Статьи , страница 4

  • 6. Симметрические системы

    Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.

    Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметрической системой. Такие системы решаются чаще всего с помощью введения новых  переменных `x+y=u`, `xy=v`.

    Пример 21

    Решите систему уравнений  

    x3+x3y3+y3=17,x+xy+y=5.\left\{\begin{array}{l}x^3+x^3y^3+y^3=17,\\x+xy+y=5.\end{array}\right.

    Решение

    Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменой `x+y=u`, `xy=v`. Заметив, что 

    `x^3 +x^3 y^3 +y^3 =(x+y)(x^2 -xy+y^2 )+x^3 y^3 =`

    `=(x+y)((x+y)^2 -3xy)+x^3 y^3 =u(u^2 -3v)+v^3`,

    перепишем систему в вид

    u3-3uv+v3=17,u+v=5u=5-v,v2-5v+6=0v=2, u=3,v=3, u=2\left\{\begin{array}{l}u^3-3uv+v^3=17,\\u+v=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=5-v,\\v^2-5v+6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}v=2,\;u=3,\\v=3,\;u=2\end{array}\right.\Leftrightarrow

    (в старых переменных)

    x+y=2,xy=3,x=2-y,y2-2y+3=0.x+y=3,xy=2,x=3-y,y2-3y+2=0x=2, y=1,x=1, y=2.\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+y=2,\\xy=3,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2-y,\\y^2-2y+3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\varnothing.\\\left\{\begin{array}{l}x+y=3,\\xy=2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3-y,\\y^2-3y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2,\;y=1,\\x=1,\;y=2.\end{array}\right.\end{array}\right.

    Ответ

    `(2;1), (1;2)`.

    Замечание

    Для успешного выполнения задания необходимо помнить, что строго монотонная функция любое своё значение принимает только один раз, т. е. если функция `y(x)` строго монотонна, то  для любых `x^** in D(y)`,  `x^(** **) in D(y)` следует, что `y(x^**) = y(x^(** **)) iff x^** = x^(** **)`.

    Вспомним ещё свойства не просто монотонных функций, а нечётных монотонных.

    Если  функция  нечётная,  то при любом `x` из области определения

    `f(x) =-f(-x) iff f(x) + f(-x) =0`,  

    т.  е.   функция  в  симметричных точках принимает «противоположные» значения.

    В случае произвольной нечётной функции равенство `f(x_1) =-f(x_2)` может выполняться в нескольких точках (не только в симметричных): например,

    `sin  pi/3 =-sin (- (pi)/3) =- sin (- (2pi)/3)`.

    Если же функция нечётная, а к тому же  и строго монотонная, то равенство `f(x_1) + f(x_2) =0` выполняется только в симметричных точках  -  вспомним график функции  `y=x^3`.

    Итак,  если  нечётная и  строго монотонная функция, то

    `f(x_1) =- f(x_2) iff f(x_1) + f(x_2) =0 iff x_2 =- x_1`.

    Поэтому для такой функции 

    `f(x):`  `f(x) + f(g(x)) =0 iff x=- g(x)`.

  • 5. Однородные уравнения и системы

    Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`. Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2`   является однородной степени 4, т. к.

    `f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2)`.

    Уравнение `f(x, y) =0`, где `f(x, y)` - однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную `t= y/x`.

    Система с двумя переменными fx,y=a,gx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a,\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - однородные функции одной и той же степени, называется однородной.

    Если  `ab!= 0`, умножим первое уравнение на `b`, второе - на `a`  и вычтем одно из другого - получим равносильную систему

    bfx,y-agx,y=0,gx,y=b.\left\{\begin{array}{l}bf\left(x,y\right)-ag\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=b.\end{array}\right.

    Первое уравнение заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

    Если  `a=0` `(b=0)`, то уравнение `f(x,y)=0` `(g(x,y)=0)` заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

    Пример 20 (МГУ, 2001, химфак) 

    Решите систему 

    x2-xy+y2=21,y2-2xy+15=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy+15=0.\end{array}\right.

    Решение

    x2-xy+y2=21,y2-2xy=-155x2-xy+y2+7y2-2xy=0,y2-2xy=-15\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5\left(x^2-xy+y^2\right)+7\left(y^2-2xy\right)=0,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x0, y0;5x2-19xy+12y2=05xy2-19xy+12=0xy=19±1110,y2-2xy=-15\left\{\begin{array}{l}x\neq0,\;y\neq0;\\5x^2-19xy+12y^2=0\Leftrightarrow5\left(\dfrac xy\right)^2-19\left(\dfrac xy\right)+12=0\Leftrightarrow\dfrac xy=\dfrac{19\pm11}{10},\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x=3y,y2=3;x=±33,y=±3;x=45y,y2=25x=±4,y=±5.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=3y,\\y^2=3;\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm3\sqrt3,\\y=\pm\sqrt3;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac45y,\\y^2=25\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm4,\\y=\pm5.\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow


    Ответ

    `(3sqrt3; sqrt3), (-3sqrt3; -sqrt3), (4;5), (-4;-5)`.

  • 4. Системы уравнений


    1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем  в остальные. Получаем новую систему, в  которой число уравнений и неизвестных  на  одно  меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно.

    Однако  очень часто при решении системы  этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых  систем  существуют специальные приемы.

    2. Однородные системы 

    3. Симметрические системы

    4. Часто систему можно решить, если её сначала упростить с помощью равносильных преобразований.

    Приведем примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам.

    1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.

    2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например,

    f1x,yf2x,y=0,gx,y=0f1x,y=0,gx,y=0.f2x,y=0gx,y=0.\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)f_2\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_2\left(x,y\right)=0\\g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.\end{array}\right. (УР С1)

    3. Если какое-нибудь уравнение системы  умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной. (УР С3)

    4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему. 

    Например,   

    f1x,y=0,f2x,y=0f1x,y+af2x,y=0,f2x,y=0,\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)+af_2\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0,\end{array}\right. (УР С2)

    `a` - произвольное число.

    5. 

    f1x,y=g1x,y,f2x,y=g2x,yf1x,yg1x,y0,f12x,y=g12x,y,f2x,y=g2x,y\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right)\geq0,\\f_1^2\left(x,y\right)=g_1^2\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

    f1x,y=0,g1x,y=0,f2x,y=g2x,y;f1x,yg1x,y>0,f12x,y=g12x,y,f2x,y=g2x,y.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\g_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right)>0,\\f_1^2\left(x,y\right)=g_1^2\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right).\end{array}\right.\end{array}\right.

    (УРС3)

    Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.)

    6. 

    f1x,y=g1x,y,f2x,y=g2x,y\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

    f1x,y=g1x,y=0,f2x,y=g2x,y;f1x,y=g1x,y0,f2x,yf1x,y=g2x,yg1x,y.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right)\neq0,\\f_2\left(x,y\right)f_1\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right).\end{array}\right.\end{array}\right.

    (УР С4)

    Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля!

    7. 

    fx,y=0,gx,y=0fx,y+gx,y=0,fx,y-gx,y=0\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)-g\left(x,y\right)=0\end{array}\right. (УР С5)

    т. к. 

    fx,y=0,gx,y=0fx,y+gx,y=0,gx,y=0\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    fx,y+gx,y=0,fx,y+gx,y-2gx,y=0fx,y+gx,y=0,fx,y-gx,y=0.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)-2g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)-g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.

    Пример 16

    Решите  систему  уравнений 2x2+y-z=3,y+z-2x=1,x4+yz+y-2z=3.\left\{\begin{array}{l}2x^2+y-z=3,\\y+z-2x=1,\\x^4+yz+y-2z=3.\end{array}\right.

    Решение

    Выразим `y` из второго уравнения `y=1-z+2x`, подставим в первое и третье и получим систему с двумя неизвестными

    2x2+1-z+2x-z=3,x4+z1-z+2x+1-z+2x-2z=32x2+2x-2z=2,x4+2zx+2x-z2-2z=2.\left\{\begin{array}{l}2x^2+\left(1-z+2x\right)-z=3,\\x^4+z\left(1-z+2x\right)+\left(1-z+2x\right)-2z=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x^2+2x-2z=2,\\x^4+2zx+2x-z^2-2z=2.\end{array}\right.

    Теперь выразим   из первого уравнения `z=x^2 +x-1` и, подставив  во второе, получим уравнение с одним неизвестным

    `x^4 +2x(x^2 +x-1) +2x-(x^2 +x-1)^2 -2(x^2 +x-1)=2 iff x^2 -1=0 =>`

    x=1z=1y=2,x=-1z=-1y=0.\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow z=1\Rightarrow y=2,\\x=-1\Rightarrow z=-1\Rightarrow y=0.\end{array}\right.\Rightarrow

    Ответ

    `(1; 2; 1), (-1; 0; -1)`.

    Пример 17

    Решите систему уравнений x-2y+3z=9,x2+4y2+9z2=189,3xz=4y2.\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=9,\\x^2+4y^2+9z^2=189,\\3xz=4y^2.\end{array}\right.

    Решение

    Выразим  из первого уравнения и подставим во второе и третье уравнения. Тогда получим равносильную систему

    x=2y-3z+9,4y2+9z2-6yz-27z+18y=546yz-9z2+27z-4y2=0.\left\{\begin{array}{l}x=2y-3z+9,\\4y^2+9z^2-6yz-27z+18y=54\Leftrightarrow\\6yz-9z^2+27z-4y^2=0.\end{array}\right.

    Теперь прибавим ко второму уравнению третье

    x=2y-3z+9,18y=54y=3,18z-9z2+27z-36=0z=5±32y=3, z=4x=3;y=3, z=1x=12.\left\{\begin{array}{l}x=2y-3z+9,\\18y=54\Leftrightarrow y=3,\\18z-9z^2+27z-36=0\Leftrightarrow z=\dfrac{5\pm3}2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=3,\;z=4\Rightarrow x=3;\\y=3,\;z=1\Rightarrow x=12.\end{array}\right.


    Ответ

    `(3, 3, 4), (12, 3, 1)`.

    Пример 18 (МФТИ, 1996) 

    Решите систему уравнений 

    x2+2xy-8y2+9x+30y+8=0,x2+6xy+8y2-2x-8=0.\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy-8y^2+9x+30y+8=0,\\x^2+6xy+8y^2-2x-8=0.\end{array}\right.

