Все статьи

Подкатегории

Новости

341 статей

О Физтехе

1 подкатегорий

16 статей

Факультеты и базовые кафедры

1 подкатегорий

11 статей

Московский политех

2 подкатегорий

22 статей

Разное

20 статей

Статьи

  • §1. Файловые системы
    Файловая система (ФС)

    это система хранения и структурирования некоторого произвольного множества данных на электронном носителе в форме, удобной для восприятия человека. Файловая система распределяет данные на носителе информации и предоставляет операционной системе доступ к этим данным. В наиболее распространённых файловых системах (FAT и NTFS) минимальным элементом носителя информации является кластер. Размер кластера может различаться в зависимости от типа файловой системы. Минимальный размер кластера равен `512` байтам. Упорядоченная совокупность кластеров, хранящаяся на носителе информации под общим названием, образует файл. Для удобства хранения информации, файлы группируются в файлы, называемые каталогами. Каталог может содержать также данные в виде других каталогов, называемых подкаталогами.   Отметим, что каждому файлу выделяется целое число кластеров. Если даже кластер занят частично, остальная часть пространства кластера так же считается занятой.

    Пример 1

    На жёстком диске с файловой системой FAT`32` размер кластера составляет `4` Кбайта. На диск были записаны три файла размерами `32`, `12027` и `8102` байт. Сколько кластеров необходимо для хранения трёх файлов?

    Решение

    Каждый файл занимает целое количество кластеров. Первый файл занимает `1` кластер, второй - `3`, а третий - `2`. Итого, общее количество кластеров равно `6`. Отметим, что было бы ошибкой найти общий размер файлов, поделив его на размер одного кластера.

    Любой файл обладает названием, которое состоит из двух частей: собственно имени файла и так называемого расширения файла.  

    Расширение файла

    это часть названия файла, определяющая тип данных, хранящихся в данном файле. Расширение и имя файла разделяются точкой

  • §2. Иерархические файловые системы

    Первые ФС были одноуровневыми, то есть все файлы хранились в одном каталоге. С увеличением ёмкости носителей и размера информации это стало неудобным, поэтому были разработаны иерархические (многоуровневые) файловые системы. В таких системах каталог, который не является подкаталогом ни одного другого каталога, называется корневым каталогом. Корневой каталог содержит файлы и каталоги первого уровня, каждый из которых может содержать файлы и каталоги второго уровня и так далее. Такая структура называется деревом каталогов.

    Заметим, что иногда понятие каталога заменяют понятием папки, что не всегда правильно. Каталог определяется адресом, по которому он находится на носителе информации. Папка же является графическим отображением каталога, созданным операционной системой.

  • §3. Типы файловых систем

    В настоящее время существует несколько основных типов файловых систем: дисковые файловые системы (ReFS, FAT, ExFAT, NTFS, ext`bb2`, ext`bb3`, ext`bb4`, APFS, HFS, HFS+), распределённые (сетевые) и распределённые параллельные файловые системы.

    Рассмотрим логическую структуру одной из самых распространённых дисковых файловых систем FAT. Она состоит из загрузочного кластера, таблицы размещения файлов, корневого каталога и файлов. При записи файла всегда занимается целое количество кластеров, при этом файл записывается в произвольные свободные кластеры. Полная информация о кластерах, которые занимают файлы, содержится в таблице размещения файлов FAT, при этом количество ячеек таблицы равно полному количеству кластеров. Значениями ячеек таблицы являются последовательности адресов кластеров, в которых хранятся файлы. Поясним сказанное на примере 2:

    Пример 2

    Пусть диск с файловой системой FAT состоит из `20` кластеров (см. Табл. 1). На диск записан файл, и он размещён в кластерах под номерами `5`, `6`, `12` и `19`. Тогда цепочка  размещения файла будет следующей: в `5`-ой ячейке хранится адрес `6`-ой ячейки, в `6`-ой ячейке – адрес `12`-ой, в `12`-ой ячейке хранится адрес `19`-ой, а в `19`-ой хранится знак конца файла.

    `1`

    `2`

    `3`

    `4`

    `5`

       `bb"6"`

    `6`

      `bb"12"`

    `7`

    `8`

    `9` 

     

    `10`

     

    `11`

    `12`

      `bb"19"`

    `13`

    `14`

    `15`

    `16`

    `17`

    `18`

    `19`

       К

    `20`

    Табл. 1. Пример размещения файла в файловой таблице FAT.


    Для работы распространённых операционных систем (OC) Windows, Linux и Mac OS существуют разнообразные файловые системы, отличающиеся друг от друга размерами кластеров, структурой упорядочивания информации на носителе и системой безопасности данных.

    Дисковые ФС, такие как FAT`bb"12"`, FAT`bb"16"`, FAT`bb"32"` предназначаются для OC Windows. Альтернативами файловой системе FAT для ОС Windows являются широко распространенная файловая система NTFS и её современная модификация ReFS. Для работы ОС Linux в настоящее время широко используются файловые системы Ext`bb2`, Ext`bb3` и Ext`bb4`. Для работы ОС Mac OS сегодня используется файловая система APFS, пришедшая на замену системам HFS и HFS+.

    Одним из свойств современных файловых систем является журналируемость. Журналируемые системы обеспечивают сохранение списка изменений файловой системы, позволяющего восстановить информацию при сбоях в работе компьютера. Среди перечисленных файловых систем журналируемыми являются NTFS, Ext`4` и HFS+.

    В файловой системе FAT`12`, для хранения адреса кластера выделяется `12` бит. Поэтому максимальное количество адресуемых кластеров в системе равно `2`^`12=4096`. Размер кластера равен `512` байтам, соответственно максимальный объём информации, хранимой в FAT`12`, равен `2` Мбайтам.

    Примечание. 

    Здесь и в последующем для обозначения крупных единиц измерения информации используются двоичные приставки такие как:

    `1` кибибайт (Кбайт) `= 1024` байт;

    `1` мебибайт (Мбайт) `= 1024` Кбайт;

    `1` гибибайт (Гбайт) `= 1024` Мбайт;

    `1` тебибайт (Тбайт) `= 1024` Гбайт;

    `1` пебибайт (Пбайт) `= 1024` Тбайт и т. д.

    В файловой системе FAT`16` для хранения адреса кластера выделяется `16` бит. Максимальное количество адресуемых кластеров соответственно равно `2`^`16=65536`. Максимальный размер кластера равен `64` Кбайтам (кибибайтам), поэтому максимальный объём информации, хранимой с помощью FAT`16`, равен `4` Гбайтам (гибибайтам). Файловая система FAT`16` широко используется в картах памяти фотоаппаратов.

    В файловой системе FAT`32` под адрес кластера выделяется `32` бита. Максимальный размер кластера равен `4` Кбайтам, поэтому максимальный объём информации, хранимой с помощью FAT`32`, равен `16` Тбайтам (тебибайтам). Это позволяет использовать FAT`32` на жёстких дисках самого большого размера.

    Файловая система NTFS способна устанавливать различный объём кластера. В отличие от FAT, как было сказано выше, NTFS является журналируемой файловой системой, что делает её более надёжной.

    Помимо дисковых файловых систем существуют файловые системы, предоставляющие доступ к файлам на удалённых компьютерах. Они называются распределёнными или сетевыми файловыми системами. Сетевые файловые системы часто используются на кластерах, применяемых для многопроцессорных вычислений.

  • §4. Маски имён

    Для групповых операций с файлами часто используются маски имён файлов. Например, при поиске конкретного файла среди большого количества других файлов, использование маски имён может существенно сократить время поиска. Маска представляет собой последовательность букв, цифр и других символов наряду со специальными символами «?», «*». Символ «?» означает один и только один произвольный символ. Символ «*» означает любую последовательность символов произвольной длины, включая пустую последовательность. Рассмотрим задачу поиска файла по маске среди некоторого множества файлов.

    Пример 3

    Определите, какие из нижеперечисленных имён файлов удовлетворяют маске:  ?a*l*e.txt

    1) variable.txt   

    2) label.txt              

    3) apple.txt                 

    4) sample.txt

    Решение

    Рассмотрим маску ?a*l*e.txt посимвольно. В маске знак «?» может означать один любой непустой символ. Поэтому, из всех четырёх вариантов 3-ий вариант исключается сразу, так как букве «a» в слове “apple” не предшествует какой-либо символ. За следующим знаком «*» следует буква «l», знак «*» и «e.txt». Вариант 2 исключается, так как label.txt заканчивается символами «l.txt», а не «e.txt». Знак «звёздочка» означает любое количество произвольных символов, включая отсутствие символа (пустой символ). Поэтому данной маске удовлетворяют первый и последний варианты ответов.

    Пример 4

    В некотором каталоге находятся следующие файлы:

    programma_01.cpp, proga_gf.c,pfa_09.com, ptua_09.cx, pasa_pp.cfg.

    Каким маскам удовлетворяют все эти файлы?

    1) p*a_??.c*          

    2) p*a_*.c*                              

    3) p?_*.c??            

