г.
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` – некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(...
2370 просмотров
25 февраля 2018 г.
§4. Алгебраические уравнения
1. Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
ax2+bx+c=0, a≠0, (13)ax^2+bx+c=0,\: a\neq 0, \:\:\:\:\:\: (13)
с действительными коэффициентами aa, bb...
3365 просмотров
8 февраля 2018 г.
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
4069 просмотров
10 января 2018 г.
4. Симметрические системы
Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...
4208 просмотров
10 января 2018 г.
2. Нелинейные системы уравнений
В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...
3026 просмотров
10 января 2018 г.
1. Системы линейных уравнений
Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\...
2199 просмотров
10 января 2018 г.
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
13251 просмотр
19 ноября 2017 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
8840 просмотров
19 ноября 2017 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=-1` - верно для в...
4456 просмотров
18 ноября 2017 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства наз...
5172 просмотра
14 ноября 2017 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
6563 просмотра
13 октября 2017 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
5168 просмотров
11 октября 2017 г.
&1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
2536 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Математика
Физика
Физика
Физика
Математика
Математика
Математика