    Решение

    В данной системе будем рассматривать каждое уравнение как квадратное относительно, например, . Так как дискриминанты обоих уравнений являются полными квадратами, оказывается возможным свести систему двух нелинейных уравнений к совокупности четырёх линейных систем.

    x2+2xy-8y2+9x+30y+8=x2+x2y+9-8y2-30y-8=0,x2+6xy+8y2-2x-8=x2+2x3y-1-8-8y2=0\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy-8y^2+9x+30y+8=x^2+x\left(2y+9\right)-\left(8y^2-30y-8\right)=0,\\x^2+6xy+8y^2-2x-8=x^2+2x\left(3y-1\right)-\left(8-8y^2\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x=-2y-9±6y-72x-2y+8x+4y+1=0,x=-3y+1±y-31x+2y+2x+4y-4=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-2y-9\pm\left(6y-7\right)}2\Leftrightarrow\left(x-2y+8\right)\left(x+4y+1\right)=0,\\x=\dfrac{-3y+1\pm\left(y-3\right)}1\Leftrightarrow\left(x+2y+2\right)\left(x+4y-4\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x-2y+8=0,x+2y+2=0;x-2y+8=0,x+4y-4=0;x+4y+1=0,x+2y+2=0;x+4y+1=0,x+4y-4=0x=-5,y=32;x=-4,y=2;x=-3,y=12;.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0,\\x+2y+2=0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0,\\x+4y-4=0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x+4y+1=0,\\x+2y+2=0;\end{array}\right.\end{array}\\\left\{\begin{array}{l}x+4y+1=0,\\x+4y-4=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=-5,\\y=\dfrac32;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-4,\\y=2;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-3,\\y=\dfrac12;\end{array}\right.\end{array}\\\left\{\varnothing.\right.\end{array}\right.\Rightarrow

    Ответ

    `(-5; 3/2), (-4; 2), (-3; 1/2)`.

    Пример 19 (МФТИ, 1999) 

    Решите систему уравнений

    x2-4x+4y+27=0,y2+2x+8y+10=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\y^2+2x+8y+10=0.\end{array}\right.

    Решение

    x2-4x+4y+27=0,y2+2x+8y+10=0\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\y^2+2x+8y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    Заменим второе уравнение системы суммой

    x2-4x+4y+27=0,x2-4x+4y+27+y2+2x+8y+10=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\x^2-4x+4y+27+y^2+2x+8y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x2-4x+4y+27=0,x-12+y+62=0x=1,y=-612-4·1+4-6+27=0,x=1,y=-6.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\\left(x-1\right)^2+\left(y+6\right)^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1,\\y=-6\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1^2-4\cdot1+4\left(-6\right)+27=0,\\x=1,\\y=-6.\end{array}\right.

    Заметим, что решение второго уравнения - это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.

    Ответ

    `(1, -6)`.

  • 3. Неравенства, содержащие модуль

    В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

    Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.

    Пример 12 (МГУ 1993)

    Решите неравенство `|x-1|/{x+2}<1`.

    Решение

    `|x-1|/{x+2}<1hArr{|x-1|-x-2}/{x+2}<0`.

    1.   `x-1>=0hArrx>=1`:  `{x-1-x-2}/{x+2}=-3/{x+2}<0hArrx> -2`.

    Получаем в этом случае `x>=1`.

    2.  `x-1<0hArrx<1:   {-x+1-x-2}/{x+2}=-{2x+1}/{x+2}<0hArr{x+0,5}/{x+2}>0`.

    И мы получаем в этом случае `x in(-oo;-2)uu(-0,5; 1)`.

    Объединяя результаты 1, 2, получаем окончательный


    Ответ

    `(-oo;-2)uu(-0,5;+oo)`.

    Пример 13 (МГУ, 1992)

    Решите неравенство `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1`.

    Решение

    `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1hArr{|x-5|-2|x-6|+3}/{2|x-6|-4}<=0`.

    1. `x>6: {x-5-2x+12+3}/{2x-12-4}={10-x}/{2x-16}<=0hArrx in(-oo;8)(uu{10;+oo)`.

    Учитывая условие `x>6`, получаем `x in(6;8)in[10;+oo)`.

    2.  `5<=x<=6: {x-5+2x-12+3}/{-2x+12-4}={3x-14}/{8-2x}<=0hArrx in(-oo;4)uu[14/3;+oo)`.

    Учитывая условие `x in[5;6]`, получаем `x in[5;6]`.

    3. x<5: -x+5+2x-12+3-2x+12-4=x-48-2x0-10,x4.x<5:\;\dfrac{-x+5+2x-12+3}{-2x+12-4}=\dfrac{x-4}{8-2x}\leq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1\leq0,\\x\neq4.\end{array}\right.

    Учитывая условие `x<5`, получаем `x in(-oo;4)in(4;5)`.

    Ответ

    `(-oo;4)in(4;8)in[10;+oo)`.

    ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `|f(x)|<g(x)`

    Пусть в некоторой точке `a`  выполнено неравенство `|f(x)|<g(x)`, тогда `g(a)>0` и `|f(a)|<g(a)`.

    Тогда имеет место картинка

    и неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`.

    И, наоборот: пусть в некоторой точке `a` выполнены неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`. Тогда, во-первых, `-g(a)<g(a)hArrg(a)>0`, a, во-вторых, `|f(a)|<g(a)`. Следовательно, имеет место условие равносильности   

    f(x) < g(x)-g(x) < f(x) < g(x)f(x) < g(x),f(x) > -g(x)\left|f(x)\right|\;<\;g(x)\Leftrightarrow-g(x)\;<\;f(x)\;<\;g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)\;<\;g(x),\\f(x)\;>\;-g(x)\end{array}\right. (УРМ1)

    ПУНКТ 2.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<g(x)`

    Пусть в некоторой точке `a` неравенство выполнено, т. е.

    `|f(x)|<g(x)`

    Это означает, что, или,

    а) `g(a)<0` (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,

    б) если `g(x)>=0`, имеет место картинка 

    и совокупность неравенств f(a)>g(a),f(a)<-g(a).\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right.

    И, наоборот, пусть в некоторой точке `a` имеет место совокупность неравенств  f(a)>g(a),f(a)<-g(a).\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right. Тогда

    а) если `g(a)<0`, то неравенство `|f(a)|>g(a)` выполнено, 

    б) если `g(a)>=0`, то  имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство `|f(a)|>g(a)`.

    Следовательно, имеем равносильные соотношения 

    |f(x)|>g(x)f(x)>g(x),f(x)<-g(x).\vert f(x)\vert>g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right. (УР М2)
    Пример 14 (МГУ, 2000, ВМК)

    Решите неравенство `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

    Решение

    x2-8x+2-x22x+2x2-8x+2-x22x+2,x2-8x+2-x22x-2x2-8x+2x2+2x+2,x2-8x+2x2-2x-2x2-8x+2x2+2x+2,x2-8x+2-x2-2x-2;x2-8x+2x2-2x-2,x2-8x+2-x2+2x+2x0,x[1;2],=2,x23,(-3; 2),x(-;0][5;).x(-;0][1;2][5;)\begin{array}{l}\left|\left|x^2-8x+2\right|-x^2\right|\geq2x+2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|x^2-8x+2\right|-x^2\geq2x+2,\\\left|x^2-8x+2\right|-x^2\leq2x-2\end{array}\Leftrightarrow\right.\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|x^2-8x+2\right|\geq x^2+2x+2,\\\left|x^2-8x+2\right|\leq x^2-2x-2\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}x^2-8x+2\geq x^2+2x+2,\\x^2-8x+2\leq-x^2-2x-2;\end{array}\\\left\{\begin{array}{l}x^2-8x+2\leq x^2-2x-2,\\x^2-8x+2\geq-x^2+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\right.\\\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\leq0,\\x\in\lbrack1;2\rbrack,=2,\end{array}\\\left\{\begin{array}{l}x\geq\frac23,\in(-3;\;2),\\x\in(-\infty;0\rbrack\cup\lbrack5;\infty).\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow x\in(-\infty;0\rbrack\cup\right.\lbrack1;2\rbrack\cup\lbrack5;\infty)\Leftrightarrow\\\end{array}

    Ответ

    `(oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.

    ПУНКТ 3.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<|g(x)`

    Рассмотрим разность `|f(x)|-|g(x)|`. Она может быть любого знака, 

    но сумма `|f(x)|+|g(x)|`  всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. `(|f(x)|-|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)=(|f(x)|^2-|g(x)|^2)=(f^2(x)-g^2(x))=`

    `=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))` и

    знак разности  `|f(x)|-|g(x)|` совпадает со знаком произведения`(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))`

    (П М1)

    Имеем ещё одно условие равносильности

    `|f(x)|<|g(x)|hArr(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))<0`. (УР М3)
    Пример 15 (МФТИ, 2000)

    Решите неравенство -x2+7x-6x2-6x+5-x2-2x-30.\dfrac{\sqrt{-x^2+7x-6}}{\left|x^2-6x+5\right|-\left|x^2-2x-3\right|}\leq0.

    Решение

    ОДЗ*:`-x^2+7x-6>=0hArr(x-1)(x-6)<=0hArrx in[1;6]`.

    В ОДЗ* имеем -x2+7x-6x2-6x+5-x2-2x-30(в силу УРМ3)-x2+7x-62x2-8x+2-4x+80-x2+7x-6x-2+3x-2-3(x-2)0x2-7x+6=0,x2±3,x2,x=1,x=6,x-2+3x-2-3x-2>02-3;22+3;+.\begin{array}{l}\dfrac{\sqrt{-x^2+7x-6}}{\left|x^2-6x+5\right|-\left|x^2-2x-3\right|}\leq0\Leftrightarrow(\mathrm в\;\mathrm{силу}\;\mathrm{УРМ}3)\\\dfrac{\sqrt{-x^2+7x-6}}{\left(2x^2-8x+2\right){\displaystyle\left(-4x+8\right)}}\leq0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{-x^2+7x-6}}{\left(x-\left(2+\sqrt3\right)\right){\displaystyle\left(x-\left(2-\sqrt3\right)\right)}{\displaystyle(}{\displaystyle x}{\displaystyle-}{\displaystyle2}{\displaystyle)}}\geq0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x^2-7x+6=0,\\x\neq2\pm\sqrt3,\\x\neq2,\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1,\\x=6,\end{array}\right.\right.\\\left(x-\left(2+\sqrt3\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt3\right)\right)\left(x-2\right)>0\Leftrightarrow\left(2-\sqrt3;2\right)\cup\left(2+\sqrt3;+\infty\right).\end{array}\right.\end{array}

    Учитывая ОДЗ*, получаем

    Ответ
    `[1;2)uu(2+sqrt3;6]`.


     

  • 7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

    Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

    `m Delta vec v = vec F Delta t`.

    Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

    `m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

    Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

    `Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 - m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`

    и работы равнодействующей

    `Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

    на этом перемещении.

    Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории,  приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

    Теорема

    На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

    `K_2 - K_1 = sum_i A_i`.

    Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии A=-П2-П1A=-\left(П_2-П_1\right).

    Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

    Теорема

    П2+K2-П1+K1=\left(П_2+K_2\right)-\left(П_1+K_1\right)=`sum_i A_(i  sf"непотенц")`,

    т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

    Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

    Это утверждение -  закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

    Пример 17

    На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 >  bbb"tg"  alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < bbb"tg"  alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?