    4) p?a_??.c*

    Решение

    Вариант номер 4 исключается из рассмотрения первым потому, что знак «?», следующий после буквы «p», требует наличия только одного символа перед буквой «а». Как минимум один файл programma_01.cpp этой маске не соответствует.  Маска под номером 3 не соответствует ни одному файлу потому, что за буквой «p» должен следовать только один символ перед знаком «_». Остальные два варианта масок соответствуют всем файлам.

  • §5. Абсолютная и относительная адресация файла

    Для того, чтобы получить доступ к файлу, находящемуся на жёстком диске системы, необходимо знать его адрес. Адресация пути файла бывает абсолютной и относительной. В случае абсолютной адресации путь к файлу указывается, начиная с корневого каталога и далее вглубь по дереву каталогов до требуемого файла. Например, в ОС Windows абсолютный путь к файлу apple.doc может выглядеть так: D:\яблоня\ветка\apple.doc. Диск здесь имеет имя `D`, корневой каталог имеет обозначение D:\, имена каталогов разделены знаком «\». При относительной адресации путь к каталогу указывается, начиная с текущего каталога. Например, относительный путь файла apple.doc относительно папки «яблоня» выглядит так: ветка\apple.doc.

    Выбирая между абсолютной и относительной адресацией, удобней пользоваться тем адресом, длина которого короче.

    Пример 5

    В корневом каталоге файловой системы Linux находятся каталоги bin, home и другие. Пусть в каталоге bin находится каталог chess, а в каталоге home находятся каталоги tmp и user. В каталоге user был создан подкаталог pictures и в него помещён файл ivan.jpg. Как выглядит относительный путь из каталога bin к файлу ivan.jpg?  Как выглядит абсолютный путь?

    Примечание. В системе Linux при перемещении по каталогам используются следующие обозначения: «.» или « » (пусто) - знак перехода в текущий каталог, «..» - знак перехода в каталог на уровень выше, «/» - знак, обозначающий корневой каталог, а так же разделяющий последовательность каталогов в обозначении пути файла или каталога.

    Решение

    Для удобства изобразим диаграмму дерева каталогов. Следуя обозначениям, применяемым в системе адресации Linux, абсолютный адрес файла в созданном каталоге pictures следующий: /home/user/pictures/ivan.jpg. Относительный адрес из каталога chess таков: ../../home/user/pictures/ivan.jpg

    Пример 6

    Пользователь ОС Windows, перемещаясь из одного каталога в другой, последовательно посетил каталоги икт, задания, D:\, классы, 10Б. Каково полное имя каталога (абсолютный адрес каталога), из которого начал перемещение пользователь?

    Решение

    Корневым каталогом является каталог D:\. Перемещаясь последовательно по дереву каталогов от корневого каталога в направлении начального каталога, получаем, что начальный  каталог: D:\задания\икт.


  • §6. Электронные таблицы и табличные процессоры

    При работе с упорядоченными массивами данных табличная форма представления информации является одной из наиболее удобных.

    Электронная таблица (ЭТ)

    это компьютерный эквивалент обычной таблицы, состоящей из строк и столбцов, на пересечении которых располагаются клетки, содержащие числовую информацию, формулы и текст. ЭТ устроeна так, что после создания новых данных, зависящих от уже существующих данных таблицы, изменение исходных данных ведёт к мгновенному изменению новых данных. В последующих примерах мы подробно рассмотрим данное свойство таблицы.

    Табличными процессорами (ТП)

    называются прикладные программы, позволяющие пользователю обрабатывать и анализировать электронные таблицы. Существует большое количество различных табличных процессоров: VisiCalc, Microsoft Excel, SuperCalc, Multiplan и другие. Основное назначение табличного процессора состоит в автоматизации расчётов в табличной форме. Любой ТП обладает следующими функциями:

    1) редактирование и добавление новой информации в ЭТ;

    2) создание данных, зависящих от исходных данных, с целью анализа и обработки исходных данных;

    3) графическое представление информации в виде графика или диаграмм.

    Табличные процессоры представляют собой удобное средство для проведения статистических, бухгалтерских и инженерных расчётов. В состав ТП входят сотни встроенных математических функций и алгоритмов статистической обработки данных. В данном задании будет рассказано о наиболее важных свойствах электронных таблиц и на примерах будет показано их применение.

  • §7. Структура электронной таблицы

    Большинство табличных процессоров имеет схожую структуру. Поэтому, изучив один из табличных процессоров, можно легко освоить работу с другими. В данном задании мы рассмотрим ТП Microsoft Excel.

    Основными элементами электронной таблицы являются столбцы и строки. Пересечение строки и столбца образует минимальный элемент электронной таблицы, называемый ячейкой. Каждая ячейка обладает адресом (ссылкой), который состоит из названия столбца, состоящего из латинских букв, и номера строки, состоящего из чисел. Столбцы в электронной таблице располагаются в алфавитном порядке, а строки – в порядке возрастания числа, как изображено на рисунке справа. Так, например,  ячейка,  располагающаяся в столбце «`"B"`» и строке «`2`», имеет адрес `"B"2` соответственно.

    В электронной таблице возможна работа с выборочным множеством данных. Для этой цели ячейку с необходимыми данными можно выделить курсором в виде рамки. Выделенная ячейка называются активной. Выделенная область прямоугольной формы, состоящая из нескольких ячеек, называется диапазоном ячеек. Пример двух диапазонов изображён на рисунке справа. Диапазон обозначается с помощью двоеточия, разделяющего адреса ячеек, которые располагаются в противоположных углах прямоугольной области, например `bb"A1":bb"B2"` и `bb"D2":bb"E3"`. Два диапазона, изображённые на рисунке, также могут образовывать один общий диапазон, обозначающийся с помощью точки с запятой `bb"A1":bb"B2"`;`bb"D2":bb"E3"`.

  • §8. Типы данных электронной таблицы

    В электронных таблицах Micosoft Excel различаются три основных типа данных: текст, числа и формулы. Формулой в электронной таблице называется выражение, начинающееся со знака равенства и содержащее  адреса ячеек таблицы, математические функции, знаки математических операций, логические символы и числа-константы. Прежде чем рассмотреть текстовый и числовой типы данных, отметим, что данные таблицы распознаются табличным процессором согласно заданному в ячейке формату. Форматов ячеек ТП Microsoft Excel существует несколько: общий, текстовый, числовой, денежный, финансовый, формат дат и времени, процентный, дробный, экспоненциальный и специальный.

    Числовой формат

    это формат ячейки для отображения и работы с числовыми значениями в виде последовательности цифр, которые могут быть разделены десятичной запятой и начинаться с цифры, знака числа («`+`» либо «`-`») или десятичной запятой. Например, `237,45` или `-12,1`.

    Экспоненциальный формат

    это формат ячейки для отображения и работы с числовыми значениями в экспоненциальном представлении. Числа в экспоненциальном формате представляются в виде `x"E"+-n`, где `x` — целое число или десятичная дробь, `n` — целое число. Пример, `1,2"E"+5` или `1,225"E"+5`.

    Денежный формат

    это формат ячейки для отображения и работы с  денежными величинами в заранее заданной пользователем валюте. Например, `342,23`р. или `12,2634`р.

    Специальный формат 

    это формат ячейки использующийся для почтовых индексов, номеров телефонов и табельных номеров.

    Итак, мы выяснили, что каждому формату ячеек соответствует определённый формат данных.

    Числовой тип

    данных включает в себя следующие форматы данных: числовой, экспоненциальный, дробный, процентный, денежный, финансовый, специальный, формат дат и времени.

    И наконец,

    текстовый тип данных

    это тип данных, не являющихся формулой или числом. В отличие от формул и числовых данных текстовые данные не используются в вычислениях и служат только для отображения информации.

    Общий формат ячейки

    это формат, использующийся по умолчанию такой, что табличный процессор автоматически определяет формат ячейки в зависимости от вида находящихся в ячейке данных.

    Замечание.

    Числа, даты, время, проценты, финансы, денежные значения, дробные и экспоненциальные числа и специальные данные табличный процессор выравнивает по правому краю ячейки, а текст - по левому. Необходимо помнить, что если формат ячейки текстовый, и в ячейке хранится последовательность цифр, то этот набор цифр ТП Microsoft Excel будет распознавать как текст.

    Итак, табличный процессор распознаёт содержимое ячейки в зависимости от выбранного формата ячейки. Пусть, в ячейке содержатся следующие цифры: `230199`. Если в ячейке установлен текстовый формат, цифры будут восприняты как символы `2`, `3`, `0`, `1`, `9`, `9`. Они же могут быть проинтерпретированы табличным процессором как число, если установлен числовой формат. Если же в ячейке установлен общий формат, то цифры будут распознаны как число `230199`.

    Как было сказано выше, помимо чисел и текста в электронной таблице используются формулы. Ячейка, содержащая формулу, отображает текущее значение формулы. Поясним работу с формулой на следующем примере.

    Пример 7

    В ячейку `"A"2` таблицы (см. Ввод формулы ) введена формула `="B"1+"C"3**"B"1`. Какое значение отобразиться в ячейке `"A"2`? Измениться ли значение формулы, если изменить значение ячейки `"B"1` на `4`?

    Табл. 2


    Решение

    Формула обеспечивает сложение числа, хранящегося в ячейке `"B"1`, с числом, хранящимся в ячейке `"C"3`, умноженным на число, хранящееся в ячейке `"B"1`. Таким образом, в ячейке `"A"2` появится число `3+2^(**)3= 9`.

    В электронной таблице можно автоматически найти значение формулы для других исходных данных, только лишь изменив исходные данные на новые. Например, изменив значение ячейки `"B"1` на `4`, в ячейке `"A"2` автоматически отобразиться новое значение `4+2^(**)4= 12`.

  • § 9. Абсолютная и относительная адресация в формулах таблицы

    Как было показано выше в примере 7, электронная таблица позволяет автоматически пересчитывать значения ячеек при изменении исходных данных. Однако табличные процессоры позволяют вычислять значения не только в старых, но и в новых ячейках по формулам, ранее введённым в другие ячейки. Данное свойство табличного процессора напрямую связано с разными видами адресаций ячеек в таблице, о которых пойдёт речь дальше.

    Адреса ячеек, использующиеся в формулах ЭТ, могут быть трёх видов – абсолютнымиотносительными и смешанными. Рассмотрим каждый из них.

    В случае относительной адресации адреса ячеек, используемые в формулах, определены относительно места расположения формулы. При копировании формулы в новое положение таблицы адреса используемых в формуле ячеек меняются соответственно новому месту положения формулы. Например, в таблице на рисунке справа формулу в ячейке `"C"1` табличный процессор воспринимает так: умножить значение ячейки, расположенной на две ячейки левее на значение ячейки, расположенной на одну ячейку левее данной формулы. Тогда при копировании формулы в ячейку `"C"2` табличный процессор умножит значение ячейки `"A"2` на значение ячейки `"B"2`. Преимущество относительной адресации состоит в том, что при копировании ячейки в новое положение ссылки в копируемой формуле меняются автоматически. Однако на практике бывает так, что адрес ячейки, используемой в формуле, не должен меняться при копировании. В этом случае используется абсолютная адресация. В абсолютных адресах перед неизменяемым значением адреса ячейки ставится знак `$`, например `$"B"$2` – это абсолютный адрес ячейки `"B"2`. Поясним преимущества относительного адреса и использование абсолютного адреса на следующем примере.

    Пример 8

    Турфирма «Кругосвет» предоставляет путевки в Грецию, на Мальту и в Италию по ценам, указанным в долларах США. Составьте формулу для расчёта цен путёвок в европейской валюте ЕВРО согласно курсу, указанному в таблице.

    Решение

    Составим формулу расчёта цены путёвки в Грецию в ячейке `"C"4` так, чтобы, скопировав её в ячейки `"C"5` и `"C"6`, можно было автоматически вычислить значения цены на путёвки на Мальту и в Италию. Положение ячейки `"B"1` относительно ячеек `"C"4`, `"C"5` и `"C"6` различное, значит необходимо, чтобы в формуле `"C"4` адрес ячейки `"B"1` был абсолютным. Положение ячеек `"B"4`, `"B"5` и `"B"6` относительно `"C"4`, `"C"5`, `"C"6` одинаковое, а значит, адрес ячейки `"B"4` в формуле должен быть относительным. Тогда выражение `="B"4^(**)$"B"$1` является формулой расчёта цены путёвки в Грецию. Использование относительного адреса `"B"4` и абсолютного адреса `$"B"$1` позволяет скопировать формулу в ячейки `"C"5` и `"C"6` и  автоматически вычислить цены путёвок в остальные страны.

    В формулах возможно использование смешанной адресации, при которой один из компонентов адреса абсолютный, а другой - относительный. Например, в адресе `"B"$2` компонент по столбцу относительный, а компонент по строке абсолютный.


    Пример 9

    В ячейке `"B"1` электронной таблицы находится формула `="E"1+`$`"E"2`. Какой вид приобретёт формула после того, как содержимое ячейки `"B"1` скопируют в ячейку `"C"1`?


    Решение

    Так как относительное положение ячейки по строкам не изменилось, и в формуле используется относительная адресация по строкам, то строковая компонента нового адреса остаётся прежней и имеет вид `="X"1+"Y"2`, где адрес по столбцам `"X"` и `"Y"` необходимо определить. Адрес столбца ячейки `"E"1` относительный, и так как ячейка `"B"1` копируется в `"C"1` со смещением в один столбец вправо, то новый адрес столбца ячейки `"E"1` будет `"F"`. Адрес столбца ячейки `$"E"2` абсолютный, значит, он остаётся неизменным и равным `"E"`. Итак, получаем, что формула в новой ячейке принимает вид `="F"1+`$`"E"2`.


    Пример 10

    В ячейке `"C"2` записана формула `=$"B"$3+"D"2`. Какой вид она приобретёт после того, как содержимое ячейки `"C"2` скопируют в ячейку `"B"1`?

    Решение

    Адрес первой ячейки `$"B"$3` абсолютный, значит, он не изменится. Адрес ячейки `"D"2` относительный по строке и по столбцу. Ячейка `"D"2` располагается в той же строке, что и ячейка `"C"2`, но в другом столбце `"D"` со смещением вправо на один столбец. Значит, адрес столбца ячейки `"D"2` в ячейке `"B"1` станет `"C"`, а по строке станет `1`, и полный вид формулы будет выглядеть `=$"B"$3+"C"1`.

  • § 10. Функции и логические выражения в электронных таблицах

    В электронных таблицах широко используются логические выражения, такие как IF()/ЕСЛИ(), NOT/НЕ, логическое умножение AND()/И()  и логическое сложение OR/ИЛИ. При работе с формулами в электронной таблице возможно использование функций, подобно использованию функций во многих языках программирования. Функция характеризуется названием, предназначением, количеством аргументов, типом аргументов и типом возвращаемого значения. Приведём пример часто используемых функций.


    Функции и логические выражения

    Англоязычная форма

    Русифицированная

    форма

    Среднее арифметическое

    AVERAGE `("A"1:"A"5)`

    СРЗНАЧ `("A"1:"A"5)`

    Сумма

    SUM `("A"1:"A"5)`)

    СУММ `("A"1:"A"5)`

    Максимальное значение

    MAX `("A"1:"A"5)`

    МАКС `("A"1:"A"5)`

    Минимальное значение

    MIN `("A"1:"A"5)`

    МИН `("A"1:"A"5)`

    Остаток от деления

    MOD`("A"1:"A"2)`

    ОСТАТ `("A"1:"A"2)`

    Целая часть числа

    INT `("A"1)`

    ЦЕЛОЕ `("A"1)`

    Табл. 3


    Из функций в таблице выше функция `"MOD"` `("A"1;"A"2)` – это функция, возвращающая остаток от деления числа, хранящегося в ячейке `"A"1`, на делитель, хранящийся в ячейке `"A"2`. При этом результат имеет тот же знак, что и делитель.

    Как показано в следующем примере, с помощью функций и диапазонов ячеек можно производить вычисления по формулам для группы ячеек.

    Пример 11

    В электронной таблице значение формулы `="AVERAGE"` `("A"1:"A"3)` равно `5`. А значение формулы `="SUM"` `("A"1:"A"2)` равно `2`. Чему равно значение ячейки `"A"3`?

    Решение

    Среднее значение `"A"1`, `"A"2`, `"A"3` равно `5`, что значит `"A"1+"A"2+"A"3=15`.

    Тогда `"A"3` равно `15-("A"2+"A"1)=15-2=13`.

    Ответ

    `"A"3 =13`.

    Пример 12

    Дмитрий, Мария и Андрей сдавали два теста по биологии. Чтобы сдать их успешно, необходимо было получить за каждый тест не меньше `35` баллов и в сумме не меньше `80`. В таблице ниже приведены результаты тестов. Какую формулу нужно написать для ячейки `"D"2`?


    Примечание. В случае условных вычислений часто используется логическое выражение IF(усл; рез_и; рез_л). Русским эквивалентов выражения IF является выражение ЕСЛИ. В логическом выражении IF, как и в других выражениях с более, чем одним аргументом, аргументы разделяются знаком точка с запятой.  Первым аргументом функции IF является проверяемое условие.  Второй аргумент «рез_и» – это результат логического выражения IF, если проверяемое условие истинно. И третий аргумент «рез_л» –  это результат выражения IF, если проверяемое условие ложно.



    Решение

    Алгоритм вычисления значения ячейки `"D"2` может выглядеть так: «если `"B"2> =35`,   

    `"C"2> =35` и `"B"2+"C"2> =80`, то записать в ячейку `"D"2` «успешно», если нет – «не успешно». Воспользуемся логическими выражениями IF и AND. Логическое умножение AND() истинно, если все его аргументы истины.  Тогда формула в ячейке `"D"2` выглядит:

    `="IF"("AND"("B"2> =35;` `"C"2> =35;` 

    `("B"2+"C"2)> =80);` "успешно";  "неуспешно"). 

    Так как адреса в формуле имеют относительный вид, то путём копирования формулы из ячейки `"D"2` мы свободно можем применить формулу для ячеек `"D"3` и `"D"4`.