    Решение

    По условию `mu_2 < bbb"tg"  alpha`, `mu_1 > bbb"tg" alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf"тр"2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона

    `F_(sf"тр"1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,

    лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

    приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно П2-П1=-mgHП_2-П_1=-mgH,

    приращение кинетической энергии  `K_2 - K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

    `A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H - h)/(sin alpha) - mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =- (mg)/(bbb"tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2) h)`.

    По теореме об изменении полной механической энергии

    K2+П2-K1+П1=A12\left(K_2+П_2\right)-\left(K_1+П_1\right)=A_{12}.

    В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/(bbb"tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2 )h)`.

    Отсюда `H = (mu_1 - mu_2)/(bbb"tg"  alpha - mu_2) h`.

  • 6. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии

    В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия  между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения)  импульсами и энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

    Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль. С такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

    Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии  требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

    Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.

    Неупругие столкновения

    Пример 14

    Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).

    Решение

    Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) час­тицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения им­пульса `mv = (m + M) u`. По закону сохранения  энергии

    `(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.

    Из приведённых соотношений находим `Q = M/(m + M) K`.

     Отметим, что в предельных случаях

    `Q = K`,

    `m < < M`,

    `Q = M/m K < < K`,

    `m > > M`.

    Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.

    При равенстве масс  `(m = M)` `Q = K/2`.

    Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых ав­томобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по на­правлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разруше­ние.

    Упругие столкновения

    Пример 15

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

    Решение

    Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на  шары в  процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса   `m vec v = m vec(v_1) + M vec(v_2)`.

    Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем `mv = mv_(1x) + Mv_2`,  здесь учтено, что направление скорости `vec(v_1)` налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии

    `(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.

    Полученные соотношения перепишем в виде

    `m(v - v_(1x)) = Mv_2`,

    `m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.

    Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`,  `m(v - v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид

    `v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,   `v_2 = (2m)/(m + M) v`.

    Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направ­лении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`,  т. е. если масса налетающего шара больше массы по­коящегося шара.

    Пример 16

    Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями `vec(v_1)` и `vec(v_2)`. Найдите скорости `vec(v_1^')` и `vec(v_2^')` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.

    Решение

    Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при  этом ось `Ox` направлена по линии  центров шайб в момент соударения.

    В  течение  времени  соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия  сохраняется                                           

    `vec(p_1) + vec(p_2) = vec(p_1^') + vec(p_2^')`,                                     

    здесь `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_1^') = m_1 vec(v_1^')`, `vec(p_2^') = m_2 vec(v_2^')` - импульсы шайб до и после соударения.

    Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внут­ренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) =  p_(2y)^'`  находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения

     `vec(v_(1y)^') = v_(1y)`,   `v_(2y)^' = v_(2y)`,

    т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.

    Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

    `(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.

    С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после со­ударения последнее равенство принимает вид

    `(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.

    Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям им­пульсов шайб на ось  `Ox`

    `m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.

    Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упру­гом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохра­нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагае­мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разде­лить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линей­ному уравнению

    `v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.

    Решая систему из двух последних уравнений, находим

    `v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,

    `v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.

    Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения

     `v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`,      `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`, 

    а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vec(v_1^')` и `vec(v_2^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`:

    `bbb"tg"  alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`,   `bbb"tg"  alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.

    Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц).

  • 5. Сохранение импульса системы материальных точек

    Из теоремы об изменении  импульса системы  материальных  точек `(Delta vec(P_sf"c"))/(Delta t) = sum_i vec(F_i)` следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:

    если  `sum_i vec(F_i) = vec 0`, то `vec(P_sf"c")` остаётся неизменным по величине и на­правлению;

    если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(c,x) = bbb"const"`.  


    Наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по вели­чине импульса системы `|sum_i vec(F_i)| Delta t < < |vec(P_sf"c") (t)|`, то из равенства

    `Delta vec(P_"c") = vec(P_sf"c") (t + Delta t) - vec(P_sf"c") (t) = (sum_i vec(F_i)) Delta t`

    следует `Delta vec(P_sf"c") ~~ vec 0`, т. е. сохранение импульса на рассматриваемом интер­вале времени `vec(P_sf"c") (t + Delta t) = vec(P_sf"c") (t)`.

    Пример 10

    Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетевшее из пушки ядро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком? 

    Решение

    Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний из перечисленных случаев сохранения импульса системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» действуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что импульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `m vec(v_0)` ядра  непосредственно перед  «посадкой». Тогда скорость `vec(v_0)` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vec(v_1)` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы

    `m vec(v_0) = 6m vec(v_1)`,

    так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления  начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря, барону предстоит пройти пешком!

    Пример 11

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной  `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой.  На какое расстояние `S` переместится  соломинка?

    Решение

    Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vec(P_sf"c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции

    `Delta vec(P_sf"c") = M Delta vec(v_1) + m Delta vec(v_2) = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,

    здесь `vec(v_1)` - скорость соломинки, `vec(v_2)` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции  равна нулю. Тогда импульс системы  «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:

    `M vec(v_1) + m vec(v_2) = vec 0`.

    Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей `vec(v_2) = vec(v_1) + vec u`, здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим `v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x')`.

    С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x')) = 0`, т. е. в любой момент времени  

    `v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x')`.  

    Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x' = u_(x') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением `Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x'`.

    Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос за­дачи 

    `S = m/(m + M) L`.

    Пример 12

    Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола.

    Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к мо­менту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.

    Решение

    Рассмотрим систему тел «клин + грузы».

    На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vec(P_sf"c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры

    `Delta vec(P_sf"c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`. 

    Проекции  сил  тяжести и нормальной  реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная состав­ляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`,

    здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизон­тальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vec(v_sf"г") = vec(v_sf"к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с  клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + m(v_(x,sf"к") + u_(x')) = 0`.

    Отсюда находим связь проекций скорости

    `v_(x,sf"к") = - m/(6m) u_(x') = - u_(x')/6`

    и  элементарных перемещений:

    `Delta x_sf"к" =- (Delta x')/6`,

    где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x'` - проекция перемеще­ния лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи

    `S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.

    Пример 13

    По клину массой `M`, находящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, скользит шайба массой `m`. Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`.  Определите величину  `a_1` ускорения  клина.

    Решение

    Для определения ускорения клина рассмотрим движение каждого  из  тел. Силы,  приложенные к  телам,  указаны  на рисунке ниже.

    Запишем второй закон Ньютона для клина `M vec(a_1) = M vec g + vec P + vec R` и для шайбы `m vec(a_2) = m vec g + vec N`. Переходя к проекциям сил и ускорений на оси ЛСО с учётом `vec P =- vec N` получаем    

    `Ma_(1x) = N sin alpha`,  `ma_(2x) =- N sin alpha`,  `ma_(2y) =- mg + N cos alpha`.

    Скорость `vec(v_2)`  шайбы в ЛСО, скорость `vec u` шайбы относительно клина и скорость `vec(v_1)` клина связаны законом сложения скоростей  `vec(v_2) = vec(v_1) + vec u`. Дифференцируя это равенство по времени находим связь соответствующих ускорений `vec(a_2) = vec(a_1) + vec(a_sf"отн")`. Из треугольника ускорений

    следует

    `bbb"tg" alpha = (a_(2y))/(a_(2x) - a_(1x))`.

    Подставляя в последнее равенство выражения для проекций ускорения шайбы

    `a_(2x) =- M/m a_(1x)`   и   `a_(2y) =- g + a_(1x) M/m bbb"ctg"  alpha`,

    после несложных преобразований приходим к ответу на вопрос задачи

     `a_(1x) = 1/2 (m sin 2 alpha)/(M + m sin^2 alpha) g`.

    Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения.

    Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона, и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.


  • 4. Импульс системы материальных точек. Теорема об изменении импульса системы материальных точек

    Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2``...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vec(v_1)`, `vec(v_2)``...`. Импульсом `vec(P_sf"c")` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих  систему, `vec(P_sf"c") = vec(p_1) + vec(p_2) + ...`.

    Найдём скорость `(Delta vec(P_sf"c"))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку  действуют суммарной силой `vec(F_1)` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vec(f_12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vec(F_2)`, и внутренняя сила `vec(f_21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем

    `(Delta vec(P_sf"c"))/(Delta t) = (Delta vec(p_1))/(Delta t) + (Delta vec(p_2))/(Delta t) = (vec(F_1) + vec(f_12)) + (vec(F_2) + vec(f_21))`.

    По третьему закону Ньютона `vec(f_12) + vec(f_21) = vec 0`,  и мы приходим к теореме об  изменении импульса системы  материальных  точек

    `(Delta vec(P_sf"c"))/(Delta t) = vec(F_1) + vec(F_2)`,

    скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

    Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы  взаимодействующих  тел,  если  нет  никаких других внешних сил. В этом - его более глубокое физическое содержание.

    Пример 9

    Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по  поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы, с которыми клин действует на опору.


    Решение

    По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vec(R_1) =- vec(F_sf"тр"` и силой нормальной реакции `vec(R_2) =- vec(N_sf"г")`, действующими на клин со стороны опоры.

    Силы `vec(F_sf"тр")` и `vec(N_sf"г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок»  и  определяют скорость  изменения импульса этой системы.

    Импульс `vec(P_sf"c")` системы направлен по скорости бруска и по величине  равен  произведению массы бруска на его скорость `vec(P_sf"c") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона:

    `(Delta vecp)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf"тр"`.

    Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N`, получаем

    `(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`,  `(Delta p_x)/(Delta t) = mg(sin alpha - mu cos alpha)`.

    По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»

    `(Delta vec(P_sf"c"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vec(N_sf"г") + vec(F_sf"тр")`.

    Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное  и вертикальное  направления с учётом 

    Pc,x~=pxcosαP_{c,\widetilde x}=p_x\cos\alpha,  Pc,y~=-pxsinαP_{c,\widetilde y}=-p_x\sin\alpha,

    получаем

    Pc,x~t=pxcosαt=mgsinα-μcosαcosα=Fтр\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde x}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(p_x\cos\alpha\right)}{\triangle t}=mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\cos\alpha=F_\mathrm{тр},

    Pc,y~t=-pxsinαt=-mgsinα-μcosαsinα=-M+mg+Nг\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde y}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(-p_x\sin\alpha\right)}{\triangle t}=-mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\sin\alpha=-\left(M+m\right)g+N_\mathrm г.

    Отсюда находим искомые силы

    `R_1 = F_sf"тр" = mg(sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,

    `R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha) sin alpha`.



  • 3. Законы Ньютона. Импульс или количество движения материальной точки

    В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

    Система отсчёта, в которой  любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

    1-й закон:

    инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

    2-й закон: 

    в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

    `Delta vec p = vec F * Delta t`.

    Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в  данной системе отсчёта:

    `vec p = m * vec v`.

    `vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки  за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:

    в ИСО приращение импульса материальной точки  равно импульсу силы.

    Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

    в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

    `vec a = vec F/m`.

    Действительно, если масса тела остаётся неизменной, то

    `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v = vec F Delta t`.

    С учётом равенства `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности приведённых формулировок второго закона.

    Далее в Задании представлены задачи, иллюстрирующие применение законов Ньютона и их следствий: теорем об изменении импульса и энергии в механике.

    3-й закон:

    при взаимодействии двух материальных точек сила `vec(F_12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vec(F_21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

    `vec(F_12) = - vec(F_21)`.

    Третий закон Ньютона - это совокупность утверждений:

    1. силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

    2. эти силы равны по величине,

    3. они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

    Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на  другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

    Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

    `(Delta vec p)/(Delta t) = vec(F)`.

    Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

    Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы;

    выбрать инерциальную систему отсчёта,

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы,

    составить уравнение динамики,

    перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления,

    решить полученную систему.

    Рассмотрим характерные примеры.

    Пример 4

    К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени `t_1 = 10  sf"с"` горизонтальную силу величиной `F = 5  sf"H"`. После прекращения действия силы тело движется до остановки `t_2 = 40  sf"с"`. Определите величину `F_sf"тр"` силы трения скольжения, считая её постоянной.

    Решение

    На рисунке

    показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона

    `(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vec(F_sf"тр") + vec F`.

    Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

    `Delta p_x = (F - F_sf"тр" ) Delta t`

    и в процессе торможения `(F = 0)`

    `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`.

    Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки

    `sum Delta p_x = sum_(0 <= t <=t_1) (F - F_sf"тр" )Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (- F_sf"тр") Delta t`.

    Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда

    `p_(x  sf"конечн") - p_(x  sf"начальн") = (F - F_sf"тр") t_1 + (- F_sf"тр") t_2`. 

    С учётом равенств `p_(x  sf"конечн") = 0`, и `p_(x  sf"начальн") = 0` независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:

    `F_sf"тр" = (t_1)/(t_1 + t_2) F = (10)/(10 + 40) * 5 = 1  sf"H"`.

    На ЕГЭ и олимпиадах в вузах РФ регулярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с привычными для школьника силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело действует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.

    Пример 5

    Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v_0 = 10  sf"м/с"`, упал на землю. В момент падения скорость меньше начальной по величине на `delta = 0,3`. Найдите продолжительность `T` полёта мяча. Силу сопротивления считайте пропорциональной скорости `vec F =- k vec v`, `k > 0`.

    Решение

    Согласно  второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы

    `m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`,

    переходя к проекциям сил и приращения скорости  на вертикальную ось, получаем

    `m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.

    Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`,  и перепишем  последнее соотношение в виде,

    `m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * Delta y`.

    Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`

    `m * (sum Delta v_y) =- mg * (sum Delta t) - k * (sum Delta y)`.

    Переходя к конечным приращениям, получаем

    `m (v_y (T) - v_y (0)) =- mg(T - 0) - k(y(T) - y (0))`.

    Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое `y(T) - y(0) = 0`.

    Тогда `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha =- mgT`.

    Отсюда находим продолжительность полёта мяча 

    `T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5  sf"с"`.

    В следующем  примере  рассматривается удар, в ходе которого две  очень большие силы,  «согласованно»  действуют во взаимно перпендикулярных направлениях

    Пример 6

    Кубик, движущийся поступательно со скоростью `v` по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с  шероховатой  вертикальной  стенкой.

    Коэффициент трения скольжения кубика по стенке `mu` и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика  в  результате  соударения не изменяется по величине.

    Решение

    Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рисунке.

    По второму закону Ньютона

    `Delta vec p = (m vec g + vec(N_sf"Г") + vec(F_sf"тр") + vec(N_sf"В")) * Delta t`.

    Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

    `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`,  `Delta p_y = N_sf"В" Delta t`.

    Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

    `sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t`.

    В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"В"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения

    `sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.

    Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для  этого  просуммируем  приращения  `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t =- mu N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

    `sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha =- sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.

    Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

    Далее считая, `v_x (tau) > 0`,  получаем `bbb"tg"  beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

    Далее рассмотрим две характерные задачи динамики равномерного движения по окружности.

    Пример 7

    Массивный шарик, подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Расстояние  от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика.

    Решение

    Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r = L sin alpha` - радиус окружности, по которой движется шарик со скоростью `v`.

    Заметим,  что `H = L cos alpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `m vec g` и сила натяжения `vec F` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение, по величине равное `a = (4 pi^2)/(T^2) r`.

    В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона `m vec a = vec F + m vec g`. При таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена  к центру окружности. Тогда, переходя  в уравнении движения к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `Ox`, `Oy` инерциальной системы отсчёта, а к проекциям сил и ускорения на два направления, а именно: на подвижное направление -направление внутренней нормали к траектории, считая положительным направление к центру  окружности,

    `m * (4 pi^2)/(T^2) r = F sin alpha`,

    и на вертикаль `0 = F cos alpha - mg`.

    Исключив из этих соотношений силу натяжения,  приходим к ответу

    `T = 2 pi sqrt(H/g)`.

    Период обращения конического маятника зависит только от расстояния от точки подвеса до плоскости движения.

    Пример 8

    Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l = 30  sf"см"` ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r = 20  sf"см"`. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через  центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha = 30^@`?   

    Решение

    Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три силы: сила тяжести `m vec g`, сила натяжения `vec T` нити  и сила Архимеда `vec F`.

    Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик `rho_sf"ш"`, плотность воды `rho_sf"в"`, и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём  воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_(A,z)` уравновешивает  силу  тяжести,  действующую на жидкость  в  рассматриваемом   объёме, горизонтальная составляющая `F_(A,r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_(A,z) = rho_sf"в" Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине равна `F_(A,r) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса `(r - l sin alpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `m vec a = m vec g + vec T + vec F`, переходя к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось, находим

    `rho _sf"в" Vg - rho_sf"ш" Vg - T cos alpha = 0`,

    проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

    `rho _sf"ш" V omega^2 (r - l sin alpha) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha) - T sin alpha`.

    Исключая `T` из двух последних соотношений, находим искомую угловую скорость `omega = sqrt((g  bbb"tg"  alpha)/(r - l sin alpha)) ~~ 10,7 sf"с"^-1`.

  • 2. Кинематика

    Рассмотрение задач описания движения традиционно начинается с кинематики. Так называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Начнём с равномерного движения.

    Пример 1

    Корабль `A` и торпеда `B` в некоторый момент времени находятся на расстоянии `l = 1  sf"км"`  друг от друга.

    Скорость корабля  `v_1 = 10  sf"м/с"`, угол `alpha = 60^@`. Скорость торпеды `v_2 = 20  sf"м/с"`. При каком угле  `beta` торпеда попадёт в цель?

    Решение

    По условию цель и торпеда в лабораторной системе отсчёта движутся равномерно, их радиусы векторы зависят от времени по закону

    `vec(r_1) (t) = vec(r_01) + vec(v_1) t`, 

    `vec(r_2) (t) = vec(r_02) + vec(v_2) t`

    Перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём (точка `A`) и движущуюся поступательно относительно лаборатории. В этой системе положение торпеды (точки `B`)  в любой момент времени определяется вектором

    `vec rho (t) = vec(r_2)(t) - vec(r_1) (t) = (vec(r_02) - vec(r_01)) + (vec(v_2) - vec(v_1))t`.

    Отсюда следует, что  в подвижной системе торпеда движется  по прямой, проходящей через её начальное положение, определяемое вектором `vec(rho_0) = vec(r_02) - vec(r_01)`, а направляющим вектором прямой является относительная скорость `vec u = vec(v_2) - vec(v_1)`. Такая прямая проходит через начало отсчёта подвижной системы (торпеда попадает в цель) в том случае, когда векторы `vec(rho_0)` и `vec u` антипараллельны. В рассматриваемой задаче это выполняется при равенстве проекций скоростей `vec(v_1)` и `vec(v_2)` на перпендикуляр к `vec(rho_0)`, т. е. к  `AB`,  `v_1 sin alpha = v_2 sin beta`.

    Отсюда `sin beta = (v_1)/(v_2) sin alpha = (10)/(20) sin 60^@ = (sqrt3)/4 ~~ 0,43`,   `beta ~~25,5^@`.

    Обратимся к равнопеременному движению. Как известно, в этом случае зависимости скорости и перемещения от времени имеют вид

      `vec v (t) = vec(v_0) + vec a t`,   `vec r (t) = vec(r_0) + vec(v_0) t + (vec a t^2)/2`.

    Среди всевозможных случаев равнопеременного движения особое место занимает движение под действием гравитационных сил - свободное падение тел в однородном поле тяжести с постоянным ускорением `vec a = vec g`. Из второго соотношения следует, что при свободном падении вектор перемещения `vec r (t) - vec(r_0)` материальной точки за время от `0` до `t` равен сумме векторов `vec(v_0) t` и `(vec g t^2)/2`. Это означает, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, есть суперпозиция равномерного прямолинейного движения со скоростью  `vec(v_0)` и свободного падения в однородном поле тяжести `vec g` с нулевой начальной скоростью.

    Пример 2

    Пушка расположена у основания склона, образующего с горизонтом угол `alpha = 30^@`. Под каким углом `beta` к склону следует произвести выстрел с начальной скоростью `v_0 = 100  sf"м/с"` так, чтобы дальность полёта снаряда вдоль склона была наибольшей? Найдите эту максимальную дальность `S_max`.

    Здесь и далее в Задании ускорение свободного падения `g = 10  sf"м/с"^2`. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

    Решение

    Перемещение снаряда  за время `T` полёта равно

    `vec r (T) = vec(v_0) T + (vec g T^2)/2`,

    (считаем `vec(r_0) = vec 0`).  Изобразим эти векторы на рисунке.

    Проекции векторов `vec(v_0) T` и `(vec g T^2)/2` на направление нормали к склону   равны по величине

    `v_0 T sin beta = (gT^2)/2 cos alpha`.

    Отсюда находим продолжительность `T` полёта мяча `T = (2 v_0)/(g) (sin beta)/(cos alpha)`. Дальность `S` полёта равна алгебраическая сумме проекций векторов `vec(v_0) T` и `(vec g T^2)/2`  на  склон `S = v_0 T cos beta - (gT^2)/2 sin alpha`.

    С учётом выражения для времени полёта последнее соотношение перепишем в виде

    `S = (v_0^2)/(g cos^2 alpha) (sin (alpha + 2 beta) - sin alpha)`.

    Отсюда следует, что наибольшей дальности соответствует такой угол `beta`, при котором множитель в скобках в последнем соотношении принимает наибольшее значение, т. е.