  • Введение

    Решение многих задач сводится к решению уравнений. Уже во втором тысячелетии до новой эры решали линейные и некоторые квадратные уравнения в Древнем Египте. Более сложные задачи решали в Древнем Вавилоне.

    Один из первых дошедших до нас выводов формул для корней квадратного уравнения принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX век) в трактате «Китаб аль-джеб валь-мукабала» получил формулу для корней методом выделения полного квадрата.

    Затем в работах европейских математиков XIII-XVI в. в. даются отдельные методы решения различных квадратных уравнений. Слияние этих методов и общее правило произвел М. Штифель в 1544 году. Близкое к современному решение квадратного уравнения принято у Р. Бомбелли (1579 г.) и С. Стевина (1585 г.). Термин «квадратное уравнение» ввёл Х. Вольф в 1710 году.

  • §1. Уравнения и правила их преобразований


    Уравнением с переменной `x` называется равенство двух выражений

    `f(x)=g(x)`.                                                                            (1)

    Например, `x^2+1=x-3`, `x^2-1=0`, `|x|-3=0`, `(2x-3)/(x+3)=x+1`.

    Число `a` называется корнем (или решением) данного уравнения с переменной `x`, если при подстановке числа `a` в обе части этого уравнения получается верное равенство, т. е. если при `x=a` обе части уравнения определены и их значения совпадают.

    Например, уравнение `2x^2=0` имеет единственное решение `x=0`, а уравнение `x^2+3=0` не имеет решений, т. к. `x^2+3>0` при любом значении переменной `x`.

    Уравнение `(x-1)(x+2)=0` имеет только два решения `x=1` и `x=-2`. При любом `x`, отличном от `1` и `-2`, левая часть отлична от нуля, следовательно, других решений, кроме `1` и `-2`, уравнение не имеет.

    Решениями уравнения `(x-1)/(x-1)=1` являются все числа, кроме `x=1`. Число `1` не является решением уравнения, т. к. при `x=1` не определена левая часть уравнения. Это уравнение имеет бесконечно много решений.

    Уравнению  `2x=2x`  удовлетворяют  все  действительные  числа, а уравнению `|x|=x` удовлетворяют все неотрицательные числа.

    Решить данное уравнение – значит найти все его корни (решения) или доказать, что их нет.

    Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений, т. е. если каждое решение первого уравнения является решением второго и, наоборот, каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения, или если оба уравнения не имеют решений.

    Например, уравнения `3x-1=5` или `(x-2)^2=0` являются равносильными, т. к. каждое из них имеет единственное решение `x=2`. Уравнения `(x-1)(x-2)=0` и `(x-1)^2=0` не являются равносильными, т. к. число `2` является решением первого уравнения и не является решением второго.

    Сформулируем несколько правил преобразования уравнений, широко используемых при решении уравнений.

    Правило 1

    Если выражение `y(x)` определено при всех значениях `x`, при которых определены выражения `f(x)` и `g(x)`, то уравнения `f(x)=g(x)` и `f(x)+y(x)=g(x)+y(x)` равносильны. В частности, равносильны уравнения `f(x)=g(x)` и `f(x)-g(x)=0`.

    На основании этого правила любое слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, после этого получается уравнение, равносильное данному.

    Правило 2

    Если выражение `y(x)` определено для всех `x`, для которых определены выражения `f(x)` и `g(x)`, то любое решение уравнения `f(x)=g(x)` является решением уравнения `f(x)*y(x)=g(x)*y(x)`.

    Если, кроме того, `y(x)!=0` для всех `x`, то уравнения `f(x)=g(x)` и `f(x)*y(x)=g(x)*y(x)` равносильны.


    Правило 3

    Каждое решение уравнения `f(x)=g(x)` является решением уравнения `(f(x))^n=(g(x))^n` при любом натуральном `n`.


    Правило 4

    Каждое решение уравнения `f(x)*g(x)=0` является решением, по крайней мере, одного из уравнений `f(x)=0` или `g(x)=0`.

  • §2. Линейное уравнение


    Уравнение вида

    `ax=b`,                                                                               (2)

    где `a` и `b` - некоторые заданные действительные числа, называется линейным уравнением.

    Если `a!=0`, то уравнение (2) имеет единственное решение  `x=b/a`. 

    Если `a=0`, а `b!=0`, то уравнение (2) не имеет решений.

    Если `a=0` и `b=0`, то решением этого уравнения является любое действительное число.

    Пример 1

    Решите уравнения:

    а) `2x+5=3x+2`;    

    б) `2(x+3)=x+(x+3)`;

    в) `3(x+1)+5=2x+(x+8)`.

    Решение

    а) Перенесём слагаемое `3x` в левую часть уравнения, а слагаемое `5` в правую, при этом меняем их знаки: `2x-3x=2-5`.

    Это уравнение имеет единственное решение `x=3`, следовательно, исходное уравнение также имеет единственное решение.

    б) Раскрываем скобки и переносим слагаемые, содержащие `x`, из правой части уравнения в левую часть, а слагаемое `6` - в правую часть уравнения, при этом не забываем поменять знаки этих слагаемых, в результате получаем: `2x-2x=3-6`. Данное уравнение равносильно уравнению `0*x=-3`, которое не имеет решений, следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

    в) Преобразуем данное уравнение: `3x+8=3x+8`. Любое действительное число удовлетворяет полученному уравнению, следовательно, и данному уравнению удовлетворяет любое действительное число.

    Пример 2

    Выясните, какие из ниже приведённых уравнений являются равносильными:

    а)  `2x+1=7x-9` и `3(2x+1)=7x+1`;

    б) `3x+5=x+7` и `2x-(x+3)=x-1`.

    Решение

    а) Первое уравнение равносильно уравнению `2x-7x=-1-9`, его решением является число `x=2`. Второе уравнение равносильно уравнению `6x-7x=-3+1`, его решением является единственное число `x=2`. Следовательно, данные уравнения равносильны.

    б) Единственным решением первого уравнения является число `x=1`. Второе уравнение равносильно уравнению `0*x=2`, которое не имеет решений. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.


  • §3. Квадратные уравнения

    Уравнения вида

    `ax^2+bx+c=0`,                                                                             (3)

    где `x` - переменная, `a`, `b`, `c` - некоторые действительные числа, причем `a!=0`, называется квадратным уравнением.

    Уравнения `ax^2+bx=0` и `ax^2+c=0` при `a!=0` называются неполными квадратными уравнениями.

    Уравнение `ax^2+bx=0` при `a!=0` преобразуется к виду `x(ax+b)=0`, отсюда следует, что решениями полученного уравнения являются числа `x=0` и `x=-b/a`.

    Уравнение `ax^2+c=0` при `a!=0` равносильно уравнению `x^2+c/a=0`.

    Отсюда следует, что при `c=0` уравнение имеет единственное решение `x=0`. Если `c/a>0`, то уравнение не имеет решений, т. к. `x^2+c/a>=c/a`, т. е. при любых `x` левая часть уравнения не обращается в нуль. Если `c/a<0`, то уравнение приводится к виду

    `(x+sqrt(-c/a))(x-sqrt(-c/a))=0`,

    откуда следует, что оно имеет два решения, а именно, `x_1=sqrt(-c/a)` и `x_2=-sqrt(-c/a)`.

    Пример 1

    Решите уравнение:

    а) `5x^2=0`;    

    б) `6x^2-5x=0`;

    в) `3x^2+2=0`;

    г) `4x^2-9=0`.

    Решение

    а) Уравнение имеет одно решение `x=0`.

    б) Уравнение приводится к виду `x(6x-5)=0`, откуда следует, что оно имеет два решения: `x=0` и `x=5/6`.

    в) Уравнение не имеет решений, т. к. левая часть уравнения при любом значении `x` больше или равна `2`.

    г) Преобразуем уравнение к виду `(2x-3)(2x+3)=0`, откуда следует, что уравнение имеет два решения: `x=3/2` и `x=-3/2`.


    Рассмотрим теперь уравнение (3), где числа `a`, `b` и `c` отличны от нуля. Преобразуем левую часть этого уравнения:

    `ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x+c/a)=`

    `=a(x^2+2 b/(2a) x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a)=`     

    `=a((x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a^2))`.                                                                (4)

    Выражение `b^2-4ac` называют дискриминантом квадратного уравнения (3) и обозначают буквой `D`.

    Если `D>=0`, то выражение (4) можно разбить на множители

    `a(x+b/(2a)+(sqrtD)/(2a))(x+b/(2a)-(sqrtD)/(2a))=0`.

    Введём обозначения

    `x_1=(-b+sqrtD)/(2a)`        и          `x_2=(-b-sqrtD)/(2a)`                                          (5)

    Тогда уравнение (3) приводится к виду

    `a(x-x_1)(x-x_2)=0`.                                                                (6)

    Отсюда следует, что числа `x_1` и `x_2` являются корнями уравнения (3).

    Формулу (5) для нахождения корней уравнения (3) обычно записывают одной формулой

    `x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`.                                                          (7)

    Если `D=0`, то `x_1=x_2`, т. е. корни уравнения совпадают, и уравнение (3) приводится к виду `a(x-x_1)^2=0`

    Если `D<0`, то `(x+b/(2a))^2-D/(4a^2)>=-D/(4a^2)>0` для любого `x`, поэтому в этом случае уравнение (3) не имеет корней.