    `sin (alpha + 2 beta) = 1`,  `alpha + 2 beta = pi/2`,  `beta = 1/2 (pi/2 - alpha) = 1/2 (pi/2 - pi/6 ) = pi/6`.

    Отсюда следует, что выстрел следует производить по биссектрисе угла между склоном и вертикалью. В этом дальность полёта наибольшая и равна

    `S_max = (v_0^2 (1 - sin alpha))/(g cos^2 alpha) ~~ 670 sf"м"`.

    Пример 3

    Камень брошен со скоростью `v_0 = 20  sf"м/с"` под углом `alpha = 60^@` к горизонту. Найдите радиус `R` кривизны траектории в окрестности точки старта. Через какое время `tau` после старта вектор скорости повернётся на  `phi = 1^@`?

    Решение

    Известно, что движение точки по окружности с постоянной  по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в  любой момент  времени направлен к центру окружности, а его величина постоянна и определяется, например,  по одной из формул

    `a_n = (v^2)/R = v omega = ((2pi)/(T))^2 R`.

    Естественное обобщение этого результата для движения по произвольной криволинейной траектории состоит в следующем: неравномерное движении по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей, радиус каждой из которых можно вычислять по формуле `R = (v^2)/(a_n)`. Эту величину называют  радиусом кривизны траектории в рассматриваемой точке.

    Для решения задачи воспользуемся соотношениями `R = (v^2)/(a_n)`,  `omega = (a_n)/v`.

    В  малой окрестности точки старта `v = v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vec g` на нормаль к траектории `a_n = g * cos alpha`.

    Из приведённых соотношений находим радиус кривизны траектории в малой окрестности точки старта

    `R = (v_0^2)/(g cos alpha) = (20^2)/(10 * 0,5) = 80  sf"м"`,

    и угловую скорость, с которой в этой окрестности вращается вектор скорости,

    `omega = (g cos alpha)/(v_0)`.

    Тогда время поворота вектора скорости на угол `phi = pi/(180) ~~ 0,017` рад будет равно 

    `tau = phi/omega = (phi * v_0)/(g * cos alpha) = (0,017 * 20)/(10 * 0,5) ~~ 0,07  sf"с"`.





  • 1. Введение

    Настоящее задание посвящено основным законам механики - законам Ньютона и их следствиям: законам изменения и сохранения импульса и энергии материальной точки и систем материальных точек. Повторение этих разделов вызвано двумя причинами: первая обусловлена важностью этих законов в физике; вторая  причина связана с тем, что в течение учебного года учащиеся 11 класса примут участие в олимпиадах разных уровней, а по завершении учебного года будут сдавать ЕГЭ. К контрольным мероприятиям следует готовиться. Задание адресовано тем, кто хочет восстановить и углубить свои знания по механике в рамках курса физики средней школы. Поэтому наряду с простыми задачами рассмотрены и достаточно сложные, техника решения которых порой недостаточно подробно обсуждается в школьном курсе физики.

    Обращаем внимание читателя, что перед работой с Заданием ему следует изучить (повторить) соответствующие разделы школьного учебника и выполнить упражнения, представленные в учебнике.

    Механика - наука, изучающая движение тел и способы описания движения и взаимодействия тел.  Для описания механического движения следует выбрать систему отсчёта, представляющую собой тело отсчёта, с которым неподвижно связывают систему координат, и часы для регистрации положения точки в различные моменты времени.

    В механике Ньютона, т. е. при рассмотрении движений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, показания неподвижных и движущихся часов считаются одинаковыми.

    Выбор систем отсчёта диктуется соображениями удобства и простоты описания движения.

    Для математически точного описания движения используются модели физических тел. Материальная точка - модель тела, применяемая в механике в тех случаях, когда размерами тела можно пренебречь по сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматривается движение тела. В геометрии для описания таких тел используется понятие точки. Положение материальной точки в пространстве определяется положением изображающей её геометрической точки. Единственная механическая (негеометрическая) характеристика материальной точки - её масса.

  • 2. Иррациональные неравенства

    Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

    Пример 3 (МГУ, 1998)

    Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

    Решение

    Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.

    Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить       только       уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

    x+3=x+1x+10,x+3=x2+2x+1x=1x[-3;1).\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.

    Ответ

    `[- 3; 1)`.

    Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приве-дённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

    `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. (УР К1)
    fx=gxgx0,f(x)=g2(x).\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right. (УР К2)
    f(x)=g(x)ОДЗf(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{ОДЗ}\Leftrightarrow f(x)=g(x). (УР К3)
    f(x)=g(x)f(x)=g(x),f(x)0,g(x)0.\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array} (УР К4)


    ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`

    ОДЗ: `f(x) >= 0`.

    Рассмотрим неравенство 

    `sqrt(f(x)) >= g(x)`.

    Докажем, что

    f(x)g(x)[g(x) < 0,f(x)  ;g(x)  0,f(x)  g2(x)\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}\geq g(x)\Leftrightarrow\Leftrightarrow\lbrack\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}g(x)\;<\;0,\\f(x)\;\geq\;;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g(x)\;\geq\;0,\\f(x)\;\geq\;g^2(x)\end{array}\right.\end{array}\end{array}\end{array}\\\end{array}

    (УР К5)

                                                                                 

    Доказательство

    1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

    2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       

    Тогда:

    а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

    б) если `g(x) >= 0`  и

    `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

    то

    `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

    Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

    (УР К6)

                                                                

    Теперь рассмотрим неравенство вида

    `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  

    Докажем, что

    f(x)g(x)g(x)0,f(x)g2(x),f(x)0.\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right. (УР К7)

                                                                  

    Доказательство
    1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`,
    то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.
    2.  Если `x` является решением системы неравенств   g(x)0,f(x)g2(x),f(x)0,\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.   
    то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. 
    Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.
    Пример 4 (МФТИ, 1998)

    Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.


    Решение

    Первый способ

    Воспользуемся (УР К6): 



    `iff x in (- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

    Ответ

    `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.


    Второй способ

    Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:

    `3x^2 - 8x - 3 >= 0 iff (x - 3)(x+1/3) >= 0 iff x in (-oo; - 1/3] uu [3; + oo)`.

    Теперь неравенство перепишем в виде `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) -(1 - 2x) > 0`.

    1. Если `1 - 2x < 0`, т. е. `x > 1/2`, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. `x in [3; + oo)`.

    2. Если `1 - 2x>= 0`, т. е. `x <= 1/2`, то `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 2x iff`

    `iff 9(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 4x + 4x^2 iff 23x^2 - 68x - 28 > 0 iff`

    `iff x in (- oo; (34-30sqrt2 )/(23)) uu ((34+30 sqrt2)/(23); + oo)`.

    Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически.

    Учтём, что `x <= 1/2` - тогда `x in (- oo; (34-30sqrt2)/(23))`.

    Объединяя 1 и 2, получаем

    Ответ

    `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

    ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`

    Рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`.

    Докажем, что

    fxgxfxgx,fx0.\sqrt{f\left(x\right)}\leq\sqrt{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0.\end{array}\right. (УР К8)

    1. Если `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0` и `f(x) <= g(x)`, т. е. `x` является решением системы неравенств fxgx,fx0.\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0.\end{array}\right.

    2. Если `x` является решением системы неравенств fxgx,fx0,\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0,\end{array}\right. 

    то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0`, `sqrt(f(x))` и `sqrt(g(x))` существуют.

    При этом `f(x) <= g(x) iff sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, т. е. неравенство выполнено.

    Замечание

    Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `>=` или `<=` на `>` или `<` соответственно.

    Пример 5

    Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5)`.

    Решение

    `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5) iff`

    2x+1x3-4x2+x+5x3-4x2-x+40,2x+10\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+1\leq x^3-4x^2+x+5\Leftrightarrow x^3-4x^2-x+4\geq0,\\2x+1\geq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x-1x+1x-40x-1;14;+,x-12\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-1;1\right]\cup\left[4;+\infty\right),\\x\geq-\dfrac12\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x-12;14;+.\Leftrightarrow x\in\left[-\dfrac12;1\right)\cup\left[4;+\infty\right].

    Ответ

    `[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.

    ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) <= 0`

    Роль сопряжённых выражений

    Обычно  при  решении неравенств, имеющих  ОДЗ,  надо сначала найти ОДЗ.  При  нахождении   ОДЗ   такого   сложного   неравенства,   как `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0`,  учителя  и   школьники    обычно   решают   систему fx0,hx0\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\geq0,\\h\left(x\right)\neq0\end{array}\right.. Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель и решают неравенство `sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`. Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие `h(x) != 0`, и тем более не будем тратить время и силы на решение  этого неравенства. Оправдывается это тем,  что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие  `h(x) != 0` автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение `h(x) != 0` заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (с `h(x) != 0`), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0` будем искать ОДЗ*: `f(x) >= 0`.

    Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида

    `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

    В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя `h(x)`, причём в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».

    Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака `h(x)`, а от знака  `g(x)`, и неравенств с корнем решать не придётся.             

    Рассмотрим отдельно разность `sqrt(f(x)) - g(x)`. Отметим две особенности поведения этой разности:

    1) если `g(x) < 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` положительна в ОДЗ;

    2) если `g(x) >= 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)`  может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности `(sqrt(f(x)) - g(x))` на неотрицательное выражениене  `(sqrt(f(x)) + g(x))` не изменит знака разности, т. е. выражение

    `(sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) -= f(x) - g^2 (x)`

    имеет тот же знак, что и `(sqrt(f(x)) - g(x))` в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение `(sqrt(f(x)) + g(x))` называется сопряжённым для `(sqrt(f(x)) - g(x))` выражением. Отсюда следует важное правило   П К1:

    Если `g(x)>=0`, то  знак разности `sqrt(f(x)) - g(x)` совпадает со знаком  разности  `f(x) - g^2 (x)` в ОДЗ. (П К1)

    Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида

    `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) - g(x))h(x) >=0`.

    Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и  двумя случаями, но без корней.

    Рассмотрим, для определённости, неравенство `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0`.

    1. Мы уже заметили, что, если `g(x) < 0`, то числитель положителен  в ОДЗ. Но тогда fx-gxhx0ОДЗhx>0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow h\left(x\right)>0.

    2. Если  же `g(x) >= 0`, то разность может менять знак в зависимости от значений `x`, но сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае

    fx-gxhx0ОДЗfx-g2xhx0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x\right)-g^2\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0.

    Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:

    fx-gxhx00ОДЗgx<0,hx>0<0,gx0,fx-g2xhx00.\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right)\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\h\left(x\right)>0\left(<0\right),\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\\dfrac{f\left(x\right)-g^2\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right).\end{array}\right.\end{array}\right. (УР К16)

    Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ.

    Пример 6 (МГУ, 1995) 

    Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.

    Решение

    ОДЗ*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`. 