    Пример 2

    Решите квадратное уравнение:

    а)  `2x^2+3x-5=0`;  

    б) `3x^2+4x+2=0`;

    в) `9x^2-6x+1=0`;

    г) `sqrt2x^2-sqrt3x-sqrt2=0`.

    Решение

    а) Сначала найдём дискриминант данного квадратного уравнения:

    `D=3^2-4*2*(-5)=9+40=49`.

    Так как `D=49>0`, то по формуле (7) находим:

    `x=(-3+-sqrt(49))/4=(-3+-7)/4`.

    Следовательно, данное уравнение имеет корни `x_1=1` и `x_2=-5/2`.

    б) Так как `D=4^2-4*3*2=16-24=-8<0`, то данное уравнение не имеет действительных корней.

    в) Так как `D=6^2-4*9*1=0`, то данное уравнение имеет единственный корень `x=6/18=1/3`.

    г) `D=3-4*sqrt2(-sqrt2)=11`.

    `x_1(sqrt3+sqrt(11))/(2sqrt2)`  и  `x_2=(sqrt3-sqrt(11))/(2sqrt2)`.

    Если в уравнении (3) число `b=2b_1`, то формула (7) принимает вид

    `x=(-2b_1+-sqrt(4b_1^2-4ac))/(2a)=(-b_1+-sqrt(b_1^2-ac))/a`.                                         (8)

    В формуле (8) число `b_1` равно половине коэффициента при `x` в уравнении (3).

    Выражение `b_1^2-ac` обозначают через `D_1`. Следовательно, корни квадратного уравнения  `ax^2+2b_1x+c=0` определяются по формуле

    `x=(-b_1+-sqrt(D_1))/a`,  если  `D_1=b_1^2-ac>=0`.

    Пример 3

    Решите квадратное уравнение:

    а) `3x^2-4x-1=0`;    

    б)`2x^2+2x+5=0`.

    Решение

    а)  `D_1=2^2-3(-1)=7>0`. По формуле (8) имеем:

    `x=(2+-sqrt7)/3`,  т. е. `x_1=(2+sqrt7)/3` и `x_2=(2-sqrt7)/3`.

    б) `D_1=1^2-2*5=-9<0`. Уравнение не имеет решений.


    Пример 4

    Определить, какие из ниже приведённых уравнений являются равносильными:

    а)  `6x^2+x-1=0` и `(x+1/2)(x-1/3)=0`;

    б) `2x-6=0` и `x^2-6x+9=0`;

    в) `x^2+x+1=0` и `x^2-x+1=0`;

    г)  `x+1=0`  и  `2x^2+x-1=0`.

    Решение

    а) Первое уравнение имеет два решения:

    `x=(-1+-sqrt(25))/12=(-1+-5)/12`;  `x_1=1/3`,  `x_2=-1/2`.

    Эти и только эти числа являются корнями второго уравнения, следовательно, данные уравнения равносильны.

    б) Первое уравнение имеет одно решение `x=3`. Второе уравнение приводится к виду `(x-3)^2=0`, т. е. тоже имеет только одно решение `x=3`. Следовательно, данные уравнения равносильны.

    в) Для обоих уравнений дискриминант равен `1-4=-3<0`, следовательно, оба уравнения не имеют решений, а потому они равносильны.

    г) Первое уравнение имеет одно решение `x=-1`,  а второе уравнение имеет два решения `x_1=(-1+3)/4=1/2` и `x_2=(-1-3)/4=-1`. Число `1/2` является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения. Следовательно, данные уравнения не равносильны.

    Выражение `ax^2+bx+c`, где `x` – переменная, `a`, `b`, `c` – числа, причём `a!=0`, называется квадратным трёхчленом. Если квадратное уравнение `ax^2+bx+c=0` имеет различные корни `x_1` и `x_2`, то квадратный трёхчлен раскладывается на множители `a(x-x_1)(x-x_2)`, а если корни совпадают, то квадратный трёхчлен представим в виде `a(x-x_1)^2`. Если же уравнение `ax^2+bx+c=0` не имеет корней, то квадратный трёхчлен не раскладывается на множители.

    Пример 5

    Разложите на множители квадратный трёхчлен

    `21x^2-4x-1`.

    Решение

    Решаем квадратное уравнение `21x^2-4x-1=0`,  `D_1=4+21=25`, `x=(2+-5)/21`, `x_1=1/3`, `x_2=-1/7`.

    Отсюда следует, что `21x^2-4x-1=21(x-1/3)(x+1/7)`.

    Пример 6

    Сократите дробь `(24x^2+x-10)/(56x^2-59x+15)`, если `56x^2-59x+15!=0`.

    Решение

    Разложим на множители числитель дроби, для этого решаем квадратное уравнение

    `24x^2+x-10=0`, `D=1+960=961=31^2`, `x=(-1+-31)/48`, `x_1=30/48=5/8`, `x_2=-2/3`, `24x^2+x-10=24(x-5/8)(x+2/3)`.            

    Теперь решим уравнение `56x^2-59x+15=0`,

    `D=59^2-4*56*15=3481-3360=121=11^2`,

    `x=(59+-11)/(112)`, `x_1=70/(112)=5/8`, `x_2=48/(112)=3/7`,  

    следовательно, `56x^2-59x+15=56(x-5/8)(x-3/7)`.

    Получаем:  

    `(24x^2+x-10)/(56x^2-59x+15)=(24(x-5/8)(x+2/3))/(56(x-5/8)(x-3/7))=(3(x+2/3))/(7(x-3/7))=(3x+2)/(7x-3)`.


      

  • §4. Теорема Виета. Приведённое квадратное уравнение

    Найдём сумму и произведение корней квадратного уравнения (3). Из формулы (5) получаем:

    `x_1+x_2=-b/a`,

    `x_1*x_2=((-b+sqrtD)(-b-sqrtD))/(4a^2)=(b^2-D)/(4a^2)=(b^2-b^2+4ac)/(4a^2)=c/a`.

    Откуда следует утверждение, которое называют теоремой Виета:

    теорема Виета

    если корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0` существуют, то сумма корней квадратного  уравнения  равна `-b/a`, а  произведение корней равно `c/a`. 

    Например, для квадратного уравнения `2x^2-3x-5=0` корни существуют, т. к. `D=9+4*2*5=49>0`. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна `3/2`, а произведение корней равно `-5/2`.

    Пример 1

    Не решая квадратное уравнение, найдите сумму квадратов корней квадратного уравнения  `ax^2+bx+c=0`, `a!=0`, `b^2-4ac>0`.

    Решение

    Из теоремы Виета следует, что `x_1+x_2=-b/a` и `x_1x_2=c/a`. Преобразуем выражение `x_1^2+x_2^2`.

    Имеем: `x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`.

    Отсюда следует, что `x_1^2+x_2^2=(-b/a)^2-(2c)/a=(b^2-2ac)/(a^2)`.

    Уравнение `x^2+px+q=0` называется приведённым квадратным уравнением. В этом уравнении коэффициент при `x^2` равен `1`. Формула корней для приведённого квадратного уравнения принимает такой вид:

    `x=(-p+-sqrt(p^2-4q))/2` или `x=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)`.

    Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения звучит так:

    если `x_1` и `x_2` – корни квадратного уравнения `x^2+px+q=0`, то справедливы формулы `x_1+x_2=-p`, `x_1*x_2=q`.

    Обратная теорема Виета

    если числа `x_1` и `x_2` таковы, что `x_1+x_2=-p`, а `x_1*x_2=q`, то эти числа `x_1` и `x_2` являются корнями квадратного уравнения `x^2+px+q=0`.

    Для доказательства подставим в уравнение `x^2+px+q=0` вместо `p` выражение `-(x_1+x_2)`, а вместо `q` выражение `x_1x_2`, тогда получаем

    `x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=`

    `=(x-x_1)(x-x_2)`, 

    откуда следует, что числа `x_1` и `x_2` – корни уравнения `x^2+px+q=0`.

    Пример 2

    Составьте приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа `1/2` и `3/7`.

    Решение

    Из обратной теоремы Виета следует, что данные числа являются корнями приведённого квадратного уравнения `x^2-(1/2+3/7)x+1/2*3/7=0`, т. е. уравнения `x^2-13/14x+3/14=0`.

    Заметим, что данные числа являются и корнями квадратного уравнения `14x^2-13x+3=0`, которое получается из предыдущего умножением обеих частей уравнения на `14`.

    Пример 3

    Корни `x_1` и `x_2` квадратного уравнения `x^2+6x+q=0` удовлетворяют условию `x_2=2x_1`. Найдите `q`, `x_1`, `x_2`.

    Решение

    Из теоремы Виета следует, что `x_1+x_2=3x_1=-6`, т. е. `x_1=-2` и `x_2=2x_1=-4`. Тогда `q=x_1x_2=8`.

    Пример 4

    Не решая уравнение `2x^2-3x-9=0`, найдите `(x_2)/(1+x_1)+(x_1)/(1+x_2)`, где `x_1` и `x_2` – его корни.

    Решение

    Преобразуем выражение:

    `x_2/(1+x_1)+x_1/(1+x_2)=((x_1+x_2)+x_2^2+x_1^2)/(1+(x_1+x_2)+x_1x_2)=`

    `=((x_2+x_1)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)/(1+(x_1+x_2)+x_1x_2)`.

    По теореме Виета `x_1+x_2=3/2` и `x_1x_2=-9/2`. Поэтому имеем:

    `(3/2+(3/2)^2-2(-9/2))/(1+3/2-9/2)=(3/2+9/4+9)/(-2)=-51/8`.

    Пример 5

    Пусть `x_1` и `x_2` – корни квадратного уравнения `x^2+13x-17=0`. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа `2-x_1` и `2-x_2`.

    Решение

    По теореме Виета `x_1+x_2=-13` и `x_1x_2=-17`. Сумма чисел `2-x_1` и `2-x_2` равна `4-(x_1+x_2)=4+13=17`, а произведение этих чисел равно

    `(2-x_1)(2-x_2)=4-2(x_1+x_2)+x_1x_2=4-2(-13)-17=13`.

    Используя обратную теорему Виета, получим квадратное уравнение `x^2-17x+13=0`, корнями которого являются заданные числа.

    Заканчивая этот параграф, хочется сказать, что знаменитый французский математик Франсуа Виет родился в 1540 году в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Франции. Свою знаменитую теорему, которую мы знаем под названием теоремы Виета, он доказал в 1591 году, сейчас эта теорема входит в школьные программы. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.

  • §5. Решение уравнений, приводящихся к квадратным

    Уравнение `ax^4+bx^2+c=0`, где `a`, `b`, `c` – некоторые действительные числа, причём `a!=0`, называется биквадратным уравнением. Заменой `u=x^2` это уравнение сводится к квадратному уравнению `au^2+bu+c=0`.

    Пример 1

    Решите биквадратное уравнение

    а) `2x^4-3x^2+1=0`;    

    б) `5x^4-7x^2-6=0`;   

    в) `7x^4+9x^2+2=0`.

    Решение

    а) Сделаем замену `u=x^2`, получим квадратное уравнение `2u^2-3u+1=0`.

    По формуле корней квадратного уравнения находим

    `u=(3+-sqrt(9-8))/4=(3+-1)/4`, т. е. `u_1=1`, `u_2=1/2`.

    Отсюда следует, что `x^2=1` и `x^2=1/2`, и поэтому данное уравнение имеет четыре решения: `x_1=1`, `x_2=-1`, `x_3=1/(sqrt2)`, `x_4=-1/(sqrt2)`.  

    б) После замены `u=x^2` получаем уравнение `5u^2-7u-6=0`. Находим корни квадратного уравнения:

    `u=(7+-sqrt(49+4*5*6))/10=(7+-13)/10`,  т. е. `u_1=2`, `u_2=-3/5`.

    Уравнение `x^2=2` имеет два корня: `x_1=sqrt2` и `x_2=-sqrt2`. Уравнение `x^2=-3/5` не имеет решений. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет два решения: `sqrt2` и `-sqrt2`.

    в) Уравнение не имеет решений, т. к.  `7x^4+9x^2+2>=2` для любого `x inRR`..

    Пример 2

     Решите уравнение `(2x+1)/(x-1)+(x+1)/(2x+1)=(5x+4)/((x-1)(2x+1))`.

    Решение

    Общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение, равен `(x-1)(2x+1)`. Умножив обе части уравнения на `(x-1)(2x+1)`, получим

    `(2x+1)^2+(x+1)(x-1)=5x+4`, `4x^2+4x+1+x^2-1=5x+4`,

    `5x^2-x-4=0`.

    Найдём корни полученного квадратного уравнения:

    `x=(1+- sqrt(1+80))/10=(1+-9)/10`,  т. е. `x_1=1`, `x_2=-4/5`.

    При `x=1` не определены обе части уравнения, следовательно, это число не является корнем уравнения. При `x=-4/5` общий знаменатель в нуль не обращается, следовательно, это число является решением данного уравнения.

    Пример 3

    Решите уравнение `(x^2+2x+7)/(x^2+2x+3)=4+2x+x^2`.

    Решение

    Введём новую переменную `x^2+2x+3=t`, тогда для нахождения `t` получим уравнение `(t+4)/t=t+1`. Умножим обе части этого уравнения на `t` получим: `t+4=t^2+t`, `t^2=4`, `t_1=2`, `t_2=-2`.   

    Решаем  уравнение: `x^2+2x+3=2`, `x^2+2x+1=0`, оно имеет единственное решение `x=-1`. Уравнение `x^2+2x+3=-2`, т. е. `x^2+2x+5=0`, решений не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет одно решение `x=-1`. При `x=-1` выражение `x^2+2x+3!=0`.   

    Пример 4

    Решите уравнение `(x+2)^2+24/(x^2+4x)=18`.

    Решение

    Левая часть уравнения не определена при `x=0` и `x=-4`.

    Введём новую переменную  `t=(x+2)^2`.

    Так как `x^2+4x=x^2+4x+4-4`, то `x^2+4x=t-4`, и для нахождения `t` получаем уравнение `t+24/(t-4)=18`. Умножив обе части уравнения на `t-4`, получим: `t^2-4t+24=18t-72`, `t^2-22t+96=0`. Корнями этого квадратного уравнения являются числа `6` и `16`. Решаем уравнение `(x+2)^2=16`, и из него следует, что `x+2=+-4`, т. е. `x_1=2` и `x_2=-6`. 

    Теперь решаем уравнение `(x+2)^2=6`, откуда следует, что

    `x_3=-2+sqrt6`  и  `x_4=-2-sqrt6`.

    Пример 5

    Решите уравнение `(3x)/(3x^2-5x+6)-(4x)/(3x^2+x+6)=7/20`.

    Решение

    Заметим, что число `x=0` не является решением данного уравнения.

    Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей, стоящих в левой части уравнения на `x`, тогда получаем: `3/(3x-5+6/x)-4/(3x+1+6/x)=7/20`.

    Обозначим `3x+6/x=y`, тогда  получаем  уравнение  для нахождения `y`:

    `3/(y-5)-4/(y+1)=7/20`, `20(3y+3-4y+20)=7(y^2-4y-5)`,

    `-20y+460=7y^2-28y-35`, `7y^2-8y-495=0`,

    `D_1=16+7*495=3481=59^2`, `y=(4+-59)/7`, `y_1=9`, `y_2=-55/7`.  

    Теперь решаем уравнение `3x+6/x=9`, `3x^2-9x+6=0`, 

    `x^2-3x+2=0`, `x=(3+-1)/2`, `x_1=2`, `x_2=1`.

    Решаем уравнение `3x+6/x=-55/7`, 

    `21x^2+55x+42=0`, `D=55^2-4*21*42=3025-3582<0`.


    Ответ

    `1`; `2`.

  • §6. Решение уравнений с модулями и параметрами

    Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная `x` стоит под знаком модуля. Напомним, что  $$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;\mathrm{если}\;x\geq0,\\-x,\;\mathrm{если}\;x<0.\end{array}\right.$$

    Пример 1

    Решите уравнение:                

    а) `|x-2|=3`;  

    б) `|x+1|-|2x-3|=1`;

    в) `x^2-|x|=6`;

    г) `6x^2-|x+1|=0`;

    д) `|x^2-3x+8|=|2x^2+x-4|`.

    Решение

    а) Если модуль числа равен `3`, то это число равно либо `3`, либо `(-3)`, т. е.  `x-2=3`, `x=5` или `x-2=-3`, `x=-1`.

    б) Из определения  модуля  следует, что `|x+1|=x+1`, при `x+1>=0`, т. е. при `x>=-1` и `|x+1|=-x-1` при `x<-1`. Выражение `|2x-3|` равно `2x-3`, если `x>=3/2`, и равно `-2x+3`, если `x<3/2`.  

    При `x< -1` данное уравнение равносильно уравнению `-x-1-(-2x+3)=1`, из которого следует, что `x=5`. Но число `5` не удовлетворяет условию `x< -1`, следовательно, при `x< -1`  данное уравнение решений не имеет.

    При `-1<=x<3/2` данное уравнение равносильно уравнению `x+1+(2x-3)=1`, из которого следует, что `x=1`; число `1` удовлетворяет условию `-1<=x<3/2`.

    При `x>=3/2` данное уравнение равносильно уравнению `x+1-(2x-3)=1`, которое имеет решение `x=3`. А так как число `3` удовлетворяет условию `x>=3/2`, то оно является решением уравнения.

    в) При `x>=0` данное уравнение равносильно уравнению `x^2-x-6=0`, корнями которого являются числа `3` и `– 2`. Число `3` удовлетворяет условию `x>=0`, а число – `2` не удовлетворяет этому условию, следовательно, только число `3` является решением исходного уравнения. При `x<0` данное уравнение равносильно уравнению `x^2+x-6=0`, корнями которого являются числа`-3` и `2`. Условию `x<0`  удовлетворяет число `-3` и не удовлетворяет число `2`.