    Теперь в ОДЗ  преобразуем неравенство:

    4x+15-4x24x+15+2x=4x+15+2x4x+15-2x4x+15+2x04x+15-2x0,4x+15+2x0.\dfrac{4x+15-4x^2}{\sqrt{4x+15}+2x}=\dfrac{\left(\sqrt{4x+15}{\displaystyle+}{\displaystyle2}{\displaystyle x}\right){\displaystyle\left(\sqrt{4x+15}-2x\right)}}{\sqrt{4x+15}{\displaystyle+}{\displaystyle2}{\displaystyle x}}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{4x+15}-2x\geq0,\\\sqrt{4x+15}+2x\neq0.\end{array}\right.

    Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке ниже

    видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.                                                                       

    Найдём эту абсциссу:

    4x+15=2x2x0,4x+15=4x22x0,x=-32,x=52x=52.\sqrt{4x+15}=2x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq0,\\4x+15=4x^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq0,\\\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac32,\\x=\dfrac52\end{array}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac52.\end{array}\right.

    Заметим, что для решения  уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:

    4x+15+2x=04x+15=-2x2x0,4x+15=4x2.\sqrt{4x+15}+2x=0\Leftrightarrow\sqrt{4x+15}=-2x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\leq0,\\4x+15=4x^2.\end{array}\right.

    А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение

    4x+15=4x2x=-32,x=52.4x+15=4x^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac32,\\x=\dfrac52.\end{array}\right.

    Теперь можно записать

    Ответ

    x-154;-32-32;52x\in\left[-\dfrac{15}4;-\dfrac32\right)\cup\left[-\dfrac32;\dfrac52\right).

    Пример 7

    Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.

    Решение

    Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`. 

    Теперь воспользуемся (УР К9):

    2-x+4x-3x22-x+2x-3x02-x-3-2xx0ОДЗ*\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}x\geq2\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2-x}{\displaystyle+}{\displaystyle\left(2x-3\right)}}x\geq0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2-x}{\displaystyle-}{\displaystyle\left(3-2x\right)}}x\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow

    3-2x<0,x>0;3-2x0,2-x-2x-32x0x>32,x32,4x2-11x+7x0x>32,x32,x-74x-1x0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3-2x<0,\\x>0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}3-2x\geq0,\\\dfrac{2-x-\left(2x-3\right)^2}x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{4x^2-11x+7}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x>32,x-;01;32с учётом ОДЗ*x-;01;2.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left[1;\dfrac32\right]\end{array}\right.\overset{\mathrm с\;\mathrm{учётом}\;\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left[1;2\right].

    Систему неравенств x32,x-74x-1x0\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right. решили классическим методом интервалов.

    Ответ

    `(- oo; 0) uu [1; 2]`.

    Пример 8

    `(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.

    Решение

    Неравенство довольно громоздкое и сложное.

    Найдём сначала ОДЗ*:

    `x^2 -4x+3>=0 iff (x-1)(x-3)>=0 iff x in (- oo; 1] uu [3; +oo)`. 

    Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака `(x+7)`.

    1. Если `x+7<0 iff x< -7`, то числитель положителен в ОДЗ* и  

    x2-4x+3-2x+7x2-x-720ОДЗ*x2-x-72<0x+8x-9<0x-8;-7\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x^2-x-72<0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0\Leftrightarrow x\in\left(-8;-7\right).

    Учитывая ограничение `x< -7`, получаем, что  оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*

    2. Если `x+7>=0 iff x>= -7`, то воспользуемся правилом П К1. Тогда  

    x2-4x+3-2x+7x2-x-720ОДЗ*x2-4x+3-2x+72x-9x+803x2+60x+193x+8x-90\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-4x+3\right){\displaystyle-}{\displaystyle{\displaystyle\left(2\left(x+7\right)\right)}^2}}{\left(x-9\right){\displaystyle\left(x+8\right)}}\leq0\Leftrightarrow\dfrac{3x^2+60x+193}{\left(x+8\right){\displaystyle\left(x-9\right)}}\geq0\Leftrightarrow

    x--30-3213x--30+3213x+8x-90x-7-7;-30+32139;+\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac{-30-\sqrt{321}}3}\right)\left(x-{\displaystyle\frac{-30+\sqrt{321}}3}\right)}{\left(x+8\right)\left(x-9\right)}\geq0\overset{x\geq-7}\Leftrightarrow\left[-7;\dfrac{-30+\sqrt{321}}3\right]\cup\left(9;+\infty\right)

    с учётом ограничения `x>= -7`. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому `x in (-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

    Ответ

    `(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

    ПУНКТ 4. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

    Роль сопряжённых выражений

    Теперь рассмотрим неравенство вида `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

    На вид довольно сложное неравенство. Разность `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней  `sqrt(f(x)) + sqrt(g(x))` всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и  имеет место условие равносильности в ОДЗ

    fx-gxhx0ОДЗfx-gxhx0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-\sqrt{g\left(x\right)}}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0 (УР К10)

    или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

    fx-gxhx0fx0,gx0,fx-gxhx0\frac{\sqrt{f\left(x\right)}-\sqrt{g\left(x\right)}}{h\left(x\right)}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\geq0,\\g\left(x\right)\geq0,\\\frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\end{array}\right. (УР К11)

    Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2):

    Знак разности  `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` совпадает со знаком разности `f(x) - g(x)`  в ОДЗ.  (П К2)
    Пример 9 (Демоверсия ЕГЭ - 2010) 

    Решите неравенство `(sqrt(1-x^3) -1)/(x+1) <= x 

    и найдите наименьшую длину промежутка,  который содержит все его решения.


    Решение

    Замечательный пример на применение (УР К11)!

    Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается - он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1) можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда

    `(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`

    `iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) - (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`

    `iff (sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`

    `iff ((sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`

    1-x0,1-x-x2+x+11+x0x1,xx+21+x0x-2;-10;+\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-x\geq0,\\\dfrac{\left(1-x\right)-\left(x^2+x+1\right)}{1+x}\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\leq1,\\\dfrac{x\left(x+2\right)}{1+x}\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-2;-1\right)\cup\left[0;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

    `iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.

    Неравенство решено методом интервалов.

    Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна 3.

    Ответ

    `[-2; -1) uu [0; 1], 3`.

    Пример 10

    Решите неравенство `(sqrt(4x^2 - 3x+2) - sqrt(4x-3))/(x^2 -5x+6) <=0`

    и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.

    Решение

    Найдём сначала ОДЗ*: 4x2-3x+20,4x-30x34\left\{\begin{array}{l}4x^2-3x+2\geq0,\\4x-3\geq0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\geq\dfrac34.

    Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К2) :

    4x2-3x+2-4x-3x2-5x+60ОДЗ4x2-3x+2-4x+3x2-5x+60\dfrac{\sqrt{4x^2-3x+2}-\sqrt{4x-3}}{x^2-5x+6}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-3x+2-4x+3}{x^2-5x+6}\leq0\Leftrightarrow

    4x2-7x+5x2-5x+601x-2x-30x2;3\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-7x+5}{x^2-5x+6}\leq0\Leftrightarrow\dfrac1{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\leq0\Leftrightarrow x\in\left(2;3\right).

    Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна 1.

    Ответ

    `(2; 3), 1`.

    ПУНКТ 5. НЕСТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО `(sqrt(f(x)))/(g(x)) >= 0 (<= 0)`.

    Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.      

    Получим

    fxgx00fx=0,gx0;fx>0,gx>0<0.\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}}{g\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\g\left(x\right)\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0,\\g\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.\end{array}\right. (УР10)
    Пример 11

    Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.

    Решение

    Воспользуемся (УР10): `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0 iff`

    6-x-x2=0,x2-10;6-x-x2>0,x2-1<0x=-3,x=2,x-3;2,x-1;1\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2=0,\\x^2-1\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2>0,\\x^2-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3,\\x=2,\\\left\{\begin{array}{l}x\in\left(-3;2\right),\\x\in\left(-1;1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\\\end{array}

    `iff x in {-3} uu (-1; 1) uu {2}`.

    Ответ

    `{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.




  • 1. Равносильность уравнений и неравенств

    В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности.

    Два неравенства    

    `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)` (1)

    или два уравнения

    `f_1 (x) = g_1 (x)`   и   `f_2 (x) = g_2 (x)`       (2)

    называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

    Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0`  (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:  

    `f(x) = 0 hArr g(x) = 0`   (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

    Пример 1

    `sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

    Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

    Пример 2

    При каких значениях параметра  `a` системы

    ax+3y=6a-4,x+y=2a\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right. и   x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2(a2+a+2)=0\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.

    равносильны?


    Решение

    Решим сначала первую, более простую систему  

    ax+3y=6a-4,x+y=2ay=2a-x,ax+3(2a-x)=6a-4x(a-3)=-4\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.

    a3,x=-4a-3,y=2a+4a-3=2a2-6a+4a-3;a=3,0·x=-4.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.

    Подставим  `a = 3` во вторую систему

    a=3:x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-10x+28=0x-52+y2+3=0,a=3:\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-10x+28=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+y^2+3=0\Leftrightarrow\varnothing,\end{array}\Rightarrow\right.

    При `a = 3` системы  равносильны,  т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

    При `a = 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе  входит только в четной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

    x02-6x0+8=0x0=3±1,x02-2a+4x0+2a2+a+2=0x0=2,a2-a=0a=0,1;x0=4,a2-3a+2=0a=2,1.\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\right.

    Итак, таких  `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a`  вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое  `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

    1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

    2. `a=1`: Вторая  система  имеет  вид 

    x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-6x+8=0y=0,x=3±1=4;2.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.

    Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

    3. a=2:ax+3y=6a-4,x+y=2ax=4,y=0a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.

    и x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2a2+a+2=0x2-2y4-6x+8=0,x-42+y2=0x=4,y=0x=4,y=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.\right.

    Следовательно, системы при этом значении  равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.


    Ответ

    `2; 3`.

    При решении неравенств и уравнений  часто используются следующие равносильные переходы.

    1. Если  функции  `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве 

    а) `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.  (УР 1)
    б)  `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.  (УР 2)

                                                                                                                                           

    2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,   (УР 3)

     т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

    3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, (УР 4)

     т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

    4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. (УР 5)

    5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей  приводит к равносильному неравенству, т. е.

    `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.   (УР 6)

                                                                                       

    Если обе  части  неравенства отрицательны, то  умножив обе части на `(­–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим `(`УР `6)`.

    Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

    6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

     

    `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.   (УР 7)

    7. Для любых  `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального  `n`

    `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. (УР 8)


    8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

    fx00fx=0,fx>0<0.f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right. (УР 9) 


  • Введение

    Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них  вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

  • 5. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии

    В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия  между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения)  импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы не известны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

    Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопи­ческих тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими - уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не ме­нее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль - с такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

    Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии  требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

    Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.