    г) При `x>= -1` данное уравнение равносильно уравнению `6x^2-x-1=0`, находим его корни:  `x+(1+-sqrt(25))/12`, `x_1=1/2`, `x_2=-1/3`.

    Оба корня удовлетворяют условию `x>= -1`, следовательно, они являются решениями данного уравнения. При `x<-1` данное уравнение равносильно уравнению `6x^2+x+1=0`, которое не имеет решений.

    д) Если модули двух выражений равны, то эти выражения либо равны, либо отличаются знаком.

    1) `x^2-3x+8=2x^2+x-4`, `x^2+4x-12=0`,

    `D_1=4+12=16=4^2`, `x=-2+-4`, `x_1=2`, `x_2=-6`.

    2)  `x^2-3x+8=-2x^2-x+4`, `3x^2-2x+4=0`, `D_1=1-12<0`, уравнение не имеет решений.

    Ответ

    `-6`; `2`.

    Пусть заданы выражения `f(x,a)` и `g(x,a)`, зависящие от переменных `x` и `a`. Тогда уравнение `f(x,a)=g(x,a)` относительно переменной `x` называется уравнением с параметром `a`. Решить уравнение с параметром – это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.

    Пример 2

    Решите уравнение при всех допустимых значениях параметра `a`:

    а) `ax^2-3=4a^2-2x^2`;    

    б) `(a-3)x^2=a^2-9`;

    в) `(a-1)x^2+2(a+1)x+(a-2)=0`.

    Решение

    а) При любом значении параметра `a` данное уравнение равносильно уравнению  `(a+2)x^2=4a^2+3`.

    Если `a=-2`, то получаем уравнение `0*x^2=19`; это уравнение не имеет решений.

    Если `a!=-2`, то `x^2=(4a^2+3)/(a+2)`. Выражение `4a^2+3>0` для любого `a`; при `a> -2` имеем два решения: `x_1=sqrt((4a^2+3)/(a+2))` и `x_2=-sqrt((4a^2+3)/(a+2))`.

    Если `a+2<0`, то выражение `(4a^2+3)/(a+2)<0`, тогда уравнение не имеет решений.

    Ответ

    `x=+-sqrt((4a^2+3)/(a+2))`, при `a> -2`; при `a<=-2` решений нет.

    б) Если `a=3`, то `x in RR`. Если `a!=3`, то `x^2=a+3`. Если `a+3=0`, т. е. если `a=-3`, то уравнение имеет единственное решение `x=0`. Если `a<-3`, то уравнение не имеет решений. Если `a> -3` и `a!=3`, то уравнение имеет два решения: `x_1=sqrt(a+3)` и `x_2=-sqrt(a+3)`.

    в) При `a=1` данное уравнение принимает вид `4x-1=0`, число `x=1/4` является его решением. При `a!=1` данное уравнение является квадратным, его дискриминант `D_1` равен

    `(a+1)^2-(a-1)(a-2)=5a-1`.

    Если `5a-1<0`, т. е. `a<1/5`, то данное уравнение не имеет решений.

    Если `a=1/5`, то уравнение имеет единственное решение

    `x=-(a+1)/(a-1)=(1/5+1)/(1/5-1)=3/2`.

    Если `a>1/5` и `a!=1`, то данное уравнение имеет два решения:

    `x=(-(a+1)+-sqrt(5a-1))/(a-1)`.

    Ответ

    `x=1/4` при `a=1`;

    `x=3/2` при `a=1/5`;

    `x=(-(a+1)+-sqrt(5a-1))/(a-1)` при `a>1/5` и `a!=1`;

    при `a<1/5`  уравнение не имеет решений.


  • §7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям

    В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.

    Пример 1

    Решить систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}2x+3y=8,\\ xy=2.\end{array}\right.$$

    Решение

    В этой системе уравнение `2x+3y=8` является уравнением первой степени, а уравнение `xy=2` - второй. Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим `x` через `y` и подставим это выражение  для `x` во второе уравнение системы: `x=(8-3y)/2=4-3/2y`, `(4-3/2y)y=2`.

    Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению

    `8y-3y^2=4`; `3y^2-8y+4=0`.

    Находим его корни: `y=(4+-sqrt4)/3=(4+-2)/3`, `y_1=2`, `y_2=2/3`.

    Из условия `x=4-(3y)/2` получим `x_1=1`, `x_2=3`.

    Ответ

    `(1;2)`  и  `(3;2/3)`.

    Пример 2

    Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=41,\\ xy=20.\end{array}\right.$$

    Решение

    Умножим обе части второго уравнения на `2` и сложим с первым уравнением системы: `x^2+y^2+2xy=41+20*2`, `(x+y)^2=81`, откуда следует, что `x+y=9` или `x+y=-9`.

    Если `x+y=9`, то `x=9-y`. Подставим это выражение для `x` во второе  уравнение системы:

    `(9-y)y=20`, `y^2-9y+20=0`,

    `y=(9+-sqrt(81-80))/2=(9+-1)/2`, `y_1=5`, `y_2=4`,  `x_1=4`,  `x_2=5`. 

    Из условия `x+y=-9` получим решения `(-4;-5)` и `(-5;-4)`.

    Ответ

    `(+-4;+-5)`, `(+-5;+-4)`.

    Пример 3

    Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-\sqrt{y}=1,\\ x-y=5.\end{array}\right.$$

    Решение

    Запишем второе уравнение системы в виде `(sqrtx-sqrty)(sqrtx+sqrty)=5`.

    Используя уравнение `sqrtx-sqrty=1`, получаем: `sqrtx+sqrty=5`.

    Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную данной:

    $$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-\sqrt{y}=1,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=5.\end{array}\right.$$

    Сложим эти уравнения, получим: `2sqrtx=6`, `sqrtx=3`, `x=9`. 

    Подставляя значение  `x=9` в  первое  уравнение  системы,  получаем `3-sqrty=1`,  откуда следует, что `y=4`.

    Ответ

    `(9;4)`.  

    Пример 4

    Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)\left(x+y-4\right)=-4,\\ \left({x}^{2}+{y}^{2}\right)xy=-160.\end{array}\right.$$

    Решение

    Введём новые переменные `x+y=u` и `xy=v`; так как  

    `x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-2xy=u^2-2v`,

    то данная система приводится к виду $$ \left\{\begin{array}{l}u\left(u-4\right)=-4,\\ \left({u}^{2}-2v\right)v=-160.\end{array}\right.$$

    Решаем уравнение: `u(u-4)=-4`, `u^2-4u+4=0`, `(u-2)^2=0`, `u=2`.

    Подставляем это значение для  в уравнение:

    `(u^2-2v)v=-160`, `(4-2v)v=-160`, `2v^2-4v-160=0`,

    `v^2-2v-80=0`, `v=1+-sqrt(1+80)=1+-9`, `v_1=10`, `v_2=-8`.

    Решаем две системы уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\ xy=10\end{array}\right.$$    и   $$ \left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\ xy=-8.\end{array}\right.$$

    Обе системы решаем методом подстановки. Для первой системы имеем:

    `x=2-y`, `(2-y)y=10`, `y^2-2y+10=0`.

    Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем:

    `x=2-y`, `(2-y)y=-8`, `y^2-2y-8=0`.

    `y=1+-sqrt(1+8)=1+-3`, `y_1=4`, `y_2=-2`. Тогда `x_1=-2` и `x_2=4`.

    Ответ

    `(-2;4)`  и  `(4;-2)`.

    Пример 5

    Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+4xy=3,\\ {y}^{2}+3xy=2.\end{array}\right.$$

    Решение

    Из первого уравнения, умноженного на `2`, вычтем второе уравнение, умноженное на `3`, получим: `2x^2-xy-3y^2=0`.

    Если `y=0`, тогда и `x=0`, но пара чисел `(0;0)` не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части равенства на `y^2`, получим:

    `2(x/y)^2-x/y-3=0`,  `x/y=(1+-5)/4`,  `x=3/2y`  и  `x=-y`.

    Подставляем значение `x=(3y)/2` в первое уравнение системы:  

    `9/4y^2+6y^2=3`;  `11y^2=4`,  `y_1=2/(sqrt(11))`,  `y_2=-2/(sqrt(11))`, `x_1=3/(sqrt(11))`,  `x_2=-3/(sqrt(11))`.

    Подставляем значение `x=-y` в первое уравнение системы:

    `y^2-4y^2=3`,  `-3y^2=3`.

    Решений нет.

    Ответ

    `(3/(sqrt(11));2/(sqrt(11)))`,  `(-3/(sqrt(11));-2/(sqrt(11)))`

    Пример 6

    Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на `9` больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается `4` и в остатке `3`. Найти это двузначное число.

    Решение

    Пусть двузначное число равно `10a+b`, где `a` и `b` – цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: `a^2+b^2=9+2ab`,  а из второго условия получаем:  `10a+b=4(a+b)+3`.

    Решаем систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+{b}^{2}=9+2ab,\\ 6a-3b=3.\end{array}\right.$$

    Из второго уравнения системы получаем

    `6a-3b=3`,  `2a-b=1`,  `b=2a-1`.                          

    Подставляем это значение для `b` в первое уравнение системы:

    `a^2+(2a-1)^2=9+2a(2a-1)`,  `5a^2-4a+1=9+4a^2-2a`, 

    `a^2-2a-8=0`, `D_1=1+8=9`, `a=1+-3`, `a_1=4`, `a_2=-2<0`,  `b_1=7`.

    Ответ

    `47`.

    Пример 7

    После смешения двух растворов, один из которых содержал `48` г, а другой `20` г безводного йодистого калия, получили `200` г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на `15%` больше концентрации второго.

    Решение

    Обозначим через `x%` – концентрацию второго раствора, а через `(x+15)%` – концентрацию первого раствора.

     

    `48` г

     

    `(x+15)%`

    `20` г

     

    `x%`

    I раствор      II раствор


    В первом растворе `48` г составляет `(x+15)%` от веса всего раствора, поэтому вес раствора равен `(48)/(x+15)*100`. Во втором растворе `20` г составляет `x%` от веса всего раствора, поэтому вес второго раствора составляет `20/x*100`. После смешения двух растворов получили `200` г нового раствора. Для определения  получаем уравнение:

    `48/(x+15)*100+20/x*100=200`, `24/(x+15)+10/x=1`,

    `24x+10x+150=x^2+15x`,  `x^2-19x-150=0`,

    `D=19^2+600=361+600=961=31^2`,

    `x=(19+-31)/2`,  `x_1=25`, `x_2<0`,

    `25+15=40`.

    Ответ

    Концентрация первого раствора `40%`, концентрация второго раствора `25%`.

    Пример 8

    Два слесаря получили заказ. Сначала `1` ч работал первый слесарь, затем `4` часа они работали вместе. В результате было выполнено `40%` заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на `5` часов больше, чем второму?

    Решение

    Предположим, что второй слесарь мог бы выполнить заказ за `x` часов, тогда для первого бы потребовалось `(x+5)` часов. Примем весь заказ за единицу. Тогда производительность первого слесаря `1/(x+5)`,  а производительность второго равна `1/x`.

    Так как по условию задачи было выполнено `40%` заказа, то это составляет `0,4` заказа. Из условия задачи получаем уравнение:    

    `1/(x+5)+4(1/(x+5)+1/x)=0,4`;  `5/(x+5)+4/x=0,4`;  `5x+4x+20=0,4x(x+5)`;

    `0,4x^2-7x-20=0`;  `4x^2-70x-200=0`; `2x^2-35x-100=0`;

    `D=35^2+800=1225+800=2025=45^2`;

    `x_(1,2)=(35+-45)/4`, `x_1=20`, `x_2=-5/2<0`.  

        

    Ответ

    Первый слесарь мог бы выполнить работу за `25` ч, а второй за `20` ч.

        

  • §8. Примеры решения задач


    Задача 8.1

    На рис. 8.1 показаны положения фокусов и ход луча после прохождения тонкой линзы. Постройте ход этого луча до линзы.

    Решение

    Существует несколько способов построения хода луча до линзы. Некоторые приведены на рис. 8.2 и рис. 8.3.

    На рис. 8.2 через оптический центр `O` линзы проведём луч, параллельный лучу, изображённому в условии. Пусть он пересекает переднюю фокальную плоскость в точке `S`. Искомый луч должен идти через точки `S` и `A`.

    Другой способ построения приведён на рис. 8.3. Продолжим луч, вышедший из линзы, до точки `S_1` пересечения с задней фокальной плоскостью. Если теперь провести луч через точки `S_1` и оптический центр `O` линзы, то искомый луч должен идти из точки `A` параллельно лучу `OS_1`.

    задача 8.2

    Перед рассеивающей линзой $$ {L}_{1}$$ с известным диаметром $$ D$$ находится точечный источник $$ S$$, не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.4). Постройте изображение $$ {S}_{1}$$ источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение $$ {S}_{1}$$.


    Решение

    Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6. Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение $$ {S}_{1}$$, будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения $$ {S}_{1}$$. Штриховкой (рис. 8.5) отмечена искомая область. Из других мест изображение $$ {S}_{1}$$ увидеть нельзя.

    задача 8.3

    Тонкая линза создаёт изображение $$ {S}_{1}$$ точечного источника $$ S$$ (рис. 8.6). $$ A{A}_{1}$$ - главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая она или рассеивающая эта линза?

    Решение

    Проведём через точки $$ {S}_{1}$$ и $$ S$$ прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая - побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка `O` пересечения оптических осей - оптический центр линзы (рис. 8.7). Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки `S` луч `(1)` параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку $$ {S}_{1}$$ (изображение точки `S`). Т. к. через $$ {S}_{1}$$ проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).

  • §1. Преломление света на тонком клине

    Прежде чем изучать тонкие линзы, давайте решим задачу о прохождении узкого пучка света через тонкий клин. Тонким клином называется стеклянная призма, у которой угол $$ \alpha $$ при вершине мал ($$ \alpha \ll 1$$) . Чтобы изготовить такой клин в заводских условиях, берут стеклянную плоскопараллельную пластинку и на шлифовальном станке часть одной из её граней стачивают под малым углом $$ \alpha $$ (рис. 1.1). Если левую грань клина сошлифовать так, что она уменьшится на толщину плоскопараллельной пластинки $$ ABCD$$, то угол отклонения узкого пучка света, падающего под малым углом `varphi_{1}` на клин, не изменится. Поэтому договорились изображать клин так, как показано на рис. 1.2. Пусть $$ n$$ - показатель преломления материала клина. Найдём угол $$ \delta $$ отклонения луча от исходного направления. Задачу будем решать в предположении, что углы $$ \alpha $$ и `varphi_{1}` малы. На рис. 1.3 эти углы для наглядности сильно увеличены.

    $$\begin{cases} \varphi_1 = n \psi_1, \\ \varphi_2 = n \psi_2. \end{cases} $$ Приближенный закон Снелла (см. §7 задания 4).

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{1}={\varphi }_{1}-{\psi }_{1}=(n-1){\psi }_{1}$$.

    Угол отклонения луча на первой грани $$ {\delta }_{2}={\varphi }_{2}-{\psi }_{2}=(n-1){\psi }_{2}$$.

    По теореме о внешнем угле треугольника угол отклонения луча, прошедшего сквозь клин, равен $$ \delta ={\delta }_{1}+{\delta }_{2}=(n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})$$. 

    По той же теореме $$ {\alpha }_{1}={\psi }_{1}+{\psi }_{2}$$, а углы $$ \alpha $$ и $$ {\alpha }_{1}$$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. В итоге мы получим:

    $$ \delta = {\delta }_{1}+{\delta }_{2}= (n-1)({\psi }_{1}+{\psi }_{2})=(n-1){\alpha }_{1}=(n-1)\alpha $$.

    Итак, угол отклонения $$ \delta $$ пучка параллельных лучей, прошедших сквозь тонкий клин, не зависит от угла падения и остаётся постоянной величиной:

    $$ \delta =(n-1)\alpha .\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(1.1)$$

    Иногда у плоскопараллельной пластинки стачивают под малыми углами обе половины одной из граней (см. рис. 1.4). Получившееся устройство называют бипризмой.

    Если на бипризму пустить широкий пучок параллельных лучей света, то после прохождения бипризмы пучки станут сходиться. 

    задача 1.1

    На бипризму, изготовленную из стекла с показателем преломления $$ n=\mathrm{1,5}$$ и имеющую ширину $$ b=3$$см, пустили широкий пучок параллельных лучей света. Углы при вершине бипризмы одинаковы и равны $$ \alpha  =\mathrm{0,05}$$ рад. За бипризмой образовалось два сходящихся пучка параллельных лучей.

    1) Под каким углом $$ \varphi $$ будут сходиться лучи? Если за бипризмой установить экран, то на нём можно наблюдать область, освещённую обоими пучками.

    2) На каком расстоянии $$ {L}_{1}$$ от бипризмы нужно установить экран, чтобы область перекрытия пучков была максимальной?

    3) На каком максимальном расстоянии $$ {L}_{2}$$ от бипризмы пучки лучей ещё будут пересекаться?

    Решение

     1) Изобразим ход лучей за бипризмой (рис. 1.5).

    Верхняя половина бипризмы отклонит падающий пучок лучей вниз на угол

    $$ {\delta }_{1}=(n-1)\alpha =\mathrm{0,025}$$ рад,

    а нижняя – вверх на такой же по величине угол

    $$ {\delta }_{2}=(n-1)\alpha $$.

    Следовательно, пучки будут сходиться под углом

    $$ \varphi =2{\delta }_{1}=2(n-1)\alpha =\mathrm{0,05}$$ рад.

    2) Максимальная область перекрытия пучков находится там, где пересекаются лучи (1) и (2) (см. рис. 1.2).

    В силу малости угла $$ \varphi $$ искомое расстояние

    $${L}_{1}\approx \frac{b}{2\varphi }=\frac{b}{4\alpha (n-1)}=30$$ см.

    3) Из того же рисунка легко видеть, что максимальное расстояние $$ {L}_{2}=2{L}_{1}=60$$ см.