    Переходя к характерным примерам, отметим, что исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСО), т. е. в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, с которой Вы познакомитесь в следующих Заданиях. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб), называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.

    Неупругие столкновения

    Пример 9

    Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).

    Решение

    Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) час­тицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения им­пульса

    `mv = (m + M) u`.

    По закону сохранения  энергии

    `(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.

    Из приведённых соотношений находим

    `Q = M/(m + M) K`.

     Отметим, что в предельных случаях

     `Q = K`,

    `m < < M`,

    `Q = M/m K < < K`,

    `m > > M`.

    Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.

    При равенстве масс  `(m = M)`  `Q = K/2`.

    Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых ав­томобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по на­правлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разруше­ние.

    Упругие столкновения

    Пример 10

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар того же радиуса массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

    Решение

    Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на  шары в  процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса   `m vec v = m vec(v_1) + M vec(v_2)`.

    Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем `mv = mv_(1x) + Mv_2`, здесь учтено, что направление скорости налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии

    `(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.

    Полученные соотношения перепишем в виде

    `m(v - v_(1x)) = Mv_2`,

    `m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.

    Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`,  `m(v - v_(1x)) = Mv_2`,  решение которой имеет вид

    `v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,

    `v_2 = (2m)/(m + M) v`.

    Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направ­лении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`,  т. е. если масса налетающего шара больше массы по­коящегося шара.

    Пример 11

    Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности. Скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)` шайб непосредственно перед соударением известны и показаны на рис. 11. Найдите скорости `vec(v_1^')` и `vec(v_2^')` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.

    Решение

    Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при  этом ось `Ox` направлена по линии  центров шайб в момент соударения.

    В  течение  времени  соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия  сохраняется:                                            

    `vec(p_1) + vec(p_2) = vec(p_1^') + vec(p_2^')`,               

    здесь `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_1^') = m_1 vec(v_1^')`, `vec(p_2^') = m_2 vec(v_2^')` - импульсы шайб до и после соударения.

    Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внут­ренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) =  p_(2y)^'`  находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения:

     `v_(1y)^' = v_(1y)`,   `v_(2y)^' = v_(2y)`,

    т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.

    Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

    `(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.

    С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после со­ударения последнее равенство принимает вид:

    `(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.

    Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям им­пульсов шайб на ось  `Ox`:

    `m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.

    Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упру­гом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохра­нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагае­мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разде­лить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линей­ному уравнению

    `v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.

    Решая систему из двух последних уравнений, находим

    `v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,

    `v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.

    Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения

     `v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`,      `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`, 

    а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vec(v_1^')` и `vec(v_2^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`,

    `bbb"tg"  alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`,   `bbb"tg"  alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.

    Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём пример.

    Пример 12

    Гладкая круглая шайба массой `m_1` движется со скоростью `vec v` вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча  равно `R//2`.

    Обруч массой `m_2` и радиусом `R` лежит на гладком горизонтальном столе. Через какое время `tau` после первого удара шайба окажется  на  минимальном  расстоянии   от   центра   движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.

    Решение

    Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем примере. В ЛСО, ось `Ox` которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скоростей шайбы и центра обруча на ось `Ox`  после соударения равны соответственно

    `v_(1x)^' = ((m_1 - m_2)v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2) = ((m_1 - m_2)v_(1x))/(m_1 + m_2)`,

    `v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1)v_(2x))/(m_1 + m_2) = (2m_1 v_(1x))/(m_1 + m_2)`,

    здесь `v_(1x) = vcos  pi/6` - проекция скорости шайбы на ось `Ox` до соударе­ния, `v_(2x) = 0` - обруч до соударения покоился.

    Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с обручем, проекция скорости шайбы на линию центров после соударения

    `v_(1xsf"отн") = v_(1x)^' - v_(2x)^' =- v_(1x) =- vcos  pi/6`

    просто изменила знак, а перпендикулярная линии центров составляющая, как было  показано, в рассматриваемом соударении  не изменяется. Следовательно, в системе, связанной с обручем, шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения», и минимальное расстояние от шайбы до центра обруча снова будет равно `R//2`. Искомое время

    `tau = (R cos^(2)   pi/6)/|v_(1xsf"отн")| = cos  pi/6 R/v = sqrt3/2 R/v`.

  • 4. Сохранение импульса системы материальных точек

    Из  теоремы об изменении  импульса  системы  материальных  точек

    `(Delta vec(P_sf"c"))/(Delta t) = sum_i vec(F_i)`

    следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:

    если `sum_i vec(F_i) = vec 0`, то `vec(P_sf"c")` остаётся неизменным по величине и на­правлению;

    если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(sf"c",x) = bbb"const"`;

    наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по вели­чине импульса системы `|sum_i vec(F_i)| Delta t < < |vec(P_sf"c") (t)|`, то из равенства

    `Delta vec(P_sf"c") = vec(P_sf"c") (t + Delta t) - vec(P_sf"c") (t) = (sum_i vec(F_i)) Delta t`

    следует, что приращение `Delta vec(P_sf"c")` импульса системы мало, т. е. на рассматриваемом интер­вале времени сохраняется импульс системы

    `vec(P_sf"c") (t + Delta t) = vec(P_sf"c") (t)`.

    Пример 6

    Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетающее из пушки ядро очень быстро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5 m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком? 

    Решение

    Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний   из перечисленных  случаев  сохранения   импульса   системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» дейст­вуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что им­пульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `mvec(v_0)` ядра  непосредственно перед  «посадкой». Тогда скорость `vec(v_0)` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vec(v_1)` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы

    `m vec(v_0) = 6m vec(v_1)`,

    так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления  начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря барону предстоит пройти пешком!

    Пример 7

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной  `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой.  На какое расстояние `S` переместится соломинка?

    Решение

    Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vec(P_sf"c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции

    `Delta vec(P_sf"c") = M Delta vec(v_1) + m Delta vec(v_2) = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,

    здесь `vec(v_1)` - скорость соломинки, `vec(v_2)` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции равна нулю. Тогда импульс системы  «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:

    `M vec(v_1) + m vec(v_2) = vec 0`.

    Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей 

    `vec(v_2) = vec(v_1) + vec u`,

    здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим

    `v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x^')`.

    С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x^')) = 0`, т. е. в любой момент времени  `v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x^')`.  Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x^' = u_(x^') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением

    `Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x^'`.

    Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос за­дачи: 

    `S = m/(m + M) L`.

    Пример 8

    Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола.

    Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к мо­менту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.

    Решение

    Рассмотрим систему тел «клин + грузы». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vec(P_sf"c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры `Delta vec(P_sf"c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`. 

    Проекции  сил  тяжести и нормальной  реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная состав­ляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`;

    здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизон­тальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vec(v_sf"г") = vec(v_sf"к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с  клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + m(v_(x,sf"к") + u_(x^')) = 0`.

    Отсюда находим связь проекций скорости

    `v_(x,sf"к") = - m/(6m) u_(x^') = - u_(x^')/6`

    и  элементарных перемещений:

    `Delta x_sf"к" =- (Delta x^')/6`,

    где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x^'` - проекция перемеще­ния лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи:

    `S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.

    Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения. Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.

  • 3. Импульс системы материальных точек. Теорема об изменении импульса системы материальных точек

    Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2 ...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vec(v_1)`, `vec(v_2) ...`. Импульсом `vec(P_sf"с")` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих систему: `vec(P_sf"с") = vec (p_1) + vec (p_2) + ...`.

    Найдём скорость `(Delta vec (P_sf"с"))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку  действуют суммарной силой `vec (F_1)` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vec (f_12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vec (F_2)`  и внутренняя сила `vec (f_21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем

    `(Delta vec (P_sf"с"))/(Delta t) = (Delta vec (p_1))/(Delta t) + (Delta vec (p_2))/(Delta t) = (vec (F_1) + vec (f_12)) + (vec (F_2) + vec (f_21))`.

    По третьему закону Ньютона `vec (f_12) + vec (f_21) = vec (0)`,  и мы приходим к теореме об  изменении импульса системы материальных точек:

    `(Delta vec (P_sf"с"))/(Delta t) = vec (F_1) + vec (F_2)`,

    т. е. скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

    Из приведённого доказательства следует, что третий закон Нью­тона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы  взаимодействующих  тел,  если  нет  никаких  других внешних сил.

    В этом - его более глубокое физическое содержание.

    Пример 5

    Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы, с которыми клин  действует на опору.


    Решение

    По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vec(R_1) = - vec(F_sf"тр")`  и силой нормальной реакции `vec (R_2) = - vec (N_sf"г")`, действующими на клин со стороны опоры.

    Силы `vec (F_sf"тр")` и `vec (N_sf"г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению  к системе «клин + брусок» и определяют скорость  изменения импульса этой системы.      

    Импульс `vec (P_sf"с")`  системы  направлен  по  скорости  бруска и  по величине  равен произведению массы бруска на его скорость `vec(P_sf"с") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона:

    `(Delta vec p)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf"тр")`.

    Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N` получаем:

       `(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`,  `(Delta p_x)/(Delta t) = mg (sin alpha - mu cos alpha)`.   

    По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»

    `(Delta vec(P_sf"с"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vec (N_sf"г") + vec (F_sf"тр")`.

    Переходя в последнем равенстве к проекциям   на  горизонтальное  и  вертикальное направления. с учётом  

    Pc,x~=pxcosαP_{\mathrm c,\widetilde x}=p_x\cos\alpha

    получаем  

    Pc,y~=-pxsinαP_{\mathrm c,\widetilde y}=-p_x\sin\alpha

    Pc,x~t=px cosαt=mgsinα-μcosαcosα=Fтр\dfrac{\triangle P_{\mathrm c,\widetilde x}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(p_x\;\cos\alpha\right)}{\triangle t}=mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\cos\alpha=F_\mathrm{тр},

    Pc,y~t=-px sinαt=-mgsinα-μcosαsinα=-M+mg+Nг\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde y}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(-p_x\;\sin\alpha\right)}{\triangle t}=-mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\sin\alpha=-\left(M+m\right)g+N_\mathrm г.

    Отсюда находим искомые силы

    `R_1 = F_sf"тр" = mg (sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,

    `R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha)sin alpha`.

    К этим же результатам можно прийти, анализируя движение на «традиционном языке» сил и ускорений с использованием формулы (2).


  • 2. Законы Ньютона. Импульс или количество движения материальной точки

    В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

    Система отсчёта, в которой  любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

    1-й закон:

    инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

    2-й закон: 

    в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

    `Delta vec p = vec F * Delta t` (1)

    Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в  данной системе отсчёта:

    `vec p = m * vec v`.

    `vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки  за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:

    в ИСО приращение импульса материальной точки  равно импульсу силы.

    Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

    в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

    `vec a = vec F/m` (2)

    Если масса тела остаётся неизменной, то `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v`, и соотношение (1) принимает вид `m Delta vec v = vec F Delta t`. С учётом `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности соотношений (1) и (2) в рассматриваемом случае.

    В настоящем Задании представлены задачи, для решения которых привлекается  второй  закон Ньютона (см.(1)), устанавливающий равенство приращений импульса материальной точки и импульса силы.

    3-й закон:

    при взаимодействии двух материальных точек сила `vec(F_12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vec(F_21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

    `vec(F_12) = - vec(F_21)`.

    Третий закон Ньютона - это совокупность утверждений:

    1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

    2) эти силы равны по величине,

    3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

    Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на  другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

    Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

    `(Delta vec p)/(Delta t) = vec(F)` (3)

    Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

    Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы;

    выбрать инерциальную систему отсчёта;

    составить уравнение (3);

    перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления; 

    решить полученную систему.

    Рассмотрим характерные примеры.

    Пример 1

    К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени t1=10 сt_1=10\;\mathrm с горизонтальную силу величиной F=5 HF=5\;\mathrm H. После прекращения действия силы тело движется до остановки t2=40 ct_2=40\;\mathrm c.  Определите величину FтрF_\mathrm{тр} силы трения скольжения, считая её постоянной.

    Решение

    На рисунке показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона 

    `(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vec(F_sf"тр") + vec F`.

    Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

    px=F-Fтрt\triangle p_x=\left(F-F_\mathrm{тр}\right)\triangle t

    и в процессе торможения `(F = 0)`

    px=-Fтрt\triangle p_x=-F_\mathrm{тр}\triangle t.

    Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки:

    `sum Delta p_x = sum_(0 <= t <= t_1) (F - F_sf"тр") Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (-F_sf"тр" ) Delta t`.

    Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда

    px конечн-px начальн=F-Fтрt1+-Fтрt2p_{x\;\mathrm{конечн}}-p_{x\;\mathrm{начальн}}=\left(F-F_\mathrm{тр}\right)t_1+\left(-F_\mathrm{тр}\right)t_2.

    С учётом равенств px конеч=0p_{x\;\mathrm{конеч}}=0px начальн=0p_{x\;\mathrm{начальн}}=0 и независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:

    Fтр=t1t1+t2F=1010+40·5=1 HF_\mathrm{тр}=\dfrac{t_1}{t_1+t_2}F=\dfrac{10}{10+40}\cdot5=1\;\mathrm H.

    Далее рассмотрим пример, в котором одна из сил зависит от времени. 

    Пример 2

    На какое максимальное расстояние `L_max` улетит мяч, если в процессе удара футболист действует на мяч постоянной по направлению силой, величина которой изменяется по закону, представленному на  рис. 2.  Длительность  удара τ=8·10-3 c\tau=8\cdot10^{-3}\;\mathrm c,  максимальная  сила Fmax=3,5·103 HF_\max=3,5\cdot10^3\;\mathrm H, масса мяча m=0,5 кгm=0,5\;\mathrm{кг}. Здесь и далее ускорение свободного падения g=10 м/с2g=10\;\mathrm м/\mathrm с^2.   Сопротивление воздуха не учитывайте.                      

    Решение

    В процессе удара на мяч действуют две силы: mg=0,5·10=5 Hmg=0,5\cdot10=5\;\mathrm H - тяжести и сила `vec F`, с которой футболист действует на  мяч,                    

              FFmax=3,5·103 HF\leq F_\max=3,5\cdot10^3\;\mathrm H.

    Так как `mg < < F_max`, силой тяжести пренебрежём. Из кинематики известно, что максимальная дальность полёта наблюдается при старте под углом `alpha = pi/4`. Процесс удара показан на рисунке.   

                                                                    

    По второму закону  Ньютона  приращение  импульса равно импульсу силы `Delta vec p = vec F * Delta t`. Переходя к проекциям приращения импульса и силы на ось `Ox`, получаем 

       `Delta p_x = F Delta t`.

    Просуммируем элементарные приращения импульса мяча за время удара

    `sum Delta p_x = mv - 0 = sum_(0 <= t <= tau) F Delta t`. 

    Импульс  силы  `sum_(0 <= t <= tau) F(t) Delta t` за  время  удара численно равен площади под графиком зависимости этой силы от времени (каждое слагаемое `F(t) Delta t` в импульсе силы можно интерпретировать как площадь элементарного прямоугольника со сторонами `F(t)` и `Delta t` на графике зависимости `F(t)`). Тогда импульс силы `F` за время удара равен 

    `sum_(0 <= t <= tau) F Delta t = (F_max tau)/2`

    и в рассматриваемом случае не зависит от того, в какой именно момент времени сила достигает максимального значения (площадь треугольника равна  половине произведения основания на высоту!). Далее  находим импульс мяча в момент  окончания действия силы

    `mv = 1/2 F_max * tau`.

    Отсюда находим начальную скорость полёта мяча

    `v = (F_max * tau)/(2m) = (3,5 * 10^3 * 8 * 10^-3)/(2 * 0,5) = 28 sf"м/с"`

    и  максимальную дальность (старт под углом `alpha = pi/4`) полёта

    `L_max = (v^2)/g = (28^2)/(10) ~~ 78 sf"м"`.

    В рассматриваемом модельном примере получен несколько завышенный по сравнению с наблюдениями результат.

    На вступительных испытаниях и олимпиадах в вузах России регу­лярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с «традицион­ными» силами: силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело дейст­вует сила лобового сопротивления. Такая сила  возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.

    Пример 3

    Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v = 10 sf"м/с"`, упал на землю, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на `delta = 30 %` меньшую, чем при бросании. Найдите время  по­лёта мяча. Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.

    Решение

    Согласно  второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы:

    `m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`.

    Переходя к проекциям сил и приращения скорости  на вертикальную ось, получаем   

    `m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.

    Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`,  и перепишем  последнее соотношение в виде:

    `m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * Delta y`.

    Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`:

    `m * (sum Delta v_y) = - mg * (sum Delta t) - k* (sum Delta y)`.

    Переходя к конечным приращениям, получаем

    `m (v_y (T) - v_y (0)) = - mg (T - 0) - k (y (T) - y (0))`.

    Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое

    `y (T) - y (0) = 0`.

    Тогда  `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha = - mgT`.  Отсюда находим продолжительность полёта мяча:

    `T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5  sf"с"`.

    В следующем  примере  рассматривается удар, в ходе которого две  очень большие силы,  «согласованно»  действуют во взаимно перпендикулярных направлениях.

    Пример 4

    Кубик, движущийся поступа­тельно со скоростью `v` по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой.

    Коэффициент трения `mu` скольжения кубика по стенке и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.                                      

    Решение

    Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рисунке ниже.

    По второму закону Ньютона

    `Delta vec p = (m vec g + vec(N_sf"г") + vec(F_sf"тр") + vec(N_sf"в") ) * Delta t`.

    Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

    `Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t`,  `Delta p_y = N_sf"в" Delta t`.

    Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"в" Delta t` по всему времени `tau` соуда­рения, получим:          

    `sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t`.          

    В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"в"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения

    `sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.

    Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для этого просуммируем приращения 

    `Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t = - mu N_sf"в" Delta t`

    по всему времени `tau` соударения, получим:

    `sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha = - sum _(0 <= t<= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.                               

    Отсюда  `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`. Далее, считая `v_x (tau) > 0`, получаем

    `bbb"tg"  beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

  • Введение

    Часть механики, изучающая условия, при которых тело находится в покое под действием нескольких сил, называется статикой.

    В гидростатике рассматриваются силы, возникающие в системе, состоящей из покоящейся жидкости и помещённых в эту жидкость неподвижных тел.

    Силы, появляющиеся в системе из неподвижного газа и помещённых в него покоящихся тел, изучает наука аэростатика.

    В гидростатике и аэростатике используются многие понятия и законы механики и её составной части - статики. Поэтому перед чтением этого задания полезно повторить материал, касающийся понятий массы, плотности, силы, силы тяжести, веса тела, равнодействующей нескольких сил. Напомним кое-что из этого.

    Масса тела `m`, его объём `V` и плотность `rho` тела связаны формулой `m = V rho`. Сила тяжести, действующая на тело массой `m`, приложена к телу и находится по формуле `F = mg`, где `g ~~ 9,8  sf"Н/кг" = 9,8  sf"м/с"^2` - ускорение свободного падения. Вес тела массой `m` во многих случаях выражается тоже  аналогичной формулой `Q = mg`, но вес `Q` приложен к подставке, на которой находится тело.

    Сила, которая оказывает на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил, называется равнодействующей этих сил. Если тело находится в покое, то равнодействующая сила равна нулю. В частности, если на тело действуют две силы и тело находится при этом в покое, то эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

    Несколько слов о контрольных вопросах и задачах, предлагаемых в конце задания. Часть вопросов и задач простые, часть сложные. Не смущайтесь, если некоторые из них Вам не удастся решить. У Вас будет возможность вернуться к этому заданию, когда Вы получите назад свою проверенную работу и официальное решение этого задания.

    Желаем удачи!

  • 12. Задачи с параметром


    Пример 21

    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0`  имеет ровно два различных решения.

    Решение

    Первый способ – решение «в лоб».

    Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0`  имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0` `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если

    `1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен: 

    D4=9+a-6=3+a=0a=-3,t=3x=3,x=-3.\left\{\begin{array}{l}\dfrac D4=9+a-6=3+a=0\Leftrightarrow a=-3,\\t=3\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3,\\x=-3.\end{array}\right.\end{array}\right.

    `2`. Или дискриминант  положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит): 

    D4=3+a>0,y1y2=6-a<0.  a>6.\left\{\begin{array}{l}\dfrac D4=3+a>0,\\y_1y_2=6-a<0.\end{array}\;\Leftrightarrow\;a>6.\right.

    Ответ
     `{-3}uu(6;+oo)`.
    Второй способ – решение с решение с помощью графика.
    Перепишем уравнение по-другому, отправив свободный член направо:
    `t^2-6t-a+6=0hArrt^2-6t=a-6hArrt(t-6)=a-6`.

    Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.

    Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. `9`.
    Видно, что положительное решение единственно, если или
    `a-6=y_sf"верш" =y(3)=-9rArra=-3`, или `a-6>0`.
    Ответ
     `{-3}uu(6;+oo)`.

    С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.

    Пример 22

    Найдите все значения параметра  при каждом из которых уравнение `x^2+f^2(a)x-g(a)=0` имеет единственное положительное решение.

    Решение

    Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`.

    Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е. `g(a)>0`.

    Пример 23

    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2+f^2(a)x-g(a)=0` имеет два отрицательных решения.

    Решение

    Перепишем уравнение в другом виде: `x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.

    `y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.

    Пример 24

    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство `x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`  имеет единственное положительное решение.

    Решение

    Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `11`. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)`  равно значению левой части в вершине, т. е. `g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.